正整数倒数的平方和证明

证明：设s =+++ 2

22312111 构造函数)(x f ，其周期π2=T ，且当],[ππ-∈x 时，x x f =)(，那么)(x f 的傅里叶级数展开式为

∑∞=+=10cos 2)(n n l

x n a a x f π 其中π==2

T l ，),2,1,0(cos 20 ==⎰n nxdx x a n ππ ∴π=0a

)1(c o s 12]s i n c o s 1[2c o s 2

2

020-⋅=++==⎰ππππππ

n n C nx n x nx n nxdx x a n 令0=x ，得

0])2(5

1)2(31)2(11[22)1(c o s 1222)0(2221210=+-⨯+-⨯+-⨯⋅+=-⋅+=+=∑∑∞=∞= πππππn n n n n a a f ∴8

5131112

222π=+++ 又8

41)312111(416141212

222222π-==+++=+++s s ∴62π=s ，即63121112

222π=+++