正整数倒数的平方和证明
100个数论经典例题
100个数论经典例题数论经典例题是学习数论的重要方式，它们体现了数论的基本概念和重要定理。
下面列举了100个数论经典例题及其相关参考内容，帮助读者更好地理解和掌握数论的基础知识。
1. 证明：对任意正整数n，有$n^2\equiv 0\pmod{2}$。
解答：正整数的平方一定是偶数，因为偶数乘以偶数还是偶数。
2. 证明：对任意正整数n，有$n^3\equiv n\pmod{3}$。
解答：利用模运算的性质，$n\equiv 0, 1, 2 \pmod{3}$，分别代入得到$n^3\equiv 0, 1, 8 \equiv 0, 1 \pmod{3}$。
3. 证明：对任意正整数n，有$n^2\equiv 0$ 或 $1 \pmod{4}$。
解答：正整数的平方一定是偶数，因此$\pmod{4}$下只有两个可能性，即0或1。
4. 证明：对任意正整数n，有$n^m\equiv n \pmod{m}$。
解答：利用数论基本定理得到$n^m\equiv n\pmod{m}$。
5. 证明：对任意正整数n，如果$n^2$是完全平方数，则n也是完全平方数。
解答：设$n^2 = k^2$，则$(n+k)(n-k) = 0$，即$n+k = 0$或$n-k = 0$，因此n是完全平方数。
6. 证明：对任意正整数n，如果$n^2$是立方数，则n也是立方数。
解答：设$n^2 = k^3$，则$(n^{\frac{2}{3}})^3 = k^3$，因此n是立方数。
7. 证明：对任意正整数n，如果$n^2$是素数，则n是素数。
解答：反证法，假设n不是素数，则n可以表示为两个正整数的乘积，因此$n^2$也可以表示为两个正整数的乘积，与$n^2$是素数矛盾。
8. 证明：存在无穷多个素数。
解答：利用反证法和欧几里得定理可以证明存在无穷多个素数。
9. 证明：存在无穷多个不能表示为两个素数之和的正整数。
解答：利用哥德巴赫猜想的推广版本可以证明。
一个正整数能够表示成两个正整数平方和的充分必要条件
一个正整数能够表示成两个正整数平方和的充分必要条件在上面第1楼的帖子中，证明了这样一个定理：第1楼帖子中定理 正整数 M 能表示成两个整数平方和的充分必要条件是：M 的素因子分解式中，所有形为 14-n 的素因子的冪指数都是偶数。
注意，这个定理中说的是“整数平方和”，不是“正整数平方和”，所以，像 22039+=，220749+= ，22021441+= 这样的两整数平方和，都算是符合定理要求的。
如果我们希望把上面这种带 0 的整数平方和的例子排除在外，把定理中的“整数平方和”改为“正整数平方和”，那么，定理又会是怎么样的呢？ 为了证明这样的定理，下面先证明一个引理。
引理 若有 222z y x =+ ，其中 z y x ,, 都是正整数，1),(=y x ，则必有正整数 q p , ，1),(=q p ，而且 q p , 一奇一偶，使得 22q p z += 。
证 y x , 不会都是奇数，否则 22y x + 是形为 24+n 的数，不可能等于 2z 。
又因为1),(=y x ，y x , 也不会都是偶数，所以 y x , 必定一奇一偶，不妨设 x 是奇数，y 是偶数，这时 z 显然也是奇数，而且 x z > ，1),(=z x 。
因为 x z , 都是奇数，x z > ，所以2x z + ，2x z - 显然都是正整数。
这时有222222)2(22)2)(2(y y x z x z x z ==-=-+ 。
因为 y 是偶数，所以2y是整数。
又因为 1),(=z x ，所以 1)2,2(=-+xz x z ，所以2)2(y 中的任何一个素因子，或者全部在 2x z + 中，或者全部在 2x z - 中。
由于 2)2(y 中的素因子的幂次都是偶数，所以2x z + ，2x z - 中的素因子的幂次也都是偶数，可见2x z + ，2x z - 都是完全平方数。
设 2x z p +=，2x z q -=，因为2x z + ，2x z - 都是完全平方数，所以 qp ,都是正整数，而且有 z x z x z q p =-++=+2222，x x z x z q p =--+=-2222。
人教版初一数学下册观察与猜想,归纳与证明
七年级数学《观察、猜想与证明》一、【观察与实验】认识来源于实践，是我们认识事物的重要方法，通过观察和实验，可以发现许多规律。
是获得感性认识的重要途径，但观察得到的结果是否正确，还需要经过验证；是人们认识事物的一种有目的的探索过程，一般是为了检验某种猜想或理论而进行的操作或活动。
实验的关键是要具有可重复操作性。
例题：1.下面给出了两个图形，你能分别用一笔画出来吗？（每部分既不能重复，也不能遗漏）？2.【错觉】①上图（3）中的两条紫色的线条是平行的吗？图（4）中线段AB与线段CD哪个比较长？用什么办法验证你的观察？②下面左边两幅图形中，哪个图形的竖线更长？右图中有曲线吗？【结论】：观察可能产生错觉；所以观察的结果需要验证。
3.一个正方体有六个面，分别标上文字“观，察，猜，想，证，明”是从三个不同方向看到的几个汉字 . 观察图形中的汉字特点，那么，“观”相对面上的汉字是；“察”相对面上的汉字是；“猜”相对面上的汉字是；4.用锯锯木，锯会发热；用锉锉物，锉会发热；在石头上磨刀，刀会发热，所以物体摩擦会发热．此结论的得出运用的方法是（）A．观察 B．实验 C．归纳 D．类比5.【实验是人们认识事物的一种有目的的探索过程】①三条线段能组成一个三角形吗？②用两块形状、大小相同的三角尺，你能拼出多少个形状不同的三角形？能拼出多少个形状不同的四边形？（摆一摆，试一试）③如图，OM 为∠AOB 的平分线，点 P是射线 OM 上的一点，PA ⊥ OA 于点 A，PB ⊥ OB 于点 B，分别度量PA，PB 的长度，并判断它们的数量关系；如果在射线 OM 上再取几个不同位置的点 P，然后向角的两边作垂线段，刚才的数量关系还存在吗？④用剪刀把一张长方形的纸剪了一次，剩余的一部分纸是什么图形？把长方形纸片剪成两部分，用剪得的两部分可以拼成哪些形状不同的图形？你能拼接成一个三角形吗？并画出拼接后的示意图。
【归纳与类比】归纳与类比是得出猜想的两个重要的方法 .【归纳】归纳的方法也是人们认识事物的重要方法，归纳法有归纳法和归纳法两类，初中阶段只要了解归纳的一些补步知识，在高中阶段将会进一步进行研究。
无穷级数-正整数平方倒数和的求法
But f (0) = ζ (2) and f (π ) =
∞ n 2 n=1 (−1) /n
5
Alternatively we can put
∞
D(z ) =
n=1
zn , n2
the dilogarithm function. This is uniformly convergent on the closed unit disc, and satisfies D (z ) = −(log(1 − z ))/z on the open unit disc. Note that f (t) = Re D(e2πit ). We may now use arguments from complex variable theory to justify the above formula for f (t). This is just the previous proof with the Fourier theory eliminated. Proof 7: We use the infinite product
∞
r =0
1 = (2r + 1)2 2
1 0 0
1
dx dy . 1 − x2 y 2
We make the substitution (u, v ) = so that (x, y ) = The Jacobian matrix is ∂ (x, y ) = ∂ (u, v ) cos u/ cos v sin u sin v/ cos2 v 2 sin u sin v/ cos u cos v/ cos u tan−1 x 1 − y2 , tan−1 y 1 − x2 sin u sin v , cos v cos u 1 − x2 1 − y2
自然数平方倒数的求和
自然数平方倒数的求和好嘞，今天咱们聊聊一个有趣又看似复杂的数学问题——自然数平方倒数的求和。
听起来像是要去攻克一个巨型难题，其实并不是那么吓人。
咱们可以把它当成一场轻松的数学小聚会，大家一起聊聊这个神秘的数字世界。
你知道，自然数就是从1开始的那些正整数，而平方倒数，嘿，就是把每个自然数先平方，然后取倒数。
简单说就是1的平方是1，倒数还是1；2的平方是4，倒数就是1/4；3的平方是9，倒数就是1/9。
你瞧，这个计算还真是简单得可以。
现在，咱们要做的就是把这些倒数加起来。
想象一下，咱们聚在一起，拿着一个大碗，里面放着每个自然数的平方倒数。
来，数一数，先放1，1加上1/4，哎呀，这还真是个大碗啊，慢慢倒，倒着倒着，突然发现它的边缘都快满了。
放1/9，1/16，再到1/25，真是让人眼花缭乱。
你看，倒数加起来，看似越来越多，其实最后的结果却是一个特定的数字，真是妙不可言。
可能有人会想，哎呀，这么加下去，岂不是能加到无穷大？嘿嘿，别担心，数学可不是那么简单的。
虽然这些数越来越小，但它们加在一起的效果却不容小觑。
想象一下，咱们在一个无尽的沙滩上，每一粒沙子都代表一个倒数。
沙滩的面积大不大呢？也许在某种意义上，它竟然是有限的！这就是数学的魔力，它让看似不可能的事情变得可能。
所以，大家应该知道，这个自然数平方倒数的求和，最终的结果其实是一个非常美妙的数字，叫做“π²/6”。
什么？听起来好像有点陌生？没关系，数学嘛，就是个让人兴奋的奇妙旅程。
就像在探险的时候，总会有一些意外的惊喜。
把这个结果放在一起，不仅仅是个数字，它甚至和圆周率有关联，这是不是很酷呢？想象一下，π可是个超级明星，在数学界呼风唤雨，结果竟然和我们的平方倒数有联系，真是让人忍不住想要点赞。
这就像是人生的旅程，咱们每一个人都是自然数，经历着自己的“平方”，有时大，有时小。
有人可能觉得自己在某些方面不够出色，但别忘了，咱们每个人都有自己的价值。
一题多解教学案例：五种方法证明根号2是无理数
一题多解教学案例：五种方法证明2是无理数 古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“大自然的一切皆为整数之比”的思想统治了古希腊数学相当长的一段时间，许多几何命题都是根据这一点来证明的。
当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表示为整数之比”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。
直到有一天，毕达哥拉斯的学生Hippasus告诉他，单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。
被人们公认的假设被推翻了，大半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学大厦轰然倒塌，数学陷入了历史上的第一次危机。
最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。
今天我们要看的是，为什么单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。
单位正方形的对角线长度怎么算呢？从上面的这个图中我们可以看到，如果小正方形的面积是1的话，大正方形的面积就是2。
于是单位正方形的对角线是面积为2的正方形的边长。
换句话说，Hippasus认为不可能存在某个整数与整数之比，它的平方等于2。
中学课程中安排了一段反证法。
当时有个题目叫我们证根号2是无理数，当时很多人打死了也想不明白这个怎么可能证得到，这种感觉正如前文所说。
直到看了答案后才恍然大悟，数学上竟然有这等诡异的证明。
当然，我们要证明的不是“根号2是无理数”。
那个时候还没有根号、无理数之类的说法。
我们只能说，我们要证明不存在一个数p/q使得它的平方等于2。
证明过程地球人都知道：假设p/q已经不能再约分了，那么p2=2q2，等式右边是偶数，于是p必须是偶数。
p是偶数的话，p2就可以被4整除，约掉等式右边的一个2，可以看出q2也是偶数，即q是偶数。
这样，p也是偶数，q也是偶数，那么p和q就还可以继续约分，与我们的假设矛盾。
根号2是无理数，我们证明到了。
根号3呢？根号5呢？你可能偶尔看到过，Theodorus曾证明它们也是无理数。
但Theodorus企图证明17的平方根是无理数时却没有继续证下去了。
平方分解定理
平方分解定理平方分解定理是代数学中一个非常重要的定理，它告诉我们任何一个正整数都可以唯一表示为几个平方数的和。
这个定理的证明非常复杂，但是它的应用却非常广泛，被广泛应用于数论、代数、几何等领域。
在这篇文章中，我们将详细介绍平方分解定理的定义、证明过程以及一些实际应用。
首先，让我们来了解平方分解定理的定义。
平方分解定理是指任何一个正整数可以表示为一些平方数的和，且这些平方数可以是相同的。
例如，数字4可以被分解为2个平方数的和，其中每个平方数都是2。
而数字9可以被分解为1个平方数的和，即9。
这就是平方分解定理的简单定义。
接下来，让我们来看一下平方分解定理的证明过程。
证明平方分解定理需要用到一些高等数学的知识，包括数学归纳法、欧几里得算法等。
证明的过程相对比较复杂，我们在这里只做一个简单的概述。
假设我们要证明某个正整数n可以被平方分解为几个平方数的和，我们首先可以假设n可以被平方分解为一个平方数k和余数r的和，即n = k^2 + r。
接下来，我们可以对r再次进行平方分解，假设r可以被平方分解为平方数k_1和余数r_1的和，即r = k_1^2 + r_1。
我们可以一直进行这个过程，直到余数为0为止。
这样我们就可以将n表示为k^2 + k_1^2 + ... + k_i^2的形式，其中k, k_1, ..., k_i都是平方数。
通过上述的证明过程，可以证明出任何一个正整数都可以被平方分解为几个平方数的和。
但是平方分解定理的重要之处在于它的唯一性。
也就是说，任何一个正整数只存在一种平方分解的方式。
例如，数字12可以被平方分解为3^2 + 1^2，但并不能被平方分解为2^2 + 2^2。
这个唯一性的证明相对比较复杂，需要运用到一些高等数学的知识，例如整数的因子分解等。
最后，让我们来看一下平方分解定理的应用。
平方分解定理在数论中广泛应用，可以用来解决一些数论问题，例如完全平方数问题、费马最后定理等。
它还可以应用于代数中，用来简化一些复杂的代数式。
定理的概念和证明方法
定理的概念和证明方法一、定理的概念1.定义：定理是经过推理、论证，被公认为真实并具有普遍意义的数学命题。
a)定理是由已知条件推出未知结论的命题；b)定理具有严谨的逻辑结构；c)定理的结论是普遍适用的。
2.定理与命题的区别：a)命题可以是真命题，也可以是假命题；b)定理是真命题，且具有普遍性。
二、证明方法1.直接证明法：a)利用已知条件和定理、公理直接推导出结论；b)通过数学运算、逻辑推理得出结论。
2.反证法：a)假设结论不成立，即结论的否定成立；b)从假设的否定出发，经过推理得出矛盾；c)由矛盾得出结论必须成立。
3.归纳证明法：a)对特殊情况进行验证，得出结论；b)假设结论对特殊情况成立，证明结论对相邻情况也成立；c)经过归纳，证明结论对所有情况成立。
4.演绎证明法：a)从一般原理出发，推导出具体结论；b)遵循“三段论”形式：大前提、小前提、结论。
5.构造证明法：a)通过构造实例，证明结论的正确性；b)构造与结论相关的主要元素，展示其关系。
6.归谬证明法：a)假设结论不成立，即结论的否定成立；b)从假设的否定出发，经过推理得出错误的结论；c)由错误的结论得出结论必须成立。
7.逆否证明法：a)把原命题的否定和逆序写成一个新的命题；b)证明新命题成立，即可证明原命题成立。
8.综合证明法：a)结合多种证明方法，证明结论的正确性；b)灵活运用各种证明方法，形成综合证明。
三、定理的证明与运用1.学习定理时，要关注定理的定义、性质、条件及结论；2.掌握定理的证明方法，理解定理的证明过程；3.学会运用定理解决实际问题，提高解题能力。
四、定理的学习与探究1.学习定理时，要注重理解定理的背景和意义；2.积极参与定理的证明过程，提高逻辑思维能力；3.探索定理的广泛应用，拓宽知识面。
通过以上知识点的学习，学生可以对定理的概念和证明方法有更深入的了解，从而提高数学思维能力和解题水平。
习题及方法：1.习题：判断下列命题是否为定理，并说明理由。
正实数是什么意思
正实数是什么意思正实数，亦称正实函数、正实值函数或有效数字，在数学中与反实数对应。
指一个集合内所有元素均为正实数的整体，也即是一个完备实数集合。
有时会用“正整数”这种称呼来取代之前的术语，因为正整数只能由自然数构成，而且还可以被进一步划分成若干子集。
例如1至10的正整数，其中2和3没有平方根；4和6既没有质因数又没有相同因子，但它们仍然被称作正整数。
实际上，正实数也包括了实数轴上的绝大多数实数，无限的非零实数都是正实数。
这些数都属于实数集合的一部分。
从本质上讲，任何非零的实数都可以看做是某个大于0的实数加上正实数的商。
然而很少有人知道，当这样去想象时会导致错误的结果：实数集并不总是有限集。
实数集合论的核心问题是实数大小。
一个给定的数是否比它更大（或更小）？为此，我们提出了著名的阿列夫－阿尔维斯塔斯定理。
阿列夫–阿尔维斯塔斯定理断言：实数集是可数的。
虽然很容易就证明，但要找到满足以下条件的正整数集却十分困难：（1）每个正整数均为其他正整数的倍数，这意味着在整个实数集上，存在奇点；（2）每个正整数除以2的余数均为1/2，这意味着每个正整数的平方等于其他正整数的平方之和，换句话说，整个实数集上处处余弦；（3）每个正整数除以2的幂次等于4，即，2的幂为整个实数集的高度。
事实上，所有真实数的倒数之和必然为正整数，因此必须在实数集外定义另一个正整数集合。
为了满足阿列夫-阿尔维斯塔斯定理的第三个假设，新数集必须在正整数集的基础上再加上一项额外的正整数。
尽管该公式已经得到公认，但还未达到完全确定的程度。
为了将上述推理扩展到所有大于或等于1的实数，阿列夫-阿尔维斯塔斯定理需要加入一个限制条件：即正整数不仅是某些特殊正整数的倍数，而且是正整数自身的倍数。
正实数是最终得到的数字。
最后，当我们谈及超越数时，我们必须把“所有实数”替换为“正实数”。
然而，这种替换依赖于实数集中的所有正实数。
通过使用阿列夫–阿尔维斯塔斯定理，我们可以证明阿列夫猜想：所有超越数都具有正实数对应物。
费马平方和定理 拉格朗日四平方和定理
费马平方和定理费马平方和定理：奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该质数被4除余1。
第一步“如果两个整数都能表示为两个平方数之和，则它们的积也能表示为两个平方数之和。
”第一步的证明是婆罗摩笈多－斐波那契恒等式的一种:而若将与·互换位置，即可得。
第二步“如果一个能表示为两个平方数之和的整数被另一个能表示为两个平方数之和的素数整除，则它们的商也能表示为两个平方数之和。
”假设a^2 + b^2能被p^2+q^2整除，且后者为素数。
则p^2 + q^2能整除:(pb-aq)(pb+aq) = p^2b^2 - a^2q^2 = p^2(a^2+b^2) - a^2(p^2+q^2).由于p^2+q^2是素数，因此它能整除两个因子之一。
假设它能整除pb-aq。
由于:(a^2+b^2)(p^2+q^2) = (ap+bq)^2 + (aq-bp)^2\,可推出p^2+q^2能整除(ap+bq)^2。
于是等式能被p^2+q^2的平方整除。
两边除以(p^2+q^2)^2得：因此其商能表示为两个平方数之和。
如果p^2+q^2能整除pb+aq，则利用等式同样可证。
第三步“如果一个能表示为两个平方数之和的整数被另一个不能表示为两个平方数之和的整数整除，则它们的商也必有一个不能表示为两个平方数之和的因子。
”假设x能整除a^2+b^2，且其商的分解式为p_1p_2\cdots p_n。
则a^2+b^2 = xp_1p_2\cdots p_n。
如果所有的因子p_i都能表示为两个平方数之和，则我们可以用p_1、p_2、等等去除a^2+b^2，并使用第二步的结论，可得每一个商都能表示为两个平方数之和。
除到只剩x的时候，可得x也能表示为两个平方数之和，矛盾。
因此，如果x不能表示为两个平方数之和，则至少有一个素数p_i 也不能表示为两个平方数之和。
第四步“如果a和b互素，则a^2 + b^2的所有因子都能表示为两个平方数之和。
对于正整数倒数的平方和等于π^26的一种解释
对于正整数倒数的平⽅和等于π^26的⼀种解释
A=1+(1
2)2+(
1
3)2+(
1
4)2+...=
π2
6
令⼀个圆的周长为2, 在圆上取相对的两点, 其距离为直径 d = 2 / π, 令其中⼀点为光源, 亮度为1, 则在另⼀点所接收的亮度为 1 / (2 / π)^2 = π^2 / 4
以接收点为圆周, 光源点为圆⼼, 作⼀周长为2倍的圆, 可以将原光源拆⾄新圆圆周上距离接收点距离为1的两点上, 接收点接收的亮度不变再做周长为4倍的圆, 可以将原光源拆⾄新圆圆周上距离接收点距离为1和3的四点上, 接收点接收的亮度不变
...
⾄圆⽆穷⼤时, 取⼀侧的所有光源, 其总亮度为π^2 / 8, 则得到如下等式
B=1+(1
3)2+(
1
5)2+(
1
7)2+...=
π2
8
可知
A−A
4=B
于是可以推导出
A=π2 6
Processing math: 100%。
平方和分解式的证明
平方和分解式的证明平方和分解式的证明:平方和分解式是指一个正整数可以拆分成几个正整数的平方和的形式，如 $5=1+4$，$13=9+4$ 等。
下面我们来证明这个定理。
证明:假设一个正整数 $n$ 可以表示成平方和的形式，即 $n=a_1^2+a_2^2+...+a_k^2$，其中 $a_1,a_2,...,a_k$ 是正整数。
下面我们要证明的是，对于任意正整数，都可以表示成这种形式。
首先我们来证明的是每个奇素数可以表示成平方和的形式。
对于任意奇素数 $p$，我们知道，模 $4$ 余数只有两种可能：$1$ 或 $3$。
如果模$4$ 余数为 $1$，我们可以将 $p$ 写成两个整数的平方和的形式，即$p=1^2+(\frac{p-1}{2})^2$。
如果模 $4$ 余数为 $3$，我们可以写成四个整数的平方和的形式，即 $p=1^2+1^2+1^2+(\frac{p-3}{4})^2$。
接下来，我们要证明每个正整数都可以表示成平方和的形式。
我们可以用数学归纳法来证明这个定理。
当 $n=1$ 时，显然 $n=1^2$。
假设当 $n=k$ 时，可以写成平方和的形式。
即 $k=a_1^2+a_2^2+...+a_k^2$。
现在我们要证明当 $n=k+1$ 时，也可以写成平方和的形式。
我们将 $k+1$ 分成两个数，一个数是最大的小于等于 $\sqrt{k+1}$ 的平方数，即$m^2$，另一个数为 $k+1-m^2$。
对于 $m^2$，我们可以利用假设，将它表示成平方和的形式，即$m^2=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{l}^{2}$。
将这两项相加，可以得到：$$k+1=m^2+(k+1-m^2)$$$$=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{l}^{2}+(k+1-m^2)$$这样，我们就把 $k+1$ 表示成几个正整数的平方和。
因此，我们可以得到结论：对于任意正整数，都可以表示成几个正整数的平方和。
奇数平方写连续 证明
我们要证明的是：对于任何正整数nn，存在连续的奇数序列，其平方和为n^2n2。
第一步，我们考虑一个奇数序列，例如1, 3, 5, 7, \ldots1,3,5,7,…。
第二步，根据奇数序列的性质，我们知道奇数序列的平方和为：(1^2) + (3^2) + (5^2) + (7^2) + \ldots = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3}(12)+(32)+(52)+(72)+…=3n(n+1)(2n+1)其中nn是奇数的数量。
第三步，我们注意到\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}3n(n+1)(2n+1)是一个关于nn的三次多项式。
第四步，根据三次多项式的性质，我们知道三次多项式在整数上取整数值。
因此，对于任何正整数nn，\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}3n(n+1)(2n+1)我们要证明的是：对于任何正整数n n，存在连续的奇数序列，其平方和为n^2n2。
第一步，我们考虑一个奇数序列，例如1, 3, 5, 7, \ldots1,3,5,7,…。
第二步，根据奇数序列的性质，我们知道奇数序列的平方和为：(1^2) + (3^2) + (5^2) + (7^2) + \ldots = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3}(12)+(32)+(52)+(72)+…=3n(n+1)(2n+1)其中n n是奇数的数量。
第三步，我们注意到\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}3n(n+1)(2n+1)是一个关于n n的三次多项式。
第四步，根据三次多项式的性质，我们知道三次多项式在整数上取整数值。
因此，对于任何正整数n n，\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}3n(n+1)(2n+1)一定是整数。
第五步，由于\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}3n(n+1)(2n+1)是整数，那么存在连续的奇数序列，其平方和为n^2n2。
综上所述，我们证明了对于任何正整数n n，存在连续的奇数序列，其平方和为n^2n2。
2020年高考数学 全书综合测评
全书综合测评 一．选择题1．设i 为虚数单位，则复数z=i i+-12在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若函数f(x)满足f(x)=e x ln x+3xf ’(1)-1,则，f ’(1)= ( )A.2e -B ．3e-C.-e D ．e3．函数f(x)=x ³+x ²-5x 的单调递增区间为 ( )A ．（-∞，35-）和(-1，+∞） B ．（-∞，35-）和(1，+∞)，C ．（-∞，-1)，和(35，+∞) D.( -∞，-1)和(35，+∞)4．已知x ₁>0，x ₁≠1且(n ∈N*)，试证“数列{x n }对任意正整数n 都满足x n <x n ₊₁，或者对任意正整数n 都满足x n <x n ₊₁”，当此题用反证法否定结论时，应为( ) A ．对任意的正整数n ，都有x n=x n ₊₁． B ．存在正整数n ，使x n>x n ₊₁C ．存在正整数n(n ≥2)，使x n ≥x n ₊₁且x n ≤x n ₋₁D ．存在正整数n(n ≥2)，使（x n -x n ₋₁）（x n -x n ₊₁）≥05．若实数a ，b 满足a>0，b>0，则“a>b ”是“a+ln a>b+ln b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．图①~图④是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是 ( )圈① 图② 图③ 图④ A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①④7．设函数f (0)(x)=sinx ，定义f (1)(x)=f ’(0)(x),f (2)(x)=,f ’(1)(x)……)()(x n f =f ’(n-1)(x )，则f (1)(15º)+f (2)(15º)+f (3)(15º)+…+f (2017)(15º)的值是 ( )A ．426+B ．426- C.0 D.18．已知z ₁、z ₂均为复数，下列四个命题中，为真命题的是( )A.|z ₁|_|1z -|=12zB ．若|z ₂|=2，则z ₂的取值集合为{-2，2，- 2i ，2i}（i 是虚数单位）C ．若，则z ₁=0或z ₂=0 D.一定是实数9．已知，若，则 ( )A ．31B ．31- C.32 D ．32-10.若函数n x x f 12)(=)0(>x x 的极值点是α，函数g(x )=x ln x ²(x ﹥0)的极值点是β，则有( )A ．α﹤βB ．α﹥βC ．α=βD ．α与β的大小不确定11．已知z -是复数z 的共轭复数，且z+z -+z ·z -=0，则复数z 在复平面内对应的点的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线12．定义：如果函数f(x)在[a ，b]上存在x ₁ x ₂（a<x ₁ <x ₂<b ）满足a b a f b f x f --=)()()1(',a b a f b f x f --=)()()2('，则称函数)(x f 是[a ，b]上的“双中值函数”．已知函数a x x x f +-=23)(是[0，α]上的“双中值函数”，则实数α的取值范围是( )A.)21,31(B.)2,23( C.D.)2,31(二．填空题13．设函数)0(2)(≠+=a b ax x f ，若(330)(x f dx x f =⎰f(x)dx=3f(x 0)，x 0 >0，则x 0 =____．14．观察下列式子：, (47)4131211,3531211,23211222222<+++<++<+，根据上述规律，第n 个不等式应该为_______________．15.设函数f ’(x)是奇函数f(x)(x ∈R )的导函数f(-1)=0，当x >0时，x f ’(x ) -f(x )>0，则使得，f （x ）>0成立的x 的取值范围是________．16．下列四个命题中，正确的为________（填上所有正确命题的序号）． ①若实数a ，b ，c 满足a+b+c=3，则a ，b ，c 中至少有一个不小于1;②若z 为复数，且|z| =1，则|z-i|的最大值等于2； ③对任意x ∈(0，+∞)，都有x >sin x ；④定积分⎰=-πππ0422dx x三．解答题17．已知复数z=i i i -++-2)1(32)1(，i 为虚数单位．(1)若复数z ₁与z 在复平面上所对应的点关于虚轴对称，求z ₁；(2)若实数a ，b 满足z ²+az+b= 1-i ，求z ₂ =a+bi 的共轭复数．18．设函数21)(+=x x f ，a,b ∈(0,+∞)．(1)用分析法证明：32)()(≤+a b f ba f ； (2)设a+b>4，求证：af(b)，bf （a ）中至少有一个大于21．19．已知函数)(x f =xln x -22xa (a ∈R )．(1)若a=2，求曲线y=f(x )在点（1,f(1)）处的切线方程；(2)若g(x )= f(x )+（a-1）x 在x =1处取得极小值，求实数α的取值范围．20．已知函数x x f -=22)(，记数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a ₁ =f(1)．当n ≥2时，)252(21)(2-+=-n n n a f n s .(1)直接写出口a ₁ ，a ₂，a ₃，a ₄的值;(2)猜想数列{a n }的通项公式，并给予证明．21.现有一张长为108 cm ，宽为a cm(a<108)的长方形铁皮ABCD ，准备用它做一个无盖长方体铁皮容器，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失，如图，在长方形铁皮ABCD 的一个角上剪下一块边长为x cm 的正方形铁皮，作为铁皮容器的底面，把余下材料剪拼后作为铁皮容器的侧面，设长方体铁皮容器的高为ycm ，体积为Vcm³. (1)求y 关于x 的函数关系式；(2)求该铁皮容器体积V 的最大值．22．已知函数f(x)=ln （a x +1）+x x+-11，x ≥0，其中a>0．(1)若f(x )在x =1处取得极值，求a 的值； (2)求f(x )的单调区间；(3)若f(x )的最小值为1，求a 的取值范围.综合测评 一、选择题1．D z=231)1)(1()1)(2(12i i i i i ii -=-+--=+-,在复平面上对应的点为)23,21(-，位于第四象限， 故选D ．2．A 由已知可得f ’(x)=xe lnx+x x e +3f ’(1)，令x=1，则，f ’(1)=0+e+3f ’(1)，解得f ’(1)=2e-，故选A ．3．B 由题意得，f ’(x)= 3x ²+2x-5，令f ’(x)>0，得x<35-或x>1，故选B ．4．D 命题的结论等价于“数列｛x n }是递增数列或是递减数列”，其否定是“数列既不是递 增数列，也不是递减数列”，由此可知选D ．5．C 构造函数y=x+lnx ，x>0，则y ’=1+x 1>0，故函数y= x+ln x 在(0，+∞)上单调递增，由“a>b>0”可得到“a+ln a>b+ln b ”，反之，由“a+ln a>b+ln b ”亦可得到“a>b>0”，选C ．6．B ①②正确；③不正确，导函数图象过原点，且在原点附近的导数值异号，但三次函 数在x=0处不存在极值；④不正确，三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故选B ．7．A 由题设可算得：f (1)(x) cos x ，f (2)(x)=-sin x ，f (3)(x)=- cos x ，f (4)(x)= sin x ，f (5)(x)= cos x ，……，显然f (1)(x)=f (5)(x)=f (9)(x)=f (13)(x)=f (17)(x)=...=f (2017)(x),即f (n)(x)=f (n+4)(x)，又f (1)(x)+f (2)(x)+f (3)(x)+f (4)(x)=0, 且2017 = 504x4+1，故f (1)(15°)+f (2)(15°)+f (3)(15°)+...+f (2017)(15°)=f (1)(15°)=cos(15°)=426+，选A ．9. C 依题意知因为，所以，则，故，故选C ．10．B 由题意得f'(x)= 2xln x+x ，g ’(x)=In x ²+2，又函数f(x)= x ²ln x( x>0)的极值点是α，函数g(x)=xln x ²(x>0)的极值点是β，所以2αln α+α=0，In β²+2=0，所以α=21e -，β=1e -，所以α>β，故选B ．11．A 设z=x+yi(x ，y ∈R )，则-z =x-yi ，代入z+-z +z ·-z =0，得x+yi+x-yi+x ²+y ²=0，即x ²+y ²+2x=0，整理得(x+1)²+y ²=1，∴复数z 在复平面内对应的点的轨迹是圆．12.C 由题意可知，在区间(0，α)上存在x ₁，X ₂( 0<x ₁<x ₂<0)，满足f ’(x ₁)=f ’(x ₂)=a 2a )0()(--a f a f .∵f(x)=x³-x ²+a ．∴f ’(x)= 3x ²-2x,∴方程3x ²-2x= a ²-a 在区间(0，a)上有两个不相等的实数根． 令g(x)=3x ²-2x-a ²+a(0<x<a)，则g （x ）有两个不同的零点，∴解得21<a<1．∴实数a 的取值范围是，故选C ．二、填空题 13．答案3解析 ∵ ba bx ax dxb ax 393030)331()2(+=+=+⎰，∴9a+3b=203ax +3b ，∴ 20x =3，∵x 0 >0, ∴x 0=3，故答案为3．14，答案1122)1(1...2312211++<+++++n n n解析 根据规律，不等式的左边是(n+1)个正整数倒数的平方的和，右边分数的分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以第n 个不等式应该为1122)1(1...2312211++<+++++n n n .15．答案（-1，0）U(1，+∞)解析 设g(x)=x x f )(，则g(x)的导数为2)()(')('x x f x xf x g -=,∵当x>0时，xf'(x)-f(x)>0，即当x>0时，g ’(x)恒大于0,∴当x>0时，函数g(x)为增函数，∵f '(x)为奇函数，∴函数g(x)为定义域上的偶函数，又∵g （-1）=1)1(--f =0，f(x ）>0，∴当x>0时，g(x)>0=g(1)，当x<0时，g(x)<0=g （-1），∴x>1或-1<x<0，故使f(x)>0成立的x 的取值范围是（-1，0）U(1，+∞)， 故答案为（-1，0）U(1，+∞)． 16．答案①②③④解析 ①若实数a ，b ，c 满足a+b+c=3，则用反证法证明，假设a ，b ，c 都小于1，则a+ b+c<3，与已知矛盾，故可得a ，b ，c 中至少有一个不小于1，故①正确；②若z 为复数，且|z|=1．则由|z-i|≤|z|+|-i|=2．可得|z-i|的最大值等于2，故②正确； ③令y=x-sin x ，其导数为y ’=1-cos x ，y ’≥0．∴y=x-sin x 在R 上为增函数，当x=0时，x-sin x=0,∴对任意x ∈(0，+∞)，都有x-sin x>0．故③正确. ④定积分⎰-ππ02dxx 表示以原点为圆心，π为半径的圆的面积的四分之一，故④正确． 三、解答题17．解析由已知得复数：ii i i i i i i i i i i i z +=+=+-++=-+=-++-=-++-=15i 55)2)(2()2)(3(2323322)1(32)1((1)复数z ₁与z 在复平面上所对应的点关于虚轴对称，则它们的实部互为相反数，虚部相等，所以z ₁= -1+i ．(2)因为z ²+az+b= 1-i ，所以（1+i ）²+a(1+i)+6=1-i ，整理得a+b+(2+a)i=1-i ，因为a ，b ∈R ，所以a+b=1，且2+a=-1，解得a=-3，b=4，所以复数z ₂=-3+4i ，所以z ₂的共轭复数为-3-4i ．18．证明 (1)要证)(b a f +)(a b f ≤32，只需证322121≤+++ab ba即证3222≤+++a b a b a b ,即证3222522242≤++++b ab a a ab b ，即证（a-b ）²≥0，这显然成立，∴)(b a f +)(a b f ≤32．(2)假设af(b)，bf(a)都小于或等于21，即212≤+b a ，212≤+a b ，则有2a ≤b+2，2b ≤a+2．两式相加得a+b ≤4．这与a+b>4矛盾，∴af(b)，bf(a)中至少有一个大于21．19．解析 (1)当a=2时，f(x)= xln x-x ²，f ’(x)= In x+1-2x ，因为f(1)=-1，f ’(1)= -1，所以曲线y=f(x)在点（1 ，f(1)）处的切线方程为y= -x.(2)由已知得g(x)=xln x-22x a +(a-1)x ，则g'(x)= In x-ax+a ，记h(x)=g ’(x)=1nx-ax+a,则h(1)=0，h ’(x)=x 1-a=x ax -1．①当a ≤0，x ∈(0，+∞)时，h ’(x)>0，函数g ’(x)单调递增，因为g ’(1)=0，所以当X ∈(0，1)时，g ’(x)<0，当X ∈(1，+∞)时，g ’(x)>0，所以g(x)在x=1处取得极小值，满足题意，②当0<a<1时，则a 1>1．当x ∈(0，a 1)时，h ’(x)>0，故函数g ’(x)单调递增，可得当x ∈ (0，1)时，g ’(x)<0，X ∈(1，a 1)时，g ’(x)>0，所以g(x)在x=1处取得极小值．满足题意．③当a=1时，当x ∈(0，1)时，h ’(x)>0．g ’(x)在(0，1)内单调递增，x ∈(1，+∞)时，h ’(x)<0，g ’(x)在(1，+∞)内单调递减，所以当x ∈(0，+∞)时，g(x)在x=1处取极大值，不合题意，④当a>1．即0<a 1<1时，当x ∈(a 1，1)时，h ’(x)<0，g ’(x)单调递减，g ’(x)>0，当x ∈(1，+∞)时，h ’(x)<0，g ’(x)单调递减，g ’(x)<0，所以g(x)在x=1处取得极大值，不合题意． 综上可知，实数a 的取值范围为（-∞，1）． 20．解析 (1)a ₁=2，a ₂ =3，a ₃ =4，a ₄=5．(2)由(1)猜想a n =n+1．下面用数学归纳法证明： ①当n=1，2，3，4时，由(1)可知猜想成立； ②假设n=k （k ≥4且k ∈N*）时猜想成立，即1+=k a k ，则当n=k+1时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=-++2)1(52)1(21)(211k k a f s k k即即⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=--+-+-+++2)1(52)1(21)2(2)252(2111k k a a a k k k k k ， 化简整理得1)1(21++=+=+k k a k ，∴当n=k+1时猜想成立，综上所述，对任意n ∈N*，a n = n+1成立．21．解析(1)由题意得x ²+4xy= 108a ，即y=(0<x ≤a)．(2)铁皮容器的体积V(x)= x 2y= x 2·V ’(x)=，当0<a ≤36，即a 6≥a 时，在(0，a]上， V ’(x)≥0恒成立，函数V(x)单调递增，此时)108(241)()(maxa a a V x V -==当36<a<108，即a 6<a 时，在(0，a 6）上，V ’(x)>0，函数V(z)单调递增，在(a 6，a]上，V ’(x)<0，函数V(x)单调递减，此时max)(x V =V(a 6)= 108a a ,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤<-<<=,360),108(41,10836,108)(2m axa a a a a a x V22．解析(1)由题意得2)1)(1(222)1(21)('x ax a ax x ax a x f ++-+=+-+=∵f(z ）在x=1处取得极值，∴f ’(1)=0，即0)1(42=+-+a a a ，解得a=1．(2)由(1)知f ’(x)=2)1)(1(22x ax a ax ++-+，∵x≥0，a>0，∴ax+1>0.①当a≥2时，在区间(0，+∞)上，f’(x)>0，∴f(x)的单调增区间为(0，+∞)．②当0<a<2时，令f’(x)>0，解得x>a a-2，令f’(x)<0，解得x< a a-2，∴f(x)的单调减区间为(0，a a-2），单调增区间为（a a-2，+∞）．综上可知，当a≥2时，f(x)的单调增区间为(0，+∞)；当0<a<2时，f(x)的单调减区间为(0，a a-2），单调增区间为（a a-2,+∞）．(3)当a≥2时，由(2)①知，f(x)的最小值为f(0)=1；当0<a<2时，由(2)②知，f(x)在x=a a-2处取得最小值，最小值为f(a a-2）<f(0)=1. 综上可知，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）．。
四平方定理
四平方定理四平方定理是一项重要的数学定理，也被称为费马大定理，它是由法国数学家费马在公元1637年发表的，但费马并没有给出证明。
四平方定理的内容是对于任意正整数n，都可以表示为四个正整数的平方和，即n=a^2+b^2+c^2+d^2（a,b,c,d均为正整数）。
四平方定理在数学研究和实际应用中都有着广泛的用途，例如在密码学中使用了四平方定理的相关理论，还有一些人因为研究四平方定理而获得了诺贝尔奖。
费马大定理的证明历经了三个世纪，1883年，德国数学家克劳迪乌斯给出了基于五次方程的证明，奠定了现代数学证明的基础。
此后，一系列学者不断改进证明，找到了更加完善的方法，1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯通过互联网发表了离散对数算法的论文，证明了四平方定理。
这一研究过程充分展现了数学研究的艰辛，也赢得了人们的赞叹。
四平方定理的表述如下：任何一个正整数都可以表示成不超过四个整数的平方之和。
最显而易见的表现是它可以将有理整数分解为四个平方和数的和。
这个定理在代数理论中占有不可忽略的地位，因为它可以直接引导我们去探究关于表示正整数能否分解为平方数之和的问题。
也为数码的数据变换以及密码加密等领域提供了理论基础，这些应用也同样是人们密切关注的热点问题。
四平方定理在数学领域中具有广泛的应用，尤其在代数理论中有着重要的地位。
它的证明历史也充分展现了数学研究的艰辛与成果。
四平方定理在代数理论中的重要性表现在能够引导数学家对于正整数分解为平方数的和的问题进行探究。
利用四平方定理，可以构造出一些特殊的代数域，如四元数和八元数等，这些代数域的应用广泛于物理学、数学和计算机科学等领域，并且具有重要的理论意义。
在密码学领域中，四平方定理的相关理论也得到了广泛应用。
利用四平方定理，可以将一个大数分解为平方数的和，并将其作为加密算法的关键参数之一，从而提高密码学的安全性。
四平方定理的证明历史也非常丰富。
虽然费马在1637年就提出了该定理，但是他并没有完整的证明，这给后来的数学家们留下了巨大的研究空间和挑战。
七年级数学下22证明举反例的常用方法素材苏科
证明举反例是数学证明过程中的一种常用方法，通过举出一个或多个反例，来查找一个或多个命题的反例，从而说明这些命题在一些特殊情况下是不成立的。
以下是一些常用的方法和素材。
1.大小关系的证明举反例方法：-举出一个较大的数和一个较小的数，通过比较它们的大小来说明命题的不成立。
例如：证明"任意两个整数相加的结果一定是整数"不成立，举出反例：1.2加上2.8结果为4，不是整数。
2.代数式的证明举反例方法：-通过举出一个或多个满足条件的数值来代入代数式中，从而得出反例。
例如：证明"对于任意实数x，有2x^2>0"成立，举出反例：代入x=0，则2x^2=0。
3.几何图形的证明举反例方法：-通过绘制一个或多个图形，观察图形属性的不成立来得出反例。
例如：证明"矩形的对角线长度相等"不成立，举出反例：绘制一个宽和高都不相等的矩形。
4.函数关系的证明举反例方法：-通过举出一个或多个满足条件的数值来代入函数中，观察函数值的不成立来得出反例。
例如：证明"函数y=2x+1在定义域内是单调递增的"不成立，举出反例：代入x=2和x=1，得出y=5和y=3，不是递增的。
5.特殊情况的证明举反例方法：-通过针对特殊条件或特殊情况进行反例的举证。
例如：证明"正整数的平方不可能是负数"成立，举出反例：当正整数为0时，平方为0，不是负数。
6.不等式的证明举反例方法：-通过举出一个或多个满足条件的数值来代入不等式中，观察不等式的不成立来得出反例。
例如：证明"对于任意正实数x和y，有x-y>x+y"不成立，举出反例：代入x=2和y=1，得出1>3，不成立。
以上是七年级数学下证明举反例的常用方法和一些素材。
在使用这些方法时，需要注意观察命题的条件和范围，适用于特定的证明问题。
通过举出反例，我们可以揭示命题错误的地方，有助于提高我们的证明能力。