2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.3圆与圆的位置关系学业分层测评

学业分层测评(二十二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x－10y－7＝0的位置关系是________．【解析】圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0的圆心是C1(－2,2)，半径长r1＝1；圆x2＋y2－4x －10y－7＝0的圆心是C2(2,5)，半径长r2＝6，则|C1C2|＝5＝r2－r1，故两圆内切．【答案】内切
2．两圆相交于点A(1,3)，B(m，－1)，两圆的圆心均在直线l：x－y＋c＝0上，则m ＋c＝________.
【解析】由题意可知，AB⊥l，由于k l＝1，故k AB＝－1，
即3＋1
1－m
＝－1，解得m＝5.又AB的中点在直线l上，故3－1＋c＝0，解得c＝－2，所
以m＋c＝5－2＝3.
【答案】 3
3．两圆x2＋y2＝r2与(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是__________．【解析】由题意，得2r＝32＋ －1 2＝10，
∴r＝10
2
.
【答案】10 2
4．圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4相切，则m的值为________.
【导学号：41292113】【解析】圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径长为3，圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径长为2.当C1，C2外切时有 －2－m 2＋ m＋1 2＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5；当C1，C2内切时有 －2－m 2＋ m＋1 2＝3－2，即m2＋3m＋2＝0，解得m＝－1或m＝－2.
【答案】－5，－2，－1,2
5．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是________________．
【解析】动圆圆心的轨迹是以已知圆的圆心(5，－7)为圆心，以3或5为半径的圆．【答案】(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
6．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋3＝0的公切线有且仅有________条．
【解析】 C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2
＝1， C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝2.
圆心距d ＝C 1C 2＝ 2＋1 2＋ 1＋1 2＝13. d >r 1＋r 2＝1＋2，
∴两圆C 1与C 2相外离有4条公切线．
【答案】 4
7．点P 在圆x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆x 2＋y 2
＋4x ＋2y ＋1＝0上，则PQ 的最小值是__________．
【解析】 若两圆相交或相切，则最小值为0；若两圆外离，则最小值为C 1C 2－r 1－r 2.(x －4)2＋(y －2)2＝9的圆心为C 1(4,2)，半径r 1＝3；(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为C 2(－2，－1)，半径r 2＝2.又C 1C 2＝35，显然两圆外离，所以PQ 的最小值是35－5.
【答案】 35－5
8．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋64＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________.
【解析】 依题意，已知曲线为一个圆，其标准方程为(x －6)2＋(y －6)2＝8，所以所求圆的圆心在直线y ＝x 上，直径为已知圆圆心到直线x ＋y －2＝0的距离减去已知圆半径，即|6＋6－2|2－22＝32，设所求圆的圆心为(a ，b )， 则⎩
⎪⎨⎪⎧ b ＝a ， 6－a 2＋ 6－b 2＝22＋322，
得a ＝b ＝52
， 所以所求圆的标准方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522
＝92. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝92
二、解答题
9．圆C 的半径为3，圆心C 在直线2x ＋y ＝0上且在x 轴的下方，x 轴被圆C 截得的弦长BD 为2 5.
(1)求圆C 的方程；
(2)若圆E 与圆C 关于直线2x －4y ＋5＝0对称，试判断两圆的位置关系．
【解】 (1)设圆心坐标为(a ，－2a )，则圆的方程为(x －a )2＋(y ＋2a )2＝9，
作CA ⊥x 轴于点A ，在Rt △ABC 中，CB ＝3，AB ＝5，
∴CA ＝2，所以|－2a |＝2⇒a ＝±1，
又因为点C 在x 轴的下方，所以a ＝1，
即C (1，－2)，
所以圆的方程为：(x －1)2＋(y ＋2)2
＝9.
(2)点C (1，－2)到直线的距离为 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2＝|2＋8＋5|4＋16
＝352＞3， 所以圆C 与直线2x －4y ＋5＝0相离．
而圆E 与圆C 关于直线2x －4y ＋5＝0对称，
所以圆E 与直线2x －4y ＋5＝0也相离，故两圆相离．
10．设M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2
，a >0}，且M ∩N ≠∅，求a 的最大值和最小值．
【解】 M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，即{(x ，y )|x 2＋y 2＝2a 2，y ≥0}，表示以原点O 为圆心，半径等于2a 的半圆(位于横轴或横轴以上的部分)． N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}，表示以O ′(1，3)为圆心，半径等于a 的一个圆．
再由M ∩N ≠∅，可得半圆和圆有交点，故半圆和圆相交或相切．
当半圆和圆相外切时，由OO ′＝2＝2a ＋a ， 求得a ＝22－2；
当半圆和圆相内切时，由OO ′＝2＝2a －a ，
求得a ＝22＋2，
故a 的取值范围是[22－2,22＋2]，
a 的最大值为22＋2，最小值为22－2.
[能力提升]
1．圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：(x －1)
2
＋(y －1)2＝254
截得的弦长是__________． 【解析】 圆C 1，C 2方程相减得公共弦所在的直线方程为x ＋y －1＝0，则圆心C 3(1,1)到直线的距离d ＝|1＋1－1|2
＝22，所以所求弦长为2r 2－d 2＝2×254－12＝23. 【答案】 23 2．设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝________.
【解析】 依题意，可设圆心坐标为(a ，a )，半径为r ，其中r ＝a >0，因此圆的方程是(x －a )2＋(y －a )2＝a 2，由圆过点(4,1)得(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，即a 2
－10a ＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C 1，C 2的横坐标，|C 1C 2|＝2×102－4×17＝8.
【答案】 8
3．过点A (4，－1)，且与圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0相切于点B (1,2)的圆的方程是________.
【解析】 圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0的圆心为(－1,3)，半径为5，所以两圆的圆心连
线的方程为y －2＝－12
(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 设要求的圆的圆心为(x ，y )， 则 x －4 2＋ y ＋1 2＝ x －1 2＋ y －2 2，
化简得x －y －2＝0即圆心所在直线方程，联立两条直线方程得圆心坐标为(3,1)，半径为5，即所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5.
【答案】 (x －3)2＋(y －1)2＝5
4．已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l ：x －y ＋10＝0上．
(1)若动圆C 过点(－5,0)，求圆C 的方程；
(2)是否存在正实数r ，使得动圆C 满足与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有且仅有一个？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
【解】 (1)依题意，可设动圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝25，其中圆心(a ，b )满足a －b ＋10＝0.
又因为动圆过点(－5,0)，故(－5－a )2＋(0－b )2＝25.
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋10＝0， －5－a 2＋ 0－b 2＝25，
得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－10，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－5，b ＝5，
故所求圆C 的方程为(x ＋10)2＋y 2
＝25或(x ＋5)2＋(y －5)2＝25.
(2)圆O 的圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|10|2
＝5 2. 当r 满足r ＋5<d 时，动圆C 中不存在与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相切的圆；
当r 满足r ＋5＝d ，即r ＝52－5时，动圆C 中有且仅有一个圆与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切；当r 满足r ＋5>d ，即r >52－5时，与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有两个． 综上，当r ＝52－5时，动圆C 中满足与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有且仅有一个．。