【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习 专题五 第2讲 空间中的平行与垂直配套课件 理

思 和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、 维 升 长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意 华
平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中.
变式训练1
对于平面α，β，γ和直线a，b，m，n，下列命题中真命 题是( ) A.若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥α B.若α⊥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b C.若a∥b，b⊂α，则a∥α
(2)当x变化时，求三棱锥D－BCF的体积f(x)的函数式
. 解 因为 AE⊥EF ，平面 AEFD⊥ 平面 EBCF ，交线
为EF，AE⊂平面AEFD，
所以AE⊥平面EBCF.
由(1)知，DH⊥平面EBCF，故AE∥DH， 所以四边形AEHD是矩形，DH＝AE， 故以B，F，C，D为顶点的三棱锥D－BCF的高 DH＝AE＝x.
分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点， 将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD， 如图(2).
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)求证：DE∥平面A1CB；
思维启迪
折叠问题要注意在折叠过程中，哪些量变化了，哪些
量没有变化.第(1)问证明线面平行，可以证明DE∥BC；
证明
因为D，E分别为AC，AB的中点，
所以DE∥BC.
又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，
所以DE∥平面A1CB.
(2)求证：A1F⊥BE；
思维启迪
第 (2) 问证明线线垂直转化为证明线面垂直，即证明
A1F⊥平面BCDE；
证明 由题图(1)得AC⊥BC且DE∥BC，
所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.
所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，
专题五 立体几何
第 2讲
空间中的平行与垂直
主干知识梳理
热点分类突破
真题与押题
1.以选择、填空题的形式考查，主要利用平面的 基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定 理对命题的真假进行判断，属基础题. 2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与
考 情 面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱 解 柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考 读
1 1 又 S△BCF＝ BC· BE＝ ×4×(4－x)＝8－2x， 2 2
1 所以三棱锥 D－BCF 的体积 f(x)＝ S△BFC· DH 3 1 1 ＝ S△BFC· AE＝ (8－2x)x 3 3
22 8 ＝－ x ＋ x(0<x<4). 3 3
本讲规律总结 1.证明线线平行的常用方法
解析
A：应该是b∥α或b⊂α；
B：如果是墙角出发的三个面就不符合题意； C：α∩β＝m，若a∥m时，满足a∥α，a∥β，但是 α∥β不正确，所以选D. 答案 D
(2)平面α∥平面β的一个充分条件是(
A.存在一条直线a，a∥α，a∥β B.存在一条直线a，a⊂α，a∥β
)
C.存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D.存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
真题与押题
真题感悟
押题精练
1
2
真题感悟
1.(2014· 辽宁 )已知 m， n表示两条不同直线， α 表示
平面.下列说法正确的是( )
A.若m∥α，n∥α，则m∥n
B.若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C.若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D.若m∥α，m⊥n，则n⊥α
1
2
真题感悟
解析 方法一
若m∥α，n∥α，
(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后
的变化量和不变量 . 一般情况下，折线同一侧线
段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，
思 维 (2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形， 升 华 既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形
抓住不变量是解决问题的突破口.
.
变式训练3
如图(1)，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝ π ，
AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平
面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和
F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
(1)PA⊥底面ABCD；
思维启迪 利用平面PAD⊥底面ABCD的性质，得线面垂直；
证明
因为平面PAD⊥底面ABCD，
且PA垂直于这两个平面的交线AD，
所以PA⊥底面ABCD.
A项中，若m为A′B′，n为B′C′， 满足m∥α，n∥α， 但m与n是相交直线，故A错. B项中，m⊥α，n⊂α，
∴m⊥n，这是线面垂直的性质，故B正确.
1
(2)平面BCE⊥平面CDE.
证明 ∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，
∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF. 又CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE. ∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE. ∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.
热点三
图形的折叠问题
例3
如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E
证明 如图，取CE的中点G，连接FG，BG. ∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝ ∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB. 又AB＝ 1 DE，∴GF＝AB. ∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG. ∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，
1 DE. 2
2
∴AF∥平面BCE.
a⊂β b⊂β a∩b＝O
质定理
α∥β α∩γ＝a ⇒a∥b
β∩γ＝b
提醒 使用有关平行、垂直的判定定理时，要注意 其具备的条件，缺一不可.
3.平行关系及垂直关系的转化
热点分类突破
热点一
热点二 热点三
空间线面位置关系的判定
平行、垂直关系的证明 图形的折叠问题
热点一
连接BH，GH， 因为平面AEFD⊥平面EBCF，交
线为EF，DH⊂平面AEFD，
所以DH⊥平面EBCF，又EG⊂平面EBCF，
故EG⊥DH.
因为EH＝AD＝ 1BC＝BG＝2，BE＝2，EF∥BC， ∠EBC＝90°，2
所以四边形BGHE为正方形，故EG⊥BH. 又BH，DH⊂平面DBH，且BH∩DH＝H， 故EG⊥平面DBH. 又BD⊂平面DBH，故EG⊥BD.
5.证明线面垂直的常用方法
(1) 利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化
为证明线线垂直；
(2) 利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为
证面面垂直；
(3) 利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个
平面，则另一条也垂直于这个平面.
6.证明面面垂直的方法 证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面 过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线 面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样 的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决.
则m，n可能平行、相交或异面，A错； 若 m⊥α ， n⊂α ，则 m⊥n ，因为直线与平面垂直时， 它垂直于平面内任一直线，B正确； 若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C错； 若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也 可能n⊂α，D错.
1
2
真题感悟
方法二
如图，在正方体ABCD－
A′B′C′D′中，用平面ABCD表示α.
a⊥ α ⇒a∥b b⊥ α
质定理
2.面面平行与垂直的判定定理、性质定理
面面垂
直的判 定定理 面面垂 直的性
a⊥ α ⇒α⊥β a⊂β
α⊥β α∩β＝c a⊂α a⊥ c
质定理
⇒ a ⊥ β
面面平
行的判 定定理
面面平
行的性
⇒α∥β a∥α，b∥α
查，难度中等．
3
主干知识梳理 1.线面平行与垂直的判定定理、性质定理
线面平 行的判
定定理
线面平 行的性 质定理
a∥ b b⊂α ⇒a∥α a⊄α
a∥ α a⊂β ⇒a∥b α∩β＝b
线面垂 a⊂α，b⊂α 直的判
定定理
线面垂 直的性
a∩b＝O ⇒l⊥α l⊥a，l⊥b
思 维 (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 升 (4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转 华
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
化为证明线线垂直.
变式训练2
如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥
平面ACD，△ACD为等边三角形，AD
＝DE＝2AB，F为CD的中点.
求证：(1)AF∥平面BCE；
(1) 利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直
线平行；
(2)利用平行四边形进行转换；
(3)利用三角形中位线定理证明； (4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明.
2.证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证 线线平行； (2)利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证 面面平行.
(2)BE∥平面PAD； 证明
思维启迪
BE∥AD易证；
因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以四边形ABED为平行四边形. 所以BE∥AD. 又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以BE∥平面PAD.
(3)平面BEF⊥平面PCD. 证明
思维启迪 EF是△CPD的中位线.
因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.
所以BE⊥CD，AD⊥CD， 由(1)知PA⊥底面ABCD.
所以PA⊥CD.
所以CD⊥平面PAD.
所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF.所以CD⊥EF.