哈九中高一数学上学期考试
哈尔滨市第九中学2022-2023学年高一上数学期末学业质量监测试题含解析
C.152D.156
9．已知函数：①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x－1；④y＝ ；则下列函数图像(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序是( )
A.②①③④B.②③①④
C.④①③②D.④③①②
10．已知 ，则 （）.
A. B.
C. D.
11．已知空间直角坐标系 中，点 关于 轴的对称点为 ，则 点的坐标为
【详解】∵ 为钝角，且 ，
∴ ，
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查同角的平方关系，考查和角的余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6、C
【解析】求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体积．
【详解】设底面半径为r，则 ，所以 .
所以圆锥 高 .
所以体积 .
A. B.1
C. D.2
5．已知 为钝角，且 ，则 （）
A. B.
C. D.
6．半径为 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（）
A. B.
C. D.
7．已知 ，若 ，则
A.1B.2
C.3D.4
8．有位同学家开了个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计得到一天所卖的热饮杯数(y)与当天气温(x℃)之间的线性关系，其回归方程为 ＝－2.35x＋147.77．如果某天气温为2℃，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数是
故选：A.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、 ##
【解析】由 可得 时，函数 取最小值，由此可求 .
【详解】 ，其中 ， ．因为 ，所以 ， ，解得 ， ，则
故答案为： .
14、
【解析】根据二次函数的性质，结合给定的区间求最大值即可.
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高一上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高一上学期期末数学试题一、单选题1．所有与角α的终边相同的角可以表示为()360k k α⋅︒+∈Z ，其中角α（ ） A ．一定是小于90°的角 B ．一定是第一象限的角 C ．一定是正角 D ．可以是任意角【答案】D【分析】由终边相同的角的表示的结论的适用范围可得正确选项.【详解】因为结论与角α的终边相同的角可以表示为()360k k α⋅︒+∈Z 适用于任意角，所以D 正确， 故选：D.2．函数()2tan(3)2f x x π=+的最小正周期为A ．2πB ．4πC ．2D ．4【答案】C【详解】分析：根据正切函数的周期求解即可． 详解：由题意得函数的最小正周期为22T ππ==．故选C ．点睛：本题考查函数tan()(0)y A x ωϕω=+>的最小正周期，解答此类问题时根据公式T πω=求解即可． 3．已知角A 是ABC 的内角，则“sin A =是“4A π=”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】在ABC中，由sin A =A ，再利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.【详解】因角A 是ABC 的内角，则0πA <<，当sin A =4A π=或34A π=，即sin A =4A π=，若4A π=，则sin sin4A π==，所以“sin A =是“4A π=”的必要不充分条件.故选：C4．已知1sin cos 3αα-=-，则sin cos αα=（ ）A ．49B ．49-C ．23D ．23-【答案】A【分析】根据()21sin cos 12sin cos 9αααα-=-=求解即可. 【详解】()21sin cos 12sin cos 9αααα-=-=， 解得：4sin cos 9αα=.故选：A5= A ．sin2+cos2 B ．sin2-cos2C ．cos2-sin2D ．± (cos2-sin2)【答案】A【分析】利用诱导公式化简根式内的式子，再根据同角三角函数关系式及大小关系，即可化简．【详解】根据诱导公式，化简得又因为20,22sin sin cos >>且22sin cos =+所以选A【点睛】本题考查了三角函数式的化简，关键注意符号，属于中档题． 6tan15tan15的值为（）AB ．1CD ．2【答案】B【解析】根据正切的差角公式逆用可得答案． ()tan151tan15tan 45tan15333tan 4515tan151tan151tan 45t 1an15=--=⨯=⨯=-++⨯，故选：B ．7．如图是函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象，则其解析式是（ ）A ．()3sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】通过函数的图象可得到：A =3，T π=，22πωπ==，则()()3sin 2f x x ϕ=+，然后再利用点,312π⎛⎫⎪⎝⎭在图象上求解.，【详解】由函数的图象可知：A =3，T π=，22πωπ==，所以()()3sin 2f x x ϕ=+， 又点,312π⎛⎫⎪⎝⎭在图象上，所以3sin 2312πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即πsin φ16， 所以262k ππϕπ+=+，即23k πϕπ=+，因为2πϕ<，所以3πϕ=所以()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题主要考查利用三角函数的图象求解析式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．已知函数()22sin 24f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.若关于x 的方程()2f x m -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．12⎡⎢⎣B ．⎣C ．[]0,1D ．2⎤⎥⎣⎦【答案】C【分析】先对函数化简变形，然后由()2f x m -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，可知min max ()2()f x m f x ≤+≤，所以只要求出()f x 在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上即可【详解】()22sin 24f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1cos 222π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭x xsin 221x x =+2sin 213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得22,363x πππ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1sin 2123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，所以22sin 2133x π⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭，即2()3f x ≤≤，由()2f x m -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，可知min max ()2()f x m f x ≤+≤，所以223m ≤+≤，得01m ≤≤， 氢实数m 的取值范围是[]0,1， 故选：C 二、多选题9．下列命题中正确的是（ ）A ．函数tan y x =的定义域是,2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭ B ．sin 420cos420︒>︒C ．若sin sin αβ=，则α与β的终边相同D ．sin y x =不是周期函数【答案】BD【分析】对选项A ，根据正切函数的定义域即可判断A 错误；对选项B ，根据三角函数值即可判断B 正确；对选项C ，利用特值法即可判断C 错误，对选项D ，利用反证法即可判断D 正确.【详解】对选项A ，函数tan y x =的定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，故A 错误，对选项B ，3sin 420sin 602︒==1cos 420cos602︒==，所以sin 420cos420︒>︒，故B 正确；对选项C ，sin 30sin150=，30与150终边不相同，故C 错误； 对选项D ，假设()sin f x x =是周期函数，T 是它的一个周期()0T >， 即对任意x ∈R 都有sin sin x T x +=，令0x =，得sin sin 00T ==，解得T n π=，*n N ∈.若2n k =，*k N ∈，2T k π=，则sin 2sin x k x π+=对任意x ∈R 都成立. 令2x π=-，2sin 2sin 21222f k k k ππππππ⎛⎫⎛⎫-+=-+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin sin 1222f πππ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭，222f k f πππ⎛⎫⎛⎫-+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2T k π=，*k N ∈不是函数()sin f x x =的周期.若21n k =+，k ∈N ，()21T k π=+，则sin 2sin x k x ππ++=对任意x ∈R 都成立.令4x π=，()()21sin 2144f k k ππππ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭sin 44f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭()2144f k f πππ⎛⎫⎛⎫++≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()21T k π=+，k ∈N 不是函数()sin f x x =的周期. 综上sin y x =不是周期函数，故D 正确. 故选：BD10．定义：在平面直角坐标系xOy 中，若存在常数()0ϕϕ>，使得函数()y f x =的图象向右平移ϕ个单位长度后，恰与函数()y g x =的图象重合，则称函数()y f x =是函数()y g x =的“原形函数”.下列四个选项中，函数()y f x =是函数()y g x =的“原形函数”的是（ ）A ．()2f x x =，()221g x x x =-+B ．()sin f x x =，()cos g x x =C ．()ln f x x =，()ln 2x g x = D ．()3x f x =，()31xg x =-【答案】AB【分析】AB 选项可以通过向右平移()f x 得到()g x ，C 选项通过伸缩变换得到，D 选项通过上下平移得到.【详解】A 选项，()2f x x =向右平移1个单位长度后，得到()()22121h x x x x =-=-+，故与()221g x x x =-+重合，故A 正确；B 选项，()sin f x x =向右平移3π2个单位长度后，得到()3πsin cos 2h x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故与()cos g x x =重合，故B 正确；C 选项，()ln f x x =纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到()ln 2x g x =，故C 错误；D 选项，()3x f x =向下平移1个单位长度后得到()31xg x =-，故D 错误.故选：AB11．设函数()cos2sin 2f x x x =+，则下列选项正确的有（ ） A ．()f x 的最小正周期是πB ．()f x 满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()f x 在[],a b 上单调递减，那么b a -的最大值是2πD ．()f x 【答案】ACD【分析】首先根据题意得到()24f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再依次判断选项即可.【详解】()cos 2sin 224f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，对选项A ，22T ππ==，故A 正确；对选项B ，3144f ππ⎛⎫=⎪⎝= ≠⎭所以4x π=不是()cos2sin 2f x x x =+的对称轴，即()f x 不满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对选项C ，因为()f x 在[],a b 上单调递减，所以22T b a π-≤=， 即b a -的最大值是2π，故C 正确；对选项D ，()cos 2sin 224f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x D 正确. 故选：ACD12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(A ，若将点A 绕原点按顺时针旋转θ弧度，得到点()00,B x y ，记()00f x y θ=+，()002g x y θ=，则下列结论错误的有（ ）A ．()12f πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．不存在θ，使得()f θ与()g θ均为整数C ．()()282f g θθ-=D ．存在某个区间()(),a b a b <，使得()f θ与()g θ的单调性相同 【答案】BC【分析】利用三角函数的定义求出点B 的坐标，进而可得出()f θ与()g θ的表达式，结合三角函数恒等变换与三角函数的基本性质可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，()1,3A ，即A 为角3π终边上一点，2cos ,2sin 33B ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，02cos 3x πθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，02sin 3y πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0072sin 2cos 333412f x y πππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=-+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2cos 21212πππθθ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 对；对于B 选项，当3πθ=时，()2,0B ，()2f θ=，()0g θ=，都为整数，B 错；对于C 选项，()()()22220000000000816216f g x y x y x y x y x y θθ-=+-=++- 24142cos 2sin 428sin 22333πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-⨯-=--≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 错；对于D 选项，()222cos 2sin 4sin 2333g πππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅--=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由22232πππθ-<-<，可得71212ππθ<<，()g θ∴在7,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减由012ππθ-<-<，可得131212ππθ<<，所以，()f θ在13,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，因为177,,11212123221,12ππππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎛⎫= ⎭⎝⎝⎪⎝⎭，所以，当12a π=，712b π=时，()f θ与()g θ都在(),a b 上单调递减，D 对.故选：BC. 三、填空题13=，则α的终边所在的象限为______．【答案】第一或第三象限 【分析】sin sin αα=cos cos αα=，二者相等，只需满足sin α与cos α同号即可，从而判断角所在的象限.【详解】sin sin αα=cos cos αα=，=，只需满足sin cos 0αα>，即sin α与cos α同号，因此α的终边在第一或第三象限. 故答案为：第一或第三象限. 14．已知()()()()()sin cos 2cos sin cos 2f παπααπαπαα-⋅-=⎛⎫+⋅+⋅- ⎪⎝⎭，则6f π⎛⎫⎪⎝⎭=___________. 【答案】2【分析】根据诱导公式化简，即可得到()1sin f αα=，由此即可求出6f π⎛⎫⎪⎝⎭. 【详解】因为()()()()()()sin cos 2sin cos 1sin sin cos sin cos sin cos 2f παπααααπαααααπαα-⋅-⋅===-⋅-⋅⎛⎫+⋅+⋅- ⎪⎝⎭，所以6612sin f ππ⎛⎫= ⎪⎭=⎝. 故答案为：2. 15．若1tan tan θθ+=sin 2θ=__________．【详解】因为1tan θtan θ+=221sin cos sin cos 2tan tan cos sin sin cos sin 2θθθθθθθθθθθ++=+=== ，所以sin2θ=16．据资料统计，通过环境整治.某湖泊污染区域的面积()2km S 与时间t （年）之间存在近似的指数函数关系，若近两年污染区域的面积由20.16km 降至20.04km ．则使污染区域的面积继续降至20.01km 还需要_______年． 【答案】2【分析】根据已知条件，利用近两年污染区域的面积由20.16km 降至20.04km ，求出指数函数关系的底数，再代入求得污染区域将至20.01km 还需要的年数.【详解】设相隔为t 年的两个年份湖泊污染区域的面积为1S 和2S ，则可设12tS S a =由题设知，10.16S =，20.04S =，2t =，即20.160.04a ⨯=，解得2a =，122tS S ⋅∴=假设需要x 年能将至0.04，即10.04S =，20.01S =，0.04012.0t =∴⨯，解得2t = 所以使污染区域的面积继续降至20.01km 还需要2年. 故答案为：2 四、解答题17．（1）已知tan 2α=，求sin 4cos 5sin 2cos αααα-+的值.（2）已知3sin 5α=-，α是第四象限角，cos β=，3,2βππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()sin αβ+.【答案】（1）16-（2 【分析】（1）由正余弦的齐次式化为正切即可求值； （2）由同角的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求解. 【详解】（1）tan 2α=sin 4cos tan 4215sin 2cos 5tan 2126αααααα---∴===-++.（2）3sin 5α=-，α是第四象限角，4cos 5α∴==，cos =β，3,2βππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1sin 2β∴==-，()341sin sin cos cos sin (552⎛⎫∴+=+=-⨯+⨯-=⎪⎝⎭αβαβαβ18．已知函数()12sin 26x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R .(1)运用五点作图法在所给坐标系内作出()f x 在11,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦内的图像（画在答题卡上）；(2)求函数()f x 的对称轴，对称中心和单调递增区间. 【答案】(1)详见解析 (2)函数()f x 的对称轴为()223x k k Z ππ=+∈，； 对称中心为()23k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，0，；单调递增区间为：()42-2233k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，， 【分析】(1)五点法作图；(2)整体代入求对称轴，对称中心，单调递增区间. (1) 列表：x3π-23π53π83π 113π12x6π-26π56π86π116π126x π+2ππ32π2π1sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 0 10 -112sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 0 2 0 -2 0描点画图：(2) 求对称轴：()1262x k k Z πππ+=+∈， ，()223x k k Z ππ=+∈， 故函数()f x 的对称轴为()223x k k Z ππ=+∈， 求对称中心：()126x k k Z ππ+=∈，，()23x k k Z ππ=-+∈，故函数()f x 的对称中心为()23k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，0， 求单调递增区间：()1-2622x k k k Z πππππ⎛⎫⎛⎫+∈++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，()42-2233x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，， 故函数()f x 的单调递增区间为：()42-2233k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，，19．已知函数()sin f x x x =．(1)求不等式()1f x ≤的解集；(2)将()f x 图像上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再将所得图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像．求()g x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域． 【答案】(1)112,226k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.(2)⎡-⎣.【分析】（1）利用辅助角公式化简函数()f x 的解析式，根据正弦函数的性质可求得答案；（2）根据函数的图象变换得到函数()g x 的解析式，再由正弦函数的性质可求得()g x 的值域.(1)解：因为()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，∴()1f x ≤，即1sin 32x π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭， 所以51322636k x k πππππ+≤+≤+，即112226k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， ∴()1f x ≤的解集为112,226k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． (2)解：由题可知()2sin 22sin 2333x x g x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当33x ππ-≤≤时，233x πππ-≤-≤，所以1sin 232x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭22sin 23x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭所以()g x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡-⎣．20．已知02πβα<<<，___________，()13cos 14βα-=.从①tan α=②tan 2α=③7sin 2αα=中任选一个条件，补充在上面问题中，并完成题目.(1)求sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值 (2)求β.【答案】(2)3π 【解析】(1)02πβα<<<，sin 0α∴>，cos 0α>，若选①tan α=222222sin tan 4848sin sin cos 1tan 48149αααααα====+++，则sin α=1cos 7α=． 若选②tan 2α=，则222tan 222tan 1tan 11244ααα=====---⎝⎭ 则222222sin tan 4848sin sin 1tan 48149cos αααααα====+++，则sin α=1cos 7α=． 若选③7sin 2αα=，则14sin cos ααα=，cos 0α≠，sin α∴=1cos 7α=．综上sin α=，1cos 7α=．1sin()sin cos cos sin )4447πππααα+=+=+(2)02πβα<<<，∴2πβ-<-<0，02αβπ∴<-<，13cos()14αβ-=，sin()αβ∴- sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ∴=--=---131147- 3πβ∴=．21．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示）,该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD ,BC 的两条线段围成．设圆弧AB 和圆弧CD 所在圆的半径分别为12,r r 米,圆心角为θ（弧度）．(1)若3πθ=,123,6r r ==,求花坛的面积；(2)设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题,已知直线部分的装饰费用为60元/米,弧线部分的装饰费用为90元/米,预算费用总计1200元,问线段AD 的长度为多少时,花坛的面积最大？【答案】（1）()292m π；（2）当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大.【分析】(1)根据扇形的面积公式,求出两个扇形面积之差就是所求花坛的面积即可；(2)利用弧长公式根据预算费用总计1200元可得到等式,再求出花坛的面积的表达式,结合得到的等式,通过配方法可以求出面积最大时, 线段AD 的长度.【详解】(1)设花坛的面积为S 平方米.22211122S r r θθ=- 113692323ππ=⨯⨯-⨯⨯()292m =π 答：花坛的面积为()292m π；(2) 圆弧AB 的长为1r θ米，圆弧CD 的长为2r θ米，线段AD 的长为21()r r -米由题意知()()2112602901200r r r r θθ⋅-++=，即()()21214340r r r r θθ-++= ，()()22212121111222S r r r r r r θθθθ=-=+-， 由式知，()212140433r r r r θθ+=--， 记21,r r x -=则010x << 所以1404233S x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=()()225050,1033x x --+∈， 当5x =时，S 取得最大值，即215r r -=时，花坛的面积最大，答：当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大.【点睛】本题考查了弧长公式和扇形面积公式,考查了数学阅读能力,考查了数学运算能力.22．已知函数()4lg 4x f x x -=+，()1212xx g x -=+，设()()()1h x f x g x =+- (1)求()()22h h +-的值；(2)是否存在这样的负实数k ，使()()22cos cos 20h k h k θθ-+-+≥对一切R θ∈恒成立，若存在，试求出k 取值集合；若不存在，说明理由.【答案】(1)2-；(2)存在，{}21k k -<≤-.【分析】（1）由题可得()412lg 4112xxh x x x --+++=-，代入即得； （2）由题可得函数()4lg 4x f x x -=+，()1212xx g x -=+，为奇函数且在()4,4-上单调递减，构造函数()()()()1F x f x g x h x =+=+，则可得()()22cos cos F k F k θθ-≥-恒成立，进而可得2222cos cos cos 4cos 40k k k k k θθθθ⎧-≤-⎪>-⎪⎨<+⎪⎪<⎩，对R θ∀∈恒成立，即求. (1)∵函数()4lg 4x f x x -=+，()1212xxg x -=+， ∴()412lg 4112xxh x x x --+++=-， ∴()()222242124212lg lg 421242221112h h ----+-++++-+⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭ 133lg l 112g3355-+=-+-=-. (2)∵()4lg4x f x x -=+， 由404x x ->+，得()4,4x ∈-， 又48144x x x-=-++在()4,4-上单调递减，lg y x =在其定义域上单调递增， ∴()4lg4x f x x -=+在()4,4-上单调递减， 又()()44lglg 44x x f x f x x x +--==-=--+， ∴()4lg 4x f x x-=+为奇函数且单调递减； ∵()1221,R 1212x x x g x x -==-∈++，又函数12x y =+在R 上单调递增，∴函数()1212xxg x -=+在R 上单调递减， 又()()12211212x x x xg x g x -----===-++， ∴函数()1212xxg x -=+为奇函数且单调递减； 令()()()()1F x f x g x h x =+=+，则函数()F x 在()4,4-上单调递减，且为奇函数，由()()22cos cos 20h k h k θθ-+-+≥，可得()()22cos 1cos 1h k h k θθ⎡⎤-+≥--+⎣⎦， 即()()()2222cos cos cos F k F k F k θθθ-≥--=-恒成立，∴2222cos cos cos 4cos 40k k k k k θθθθ⎧-≤-⎪->-⎪⎨-<⎪⎪<⎩，即2222cos cos cos 4cos 40k k k k k θθθθ⎧-≤-⎪>-⎪⎨<+⎪⎪<⎩，对R θ∀∈恒成立， 故222340k k k k k ⎧-≤-⎪>-⎪⎨<⎪⎪<⎩，即21k -<≤-， 故存在负实数k ，使()()22cos cos 20h k h k θθ-+-+≥对一切R θ∈恒成立，k 取值集合为{}21k k -<≤-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造奇函数()()()()1F x f x g x h x =+=+，从而问题转化为2222cos cos cos 4cos 40k k k k k θθθθ⎧-≤-⎪->-⎪⎨-<⎪⎪<⎩，对R θ∀∈恒成立，参变分离后即求.。
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高一上学期期中考试数学试题
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高一上学期期中考试数学试题1. 已知集合A ={x|x ≤1}，B ={−1,0,1,2}，则A ∩B =（ ）A ． {0,1,2}B ． {x|x ≤2}C ． {−1,0,1}D ． [−1,1]2. 将23=8化为对数式正确的是（ ）A ． log 23=8B ． log 28=3C ． log 82=3D ． log 32=83. 函数y =a x −1a （a >0，且a ≠1）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 已知函数f(x)=−x|x|，则在区间(0,+cx)上（ ）A ． f(x)>0 恒成立B ． f(x) 有最小值C ． f(x) 单调递增D ． f(x) 单调递减5. 已知函数f(x)为R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 2−2x ，则当x <0时，f(x)的解析式为（ ）A ． −x 2−2xB ． −x 2+2xC ． x 2+2xD ．以上都不对6. 已知幂函数f(x)的图象过点(2,12)，则函数g(x)=(x 2+3x +1)·f(x)在区间[12,1]上的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67. 在R 上定义新运算|abcd|=ad −bc ，若存在．．实数x ∈[0,1]，使得|x −4m1x|≥0成立，则m 的最大值为（ ）A ． 0B ． 1C ． −3D ． 38. 已知函数f(x)是定义域为R 的偶函数，且在(−∞,0]上单调递减，设g(x)=f(x +1)，若a =g(−π)，b =g(2−1)，c =g(−1)，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ． c <b <aB ． a <b <cC ． b <a <cD ． c <a <b9. 已知1≤a −b ≤2,2≤a +b ≤4，则a 的取值可以为（ ）A．1 B．52C．3 D．410.下列说法正确的是（）A．“ a>b”是“ |a|>|b|”的充分不必要条件B．命题“ ∃x∈(−3,+∞)，x2≤9”的否定是“ ∀x∈(−3,+∞)，x2>9”C．若a>b，则a3−b3>a2b−ab2D．若f(x)关于点(1,0)中心对称，则f(2−x)+f(x)=011.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数f(x)={1,x∈Q0,x∈C R Q，称为狄利克雷函数，则关于f(x)，下列说法正确的是（）A．f(√2)=1B．f(x)的定义城为RC．∀x∈R，f(f(x))=1D．f(x)为偶函数12.已知函数f(x)的定义域为D，若存在区间[m，n]⊆D使得f(x)：（1）f(x)在[m,n]上是单调函数；（2）f(x)在[m,n]上的值域是[2m,2n]，则称区间[m,n]为函数f(x)的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（）A．f(x)=x2B．f(x)=1xC．f(x)=x+1x D．f(x)=3xx2+113.已知函数f(x)=x2−2mx在[2,+∞)上单调递增，则实数m的取值范围为________.14.已知函数f(x)=x2−2x,x∈[0,b]，且该函数的值域为[−1,3]，则b的值为_____.15.设函数f(x)={x 12+1,x>02x,x≤0，则f(f(−4))=___________．16.哈尔滨某商场举办优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券.一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下：优惠券1：若标价超过100元，则付款时减免标价的10%；优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%.如果顾客购买商品后，使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是______元.17.已知集合A={x|a−2<x<a+2}，集合B={x|12≤2x≤32}；(1)若a=−1，求A∩B与(C R A)∪B；(2)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求a的取值范围.(x≠0,m,n∈R)且f(1)=3，f(2)=5.18.已知函数f(x)=mx2+nx(1)求f(x)的解析式；(2)证明f(x)在(1,+∞)上单调递增.19.已知定义在R上的函数f(x)满足∀x、y∈R，f(x+y)=f(x)+f(y)；∀x>0，f(x)>0.(1)求f(0)的值；(2)证明f(x)是R上的增函数；(3)若f(a+2)<f(6−a)，求a的取值范围.20.设函数f(x)=x2−(a+1)x+a，a∈R.(1)解关于x的不等式f(x)<0；(2)已知x∈[1,5]时，f(x)≥a−4恒成立，求a的取值范围.21.为减少空气污染，某市鼓励居民用电（减少粉尘），并采用分段计费的方法计算电费．当每个家庭月用电量不超过100千瓦时时，按每千瓦时0.57元计算；当月用电量超过100千瓦时时，其中的100千瓦时仍按原标准收费，超过的部分按每千瓦时0.5元计算．（1）设月用电x千瓦时时，应交电费y元，写出y关于x的函数关系式；（2）若某家庭一月份用电120千瓦时，则应交电费多少元？（3）若某家庭第一季度缴纳电费的情况如下表：22.已知指数函数y=a x(a>0,a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为6；(1)求a的值；(2)求f(x)=a2x+m·a x+1在[0,1]上的最大值，井将结果表示成一个关于m的分段函数g(m)；(3)设ℎ(x)=a2xa2x+2，求ℎ(12023)+ℎ(22023)+⋯+ℎ(20222023)的值.。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高一上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高一上学期期中数学试题一、单选题1．一次函数1y x =+与21y x =-的图像交点组成的集合是（ ） A ．{}2,3 B ．{}2,3x y ==C ．(){}2,3D ．(){}3,2【答案】C【分析】联立两函数方程求出交点，用点的集合表示即可.【详解】联立方程组121y x y x =+⎧⎨=-⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，所以两函数图象的交点组成的集合是{(2,3)}. 故选：C.2．“0x =”是“20x x +=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件与必要条件定义判断.【详解】充分性：当0x =时，20x x +=，充分性成立；必要性：20x x +=解得0x =或=1x -，必要性不成立；故为充分不必要条件 故选：A3．在0~2π范围内与2π3-终边相同的角是（ ）A ．2π3B ．4π3C ．π3D ．5π6【答案】B【分析】根据与角2π3-终边相同的角是22ππ3k - ，Z k ∈ ，求出结果．【详解】与角2π3-终边相同的角是22ππ3k -，Z k ∈，令k ＝1，可得与角2π3-终边相同的角是4π3，故选：B ．4．牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为0T ，则经过一定时间t （单位：分钟）后的温度T 满足()012t ha a T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，其中a T 是环境温度，h 称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从降至75℃开始大约还需要等待（ ）（参考数据：lg30.4771≈，lg50.6990≈，lg11 1.0414≈） A ．3分钟 B ．5分钟 C ．7分钟 D ．9分钟【答案】B【分析】根据已知条件代入公式计算得到1101112h⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把该值代入，利用对数的运算即可求得结果.【详解】根据题意，()11752580252h ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1101112h⎛⎫= ⎪⎝⎭ 设茶水从75℃降至55℃大约用时t 分钟，则()1552575252ht ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即3152ht⎛⎫= ⎪⎝⎭，即310511t⎛⎫= ⎪⎝⎭ 两边同时取对数：()31010lg lg lg 1lg1151111tt t ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得lg3lg50.47710.699051lg111 1.0414t --=≈≈--.故选：B.5．函数()3log 23f x x x =+-零点所在区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【分析】由零点存在定理直接判断.【详解】函数()3log 23f x x x =+-的定义域为()0,∞+，且连续. 因为3log y x =在()0,∞+单增，23y x =-在()0,∞+单增， 所以()3log 23f x x x =+-在()0,∞+单增.()31log 121310f =+⨯-=-<，()332log 2223log 210f =+⨯-=+>， ()33log 323340f =+⨯-=>.所以函数()3log 23f x x x =+-零点所在区间为()1,2.故选：B6．己知2log 0.3a =， 1.32b -=，0.20.3c =，则a ，b ，c 三者的大小关系为（ ） A ．b c a >> B ．c b a >> C ．a b c >> D ．b a c >>【答案】B【分析】根据对数性质可知，2log 0.30a =<，再借助中间值比较12与,b c 的大小关系，则本题答案即可得出.【详解】由题意得，2log 0.30a =<， 1.311222b --==<，因为0.20.3c ==12=，所以12c >，故c b a >>. 故选：B7．设()f x 是R 上的偶函数，且在()0,∞+是增函数，若10x <，120x x +>，下列结论正确的是（ ） A ．()()12f x f x < B ．()()12f x f x > C ．()()12f x f x > D ．()()12f x f x ->【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和单调性判断即可． 【详解】解：由120x x +>，10x <得210x x >->，()f x 在()0,∞+是增函数，()()21f x f x ∴->， 又()f x 是R 上的偶函数，()()()111f x f x f x ∴-==，()()22f x f x =， ()()21f x f x ∴>，故选：A ．8．下列说法正确的个数为（ ）（1）()f x 在[],a b 上连续并且存在零点，即可用二分法求零点； （2）二分法可能求得方程的准确值；（3）由()121221xx ++≥+，求得142221x x x y +++=+的最小值为2；（4）已知1x >，由21y x x =+≥-当且仅当21x x =-，即2x =时等号成立，将2x =代入得最小值为4. A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】C【分析】根据二分法的定义判断（1）（2）； 利用换元法和对勾函数的单调性判断（3）； 利用基本不等式求最值来判断（4）.【详解】（1）二分法只能用于求“变号零点”，而若()f x 在[],a b 上恒大于等于零或恒小于等于零，则不能用二分法，故（1）错；（2）二分法可能恰好得到方程的准确值，故（2）正确； （3）()21211422121212121xxx xx x xy +++++===+++++，令21x t +=，则1t >，1y t t =+，函数1y t t =+在()1,+∞上单调递增，所以当1y t t=+取不到最小值，故（3）错；（4）2211111y x x x x =+=-++≥--，当且仅当211x x -=-，即1x =时等号成立，故（4）错. 故选：C.二、多选题9．方程()22log log 11x x +-=的解集为M ，方程2129240x x +-⋅+=的解集为N ，那么M 、N 的关系为（ ） A ．M N B ．M NC ．{}2MN =D ．{}1,2MN =-【答案】ACD【分析】先求出集合M N 、，再判断即可．【详解】解：由()22log log 11x x +-=得()12x x -=， 解得=1x -或2x =，又010x x >⎧⎨->⎩，1x ∴>，{}2M ∴=；由2129240x x +-⋅+=， 令2x t =()0t >，上式可化为22940t t -+=， 解得4t =或12t =， 24x ∴=或122x =， 解得2x =或=1x -，{}2,1N ∴=-，M ∴ N ，{}2MN =，{}1,2MN =-．故选：ACD ．10．下列结论正确的是（ ）A ．若α，β的终边相同，则αβ-的终边在x 的非负半轴上B ．函数()log 1a f x x =+（0a >且1a ≠）恒过定点(),2aC ．函数()22x f x x =-只有两个零点D ．己知一扇形的圆心角60α=︒，且其所在圆的半径3R =，则扇形的弧长为π 【答案】AD【分析】对选项A ，根据终边在x 的非负半轴上的角的表示为{}2π,Z x x k k =∈判断即可；根据(),2a 非定点判断B ；根据零点存在定理判断C ；根据弧长计算公式计算判断D ． 【详解】解：若α，β的终边相同，则()2πZ k k αβ=+∈， ∴ ()2πZ k k αβ-=∈，即αβ-的终边在x 的非负半轴上，故A 对；()log 12a a f a =+=，所以()f x 过点(),2a ，但(),2a 不是定点，故B 错；令()220x f x x =-=易得2x =，4x =是方程的解，1211120244f -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭>，()1111022f -=-=-<，∴ 11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭存在零点，故C 错；∵ π603︒=， ∴ 扇形的弧长ππ3l R =⨯=，故D 对． 故选：AD ．11．己知()f x 是定义在R 上的函数，且满足()()11f x f x +-=，当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则下列命题正确的是（ ） A ．()f x 是周期为2的函数 B ．当[]1,2x ∈时，()22f x x x =-C ．()f x 是偶函数D ．()12023.54f -=【答案】ABD【分析】A 选项：根据()()11f x f x +-=得到()()11f x f x ++=，然后两式相减得到()()2f x f x +=，即可得到()f x 的周期；B 选项：根据()()11f x f x +-=和[]0,1x ∈时的解析式求[]1,2x ∈时的解析式即可；C 选项：利用特殊值的思路和奇偶性的定义判断即可；D 选项：利用周期求函数值即可.【详解】A 选项：由()()11f x f x +-=得()()11f x f x ++=，两式相减可得()()11f x f x =+-，即可得到()()2f x f x +=，所以()f x 得周期为2，故A 正确；B 选项：令011x ≤-≤，则12x ≤≤，()()211f x x -=-，所以()()()2211112f x f x x x x =--=--=-，故B 正确；C 选项：1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133********f f ⎛⎫⎛⎫-==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1122f f ⎛⎫⎛⎫≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 不是偶函数，故C错；D 选项：()()()12023.5101220.50.54f f f -=-⨯+==，故D 正确.故选：ABD.12．已知函数()42log 4,0log ,0241,2x x f x x x x x ⎧+≤⎪=<≤⎨⎪-->⎩，若方程()f x a =有六个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 且123456x x x x x x <<<<<则下列说法正确的是（ ） A ．()0,1a ∈ B ．12343x x x x ++⋅=-C ．()41223416162,24x x x x x ⎡⎤-++∈⎣⎦⋅ D ．()63123,04x f x x x ⎛⎫∈- ⎪+⎝⎭【答案】AD【分析】根据解析式可得其函数图像，数形结合可得128x x +=-，341x x =以及1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的取值范围，将其代入选项计算即可.【详解】如图为()f x 的函数图像由图可知当()0,1a ∈时，()y f x =与y a =存在6个交点，即方程()f x a =有六个不同的解，故A 正确；由图及函数解析式可知，128x x +=-，且2324log log x x -=，可得341x x =所以12347x x x x ++=-，故B 错误； 由图可知()41,2x ∈，()4124423444161616828162x x x x x x x x x -++=≥⋅⋅+当且仅当44168x x =，即42x =()168g x x x+=，()()1224g g ==故())4122341624x x x x x ⎡-++∈⎣⋅，故C 错误； 由解析式可知()()36f x f x =，即236236log 41log 5x x x x =--⇒=--所以()()6263666125588x f x x x x x x x --==-+-，其中()65,6x ∈，令()258x h x x -=-，()h x 在()5,6上单调递减，所以()()max 50h x h ==，()()min 364h x h ==-，所以()63123,04x f x x x ⎛⎫∈- ⎪+⎝⎭，故D 正确故选：AD三、填空题13．若角α的终边过点()3,4-，则cos sin αα-=__________.【答案】75-##－1.4【分析】由三角函数的定义即可求解. 【详解】角α的终点过点(3,4)-， 则由定义可得4sin 5α==，3cos 5α==-. 所以7cos sin 5αα-=-故答案为：75-.14．已知扇形周长为8，则面积最大值为__________. 【答案】4【分析】设出扇形半径，表达出扇形面积，利用配方法求出最大值. 【详解】设扇形的半径为r ，则扇形的弧长为82r -， 则扇形面积为()()221824242r r r r r -=-+=--+， 故当2r =时，扇形面积取得最大值，最大值为4. 故答案为：4.15．设0a >，0b >，5a b+=__________.【分析】首先对式子平方，然后利用不等式即可求解.【详解】由题可知，21152a b=++++=++22772711142a b+=+≤+⨯=++++=，当且仅当11a b+=+且5a b+=时，即5522a b==，时，等号成立.≤16．已知函数()f x x a=-，()4g x xx=-，若对任意的[)12,x∈+∞，都存在23,12x⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，使得()()12f xg x a⋅≥，则实数a的取值范围为_______．【答案】3,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦【分析】先求出()g x在3,12x⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上的值域，从而由题意可得对任意的[)12,x∈+∞，都存在23,12x⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，1224axxax≥--，然后分0a≤和0a>进行分类讨论即可得出答案.【详解】()4g x xx=-在3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则当3,12x⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，()()731362g g x g⎛⎫=-≤≤-=⎪⎝⎭对任意的[)12,x∈+∞，都存在23,12x⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，都有()()12f xg x a⋅≥即对任意的[)12,x∈+∞，都存在23,12x⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，1224axxax≥--由[)12,x∈+∞时，1x a-≥，23,12x⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，224xx->所以当0a≤时，显然满足条件.当0a>时，2243a axx≥-，即对任意的[)12,x∈+∞，13ax a-≥若02a<≤时，112a ax x a--≥-=，则23aa-≥，解得32<≤a若2a>，()f x x a=-在()2,a上单调递减，在(),a+∞上单调递增.所以()()0f x f a≥=，当1x a=时，不存在23,12x⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，使得1224axxax≥--所以2a>不满足题意.综上所述：实数a的取值范围为：3,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦故答案为：3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦四、解答题 17．计算下列各式．()()411320.0010.25---⨯；(2)(22lg5+【答案】(1)10(2)1【分析】根据指数和对数运算规则计算即可.【详解】（1）()()(()411321332100.5421020.0010.2105----=+-⨯=--⨯=（2）()22lg5lg511+==-=18．已知幂函数()()32224m f x m m x+=---．(1)若()f x 不是奇函数，解不等式()()531f x f x ->-；(2)若()f x 是奇函数，且函数()g x 满足()()11g x f x x f x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，求函数()g x 的解析式． 【答案】(1)312x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭(2)()33g x x x =-，(][),22,x ∈-∞-+∞【分析】（1）根据幂函数定义可得()2241m m ---=，解出32m =或1m =-，再根据奇函数定义检验，得到()12f x x =，根据单调性求解不等式即可； （2）根据()f x 是奇函数，可得()3f x x =，再将()()11g x f x x f x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭配凑成2113x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用换元法即可求得函数()g x 的解析式． 【详解】（1）函数()()32224m f x m m x+=---是幂函数， ()2241m m ∴---=，解得32m =或1m =-， 当32m =时，()3f x x =为奇函数，不符合题意，舍去； 当1m =-时，()12f x x =为不为奇函数，符合题意，此时函数()12f x x =定义域为[)0,∞+，且在定义域上单调递增， 由()()531f x f x ->-，则53153010x x x x ->-⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，即312x ≤<， ∴不等式的解集为312x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭. （2）若()f x 是奇函数，由（1）知，()3f x x =，()()23232111111113g x f x x x x x x x f x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=+=+-+=++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令1x t x+=， 当0x >时，12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取等号，即2t ≥； 当0x <时，112x x x x ⎛⎫+=--+≤-- ⎪-⎝⎭，当且仅当1x x -=-，即=1x -时取等号，即2t ≤-. ()()2333g t t t t t ∴=-=-，(][),22,t ∈-∞-+∞，()33g x x x ∴=-，(][),22,x ∈-∞-+∞.19．已知命题:p x ∃∈R ，2210ax x 为假命题．(1)求实数a 的取值集合A ；(2)设集合{}64242B x m x m =-<-<，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求m 的取值范围．【答案】(1){}1A a a =<-(2)3m ≤-或m 1≥【分析】（1）根据一元二次方程无解的条件即Δ0<求解即可；（2）根据题意先求得B A ，再分情况求得m 的范围即可．【详解】（1）解：命题p 的否命题为R x ∀∈，2210ax x +-≠为真，0a ∴≠且Δ440a =+<，解得1a <-． ∴{}1A a a =<-．（2）解：由64242m x m -<-<解得32m x m +<<，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则B A ，∴当B =∅时，即32m m ≥+，解得m 1≥；当1m <时，21m +≤-，解得3m ≤-，综上：3m ≤-或m 1≥．20．已知函数()22x x a f x x++=，[)1,x ∞∈+． (1)当1a =时，求()f x 的最小值；(2)对任意()1,x ∈+∞，()12f x x a >+恒成立，求a 的取值范围． 【答案】(1)4(2)3a <【分析】（1）化简得到()12f x x x =++，再利用均值不等式计算得到最值. （2）不等式变换为15322a t t<++，利用均值不等式计算最值得到答案.【详解】（1）()2211224x x f x x x x ++==++≥=，当1x x =，即1x =时等号成立.()f x 的最小值为4.（2）()12f x x a >+，即21221x x a x +<-， 设1x t -=，0t >，故()()21121152322t t a t t t+++<=++，1533322t t ++≥=，当1522t t =，即t =故3a <.21．设函数()211x x f x a ma m +=-+-（0a >且1a ≠）．(1)若1m =，解不等式()0f x >；(2)若2a =，且方程()3f x =-有两个不同的正根，求实数m 的取值范围．【答案】(1)当1a >时，不等式解集为{}1x x >；当01a <<时，不等式解集为{}1x x <；(2)()2,3.【分析】（1）将1m =代入原不等式中可得()0x x a a a ->，即x a a >，然后根据指数函数的单调性分1a >和01a <<两种情况解不等式即可；（2）利用换元法令2x t =，结合指数函数的单调性将()3f x =-有两个不同的正根转化为()3h t =-有两个不同的大于1的根，然后列方程，解方程即可得到m 的取值范围.【详解】（1）若1m =，则()21x x f x a a +=-，不等式()0f x >可整理为()0x x a a a ->，因为0x a >，所以0x a a ->，即x a a >，当1a >时，解得1x >，则不等式解集为{}1x x >；当01a <<时，解得1x <，则不等式解集为{}1x x <.（2）若2a =，则()21221x x f x m m +=-⋅+-，令2x t =，因为两个根为正根，所以1t >，()221h t t mt m =-+-，因为2x t =单调递增，所以()3f x =-有两个不同的正根，即()3h t =-有两个不同的大于1的根，()3h t =-可整理为2220t mt m -++=， 所以21220212Δ4480m m m m m -++>⎧⎪-⎪>⎨-⎪=-->⎪⎩，解得23m <<， 所以m 的取值范围为()2,3.22．若定义域为R 的函数()22xxb f x a -=+是奇函数． (1)求函数()f x 的解析式，并判断其单调性（单调性不需证明）；(2)若()())ln 1g x f x x =-+，求()()33g g -+的值； (3)在（2）条件下，任意[]3,3x ∈-，()1,2y ∈-，不等式()()22222g y m x g y xy +-+-<恒成立，求m 的取值范围．【答案】(1)()1212xxf x -=+；函数在R 上单调递减； (2)2；(3)6m ≥.【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义即得；（2）根据奇函数的性质及对数函数的性质即得；（3）根据函数奇偶性的定义结合常见函数的单调性可得函数())ln ,R h x x x =∈为奇函数，构造函数()()()()1F x g x f x h x ==--，可得函数的奇偶性及单调性，进而不等式可化为()22122m y x y y ->+-，然后结合一次函数及二次函数的性质即得.【详解】（1）因为定义域为R 的函数()22xxb f x a -=+是奇函数， 所以()02002b f a -==+，即1b =， 所以()122xx f x a -=+， 由()()1221122212x x xx x xf x f x a a a ------===-=-+⋅++， 可得212x x a a ⋅+=+，即()()1210x a --=恒成立，所以1a =，所以()1212xxf x -=+，由()12211212x x xf x -==-++，可知函数在R 上单调递减；（2）因为()())ln 1g x f x x =-+，()()0f x f x -+=，所以()()())())333ln 313ln 31g g f f -+=--++-+))2ln 3ln 32ln12=--=-=；（3）设())ln ,R h x x x =∈，则()))()ln ln h x x x h x -===-=-， 所以函数()h x 为R 上的奇函数，又函数y y x ==在[)0,∞+上单调递增，所以函数())ln h x x =在[)0,∞+上单调递增，又函数()h x 为R 上的奇函数， 所以函数()h x 在R 上单调递增，设()()()()1F x g x f x h x ==--，则()()()()()()F x f x h x f x h x F x -=---=-+=-， 所以()F x 为奇函数，又函数()f x 在R 上单调递减，函数()h x 在R 上单调递增， 所以()F x 在R 上单调递减，由()()22222g y m x g y xy +-+-<，可得()()2221210g y m x g y xy +--+--<，即()()22220F y m x F y xy +-+-<，所以()()()222222F y m x F y xy F xy y -<--=-+，所以2222y m x xy y +->-，即()22122m y x y y ->+-，对任意[]3,3x ∈-，()1,2y ∈-恒成立，因为210y +>，故()()22221223122y x y y y y y -≤-+-+-223y y =-+()()22121126y -+<--+==，所以6m ≥.。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨九中高一(上)期中数学试卷试题及答案(Word版)
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨九中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0，2}D．{0，1}2．化简的值是（）A．B．C．D．3．下列图形中，表示M⊆N的是（）A．B．C．D．4．设集合A＝{1，2}，则满足A∪B＝{1，2，3}的集合B的个数是（）A．1B．3C．4D．85．函数y＝a x﹣1+1（a＞0且a≠1）的图象必经过定点（）A．（0，1）B．（1，1）C．（2，1）D．（1，2）6．下列函数中，与函数y＝x相同的函数是（）A．y B．y C．y＝lg10x D．y＝2log2x7．设a＝20.3，b＝0.32，c＝log20.3则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a8．下列函数中，在区间（2，+∞）上为增函数的是（）A．y＝﹣3x B．C．y＝﹣（x﹣2）2D．9．一旅馆有100间相同的客房，经过一段时间经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：要使每天的收入最高，每间房定价应为（）A．100元B．90元C．80元D．60元10．若函数f（x），＞，是R上的增函数，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，8）C．（4，8）D．[4，8）11．函数y＝x的值域为（）A．，B．，C．，D．，12．已知函数，，若存在a，b同时满足f（a）+f（b）＝0和g（a）+g（b）＝0，则实数t的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，1]二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．化简log25可得．14．设函数f（x），＜，，若f（a）＝1，则实数a的值为是．15．函数的定义域是．16．已知函数，且f（1011）＝2，则f（0）+f（1）+f（2）+……f（2022）＝．三、解答题（共6小题，共70分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知全集为R，＞，＞，求：（1）A∩B；（2）A∪（∁R B）．18．已知函数f（x），（1）判断并用定义证明函数f（x）在区间（﹣1，+∞）上的单调性；（2）求该函数在区间[1，4]上的最大值和最小值．19．设函数＜，，且f（﹣4）＝f（0），f（﹣1）＝0．（1）求f（x）的解析式；（2）画出函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）具有的性质（至少两个，不用证明）．20．已知函数f（x）＝x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]（1）若y＝f（x）在[﹣5，5]上是单调函数，求实数a取值范围．（2）求y＝f（x）在区间[﹣5，5]上的最小值．21．解关于x的不等式[（a﹣1）x﹣2]（x﹣a）＞0，（a∈R）．22．定义在R上的奇函数f（x），当x＜0时，（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈（0，1]时，关于x的不等式＜恒成立，求λ的取值范围；（3）当x∈（s，t）时，f（x）的值域是，，求s与t的值．2019-2020学年黑龙江省哈尔滨九中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0，2}D．{0，1}【解答】解：因为集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，2}，所以M∪N＝{﹣1，0，1，2}，故选：A．2．化简的值是（）A．B．C．D．【解答】解：．故选：A．3．下列图形中，表示M⊆N的是（）A．B．C．D．【解答】解：由于M⊆N，故对任意的x∈M，必有x∈N则它们之间的关系是：故选：C．4．设集合A＝{1，2}，则满足A∪B＝{1，2，3}的集合B的个数是（）A．1B．3C．4D．8【解答】解：A＝{1，2}，A∪B＝{1，2，3}，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A＝{1，2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有22＝4个．故选：C．5．函数y＝a x﹣1+1（a＞0且a≠1）的图象必经过定点（）A．（0，1）B．（1，1）C．（2，1）D．（1，2）【解答】解：∵当x＝1时，无论a取何值，y＝a0+1＝2∴函数y＝a x﹣1+1（a＞0且a≠1）的图象必经过定点（1，2）故选：D．6．下列函数中，与函数y＝x相同的函数是（）A．y B．y C．y＝lg10x D．y＝2log2x 【解答】解：A中分母不为0，故A的定义域为{x|x≠0}，B中为根式，被开方数大于或等于0，B的定义域为[0，+∞），C中，10x＞0，则其定义域为R，D中x为真数，故应大于0，故D的定义域为（0，+∞），而y＝x的定义域为R，故排除A、B和D，故选：C．7．设a＝20.3，b＝0.32，c＝log20.3则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a 【解答】解：∵a＝20.3＞20＝1，0＜b＝0.32＜0.30＝1，c＝log20.3＜log21＝0，∴a，b，c的大小关系是c＜b＜a．故选：B．8．下列函数中，在区间（2，+∞）上为增函数的是（）A．y＝﹣3x B．C．y＝﹣（x﹣2）2D．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝﹣3x，函数y＝3x为指数函数，则R上为增函数，则y＝﹣3x在R上为减函数，A不符合题意；对于B，y，令t＝x﹣2，y，则函数t＝x﹣2在（2，+∞）上为增函数，y在（0，+∞）为增函数，则y在区间（2，+∞）上为增函数，符合题意；对于C，y＝﹣（x﹣2）2为二次函数，开口向下且对称轴为x＝2，在区间（2，+∞）上为减函数，不符合题意；对于D，为对数函数，在区间（2，+∞）上为减函数，不符合题意；故选：B．9．一旅馆有100间相同的客房，经过一段时间经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：要使每天的收入最高，每间房定价应为（）A．100元B．90元C．80元D．60元【解答】解：假设房价为100元时，客房的收入＝100×65%×100＝6500元；假设房价为90元时，客房的收入＝100×75%×90＝6750元；假设房价为80元时，客房的收入＝100×85%×80＝6800元；假设房价为60元时，客房的收入＝100×95%×60＝5700元；∴客房的定价为80元时，客房的收入最高．故选：C．10．若函数f（x），＞，是R上的增函数，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，8）C．（4，8）D．[4，8）【解答】解：∵函数f（x），＞，是R上的增函数，∴＞＞，解得：a∈[4，8），故选：D．11．函数y＝x的值域为（）A．，B．，C．，D．，【解答】解：由题意：函数y＝x，令t，则函数t的值域为[0，+∞），可得：x＝2﹣t2，那么：函数y＝x转化为f（t）＝2﹣t2+t，开口向下，对称轴t，∵t≥0，∴当t时，函数f（t）取得最大值为，即函数y＝x的最大值为．∴函数y＝x的值域为（﹣∞，]．故选：D．12．已知函数，，若存在a，b同时满足f（a）+f（b）＝0和g（a）+g（b）＝0，则实数t的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，1]【解答】解：函数f（x）的定义域为R，，所以函数f （x）为奇函数，∵存在a，b满足f（a）+f（b）＝0，∴a+b＝0，∴g（a）+g（﹣a）＝0，∴9a﹣t•3a+9﹣a﹣t•3﹣a＝0有解，即（3a+3﹣a）2﹣t（3a+3﹣a）﹣2＝0有解，令m＝3a+3﹣a（m≥2），则m2﹣tm﹣2＝0在[2，+∞）上有解，∴在[2，+∞）上有解，∴，即t的取值范围为[1，+∞）．故选：A．二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．化简log25可得2．【解答】解：原式＝log24﹣log25+log25＝log24＝2；故答案为：2．14．设函数f（x），＜，，若f（a）＝1，则实数a的值为是2或﹣1．【解答】解：函数f（x），＜，，若f（a）＝1，当a＜1时，﹣a＝1，a＝﹣1，成立．当a≥1时，（a﹣1）2＝1，解得a＝2，综上a的值为：2或﹣1．故答案为：2或﹣1．15．函数的定义域是[﹣1，+∞）．【解答】解：要使函数有意义，必须，即，由指数函数的单调性可得2x﹣1≥﹣3，解得x≥﹣1．所以函数的定义域为：[﹣1，+∞）．故答案为：[﹣1，+∞）．16．已知函数，且f（1011）＝2，则f（0）+f（1）+f（2）+……f（2022）＝4046．【解答】解：∵函数f（x）||，＞或＜，或，且f（1011）＝2，∴当x＞1011或x＜1009时，f（x）＝22×（1）．∴f（x）+f（2022﹣x）＝2×（1）+2×（1）＝2×（1）+2×（1）＝4．∴f（0）+f（2022）＝f（1）+f（2021）＝…f（1008）+f（1014）＝f（1009）+f（1013）＝f（1010）+f（1012）＝4．∴f（0）+f（1）+f（2）+……f（2022）＝4×1011+f（1011）＝4046．故答案为：4046．三、解答题（共6小题，共70分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知全集为R，＞，＞，求：（1）A∩B；（2）A∪（∁R B）．【解答】解：（1）A＝{x|x﹣2＜﹣1或x﹣2＞1}＝{x|x＜1或x＞3}，B＝{x|x＜﹣2或x＞﹣1}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜1或x＜﹣2或x＞3}；（2）∁R B＝{x|﹣2≤x≤﹣1}，∴A∪（∁R B）＝{x|x＜1或x＞3}．18．已知函数f（x），（1）判断并用定义证明函数f（x）在区间（﹣1，+∞）上的单调性；（2）求该函数在区间[1，4]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）f（x）在（﹣1，+∞）上为增函数，证明如下：任取﹣1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）；∵﹣1＜x1＜x2⇒x1+1＞0，x2+1＞0，x1﹣x2＜0；∴f（x1）﹣f（x2）＜0⇒f（x1）＜f（x2）；所以，f（x）在（﹣1，+∞）上为增函数．（2）：由（1）知f（x）[1，4]上单调递增，∴f（x）的最小值为f（1），最大值f（4）．19．设函数＜，，且f（﹣4）＝f（0），f（﹣1）＝0．（1）求f（x）的解析式；（2）画出函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）具有的性质（至少两个，不用证明）．【解答】解：（1）由f（﹣4）＝f（0），得16﹣4b+c＝3，由f（﹣1）＝0，得1﹣b+c＝0，联立解方程组得：b＝4，c＝3，所以，，（2）定义域[﹣4，+∞），值域（﹣∞，3]20．已知函数f（x）＝x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]（1）若y＝f（x）在[﹣5，5]上是单调函数，求实数a取值范围．（2）求y＝f（x）在区间[﹣5，5]上的最小值．【解答】解：函数f（x）＝x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]的对称轴为x＝﹣a，（1）若y＝f（x）在[﹣5，5]上是单调函数，则﹣a≤﹣5或﹣a≥5，即a≤﹣5或a≥5．（2）①﹣a≤﹣5，即a≥5时，f（x）在[﹣5，5]上单调递增，f（x）的最小值是f（﹣5）＝27﹣10a，②﹣a≥5，即a≤﹣5时，f（x）在[﹣5，5]上单调递减，f（x）的最小值是f（5）＝27+10a，③﹣5＜﹣a＜5，即﹣5＜a＜5时，f（x）在[﹣5，﹣a]上单调递减，f（x）在（﹣a，5]上单调递增，f（x）的最小值是f（﹣a）＝﹣a2+221．解关于x的不等式[（a﹣1）x﹣2]（x﹣a）＞0，（a∈R）．【解答】解：（1）a＞1时，由原不等式得，＞，①＞，即1＜a＜2时，原不等式的解集为＜或＞；②a＝2时，（x﹣2）2＞0，原不等式的解集为{x|x≠2}；③a＞2时，原不等式的解集为＜或＞；（2）a＝1时，原不等式变成﹣2（x﹣1）＞0，∴原不等式的解集为{x|x＜1}；（3）a＜1时，由原不等式得，＜，∴﹣1＜a＜1时，原不等式的解集为＜＜；a＝﹣1时，原不等式的解集为∅；a＜﹣1时，原不等式的解集为{x|＜＜}．22．定义在R上的奇函数f（x），当x＜0时，（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈（0，1]时，关于x的不等式＜恒成立，求λ的取值范围；（3）当x∈（s，t）时，f（x）的值域是，，求s与t的值．【解答】解：（1）由f（x）是R上的奇函数，可得f（0）＝0，f（﹣x）＝﹣f（x），当x＜0时，那么x＜0，﹣x＞0，则f（﹣x）f（x），即f（x），函数f（x）的解析式f（x），＜，，＞；（2）由x∈（0，1]时，则f（x），关于x的不等式4x+1﹣2x+λ＜0恒成立，即y＝4x+1﹣2x＜﹣λ，令2x＝t，（1＜t≤2），则t2﹣t+1＝（t）2，∴当x＝2时，y max＝5，∴λ≤﹣5．（3）由f（x），＜，，＞，当x＜0时，f（x）∈（﹣1，0），当x＞0时，f（x）∈（0，1），由x∈（s，t）时，f（x）的值域是，，可知f（x），且s，t＞0，∵2x＞1，∴＞，可知f（x）是递减函数，∴f（s），f（t），解得s＝1，t，即s与t的值分别为1和．。
哈尔滨市第九中学数学高一上期末测试(含解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12116]已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >>D ．c a b >>2．(0分)[ID ：12115]已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]2,0-B ．(],8∞--C ．[)2,∞+D ．(],0∞- 3．(0分)[ID ：12114]已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则A B =（ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,24．(0分)[ID ：12090]若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 取值范围是（ ） A ．[0,8) B ．(8,)+∞ C ．(0,8)D ．(,0)(8,)-∞⋃+∞5．(0分)[ID ：12127]在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足()()13f m f m +≤的实数的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．(0分)[ID ：12122]定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）．A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-7．(0分)[ID ：12103]已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<8．(0分)[ID ：12102]已知函数2()2log x f x x =+，2()2log x g x x -=+，2()2log 1x h x x =⋅-的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．b a c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a b c <<9．(0分)[ID ：12060]已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为A ．12，2 BC ．14，2 D ．14，4 10．(0分)[ID ：12058]已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩0x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．611．(0分)[ID ：12066]下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y12．(0分)[ID ：12061]若0.33a =，log 3b π=，0.3log c e =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>13．(0分)[ID ：12043]已知函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）（x ∈R ），若函数f （x ）是偶函数，记a=m ，若函数f （x ）为奇函数，记a=n ，则m+2n 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．﹣1 14．(0分)[ID ：12098]下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A ．y =cosxB ．y =sinxC ．y =lnxD ．y =x 2+115．(0分)[ID ：12035]已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A ．5B ．7C ．9D ．11二、填空题16．(0分)[ID ：12222]已知幂函数(2)my m x =-在(0,)+∞上是减函数，则m =__________．17．(0分)[ID ：12221]已知函数241,(4)()log ,(04)x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩．若关于x 的方程，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________．18．(0分)[ID ：12217]已知函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），若()35f -=，则()3f 的值为______19．(0分)[ID ：12202]已知函数()22ln 0210x x f x x x x ⎧+=⎨--+≤⎩，＞，，若存在互不相等实数a b c d 、、、，有()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围是______.20．(0分)[ID ：12176]若当0ln2x ≤≤时，不等式()()2220x xxx a e e ee ---+++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____.21．(0分)[ID ：12174]函数{}()min 2f x x =-，其中{},min ,{,a a ba b b a b≤=>，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，则实数m 的取值范围是______________.22．(0分)[ID ：12149]若存在实数(),m n m n <，使得[],x m n ∈时，函数()()2log x a f x a t =+的值域也为[],m n ，其中0a >且1a ≠，则实数t 的取值范围是______.23．(0分)[ID ：12142]若函数()242xx f x a a =+-（0a >，1a ≠)在区间[]1,1-的最大值为10，则a =______.24．(0分)[ID ：12141]已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间[0,)+∞上是减函数，则()()2f x f ≤的解集是________．25．(0分)[ID ：12133]已知二次函数()f x ，对任意的x ∈R ，恒有()()244f x f x x +-=-+成立，且()00f =.设函数()()()g x f x m m =+∈R .若函数()g x 的零点都是函数()()()h x f f x m =+的零点，则()h x 的最大零点为________. 三、解答题26．(0分)[ID ：12316]已知二次函数满足2()(0)f x ax bx c a =++≠，(1)()2,f x f x x +-= 且(0) 1.f =（1）求函数()f x 的解析式（2）求函数()f x 在区间[1,1]-上的值域；27．(0分)[ID ：12314]已知二次函数()f x 满足:()()22f x f x +=-，()f x 的最小值为1，且在y 轴上的截距为4. (1)求此二次函数()f x 的解析式；(2)若存在区间[](),0a b a >，使得函数()f x 的定义域和值域都是区间[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“不变区间”.试求函数()f x 的不变区间；(3)若对于任意的[]10,3x ∈，总存在[]210,100x ∈，使得()1222lg 1lg mf x x x <+-，求m 的取值范围.28．(0分)[ID ：12313]计算或化简： （1）1123021273log 161664π⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）6log 2332log 27log 2log 36lg 2lg 5+⋅-++.29．(0分)[ID ：12261]泉州是全国休闲食品重要的生产基地,食品产业是其特色产业之一,其糖果产量占全国的20%.现拥有中国驰名商标17件及“全国食品工业强县”2个(晋江､惠安)等荣誉称号,涌现出达利､盼盼､友臣､金冠､雅客､安记､回头客等一大批龙头企业.已知泉州某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料200千克,配料的价格为1元/千克,每次购买配料需支付运费90元.设该厂每隔()*x x ∈N天购买一次配料.公司每次购买配料均需支付保管费用,其标准如下:6天以内(含6天),均按10元/天支付;超出6天,除支付前6天保管费用外,还需支付剩余配料保管费用,剩余配料按3(5)200x -元/千克一次性支付. (1)当8x =时,求该厂用于配料的保管费用P 元;(2)求该厂配料的总费用y (元)关于x 的函数关系式,根据平均每天支付的费用,请你给出合理建议,每隔多少天购买一次配料较好.附:80()f x x x=+在单调递减,在)+∞单调递增. 30．(0分)[ID ：12252]义域为R 的函数()f x 满足：对任意实数x,y 均有()()()2f x y f x f y +=++，且()22f =，又当1x >时，()0f x >.（1）求()()0.1f f -的值，并证明：当1x <时，()0f x <； （2）若不等式()()()222221240f aa x a x ----++<对任意[] 1,3x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．D 2．A 3．A 4．A5．C6．A7．D8．D9．A10．C11．D12．A13．B14．A15．B二、填空题16．-3【解析】【分析】根据函数是幂函数可求出m再根据函数是减函数知故可求出m【详解】因为函数是幂函数所以解得或当时在上是增函数；当时在上是减函数所以【点睛】本题主要考查了幂函数的概念幂函数的增减性属于17．【解析】作出函数的图象如图所示当时单调递减且当时单调递增且所以函数的图象与直线有两个交点时有18．【解析】【分析】由求得进而求解的值得到答案【详解】由题意函数（为常数）且所以所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值的求解其中解答中根据函数的解析式准确运算是解答的关键着重考查了计算能力属于基19．【解析】【分析】不妨设根据二次函数对称性求得的值根据绝对值的定义求得的关系式将转化为来表示根据的取值范围求得的取值范围【详解】不妨设画出函数的图像如下图所示二次函数的对称轴为所以不妨设则由得得结合图20．【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式然后用分离参数法转化为求函数最值【详解】设是增函数当时不等式化为即不等式在上恒成立时显然成立对上恒成立由对勾函数性质知在是减函数时∴即综上故答案为：【21．【解析】【分析】【详解】试题分析：由可知是求两个函数中较小的一个分别画出两个函数的图象保留较小的部分即由可得x2﹣8x+4≤0解可得当时此时f（x）＝|x﹣2|当或时此时f（x）＝2∵f（4﹣2）＝22．【解析】【分析】由已知可构造有两不同实数根利用二次方程解出的范围即可【详解】为增函数且时函数的值域也为相当于方程有两不同实数根有两不同实根即有两解整理得：令有两个不同的正数根只需即可解得故答案为：【23．2或【解析】【分析】将函数化为分和两种情况讨论在区间上的最大值进而求【详解】时最大值为解得时最大值为解得故答案为:或2【点睛】本题考查已知函数最值求参答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解24．【解析】【分析】由题意先确定函数在上是增函数再将不等式转化为即可求得的取值范围【详解】函数是定义在上的偶函数且在区间上是减函数函数在区间上是增函数或解集为故答案为：【点睛】本题考查偶函数与单调性结合25．4【解析】【分析】采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得代入求得从而得到解析式进而得到；设为的零点得到由此构造关于的方程求得；分别在和两种情况下求得所有零点从而得到结果【详解】设解得：又设为的零点三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合对数函数的性质可知：2log 1a e =>，()21ln 20,1log b e ==∈，12221log log 3log 3c e ==>， 据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．2．A解析：A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，可知函数在(],0-∞上是减函数，根据不等式在[)1,x ∈+∞上恒成立，可得：21x a x +≤-在[)1,+∞上恒成立，可得a 的范围. 【详解】()f x 为偶函数且在[)0,+∞上是增函数()f x ∴在(],0-∞上是减函数对任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a f x +≤-恒成立等价于21x a x +≤-2121x x a x ∴-+≤+≤- 311x a x ⇒-+≤≤- ()()max min 311x a x ∴-+≤≤-当1x =时，取得两个最值3111a ∴-+≤≤- 20a ⇒-≤≤本题正确选项：A 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.3．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．4．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意可得出，不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ，从而可看出m ＝0时，满足题意，m ≠0时，可得出280m m m ⎧⎨=-<⎩＞，解出m 的范围即可． 【详解】∵函数f （x ）的定义域为R ；∴不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ； ①m ＝0时，2>0恒成立，满足题意；②m ≠0时，则280m m m ⎧⎨=-<⎩＞； 解得0＜m <8；综上得，实数m 的取值范围是[0,8) 故选：A ． 【点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R 时，判别式△需满足的条件．5．C解析：C 【解析】当21x -≤≤时，()1224f x x x =⋅-⨯=-； 当12x <≤时，()23224f x x x x =⋅-⨯=-；所以()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩， 易知，()4f x x =-在[]2,1-单调递增，()34f x x =-在(]1,2单调递增， 且21x -≤≤时，()max 3f x =-，12x <≤时，()min 3f x =-，则()f x 在[]22-,上单调递增， 所以()()13f m f m +≤得：21223213m m m m-≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得1223m ≤≤，故选C ．点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，通过单调性分析，得到()f x 在[]22-,上单调递增，解不等式()()13f m f m +≤，要符合定义域和单调性的双重要求，则21223213m m m m -≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得答案．6．A解析：A 【解析】由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()1212f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行7．D解析：D 【解析】 【分析】 可以得出11ln 32,ln 251010a c ==，从而得出c ＜a ，同样的方法得出a ＜b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】()ln 2ln 322210a f ===, ()1ln 255ln 5510c f ===,根据对数函数的单调性得到a>c, ()ln 333b f ==,又因为()ln 2ln8226a f ===，()ln 3ln 9336b f ===，再由对数函数的单调性得到a<b,∴c ＜a ，且a ＜b ；∴c ＜a ＜b ． 故选D ． 【点睛】考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果.8．D解析：D 【解析】 【分析】函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，再通过数形结合得到a ，b ，c 的大小关系. 【详解】令2()2log 0x f x x =+=，则2log 2x x =-．令12()2log 0xg x x -=-=，则2log 2x x -=-． 令2()2log 10x x h x =-=，则22log 1x x =,21log 22x xx-==． 所以函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log y x =与函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，如图所示，可知01a b <<<，1c >， ∴a b c <<．故选:D ． 【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．A解析：A 【解析】试题分析：画出函数图像，因为正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，且()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，所以()()f m f n ==2，由2()log 2f x x ==解得12,2x =，即,m n 的值分别为12，2．故选A ．考点：本题主要考查对数函数的图象和性质．点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n 的方程．10．C解析：C 【解析】 【分析】由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根，进而可得答案. 【详解】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，如图所示，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根11t =-，214t =，34t =， 则()1f x =- 有一个解，()14f x =有一个解，()4f x =有三个解， 故方程()()3ff x =有5个解.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程()3f t =的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.11．D解析：D 【解析】试题分析:因函数lg 10xy =的定义域和值域分别为,故应选D ．考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．12．A解析：A 【解析】因为00.31,1e <，所以0.3log 0c e =<，由于0.30.3031,130log 31a b ππ>⇒=><<⇒<=<，所以a b c >>，应选答案A ．13．B解析：B 【解析】试题分析：利用函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，得到g （x ）=e x +ae ﹣x 为奇函数，然后利用g （0）=0，可以解得m ．函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为偶函数，可得n ，即可得出结论．解：设g （x ）=e x +ae ﹣x ，因为函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为奇函数．又因为函数f （x ）的定义域为R ，所以g （0）=0， 即g （0）=1+a=0，解得a=﹣1，所以m=﹣1．因为函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为偶函数 所以（e ﹣x +ae x ）=e x +ae ﹣x 即（1﹣a ）（e ﹣x ﹣e x ）=0对任意的x 都成立 所以a=1，所以n=1， 所以m+2n=1 故选B ．考点：函数奇偶性的性质．14．A解析：A 【解析】由选项可知，B,C 项均不是偶函数，故排除B,C ，A,D 项是偶函数，但D 项与x 轴没有交点，即D 项的函数不存在零点，故选A. 考点：1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.15．B解析：B 【解析】因为()f x =22x x -+,所以()f a =223a a -+=,则()2f a =2222a a -+=2(22)2a a -+-=7.选B.二、填空题 16．-3【解析】【分析】根据函数是幂函数可求出m 再根据函数是减函数知故可求出m 【详解】因为函数是幂函数所以解得或当时在上是增函数；当时在上是减函数所以【点睛】本题主要考查了幂函数的概念幂函数的增减性属于 解析：-3 【解析】 【分析】根据函数是幂函数可求出m,再根据函数是减函数知0m <，故可求出m. 【详解】 因为函数是幂函数所以||21m -=，解得3m =-或3m =. 当3m =时，3y x =在(0,)+∞上是增函数；当3m =-时，y x =在(0,)+∞上是减函数， 所以3m =-. 【点睛】本题主要考查了幂函数的概念，幂函数的增减性，属于中档题.17．【解析】作出函数的图象如图所示当时单调递减且当时单调递增且所以函数的图象与直线有两个交点时有 解析：(1,2)【解析】作出函数()f x 的图象，如图所示，当4x ≥时，4()1f x x =+单调递减，且4112x<+≤，当04x <<时，2()log f x x =单调递增，且2()log 2f x x =<，所以函数()f x 的图象与直线y k =有两个交点时，有12k <<．18．【解析】【分析】由求得进而求解的值得到答案【详解】由题意函数（为常数）且所以所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值的求解其中解答中根据函数的解析式准确运算是解答的关键着重考查了计算能力属于基 解析：1-【解析】 【分析】由()35f -=，求得1532723a b -⋅-+=，进而求解()3f 的值，得到答案. 【详解】由题意，函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），且()35f -=， 所以()15332725f a b -=-⋅-+=，所以153273a b -⋅-=， 又由()1533272321f a b -=⋅++=-+=-. 故答案为：1-. 【点睛】本题主要考查了函数值的求解，其中解答中根据函数的解析式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.19．【解析】【分析】不妨设根据二次函数对称性求得的值根据绝对值的定义求得的关系式将转化为来表示根据的取值范围求得的取值范围【详解】不妨设画出函数的图像如下图所示二次函数的对称轴为所以不妨设则由得得结合图解析：341112,1e e e ⎡⎫+--⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】不妨设,0,,0a b c d ≤>，根据二次函数对称性求得+a b 的值.根据绝对值的定义求得,c d 的关系式，将d 转化为c 来表示，根据c 的取值范围，求得+++a b c d 的取值范围. 【详解】不妨设,0,,0a b c d ≤>，画出函数()f x 的图像如下图所示.二次函数221y x x =--+的对称轴为1x =-，所以2a b +=-.不妨设c d <，则由2ln 2ln c d +=+得2ln 2ln c d --=+，得44,e cd e d c--==，结合图像可知12ln 2c ≤+<，解得(43,c e e --⎤∈⎦，所以(()4432,e a b c d c c e e c ---⎤+++=-++∈⎦，由于42e y x x-=-++在(43,e e --⎤⎦上为减函数，故4341112,21e e e c c e -⎡⎫+--++∈⎢⎣-⎪⎭.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数的图像，考查含有绝对值函数的图像，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.20．【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式然后用分离参数法转化为求函数最值【详解】设是增函数当时不等式化为即不等式在上恒成立时显然成立对上恒成立由对勾函数性质知在是减函数时∴即综上故答案为：【 解析：25[,)6-+∞ 【解析】 【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式．然后用分离参数法转化为求函数最值． 【详解】设x x t e e -=-，1xxx xt e e e e -=-=-是增函数，当0ln2x ≤≤时，302t ≤≤， 不等式()()2220x xxx a e eee ---+++≥化为2220at t +++≥，即240t at ++≥，不等式240t at ++≥在3[0,]2t ∈上恒成立，0t =时，显然成立，3(0,]2t ∈，4a t t -≤+对3[0,]2t ∈上恒成立，由对勾函数性质知4y t t=+在3(0,]2是减函数，32t =时，min 256y =，∴256a -≤，即256a ≥-．综上，256a ≥-．故答案为：25[,)6-+∞． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题方法是转化与化归，首先用换元法化指数型不等式为一元二次不等式，再用分离参数法转化为求函数最值．21．【解析】【分析】【详解】试题分析：由可知是求两个函数中较小的一个分别画出两个函数的图象保留较小的部分即由可得x2﹣8x+4≤0解可得当时此时f （x ）＝|x ﹣2|当或时此时f （x ）＝2∵f（4﹣2）＝解析：02m <<【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由{},min ,{,a a ba b b a b≤=>可知{}()min 2f x x =-是求两个函数中较小的一个，分别画出两个函数的图象，保留较小的部分，即由22x x ≥-可得x 2﹣8x +4≤0，解可得423423x -≤≤+当423423x -≤≤+时，22x x ≥-，此时f （x ）＝|x ﹣2| 当423x +＞或0433x ≤-＜时，22x x -＜，此时f （x ）＝2x ∵f （4﹣23）＝232-其图象如图所示，0232m -＜＜时，y ＝m 与y ＝f （x ）的图象有3个交点 故答案为0232m -＜＜考点：本小题主要考查新定义下函数的图象和性质的应用，考查学生分析问题、解决问题的能力和数形结合思想的应用.点评：本小题通过分别画出两个函数的图象，保留较小的部分，可以很容易的得到函数的图象，从而数形结合可以轻松解题.22．【解析】【分析】由已知可构造有两不同实数根利用二次方程解出的范围即可【详解】为增函数且时函数的值域也为相当于方程有两不同实数根有两不同实根即有两解整理得：令有两个不同的正数根只需即可解得故答案为：【解析：10,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】由已知可构造()2log xa a t x +=有两不同实数根，利用二次方程解出t 的范围即可.【详解】()2()log x a f x a t =+为增函数，且[],x m n ∈时，函数()()2log xa f x at =+的值域也为[],m n ，(),()f m m f n n ∴==，∴相当于方程()f x x =有两不同实数根,()2log x a a t x ∴+=有两不同实根，即2x x a a t =+有两解， 整理得：20x x a a t -+=， 令,0xm a m => ，20m m t ∴-+=有两个不同的正数根，∴只需1400t t ∆=->⎧⎨>⎩即可，解得104t <<， 故答案为：10,4⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性，对数方程，一元二次方程有两正根，属于中档题.23．2或【解析】【分析】将函数化为分和两种情况讨论在区间上的最大值进而求【详解】时最大值为解得时最大值为解得故答案为:或2【点睛】本题考查已知函数最值求参答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解解析：2或12【解析】 【分析】 将函数化为()2()26xf x a =+-,分01a <<和1a >两种情况讨论()f x 在区间[]1,1-上的最大值,进而求a . 【详解】()242x x f x a a =+-()226x a =+-, 11x -≤≤,01a ∴<<时,1x a a a -<<,()f x 最大值为()21(1)2610f a --=+-=,解得12a =1a >时,1x a a a -≤≤,()f x 最大值为()2(1)2610f a =+-=,解得2a =,故答案为:12或2. 【点睛】本题考查已知函数最值求参,答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解.24．【解析】【分析】由题意先确定函数在上是增函数再将不等式转化为即可求得的取值范围【详解】函数是定义在上的偶函数且在区间上是减函数函数在区间上是增函数或解集为故答案为：【点睛】本题考查偶函数与单调性结合解析：(][)22-∞-⋃+∞，， 【解析】 【分析】由题意先确定函数()f x 在(),0-∞上是增函数，再将不等式转化为()()112f f ⨯≤即可求得x 的取值范围. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间[0,)+∞上是减函数，∴函数()f x 在区间(),0-∞上是增函数()()2f x f ≤()()2f x f ∴≤2x ∴≥ 2x ∴≥或2x -≤∴解集为(][),22,-∞-+∞故答案为：(][),22,-∞-+∞【点睛】本题考查偶函数与单调性结合解抽象函数不等式问题，直观想象能力，属于中等题型.25．4【解析】【分析】采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得代入求得从而得到解析式进而得到；设为的零点得到由此构造关于的方程求得；分别在和两种情况下求得所有零点从而得到结果【详解】设解得：又设为的零点解析：4 【解析】 【分析】采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得,a b ，代入()00f =求得c ，从而得到()f x 解析式，进而得到()(),g x h x ；设0x 为()g x 的零点，得到()()0000g x h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由此构造关于m 的方程，求得m ；分别在0m =和3m =-两种情况下求得()h x 所有零点，从而得到结果. 【详解】设()2f x ax bx c =++()()()()2222244244f x f x a x b x c ax bx c ax a b x ∴+-=++++---=++=-+44424a a b =-⎧∴⎨+=⎩，解得：14a b =-⎧⎨=⎩又()00f = 0c ∴= ()24f x x x ∴=-+()24g x x x m ∴=-++，()()()222444h x x x x x m =--++-++设0x 为()g x 的零点，则()()0000g x h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()2002220000404440x x m x x x x m ⎧-++=⎪⎨--++-++=⎪⎩即240m m m --+=，解得：0m =或3m =- ①当0m =时()()()()()()()22222244444442h x x x x x x x x x x x x =--++-+=-+-+=---()h x ∴的所有零点为0,2,4②当3m =-时()()()()()2222244434341h x x x x x x x x x =--++-+-=--+--+-()h x ∴的所有零点为1,3,2综上所述：()h x 的最大零点为4 故答案为：4 【点睛】本题考查函数零点的求解问题，涉及到待定系数法求解二次函数解析式、函数零点定义的应用等知识；解题关键是能够准确求解二次函数解析式；对于函数类型已知的函数解析式的求解，采用待定系数法，利用已知等量关系构造方程求得未知量.三、解答题 26．（1）2()1f x x x =-+；（2）3[,3]4【解析】 【分析】（1）由()01f =得到c 的值，然后根据(1)()2f x f x x +-=得到关于,a b 的方程组求解出,a b 的值，即可求出()f x 的解析式；（2）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，计算出()()max min ,f x f x ，即可求解出值域. 【详解】（1）因为()01f =，所以1c =，所以()()210f x ax bx a =++≠；又因为()()12f x f x x +-=，所以()()()2211112a x b x ax bx x ⎡⎤++++-++=⎣⎦，所以22ax a b x ++=，所以220a a b =⎧⎨+=⎩，所以11a b =⎧⎨=-⎩，即()21f x x x =-+；（2）因为()21f x x x =-+，所以()f x 对称轴为12x =且开口向上， 所以()f x 在11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭递减，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，所以()min 111312424f x f ⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭， 又()()211113f -=-++=，()211111f =-+=，所以()max 3f x =， 所以()f x 在[]1,1-上的值域为：3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】（1）利用待定系数法求解二次函数的解析式关键是：能根据已知函数类型，将条件中等量关系转化为系数方程组，求解出系数值；（2）求解二次函数在某个区间上的值域，可先由对称轴和开口方向分析单调性，然后求解出函数最值，即可确定出函数值域.27．（1）23()(2)14f x x =-+；（2）[1,4]；（3）[2,)+∞． 【解析】 【分析】（1）由()()22f x f x +=-，得对称轴是2x =，结合最小值可用顶点法设出函数式，再由截距求出解析式；（2）根据二次函数的单调性确定函数的最大值和最小值，然后求解． （3）求出()f x 在[0,3]的最大值4，对函数()2lg 1lg mg x x x=+- 换元lg t x =，得()21m g x y t t ==+-，[1,2]t ∈，由421mt t≤+-用分离参数法转化． 【详解】（1）∵()()22f x f x +=-，∴对称轴是2x =，又函数最小值是1，可设2()(2)1f x a x =-+（0a >），∴(0)414f a =+=，34a =． ∴23()(2)14f x x =-+． （2）若2a b ≤≤，则min ()1f x a ==，7(1)24f =<，∴3b ≥且23()(2)14f b b b =-+=，解得4b =．∴1,4a b ==，不变区间是[1,4]；若02a b <<≤，则()f x 在[,]a b 上是减函数，∴223()(2)14433()(2)14f a a b a b f b b a ⎧=-+=⎪⎪∴==⎨⎪=-+=⎪⎩或4，因为02a b <<≤，所以舍去；若2a b ≤<，则()f x 在[,]a b 上是增函数，∴223()(2)143()(2)14f a a a f b b b ⎧=-+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩，∴,a b 是方程()f x x =的两根，由()f x x =得23(2)14x x -+=，124,43x x ==，不合题意． 综上1,4a b ==； （3）23()(2)14f x x =-+，[0,3]x ∈时，max ()(0)4f x f ==， 设2lg 1lg m y x x=+-，令lg t x =，当[10,100]x ∈时，[1,2]t ∈． 21m y t t=+-， 由题意存在[1,2]t ∈，使421m t t ≤+-成立，即225m t t ≥-+， [1,2]t ∈时，22525252()48t t t -+=--+的最小值是222522-⨯+⨯=， 所以[2,)m ∈+∞．【点睛】本题考查求二次函数解析式，考查二次函数的创新问题，考查不等式恒成立和能成立问题．二次函数的解析式有三种形式：2()(),f x a x m h =-+12()()(),f x a x x x x =--2()f x ax bx c =++，解题时要根据具体的条件设相应的解析式．二次函数的值域问题要讨论对称轴与区间的关系，以确定函数的单调性，得最值．难点是不等式问题，对于任意的1[0,3]x ∈，说明不等式恒成立，而存在[10,100]x ∈，说明不等式“能”成立．一定要注意是转化为求函数的最大值还是最小值．28．（1）12-（2）3 【解析】【分析】 （1）根据幂的运算法则计算；（2）根据对数运算法则和换底公式计算．【详解】解：（1）原式1313249314164⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥+⎣⎦ 731444=++- 12=-. （2）原式33log 312lg10=+-+3121=+-+3=.【点睛】本题考查幂和对数的运算法则，掌握幂和对数运算法则是解题关键．29．(1)78;(2)221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩,N x ∈,9天. 【解析】【分析】（1）由题意得第6天后剩余配料为(86)200400-⨯=(千克),从而求得P ； （2）由题意得221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩其中N x ∈. 求出分段函数取得最小值时，对应的x 值，即可得答案.【详解】(1)第6天后剩余配料为(86)200400-⨯=(千克), 所以3(85)6040078200P ⨯-=+⨯=; (2)当6x ≤时,200109021090y x x x =++=+, 当6x >时,23(5)2009060200(6)3167240200x y x x x x -=+++⋅⋅-=++, 所以221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩其中N x ∈. 设平均每天支付的费用为()f x 元, 当06x ≤≤时,2109090()210x f x x x +==+, ()f x 在[0,6]单调递减,所以min ()(6)225f x f ==;当6x >时,2316724080()3167x x f x x x x ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭, 可知()f x 在(0,45)单调递减,在(45,)+∞单调递增, 又8459<<,(8)221f =,2(9)2203f =,所以min 2()(9)2203f x f == 综上所述,该厂9天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少.【点睛】 本题考查构建函数模型解决实际问题、函数的单调性和最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对勾函数图象的应用.30．(1)答案见解析；(2)0a <或1a >.【解析】试题分析：(1)利用赋值法计算可得()()02,14f f =--=-，设1x <，则21x ->，利用()22f =拆项：()()22f f x x =-+即可证得：当1x <时，()0f x <；(2)结合(1)的结论可证得()f x 是增函数，据此脱去f 符号，原问题转化为()()2222122a a x a x ----+<-在[]1,3上恒成立，分离参数有：222234x x a a x x +-->-恒成立，结合基本不等式的结论可得实数a 的取值范围是0a <或1a >.试题解析：(1)令，得， 令， 得， 令，得， 设，则， 因为, 所以; (2)设，, 因为所以， 所以为增函数, 所以,即, 上式等价于对任意恒成立，因为，所以上式等价于对任意恒成立，设，（时取等），所以，解得或.。
黑龙江省哈尔滨市第九中学2019-2020学年高一数学上学期9月阶段考试试题(含解析)
∴a=2,b=7，∴f（x）=2x+7．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求解函数的解析式，属于基础试题
14。已知集合 ，集合 ,若 ，则实数 的取值为______________.
【答案】 、 或
【解析】
15。已知 ，则不等式 的解集是______________。
【答案】
【解析】
分析】
先求f（1），依据x的范围分类讨论,求出不等式的解集。
【详解】f（1)=3，已知不等式f（x）＞f（1）则f（x)＞3
如果x＜0 则 x+6＞3可得 x＞-3，可得—3＜x＜0．
如果 x≥0 有x2—4x+6＞3可得x＞3或 0≤x＜1
由题意得知关于 的方程 只有一个实数解,分 和 两种情况讨论，可得出实数 的值.
【详解】由题意得知关于 的方程 只有一个实数解。
当 ， ，合乎题意；
当 时，则 ，解得 .
综上所述： 或 ,故选：D。
【点睛】本题考查集合的元素个数，本质上考查变系数的二次方程的根的个数，解题要注意对首项系数为零和非零两种情况讨论，考查分类讨论思想，属于中等题.
∵f（x）=−|x｜在(0，+∞)上y随x的增大而减小，所以它为减函数，∴D不正确,故选C.
【点睛】一次函数的单调性由k的正负确定.二次函数的开口向上，在对称轴的左边递减，右边递增,开口向下，在对称轴的左边递增，右边递减,绝对值函数与二次函数的单调性判断方法一致.
7。已知集合 ，则满足条件 的集合 的个数为（ ）
三、解答题（共70分）
黑龙江省哈尔滨市第九中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题
黑龙江省哈尔滨市第九中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．sin 240︒=（）A ．12B ．12-C D ． 2．已知集合{}{}20,1,2,3,|30M N x x x ==-<，则MN =（ ）A ．0B ．{}x |0x <C ．{}x |03x <<D ．{}1,23．已知扇形的周长为6cm ,半径是2cm ,则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．4 B ．1C ．1或4D ．24．()f x =22,0,,03x x x x +≤⎧⎨<≤⎩若()f x =3,x 则的值为AB ．9C ．11-或D ．5．设()338x f x x =+-用二分法求方程3380x x +-=在(1,2)x ∈内近似解的过程中得(1)0,(1.5)0,(1.25)0f f f <><,则方程的根落在区间( ) A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．()1.5,2D ．不能确定6．已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则()f x 的解析式是（）A ．2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7．已知角A 是ABC ∆的一个内角，若7sin cos 13A A +=，则tan A 等于（ ） A ．1213B ．712C ．512-D ．125-8．函数2()sin ()f x x x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：万元）对年销售量y （单位：t ）的影响，对近6年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,,6i y i =⋅⋅⋅进行整理，得数据如表所示：根据表中数据，下列函数中，适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的拟合函数的是（ ） A ．()0.51y x =+ B ．21x y =- C ．3log 1.5y x =+D ．22y x =-10．关于函数()()π4sin 23f x x x R ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭有下列命题，其中个正确命题的个数是（ ）（1）()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数； （2）()y f x =的图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称； （3）()y f x =的图像关于直线π6x =对称； （4）()y f x =的表达式可改写为()π4cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；11．已知函数()()sin 1f x x =-，()g x 满足()()20g x g x -+=，若函数()f x 的图象与函数()g x 的图象恰好有2019个交点，则这2019个交点的横坐标之和为（ ） A ．4038B ．2019C ．2018D ．100912．已知函数()()sin 0x f x x ωωω=>，若集合()(){}0,π1x f x ∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是（ ） A．322⎡⎢⎣⎭B．3,22⎛⎝⎦ C ．725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．725,26⎛⎤⎥⎝⎦13．函数|sin |y x =的最小正周期是________ . 14．sin 20cos10cos160sin10︒︒︒︒-=_____．15．若函数()22f x x x a =-+在()0,2内有两个零点，则a 的取值范围是______．16．已知函数()y f x =和()y g x =的图象关于y 轴对称，当函数()y f x =和()y g x =在区间上[],a b 同时单调递增或者同时单调递减时，把区间[],a b 叫做函数()y f x =的“不动区间”，若区间[]1,2为函数()2x f x t =+的“不动区间”，则实数t 的取值范围是______．17．已知角α的终边经过点()3,4P ，求下列各式的值． （1）()()cos πtan αα-+-；（2）()2πsin cos π2πsin 2ααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭．18．函数()y f x =是定义在[]1,1-上的奇函数，当(]0,1x ∈时()f x x =+． （1）求()y f x =的解析式；（2）判断()y f x =的单调性（只写结果，不用证明），若()()21f a f a -<-，求实数a 的取值范围． 19．已知π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，且1sin cos 224αα⋅=．（1）求cos α的值；（2）若()3sin 5αβ-=-，π,π2β⎛⎫∈⎪⎝⎭，求cos β的值． 20．已知函数()1124xx f x a =--． （1）若1a =时，求满足()11f x =-的实数x 的值；（2）若存在[]0,1x ∈，使()0f x >成立，求实数a 的取值范围．21．已知函数()()sin f x x ωϕ=+，()0,0πωϕ><<的图象两相邻对称轴之间的距离是π2，若将()f x 的图象向右平移π6个单位长度，所得图象对应的函数()g x 为奇函数．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的对称轴及单调增区间；（3）若对任意ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()()223204f x mf x m -+-≥恒成立，求实数m 的取值范围．22．对于定义在区间[],m n 上的两个函数()f x 和()g x ，如果对任意的[],x m n ∈，均有不等式()()1f x g x -≤成立，则称函数()f x 与()g x 在[],m n 上是“友好”的，否则称为“不友好”的．（1）若()f x x =，()2g x x x =-，则()f x 与()g x 在区间[]1,2上是否“友好”；（2）现在有两个函数()()log 3a f x x a =-与()()1log 0,1a g x a a x a=>≠-，给定区间[]2,3a a ++．①若()f x 与()g x 在区间[]2,3a a ++上都有意义，求a 的取值范围； ②讨论函数()f x 与()g x 与在区间[]2,3a a ++上是否“友好”．参考答案1．D 【解析】 【分析】利用诱导公式可直接求得结果. 【详解】()3sin 240sin 18060sin 602=+=-=-本题正确选项：D 【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值，属于基础题. 2．D 【解析】由题意得，集合{|03}N x x =<<，所以{}1,2M N ⋂=，故选D ． 考点：集合的运算． 3．B 【解析】 【分析】由题意布列关于扇形的圆心角的方程，解之即可. 【详解】设扇形的圆心角为αrad ，半径为Rcm ，则26R 2R R α+=⎧⎨=⎩，解得α＝1． 故选B ． 【点睛】本题考查扇形的弧长公式，注意区分扇形的周长与扇形的弧长，属于基础题. 4．A 【解析】因为()f x =22,0,03x x x x +≤⎧⎨<≤⎩,所以方程()3f x =等价于023x x ≤⎧⎨+=⎩或2303x x ⎧=⎨<≤⎩,求解可得x =故选A.5．B 【解析】 【分析】因为()338xf x x =+-,(1.5)0,(1.25)0f f ><,根据零点存在定理,即可求得答案.【详解】()338x f x x =+-又(1.5)0,(1.25)0f f ><∴ (1.5)(1.25)0f f ⋅<由零点存在定理可得()f x 在区间(1.25,1.5)存在零点.∴ 3380x x +-=方程的根落在区间(1.25,1.5)故选:B ． 【点睛】本题考查了判断零点的范围和求解方程根的范围,解题关键是掌握零点存在定理和二分法求方程根的解法,考查了分析能力,属于基础题. 6．B 【解析】 【分析】根据图像的最大值和最小值得到A ，根据图像得到周期，从而求出ω，再代入点7,26π⎛⎫- ⎪⎝⎭得到ϕ的值. 【详解】由图像可得函数的最大值为2，最小值为-2，故2A = 根据图像可知724632T πππ=-=， 所以22,1T Tππω===，代入点7,26π⎛⎫- ⎪⎝⎭得722sin 6πϕ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭所以73262k ππϕπ+=+，23k πϕπ=+ 因为02πϕ<<，所以0,3k πϕ==所以()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选B .【点睛】本题考查根据正弦型函数的图像求函数的解析式，属于简单题. 7．D 【解析】 【分析】先由22sin cos 1A A +=，结合题中条件，得到60sin cos 169A A =-，再联立60,1697,13sinAcosA sinA cosA ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩求解，即可得出结果. 【详解】利用22sin cos 1A A +=，可得60sin cos 169A A =-，可知A 为钝角.解方程组 60,1697,13sinAcosA sinA cosA ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得12,135,13sinA cosA ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以12tan .5A =- 故选D 【点睛】本题主要考查已知正弦与余弦的和求正切的问题，熟记同角三角函数基本关系即可，属于常考题型. 8．A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，和2f π⎛⎫⎪⎝⎭的正负，排除选项，得到正确答案. 【详解】y x =是奇函数，()2sin y x =是偶函数()()2sin f x x x ∴=是奇函数，故排除B,C224πππ<<∴2sin 0224f πππ⎛⎫=⋅> ⎪⎝⎭，故排除D.故选：A 【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项. 9．C 【解析】 【分析】观察表中数据，对所给函数进行逻辑推理即可. 【详解】由题表知，当自变量增加1个单位时，函数值依次增加0.55，0.40，0.16，0.14，0.20， 因此A 、B 不符合题意，当x 取1，4时，22y x =-的值分别为1,14-，与表中数据相 差较大. 故选：C 【点睛】本题考查函数模型的选取，考查学生逻辑推理与数据分析的能力，是一道容易题. 10．B 【解析】 【分析】由周期的计算公式可判断（1）；计算3f π⎛⎫⎪⎝⎭，6f π⎛⎫⎪⎝⎭结合正弦型函数的对称性可判断（2），（3）；由诱导公式可判断（4）. 【详解】 由已知，22T ππ==，所以()y f x =是以π为最小正周期的周期函数，故（1）错误； 将3x π=代入()π4sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭中，得2π4sin 4sin 0333f πππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 ()f x 得图象关于π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，故（2）正确；将6x π=代入()π4sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭中，得π4sin 4633f ππ⎛⎫⎛⎫=+=≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线π6x =不是其对称轴，故（3）错误； 因为()π4sin 24cos (2)4cos(2)3236f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π4cos 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以（4）正确. 故选：B 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，涉及到周期性、对称性等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 11．B 【解析】 【分析】由已知得到函数()f x 的图象与函数()g x 的图象均关于点(1,0)对称，注意到(1)(1)0f g ==，通过逻辑推理即可得到答案.【详解】因为sin y x =的图象关于(0,0)对称，所以()()sin 1f x x =-的图象关于点(1,0)对称， 由()()20g x g x -+=可知，()g x 的图象也关于点(1,0)对称，又函数()f x 的图象与函数()g x 的图象恰好有2019个交点，注意到(1)(1)0f g ==，所以()f x 的图象与函数()g x的图象在除(1,0)外还有2018个交点，且这些交点也都关于点(1,0)对称，其横坐标的和为 2018，所以这2019个交点的横坐标之和为2019. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的对称性、函数图象的对称性，考查学生分析问题、解决问题的能力，考查学生直观想象，逻辑推理的核心素养，是一道中档题. 12．D 【解析】 【分析】利用辅助角公式将()f x 化为()2sin()3f x x πω=-，3t x πω=-，问题转化为2sin y t =与1y =-在(,)33t ππωπ∈--有4个不同交点，数形结合即可得到答案.【详解】由已知，()sin 2sin()3f x x x x πωωω==-，因为(0,)x π∈，所以(,)333x πππωωπ-∈--，令3t x πω=-，则问题转化为2sin y t =与1y =-在(,)33t ππωπ∈--有4个不同交点，如图只需19362336ππωπππωπ⎧->⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得72526ω<≤. 故选：D【点睛】本题主要考查已知方程根的个数求参数的取值范围，涉及到辅助角公式、正弦型函数的图象，考查学生等价转化思想、数形结合思想，是一道中档题. 13．π 【解析】 【分析】根据sin y x =与sin y x =函数图像的关系，求得sin y x =的最小正周期. 【详解】sin y x =的最小正周期为2π.sin y x =的图像是由sin y x =函数图像：x 轴上方的图像保留，x 轴下方的图像关于x 轴对称到x 轴上方所得.故sin y x =的周期为π，图像如下图所示. 故填：π.【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性，考查三角函数图像变换，属于基础题. 14．12【解析】 【分析】利用诱导公式，将cos160转化为cos 20-，然后利用两角和的正弦公式化简求出结果. 【详解】解：sin 20cos10cos160sin10︒︒-︒︒sin 20cos10cos20sin10=︒︒+︒︒()1sin 20102︒︒=+=，故答案为12．【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查两角和的正弦公式，属于基础题. 15．{|01}a a << 【解析】 【分析】对称轴为1(0,2)x =∈，要使()f x 在()0,2内有两个零点，只需(1)0(2)0(0)0f f f <⎧⎪>⎨⎪>⎩，解不等式组即可. 【详解】由已知，对称轴为1(0,2)x =∈，要使()f x 在()0,2内有两个零点，只需(1)0(2)0(0)0f f f <⎧⎪>⎨⎪>⎩，即104400a a a -+<⎧⎪-+>⎨⎪>⎩，解得01a <<.故答案为：{|01}a a << 【点睛】本题考查已知函数零点的个数求参数的取值范围，考查学生数形结合的思想及数学运算能力，是一道容易题. 16．12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由定义知()2x f x t =+与()|2|x g x t -=+在[]1,2上有相同的单调性，注意到2xy t =+与2x y t -=+的单调性相反，将所求问题转化为不等式(2)(2)0x x t t -++≤在[]1,2上恒成立即可解决.【详解】由题意，()()|2|xg x f x t -=-=+，因为区间[]1,2为函数()2xf x t =+的“不动区间”，所以()2xf x t =+与()|2|xg x t -=+在[]1,2上有相同的单调性，又2x y t =+与2xy t -=+的单调性相反，所以(2)(2)0x xt t -++≤在[]1,2上恒成立，即21(22)0x x t t -+++≤在[]1,2上恒成立，即22x x t --≤≤-在[]1,2上恒成立，解得122t -≤≤-. 故答案为：12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查函数的新定义的问题，涉及到函数的单调性、不等式恒成立，考查学生转化与化归的思想，是一道有一定难度的题. 17．（1）2915-（2）1 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义可得4sin 5α，3cos 5α=，4tan 3α=，再利用诱导公式化简求值即可；（2）直接利用诱导公式化简即可. 【详解】（1）由角α终边经过点()3,4P 知：4sin 5α，3cos 5α=，4tan 3α=，所以()()29cos πtan cos tan 15αααα-+-=--=-. （2）()()22πsin cos πcos cos 21πcos sin 2αααααα⎛⎫-+ ⎪-⋅-⎝⎭==⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式的化简、求值，涉及到三角函数的定义，考查学生的运算能力，是一道容易题.18．（1）()[][)0,11,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩（2）()y f x =在区间[]1,1-上单调递增．312a ≤< 【解析】 【分析】（1）设[)1,0x ∈-，则(0,1]x -∈()f x x -=-+，再利用()y f x =的奇偶性即可得到答案；（2）利用()y f x =的单调性即可，但要注意定义域. 【详解】（1）因为()y f x =是奇函数，所以()y f x =关于原点对称，∴()00f =．设[)1,0x ∈-，则(0,1]x -∈，()()f x x f x -=-+=-，∴()f x x =-．∴()[][)0,11,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩．（2）()y f x =在区间[]1,1-上单调递增．∴12111121a a a a-≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-<-⎩，解得312a ≤<.综上，实数a 的取值范围为312a ≤<． 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道容易题. 19．（1）cos 2α=-（2）310- 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式可得1sin 2α=，又π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再利用同角三角函数的平方关系计算即可得到答案；（2）()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=⋅-+⋅-，只需求出()cos αβ-的值即可.【详解】 （1）∵1sincos224αα⋅=，∴1sin 2α=．∵π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴cos α=． （2）∵π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，ππ,2β⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭∴ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭．∴()4cos 5αβ-=． ∴()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()4133cos cos sin sin 252510ααβααβ+⎛⎫=⋅-+⋅-=-⨯+⨯-=-⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查两角差的余弦公式以及二倍角公式的应用，涉及到同角三角函数的平方关系、配角求三角函数值，考查学生的转化与化归的思想、数学运算能力，是一道容易题.20．（1）12log 3x =（2）34a > 【解析】 【分析】 （1）由已知，1111124x x --=-，令()102x t t =>，则2120t t +-=，解得3t =或4t =-（舍），再回代解方程即可;（2）将原问题转化为存在[]0,1x ∈，使得1124x xa >+，只需求出函数11()24x x h x =+的最小值即可，再利用换元法求()h x 的最小值. 【详解】（1）当1a =时，()1111124x x f x =--=-，令()102x t t =>，则2120t t +-=，解得3t =或4t =-（舍），由132x=，得12log 3x =， 所以12log 3x =．（2）由已知，存在[]0,1x ∈，使()0f x >成立可转化为存在[]0,1x ∈，使得1124xx a >+， 只需求出函数11()24x xh x =+的最小值即可， 令12x t =，∴1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．则2y t t =+，易知2y t t =+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以 2min 113()224y =+=，∴min 3()4h x =，∴34a >．【点睛】本题考查解指数型方程以及函数能成立求参数的问题，考查学生转化与化归的思想、数学运算能力，是一道容易题.21．（1）()sin(2)3f x x π=+；（2）对称轴为,212k x k Z ππ=+∈，单调增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈；（3）(,-∞[1)+∞ 【解析】 【分析】（1）由已知可得到周期T ，进一步得到2ω=，()=sin(2)3g x x πϕ-+，由()g x 为奇函数所以,3k k Z πϕπ-+=∈，结合0ϕπ<<即可得到ϕ；（2）令2,32x k k Z πππ+=+∈可得对称轴方程，由222,232k x k k Zπππππ-≤+≤+∈可得单调增区间； （3）易得()sin(2)[0,1]3f x x π=+∈，令()[0,1]f x t =∈，()h t =22324t mt m -+-，问题可转化为()0h t ≥在[0,1]上恒成立，只需求出min ()h t 即可. 【详解】（1）由已知，周期2T ππω==，所以2ω=，()()sin(2)63g x f x x ππϕ=-=-+，因为()g x 为奇函数，所以,3k k Z πϕπ-+=∈，即,3k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ<<，所以3πϕ=，所以()sin(2)3f x x π=+.（2）由（1）令2,32x k k Z πππ+=+∈，得,212k x k Z ππ=+∈， 所以()f x 的对称轴为,212k x k Z ππ=+∈； 由222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以()f x 的单调增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈； （3）当ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22[0,]33x ππ+∈，所以()sin(2)[0,1]3f x x π=+∈，令()[0,1]f x t =∈，则原问题可转化为223204t mt m -+-≥在[0,1]t ∈上恒成立， 令()h t =22324t mt m -+-， 当0m ≤时，()h t 在[0,1]上单调递增，所以2min 3()(0)04h t h m ==-≥，解得2m ≤或2m ≥，所以2m ≤； 当01m <<时，()h t 在[0,]m 上单调递减，[,1]m 上单调递增，所以min 3()()04h t h m ==-≥，此时无解； 当m 1≥时，()h t 在[0,1]上单调递减，所以2min 1()(1)204h t h m m ==-+≥，解得12m ≥+或12m ≤-，所以12m ≥+.综上，实数m 的取值范围为(,2-∞-[1)2++∞. 【点睛】本题考查三角函数的综合应用，涉及到求函数解析式、函数的对称轴、单调区间、不等式恒成立，考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题. 22．（1）是；（2）①(0,1)；②见解析 【解析】 【分析】（1）按照定义，只需判断()()2(1)11f x g x x -=--≤在区间[]1,2上是否恒成立；（2）①由题意解不等式组23020a a a a +->⎧⎨+->⎩即可；②假设存在实数a ，使得()f x 与()g x 与在区间[]2,3a a ++上是“友好”的，即()()22log (43)1a f x g x x ax a -=-+≤，即221log (43)1a x ax a -≤-+≤，只需求出函数22log (43)a y x ax a =-+在区间[]2,3a a ++上的最值，解不等式组即可.【详解】（1）由已知，()()222(1)1f x g x x x x -=-=--，因为[]1,2x ∈时，2(1)1[1,0]y x =--∈-，所以()()2(1)11f x g x x -=--≤恒成立，故()f x 与()g x 在区间[]1,2上是“友好”的.（2）①()f x 与()g x 在区间[]2,3a a ++上都有意义，则必须满足23020a a a a +->⎧⎨+->⎩，解得1a <，又0a >且1a ≠，所以a 的取值范围为(0,1).②假设存在实数a ，使得()f x 与()g x 与在区间[]2,3a a ++上是“友好”的，则()()22log (43)1a f x g x x ax a -=-+≤，即221log (43)1a x ax a -≤-+≤，因为(0,1)a ∈，则2(0,2)a ∈，22a +>，所以[]2,3a a ++在2x a =的右侧， 又复合函数的单调性可得22log (43)a y x ax a =-+在区间[]2,3a a ++上为减函数，从而max 2,log (44)a x a y a =+=-，min 3,log (96)a x a y a =+=-，所以log (44)1log (96)101a a a a a -≤⎧⎪-≥-⎨⎪<<⎩，解得9012a -<≤，所以当9012a <≤时，()f x 与()g x 与在区间[]2,3a a ++上是“友好”的；1a <<时，()f x 与()g x 与在区间[]2,3a a ++上是“不友好”的. 【点睛】本题考查函数的新定义问题，主要涉及到不等式恒成立的问题，考查学生转化与化归的思想、数学运算求解能力，是一道有一定难度的题.。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第九中学高一上学期期末考试数学试题(解析版)
2018，所以这2019个交点的横坐标之和为2019.
故选：B
【点睛】
本题主要考查函数的对称性、函数图象的对称性，考查学生分析问题、解决问题的能力，考查学生直观想象，逻辑推理的核心素养，是一道中档题.
12．已知函数 ，若集合 含有4个元素，则实数 的取值范围是（）
【详解】
（1）由已知， ，因为 时，
，所以 恒成立，故
与 在区间 上是“友好”的.
（2）① 与 在区间 上都有意义，
则必须满足 ，解得 ，又 且 ，
所以 的取值范围为 .
②假设存在实数 ，使得 与 与在区间 上是“友好”的，
则 ，即 ，
因为 ，则 ， ，所以 在 的右侧，
又复合函数的单调性可得 在区间 上为减函数，
x
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
y
1.65
2.20
2.60
2.76
2.90
3.10
根据表中数据，下列函数中，适宜作为年销售量 关于年宣传费 的拟合函数的是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】观察表中数据，对所给函数进行逻辑推理即可.
【详解】
由题表知，当自变量增加1个单位时，函数值依次增加0.55，0.40，0.16，0.14，0.20，
（1）求 的解析式；
（2）求 的对称轴及单调增区间；
（3）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）对称轴为 ，单调增区间为 ；（3）
【解析】（1）由已知可得到周期 ，进一步得到 ， ，由 为奇函数所以 ，结合 即可得到 ；
高中黑龙江省哈尔滨市第九中学度高一上学期期中数学试题
黑龙江省哈尔滨市第九中学【精品】度高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}1,0,1M =-，{}0,1,2N =，则M N ⋃=（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0,1,2-C ．{}1,0,2-D ．{}0,12的值是（ ） A ．25B ．－25 C ．±25 D ．－35 3．如图所示的图形中，表示M N ⊆的是（ ）A ．B ．C ．D ．4． 设集合A ={1，2}，则满足{}1,2,3A B ⋃=的集合B 的个数是A ．1B ．3C ．4D ．85．函数11(0x y a a -=+>且1)a ≠的图象必经过定点( )A ．()0,1B ．()1,1C ．()2,1D ．()1,2 6．下列函数中，与函数y x =相同的函数是（ ）.A ．2x y x = B ．lg10x y = C ．2y = D ．2log 2x y = 7．设0.3222,0.3,log 0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a << 8．下列函数中，在区间()2,+∞上为增函数的是（ ）A ．3x y =-B ．12y x =-C ．()22y x =--D ．12y log x =9．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：要使每天的收入最高，每间客房的定价应为（ ）A ．100元B ．90元C ．80元D ．60元10．已知函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．[)4,8C ．()4,8D ．()1,811．函数y x =+A ．9(,)4+∞ B ．9[,)4+∞ C ．9(,]4-∞ D ．9(,)4-∞ 12．已知函数()()219321x x x x f x g x t -==-⋅+，，若存在a ，b 同时满足()()0f a f b +=和()()0g a g b +=，则实数t 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．(],1-∞- C．[)1,-+∞ D ．(],1-∞二、填空题 13．化简2254 log 5log + ，可得_____． 14．设函数21 (1)1x x f x x x -⎧=⎨-≥⎩，＜（），，若()1f a =，则实数a 的值为是_____． 15．函数y =_____． 16．已知函数()1009100910111011x x f x x x --=+--，且()10112f =，则()()()012f f f +++()...2022f +=_____．三、解答题17．已知全集为R ，1{|21}{|0}2x A x x B x x +=-=+＞，＞，求： （1）A B ； （2）()R A B ⋃．18．已知函数211x f x x +=+（）. （1）判断并用定义证明函数()f x 在区间()1,-+∞上的单调性；（2）求该函数在区间[1，4]上的最大值和最小值．19．设函数()2,030x bx c x f x x x ⎧++=⎨+≥⎩＜，，且()()()40,10f f f -=-=． （1）求()f x 的解析式；（2）画出函数()f x 的图象，并根据图象写出函数()f x 具有的性质（至少两个，不用证明）．20．已知函数2()22,[5,5],f x x ax x =++∈-（1）若()y f x = 在区间[5,5]- 上是单调函数，求实数a 的取值范围.（2）求函数在[5,5]-上的最大值和最小值；21．解关于x 的不等式()()()120a x x a a R ⎡⎤--->∈⎣⎦．22．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x <时，()241xx f x =-+. （1）求函数()f x 的解析式；（2）当(]0,1x ∈时，关于x 的不等式()220xx f x λ-+＜恒成立，求λ的取值范围； （3）当(),x s t ∈时，()f x的值域是245⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，，求s 与t 的值．参考答案1．B【解析】试题分析：由题意知{}1,0,1,2M N ⋃=-，故选B.【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于容易题.2．B【分析】根据根式的运算法则，即可容易求得结果.【详解】＝ ＝－25. 故选：B.【点睛】本题考查根式的运算，属简单题.3．C【分析】根据子集的定义进行解答即可．【详解】解：由于M N ⊆，故对任意的x M ∈，必有x ∈N则它们之间的关系是：故选：C ．【点睛】本题考查的是子集的定义，熟练掌握相关的定义是解答此题的关键，属于基础题。
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{M x y ==，{}2N y y x ==，则M N = （）A ．[]0,2B ．(]0,2C ．(],0-∞D ．[)2,+∞2．下列函数中，函数的图象关于y 轴对称是（）A ．3y x =B ．1y x x=+C ．211y x =+D ．21x y x =-3．若命题“12x ∃<<，2a x >”为假命题，则a 的范围是（）A ．2a <B ．2a ≤C ．4a <D ．4a ≤4．若 1.12a =， 1.32b =， 1.10.6c =则（）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．c b a>>D ．b a c>>5．已知函数1xy x =-的对称中心为点A ，且点A 在函数(),0y mx n m n =+>图象上，则22m n +的最小值为（）A ．4B ．12C ．43D ．326．若函数224(1)()42(1)x a x f x x ax a x ⎧+≤=⎨-+>⎩在R 上单调递增，则a 取值范围是（）A ．(]14，B ．[]34，C ．(]13，D ．[)4∞+，7．在R 上定义的函数()f x 是奇函数，且()()2f x f x =-，若()f x 在区间[]1,2上是减函数，则关于()f x 下列说法正确的是（）A ．在区间[]0,1上是增函数，在区间[]3,4上是增函数B ．在区间[]0,1上是增函数，在区间[]3,4上是减函数C ．在区间[]0,1上是减函数，在区间[]3,4上是增函数D ．在区间[]0,1上是减函数，在区间[]3,4上是减函数8．“相约哈尔滨，逐梦亚冬会”．哈尔滨地铁3号线预计年底全线载客运营，届时，哈尔滨地铁1号线2号线3号线将形成“十字+环线”地铁线网，将为哈尔滨2025年第九届亚冬会的举办提供有力交通保障.通车后，列车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当1020t ≤≤时列车为满载状态，载客量为500人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与()10t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，则当发车时间间隔为5t =时，列车的载客量为（）A ．410B ．420C ．450D ．480二、多选题9．下列有关不等式的说法正确的有（）A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，则33a b >C ．若a b >，则11a b<D ．若a b >，则22a b >10．已知14a a -+=，则（）A ．1122a a -+=B ．2214a a -+=C ．3352a a -+=D ．1a a --=11．已知定义在R 上函数()f x 的图象连续不间断，且满足以下条件：①(1)f x +是偶函数；②1x ∀，()2,1x ∈-∞，且12x x ≠时，都有()()21210f x f x x x ->-；③()30f =，则下列成立的是（）A ．()()12f f <-B ．若()0f x x<，()()3,03,x ∞∈-⋃+C ．若()()12f m f -<，则()(),13,m ∈-∞+∞ D ．x ∀∈R ，M ∃∈R ，使得()f x M≤三、填空题12．已知集合{}1,3A =-，{}260B x ax bx =++=，且A B =，则a b +=．13．已知()f x 是定义在()(),00,-∞+∞ 上的奇函数，当0x >时，()224f x x x =-+，则当0x <时，()f x =．14．设函数()442xx f x =+，则()()()()1012f f f f -+++=，不等式()()221f x f x <-⎡⎤⎣⎦的解集为．四、解答题15．计算下列各式的值：)102123-⎛⎫+++⎪⎝⎭；(2)1230.527110.25826-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3)25551log 16log 35log 14log 50+--16．已知幂函数()()()225222k kf x m m x k -=-+∈Z 是奇函数，且在()0,∞+上单调递增．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若()()212f x f x -<-，求x 的取值范围；(3)若实数(),,a b a b +∈R，满足2a b m +=，求1aa b+的最小值．17．已知函数()()220f x ax ax b a =-+≠(1)若1a =，2b =，求()f x 在[],1t t +上的最小值；(2)若函数在区间[]2,4上的最大值为9，最小值为1，求实数a 、b 的值．18．已知函数()22x f x x =-（∈，且2x ≠）(1)用定义证明：()f x 在区间0,2上单调递减；(2)若函数()f x 在[]0,1x ∈上的值域恰为函数()xg x a =定义域，求()g x 的值域；(3)函数()()2135h x b x b =-+，1b ≥，[]0,1x ∈，若对于任意[]10,1x ∈，总存在[]20,1x ∈，使得()()12f x h x =成立，求b 的取值范围．19．已知函数()22x x af x b+=+．(1)当4a =，2b =-时，求满足()2xf x =的x 的值；(2)若函数()f x 是定义在R 上的奇函数.①存在[]1,1t ∈-，使得不等式()()222f t t f t k -<-有解，求实数k 的取值范围；②令()()()11f x g x f x +=-，对于定义域内的1x ，2x ，3x ，若()()()()2323g x g x g x g x +=且()()()()()()123123g x g x g x g x g x g x ++=，求1x 的最大值．。
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨九中高一(上)期末数学试卷
2021－2022学年黑龙江省哈尔滨九中高一(上)期末数学试卷一、单选题：(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．所有与角α的终边相同的角可以表示为α＋k •360°(k ∈Z )，其中角α( ) A ．一定是小于90°的角 B ．一定是第一象限的角 C ．一定是正角 D ．可以是任意角2．函数f (x )＝2tan(2πx ＋3)的最小正周期为( ) A ．2πB ．4πC ．2D ．43．已知角A 是△ABC 的内角，则“sin A ＝22”是“A ＝4π”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件4．已知sinα－cosα＝－13，则sinαcosα＝( )A ．49B ．－49C ．23D ．－235．化简：()()12sin 2cos 2ππ--⋅-得( ) A ．sin2＋cos2 B ．cos2－sin2 C ．sin2－cos2 D ．±(cos2－sin2)6．33tan151tan15-︒+︒的值为( )A ．33B ．1C ．3D ．27．如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π)在一个周期内的图象，则其解析式是( )A ．f (x )＝3sin(x ＋3π) B ．f (x )＝3sin(2x ＋3π)C ．f (x )＝3sin(2x －3π) D ．f (x )＝3sin(2x ＋6π)8．已知函数f (x )＝2sin 2(x ＋4π)x ．若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈[4π，2π]上有解，则实数m 的取值范围是( )A ．[0，1]B ．C ．[12，] D ．，2] 二、多选题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．)(多选)9．下列命题中正确的是( ) A ．函数y ＝tan x 的定义域是{x |x ≠2k π，k ∈Z } B ．sin420°＞cos420°C ．若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同D ．y ＝sin|x |不是周期函数(多选)10．定义：在平面直角坐标系xOy 中，若存在常数φ(φ＞0)，使得函数y ＝f (x )的图象向右平移φ个单位长度后，恰与函数y ＝g (x )的图象重合，则称函数y ＝f (x )是函数y ＝g (x )的“原形函数”．下列四个选项中，函数y ＝f (x )是函数y ＝g (x )的“原形函数”的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝x 2－2x ＋1 B ．f (x )＝sin x ，g (x )＝cos xC ．f (x )＝lnx ，g (x )＝ln2x D ．f (x )＝3x ，g (x )＝3x －1(多选)11．设函数f (x )＝cos2x ＋sin2x ，则下列选项正确的有( ) A ．f (x )的最小正周期是πB ．f (x )满足f (4π＋x )＝f (4π－x )C ．f (x )在[a ，b ]上单调递减，那么b －a 的最大值是2πD ．f (x )(多选)12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1，若将点A 绕原点按顺时针旋转θ弧度，得到点B (x 0，y 0)，记f (θ)＝x 0＋y 0，g (θ)＝2x 0y 0，则下列结论错误的有( )A ．f (θ)＝cos(12π−θ) B ．不存在θ，使得f (θ)与g (θ)均为整数C ．f 2(θ)－8g (θ)＝2D ．存在某个区间(a ，b )(a ＞b )，使得f (θ)与g (θ)的单调性相同 三、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13α的终边在第 象限．14．已知f (α)＝()()()()sin cos 2cos sin cos 2παπαπαπαα-⋅-⎫⎛+⋅+⋅- ⎪⎝⎭，则f (6π)＝ ．15．若tan θ＋1tan θsin2θ＝ ． 16．据资料统计，通过环境整治某湖泊污染区域的面积S (km 2)与时间t (年)之间存在近似的指数函数关系，若近两年污染区域的面积由0.16km 2降至0.04km 2，则使污染区域的面积继续降至0.01km 2还需要 年． 四、解答题：(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(10分)(1)已知tanα＝2，求sin 4cos 5sin 2cos αααα-+的值；(2)已知sinα＝－35，α是第四象限角，cosβ，β∈(π，32π)，求sin(α＋β)．18．(12分)已知函数f (x )＝2sin(12x ＋6π)，x ∈R ． (1)运用五点作图法在所给坐标系内作出f (x )在x ∈[－3π，113π]内的图像； (2)求函数f (x )的对称轴，对称中心和单调递增区间．19．(12分)已知函数f (x )＝sin xx ． (1)求不等式f (x )≤1的解集；(2)将f (x )图像上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，再将所得图像向右平移3π个单位长度，得到函数g (x )的图像．求g (x )在区间[－3π，3π]上的值域．20．(12分)已知0＜β＜α＜2π，_____，cos(β－α)＝1314．从①tanα＝②tan 2α，③7sin2α＝中任选一个条件，补充在上面问题中，并完成题目． (1)求sin(α＋4π)的值； (2)求β．21．(12分)某公司拟设计一个扇环形状的花坛(如图所示)，该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD 的两条线段围成．设圆弧AB 、CD 所在圆的半径分别为f (x )、R 米，圆心角为θ(弧度)． (1)若θ＝3π，r 1＝3，r 2＝6，求花坛的面积； (2)设计时需要考虑花坛边缘(实线部分)的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？22．(12分)已知函数f (x )＝lg 44xx -+，g (x )＝1212x x -+，设h (x )＝f (x )＋g (x )－1．(1)求h (2)＋h (－2)的值；(2)是否存在这样的负实数k ，使h (k －cosθ)＋h (cos 2θ－k 2)＋2≥0对一切θ∈R 恒成立，若存在，试求出k 取值集合；若不存在，说明理由．2021－2022学年黑龙江省哈尔滨九中高一(上)期末数学试卷一、单选题：(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．所有与角α的终边相同的角可以表示为α＋k •360°(k ∈Z )，其中角α( ) A ．一定是小于90°的角 B ．一定是第一象限的角 C ．一定是正角D ．可以是任意角解：k •360°＋α(k ∈Z )它是与α角的终边相同的角，其中角α可以是任意角． 故选：D ． 2．函数f (x )＝2tan(2πx ＋3)的最小正周期为( ) A ．2πB ．4πC ．2D ．4解：函数f (x )＝2tan(2πx ＋3)的最小正周期为2ππ＝2，故选：C ．3．已知角A 是△ABC 的内角，则“sin A”是“A ＝4π”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件解：在三角形中由sin A，得A ＝4π或34π， 则“sin A”是“A ＝4π”的必要不充分条件， 故选：C ．4．已知sinα－cosα＝－13，则sinαcosα＝( )A ．49B ．－49C ．23D ．－23解：由sinα－cosα＝－13，两边平方可得：sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝19，即2sinαcosα＝1－19＝89，得sinαcosα＝49．故选：A ．5( ) A ．sin2＋cos2B ．cos2－sin2C ．sin2－cos2D ．±(cos2－sin2)解：()()12sin 2cos 2ππ--⋅-＝12sin2cos2+⋅＝|sin2＋cos2|＝sin2＋cos2． 故选：A ． 6．33tan151tan15-︒+︒的值为( )A ．33B ．1C ．3D ．2解：因为tan15°＝tan(45°－30°)＝313313-+＝3333-+＝2－3， 所以33tan151tan15-︒+︒＝()3123123-++-＝1．故选：B ．7．如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π)在一个周期内的图象，则其解析式是( )A ．f (x )＝3sin(x ＋3π) B ．f (x )＝3sin(2x ＋3π)C ．f (x )＝3sin(2x －3π)D ．f (x )＝3sin(2x ＋6π)解：由图象知A ＝3，函数的周期T ＝56π－(－6π)＝π，即2πω＝π，即ω＝2， 则f (x )＝3sin(2x ＋φ)， 由五点对应法得2×(－6π)＋φ＝0，即φ＝3π，则f (x )＝3sin(2x ＋3π)， 故选：B ．8．已知函数f (x )＝2sin 2(x ＋4π)3x ．若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈[4π，2π]上有解，则实数m 的取值范围是( )A ．[0，1]B ．[22，2] C ．[12，22] D ．[22，2] 解：∵f (x )＝2sin 2(4π＋x )－3cos2x ＝1－cos(2π＋2x )－3cos2x ＝1＋sin2x －3cos2x ＝2sin(2x －3π)＋1，∴周期T ＝π，∵x ∈[4π，2π]， ∴2x －3π∈[6π，23π]，∴sin(2x －3π)∈[12，1]，∴f (x )的值域为[2，3]，而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2，3]，即m ∈[0，1]． 故选：A ．二、多选题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．)(多选)9．下列命题中正确的是( ) A ．函数y ＝tan x 的定义域是{x |x ≠2k π，k ∈Z } B ．sin420°＞cos420°C ．若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同D ．y ＝sin|x |不是周期函数解：对于A ，正切函数的定义域为{x |x ≠k π＋2π，k ∈Z }，故A 错误； 对于B ，sin420°＝sin(360°＋60°)＝sin60°＝32＞cos420°＝cos(360°＋60°)＝cos60°＝12，故B 正确； 对于C ，α＝30°，β＝150°时，sinα＝sinβ，此时α，β终边不同，故C 错误； 对于D ，画出草图如右，显然不是周期函数，故D 正确． 故选：BD ．(多选)10．定义：在平面直角坐标系xOy 中，若存在常数φ(φ＞0)，使得函数y ＝f (x )的图象向右平移φ个单位长度后，恰与函数y ＝g (x )的图象重合，则称函数y ＝f (x )是函数y ＝g (x )的“原形函数”．下列四个选项中，函数y ＝f (x )是函数y ＝g (x )的“原形函数”的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝x 2－2x ＋1 B ．f (x )＝sin x ，g (x )＝cos xC ．f (x )＝lnx ，g (x )＝ln2x D ．f (x )＝3x ，g (x )＝3x －1解：g (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，所以函数f (x )的图象向右平移1个单位长度得到g (x )，即A 正确； g (x )＝cos x ＝sin(x －32π)，所以函数f (x )的图象向右平移32π个单位长度得到g (x )，即B 正确； g (x )＝ln2x＝lnx －ln 2，所以函数f (x )的图象向下平移ln 2个单位长度得到g (x )，即C 错误； 函数f (x )的图象向下平移1个单位长度得到g (x )，即D 错误． 故选：AB ．(多选)11．设函数f (x )＝cos2x ＋sin2x ，则下列选项正确的有( ) A ．f (x )的最小正周期是πB ．f (x )满足f (4π＋x )＝f (4π－x )C ．f (x )在[a ，b ]上单调递减，那么b －a 的最大值是2πD ．f (x )解：f (x )＝cos2x ＋sin2x x ＋4π)， 对选项A ，T ＝22π＝π，故A 正确；对选项B ，f (4π)sin 34π＝1所以x ＝4π不是f (x )＝cos2x ＋sin2x 的对称轴， 即f (x )不满足f (4π＋x )＝f (4π－x )，故B 错误；对选项C ，因为f (x ) 在[a ，b ]单调递减，所以b －a ≤2T ＝2π， 即b －a 的最大值是2π，故C 正确；对选项D ，f (x )＝cos2x ＋sin2x x ＋4π)所以f (x )，故D 正确． 故选：ACD ．(多选)12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1，若将点A 绕原点按顺时针旋转θ弧度，得到点B (x 0，y 0)，记f (θ)＝x 0＋y 0，g (θ)＝2x 0y 0，则下列结论错误的有( ) A ．f (θ)＝cos(12π−θ) B ．不存在θ，使得f (θ)与g (θ)均为整数C ．f 2(θ)－8g (θ)＝2D ．存在某个区间(a ，b )(a ＞b )，使得f (θ)与g (θ)的单调性相同解：由A (1知A 为角3π终边上一点，所以B (2cos(3π−θ)，2sin(3π−θ))． 所以f (θ)＝2sin(3π−θ)＋2cos(3π−θ)＝sin(3π−θ＋4π)＝sin(712π−θ)＝cos(12π−θ)．故A 正确．g (θ)＝4sin(3π−θ)cos(3π−θ)＝2sin(23π−2θ)．当θ＝3π时，f (θ)＝2，g (θ)＝0，故B 错误．当θ＝12π时，f (θ)＝，g (θ)＝2，f ²(θ)－8g (θ)＝－8≠2，故C 错误．对于g (θ)，当−2π＜23π−2θ＜2π，即12π＜θ＜712π时，g (θ)单调递减；对于f (θ)，当−π＜12π−θ＜0，即12π＜θ＜1312π时，f (θ)单调递减；所以f (θ)与g (θ)都在区间(12π，712π)上单调递减，D 正确．故选：BC ．三、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．) 13α的终边在第 一或三 象限．所以sinα与cosα符号相同， 当α当α则α的终边在第一或第三象限． 故答案为：一或三． 14．已知f (α)＝()()()()sin cos 2cos sin cos 2παπαπαπαα-⋅-⎫⎛+⋅+⋅- ⎪⎝⎭，则f (6π)＝ 2 ．解：因为f (α)＝()()()()sin cos 2cos sin cos 2παπαπαπαα-⋅-⎫⎛+⋅+⋅- ⎪⎝⎭＝()sin cos sin sin cos ααααα⋅-⋅-⋅＝1sin α，所以f (6π)＝1sin 6π＝112＝2，故答案为：2．15．若tan θ＋1tan θsin2θ＝ ．解：若tanθ＋1tan θ∴sin2θ＝222sin cos sin cos θθθθ+＝22tan tan 1θθ+＝21tan tan θθ+16．据资料统计，通过环境整治某湖泊污染区域的面积S (km 2)与时间t (年)之间存在近似的指数函数关系，若近两年污染区域的面积由0.16km 2降至0.04km 2，则使污染区域的面积继续降至0.01km 2还需要 2 年．解：设相隔为t 年的两个年份湖泊污染区域的面积为S 1和S 2， 则可设S 1＝S 2a t ，由题意可知，S 1＝0.16，S 2＝0.04，t ＝2，即0.16＝0.04×a 2，解得a ＝2， 故S 1＝S 2·2t ，假设需要x 年能降至0.04，即S 1＝0.04，S 2＝0.01，即0.04＝0.01×2t ，解得t ＝2， 故使污染区域的面积继续降至0.01km 2还需要2年． 故答案为：2．四、解答题：(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(10分)(1)已知tanα＝2，求sin 4cos 5sin 2cos αααα-+的值；(2)已知sinα＝－35，α是第四象限角，cosβ，β∈(π，32π)，求sin(α＋β)．解：(1)因为tanα＝2， 所以sin 4cos 5sin 2cos αααα-+＝tan 45tan 2αα-+＝24522-⨯+＝－16；(2)因为sinα＝－35，α是第四象限角，所以cosα＝45，因为cosβ，β∈(π，32π)， 所以sinβ＝－12，所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋sinβcosα＝－35×()＋(－12)×45．18．(12分)已知函数f (x )＝2sin(12x ＋6π)，x ∈R ．(1)运用五点作图法在所给坐标系内作出f (x )在x ∈[－3π，113π]内的图像； (2)求函数f (x )的对称轴，对称中心和单调递增区间．解：(1)函数f (x )＝2sin(12x ＋6π)，x ∈R ．列表如下： 12x ＋6π0 2π π 32π2π x －3π 23π 53π 83π113π y 0 2 0 －20 作出f (x )在一个周期上的图象：(2)令12x ＋6π＝2π＋k π，k ∈Z ， 可得函数f (x )的对称轴为x ＝23π＋2k π，k ∈Z ，令12x ＋6π＝k π，即x ＝－3π＋2k π，k ∈Z故对称中心为(－3π＋2k π，0)(k ∈Z )令2k π－2π≤12x ＋6π≤2k π＋2π，k ∈Z ，解得4k π－43π≤x ≤4k π＋23π，k ∈Z ，可得函数f (x )的单调增区间为[4k π－43π，4k π＋23π]，k ∈Z ．19．(12分)已知函数f (x )＝sin xx ．(1)求不等式f (x )≤1的解集；(2)将f (x )图像上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，再将所得图像向右平移3π个单位长度，得到函数g (x )的图像．求g (x )在区间[－3π，3π]上的值域． 解：(1) f (x )＝sin xx ＝2sin(x ＋3π)， ∴f (x )≤1，即sin(x ＋3π)≤12， 结合y ＝sinμ的图像可得2k π＋56π≤x ＋3π≤2k π＋136π，即2k π＋2π≤x ≤2k π＋116π，k ∈Z ， ∴f (x )≤1的解集为[2k π＋2π，2k π＋116π]，k ∈Z ． (2)由题可知g (x )＝2sin[2(x －3π)＋3π]＝2sin (2x －3π)， 当－3π≤x ≤3π时，－π≤2x －3π≤3π， 结合y ＝sinμ的图像可得g (x )在区间[－3π，3π]上的值域为[－2． 20．(12分)已知0＜β＜α＜2π，_____，cos(β－α)＝1314．从①tanα＝②tan 2α，③7sin2α＝中任选一个条件，补充在上面问题中，并完成题目．(1)求sin(α＋4π)的值； (2)求β．解：(1)因为0＜β＜α＜2π， 所以－2π＜β－α＜0， 因为cos(β－α)＝1314， 所以sin(β－α)， 选①tanα＝sinαcosα＝17， 所以sin(α＋4π)(sinα＋cosα)； 选②tan 2α，则tanα＝22tan 21tan 2αα-14-所以sin(α＋4π)(sinα＋cosα)；选③7sin2α＝83cosα，则2sinαcosα＝83cosα， 因为0＜α＜2π，cosα≠0， 所以tanα＝43，则sinα＝437，cosα＝17， 所以sin(α＋4π)＝22(sinα＋cosα)＝22×1437+＝24614+； (2)因为sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋sinαcos (β－α)＝－3314×17＋1314×437＝32， 因为0＜β＜2π， 所以β＝3π 21．(12分)某公司拟设计一个扇环形状的花坛(如图所示)，该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD 的两条线段围成．设圆弧AB 、CD 所在圆的半径分别为f (x )、R 米，圆心角为θ(弧度)．(1)若θ＝3π，r 1＝3，r 2＝6，求花坛的面积； (2)设计时需要考虑花坛边缘(实线部分)的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？解：(1)设花坛的面积为S 平方米.S ＝12r 2 2θ－12r 2 1θ＝12×36×3π－12×9×3π＝92π(m 2) 答：花坛的面积为92π(m 2)；… (2)AB 的长为r 1θ米，CD 的长为r 2θ米，线段AD 的长为(r 2－r 1)米由题意知60•2(r 2－r 1)＋90(r 1θ＋r 2θ)＝1200即4(r 2－r 1)＋3(r 2θ＋r 1θ)＝40*…(7分)S ＝12r 2 2θ－12r 2 1θ＝12(r 2θ＋r 1θ)( r 2－r 1)…(9分) 由*式知，r 2θ＋r 1θ＝403－43( r 2－r 1)…(11分) 记r 2－r 1＝x ，则0＜x ＜10所以S＝12(403－43x)x＝－23(x－5)2＋503，x∈(0，10)…(13分)当x＝5时，S取得最大值，即r2－r1＝5时，花坛的面积最大．…(15分) 答：当线段AD的长为5米时，花坛的面积最大．…(16分)22．(12分)已知函数f(x)＝lg 44xx-+，g(x)＝1212xx-+，设h(x)＝f(x)＋g(x)－1．(1)求h(2)＋h(－2)的值；(2)是否存在这样的负实数k，使h(k－cosθ)＋h(cos2θ－k2)＋2≥0对一切θ∈R恒成立，若存在，试求出k 取值集合；若不存在，说明理由．解：(1)由44xx-+＞0得－4＜x＜4，∵f(x)＝lg 44xx-+，∴f(x)＝lg 44xx+-＝－lg44xx-+＝－f(x)，∴f(x)是奇函数；又y＝44xx-+＝－1＋84x+为减函数，y＝lgx为增函数，由复合函数的单调性知，f(x)＝lg 44xx-+为(－4，4)上的减函数；g(x)＝1212xx-+⇒g(－x)＝－g(x)⇒g(x)为奇函数，同理可知g(x)＝1212xx-+＝－1＋212x+为减函数，∴h(x)＝f(x)＋g(x)－1为(－4，4)上的减函数；(1°)又h(－x)＋h(－x)＝f(x)＋g(x)－1＋[f(－x)＋g(－x)－1]＝－2，(2°)∴h(2)＋h(－2)＝－2；(2)设∃实数k＜0，使得h(k－cosθ)＋h(cos2θ－k2)＋2≥0对一切θ∈R恒成立，由(2°)得，h(k－cosθ)＋h(cos2θ－k2)≥－2＝h(k－cosθ)＋h(cosθ－k)，即∀θ∈R，h(cos2θ－k2)≥h(cosθ－k)恒成立，由(1°)得：－4＜cos2θ－k2≤cosθ－k＜4对一切θ∈R恒成立，∴22224coscos cos4coskk kkθθθθ⎧-<⎪-≥-⎨⎪+>⎩①②③对于②k2－k≥cos2θ－cosθ＝(cosθ－12)2－14，当cosθ＝－1时，cos2θ－cosθ取得最大值2，∴k2－k≥2，解得k≤－1或k≥2(舍)；对于①，k2－4＜0，又k＜0，解得－2＜k＜0；对于③，k＋4＞1，解得k＞－3；综上所述，－2＜k≤－1，即k的取值集合为(－2，－1]．。
黑龙江省哈九中-度高一数学上学期期中考试试题
黑龙江省哈九中2008-2009学年度高一数学上学期期中考试试题一、选择题：本大题共12道题，每题5分，共60分1． 如果奇函数()f x 在[]3,7上是增函数，且最小值是6，那么()f x 在[]7,3--上是（ ）A ．减函数且最小值为6-B ．增函数且最小值为6-C ．减函数且最大值为6-D ．增函数且最大值为6-2． 一个面积为2100cm 的梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的三倍，则它的高y 与上底长x 的函数关系为 （ ） A ．()50,0y x x => B ．()50,0y x x=> C ．()100,0y x x => D ．()100,0y x x => 3．直线3y=-与函数2y=6x x -的图象的交点个数为 （ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个 4．已知1.59.0=a ，1.5og 1,1.59.09.0==c b ，则这三个数的大小关系是 （ ）A ．b a c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．a b c <<5．以下四个命题中不正确的是 （ ）A ．||()x f x x=是奇函数； B. 2(),(3,3]f x x x =∈-是偶函数； C. 2()(3)f x x =-是非奇非偶函数； D.1()lg 1x f x x-=+是奇函数6．函数)176(og 1221+-=x x y 的值域是 （ ）A ．()3,∞-B ．[)+∞,3C ．[)+∞-,3D ．(]3,-∞-7．函数 ()3log 3f x x x =+-的零点所在的大致区间是 （ ） A ．()0,1 B ． ()1,2 C ．()2,3 D ．()3,48．某学生早晨离家骑自行车去上学，途中车坏了，只好步行走完余下的路程，在下面给出的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）9．设函数()()()1og 01a f x x b a a =+>≠且的图象过点()1,2，其反函数的图象过点()8,2则=+b a （ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 10．有一组实验数据如下：现用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是：（ ）A ．t v 2log =B .t v = C.212-=t v D .22-=t v11．函数11)(+-=axax x f 在[]2,1上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为 （ ） A ．2123或-B ．321或C ．2123-或 D ．以上答案都不对 12．在223,log ,,xy y x y x y ====1201x x <<<时，使()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭恒成立的函数的个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、填空题：本大题共4道题，每题5分，共20分 13．函数()()3201x f x aa a +=+>≠且的图象恒过定点为14．已知集合(){}{},,lg 0,,x xy xy x y =，则()22log 5x y +的值是15．若函数()()2lg 21f x ax x =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是 16． 下列结论中：①奇函数的图象必过原点； ②函数()f x 与()1f x +的值域一定相等； ③若方程 2lg 5lg 30x x -+=的两根为12,x x ，则12x x 的值为3；④函数()1f x x=在其定义域上为增函数； ⑤已知集合{}c b a A ,,=，集合{}1,0=B ，满足()()()f a f b f c =的映射B A f →:的个数是4． 其中结论正确的命题的序号为哈九中2008级高一上学期期中考试数学试卷三、解答题：本大题共6道题，共70分17．（本小题满分10分）已知函数()f x A ，函数()()()2lg 211g x x a x a a ⎡⎤=-+++⎣⎦的 定义域是集合B ，若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）设函数()f x 是定义在()0,+∞上的单调递增函数，且对定义域内任意的,x y 都有 ()()()(),31fx y f x f y f=+=， （1）求()1f 的值； （2）解不等式：()()3212f x f x +-≤．19．（本小题满分12分） 已知函数()()22,kk f x x k Z -++=∈且()()23f f <，（1）求k 的值；（2）设()()22g x f x ax =-+在区间[]1,1-上的最小值是()h a ，求()h a 的解析式．20．（本小题满分12分）已知函数()()41012x f x a a a a=->≠+且是定义在(),-∞+∞上的奇函数，（1）求实数a 的值及函数()f x 的值域；（2）判断函数()f x 的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；（3）当(]0,1x ∈时，不等式 ()22x t f x ⋅≥-恒成立，求实数t 的取值范围． 21．（本小题满分12分）医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表。
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高一上学期10月月考 数学试卷(含答案)
哈九中2024级高一学年10月月考数学试卷（时间：120分钟 满分：150分）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列表示正确的是（）A. B. C.2.若集合，则应满足（）A. B. C. D.3.对于集合，若不成立，则下列理解正确的是（）A.集合的任何一个元素都属于B.集合的任何一个元素都不属于C.集合中至少有一个元素属于D.集合中至少有一个元素不属于4.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件5.若命题是假命题，则实数的取值范围是（）A.B.C. D.6.若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）A. B. C. D.7.《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形（边长可以为0）拼成的一个大正方形.若直角三角形的直角边长分别为和，则该图形可以完成的无字证明为（ ）*0∈N 12∈Z π∈Q R{},A x x =-x 0x >0x <0x =0x ≤,A B B A ⊆B AB AB AB Ax ∈R 05x <<01x <<2:,40p x x x a ∃∈++=R a 04a <<4a >0a <4a ≥()y f x =[]1,2y f=[]1,2⎡⎣[]1,4[]2,4a bA.B.8.若函数的部分图象如图所示，则（ ）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.下列各组函数表示不同函数的是（）A.B.C.D.)0,02a b a b +≥>>()2220,0a b ab a b +≥>>()20,011a b a b ≥>>+()0,02a b a b +≥>>()22f x ax bx c=++()1f =23-112-16-13-()()0,f x g x ==+()()01,f x g x x==()()f x g x x==()()211,1x f x x g x x -=+=-10.已知，则下列命题正确的是（ ）A.若且，则B.若，则C.若，则D.若且，则11.已知集合，则可能是（ ）A. B.C.或 D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，则__________.13.若正数满足，则的最小值是__________.14.表示不大于的最大整数，例，则的的取值范围__________，方程的解集是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题13分）已知集合（1）求；（2）若，求实数的取值范围.16.（本题15分）已知函数的解析式（1）求（2）画出的图像，并写出函数的单调区间和值域（直接写出结果即可）.,,a b c ∈R 0ab ≠a b <11a b >01a <<2a a<0a b >>11b b a a+>+c b a <<0ac <22bc ac <(){}{}2110,1,0A x ax a x a B x x =-++><=>∣∣A B ⋂10x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭{01}x x <<∣{01x x <<∣1x a ⎫>⎬⎭11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭{}{}2340,230A xx x B x x =+-<=+≥∣∣A B ⋂=,x y 35x y xy +=34x y +[]x x ][2.32, 5.66⎡⎤=-=-⎣⎦[]2x =x []22x x ={}20,21,2x A xB x a x a a x ⎧⎫-=≤=≤≤+∈⎨⎬+⎩⎭R ∣A B A ⊆a ()f x ()350501281x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<<⎨⎪-+>⎩12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x（3）若，求的值.17.（本题15分）（1）已知关于的不等式的解集为，求的解集；（2）若不等式对于任何实数恒成立，求实数的取值范围.18.（本题17分）已知函数，且（1）求的解析式；（2）已知：当时，不等式恒成立；：当时，是单调函数，若和只有一个是真命题，求实数的取值范围.19.（本题17分）若存在实数使得，则称是区间的一内点.（1）若是区间的一内点，求的值；（2）求证：的充要条件是存在，使得是区间的一内点；（3）给定实数，若对于任意区间是区间的一内点，是区间的一内点，且不等式和不等式对于任意都恒成立，求证：()2f a =a x 220ax x c ++>11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭220cx x a -+->()()()211310m x m x m +--+->x m ()2f x x bx c =++()()()11,02f x f x f +=-=-()f x ,a p ∈R 01x <<()32f x x a +<+q []2,2x ∈-()()g x f x ax =-p q a ()0,1λ∈()1x a b λλ=+-x (),()a b a b <λ2x =()1,3λλ(),x a b ∈()0,1λ∈x (),a b λ()0,1ω∈()1,(),a b a b x <1λ2x 2λ()22211x a b ωω≤+-()22221x a b ωω≤-+a b ∈R ､121λλ+=答案1-8DADB BCBD9.ABD 10.BCD11.BC 12. 13.5 14.；15.（1）由题意得，解得，则.（2）因为，当时，，解得，满足题意，当时，因为，所以，解得，综上所述，实数的取值范围为.16.【详解】（1）解：因为，所以，则.（2）解：如图所示，当时，函数最大值为6，无最小值，所以值域为单调递增区间，单调递减区间最大值无法取到（3）解：当时，，解得；当时，，解得，不符合题意；当时，，解得，综上所述，或3.17.（1）由题意得：是方程的两个根，3,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭[)2,3{}2()()22020x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩22x -<≤{22}A xx =-<≤∣B A ⊆B =∅21a a >+1a <-B ≠∅B A ⊆212212a a a a ≤+⎧⎪>-⎨⎪+≤⎩112a -≤≤a 1,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦1012<<111122f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭11111283222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1x =(),6∞-(],1∞-[)1,∞+0a ≤()352f a a =+=1a =-01a <≤()52f a a =+=3a =-1a >282a -+=3a =1a =-11,32-220ax x c ++=所以，解得，所以不等式即为，即，解得，所以不等式的解集为.（2）因为不等式对任何实数恒成立，①当即时，不等式为，不满足题意，舍去，②当时，则解得，综上所述，实数的取值范围为.18.（1）因为，则的对称轴是，解得，又因为，所以.（2）若为真，，则对任意的恒成立，可知的图象开口向上，对称轴为，可知在内单调递减，且，则；若为真，，可知的图象开口向上，对称轴为，因为在内是单调函数，则或，解得或；120931104a c a c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩122a c =-⎧⎨=⎩220cx x a -+->222120x x -++>()()2230x x -+->23x -<<{23}xx -<<∣()()()211310m x m x m +--+->x 10m +=1m =-260x ->1m ≠-()()210Δ(1)12110m m m m +>⎧⎨=--+-<⎩1m >m ()1,∞+()()11f x f x +=-()f x 12b x =-=2b =-()02f c ==-()222f x x x =--p ()32f x x a +<+()22341a f x x x x >-+=-+()0,1x ∈()241h x x x =-+2x =()241h x x x =-+()0,1()01h =1a ≥q ()()()222g x f x ax x a x =-=-+-()g x 22a x +=()g x []2,2-222a +≤-222a +≥6a ≤-2a ≥若与真假性相反，则或，解得或，所以实数的取值范围为或.19.解：（1）（2）①若是区间的一内点，则存在实数使得，，则，②若，取，则，且，则是区间的一内点，故的充要条件是存在，使得是区间的一内点；（3）因为是区间的一内点，则，则恒成立，则恒成立，当时，上式不可能恒成立，因此，所以，即，即同理，故.p q 162a a ≥⎧⎨-<<⎩162a a a <⎧⎨≤-≥⎩或6a ≤-12a ≤<a 6a ≤-12a ≤<12λ=x (),()a b a b <λ()0,1λ∈()1x a b λλ=+-()()()1,x a b a b b a b λλλ=+-=-+∈(),x a b ∈b x b a λ-=-()1x a b λλ=+-01b x b a b a b a--<<=--x (),()a b a b <λ(),x a b ∈()0,1λ∈x (),a b λ1x 1λ()1111x a b λλ=+-()()2221111a b a b λλωω⎡⎤+-≤+-⎣⎦()()()2222211111220a ab b ωλλλλλω---+-+-≥210ωλ-≤210ωλ->()()()222211111Δ4420λλωλλλω=----+-≤()210λω-≤1,λω=21λω=-121λλ+=。
哈九中高一数学上学期函数综合测试
重点题型快速强化训练检测一1．函数=y )1ln(x -的定义域为A. (0,1)B. [0,1)C. (0,1]D. [0,1] 2. 函数xy 416-=的值域是A. ),0[+∞B. ]4,0[C. )4,0[D. )4,0( 3．函数12()f x x -=的大致图像是4．已知y x ,为正实数, 则A. y x y x lg lg lg lg 222+=+B. y x y x lg lg )lg(222∙=+C. y x y x lg lg lg lg 222+=∙D. y x xy lg lg )lg(222∙= 5. 化简)0,0()(3421413223>>⋅⋅b a abb a ab b a 的结果是A.b a B. ab C. a b D. 2ba 6. 如果1122log log 0,x y<<那么A. y<x<1B. x<y<1C. 1<x<yD. 1<y<x 7．若632==ba，则abba +的值为 A ．1 B. －1 C. 6 D. 61 8. 函数()2()ln 1f x x x=+-的零点所在的大致区间是 A. ()0,1 B. ()1,2 C. ()2,3 D. ()3,49．已知函数()f x 为奇函数, 且当0x >时, 21()f x x x=+, 则(1)f -= A. 2- B. 0 C. 1 D. 2 10．函数y =()63a -≤≤的最大值为A. 9B.92C. 3D. 211．函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为A. 1B. 2C. 3D. 412. 若点()b a ,在x y lg =图象上，1≠a ，则下列点也在此图象上的是A. ⎪⎭⎫⎝⎛b a ,1 B. ()b a -1,10 C. ⎪⎭⎫⎝⎛+1,10b a D. ()b a 2,2 13. 下列函数既是奇函数，又在区间]1,1[-上单调递减的是A ．xxx f +-=22ln )( B. 1)(+-=x x fC. 2)(-=x x fD. )(21)(xx a a x f -+=14. 已知函数()2,f x x x x =-则下列结论正确的是A. ()0+f x ∞是偶函数，递增区间为（，）B. (),1f x -∞是偶函数，递增区间为（）C. ()-0f x ∞是奇函数，递增区间为（，） D ．()-11f x 是奇函数，递减区间为（，） 15. 设()⎩⎨⎧≥-<=-,2,1log ,2,2)(231x x x e x f x 则不等式2)(<x f 的解集为 A. ),10(+∞ B. [)10,2)1,(⋃-∞ C. (]),10(2,1+∞⋃ D. )10,1(16. 设132log <a ，则实数a 的取值范围是A. )1,32(B. ),32(+∞C. ),32()32,0(+∞⋃D. ),1()32,0(+∞⋃17. 函数=)(x f 3log x在区间[a,b]上的值域为[0,1],则b-a 的最小值为A. 2B.1C.23 D. 1318. 设c b a ,,均为正数，且a a21log 2=，b b21log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛，c c2log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛，则A. c b a <<B. a b c <<C. b a c <<D. c a b <<19. 已知函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，,3)4(log ),1,0()(21-=≠>=f a a a x f x且则a 的值为A.3B. 3C. 9D. 23 20. 若函数()221()log (0,1)02x x af x a a +=>≠在区间（，）内恒有()0,()f x f x >则的单调递增区间为A. 1(,)4-∞-B. 1(,)4-+∞C. (0,)+∞D. 1(,)2-∞-21. 已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，22()2,(2)(),f x x x f a f a a =+->若则实数的取值范围是A. (,1)(2,)-∞-⋃+∞B. (1,2)-C. (2,1)-D. (,2)(1,)-∞-⋃+∞22. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(2,)2()(x x x a x f x 满足对任意的实数21x x ≠，都有0)()(2121<--x x x f x f 成立，则实数a 的取值范围为 A. )2,(-∞ B. ]813,(-∞ C. ]2,(-∞ D. )2,813[23. 已知0>a ，且1≠a ，xa x x f -=2)(，当)1,1(-∈x 时，均有21)(<x f ，则实数a 的取值范围是A.),2[]21,0(+∞⋃B.]4,1()1,41[⋃C.]2,1()1,21[⋃D.),4[]41,0[+∞⋃24．若函数12)(22-=-+aax xx f 的定义域为R ，则a 的取值范围为__________。
哈九中高一数学上学期测试值域
（2）函数22(01)y x ax x =--≤≤的最大值是2a ，则实数a 的值 （3）求函数223y x x =-+在区间[0,]m 上最值.（4）已知函数223y x x =-+在区间[0,]m 上有最大值3、最小值2，求实数m 的取值范围。
（1）求函数22(01)y x ax x =--≤≤的最值（2）函数22(01)y x ax x =--≤≤的最大值是2a ，则实数a 的值 （3）求函数223y x x =-+在区间[0,]m 上最值.（4）已知函数223y x x =-+在区间[0,]m 上有最大值3、最小值2，求实数m 的取值范围。
（1）求函数22(01)y x ax x =--≤≤的最值（2）函数22(01)y x ax x =--≤≤的最大值是2a ，则实数a 的值 （3）求函数223y x x =-+在区间[0,]m 上最值.（4）已知函数223y x x =-+在区间[0,]m 上有最大值3、最小值2，求实数m 的取值范围。
（1）求函数22(01)y x ax x =--≤≤的最值（2）函数22(01)y x ax x =--≤≤的最大值是2a ，则实数a 的值 （3）求函数223y x x =-+在区间[0,]m 上最值.（4）已知函数223y x x =-+在区间[0,]m 上有最大值3、最小值2，求实数m 的取值范围。
（1）求函数22(01)y x ax x =--≤≤的最值（2）函数22(01)y x ax x =--≤≤的最大值是2a ，则实数a 的值 （3）求函数223y x x =-+在区间[0,]m 上最值.（4）已知函数223y x x =-+在区间[0,]m 上有最大值3、最小值2，求实数m 的取值范围。
（2）函数22(01)y x ax x =--≤≤的最大值是2a ，则实数a 的值 （3）求函数223y x x =-+在区间[0,]m 上最值.（4）已知函数223y x x =-+在区间[0,]m 上有最大值3、最小值2，求实数m 的取值范围。
黑龙江省哈尔滨市第九中学2019-2020学年度高一数学上学期期中试题答案
2019-2020高一数学期中考试数学答案1-12BACCD CABCD DA 13.2； 14.-1或2； 15.[)+∞-,1； 16.4048.17. （1） 由 ，化简得：，由⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-+=021|x x x B 化简得：{}12|-<>=x x x B 或，{}31|>-<=∴x x x B A 或 ．（2）{}21|≤≤-=x x B C R (){}32|>≤=∴x x x B C A R 或18. （1）证明：任取()+∞-∈,12,1x x 且21x x <,则()()()()111121122121221121++-=++-++=-x x x x x x x x x f x f , ,0,2121<-∴<x x x x 又()+∞-∈,12,1x x ()()01121>++∴x x ， ()()()()21210x f x f x f x f <∴<-∴，()x f ∴在()+∞-,1上是增函数.（2）由（1）知函数()x f 在[]4,1上是增函数，()()594max ==∴f x f ； ()()231min ==f x f .19.（1） 因为，()01=-f ，所以 ⎩⎨⎧=+-=+-013416c b c b 解得：，．所以⎩⎨⎧≥+<++=0,30,34)(2x x x x x x f（2） 图象如图所示：由图象可得到的性质有：函数的定义域：R ； 值域：[)+∞-,1； 单调增区间：[)+∞-,2 ；单调减区间：(]2,-∞-20. （1） 函数 ， 的对称轴为 ，若 在 上是单调函数，则 或 ，即 或 ．所以实数 的取值范围为55≥-≤a a 或．（2） ①当 ，即 时， 在 上单调递增， 的最小值是；②当 ，即 时， 在 上单调递减， 的最小值是；③当 ，即 时， 在 上单调递减， 在上单调递增，的最小值是．综上可得：①当 时的最小值是a 1027- ；② 时的最小值是a 1027+ ；③ 时的最小值是22a - ．21. ①当1-=a 时解集为ϕ； ②当1=a 时解集为()1,-∞-；③当2=a 时解集为{}2≠x x ；④当1-<a 时解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛-12,a a ； ⑤当11<<-a 时解集为⎪⎭⎫⎝⎛-a a ,12⑥当21<<a 时解集为()⎪⎭⎫⎝⎛+∞-⋃∞-,12,a a⑦当2>a 时解集为()+∞⋃⎪⎭⎫⎝⎛-∞-,12,a a 22. （1）设0>x 则0<-x ，()142142+-=+-=-∴--x xx x x f ，()x f 为R 上的奇函数，()()142+=--=∴x xx f x f ；且()()()()00,000=∴-=--=f f f f()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+-=∴0,1420,00,142x x x x f xxxx（2）由（1）可知原不等式可化为0214<+-+λxx 恒成立，min 2)122(-+-<∴x xλ(]1,0∈x ，令21,2≤<=t t x则，则43211122222-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-=-+-t t t x x ，当t=2，即x=1时，3)122(min 2-=-+-x x，所以λ取值范围是3-<λ；（3）法一：据题可知0,>t s ，设),1(2>=m m x 则521422<+<m m 所以⎩⎨⎧<+->+-0122025222m m m m 解得⎪⎩⎪⎨⎧+<<-><2222221m m m 或所以2222,222+<<+<<xm 所以)22(log 12+<<x ，所以，1=s ，()22log 2+=t .法二：由（1）知当()()00;00<<>>x f x x f x 时时，所以值域为⎪⎪⎭⎫⎝⎛52,42时0>x ，下面证明0>x 时函数()x f 单调性：任取021>>x x ，()()()()()()14142221142142212121221121++--=+-+=-+x x x x x x x x x x x f x f ，021,12,022*********<-∴>>-∴>>++x x x x x x x x ，又014,01421>+>+x x ，()()021<-∴x f x f ，所以函数()x f 在()+∞,0上单调递减，所以42)(,52)(==t f s f ，所以012224,42142,52142=+⋅-∴=+=+t t t t ss ，222120,222+=∴>∴>±=∴t t t t ， ()22log 2+=t ，综上，1=s ，()22log 2+=t .。
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1、若0<a<1,x>y>1,则必有（）
（A ）a a y x x y a a <<< （B ）a x a y x a y a <<<
（C ）x y a a a a y x <<< （D ）x
a y a a x a y <<<
2、已知实数a,b,c 满足(),,a a a a c a b ==其中0<a<1,则a , b ,c 的大小关系是（） （A)a<b<c (B)a<c<b (C)b<a<c (D)c<a<b
3、已知函数,11lg )(),1,0(11)(x
x x g a a a a x f x x -+=≠>-+=则（） （A ）)(x f ，g(x)都是奇函数 （B ）)(x f ，g(x)都是偶函数
（C ）)(x f 是奇函数，g(x)是偶函数 （D ）)(x f 是偶函数，g(x)是偶函数
4、已知函数1
lg
)(+=x x x f 的值域[-1,1],则)(1x f y -=的值域是（） （A ）),91[]910,(+∞⋃--∞ （B ）),0()1,(+∞⋃--∞ （C ）]91,910[- （D ）),9
1[)1,(+∞⋃--∞ 5、若07log 7log <<b a ，则有（）
（A ）a>b>1 （B ）0<a<b<1 （C ）b>a>1 （D ）0<b<a<1
6、已知c a
b a d d log 1log 1>，则实数a ,b ,
c ,
d 应满足的条件是（） （A ）a>0 ,b>c>0,0<d<1 （B ）a<0,b>c>0,d>1
（C ）a<0,c>d>0,0<d<1 （D ）a<0,b>c>0,0<d<1
7、已知0<b<a<1,则下列不等式中错误的一个是（）
（A ）a b b a log log > （B ）a b ab ab log log >
（C ）a a b ab log log < （D ）ab a a ab log log >
8、已知0<a<b<c,函数f(x)=|lgx|满足f(a)>f(c)>f(b),则有（）
（A ）(a-1)(c-1)>0 （B ）ac>0 （C ）ac=1 （D ）0<ac<1
9、方程x x lg |2|2=-的实数根有（）
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
10、函数22)1(log -=x y 的图像的大致形状是（）。