圆锥曲线第一天弦的垂直平分线问题
直线和椭圆常考题型
直线和椭圆(圆锥曲线)常考题型(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--直线和圆锥曲线常考题型运用的知识：1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-；两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =2、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b cx x x x a a+=-=。
3、中点坐标公式：1212,y 22x x y y x ++==，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。
4、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB =或者AB =例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22:14x y C m+=始终有交点，求m 的取值范围例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。
由2(1)y k x y x =+⎧⎨=⎩消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2104k <<② 由韦达定理，得：212221,k x x k-+=-121x x =。
则线段AB 的中点为22211(,)22k k k--。
线段的垂直平分线方程为：221112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得021122x k =-，则211(,0)22E k - ABE ∆为正三角形，∴211(,0)22E k -到直线AB 的距离d 为32AB 。
精编高三理科数学直线与圆锥曲线位置关系题型与方法
精编高三理科数学直线与圆锥曲线位置关系题型与方法 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22:14x y C m+=始终有交点，求m 的取值范围 题型二：弦的垂直平分线问题例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
例题3、已知椭圆1222=+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。
（Ⅰ）求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程；（Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。
题型三：动弦过定点的问题例题4、（07山东）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题例题5、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b+= (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。
(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =PQ的斜率。
练习：（2009辽宁）已知，椭圆C 以过点A （1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）。
（1） 求椭圆C 的方程；（2） E ,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值。
圆锥曲线 题型分类 知乎
圆锥曲线题型分类
圆锥曲线是高中数学中的一个重要概念，涉及到许多类型的问题。
下面是圆锥曲线常见的题型分类：
1. 数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
这个题型主要考察学生如何根据给定的条件判断直线和圆锥曲线的位置关系，例如直线与椭圆的位置关系、直线与双曲线的位置关系等。
2. 弦的垂直平分线问题
这个题型主要考察学生如何根据给定的条件判断一条弦的垂直平分线是否经过某个点，例如一条直线是否经过椭圆的两个焦点。
3. 动弦过定点的问题
这个题型主要考察学生如何根据给定的条件判断动弦是否经过某个定点，例如一条直线是否经过椭圆上的某个点。
4. 过已知曲线上定点的弦的问题
这个题型主要考察学生如何根据给定的条件判断是否存在一条直线经过已知曲线上的某个点，例如一条直线是否经过椭圆上的某个点。
5. 共线向量问题
这个题型主要考察学生如何根据给定的条件判断两条直线是否共线，例如两条直线是否平行或重合。
6. 面积问题
这个题型主要考察学生如何根据给定的条件计算圆锥曲线的面积，例如计算椭圆或双曲线的面积。
7. 弦或弦长为定值问题
这个题型主要考察学生如何根据给定的条件判断一条弦或弦长是否为定值，例如一条直线是否经过椭圆上的两点使得这条直线的长度为定值。
8. 角度问题
这个题型主要考察学生如何根据给定的条件判断两条直线或圆锥曲线之间的角度关系，例如两条直线是否垂直或两个圆锥曲线是否相交。
以上是圆锥曲线常见的题型分类，希望能对您有所帮助。
圆锥曲线第一天弦的垂直平分线问题
弦的垂直平分线问题(3道题全做，水磨的功夫，仔细体会垂直平分的应用，不要急于求成，不然不如不做)例题1、椭圆1222=+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。
〔Ⅰ〕求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程；〔Ⅱ〕设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。
分析：第一问求圆的方程，运用几何法：圆心在弦的垂直平分线上，圆心到切线的距离等于圆心到定点的距离；第二问，过定点的弦的垂直平分线如果和x 轴相交，那么弦的斜率存在，且不等于0，设出弦AB 所在的直线的方程，运用韦达定理求出弦中点的横坐标，由弦AB 的方程求出中点的总坐标，再有弦AB 的斜率，得到线段AB 的垂直平分线的方程，就可以得到点G 的坐标。
解：(I) ∵a 2=2，b 2=1，∴c=1，F(-1，0)，l:x=-2. ∵圆过点O 、F,∴圆心M 在直线x=-上21 设M(-t ,21)，那么圆半径：r =|(-21)-(-2)|=23由|OM|=r ，得23)21(22=+-t ，解得t=±2，∴所求圆的方程为(x+21)2+(y ±2)2=49. (II)由题意可知，直线AB 的斜率存在，且不等于0,设直线AB 的方程为y=k(x+1)(k ≠0)， 代入22x +y 2=1，整理得 (1+2k 2)x 2+4k 2x+2k 2-2=0∵直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程一定有两个不等实根,设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点N(x 0，y 0)， 那么x 1+x 1=-,12422+k k 2012212(),221k x x x k =+=-+ 002(1)21k y k x k =+=+ ∴AB 垂直平分线NG 的方程为)(100x x ky y --=- 令y=0，得22002222121C k k x x ky k k =+=-+++ 2221121242k k k =-=-+++ ∵.021,0<<-∴≠c x k ∴点G 横坐标的取值范围为〔0,21-〕。
范文桥总结圆锥曲线的解题全面方法
高中数学圆锥曲线解答题解法面面观汇编：范文桥题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：向量问题 题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值、最值问题 问题八：直线问题 问题九：对称问题 问题十、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m ，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系（简单题型未总结）题型二：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。
由2(1)y k x y x=+⎧⎨=⎩消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2104k <<② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。
则线段AB 的中点为22211(,)22k k k--。
线段的垂直平分线方程为：221112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122x k =-，则211(,0)22E k -ABE ∆为正三角形，∴211(,0)22E k -到直线AB 的距离d 。
221212()()AB x x y y =-+-222141k k k -=+212k d k+=22223141122k k k k k -+∴+=解得3913k =±满足②式此时053x =。
【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
圆锥曲线弦的垂直平分线的截距性质
＾ ， Ａ 鸟为 红隼 ； ｛ 故
Ｉ＾口 一 ＾１Ｉ ： ０ ０ ４ ＜ ０ ５ ＝ Ｉ＾口 一＾２Ｉ， ９ １ ８ 故
卑 科 的 鸟 类 ． 们 的 体 形 大 小 如 鸽 ， 略 似 燕 ， 体 它 形 身 的 形 态 特 征 比 较 相 似 ， 隼 的 体 形 比 燕 隼 略 大 通 过 红
Ｂ鸟 为燕 隼 ．
圆 锥 曲线 弦 的 垂 直 平 分 线 的 截距 性 质
苏 进 文
（ 西拳 溪 市 第二 中学 广 本 文 给 出 圆 锥 曲 线 弦 的 中 点 坐 标 与 谚 弦 的 垂 直 平 分 线 的 截 距 之 间 的 美 系 ， 举 例 说 明 它 的 应 用 并 定 理 设 圆 锥 曲 线 中 与 坐 标 轴 不 平 行 的 弦 ５３ ０ ４ ２ ０）
（ ３）对 于 抛 物 线
８＝ ｔ 。
＝ ２ ｙ （ ≠ ０｝ 有 Ｐ Ｐ ，
）， ｂ ｎ
Ｐ Ｐ 的 中点 为 Ｍ（ ， ） 该 弦 的垂 直 平 分 线 ｚ ｎ ． 与 轴
的 横 截 距 为 ． Ｙ轴 的 纵 截 距 为 ６ 与 （ ）对 于 椭 圆 或 双 曲 线 】
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２０ ０ ２年 第 ５期 种采 购 方 式 的均 价 为 ：
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数 学 教 学 研 究 抽 样 测 量 ： 知 燕 隼 的 平 均 体 长 约 为 ３ 厘 米 ， 均 翅 已 】 平
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高考圆锥曲线题型弦的垂直平分线问题
直线和圆锥曲线经常考查的一些题型直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。
解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存，（2）联立直线和曲线的方程组；（3）讨论类一元二次方程（4）一元二次方程的判别式（5）韦达定理，同类坐标变换（6）同点纵横坐标变换（7）x,y ，k(斜率)的取值范围（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等 运用的知识：1、中点坐标公式：1212,y 22x x y y x ++==，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。
2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB ====或者AB === 3、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =4、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a+=-=。
常见的一些题型：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22:14x y C m+=始终有交点，求m 的取值范围 思路点拨：直线方程的特点是过定点（0，1），椭圆的特点是过定点（-2，0）和（2，0），和动点04m ≠（且。
高考数学方法技巧专题10 圆锥曲线中的垂径定理(解析版)
方法技巧专题10圆锥曲线中的垂径定理二、概念及相关典型例题圆中的垂径定理（问题背景：直线斜率存在）图1图2图3（1）如图1，在圆O 中，E 为弦AB 中点，则OE ⊥AB ，即1-=⋅AB OE k k （2）如图2，在圆O 中，l 与圆O 相切于E 点，则OE ⊥l ，即1-=⋅AB OE k k .（若切点坐标为),(00y x E ，可得切线l 方程：200r y y x x =+）（3）如图3，AB 为圆O 直径，E 圆上异于A 、B 两点的动点，则BE ⊥AE ，即1-=⋅BE AE k k .（问题情景假设：假设下列问题讨论所涉及的直线斜率都存在情况下）1.椭圆中的垂径定理（以焦点在x 轴的椭圆方程)0(12222>>=+b a by a x 为例）图1图2图3（1）如图1，在椭圆C 中，E 为弦AB 的中点，则22ab k k ABOE -=⋅;（证明：用点差法）（2）如图2，在椭圆C 中，l 与椭圆相切于E 点，则22ab k k l OE -=⋅;（证明：法一：极限思想，当A 无穷接近B 点；法二：换元法变换为122='+'y x 证明即可；法三：导数）（3）如图3,l 过中心O,交椭圆于A,B 两点,E 是椭圆上异于A 、B 点的动点则22ab k k AEBE -=⋅.（证明：取AE 重点M ，连接OM ，即可用（1）证明）2.双曲线中的垂径定理（以焦点在x 轴的双曲线方程)00(12222>>=-b a by a x ，为例）图1图2图3图4图5（1）如图1或图2，E 为弦AB 的中点，则22ab k k ABOE =⋅;（2）如图3，l 与双曲线相切于E 点，则22ab k k l OE =⋅;（3）如图4，过O 点的l 交双曲线于A,B 两点，E 是双曲线上异于A 、B 点的动点,则22ab k k AEBE =⋅.（4）如图5，l 交上双曲线两渐近线于A,B 两点，E 为线段AB 的中点，则22ab k k ABOE =⋅.【注意：若焦点在y 轴上的双曲线方程)00(12222>>=-b a b x a y ，，则上面斜率乘积结论变为：22ba ，即=⋅AB OE k k =⋅l OE k k 22ba k k AEBE =⋅】（三）例题点评1.例题初探【例1】过点M(1,1)作斜率为21-的直线与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x C ：相交于A,B 两点，若M 是线段AB的中点，则该椭圆的离心率为.【解析】方法一：点差法方法二：由垂径定理，22)21(11a b k k ABOM -=-⨯=⋅，2122222=-=a c a a b ，即2112=-e ，因为0<e<1,所以解的22=e 【例2】已知A 、B 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点，P 为椭圆上异于A 、B 的点，P A 、PB 的斜率分别为21,k k ，且4321-=k k ，则该椭圆的离心率为【解析】答案为21=e 【例3】设双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的顶点为21,A A ，P 为双曲线上一点，直线1PA 交双曲线C的一条渐近线于M 点，直线M A 2和P A 2的斜率分别为21,k k ，若12PA M A ⊥且0421=+k k ，则双曲线C 离心率为（）A 、2B 、25C 、5D 、4【解析】利用双曲线过中心弦结论2221a b k k PA PA =，即22114141ab k k ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-答案：B【例4】已知A 、B 是双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的两个顶点，P 是双曲线上异于A 、B 的另一点，P 关于y 轴的对称点为Q ，记直线AP 、BQ 的斜率分别为21,k k ，且5421-=k k ，则双曲线的离心率为【解析】1k k AQ -=，由垂径定理得235411221=⇒=-=-e e k k 答案：23【例5】过双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 且斜率为1的直线与双曲线的两条渐近线交于A 、B 两点，记线段AB 的中点为M ，且FM 等于半焦距，则双曲线的离心率=e 【解析】 0>>b a ，∴双曲线的开口较小，渐近线斜率的绝对值比1小，故直线与双曲线的交点都位于y 轴左侧，当直线竖起来时中点即F ，而直线斜率为1，故中点M 位于第三象限，由 135=∠MFO ，FO FM =（O 为坐标原点），∴125.22tan -== OM k 由垂径定理得21122=⇒-=⋅e e k OM 答案：42【例6】已知直线l 的斜率为1，且与双曲线2212x y -=相切于第一象限于点A ，则点A 的坐标为______.【解析】法一：因为直线l 的斜率为1，所以设:l y x m=+代入双曲线2212x y -=得224220x mx m +++=因为直线与双曲线相切，所以0∆=，即()22164220m m -+=，解得1m =±当1m =时，22112y x x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得21x y =-⎧⎨=-⎩，当1m =-时，22112y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩因为切点A 在第一象限，所以点()2,1A .故答案为：()2,1.法二：设切点坐标为()00,y x A ，由垂径定理得：212200===⋅a b x y K K l OA ，又因为点()00,y x A 在双曲线上，可得：122020=-y x 解得10=y ，所以20=x ，所以点()2,1A .故答案为：()2,1.2.提高与巩固例题【例1】已知直线l 交椭圆805422=+y x 于M、N 两点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，若△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点，则直线l的方程为【解析】设),(11y x M ，),(22y x N ，)4,0(B ，由重心公式得6021=++x x ，0421=++y y 【三角形ABC 重心的坐标公式为)3,3(321321y y y x x x ++++，其中),(),,(),,(332211y x C y x B y x A 】∴线段MN 的中点为)2,3(-D ，由垂径定理得5412-=-=⋅e k k MN OD （O 为坐标原点）∴56=MN k ，∴直线l 的方程为02856=--y x 【例2】已知椭圆1422=+y x ，P 是椭圆的上顶点，过P 作斜率为)0(≠k k 的直线l 交椭圆于另一点A，设点A 关于原点的对称点为B，（1）求△PAB 面积的最大值（2）设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N，若点N 在椭圆内部，求斜率k 的取值范围【解析】（1）B PAB x x x S =-=∆2121，∴面积最大为2（2）方法一（与椭圆联立）： 4122-=-=a b k k BPAP ，∴k k kk BP 441=⇒-=中垂线，N 刚到下顶点)1,0(-时，中垂线14-=kx y ，PB ：141+-=x k y 与椭圆联立可求得⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+1414,148222k k k k B ∴PB 中点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++144,144222k k k k M 在中垂线上，代入得42±=k 方法二（与直线联立）：由垂径定理得4112-=-=e kk BP ，∴PB ：141+-=x ky 与边AP 平行的中位线kx y =联立得PB 中点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++144,144222k k k k M ，由M 与)1,0(-构成的中垂线斜率k k k k k 41441144222=+++，解得42±=k 【例3】设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 两条渐近线分别交于A ，B ，若点)0,(m P 满足PB PA =，则该双曲线的离心率是【解析】方法一（垂径定理）：记M 为P M 的中点，则PM ：033=-+m y x 与直线AB 联立，容易得)53,54(m m M 由垂径定理得141122-=⇒-=e e k k PM AB 答案：25方法二（暴力计算）直线分别与两条渐近线联立得)3,3(a b bm a b am A --，3,3(ba bmb a am B ++-∴AB 的中点为93,9(222222a b m b a b m a --，所以线段AB 的中垂线斜率为3923222-=-=b a b k 方法三（渐近线点差法）：设AB 中点为),(00y x ，则由点差法知310202==y a x b k 又中点在直线上，故0300=+-m y x ①，由PB PA =得300-=-mx y ②由①②得34333000000=⇒+=-=x y x y x y m ，∴4122=a b1.如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，过原点的直线交椭圆于点P 、A 两点（其中点P 在第一象限），过点P 作x 轴的垂线，垂线为C ，连AC 并延长交椭圆于B ，若PB PA ⊥，则椭圆的离心率为【解析】记1k k PB =，2k k AB =，延长PC 交椭圆于D ，连AD ，由初中几何知识得22k k AP =，由PBPA ⊥得1221-=k k ，由垂径定理得1221-=e k k 答案：222.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点为21,F F ，右顶点为A，P 为双曲线右支上一点，1PF 交双曲线的左支于点Q，与渐近线x aby =交于点R，线段PQ 的中点为M，若12PF RF ⊥，1PF AM ⊥，则双曲线的离心率为【解析】由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得c OR =，故),(b a R ∴ca b k PQ +=由垂径定理得2222)(1a c a b k a b e k k OM PQOM +=⇒=-=⋅联立直线PQ：)(c x c a b y ++=与直线OM：x ac a b y 2)(+=得)2)(,2(2c a c a b c a a M +++，)0,(a A 由2)(ac a b b c a k AM +=+-=得0202222=--⇒=+-e e ac c a ，解得2=e 答案：23.如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点分别为A 、B ，P 为第一象限内一点，且AB PB ⊥，连接PA 交椭圆于点C ，连BC 、OP ，若BC OP ⊥，则椭圆的离心率为【解析】1k k PA =，2k k BC =，由初中几何知识得12k k OP =， 1221-=k k ，∴由垂径定理得211221-=-=e k k 22=⇒e 答案：224.如图，1F ，2F 分别是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，B 是虚轴的端点，直线B F 1与C的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线MN 与x 轴交于点M，若212F F MF =，则C 的离心率是。
圆锥曲线中的典型问题与方法：圆锥曲线解题技巧和方法综合
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。
如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有0220=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
（1）求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；（2）求|||PF PF 1323+的最值。
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
_点差法_解决圆锥曲线的中点弦问题
中来。 如我在教学《分数的基本性质》时，是这样导入的：唐僧师 话。 然后又让学生亲自验证，但验证的结果是：想唱歌的学生抽
徒走到半路上，口渴了，孙悟空摘了一个西瓜回来，把它平分成 到了跳舞，想跳舞的学生反而抽到了讲故事。 通过这样一系列
四块，一人一块，八戒大喊道：“猴哥，分给我太少了，我不干！ ” 的活动， 让学生真正体验到在现实生活中存在着不确定的现
第一个音符就准确、悦耳、动听。 ”新课的导入就好比演奏家定 乐！ 师：我想让大家通过抽签表演节目的形式为尚利明同学过
弦，音调定准了，就为整个演奏奠定了基础。 一堂课如果一开头 一次有意义的生日，你愿意吗？ 这时孩子们兴奋极了，个个脸上
就讲得索然无味，如同嚼蜡，学生就难以提高兴趣。 所以一定要 乐开了花。 随后我往讲台桌上放了 4 个签，并向学生介绍：有唱
据 题 意 ，a2=（y1y2）2+（x1x2）2=（x1-x2）2=（x12-x22）2-（x1-x2）2
=（x1-x2）2[（x1+x2）2+1]=[（x1+x2）2-4x1x2]·[（x1+x2）2+1]
=[（2x0）2-4（2x02-y0）][（2x0）2+1]=4（y0+x02）（1+4x02），所 求 动
悟空又切了两刀，把西瓜平均分成八块，拿给八戒两块，八戒笑 象，随后导入新课。 选择学生熟悉的事物组织教学，学生积极性
着说：“这还差不多，能多吃一块。 ”讲完后我问学生：“八戒多吃 高，课堂气氛活跃，效果显而易见。
了吗？ ”有的学生说多吃了，有的说没有。 我便及时导入：“今天，
四、通过动手操作，激发学生兴趣
可迎刃而解了。
二、求弦中点的轨迹方程
高考数学压轴题——圆锥曲线大题十个大招含答案全解析
终结圆锥曲线大题十个大招招式一：弦的垂直平分线问题 (25)招式二：动弦过定点的问题 (26)招式四：共线向量问题 (28)招式五：面积问题 (35)招式六：弦或弦长为定值、最值问题 (38)招式七：直线问题 (43)招式八：轨迹问题 (47)招式九：对称问题 (54)招式十、存在性问题 (57)招式一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形（即D 在AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
例题分析1：已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b⎧=-+⇒++-=⇒+=-⎨=+⎩，进而可求出AB 的中点11(,)22M b --+，又由11(,)22M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，∴220x x +-=，由弦长公式可求出221114(2)32AB =+-⨯-=．招式二：动弦过定点的问题例题2、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
上海高中圆锥曲线题型汇编
圆锥曲线题型汇编题型一：轨迹方程的求法【例题1】已知线段AB=6，直线AM，BM 相交于M，且它们的斜率之积是49，求点M 的轨迹方程。
【巩固1】已知动点P 与平面上两定点(0),0)A B 连线的斜率的积为定值12-.（1）试求动点P 的轨迹方程C.（2）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |=324时，求直线l 的方程.【例题2】已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程.【巩固2】在直角坐标系0x y 中，点P 到两点(10,F 、(2F 的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C ，直线1y kx =+与曲线C 交于A 、B 两点.（1）求出C 的方程；（2）若k =1，求AOB ∆的面积；（3）若OA OB ⊥ ，求实数k 的值。
题型二：数形结合判断直线与圆锥曲线位置关系【例题3】若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是【例题4】已知直线:1l y kx =+与椭圆22:14x y C m+=始终有交点，求m 的取值范围思路点拨：直线方程的特点是过定点（0，1），椭圆的特点是过定点（-2，0）和（2，0），和动点04m ±≠（，且。
【巩固3】过点P(3,2)和抛物线232--=x x y 只有一个公共点的直线有条。
类型三：中点弦问题【例题5】过椭圆141622=+y x 内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。
【巩固4】已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．【例题6】过椭圆1366422=+y x 上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。
圆锥曲线 对称与中垂线 求解思路
圆锥曲线对称与中垂线求解思路圆锥曲线是平面上的一类特殊曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们在数学和几何学中有着重要的应用和意义。
在本文中，我们将深入探讨圆锥曲线的对称性和中垂线的求解思路，帮助读者更深入地理解这一主题。
一、圆锥曲线的对称性圆锥曲线的对称性是指曲线相对于某一直线或点的对称性质。
常见的圆锥曲线对称性包括关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称等。
对称性的性质在数学和物理等领域有着广泛的应用，对于研究曲线的性质和方程的求解都具有重要意义。
1.1 对称性的定义对称性是指图形、曲线或物体在某一直线、点或平面上的对称性质。
圆锥曲线的对称性可以通过关于坐标轴的对称性表达出来，如：- 关于x轴对称：曲线上的任意一点(x, y)，其对称点为(x, -y)。
- 关于y轴对称：曲线上的任意一点(x, y)，其对称点为(-x, y)。
- 关于原点对称：曲线上的任意一点(x, y)，其对称点为(-x, -y)。
1.2 对称性的应用圆锥曲线的对称性在数学、几何学和工程学中有着广泛的应用。
在解析几何中，通过利用曲线的对称性可以简化方程的求解过程。
在工程学中，对称性可以帮助设计出更加美观和稳定的结构。
对称性是研究圆锥曲线的重要性质之一。
二、中垂线的求解思路中垂线是两点之间的垂直平分线，它在几何学和三角学中具有重要的应用。
在本节中，我们将讨论中垂线的求解思路，并探讨其在圆锥曲线中的应用。
2.1 中垂线的定义中垂线是连接两点并且垂直平分这两点之间距离的直线。
在平面几何中，中垂线可以通过已知两点的坐标求解出来，其斜率为这两点连线的负倒数。
在三角学中，中垂线可以通过作垂直平分线的方法求解出来。
2.2 中垂线的应用中垂线在圆锥曲线的研究中有着重要的应用。
在椭圆曲线的研究中，利用中垂线可以求解出椭圆的焦点和方程的参数。
在双曲线中，中垂线可以帮助求解出双曲线的渐近线和离心率等重要性质。
三、个人观点和理解在我看来，对称性和中垂线是研究圆锥曲线时非常重要的性质和工具。
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圆锥曲线中点弦 垂直平分线知识讲解一、弦的垂直平分线问题1.垂直问题：一般是利用斜率公式及韦达定理求解，设()11,A x y 、()22,B x y 是直线与曲线的两个交点，O 为坐标原点，1）则OA OB ⊥⇔12120x x y y +=，2） 若()00,P x y ,则AP BP ⊥⇔()()()()010201020x x x x y y y y -⋅-+-⋅-=2.弦中点问题：除利用韦达定理外，也可以运用“代点作差法”，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法.1）设椭圆或双曲线方程：221x y m n+= 上两点()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,P x y ，则0022AB y nk x m∙=-3）掌握抛物线2(0)x my m =≠上两点1122(,),(,)A x y B x y 连线的斜率公式12AB x x k m+=3.设而不求法：解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”．设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点()()1122,,,A x y B x y ,弦AB 中点为()00,M x y ，将点A B 、坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法具体有：1）22221(0)x y a b a b +=>>与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x0,y0)，则有00220x y k a b+=． 2）22221(0,0)x y a b a b -=>>与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x0,y0)则有00220x y k a b -= 3）y2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.二、中点弦常考题型1.||||PB PA =设1122(,),(,)A x y B x y ,注意一般只有弦与椭圆相交的两点才设为12,x x 的,其它点不要随便设为1122(,),(,)A x y B x y .Q 为弦AB 的中点.设直线方程为y kx m =+,不要设为y kx b =+,因为b 在椭圆标准方程中会出现. 联立直线与椭圆方程22221y kx mx y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得2222()1x kx m a b ++=,即222222212()10k km m x x a b b b +++-=设1122(,),(,)A x y B x y ,则22222222222222122222212222211()4()(1)4()02111km k m m k b a b b a b a b km b x x k a b m b x x k a b ⎧⎪⎪⎪∆=-+-=--->⎪⎪⎪⎪⎪⎪+=-⎨⎪+⎪⎪⎪⎪⎪-⎪=⎪+⎪⎩∆中的高次项是可消去的.21222221Q kmx x b x ka b +==-+22222222222222222111Q Q k m k m m k m mb b a b a y kx m m k k k a b a b a b -++=+=-+==+++ (由Q x 求Q y 分子是可消去的)故中点Q 的坐标为22222222(,)11km mb a k k a b a b -++ 定点P 设为(,)s t ，则222222222222222211()1()1Q PQQ m a tk m k t y t a b a a b k km x s km ks b b a b sk a b -+-+-===---+--+ 故222222221()11()m k t a a b k km k s b a b-+=---+，2222222211()()km k km k kt s a a b b a b-+=++，22222111()()()k km kt s a b a b-=++2.以,OA OB 为邻边的平行四边形的顶点P 在椭圆上1212,22Q Q x x y y x y ++== 易知P 点坐标212222221P Q kmb x x x x k a b ==+=-+2212121222222()221P Q k m b y y y y kx m kx m k x x m mk a b ==+=+++=++=-++222222222222222211k m m k m m b a b a k k a b a b-++==++ 注意:①不能把P x 代入y kx m =+方程中求P y ,因为点P 不在直线上. ②由P x 求P y 分子是可消去的. 故2222222222(,)11km m b a P k k a b a b-++在椭圆上. 则22222222222222()()111km m b a k k a b a b a b -+++= 两边同时乘以22221()k a b+得22222222222441()k m m k a b a b a b +=+ 2222222241(1)()m k k a b a b+=+3.弦AB中点Q 的坐标为22222222(,)11km m b a k k a b a b-++ 垂直平分线方程为222222221()11m kma b y x k k k a b a b -=-+++ 令0x =,得到M 点坐标为2222211()(0,)1m a b k a b -+ 令0y =,得到N 点坐标为2222211()(,0)1km a b k a b -+经典例题一．解答题（共11小题）1．（2016秋•沙坪坝区校级期中）过点P（2，1）作抛物线y2=4x的弦AB，若弦恰被P点平分（1）求直线AB所在直线方程；（用一般式表示）（2）求弦长|AB|．．2．（2017秋•建华区校级期中）已知椭圆C：＞＞的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切．A、B是椭圆的左、右顶点，直线l过B点且与x轴垂直．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设G是椭圆C上异于A、B的任意一点，作GH⊥x轴于点H，延长HG到点Q使得|HG|=|GQ|，连接AQ并延长交直线l于点M，N为线段MB的中点，判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系，并证明你的结论．3．（2018•吴忠模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），其左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，点R坐标为（2，），又点F2在线段RF1的中垂线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的左右顶点分别为A1，A2，点P在直线x=﹣2上（点P不在x 轴上），直线PA1与椭圆C交于点N，直线PA2与椭圆C交M，线段MN的中点为Q，证明：2|A1Q|=|MN|．4．（2017秋•杜集区校级期末）已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线y2=2px，（p＞0）上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；（2）求线段BC中点M的坐标；（3）求BC所在直线的方程．5．（2015•南澳县校级二模）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，过椭圆C的右焦点的动直线l与椭圆C相交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若线段AB中点的横坐标为，求直线l的方程；（3）若线段AB的垂直平分线与x轴相交于点D．设弦AB的中点为P，试求的取值范围．6．（2015•芜湖校级模拟）如图，已知圆E：=16，点，，P 是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；（2）设直线l与（1）中轨迹Г相交于A，B两点，直线OA，l，OB的斜率分别为k1，k，k2（其中k＞0），若恰好成等比数列，求△OAB的面积S的最大值．7．（2016•桂林模拟）已知圆C：（x+1）2+y2=20，点B（l，0）．点A是圆C上的动点，线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P．（I）求动点P的轨迹C1的方程；（Ⅱ）设，，N为抛物线C2：y=x2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交曲线C l于P，Q两点，求△MPQ面积的最大值．8．（2017•全国二模）椭圆C：＞＞的长轴长为2，P为椭圆C上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A2为椭圆C的右顶点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与直线OM的斜率之积为﹣．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于两点A，B，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，N点的横坐标的取值范围是，，求线段AB的长的取值范围．9．（2017•河西区一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），一个焦点为（，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）（k≠0）与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，求的取值范围．10．（2015•浙江模拟）如图，设椭圆+=1的右焦点为F（1，0），A为椭圆的上顶点，椭圆上的点到右焦点的最短距离为﹣1．过F作椭圆的弦PQ，直线AP，AQ分别交直线x﹣y﹣2=0于点M，N．（1）求椭圆的方程；（2）求当|MN|最小时，直线PQ的方程．11．（2016春•宜春校级月考）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）抛物线C2：y2=2px，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：（1）求C1，C2的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆C1上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值．（ii）求四边形ABCD的面积．。
圆锥曲线中的垂直问题
圆锥曲线中的垂直问题作者：袁方程黄俊峰来源：《高中生学习·高二文综版》2013年第04期有下面这样几道有趣的解析几何中关于垂直的题目，若采用常规方法解答，虽思路清晰，但运算繁杂，不易求出最终结果，而采用统一的极坐标的方法将非常简单.1. 椭圆中的垂直问题例1 设椭圆[E： x2a2+y2b2=1（a，b>0）]过[M（2，2）] ，[N（6，1）]两点，[O]为坐标原点.（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆[E]恒有两个交点[A，B]，且[OA⊥OB]？若存在，写出该圆的方程，并求[|AB|]的取值范围，若不存在说明理由.解析（1）易求得椭圆[E]的方程为[x28+y24=1].（2）将椭圆[x28+y24=1]化为极坐标方程：[ρ2=8cos2θ+2sin2θ]，即[1ρ2=cos2θ+2sin2θ8].设[A（ρ1，α），B（ρ2，β），]则[ρ1=OA，ρ2=OB，]故有[1ρ21=cos2α+2sin2α8，1ρ22=cos2β+2sin2β8，]由[OA⋅OB=0]，得[β=α±π2，cos2α=sin2β，cos2β=sin2α].所以[1OA2+1OB2=1ρ21+1ρ22=38].由直角三角形面积公式得，[OP⋅AB=OA⋅OB，][∴OP2⋅AB2=OA2⋅OB2，][∴OP2⋅（OA2+OB2）=OA2⋅OB2].[∴OP2=OA2⋅OB2OA2+OB2=11OA2+1OB2=83]，即点[P]在以[O]为圆心、[263]为半径的定圆上.所以，存在圆心在原点的圆[x2+y2=83]，使得该圆的任意一条切线与椭圆[E]恒有两个交点[A，B]，且[OA⊥OB].点拨（1）[A，B]是椭圆[x2a2+y2b2=1（a，b>0）]上的两个动点，若满足[OA⋅OB=0].则[1OA2+1OB2][=1a2+1b2]为定值；（2）动点[P]在线段[AB]上，满足[OP⋅AB=0]，则点[P]在以[O]为圆心、[aba2+b2]为半径的定圆上.2. 双曲线中的垂直问题例2 [A，B]是双曲线[x24-y29=1]上的两个动点，满足[OA⋅OB=0].（1）求证：[1OA2+1OB2]为定值；（2）动点[P]在线段[AB]上，满足[OP⋅AB=0]，求证点[P]在定圆上.证明（1）将双曲线[x24-y29=1]化为极坐标方程：[ρ2=369cos2θ-4sin2θ]，即[1ρ2=9cos2θ-4s in2θ36].设[A（ρ1，α），B（ρ2，β），]则[ρ1=OA，ρ2=OB，]故有[1ρ21=9cos2α-4sin2α36，1ρ22=9cos2β-4sin2β36.]又[OA⋅OB=0]，得[β=α±π2，cos2α=sin2β，cos2β=sin2α].所以[1OA2+1OB2=1ρ21+1ρ22=536].（2）由直角三角形面积公式得，[OP⋅AB=OA⋅OB，][∴OP2⋅AB2=OA2⋅OB2]，[∴OP2⋅（OA2+OB2）=OA2⋅OB2].[∴OP2=OA2⋅OB2OA2+OB2=11OA2+1OB2=365]，即点[P]在以[O]为圆心、[655]为半径的定圆上.点拨（1）[A，B]是双曲线[x2a2-y2b2=1（b>a>0）]上的两个动点，若满足[OA⋅OB=0].则[1OA2+1OB2][=1a2-1b2]为定值；（2）动点[P]在线段[AB]上，若满足[OP⋅AB=0]，则点[P]在以[O]为圆心、[abb2-a2]为半径的定圆上.3. 抛物线中的垂直问题例3 如图，设[A]，[B]为抛物线[y2=4pxp>0]上原点以外的两个动点，已知[OA⊥OB]，[OM⊥AB]. 求点[M]的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.解析（1）将抛物线[y2=4pxp>0]化为极坐标方程：[ρ=4pcosθsin2θ]，不妨设[A（ρ1，α），B（ρ2，β），]由[OA⋅OB=0]，则[β=α-π2，sinβ=-cosα，cosβ=sinα].设直线[AB]与[x]轴的交点为[C（ρ，0）]，且直线[AB]的方程为[x=my+b]，化为化为极坐标方程：[ρcosθ=mρsinθ+b.]由[A，B，C]三点均在此直线上，则有[ρ1cosα=mρ1sinα+b，ρ2cosβ=mρ2sinβ+b，ρ=b，]由[ρ1cosα=mρ1sinα+b]得，[m=ρ1cosα-bρ1sinα=cosαsinα-bsinα4pcosα]，由[ρ2cosβ=mρ2sinβ+b]得，[m=ρ2cosβ-bρ2sinβ=cosβsinβ-bsinβ4pcosβ=sinα-cosα+bcosα4psinα.]则有[cosαsinα-bsinα4pcosα]=[sinα-cosα+bcosα4psinα].解得[b=4p]，即[ρ=4p]，即[C]为定点[（4p，0）].由[OM⊥AB]得，[M]点是以[OC]为直径的圆.因为[A，B]是原点以外的两点，所以[x≠0.]所以[M]的轨迹是以[（2p，0）]为圆心，以[2p]为半径的圆，去掉坐标原点.方程为[x2+y2-4px=0][（x≠0）.]点拨设点[A]和[B]为抛物线[y2=2px（p>0）]上原点以外的两个动点，已知[OA⊥OB]，[OM⊥AB].则点[M]的轨迹是以[（p，0）]为圆心，以[2p]为半径的圆，去掉坐标原点.。
《圆锥曲线解题技巧讲解
圆锥曲线解题技巧全解一、弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。
由2(1)y k x y x=+⎧⎨=⎩消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2104k <<② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。
则线段AB 的中点为22211(,)22k k k--。
线段的垂直平分线方程为：221112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122x k =-，则211(,0)22E k -ABE ∆为正三角形，∴211(,0)22E k -到直线AB 的距离d 。
AB =21k =+d =22122k k k +=解得13k =±满足②式此时053x =。
【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定．．．．．．．理．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形（即D 在AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
例题分析1：已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b⎧=-+⇒++-=⇒+=-⎨=+⎩，进而可求出AB 的中点11(,)22M b --+，又由11(,)22M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，∴220x x +-=，由弦长公式可求出AB ==．二、动弦过定点的问题例题2、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
6圆锥曲线中点弦、垂直平分线-中等难度-讲义
圆锥曲线中点弦 垂直平分线知识讲解一、弦的垂直平分线问题1.垂直问题：一般是利用斜率公式及韦达定理求解，设()11,A x y 、()22,B x y 是直线与曲线的两个交点，O 为坐标原点，1）则OA OB ⊥⇔12120x x y y +=，2） 若()00,P x y ,则AP BP ⊥⇔()()()()010201020x x x x y y y y -⋅-+-⋅-=2.弦中点问题：除利用韦达定理外，也可以运用“代点作差法”，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法.1）设椭圆或双曲线方程：221x y m n+= 上两点()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,P x y ，则0022AB y nk x m∙=-3）掌握抛物线2(0)x my m =≠上两点1122(,),(,)A x y B x y 连线的斜率公式12AB x x k m+=3.设而不求法：解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”．设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点()()1122,,,A x y B x y ,弦AB 中点为()00,M x y ，将点A B 、坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法 具体有：1）22221(0)x y a b a b +=>>与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x0,y0)，则有00220x y k a b +=．2）22221(0,0)x y a b a b -=>>与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x0,y0)则有00220x y k a b -=3）y2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.二、中点弦常考题型1.||||PB PA =设1122(,),(,)A x y B x y ,注意一般只有弦与椭圆相交的两点才设为12,x x 的,其它点不要随便设为1122(,),(,)A x y B x y .Q 为弦AB 的中点.设直线方程为y kx m =+,不要设为y kx b =+,因为b 在椭圆标准方程中会出现. 联立直线与椭圆方程22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得2222()1x kx m a b ++=,即222222212()10k km m x x a b b b +++-= 设1122(,),(,)A x y B x y ,则22222222222222122222212222211()4()(1)4()02111km k m m k b a b b a b a b km b x x k a b m b x x k a b ⎧⎪⎪⎪∆=-+-=--->⎪⎪⎪⎪⎪⎪+=-⎨⎪+⎪⎪⎪⎪⎪-⎪=⎪+⎪⎩∆中的高次项是可消去的.21222221Q km x x b x k a b+==-+22222222222222222111Q Q k m k m m k m mb b a b a y kx m m k k k a b a b a b-++=+=-+==+++ (由Q x 求Q y 分子是可消去的)故中点Q 的坐标为22222222(,)11km mb a k k a b a b -++定点P 设为(,)s t ，则222222222222222211()1()1Q PQQ m a tk m k t y t a b a a b k km x s km k s b b a b s k a b -+-+-===---+--+ 故222222221()11()m k t a a b k km k s b a b-+=---+，2222222211()()km k km k kt s a a b b a b-+=++，22222111())()k km a b -=2.以,OA OB 为邻边的平行四边形的顶点P 在椭圆上1212,22Q Q x x y y x y ++== 易知P 点坐标212222221P Q km b x x x x k a b==+=-+ 2212121222222()221P Q k mb y y y y kx m kx m k x x m m k a b ==+=+++=++=-++222222222222222211k m m k m mb a b a k k a b a b -++==++ 注意:①不能把P x 代入y kx m =+方程中求P y ,因为点P 不在直线上. ②由P x 求P y 分子是可消去的. 故2222222222(,)11km m b a P k k a b a b -++在椭圆上.则22222222222222()()111km m b a k k a b a b a b-+++= 两边同时乘以22221()k a b+得22222222222441()k m m k a b a b a b +=+ 2222222241(1)()m k k a b a b+=+3.弦AB中点Q 的坐标为22222222(,)11km m b a k k a b a b-++ 垂直平分线方程为222222221()11m kma b y x k k k a b a b -=-+++ 令0x =,得到M 点坐标为2222211()(0,)1m a b k a b-+ 令0y =,得到N 点坐标为2222211()(,0)1km a b k a b -+经典例题一．选择题（共3小题）1．（2016秋•菏泽期末）若椭圆mx2+ny2=1与y=1﹣x交于A、B两点，过原点与线段AB中点连线的斜率为，则的值等于（）A．B．C．D．2．（2015•黄冈模拟）阿基米德“平衡法”的中心思想是：要算一个未知量（图形的体积或面积），先将它分成许多微小的量（如面分成线段，体积分成薄片等），再用另一组微小单元来进行比较．如图，已知抛物线y=x2，直线l：x﹣2y+4=0与抛物线交于A、C两点，弦AC的中点为D，过D作直线平行于抛物线的对称轴Oy，交抛物线于点B，则抛物线弓形ABCD的面积与△ABC的面积之比是（）A．B．C．D．3．（2015秋•牡丹江校级期中）抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足，过线段AB的中点M作直线l的垂线，垂足为N，则的最大值，是（）A．B．C．D．二．填空题（共3小题）4．（2017秋•松山区校级期末）已知点（1，1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：．5．（2016•美兰区校级模拟）已知m，n，s，t∈R+，m+n=2，，其中m、n是常数，当s+t取最小值时，m、n对应的点（m，n）是双曲线一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为．6．（2015秋•越城区校级期末）椭圆E：+=1内有一点P（2，1），则经过P 并且以P为中点的弦所在直线方程为．三．解答题（共7小题）7．（2015秋•来宾期末）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（2，﹣4），（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线l方程；（Ⅱ）若点B（1，2），直线l过点B且与抛物线C交于P、Q两点，若点B为PQ中点，求直线l的方程．8．（2018•泉州二模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：（a ＞b＞0）经过点（2，），离心率为．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）过E的左焦点F且斜率不为0的直线l与E相交于A，B两点，线段AB的中点为C，直线OC与直线x=﹣4相交于点D，若△ADF为等腰直角三角形，求l 的方程．9．（2015秋•扶余县校级期末）过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程．10．（2016•太原三模）已知点P是圆F1：（x+1）2+y2=16上任意一点（F1是圆心），点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的中垂线m分别与PF1、PF2交于M、N两点．（I）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）直线l经过F2，与抛物线y2=4x交于A1，A2两点，与C交于B1，B2两点．当以B1B2为直径的圆经过F1时，求|A1A2|．11．（2015•浦东新区一模）已知直线y=x与抛物线y2=2px（p＞0）交于O，A 两点（F为抛物线的焦点，O为坐标原点），若|AF|=17，求OA的垂直平分线的方程．12．（2015秋•香坊区校级期末）已知抛物线C：y=mx2（m＞0），焦点为F，直线2x﹣y+2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q，△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，求抛物线的方程．13．（2012•陆丰市校级模拟）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB 垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．（1）求抛物线方程；（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．。
弧中点垂径定理
弧中点垂径定理弧中点垂径定理是圆锥曲线研究中的重要定理之一，它是指在一个圆中，过圆弧中点做一个垂直于弦的直径，则该直径将会平分该弦。
这个定理具有很多应用，在此我将详细介绍这个定理的证明过程、一些相关的性质和应用。
证明过程：设在圆中，弦AB的中点为M，通过点M作弦AB的垂直平分线，交圆于点C和D。
我们需要证明，线段CD是弦AB的垂径，即直径。
首先，因为平分线垂直于弦，所以线段MC和MD都是弦的垂线，现在我们只需要证明MC=MD即可。
首先，连接AM和BM，假设圆的半径为r。
因为AM=BM=r，所以△AMC和△BMD是等腰三角形。
而且因为MC是弦AB的垂直平分线，所以∠ACM=∠BCM=90°。
根据三角形的内角和等于180°，我们可以得出∠MAC=∠MBC，也就是说两个三角形△AMC和△BMD的两个对应角度相等。
接下来，我们可以利用等腰三角形的性质，它们的底边和两个等腰边的边长成正比。
所以可以得出AM/AC=AM/MC和BM/BD=BM/MD。
因为AM=BM，所以AC=BD，又因为MC和MD都是弦AB的垂线，所以MC=MD。
综上所述，我们可以得出弧中点垂径定理：在一个圆中，过圆弧中点做一个垂直于弦的直径，则该直径将会平分该弦。
相关性质和应用：弧中点垂径定理是圆锥曲线研究中的基础定理，它有一些重要的性质和应用，下面我们将介绍其中的一些。
1.任意一条过圆弧中点的垂径都是该弦的垂线。
这是由弧中点垂径定理的证明过程可以得到的性质。
因此，我们可以通过该定理来寻找圆弧中点的垂直线。
2.弧中点垂径定理可以用来证明一个线段与弦垂直，只需通过该线段的中点作弦的垂直平分线即可。
这在证明几何中有很多应用。
3.弧中点垂径定理的逆定理也成立，即如果一个直径平分了弦，则弦的中点必定在圆上。
这一性质在圆锥曲线研究中也有重要应用。
4.利用弧中点垂径定理，我们可以证明相交弦的垂径交于圆心。
这是因为两个相交的弦可以看做是两个圆的切线，而切线必定与半径垂直，所以它们的垂径必定交于圆心。
圆锥曲线与垂心问题-(解析版)
专题3、圆锥曲线与垂心问题从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。
而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。
“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。
因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考．三角形的垂心：三角形三条高线的交点（1）、H 是ABC ∆的垂心0HA BC HB AC HC AB ⇔⋅=⋅=⋅=。
（2）、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离得2倍。
经典例题：例1．（2020·浙江高三）记椭圆C ：2221x y +=的左右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 交椭圆于A ，B ，A ，B 处的切线交于点P ，设12F F P 的垂心为H ，则PH 的最小值是（ ）A B C D【答案】D【分析】先根据题意，得到12F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，2,02F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设直线l 的方程为2y k x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ，求出在点A ，B 处的切线方程，联立切线方程，得出点2P k -⎭，根据题意，得到PH x ⊥轴，得出H 再由12F H PF ⊥求出H 的纵坐标为2H y =，得出P H =+，结合基本不等式，即可得出结果.【详解】椭圆2221x y +=的左右焦点为1F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，2F ⎫⎪⎪⎝⎭，由题意，易知直线l 的斜率存在，（若斜率不存在，则12,,F F P 三点共线，不能构成三角形），设直线l 的方程为2y k x ⎛=- ⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ，对2221x y +=两边同时求关于x 的导数，得240x yy '+=，则2xy y'=-，则椭圆在点()11,A x y 处的切线斜率为1112x k y =-，则椭圆在点()11,A x y 处的切线方程为()11112x y y x x y -=--，即22111122x x y y x y +=+，即1121x x y y +=； 同理，椭圆在点()22,B x y 处的切线方程为2221x x y y +=，由11222121x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩得121222112122x y x y y y y x y x y y y y +=⎧⎨+=⎩，则211221k x x y y x x y x y --===-⎝⎭⎝⎭所以11122y y k ===-⎝⎭，即2P k -⎭()0k ≠； 又12F F P 的垂心为H ，则12PH F F ⊥，12FH PF ⊥，即PH x ⊥轴，则H ，记H 的纵坐标为H y ，由12F H PF ⊥得121F H PF k k ⋅=-1=-，则H y =，因此H P PH y y =-=因为l 过点2F ，所以直线l 与椭圆必有两个交点，故k ∈R 且0k ≠，则P k H ==≥==，即k =±时，等号成立. 故选：D. 【点睛】本题主要考查椭圆中的最值问题，考查椭圆的切线方程，涉及基本不等式求最值，属于跨章节综合题.例2．（2020.江苏省高三期中）已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，过点2F 且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于A ，B 两点，则坐标原点O 可能为1ABF ∆的（ ） A ．垂心 B ．内心C ．外心D ．重心【答案】A【分析】根据三角形四种心的性质，即可得答案；【详解】对B ，若O 为1ABF ∆的内心，则O 到直线1AF 的距离等于2OF c =，显然不可能，O 到直线1AF 的距离恒小于1OF ，故B 错误；对C ，若O 为1ABF ∆的外心，则12OF OF OA ==，∴12AF AF ⊥，和已知矛盾，故B 错误； 对D ，若O 为1ABF ∆的重心，则122OF OF =，这也显然错误，故C 错误； 根据排除法，O 可能为1ABF ∆的垂心，故选：A.【点睛】本题考查双曲线中三角形的几种心的性质，考查逻辑推理能力，求解时注意三角形各种心的定义.例3、（山东高考理）平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为 .【答案】32【解析】设OA 所在的直线方程为b y x a =,则OB 所在的直线方程为b y x a=-, 解方程组22b y xa x py⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得：2222pb x a pb y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以点A 的坐标为2222,pb pb a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ , 抛物线的焦点F 的坐标为:0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭.因为F 是ABC ∆ 的垂心，所以1OB AF k k ⋅=- , 所以2222252124pb p b b a pb a a a ⎛⎫- ⎪-=-⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.所以2222293142c b e e a a ==+=⇒= . 【名师点睛】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程与几何性质，意在考查学生对圆锥曲线基本问题的把握以及分析问题解决问题的能力以及基本的运算求解能力，三角形的垂心的概念以及两直线垂直的条件是xoy ()22122:10,0x y C a b a b-=>>()22:20C x py p =>,,O A B OAB ∆2C 1C突破此题的关键.例4、（2020年福建省高三联考16题）已知：椭圆22184x y +=的右焦点为,F M 为上顶点，O 为坐标原点，直线l 交椭圆于,P Q 两点，当F 为PQM ∆的垂心时，则PQM ∆的面积为 .【解析】∵F 为PQM ∆的垂心，∴MF PQ PF QM ⊥⊥,由（1）知()()0220M F ,,,，∴11MF PQ k k =-=,， 设直线PQ 方程为y x t =+，()()1122,,,P x y Q x y 联立22184x y y x t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2234280x tx t ++-=， 可得28960t ∆=-+>，即(t ∈-，且可得2121242833t t x x x x -+=-=，，∵PF QM ⊥，∴()()1122220PF QM x y x y ⋅=-⋅-=，，，即12212122x x x y y y -+-()()21212222x x t x x t t =+-++-()()2222842233t t t t t --⎛⎫=+-⋅+- ⎪⎝⎭2321603t t +-==. 解得83t =-或2t =， 当2t =时，,,P Q M 三点共线（舍去），∴83t =-，此时12123256927x x x x +==,，PQ ==M 到直线PQ的距离d ==.∴12MPQSPQ d =⋅= 【点睛】本题主要考查了根据,,a b c 的值求椭圆的方程以及利用弦长公式求三角形的面积，涉及了三角形垂心的性质、韦达定理、点到直线的距离公式，属于较难题.例5、已知点()1,0Q 在椭圆C ：2212y x +=上， 过点()0P m ，作直线交椭圆C 于点,,A B ABQ ∆的垂心为T ，若垂心T 在y 轴上.则实数m 的取值范围是 .【答案】(Ⅰ)2212y x +=；(Ⅱ)3223m +-<≤-【解析】当直线斜率不存在时，设A （m ，n ），B （m ，﹣n ）， 此时T （0，0）．则AT BQ ⋅＝0，∴n 2+m （1﹣m ）＝0，又2212n m +=，联立解得或m ＝1（舍去），∴．当直线斜率存在时，设T （0，t ）（t≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设直线方程为：y ＝k （x ﹣m ），则直线QT 的斜率为﹣t ，∵AB ⊥QT ，∴1k t=-， 又∵BT ⊥AQ ，∴（﹣x 2，t ﹣y 2）•（1﹣x 1，﹣y 1）＝0，即x 1x 2+y 1y 2＝x 2+ty 1， ∴，x 1x 2+y 1y 2＝x 1+x 2﹣m ，（*）联立化为（2t 2+1）x 2﹣2mx+m 2﹣2t 2＝0，∵△＞0，∴2t 2+1﹣m 2＞0，∴，，∵()()()2212121212222112221m y y x m x m x x m x x m t t t -⎡⎤=--=-++=⎣⎦+，代入（*）可得222322232,20,13m m t m t m m --==-->∴<--．∴m 2+3m+1＜0，解得m <<，综上可知：实数m的取值范围为23m <-． 【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到△＞0及根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系等是解题的关键，属于中档题．例6、（2020年浙江省绍兴市期末15题）已知椭圆2212x y +=的上顶点为M ，直线l 与该椭圆交于,P Q 两点，且点(1,0)恰为PQM 的垂心，则直线l 的方程为______ . 【答案】43y x =-【解析】上顶点0,1M （），右焦点F 为垂心()1,0因为FM k ＝﹣1，且FM ⊥l ，所以k 1＝1，所以设PQ 直线y ＝x +m ，且设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）由2212y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y ，得3x 2+4mx +2m 2﹣2＝0 △＝16m 2﹣12（2m 2﹣2）＞0，m 2＜321212422,33m m x x x x -+=-=，． y 1y 2＝（x 1+m ）（x 2+m ）＝x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 222222242333m m m m --=-+=． 又F 为△MPQ 的垂心，∴PF ⊥MQ ，∴0PF MQ ⋅=又()()112211PF x y MQ x y ，，，=--=- ∴211212211212PF MQ x y x x y y x x m x x y y ⋅=+--=++--2242220333m m m m --=-+--=∴24033m m --+=，∴2434013m m m m +-==-=，， 经检验满足m 2＜3 ∴存在满足条件直线l 方程为：x ﹣y +1＝0，3x ﹣3y ﹣4＝0∵x ﹣y +1＝0过M 点 即MP 重合 不构成三角形，∴3x ﹣3y ﹣4＝0满足题意． 故答案为43y x =-【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查垂心的几何性质，考查韦达定理的应用，属于中档题.例7、（2020.辽宁省高三期末）已知12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于,A B 两点，若坐标原点O 恰为2ABF ∆的垂心（三角形三条高的交点），则双曲线的离心率为（ ） ABCD ．3【答案】C【解析】12(,0),(,0)F c F c -，则双曲线的渐近线为by x a=±， 则当x c =-时，b bc y c a a =±⋅=±；设(,),(,)bc bcA cB c a a---∵若坐标原点O 恰为△ABF 2的垂心，∴OA ⊥BF 2，即20OA BF ⋅=， 即(,)(2,)0bc bc c c a a -⋅=，则222()0bcc a-+=，即222b a =， ∵22222b a c a ==- ∴223c a =，则c =，则离心率c e a a===C ． 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.例8、（2019云南省曲靖二中模拟16题）已知ABO 内接于抛物线24y x =，其中O 为原点，若此内接三角形的垂心恰为抛物线的焦点，则ABO 的外接圆方程为_____. 【答案】2290x x y -+=【解析】∵抛物线关于x 轴对称，内接三角形的垂心恰为抛物线的焦点，三边上的高过焦点， ∴另两个顶点A ，B 关于x 轴对称，即△ABO 是等腰三角形， 作AO 的中垂线MN ，交x 轴与C 点，而Ox 是AB 的中垂线， 故C 点即为△ABO 的外接圆的圆心，OC 是外接圆的半径， 设A （x 1，，B （x 1，﹣，连接BF ，则BF ⊥AO ，∵kBF 1=，kAO 1=，∴k BF •k AO ＝•()11141x x x =--1， 整理，得x 1（x 1﹣5）＝0，则x 1＝5，（x 1＝0不合题意，舍去），∵AO 的中点为（12x，且MN ∥BF ，∴直线MN 的方程为y 1=（x 12x-）， 当x 1＝5代入得+4y ﹣=0，∵C 是MN 与x 轴的交点，∴C （92，0）， 而△ABO 的外接圆的半径OC 92=，于是得到三角形外接圆方程为（x 92-）2+y 2＝（92）2，△OAB 的外接圆方程为：x 2﹣9x +y 2＝0，故答案为x 2﹣9x +y 2＝0．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查了两直线垂直与斜率的关系，是中档题例9、（2018年福建预赛）已知1F 、2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且12F PF △的垂心为53H ⎫-⎪⎪⎝⎭．则椭圆C 的方程为 ； 【答案】22143x y +=【解析】设()1,0F c -，()2,0F c ．由12F PF的垂心为5,33H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，得12F H PF ⊥．所以1251F H PF k k -⋅==-，224593c -=，解得21c =．由点P ⎫⎪⎪⎝⎭在椭圆C 上，得2224119a b +=．结合2221a b c -==，解得24a =，23b =．所以椭圆C 的方程为22143x y +=．例10．（2020.成都市高三期中）若△OAB 的垂心恰是抛物线y 2=4x 的焦点，其中O 是原点，A 、B 在抛物线上，则△OAB 的面积S =____________ .【答案】【详解】抛物线的焦点为F (1，0).因F 为△OAB 的垂心，则OF ⊥AB ，故可设A 、B 的坐标为()()22,2,,2(0)A a a B a a a ->.于是OA 的方程为ay =2x ，2OA k a=.BF 的斜率221BF ak a -=-，据1BF OA k k ⋅=-，得a =因此AB =，h =a 2=5，所以OABS =故答案为：例11．如图所示，已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴的正方向交于A 点，点B 在直线y ＝2上运动，过点B 作圆O 的切线，切点为C ，则△ABC 的垂心H 的轨迹方程为 ．【答案】22(2)4(0)x y x +-=≠【分析】设垂心的坐标，根据条件，建立方程关系，即可求出H 的轨迹方程．【详解】设H(x ，y)，C(x′，y′)，由题意知AH ⊥BC ，CH ⊥AB ，BC 是切线，OC ⊥BC ， 所以OC ∥AH ，CH ∥OA ，OA ＝OC ，所以四边形AOCH 是菱形．所以|CH|＝|OA|＝2，则2y y x x''=-⎧⎨=⎩又C(x′，y′)满足x′2＋y′2＝4，所以x 2＋(y －2)2＝4(x≠0)即是所求的轨迹方程．【点睛】本题主要考查轨迹的求解方法，考查学生的计算能力．例12．平面直角坐标系xOy 中，双曲线1C ：2222x y 1(a 0,b 0)a b -=>>的两条渐近线与抛物线C ：2x 2py(p 0)=>交于O ，A ，B 三点，若OAB 的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为( )A B ．32C ．2D ．52【答案】B【分析】由三角形垂心的性质，得BF OA ⊥，即BF OA k k 1⋅=-，由此可得1C 的离心率．【解析】联立渐近线与抛物线方程得222pb 2pb A ,a a ⎛⎫⎪⎝⎭，222pb 2pb B ,aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭，抛物线焦点为p F 0,2⎛⎫⎪⎝⎭， 由三角形垂心的性质，得BF OA ⊥，即BF OA k k 1⋅=-，所以a b b14b a a ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，所以b 2=，所以3c a 2=，所以1C 的离心率为32．故选B ．【点睛】本题考查双曲线的性质，联立方程组，根据三角形垂心的性质，得BF OA ⊥是解决本题的关键，考查学生的计算能力．课后训练：1．（2020·浙江高三月考）若曲线C ：y 2=4x ．上一点A(x 0,4)，是否存在直线m 与抛物线C 相交于两不同的点B,C ，使ΔABC 的垂心为H(8,0)．则直线m 的方程为 ． 【答案】y =x −16.分析：求出点A 的坐标，然后假设存在直线与抛物线相交于两不同的点，使的垂心为，再根据垂心的性质可得AC ⊥BH ，即AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，于是联立直线与抛物线的方程并由韦达定理得到y 1+y 2,y 1⋅y 2，将其代入AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0即可求出直线的方程，最后检验其是否满足题意即可．【解析】易求出抛物线上的点A(4,4)，假设存在直线与抛物线相交于两不同的点，使的垂心为，设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),显然直线AH 的斜率为−1，则直线的斜率为1，设直线的方程是y =x +b ，由{y 2=4x y =x +b,消去x 化简得：y 2−4y +4b =0, ∴y 1+y 2=4,y 1⋅y 2=4b,Δ=16−16b >0，即b <1.因为的垂心为，所以AC ⊥BH,∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−8)(x 2−4)+y 1(y 2−4)=0.即x 1x 2−4x 1−8x 2+y 1y 2−4y 1+32=0,∴y 12y 2216−4(y 1−b)−8(y 2−b)+y 1y 2−4y 1+32=0 ∴y 12y 2216+y 1y 2−8(y 1+y 2)+12b +32=0，∴b 2+16b =0,∴b =0或b =−16.当b =0时，直线的方程是y =x ，过点A(4,4)，不合题意，舍去，所以存在这样的直线，其方程是y =x −16.考点：1、抛物线的定义与标准方程；2直线与抛物线的相交问题．2．双曲线2212:14x y C b-=(0)b >的渐近线与抛物线22:2C x py =()0p >相交于O ，A ，B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则b =（ ） A ．2 B ．3C D【答案】C【分析】设:,:22b bOA y x OB y x =-=，解得2,2b p A pb ⎛⎫- ⎪⎝⎭2,2b p B pb ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据AF OB ⊥计算得到答案.【详解】设:,:22b b OA y x OB y x =-=，则222x pyb y x⎧=⎪⎨=-⎪⎩解得：2,2b p A pb ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理2,2b p B pb ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2pF⎛⎫⎪⎝⎭，根据AF OB⊥得到22,,0222b b p b ppb pb⎛⎫⎛⎫-⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得5b=故选：C【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的综合题型，意在考查学生的计算能力.3．已知双曲线1C：22221x ya b-=(0a>，0b>)的渐近线与抛物线2C：22x py=(0p>)交于点O、A、B，若OAB∆的垂心为抛物线2C的焦点，则双曲线1C的离心率为（）A．32B．2C．2D．【答案】A【分析】设OA所在的直线方程为by xa=，则OB所在的直线方程为by xa=-，联立22by xax py⎧=⎪⎨⎪=⎩，求得点A的坐标，再根据F是OAB∆的垂心，由1OB AFk k⋅=-求解.【详解】设OA所在的直线方程为by xa=，则OB所在的直线方程为by xa=-，解方程组22by xax py⎧=⎪⎨⎪=⎩得：2222pbxapbya⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点A的坐标为2222()pb pba a，，抛物线的焦点F的坐标为(0)2p，，∵F是OAB∆的垂心，∴1OB AFk k⋅=-，∴222212pb pb apbaa--⋅=-，即2254ba=，∴22222914c bea a==+=，解得32e=，故选：A.4．（2020·武邑高三（理））在平面直角坐标系xoy中，双曲线22122:1(0,0)x yC a ba b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C y px p=>交于点,,O A B,若OAB∆的垂心为2C的焦点，则1C的离心率为（）A．32B C D【答案】C【解析】设()11,A x y ， ()11,B x y -， 2C 焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意0FA OB ⋅=，即()1111,,02p x y x y ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭，所以211102p x x y ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，又2112y px =， 111202p x x px ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 152p x =，221152252y px p p p ==⨯=，1y =，而11b y x a =，52b a =⋅， b a=， 2222245b c a a a -==，2295c a =，所以c e a ==C ． 5．（2019·浙江高三期末）已知点()()1122,,,A x y B x y 在抛物线2:4C x y =上，点F 是抛物线C 的焦点，线段AB 的中点为N .若点M 的坐标为()1,1-，且F 是ABM ∆的垂心，则直线AB 的方程 ；【答案】122y x =++ 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，求得MF 的斜率，可得AB 的斜率，设AB 的方程，联立抛物线方程，运用判别式大于0和韦达定理，运用两直线垂直的条件，可得m 的方程，求得m 的值，即可得到所求直线方程；【详解】24x y =的焦点()0,1F ，准线方程为1y =-，2MF k =-，F 为ABM ∆的垂心，可得AB MF ⊥，即有12AB k =， 设AB 的方程为12y x m =+，代入抛物线方程可得： 2240x x m --=，可得12124160,2,4m x x x x m ∆=+>+==-，由AF MB ⊥，可得222112141114x x x x -⋅=--+，()()()2221212121110164x x x x x x +--+-=， 化简可得()21211212102m x x x x x +--+-=，即为2420m m --=，解得2m =， 由14m >-，可得2m =，则AB的方程为122y x =++【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质、三点共线取得最小值和三角形的垂心的定义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理求解.6．如图，已知直线: 2l x my m =++与抛物线2y x =相交于两点,A B ，1,1C ，且AC BC ⊥.设动点P 满足PAB △的垂心恰好是()1,0E ，记点C 到直线AB 距离为d ，若1d PE ⋅=，求实数m 的值.【答案】m =，或0m =. 【分析】先求得d ，由E 是PAB △的垂心，得AE PB ⊥，且BE PA ⊥，设()00, P x y ，通过向量的坐标运算求得0111m x m --=+，()011m m y m -⋅-=+，进而求得PE ，再由1d PE ⋅=求得m 即可.【详解】易得d =因为E 是PAB △的垂心，所以AE PB ⊥，且BE PA ⊥.由AE PB ⊥得0AE PB ⋅=，即 EA EP EA EB ⋅=⋅①. 设()00, P x y ，则()()101011EA EP x x y y ⋅=--+②，又()222212121212224x x y y y y y m m +=+=+-=++y ，()22212122x x y y m =⋅=+，所以()()()121212121111 1 EA EB x x y y x x x x y y m ⋅=--+=-+++=-③， 由①②③得：()()1010111x x y y m --+=-，即()0101012x x y y x m -+=+-， 同理：由BE PA ⊥可得：()0202012x x y y x m -+=+-.所以()11, x y ，()22,x y 是方程()00012x x y y x m -+=+-的两组解，故此方程表示直线AB l . 又因为直线():20l x my m --+=，所以001y m x =--，00221x m m x +-=+-， 解得：0111m x m --=+，()011m m y m -⋅-=+.所以11m PE m -==+. 所以()()12111m m d PE m -+⋅==+.①当()()1211m m m -+=+时，210m m --=，解得m =. ②当()()()1211m m m -+=-+时，20m =，解得0m =.综上所述：m =，或0m =. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，考查学生的计算能力，属于综合题.7．已知点()P 1,2是抛物线2y 4x =上的一点，过点P 作两条直线1l 与2l ，分别与抛物线相交于异于点P 的,A B 两点．若直线AB 的斜率为1且PAB 的垂心H 在x 轴上，则直线AB 的方程 ．【答案】90x y --=.【分析】分类讨论，根据韦达定理和斜率公式即可求出．【详解】若直线AB 的斜率为1，则直线PH 的方程是()y 2x 1-=--，所以()H 3,0， 若直线AB 的斜率为1，则设直线AB 的方程为x y t =+， 将直线AB 代入抛物线2y 4x =方程可得：2y 4y 4t 0--=， 所以12y y 4+=，12y y 4t =-，且1616t 0=+>，因为BH AP ⊥，所以()2121y y 21*x 3x 1-⋅=---，将11x y t =+，22x y t =+代入()* 得()()212122y y t 3y y t 4t 30+-++-+=，将12y y 4+=，12y y 4t =-代入上面方程可得：2t 8t 90--=，由此方程解得：t 9=或t 1(=-舍)，所以直线AB 的方程是x y 90--=．【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．8．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点)P，且点P 与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为12-.若椭圆C 上存在两点,Q R ，使得PQR 的垂心（三角形三条高的交点）恰为坐标原点O ，则直线QR 的方程 .【答案】（43y =-【分析】根据题意，得到2221112a b ⎧+=⎪⎪⎨=-，求出,a b ，即可得出椭圆方程；设()11,Q x y ，()22,R x y ，根据题意，得到QR k =QR的方程为y m =+，联立直线与椭圆方程，根据判别式，以及根与系数关系，由题意，得到111y x =-，求出m ，即可得出结果.【详解】由题意，得2221112a b ⎧+=⎪⎪⎨=-，解得2242a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为22142x y +=.设()11,Q x y ，()22,R x y .因为QR PO ⊥，而PO k =QR k =， 故可设直线QR的方程为y m =+.联立2224y m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y，得225240x m -+-=， 首先，由>0∆得()223220240m m -->，解得210m <.（*）且125x x +=，212245m x x -=. 又QO PR ⊥，所以1QO PR k k ⋅=-，得111y x =-，即111m x +=-，整理得，()2121230x x x x m m ++-=，所以22243055m m m -⨯⨯+-=，即235120m m --=，解得3m =或43m =-（均适合（*）式）. 当3m =时，直线QR 恰好经过点P ，不能构成三角形，不合题意，故舍去. 所以直线QR的方程为43y =-. 【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及求椭圆中满足题意的直线方程问题，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型，计算量较大.9．（2020·江西高三（理））已知抛物线E ：22y x =．若直线AB 是经过定点(2,0)Q 的一条直线，且与抛物线E 交于A ，B 两点，过定点Q 作AB 的垂心与抛物线交于G ，D 两点，则四边形AGBD 面积的最小值 ． 【答案】20分析：先求出四边形AGBD 面积的S =. 【解析】设直线AB 的方程为2x my =+（0m ≠），设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22,2,y x x my ⎧=⎨=+⎩得2240y my --=，则122y y m +=，124y y =-，∴12AB y =-==设()33,G x y ，()44,D x y ，同理得GD =则四边形AGBD 的面积12S AB GD =⋅==，令221m mμ+=（2μ≥），则S ==S =是关于μ的增函数，故min 20S =，当且仅当1m =±时取得最小值20．点睛：解答本题的关键有二，其一是求出四边形AGBD 面积的表达式S ，这里计算量比较大，所以要求计算准确,其二是怎么求S =的最小值，这里需要换元，利用复合函数和二次函数的图像和性质解答.10．已知,A B 分别是双曲线22:12y C x -=的左、右顶点，P 为C 上一点，且P 在第一象限.记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，当122k k +取得最小值时，PAB △的垂心到x 轴的距离为______． 【答案】2【分析】易证2122b k k 2a ==，利用基本不等式求解122k k +取最小值时1k 1=，进而得PA 的方程为y x 1=+，与双曲线联立解得P 的坐标为()()34PAB 3,y ，，设的垂心的坐标为，由PA BH ⊥，得AP?HB =0，向量坐标化解得y 即可【详解】易证()212122b k k 2k 0,k 0a==>>，则122k k 4+≥=，当且仅当122k k =，即1k 1=时，等号成立，此时直线PA 的方程为y x 1=+，与22y x 12-=联立，得2x 2x 30--=，解得x 3=或1-（舍去），则P 的坐标为()34，，设PAB 的垂心的坐标为()3,y ，由PA BH ⊥，得AP?HB 84y 0=+=，解得y 2=-，则H 到x 轴的距离为2.故答案为2【点睛】本题考查双曲线的综合，考察抽象概括能力与运算求解能力，掌握双曲线的常见二级结论，转化垂心为垂直关系是关键，是中档题11．平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，且点(双曲线上，则双曲线的方程为： 。
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弦的垂直平分线问题
(3道题全做，水磨的功夫，仔细体会垂直平分的应用，不要急于求成，不然不如不做)
例题1、已知椭圆12
22
=+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。
（Ⅰ）求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程；
（Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。
分析：第一问求圆的方程，运用几何法：圆心在弦的垂直平分线上，圆心到切线的距离等于圆心到定点的距离；第二问，过定点的弦的垂直平分线如果和x 轴相交，则弦的斜率存在，且不等于0，设出弦AB 所在的直线的方程，运用韦达定理求出弦中点的横坐标，由弦AB 的方程求出中点的总坐标，再有弦AB 的斜率，得到线段AB 的垂直平分线的方程，就可以得到点G 的坐标。
解：(I) ∵a 2=2，b 2
=1，∴c=1，F(-1，0)，l:x=-2. ∵圆过点O 、F,∴圆心M 在直线x=-上21 设M(-t ,2
1)，则圆半径：r =|(-21)-(-2)|=23
由|OM|=r ，得2
3)21
(22=+-t ，解得t=±2，
∴所求圆的方程为(x+21)2+(y ±2)2=4
9. (II)由题意可知，直线AB 的斜率存在，且不等于0,
设直线AB 的方程为y=k(x+1)(k ≠0)， 代入2
2
x +y 2=1，整理得 (1+2k 2)x 2+4k 2x+2k 2-2=0
∵直线AB 过椭圆的左焦点F ，
∴方程一定有两个不等实根,
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点N(x 0，y 0)，
则x 1+x 1=-,1
2422+k k 2
012212(),221
k x x x k =+=-+ 002(1)21
k y k x k =+=+ ∴AB 垂直平分线NG 的方程为
)(100x x k
y y --=- 令y=0，得
22
002222121
C k k x x ky k k =+=-+++ 2221121242
k k k =-=-+++ ∵.02
1,0<<-∴≠c x k ∴点G 横坐标的取值范围为（0,21
-）。
技巧提示：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理，将弦的中点用k 表示出来，韦达定理就是同类坐标变换的技巧，是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的两大技巧之第一个技巧。
再利用垂直关系将弦AB 的垂直平分线方程写出来，就求出了横截距的坐标（关于k 的函数）。
直线和圆锥曲线中参数的范围问题，就是函数的值域问题。
练习1：已知椭圆过点，且离心率。
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。
分析：第一问中已知椭圆的离心率，可以得到,a b 的关系式，再根据“过点”得到,a b 的第2个关系式，解方程组，就可以解出,a b 的值，确定椭圆方程。
第二问，设出交点坐标，联立方程组，转化为一元二次方程，通过判别式得出,k m 的不等式，再根据韦达定理，得出弦MN 的中点的横坐标，利用弦的直线方程，得到中点的纵坐标，由中点坐标和定点，得垂直平分线的斜率，有垂直平分线的斜率和弦的斜率之积为-1，可得,k m 的等式，用k 表示m 再代入不等式，就可以求出k 的取值范围。
解：（Ⅰ）离心率，2213144
b a ∴=-=，即2243b a =（1）； )0(1:2222>>=+b a b
y a x C )23,1(21=e )0(:≠+=k m kx y l M N MN )0,8
1
(G
k )23,1()0,8
1(G 21=e
又椭圆过点，则221914a b
+=，（1）式代入上式，解得24a =，23b =，椭圆方程为22
143
x y +=。
（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，弦MN 的中点A 00(,)x y
由223412
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得：222(34)84120k x mkx m +++-=， 直线与椭圆交于不同的两点，
2222644(34)(412)0m k k m ∴∆=-+->，即2243m k <+………………（1） 由韦达定理得：21212228412,3434mk m x x x x k k
-+=-=++， 则2000222443,343434mk mk m x y kx m m k k k
=-=+=-+=+++， 直线AG 的斜率为：22232434413234348
AG m m k K mk mk k k +==-----+， 由直线AG 和直线MN 垂直可得：22413234m k mk k =----，即2348k m k
+=-，代入（1）式，可得2
2234()438k k k +<+，即2120k >
，则k k ><。
老师支招：如果只说一条直线和椭圆相交，没有说直线过点或没给出直线的斜率，就直接设直线的方程为：y kx m =+，再和曲线联立，转化成一元二次方程，就能找到解决问题的门路。
本题解决过程中运用了两大解题技巧：与韦达定理有关的同类坐标变换技巧，与点的纵、横坐标有关的同点纵横坐标变换技巧。
解决直线和圆锥曲线的问题的关键就是充分、灵活的运用这两大解题技巧。
)23
,1()0(:≠+=k m kx y l
练习2、设1F 、2F 分别是椭圆22154
x y +=的左右焦点．是否存在过点(5,0)A 的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得22F C F D =？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
分析：由22F C F D =得，点C 、D 关于过2F 的直线对称，由直线l 过的定点A(5,0)不在22154
x y +=的内部，可以设直线l 的方程为：(5)y k x =-，联立方程组，得一元二次方程，根据判别式，得出斜率k 的取值范围，由韦达定理得弦CD 的中点M 的坐标，由点M 和点F 1的坐标，得斜率为1k
-，解出k 值，看是否在判别式的取值范围内。
解：假设存在直线满足题意，由题意知，过A 的直线的斜率存在，且不等于。
设直线l 的方程为：(5),(0)y k x k =-≠，C 11(,)x y 、D 22(,)x y ，CD 的中点M 00(,)x y 。
由22(5)4520
y k x x y =-⎧⎨+=⎩得：2222(45)50125200k x k x k +-+-=， 又直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，则2222=(50)4(45)(12520)0k k k ∆-+->，即2105k <<。
由韦达定理得：221212225012520,4545k k x x x x k k
-+==++， 则2212000222252520,(5)(5)2454545x x k k k x y k x k k k k +-===-=-=+++，M(2
22545k k
+，2
2045k k -+)。
又点2F (1,0)，则直线2MF 的斜率为2222
2205452515145MF k k k k k k k -
+==--+， 根据2CD MF ⊥得：21MF k k =-，即22
5115k k =--，此方程无解，即k 不存在，也就是不存在满足条件的直线。
老师提醒：通过以上2个例题和2个练习，我们可以看出，解决垂直平分线的问题，即对称问题分两步：第一步，有弦所在的直线和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），通过判别式得不等式，由韦达定理得出弦中点的坐标；第二步是利用垂直关系，得出斜率之积为-1，或者是利用中点坐标和对称轴直线的斜率，写出垂直平分线的方程，就可以解决问题。
需要注意的一点是，求出的参数一定要满足判别式。