河南省新乡高三第一次模拟测试 文数试卷

新乡市高三年级第一次模拟测试
数学试卷（文科）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数z ＝8i ＋17
()i －可化简为
A ．1－i
B ．0
C ．1＋i
D ．2
2．已知集合A ＝{x ｜2x －x ≤0}，B ＝{x ｜a －1≤x ＜a}，若A ∩B 只有一个元素，则a ＝
A ．0
B ．1
C ．2
D ．1或2
3．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为a ，b ，记m ＝a ＋b ，则 A ．事件“m ＝2”的概率为118 B ．事件“m ＞11”的概率为118 C ．事件“m ＝2”与“m ≠3”互为对立事件
D ．事件“m 是奇数”与“a ＝b ”互为互斥事件
4．点P （x ，y ）是如图所示的三角形区域（包括边界）
内任意一点，则y x
的最小值为 A ．—2 B ．—53
C ．—25
D ．—13
5．已知函数f （x ）＝tan （ϕ－x ）（
2π＜ϕ＜32π）的图象经过原点，若f （－a ）＝12，则f （a ＋4π
）＝
A ．－3
B ．－13
C ．3
D ．13
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何
体的三视图，其中俯视图中的两段圆弧均为半圆，则该几
何体的体积为
A ．8－2π
B ．8－π
C ．8－23
π D ．8＋2π 7．若23log (log )a ＝34log (log )b ＝42log (log )c ＝1，则a ，b ，
c 的大小关系是
A ．a ＞b ＞c
B ．b ＞a ＞c
C ．a ＞c ＞b
D ．b ＞c ＞a
8．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世
界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三
人分一个，大小和尚各几丁?”如图所示的程序框图反映
了对此题的一个求解算法，则输出的n 的值为
A ．20
B ．25
C ．30
D ．75
9．若函数f （x ）＝－2x ＋a x ＋2lnx 在（1，2）上有最大值，则a 的取值范围为
A ．（0，＋∞）
B ．（0，3）
C ．（3，＋∞）
D ．（1，3）
10．设k ∈R ，函数f （x ）＝sin （kx ＋
6π）＋k 的图象为下面两个图中的一个，则函数f （x ）
的图象的对称轴方程为
A ．x ＝
2k π＋6π（k ∈Z ） B ．x ＝kx ＋3
π（k ∈Z ） C ．x ＝2k π－6π（k ∈Z ） D ．x ＝k π－3π（k ∈Z ）
11．抛物线M ：2y ＝4x 的准线与x 轴交于点A ，点F 为焦点，若抛物线M 上一点P 满足
PA ⊥PF ，则以F 为圆心且过点P 的圆被y 轴所截得的弦长约为（参考数据：5≈2．24）
A 24．
B 23．
C 22．
D 21．12．在三棱锥D —ABC 中，CD ⊥底面ABC ，A
E ∥CD ，△ABC 为正三角形，AB ＝CD ＝AE
＝2，三棱锥D —ABC 与三棱锥E —ABC 的公共部分为一个三棱锥，则此三棱锥的外接球的表面积为
A ．163π
B ．6π
C ．203π
D ．223
π
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．
13．已知向量a ，b 满足｜b ｜＝2｜a ｜＝2，a 与b 的夹角为120°，则｜a －2b ｜＝___________．
14．若双曲线2
2x y m
－＝1的实轴长是10，则此双曲线的渐近线方程为____________． 15．在△ABC 中，sinA ：sinB ：sinC ＝2 ：3 ：4，则△ABC 中最大边所对角的余弦值为
___________．
16．已知函数f （x ）＝1()2x －22(1)12(1)x x x e e x －＋＋－＋，则f （2log 6）＋f （21log 6
）＝_______________________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．第17～21题为必考
题．每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题．考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
已知n S 为等差数列{n a }的前n 项和，且a 17＝33，S 7＝49．
（1）证明：a 1，a 5，a 41成等比数列；
（2）求数列{n a ·3n
}的前n 项和n T ．
18．（12分）
为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机各选取了10个
轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm ）记录下来并绘制出如下的折线图：
（1）分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值；
（2）轮胎的宽度在[194，196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．试比较甲、乙两厂分别提
供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好?
19．（12分）
如图，几何体ABC —A 1DC 1由一个正三棱柱截去一个三棱锥而
得，AB ＝4，AA 1＝2，A 1D ＝1，AA 1⊥平面ABC ，M 为
AB 的中点，E 为棱AA 1上一点，且EM ∥平面BC 1D ．
（1）若N 在棱BC 上，且BN ＝2NC ，证明：EN ∥平面BC 1D ；
（2）过A 作平面BCE 的垂线，垂足为O ，确定O 的位置（说
明作法及理由），并求线段OE 的长．
20．（12分）
已知直线l ：y ＝2x －2与椭圆Ω：22
2214x y m m
＋＝（m ≠0）交于A ，B 两点． （1）求Ω的离心率；
（2）若以线段AB 为直径的圆C 经过坐标原点，求Ω的方程及圆C 的标准方程．
21．（12分）
已知函数f （x ）＝（2x －2x －2）x
e ．
（1）求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （2）当x ＞0时，f （x ）≥
313
x －4x ＋a 恒成立，求a 的最大值； （3）设F （x ）＝xf （x ）＋（2x －2x ）x e ，若F （x ）在[t ，t ＋52]的值域为[（6－18）6e
0]，求t 的取值范围．6≈2．4，6e ≈11．6）
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程3]（10分）
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ（0≤θ≤4π
）．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出曲线C ；
（2）若直线x t y t m ⎧⎨⎩
＝＝＋（t 为参数）与曲线C 有公 共点，求m 的取值范围．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f （x ）＝｜x －3｜．
（1）求不等式f （x ）＋f （2x ）＜f （12）的解集；
（2）若x 1＝3x 3－x 2，｜x 3－2｜＞4，证明：f （x 1）＋f （x 2）＞12．。