高中数学第一讲坐标系课件人教版
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人教版7.1平面直角坐标系 课件 (共20张PPT)
2叫做点P的纵坐标,
3 N2
1 -4 -3 -2 -1 0 -1 1
.Q（2，3） （3，2） p ·
M
2 3 4 5
记作：P（3，2）
X
-2 -3
-4
平面上点的坐标的确定
Y b
平面内任意一点P,过P点分别 向x、y轴作垂线，垂足在x轴、 y轴上对应的数a、b分别叫做 O 点p的横坐标、纵坐标， 则有序数对（a，b）叫做点P的坐标。
y 2
y
2 1 1
y
2 1 1 2 O
-2 -1
O
2
x
-2 -1
O
1
1
2 x
-2 -1
x
-2 -4
-1 -2 1 y ]
-1 -2
[
[
2
]
y 2
[
3
]
-2 -1 O
2 1
-2 -1 1 2 x O
1 1 -1 2
-1
-2
[ 4 ]
-2
5
纵轴
y
如何在平面直 5 角坐标系中表 4 示一个点？ 3 纵坐标2
任何一个在 x轴上的点 的纵坐标都为0。
练习
1 .点﹙0,1﹚,﹙2,0﹚,﹙-1,2﹚,﹙-1,0﹚， 3 个，在y轴上的点N﹙a,3﹚在y轴上，则a= _______ 0 3 .若点p﹙-4,b﹚在x轴上，则b= ____
4 .若点N﹙a+5 ,a－2﹚在y轴 –5 上，则a=______
. P(a,b)
a
X
记为P（a，b）
注意:横坐标写在前,纵坐标写在后, 中间用逗号隔开.
发现： (a，b)是一对有序数对，横坐标在前，纵 坐标在后，中间用逗号隔开,不能颠倒。
3 N2
1 -4 -3 -2 -1 0 -1 1
.Q（2，3） （3，2） p ·
M
2 3 4 5
记作：P（3，2）
X
-2 -3
-4
平面上点的坐标的确定
Y b
平面内任意一点P,过P点分别 向x、y轴作垂线，垂足在x轴、 y轴上对应的数a、b分别叫做 O 点p的横坐标、纵坐标， 则有序数对（a，b）叫做点P的坐标。
y 2
y
2 1 1
y
2 1 1 2 O
-2 -1
O
2
x
-2 -1
O
1
1
2 x
-2 -1
x
-2 -4
-1 -2 1 y ]
-1 -2
[
[
2
]
y 2
[
3
]
-2 -1 O
2 1
-2 -1 1 2 x O
1 1 -1 2
-1
-2
[ 4 ]
-2
5
纵轴
y
如何在平面直 5 角坐标系中表 4 示一个点？ 3 纵坐标2
任何一个在 x轴上的点 的纵坐标都为0。
练习
1 .点﹙0,1﹚,﹙2,0﹚,﹙-1,2﹚,﹙-1,0﹚， 3 个，在y轴上的点N﹙a,3﹚在y轴上，则a= _______ 0 3 .若点p﹙-4,b﹚在x轴上，则b= ____
4 .若点N﹙a+5 ,a－2﹚在y轴 –5 上，则a=______
. P(a,b)
a
X
记为P（a，b）
注意:横坐标写在前,纵坐标写在后, 中间用逗号隔开.
发现： (a，b)是一对有序数对，横坐标在前，纵 坐标在后，中间用逗号隔开,不能颠倒。
人教版高中数学课件-极坐标系
二 極坐標系 第1課時 極坐標系的概念
【自主預習】
1.極坐標系
(1)取極點:平面內取一個______. 定點O
(2)作極軸:自極點引一條射線Ox.
(3)定單位:選定一個長度單位,一個角度單位(通常取
弧度)及其正方向(通常取逆時針方向).
2.點的極座標
(1)定義:有序數對(ρ,θ)叫做點M的極座標,記為
2.如圖,在極坐標系中, (1)作出以下各點: A(5，0)，B(3，)，C(4，3)，D(2，－3). (2)求點E,F的6 極座標2(ρ,θ)(ρ2≥0,θ∈R).
【解析】(1)如圖,在極坐標系中,點A,B,C,D的位置是 確定的. (2)由於點E的極徑為4, 在θ∈[0,2π)內,極角 又因為點的極座標為(ρ,θ)(7ρ6≥，0,θ∈R),
【解析】因為 2 ，
3 62
故∠AOB=90°,故
AB 62 62 6 2.
【延伸探究】 1.本例已知條件不變,試求△AOB的面積.
【解析】因為 2 故 ∠，AOB=90°, 3 62
所以S△AOB=1 6 6 18. 2
2.本例已知條件不變,試求線段AB中點的極座標.
【解析】設線段AB中點M的極座標為(ρ,θ),
【變式訓練】1.在極坐標系中,極軸的反向延長線上一 點M與極點的距離為2,則點M的極座標的下列表示: ①(2,0);②(2,π);③(2,-π);④(2,2kπ)(k∈Z). 其中,正確表示的序號為____________.
【解析】由於極軸的反向延長線上一點M與極點的距離 為2,極角的始邊為Ox,終邊與平角的終邊相同,故點M的 極座標為(2,π+2kπ)(k∈Z),故②③正確. 答案:②③
兩點 A( 5, 5 )，B(7, 7 ) 間的距離是 ( )
【自主預習】
1.極坐標系
(1)取極點:平面內取一個______. 定點O
(2)作極軸:自極點引一條射線Ox.
(3)定單位:選定一個長度單位,一個角度單位(通常取
弧度)及其正方向(通常取逆時針方向).
2.點的極座標
(1)定義:有序數對(ρ,θ)叫做點M的極座標,記為
2.如圖,在極坐標系中, (1)作出以下各點: A(5，0)，B(3，)，C(4，3)，D(2，－3). (2)求點E,F的6 極座標2(ρ,θ)(ρ2≥0,θ∈R).
【解析】(1)如圖,在極坐標系中,點A,B,C,D的位置是 確定的. (2)由於點E的極徑為4, 在θ∈[0,2π)內,極角 又因為點的極座標為(ρ,θ)(7ρ6≥，0,θ∈R),
【解析】因為 2 ，
3 62
故∠AOB=90°,故
AB 62 62 6 2.
【延伸探究】 1.本例已知條件不變,試求△AOB的面積.
【解析】因為 2 故 ∠，AOB=90°, 3 62
所以S△AOB=1 6 6 18. 2
2.本例已知條件不變,試求線段AB中點的極座標.
【解析】設線段AB中點M的極座標為(ρ,θ),
【變式訓練】1.在極坐標系中,極軸的反向延長線上一 點M與極點的距離為2,則點M的極座標的下列表示: ①(2,0);②(2,π);③(2,-π);④(2,2kπ)(k∈Z). 其中,正確表示的序號為____________.
【解析】由於極軸的反向延長線上一點M與極點的距離 為2,極角的始邊為Ox,終邊與平角的終邊相同,故點M的 極座標為(2,π+2kπ)(k∈Z),故②③正確. 答案:②③
兩點 A( 5, 5 )，B(7, 7 ) 間的距離是 ( )
人教版高中数学选修4-4--第一讲-坐标系-1.4--柱坐标系与球坐标系简介ppt课件
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ 之间的变换关系为：____x_2_＋__y2_＋__z_2＝__r_2，___.
x＝rsin φcos θ ， y＝rsin φsin θ ， z＝rcos φ
预习 思考
(1,1,1)
1．设
P
点
柱
坐
标
为
2，π4，1 . 则 它 的 直 角 坐 标 为
____________．
2．设点 M 的球坐标为2，34π，34π，它的直角坐标为 ____ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_______．
(－1,1，－ 2)
题型1 柱坐标、球坐标的确定
例1 如图所示，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长 AB 6 3，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点 A 为坐标原点 以射线 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴， 立空间直角坐标系，求长方体顶点 C1 的空间直角坐标、柱 标、球坐标．
变式 训练
1．建立如下图所示的柱坐标系，写出棱长为 1 的正方
各顶点的柱坐标．
变式 训练
变式 训练
题型2 柱、球坐标与直角坐标的互化
例2
已知点
M
的
柱
坐
标
为
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ 之间的变换关系为：____x_2_＋__y2_＋__z_2＝__r_2，___.
x＝rsin φcos θ ， y＝rsin φsin θ ， z＝rcos φ
预习 思考
(1,1,1)
1．设
P
点
柱
坐
标
为
2，π4，1 . 则 它 的 直 角 坐 标 为
____________．
2．设点 M 的球坐标为2，34π，34π，它的直角坐标为 ____ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_______．
(－1,1，－ 2)
题型1 柱坐标、球坐标的确定
例1 如图所示，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长 AB 6 3，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点 A 为坐标原点 以射线 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴， 立空间直角坐标系，求长方体顶点 C1 的空间直角坐标、柱 标、球坐标．
变式 训练
1．建立如下图所示的柱坐标系，写出棱长为 1 的正方
各顶点的柱坐标．
变式 训练
变式 训练
题型2 柱、球坐标与直角坐标的互化
例2
已知点
M
的
柱
坐
标
为
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
2020版高中数学第一讲坐标系1.1平面直角坐标系课件新人教A版选修4_4
3
又因为|PB|-|PA|=4,
所以点 P 必在以 A,B 为焦点的双曲线的右支上,
且双曲线的方程为 ������2 − ������2 = 1(������≥2).②
45
联立①②,解得
x=8
或
x=−
32 11
(舍去).
当 x=8 时,y=5 3.
所以点 P 的坐标为(8,5 3).
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
题型一 题型二 题型三 题型四
解:设点 P 的坐标为(x,y),则 A(3,0),B(-3,0),C(-5,2 3).
因为|PB|=|PC|,
所以点 P 在线段 BC 的垂直平分线上.
因为 kBC=− 3, 线段BC 的中点 D 的坐标为(-4, 3), 所以直线 PD 的方程为 y− 3 = 1 (������ + 4). ①
= 2|������������|, 试建立适当的平航 UBIAODAOHANG
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三 题型四
解:建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),B(-1 000,0).由W位于A的西北方向及|AW|=400 m,
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
又因为|PB|-|PA|=4,
所以点 P 必在以 A,B 为焦点的双曲线的右支上,
且双曲线的方程为 ������2 − ������2 = 1(������≥2).②
45
联立①②,解得
x=8
或
x=−
32 11
(舍去).
当 x=8 时,y=5 3.
所以点 P 的坐标为(8,5 3).
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
题型一 题型二 题型三 题型四
解:设点 P 的坐标为(x,y),则 A(3,0),B(-3,0),C(-5,2 3).
因为|PB|=|PC|,
所以点 P 在线段 BC 的垂直平分线上.
因为 kBC=− 3, 线段BC 的中点 D 的坐标为(-4, 3), 所以直线 PD 的方程为 y− 3 = 1 (������ + 4). ①
= 2|������������|, 试建立适当的平航 UBIAODAOHANG
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三 题型四
解:建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),B(-1 000,0).由W位于A的西北方向及|AW|=400 m,
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
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D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
高中数学第一讲坐标系本讲整合课件新人教A版选修4_4
由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
1234567
知识建构
综合应用
真题放送
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).
由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,
于是△OAB
面积
S=
1 2
|������������|·ρB·sin∠AOB
由直线与圆相切,可知
|1+0-������| 1+1
=
1,
即|1-a|= 2, 解得a=1± 2.
∵a>0,∴a= 2 + 1.
答案: 2 + 1
1234567
知识建构
综合应用
真题放送
3(2017·北京高考,理11)在极坐标系中,点A在圆ρ2-2ρcos θ-4ρsin
θ+4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为
在直线 x− 3������ − 1 = 0 上,故|AB|=2.
答案:2
知识建构
综合应用
真题放送
1234567
6(2018·全国Ⅰ高考,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为
y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0. (1)求C2的直角坐标方程; (2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程. 解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4. (2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆. 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的 射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅 有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点, 或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点. 当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,
1234567
知识建构
综合应用
真题放送
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).
由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,
于是△OAB
面积
S=
1 2
|������������|·ρB·sin∠AOB
由直线与圆相切,可知
|1+0-������| 1+1
=
1,
即|1-a|= 2, 解得a=1± 2.
∵a>0,∴a= 2 + 1.
答案: 2 + 1
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知识建构
综合应用
真题放送
3(2017·北京高考,理11)在极坐标系中,点A在圆ρ2-2ρcos θ-4ρsin
θ+4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为
在直线 x− 3������ − 1 = 0 上,故|AB|=2.
答案:2
知识建构
综合应用
真题放送
1234567
6(2018·全国Ⅰ高考,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为
y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0. (1)求C2的直角坐标方程; (2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程. 解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4. (2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆. 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的 射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅 有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点, 或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点. 当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,
人教版高中数学选修4-4课件：第一讲二极坐标
4．写出下图中各点的极坐标：
A________，B________，C________． 答案：(4，0) 2，π4 3，π2
5．极坐标系中，与点3，－π3关于极轴所在直线对 称的点的极坐标是________．
答案：3，π3
类型 1 极坐标系与点的极坐标(自主研析) [典例 1] (1)写出下图中各点的极坐标(ρ>0，0≤ θ<2π，且各线之间间距相等)．
法二 将点 A 化为直角坐标为( 3，1)，点 B 化为直 角坐标为( 3，－1)．所以 A、B 两点间的距离
d＝ （ 3－ 3）2＋[1－（－1）]2＝2. (2)如下图所示：
关于极轴的对称点为 B2，－π3. 关于直线 l 的对称点为 C2，23π. 关于极点 O 的对称点为 D2，－23π.
归纳升华 1．点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)或(ρ，2π－ θ)，关于极点的对称点是(ρ，π＋θ)，关于过极点且垂直 于极轴的直线的对称点是(ρ，π－θ)．
2．求极坐标系中两点间的距离应通过由这两点和极 点 O 构成的三角形求解，也可以运用两点间距离公式|AB| ＝ ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）求解，其中 A(ρ1，θ1)， B(ρ2，θ2)．注意当 θ1＋θ2＝2kπ(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1－ρ2|； 当 θ1＋θ2＝2kπ＋π(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1＋ρ2|.
2．点的极坐标
一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一 个点．特别地，极点 O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和直角坐 标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示方法．
如果规定 ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的 点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表 示的点也是唯一确定的．
高中数学第一章坐标系第4节第2课时球坐标系课件新人教a选修4_4
x＝rsin φ cos θ ， y＝rsin φ sin θ ， 求出r、θ、φ z＝rcos φ
代入点的球坐标即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，
tan
θ
＝
y x
，cos
φ
＝
z r
.特别注意由直角坐标求球坐标
时，θ 和φ的取值应首先看清点所在的象限，准确取
值，才能无误．
2．设点M的直角坐标为 42， 46，－ 22，求它的球坐标． 解：由变换公式得
在△AOB中，AB＝OB＝OA＝R，∴∠AOB＝π3 .
π 故飞机经过A、B两地的大圆，航线最短，其路程为 3 R.
我们根据A、B两地的球坐标找到纬度和经度，当飞 机沿着过A、B两地的大圆飞行时，飞机最快，求所飞行 的路程实际上是要求我们求出过A、B两地的球面距离．
3.
用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，
A、B两个城市，它们的球坐标分别为A(R，
π 4
，
π 6
)，
B(R，
π 4
，
2π 3
)，飞机沿球的大圆圆弧飞行时，航线最
短，求最短的路程．
[精讲详析] 本题考查球坐标系的应用以及球面上 的最短距离问题．解答本题需要搞清球的大圆的圆心 角及求法．
如图所示，因为A(R，π4 ，π6 )，B(R，π4 ，2π3 )，
π
π
轴，φ0＜ 2 时它在上半空间，φ0＞ 2 时它在下半空
间，φ0＝π2 时它是xOy平面(如图所示)．
已知点M的球坐标为5，5π6 ，43π ，求它的直角坐标．
[精讲详析] 本题考查球坐标与直角坐标的变换关
系，解答本题需要先搞清球坐标(5，
5π 6
高中数学第一讲坐标系1.1平面直角坐标系课件新人教A版选修4_4
则E
������ 2
,0
,F
������+������ 2
,
������ 2
,G
������+������ 2
,
������+������ 2
,H
������ 2
,
������ 2
,M
������ 2
,
������ 2
,N
������+������ 2
,
������ 2
.
由中点坐标公式求得线段EG,FH,MN的中点坐标都是
= =
������������,������ > 0, ������������,������ > 0,
将其代入方程 2x'-y'=4,得 2λx-μy=4.
将其与 x-2y=2,即 2x-4y=4 比较,可得 λ=1,μ=4.
故满足条件的伸缩变换为
������' ������'
= =
������, 4������.
一 平面直角坐标系
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X 新知导学 INZHIDAOXUE
D 答疑解惑 AYIJIEHUO
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟求轨迹的常用方法
1.直接法.如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某 个等量关系,那么可用求曲线方程的步骤直接求解.
2.定义法.如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,那么可依据 定义写出轨迹方程.
2.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:
������' = ������������,������ > 0, ������' = ������������,������ > 0 的作用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),称φ为平面直角 坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
人教版高中数学选择性必修1《空间直角坐标系》PPT课件
又GD＝34，故G点坐标为0，34，0. 由H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点． 故HK＝12，CK＝18， ∴DK＝78， 故H点坐标为0，78，12.
[方法技巧] 求某点P的坐标的方法
(1)找到点P在x，y，z轴上的射影； (2)确定射影在相应坐标轴上的坐标； (3)求出点P的坐标．
[对点练清] 已知正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 5 2，侧棱长为 13， 建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标．
解：因为|PO|＝ |PB|2－|OB|2＝ 169－25＝12， 所以各顶点的坐标分别为 P(0,0,12)， A52 2，－52 2，0，B5 2 2，52 2，0， C－52 2，52 2，0，D－522，－522，0.
题型二 空间向量的坐标表示 [学透用活]
[典例2] 如图所示，PA垂直于正方形ABCD 所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且 PA＝AB＝1.试建立适当的空间直角坐标系，求 向量―M→N 的坐标．
中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系．点E在z轴上，它 的x坐标、y坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为 0，0，12.
由F作FM⊥AD，FN⊥DC，垂足分别为M，N， 由平面几何知识知FM＝12，FN＝12， 故F点坐标为12，12，0. 点G在y轴上，其x，z坐标均为0，
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通
1．在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，|AB|＝5，|AD|＝4，|AA1|＝4， A1C1 与 B1D1 相交于点 P，建立适当的空间直角坐标系，求出 点 C，B1，P 的坐标(写出符合题意的一种情况即可)． 以下是两名同学的解法．
人教版必修1 1.1质点、参考系和坐标系(共13张PPT)[优秀课件资料]
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8
例2．P6.第3层拓展1
（1）要确定甲的运动情况，应以谁为参考系？ （2）确定乙的运动情况，以谁为参考系？ （3）以甲（或乙）为参考系，丙如何运动？以地面为参考 系呢？
9
主题3：坐标系
问题：（1）为什么要引入坐标系？ （2）坐标系的三要素是什么？ （3）通常建立的坐标系有哪些种类？（ P4.主题3）
注意： 参考系是作为参考的物体，引入它是为了方便地研究
别的物体的运动。 而坐标系是一种数学工具，引入它是为了定量确定物
体在某时刻相对于参考系运动到什么位置。
10
例3．如图所示，某人从学校门口A处 开始散步，先向南走了50米到达B处，再 向东走了100米到达C处，最后又向北走 了150米到达D处，则A、B、C、D各点 的位置如何表示?
因为被人溺爱，才破灭了成为栋梁之材的梦。
树苗如果因为怕痛而拒绝修剪，那就永远不会成材。生活的激流已经涌现到万丈峭壁，只要再前进一步，就会变成壮丽的瀑布。生命很残酷，用悲伤让你了解什么叫幸福， 用噪音教会你如何欣赏寂静，用弯路提醒你前方还有坦途。山涧的泉水经过一路曲折，才唱出一支美妙的歌通过云端的道路，只亲吻攀登者的足迹。敢于向黑暗宣战的人，4Fra bibliotek小结：质点
1．质点是用来替代物体，拥有物体质量而忽略其大小体积的物 质点。 2．质点是理想化模型，突出主要因素，忽略次要因素。 3．物体能否看成质点取决于所要研究的问题的性质，当物体的 大小、形状对要研究的问题的影响可以忽略不计时，就能看成 质点。
5
例1．下列哪些运动的物体可看成质点？（P5检测1）
心里必须充满光明。骄傲，是断了引线的风筝，稍纵即逝；自卑，是剪了双翼的飞鸟，难上青天。这两者都是成才的大向你的美好的希冀和追求撒开网吧，九百九十九次 落空了，还有一千次呢。只有创造，才是真正的享受，只有拼搏，才是充实的生活。激流勇进者方能领略江河源头的奇观胜景忙于采集的蜜蜂，无暇在人前高谈阔论有一 个人任何时候都不会背弃你，这个人就是你自己。谁不虚伪，谁不善变，谁都不是谁的谁。又何必把一些人，一些事看的那么重要。有一种女人像贝壳一样，外面很硬， 内在其实很软。心里有一颗美丽的珍珠，却从来不轻易让人看见。人生没有绝对的公平，而是相对公平。在一个天平上，你得到越多，势必要承受更多，每一个看似低的 起点，都是通往更高峰的必经之路。你要学会捂上自己的耳朵，不去听那些熙熙攘攘的声音；这个世界上没有不苦逼的人，真正能治愈自己的，只有你自己。时间会告诉 你一切真相。有些事情，要等到你渐渐清醒了，才明白它是个错误；有些东西，要等到你真正放下了，才知道它的沉重。时间并不会真的帮我们解决什么问题，它只是把 原来怎么也想不通的问题，变得不再重要了。 生活不是让你用来妥协的。你退缩得越多，那么可以让你喘息的空间也就是越少。胸怀临云志，莫负少年时唯有行动才能解 除所有的不安。明天的希望，让我们忘记昨天的痛！如果你不努力争取你想要的，那你永远都不会拥有它。过去属于死神，未来属于你自己其实每一条都通往阳光的大道， 都充满坎坷。所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。我已经看见，多年后的自己。自信！开朗！豁达！努力的目的在于让妈妈给自己买东西时像给我买 东西一样干脆。被人羞辱的时候，翻脸不如翻身，生气不如争气。成长道路谁都会受伤，我们才刚刚起航，必须学会坚强。每个人都是自己命运的建筑师。在成长的过程
例2．P6.第3层拓展1
（1）要确定甲的运动情况，应以谁为参考系？ （2）确定乙的运动情况，以谁为参考系？ （3）以甲（或乙）为参考系，丙如何运动？以地面为参考 系呢？
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主题3：坐标系
问题：（1）为什么要引入坐标系？ （2）坐标系的三要素是什么？ （3）通常建立的坐标系有哪些种类？（ P4.主题3）
注意： 参考系是作为参考的物体，引入它是为了方便地研究
别的物体的运动。 而坐标系是一种数学工具，引入它是为了定量确定物
体在某时刻相对于参考系运动到什么位置。
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例3．如图所示，某人从学校门口A处 开始散步，先向南走了50米到达B处，再 向东走了100米到达C处，最后又向北走 了150米到达D处，则A、B、C、D各点 的位置如何表示?
因为被人溺爱，才破灭了成为栋梁之材的梦。
树苗如果因为怕痛而拒绝修剪，那就永远不会成材。生活的激流已经涌现到万丈峭壁，只要再前进一步，就会变成壮丽的瀑布。生命很残酷，用悲伤让你了解什么叫幸福， 用噪音教会你如何欣赏寂静，用弯路提醒你前方还有坦途。山涧的泉水经过一路曲折，才唱出一支美妙的歌通过云端的道路，只亲吻攀登者的足迹。敢于向黑暗宣战的人，4Fra bibliotek小结：质点
1．质点是用来替代物体，拥有物体质量而忽略其大小体积的物 质点。 2．质点是理想化模型，突出主要因素，忽略次要因素。 3．物体能否看成质点取决于所要研究的问题的性质，当物体的 大小、形状对要研究的问题的影响可以忽略不计时，就能看成 质点。
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例1．下列哪些运动的物体可看成质点？（P5检测1）
心里必须充满光明。骄傲，是断了引线的风筝，稍纵即逝；自卑，是剪了双翼的飞鸟，难上青天。这两者都是成才的大向你的美好的希冀和追求撒开网吧，九百九十九次 落空了，还有一千次呢。只有创造，才是真正的享受，只有拼搏，才是充实的生活。激流勇进者方能领略江河源头的奇观胜景忙于采集的蜜蜂，无暇在人前高谈阔论有一 个人任何时候都不会背弃你，这个人就是你自己。谁不虚伪，谁不善变，谁都不是谁的谁。又何必把一些人，一些事看的那么重要。有一种女人像贝壳一样，外面很硬， 内在其实很软。心里有一颗美丽的珍珠，却从来不轻易让人看见。人生没有绝对的公平，而是相对公平。在一个天平上，你得到越多，势必要承受更多，每一个看似低的 起点，都是通往更高峰的必经之路。你要学会捂上自己的耳朵，不去听那些熙熙攘攘的声音；这个世界上没有不苦逼的人，真正能治愈自己的，只有你自己。时间会告诉 你一切真相。有些事情，要等到你渐渐清醒了，才明白它是个错误；有些东西，要等到你真正放下了，才知道它的沉重。时间并不会真的帮我们解决什么问题，它只是把 原来怎么也想不通的问题，变得不再重要了。 生活不是让你用来妥协的。你退缩得越多，那么可以让你喘息的空间也就是越少。胸怀临云志，莫负少年时唯有行动才能解 除所有的不安。明天的希望，让我们忘记昨天的痛！如果你不努力争取你想要的，那你永远都不会拥有它。过去属于死神，未来属于你自己其实每一条都通往阳光的大道， 都充满坎坷。所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。我已经看见，多年后的自己。自信！开朗！豁达！努力的目的在于让妈妈给自己买东西时像给我买 东西一样干脆。被人羞辱的时候，翻脸不如翻身，生气不如争气。成长道路谁都会受伤，我们才刚刚起航，必须学会坚强。每个人都是自己命运的建筑师。在成长的过程
第一节 坐标系 (高中数学精品课件PPT)
②极角：以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做 点 M 的极角，记为 θ.
③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点 M 的极坐标，记为 M(ρ，θ). 一般不作特殊说明时，我们认为 ρ≥0，θ 可取任意实数.
④极坐标与直角坐标的重要区别：多值性.
返回
3.极坐标与直角坐标的互化
设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是
为(0，－1)，其对应的极坐标为1，－π2.
返回
3.在极坐标系中，已知点 P2，π6，则过点 P 且平行于极轴的
直线方程是
( A)
A.ρsin θ＝1
B.ρsin θ＝ 3
C.ρcos θ＝1
D.ρcos θ＝ 3
解析：先将极坐标化成直角坐标表示，P2，π6转化为直角坐
极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位 和它的正方向.四者缺一不可.
返回
(2)极坐标 ①极径：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫
做点 M 的极径，记为 ρ. 由极径的意义知 ρ＞0 时，当极角 θ 的取值范围是[0，2π 时，平面上的点除去极点与极坐标ρ，θ建立一一对应关 系.约定极点的极坐标是极径 ρ＝0，极角可取任意角.
∴ρ＝sin
1 θ＋cos
θ0≤θ≤π2.
返回
2.在极坐标系中，圆 ρ＝－2sin θ 的圆心的极坐标是( B )
A.1，π2
B.1，－π2
C.(1,0)
D.(1，π)
解析：由 ρ＝－2sin θ，得 ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程
为 x2＋y2＝－2y，化成标准方程为 x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标
第一节 坐标系
③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点 M 的极坐标，记为 M(ρ，θ). 一般不作特殊说明时，我们认为 ρ≥0，θ 可取任意实数.
④极坐标与直角坐标的重要区别：多值性.
返回
3.极坐标与直角坐标的互化
设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是
为(0，－1)，其对应的极坐标为1，－π2.
返回
3.在极坐标系中，已知点 P2，π6，则过点 P 且平行于极轴的
直线方程是
( A)
A.ρsin θ＝1
B.ρsin θ＝ 3
C.ρcos θ＝1
D.ρcos θ＝ 3
解析：先将极坐标化成直角坐标表示，P2，π6转化为直角坐
极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位 和它的正方向.四者缺一不可.
返回
(2)极坐标 ①极径：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫
做点 M 的极径，记为 ρ. 由极径的意义知 ρ＞0 时，当极角 θ 的取值范围是[0，2π 时，平面上的点除去极点与极坐标ρ，θ建立一一对应关 系.约定极点的极坐标是极径 ρ＝0，极角可取任意角.
∴ρ＝sin
1 θ＋cos
θ0≤θ≤π2.
返回
2.在极坐标系中，圆 ρ＝－2sin θ 的圆心的极坐标是( B )
A.1，π2
B.1，－π2
C.(1,0)
D.(1，π)
解析：由 ρ＝－2sin θ，得 ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程
为 x2＋y2＝－2y，化成标准方程为 x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标
第一节 坐标系
课件高中数学_人教版必修：空间直角坐标系PPT课件_优秀版
x A (3, 0, 0)
B '(3, 4, 2)
4y
C (0, 4, 0)
B(3, 4, 0)
典型例题
例3 .结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的示意图(可看成 是八个棱长为 1/2的小正方体堆积成的正方体), 其中色点代表钠原 子,黑点代表氯原子. 如图,建立空间直角坐标系Oxyz后,试写出全部 钠原子所在位置的坐标.
数对（a,b,c)叫做点P的坐标 给定有序实数组(x,y,z),如何确定点的位置.
1
• （2）y轴对称的点P 为_(___x,_y_,___z_) ; 如图,建立空间直角坐标系Oxyz后,试写出全部钠原子所在位置的坐标.
注意 空间直角坐标系的画法
（1）x轴对称的点P1为__________;
2
• （3）z轴对称的点P 为__(__x_, __y_, _z_) . 如图,建立空间直角坐标系Oxyz后,试写出全部钠原子所在位置的坐标.
墙 墙
地面
新知探究
1.空间直角坐标系
如图,OABC-D1A1B1C1是单位正方体.以O为原点,分别以 射线OA,OC,OD1 的方向为正方向,以线段OA,OC, OD1的 长为单位长,建立三条数轴：x轴、y 轴、z 轴.这时我们说 建立了一个空间直角坐标系O-xyz .
其中点O叫做坐标原点, x
z
Ⅲ
z
yz 面 (-x0 , -y0)
（2）y轴对称的点P2为__________; 给定有序实数组(x,y,z),如何确定点的位置. 给定有序实数组(x,y,z),如何确定点的位置.
zx面
Ⅱ
以O为原点,分别以射线OA,OC,OD1 的方向为正方向,以线段OA,OC, OD1的长为单位长,建立三条数轴：x轴、y 轴、z 轴.
B '(3, 4, 2)
4y
C (0, 4, 0)
B(3, 4, 0)
典型例题
例3 .结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的示意图(可看成 是八个棱长为 1/2的小正方体堆积成的正方体), 其中色点代表钠原 子,黑点代表氯原子. 如图,建立空间直角坐标系Oxyz后,试写出全部 钠原子所在位置的坐标.
数对（a,b,c)叫做点P的坐标 给定有序实数组(x,y,z),如何确定点的位置.
1
• （2）y轴对称的点P 为_(___x,_y_,___z_) ; 如图,建立空间直角坐标系Oxyz后,试写出全部钠原子所在位置的坐标.
注意 空间直角坐标系的画法
（1）x轴对称的点P1为__________;
2
• （3）z轴对称的点P 为__(__x_, __y_, _z_) . 如图,建立空间直角坐标系Oxyz后,试写出全部钠原子所在位置的坐标.
墙 墙
地面
新知探究
1.空间直角坐标系
如图,OABC-D1A1B1C1是单位正方体.以O为原点,分别以 射线OA,OC,OD1 的方向为正方向,以线段OA,OC, OD1的 长为单位长,建立三条数轴：x轴、y 轴、z 轴.这时我们说 建立了一个空间直角坐标系O-xyz .
其中点O叫做坐标原点, x
z
Ⅲ
z
yz 面 (-x0 , -y0)
（2）y轴对称的点P2为__________; 给定有序实数组(x,y,z),如何确定点的位置. 给定有序实数组(x,y,z),如何确定点的位置.
zx面
Ⅱ
以O为原点,分别以射线OA,OC,OD1 的方向为正方向,以线段OA,OC, OD1的长为单位长,建立三条数轴：x轴、y 轴、z 轴.
高中数学第1章 1.31.3.2空间向量运算的坐标表示课件新人教A版选择性必修第一册
2.已知 a＝(1,0,1)，b＝(2，－2,0)，则〈a，b〉＝_______.
60° [因为 a·b＝1×2＋0×(－2)＋1×0＝2，
|a|＝ 12＋02＋12＝ 2，
|b|＝ 22＋－22＋02＝2 2，
所以 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
2 2×2
2＝12，
因此〈a，b〉＝60°.]
[解] 建立如图所示空间直角坐标系 Oxyz，则有 E0，0，12， F12，12，0，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G0，34，0，H0，78，12.
(1)E→F＝12，21，0－0，0，12＝12，21，－12， C→1G＝0，34，0－(0,1,1)＝0，－14，－1， ∴|C→1G|＝ 417.
知识点 2 空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
平行(a∥b)
a1＝λb1， a2＝λb2，λ∈R
a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔____a_3＝__λ_b_3___________
垂直(a⊥b)
a⊥b⇔a·b＝0⇔ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 (a，b 均为非 零向量)
∴FH＝|F→H|＝
－212＋382＋122＝
41 8.
用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的基本思路是什 么？
[提示] 1根据条件建立适当的空间直角坐标系； 2写出相关点的坐标，用向量表示相关元素； 3通过向量的坐标运算求夹角和距离.
[跟进训练] 3．在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，AA1 ＝2，Q 为 A1A 的中点． (1)求B→Q的长； (2)求 cos〈B→Q，C→B1〉，cos〈B→A1，C→B1〉，并比较〈B→Q，C→B1〉， 〈B→A1，C→B1〉的大小．
高中数学必修一《空间直角坐标系》课件
26
[跟进训练] 2．点P(－3,2，－1)关于平面xOz的对称点是________，关于z轴 的对称点是________，关于M(1,2,1)的对称点是________．
(－3，－2，－1) (3，－2，－1) (5,2,3) [点P(－3,2，－1)关 于平面xOz的对称点是(－3，－2，－1)，关于z轴的对称点是(3，－ 2，－1)．设点P(－3,2，－1)关于M(1,2,1)的对称点为(x，y，z)．
24
P(a，b，c)
对称轴或对称中心 x轴 y轴 z轴
xOy平面 yOz平面 xOz平面 坐标原点
对称点坐标 (a，－b，－c) (－a，b，－c) (－a，－b，c)
(a，b，－c) (－a，b，c) (a，－b，c) (－a，－b，－c)
25
2.在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线 段AB的中点坐标为x1＋2 x2，y1＋2 y2，z1＋2 z2.
12
3．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若以{A→B，A→D，A→A1} 为基底，则A→C1＝________，A→C1的坐标是________．
A→A1＋A→B＋A→D (1,1,1) [若以{A→B，A→D，A→A1}为基底，∵A→C1 ＝A→A1＋A→1C1＝A→A1＋A→1B1＋B→1C1＝A→A1＋A→B＋A→D
(重点、难点)
心素养.
3
情景 导学 探新 知
4
(1)数轴Ox上的点M，用代数的方法怎样表示呢？ 数轴Ox上的点M，可用与它对应的实数x表示；
5
(2)直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？ 直角坐标平面上的点M，可用一对有序实数(x，y)表示．
(3)如果我们也能建立一个空间直角坐标系，又该怎样表示空间 的点呢？
人教高中数学 选修第一讲坐标系2021优质ppt
x
1
x
2
①
y y
我们把①式叫做平面直角坐标 系中的一个坐标压缩变换。
怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?
y
在正弦曲线上任取一点P(x, y),
保持横坐标x不变，将纵坐标伸长
2
为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。 O
x
上述变换实质上就是一个坐标的伸长变换
即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，
Ax
故|PA|－ |PB|=340×4=1360 (1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，
例2 圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN (M、N分别为切点2 ),使得P2M=
x y 立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程。
横坐标x缩为原来的1/2;
O
x
在此基础上，将纵坐标变为原来 的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.
即在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，若设点P(x,y) 经变换得到点为P’(x’, y’)，坐标对应关系为:
x 1 x
2
③
y 3 y
把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换
由双曲线定义P点在以A, B为焦点的双曲线 a b 1 上 以 l 为X轴，过定点A垂直于X轴的直线为Y轴建立直角坐标系，
2
2
PN，试建
a=680, c=1020, b2=c2-a2=10202-6802=5×3402.
所以双曲线的方程为：
x2
y2
1(x0)
682053420
用y=－x代入上式，得 x685 0,y685 0,