2011年中考数学专题复习之一 配方法与换元法

之一：配方法与换元法

一、配方法与换元法的特点：

把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．

配方法与换元法是初中数学中的重要方法，近几年的中考题中常常涉及。有时题中指定用配方法或换元法求解，而更多的则是隐含在题目当中，在分析题意的基础上，由考生自己确定选用配方法或换元法，把代数式配成完全平方式的形式，利用完全平方式的特性去求解，以达到快速解题的目的，这是种快捷也是很有效的方法，在初中代数中，占有很重要的地位和份量。

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 二、配方法与换元法的方法：

配方法与换元法主要依据完全平方公式，由公式a 2±2ab+b 2=(a±b)2可知，如果一个多项式能够表达成“两个数的平方和，加上或减去这两个数的积的2倍，则这个多项式就可以写成这两个数的和或差的平方。”由完全平方式的性质可知，任何一个实数的平方都

是非负数，即(a-b)2≥0，当a=b 时，(a-b)2

=0。利用这条性质，并可以解决很多与之有联系的数学问题。

配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．而配方法一般有两种形式，一是根据第一项和

第二项的系数特点，确定第三项系数或常数项。如二次三项式4 x 2

+6x+k 是完全平方式，试确定k 值。这一类的问题只有一解。而更多的是由第一项和第三项的系数特点，确定第二项的系数。如二次三项式4x 2+kxy+25 y 2是完全平方式，试确定k 值。这一类问题一定要考虑正、负值两种情况，结果应为两解才为正确，这一点为不少考生所忽视，一定要考虑周到方可取得好成绩。 三、例题精讲：

热身： 填空题：

1．将二次三项式x 2

+2x －2进行配方，其结果为 。 2．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是 。

3．已知M=x 2

－8x+22，N=－x 2

+6x －3，则M 、N 的大小关系为 。 4．用配方法把二次函数y=2x 2+3x+1写成y=a(x+m)2+k 的形式 。 5．设方程x 2+2x －1=0的两实根为x 1，x 2，则（x 1－x 2）2= 。 6．已知方程x 2－kx+k=0的两根平方和为3，则k 的值为 。 7．若x 、y 为实数，且1

1),32(332

+-+-=-+x y x y x 则

的值等于 。

【例1】 分解因式：（1）a 2b 2-a 2+4ab-b 2+1 ；（2）（x 2+2x ＋4）（x 2+2x+6）-8

分析：多于三项式的多项式的分解因式，常需要进行适当的分组，分组的原则是：首先看有没有能够构成完全平方的项，然后看看有没有能够构成平方差的项，最后看有没有公因式． 解答：（1）a 2b 2-a 2+4ab-b 2+1 = （a 2b 2+2ab+1）-（a 2-2ab+b 2）=（ab+1）2-(a-b)2

=(ab+a-b+1)(ab-a+b+1)。

（2）设x 2＋2x ＋4=y ，则 x 2+2x+6=y ＋2．

原式=y （y ＋2）-8=y 2＋2y-8=（y ＋4）（y －2）． 把y=x 2+2x ＋4代入上式

原式=（x 2＋2x +4＋4）（x 2＋2x ＋4-2）=（x 2+2x+8）（x 2＋2x+2）．

【例2】已知a ，b ∈R ，则不等式①a 2+3>2a ，②a 2+b 2≥2(a －b －1)，③a 2+b 2>a b 中一定成立的有__________．

分析 : a 2+3－2a =(a －1) 2+2>0，∴①式成立．

a 2+

b 2－2(a －b －1)=a 2+b 2－2a +2b+2= (a －1) 2+(b+1) 2≥0，∴②式成立．

2

2

2

230

24b a b ab a b ⎛

⎫+-=-+≥ ⎪⎝⎭(当且仅当a =b=0时取得等号)，∴③式不一定成

立．故填①②．

【例3】已知：a 、b 为实数，且a 2

+4b 2

－2a+4b+2=0，求4a 2

－b 1

的值。

分析：利用数学的化归思想，将等式左边的多项式折项配方，（a 2－2a+1）+（4b 2+4b+1）

=0，得（a-1）2+(2b+1)2=0，分别求得a=1，b= -1/2，代入代数式即可。答案是6。 【例4】求证：不论m 、n 为任何实数，关于x 的一元二次方程mx 2＋(m ＋2n)x+2n=0总有两个实数根。

分析：由一元二次方程根的判别式可知，△=b 2-4ac=(m ＋2n)2

－4m·2n, 展开后配方得，△=(m －2n)2≥0，故结论正确。 【例5】（技巧题）甲、乙两人同时从A 到B ，甲前一半路程用速度a ，后一半路程用速度b ；乙前一半时间用速度a ，后一半时间用速度b ，问哪个先到？

分析：设A 、B 两地距离为S ，甲从A 到B 所用时间为t 1，乙从A 到B 所用时间t 2。分别用S 、a 、b 表示出t 1、t 2， t 1=(a+b)S/2ab ， t 2=2S/a+b ， t 1- t 2=〔(a+b)2-4ab 〕/2ab(a+b)，配方得，t 1- t 2=(a-b)2S/2ab(a+b),因为a 、b 均为正数，再利用一个数的平方为非负数这个结论，得t 1- t 2＞0，得结论为乙先到；当a=b 时，两人同时到。

【例6】⑴已知M 为△ABC 的边AB 上的点，且AM 2+BM 2+CM 2

=2AM+2BM+2CM －3，则

AC 2+BC 2= 。⑵已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为 。 分析：（1）移项得（AM 2 -2AM +1）+（BM 2 -2BM+1）+（CM 2-2CM-1）=0，得（AM-1）2+（BM-1）2+（CM-1）2=0，

∴AM=BM=CM=1，故△ABC 是直角三角形，则AC 2+BC 2= AB 2=4。

(2)将等式两边同时乘以2,移项得：2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac=0，再配方，

得（a 2-2ab+b 2）+( b 2-2bc+c 2 )+( a 2-2ac+c 2 ) =0，由此(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2

=0,

得 a=b=c 故△ABC 为等边三角形。 【例7】、解方程：

1

2622

2

=+-

+x

x x x

解：设x 2+2x=y ，原方程为：y-6/y=1,整理得：y 2-y-6=0, 解之得y=-2或3。