2007年全国硕士研究生入学统一考试【数学二】

2007年考研数学二试题
一、选择题：1~10小题，每小题4分，共40分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
（1）当+→0x 时，与x 等价的无穷小量是（ ）
A 、x
e
-1 B 、x
x
-+11ln
C 、11-+x
D 、x cos 1-
（2）函数)
(tan )()(11e e x t e e x f x
x
-+=
在[－π，π]上的第一类间断点是x=( )
A 、0
B 、1
C 、2
π
-
D 、
2
π （3）如图，连续函数y=f(x)在区间[―3，―2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[―2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F （x ）=⎰
x
dt t f 0
)(.
则下列结论正确的是（ ）
A 、)2(43)3(--
=F F B 、)2(45
)3(F F = C 、)2(43)3(F F =- D 、)2(4
5
)3(--=-F F
（4）设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是（ ）
A 、若x x f x )(lim
0→存在，则f(x)=0 B 、若x
x f x f x )()(lim 0-+→存在，则f(x)=0
C 、若x x f x )(lim 0→存在，则f /（0）存在
D 、若x
x f x f x )()(lim 0--→存在，则f /
（0）存在
（5）曲线)1ln(1x
e x
y ++=，渐近线的条数为（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
（6）设函数f （x ）在（0，+∞）上具有二阶导数，且f //
（x ）>0，令u n =f(n) (n=1，2，…)，
则下列结论正确的是（ ）
A 、若u 1>u 2，则{u n }必收敛
B 、若u 1>u 2，则{u n }必发散
C 、若u 1<u 2，则{u n }必收敛
D 、若u 1<u 2，则{u n }必发散
（7）二元函数f(x ，y)在点（0，0）处可微的一个充分条件是（ ）
A 、
0)]0,0(),([lim )
0,0(),(=-→f y x f y x
B 、0)0,0()0,(lim
=-→x f x f x ，且0)
0,0(),0(lim 0=-→y
f y f y
C 、
0)
0,0(),(lim
2
2
)
0,0(),(=+-→y
x f y x f y x
D 、0)]0,0()0,([
lim //0
=-
→f
f
x
x
x x ，且0)]0,0(),0([lim //
0=-
→f
f y
y
y y
（8）设函数),(y x f 连续，则二次积分
dy y x f dx x
⎰
⎰1
sin 2
),(π
π等于（ ）
A 、
dx y x f dy y
⎰⎰+π
π
arcsin 1
),( B 、dx y x f dy y
⎰
⎰+π
πarcsin 1
0),(
C 、
dx y x f dy ⎰⎰
π
π2
1
),( D 、dx y x f dy ⎰⎰π
π2
10
),(
（9）设向量组α1，α2
，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）
A 、α1－α2
，α2
－α
3，α3－α1
B 、α1＋α
2
，α
2
＋α
3，α3＋α1 C 、α1－2α
2，α
2
－2α
3，α3－2α1 D 、α1＋2α
2
，α
2
＋2α
3，α3＋2α1
（10）设矩阵A =⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡------211121112，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000010001，则A 与B （ ） A 、合同，且相似 B 、合同，但不相似
C 、不合同，但相似
D 、既不合同，也不相似 二、填空题：11~16小题，每小题4分，共24分. （11）30sin arctan lim
x
x
x x -→= （12）曲线t
y t t x sin 1,cos cos {
2+=+=上对应于4
π
=
t 的点处的法线斜率为 （13）设函数3
21+=
x y ，则)0()
(n y = （14）二阶常系数非齐次线性微分方程x
e y y y 2/
//
234=+-的通解为y= （15）设),(v u f 是二元可微函数，),(y x x y f z =，则y
z
y x z x
∂∂-∂∂=
（16）设矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡00
00
10000100
0010，则A 3的秩为 三、解答题：17~24小题，共86分. （17）（本题满分10分） 设f （x ）是区间[0，
4
π
]上的单调，可导函数，且满足 dt t t t t t dt t f x x f ⎰⎰+-=-0)(01
cos sin sin cos )(
其中f
1
-是f 的反函数，求f （x ）.
（18）（本题满分11分） 设D 是位于曲线)0,1(2∞<≤>=
-
＋x a a
x y a
x
下方、x 轴上方的无界区域.
(Ⅰ)当区域D 绕x 轴旋转一周所称旋转体的体积V （a ）； (Ⅱ)当a 为何值时，V （a ）最小？并求出此最小值. （19）本题满分10分）
求微分方程/2
///)(y y x y =+满足初始条件1)1()1(/==y y 的特解. （20）（本题满分11分）
已知函数)(u f 具有二阶导数，且1)0(/=f ，函数)(x y y =由方程11=--y xe y 所确定.设
)sin (ln x y f z -=，求0|=x dx dz ，022|=x dx
z
d .
（21）（本题满分11分）
设函数f （x ），g （x ）在[a,b]上连续，在（a ，b ）内具有二阶导数且存在相等的最大值，f （a ）
=g （a ），f （b ）=g （b ），证明：存在ξ∈（a,b ），使得)()(////ξξg f =. （22）（本题满分11分） 设二元函数
2
1,11
,{
),(2
22≤+<+≤+=y x y x y x x y x f
计算二重积分σd y x f D
⎰⎰),(，其中}2|),{(≤+=y x y x D .
（23）（本题满分11分） 设线性方程组
4020
{3221321321=++=++=++x a x x ax x x x x x ① 与方程
12321-=++a x x x ②
有公共解，求a 的值及所有公共解. （24）（本题满分11分） 设3阶实对称矩阵A 的特征值λ1=1，λ
2
=2，λ
3－2，α1=（1，－1，1）
T
是A 的属于
λ
1的一个特征向量.记
B =A 5
－4 A 3
+E ，其中E 为3阶单位矩阵.
（Ⅰ）验证α1是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值的特征向量； （Ⅱ）求矩阵B .。