等差等比数列基本概念复习作业

二、等差数列
题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。

练习．1.在数列{}n a 中，若12a =-，且对任意n N +∈有1212n n a a +=+，则数列{}n a 的前20项和为（ ） A. 45 B. 55 C. 65 D. 75
题型二、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；
说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：
d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。

2．10为数列 中的第______项.
3．在等差数列 中，已知 则 （ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
4．在等差数列{}n a 中， 59a =，且3226a a =+，则1a 等于（ ） A. －3 B. －2 C. 0 D. 1 题型三、等差中项的概念：
定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

其中2
a b
A +=
a ，A ，
b 成等差数列⇔2
a b
A += 即：212+++=n n n a a a
（m n m n n a a a +-+=2）
题型四、等差数列的性质：
（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差
中项；
（2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；
（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，
n m
a a d n m
-=-
()m n ≠；
（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则
m n p q a a a a +=+；
5．在等差数列 中， ， ，则 （ ）． A. B. C. D.
6．在等差数列 中，有 ，则该数列的前 项之和为（ ）
A. B. C. D.
7.在等差数列{}n a 中， 347a a +=，则126a a a +++=_______.
题型五、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)
22
n n n a a n n S na d +-=
=+n d
a ）（2
n 2112-+=。

(),(2为常数B A Bn An S n +=⇒{}n a 是等差数列 )
递推公式：2
)(2)()1(1n
a a n a a S m n m n n --+=+= 8．数列{}21n -前10项的和是（ ）． A. 120 B. 110 C. 100 D. 10
9．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =， 840S =，则{}n a 的公差为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10.．已知等差数列{}n a 中， 449,24a S ==,则7a = ( ) A. 3 B. 7 C. 13 D. 15
题型六.对于一个等差数列：
（1）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 偶-S 奇nd =； ②
1
n n S a
S a +=奇偶； （2）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 奇-S 偶n a a ==中；②
1
S n
S n =
-奇偶。

题型七.对与一个等差数列，n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。

11．已知等差数列 的前 项和为 ．若 ， ，则 A. 35 B. 42 C. 49 D. 63
题型八．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：
）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1⇒{}n a 是等差数列
②中项法：
)22
1*++∈+=N n a a a n n n （⇒{}n a 是等差数列
③通项公式法：
),(为常数b k b
kn a n +=⇒{}n a 是等差数列
④前n 项和公式法：
),(2为常数B A Bn
An S n +=⇒{}n a 是等差数列
题型九.数列最值
（1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值； （2）n S 最值的求法：①若已知n S ，的最值可求二次函数的最值；
可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②或者求出中的正、
负分界项，即：
若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定10
n n a a +≥⎧⎨
≤⎩或
n S 2n S an bn =+{}n a
1
0n n a a +≤⎧⎨
≥⎩。

12．记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ． （1）求 的通项公式； （2）求 ，并求 的最小值．
等比数列
等比数列定义
一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1n a +：(0)n a q q =≠。

一、递推关系与通项公式
m
n m n n n n n q a a q a a a a --+⋅=⋅==推广：通项公式：递推关系：111q 13．数列 满足： ， ，则 等于（ ）． A.
B. C. D.
14．已知等比数列 的首项 ，公比 ，则 ( ) A. B. C. D. 二、等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为c a 与的等比中项，且为ac b ac b =±=2，注：是成等比数列的必要而不充分条件. 三、等比数列的基本性质，
1.（1）q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若),,,(*∈N q p n m 其中
（2）)(2
*+--∈⋅==
N n a a a a a q m n m n n m
n m n ， （3）{}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. （4）{}n a 既是等差数列又是等比数列⇔{}n a 是各项不为零的常数列.
15．各项为正数的等比数列{}n a 中，
5a 与15a 的等比中项，则
24216log log a a +=（ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
16．若实数1,,,4x y 成等差数列， 2,,,,8a b c --成等比数列，则y x
b
-=（） A. 1
4
- B.
14 C. 12 D. 12
- 四、等比数列的前n 项和，
)1(11)1()1(111
≠⎪⎩
⎪
⎨⎧--=
--==q q q
a a q q a q na S n n n
17．等比数列 中， ，则 的前4项和为（ ） A. 48 B. 60 C. 81 D. 124
18．设各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为Sn ，若S 4＝80，S 2＝8，则公比q ＝______，a 5＝_______． 五. 等比数列的前n 项和的性质
若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，
k
k S S 23-成等比数列.
六．等比数列的判定法 （1）定义法：
⇒=+（常数）q a a n
n 1
{}n a 为等比数列； （2）中项法：⇒≠⋅=++)0(2
21n n n n a a a a {}n a 为等比数列；
（3）通项公式法：⇒⋅=为常数）q k q k a n n ,({}n a 为等比数列； （4）前n 项和法：⇒-=为常数）（q k q k S n n ,)1({}n a 为等比数列。

⇒-=为常数）（q k kq k S n n ,{}n a 为等比数列。

19．已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n
n a b n
=
．
（1）求123b b b ，，；
（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．。