浙江诗阳市2017届高三数学3月阶段性考试试题

浙江省东阳市2017届高三数学3月阶段性考试试题选择题部分（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合{}|2|1A x x =-≤，{}|01B x x =<≤，则A B = （ ▲ ）A ．(]0,3B ．(]0,1C ．(],3-∞D ．{}12．设复数112i z =-+，22i z =+，其中i 为虚数单位，则=⋅21z z （ ▲ ）A ．4-B ．3iC ．34i -+D ．43i -+3．已知空间两不同直线m 、n ，两不同平面α、β，下列命题正确的是（ ▲ ）A ．若//m α且α//n ，则//m nB ．若m β⊥且n m ⊥，则//n βC ．若m α⊥且//m β，则αβ⊥D ．若m 不垂直于α，且n α⊂，则m 不垂直于n4．若直线y x b =+与圆221x y +=有公共点，则实数b 的取值范围是（ ▲ ）A ．[1,1]-B ．[0,1]C ．D ．[5．设离散型随机变量X 的分布列为则2EX =的充要条件是（ ▲ ） A ．12p p =B ．23p p =C ．13p p =D ．123p p p ==6．若二项式1)n x的展开式中各项的系数和为32，则该展开式中含x 项的系数为（ ▲ ）A ．1B ．5C ．10D ．207．要得到函数sin(3)4y x π=-的图像，只需将函数cos3y x =的图像（ ▲ ）A ．向右平移4π个单位B ．向左平移4π个单位C ．向右平移34π个单位 D ．向左平移34π个单位 8．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，△BAC 与△BCD 均为等腰直角三角形，且90BAC BCD ∠=∠= ，2BC =．点P 是线段AB 上的动点，若线段CD 上存在点Q ，使得异面直线PQ 与AC 成30 的角，则线段PA 长的取值范围是（ ▲ ）A． B． C．(2D． 9．记,,max{,},a a b a b b a b ⎧=⎨<⎩≥.已知向量a ,b ,c 满足||1=a ,||2=b ,0=⋅a b ，(0λμλμ=+，≥c a b 且+=1)λμ，则当max{}⋅⋅，c a c b 取最小值时，||=c （ ▲ ） ABC ．1 D10．已知定义在实数集R 上的函数()f x满足1(1)2f x +=(0)(2017)f f +的最大值为（ ▲ ） A．12-B．2C ．12D ．32非选择题部分（共110分）二、填空题(本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.)11．在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若1a =，2b =，60C =︒，则c = ▲ ，△ABC 的面积S = ▲ ．12．若实数x y ，满足10,20,0,x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥则y 的最大值为 ▲ ，12y x ++的取值范围是 ▲ ．13．如图，一个简单几何体三视图的正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，其俯视图的轮廓为正方形，则该几何体的体积是 ▲ ，表面积是 ▲ ．14．在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则甲的不同的选法种数为 ▲ ．乙、C（第8题图）（第13题图）丙两名同学都选物理的概率是 ▲ _．15．在等差数列{}n a 中，若2228610216a a a a a ++=，则46a a = ▲ ．16．过抛物线2C:2(0)y px p =>的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点．若||8||AF OF =（O 为坐标原点），则||||AF BF = ▲ ． 17．已知,,a b c ∈R ．若2cos sin 1a x b x c ++≤对x ∈R 恒成立，则sin a x b +的最大值为 ▲ ．三、解答题（本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（本题满分14分）已知函数2()cos cos f x x x x =+． （I ）求函数()f x 的最小正周期； （II ）若02απ-<<，()56f α=，求sin 2α的值．19．（本题满分15分）在四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，1=PA ，PC PD =，底面ABCD 是梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，1AB BC ==，2CD =． （I ）求证：PA AB ⊥；（II ）求直线AD 与平面PCD 所成角的大小．20．（本题满分15分）设函数e 1()x f x x-=．证明：（I ）当0x <时，()1f x <；（II ）对任意0a >，当0||ln(1)x a <<+时，|()1|f x a -<．21．（本题满分15分）已知直线:3l y x =-+与椭圆22C:1(0)mx ny n m +=>>有且只有一个公共点(2,1)P ．（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）若直线:l y x b '=-+交C 于A ,B 两点，且PA PB ⊥，求b 的值．22.（本题满分15分）设数列{}n a 满足211()n n n a a a n *+=-+∈N ，n S 为{}n a 的前n 项和.证明：对任意n *∈N ，（第21题图）（第19题图）（I ）当101a ≤≤时，01n a ≤≤； （II ）当11a >时，111(1)n n a a a ->-；（III ）当112a =时，n n S n <<.2017年3月高三数学阶段检测卷 （测试卷）参考答案及评分标准一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的.)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.)212.32；1[,1]413.6；3 14.15；94915.4 16.7 17.2三、解答题(本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)18.解：（I ）cos 211()2sin(2)2262x f x x x π+=+=++ ……………………………4分 ∴函数()f x 的最小正周期是π. …………………………………………………6分 （II ）()15sin(2)626f παα=++=∴1sin(2)63πα+=， …………………………………8分 0,2πα-<<∴52666πππα-<+<，又sin(2)06πα+>∴0266ππα<+<∴cos(2)6πα+=，……………………………………………10分∴sin 2α=1sin((2)))cos(2)6626266ππππααα+-=+-+=………14分 19.解：（I ）取CD 的中点M ，则由已知得CM AB =，又由//AB CD ，AB BC ⊥得四边形ABCM 是矩形于是AM CD ⊥， ……………………………………………………………………2分 又由PD PC =及CD 的中点为M 得PM CD ⊥ ………………………………4分 又M PM AM = ，于是PAM CD 平面⊥， …………………………………6分 再根据PAM PA 平面⊂得PA CD ⊥又由已知CD AB //，故AB PA ⊥； ………………………………………………8分 （II ）过点A 作PM AT ⊥于T由⎩⎨⎧⊂⊥PAMAT PAM CD 平面平面得AT CD ⊥又M CD PM = 及PCD CD PM 平面，⊂ 于是PCD AT 平面⊥ …………………11分 所以ADT ∠就是直线AD 与平面PCD 所成角…12分由⎩⎨⎧⊂⊥PCD TD PCD AT 平面平面得TD AT ⊥由⎩⎨⎧⊥⊥ABPA ADPA 得ABCD PA 平面⊥，得AM PA ⊥在PAM Rt ∆中计算得：22=AT ， ………………………………………………13分 在DAM Rt ∆中计算得222=+=MD AM AD ………………………………14分所以21222sin ===∠AD AT ADT 所以直线AD 与平面PCD 所成角的大小是 30. ……………………………………15分 20.证明：（I ）考虑函数e (1)xx x ϕ=--，x ∈R ，则()x ϕ的导数e 1()xx ϕ'=-，…………………………………………………………2分 从而)0(0x x ϕ>⇔>'，故()x ϕ在(,0)-∞内递减，在(0,)+∞内递增，………………………………………4分 因此对任意x ∈R ，都有()(0)0x ϕϕ=≥， 即e 10x x --≥（当且仅当0x =时，等号成立）①.所以当0x <时，e 1xx >-，即()1f x <； …………………………………………6分（II ）由①可知当0||ln(1)x a <<+时，|()1|e 1||x f x a x a x -<⇔--<， …………8分即当0ln(1)x a <<+时，e 1(1)0x a x --+<②； …………………………………9分 当ln(1)0a x -+<<时，e 1(1)0x a x ---<③. ……………………………………10分令函数e 1()1()x a g x x --+=，e 1()1()xa h x x ---=，注意到(0)(0)0g h ==，故要证②与③，只需证明()g x 在(0,ln(1))a +内递减，()h x 在(ln(1),0)a -+内递增. ………………………………………………………………12分事实上，当(0,ln(1))x a ∈+时，ln(1)e (1)e (1())0x a a g a x +--=+'+<=；…………………………………………14分当(ln(1),0)x a ∈-+时，2ln(1)1e (1)e(1)(1)(11)0x a a a a a ah a x -+-->--=--=++'>=.综上，对任意0a >，当0||ln(1)x a <<+时，|()1|f x a -<. ……………………15分21.（I ）因点(2,1)P 在该椭圆上，故41m n +=①. ……………………………………………2分由2231y x mx ny =-+⎧⎨+=⎩，得2()6(91)0m n x nx n +-+-=， 故2364()(91)0n m n n ∆=-+-=，即9m n mn +=②. ……………………………4分由①②，得16m =，13n =.所以椭圆C 的标准方程为22163x y +=； ……………6分 （II ）设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，由22163y x b x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22342(3)0x bx b -+-=，故1243b x x +=，2122(3)3x x b =-. ………………………………………………………8分 由PA PB ⊥，得0PA PB ⋅=，即1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=，…………10分又(1,2)i i y x b i =-+=，则1212(2)(2)(1)(1)0x x x b x b --+-+--+-=，即212122(1)()250x x b x x b b -+++-+=，……………………………………………12分22242(3)(1)25033bb b b b ⋅--+⋅+-+=， 即231030b b -+=，解得13b =或3，…………………………………………………14分 又(3,3)b ∈-，故13b =. …………………………………………………………………15分 22.证明：（I ）用归纳法证明.①当1n =时，显然成立； …………………………………………………………………2分 ②假设当()n k k *=∈N 时，01k a ≤≤， 则当1n k =+时，221131()23[,1][40,1]4k k k k a a a a ++∈⊆=-+=-. 由①②，(01)n n a *∈N ≤≤. ……………………………………………………………4分 （II ）由221(1)(1)0n n n n n n a a a a a a +-=-+-=-≥，知1n n a a +≥.若11a >，则1()n a n *>∈N ，从而2211(1)1(1)n n n n n n n a a a a a a a +-=-+-=-=-， ………………………………6分 即1111n n n a a a a +-=-≥， 于是1111(1)n n a a a ---≥，即111(1)()n n a a a n -*>-∈N ； ……………………………8分（III ）当112a =时，由（I ），(01)n n a *<∈<N ，故n S n <.………………………………9分 令1()n n b a n *=-∈N ，由（I ）（II ），10()n n b b n *+>>∈N .由211n n n a a a +=-+，可得21n n n b b b +=-. …………………………………………10分从而22212122311111()()()2n n n n b b b b b b b b b b b b +++++=-+-++-=-<=， 又222212n n b b b nb +++ ≥，故212n nb <，即)n b n *<∈N . ………………………………………………12分注意到n b <=<=，故12n b b b +++<+++即n n S -，亦即n S n >所以当112a =时，n n S n <<.………………………………………………15分。