山东省胶州市高考数学一轮复习 专题 双曲线学案(无答案)文
高三数学一轮复习精品学案3：§9.6 双曲线
§9.6 双曲线考纲展示1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．2.了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用．3.理解数形结合的思想． 考点1 双曲线的定义 第1步 回顾基础 一、自读自填 双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的________等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做________，两焦点间的距离叫做________．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. (1)当________时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当________时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当________时，P 点不存在． 二、连接教材(1)已知双曲线两个焦点分别为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．双曲线上一点P 到F 1，F 2距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为________．(2)双曲线的方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为________． 三、易错问题双曲线的定义：关注定义中的条件．(1)动点P 到两定点A (0，－2)，B (0,2)的距离之差的绝对值等于4，则动点P 的轨迹是________． (2)动点P 到点A (－4,0)的距离比到点B (4,0)的距离多6，则动点P 的轨迹是________． 第2步 自主练透典题1 (1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．(2)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．点石成金 双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系． 考点2 双曲线的标准方程与性质第1步 回顾基础 一、自读自填双曲线的标准方程和几何性质x ≤－a 或 y ≤－a 或 (1)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等(2)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为________．三、易错问题双曲线的标准方程：关注实轴的位置．双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，虚轴长为23，则双曲线方程为________．四、通性通法求双曲线的标准方程：待定系数法．对称轴为坐标轴，经过点P (3,2)，Q (－6,7)的双曲线是________． 第2步 多角探明考情聚焦 双曲线的标准方程和几何性质是每年高考命题的热点，尤其是渐近线与离心率问题，考查的力度比较大． 主要有以下几个命题角度： 角度一求双曲线的标准方程典题2 (1)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 (2)设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________． 点石成金 求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程，并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值． 角度二已知离心率求渐近线方程典题3 若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A.y ＝±2xB.y ＝±2xC.y ＝±12xD.y ＝±22x 角度三已知渐近线求离心率典题4 已知双曲线的一条渐近线方程为2x －y ＝0，则该双曲线的离心率为________． 角度四由离心率或渐近线方程求双曲线方程典题5 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A.x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D.y 2－x 24＝1角度五利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围典题6 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A.(1，5)B.(1， 5 』C.(5，＋∞)D.『5，＋∞)点石成金 解决有关渐近线与离心率关系问题的两个注意点(1)已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分|m |＝b a 或|m |＝ab 讨论．(2)注意数形结合思想在求渐近线夹角、离心率范围中的应用．考点3 直线与双曲线的位置关系第1步 师生共研典题7 若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC ＝m (OA ＋OB )，求k ，m 的值．点石成金 研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定. 第2步 跟踪训练已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，求双曲线E 的方程．第3步 课堂归纳 方法技巧1.双曲线标准方程的求法(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y 2n ＝1(mn >0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，这种形式在解题时更简便； (2)当已知双曲线的渐近线方程bx ±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值．2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程．3.双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．4.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a.5.过双曲线焦点F 1的弦AB 与双曲线交在同支上，则AB 与另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为4a ＋2|AB |.易错防范1.在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线还是双曲线的某一支．2.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±a bx .3.直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．4.要牢记在双曲线中c 2＝a 2＋b 2，离心率e >1这两点是不同于椭圆的．——★ 参 考 答 案 ★——考点1 双曲线的定义 第1步 回顾基础 一、自读自填『答案』距离的差的绝对值 双曲线的焦点 双曲线的焦距 (1)a <c (2)a ＝c (3)a >c二、连接教材 (1)『答案』x 29－y 216＝1『解析』由已知可知，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝5，a ＝3，∴b ＝4， 故所求方程为x 29－y 216＝1.(2)『答案』⎝⎛⎭⎫62，0『解析』将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32， ∴c ＝62，故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0. 三、易错问题 (1)『答案』两条射线『解析』因为||P A |－|PB ||＝4＝|AB |，所以动点P 的轨迹是以A ，B 为端点，且没有交点的两条射线． (2)『答案』双曲线的右支，即x 29－y 27＝1(x ≥3)『解析』依题意有|P A |－|PB |＝6<8＝|AB |，所以动点P 的轨迹是双曲线，但由|P A |－|PB |＝6知， 动点P 的轨迹是双曲线的右支，即x 29－y 27＝1(x ≥3)．第2步 自主练透 典题1(1)『答案』x 2－y 28＝1(x ≤－1) 『解析』如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|.根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8. 故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)． (2)『答案』9 『解析』如图所示，设双曲线的右焦点为E ，则E (4,0)．由双曲线的定义及标准方程得|PF |－|PE |＝4， 则|PF |＋|P A |＝4＋|PE |＋|P A |.由图可得，当A ，P ，E 三点共线时， (|PE |＋|P A |)min ＝|AE |＝5， 从而|PF |＋|P A |的最小值为9. 考点2 双曲线的标准方程与性质 第1步 回顾基础 一、自读自填『答案』坐标轴 原点 (－a,0) (a,0) (0，－a ) (0，a ) a 2＋b 2 2a 2b 二、连接教材 (1) 『答案』A『解析』由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等，故选A. (2)『答案』a『解析』双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0，与已知方程比较可得a ＝2.三、易错问题 『答案』x 2－y 23＝1或y 29－x 23＝1 『解析』当实轴在x 轴上时，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知可知ba＝3，b ＝3，所以a 2＝1，即所求方程为x 2－y 23＝1.当实轴在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知可得b ＝3，ab ＝3，所以a 2＝9，即所求方程为y 29－x 23＝1. 四、通性通法 『答案』5x 233－y 211＝1『解析』由于不能确定双曲线的焦点在哪个轴上， 故可设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)． ∵所求双曲线经过P (3,2)，Q (－6,7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋4B ＝1，36A ＋49B ＝1，解得A ＝533，B ＝－111.故所求双曲线方程为5x 233－y 211＝1.第2步 多角探明 角度一典题2 (1)『答案』A『解析』由双曲线方程知右顶点为(a,0)， 设其中一条渐近线方程为y ＝ba x ，可得点A 的坐标为(a ，b )．设右焦点为F (c,0)，由已知可知c ＝4，且|AF |＝4，即(c －a )2＋b 2＝16， 所以有(c －a )2＋b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2，则c ＝2a ，即a ＝c2＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12. 故双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选A.(2)『答案』y 24－x 25＝1『解析』解法一：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，根据定义知2a ＝|(15－0)2＋(4－3)2－(15－0)2＋(4＋3)2|＝4，故a ＝2.又b 2＝32－a 2＝5， 故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.解法二：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝9，又点(15，4)在双曲线上，所以16a 2－15b 2＝1， 解得a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.解法三：设双曲线的方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1， 解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)． 故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.角度二典题3 『答案』B『解析』在双曲线中离心率e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2 ＝3，可得ba＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x . 角度三典题4 『答案』5或52『解析』根据双曲线的渐近线方程知b a ＝2或ab ＝2.则e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝5或52. 角度四典题5 『答案』C『解析』由双曲线焦点在y 轴上，排除选项A ，B ，选项C 中双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选C. 角度五利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围 典题6 『答案』C『解析』∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得b a＞2， ∴e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2 ＞1＋4＝ 5.即双曲线离心率的取值范围为(5，＋∞)．考点3 直线与双曲线的位置关系第1步 师生共研典题7 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝2，a 2＝c 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2， 故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1， 得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.①∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧k >1，Δ＝(2k )2－4(1－k 2)×(－2)>0， 即⎩⎨⎧k >1，－2<k <2，∴1＜k ＜ 2.故k 的取值范围为(1，2)．(2)由①得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1， ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2(1＋k 2)(2－k 2)(k 2－1)2＝63， 整理得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54. 又1＜k ＜2，∴k ＝52， ∴x 1＋x 2＝45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8. 设C (x 3，y 3)，由OC ＝m (OA ＋OB )，得(x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(45m,8m )．∵点C 是双曲线上一点， ∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14.故k ＝52，m ＝±14. 第2步 跟踪训练解：设双曲线E 的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)， 由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧ x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差，得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2， 又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1， 所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线E 的标准方程是x 24－y 25＝1.。
高三数学(文科)一轮学案【第41-42课时】双曲线
一、复习目标：掌握双曲线的定义、标准方程和简单的几何性质，能利用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的问题 二、知识梳理：1、双曲线的第一定义：平面内动点P 与两个定点)02(,2121>=c F F F F 的 为常数)(2c a a <，则点P 的轨迹叫双曲线，这两个定点叫双曲线的_____________，两焦点间的距离叫双曲线的____________。
①对于动点P 定点,,21F F 如果2121F F PF PF =-,那么动点P 的轨迹_________________. ②如果2121F F PF PF <-,那么动点P 无轨迹. 2、双曲线的第二定义：3、标准方程：),0,0(,1,122222222222b a c b a bx a y b y a x +=>>=-=- 4、双曲线的几何性质三、基础训练：1、已知双曲线22221(0b 0)x y a a b -=＞，＞和椭圆22x y =1169+有相同的焦点， 且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .2、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 3、已知方程22132x y k k+=--表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围为____________ 4、设双曲线的左准线与两条渐近线交于,A B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为___________5、已知双曲线4x 2 – y 2 + 64 = 0上一点M 到它的一个焦点的距离等于1，点M 到另一个焦点的距离 。
6、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是双曲线上的点， I 圆是12PF F ∆的内切圆，I 圆与12F F 切于点A ，则切点A 的坐标为_________。
7、已知F 是双曲线224121y x -=的左焦点，A(1,4), P 为右支上的动点， 则PA PF +的最小值为 。
高三数学一轮复习导学案62 双曲线
学案双曲线一、课前准备：【自主梳理】.双曲线的定义、平面内一点与两定点、的距离的差的绝对值等于常数.即（>).()若>,则点的轨迹为;()若,则点的轨迹为;() 若<,则点的轨迹为.、平面内点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数(>)（即）的点的轨迹叫做双曲线.定点为双曲线的，定直线为双曲线的..双曲线的几何性质【自我检测】．已知是双曲线－＝右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为－＝.设、分别为双曲线的左、右焦点．若＝，则＝.. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是＝±，则该双曲线的离心率是.. 双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，∠＝°，则双曲线的离心率为.．已知双曲线－＝(>)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则.．已知椭圆＋＝和双曲线－＝有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为.二、课堂活动：【例】填空题：（）已知双曲线－＝，直线过其左焦点，交双曲线左支于、两点，且＝，为双曲线的右焦点，△的周长为，则的值为.（）过双曲线－＝的一个焦点作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段(为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为.（）已知、是双曲线－＝(>，>)的两个焦点，以线段为边作正△，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为.（）已知、为双曲线－＝的左、右焦点，点在上，∠＝°，则·＝ .【例】已知焦点，双曲线上的一点Ｐ到的距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程；变式.求与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程；变式.已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线上两点坐标分别为，求双曲线的标准方程。
高考数学一轮复习学案 第50讲 双曲线（解析版）
第50讲 双曲线（解析版）考点内容解读要求 常考题型 1．双曲线的定义掌握双曲线的定义，标准方程，几何性质，离心率，通径，最值。
Ⅰ选择题，填空题，大题 2．双曲线的性质 能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程．能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题．Ⅱ选择题，填空题，大题一、双曲线的简单几何性质双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的简单几何性质1． 范围22221x x a ax a x a 即或≥≥∴≥≤-双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a 和x=a 的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x ≤-a 或x ≥a ． 2．对称性对于双曲线标准方程12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0），把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
3．顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，-b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。
实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b 。
a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。
①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。
②双曲线的焦点总在实轴上。
③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
4．离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作aca c e ==22。
高考数学一轮复习53双曲线学案理
第五十三课时双曲线课前预习案.掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质1．双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做．这两个定点叫双曲线的，两焦点间的距离叫做 .集合P＝{M| |MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0；(1)当时，P点的轨迹是双曲线；(2)当时，P点的轨迹是两条射线；(3)当时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质1.若k ∈R ，则方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线的充要条件是( )A ．－3<k <－2B ．k <－3C ．k <－3或k >－2D ．k >－22.已知双曲线x 2a －y 22＝1的一个焦点坐标为(－3，0)，则其渐近线方程为________．3.设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF 1|＝3，则|PF 2|等于________．4.已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且点(4，－10)在双曲线上．双曲线的方程为________________课堂探究案考点1 双曲线的定义【典例1】(1)动点P 到定点F 1(1,0)的距离比它到定点F 2(3,0)的距离小2，则点P 的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．一条射线D ．两条射线(2)已知圆C ：(x -3)2＋y 2＝4，定点A （-3,0），求过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心M 的轨迹方程.【变式1】已知三点P (5,2)、F 1(－6,0)、F 2(6,0),以F 1、F 2为焦点且过点P 的双曲线的标准方程为_____________.【变式2】已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．24B ．36C ．48D ．96考点2 双曲线的标准方程典例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1) 虚轴长为12，离心率为54；（2）顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .【变式3】根据下列条件，求双曲线方程：(1) 与双曲线116922=-y x 有共同渐近线，且过点)32,3(-；(2) 与双曲线141622=-y x 有公共焦点，且过点)2,23(。
高考数学一轮复习 专题 双曲线学案 新人教版 学案
双曲线一、考纲要求中心在坐标原点双曲线的标准方程与几何性质A 级 二、复习目标1．理解双曲线的定义；2．会求双曲线的标准方程 3．掌握双曲线的性质 三、重点难点双曲线的标准方程与几何性质 四、要点梳理五、基础自测1、双曲线221916y x -=的 轴在x 轴上， 轴在y 轴上，实轴长= ，虚轴长= ， 焦距= ，顶点坐标是 ，焦点坐标是 ，准线方程是 ，渐近线方程是 ，离心率是 ，若点P 00(,)x y 是双曲线上的点，则0x ∈ ，0y ∈2、已知方程22121x y k k +=--表示双曲线，则k 的取值范围是 3、若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________． 4、设12,F F 分别是双曲线2219y x -=的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且120PF PF =则12PF PF +＝________.5、在ABC ∆中，(6,0),(6,0)B C -,直线AB,AC 的斜率乘积为94，则顶点A 的轨迹方程为 六、例题解析例1、求适合下列条件的双曲线方程（1224936x y +=有公共焦点的双曲线方程；（2）实半轴长为221164x y -=有公共焦点的双曲线方程；（3）经过点P （3，，Q （-，7）的双曲线方程；（4）已知的两个顶点间的距离为2，焦点到渐近线的距离为2，求双曲线方程； （5）过点M （10，83）且两条渐近线13y x =±和双曲线方程。
例2、已知椭圆具有性质，若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为K PM 、K PN 时，那么K PM 与K PN 之积是与点P 位置无关的定值，试对双曲线2222':1x y C a b-=写出具有类似特性的性质，并加以证明。
例3、如图，已知双曲线2221(0)x C y a a-=>的右焦点F ,点B A ,分别在C 的两条渐近线上，x AF ⊥轴，BF OB AB ,⊥∥OA (O 为坐标原点）.（1）求双曲线C 的方程；（2）过C 上一点)0)((00,0≠y y x P 的直线1:020=-y y a x x l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，NFMF恒为定值，并求此定值例4、 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==.（1）求双曲线E 的离心率；（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点（B A ,分别在第一， 四象限），且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公 共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由。
双曲线辅导教案(高考数学一轮复习)
(1)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线
平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 25－y 2
20＝1 B.x 220－y 2
5＝1 C.3x 225－3y 2
100＝1
D.3x 2100－3y 2
25＝1
(2)设椭圆C 1的离心率为5
13，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( ) A.x 242－y 2
32＝1 B.x 2132－y 2
52＝1 C.x 232－y 2
42＝1
D.x 2132－y 2
122＝1
题型二 双曲线的几何性质
例2 (1)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2
＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.32 D.6
2
(2)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 2
9＝1的( )
A ．焦距相等
B ．实半轴长相等
C ．虚半轴长相等
D ．离心率相等 思维升华 (1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e 的关系式求e 或e 的范围；另一种是建立a ，b ，c 的齐次关系式，将b 用a ，e 表示，令两边同除以a 或。
高三一轮复习学案6 双曲线
在△ABC中，B( 4 ，0)，C( -4 ，0)且满足条件 sinB-sinC= 1 sinA,则动点A的轨迹方程为_________.
2
【解析】设A的坐标为(x,y),在△ABC中，由正弦定理得
a b c 2R (其中R为△ABC外接圆的半径）， sinA sinB sinC 1 代入sinB-sinC= sinA得 | AC | - | AB | 1 | BC | ,又|BC|=8, 2
a,b,c的关系
a2 +b2
(c>a>0,c>b>0 )
考点1
双曲线的定义及应用
【评析】 在圆锥曲线的问题中，充分应用定义来解决 问题可以使解答过程简化.本题从双曲线的方程中可以 确定A，C就是双曲线的焦点，从而根据双曲线的定义 可以确定△ABC的三边的关系，再巧妙应用正弦定理 就可以轻松求解.
x2 y 2 2 - 2 =1(a>0,b>0) a b y 2 x2 2 - 2 =1(a>0,b>0) a b
图形Байду номын сангаас
范围
对称性
x≥a或x≤-a 对称轴： x轴，y轴 对称中心: 顶点坐标A1 原点 (-a,0) ,
y≥a或y≤-a 对称轴： x轴，y轴 原点 对称中心: 顶点坐标A1 (0,-a)
【答案】B 【解析】抛物线y2=24x的准线方程为x=-6， 故双曲线中c=6. ① ,② ③
b x2 y 2 由双曲线 2 - 2 =1 的一条渐近线方程为y= 3x，知 3 a a b
且c2=a2+b2. 由①②③解得a2=9,b2=27.
x2 y 2 故双曲线的方程为 1 . 9 27
高考数学(文)一轮复习备考学案：《双曲线》(北师大版)
第七节双曲线对应学生用书P1341．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长．a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)1．双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞|F1F2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为±ba ，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±ab.[试一试]1. 双曲线y 2－x 2＝2的渐近线方程是( ) A ．y ＝±x B ．y ＝±2x C ．y ＝±3xD ．y ＝±2x解析：选A 由题意知y 22－x 22＝1，y ＝±x .2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 解析：选A 由已知可得双曲线的焦距2c ＝10，a 2＋b 2＝52＝25，排除C ，D ，又由渐近线方程为y ＝b a x ＝12x ，得12＝ba，解得a 2＝20，b 2＝5.1．待定系数法求双曲线方程的常用方法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(2)若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(3)若过两个已知点则设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)．2．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．3．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 4．渐近线与离心率x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为b a＝ b 2a 2＝ c 2－a 2a 2＝e 2－1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．[练一练]1．(2013·福建高考)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.25B.45C.255D.455解析：选C 双曲线x 24－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x2，即x ±2y ＝0，所以双曲线的顶点(±2,0)到其渐近线距离为25＝255.2．(2013·云南模拟)已知F (c,0)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，若双曲线C的渐近线与圆E ：(x －c )2＋y 2＝12c 2相切，则双曲线C 的离心率为________．解析：依题意得，圆心F (c,0)到渐近线的距离等于22c ，即有b ＝22c (注：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于其虚半轴长)，c 2＝2b 2＝2(c 2－a 2)，c 2＝2a 2，ca ＝2，即双曲线C的离心率为 2.答案： 2对应学生用书P135考点一双曲线的定义及标准方程1．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．42B ．8 3C ．24D ．48解析：选C 双曲线的实轴长为2，焦距为|F 1F 2|＝2×5＝10.据题意和双曲线的定义知，2＝|PF 1|－|PF 2|＝43|PF 2|－|PF 2|＝13|PF 2|，∴|PF 2|＝6，|PF 1|＝8. ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， ∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6×8＝24.2．已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( )A.37＋4B.37－4C.37－2 5D.37＋2 5解析：选C |AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－ 2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－ 2a ＝37－2 5.3．(2013·广东高考)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C的方程是( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 解析：选B 由题意可知c ＝3，a ＝2，b ＝c 2－a 2＝32－22＝5，故双曲线的方程为x 24－y 25＝1. [类题通法]1．应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．2．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a 、b 、c 的关系易错易混．考点二渐近线与离心率问题双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点.归纳起来常见的命题角度有：(1)已知离心率求渐近线方程； (2)已知渐近线求离心率；(3)已知离心率确定渐近线夹角问题；(4)利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围.角度一 已知离心率求渐近线方程1．(2013·新课标卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x解析：选C∵e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，∴b 2a 2＝14，∴b a ＝12，∴y ＝±12x . 角度二 已知渐近线求离心率2．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54 B ．5 C.52D. 5解析：选D 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝kx ，由题可知这条直线与抛物线y ＝x 2＋1相切，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2＋1.整理得x 2－kx ＋1＝0，则Δ＝k 2－4＝0，解得k ＝±2，即b a ＝2，故双曲线的离心率e ＝c a ＝c 2a 2＝ a 2＋b 2a 2＝ 1＋(ba)2＝ 5.角度三 由离心率研究渐近线夹角问题3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝2，则一条渐近线与实轴所成锐角的值是________．解析：∵e ＝2，∴e 2＝2，即c 2a2＝2，又c 2＝a 2＋b 2，∴b 2a 2＝1, 即ba＝1， ∴一条渐近线与实轴所成锐角的值是π4.答案：π4角度四 利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围4．(2013·惠州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：选C ∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得ba ＞2，∴e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＞1＋4＝ 5.[类题通法]解决渐近线与离心率关系的问题方法(1)已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分m ＝b a 或m ＝ab 讨论．(2)注意数形结合思想在处理渐近线夹角，离心率范围求法中的应用．考点三直线与双曲线的位置关系[典例] (2014·铜陵一模)若双曲线E ：x a 2－y 2＝1(a ＞0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC u u u r ＝m (OA u u u r ＋OB u u u r)，求k ，m 的值．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，a 2＝c 2－1得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2，故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.①∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k ＞1，Δ＝(2k )2－4(1－k 2)×(－2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＞1，－2＜k ＜2，所以1＜k ＜ 2. (2)由①得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1，∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2(1＋k 2)(2－k 2)(k 2－1)2＝63，整理得28k 4－55k 2＋25＝0， ∴k 2＝57或k 2＝54.又1＜k ＜2， ∴k ＝52， 所以x 1＋x 2＝45， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8.设C (x 3，y 3)，由OC u u u r ＝m (OA u u u r ＋OB u u u r)，得(x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2) ＝(45m,8m )．∵点C 是双曲线上一点， ∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14.故k ＝52，m ＝±14. [类题通法]1．解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．2．与中点有关的问题常用点差法．注意：根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系． [针对训练]已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程．解：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2， 又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得 a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1.对应学生用书P136[课堂练通考点]1．(2013·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 的离心率为3，则其渐近线方程为( )A. y ＝±2x B ．y ＝±2x C. y ＝±12xD. y ＝±22x解析：选B 在双曲线中离心率e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，可得b a＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .2. (2014·哈师大附中模拟)与椭圆C ：y 216＋x 212＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B ．y 2－2x 2＝1 C.y 22－x 22＝1 D.y 23－x 2＝1 解析：选C 椭圆y 216＋x 212＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为y 2m －x 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧3m －1n ＝1，m ＋n ＝4，解得m ＝n ＝2，故选C.3．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，则1PF u u u r ·2PF u u u r ＝0，则|1PF u u u r |＋|2PF u u u r|＝( )A.10 B ．210 C. 5D ．219解析：选D ∵1PF u u u r ·2PF u u u r ＝0，∴1PF u u u r ⊥2PF u u u r， ∴|1PF u u u r |2＋|2PF u u u r|2＝40，又||1PF u u u r |－|2PF u u u r ||＝2a ＝2，∴||1PF u u u r |－|2PF u u u r ||2＝|1PF u u u r |2＋|2PF u u u r |2－2|1PF u u u r |×|2PF u u u r|＝4， ∴|1PF u u u r |×|2PF u u u r|＝18， ||1PF u u u r |＋|2PF u u u r ||2＝|1PF u u u r |2＋|2PF u u u r |2＋2|1PF u u u r |×|2PF u u u r|＝76， ∴|1PF u u u r |＋|2PF u u u r|＝219.4. (2013·江苏高考)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．解析：令x 216－y 29＝0，解得y ＝±34x .答案：y ＝±34x5. 已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：1MF u u u u r ·2MF u u u u r＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵过点P (4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝2 3.∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)． ∴k MF 1＝m 3＋23，k MF 2＝m3－23.k MF 1·k MF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3. 故k MF 1·k MF 2＝－1.∴MF 1⊥MF 2.∴1MF u u u u r ·2MF u u u u r＝0. 法二：∵1MF u u u u r＝(－3－23，－m )， 2MF u u u u r＝(23－3，－m )， ∴1MF u u u u r ·2MF u u u u r＝(3＋23)×(3－23)＋m 2 ＝－3＋m 2.∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0.∴1MF u u u u r ·2MF u u u u r ＝0. (3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左，右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．1或5B ．6C ．7D ．9解析：选C 由渐近线方程3x －2y ＝0，知b a ＝32.又b 2＝9，所以a ＝2，从而|PF 2|＝7.2．(2013·四川高考)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12 B.32C ．1D. 3解析：选B 因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以所求距离为32，故选B. 3．(2013·深圳调研) 双曲线x 2－my 2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m ＝( ) A.14 B.12 C ．2D ．4 解析：选D 双曲线方程可化为x 2－y 21m＝1， ∴实轴长为2，虚轴长为2 1m， ∴2＝2⎝⎛⎭⎫21m ，解得m ＝4. 4. (2013·郑州模拟)如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b＞0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )A.2＋1B.3＋1C.2＋12D.3＋12解析：选B 连接AF 1，依题意得AF 1⊥AF 2，∠AF 2F 1＝30°，|AF 1|＝c ，|AF 2|＝3c ，因此该双曲线的离心率e ＝|F 1F 2||AF 2|－|AF 1|＝2c 3c －c＝3＋1，选B.5．(2013·武汉模拟)已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且1PF u u u r ·2PF u u u r ＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：选C 设c ＝a 2＋b 2，则c a ＝54，∴a ＝45c ，∴b ＝c 2－a 2＝35c .∵1PF u u u r ·2PF u u u r＝0(即PF 1⊥PF 2)， S △PF 1F 2＝9， ∴|PF 1|·|PF 2|＝18.∵⎩⎪⎨⎪⎧||PF 1|－|PF 2||＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，两式相减得，2|PF 1|·|PF 2|＝4b 2，∴b 2＝9，∴b ＝3，∴c ＝5，a ＝4，∴a ＋b ＝7.6. (2013·惠州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝410x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于103，则该双曲线的方程为________． 解析：由已知可得抛物线y 2＝410x 的焦点坐标为(10，0)，a 2＋b 2＝10.又双曲线的离心率e ＝10a ＝103， ∴a ＝3，b ＝1，∴双曲线的方程为x 29－y 2＝1.答案：x 29－y 2＝17．(2013·陕西高考) 双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54，则m 等于________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝m ，e 2＝2516⇒2516＝16＋m16⇒m ＝9. 答案：98. (2013·石家庄模拟)F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．解析：如图，由双曲线定义得，|BF 1|－|BF 2|＝|AF 2|－|AF 1|＝2a ，因为△ABF 2是正三角形，所以|BF 2|＝|AF 2|＝|AB |，因此|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12＝28a 2，所以e ＝7.答案：79．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM u u u u r ＋ON u u u r ＝t OD u u u r，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23， ∴一条渐近线为y ＝b 23x .即bx －23y ＝0.∴|bc |b 2＋12＝ 3. ∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0. 将直线方程代入双曲线方程得 x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12. ∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y203＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．10. P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M 、N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC u u u r ＝λOA u u u r ＋OB u u u r，求λ的值．解：(1)由点P (x 0，y 0)(x ≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1. 由题意又有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c a ＝305.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b2y ＝x －c，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b24.①设OC u u u r ＝(x 3，y 3)，OC u u u r ＝λOA u u u r ＋OB u u u r ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2.化简得：λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2， 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2， x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝ －4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2， 得：λ2＋4λ＝0，解得λ＝0，或λ＝－4. 第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·河北省重点中学联考) 设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°，且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( )A.52B.102C.53D.103解析：选B 由题可知点A 在双曲线的右支上，则|AF 1|－|AF 2|＝2|AF 2|＝2a ，则|AF 2|＝a ，得|AF 1|＝3a ，由∠F 1AF 2＝90°，得(3a )2＋a 2＝(2c )2，则e ＝c a ＝102.2．(2014·江西临川模拟)双曲线x 2b 2－y 2a 2＝－1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y ＝18x 2有一个公共焦点F ，双曲线上过点F 且垂直实轴的弦长为233，则双曲线的离心率等于________．解析：双曲线与抛物线x 2＝8y 的公共焦点F 的坐标为(0,2)，由题意知点⎝⎛⎭⎫33，2在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝413b 2－4a 2＝－1，得a 2＝3，故e ＝c a ＝233. 答案：233。
山东省胶州市高考数学一轮复习专题函数及其性质学案(
函数及其性质义域与值域【课前自主复习区】 【双基自测】1.(2013·福州模拟)函数f (x )＝x ＋2x ＋1－x -1的定义域为________________．2．已知函数f(x 2－1)的定义域为[0,3]，则函数y ＝f(x)的定义域为________．3．函数y ＝1log 2x －的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3) ∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)4．函数f(x)的定义域是[－2,4]，则函数f(x 2－3x)的定义域为________________．5．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[1,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数 6．函数f(x)＝ 3－2x ＋2x －3的奇偶性为( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数，也不是偶函数．D ．既是奇函数，也是偶函数． 7．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且满足f(x ＋4)＝f(x)，则f(8)＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3 8.下列函数中，即是偶数又在()0,+∞单调递增的函数是( )A. 3y x =B. 1y x =+C. 21y x =-+D. 2xy -=9.函数()(2)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞单调递增，则(2)0f x ->的解集为（A ）{|22}x x x ><-或 （B ）{|22}x x -<< （C ）{|04}x x x <>或 （D ）{|04}x x <<【课堂互动探究区】目标分解一：会求简单函数的定义域与值域【例1】1.函数y ＝－x12＋x －x 2＋(x －1)0的定义域是( )A ．[－3,1)∪(1,2]B ．(－3,2)C ．(－3,1)∪(1,2)D ．[－3,1)∪(1,2)2．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B ．1(1,)2-- C ．(－1,0) D ．1(,1)2【例2】（1）.求函数y ＝13+-x x 的值域： （2）．求函数y ＝x －x 21-的值域：【我会做】1.函数y ＝log 0.5x －的定义域为( )A ．3{|}4x x >B ．3{|1}4x x <<C ．3{|1}4x x <≤D ．3{|1}4x x ≤≤2..函数y ＝12++x x x(x >0)的值域是________． 3..函数f (x )＝)13(log 2+x 的值域为 ★【我能做对】1．已知函数f (x 2)的定义域是[－1,1]，则f (x )的定义域为____ ____．＝2 3 C．设定义在的奇函数f(m则是偶函数，则下列结论中正确的是。
高三数学一轮复习36双曲线学案文(无答案)
学案36 双曲线班级_____ 姓名__________导学目标： 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．自主梳理1．1）双曲线的概念：平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．2）集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0；(1)当2a<2c时，P点的轨迹是____________；(2)当2a=2c时，P点的轨迹是_____________；(3)当2a>2c时，P点的轨迹_____________．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)3.实轴长和虚轴长相等的双曲线叫_______双曲线，其渐近线方程为_______________，离心率为________． 自我检测1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 22．已知双曲线x 22－y 2b2＝1 (b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其中一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→等于( )A ．－12B ．－2C ．0D ．43．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ．34．已知点(m ，n )在双曲线8x 2－3y 2＝24上，则2m ＋4的范围是__________________． 5．已知A (1,4)，F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为_____________．探究点一 求双曲线的标准方程例1 已知双曲线的一条渐近线方程是x －2y ＝0，且过点P (4,3)的双曲线的标准方程为___________________．变式1 已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于145，则双曲线的方程为__________________．探究点二 双曲线的定义及应用例2 已知定点A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程．变式2已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．探究点三双曲线几何性质的应用例3已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．探究点四 方程思想的应用例4 过双曲线x 23－y 26＝1的右焦点F 2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A 、B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点．(1)求|AB |；(2)求△AOB 的面积；(3)求证：|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|.【课后练习与提高】1．已知M (－2,0)、N (2,0)，|PM |－|PN |＝3，则动点P 的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线左边一支C ．双曲线右边一支D ．一条射线2．设点P 在双曲线x 29－y 216＝1上，若F 1、F 2为双曲线的两个焦点，且|PF 1|∶|PF 2|＝1∶3，则△F 1PF 2的周长等于( )A ．22B ．16C ．14D ．123．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C ．2D. 54．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A 1、A 2，P 是双曲线右支上的一点，则分别以PF 1和A 1A 2为直径的两圆的位置关系是( )A ．相交B ．相离C ．相切D ．内含5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1D.x 26－y 23＝16．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.7．设圆过双曲线x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲线中心的距离为______．8．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________．9． 与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，23)的双曲线方程为_____________.10．设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M (355，455)，F (5，0)，且P 为L 上动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．11．已知定点A (－1,0)，F (2,0)，定直线l ：x ＝12，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N . (1)求E 的方程；(2)试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由．。
高三数学高效课堂资料学案一轮复习59双曲线
高三数学高效课堂资料山东省昌乐一中2015级高三数学(理)翻转课堂课时学案课题双曲线编制人潘春燕审核人自学质疑学案学案内容班级小组姓名________ 使用时间______年______月______日编号一轮复习59学案内容学习指导一、基础回顾：复习课本选修2-1第49,52,53页，并完成《师说》第144页【知识重温】。
并回答下列问题：1.双曲线定义中为何强调212F F a,若不满足轨迹是什么？2.双曲线离心率的大小与a,b 的关系？二、基础自测：做《师说》第143页【小题热身】1到5题三、考点突破：考向一：双曲线的定义与标准方程例1（1）已知双曲线1-2222by ax （a>0,b>0）的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02y x 垂直，求双曲线的方程。
（2）过点P （2，-2）且与22x－y 2=1有相同渐近线的双曲线方程是（）A ．22124yx B ．22142xy C ．22142yx D ．22124xy（3）已知圆A 的方程为22(3)4x y，定点C 的坐标为（3，0），求过点C 且和圆A 外切的动圆的圆心P 的轨迹方程.考向二：双曲线的几何性质例2.21,F F 为双曲线)0,0(12222ba by ax 的焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P,且1230PF F ,求双曲线的渐近线方程及其离心率.四、合作与检测【微课助学】双曲线方程的求法训练展示学案要求：先自己做，再讨论，小组展示。
A组1．已知(2,0),(2,0),4M N PM PN,则动点P的轨迹是（）A.双曲线B.双曲线左支C.一条射线D.双曲线右支2.已知双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(5，0)，则其渐近线方程为()A．y＝±14x B．y＝±4x C．y＝±12x D．y＝±2x3已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为() A.x220－y25＝1 B.x25－y220＝1C.x280－y220＝1 D.x220－y280＝14．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝43，则C的实轴长为()A.2B．2 2 C．4 D．8B组5．P是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是54，且1PF·2PF＝0，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于()A．4 B．7 C．6 D．5学案内容6．已知F为双曲线C：x29－y216＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．7．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60o，则双曲线C的离心率为.C体验高考8.(2015全国I)已知M（x0，y0）是双曲线C：2212xy上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若1MF2MF＜0，则y0的取值范围是（A）（-33，33）（B）（-36，36）（C）（223，223）（D）（233，233）9.(2017全国I)已知双曲线C：22221x ya b（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。
山东省高三数学一轮复习学案：9-6-1双曲线及其标准方程.doc
燹评时间学习目标 编号年 月 日 I 第 周I 星期 双曲线及其标准方程1. 掌握双曲线的定义及双曲线的标准方程2. 会求双曲线的标准方程导学设计 一.学情调查，情景导入1. 双曲线的定义当 II PF X \-\PF 2 11= 2a <\F,F 2\时，P 的轨迹为;当 II PF }\-\PF 211= 2aF 的轨迹为;当l|PFj_|PF2|l=2o = |F 『2|时，P 的轨迹为2. 双曲线的标准方程焦点在x 轴上焦点在y 轴上 (其中c 2 - a 2 +b 2)二.问题展示，合作探究探究一：双曲线的定义例1、己知鸟(—5,0)上(5,0), —曲线上的动点P 到匕％距离之差为6,贝U 双曲 线的方程为 例2、设P 为双曲线子_匚=1上的…点日、F?是该双曲线的两个焦点，若PF.：12|PF 2|=3： 2,则△PFF2的面积为( )A. 6^3 B. 12 C. 12^3 D. 24探究二：双曲线的标准方程例3、在左ABC ip, BC 固定，顶点A 移动.设|BC|=m,当三个角A, B, C 有满足条件| sinC —sinB|=^ si nA 时，求顶点三的轨迹方程.例4、已知双曲线的两个焦点为A (—而，0)、8.如,0), M 是此双曲线上的一 点，且满足而•疝=0, |丽 |・|巫 =2,则该双曲线的方程是x 22 y x y x y ( ) A.——y = 1 B. —=1 C. —~—=l D. —-—=1三.达标训练，巩固提升学习重点 学习难点 求双曲线的标准方程 双曲线的定义和标准方程1、.点P是以Fi，F?为焦点的双曲线—-^ = 1±的一点，且|PFi|=L2,则现, 25 9()A. 2 B. 22 C. 2 或22 D. 4 或22 2、已知点Af(-3,0), N(3,0), 5(1,0),动圆C与直线切切于点3,过沮、N与圆C相切的两直线相交于点夕，则夕点的轨迹方程为()A x2 - —= l(r <-1) Bx2-= 1 (r > 1) C x2 + —= 1>O)D z2 - — = 1 (x> 1) 8 8 8103、已知双曲线C:—-^- = 1的左右焦点分别为F],&, P为C的右支上一点，9 16 1 2仲务则函罗遥的面积等于() A. 24 B. 36 C. 48 D. 962 24、设F I、F2是双曲线—=1(^>0)的两焦点，点P在双曲线上,ZFiPF2=9(r,Aa a若Rl^FiPF、的面积为1,那么a的值是( )A、笠B、1 C、2 D、' 2 ...5、求与圆A： (x+5)'+y、49和圆B： (x—5)'+y'=l都外切的圆的[8心P的轨迹方程.四.知识梳理，归纳总结五、预习指导，新课链接预习双曲线的性质。
高考数学一轮复习精品教学案8.6 双曲线(学生版) 新人教版
【考纲解读】1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质． 2．理解数形结合的思想． 【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.平面解析几何是历年来高考重点内容之一,经常与逻辑、不等式、三角函数等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，在解答题中考查，一般难度较大，与其他知识结合起来考查，在考查平面解析几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查解析几何与其他知识的结合，在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】 1. 双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（12||||||2PF PF a -=）。
注意：①（*）式中是差的绝对值，在1202||a F F <<条件下；12||||2PF PF a -=时为双曲线的一支（含2F 的一支）；21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支（含1F的一支）；②当122||a F F =时，12||||||2PF PF a -=表示两条射线；③当122||a F F >时，12||||||2PF PF a -=不表示任何图形；④两定点12,F F 叫做双曲线的焦点，12||F F 叫做焦距。
椭圆和双曲线比较：椭 圆双 曲 线定义 1212||||2(2||)PF PF a a F F +=> 1212||||||2(2||)PF PF a a F F -=<方程 22221x y a b +=22221x y b a +=22221x y a b -=22221y x a b -=焦点(,0)F c ± (0,)F c ± (,0)F c ± (0,)F c ±注意：如何有方程确定焦点的位置！2．双曲线的性质①范围：从标准方程12222=-b y a x ，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a x ±=的外侧。
2021版新高考数学(山东专用)一轮学案：第八章第六讲 双曲线 Word版含解析
姓名，年级：时间：第六讲双曲线ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的差的绝对值等于常数（小于｜F1F 2｜)__的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点__，两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距__．注:设集合P＝{M|||MF1｜－|MF2｜|＝2a｝，|F1F2｜＝2c，其中a，c为常数，且a＞0,c＞0；(1)当a＜c时，P点的轨迹是__双曲线__;(2）当a＝c时，P点的轨迹是__两条射线__；(3）当a＞c时，集合P是__空集__．知识点二双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－错误!＝1（a＞0，b＞0）y2a2－错误!＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1__（－a，0)__,A2__（a，0）__顶点坐标：A1__（0，－a）__，A2__（0，a)__渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x重要错误!错误!双曲线中的几个常用结论(1）焦点到渐近线的距离为b．（2）实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直（位置关系)．(3)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为错误!(通径)．过双曲线的交点与双曲线一支相交所得弦长的最小值为错误!；与两支相交所得弦长的最小值为2a．（4）过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F构成的△ABF2的周长为4a＋2｜AB|．2（5)双曲线的离心率公式可表示为e＝错误!．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．（多选题）下列结论正确的是（CD ）A．平面内到点F1（0,4），F2（0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线B．方程错误!－错误!＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线C．等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于错误!D．若双曲线错误!－错误!＝1（a>0，b〉0）与错误!－错误!＝1（a〉0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则错误!＋错误!＝1（此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)题组二走进教材2．(必修2P61T1）若双曲线错误!－错误!＝1(a〉0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( A )A．错误!B．5C．错误!D．2［解析］由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长,双曲线的渐近线方程为错误!±错误!＝0，即bx±ay＝0，∴2a＝错误!＝b.又a2＋b2＝c2,∴5a2＝c2.∴e2＝错误!＝5，∴e＝错误!．3．(必修2P61A组T3)已知a〉b>0，椭圆C1的方程为错误!＋错误!＝1，双曲线C2的方程为错误!－错误!＝1，C1与C2的离心率之积为错误!,则C2的渐近线方程为( A ）A．x±2y＝0 B．2x±y＝0C．x±2y＝0 D．2x±y＝0［解析］椭圆C1的离心率为错误!，双曲线C2的离心率为错误!,所以错误!·错误!＝错误!，即a4＝4b4,所以a＝错误!b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±错误!x，即x±错误!y＝0.题组三考题再现4．（2018·全国卷Ⅱ)双曲线x2a2－y2b2＝1(a〉0,b>0)的离心率为错误!，则其渐近线方程为（ A ）A．y＝±错误!x B．y＝±错误!xC．y＝±错误!x D．y＝±错误!x[解析] 由题意e＝错误!＝错误!＝错误!,∴错误!＝错误!，∴双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故选A．5．（2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：错误!－错误!＝1（a〉0，b>0)的一条渐近线方程为y＝错误!x,且与椭圆错误!＋错误!＝1有公共焦点，则C的方程为（ B )A．错误!－错误!＝1 B．错误!－错误!＝1C．错误!－错误!＝1 D．错误!－错误!＝1[解析］椭圆错误!＋错误!＝1的一焦点为(3,0）,∴双曲线C中有c＝3，且焦点在x轴上，又错误!＝错误!，且c2＝a2＋b2，∴a2＝4，b2＝5，∴C的方程为错误!－错误!＝1,故选B．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一双曲线的定义及其应用——自主练透例1 （1)已知定点F1（－2,0),F2(2,0)，N是圆O:x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( B )A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆（2）（2020·河南洛阳统考）已知F是双曲线错误!－错误!＝1的左焦点,A(1,4），P是双曲线右支上的动点，则｜PF｜＋｜PA|的最小值为__9__．[解析］(1)如图，连接ON,由题意可得｜ON｜＝1,且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，∴｜MF2|＝2．∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得｜PM|＝｜PF1|,∴|｜PF2｜－｜PF1｜|＝｜｜PF2｜－|PM｜|＝|MF2｜＝2〈｜F1F2｜，∴由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线．（2）设双曲线的右焦点为F1,则由双曲线的定义，可知｜PF｜＝4＋|PF1|，所以当｜PF1｜＋｜PA|最小时满足|PF｜＋｜PA|最小．由双曲线的图形可知，当点A，P,F1共线时，满足|PF1｜＋｜PA|最小，|AF1|即｜PF1｜＋｜PA|的最小值．又｜AF1|＝5,故所求的最小值为9．名师点拨☞(1)利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．（2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2｜|＝2a，运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2｜的联系．〔变式训练1〕(1)在△ABC中，B（4，0），C(－4，0），动点A满足条件sin B－sin C＝错误! sin A时，则点A的轨迹方程为错误!－错误!＝1（x>2) ．(2）(2019·西安模拟）设F1,F2分别是双曲线错误!－错误!＝1(a>0，b〉0）的左、右焦点,若双曲线上存在点A,使∠F1AF2＝90°，且｜AF1｜＝3｜AF2｜，则双曲线的离心率为（ B )A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析] （1）设A的坐标为(x，y），在△ABC中，由正弦定理，得错误!＝错误!＝错误!＝2R（其中R为△ABC外接圆的半径），代入sin B－sin C＝错误!sin A，得错误!－错误!＝错误!错误!。
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6.已知双曲线 的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为 ()
A. － ＝1 B. － ＝1 C. － ＝1 D. － ＝1
7．已知0＜θ＜ ，则双曲线C1： － ＝1与C2： － ＝1的()
A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
8．(2016·惠州调研)若双曲线 － ＝1的离心率为 ，则其渐近线的斜率为()
A．±2 B．± C．± D．±
9．(2015·高考湖南卷)若双曲线 － ＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
10．已知双曲线 － ＝1的右焦点的坐标为( ，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．
－ ＝1(a＞0，b＞0 )
图形
性质
范围对称性对称Fra bibliotek：，对称中心：
顶点
渐近线
离心率
实虚轴
a、b、c的关系
【预习检测】
1．(2016·昆明质检)若双曲线 －y2＝1的一个焦点为(2，0)， 则它的离心率为()
A. B. C. D．2
2．(2015·高考广东卷)已知双曲线C： － ＝1的离心率e＝ ，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C的方程为()
A. － ＝1 B. － ＝1 C. － ＝1 D. － ＝1
3．(2016·南昌模拟)若双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为 ，则双曲线C的离心率为()
A．2或 B. C．2或 D．2
4．(2015·高考北京卷)已知(2， 0 )是双曲线x2－ ＝1(b＞0)的一个焦点，则b＝________．
我的困惑：
双曲线
学习目标
通过基础自查，掌握双曲线的定义，会 确定双曲线的标准方程，初步掌握双曲线的基本性质
重难点
双曲线的标准方程以及简单性质
合作探究
课堂设计
学生随堂手记
【课前自主复习区】
【基础自查】
1、定义
条件
结论1
结论2
M点的轨迹为双曲线
为双曲线的焦点
|为双曲线的焦距
2、标准 方程与几何性质
标准方程
－ ＝1(a＞0， b＞0)