浙江省名校协作体2018学年第二学期联考高三年级数学学科试题
浙江省天域全国名校协作体2024届高三下学期二模数学试题含答案
2023-2024学年第二学期天域全国名校协作体联考高三年级数学学科试题（答案在最后）命题学校：考生须知：1.本卷共5页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}=1,2,3M ，{}=0,1,2,3,4,7N ，若M A N ⊆⊆，则满足集合A 的个数为（）A.4B.6C.7D.8【答案】D 【解析】【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A 即可得解.【详解】因为M A N ⊆⊆，所以A 可以是{}{}{}{}{}{}{}{}1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,0,1,2,3,7,1,2,3,0,4,1,2,3,0,7,1,2,3,7,4,1,2,3,0,4,7，共8个，故选：D2.抛物线2:6C y x =的焦准距是（）A.112B.16C.3D.6【答案】A 【解析】【分析】根据抛物线标准方程求出p 即可得解.【详解】2:6C y x =化为标准方程为216x y =，所以126p =，112p =，即焦点与准线的距离为112p =，故选：A3.在正三棱台111ABC A B C -中，已知AB =，11A B =1AA 的长为2，则此正三棱台的体积为（）A.212 B.74C.214D.72【答案】C 【解析】【分析】先计算出三棱台的上下底面的面积，再根据底面边长与侧棱长求解三棱台的高，进而计算出三棱台的体积．【详解】正三棱台111ABC A B C -中，已知AB =，11A B =所以ABC 的面积为1224=，111A B C△的面积为122⨯=，设O ，1O 分别是ABC ，111A B C △的中心，设D ，1D 分别是BC ，11B C 的中点，A ∴，O ，D 三点共线，1A ，1O ，1D 三点共线，π33sin 322AD AB =⨯==，1111π3sin 332A D AB =⨯==，1132OD AD ∴==，1111113O D A D ==，12DD ===，过D 作11DE A D ⊥，垂足为E ，则1//DE OO ，DE === ∴三棱台的高为∴三棱台的体积为121(344V =++=．故选：C ．4.628log 3x ⎛⎝⎭展开式的常数项为（）A.512B.512-C.136D.136-【答案】A 【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式，令x 的指数为0，得出常数项的项数，即可得常数项．【详解】展开式的通项公式为()()(66212316868C log 3C log 3rr r r r r rr T x x---+⎛=⋅⋅-=⋅⋅⋅ ⎝⎭，令1230r -=，解得4r =，所以常数项为()(242445686231115C log 3C log 3log 215323612T ⎛⎫=⋅⋅=⋅⨯=⨯=⎪⎝⎭.故选：A.5.已知()()1cos cos cos cos 3αβγαβγ+-+=，则()()sin sin sin sin αβγαβγ+-+=（）A.16-B.13-C.16D.13【答案】B 【解析】【分析】根据余弦两角和公式将()cos αβγ++展开成角αβ+与γ的两角和形式与α与βγ+的两角和形式，建立等式关系结合已知等式即可得结论.【详解】因为()()()cos cos cos sin sin αβγαβγαβγ++=+-+，又()()()cos cos cos sin sin αβγαβγαβγ++=+-+，所以()()cos cos sin sin αβγαβγ+-+()()cos cos sin sin αβγαβγ=+-+，因为()()1cos cos cos cos 3αβγαβγ+-+=，则()()sin sin sin sin αβγαβγ+-+=()()1cos cos cos cos 3αβγαβγ+-+=-.故选：B.6.为了解某中学学生假期中每天自主学习的时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取高一学生40人，其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5，抽取高二学生60人，其每天学习时间均值为9小时，方差为0.8，抽取高三学生100人，其每天学习时间均值为10小时，方差为1，则估计该校学生每天学习时间的方差为（）A.1.4B.1.45C.1.5D.1.55【答案】B 【解析】【分析】利用分层随机抽样的均值与方差公式即可解决.【详解】由题意可得，该校学生每天学习时间的均值为40601008910200200200x =⨯+⨯+⨯9.3=，该校学生每天学习时间的方差为()22400.589.3200s ⎡⎤=⨯+-⎣⎦()2600.899.3200⎡⎤+⨯+-⎣⎦()21001109.3200⎡⎤+⨯+-⎣⎦ 1.45=.故选：B7.已知函数()f x 满足对任意的(),1,x y ∈+∞且x y <都有111x y f f f xy x y ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若2155n a f n n ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，*n ∈N ，则1232024a a a a ++++= （）A.253385f ⎛⎫⎪⎝⎭B.253380f ⎛⎫⎪⎝⎭C.253765f ⎛⎫⎪⎝⎭D.253760f ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据111x y f f f xy x y ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭将21115523n a f f f n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再用裂项相消法求1232024a a a a ++++ 的值.【详解】∵函数()f x 满足对任意的(),1,x y ∞∈+且x y <都有111x y f f f xy x y ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴令2,3x n y n =+=+，则()()()()2231112355n n x y xy n n n n +-+-==--++++，∴21115523n a f f f n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴1232024111111344520262027a a a a f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭113202725332027132027760f f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列的求和问题，关键是理解数列的规律，即研究透通项，本题的关键是将通项分析为：2111.5523n a f f f n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭8.古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数1cot tan θθ=，正割函数1sec cos θθ=，余割函数1csc sin θθ=，正矢函数sin 1cos ver θθ=-，余矢函数cos 1sin ver θθ=-.如图角θ始边为x 轴的非负半轴，其终边与单位圆交点P ，A 、B 分别是单位圆与x 轴和y 轴正半轴的交点，过点P 作PM 垂直x 轴，作PN 垂直y 轴，垂足分别为M 、N ，过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线分别交θ的终边于T 、S ，其中AM 、PS 、BS 、NB 为有向线段，下列表示正确的是（）A.sin ver AM θ=B.csc PS θ=C.cot BS θ=D.sec NBθ=【答案】C 【解析】【分析】利用单位圆以及三角函数的定义可知sin =MP θ，cos OM θ=，tan =AT θ，然后结合新定义简单计算可判断各个选项.【详解】根据题意，易得OMP OAT SBO PNO V :V :V :V ，对于A ，因为1cos 1OM MA θ-=-=，即sin ver MA θ=，故A 错误；对于B ，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，11csc sin BO OS OS MP MP OPθθ=====，故B 错误；对于C ，11cot tan tan BS OSBθθ===∠，故C 正确；对于D ，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得11sec cos OA OTOT OM OM OPθθ=====，故D 错误.故选：C.【点睛】关键点睛：本题属于新定义题，解题关键是读懂题意，根据新定义，利用三角函数定义结合相似三角形相似比求解，注意有向线段.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AD 和1DD 的中点，则下列说法正确的是（）A.1//AD 平面BEFB.1B C ⊥平面BEFC.异面直线11B D 与EF 所成角为60°D.平面BEF 截正方体所得截面为等腰梯形【答案】ACD 【解析】【分析】于A ，连接1AD ，利用三角形中位线证得1//AD EF ，结合线面平行判定定理即可判断A ；对于B ，取1AA 中点Q ，连接1,,A D QE QB ，设正方体棱长为2，根据线段长度结合勾股定理判断QE 与BE 是否垂直，即判断1B C 与BE 是否垂直，从而可判断B ；对于C ，连接11,AD B A ，根据正方体的面对角线性质，即可得异面直线11B D 与EF 所成角的大小，从而判断C ；对于D ，连接111,,AD BC C F ，确定截面完整图形为四边形1BEFC ，再计算其四边长度与位置关系，即可判断D.【详解】对于A ，如图，连接1AD ，因为E ，F 分别为棱AD 和1DD 的中点，所以1//AD EF ，又1AD ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，所以1//AD 平面BEF ，故A 正确；对于B ，如图，取1AA 中点Q ，连接1,,A D QE QB ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111,//AB CD A B CD =，所以四边形11A B CD 为平行四边形，所以11//BC AD ，又,QE 分别为1AA ，1A D 中点，则1//QE A D ，故1//B C QE ，设正方体棱长为2，则BE BQ QE ======，故222QE BE BQ +≠，所以QE 不垂直于BE ，故1B C 不垂直于BE ，又BE ⊂平面BEF ，所以1B C 不垂直平面BEF ，故B 错误；对于C ，如图，连接11,AD B A ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111AB B D AD ==，即11AB D 为正三角形，又因为E ，F 分别为棱AD 和1DD 的中点，所以1//EF AD ，故异面直线11B D 与EF 所成角即为1160B D A ∠=︒，故C 正确；对于D ，如图，连接111,,AD BC C F ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111,//C D AB C D AB =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，则11//AD BC ，又1//EF AD ，所以1//EF BC ，所以1,,,B E F C 四点共面，故平面BEF 截正方体所得截面为四边形1BEFC ，设正方体棱长为2，则112BE C F ====所以11,C F BE EF BC =≠，又1//EF BC ，故截面为四边形1BEFC 为等腰梯形，故D 正确.故选：ACD.10.已知正实数a ，b ，c ，且a b c >>，x ，y ，z 为自然数，则满足0x y za b b c c a++>---恒成立的x ，y ，z 可以是（）A.1x =，1y =，4z =B.1x =，2y =，5z =C.2x =，2y =，7z =D.1x =，3y =，9z =【答案】BC 【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用得到2x y a b b c a c+≥---，进而得到只需2z >即可，再依次判断四个选项即可.【详解】要满足0x y z a b b c c a ++>---，只需满足x y za b b c a c+>---，其中正实数a ，b ，c ，且a b c >>，x ，y ，z 为正数，()()a b b c x y x y a b b c a c a b b c -+-⎛⎫+=+ ⎪-----⎝⎭()()()()()()b c x a b y x y a c a b a c a c b c a c--=+++------x y a c a c≥++--2x ya c a c a c+=+=---，当且仅当()()()()()()b c x a b y a b a c a c b c --=----，即()()22b c x a b y -=-时，等号成立，观察各选项，故只需2z a ca c+>--，故只需2z >即可，A 选项，1x =，1y =，4z =时，24=，A 错误；B 选项，1x =，2y =，5z =时，235=+，B 正确；C 选项，2x =，2y =，7z =时，287=>，C 正确；D 选项，1x =，3y =，9z =时，249=+，D 错误.故选：BC.11.已知椭圆()222:1039x y C b b+=<<左右两个焦点分别为1F 和2F ，动直线l 经过椭圆左焦点1F 与椭圆交于,A B 两点，且228AF BF +≤恒成立，下列说法正确的是（）A.b =B.[]4,6AB ∈C.离心率2e =D.若OA OB ⊥，则2211518OAOB+=【答案】AB 【解析】【分析】根据椭圆定义利用通径长可求得b ，由椭圆性质可得[]4,6AB ∈，且离心率33e =，联立直线和椭圆方程可知当OA OB ⊥，方程无解，因此D 错误.【详解】如下图所示：易知3a =，由椭圆定义可知22412AB AF BF a ++==，因为228AF BF +≤恒成立，所以4AB ≥，当AB x ⊥轴，即AB 为通径时，AB 最小，所以2min 24b AB a==，解得b =，所以A 正确；当AB 为长轴时，AB 最大，此时26AB a ==，所以[]4,6AB ∈，即B 正确；可得椭圆方程为22:196x y C +=，易知c ==3c e a ==，即C 错误；因为()1F ，可设直线l的方程为x my =()()1122,,,A x y B x y ，联立22196x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理可得()2223120m y +--=，因此12122212,2323y y y y m m +==-++；若OA OB ⊥，可得0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，所以()()21212130m y y y y +-++=；整理得2610m +=，此时方程无解，因此D 错误.故选：AB非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数1i +与3i 在复平面内用向量OA 和OB 表示（其中i 是虚数单位，O 为坐标原点），则OA 与OB夹角为__________.【答案】45°（或π4）【解析】【分析】根据复数的几何意义、向量夹角公式运算得解.【详解】根据题意，()1,1OA = ，()0,3OB =，cos ,2OA OB OA OB OA OB ⋅∴==u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，又0,πOA OB ≤≤ ，所以向量OA 与OB 的夹角为π4.故答案为：o 45（或π4）.13.将函数()cos 2g x x =的图象上的每个点横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象向右平移π4得到函数()y h x =的图象，若函数()y g x =与函数()1y h x =+图象交于点()(),g αα，其中π02α-<<，则sin α的值为__________.【答案】255-##【解析】【分析】先利用伸缩变换和平移变换得到()h x ，再根据题意，由()()1h g αα+=求解.【详解】解：由题意得：()2sin 2h x x =，因为函数()y g x =与函数()1y h x =+图象交于点()(),g αα，所以2sin 21cos 2αα+=，即22224sin cos sin cos cos sin αααααα++=-，整理得()2sin 2cos sin 0ααα+=，因为π02α-<<，所以2cos sin 0αα+=，又因为22sin cos 1αα+=，所以sin 5α=-，故答案为：255-14.如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特·梵高用夸张的手法，生动地描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆O 的一段圆弧E ，且弧E 所对的圆心角为4π5.设圆C 的圆心C 在点O 与弧E 中点的连线所在直线上.若存在圆C 满足：弧E 上存在四点满足过这四点作圆O 的切线，这四条切线与圆C 也相切，则弧E 上的点与圆C 上的点的最短距离的取值范围为__________.（参考数据：2π1cos54=）【答案】(【解析】【分析】设弧E 的中点为M ，根据圆与圆相离，确定两圆的外公切线与内公切线，确定圆O 的位置，分析可得弧E 上的点与圆C 上的点的最短距离.【详解】如图，设弧E 的中点为M ，弧E 所对的圆心角为4π5，圆O 的半径1OM =，在弧E 上取两点,A B ，则4π5AOB ∠≤，分别过点,A B 作圆O 的切线，并交直线OM 于点D ，当过点,A B 的切线刚好是圆O 与圆C 的外公切线时，劣弧AB 上一定还存在点,S T ，使过点,S T 的切线为两圆的内公切线，则圆C 的圆心C 只能在线段MD 上，且不包括端点，过点C ，分别向,AD BD 作垂线，垂足为,R P ，则CR 即为圆C 的半径，设线段OC 交圆C 于点N ，则弧E 上的点与圆C 上的点的最短距离即为线段MN 的长度.在Rt AOD中，12πcos 51cos cos 254OAOA OAOD AOB AOD ==≤==∠∠，则11011MN OC OM CN OC CR OD =--=--<--=-=即弧E 上的点与圆C上的点的最短距离的取值范围为(.故答案为：(.【点睛】结论点睛：本题考查了根据两圆位置关系求距离的范围的问题.可按如下结论求解：相离的两个圆（圆心分别为1O 和2O ,半径分别为R 和r ）上的两个动点之间的距离L 的最小值是两圆心之间的距离减去两圆的半径，最大值是两圆心之间的距离加上两圆的半径，即min 12max 12,L O O R r L O O R r =--=++.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，已知多面体111111,,,ABC A B C A A B B C C -均垂直于平面111,120,4,1,2ABC ABC A A C C AB BC B B ∠=︒=====．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面111A B C ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面1ABB 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3913.【解析】【分析】（Ⅰ）方法一：通过计算，根据勾股定理得111111,AB A B AB B C ⊥⊥,再根据线面垂直的判定定理得结论；（Ⅱ）方法一：找出直线AC 1与平面ABB 1所成的角，再在直角三角形中求解即可.【详解】（Ⅰ）［方法一］：几何法由11112,4,2,,AB AA BB AA AB BB AB ===⊥⊥得111AB A B ==，所以2221111A B AB AA +=，即有111AB A B ⊥.由2BC =，112,1,BB CC ==11,BB BC CC BC ⊥⊥得11B C =，由2,120AB BC ABC ==∠=︒得AC =由1CC AC ⊥，得1AC =，所以2221111AB B C AC +=，即有111AB B C ⊥，又11111A B B C B = ，因此1AB ⊥平面111A B C .［方法二］：向量法如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O -xyz .由题意知各点坐标如下：()()()()()1110,,1,0,0,0,4,1,0,2,0,,A B A B C因此111112),(1,2),(0,3)AB A B A C ==-=-,由1110AB A B ⋅= 得111AB A B ⊥；由1110AB A C ⋅=得111AB AC ⊥，所以1AB ⊥平面111A B C .（Ⅱ）［方法一］：定义法如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连结AD .由1AB ⊥平面111A B C 得平面111A B C ⊥平面1ABB ，由111C D A B ⊥得1C D ⊥平面1ABB ，所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角.由111111B C A B A C ===得111111cosC A B C A B ∠=∠=，所以1C D =，故111sin 13C D C AD AC ∠==.因此，直线1AC 与平面1ABB所成的角的正弦值是13.［方法二］：向量法设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ.由(I)可知11(0,(0,0,2)AC AB BB ===,设平面1ABB 的法向量(,,)n x y z =.由100n AB n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即020x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可取(n = ，所以111sin cos ,13||AC n AC n AC n θ⋅===⋅ .因此，直线1AC 与平面1ABB所成的角的正弦值是13.［方法三］：【最优解】定义法+等积法设直线1AC 与平面1ABB 所成角为θ，点1C 到平面1ABB 距离为d （下同）．因为1C C ∥平面1ABB ，所以点C 到平面1ABB 的距离等于点1C 到平面1ABB 的距离．由条件易得，点C 到平面1ABB 的距离等于点C 到直线AB 的距离，而点C 到直线AB，所以d =1sin 13d AC θ===．［方法四］：定义法+等积法设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ，由条件易得111111A B B C AC ===，所以2221111111111111cos 25A B B C AC A B C A B B C +-∠==-⋅，因此11115sin 5A B C ∠=．于是得11111111111sin 2A B C S A B B C A B C =⋅⋅∠=△，易得114AA B S =△．由111111C AA B A A B C V V --=得1111111133AA B A B C S d S AB ⋅=⋅△△，解得d =故139sin 13d AC θ===．［方法五］：三正弦定理的应用设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ，易知二面角11C AA B --的平面角为6BAC π∠=，易得11sinC AA ∠=，所以由三正弦定理得11139sin sin sin 213C AA BAC θ=∠⋅∠==．［方法六］：三余弦定理的应用设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ，如图2，过点C 作CG AB ⊥，垂足为G ，易得CG ⊥平面1ABB ，所以CG可看作平面1ABB 的一个法向量．结合三余弦定理得1139sin cos ,cos cos 13AC CG C AC GCA θ=〈=∠⋅∠=〉=．［方法七］：转化法＋定义法如图3，延长线段1A A 至E ，使得1AE C C =．联结CE ，易得1EC AC ∥，所以1AC 与平面1ABB 所成角等于直线EC 与平面1ABB 所成角．过点C 作CG AB ⊥，垂足为G ，联结GE ，易得CG ⊥平面1ABB ，因此EG 为EC 在平面1ABB 上的射影，所以CEG ∠为直线EC 与平面1ABB所成的角．易得CE =，CG =，因此39sin 13CG CEG CE ∠===．［方法八］：定义法＋等积法如图4，延长11,A B AB 交于点E ，易知2BE =，又2AB BC ==，所以AC CE ⊥，故CE ⊥面11AA C C ．设点1C 到平面1ABB 的距离为h ，由1111E AA C C AA E V V --=得1111113232AA AE h AA AC CE ⨯⋅⋅=⨯⋅⋅，解得h =又1AC =，设直线1AC 与平面1ABB 所成角为θ，所以sin 13θ==．【整体点评】（Ⅰ）方法一：通过线面垂直的判定定理证出，是该题的通性通法；方法二：通过建系，根据数量积为零，证出；（Ⅱ）方法一：根据线面角的定义以及几何法求线面角的步骤，“一作二证三计算”解出；方法二：根据线面角的向量公式求出；方法三：根据线面角的定义以及计算公式，由等积法求出点面距，即可求出，该法是本题的最优解；方法四：基本解题思想同方法三，只是求点面距的方式不同；方法五：直接利用三正弦定理求出；方法六：直接利用三余弦定理求出；方法七：通过直线平移，利用等价转化思想和线面角的定义解出；方法八：通过等价转化以及线面角的定义，计算公式，由等积法求出点面距，即求出．16.欧拉函数()()*Nn n ϕ∈的函数值等于所有不超过正整数n 且与n 互素的正整数的个数，例如：()11ϕ=，()42ϕ=，()84ϕ=，数列{}n a 满足()()*2N n n a n ϕ=∈.（1）求1a ，2a ，3a ，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记()222log 1nnn na b a =-，求数列{}n b 的前n 和n S .【答案】（1）11a =，22a =，34a =，12n n a -=（2）()620625254n nn S +=-+⨯-【解析】【分析】（1）根据题意理解可求1a ，2a ，3a ，结合与2n 互素的个数可求数列{}n a 的通项公式；（2）求出数列{}n b 的通项公式，利用错位相减法求和即可.【小问1详解】由题意可知()121a ϕ==，()242a ϕ==，()384a ϕ==，由题意可知，正偶数与2n 不互素，所有正奇数与2n 互素，比2n 小的正奇数有12n -个，所以()122nn n a ϕ-==；【小问2详解】由（1）知()122nn n a ϕ-==，所以()221222nn n a ϕ-==，所以()()()()()21222212log log 2211112142244nn nn n n n n n n a b n n a --⎛⎫=-=-=--=-- ⎪⎝⎭，12n n S b b b =+++ ，所以()()12111112646424444n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++-⨯-+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①()()2311111126464244444nn n S n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+⨯-++-⨯-+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②所以①－②得()12151111244244444n n n S n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++---⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()111111641144212414n n n -+⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+⨯--⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭()()1111111320614225441054n n n n n -++⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=-+----⨯-=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯-⎢⎥⎣⎦，所以()620625254n nn S +=-+⨯-.17.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>左右焦点分别为1F ，2F ，点()3,2P 在双曲线上，且点()3,2P 到双曲线两条渐近线的距离乘积为65，过1F 分别作两条斜率存在且互相垂直的直线1l ，2l ，已知1l 与C 双曲线左支交于A ，B 两点，2l 与C 左右两支分别交于E ，F 两点.（1）求双曲线C 的方程；（2）若线段AB ，EF 的中点分别为M ，N ，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）22132x y -=（2）证明见解析，()-【解析】【分析】（1）根据题意，列出,,a b c 的方程组求出22,a b 得解；（2）设直线1l的方程为(y k x =+，可得2l的方程(1y x k=-+，分别与双曲线方程联立，结合韦达定理求出点,M N 的坐标，表示直线MN 的方程，令0y =求得x 是定值.【小问1详解】设双曲线C 的两渐近线方程分别为by x a=，b y x a =-，点()3,2P 到双曲线两渐近线的距离乘积为22294323265b a b a b a ccc --+⨯==，由题意可得：22222229465941a b c b a a b ⎧+=⎪⎪-⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得23a =，22b =，所以双曲线C 的方程为22132x y -=.【小问2详解】设直线1l的方程为(y k x =，由1l ，2l 互相垂直得2l的方程(1y x k=-，联立方程得(22132y k x x y ⎧=+⎪⎨⎪-=⎩，消y 得()2222231560k x x k ----=，0∆>成立，所以212235223M x x x k +==-，(22523M M y k x k=+=-，所以点M 坐标为2223525,2323k k ⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭，联立方程得(221132y x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以342223N x x x k +==-，(2123N N y x k k -=-=-，所以点N坐标为22,2323k k ⎛⎫- ⎪ ⎪--⎝⎭，根据对称性判断知定点在x 轴上，直线MN 的方程为()N MM M N My y y y x x x x --=--，则当0y =时，222222222323232325252323M N N M N M x y x y k k k k x y y k k -⋅-⋅-==----，所以直线MN恒过定点，定点坐标为()-.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法再联立双曲线方程从而解出点,M N 的坐标，再得到直线MN 的方程，最后令0y =即可得到其定点坐标.18.定义{},max ,,a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩，已知函数(){}3max ln ,41f x x x mx =-+-，其中R m ∈.（1）当5m =时，求过原点的切线方程；（2）若函数()f x 只有一个零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）e 0x y -=或20x y -=（2）3m <或5m >【解析】【分析】（1）当5m =时，求出()f x ，利用导数的几何意义得出切线斜率，即可求切线方程；（2）对m 分类讨论，根据函数只有一个零点，结合函数的单调性分别分析求出m 的取值范围.【小问1详解】由题意知()f x 定义域()0,∞+，当5m =时，()333451,451ln ln ,451ln x x x x x f x x x x x ⎧-+--+-≥=⎨-+-<⎩，令()3451g x x x =-+-，()21250012g x x x '=-+>⇒<<，()g x ⇒在0,12⎛ ⎝⎭单调递增，12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减，且()10g =，令()ln h x x =，则在()0,∞+单调递增，而()()101f h ==，又13416g ⎛⎫=⎪⎝⎭，11ln 144h ⎛⎫=<- ⎪⎝⎭，而()01g =-，所以当104x <<时，()()>g x h x ，当114x ≤<时，()()0g x h x >>，所以当01x <<时，()()f x g x =，当1x ≥时，()()f x h x =，所以()3451,01ln ,1x x x f x x x ⎧-+-<<=⎨≥⎩，所以()f x 在0,12⎛ ⎝⎭和()1,+∞单调递增，在,112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减.（ⅰ）当01x <<时，()2125f x x '=-+，设切点()3000,451M x x x -+-，则此切线方程为()()230000125451y x x x xx =-+--+-，又此切线过原点，所以()()23000001250451x x x x =-+--+-，解得012x =，即此时切线方程是20x y -=；（ⅱ）当1x ≥时，()ln f x x =，所以()1f x x'=，设切点为()00,ln x x ，此时切线方程()0001ln y x x x x =-+，又此切线过原点，所以()000100ln x x x =-+，解得0e x =，所以此时切线方程e 0x y -=，综上所述，所求切线方程是：e 0x y -=或20x y -=；【小问2详解】（ⅰ）当5m =时，由（1）知，()f x在0,12⎛ ⎝⎭和()1,+∞单调递增，,112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减，且()01f =，130416f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()10f =，此时()f x 有两个零点；（ⅱ）当5m >时，当01x <<时，3345141x x x mx -+-<-+-，由（1）知：()3451g x x x =-+-在0,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭递增，12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭递减，且()10g =，所以60,12x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x >，而()01f =-，所以()f x在0,12⎛ ⎪⎝⎭只有一个零点，,12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭没有零点；（ⅲ）当05m <<时，341y x mx =-+-，此时2120y x m '=-+>得012x <<<，由（1）知，当1x ≥时，()ln f x x =只有一个零点1x =，要保证()f x 只有一个零点，只需要当01x <<时，()341f x x mx =-+-没有零点，34110901f m ⎧⎛⎛⎪=-+-=-< ⎪⎝⎝⎨⎪<<⎪⎩，得03m <<；（ⅳ）当0m ≤时，当()0,x ∈+∞时，()3410g x x mx =-+-<，此时()f x 只有一个零点1x =，综上，()f x 只有一个零点时，3m <或5m >.【点睛】关键点点睛：通过对m 的分类讨论，得出()f x 解析式，再由函数的单调性，结合函数只有一个零点，分别分析或列出不等式求m 的范围，解题过程较繁琐.19.甲、乙两人进行知识问答比赛，共有n 道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲乙答题正确的概率分别为p 和13，各题答题相互独立.规则为：初始双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得﹣1分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.（1）若3n =，12p =，求甲获胜的概率；（2）若20n =，设甲第i 题的得分为随机变量i X ，一次比赛中得到i X 的一组观测值()1,2,,20i x i = ，如下表.现利用统计方法来估计p 的值：①设随机变量11ni i X X n ==∑，若以观测值()1,2,,20i x i = 的均值x 作为X 的数学期望，请以此求出p 的估计值 1p ；②设随机变量i X 取到观测值()1,2,,20i x i = 的概率为()L p ，即()L p ()11222020,,,P X x X x X x ==== ；在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着p 的变化，用使得()L p 达到最大时p 的取值 2p 作为参数p 的一个估计值.求 2p .题目12345678910得分100﹣111﹣1000题目11121314151617181920得分﹣1011﹣100010表1：甲得分的一组观测值.附：若随机变量X ，Y 的期望()E X ，()E Y 都存在，则()()()E X Y E X E Y +=+.【答案】（1）539864（2）①135p =；② 235p =【解析】【分析】（1）根据甲抢到题目数，分类讨论利用条件概率和全概率公式求解.（2）①由公式计算的数学期望与观测值的均值x 相等，可求出p 的估计值 1p ；②由概率()L p 的表达式，利用导数求取最大值时时p 的取值.【小问1详解】记甲获胜为事件A ，甲抢到3道题为事件3A ，甲抢到2道题为事件2A ，甲抢到1道题为事件1A ，甲抢到0道题为事件0A ，则()331128P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()322313C 28P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()311313C 28P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()301128P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，而()322331111|C 12222P A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()212211117|C 11222312P A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1122211222|21233332333P A A ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅⋅+-⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3210321220|C 33327P A A ⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()()()()()()()()33221100||||P A P A P A A P A P A A P A P A A P A P A A =+++1137321205398281283827864=⋅+⋅+⋅+⋅=.【小问2详解】①()12i p P X ==，()102i P X ==，()112i p P X -=-=，所以()11211012222i p p p E X --=⨯+⨯-⨯=；因为()()1111111212122n n ni i i i i i p p E X E X E X E X n n n n n ===--⎛⎫⎛⎫====⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，由表中数据可知110x =，所以1211210p -=， 135p =.②因为()1,2,,20i X i = 取值相互独立，所以()()()()()1122202011222020,,,L p P X x X x X x P X x P X x P X x ======== ()()()6104610411101222i i i p p P X P X P X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯=⨯=-=⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()10546310531111135322222222222p p p p p p p L p ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；令()0L p '=得35p =，又01p <<，所以当30,5p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0L p '>，()L p 单调递增；当3,15p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0L p '<，()L p 单调递减；即当35p =时()L p 取到最大值，从而235p =.【点睛】方法点睛：正确提取题干中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!。
浙江省名校协作体2023-2024学年高三下学期开学考试 数学 含答案
2023-2024学年第二学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科考生须知：1本卷满分150分，考试时间120分钟；2答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效：4考试结束后，只需上交答题卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）已知全集U=R,A={xl x.. o},B={xl-l<x<l}，则{xi-I<x<O} = ( )A.Au B B（炉）＾B c.A^（研） D.6u(AnB)2已知复数Z满足z=—-，则Z·Z=( )1-iA.-2B. 2iC.fi_D.2cosO-sin0 7t=2,则tan(e-�)=c)3已知cos0+sin0A.-2B.2C.--D.-2 24柳编技艺在我国已有上千年的历史，如今柳编产品已经入选国家非物质文化遗产名录如图所示；这是用柳条编织的圆台形米斗，上底直径30cm,下底迎径20cm,高为30cm,则该米斗的容积大概为（A.9升B.15升C.19升D.21升5有一组数据：1,1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4,去掉该组中的一个数据，得到一组新的数据与原有数据相比，无论去掉哪个数据，一定变化的数字特征是(A平均数B众数C中位数D极差6已知a>l,b>O,若抎＋log2a= b + log2b，则（）A.a>2bB.a<2bC.a>扩D.a<b27已知正项数列{a,，}满足生＝3a1,S,，为{a,,｝的前n项和，则”{a,，}是等差数列“是＂J芍为等差数列＂的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件8已知平面向量a,b满足lal= l,(b,a +b) A.2 B.✓2+ 1 C. ✓3+1 D.3冗飞，则位－b|的最大值为（）二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．兀9．已知x=－为函数f(x)=si n2x+acos2x的一个极大值点，则（）6A函数f(x)的值域为(-2,2]B函数y=f(x－王）为奇函数12c．曲线y=f(x)关于直线x=－？对称D函数y=f(x)叶子门上单调递增10．三棱锥P-ABC各顶点均在半径为2的球0的表面上，AB=AC=2，乙BAC=90,二面角P-BC-A的大小为45,则下列结论正确的是()A．直线OA/／平面PBC2拉B三棱锥0-ABC的体积为－－－3c．点0到平面PBC的距离为1D点P形成的轨迹长度为2✓37tII．日常生活中植物寿命的统计规律常体现出分布的无记忆性假设在一定的培养环境下，一种植物的寿命是取值为正整数的随机变量X,根据统计数据，它近似满足如下规律：对任意正整数n,寿命恰好为n的植物在所有寿命不小千n的柏物中的占比为10%记“一株植物的寿命为r1”为事件九，“一株植物的寿命不小于n,＇为事件B,，则下列结论正确的是（A. P(A2) =0.01B. P(B11) = 0.9n-iC设a n= P(A,,) B2)，则{a,,}为等比数列IID设S n=nP区），则I:s k< 10k=I三填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．l x12已知正实数从Y满足x+2y=I,则一十一的最小值为X)'X13已知R,F2分别是双曲线C:—-�=l(a > O,b >0)的左右焦点，P是圆X Z+ y2 = C Z与C的渐近线的a2 b2一个交点，若2乙P�F2＝乙PF2�，则双曲线C的离心率为14已知函数f(x):n.x,x>0，若函数g(x)=f(f(x)）－可(x)+]有唯一零点，则实数0的取值范围是一一x,x<O,X四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15（本小题满分13分）已知”ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=2bcosC(I)判断�.A BC的形状；(2)若µ,A BC的外接圆半径为1，求＾ABC周长的朵大值16（本小题满分15分）如图，在等腰直角三角形RBC中，A,D分别为RB,RC的中点，BC=BR=4,将...RAD沿AD折起，使得点R至点P的位置，得到四棱锥P-ABCD,RB（l)若M为PC的中点，求证：DM/／平面PAB;2 (2)若平面PAD上平面ABCD,点E在线段BC上，平面PDE与平面ABED夹角的余弦值为－，求线3段BE的长17（本小题满分15分）甲乙丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：每场比赛胜者积2分，负者积0分；比赛前根据相关规则决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空；积分首先累计到4分者获得比赛胜利，比赛结束已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为p1，甲与丙比赛时，甲获胜,乙与丙比赛时，乙获胜的概率为P3的概率为P2(I)若p l=p2 =p3=0.5，求比赛结束时，三人总积分X的分布列与期望：(2)若p1+p3>l，假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略18（本小题满分17分）已知过点(1,0)的归线与抛物线E:y2 =2px(p >0)交于A,B两点，O为坐标原点，当且线A B垂直于X轴时，A OB的面积为五(I)求抛物线E的方程；(2)若0为A BC的巫心，直线AC,B C分别交））轴于点M,N,记�M CN,�A O B的面积分别为S"S2, s 求-一的取值范围s19.（本小题满分17分）置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合A={l,2,...,n},nEN十的函数称为n次置换满足对任意iEA，几）＝l的置换称作恒等置换所有n次置换组成的集合记作S,，对千f(i)ES,,,我们可用列表法表示此置换：兀）＝［ 1 2心］，记f(l) f(2)f (i) =I'(i),t(f (i)) =/2 (i),1(12 (i)) =/3 (i), ,f(广(i))=f飞），i EA,k EN+．(I)若f(l)E&，几）＝（：： 1 3 :），计算广(l)(2)证明对任意/(i)ES4,存在kEN+，使得广(i)为恒等置换，(3)对编号从．1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，，依次类推这样橾作最少重复几次就能恢复原来的牌型？请说明理由2023-2024学年第二学期浙江省名校协作体联考参考答案高三年级数学学科一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．I:： [ 1:［ ［1:I:[ [ I二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分JO杻CD1答案I BC I BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.1+2✓2 13.2 514.a =-－或－1,,a< l4四、解答题：共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.【解析】(l)因为a=2bcosC,所以sinA= 2sinBcosC,所以sin(B + C) = 2sinBcosC,所以sinBcosC+ c osBsinC = 2sinBcosC,所以sinBcosC-cosBsinC = 0,即sin(B-C)=O,因为B-C云(-7t,7t），所以B=C:所以,t,.ABC为等腰三角形：(2)由题意可知a=2sinA,b =2sinB, c = 2sinC = 2sinB,所以ABC的周长为：a+b+c =2<;inA+4sinB =2sin(n-28)+4sinB =2sin28+4sinB,设f(B) =2sin28+4sin8, B十彗+ 4cosB =8cos2 B + 4cosB-4 = 4(cosB + 1)(2cosB-l),则/'(B)= 4cos2B所以当BE（吁］时，cosB>沪'(B)> O,f (B)单调递增当B E(巴卫]时,cos B<』,＇B3 2) - 2 f'(B) <0,/(B)单调递减兀所以当B＝一时，．f(B)取到最大值3✓3'3所以周长的最大值为3./3.16.【解析】(I)取PB中点N,连接AN,MN,1则MNII BC,且MN=�BC,2因为A,D分别为R B,R C的中点，1所以ADIi BC,且AD=－BC,2所以ADIi MN且AD=MN,所以四边形ADMN为平行四边形，所以DM II AN,又ANc平面PAB,DMc;:.平面PAB,所以DM/／平面PAB(2)因为平而PAD..L平面ABCD,平而PAD＾平而ABCD=AD,D,所以AB..L平面PAD,又D,所以AB,AD,AP两两垂直如图，以A为原点，AB,AD,AP分别为x,y立轴建系，设B E=t,则P(0,0,2),D(0,2,0),E(2,t,0),所以PD=(0,2,-2),DE=(2,t-2,0),设n=(x,y,z)为平面P DE的法向量，则{n P D=0，即｛2y-2z=0 n·D E=O'�,·p x+(t-2)y=O'令y=2得n=(2-t,2,2)易知平面ABED的法向量为m=(0,0,1),设平面PDE与平面ABED的夹角为0,则cos0= !cos(ii，利＝2 2＝－ 扣－t）2+4+43'解得t=l或t=3,故BE=l或317.【解析】(I)由题意可知，X的取值可能为4,6,8P(x=4) =0.5x0.5x2=0.5;P(x=6) =0.5x0.5x0.5x2 =0.25;P(x =8) = 0.5x0.5x0.5x2= 0.25;所以三人总积分X的分布列为x 4 6 8p 0.5 0.25 0.25所以EX=0.5x4+0.25x6+0.25x8 =5.5.(2)设事件A为“第一局乙对丙最终乙获胜“,B为“第一局乙对甲最终乙获胜“,C为“第一局甲对丙而最终乙获胜＂，则有：P(A)=A(l-P i)+p孔(l-p2)p3+（l-p3队(l-p l)p”P(B) =(1-p,)PJ +(l-P i)(1-A)P i(l-P i)+ P, (1-Pi)A (l-P,);P(C)= P i(l-p,)PJ +(l-P2趴(1-Pi) =A(1-P i);显然P(B)>P(C);P(A)-P(B) =A P, (1-Pi)A +(l-PJ)P2 (1-P1)PJ -(l-P1)(l-PJ)P2 (1-P,)-P, (1-P2)A (1-P,)= (Pi + P :1 -l) P i (1-P 2) p 3 + (Pi + P :1 -l) (l -p 3屈(l-p l )=(p, + PJ -l)[P , (1-P i ) P 3 +(1-PJ 队(1-p ,)]>0所以P (A )>P (B );故乙的最优指定策略是让乙和丙打第一局18【解析】(I)由题意可知，SAOB =1x 2l x2痴＝石，所以p =1,所以抛物线E 的方程为l =2x(2)设A (xl,y l ),B (乓,A ),C(X:i,),3），因为0为，AB C 的重心，所以X 1+x2＋X':i = (), s AOB = s AOC = s BOC ;因为SMO C ＝巴生－X 3,s /1,，oc＝四＝飞s AOC IACx ,-X:J ,S 80C l8CI X 2 -X 3且S .,.,,oc+SNoc飞，S AOC = S BOC = S 2 ;所以江二立十二土＿＝x 1 +x 2 + X 1 +x 2 = 3(x 1飞）2＝ 3(x 1飞）2s 2x 1 -X 3 x 2 -X 3互＋凸X 1+2x 2 (2x 1飞）（x 1+2x 2) 2(x 1飞）2＋X l x 2 ; 设AB:x =ty +l ，与y 2=2x 联立得：y 2-2ty -2=0,所以Y 1Y 2= -2,2所以环＝（y心）＝1'则X1飞么仄�=2;4．． ＼）3-2， 4-3＿＿E 2、I'儿一1+斗3 ,i l '、＋ 2 ＝s i ＿鸟以所s所以忒的取值范围为［彗）19.【解析】2( 1 2 3 4l 2 3 4(I )由题意可知f l)＝（3 2 4 1)吓）＝（12 3 4](2)【解法一】1 2 3 4＠若氏）＝［12 34)，则吓）为恒等置换，＠若存在两个不同的i'使得f (i)=i'不妨设i=1,2,则兀）＝［12 34)1 2 4 3所以吓）＝（｝： ： ：），即吓）为恒等置换，l2 341 2 3 4＠若存在唯一的i'使得兀）＝i'不妨设i =2,则兀）＝（）32 4 1或f (i)＝(421 3)当兀）＝（12 3 4)时，由(I)可知广(i 4 2 1 3 ）为恒等置换；1 2 3 4同理可知，当f (i)=( ）时，广(·32 4 1 l)也是恒等置换；＠若对任意的i,J (i)妇，则情形一：f（i)＝(1 22 1情形二：f (i )=(� ! 几）＝（：： ： ｝）： ：）或f(t )＝（：： ： ：）或f (i)＝（；二32 :) 34 :]或f (l)＝［；: ： ：］或f (i )=G � !:]或或几）＝（；： ： ：）幻(i)=(�: : �)对于悄形一：广(i)为恒等置换；对于情形二：广(i)为恒等置换；综上，对任意/(i)ES 4,存在KEN +，使得广(i)为恒等置换，【解法二】对千任意iE {1,23,4}，都有j 、1(l)，广(t)，广(i)，广（小叶123,4},所以广（小f飞），广(t )，广(i )中，至少有一个满足广(l)＝l ,即使得广(i)= i的K的取值可能为1,2,3,4.当l分别取1,2,3,4时，记使得广(i)= i的K值分别为k"k2,k3, k4,只需取k为k“幻，k3,k4的最小公倍数即可所以对任意f(i)ES4,存在kEN+,使得广(i)为恒等暨换：(3)不妨设原始牌型从上到下依次编号为l到52,则洗牌一次相当于对{1,2,...,52}作一次如下暨换：兀）＝（1 2 3 4 5,1 272 28 3, 其中k=1,2,...,26 52)，即几）＝ ｛K，i =2K-1, 52)..''126+k,i=2k,注意到各编号在置换中的如下变化：l f l f f f i l l f f f l l l f ll➔1,2➔27今14➔33➔17➔9➔5➔3➔2,4今28今40今46今49今25➔13➔7➔4f f f f f l l f f f f f l f f f6➔29➔15➔8➔30➔41今21➔11➔,10➔31➔16➔34➔43➔22今37➔19➔lO,12➔32今42➔47今24➔38➔45➔23今12,18今35➔18,20➔36➔44➔48➔50➔51➔26今39➔20,52➔52;所有编号在连续置换中只有三种循环：一阶循环2个，二阶循环2个，八阶循环48个，注意到1,2,8的最小公倍数为8,由此可见，最少8次这样的置换即为恒等置换，故这样洗牌最少8次就能恢复原来的牌型。
2018学年第一学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科试题
2018年9月浙江省名校协作体高三联考数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，（）A.B.C.D.2.双曲线的焦距是（）A.2B.C.D.43.在中，内角所对的边长分别为，已知，，，则（）A.B.C.D.4.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A.B.4C.2D.5.已知函数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.在一个箱子中装有大小形状完全相同的3个白球和2个黑球，现从中有放回地摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为，黑球个数为，则（）A.，B.，C.，D.，7.若变量满足约束条件，则（）A.有最小值，无最大值B.有最大值，无最小值C.有最小值，最大值D.无最小值也无最大值8.已知，函数，记的最小值为，则（）A.在上是增函数，在上是减函数B.在上是减函数，在上是增函数C.在R上是奇函数D.在R上是偶函数9.已知公差为的等差数列的前项和为，若存在正整数，对任意正整数，恒成立，则下列结论不一定成立的是（）A.B.有最小值C.D.10.已知，是边（不包括端点）上的动点，将沿直线折起到，使在平面内的射影恰在直线上，则（）A.当时，两点的距离最大B.当时，两点的距离最小C.当时，两点的距离最小D.当时，两点的距离最大二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.已知，，则________，________.12.已知是虚数单位，复数满足，则_________，_________.13.已知展开式第三项的二项式系数为15，则________，含的项的系数是_________.14.已知，，则的最大值为________，的取值范围是_________.15.已知平面向量满足，，若，则的取值范围是_________.16.用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为_________.17.设函数，若对任意的实数和实数，总存在，使得，则实数的最大值是________.三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本题满分14分）已知函数的最小正周期为.（1）求的值；浙江高考墙Q Q2754808740（2）求函数在区间上的取值范围.19.（本题满分15分）如图，在三棱锥中，和均为等腰三角形，且，.（1）判断是否成立，并给出证明（2）求直线与平面所成角的正弦值.20.（本题满分15分）已知数列满足，，设数列满足.（1）求数列的前项和及的通项公式；（2）求证：.21.（本题满分15分）如图所示，已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两点，线段的中垂线交轴于点，若.（1）求点的坐标；（2）求面积的最大值.22.（本题满分15分）已知函数.（1）当时，直线是曲线的切线，求实数的值；（2）若是函数的两个极值点，且，求的取值范围.2018学年第一学期浙江省名校协作体试题模拟卷高三年级数学学科答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1-5B D A B B6-10C A D C C二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上）11．，．12．，.13．，14．，．15．16．2017．浙江高考墙Q Q2754808740三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．解：（Ⅰ）------------------2分--------------------------------------------5分由，得；-----------------------------------------7分（Ⅱ），因为，所以，------------------------------10分所以．------------------------------------------------------------14分19．解：（Ⅰ）⊥不成立，证明如下：-------------2分假设⊥，因为，且，所以面，---------5分所以，这与已知矛盾，------7分所以⊥不成立．（Ⅱ）解法1：取中点，中点，连，由已知计算得，------------9分由已知得,且，所以平面，所以平面平面，--------------12分取中点，连，则平面，从而，就是直线与平面所成的角，因为，，所以----------------------15分解法2：如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，-----------------------------------------9分设，由解得：-----------------------------11分，因为平面的法向量是，--------13分由------------15分20．解：I.由得由易得，所以两边取对数得到即……………2分又是以2为公比的等比数列，即……………………6分又………………………7分I I证法一、用数学归纳法证明：当时，左边为=右边，此时不等式成立；………8分假设当时，不等式成立，则当时，左边………10分=右边当时，不等式成立。
浙江省2018年9月浙江省名校协作体高三联考数学试题及答案
2018年9月浙江省名校协作体高三联考数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合}11|{<<-=x x P ，}20|{<<=x x Q ，=Q P （ ）A. )2,1(-B. )1,0(C. )0,1(-D. )2,1(2.双曲线1322=-y x 的焦距是（ ） A. 2 B. 22 C. 32 D. 43.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，已知45=A ，60=B ，3=b ，则=a （ ）A. 2B.6 C. 223 D. 6234.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A. 38B. 4C. 2D. 345.已知函数x x f ln )(=，则“0)(>x f ”是“0))((>x f f ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.在一个箱子中装有大小形状完全相同的3个白球和2个黑球，现从中有放回地摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X ，黑球个数为Y ，则（ ）A. )()(Y E X E >，)()(Y D X D >B. )()(Y E X E =，)()(Y D X D >C. )()(Y E X E >，)()(Y D X D =D. )()(Y E X E =，)()(Y D X D = 7.若变量y x ,满足约束条件⎩⎨⎧-≥≥-122x y x ，则y x z -=2（ ）A. 有最小值3-，无最大值B. 有最大值1-，无最小值C. 有最小值3-，最大值1-D. 无最小值也无最大值8.已知R a ∈，函数||||||)(||||a x e a x e x f x x --+-+=，记)(x f 的最小值为)(a m ，则（ ）A. )(a m 在)0,(-∞上是增函数，在),0(+∞上是减函数B. )(a m 在)0,(-∞上是减函数，在),0(+∞上是增函数C. )(a m 在R 上是奇函数D. )(a m 在R 上是偶函数9.已知公差为d 的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若存在正整数0n ，对任意正整数m ，000<⋅+m n n S S 恒成立，则下列结论不一定成立的是（ ）A. 01<d aB. ||n S 有最小值C. 0100>⋅+n n a aD. 02100>⋅++n n a a10.已知ABC ∆，D 是边BC （不包括端点）上的动点，将ABD ∆沿直线AD 折起到BD A '∆，使B '在平面ADC 内的射影恰在直线AD 上，则（ ）A. 当CD BD =时，C B ,'两点的距离最大B. 当CD BD =时，C B ,'两点的距离最小C. 当CAD BAD ∠=∠时，C B ,'两点的距离最小D. 当AD BD ⊥时，C B ,'两点的距离最大二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分， 共36分.11.已知54sin =α，),2(ππα∈，则=αcos ________，α2tan ________. 12.已知i 是虚数单位，复数z 满足i i z =+⋅)2(，则=z _________，=||z _________.13.已知nx )21(+展开式第三项的二项式系数为15，则=n ________，含2x 的项的系数是_________.14.已知R b a ∈,，222=-+ab b a ，则b a +的最大值为________，ab 的取值范围是_________.15.已知平面向量,满足5||=，5=⋅，若52||≤-，则||的取值范围是_________.16.用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为_________.17.设函数|2|)(b ax xx f ++=，若对任意的实数a 和实数b ，总存在]3,1[0∈x ，使得m x f ≥)(0，则实数m 的最大值是________.三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本题满分14分）已知函数)0(21cos sin 3cos )(2>-+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π. （1）求ω的值；（2）求函数)(x f 在区间]2,0[π上的取值范围.19.（本题满分15分）如图，在三棱锥ABC P -中，PAC ∆和ABC ∆均为等腰三角形，且90=∠=∠BAC APC ，4==AB PB .（1）判断PC AB ⊥是否成立，并给出证明； （2）求直线PB 与平面ABC 所成角的正弦值.20.（本题满分15分）已知数列}{n a 满足31=a ，n n n a a a 221+=+，设数列}{n b 满足))(1(log 2*∈+=N n a b n n .（1）求数列}{n b 的前n 项和n S 及}{n a 的通项公式； （2）求证：)2(1131211≥<-++++n n b n .21.（本题满分15分）如图所示，已知抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，),(11y x A ，))(,(2122x x y x B ≠是抛物线C 上的两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点P ，若4||||=+BF AF . （1）求点P 的坐标； （2）求PAB ∆面积的最大值.22.（本题满分15分）已知函数)()(R a x a e x f x∈+=-.（1）当0=a 时，直线kx y =是曲线)(x f y =的切线，求实数k 的值； （2）若21,x x 是函数)(x f 的两个极值点，且21x x <，求)(1x f 的取值范围.2018学年第一学期浙江省名校协作体试题模拟卷高三年级数学学科答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1-5 BDABB 6-10 CADCC二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上）11．53- ，724． 12．i 5251+.13．6，60 14．22，]2,32[-．15．⎡⎣ 16．20 17．332-4三、解答题（本大题共5小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．解：（Ⅰ）()1cos 2122x f x ω+=+-------------------2分c o s 23x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭--------------------------------------------5分由22ππω=，得1ω=；-----------------------------------------7分（Ⅱ）()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 因为[0,]2x π∈，所以22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，------------------------------10分 所以1(),12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．------------------------------------------------------------14分19．解：（Ⅰ）AB ⊥PC 不成立，证明如下：-------------2分假设AB ⊥PC ，因为AB AC ⊥，且PC AC C=，所以AB ⊥面PAC ，---------5分 所以AB PA ⊥，这与已知4PB AB ==矛盾，------7分 所以AB ⊥PC 不成立．（Ⅱ）解法1：取AC 中点O ，BC 中点G ，连,,PO OG PG ，由已知计算得2PO OG PG ===，------------9分由已知得,AC PO AC OG ⊥⊥, 且PO OG O =， 所以AC ⊥平面POG ，所以平面ABC ⊥平面POG ，--------------12分 取OG 中点H ，连BH ，则PH ⊥平面ABC ，从而，PBH ∠就是直线PB 与平面ABC 所成的角，因为PH =4PB =，所以sin 4PH PBH PB ∠==----------------------15分解法2：如图，以A 为原点，,AB AC 所在直线为,x y 轴建立空间直角坐标系， 则()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0A B C ，-----------------------------------------9分设(),,P x y z ，由()()222222222841648x y z x y z x y z ⎧++=⎪⎪-++=⎨⎪+-+=⎪⎩解得：(1,P -----------------------------11分(3,2,PB =--，因为平面ABC 的法向量是()0,0,1n =，--------13分由sin PB n PB nθ=⋅ =------------15分20．解：I.由n n n a a a 221+=+得2211121）（+=++=++n n n n a a a a 由31=a 易得0>n a ，所以两边取对数得到）（）（1log 21log )1(log 22212+=+=++n n n a a a 即n n b b 21=+ ……………2分 又02)1(log 121≠=+=a b}{n b ∴是以2为公比的等比数列，即n n b 2= 221-=∴+n n S ……………………6分又)1(log 2+=n n a b 122-=∴nn a ………………………7分 II 证法一、用数学归纳法证明：1当2=n 时，左边为261131211<=++=右边，此时不等式成立；………8分2假设当2≥=k n 时，不等式成立， 则当1+=k n 时，左边12112121121312111-++++-++++=+k k k k………10分121121211-++++<+k k k k个k k k k k 2212121+++<1+<k =右边∴当1+=k n 时，不等式成立。
【2019年2月G12联考】2018学年第二学期浙江省名校协作体高三联考 数学(含答案)
若 ，即 时
令 ，
则 ，从而
在 上单调递增，
在 上单调递减---------------------------------------------------------------14分
，即 在 上恒成立
，
而 在 上单调递增
，即 ------------------------------------------------------------15分
方法二：
如图，建立空间直角坐标系，则 ， ， ，
设
则 得
--------------------------------------------------------10分
设平面 的一个法向量为
则 ， 令 ，得
------------------------------------------------------------------------------12分
19．证明：（1）连结 ，交 于点 ，则
-------------------------------------------------------------------------------------2分
从而 面 ---------------------------------------------------------------------------3分
，从而 ------------------------------7分
（2） ，从而 ------------------------------------------------9分
----------------------------------12分
高三数学：2024届浙江名校协作体高三下学期返校考试数学答案
2023-2024学年第二学期浙江省名校协作体联考参考答案高三年级数学学科一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．+1；13．2；14．=-a 45或11a -<．四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．【解析】（1）因为=a b C 2cos ，所以=A B C sin 2sin cos ，......................................................... 2分所以+=B C B C sin()2sin cos ，所以+=B C B C B C sin cos cos sin 2sin cos ，所以-=B C B C sin cos cos sin 0，即-=B C sin()0， ............................................. 4分 因为，-∈-ππB C ()，所以=B C ； 所以△ABC 为等腰三角形； ..................................................................................... 6分 （2）由题意可知，，====a A b B c C B 2sin 2sin 2sin 2sin ， 所以△ABC 的周长为：++=+=π-+=+a b c A B B B B B 2sin 4sin 2sin(2)4sin 2sin 24sin ， .................. 8分 设，，=+∈πf B B B B 2()2sin 24sin (0)， 则=+=+-=+-'f B B B B B B B ()4cos24cos 8cos 4cos 44(cos 1)(2cos 1)2， .... 10分所以当(0)3B π∈，时，1cos 2B >，()0f B '>，()f B 单调递增；当()32B ππ∈，时，1cos 2B <，()0f B '<，()f B 单调递减；所以当3B π=时，()f B取到最大值 所以周长的最大值为 ....................................................................... 13分16．【解析】（1）取PB 中点N ，连接AN ，MN ，则MNBC ，且12MN BC =， ............................................................................... 2分 因为A D ，分别为RB RC ，的中点， 所以AD BC ，且12AD BC =， 所以ADMN 且AD MN =，所以四边形ADMN 为平行四边形， ........................................................................ 4分 所以DMAN ，又AN ⊂平面PAB ，DM ⊄平面PAB ， 所以DM平面PAB ． ............................................................................................ 7分（2）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD =AD ，AB AD ⊥，所以AB ⊥平面PAD ，又PA AD ⊥，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为原点，AB ，AD ，AP 分别为x y z ，，轴建系， ............................ 8分 设BE t =，则(002)P ，，，(020)D ，，，(20)E t ，，， 所以(022)PD =-，，，(220)DE t =-，，， 设()x y z =，，n 为平面PDE 的法向量，则 00PD DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即2202(2)0y z x t y -=⎧⎨+-=⎩， 令2y =得(222)t =-，，n . ..................................................................................... 10分 易知平面ABED 的法向量为(001)=，，m ， ......................................................... 12分 设平面PDE 与平面ABED 的夹角为θ，则2cos |cos |3θ===，n m ，解得1t =或3t =，故1BE =或3． ........................................................................ 15分 17．【解析】（1）由题意可知，X 的取值可能为4，6，8． ............................................................. 1分(4)0.50.520.5P x ==⨯⨯=； (6)0.50.50.520.25P x ==⨯⨯⨯=；(8)0.50.50.520.25P x ==⨯⨯⨯=； ......................................................................... 4分 所以三人总积分X 的分布列为X 4 6 8 P0.50.250.25所以0.540.2560.258 5.5EX =⨯+⨯+⨯=． ........................................................... 6分 （2）设事件A 为“第一局乙对丙最终乙获胜”，B 为“第一局乙对甲最终乙获胜”，C 为“第一局甲对丙而最终乙获胜”，则有：3131233213()(1)(1)(1)(1)P A p p p p p p p p p p =-+-+--； 1313211231()(1)(1)(1)(1)(1)(1)P B p p p p p p p p p p =-+---+--；21323131()(1)(1)(1)(1)P C p p p p p p p p =-+--=-； ............................................ 9分显然()()P B P C >； ................................................................................................. 11分3123321313211231()()(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)P A P B p p p p p p p p p p p p p p p p -=-+--------- 123313213(1)[(1)](1)(1)[(1)]p p p p p p p p p p =---+---- 13123321(1)[(1)(1)(1)]0p p p p p p p p =+--+-->所以 ()()P A P B >； ............................................................................................... 14分 故乙的最优指定策略是让乙和丙打第一局． ....................................................... 15分 18．【解析】（1）由题意可知，112AOB S =⨯⨯△， ............................................................ 2分所以 1p =，所以 抛物线E 的方程为22y x =. ............................................................................ 4分 （2）设112233()()()A x y B x y C x y ，，，，，，因为 O 为ABC △的重心，所以 1230AOB AOC BOC x x x S S S ++===，△△△； ....................................................... 6分 因为313||||MOC AOC S x MC S AC x x -==-△△，323||||NOC BOC S x NC S BC x x -==-△△， ................................ 10分 且1MOC NOC S S S +=△△，2AOC BOC S S S ==△△；所以 22331121212122213231212121212123()3()22(2)(2)2()x x S x x x x x x x x S x x x x x x x x x x x x x x x x --++++=+=+==--++++++； ................................................................................................................................... 12分 设 :1AB x ty =+，与22y x =联立得：2220y ty --=，所以 122y y =-， 所以 21212()14y y x x ==，则122x x +=≥； ............................................. 14分所以 12212343[)1322()S S x x =∈++，； 所以12S S 的取值范围为43[)32，. ............................................................................... 17分 19．【解析】（1）由题意可知21234()3241f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31234()1234f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ........................................... 3分 （2）【解法一】①若1234()1234f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1()f i 为恒等置换；②若存在两个不同的i ，使得()f i i =，不妨设12i =，，则1234()1243f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭．所以21234()1234f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即2()f i 为恒等置换；③若存在唯一的i ，使得()f i i =，不妨设2i =，则1234()3241f i ⎛⎫=⎪⎝⎭或1234()4213f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 当1234()4213f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，由（1）可知3()f i 为恒等置换；同理可知，当1234()3241f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，3()f i 也是恒等置换； ④若对任意的i ，()f i i ≠，则情形一：1234()2143f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭或1234()3412f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭或1234()4321f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭；情形二：1234()2341f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭或1234()2413f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭或1234()3142f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭或1234()3421f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭或1234()4123f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭或1234()4312f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭；对于情形一：2()f i 为恒等置换； 对于情形二：4()f i 为恒等置换；综上，对任意4()f i S ∈，存在k +∈N ，使得()k f i 为恒等置换； ....................... 9分 【解法二】对于任意{1234}i ∈，，，，都有1234()()()(){1234}f i f i f i f i ∈，，，，，，，所以1234()()()()f i f i f i f i ，，，中，至少有一个满足()k f i i =， 即使得()k f i i =的k 的取值可能为1，2，3，4．当i 分别取1，2，3，4时，记使得()k f i i =的k 值分别为1234k k k k ，，，， 只需取k 为1234k k k k ，，，的最小公倍数即可． 所以 对任意4()f i S ∈，存在k +∈N ，使得()k f i 为恒等置换； ......................... 9分 （3）不妨设原始牌型从上到下依次编号为1到52，则洗牌一次相当于对{1252}，，，作一次如下置换:1234552()127228352f i ⎛⎫=⎪⎝⎭，即21()262k i k f i k i k =-⎧=⎨+=⎩，，，， 其中1226k =，，，． 注意到各编号在置换中的如下变化：112271433179532428404649251374fffffffffffffffff→→→→→→→→→→→→→→→→→，，，629158304121116103116344322371910f f f f f f f f f f f f f f f f→→→→→→→→→→→→→→→→，， 123242472438452312ffffffff→→→→→→→→，183518ff→→，2036444850512639205252f f f f f f f f f→→→→→→→→→，；所有编号在连续置换中只有三种循环：一阶循环2个，二阶循环2个，八阶循环48个，注意到1，2，8的最小公倍数为8，由此可见，最少8次这样的置换即为恒等置换，故这样洗牌最少8次就能恢复原来的牌型． ............................................... 17分。
浙江省名校协作体2018届高三下学期(2月)联考数学试题(WORD版)(含答案)
2017-2018学年第二学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,10,1,A B x x C x y x y A ==->==-∈，则()A B C ⋂⋃=（ ）A ．{}2,3,4B ．{}2,3,4,5,6C ．{}0,1,2,3,4,5D ．{}3,4,52．在复平面内，复数z 和1i i-表示的点关于虚轴对称，则复数z =（ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+ D ．1122i -- 3．已知257log 8,log 20,log 28a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<4．若不等式组13220x y x y λλ≤⎧⎪≤⎨⎪-+-≥⎩表示的平面区域经过四个象限，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(),2-∞ B ．[]1,1- C ．[)1,2- D ．()1,+∞5．已知函数()32f x ax x x b =+++，下列图象一定不能表示()f x 的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知袋子中装有若干个标有数字1,2,3的小球，每个小球上有一个数字，若随机抽取一个小球，取到标有数字2的小球的概率为13，若取出小球上的数字X 的数学期望是2，则X 的方差是（ ） A ．13 B ．23 C ．83 D ．437．设函数()()()()sin 2sin 2sin 2f x a x b x c x αβγ=+++++，则“04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭”是“()f x 是偶函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且02πθ<<，已知对任意实数()1,1t ∈-，b ta +无最小值，则以下说法正确的是（ ）A ．若θ和b 确定，则a 唯一确定B ．若θ和b 确定，则a 由最大值C ．若θ确定，则a b ≥D ．若θ不确定，则a 和b 的大小关系不确定 9．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,P Q 分别是11,BD BB 上的动点，则1C PQ∆周长的最小值为（ ）A ．3 BC D ．310．已知偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当[]0,1x ∈时，()()2*,,N f x ax bx c a b c =-+∈。
浙江省届高三下学期五校联考试题数学Word版含
2018学年浙江省高三“五校联考”考试数学试题卷命题学校：绍兴一中说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间 120分钟．请考生按规定用笔将全部试题的答案涂、写在答题纸上．参照公式柱体的体公式：V=Sh ，此中S 表示柱体的底面,h 表示柱体的高；体的体公式：V=1Sh ，此中S 表示体的底面,h 表示体的高；3台体的体公式：V1 (S 1 S1S2S2)h ，此中S 1,S2分表示台体的上、下底面,h 表示台体的高；3球的表面公式： 2 ，球的体公式：V=4 3S=4πR πR ，此中R 表示球的半径；3若事件A,B 互斥, P(A+B)=P(A)+P(B)；若事件A,B 互相独立, P(A·B)=P(A)·P (B)；k若事件A 在一次中生的概率是p,n 次独立重复中事件A 恰巧生k 次的概率Pn(k)=Cn kpn-kn)⋯．, (1－p)(k=0,1,2,选择题部分（共一、选择题：本大题共 10目要求的.40分）小题，每题4分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题1.已知会合U 1,1,3,5,7,9，A{1,5}，B1,5,7，则C U (AB) （▲）A.3,9B.1,5,7C.1,1,3,9D. 1,1,3,7,9 2.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（▲ ）A.426B.46C.422D.423.已知数列{a },知足 an 1 3an,且aa a69，则n2 4log 3a 5log 3a 7log 3a 9 （▲）（第2）A.5B.6C.8D.114.已知xy0 ，则“x”是“2|x|x 22|y|y 2”的（▲）A.充足不用要条件B. 必需不充足条件C.充足必需条件D. 既不充足也不用要条件5.函数y1x e x的大概图象为（▲）1 xCy1,6.已知实数x,y知足y2x10,假如目标函数z x y的最小值为－1，则实数m等于（▲）x y m0,A．7B．5C．4D．37.已知M tan sin cos，N tan(tan82)，则M和N的关系是（▲）28A.M NB.M NC.M ND.M和N没关8.已知函数f(x)|log2x|,x0,|2f(x)m|1，且mZ，若函数g(x)存在5个零1x,x，函数g(x)0.点，则m的值为（▲）9.设a,b,c为平面向量，|a||b|2，若(2c a)(c b)0，则cb的最大值为（▲）A.2B.9C.17D.5 4410.如图，在三棱锥S ABC中，SC AC,SCB,ACB,二面角S BC A的平面角为，则（▲）A. B.SCA C.SBA D.SBA非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．已知复数z知足1+2iz2i，则z=▲，|z|=▲.12．f(x)(x2x1)(2x1)5的睁开式中各项系数的和为▲，该睁开式中的常数项为▲. x13．已知函数f(x)cos(x)(0,||)象中两相的最高点和最低点分(,1),72121)，函数f(x)的增区▲，将函数f(x)的象起码平移▲个位度后对于直(,12x称.414．一个正四周体的四个面上分有1，2，3，4，将正四周体抛两次，向下一面的数字和偶数的概率▲，两个数字和的数学希望▲.15．已知双曲x2y21(a0,b0)中，A1,A2是左、右点，F是右焦点，B是虚的上端点．若在a2b2段BF上（不含端点）存在不一样的两点P i(i1,2)，使得PA i1PA i20，双曲离心率的取范是▲.16．从0,1,2,⋯,8九个数字中取五个不一样的数成五位偶数，且奇数数字不可以放在偶数位（从万位到个位分是第一位，第二位⋯⋯），有▲个不一样的数.（用数字作答）17．已知数x,y[1,1]a,a b,，max{a,b}b.b,amax{x2y21,|x2y|}的最小▲.三、解答：本大共5小，共74分，解答写出文字明、明程或演算步. 18．（安分14分）已知ABC中，角A,B,C所的分a,b,c，且cos AsinA2.222(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)当a7,sin(A C)21，求c的. 1419．（安分15分）如，已知ABC中，ABBC7,AC1，点A平面，点B,C在平面的同，且B,C在平面上的射影分E,D，BE2CD2.(Ⅰ)求：平面ABE平面BCDE；(Ⅱ)若M是AD中点，求平面BMC与平面所成二面角的余弦.20．（此题满分15分）已知正项数列a n的前n项和为S n，知足2S n12a n2a n(nN).(Ⅰ)（i）求数列a n的通项公式；（ii）已知对于n 1111M的最小值；N，不等式S2S3M恒建立，务实数S1S n(Ⅱ)数列b n的前n项和为T n，知足42a n1T n2(n N)，能否存在非零实数，使得数列b n为等比数列？并说明原因.21．（此题满分15分）x2y21，抛物线x22y的准线与椭圆交于A,B两点，过线段AB上的动点P作斜率已知椭圆4为正的直线l与抛物线相切，且交椭圆于M,N两点.(Ⅰ)求线段AB的长及直线l斜率的取值范围；1MNQ面积的最大值.(Ⅱ)若Q（0，），求422．（此题满分15分）已知函数f(x) e x ax (Ⅰ)若f(x)0恒建立，求b.(此中e为自然对数的底数ab的最大值；)(Ⅱ)设g(x)lnx1，若F(x)g(x)f(x)存在独一的零点，且对知足条件的a,b不等式m（ae1)b恒建立，务实数m的取值会合.。
浙江省名校协作体2018-2019学年高二上学期9月联考试题数学(含答案)
2018学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若集合},032{},0{2R x x x x B y y A ∈<--=>=,那么AB = （ ▲ ）A ．)3,0(B ．),1(+∞-C ．)1,0(D ．),3(+∞2.设2554log 4,(log 3),log 5,a b c ===则 （ ▲ ） A ．b c a <<B ．a c b << C ．c b a << D ．c a b <<3.将函数x y 2cos =的图象向左平移4π个单位得到)(x f 的图象，则 （ ▲ ） A ．x x f 2sin )(= B ．x x f 2cos )(=C ．x x f 2sin )(-=D ．x x f 2cos )(-=4.函数4cos xy e x =-(e 为自然对数的底数)的图象可能是 （ ▲ ）5．设实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-,1,032,02x y x y x 则y x z -=的取值范围是（ ▲ ）A ．[2,1]--B ．]0,1[-C ．]1,1[-D ．[2,1]-6.已知1234{,,,}x x x x {0|(3)sin 1}x x x π⊆>-⋅=,则1234x x x x +++的最小值为 ( ▲ ) A.12 B.15 C.12π D.15πA. ()f x 的周期为4B. ()f x 是奇函数C. (4)0f =D. (1)f x +是奇函数 7.已知函数()tan cos f x x x =⋅，则下列说法正确的是 （▲ ）A. ()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于(,0)2π中心对称C.()f x 在区间(,)2ππ上单调递减 D.()f x 的值域为[1,1]-8.记min{,,}a b c 为,,a b c 中的最小值，若,x y 为任意正实数，令12min ,,M x y yx ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则M 的最大值是（ ▲ ）A.3B.2239.平面向量,a b 满足，()240aa b -⋅-=，3b =，则a 最大值是 （ ▲ ）A.3B. 4C. 5D. 6 10.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3341S S S -=．若11a >，则 （ ▲ ） A ．1324,a a a a << B ．1324,a a a a <>C ．1324,a a a a >< D ．1324,a a a a >>第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.）11.已知向量，若 ，则 ▲，若则 ▲．12.已知3sin()45πα+=，则3sin()4πα-=____▲____；sin2α=___▲___. 13.已知函数()1f x x x a =---，若()f x 为奇函数且非偶函数，则a =__▲___； 若()1f x >的解集为空集，则a 的取值范围为__▲____.14.已知数列{}n a 中，2111,1(2),n n a a a n -==+≥，则数列{}n a 的通项公式为___▲___； 若1223111110n n a a a a a a ++++<+++，则n 的最大值___▲___.15.已知,a b 都是正数，满足23a b +=，则2a b ab+的最小值为 ▲ .16.已知2()1,f x x x =+若()()1,(,),f a f b a b R ⋅≤∈其中则a b +的最大值为__▲___. 17.已知函数222()|2|(21)22f x x x x m x m =+---+-+有三个不同的零点，则实数m 的 取值范围是 ▲ .三、解答题（本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.（14分）已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos )m x n x x ==, 记()f x m n =⋅． (Ⅰ)求()f x 的单调递增区间；(Ⅱ)若3(),[,]10312f x x ππ=-∈--，求cos2x 的值； 19.（15分）如图所示， ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b ccb=．(Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)点D 为边AB 的中点， 2BD =，求ABC ∆面积的最大值．20.（15分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且555, 5.S a ==数列{}n b 满足12,b =-且113n n nnb b a ++-=.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n b 的通项公式.21.（15分）已知函数：),()(2R n m n mx x x f ∈++=.(Ⅰ)若0=+n m ，解关于x 的不等式x x f ≥)(（结果用含m 式子表示）； (Ⅱ)若存在实数m ，使得当[]2,1∈x 时，不等式x x f x 4)(≤≤恒成立，求负数．．n 的最小值.22.已知函数,21)(2xx x f +=b a ,均为正数. (Ⅰ)若2=+b a ，求证：;3)()(≥+b f a f (Ⅱ)若)()(b f a f =-，求：b a +的最小值.2018学年第一学期浙江省名校协作体高二数学参考答案AD1-5 ADCCD 6-10 ABDBC11.4； 12. 37,525-； 13. 1,[0,2]- ；14.n a =，119； 15.3； 16.0；17.127,13⎛⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-- 17、解：函数()y f x =有三个不同的零点即()()()222()-2-2,,21,22224,2,1f x mx m x x m x m x ⎧⎤⎡⎦⎣⎪⎨⎪⎩∈-∞-+∞=--+-+∈-有三个不同零点 则必有2220mx m +=在(),21,x ⎤⎡⎦⎣∈-∞-+∞上有一解，且()22222240x m x m --+-+=在()2,1x ∈-上有两解．由2220mx m +=在(),21,x ⎤⎡⎦⎣∈-∞-+∞上有一解得2m -≤-或1m -≥，即2m ≥或1m ≤-．由()22222240x m x m --+-+=在()2,1x ∈-上有两解转化为2222422x x mx m ++=+有两解即二次函数与一次函数相切的临界状态由()()22228420m m ∆=++-=解得127m ±127127,13m ⎛⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-∈-18. （1）31cos 21()2sin(2)262x f x x x π+=+=++． ——————2分 若()f x 单调递增，则2[2,2],622x k k k Z πππππ+∈-++∈ ————————4分解得 ()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈∴单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-++∈ ———————5分（2）由7()10f x =-知4sin(2),65x π+=- 又∵[,]312x ππ∈--，即 2[,0]62x ππ+∈-———————8分∴3cos(2)65x π+=， ——————11分 ∴334cos 2cos[(2)]66x x ππ-=+-==； —————14分19.（1sin sin BC=,所以tan 3C =故3C π=——————— 5分(2)在BCD ∆中，设BC=,,x CD y =由余弦定理知224x y xy xy +-=≥ , ———10分所以，2sin ABC BCD S S xy C xy ∆∆==⋅=≤此时 2x y == -----------15分20. ()25n a n =-Ⅰ -------------5分 （Ⅱ）当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-+-+ 232(3)3(1)3(27)3n n =-+-⋅+-⋅+-⋅记23(3)3(1)3(27)3n t n =-⋅+-⋅++-⋅则3413(3)3(1)3(29)3(27)3n n t n n +=-⋅+-⋅++-⋅+-⋅23412(3)32[333](27)3n n t n +-=-⋅+⋅++⋅--⋅ --------10分所以32123(13)227(27)313n n t n -+⋅--=-+--⋅-154(28)3n n +=---⋅所以127(4)3n t n +=+-⋅ 所以 ()12543n n b n +=+- ----------14分 当1n =时也满足 所以 ()12543n n b n +=+- ----------15分21.2()x x mx m ≤+-Ⅰ()(1)0x m x ∴+-≥ ------------------2分()()(){}21211.21101,-.11.m x R m x m x m x x m m x x x m =-∈≠-+--===>-≥≤-时，时，解得：①时，原不等式的解集为或{}11.m x x m x <-≥-≤②时，原不等式的解集为或 --- -- 7分 [][][]21,24141,2,141,2x x x mx n x nx m x xn nm x m x x x x∈≤++≤≤++≤∈-+≤≤--+∈（Ⅱ）时，恒成立，等价于对恒成立.即存在实数使得-对时恒成立.--------------11分 max min14n n x x x x ⎛⎫⎛⎫∴--+≤--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2,42nn n ∴-≤-≥-即4.n ∴的最小值为- --------------15分（注：其它做法相应给分）22222.1,0121111()()4242421322a b ab t ab t f a f b a b ab t a b ab t+⎛⎫≤==<≤ ⎪⎝⎭+=+++=-+=-+≥-+=令则 ------7分222211()2221,002a ba b a b a b ab a b a b ab+-=+-=>∴-=>Ⅱ由知2222()()4()a b a b ab a b a b+=-+=+-- -----------------10分 设x a b =-，则0x >，可设2()=()0a b g x x +>（）[][)()21222121212121212121212122()0,11,+1222()()21,2,2,()()0.g x x xx x g x g x x x x x x x x x x x x x x x g x g x x x =+∞>≥⎛⎫-=+--=-+- ⎪⎝⎭>≥∴+><∴->下证：在上递减，上递增.设121212()()0()().g x g x x x g x g x ∴>≥>><，同理，当1时， ----------13分()min 3.a b ∴+= 3131a b +-==此时, -------------15分（注：其它做法相应给分）。
2018年9月浙江省名校协作体高二联考数学试题(含解析)
1.若集合{|0}A y y =>，2{|230,}B x x x x R =--<∈，那么A B =（ ）A.(0,3)B.(1,)-+∞C.(0,1)D.(3,)+∞ 【答案】A【解析】∵2{|230,}{|13,}B x x x x R x x x R =--<∈⇒-<<∈，所以(0,3)A B =.2.设5log 4a =，25(log 3)b =，4log 5c =，则（ ） A.a c b << B.b c a << C.a b c << D.b a c << 【答案】D【解析】∵50log 31<<，∴255(log 3)log 3<.∵5log y x =递增，∴55log 3log 4<，∴b a <.∵5log 41<，4log 51>，∴ac <，综上b a c <<.3.将函数cos 2y x =的图象向左平移4π个单位得到()f x 的图象，则（ ） A.()sin 2f x x = B.()cos 2f x x = C.()sin 2f x x =- D.()cos 2f x x =- 【答案】C【解析】cos 2()cos(2)sin 242y x x x ππ=+=+=-. 4.函数4cos xy e x =-（e 为自然对数的底数）的图象可能是（ ）A. B.C. D.【解析】由于x xe e-=，cos cos()x x =-，因而()4cos 4cos()()xxf x e x e x f x -=-=--=-，所以原函数为偶函数，排除B 、D.另外0(0)4cos(0)30f e =-=-<，则函数与y 轴交点应该在负半轴上，故选C.5.设实数x ，y 满足约束条件202301x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，则z x y =-的取值范围是（ ）A.[2,1]--B.[1,0]-C.[1,1]-D.[2,1]- 【答案】D【解析】画出可行域如图所示：当目标函数z x y =-经过点(1,1)A -时,有min 2z =-； 当目标函数z x y =-经过点(1,2)B --时，有max 1z =.6.已知1234{,,,}{0|(3)sin 1}x x x x x x x π⊆>-⋅=，则1234x x x x +++的最小值为（ ） A.12 B.15 C.12π D.15π 【答案】A【解析】由(3)sin 1x x π-⋅=，得1sin 3x x π=-，设()sin y f x x π==，1()3g x x =-，则()g x 关于(3,0)成中心对称.当3x =时，(0)sin30f π==，即()f x 关于(3,0)成中心对称.作出函数()f x 和()g x 的图象如图当0x >时，要使1234x x x x +++的值最小，则两个函数前四个交点的横坐标之和最小，此时四个交点关于(3,0)成中心对称.∴此时最小值为12344312x x x x +++=⨯=. 7.已知函数()tan cos f x x x =⋅，则下列说法正确的是（ ） A.()f x 的最小正周期为π B.()f x 的图象关于(,0)2π中心对称C.()f x 在区间(,)2ππ上单调递减D.()f x 的值域为[1,1]- 【答案】B【解析】sin ,[,)2()tan cos ()sin ,()2x x k k f x x x k z x x k πππππ⎧∈+⎪⎪=⋅=∈⎨⎪-∈-+⎪⎩,其图象如下图所示：由图象知，()f x 的最小正周期为2π,图象关于(,0)2π中心对称, 在区间(,)2ππ上单调递增，值域为(1,1)-.故选B.8.记min{,,}a b c 为a ，b ，c 中的最小值，若x ，y 为任意正实数，令12min ,,M x y yx ⎧⎫=+⎨⎬⎭⎩，则M 的最大值是（ ）A.3B.2【答案】D【解析】设a x =，1b y =，212c y x b a =+=+，0a b <≤，则110a b≥>，111212b c a a a b b b a a a+-≤-=+-≤+-，∴2223b a c a b a --≤-≤，当a ≤c a ≤，此时c 最小.当0a <<0c a -≥，此时a最小，M ≤.综上，M9.平面向量a ，b 满足，2()40a a b -⋅-=，3b =，则a 最大值是（ ）A.3B.4C.5D.6 【答案】B【解析】设向量a ，b 夹角为θ，则依题意有2||3||cos 40a a θ--=，显然||0a >，则2||4cos 3||a a θ-=， ∵1cos 1θ-≤≤，∴2||4113||a a --≤≤，解得1||4a ≤≤，故a 最大值为4.10.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4331S S S =-.若11a >，则（ ） A.13a a <，24a a < B.13a a <，24a a > C.13a a >，24a a < D.13a a >，24a a > 【答案】C【解析】由4331S S S =-，得3121111a q a a q a q=-++，即 2231(1)1a q q q ++=-，∵11a >即211a >，且210q q ++>，∴310q -<<，201q <<，10q -<<，∴2311(1)0a a a q -=-<，2421(1)0a a a q q -=->，即13a a >，24a a <. 二、填空题11.已知向量(1,2)a =，(2,)b x =，若//a b ，则x = ，若a b ⊥则a b -= . 【答案】4【解析】因为//a b ，所以122x=，解得4x =.因为a b ⊥，所以220x +=，解得1x =-，所以(12)a b -=-=12.已知3sin()45πα+=，则3sin()4πα-= ；sin 2α= . 【答案】35，725-【解析】∵3()()44ππααπ++-=，sin()sin παα-=，∴3sin()sin(())sin()444πππαπαα-=-+=+，又3sin()45πα+=，∴33sin()45πα-=.∵3sin()45πα+=，∴3sin cos 25αα+=，sin cos 5αα+=，218(sin cos )25αα+=，∴7sin 22sin cos 25ααα==-.13.已知函数()1f x x x a =---，若()f x 为奇函数且非偶函数，则a = ；若()1f x >的解集为空集，则a 的取值范围为 .【答案】1-，[0,2]【解析】∵()f x 为奇函数且非偶函数，所以(0)0f =，即10x x a ---=，解得1a =-. ∵()1f x x x a =---，()1f x >的解集为空集，所以()1f x ≤恒成立，即11x x a ---≤恒成立，解得02a ≤≤，即a 的取值范围为[0,2].14.已知数列{}n a 中，11a =，2)n a n =≥，则数列{}n a 的通项公式为 ；若1223111110n n a a a a a a ++++<+++，则n 的最大值 .【答案】n a =，11915.已知a ，b 都是正数，满足23a b +=，则2a bab+的最小值为 . 【答案】3【解析】∵a ，b 为正数，且23a b +=，∴212(2)()3a b a ba b ab ab++=+ 221225()3a b abab++= 2212()1[5](45)333c b ab +=+≥+=，当且仅当a b =时，2a b ab+有最小值为3. 16.已知()f x x =()()1f a f b ⋅≤，（其中a ，b R ∈），则a b+的最大值为 . 【答案】0【解析】∵()()((1f x f x x x ⋅-=+⋅-+=，()()1f a f b ⋅≤，∴()()()()fa fb f b f b ⋅≤⋅-， ∵()||0f x x x x =+>+≥，即()0f b >，∴()()f a f b ≤-， 又∵()10f x '=->，即()f x 在R 上单调递增(也可用定义法判断)，∴a b ≤-，即0a b +≤， 故a b +的最大值为0.17.已知函数222()2(21)22f x x x x m x m =+---+-+有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是 .【答案】127(1)3-- 【解析】函数()y f x =有三个不同的零点即22222,(,2][1,)()2(22)24,(2,1)mx m x f x x m x m x ⎧--∈-∞-+∞⎪=⎨--+-+∈-⎪⎩有三个不同零点， 则必有2220mx m +=在(,2][1,)x ∈-∞-+∞上有一解， 且222(22)240x m x m --+-+=在(2,1)x ∈-上有两解. 由2220mx m +=在(,2][1,)x ∈-∞-+∞上有一解得2m -≤-或1m -≥，即2m ≥或1m ≤-.由222(22)240x m x m --+-+=在(2,1)x ∈-上有两解转化为2222422x x mx m ++=+有两解即二次函数与一次函数相切的临界状态 由22(22)8(42)0m m ∆=++-=解得13m ±=结合图象得： 127(1)3m -∈-.三、解答题18.已知向量(3sin ,1)m x =，2(cos ,cos )n x x =，记()f x m n =⋅.（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若3()10f x =-，[,]312x ππ∈--，求cos2x 的值； 【答案】 （Ⅰ）[,]()36k k k Z ππππ-++∈【解析】（Ⅰ）1cos 21()2sin(2)2262x f x x x π+=+=++. 若()f x 单调递增，则2[2,2],622x k k k Z πππππ+∈-++∈解得()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ∴单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-++∈.（Ⅱ）由7()10f x =-知4sin(2)65x π+=-， 又∵[,]312x ππ∈--，即2[,0]62x ππ+∈-∴3cos(2)65x π+=，∴4cos 2cos[(2)]6610x x ππ=+-=.19.如图所示，ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin C cB b=.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）点D 为边AB 的中点，2BD =，求ABC ∆面积的最大值.【答案】 （Ⅰ）3π（Ⅱ）【解析】sinsinBC=，所以tan C=3Cπ=.（Ⅱ）在BCD∆中，设BC x=，CD y=，由余弦定理知224x y xy xy+-=≥，所以，2sinABC BCDS S xy C xy∆∆==⋅=≤此时2x y==.20.已知等差数列{}na的前n项和为nS，且55S=，55a=.数列{}nb满足12b=-，且113nn nnb ba++-=.（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）求数列{}nb的通项公式.【答案】（Ⅰ）25na n=-（Ⅱ）125(4)3nnb n+=+-【解析】（Ⅰ）∵55S=，∴1545.52a d⨯+=，化简得121a d+=，又55a=，∴145a d+=，联立112145a da d+=⎧⎨+=⎩，解得132ad=-⎧⎨=⎩，∴25na n=-.（Ⅱ）当2n≥时，112211()()()n n n n nb b b b b b b b---=-+-+-+232(3)3(1)3(27)3nn=-+-⋅+-⋅+-⋅.记23(3)3(1)3(27)3nt n=-⋅+-⋅++-⋅，则3413(3)3(1)3(29)3(27)3n nt n n+=-⋅+-⋅++-⋅+-⋅23412(3)32[333](27)3n nt n+-=-⋅+++--⋅.所以32123(13)227(27)313n n t n -+⋅--=-+--⋅- 154(28)3n n +=---⋅.所以127(4)3n t n +=+-⋅， 所以125(4)3n n b n +=+-，当1n =时也满足，所以125(4)3n n b n +=+-.21.已知函数：2()(,)f x x mx n m n R =++∈.（Ⅰ）若0m n +=，解关于x 的不等式()f x x ≥（结果用含m 式子表示）；（Ⅱ）若存在实数m ，使得当[1,2]x ∈时，不等式()4x f x x ≤≤恒成立，求负数n 的最小值. 【答案】 （Ⅰ）略 （Ⅱ）4- 【解析】（Ⅰ）∵2x x mx m ≤+-， ∴()(1)0x m x +-≥. （1）1m =-时，x R ∈.（2）1m ≠-时，由2(1)0x m x m +--=得：11x =，2x m =-. ①1m >-时，原不等式的解集为{|1x x ≥或}x m ≤-. ②1m <-时，原不等式的解集为{|x x m ≥-或1}x ≤. （Ⅱ）[1,2]x ∈时，24x x mx n x ≤++≤恒成立， 等价于14nx m x≤++≤对[1,2]x ∈恒成立.即存在实数m ，使得14n n x m x x x--+≤≤--+对[1,2]x ∈恒成立. ∴max min (1)(4)n n x x x x--+≤--+ ∴22n n -≤-，即4n ≥- ∴n 的最小值为4-.22.已知函数21()2f x x x=+，a ，b 均为正数. （Ⅰ）若2a b +=，求证：()()3f a f b +≥；（Ⅱ）若()()f a f b -=，求：a b +的最小值.【答案】（Ⅰ）略【解析】 （Ⅰ）∵2()12a b ab +≤=，令t ab =则01t <≤. 221111()()4242421322f a f b a b ab t a b ab t +=+++=-+=-+≥-+= （Ⅱ）由221122a b a b -=+知222a b a b ab +-=，∵,0a b > ∴102a b ab -=>， 2222()()4()a b a b ab a b a b +=-+=+--.设x a b =-，则0x >，可设2()()(0)a b g x x +=> 下面证：22()g x x x=+在[0,1]上递减，[1,)+∞上递增.设121x x >≥， 22121212121212222()()()()g x g x x x x x x x x x x x -=+--=-+- ∵121x x >≥，∴122x x +>，1222x x <，∴12()()0g x g x ->. ∴12()()g x g x >，同理，当1210x x ≥>>时，12()()g x g x <.∴min ()a b +=此时，a =，b =。
浙江省部分重点中学2018届高三第二学期份联考试题数学理
绝密★启用前 试卷种类：A2018届浙江省部分要点中学高三第二学期3月联考试卷理科数学本试卷共4页，22小题，满分150分．考试时间120分钟．参照公式：球的表面积公式 棱柱的体积公式球的体积公式此中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高b5E2RGbCAP棱台的体积公式此中R 表示球的半径棱锥的体积公式此中S 1、S 2分别表示棱台的上、下底面积，p1EanqFDPwh 表示棱台的高此中表示棱锥的底面积， 表示棱锥的高假如事件互斥，那么选择题部分<共50分）注意事项：1．答题前，考生务势必自己的姓名、准考据号用黑色笔迹的署名笔或钢笔填写在答题纸上． 2．每题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。
不可以答在试卷卷上 ．DXDiTa9E3d一、选择题：本大题共10 小题，每题5分，共 50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .RTCrpUDGiT1．设全集是实数集，，若，则实数的取值范围是▲( 5PCzVD7HxA>A ．B ．C ．D ．2．当时，的值等于(▲>A ．1B ．–1C ．D ．–3．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1的正方形，俯视图是一个直径为 1的圆，那么这个几何体的全面积为 (▲>jLBHrnAILgA ．B ．C ．D ．4．、为两个确立的订交平面， a 、b 为一对异面直线，以下条件中能使a 、b 所成的角为定值的有(▲>xHAQX74J0X<1）a∥，b<2）a⊥，b∥<3）a⊥，b⊥<4）a∥，b∥，且a与的距离等于b与的距离1/10A．0个B．1个C．2个D．4个5．函数的定义域是(▲>A．B．C．D．6．设是的一个摆列，把排在的左侧且比小的数的个数称．．．为的次序数<）．如：在摆列6，4，5，3，2，1中，5的次序数为1，3的次序数为0．则在1至8这八个数字组成的全摆列中，同时知足8的次序数为2，7的次序数为3，5的次序数为3的不一样摆列的种数为(▲>LDAYtRyKfEA．48B．96C．144D．192Zzz6ZB2Ltk7．已知定义在上的函数是奇函数且知足，，数列知足，且，<此中为的前项和）。
浙江省天域全国名校协作体2023-2024学年高三下学期联考(二模)数学答案
绝密★考试结束前2023-2024学年第二学期天域全国名校协作体联考高三年级数学学科参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DACABBDC目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号 9 10 11 答案ACDBCAB三、填空题：本题共312．45︒（或4π）13．2514．5) 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．解：（1）如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O -xyz . 由题意知各点坐标如下：()()()()()1110,3,0,1,0,0,0,3,4,1,0,2,3,1,A B A B C −−因此()()()111111,3,2,1,3,2,0,23,3,AB A B AC ==−=−.................................. 3分 由1110AB A B ⋅=得111AB A B ⊥.由1110AB AC ⋅=得111AB AC ⊥. 111111111111,,A B AC A A B AC A B C 平面=⊂ 所以1AB ⊥平面111A B C . .....................................................................................6分 （2）设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ.由（Ⅰ）可知()()()110,23,1,1,3,0,0,0,2,AC AB BB ===设平面1ABB 的法向量(),,n x y z =.由10,0,n AB n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20,x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩可取()3,1,0n =−,................................................10分所以11139sin |cos ,|13AC n AC n AC nθ⋅===⋅. 因此，直线AC 1与平面ABB 1 ............................13分16．（1）由题意可知123(2)1,(4)2,(8)4a a a ϕϕϕ======， ……………4分 由题意可知，偶数与2n 不互素，所有奇数与与2n 互素， 所以1(2)2nn n a ϕ−==； .………6分（2）由（1）知1(2)2n n n a ϕ−==，所以2212(2)2n n n a ϕ−==，所以21222212log log 221(1)(1)(1)(21)(42)()244n n n nn n n n n n a b n n a −−=−=−=−−=−− .....……8分12n n S b b b =+++所以12111112()6()(46)()(42)()4444n n n S n n −=⨯−+⨯−++−⨯−+−⨯−①23111111()2()6()(46)()(42)()44444n n n S n n +−=⨯−+⨯−++−⨯−+−⨯−② .....……10分所以①-②得121511112()4[()()](42)()44444n n n S n +=⨯−+−++−−−⨯−1111[1()]111644(42)()1241()4n n n −+−−=−+⨯−−⨯−−−111111[1()](42)()2544n n n −+=−+−−−−⨯−13206105(4)n n ++=−−⨯−，…………………………13分所以62062525(4)n nn S +=−+⨯− . …………………………15分 17. （1）设双曲线C 的两渐近线方程分别为,b by x y x a a==−，点()3,2P 到双曲线两渐近线的距离乘积为22265c a b =，由题意可得：2222222265941a c b a ba cb ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪−=⎪⎩，...................………....…………………3分解得223,2a b ==，则双曲线C 的方程为22132x y −=； ............................................................................................5分（2）设直线1l的方程为(y k x =，由12,l l 互相垂直得2l的方程1(y x k=−，..............................................................................6分联立方程得2212(3x y k x y ⎧⎪⎨−==⎪⎩ 消y 得()2222216035k x x k −−−−=，0∆>成立，所以12(2M M Mx x x y k x +==== 所以点M坐标为，.............................................................................................8分联立方程得221(321x y x k y ⎧⎪⎪⎨⎪−=−⎩=⎪，所以341(2N N N x x x y x k +===−= 所以点N坐标为，..............................................................................................10分 根据对称性判断知定点在x 轴上，直线MN 的方程为N MM M N My yy y x x x x （）−−=−−，...............................................................................12分则当0y =时，2M N N M N M x y x y x y y −====−−.................................14分所以定点坐标为(−. .........................................................................................................15分 18. （1）由题意知），定义域（∞+0)(x f 当5=m 时，⎪⎩⎪⎨⎧<−+−≥−+−−+−=x x x x x x x x x x f ln 154ln ln 154154)(333，，-------------------------------------1分)1(1251250)(12500512)(154)(2'3=∞+⇒<<⇒>+−=−+−=g x g x x x g x x x g ）单调递减，且，）单调递增，（，在（令）（）单调递增，而在（令10)1(0ln )(h f x x h ==∞+= 1311(),()ln 1,(0)141644110()(),1,()0()44g h g x g x h x x g x h x ==<−=−<<>≤<>>又而所以当时，当时----------------------------------------------4分)()(1),()(10x h x f x x g x f x =≥=<<时，当时，所以当 ⎩⎨⎧≥<<−+−=1ln 10154)(3x x x x x x f ，，所以单调递减，单调递增，和，在所以)1125(),1()1250()(+∞x f21154)0)(512(0154))(512()154,(,512)(10i 003002003002003002'=−+−−+−=−+−−+−=−+−+−=<<x x x x x x x x x x y x x x M x x f x ，解得所以又此切线过原点，则此切线方程为设切点时，）当（2=−y x 即此时切线方程是- -----------------------------------------6分e e ln )0(10,ln )(1),ln ,(1)(ln )(1ii 000000000'=−=+−=+−===≥y x x x x x x x x x y x x xx f x x f x 所以此时切线方程解得又此切线过原点，所以此时切线方程设切点为所以时，）当（020e =−=−y x y x 或程是：综上所述，所求切线方----------------------------------8分有两个零点此时）），）且单调递减，，单调递增，和，在）知，由（时）当）（（)(01(,016341(10()1125(),1()1250()(15i 2x f f f f x f m =>= =+ =-----------------------11分）没有零点，）只有一个零点，（，在（所以而）时，，（所以且）递减，）递增，（，在（）知：由（时，当时，当∞+−=>∞+∈=−+−=−+−<−+−<<>1251250)(1)0(,0)(1250)1(,11251250154)(114154105)ii (333x f f x f x g x x x g mx x x x x m----------------------------------13分30,112001931)12()12(4)12(14)(,10)(,1ln )(1(1)1251200121450iii 3323<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<−=−+−=−+−=<<==≥<<<>+−='−+−=<<m m mm m m m m f mx x x f x x f x x x f x m x m x y mx x y m 得没有零点时当只有一个零点，只需要要保证只有一个零点时，当知由得此时时，）当（---------------------------------------15分1)(,014)(g ),0(0iv 3=<−+−=+∞∈≤x x f mx x x x m 只有一个零点此时时，时，当）当（()35f x m m >综上，只有一个零点时，＜或-----------------------------------------17分19. （1）记甲获胜为事件A ，甲抢到3道题为事件3A ,甲抢到2道题为事件2A ,甲抢到1道题为事件1A ,甲抢到0道题为事件0A ，............................................................................................................1分则331128P A ==()(),23231328P A C ==()(),13313013112828P A C P A ====()(),()()，...............................................................................................3分而32233111112222(|)()()()P A A C =+−=，21221111711222312P A A C =+⋅⋅−−=(|)()()()， 112221122221233332333(|)()()P A A =⋅+⋅⋅+−⋅⋅=，312032122033327(|)()()P A A C =+⋅⋅=，.................................................................................................5分 所以33221100()()(|)()(|)()(|)()(|)P A P A P A A P A P A A P A P A A P A P A A =+++113732120539.=⋅+⋅+⋅+⋅= .................................................................................................6分 52,,20)取值相互独立，12202011222020),,,)()(()x X x X x X x P X x P X P x =======41061041122201()])]()()()[(i i X P X p p =−=−= (135463105311113532222222222)()(()()]()()()()p p p p p p−−−−=−； 35，。
高中数学2018学年浙江名校协作体高三下开学考
2018学年浙江名校协作体高三下开学考一、选择题：每小题4分，共40分1. （2018学年浙江名校协作体高三下开学考1）设集合{}|23A x x =-≤<，N 是自然数集，则A N =I （ ） A ．{}2,1,0,1,2-- B ．{}0,1,2,3 C ．{}0,1,2 D ．{}1,22. （2018学年浙江名校协作体高三下开学考2）二项式6x ⎛- ⎝的展开式中的常数项是（ ）A ．15-B ．15C ．20-D ．203. （2018学年浙江名校协作体高三下开学考3）设,,αβγ是三个互不重合的平面，m ，n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（ ） A ．若,αββγ⊥⊥，则αγ⊥ B ．若,m αβα⊥⊥，则m β∥ C ．若,,m m αββα⊄∥∥，则m β∥D ．若,,m n αβαβ⊥∥∥，则m n ⊥4. （2018学年浙江名校协作体高三下开学考4）将函数sin 2y x =图像沿x 轴向左平移φ（0φ>）个单位得到函数sin 23πy x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则φ的最小值为（ ）A ．6πB ．3πC ．56πD ．23π5. （2018浙江名校协作体高三下开学考5）函数()()22ln f x x x =-的图像为（ ）6. （2018学年浙江名校协作体高三下开学考6）非零实数x ，y 满足x y xy x y xy ++=+-的充要条件是（ ） A ．0x y += B ．0xy <C ．()0x y xy +>D ．()0x y xy +≤7. （2018学年浙江名校协作体高三下开学考7）不等式组040x y x y x m +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩（0m >）表示的平面区域的面积是9，则m 的值是（ ） A ．8B ．6C ．4D ．1DCB A8. （2018学年浙江名校协作体高三下开学考8）连续掷一枚质地均匀的骰子3次，各次互不影响，记x为出现6点的次数.则D x =（ ）A ．16B ．12C ．156D ．5129. （2018学年浙江名校协作体高三下开学考9）若平面向量a r ，b r ，e r满足2a =r ，3b =r ，1e =r ，且()10a b e a b ⋅-⋅++=r r r r r ，则a b -r r的最小值是（ ）A ．1 BCD10. （2018学年浙江名校协作体高三下开学考10）在三棱锥S ABC -中，SCA θ∠=，ACB πθ∠=-，SB与AC 所成的角为α，下列判断一定正确的是（ ） A ．θα>B ．θα<C ．2πθα+≥D ．2πθα+≤二、填空题：多空题每题6分，单空题每题4分，共36分 11. （2018学年浙江名校协作体高三下开学考11）若复数1i2i 1iz -=-+，则z 的虚部为 ，z = ．12. （2018学年浙江名校协作体高三下开学考12）已知直线l 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线，1F ，2F 是双曲线C 的左、右焦点，点1F 关于直线l 的对称点在双曲线C 的另一条渐近线上，则双曲线C 的渐近线的斜率为 ，离心率e 的值为 ．13. （2018浙江名校协作体高三下开学考13）某几何体的三视图如右图所示，数量单位是cm ，则它的体积是 3cm ，表面积是 2cm ．14. （2018学年浙江名校协作体高三下开学考14）四面体S ABC -中，SA ⊥面ABC ，H 是SBC △的垂心，且AH ⊥面SBC ，则三对对棱SA 与BC ，SB 与AC ，SC 与AB 中互相垂直的有 对；若H 也是SBC △的重心，则二面角S BC A --的正弦值为 ．侧视图俯视图正视图333244215. （2018学年浙江名校协作体高三下开学考15）某校高一（16）班有5位同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，若每位同学只能参加一科兴趣小组，且每科兴趣小组都有人参加，则共有 种不同的报名办法（用数字作答）．16. （2018学年浙江名校协作体高三下开学考16）若()00,P x y 是抛物线21:4C y x =上的点，过点P 作射线PAB ，交圆()222:41C x y ++=于A ，B 两点，且2PA AB =，则0x 的取值范围是 ．17. （2018学年浙江名校协作体高三下开学考17）若正数,,a b c 满足2221a b c ab bc ++--=，则c 的最大值是 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分18. （2018学年浙江名校协作体高三下开学考18）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且222sin sin sin sin B C B C A +-=． （1）求角A 的大小；（2）若ABC △的面积1S =，求a 的最小值．HSCBA19. （2018学年浙江名校协作体高三下开学考19）四棱锥P ABCD -的底面为菱形，4AB =，60ABC ∠=︒， M 为PB 的中点，N 为BD 上一点，且13BN ND =．（1）求证：MN P 平面PAC ； （2）求证：PN ⊥平面ABCD ；（3）若5PA PC ==，PB =PN 与平面PCD 所成角的正弦值．20. （2018学年浙江名校协作体高三下开学考20）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，12a =，0n a >且21122n n n S a S ++-=-，其中*n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足23n n b a =，n T 是数列{}n b 的前n 项和．求证：54n T <．21. （2018学年浙江名校协作体高三下开学考21）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为e =，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过椭圆的右焦点F ，且2AF FB =，求直线l 的方程；（3）设O 为坐标原点，直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，若1223k k =-，求AOB △面积S 的值．PNMDB A22. （2018学年浙江名校协作体高三下开学考22）已知函数()ln a f x x x=+． （1）若函数()f x 有极值，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，若()f x 在1x x =，2x ()12x x ≠处导数相等，证明：()()1212ln 2f x f x +>+；（3）若函数()f x 在()0+∞，上有两个零点1x ，2x ()12x x ≠，证明：122x x e +>．。
浙江省浙南、浙北部分学校2018届高三第二学期3月联考试卷(数学理)
浙江省2018届浙南、浙北部分学校高三第二学期3月联考试卷理 科 数 学本试卷卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．参考公式：如果事件，互斥，那么 棱柱的体积公式如果事件，相互独立，那么其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高棱锥的体积公式如果事件在一次实验中发生的概率是，那么次独立重复实验中事件恰好发生次的概率其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高棱台的体积公式球的表面积公式球的体积公式其中分别表示棱台的上底、下底面积，其中表示球的半径表示棱台的高选择题部分<共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试卷卷上．b5E2RGbCAP 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.p1EanqFDPw 1．若复数z 与其共轭复数满足:DXDiTa9E3d 开始A．z2－2z＋2＝0 B．z2－2z－2＝0C．2z2－2z＋1＝0 D．2z2－2z－1＝02．已知，则的最小值为A．B．C．D．3．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值为A．1 B．C． D．4．袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．若A、B两个袋子中的球数之比为1:2，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，则p的值为RTCrpUDGiTA． B． C．D．5．下列四个条件：①，，均为直线；②，是直线，是平面；③是直线，，是平面；④，，均为平面. 其中能使命题“”成立的有5PCzVD7HxAA．4个 B．3个 C．2个D．1个6．设关于x的方程x2+2ax+b=0 有实数根，且两根均小于2，a≥2且|b| ≤4, 则下列说法正确的是jLBHrnAILgA．是的充要条件B．是的充分不必要条件C．是的必要不充分条件D．是的既不充分也不必要条件7．若不等式组表示的平面区域是三角形，则实数k的取值范围是A．B．或C．或 D．或8．已知为椭圆的左、右焦点，若为椭圆上一点，且的内切圆的周长等于，则满足条件的点的个数为A．4 B．2 C．1 D．0xHAQX74J0X9．现定义其中i为虚数单位，e为自然对数的底，，且实数指数幂的运算性质对都适用，若，，那么复数等于A．B．C．D．10．已知数列满足：，当且仅当n=3时最小，则实数a的取值范围为A ．<-1，3）B ．C ．<2，4）D ．非选择题部分<共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试卷卷上．2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，每小题411．若某几何体的三视图 (单位：cm>几何体的体积是________cm3． 12．若的展开式中的系数为，则的值等于。
2018学年第二学期浙江省名校协作体联考高二年级数学学科试题(开学考)含答案
12018学年第二学期浙江省名校协作体参考答案高二年级数学学科首命题：学军中学 次命题兼审校：温岭中学 审核：长兴中学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．二、 填空题: 本大题共7小题, 多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填写在答题卷的相应位置上．11．12=±y x 12． 假，真13．1(,1)2，0a ≤ 14．1215．)15,3(16.7+√21.解析：设椭圆的左焦点为1F ，则2PF PQ +≤21PF PC ++=161PF PC −++= 71+−PF PC ≤71+CF =7+√21。
当且仅当Q 为线段PC 的延长线与圆C 的交点，且P 为线段1CF 的延长线与椭圆1C 的交点时，等号成立，取到最大值。
17． 118．.()101101解Ⅰ故解得−∈=<−−<<a a B a a a (){|1}11213B x a x a B A a a a =<<+≥− ∴−≤≤ +≤Ⅱ解得由题意得为的真子集解得题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A D D B C B C B219．解：（Ⅰ）取AB 中点M ，DB 中点F ，连CM ，MF ，EF ，则 DA MF DA MF =2,//，又DA EC DA EC =2,// ，EC MF EC MF =∴,//，EFMC ∴为平行四边形，MC EF //∴。
又 ABC ∆为正三角形，M 为AB 中点，∴AB CM ⊥又 ABC DA 平面⊥，ABC CM 面⊂，∴CM DA ⊥∴ABD CM 面⊥∴ABD EF 面⊥，EBD EF 面⊂∴平面ABD ⊥平面EBD 。
（Ⅱ）法1. AD EC // ，ABC DA 平面⊥，∴ABD EC 面⊥，又MC AB ⊥ ，ME AB ⊥∴，又 ABC DA 平面⊥AB DA ⊥∴，又DA MF //MF AB ⊥∴，EMF ∠∴为二面角D AB E −−的平面角，记a EC =，在EMF ∆中，a EF a MF EFM 3,,90==°=∠，∈∠==∠∴2,0,3tan πEMF FM EF EMF 又 °=∠∴60EMF ，即二面角D AB E −−的大小为°60。
学年第二学期浙江省名校协作体联考高三年级数学学科试题 G 联考
浙江省名校协作体2019届高三第二学期联考数学一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合A ??x | ?2 ?x ? 3?，N 是自然数集，则A∩N ?( ▲ )A、??2，?1，0，1，2?B、?0，1，2，3?C、?0，1，2?D、?1，2?2.二项式6 xx ⎛-⎪⎝⎭的展开式中的常数项是( ▲ )A、?15B、15C、?20D、203.设?，?，?是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是( ▲ )A、若???，???，则???B、若???，m ??，则m / /?C、若?/ /?，m ??，m / /?，则m / /?D、若m / /?，n / /?，???则m ?n4.将函数y ? sin 2x 图像沿x 轴向左平移???? 0?个单位得到函数sin（2x＋3π）的图像，则?的最小值为( ▲ )A．6πB．3πC．56πD．23π5.函数f ?x???x2? 2?ln｜x｜的图像为( ▲ )6.非零实数x，y 满足｜x ?y｜?｜xy｜?｜x ?y ?xy｜的充要条件是( ▲ )A、x ?y ? 0B、xy ? 0C、?x ?y?xy ? 0D、?x ?y?xy ? 07.不等式组040(0)x y x y m x m +≥⎧⎪-+≥>⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积是9， 则 m 的值是 ( ▲ )A 、8B 、6C 、4D 、18.连续掷一枚质地均匀的骰子3次， 各次互不影响， 记?出现6点的次数．则D （?） ? ( ▲ )A ．16B ．12C ．156D ．5129.若平面向量a ，b ，e 满足｜a ｜? 2，｜b ｜? 3，｜e ｜?1， 且 a ?b ? e ??a ? b ??1? 0， 则｜a ?b ｜的最小值是 ( ▲ ) A 、1 B 、1343- C 、1243- D 、710.在三棱锥 S ? ABC 中， ?SCA ? ?，?ACB ? ? ?? ， SB 与AC 所成的角为? ，下列判断一定正确的是 ( ▲ )A 、?≥?B 、?≤?C ．? ?? ?2πD ．? ?? ?2π二、 填空题（本大题共 7 小题， 多空题每题 6 分， 单空题每题 4 分， 共 36 分， 把答案填在题中横线上）11.若复数121iz i i -=-+，则 z 的虚部为 ▲ ，｜z ｜? ▲ ．12.已知直线 l 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线， F 1，F 2 是双曲线 C 的左、 右焦点， 点 F 1关于直线 l 的对称点在双曲线 C 的另一条渐近线上， 则双曲线 C 的渐近线的斜率为 ▲ ， 离心率 e 的值为 ▲ ．13.某几何体的三视图如右图所示，（数量单位是 cm ） ， 则它的体积是 ▲ cm 3， 表面积是 ▲ cm 2 ．第14题14.四面体S ?ABC 中，SA ?面ABC ，H 是?SBC 的垂心，且AH ?面SBC ，则三对对棱SA与BC ，SB 与AC ，SC与AB 中互相垂直的有▲ 对；若H 也是?SBC 的重心，则二面角S ?BC ?A 的正弦值为▲ ．15.某校高一（16）班有5位同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，若每位同学只能参加一科兴趣小组，且每科兴趣小组都有人参加，则共有▲ 种不同的报名方法（用数字作答）．16.若P?x0，y0 ?是抛物线C1 : y2 ? 4x上的点，过点P作射线PAB，交圆C2 :?x ? 4?2?y2?1于A，B两点，且｜PA｜? 2｜AB｜，则x0的取值范围是▲ ．17.若正数a，b，c满足a2?b2?c2?ab ?bc ? 1，则c的最大值是▲．三、解答题（本大题共 5 小题，共74 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.三角形ABC中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且sin2 B ?sin2C ? 2 sin B sin C ? sin2 A ．（1）求角A的大小；（2）若?ABC的面积S ?1，求a的最小值．19.四棱锥P ?ABCD的底面为菱形，AB ? 4，?ABC ? 60°，M 为PB的中点，N 为BD上一点，且BN ?13ND．若PA ?PC ? 5，PB ?21。
浙江省名校协作体2018-2019学年高二下学期开学联考数学试题(解析版)
2018学年第二学期浙江省名校协作体联考高二年级数学学科试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间90分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并把答案填写在答题卷的相应位置上.1. 已知直线12:30ax y l ++=，()2:330l x a y +--=，则“2a =”是“12l l //”的（ ）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】根据直线平行的等价条件求出a 的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】当0a =时，两直线方程为：230y +=，330x y +-=，此时两直线不平行， 当0a ≠时，若两直线平行，则13323a a --=≠， 由132a a -=得232a a -=，即2320a a ，得(2)(1)0a a --=，得1a =或2a =，都满足条件133a -≠， 所以12l l //等价于“1a =或2a =”，所以“2a =”是“12l l //”充分不必要条件，故选：A ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线平行的等价条件求出a 的值是解决本题的关键．2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 43B. 1C. 23D. 13【答案】C【解析】【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【详解】根据三视图可知几何体是一个三棱锥，且底面是一个等腰三角形：底边长是2，、高是1，几何体的高是2，∴几何体的体积112212323V =⨯⨯⨯⨯=， 故选：C ．【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确还原几何体是解题的关键，考查空间想象能力． 3. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 依次是11A D 和11B C 的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为（ ）A. 35B. 45 D. 0【答案】A【解析】【分析】由两异面直线所成角的作法得：连接ED ，可得AED ∠（或其补角）为异面直线AE 与CF 所成角，再利用由余弦定理，即可得到答案．【详解】连接ED ，则//ED FC ，则AED ∠（或其补角）为异面直线AE 与CF 所成角，在ADE ∆中，设1D E a =，则AE DE ==，2AD a =， 由余弦定理得：2223cos 25AE DE AD AED AE DE +-∠==⨯⨯， 即异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为35， 故选：A ．【点睛】本题考查异面直线所成角、余弦定理，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.4. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若////m n αα，，则//m nB. 若//m n αβαβ⊂⊂，，，则//m nC. 若m n n m αβα=⊂⊥，，，则n β⊥D. 若//m m n n αβ⊥⊂，，，则αβ⊥ 【答案】D【解析】【分析】根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项．【详解】选项A 错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面；选项B 错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；选项C 错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；选项D 正确，由m α⊥，//m n 便得n α⊥，又n β⊂，βα∴⊥，即αβ⊥.故选：D .【点睛】本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简单证明， 属于基础题.5. 点()5,3M 到抛物线2y ax =的准线的距离为6，则该抛物线的方程是（ ）A. 212y x =B. 236y x =-C. 212y x =或236y x =-D. 2112y x =或2136y x =- 【答案】D【解析】【分析】根据点M 到准线的距离为1|3|64a+=，分0a >和0a <两种情况分别求得a ，进而得到抛物线方程． 【详解】当0a >时，开口向上，准线方程为14y a =-，则点M 到准线的距离为1364a +=，求得112a =，抛物线方程为2112y x =， 当0a <时，开口向下，准线方程为14y a =-，点M 到准线的距离为1|3|64a+=解得136a =-，抛物线方程为2136y x =-． 故选：D ．【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对抛物线开口方向的讨论.6. 已知点P 在直线:10l x y -+=上运动，过点P 作圆()()22:321C x y ++-=的切线，其中一个切点为A ，则线段PA 的最小值为（ ）A. B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】根据题意，由切线长公式可得||PA ==||PA 取得最小值，则||PO 取得最小值，则当直线PC 与直线l 垂直时，||PA 最小，由点到直线的距离公式求出||PC 的最小值，分析可得答案．【详解】根据题意，圆22:(3)(2)1C x y ++-=的圆心为(3,2)-，半径1r =；过点P 作圆C 的切线，切点为A ，则||PA ==，若切线长||PA 取得最小值，则||PC 取得最小值，则当直线PC 与直线l 垂直时，||PA 最小，此时||PC ==则||PA =故选：B ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．7. 如图，等边ABC ∆的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知A ED '∆是AED ∆绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（ ）A. 动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B. 恒有平面A GF '⊥平面BCEDC. 三棱锥A EFD '-的体积有最大值D. 异面直线A E '与BD 不可能垂直【答案】D【解析】【分析】【详解】由题意知，DE ⊥平面A GF '，固选项A，B 正确，对于三棱锥A EFD '-体积，其底面EFD ∆在旋转过程中面积不变，则当A G '⊥底面EFD 时，三棱锥A EFD '-体积最大，固选项C 正确，故选D.8. 已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点为()()1,00F c c ->，过点1F 作直线与圆2224a x y +=相切于点A ，与双曲线的右支交于点B ，若12OB OA OF =-，则双曲线的离心率为（ ）A. 2B. 2C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得A 是1BF 的中点，结合圆的切线的性质和中位线的性质，以及勾股定理可得22294a c a =-，即可求出离心率． 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为2(,0)F c12OB OA OF =-，12OA OB OF ∴=+，A ∴是1BF 的中点，点1F 作直线与圆2224a x y +=相切于点A ， 1OA BF ∴⊥， O 是12F F 的中点，2//OA BF ∴，12BF BF ∴⊥，2||BF a =，222221122||||||4BF F F BF c a ∴=+=-，12||2||3BF a BF a =+=，22294a c a ∴=-，22104a c ∴=，e ∴=故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质、向量的运算、双曲线的离心率等基础知识，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．9. 等腰直角OAB ∆内接于抛物线，其中O 为抛物线()2:20C y px p =>的顶点，OA OB ⊥，OAB ∆的面积为16，F 为C 的焦点，M 为C 上的动点，则OM MF的最大值为（ ）A. 3 【答案】C【解析】【分析】设等腰直角三角形OAB 的顶点()11,A x y ，()22,B x y ，利用OA OB =可求得12x x =，进而可求得4AB p =，由OAB S ∆求得P=2．做抛物线的准线，与x 轴的交点为N （-1,0），MA 垂直于准线，由抛物线的定义得|MF|=|MA|，设M 到准线的距离等于d ，化简为OM MOMF d ==【详解】设等腰直角三角形OAB 的顶点()11,A x y ，()22,B x y ，则2112y px =，2222y px =．由OA OB =得：22221122x y x y +=+，221212220x x px px -=-=∴，即()()1212++20x x x x p -=，10x >，20x >，20p >，12x x =∴，即,A B 关于x 轴对称．∴直线OA 的方程为：tan45y x x =︒=，与抛物线联立，解得00x y =⎧⎨=⎩或22x p y p =⎧⎨=⎩，故4AB p =，212442OAB S p p p ∆=⨯⨯=∴． AOB ∆面积为16，2P =∴；焦点()1,0F ，设(),M m n ，则24n m =，0m >，设M 到准线1x =-的距离等于d ，则OM MOMF d== 令1m t +=，1t >，则3OM MF =（当且仅当 3t =时，等号成立）．故OM MF 的最大值为3， 故选C ．【点睛】本题考查抛物线的性质，求得A ，B 关于x 轴对称是关键，考查抛物线的定义，基本不等式的应用，体现了换元的思想，正确运用抛物线的定义是关键，属于难题．10. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 、N 分别是直线CD 、AB 上的动点，点P 是11AC D ∆内的动点（不包括边界），记直线1D P 与MN 所成角为θ，若θ的最小值为3π，则点P 的轨迹是（ ） 的A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 抛物线的一部分D. 双曲线的一部分【答案】B【解析】【分析】 直线1D P 与MN 所成角的最小值是直线1D P 与面ABCD 所成角，即原问题转化为：直线1D P 与面ABCD 所成角为3π，求点P 的轨迹．延长1D P 交面ABCD 于点'P ，则'P 在面ABCD 内的轨迹为圆的一部分，则将点P 的轨迹转化为平面截圆柱所得曲线．【详解】直线1D P 与MN 所成角的最小值是直线1D P 与面ABCD 所成角，即原问题转化为：直线1D P 与面ABCD 所成角为3π，求点P 的轨迹．延长1D P 交面ABCD 于点'P ，因为所以'11'3D D P D D D P D =⇒=， ∴''1136D P D DD P ππ∠=⇒∠=，∴'1D P 的轨迹是以1DD 为轴的圆锥曲面的一部份，点P 是△11AC D 内的动点（不包括边界），其在面11AC D 内的轨迹，等价于平面11AC D 截圆锥所得的曲线， 取11A C 的中点O ，连接1,D O DO ，设正方体的棱长为1，'11tan ,tan 23D DO DD P ∠=∠=，∴'11D DO DD P ∠>∠， ∴平面11AC D 截圆锥所得的曲线为椭圆的一部份.故选：B ．【点睛】本题考查线面角及空间轨迹问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意判断截面与圆锥的轴所成角与圆锥母线与轴所成角的大小关系.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填写在答题卷的相应位置上.11. 双曲线22:14x C y -=的离心率是____________；渐近线方程是____________．【答案】 (1).(2). 12y x =± 【解析】【分析】【详解】试题分析： 222224,15a b c a b ==∴=+=，所以离心率e=c a =，渐近线方程为12b y x x a =±=±, 考点：本题考查双曲线的标准方程，离心率，渐近线点评：有双曲线的标准方程得到，a,b,c 求出离心率，渐近线方程12. 命题:P 若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线相切.命题P 是________（真，假）命题，命题P 的否命题是________（真，假）命题.【答案】 (1). 假 (2). 真【解析】【分析】根据直线和抛物线的位置关系，结合四种命题真假关系进行判断即可．【详解】当直线和抛物线的对称轴平行时，满足只有一个交点，但此时直线和抛物线是相交关系，即命题P 是假命题，命题的逆命题为：若直线与抛物线相切，则线与抛物线有且只有一个公共点，正确，命题的否命题和逆命题互为逆否命题，则命题的否命题为真命题，故答案为：假，真．【点睛】本题主要考查四种命题真假关系的应用，根据直线与抛物线的位置关系是解决本题的关键.13. 已知()1,R a b a b +=∈，则直线:210l ax by +-=过定点________，若直线l 不过第四象限，则实数a 的取值范围是________.【答案】 (1). 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭(2). 0a ≤ 【解析】【分析】由1a b +=得1b a =-，代入直线l 的方程中，求出直线l 所过的定点P ；由直线l 不过第四象限求出直线PO 的斜率，再利用数形结合法求出a 的取值范围．【详解】由1a b +=，得1b a =-，所以直线:210l ax by +-=可化为2(1)10ax a y +--=，即(2)10a x y y -+-=，令2010x y y -=⎧⎨-=⎩，解得121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以直线l 过定点1(2P ，1)；由直线l 不过第四象限知，1212PO k ==， 令2021a a --，解得0a ， 则实数a 的取值范围是0a ．故答案为：1(2，1)；0a ． 【点睛】本题考查直线过定点问题、直线斜率的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．14. 已知抛物线28y x =，焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为PF =________，POF S ∆=________（O 是坐标原点）.【答案】 (1). 12(2). 【解析】【分析】根据抛物线的定义与性质，写出直线AF 的方程，求出点A 的坐标，再求点P 的坐标，即可求出||PF 的值和∆POF 的面积．【详解】抛物线28y x =，焦点为(2,0)F ，准线l 方程为2x =-，由直线AF 的斜率为AF 的方程为2)y x =-， 由22)x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，可得A 点坐标为(2,- PA l ⊥，A为垂足，P ∴点纵坐标为P 点坐标为(10,，||||10(2)12PF PA ∴==--=；则∆POF 的面积为11||||222POF P S OF y ∆=⨯⨯=⨯⨯=故答案为：12， 【点睛】本题考查抛物线的定义与性质、三角形面积计算问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．15. 已知动圆22:680C x y x m +-+-=上总存在不同的两点A ，B 到坐标原点的距离都等于1，则实数m 的取值范围是________.【答案】()3,15【解析】【分析】根据题意，求出以坐标原点为圆心，半径为1的圆为221x y +=，设该圆为圆O ，由圆C 的方程分析圆心坐标和半径，分析可得若动圆22:680C x y x m +-+-=上总存在不同的两点A ，B 到坐标原点的距离都等于1，则圆O 与圆C 有2个交点，由圆与圆的位置关系分析可得答案．【详解】根据题意，以坐标原点为圆心，半径为1的圆为221x y +=，设该圆为圆O ，圆22:680C x y x m +-+-=，即22(3)1x y m -+=+，其圆心为(3,0)，半径r =则||3CO =， 若动圆22:680C x y x m +-+-=上总存在不同的两点A ，B 到坐标原点的距离都等于1，则圆O 与圆C 有2个交点，则有|1|||1CO <<，即24<<，解得315m <<，即m 的取值范围为(3,15)；故答案为：(3,15)．【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力． 16. 椭圆22:194x y C +=的右焦点为2F ，点P 为椭圆上的动点，点Q 为圆()22:41C x y +-=上的动点，则2PQ PF +的最大值为________.【答案】7+.【解析】【分析】由211||||||16||||7PQ PF PC PF CF +≤++-+，即可得出．【详解】椭圆22:194x y C +=，可得c =(0)．211||||||16||||777PQ PF PC PF CF +≤++-+==+．当且仅当1,,，C P Q F 三点共线等号成立故答案为：7．【点睛】本题考查椭圆的定义标准方程及其性质、圆的标准方程及其性质、三角形三边大小关系，考查推理能力与计算能力．17. 如图，在四面体ABCD 中，G 是BC 的中点，E ，F 满足13AE AB =，13DF DC =，设平面EGF 交AD 于点H ，则AH HD=________.【答案】1【解析】延长BD ，与GF 的延长线交于M ，延长BD ，与EH 的延长线交于N ，可得M ，N 重合，再由三角形的梅涅劳斯定理，即可得到所求值．【详解】延长BD ，与GF 的延长线交于M ，延长BD ，与EH 的延长线交于N ，由平面的基本性质的公理2可得M ，N 重合．再由BCD ∆和一条截线GFM ，由梅涅劳斯定理可得1BG CF DM GC FD MB ⋅⋅=，即为121DM MB ⋅⋅=，即12DM MB =， 同理可得BAD ∆和一条截线EHM ，由梅涅劳斯定理可得1AE BM DH EB MD HA ⋅⋅=，即为1212DH HA ⋅⋅=，可得1DH HA=， 故答案为：1．【点睛】本题考查平面的基本性质和运用、三角形的三点共线的定理，考查逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能力，求解时注意梅涅劳斯定理的运用.三、解答题：本大题共5小题，其中第18题14分，其余各题15分，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 已知集合{}13A x x =-≤≤，集合10x a B x x a ⎧⎫--=<⎨⎬-⎩⎭，a R ∈. （1）若“1B ∈”是真命题，求实数a 取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）01a <<（2）12a -≤≤【解析】（1）若“1B ∈”是真命题，则1x =满足不等式，代入进行求解即可．（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可【详解】（1）若“1B ∈”是真命题，则011a a a a -=<--，得01a <<． （2）1{|0}{|1}x a B x x a x a x a--=<=<<+-， 若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则B 是A 的真子集，即113a a -⎧⎨+⎩，即12a a -⎧⎨⎩，得12a -， 即实数a 的取值范围是12a -．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的求解，根据定义转化为集合关系是解决本题的关键．19. 如图，ABC ∆为正三角形，DA ⊥平面ABC ，//EC AD ，2DA AB EC ==.（1）求证：平面ABD ⊥平面EBD ；（2）求二面角E AB D --的大小.【答案】（1）见解析（2）60°【解析】【分析】（1）取AB 中点M ，DB 的中点F ，连结CM ，MF ，EF ，推导出EFMC 为平行四边形，从而//EF MC ，推导出CM AB ⊥，DA CM ⊥，从而CM ⊥面ABD ，EF ⊥面ABD ，由此能证明平面ABD ⊥平面EBD ． （2）推导出EC ⊥面ABD ，AB ME ⊥，DA AB ⊥，AB ME ⊥，DA AB ⊥，AB MF ⊥，从而EMF ∠为二面角E AB D --的平面角，由此能求出二面角E AB D --的大小．【详解】（1）取AB 中点M ，DB 中点F ，连CM ，MF ，EF ，则//MF DA ，2MF DA =，又//EC DA ，2EC DA =，//MF EC ∴，=MF EC ，EFMC ∴为平行四边形，//EF MC ∴.又ABC ∆为正三角形，M 为AB 中点，CM AB ∴⊥又DA ⊥平面ABC ，CM ⊂面ABC ，DA CM ⊥CM ∴⊥面ABDEF ∴⊥面ABD ，EF ⊂面EBD∴平面ABD ⊥平面EBD .（2）法1.//EC AD ，DA ⊥平面ABC ，EC ∴⊥面ABD ，又AB MC ⊥，AB ME ∴⊥，又DA ⊥平面ABCDA AB ∴⊥，又//MF DAAB MF ∴⊥，EMF ∴∠为二面角E AB D --的平面角，记EC a =，在EMF ∆中，90EFM ∠=︒，MF a =，EF =，tan EF EMF FM ∴∠==0,2EMF π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭60EMF ∴∠=︒，即二面角E AB D --的大小为60︒.【点睛】本题考查面面垂直的证明、二面角的求法、空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力．20. 已知圆22:240C x y x y a +-+-=，点()1,0P -. （1）若点P 在圆C 的外部，求实数a 的取值范围；（2）当1a =-时，过点P 的直线l 交圆C 于A ，B 两点，求ABC ∆面积的最大值及此时直线l 的斜率.【答案】（1）53a -<<（2）最大值为2，斜率2-±【解析】【分析】（1）根据题意，将圆的方程变形为标准方程，由点与圆的位置关系可得50445a a+>⎧⎨+>+⎩，解可得a 的取值范围，即可得答案；（2）当1a =-时，圆C 的方程为22(1)(2)4x y -++=，求出圆心与半径，设ACB θ∠=，则122sin 2sin 2ABC S θθ∆=⨯⨯⨯=，分析可得ABC ∆面积的最大值，结合直线与圆的位置关系可得圆心到直线l 的距离，设直线l 的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=，由点到直线的距离公式可得d ==，解可得k 的值，即可得答案．【详解】（1）根据题意，圆22:240C x y x y a +-+-=，即22(1)(2)5x y a -++=+，若P 在圆外，则有50445a a +>⎧⎨+>+⎩， 解可得：53a -<<，即a 的取值范围为()5,3-；（2）当1a =-时，圆C方程为22(1)(2)4x y -++=，圆心为(1,2)-，半径2r ， 设ACB θ∠=，则122sin 2sin 2ABC S θθ∆=⨯⨯⨯=， 当90θ=︒时，ABC ∆面积取得最大值，且其最大值为2，此时ABC ∆为等腰直角三角形，圆心到直线l 的距离d =设直线l 的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=，则有d ==2k =-±即直线l 的斜率2k =-【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用、直线过定点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．21. 两个边长均为1的正方形ABCD 与ABEF 按如图位置放置，已知二面角D AB E --成60︒，M 为BD 中点，[]()0,1FP FB λλ=∈.（1）当12λ=时，证明：//MP 面BCE ； （2）若MP 与面ABCD 所成角为30，求λ的值.【答案】（1）见解析；（2）74λ-=【解析】【分析】（1）取AB 中点为N ，DB 中点为M ，连结MN ，PN ，推导出////NP AF BE ，从而//NP 面BCE ，同理可证//NM 面BCE ，从而面//NMP 面BCE ，由此能证明//MP 面BCE ．（2）过P 作//PG AF ，交AB 于G ，过G 作//GO AD ，交BD 于Q ，连结PQ ，推导出AB GP ⊥，AB GQ ⊥，从而60PGQ ∠=︒，且平面ABCD ⊥平面PGQ ，过P 作PH GQ ⊥于H ，则PH ⊥平面ABCD ，从而HMP ∠即为MP 与平面ABCD 所成角为30，推导出PGQ ∆为等边三角形，)2PH λ=-2)λ=-，由此能求出λ的值． 【详解】（1）如图，取AB 中点为N ，DB 中点为M ，连MN ，PN ，FP FB λ=，12λ=P ∴为FB 的中点， ////NP AF BE ∴，又NP ⊄面BCE ，∴//NP 面BCE ，同理可证，//NM 面BCE ，又NM NP N =，∴面//NMP 面BCE ，又MP ⊂面NMP ，//MP ∴面BCE .（2）过P 作//PG AF 交AB 于G ，过G 作//GQ AD 交BD 于Q ，连PQ ， ABCD 与ABEF 均为正方形，∴AB GP ⊥，AB GQ ⊥，PGQ ∴∠即为二面角D AB E --的平面角，且AB ⊥面PGQ ，60PGQ ∴∠=︒，且面ABCD ⊥面PGQ ，过P 作PH GQ ⊥于H ，则PH ⊥面ABCD ，HMP ∴∠即为MP 与面ABCD 所成角为30，又60PGQ ∠=︒，且1PG GQ λ==-，PGQ ∴∆为等 边三角形，得)1PH λ=-， 又2MP MN NG GP λ=++= ∴在PHM ∆中，30PMH ∠=︒，90PHM ∠=︒，有2MP PH =，∴)22127402λλλ=⨯-⇒-+=⇒，解得：174λ=，274λ+=（舍）；74λ∴=.【点睛】本题考查线面平行的证明、满足条件的实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系，考查空间想象能力、运算求解能力．22. 已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,2M ，且右焦点为()2,0F ． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，交y 轴于点P ．若,PA mAF PB nBF ==，求证：m n +为定值；（3）在（2）的条件下，若点P 不在椭圆C 的内部，点Q 是点P 关于原点O 的对称点，试求三角形QAB 面积的最小值．【答案】（1）22184x y +=（2）见解析（3）163 【解析】【分析】【详解】（1）由题意b=2，c=2，所以28a =，椭圆C 的方程为22184x y +=． (2)设A 、B 、P 的坐标分别为()()()1122,,,,0,x y x y t ．由PA mAF =知121m x m =+，11t y m=+． 又点A 在椭圆C 上，则22211184m t m m ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得222840m m t +-+=．由PB nBF =，同理得到 222840n n t +-+=．由于A 、B 不重合，即m n ≠，故m 、n 是二次方程222840x x t +-+=的两根，所以m+n=-4，为定值．（3）依题意，直线l 的方程为12x y t +=，即()22t y x =--，与椭圆C 的方程联立，消去y 并整理，得 ()2222244160t x t x t +-+-=，()()42221642416321280t t t t ∆=-+-=+>， 所以221212224416,22t t x x x x t t-+=⋅=++，而 1212122QAB S t x x t x x ∆=⋅⋅-=⋅- ()()22222121212=4QAB S t x x t x x x x ∆⎡⎤=-+-⎣⎦()42222216166422t t t t t ⎡⎤-⎢⎥=-⎢⎥++⎣⎦()2222321282t t t +=⋅+． ()2243212t ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥+⎣⎦由已知，点P 不在椭圆C内部，得2t ，即24t ，所以2QAB S ∆的最小值为82563299⨯=，故三角形QAB 面积的最小值为163．的。
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xyOA x yOB x yOC xyO D浙江省名校协作体2018学年第二学期联考高三年级数学学科试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设集合{}|23=-<≤A x x ，N 是自然数集，则AN =( ▲ )A ．{}2,1,0,1,2--B ．{}0,1,2,3C ．{}0,1,2D ．{}1,22.二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是 ( ▲ )A ．15-B ．15C ．20-D ．203.设,,αβγ是三个互不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是 ( ▲ ) A ．若,αββγ⊥⊥，则αγ⊥ B ．若,m αβα⊥⊥，则//m β C ．若//,,//m m αββα⊄，则//m β D ．若//,//,m n αβαβ⊥，则m n ⊥4.将函数sin 2y x =图像沿x 轴向左平移()0ϕϕ>个单位得到函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像， 则ϕ的最小值为 ( ▲ ) A ．6π B ．3πC ．56πD ．23π5.函数()()22ln f x x x =-的图像为 ( ▲ )6.非零实数,x y 满足x y xy x y xy ++=+-的充要条件是 ( ▲ ) A ．0x y += B ．0xy < C ．()0x y xy +> D ．()0x y xy +≤7.不等式组()0400x y x y m x m +≥⎧⎪-+≥>⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积是9，则m 的值是 ( ▲ )A CS BH 第14题A ．8B ．6C ．4D ．18.连续掷一枚质地均匀的骰子3次，各次互不影响，记ξ为出现6点的次数．则D ξ= ( ▲ ) A ．16 B ．12 C ．156 D ．5129.若平面向量,,a b e 满足2,3,1a b e ===，且()10a b e a b ⋅-⋅++=，则a b -的最小值 是 ( ▲ )A ．1B ．1343-C ．1243-D ．710.在三棱锥S ABC -中，,SCA ACB θπθ∠=∠=-，SB 与AC 所成的角为α，下列判断一定正确的是 ( ▲ ) A ．θα> B ．θα< C ．2πθα+≥D ．2πθα+≤二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11.若复数121iz i i-=-+，则z 的虚部为 ▲ ，z = ▲ ． 12.已知直线l 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线，12,F F 是双曲线C 的左、右焦点，点1F 关于直线l 的 对称点在双曲线C 的另一条渐近线上，则双曲线C 的渐近线的斜率为 ▲ ，离心率e 的值为 ▲ ．13.某几何体的三视图如右图所示，数量单位是cm ， 则它的体积是 ▲ 3cm ，表面积是 ▲ 2cm ．14.四面体S ABC -中，SA ⊥面ABC ，H 是SBC ∆的垂心，且AH ⊥面SBC ，则三对对棱SA 与BC ，SB 与AC ，SC 与AB 中互相垂直的有 ▲ 对；若H 也是SBC ∆的重心，则二面角S BC A --的正弦值为 ▲ ． 15.某校高一（16）班有5位同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，若每位同学只能参加一科兴趣小组，且每科兴趣小组都有人参加，则共有 ▲ 种不同的报名方法（用数字作答）．16.若()00,P x y 是抛物线21:4C y x =上的点，过点P 作射线PAB ，交圆()222:41C x y ++=于,A B 两点，且2PA AB =，则0x 的取值范围是 ▲ ．17.若正数,,a b c 满足2221a b c ab bc ++--=，则c 的最大值是 ▲ ．侧视图正视图俯视图244332333第13题第21题图第19题图三、解答题（本大题共5小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且222si n s i n2s i n s i n s i n B C B C A+-=．（1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积1S =，求a 的最小值．19.四棱锥P ABCD -的底面为菱形，4,60AB ABC =∠=，M 为PB 的中点，N 为BD 上一点，且13BN ND =． （1）求证：//MN 平面PAC ； （2）求证：⊥PN 平面ABCD ；（3）若5,21PA PC PB ===，求直线PN 与平面PCD 所成角的正弦值．20.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，12a =,0n a >且21122n n n S a S ++-=-，其中n N *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足23n n b a =，n T 是数列{}n b 的前n 项和．求证：54n T <． 21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率33e =，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于,A B两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过椭圆的右焦点F ，且2AF FB =，求直线l 方程；（3）设O 为坐标原点，直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ,若1223k k =-，求AOB ∆面积S 的值．22.已知函数()ln a f x x x=+． （1）若函数()f x 有极值，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，若()f x 在()1212,x x x x x =≠处导数相等，证明：()()1212ln 2f x f x +>+； （3）若函数()f x 在()0,+∞上有两个零点()1212,x x x x ≠，证明：122x x e+>． 命题： 金华一中 衢州二中（审校） 审核：长兴中学2018学年第二学期浙江省名校协作体参考答案高三年级数学学科首命题：金华一中 次命题兼审校：衢州二中 审核：长兴中学一、选择题二、填空题11．3-， 3； 12．3±， 2； 13．932， 1863+； 14．3，63； 15．150； 16．0,356⎡⎤-⎣⎦； 17．62； 三、解答题18．解：（1）由正弦定理得：2222a bc c b =-+--------------------------2分222cos 222=-+=∴bc a c b A ，从而4π=A ------------------------------7分（2）1sin 21==A bc S ，从而22=bc ------------------------------------------------9分 4244cos 222222-≥-+=-+=∴c b A bc c b a ----------------------------------12分故122min -=a ----------------------------------------------------------------------------14分19．证明：（1）连结AC ，交BD 于点O ，则BOBNBP BM ==21 PO MN //∴-------------------------------------------------------------------------------------2分 从而//MN 面PAC ---------------------------------------------------------------------------3分 （2）连结PO ，PNPC PA = ,O 是AC 中点AC PO ⊥∴,又5==PC PA ，2=AOPB PO ==∴21，BD PN ⊥∴-------------------------------------5分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案C B C A BD D D B A且易求23=PN ，7=NC222PC NC PN =+∴，从而NC PN ⊥---------------------------------7分又N NC BD =⊥∴PN 平面ABCD ---------------------------------------------------8分（3）方法一：设N PCD d h -=，PN 与平面PCD 所成角为θ，则PNh=θsin ----------------------10分 N PCD P NCD V V --=-------------------------------------------------------------------------------12分PN S h S NCD PCD ⋅=⋅∴∆∆，计算可得33=∆NCD S ，53=PD ，113=∴∆PCD S ，又32PN = 1163=∴h ，从而1133sin =θ--------------------------------------------------------------15分方法二：如图，建立空间直角坐标系，则(0,23,0)B -，(2,0,0)C ，(0,23,0)D ，(0,3,0)N - 设000(,,)P x y z则222000222000222000(2)25(2)25(23)21x y z x y z x y z ⎧+++=⎪-++=⎨⎪+++=⎩得0000332x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ (0,3,32)P ∴---------------------------------------------------------10分设平面PCD 的一个法向量为(,,)n x y z =则00n CD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，223023320x y x y z ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩令1y =，得362x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 6(3,1,)2n ∴=------------------------------------------------------------------------------12分 记直线PN 与平面PCD 所成角为θ，则1133sin =⋅=PNn PN n θ------------15分（用其它方法解答，酌情给分！）20．解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥+=+=-++)2(222212121n S S a S S a n n n nn n)(21221n n n n a a a a +=-∴++---------------------------------------------------------------------2分0>n a ，21=-∴+n n a a )2(≥n ----------------------------------------------------------4分令1=n ，则求得42=a ，212=-∴a a21=-∴+n n a a )(*N n ∈----------------------------------------------------------------------5分故n a n 2=-----------------------------------------------------------------------------------------7分 （2）112335,444n b T b n ===<； 当2n ≥时2233441n b n n =<-()()32121n n =+-31122121n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭---------11分n n b b b T ++++=∴ (43323311111)14235572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦--------13分 531542214n =-⋅<+ 即45<n T --------------------------------------------------------------------------------------15分 21．解：（1）221c c =⇒=，133c a a =⇒= 2b ⇒= 22:132x y C ⇒+=------3分 （2）设直线1:+=ty x l联立()2222123440236x ty t y ty x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩，设),(11y x A ，),(22y x B ，则324221+-=+t t y y ，324221+-=⋅t y y -----------------5分 又122y y =-122152y y y y ⇒+=-()2121212y y y y +⇒=-212t ⇒=12t ⇒=±----------------------------------------------8分 故直线022:=-±y x l -------------------------------------------------------------------9分（3）当直线l 斜率为0时，则21k k -=，易求两点坐标分别为），（126），（126- 或），（126-），（126--，此时26=∆AOB S ------------------------------10分 当直线l 斜率不为0时，设直线m ty x l +=:联立()22222234260236x ty mt y tmy m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩则324221+-=+t tmy y ，32622221+-=⋅t m y y12121223203k k y y x x =-⇒+=，又()21221221y y tm m y y t x x +++=()()022********=++++∴m y y tm y y t ，得22232m t =+------------------------13分从而()()22222246232416m m t m t =-+-=∆26263262212122221==+=-=∴∆m m t m m y y m S AOB-------------------------------15分 21．解：（1）()()'20x af x x x -=> 0a ⇒>------------------------------------------3分 （2）1212121 2.22212111'(),'()'()x x x f x f x f x x x x x x x x ---===+=由得，即------5分 因为.42,0,212121212121>>+=≠>x x x x x x x x x x x x ，得，所以且--------7分 则.12ln 214ln 1ln 1ln 1ln )()(21221121+=+>+=+++=+x x x x x x x f x f ----8分 （3）0ln )(=+=xa x x f 即x x a ln =-，令x x x g ln )(=，则1ln )('+=x x g则函数.11),1()1,0(ln )(ee g ee x x x g -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞=单调递增，单调递减，在-------10分 令te x -=，其中0>t ，则ttt e t ee x g -ln )(==--， 212t t e t++> ，2111212ttt t tett ++=++<∴当+∞→t 时，+→0t e t ，故-0-→t e t 从而当⎪⎭⎫⎝⎛-∈-0,1e a 时有两个零点----------------------------------------------------------11分不妨设2110x e x <<<，若ex 22≥，则结论成立；若e x 22<，即⎪⎭⎫⎝⎛∈e e x 2,12时令⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x e x e x x x e g x g x h 2ln 2ln 2)()(，⎪⎭⎫⎝⎛∈e x 1,0则22ln ln )('+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x e x x h ，从而0212211)(''>⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--+=xx e x e x e x x h )('x h ∴在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上单调递增，01)(''=⎪⎭⎫⎝⎛<e h x h)(x h ∴在⎪⎭⎫⎝⎛e 1,0上单调递减---------------------------------------------------------------14分01)(=⎪⎭⎫ ⎝⎛>∴e h x h ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛->x e g x g 2)(在⎪⎭⎫⎝⎛e 10，上恒成立⎪⎭⎫⎝⎛->=∴1122)()(x e g x g x g⎪⎭⎫ ⎝⎛∈e e x 2,12 ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-e e x e 2,121而)(x g 在⎪⎭⎫⎝⎛e e 21，上单调递增122x e x ->∴，即ex x 221>+------------------------------------------------------------15分。