锐角三角函数1
锐角三角函数(1)
锐角三角函数一：【知识梳理】1.直角三角形的边角关系（如图）（1）边的关系（勾股定理）：AC 2+BC 2=AB 2；（2）角的关系：∠A+∠B=∠C=900； （3）边角关系：①：00901230C BC AB A ⎫∠=⎪⇒=⎬∠=⎪⎭②：锐角三角函数：∠A 的正弦=A a sin A=c∠的对边，即斜边；∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tan=A b∠的对边，即∠的邻边注：三角函数值是一个比值．2.特殊角的三角函数值．3.三角函数的关系(1) 互为余角的三角函数关系．sin （90○－A ）=cosA ， cos （90○－A ）=sin Atan （90○－A ）= cotA cot （90○－A ）=tanA (2) 同角的三角函数关系．①平方关系：sin 2 A+cos 2A=l ②倒数关系：tanA ·cotA=1③商数关系：sin cos tan ,cot cos sin A AA A A A==4.三角函数的大小比较(1) 同名三角函数的大小比较①正弦、正切是增函数．三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小． ②余弦、余切是减函数．三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。
(2) 异名三角函数的大小比较①tanA ＞SinA ，由定义，知tanA=a b ，sinA=a c ；因为b ＜c ，所以tanA ＞sinA②cotA ＞cosA ．由定义，知cosA=b c，cotA=b a；因为 a ＜c ，所以cotA ＞cosA ．③若0○＜A ＜45○，则cosA ＞sinA ，cotA ＞tanA ；若45○＜A ＜90○，则cosA ＜sinA ，cotA ＜tanA5.解直角三角形分类：（1）已知斜边和一个锐角解直角三角形；（2）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；（3）已知两边解直角三角形． 6.在实际问题中常用的几种角 ①俯角和仰角在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；视线在水平线下方的角叫做俯角．②坡度与坡角hα通常坡面的竖直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用字母i 表示，即lhi ==αtan ，其中α是坡面与水平面的夹角即坡角。
锐角三角函数(1)
第1课时 锐角三角函数（1）
课 前 小 测 课 堂 精 讲
课 后 作 业
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课 前 小 测
关键视点 1.如图，在 中，如果锐角A确定，那么 的对边与邻边的 比 便随之确定，这个比叫做 的 正切 ，记作 即
2.坡面的 铅直高度 与 水平宽度 的比称为坡度 (或坡比).常用来描述山的坡度.
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课 堂 精 讲
考点2 坡度 【例2】（2016闵行区一模）已知一条斜坡， 向上前进5米，水平高度升高了4米，那么坡比 为 1：0.75 .
【分析】先求出水平方向上前进的距离，然后 根据坡比=竖直方向上升的距离：水平方向前 进的距离，即可解题. 【解答】解：如图所示： AC=5米，BC=4米， 则AB= =3米， 则坡比= = =1：0.75.
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课 堂 精 讲
解：（1）tan∠BOA= = = ；
（2）点C的坐标是（﹣2，4）
类 比 精 练
1.如图，△ABC的三个顶点 都在正方形网格的格点上， 则tan∠A的值为（ B ）
A.
B.
C.
D.
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课 堂 精 讲
【分析】在正方形网格中构造一个∠A为锐角的 直角三角形，然后利用正切的定义求解. 【解答】解：如图， 在Rt△ADB中， tan A= 故选B. = .
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课 堂 精 讲
考点1 正切 【例1】如图，在平面直角坐标系中，已知点 B（4，2），BA⊥x轴于A. （1）求tan∠BOA的值； （2）将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点 C，求点C的坐标. 【分析】（1）根据正切的定义 ，对边与相邻的斜边的比，即 可求解； （2）根据图形，确定旋转以后 的位置，可以直接写出坐标.
1.1锐角三角函数(一)
驶向胜利 的彼岸
B1 B2
C2
C1
用心想一想
(1).Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关
B1C1 B2C2 (2? ). 和 系 AC1 AC2
B1
有什么关系？
(3)如果改变B2在梯子上的位置(如
B3 C3
B2
B3C3 )呢?由此你得出什么结论?A
C2
C1
用心想一想
结论：仍能得到
B1
当直角三角形中的锐角确 定之后，它的对边与邻边之 比也随之确定。
A
┌ C
小结
• 这节课，你学会了什么？
正切的定义:
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比 叫做∠A的正切,记作tanA,即
B 斜边 ┌ C
∠A的对边
A
∠A的邻边
拓展延伸
1.tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角. 2.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去 “∠”号（注意tanA不表示tan乘以A). 3.tanA是一个比值（直角边之比，注意比的顺序,且 tanA>0，无单位）. 4.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形 的边长无关. 5.角相等，则正切值相等；两锐角的正切值相等，则 这两个锐角相等.
从生活实践开始
小明在A处仰望塔顶,测得∠1的 大小,再往塔的方向前进50m到B处,又 测得∠2的大小,根据这些他就求出了 塔的高度.你知道他是怎么做的吗？ 猜一猜,这座古塔有多高?想 一想,你能运用所学的数学知识 测出这座古塔的高吗?
驶向胜利 驶向胜利 的彼岸 的彼岸
A
1
B 2
从生活实践开始
角,你能求出其它的边和角吗?
B
60米 A
1.1锐角三角函数(第1课时)课件
比值大的梯子陡.
图③
图④
知识点 1 正切的定义
B
B B2 B1
A
C2 C1 C
C
如图,B1，B2是梯子AB上的点，B1C1⊥AC，垂足为点C1，
B2C2⊥AC，垂足为点C2.小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们
的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2
及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.
应用新知，典例剖析
例1.下图表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较
陡?
A
E
4m 甲
┐ 8m α
C 甲梯
B
13 m 乙
F
β
乙梯
5m
┌
D
解:甲梯中 tan 4 1 .
82
乙梯中 tan 5 5 .
132 52 12
∵ tanα> tanβ ∴甲梯更陡
知识点 3 坡度和坡角
如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如， 有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那 么山坡的坡度i(即tanα)就是:
(3).如图 (2) tan A BC ( AB
(4).如图 (2) tan B 10 ( 7
). A
).
7┍m
C A 10m C
(1)
(2)
). (6).如图 (2)
). tan A 0.7,
( ).
(5).如图 (2) tanA = 0.7 ( ). tan A 0.7或 tan A 0.7
生活中的梯子
梯子是我们日常生活中常见的物体.
情境导入
你会比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
知识讲授
28.1锐角三角函数(1)
• 5、(2013年广东省) 在Rt△ABC中
∠ABC=90°,AB=3,BC=4,则sinA=__4_/_5_.
6、(2011 浙江湖州)如图，已知在Rt△ABC中， ∠ C＝90°，BC＝1，AC=2，则tanA的值为
_____. 1/2
• 7、（2011四川乐山）如图，在4×4的正方
形网格中，tanα= ___2__.
• 8、 （2011江苏苏州）如图，在四边形 ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若
EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于__4_/3__
是（ C ）
A、 3/4 B4/3 C3/5 D4/5
• 2、（2013•攀枝花）如图，在菱形ABCD中， DE⊥AB于点E，cosA=3/5，BE=4，则
tan∠DBE的值是 2．
• 3、（2013鞍山）△ABC中，∠C=90°， AB=8，cosA=3/4，则BC的长 ．
• 4、（2013•湖州）如图，已知在Rt△ACB 中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cosB
AC1
A
C
(3)如果梯子的倾斜角不变，
只改变B在梯子上的位置呢?
C1
想一想
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三 角 形ABC有什么关系?
B
A
C
BC
(2) AB和
B1C1
AB1,
AC AB
和
AC1 AB1
,
BC AC
和B1C1有什么关系?
AC1
(3)如果梯子的倾斜角不变，
只改变B在梯子上的位置呢?
5
cos A sin B
cosA 4 5
tan A • tan B 1
28.1锐角三角函数(1)精选
正弦 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的 对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA， B 即
A的对边 a sin A 斜边 c
斜边 A
c
a 对边
b
C
例如，当∠A＝30°时，我们有 1 sin A sin 30 2 当∠A＝45°时，我们有
2 sin A sin 45 2
当∠A＝定值；
当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 2 ，
2
也是一个固定值.
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的
对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究
∠A＝∠A‘＝ ，那么
B
任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝90°，
2 上的中线，AC=2，BC=4，则sin∠DAC=___. 2
练一练 2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大
100倍，sinA的值（ C
A.扩大100倍
）
1 B.缩小 100
C.不变
B 3.如图 A 3
D.不能确定
则 C
1 2 sinA=______
.
300 7
练习 如图，Rt△ABC中，∠C=90度，CD⊥AB， 图中sinB可由哪两条线段比求得。
B B 3 5 A
试着完成图（2）
13
C
4 C A
(1)
(2)
解：如图（），在RtABC中， 1 AB AC2 BC 2 4 2 32 5. BC 3 AC 4 因此 sin A ， B sin . AB 5 AB 5
练一练
1.判断对错:
BC √ 1) 如图 (1) sinA= （ ） AB
锐角三角函数知识点
锐角三角函数知识点锐角三角函数：一、基本概念：1、什么是锐角三角函数：锐角三角函数是一类特殊的函数，涉及到角度和角度对应的三角函数值，用于计算平面向量在多边形中和求解三角形的面积。
2、锐角三角函数的定义：锐角三角函数是基于角度θ，从而定义的三角函数值。
一般情况下，它用半圆线直叙指函数如下所示：sinθ，cosθ，tanθ，cotθ，secθ，cscθ。
3、锐角三角函数的基本关系：cosθ= sin (π/2-θ)；sinθ= cos (π/2-θ)；tanθ=cot (π/2-θ)；cotθ=tan (π/2-θ)；secθ=csc(π/2-θ)；cscθ=sec (π/2-θ)。
二、圆周角：1、什么是圆周角：圆周角是指以圆等分线在a轴上的量度，即由圆心和两个点确定的弧的长度。
圆周角定义在一个圆的周围，与半径的长度有关，可以用角度μ来表示。
2、单位：圆周角的单位是弧度rad，又称为radian，表示当一个圆的半径为1时，圆周角的长度。
三、锐角的余弦定理：1、锐角余弦定理是用弦和角定义的三角形问题，可以求解共有三角形A、B、C三个锐角所对应边长a、b、c满足关系：a²=b²+c²-2bc cosA；b²=a²+c²-2ac cosB；c²=a²+b²-2ab cosC。
2、此外，锐角余弦定理也可以利用三角形所有边长求解A、B、C三个锐角所对应的角度值，记为A=cos-1[(b²+c²-a²)/2bc]；B=cos-1[(a²+c²-b²)/2ac]；C=cos-1[(a²+b²-c²)/2ab]。
四、锐角的正弦定理：1、锐角正弦定理是求解三角形的已知一边和两个对边角的问题，满足条件如下：a=b sinA/sinB；b=a sinB/sinA；c=a sinC/sinA，c=bsinC/sinB。
锐角三角函数(全)
锐角三角函数（1）一．问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是︒30，为使出水口的高度为m 35，求需要准备多长的水管？探究：如图，ABC Rt ∆与C B A Rt '''∆中，︒='∠=∠90C C ，A A '∠=∠，探究AB BC 与B A C B ''''的关系结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比是一个固定值.※在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦.记作A sin 如图，AB BC c a A A A ==∠∠=的斜边的对边sin 同理：ABAC c b B B B ==∠∠=的斜边的对边sin 二．例题与练习：1.例题：如图，在ABC Rt ∆中, ︒=∠90C ，求A sin 和B sin 的值.2.练习：1.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则αsin 的值是﹙ ﹚A ．43B ．34C ．53 D ．54 2.如图，在ABC Rt ∆中, ︒=∠90C ，若5=AB ，4=AC ，则A sin 的值是（ ）A ．53 B ．54 C ．43 D ．34 3.在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，2=BC ，32sin =A ，则边AC 的长是( ) A ．13 B ．3 C ．34 D ．5 4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且5=AB ，3=BC ．则BAC ∠sin = ；ADC ∠sin = .5．在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥于点D .已知5=AC ，2=BC ，那么ACD ∠sin 的值为（ ）AB ．23 CD--1--α三．在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的邻边与斜边的比是一个固定值，∠A 的对边与邻边的比是一个固定值，※在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦.记作A cos 如图，AB AC c b A A A ==∠∠=的斜边的邻边cos 同理：ABBC c a B B B ==∠∠=的斜边的邻边cos ※在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切.记作A tan如图，AC BC b a A A A ==∠∠=的邻边的对边tan 同理：BC AC a b B B B ==∠∠=的邻边的对边tan 四．例题与练习：例题：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，6=BC ，53sin =A ，求A c os ，B tan 的值.练习：1.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值2.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，8=AC ，43tan =A ，求A sin 、B cos 的值五．课后作业：1.在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，a ，b ，c 分别是A ∠、B ∠、C ∠的对边，则有（ ）A ．A a b tan ⋅=B ．A c b sin ⋅=C ．B c a cos ⋅=D ．A a c sin ⋅=2. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，如果54cos =A ，那么B tan 的值为（ ） A ．53 B ．45 C ．43 D ．343．如图：P 是α∠的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4）， 则αcos =______.4.分别求出图中A ∠、B ∠的正弦值、余弦值和正切值（B 层）在ABC ∆中，a AB =，b AC=，α=∠A ，求ABC ∆的面积（用含有字母a ，b ，α的式子表示）--2—三 角 函 数（2）一．探究：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C .⑴如图1，︒=∠30A ，求A sin 、A cos 、A tan 的值；⑵如图1，︒=∠60B ，求B sin 、B cos 、B tan 的值；⑶如图2，︒=∠45A ，求A sin 、A cos 、A tan 的值；二．结论：1.完成表格：2.⑴A ∠的正弦值随着A ∠的角度的增大而 .⑵A ∠的余弦值随着A ∠的角度的增大而 .⑶A ∠的正切值随着A ∠的角度的增大而 .三．例题与练习：例题1：求下列各式的值：⑴︒+︒60sin 60cos 22 ⑵︒-︒︒45tan 45sin 45cos例题2：⑴如图1, 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ,6=AB ，3=BC ，求A ∠的度数.⑵如图2，已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 的3倍,求α.练习：1.求下列各式的值：⑴ ︒︒-30cos 30sin 21 ⑵ ︒+︒-︒60sin 245tan 30tan 3 ⑶︒+︒+︒30tan 160sin 160cos2. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ,7=BC ，21=AC ，求A ∠、B ∠的度数.四．课堂检测：计算：︒︒+︒+︒45sin 30sin 245cos 60cos 221.将B B sin 23cos 21+改写成下列形式的式子，其中错误的是（ ） A. B B sin 30cos cos 30sin ︒+︒ B. B B sin 60sin cos 30sin ︒+︒C. B B sin 30cos cos 60cos ︒+︒D. B B sin 30sin cos 60cos ︒+︒2. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ,3:=b a ，则A sin 的值是（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 33 3.在ABC ∆中，A ∠、B ∠都是锐角，且21sin =A ，23cos =B ，则ABC ∆的形状为（ ） A. 直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 4.化简()2130tan -︒的结果为（ ） A.331- B.13- C. 133- D. 31- 5.已知03sin 2=-α，则锐角α的度数为 . 6.已知B ∠是锐角，若212sin =B ，则B tan 的值为 . 7. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ,23sin =B ，则A cos 的值为 . 8.已知()2390sin =-︒α，则锐角α的度数为 . 9. 求下列各式的值：⑴︒+︒-︒+︒+︒30cos 60tan 45tan 60sin 230tan 22 ⑵︒-︒+︒+︒-︒30sin 30cos 30tan 4345sin 60cos 22210. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ,3tan =A ，且cm AB 10=，求AC 、BC 的长.11.如图，一块为ABC ∆的空地，m AC 10=，m BC 30=，︒=∠150C ，现在这块空地上种植每平方米a 元的草皮，求购买这种草皮至少需要多少钱？（B 层）12.如图，A ，B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地须经C 地沿折线A →C →B 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶.已知km AC 10=，︒=∠30A ，︒=∠45B ，求开通隧道后，汽车从A 地到B 地比原来少走多少千米？（结果保留根号）锐角三角函数（3）一．例题与练习：例题1：用计算器计算下列锐角三角函数值（精确到0.0001）⑴︒20sin ⑵︒70cos ⑶2315sin '︒ ⑷8274cos '︒ ⑸83tan '︒ ⑹345280tan '''︒由⑴→⑷你能得到的猜想为 ，请利用下图验证你的猜想练习：用计算器计算下列锐角三角函数值（精确到0.0001）⑴︒35sin ⑵︒55cos ⑶4237sin '︒ ⑷8221cos '︒ ⑸0236tan '︒ ⑹7175tan '︒例题2：已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角⑴6275.0sin =A ⑵6252.0cos =A ⑶8425.4tan =A练习：⑴0547.0sin =A ⑵1659.0cos =A ⑶8816.0tan =A⑷9816.0sin =A ⑸8607.0cos =A ⑹1890.0tan =A例题3：如图，要焊接一个高m 5.3，底角为︒32的人字形钢架，约需要多长的钢材（结果保留小数点后两位）练习：如图，一块平行四边形木板的两条邻边AD 、BC 的长分别为cm 31.62和cm 24.35，它们之间的夹角B ∠为0435'︒，求这块木板的面积（结果保留小数点后两位）二．课堂检测：1.求下列锐角三角函数值（精确到0.0001）：⑴0325sin '︒= ； ⑵8162cos '︒= ； 0526tan '︒= .2. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角⑴4723.0sin =A ，A ∠= ；⑵3812.0cos =A ，A ∠= ；⑶94.15tan =A ，A ∠= ；--5--三．课后练习：1．计算︒+︒30tan 360sin 2的值为（ ）A ．3B ．32C ．33D ．342．在ABC Rt ∆中，各边的长度都扩大4倍，那么锐角B ∠的正切值（ ）A ．扩大4倍B ．扩大2倍C ．保持不变D ．缩小4倍3．已知α为锐角，3tan =α，则αcos 等于（ ）A ．21 B ．22 C ．23 D ．33 4．如果等腰三角形的底角为︒30，腰长为6cm ，那么这个三角形的面积为（ ） A ．4.52cm B ．392cm C ．3182cm D ．362cm5．ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，cm b 5=，cm a 12=，则B cos 等于（ ）A ．125B ．125cmC ．1312D ．1312cm 6.已知7415926.0cos =α，则α∠的度数为（ ）A ．︒40B ．︒41C ．︒42D ．︒437.已知5761.0cos =A ，则≈∠A ；若21.15tan =A ，则≈∠A ；若3562.0s i n =A ，则≈∠A ；8.某人沿倾斜角为︒25的斜坡前行了100m ，则他上升的最大高度为 （精确到0.01m ） 9．计算：⑴ ︒︒-︒60sin 45sin 660cos 2 ⑵︒+︒︒-︒45tan 2160cos 30sin 45cos10. 已知：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，CD 是高，cm BC 10=，653'︒=∠B ，•求CD 、AC 、AB ．（精确到1cm ）（B 层）1.要求︒30tan 的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算：作ABC Rt ∆，使︒=∠90C ，斜边2=AB ，直角边1=AC ，那么3=BC ，︒=∠30ABC ，333130tan ===︒BC AC ，在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，可求出︒15tan 的值，请简要写出你添加的辅助线和求出︒15tan 的值．2.如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连接OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在点A '的位置，若5=OB ，21tan =∠BOC ，求点A '的坐标--6--锐角三角函数（4）一．问题：如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足︒≤≤︒7550α，现有一个长m 6的梯子，问：⑴使用这个梯子最高可以攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？⑵当梯子底端距离墙面m 4.2时，这个人是否能够安全使用这个梯子？二．解直角三角形：在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，由⎩⎨⎧AB AC 得⎪⎩⎪⎨⎧∠∠BC A B 或由⎩⎨⎧∠AB A 得⎪⎩⎪⎨⎧∠BC AC B 三．例题与练习：例题1：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，2=AC ，6=BC ，解这个直角三角形.练习：如上图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，30=BC ，20=AC ，解这个直角三角形.例题2：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，︒=∠35B ，20=AC ，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）.练习：如上图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，︒=∠72A ，14=AB ，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）.四．课堂检测：在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 和c ，若20=c ，210=b ，解这个直角三角形--7--五．课后作业：1．在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 和c ，根据下列条件解直角三角形.⑴33=a ，6=c ⑵36=a ，︒=∠30B ⑶10=c ，6=b2．在ABC ∆中，BC AD ⊥于点D ，且︒=∠30B ，︒=∠45C⑴若5=AD ，求BC 的长 ⑵若BC =15，求AD 的长3．为了测量塔高，小龙在距塔的中心点B 50米的C 处，用测角器量得仰角为︒40，已知测角器的高度为1.52米，求塔高AB 的长.（精确到0.1米）4.如图所示，在离铁塔150米的A 处用测角仪测得塔顶仰角2126'︒=∠BAC ，已知仪器高5.1=AD 米，求铁塔高BE .（精确到0.1米）5．如图所示，从某海岛上的观察所A 测得海上某船只B 的俯角为818'︒=α，若观察所A 与海面的垂直高度50=AC 米，求船只B 到观察所的水平距离。
锐角三角函数
关系式
李善兰三角函数展开式 tanα·cotα=1 希腊三角函数公式 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 1+(tanα)^2=(secα)^2 1+(cotα)^2=(cscα)^2 锐角三角函数诱导公式 直角三角形中的锐角三角形函数sin（－α）=－sinα cos（－α）=cosα tan（－α）=－tanα
三角函数值
取值范围
特殊角
变化情况
特殊角的三角函数值如下 ： 注：非特殊角的三角函数值，请查三角函数表
θ是锐角： 0 0 tanθ>0 cotθ>0
1.锐角三角函数值都是正值。 2.当角度在0°～90°间变化时， 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） ； 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 正割值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余割值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。 3.当角度在0°≤A≤90°间变化时，0≤sinA≤1, 0≤cosA≤1；当角度在0°0。
锐角三角函数
数学函数
01 相关概念
03 关系式
目录
02 三角函数值
锐角三角函数是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。我们把锐角∠A的正弦、余弦、正切和余切都叫做 ∠A的锐角函数。
相关概念
图1直角三角形锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割 （csc）都叫做角A的锐角三角函数。初中学习的锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初 中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到如图1所示的直角三角形中，则 锐角三角函数可表示如下：
28.1锐角三角函数
感悟新知
知3－练
例 7 (1)已知α=45°，求2sin2α－2 2 sinα·tanα+tan2α；
(2)计算
1 4
tan2
45＋
sin
1 2 30
－3 cos2
30－
sin cos
45 45
.
解题秘方：用“代入法”求值.
感悟新知
解:(1)原式 2 sin－tan 2
2
(4)sin2A 表示sin A·sin A=(sin A)2，不能写成sin A2；cos2A 表示cos A·cos A=(cos A)2，不能写成cos A2；tan2A 表示 tan A·tan A=(tan A)2，不能写成tan A2.
感悟新知
特别提醒
知1－讲
1. 正弦、余弦、正切都是一个比值，是没有单位的数
AB 3k 3k
AB 3k 3
tan B AD 2 2k 2 2. BD k
感悟新知
知1－练
3-1. 将一副三角尺(Rt△ ABC 与Rt△BDC)按如图所示的方 式摆放在一起，连接AD， 试求∠ ADB 的正切值.
感悟新知
解：过点 A 作 AM⊥DB，交 DB 的延长线于点 M. 知1－练
3
sin A－sin B的值.
知2－练
，求
解：∵sinA＋sinB＝43，∴(sinA＋sinB)2＝196.
∴sin2A＋sin2B＋2sinA·sinB＝196.
∵∠A＋∠B＝180°－∠C＝90°，∴sinB＝cosA，
感悟新知
∴sin2A＋cos2A＋2sinA·sinB＝196， ∴1＋2sinA·sinB＝196，∴2sinA·sinB＝79， ∴sin2A＋sin2B－2sinA·sinB＝1－79＝29， ∴(sinA－sinB)2＝29，∴sinA－sinB＝± 32.
锐角的三角函数PPT
余弦函数的符号为cos，表示为cos(θ)， 其中θ为锐角。
02
余弦函数的图像是一条周期为2π的余弦 曲线，表示在直角三角形中，邻边的长 度与斜边的长度的比值在[-1,1]之间周 期性变化。
04
正切函数的定义
01
正切函数：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
02
正切函数的定义域：(0, π/2)
余弦函数的值域：[-1, 1]
余弦函数的图像：一个周期为2π的周 期函数，图像关于y轴对称
余弦函数的奇偶性：偶函数，f(x) = f(-x)
余弦函数的单调性：在[0, π/2]上是 增函数，在[π/2, π]上是减函数
余弦函数的导数：f'(x) = -sin(x)
正切函数的性质
01
02
03
04
05
值域：正弦函数的值域是[-1, 1]
奇偶性：正弦函数是奇函数， 即f(x) = -f(-x)
周期性：正弦函数的周期是 2π，即f(x + 2π) = f(x)
最值：正弦函数的最大值是1， 最小值是-1
图像：正弦函数的图像是一 条正弦曲线，关于原点对称
余弦函数的性质
定义：余弦函数是直角三角形中的一 个角与对边和斜边的比值
03
正切函数的值域：(0, ∞)
04
正切函数的图像：在平 面直角坐标系中，正切 函数的图像是一条以原 点为中心的对称曲线， 在y轴右侧的部分为单调 递增，在y轴左侧的部分 为单调递减。
Part Two
锐角三角函数的性 质
正弦函数的性质
定义：正弦函数是直角三角 形中的一个角（锐角）的正 弦值与对边长度的比值
06
正切函数是锐 角三角函数中 的一种，表示 在一个直角三 角形中，对边 （opposite） 的长度与邻边 （adjacent） 的长度之比。
1.1锐角三角函数第1课时正切(教案)
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
-正切表的使用：学会查找和利用正切表解决实际问题，这是进行进一步三角函数学习的基础。
-正切函数性质的探索：了解正切函数的周期性、奇偶性等性质，为学习其他三角函数性质打下基础。
举例：通过具体的直角三角形图形，引导学生理解正切值是如何计算的，以及如何判断正切值的正负。
2.教学难点
-正切概念的内化：学生需要将正切概念从具体的直角三角形中抽象出来，内化为一般的数学定义。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正切函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对正切的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了锐角三角函数中的正切概念。我发现学生们对于正切的定义和应用有着不错的理解和接受度，但在具体的计算和应用中，还存在一些困难。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加注重以下几个方面：
1.1锐角三角函数第1课时正切（教案）
一、教学内容
《人教版八年级下册数学》第十章“锐角三角函数”第1课时“正切”。本节课主要内容包括以下部分：
1.理解正切的概念：通过对直角三角形的观察，引导学生发现锐角与对边、邻边的比值关系，引出正切函数的定义。
第1节 锐角三角函数
第二十八章 锐角三角函数 第一节 锐角三角函数一、课标导航二、核心纲要1．锐角三角函数的概念（1）定义：在Rt △ABC 中，锐角A 的正弦、余弦和正切统称为锐角A 的三角函数． （2）如下图所示，在Rt △ABC 中，∠C =90°，①正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即sinA =A ac =∠的对边斜边．②余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ，即cosA =A bc=∠的邻边斜边．③正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A ，即tanA =A aA b=∠的对边∠的邻边．注：（1）锐角三角函数没有单位．（2）锐角三角函数值只与角的大小有关，与直角三角形的大小和位置无关．（3）sin A 是一个整体符合，即表示∠A 的正弦，习惯省去角的符号“∠”，但不能写成sin ·A ，三个大写字母表示一个角时，角的符号“∠”不能省略，如sin ∠BA C ．（4）当0°＜∠A ＜90°时，0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0. 2．特殊角的三角函数（如下表所示）注：特殊角的锐角三角函数值的记忆方法（1）数形结合记忆法如下左图、中图所示，有定义可得各角的三角函数值．（2）增减规律记忆法①sin a的值随着a的增大而增大，依次为：222，，．②cos a的值随着a的增大而减小，依次为：222，，．③tan a的值随着a的增大而增大，依次为：31．3．锐角三角函数之间的关系如下右图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）互余关系：sin A=cos（90°－∠A）=cos B，cos A=sin（90°－∠A）=sinB．（2）平方关系：sin 2A+cos2A=1．（3）倒数关系：tan A·tan B=1．（4）商数关系：sintancosAAA=．4．通过构造合适的图形，求15°和75°的三角函数值（如下表所示）5．求三角函数值的常用方法 ①根据特殊角的三角函数值求值． ②借助边的数量关系求值． ③借助等角求值． ④根据三角函数关系求值．本节重点讲解：一个概念，一个特殊值，一个方法．三、全能突破基 础 演 练1．（1）在△ABC 中，∠C =90°，cos B =25，AB =15，则BC 的长为（ ）．A ．B ．C ．6D ．23（2）在Rt △ABC 中，∠C =90°，若BC =1，AB ，则tan A 的值为（ ）．A ．5B ．5C ．12D ．22．如图28－1－1所示，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，sin A =35，则这个菱形的面积为 （ ）cm 2．A ．40B ．60C ．80D ．1003．在平面直角坐标系中，已知点A （2，1）和点B （3，0），则sin ∠AOB 的值等于（ ）．A ．5B ．2C ．2D ．124．如图28－1－2所示，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，若AC =AB =，则tan ∠BCD 的值为（ ）．AB ．2C ．3D ．35．点A （sin30°，－tan30°）关于原点对称点A 1的坐标是 ．6．在△ABC 中，若∠A 、∠B 满足|cos （A －15°－12|+（sin B ）2=0，则∠C = ．7．计算：201cos 60tan 30sin 60cos 45cos30sin 30tan 60-?胺??+??°（）（）．8．如图28－1－3所示，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，CD ⊥AB ，垂足为点D ，F 是AC 的中点，OF 与AC 相交于点E ，AC =8cm ，EF =2cm ．（1）求AO 的长． （2）求sin C 的值．能 力 提 升9．已知a 为锐角，且1sin 22a <<，则a 的取值范围是（ ）． A ．0°＜a ＜30° B ．60°＜a ＜90° C ．45°＜a ＜60° D ．30°＜a ＜45° 10．直线y =2x 与x 轴正半轴的夹角为a ，那么下列结论正确的是（ ）． A ．tan a =2B ．cot a =2C ．sin a =2D ．cos a =211．如图28－1－4所示，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF =2，BC =5，CD =3，则tan C 等于（ ）．A ．34B ．43C ．35D ．4512．在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 的对边是a 、b ，且满足a 2－ab －b 2=0，则tan A =（ ）．A ．1B ．2C ．12- D ．12± 13．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将图28－1－5所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，这样就可以求出67.5°角的正切值是（ ）．A 1B 1+C ．2.5D 14．（1）如图28－1－6所示，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点都在图中相应的格点上，则sin ∠A 的值为 ．（2）如图28－1－7所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值是 ．．．15．（1）如图28－1－8所示，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径为32，AC =2，则cos B 的值为 ．（2）如图28－1－9所示，已知△ABC 的外接圆⊙O 的半径为1，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则sin ∠BAC 的值等于线段 的长．16．如图28－1－10所示，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB 的垂直平分线与BC 、AB 的交点分别为D 、E ．（1）若AD =10，sin ∠ADC =45，求AC 的长和tan B 的值． （2）若AD =1，∠ADC =a ，参考（1）的计算过程直接写出tan 2a的值（用sin a 和cos a 的值表示）．17．已知a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，关于x 的一元二次方程a （1－x ）2+2bx +c （1+x 2）=0有两个相等的实数根，且3c =a +3b ．（1）判断△ABC 的形状． （2）求sin A ·sin B 的算术平方根．18．当0°＜a ＜60°时，下列关系式中有且仅有一个正确．A ．2sin （a +30°）=sin aB ．2sin （a +30°）=2sin aC ．2sin （a +30°）a +cos a （1）正确的选项是 ．（2）如图28－1－11（a ）所示，在△ABC 中，AC =1，∠B =30°，∠A =a ，请利用此图证明（1）中的结论．（3）两块分别含45°和30°的直角三角板按图28－1－11（b ）所示方式放置在同一平面内，BD =S △AD C ．中 考 链 接19．（2013·四川乐山改编）如图28－1－12所示，定义：在Rt △ABC 中，锐角a 的邻边与对边的比叫做角a 的余切，记作cot a ，即cot ==ACBC角的邻边角的对边a a a ，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）cot 30°= ．（2）已知3tan =4A ，其中∠A 为锐角，试求cot A 的值． （3）已知第一象限内的点A 在反比例函数2y x=的图像上，第二象限内的点B 在反比例函数ky x=的图像上，且OA ⊥OB ，cot A =3，直接写出k 的值．20．（2013·广东湛江改编）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：sin30°=12，cos 30°sin 230°+cos 230°= ．①sin45°=2，cos 30°=2，则sin 245°+cos 245°= ．②sin60°=2，cos 30°=12，则sin 260°+cos 260°= ．③ 观察上述等式，猜想：对任意锐角A ，都有sin 2A +cos 2A = ．（1）如图28－1－13所示，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想．（2）已知：∠A为锐角（cos A＞0），且sin A=0.335，求cosA．（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，且sin A、cos A是关于x的方程3x2－mx+1=0的两根，m为实数，则sin4A+cos4A= .巅峰突破21．在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（）．A．B．2-C．0.3 D22．如图28－1－14所示，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC中点，将△ABC折叠，使点A与D点重合，若EF为折痕，则sin∠BED的值为，DEDF的值为．。
28.1锐角三角函数(1)(知识点总结和典型例题汇总)
28.1锐角函数（一）知识点1：当锐角A 的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的角都有唯一的确定的值。
观察图的Rt △AB 1C 1、Rt △AB 2C 2和Rt △AB 3C 3，它们之间有什么关系？Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2∽Rt △AB 3C 3所以 ＝__________=__________.可见，在Rt △ABC 中，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边的比值是惟一确定的.同时： ＝__________=__________； ＝__________=__________. 所以当锐角A 的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的比都有唯一确定的值。
知识点2：正弦和余弦的定义：由知识点1可知，当锐角A 固定时，∠A 的对边和斜边的比值是一个固定 的值，∠A 的邻边与斜边的比值也是一个固定的值。
（1）在Rt △ABC 中,∠C=900,把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦(sine),记作sinA ( sin ∠BAC ) 即 sinA= =（2）我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦（cosine ），记作cosA ， 即注意：（1）正弦、余弦都是一个比值，是没有单位的数值；（2）正弦、余弦只与角的大小有关，而与三角形的大小无关 （3）sinA ，cosA 是整体符号，不能写成sinA,cosA 。
（4）每用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如 sin ∠BAC图19.3.2 A BC 对边邻边 ┌斜边ab c 在图中 ∠A 的对边记作a ∠B 的对边记作b ∠C 的对边记作cc b A A =∠=斜边的邻边cos（5）sin 2A 表示（sinA ）2，而不能写成sinA 2（6）三角函数还可以写成sin α，cos β。
知识点3正切的定义： 由知识点1可知，当锐角A 固定时，∠A 的对边与邻边的比值是一个固定的值。
我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切（tangent ），记作tanA ， 即注意：（1）正切是一个比值，是没有单位的数值；（2）正切只与角的大小有关，而与三角形的大小无关 (3)tanA 是整体符号，不能写成sin 。
锐角三角函数锐角三角函数
03
证明方法
利用正弦定理和余弦定理，将边的关 系转化为角的关系，再利用三角函数 的性质推导得出。
05
锐角三角函数的作图及演 示
利用计算器或计算机软件绘制锐角三角函数图像
总结词
通过使用计算器或计算机软件，我们可以 轻松地绘制出锐角三角函数的图像。
详细描述
首先，我们需要输入锐角的角度值，然后 在计算器或计算机软件中选择对应的三角 函数（正弦、余弦或正切）。这样，我们 就可以得到一个关于角度的函数值。将这 些值在坐标系中表示，就可以形成锐角三 角函数的图像。
证明方法
通过正弦定理将角的关系转化为 边的关系，再利用勾股定理推导 得出。
正切定理的公式及证明
01
02
总结词
详细描述
正切定理是指在一个三角形中，任意 两边长度的比值等于这两边所夹角的 正切值与第三边所对应角的正切值的 比值。
正切定理的公式为 tan(A)/tan(B) = c/b。其中，A、B、C 分别代表与三 边相对应的角度，a、b、c 分别代表 三角形的三边长。
求边长
已知直角三角形的一个锐角和对应的边长，可以应用锐角三 角函数来求解另一条边长。例如，在直角三角形ABC中，已 知角A为30度，对应边a为10单位长度，那么对应边b的长度 可以通过应用三角函数求解。
在实际问题中求解角度或边长
地球定位
在地球上定位一个点，需要知道该点与北极的夹角和该点到北极的距离。这些信息可以通过应用锐角 三角函数来求解。
余弦定理
对于任意三角形ABC，有cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)，其中a、b、c分别是三角形的三边长度。这表明一个 角的余弦值等于由该角两边长度和它们夹角所确定的三角形的另一边的平方与两邻边平方和的差与两邻边的积 之比。
锐角三角函数(1)
tan B 1 2
A
B D
C
巩固提升 5、如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC （1）求证：AC=BD （2）若 sin C
AD 12 ，BC=12，求AD AC 13
证：（1）∵AD是BC上的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° 在Rt△ADB和Rt △ADC中
那么不管这个直角三角形的大小如何，该锐角的对边与邻边 的比值都会相等，也就是说是一个固定的值 D F
知识探究
一般情况下，在Rt△ABC中，当锐角A取其他固定值是，∠A的对边 与邻边的比值还会是一个固定值吗？ 如左图中的Rt △AB1C1、Rt△AB2C2和 Rt△AB3C3,， 易知： Rt △AB1C1∽ Rt△AB2C2 ∽ Rt△AB3C3 B1 A C1 C2 C3 所以有： B1C1 B2 C 2 B3C3 AC1 AC2 AC3
b sin B c a cos B c b tan B a
cot B a b
问题五：结合锐角∠A的三角函数和锐角∠B的三角函数，你能得出什么样的关系？ sinA=cosB cosA=sinB tanA=cotB cotA=tanB
注意：1、锐角三角函数反映的是直角三角形的边与角的关系。 2、锐角三角函数值是一个比值，它没有单位。
巩固提升
1、在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦值（ A A、没有变化 C、缩小2倍 B、扩大2倍 D、不能确定
）
3 1 cos B 3 2、已知在Rt△ABC中，∠C=90°， 2 ，则tanA=__________.
3 sin A 5 3、在Rt△ABC中， ∠C=90° cosA=__________ 5 ， 则tanA· a b 解：因为 sin A cos A c c
26.1 锐角三角函数 - 第1课时课件(共19张PPT)
3.如图,正方形ABCD的边长为4,点M在BC上,M,N两点关于对角线AC对称, 若DM=1，求tan∠ADN的值.
解：由正方形的性质可知，∠ADN=∠DNC，BC=DC=4，∵ M、N两点关于对角线AC对称, ∴ DM=1BN=DM=1.tan∠AND=tan∠DNC= .
知识点 正切的概念
新知探究
思考
在两个直角三角形中，当一对锐角相等时，这两个直角三角形相似，从而两条对应直角边的比相等，即当∠A（小于90°）确定时，以∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比 是确定的.
发现
正切
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作：tanA ，即
在Rt△ABC中，∠C＝90°.（1）如图（1），∠A=30°，求tanA，tanB的值．（2）如图（2），∠A=45°，求tanA的值．
例1
例题示范
随堂演练
1.在△ABC中，已知AC=5，BC=4，AB=3.那么下列各式正确的是（ ）A.tanA= B.tanA=CtanC= DtanC=
课堂小结
正切
定义
对边与邻边的比
表示方法
有关计算
与锐角的大小有关，与三角形边的长短无关
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
A
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，tanA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小 C.不变 D.不能确定
C
3. 如图， P是平面直角坐标系上的一点，且点P的坐标为（3，4），则tan α = .
第 二十六章 解直角三角形
锐角三角函数(1)
谢谢！
PPT课程
主讲老师:
全一册下
第一章 直角三角形的边角关系
第1课 锐角三角函数(1)
一、新课学习
1．观察图中梯子 AB 与梯子 A′B′，
显然，梯子__A_B___更陡 计算：BACC＝__2__， AB′′CC′′＝__32___ 比较BACC__>__BA′′CC′′ ∴梯子 AB 更陡．
正切的定义 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记做 tanA，即 tanA＝∠ B2－AC2＝ 132－122＝5 ∴tanA＝BACC＝152，tanB＝ABCC＝152
4．(例 2)两根木棒 AB，CD 斜立在墙 AE 上，其中 AB＝10 cm， CD＝6 cm，BE＝6 cm，DE＝2 cm，你能判断哪根木棒更陡吗？说 明理由．
解：木棒 CD 更陡 由勾股定理，AE＝ AB2－BE2＝ 102－62＝8(cm) ∴tanB＝ABEE＝86＝43 CE＝ CD2－DE2＝ 62－22＝4 2 ∴tanD＝DCEE＝422＝2 2 ∵43＜2 2 ∴木棒 CD 更陡
90°，则：
(1)坡角＝_3_0_°__； 3
(2)坡度＝__3___.
7.(例 3)如图，坡 AB 的铅直高度为 6 3，坡的水平长度为 6，求 坡度及坡角的大小．
解：坡度 tanA＝663＝ 3， 坡角∠A＝60°.
8.如图，△ABC 为等腰三角形，在△ABC 中，AB＝AC＝8， 底边 BC 上的高 AD＝6，求∠DAC 的正切值．
锐角三角函数1
AC 12 ∴ sin B = = . AB 13
想一想
如图, 如图 ∠C=90°CD⊥AB. ° ⊥ sinB可以由哪两条线段之比 可以由哪两条线段之比? 可以由哪两条线段之比
A
C
的值. 若ＡC=5,CD=3,求sinB、cosB的值 求 、 的值 ∵∠B=∠ 解: ∵∠ ∠ACD ∴sinB=sin∠ACD ∠ 在Rt△ACD中，AD= AC 2－CD 2 = 52－32 =4 △ 中 AD 4 sin ∠ACD= AC = 5 4 ∴sinB= 5
3
用一用
要想使人安全地攀上斜靠 在墙面上的梯子的顶端,梯子 在墙面上的梯子的顶端 梯子 与地面所成的角α一般要满足 与地面所成的角 一般要满足 0.77≤ sinα ≤0.97.现有一个长 现有一个长 6m的梯子 问使用这个梯子能 的梯子,问使用这个梯子能 的梯子 安全攀上一个5m 高的平房吗 高的平房吗? 安全攀上一个
a = c
对边
b
A 邻边
┌ C
注意：
1、sinA 不是一个角 、 2、sinA不是 sin与A的乘积 2、sinA不是 sin与A的乘积 3、sinA 是一个比值 、 4、sinA 没有单位 、
余弦
在Rt△ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫 做∠A的余弦,记作cosA,即
∠A的邻边 b cos A = ＝ 斜边 c
4、sin2A+cos2A=1
?
34°
1米 米 10米 米
我们已经知道，直角三角形 我们已经知道，直角三角形ABC可以简 可以简 记为Rt△ 所对的边AB称 记为 △ABC，直角∠C所对的边 称 ，直角∠ 所对的边 为斜边， 表示， 为斜边，用c表示，另两条直角边分别叫 表示 的对边与邻边， 表示. ∠A的对边与邻边，用a、b表示 的对边与邻边 、 表示
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锐角三角函数测试题1
一、选择题
1. 4sin tan 5
ααα=若为锐角,且，则为 ( ) 933425543
A B C D ． ． ． ． 2．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，下列式子不一定成立的是（ ）
A ．sinA = sin
B B ．cosA=sinB
C ．sinA=cosB
D ．∠A+∠B=90°
3．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（ ）
A ．10
B ．
C ．10或．无法确定
4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（ ）
A ．c =
sin a A B ．c =cos a A C ．c = a ·tanA D ．c = tan a A 5、 45cos 45sin +的值等于（ ） A. 2 B. 213+ C. 3 D. 1
6．在Rt △ABC 中，∠C=90°，tan A=3，AC 等于10，则S △ABC 等于( )
A. 3
B. 300
C. 503
D. 15 7．当锐角α>30°时，则cos α的值是（ ）
A ．大于12
B ．小于12
C 8．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（ ）
A ．1米
B
C ．9．如图，在四边形ABC
D 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（ ）
（A ）4 （B ）5 （C ）（D
10．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=
43，BC=8，则AC 等于（ ） A ．6 B ．
323
C ．10
D ．12 二、填空题 11．计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______．
12．若sin28°=cos α，则α=________．
13．已知△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA=______．
14．某坡面的坡度为1
_______度．
15．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10cm ，sinA ＝5
4，则BC 的长为_______cm . 16.如图，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30︒，向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为45︒，则该高楼的高度大约为
A.82米
B.163米
C.52米
D.70米
17．如图，小鸣将测倾器安放在与旗杆AB 底部相距6m 的C 处，量出测倾器的高度CD ＝1m ，测得旗杆顶端B 的仰角α＝60°，则旗杆AB 的高度为 ．（计算结果保留根号）
（16题） (17题)
三、解答题
18．由下列条件解直角三角形：在Rt △ABC 中，∠C=90°：
（1）已知a=4，b=8， （2）已知b=10，∠B=60°．
（3）已知c=20，∠A=60°. (4) （2）已知a=5，∠B=35°
19．计算下列各题．
（
（1）s in230°+cos245°°·tan45°；（2）
22
cos30cos60
tan60tan30
︒+︒
︒⨯︒
+ sin45°
四、解下列各题
20．如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子，•第一次是当阳光与地面成45°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长多少米？
21．如图，AB是江北岸滨江路一段，长为3千米，C为南岸一渡口，•为了解决两岸交通困难，拟在渡口C 处架桥．经测量得A在C北偏西30°方向，B在C的东北方向，从C处连接两岸的最短的桥长多少？（精确到0.1）
22. 如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC=45o，∠ACB=30o，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。
答案：
B H C
1．D 2．A 3．C [点拨]长为8的边即可能为直角边，也可能为斜边．4．A [点拨]sinA=a c ，所以c=sin a A
． 5．A 6．D 7．D [点拨]余弦值随着角度的增大而减小，α>30°，cos30°
，所以
． 8．A 9．B 10．A [点拨]tanA=BC AC ，AC=84
tan 3
BC A ==6． 11．
[点拨]原式=2×12
+2
×2+3×
12． 62° 13． 125
[点拨
，tanA=BC AC =125． 14． 30° [点拨]坡角α的正切tan α
=，所以α=30°． 15． 8 16. 82米 17. （63＋1）m
18．解：（1）
=
（2）B b a ABC Rt tan =∆中，在=060tan b =33103
10=，
c=10sin sin 603b B ===︒ , ∠A=90°-∠B=90°-60°=30°
（3）a = c ×sinA=20
b=c ×cos60°=10×12
=5．∠B=90°-∠A=90°-60°=30° 19．解：（1）原式=（12）2+
）2
×1=14+12
=34
（2）原式
221()+
20．第一次观察到的影子长为5×cot45°=5（米）；第二次观察到的影子长为5•×cot30°
两次观察到的影子长的差是
米．
21．过点C 作CD ⊥AB 于点D ．
CD 就是连接两岸最短的桥．设CD=x 米．
在直角三角形BCD 中，∠BCD=45°，所以BD=CD=x ．
在直角三角形ACD 中，∠ACD=30°，所以AD=CD ×tan ∠ACD=x ·tan30°x ．
因为AD+DB=AB ，所以x=3， 1.9（米）
22． 解：在中，Rt ABH BH AH
∆=︒tan 45 在中，Rt ACH CH AH
∆=︒tan 30 ∴︒+︒=AH AH
tan tan 45301000 ∴=->AH 5003500300
∴不会穿过。