广东省惠州市2015届高三第三次调研数学试卷(理科)

广东省惠州市2015届高三第三次调研数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）若集合A={x||x|≤1，x∈R}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|x≥0} C．{x|0≤x≤1} D．∅2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，1）上单调递减的函数为（）A．y=B．y=lnx C．y=cosx D．y=x23．（5分）“a＞b＞0”是“a2＞b2”成立的（）条件．A．必要不充分B．充分不必要C．充要D．既不充分也不必要4．（5分）设双曲线﹣=1的虚轴长为2，焦距为2，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）空间中，对于平面α和共面的两直线m、n，下列命题中为真命题的是（）A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m、n与α所成的角相等，则m∥nD．若m⊂α，n∥α，则m∥n6．（5分）某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的发言顺序的种数为（）A．840 B．720 C．600 D．307．（5分）数列{a n}，满足对任意的n∈N+，均有a n+a n+1+a n+2为定值．若a7=2，a9=3，a98=4，则数列{a n}的前100项的和S100=（）A．132 B．299 C．68 D．998．（5分）在平面直角坐标系中，定义两点P（x1，y1）与Q（x2，y2）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．给出下列命题：（1）若P（1，2），Q（sinα，cosα）（α∈R），则d（P，Q）的最大值为；（2）若P，Q是圆x2+y2=1上的任意两点，则d（P，Q）的最大值为2；（3）若P（1，3），点Q为直线y=2x上的动点，则d（P，Q）的最小值为．其中为真命题的是（）A．（1）（2）（3）B．（2）C．（3）D．（2）（3）二、填空题（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分25分）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．（5分）某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到2014-2015学年高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在2014-2015学年高二抽取的学生人数为．2014-2015学年高一2014-2015学年高二2015届高三女生600 y 650男生x z 75010．（5分）已知，，，若，则实数k=．11．（5分）复数，a∈R，且，则a的值为．12．（5分）列∀x∈R，不等式log2（4﹣a）≤|x+3|+|x﹣1|成立，则实数a的取值范围是．13．（5分）A，B，C是平面内不共线的三点，点P在该平面内且有，+2+3=现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则这粒黄豆落在△PBC内的概率为．二.选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题得分．（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）．若直线l与圆C有公共点，则实数a的取值范围是．（几何证明选讲选做题）15．（几何证明选讲）如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB=5，BC=3，CD=6，则线段AC的长为．三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．）16．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R，（其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜），其部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知横坐标分别为﹣1、1、5的三点M、N、P都在函数f（x）的图象上，求sin∠MNP 的值．17．（12分）惠州市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回．（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，求第二次训练时恰好取到1个新球的概率．参考公式：互斥事件加法公式：P（A∪B）=P（A）+P（B）（事件A与事件B互斥）．独立事件乘法公式：P（A∩B）=P（A）•P（B）（事件A与事件B相互独立）．条件概率公式：．18．（14分）三棱柱ABC﹣A1B1C1的直观图及三视图（主视图和俯视图是正方形，左侧图是等腰直角三角形）如图，D为AC的中点．（1）求证：AB1∥平面BDC1；（2）求证：A1C⊥平面BDC1；（3）求二面角A﹣BC1﹣D的正切值．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和S n=，且a1=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=lna n，是否存在k（k≥2，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．20．（14分）已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x2+y2=1上．（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）过点F的直线交抛物线C1于A、B两不同点，交y轴于点N，已知，求证：λ1+λ2为定值．（Ⅲ）直线l交椭圆C2于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P′、Q′，，若点S满足：，证明：点S在椭圆C2上．21．（14分）已知函数，过点P（1，0）作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M，N．（1）当t=2时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n，在区间内，总存在m+1个数a1，a2，…，a m，a m+1，使得不等式g（a1）+g（a2）+…+g（a m）＜g（a m+1）成立，求m的最大值．广东省惠州市2015届高三第三次调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）若集合A={x||x|≤1，x∈R}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|x≥0} C．{x|0≤x≤1} D．∅考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：求出集合A中绝对值不等式的解集，确定出集合A，根据负数没有平方根得出集合B中函数的定义域，确定出集合B，找出两集合的公共部分，即可得到两集合的交集．解答：解：由集合A中的不等式|x|≤1，解得：﹣1≤x≤1，∴集合A={x|﹣1≤x≤1}，由集合B中的函数y=有意义，得到x≥0，∴集合B={x|x≥0}，则A∩B={x|0≤x≤1}．故选C点评：此题属于以绝对值不等式的解法及函数的定义域为平台，考查了交集及其运算，是2015届高考中常考的基本题型．2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，1）上单调递减的函数为（）A．y=B．y=lnx C．y=cosx D．y=x2考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数单调性和奇偶性的性质分别进行判断即可．解答：解：首先y=cosx是偶函数，且在（0，π）上单减，而（0，1）⊂（0，π），故y=cosx满足条件．故选C．点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．3．（5分）“a＞b＞0”是“a2＞b2”成立的（）条件．A．必要不充分B．充分不必要C．充要D．既不充分也不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式之间的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：由不等式的性质知，当a＞b＞0时，a2＞b2成立；反之，例如取a=﹣3，b=1，显然a2＞b2，而a＞b＞0不成立．故“a＞b＞0”是“a2＞b2”成立的充分不必要条件，故选B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．4．（5分）设双曲线﹣=1的虚轴长为2，焦距为2，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由条件可得，，再由双曲线的a，b，c的关系，求得a，再由离心率公式计算即可得到．解答：解：双曲线﹣=1的虚轴长为2，焦距为2，则，所以，所以．故选A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．5．（5分）空间中，对于平面α和共面的两直线m、n，下列命题中为真命题的是（）A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m、n与α所成的角相等，则m∥nD．若m⊂α，n∥α，则m∥n考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：阅读型；空间位置关系与距离；空间角．分析：由线面的位置关系，可得n∥α或n⊂α，即可判断A；由线面平行的性质和线线的位置关系，即可判断B；由线面角的概念，结合线线的位置关系，即可判断C；由线面平行的性质以及线线的位置关系，即可判断D．解答：解：对于A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故A错误；对于B．若m∥α，n∥α，又m，n共面，则m，n平行或相交，故B错误；对于C．若m、n与α所成的角相等，则m，n平行或相交，故C错误；对于D．当m⊂α，n∥α时，必有m∥n或m与n异面直线，而m与n是共面的两条直线，则m∥n．故D正确．故选D．点评：本题考查空间直线与直线的位置关系，以及直线与平面的位置关系，考查线面角的概念，考查判断和推理能力，属于基础题和易错题．6．（5分）某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的发言顺序的种数为（）A．840 B．720 C．600 D．30考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．解答：解：分两类．第一类：甲、乙两人中恰有一人参加，方法种数为种，第二类：甲、乙两人同时参加，方法种数为种，根据分类计数原理，满足条件的方法种数为480+240=720种．故选B．点评：本题考查排列、组合的实际应用，正确分类是关键．7．（5分）数列{a n}，满足对任意的n∈N+，均有a n+a n+1+a n+2为定值．若a7=2，a9=3，a98=4，则数列{a n}的前100项的和S100=（）A．132 B．299 C．68 D．99考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：对任意的n∈N+，均有a n+a n+1+a n+2为定值，可得（a n+1+a n+2+a n+3）﹣（a n+a n+1+a n+2）=0，a n+3=a n，于是{a n}是以3为周期的数列，即可得出．解答：解：对任意的n∈N+，均有a n+a n+1+a n+2为定值，∴（a n+1+a n+2+a n+3）﹣（a n+a n+1+a n+2）=0，故a n+3=a n，∴{a n}是以3为周期的数列，故a1=a7=2，a2=a98=4，a3=a9=3，∴S100=（a1+a2+a3）+…+（a97+a98+a99）+a100=33（2+4+3）+a1=299．故选：B．点评：本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于基础题．8．（5分）在平面直角坐标系中，定义两点P（x1，y1）与Q（x2，y2）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．给出下列命题：（1）若P（1，2），Q（sinα，cosα）（α∈R），则d（P，Q）的最大值为；（2）若P，Q是圆x2+y2=1上的任意两点，则d（P，Q）的最大值为2；（3）若P（1，3），点Q为直线y=2x上的动点，则d（P，Q）的最小值为．其中为真命题的是（）A．（1）（2）（3）B．（2）C．（3）D．（2）（3）考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：根据折线距离的定义分别判断（3）个命题的真假，最后综合讨论结果，可得答案．解答：解：对于（1），，∵α∈R，∴d（P，Q）的最大值为，故（1）不正确．对于（2），要使d（P，Q）最大，必有P，Q两点是圆上关于原点对称的两点，可设，则．故（2）正确；对于（3），设Q（x0，2x0），则d（P，Q）=|x0﹣1|+|2x0﹣3|，去掉绝对值后可知当时，d（P，Q）取得最小值．故（3）正确．故选D．点评：本题主要考查了“折线距离”的定义，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分25分）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．（5分）某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到2014-2015学年高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在2014-2015学年高二抽取的学生人数为30．2014-2015学年高一2014-2015学年高二2015届高三女生600 y 650男生x z 750考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：先求出每个个体被抽到的概率，由抽到2014-2015学年高一男生的概率是0.2 求得x的值，可得2014-2015学年高二年级的人数．再用2014-2015学年高二年级的人数乘以每个个体被抽到的概率，即得所求．解答：解：每个个体被抽到的概率等于=，由抽到2014-2015学年高一男生的概率是0.2=，解得x=800，故2014-2015学年高二年级的人数为4000﹣600﹣800﹣650﹣750=1200，故在2014-2015学年高二抽取的学生人数为1200×=30，故答案为30．点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．10．（5分）已知，，，若，则实数k=8．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由向量的加减运算和数乘，运用向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到．解答：解：，，，则，若，则（+2）•=0，即有k﹣8=0解得，k=8．故答案为：8．点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．11．（5分）复数，a∈R，且，则a的值为．考点：复数代数形式的混合运算．分析：先求z2并化简，由于，所以实部等于实部，虚部等于虚部，可得a 的值．解答：解：∵复数，∴z2=∴所以a=故答案为：．点评：本题考查复数代数形式的运算，复数相等的知识，是基础题．12．（5分）列∀x∈R，不等式log2（4﹣a）≤|x+3|+|x﹣1|成立，则实数a的取值范围是故答案为：．点评：本题考查了几何概型的概率求法；关键是求出满足条件的△PBC的面积，然后与△ABC的面积比为所求．二.选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题得分．（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）．若直线l与圆C有公共点，则实数a的取值范围是．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线l的距离d≤r，解出即可．解答：解：直线l的参数方程为（t为参数），消去t化为直线l的普通方程为2x﹣y﹣2a=0，圆C的参数方程为（θ为参数），消去参数化为x2+y2=16．故圆心C（0，0）到直线l的距离≤4，解得．∴实数a的取值范围是．故答案为：．点评：本题考查了把参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，考查了计算能力，属于基础题．（几何证明选讲选做题）15．（几何证明选讲）如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB=5，BC=3，CD=6，则线段AC的长为4.5．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的性质；弦切角．专题：计算题．分析：根据圆的切线和割线，利用切割线定理得到与圆有关的比例线段，代入已知线段的长度求出DB的长，根据三角形的两个角对应相等，得到两个三角形全等，对应线段成比例，得到要求的线段的长度．解答：解：∵过点C的切线交AB的延长线于点D，∴DC是圆的切线，DBA是圆的割线，根据切割线定理得到DC2=DB•DA，∵AB=5，CD=6，∴36=DB（DB+5）∴DB=4，由题意知∠D=∠D，∠BCD=∠A∴△DBC∽△DCA，∴∴AC==4.5，故答案为：4.5点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查三角形的相似的判定定理与性质定理，本题解题的关键是根据圆中的比例式，代入已知线段的长度求出未知的线段的长度，本题是一个基础题．三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．）16．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R，（其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜），其部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知横坐标分别为﹣1、1、5的三点M、N、P都在函数f（x）的图象上，求sin∠MNP 的值．考点：余弦定理；向量在几何中的应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；压轴题；三角函数的图像与性质．分析：（1）根据图象，可得函数的最小正周期T=8，结合周期公式得ω=．再根据f（1）=1是函数的最大值，列式可解出φ的值，得到函数f（x）的解析式；（2）由（1）的解析式，得出M、N、P三点的坐标，结合两点的距离公式得到MN、PN、PM的长，用余弦定理算出cos∠MNP的值，最后用同角三角函数平方关系，可得sin∠MNP 的值．解答：解：（1）由图可知，最小正周期T=（3﹣1）×4=8，所以ω==．又∵当x=1时，f（x）有最大值为1，∴f（1）=sin（+φ）=1，得+φ=+2kπ，k∈Z∵﹣＜φ＜，∴取k=0，得φ=．所以函数的解析式为f（x）=sin（x+）．（2）∵f（﹣1）=0，f（1）=1且f（5）=sin（×5+）=﹣1．∴三点坐标分别为M（﹣1，0），N（1，1），P（5，﹣1），由两点的距离公式，得|MN|=，|PN|=2，|MP|=，∴根据余弦定理，得cos∠MNP==﹣．∵∠MNP∈（0，π）∴sin∠MNP是正数，得sin∠MNP==．点评：本题给出函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，要我们确定确定其解析式，并求一个角的正弦．着重考查了三角函数的图象与性质、余弦定理和同角三角函数的基本关系等知识，属于中档题．17．（12分）惠州市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回．（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，求第二次训练时恰好取到1个新球的概率．参考公式：互斥事件加法公式：P（A∪B）=P（A）+P（B）（事件A与事件B互斥）．独立事件乘法公式：P（A∩B）=P（A）•P（B）（事件A与事件B相互独立）．条件概率公式：．考点：条件概率与独立事件；相互独立事件的概率乘法公式．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，设“第一次训练时取到i个新球（即ξ=i）”为事件A i（i=0，1，2），求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望；（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B，则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A0B+A1B+A2B．而事件A0B、A1B、A2B互斥，由此可得结论．解答：解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2设“第一次训练时取到i个新球（即ξ=i）”为事件A i（i=0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以P（A0）=P（ξ=0）==；P（A1）=P（ξ=1）==；P（A2）=P（ξ=2）==，所以ξ的分布列为ξ0 1 2Pξ的数学期望为Eξ=0×+1×+2×=1．（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B，则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A0B+A1B+A2B，而事件A0B、A1B、A2B互斥，所以P（A0B+A1B+A2B）=P（A0B）+P（A1B）+P（A2B）=++=．所以第二次训练时恰好取到一个新球的概率为．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出概率是关键．18．（14分）三棱柱ABC﹣A1B1C1的直观图及三视图（主视图和俯视图是正方形，左侧图是等腰直角三角形）如图，D为AC的中点．（1）求证：AB1∥平面BDC1；（2）求证：A1C⊥平面BDC1；（3）求二面角A﹣BC1﹣D的正切值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：综合题．分析：由三视图可知，几何体为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，侧面B1C1CB为边长为2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AB=BC=2（1）证明AB1∥平面BDC1，证明OD∥AB1即可；（2）证明A1C⊥平面BDC1，利用线面垂直的判定，只需证明BD⊥A1C，B1C⊥A1C；（3）补成正方体，则∠O1OS为二面角的平面角，利用正切函数可得结论．解答：（1）证明：由三视图可知，几何体为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，侧面B1C1CB为边长为2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AB=BC=2…（2分）连B1C交BC1于O，连接OD，在△CAB1中，O，D分别是B1C，AC的中点，∴OD∥AB1，而AB1⊄平面BDC1，OD⊂平面BDC1，∴AB1∥平面BDC1；…..（4分）（2）证明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴AA1⊥BD，∵AB=BC=2，D为AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面AA1C1C，∴BD⊥A1C①…..（6分）又A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，∴A1B1⊥平面B1C1CB∴A1B1⊥B1C，在正方形B1C1CB中，BC1⊥B1C，∵B1C，A1B1⊂平面A1B1C，B1C∩A1B1⊂=B1，∴B1C⊥平面A1B1C，∴B1C⊥A1C②…..（8分）由①②，又BD∩BC1=B，BD，BC1⊂平面BDC1，∴A1C⊥平面BDC1； (9)（3）解：如图补成正方体，则∠O1OS为二面角的平面角，∵O1O=2，O1S=，∴tan∠O1OS= (14)点评：本题考查线面平行的判定，及线面垂直的判定，考查面面角，解题的关键是掌握线面平行的判定，及线面垂直的判定定理．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和S n=，且a1=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=lna n，是否存在k（k≥2，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．考点：等比关系的确定；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）直接利用a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）求解数列的通项公式即可（注意要验证n=1时通项是否成立）．（2）先利用（1）的结论求出数列{b n}的通项，再求出b k b k+2的表达式，利用基本不等式得出不存在k（k≥2，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列．解答：解：（1）当n≥2时，，（2分）即（n≥2）．（4分）所以数列是首项为的常数列．（5分）所以，即a n=n（n∈N*）．所以数列{a n}的通项公式为a n=n（n∈N*）．（7分）（2）假设存在k（k≥2，m，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列，则b k b k+2=b k+12．（8分）因为b n=lna n=lnn（n≥2），所以．（13分）这与b k b k+2=b k+12矛盾．故不存在k（k≥2，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列．（14分）点评：本题考查了已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式，根据a n和S n的关系：a n=S n ﹣S n﹣1（n≥2）求解数列的通项公式．另外，须注意公式成立的前提是n≥2，所以要验证n=1时通项是否成立，若成立则：a n=S n﹣S n﹣1（n≥1）；若不成立，则通项公式为分段函数．20．（14分）已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x2+y2=1上．（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）过点F的直线交抛物线C1于A、B两不同点，交y轴于点N，已知，求证：λ1+λ2为定值．（Ⅲ）直线l交椭圆C2于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P′、Q′，，若点S满足：，证明：点S在椭圆C2上．考点：圆锥曲线的综合；向量在几何中的应用．专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由C1：y2=2px（p＞0）焦点F（，0）在圆O：x2+y2=1上，可求p的值；同理由椭圆的上、下焦点（0，c），（0，﹣c）及左、右顶点（﹣a，0），（a，0）均在圆O：x2+y2=1上可解得椭圆C2的方程；（Ⅱ）设直线AB的方程与抛物线联立，消元，利用韦达定理，结合，从而可求λ1、λ2的值，即可得证；（Ⅲ）设P，Q的坐标，利用，确定S的坐标，利用及P，Q在椭圆上，即可证得结论．解答：（Ⅰ）解：由C1：y2=2px（p＞0）的焦点F（，0）在圆O：x2+y2=1上，得：，解得p=2，∴抛物线C1：y2=4x；由椭圆C2：的上、下焦点（0，c），（0，﹣c）及左、右顶点（﹣a，0），（a，0）均在圆O：x2+y2=1上，可得：a2=1，c2=1，∴a=c=1，则b==，∴椭圆C2：；（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），则N（0，﹣k），直线与抛物线联立，消元可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x1+x2=，x1x2=1，∵，∴λ1（1﹣x1）=x1，λ2（1﹣x2）=x2，∴，，∴λ1+λ2==﹣1为定值；（Ⅲ）证明：设P（x3，y3），Q（x4，y4），则P′（x3，0），Q′（x4，0），∵，∴S（x3+x4，y3+y4），∵，∴2x3x4+y3y4=﹣1 ①，∵P，Q在椭圆上，∴②，③，由①+②+③得（x3+x4）2+=1．∴点S在椭圆C2上．点评：本题考查了抛物线与椭圆的方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是设点的坐标，然后联立方程，利用向量知识求解，是压轴题．21．（14分）已知函数，过点P（1，0）作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M，N．（1）当t=2时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n，在区间内，总存在m+1个数a1，a2，…，a m，a m+1，使得不等式g（a1）+g（a2）+…+g（a m）＜g（a m+1）成立，求m的最大值．考点：函数的单调性及单调区间．专题：综合题；压轴题．分析：解此题的第一个突破点是第一（1）用导数的符号为正求单调区间，（2）求过切点的切线方程，找出两切点关系，再利用两点间的距离公式求解即可，（3）利用函数的单调性转化为恒成立问题．解答：解：（1）当，解得x＞，或x＜﹣．∵x＞0∴函数f（x）有单调递增区间为（2）设M、N两点的横坐标分别为x1、x2，∵，∴切线PM的方程为：．又∵切线PM过点P（1，0），∴有．即x12+2tx1﹣t=0．（1）同理，由切线PN也过点（1，0），得x22+2tx2﹣t=0．（2）由（1）、（2），可得x1，x2是方程x2+2tx﹣t=0的两根，∴=把（*）式代入，得，因此，函数g（t）的表达式为g（t）=（t＞0）（3）易知g（t）在区间上为增函数，∴g（2）≤g（a i）（i=1，2，m+1）．则m•g（2）≤g（a1）+g（a2）+…+g（a m）．∵g（a1）+g（a2）++g（a m）＜g（a m+1）对一切正整数n成立，∴不等式m•g（2）＜g（n+）对一切的正整数n恒成立，即m＜对一切的正整数n恒成立∵，∴．∴．由于m为正整数，∴m≤6．又当m=6时，存在a1=a2═a m=2，a m+1=16，对所有的n满足条件．因此，m的最大值为6．点评：本题第一问比较基础，二三问比较复杂，考切线问题，和数列问题，又渗透了恒成立思想，此题比较新，虽是压轴题但并不像以往压轴题的思路，有突破有创新，值得做．。