【课时作业 必修1】曲线与方程+参考答案
2022届高考数学一轮复习课时作业曲线与方程
曲线与方程1．若方程x 2＋y 2a ＝1(a 是常数)，则下列结论正确的是( )A ．任意实数a 方程表示椭圆B ．存在实数a 方程表示椭圆C ．任意实数a 方程表示双曲线D ．存在实数a 方程表示抛物线2．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ→，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4yB ．y 2＝3xC ．x 2＝2yD ．y 2＝4x3．(2020·静安区二模)方程2x 2－9xy ＋8y 2＝0的曲线C 所满足的性质为( ) ①不经过第二、四象限；②关于x 轴对称；③关于原点对称；④关于直线y ＝x 对称．A ．①③B ．②③C ．①④D ．①②4．(2020·成都模拟)设C 为椭圆x 2＋y 25＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0,2)，延长AC 至点P ，使得|PC |＝|BC |，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝20B ．x 2＋(y ＋2)2＝20C ．x 2＋(y －2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝55．在△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，A (x ，y )，给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程．下表给出了一些条件及方程：A ．C 3，C 1，C 2B ．C 1，C 2，C 3 C ．C 3，C 2，C 1D ．C 1，C 3，C 26．设线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB |＝5，OM →＝35OA →＋25OB →，则点M 的轨迹方程为( )A ．x 29＋y 24＝1 B ．y 29＋x 24＝1 C ．x 225＋y 29＝1D ．y 225＋x 29＝17．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为__________．8．一条线段的长等于6，两端点A ，B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上滑动，P 在线段AB 上且AP→＝2PB →，则点P 的轨迹方程是________．9．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．10．在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，求顶点A 的轨迹方程．11.如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，点P 在x 轴上的射影是点D ，点M 满足DM→＝12DP →.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形； (2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．能力提高1．(2020·宁城模拟)如图是房间壁灯照到墙上的光影的照片，壁灯轴线与墙面平行，则光影的边缘是( )A ．抛物线B ．双曲线一支C ．椭圆D ．抛物线或双曲线2．(2020·湖北八校二联)如图，AB 是与平面α交于点A 的斜线段，点C 满足|BC |＝λ|AC |(λ＞0)，且在平面α内运动，给出以下几个命题：①当λ＝1时，点C 的轨迹是抛物线；②当λ＝1时，点C 的轨迹是一条直线；③当λ＝2时，点C 的轨迹是圆；④当λ＝2时，点C 的轨迹是椭圆；⑤当λ＝2时，点C 的轨迹是双曲线．其中正确的命题是________(将所有正确命题的序号填到横线上)．所以当λ＝2时，点C 的轨迹是圆．故②③正确．]3．在平面直角坐标系中，已知A 1(－2，0)，A 2(2，0)，P (x ，y )，M (x,1)，N (x ，－2)，若实数λ使得λ2OM →·ON →＝A 1P →·A 2P →(O 为坐标原点)．求P 点的轨迹方程，并讨论P 点的轨迹类型．扩展应用1．(2020·浦东新区三模)数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物．曲线C ：(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2为四叶玫瑰线，下列结论正确的有( )①方程(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2(xy ＜0)，表示的曲线在第二和第四象限； ②曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2； ③曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；④曲线C 上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点)． A ．①② B ．①②③ C ．①②④D ．①③④2．(2020·宝山区模拟)如图，某野生保护区监测中心设置在点O 处，正西、正东、正北处有三个监测点A ，B ，C ，且|OA |＝|OB |＝|OC |＝30 km ，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早40V 0秒(注：信号每秒传播V 0千米)．(1)以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；(2)若已知C点与A点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测中心O的距离；(3)若C点监测点信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少公里？曲线与方程1．若方程x 2＋y 2a ＝1(a 是常数)，则下列结论正确的是( )A ．任意实数a 方程表示椭圆B ．存在实数a 方程表示椭圆C ．任意实数a 方程表示双曲线D ．存在实数a 方程表示抛物线B [当a ＞0且a ≠1时，该方程表示椭圆；当a ＜0时，该方程表示双曲线；当a ＝1时，该方程表示圆．故选B.]2．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ→，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4yB ．y 2＝3xC ．x 2＝2yD ．y 2＝4xA [设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)．∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)，即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ，∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .]3．(2020·静安区二模)方程2x 2－9xy ＋8y 2＝0的曲线C 所满足的性质为( ) ①不经过第二、四象限；②关于x 轴对称；③关于原点对称；④关于直线y ＝x 对称．A ．①③B ．②③C ．①④D ．①②A [由题意，2x 2－9xy ＋8y 2＝0化为：9xy ＝2x 2＋8y 2≥0，说明x ，y 同号或同时为0，所以图形不经过第二、四象限，①正确；－y 换y ，方程发生改变，所以图形不关于x 轴对称，所以②不正确；以－x 代替x ，以－y 代替y ，方程不变，所以③正确；方程2x 2－9xy ＋8y 2＝0，x ，y 互换，方程化为8x 2－9xy ＋2y 2＝0，方程已经改变，所以④不正确．故选A.]4．(2020·成都模拟)设C 为椭圆x 2＋y 25＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0,2)，延长AC 至点P ，使得|PC |＝|BC |，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝20B ．x 2＋(y ＋2)2＝20C ．x 2＋(y －2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5B [如图，由椭圆方程x 2＋y 25＝1，得a 2＝5，b 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝2，则A (0，－2)，B (0,2)为椭圆两焦点，∴|CA |＋|CB |＝2a ＝25，∵|PC |＝|BC |， ∴|P A |＝|PC |＋|CA |＝|BC |＋|CA |＝2 5.∴点P 的轨迹是以A 为圆心，以25为半径的圆，其方程为x 2＋(y ＋2)2＝20.故选B.]5．在△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，A (x ，y )，给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程．下表给出了一些条件及方程：条件方程 ①△ABC 周长为10 C 1：y 2＝25 ②△ABC 面积为10 C 2：x 2＋y 2＝4(y ≠0) ③△ABC 中，∠A ＝90°C 3：x 29＋y 25＝1(y ≠0)A ．C 3，C 1，C 2B ．C 1，C 2，C 3 C ．C 3，C 2，C 1D ．C 1，C 3，C 2A [①△ABC 的周长为10，即|AB |＋|AC |＋|BC |＝10，又|BC |＝4，所以|AB |＋|AC |＝6>|BC |，此时动点A 的轨迹为椭圆，与C 3对应；②△ABC 的面积为10，所以12|BC |·|y |＝10，即|y |＝5，与C 1对应；③因为∠A ＝90°，所以AB →·AC →＝ (－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2＋y 2－4＝0，与C 2对应．故选A.]6．设线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB |＝5，OM →＝35OA →＋25OB →，则点M的轨迹方程为( )A ．x 29＋y 24＝1 B ．y 29＋x 24＝1 C ．x 225＋y 29＝1D ．y 225＋x 29＝1A [设M (x ，y )，A (x 0,0)，B (0，y 0)，由OM →＝35OA →＋25OB →，得(x ，y )＝35(x 0,0)＋25(0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝35x 0，y ＝25y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝53x ，y 0＝52y ，由|AB |＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫53x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52y 2＝25，化简得x 29＋y 24＝1.]7．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为__________．(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0) [设A (x ，y )， 则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.∴|CD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋y24＝3， 化简得(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点构成三角形， ∴A 不能落在x 轴上， 即y ≠0.]8．一条线段的长等于6，两端点A ，B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上滑动，P 在线段AB 上且AP→＝2PB →，则点P 的轨迹方程是________．4x 2＋y 2＝16(x ＞0，y ＞0) [设P (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )， 则a 2＋b 2＝36.因为AP→＝2PB →，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 3，y ＝2b3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ，代入a 2＋b 2＝36，得9x 2＋94y 2＝36，即4x 2＋y 2＝16.]9．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．x 24＋y 23＝1(y ≠0) [设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |，所以|F A |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．]10．在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，求顶点A 的轨迹方程．[解] 以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴建立如图所示的坐标系，E ，F 分别为两个切点．则|BE |＝|BD |，|CD |＝|CF |，|AE |＝|AF |.所以|AB |－|AC |＝22＜4，所以点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(y ≠0)，且a ＝2，c ＝2， 所以b ＝2，所以轨迹方程为x 22－y 22＝1(x ＞2)．11.如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，点P 在x 轴上的射影是点D ，点M 满足DM→＝12DP →.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形； (2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．[解] (1)设M (x ，y )，则D (x,0)， 由DM→＝12DP →知，P (x,2y )，∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋4y 2＝4，故动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1，且轨迹C 为椭圆． (2)设E (x ，y )，由题意知l 的斜率存在， 设l ：y ＝k (x －3)，代入x 24＋y 2＝1， 得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3)＝k (x 1＋x 2)－6k ＝24k 31＋4k 2－6k ＝－6k1＋4k 2.∵四边形OAEB 为平行四边形， ∴OE →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k 2，又OE →＝(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24k 21＋4k 2，y ＝－6k1＋4k 2，消去k ，得x 2＋4y 2－6x ＝0，由(*)中Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)>0， 得k 2<15，∴0<x <83.∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <83.能力提高1．(2020·宁城模拟)如图是房间壁灯照到墙上的光影的照片，壁灯轴线与墙面平行，则光影的边缘是( )A ．抛物线B ．双曲线一支C ．椭圆D ．抛物线或双曲线B [房间壁灯向上照射，区域可理解为顶点在下面的圆锥，墙面不与圆锥面的母线平行，结果不是抛物线，又壁灯轴线与墙面平行，则不是椭圆，而墙面与圆锥侧面相交，且不过圆锥顶点，又与壁灯轴线平行，则结果为双曲线的一支．故选B.]2．(2020·湖北八校二联)如图，AB 是与平面α交于点A 的斜线段，点C 满足|BC |＝λ|AC |(λ＞0)，且在平面α内运动，给出以下几个命题：①当λ＝1时，点C 的轨迹是抛物线；②当λ＝1时，点C 的轨迹是一条直线；③当λ＝2时，点C 的轨迹是圆；④当λ＝2时，点C 的轨迹是椭圆；⑤当λ＝2时，点C 的轨迹是双曲线．其中正确的命题是________(将所有正确命题的序号填到横线上)．②③ [在△ABC 中，|BC |＝λ|AC |，当λ＝1时，|BC |＝|AC |，过AB 的中点作线段AB 的垂面β，则点C 在α与β的交线上，所以点C 的轨迹是一条直线．当λ＝2时，|BC |＝2|AC |，设B 在平面α内的射影为D ，连接BD ，CD ，AD (图略)．设|BD |＝h ，则|BC |＝|CD |2＋h 2.设|AD |＝2a ，在平面α内，以AD 所在直线为x 轴，AD 的垂直平分线为y 轴，AD→的方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系(图略)，设C (x ，y )，则A (－a,0)，D (a,0)，|CA |＝(x ＋a )2＋y 2，|CD |＝(x －a )2＋y 2，|CB |＝|CD |2＋h 2＝(x －a )2＋y 2＋h 2，所以(x －a )2 ＋y 2＋h 2＝2(x ＋a )2＋y 2，化简可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋53a 2＋y 2＝16a 29＋h23，所以当λ＝2时，点C 的轨迹是圆．故②③正确．]3．在平面直角坐标系中，已知A 1(－2，0)，A 2(2，0)，P (x ，y )，M (x,1)，N (x ，－2)，若实数λ使得λ2OM →·ON →＝A 1P →·A 2P →(O 为坐标原点)．求P 点的轨迹方程，并讨论P 点的轨迹类型．[解] OM →＝(x,1)，ON →＝(x ，－2)，A 1P →＝(x ＋2，y )，A 2P →＝(x －2，y )． ∵λ2OM →·ON →＝A 1P →·A 2P →，∴(x 2－2)λ2＝x 2－2＋y 2，整理得(1－λ2)x 2＋y 2＝2(1－λ2)．①当λ＝±1时，方程为y ＝0，轨迹为一条直线；②当λ＝0时，方程为x 2＋y 2＝2，轨迹为圆；③当λ∈(－1,0)∪(0,1)时，方程为x 22＋y 22(1－λ2)＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆；④当λ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，方程为x 22－y 22(λ2－1)＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线．扩展应用1．(2020·浦东新区三模)数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物．曲线C ：(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2为四叶玫瑰线，下列结论正确的有( )①方程(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2(xy ＜0)，表示的曲线在第二和第四象限；②曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；④曲线C 上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点)．A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①③④A [对于①，因为xy ＜0，所以x 与y 异号，故图象在第二和第四象限，即①正确．对于②，因为x 2＋y 2≥2xy (x ＞0，y ＞0)，所以xy ≤x 2＋y 22，所以(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2≤16×(x 2＋y 2)24＝4(x 2＋y 2)2， 所以x 2＋y 2≤4，即②正确．对于③，以O 为圆点，2为半径的圆O 的面积为4π，显然曲线C 围成的区域的面积小于圆O 的面积，即③错误．把x ＝2，y ＝2代入曲线C ，可知等号两边成立，所以曲线C在第一象限过点(2，2)，由曲线的对称性可知，该点的位置是图中的点M，对于④，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把(1,1)，(1,2)和(2,1)代入曲线C的方程验证可知，等号不成立，所以曲线C在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C只经过整点(0,0)，即④错误．故选A.]2．(2020·宝山区模拟)如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有三个监测点A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30 km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早40V0秒(注：信号每秒传播V0千米)．(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；(2)若已知C点与A点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测中心O的距离；(3)若C点监测点信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少公里？[解](1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早40V0秒，可知野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号的位置，在以AB为焦点的双曲线的左支，所以c＝30,2a＝40，所以a＝20，则b＝105，所以观察员所有可能出现的位置的轨迹方程为x2400－y2500＝1，x＜0.(2)已知C点与A点接收到信号的时间相同，则观察员遇险地点既在双曲线上，又在y＝－x(x＜0)上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ，x 2400－y 2500＝1，可得x ＝－205，y ＝205，观察员遇险地点坐标(－205，205)，观察员遇险地点与监测中心O 的距离为 2 000＋2 000＝2010.(3)由题意可得以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，可得x 2＋(y －30)2＝r 2，与x 2400－y 2500＝1，x ≤0联立，消去x 可得9y 2－300y ＋6 500－5r 2＝0， Δ＝90 000－36(6 500－5r 2)≥0，解得r ≥20 2.为保证有救援希望，扫描半径r 至少是202公里．。
2019-2020学年高中数学课时作业线与方程求曲线的方程新人教A版选修
C．y2＝4xD．y2＝－4x
解析：设点P的坐标为(x.y).则 ＝(4,0). ＝(x＋2.y). ＝(x－2.y).
∴| |＝4.| |＝ . · ＝4(x－2)．
根据已知条件得4 ＝4(2－x)．整理得y2＝－8x.∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.
答案：B
5．已知A(－1,0).B(2,4).△ABC的面积为10.则动点C的轨迹方程是( )
解析：设点P(x.y).R(x0.y0).因为A(1,0).所以 ＝(1－x0.－y0). ＝(x－1.y).因为 ＝ .所以
所以 代入直线y＝2x－4可得y＝2x.
答案：y＝2x
8．已知直角三角形ABC中.A(2,0).B(－1,2).则直角顶点C的轨迹方程为________．
解析：设C的坐标为(x.y).
2019-2020学年高中数学课时作业线与方程求曲线的方程新人教A版选修
编 辑：__________________
时 间：__________________
|基础巩固|(25分钟
一、选择题(是( )
A．y＝x与y＝
B．y＝x2与y＝|x|
C．(x－1)2＋(y＋2)2＝0与(x－1)(y＋2)＝0
则 ×5× ＝10.
即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.
答案：B
二、填空题(每小题5分.共15分)
6．点A(1.－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上.则a＝________.
解析：把A代入曲线得a＝5.
答案：5
7．已知点A(1,0).直线l：y＝2x－4.点R是直线l上的一点.若 ＝ .则点P的轨迹方程为________．
解析：∵|PA|＝ .|PB|＝ .
2.2.1双曲线及其标准方程课时作业高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册（含答案）
2.2.1双曲线及其标准方程课时作业高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册（含答案）2.1 双曲线及其标准方程1.双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为()A.22,0B.62,0C.52,0D.(3,0)2.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,若|PF1|-|PF2|=b,且双曲线的焦距为25,则该双曲线的方程为()A.x24-y2=1B.x23-y22=1C.x2-y24=1D.x22-y23=13.已知双曲线x2λ-3+y22-λ=1,焦点在y轴上,若焦距为4,则λ等于()A.32B.5C.7D.124.已知双曲线x24-y25=1上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点N到坐标原点O的距离为()A.3或7B.6或14C.3D.75.如图,已知双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),点A,B均在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为双曲线的左焦点,则△ABF1的周长为()A.2a+2mB.4a+2mC.a+mD.2a+4m6.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的圆心在()A.一个椭圆上B.一个圆上C.一条抛物线上D.双曲线的一支上7.以椭圆x23+y24=1的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是.8.已知点F1,F2分别是双曲线x29-y216=1的左、右焦点,若点P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32,则△F1PF2的面积为.9.已知与双曲线x216-y29=1共焦点的双曲线过点P-52,-6,求该双曲线的标准方程.能力达标10.“mn<0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0),动点M满足|MA|-|MB|=6,则点M的轨迹方程是()A.x216-y29=1B.x216-y29=1(x≥4)C.x29-y216=1D.x29-y216=1(x≥3)12.动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是()A.双曲线的一支B.圆C.椭圆D.双曲线13.若双曲线x2n-y2=1(n>1)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2n+2,则△PF1F2的面积为()A.1B.12C.2D.414.已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:x2a2-y2=1(a>0)过点15,-63,点P在双曲线C上,若|PF1|=3,则|PF2|=()A.3B.6C.9D.1215.若曲线C:mx2+(2-m)y2=1是焦点在x轴上的双曲线,则m的取值范围为.16.焦点在x轴上的双曲线经过点(42,-3),且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方程为.17.已知双曲线E:x216-y24=1的左、右焦点分别为F1,F2.(1)若点M在双曲线上,且MF1·MF2=0,求点M到x轴的距离;(2)若双曲线C与双曲线E有相同的焦点,且过点(32,2),求双曲线C 的方程.18.已知△OFQ的面积为26,且OF·FQ=m,其中O为坐标原点.(1)设6(2)设以O为中心,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示,|OF|=c,m=64-1c2,当|OQ|取得最小值时,求此双曲线的标准方程.1.双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为()A.22,0B.62,0C.52,0D.(3,0)答案B解析将双曲线方程化为标准方程为x2-y212=1,∴a2=1,b2=12,∴c2=a2+b2=32,∴c=62,故右焦点坐标为62,0.2.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,若|PF1|-|PF2|=b,且双曲线的焦距为25,则该双曲线的方程为()A.x24-y2=1B.x23-y22=1C.x2-y24=1D.x22-y23=1答案C解析由题意得|PF1|-|PF2|=2a=b,c2=a2+b2,2c=25,解得a2=1,b2=4,则该双曲线的方程为x2-y24=1.3.已知双曲线x2λ-3+y22-λ=1,焦点在y轴上,若焦距为4,则λ等于()A.32B.5C.7D.12答案D解析根据题意可知,双曲线的标准方程为y22-λ-x23-λ=1.由其焦距为4,得c=2,则有c2=2-λ+3-λ=4,解得λ=12.4.已知双曲线x24-y25=1上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点N到坐标原点O的距离为()A.3或7B.6或14C.3D.7答案A解析连接ON,ON是△PF1F2的中位线,∴|ON|=12|PF2|,∵||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,∴|PF2|=14或|PF2|=6,∴|ON|=7或|ON|=3.5.如图,已知双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),点A,B均在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为双曲线的左焦点,则△ABF1的周长为()A.2a+2mB.4a+2mC.a+mD.2a+4m答案B解析由双曲线的定义,知|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a.又|AF2|+|BF2|=|AB|,所以△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m.6.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的圆心在()A.一个椭圆上B.一个圆上C.一条抛物线上D.双曲线的一支上答案D解析由x2+y2-8x+12=0,得(x-4)2+y2=4,画出圆x2+y2=1与(x-4)2+y2=4的图象如图,设圆P的半径为r,∵圆P与圆O和圆M都外切,∴|PM|=r+2,|PO|=r+1,则|PM|-|PO|=1<4,∴点P在以O,M为焦点的双曲线的左支上.7.以椭圆x23+y24=1的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是.答案y2-x23=1 解析由题意知,双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1,则a=1,c=2,所以b2=3,所以双曲线的标准方程为y2-x23=1.8.已知点F1,F2分别是双曲线x29-y216=1的左、右焦点,若点P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32,则△F1PF2的面积为.答案16 解析因为P是双曲线左支上的点,所以|PF2|-|PF1|=6,两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2|=100-1002|PF1|·|PF2|=0,所以∠F1PF2=90°,所以S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|=12×32=16.9.已知与双曲线x216-y29=1共焦点的双曲线过点P-52,-6,求该双曲线的标准方程.解已知双曲线x216-y29=1,则c2=16+9=25,∴c=5.设所求双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).依题意知b2=25-a2,故所求双曲线方程可写为x2a2-y225-a2=1.∵点P-52,-6在所求双曲线上,∴代入有(-52)2a2-(-6)225-a2=1,化简得4a4-129a2+125=0,解得a2=1或a2=1254.当a2=1254时,b2=25-a2=25-1254=-254<0,不合题意,舍去,∴a2=1,b2=24,∴所求双曲线的标准方程为x2-y224=1.能力达标10.“mn<0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析因为mn<0,所以m,n均不为0且异号,方程mx2+ny2=1,可化为x21m+y21n=1,因为1m与1n异号,所以方程x21m+y21n=1表示双曲线,故“mn<0”是“方程mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件;反之,若mx2+ny2=1表示双曲线,则其方程可化为x21m+y21n=1,可知1m与1n异号,则必有mn<0,故“mn<0”是“方程mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件.综上可得,“mn<0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充要条件.11.已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0),动点M 满足|MA|-|MB|=6,则点M的轨迹方程是()A.x216-y29=1B.x216-y29=1(x≥4)C.x29-y216=1D.x29-y216=1(x≥3)答案D解析由|MA|-|MB|=6,且6A.双曲线的一支B.圆C.椭圆D.双曲线答案A解析设动圆的圆心为M,半径为r,圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1和O2,半径分别为1和2,由两圆外切的充要条件,得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.∴|MO2|-|MO1|=1,又|O1O2|=4,∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).13.若双曲线x2n-y2=1(n>1)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2n+2,则△PF1F2的面积为()A.1B.12C.2D.4答案A解析设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2n,已知|PF1|+|PF2|=2n+2,解得|PF1|=n+2+n,|PF2|=n+2-n,|PF1|·|PF2|=2.又|F1F2|=2n+1,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴△PF1F2为直角三角形,∠F1PF2=90°,∴S△PF1F2=12|PF1|·|PF2|=12×2=1.14.已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:x2a2-y2=1(a>0)过点15,-63,点P在双曲线C上,若|PF1|=3,则|PF2|=()A.3B.6C.9D.12答案C解析由左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:x2a2-y2=1(a>0)过点15,-63,可得15a2-69=1,解得a=3,b=1,c=10,a+c>3,点P在双曲线C 上,若|PF1|=3,可得P在双曲线的左支上,则|PF2|=2a+|PF1|=6+3=9.故选C.15.若曲线C:mx2+(2-m)y2=1是焦点在x轴上的双曲线,则m的取值范围为.答案(2,+∞)解析由曲线C:mx2+(2-m)y2=1是焦点在x轴上的双曲线,可得x21m-y21m-2=1,即有m>0,且m-2>0,解得m>2.16.焦点在x轴上的双曲线经过点(42,-3),且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方程为.答案x216-y29=1解析设焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),则由QF1⊥QF2,得kQF1·kQF2=-1,∴5c·5-c=-1,∴c=5,设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),∵双曲线过点(42,-3),∴32a2-9b2=1.又c2=a2+b2=25,∴a2=16,b2=9,∴双曲线的标准方程为x216-y29=1.17.已知双曲线E:x216-y24=1的左、右焦点分别为F1,F2.(1)若点M在双曲线上,且MF1·MF2=0,求点M到x轴的距离;(2)若双曲线C与双曲线E有相同的焦点,且过点(32,2),求双曲线C 的方程.解(1)如图所示,不妨设点M在双曲线E的右支上,点M到x轴的距离为h,MF1·MF2=0,则MF1⊥MF2,设|MF1|=m,|MF2|=n,由双曲线定义,知m-n=2a=8,①又m2+n2=(2c)2=80,②由①②得mn=8,∴12mn=4=12|F1F2|·h,∴h=255.(2)设所求双曲线C的方程为x216-λ-y24+λ=1(-4(2)设以O为中心,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示,|OF|=c,m=64-1c2,当|OQ|取得最小值时,求此双曲线的标准方程.解(1)因为12|OF||FQ|sin(π-θ)=26,|OF||FQ|cosθ=m,所以tanθ=46m.又6θ<4,即tanθ的取值范围为(1,4).(2)设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),Q(x1,y1),则FQ=(x1-c,y1),所以S△OFQ=12|OF|·|y1|=26,则y1=±46c.又OF·FQ=m,即(c,0)·(x1-c,y1)=64-1c2,解得x1=64c,所以|OQ|=x12+y12=38c2+96c2≥12=23,当且仅当c=4时,取等号,此时|OQ|最小,这时Q的坐标为(6,6)或(6,-6).因为6a2-6b2=1,a2+b2=16,所以a2=4,b2=12.于是所求双曲线的标准方程为x24-y212=1.。
高中数学选修2-1课时作业15：2.1.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程一、选择题1.方程y ＝3x －2 (x ≥1)表示的曲线为( )A.一条直线B.一条射线C.一条线段D.不能确定 [答案] B[解析] 方程y ＝3x －2表示的曲线是一条直线，当x ≥1时，它表示一条射线.2.方程x 2＋xy ＝x 表示的曲线是( )A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线 [答案] C[解析] 由x 2＋xy ＝x ，得x (x ＋y －1)＝0，即x ＝0或x ＋y －1＝0.由此知方程x 2＋xy ＝x 表示两条直线.故选C.3.曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是( )A.(0,0)B.(15，15)C.(1,5)D.(4,4) [答案] D[解析] 点(4,4)适合方程y ＝x 且满足1≤x ≤5.4.已知a ，b 为任意实数，若点(a ，b )在曲线f (x ，y )＝0上，且点(b ，a )也在曲线f (x ，y )＝0上，则f(x，y)＝0的几何特征是()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线y＝x对称[答案] D[解析]依题意知，点(a，b)与点(b，a)都在曲线f(x，y)＝0上，这两点关于直线y＝x对称，故选D.5.到点(－1，－2)的距离等于3的动点M的轨迹方程是()A.(x＋1)2＋(y＋2)2＝3B.(x＋1)2＋(y＋2)2＝9C.(x－1)2＋(y－2)2＝3D.(x－1)2＋(y－2)2＝9[答案] B[解析]轨迹是以(－1，－2)为圆心，3为半径的圆，故轨迹方程是(x＋1)2＋(y＋2)2＝9.6.若点M到两坐标轴的距离的积为2 016，则点M的轨迹方程是()A.xy＝2 016B.xy＝－2 016C.xy＝±2 016D.xy＝±2 016(x>0)[答案] C[解析]设M(x，y)，则由题意得|x|·|y|＝2 016，所以xy＝±2 016.7.方程x2＋(x2＋y2－1)2＝0所确定的曲线是()A.y轴或圆B.两点(0,1)与(0，－1)C.y轴或直线y＝±1D.以上都不正确[答案] B[解析]∵x2＋(x2＋y2－1)2＝0，∴x＝0且x2＋y2－1＝0，∴它表示两点(0,1)和(0，－1).8.下列命题正确的是()A.方程xy－2＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线B.△ABC的顶点坐标分别为A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则中线AO的方程是x＝0C.到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5D.曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0[答案] D[解析] 对照曲线和方程的概念，A 中的方程需满足y ≠2；B 中“中线AO 的方程是x ＝0 (0≤y ≤3)”；而C 中，动点的轨迹方程为|y |＝5.从而只有D 是正确的.二、填空题9.点A (1，－2)在曲线x 2－2xy ＋ay ＋5＝0上，则a ＝________.[答案] 5[解析] 由题意可知点(1，－2)是方程x 2－2xy ＋ay ＋5＝0的一组解，即1＋4－2a ＋5＝0，解得a ＝5.10.已知方程①x －y ＝0；②x －y ＝0；③x 2－y 2＝0；④x y＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C 的方程的序号是________.[答案] ①[解析] ①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程x －y ＝0；③不正确.如点(－1,1)满足方程x 2－y 2＝0，但它不在曲线C 上；④不正确.如点(0,0)在曲线C 上，但其坐标不满足方程x y＝1. 11.设A ，B 两点的坐标分别是(－a,0)，(a,0)，若动点M 满足k MA ·k MB ＝－1，则动点M 的轨迹方程是________________.[答案] x 2＋y 2＝a 2(x ≠±a )[解析] 设M (x ，y ).由k MA ·k MB ＝－1得y x ＋a ·y x －a＝－1(x ≠±a )，即x 2＋y 2＝a 2(x ≠±a ). 三、解答题12.已知a ＝(x,0)，b ＝(1，y )，且(a ＋3b )⊥(a －3b )，求点P (x ，y )的轨迹方程.解 由(a ＋3b )⊥(a －3b )得a 2－3b 2＝0，解得|a |＝3|b |，即|x |＝3·1＋y 2.∴x 2＝3(1＋y 2)，即x 23－y 2＝1. 13.已知两点M (－1,0)，N (1,0)，且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列，求点P 的轨迹方程.解 设点P (x ，y )，由M (－1,0)，N (1,0)，得 PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y )，PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )，MN →＝－NM →＝(2,0). ∴MP →·MN →＝2(x ＋1)，PM →·PN →＝x 2＋y 2－1， NM →·NP →＝2(1－x ).∴MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－1＝12[2(x ＋1)＋2(1－x )]，2(1－x )－2(x ＋1)<0， 即⎩⎨⎧x 2＋y 2＝3，x >0.∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3(x >0).。
金优课高中数学北师大选修课时作业： 曲线与方程 含解析
第三章 §4 课时作业34一、选择题1．已知直线l 的方程是f (x ，y )＝0，点M (x 0，y 0)不在l 上，则方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的曲线是( )A ．直线lB ．与l 垂直的一条直线C ．与l 平行的一条直线D ．与l 平行的两条直线解析：方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示过点M (x 0，y 0)且和直线l 平行的一条直线．故选C.答案：C2．一动点C 在曲线x 2＋y 2＝1上移动时，它和定点B (3,0)连线的中点P 的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(x ＋32)2＋y 2＝1解析：设动点C 的坐标为(x 0，y 0)， P 点坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式可得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，即x 0＝2x －3，y 0＝2y .又动点C (x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3)2＋4y 2＝1. 答案：C3．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝4 B ．x 2＋y 2＝4(x >0) C ．y ＝－4－x 2D ．y ＝－4－x 2(0<x <2)解析：注意所求轨迹在第四象限内． 答案：D4．[2014·广东省珠海一中模考]点A (2,0)，点B 在圆x 2＋y 2＝1上，点C 是∠AOB 的平分线与线段AB 的交点，则当点B 运动时，点C 的轨迹方程为( )A ．(x －23)2＋y 2＝49B ．(x ＋23)2＋y 2＝49C ．(x －13)2＋y 2＝49D ． (x ＋13)2＋y 2＝49解析：本题主要考查求曲线的方程．设B (x 0，y 0)，C (x ，y )由|OA ||OB |＝2，得AC →＝2CB →，即(x －2，y )＝2(x 0－x ，y 0－y )⇒⎩⎨⎧x 0＝32x －1y 0＝32y，因为点B (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，代入后化简得(x －23)2＋y 2＝49，故选A.答案：A 二、填空题5．动点P 到点(1，－2)的距离为4，则动点P 的轨迹方程为________． 解析：设P (x ，y )，由题意易知所求轨迹为圆，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝16. 答案：(x －1)2＋(y ＋2)2＝166．过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为__________． 解析：设圆C 的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 圆心(a ，b )到直线x －y －1＝0的距离 d ＝|a －b －1|2＝r ，①又圆C 过A (4,1)，B (2,1)， ∴(4－a )2＋(1－b )2＝r 2， ② (2－a )2＋(1－b )2＝r 2，③由①②③，得a ＝3，b ＝0，r ＝2， ∴圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2. 答案：(x －3)2＋y 2＝27．由动点P 向圆O ：x 2＋y 2＝1引两条切线P A 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为__________．解析：由题意得OP ＝2，为定长，所以点P 的轨迹是以定点O 为圆心，r ＝2的圆． ∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.答案：x 2＋y 2＝4 三、解答题8．已知点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上任一动点，若F 2关于∠F 1PF 2的平分线的对称点H 在线段PF 1上，求点H 的轨迹方程．解：如图，设点P 在双曲线的右支上，且PQ 为∠F 1PF 2的平分线．∵F 2关于PQ 的对称点为H ， ∴|PF 2|＝|PH |，且H 在PF 1上． 又|PF 1|－|PF 2|＝|PF 1|－|PH |＝|F 1H |＝2a .即H 在以F 1为圆心，半径为2a 的圆上，其方程为(x ＋c )2＋y 2＝4a 2.9．△ABC 的三边长分别为AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，点P 是△ABC 内切圆上一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2的最小值与最大值．解：以C 为原点O ，CB 、CA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于AC ＝3，BC ＝4，得C (0,0)，A (0,3)，B (4,0)．设△ABC 内切圆的圆心为(r ，r )，由△ABC 的面积＝12×3×4＝12×3r＋12×4r ＋12×5r ，得r ＝1， 于是内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y －1， 由(x －1)2≤1⇒0≤x ≤2.设P (x ，y )，那么|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋(y －3)2＋(x －4)2＋y 2＋x 2＋y 2＝3(x 2＋y 2)－8x －6y ＋25＝3(2x ＋2y －1)－8x －6y ＋25＝22－2x ，那么当x ＝0时，|P A |2＋|PB |2＋|PC |2取最大值为22，当x ＝2时取最小值为18.。
北师版高中数学选择性必修第一册课时作业(一)一次函数的图象与直线的方程 直线的倾斜角、斜率及其关系
北师版高中数学选择性必修第一册课时作业(一)一次函数的图象与直线的方程直线的倾斜角、斜率及其关系[练基础]1．如图所示，直线l 与y 轴的夹角为45°，则l 的倾斜角为()A ．45°B ．135°C ．0°D ．无法计算2．已知经过两点(5，m )和(m,8)的直线的斜率等于1，则m 的值是()A ．5B ．8C.132D ．73．经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的范围是()A ．0°≤α<90°B ．90°≤α<180°C ．90°<α<180°D ．0°<α<180°4．若直线过A (1,2)，B (4,2＋3)，则此直线倾斜角为()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5．若A (－2,3)，B (3，－2)，C m 的值为()A.12B ．－12C ．－2D ．26．[多选题]下列说法中，正确的是()A ．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB ．一条直线的倾斜角为－30°C ．若直线的倾斜角为α，则sin α≥0D ．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α7．经过A (1,3)，B (－1,0)两点的直线的方向向量为(1，k )，则k ＝________.8．经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m ≥1)9．已知某直线l 的倾斜角α＝45°，又P 1(2，y 1)，P 2(x 2,5)，P 3(3,1)是此直线上的三点，则x 2＝________，y 1＝________.10．如图所示，已知A (3,2)，B (－4,1)，C (0，－1)，求直线AB ，BC ，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．[提能力]11．[多选题]已知直线kx＋y＋2＝0和以M(－2,1)，N(3,2)为端点的线段相交，则实数k 的值可以为()A．－2B．－1C．1D．212．直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是()A．0B．1C.1 2D．213．在直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B(2,0)，过点A的直线交x轴于点C(a,0)，若直线AC的倾斜角是直线AB倾斜角的2倍，则a＝________.14．已知P是函数f(x)＝lg x(x∈[1,10])图象上一点，点Q的坐标为(－1,4)，则直线PQ 的斜率k的取值范围为________．15．已知点A(1,2)，在坐标轴上求一点P使直线PA的倾斜角为60°.[培优生]16．已知x，y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，y＋1x－1的取值范围是________．课时作业(一)参考答案与解析1．解析：根据倾斜角的定义知，l 的倾斜角为135°.故选B.答案：B2．解析：由斜率公式可得8－m m －5＝1，解得m ＝132.答案：C3．解析：由题意可得直线l 的倾斜角α的范围是90°<α<180°，故选C.答案：C4．解析：tan α＝2＋3－24－1＝33.∴α＝30°.答案：A5．解析：由题意知k AB ＝k AC ，即－2－33－（－2）＝m －312－（－2），解得m ＝12.答案：A6．解析：根据题意，依次分析选项：对于A ，直线的倾斜角为α，当α＝90°时，斜率不存在，A 错误；对于B ，直线的倾斜角的范围为[0°，180°)，B 错误；对于C ，直线的倾斜角的范围为[0°，180°)，则有sin α≥0，C 正确；对于D ，任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α，D 正确；故选CD.答案：CD 7．解析：由题意知k AB ＝0－3－1－1＝32＝k ，∴k ＝32.答案：328．解析：当m ＝1时，倾斜角α＝90°，当m ＞1时，tan α＝3－2m －1＞0，∴0°＜α＜90°，故0°＜α≤90°.答案：0°＜α≤90°9．解析：∵α＝45°，∴直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1，∵P 1，P 2，P 3都在直线l 上，∴kP 1P 2＝kP 2P 3＝k ，∴5－y 1x 2－2＝1－53－x 2＝1，解得x 2＝7，y 1＝0.答案：7010．解析：直线AB 的斜率k AB ＝1－2－4－3＝17；直线BC 的斜率k BC ＝－1－10－（－4）＝－24＝－12；直线CA 的斜率k CA ＝－1－20－3＝－3－3＝1.由k AB >0及k CA >0知，直线AB ，CA 的倾斜角均为锐角；由k BC <0知，直线BC 的倾斜角为钝角．11．解析：由直线kx ＋y ＋2＝0可知直线过定点P (0，－2)，且斜率为－k ，又M (－2，1)，N (3，2)，如图，k PM ＝－2－10－（－2）＝－32，k PN ＝－2－20－3＝43.∴直线kx ＋y ＋2＝0和以M (－2，1)，N (3，2)为端点的线段相交，则－k 的取值范围为(－∞，－32]∪[43，＋∞)，k 的取值范围是：(－∞，－43]∪[32，＋∞).故选AD.答案：AD12．解析：如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中所示阴影位置时才符合题意，故k ∈[0，2]，所以直线l 的斜率k 的最大值为2.故选D.答案：D13．解析：设直线AB 倾斜角为α，则直线AC 的倾斜角为2α，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α，由题可知tan2α＝k AC ＝1a ，tan α＝k AB ＝12，因此1a ＝2×121－（12）2，解得a ＝34.答案：3414.解析：如图，点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(10，1)，点Q 的坐标为(－1，4)，则k AQ ≤k ≤k BQ .又k AQ ＝4－0－1－1＝－2，k BQ ＝4－1－1－10＝－311，所以－2≤k ≤－311.答案：－2，－31115．解析：①当点P 在x 轴上时，设点P (a ，0)，∵A (1，2)，∴k P A ＝0－2a －1＝－2a －1.又∵直线PA 的倾斜角为60°，∴tan 60°＝－2a －1，解得a ＝1－233.∴点P －233，.②当点P 在y 轴上时，设点P (0，b )，同理可得b ＝2－3，∴点P 的坐标为(0，2－3).综上，点P －233，或(0，2－3).16．解析：∵x ，y 满足2x ＋y ＝8且2≤x ≤3当x ＝2，y ＝4，设点B (2，4)；当x ＝3，y ＝2，设点A (3，2)；∵y ＋1x －1的几何意义为线段AB 上的点与定点P (1，－1)连线的斜率．由题意画出图形如图，根据两点求斜率公式：求得k P A ＝32，k PB ＝5，∴y ＋1x －1的取值范围是[32，5].答案：[32，5]。
必修一函数与方程习题答案
必修一函数与方程习题答案函数与方程是高中数学中的重要内容，它们是数学中的基础概念，也是解决实际问题的重要工具。
在学习过程中，我们常常会遇到一些习题，下面我将为大家提供一些必修一函数与方程习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握相关知识。
1. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(4)的值。
解：将x = 4代入函数f(x)中，得到f(4) = 2(4) + 3 = 11。
2. 已知函数g(x) = x^2 + 2x，求g(-3)的值。
解：将x = -3代入函数g(x)中，得到g(-3) = (-3)^2 + 2(-3) = 9 - 6 = 3。
3. 已知函数h(x) = 3x - 1，求解方程h(x) = 8的解。
解：将h(x) = 8转化为3x - 1 = 8，解得x = 3。
4. 解方程2x + 5 = 3x - 1。
解：将方程化简为2x - 3x = -1 - 5，得到-x = -6，解得x = 6。
5. 解方程3(x - 2) = 2x + 1。
解：将方程化简为3x - 6 = 2x + 1，再将2x移到一边，得到3x - 2x = 1 + 6，解得x = 7。
6. 解方程2(3x - 4) - 5(x + 1) = 3(2x - 1)。
解：将方程化简为6x - 8 - 5x - 5 = 6x - 3，将6x移到一边，得到6x - 6x = 8 + 5 - 3，解得x = 10。
通过以上几道习题的解答，我们可以看出，函数与方程的解题过程主要是根据已知条件进行计算和化简，最终求出未知数的值。
在解方程时，我们需要注意将方程化简为一元一次方程，然后通过移项和合并同类项等步骤得出最终的解。
除了以上习题的答案，还有一些其他类型的函数与方程的习题，如二次函数、指数函数、对数函数等。
这些习题需要我们掌握相应的函数性质和解题方法，才能够正确地求解。
总之，函数与方程是数学中的重要内容，它们在数学的学习和实际问题的解决中起着重要的作用。
高中数学 2.1.1曲线与方程课时作业 新人教A版选修21
高中数学 2.1.1曲线与方程课时作业新人教A版选修21(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选 C.由曲线与方程的概念可知,若点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上,则必有f(x0,y0)=0;又当f(x0,y0)=0时,点P(x0,y0)也一定在方程f(x,y)=0对应的曲线上,故选C.2.下面四组方程表示同一条曲线的一组是( )A.y2=x与y=B.y=lgx2与y=2lgxC.=1与lg(y+1)=lg(x-2)D.x2+y2=1与|y|=【解析】选D.主要考虑x,y的取值范围,A中y2=x中y∈R,而y=中y≥0,B中y=lgx2中x≠0,而y=2lgx中x>0;C中=1中y∈R,x≠2,而lg(y+1)=lg(x-2)中y>-1,x>2,故只有D正确.3.(2014·石家庄高二检测)方程x2+y2=1(xy<0)的曲线形状是( )【解析】选C.方程x2+y2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分.4.(2014·安阳高二检测)曲线y=和y=-x+公共点的个数为( )A.3B.2C.1D.0【解析】选C.由得-x+=,两边平方并整理得(x-1)2=0,所以x=,这时y=,故公共点只有一个.【误区警示】解题中易忽略y=中x的取值范围,而写成x2+y2=1,从而解出两组解而导致出错.5.如果曲线C上点的坐标满足方程F(x,y)=0,则有( )A.方程F(x,y)=0表示的曲线是CB.曲线C的方程是F(x,y)=0C.点集{P|P∈C}⊆{(x,y)|F(x,y)=0}D.点集{P|P∈C}{(x,y)|F(x,y)=0}【解析】选C.A,B错,因为以方程F(x,y)=0的解为坐标的点不一定在曲线C上,若以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上,则点集{P|P∈C}={(x,y)|F(x,y)=0},故D错,选C.6.(2014·青岛高二检测)方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是( )A.两条直线B.一条直线和一双曲线C.两个点D.圆【解析】选C.由题意,所以x=1,y=1或x=-1,y=-1,所以方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是两个点(1,1)或(-1,-1).二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·天津高二检测)点P(2,-3)在曲线x2-ay2=1上,则a= .【解析】将(2,-3)代入x2-ay2=1,得a=.答案:【变式训练】已知点A(a,2)既是曲线y=mx2上的点,也是直线x-y=0上的一点,则m= .【解析】因为点A(a,2)在直线x-y=0上,得a=2,即A(2,2).又点A在曲线y=mx2上,所以2=m·22,得m=.答案:8.(2014·重庆高二检测)如果直线l:x+y-b=0与曲线C:y=有公共点,那么b的取值范围是.【解题指南】本题考查曲线的交点问题,可以先作出曲线y=的图象,利用数形结合解题.【解析】曲线C:y=表示以原点为圆心,以1为半径的单位圆的上半部分(包括(±1,0)),如图,当l 与l1重合时,b=-1,当l与l2重合时,b=,所以直线l与曲线C有公共点时,-1≤b≤.答案:[-1,]9.方程y=所表示的曲线是.【解析】原方程可化为:y=|x-2|=所以方程表示的是射线x-y-2=0(x≥2)及x+y-2=0(x<2).答案:两条射线【误区警示】本题易忽视方程自身的条件对y的约束,即y≥0,而将方程变形为(x+y-2)(x-y-2)=0,从而得出方程表示的曲线是两条直线.三、解答题(每小题10分,共20分)10.方程=表示的曲线是什么图形?【解析】原方程可化为即所以它表示的图形是两条线段y=-x(-1≤x≤0)和y=x(0≤x≤1).如图:11.曲线x2+(y-1)2=4与直线y=k(x-2)+4有两个不同的交点,求k的范围,若有一个交点、无交点呢?【解析】由得(1+k2)x2+2k(3-2k)x+(3-2k)2-4=0,Δ=4k2(3-2k)2-4(1+k2)[(3-2k)2-4]=48k-20.所以Δ>0,即k>时,直线与曲线有两个不同的交点;Δ=0,即k=时,直线与曲线有一个交点;Δ<0,即k<时,直线与曲线没有交点.【拓展延伸】曲线与直线交点个数的判别方法曲线与直线交点的个数就是曲线方程与直线方程联立方程组解的组数,而方程组解的组数可利用根的判别式进行判断.本题是判断直线和圆的交点问题,用的是代数法.也可用几何法,即通过圆心到直线的距离与半径的关系求出k的范围.有些题目,在判断交点个数时,也可用数形结合法.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知曲线ax2+by2=2经过点A(0,2)和B(1,1),则a,b的值分别为( )A.,B.,C.-,D.,-【解析】选B.因为点A(0,2)和B(1,1)都在曲线ax2+by2=2上,所以解得2.(2014·临沂高二检测)方程+=1表示的图形是( )A.一条直线B.两条平行线段C.一个正方形D.一个正方形(除去四个顶点)【解析】选D.由方程可知,方程表示的图形关于坐标轴和原点对称,且x≠0,y≠0,当x>0,y>0时,方程可化为x+y=1,表示第一象限内的一条线段(去掉两端点),因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个顶点).3.已知圆C:(x-2)2+(y+1)2=4及直线l:x+2y-2=0,则点M(4,-1) ( )A.不在圆C上,但在直线l上B.在圆C上,但不在直线l上C.既在圆C上,也在直线l上D.既不在圆C上,也不在直线l上【解析】选C.将点M(4,-1)的坐标分别代入圆C及直线l的方程,均满足.4.(2014·成都高二检测)已知方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点,则a的取值范围是( )A.a>1B.0<a<1C.0<a<1或a>1D.a∈【解题指南】分别作出y=a|x|和y=x+a所表示的曲线.再根据图象求a的取值范围.【解析】选A.因为a>0,所以方程y=a|x|和y=x+a(a>0)的图象大致如图,要使方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点,则要求y=a|x|在y轴右侧的斜率足够大,所以a>1.【变式训练】如图所示,定圆半径为a,圆心为(b,c),则直线ax+by+c=0与直线x-y+1=0的交点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.由所以因为a+b<0,a-c>0,b+c<0,所以x<0,y<0,所以交点在第三象限,选C.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·济宁高二检测)曲线y=|x-2|-2的图象与x轴所围成的三角形的面积是.【解析】当x-2<0时,原方程可化为y=-x;当x-2≥0时,原方程可化为y=x-4.故原方程表示两条共顶点的射线,易得顶点为B(2,-2),与x轴的交点为O(0,0),A(4,0),所以曲线y=|x-2|-2与x轴围成的三角形面积为S△AOB= |OA|·|y B|=4.答案:46.(2014·石家庄高二检测)曲线y=-与曲线y+|ax|=0(a∈R)的交点个数为.【解析】由得-|ax|=-,即a2x2=1-x2,所以(a2+1)x2=1,解得x=和x=-,代入y=-|ax|,得y=-,所以它们有2个交点.答案:2【一题多解】由y=-,得x2+y2=1(y≤0)表示半圆如图:由y+|ax|=0,得y=-|a||x|,表示过原点的两条射线,如图.所以由图象可知,它们有两个交点.答案:2三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知点P(x0,y0)是曲线f(x,y)=0和曲线g(x,y)=0的交点,求证:点P在曲线f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)上.【证明】因为P是曲线f(x,y)=0和曲线g(x,y)=0的交点,所以P在曲线f(x,y)=0上,即f(x0,y0)=0,P在曲线g(x,y)=0上,即g(x0,y0)=0,所以f(x0,y0)+λg(x0,y0)=0+λ0=0,故点P在曲线f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)上.【拓展延伸】证明曲线与方程关系的技巧解答本类问题的关键是正确理解并运用曲线的方程与方程的曲线的概念,明确两条原则,即若点的坐标适合方程,则该点必在方程的曲线上;若点在曲线上,则该点的坐标必适合曲线的方程.另外,要证明方程是曲线的方程,根据定义需完成两步:①曲线上任意一点的坐标都是方程的解;②以方程的解为坐标的点都在曲线上.二者缺一不可.8.当曲线y=1+与直线y=k(x-2)+4有两个相异交点时,求实数k的取值范围.【解析】曲线y=1+是以(0,1)为圆心,2为半径的半圆,如图.直线y=k(x-2)+4是过定点(2,4)的直线.设切线PC的斜率为k0,切线PC的方程为y=k0(x-2)+4.圆心(0,1)到直线PC的距离等于半径2,即=2,所以k0=,直线PA的斜率k1=,所以实数k的取值范围是<k≤.。
课时作业10：2.1.1 曲线与方程的概念
2.1.1 曲线与方程的概念基础达标1.曲线y =x1与xy =2的交点是（ ） A.（1，1） B.（2，2）C.直角坐标系内的任意一点D.不存在2.下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( )A.y =x 与y =2xB.(x -1)2+(y +2)2=0与(x -1)(y +2)=0C.y =x1与xy =1 D.y =lg x 2与y =2lg x 3.“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )=0的解”是“曲线C 的方程是f (x ，y )=0”的_________条件（ ）A.充分B.必要C.充要D.既不充分又不必要4.“以方程f (x ，y )=0的解为坐标的点都是曲线C 上的点”是“曲线C 的方程是f (x ，y )=0”的___________条件（ ）A.充分B.必要C.充要D.既不充分又不必要5.已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x -2)2+y 2=3上，则α的值为( ) A.π3 B.5π3 C.π3或5π3 D.π3或π66.曲线x 2-xy -y 2-3x +4y -4=0与x 轴的交点坐标是_____________.7.方程(x +y -1)(x -y +2)=0表示_______________________.8.判断点P (-4，3)、Q (-32，-4)、R (5，25)是否在方程x 2＋y 2＝25（x ≤0）所表示的曲线上.综合运用9.点M 到x 轴的距离是它到y 轴距离的2倍，则点M 的轨迹方程是__________________.10.设A 、B 两点的坐标是(-a ，0)、(a ，0)，若动点M 满足ｋＭＡ·ｋＭＢ＝-１，则动点M 的轨迹方程是____________________.11.已知点M 到点F (0，1)和直线l :y =-1的距离相等，求点M 的轨迹方程.12.已知点P (x 0，ｙ0）在曲线ｆ（ｘ，ｙ）＝0上，P 也在曲线g (x ，y )=0上.求证：P 在曲线f (x ，y )+λｇ（ｘ，ｙ）＝0上(λ∈R ）.13.求方程(x +y -1)2--y x =0的曲线.拓展探究14.判断过点P （0，-1）且与x 轴平行的直线l 是否是方程|y |=1所表示的曲线.参考答案基础达标1.【答案】D2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】（4，0）和（-1，0）7.【答案】两条直线x +y -1=0和x -y +2=08.解：点P 在曲线x 2+y 2=25(x ≤0)上，点Q 、R 都不在曲线x 2+y 2=25(x ≤0)上.综合运用9.【答案】2x +y =0或2x -y =010.【答案】x 2+y 2=a 2（x ≠±a ）11.解：设点M 的坐标为(x ，y )，点M 的轨迹就是集合P =｛Ｍ｜｜ＭＦ｜＝｜ＭＱ｜｝，其中Q 是点M 到直线y =-1的垂线的垂足.由两点间距离公式及点到直线的距离公式得＝｜y +1｜，将上式两边平方得x 2+(y -1)2=(y +1)2，化简得y =41x 2.① 下面证明方程①是所求轨迹的方程.(1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；(2)设点M 1的坐标(x 1，y 1)是方程①的解，那么y 1=41x 12， 即x 12＋（ｙ1-１）2＝（ｙ1＋１）2，=-+2121)1(y x ｜y 1+1｜，｜Ｍ1Ｆ｜＝｜Ｍ1Ｑ1｜.其中Q 1是点M 1到直线y =-1的垂线的垂足，因此点M 1是曲线上的点.由(1)(2)可知，方程①是所求轨迹的方程，图形如下图所示.12.证明：∵点P 在曲线f (x ，y )=0上也在曲线g (x ，y )=0上，∴f （x 0，y 0）＝0，g （x 0，y 0）＝0.∴f （x 0，y 0）＋λg （x 0，y 0）＝0＋λ·0＝0，即P 点在曲线f (x ，y )＋λg （x ，y ）＝0上.13.解：把方程（ｘ＋ｙ－１）2--y x ＝0写成⎩⎨⎧≥--=-+02,01y x y x 或x -y -2=0.22)1(-+yx由⎩⎨⎧≥--=-+02,01y x y x ，得⎪⎩⎪⎨⎧≥=-+23,01x y x ∴⎩⎨⎧≥--=-+02,01y x y x 表示射线x +y -1=0(x ≥23). ∴方程(x +y -1)2--y x =0的曲线是射线x +y -1=0(x ≥23)和直线x -y -2=0.拓展探究14.解：过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为y =-1.因此，直线l 上的点都满足方程|y |=1，即直线l 上的点都在方程|y |=1所表示的曲线上.然而，以方程|y |=1的解为坐标的点不全在直线l 上.这是因为方程|y |=1表示两条直线y =1和y =-1.所以|y |=1不是直线l 的方程，l 也不是方程|y |=1所表示的曲线.。
课时作业11：2.1.1 曲线与方程的概念
2.1.1 曲线与方程的概念基础巩固一、选择题1．设圆M 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝2，直线l 的方程为x ＋y －3＝0，点P 的坐标为(2,1)，那么( )A ．点P 在直线l 上，但不在圆M 上B ．点P 在圆M 上，但不在直线l 上C ．点P 既在圆M 上，也在直线l 上D ．点P 既不在圆M 上，也不在直线l 上2．f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列各组方程中表示相同曲线的是( ) A ．x 2＋y ＝0与xy ＝0 B.x ＋y ＝0与x 2－y 2＝0 C ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x D ．x －y ＝0与y ＝lg10x4．若方程x －2y －2k ＝0与2x －y －k ＝0所表示的两条曲线的交点在方程x 2＋y 2＝9的曲线上，则k ＝( ) A ．±3 B ．0 C ．±2D. 一切实数 5．给出下列曲线，其中与直线y ＝－2x －3有交点的所有曲线是( ) ①4x ＋2y －1＝0；②x 2＋y 2＝3；③x 22＋y 2＝1；④x 22－y 2＝1. A ．①③ B ．②④ C ．①②③D ．②③④6．曲线y ＝14x 2与x 2＋y 2＝5的交点是( )A ．(2,1)B ．(±2,1)C ．(2,1)或(22，5)D ．(±2,1)或(±25，5) 二、填空题7．如图所示曲线方程是__________________．8．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是________．三、解答题9．若直线x＋y－m＝0被曲线y＝x2所截得的线段长为32，求m的值．能力提升一、选择题1．方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形是()A．直线2x－y＝0B．直线2x＋y＋3＝0C．直线2x－y＝0或直线2x＋y＋3＝0D．直线2x＋y＝0和直线2x－y＋3＝02．设曲线F1(x，y)＝0和F2(x，y)＝0的交点为P，那么曲线F1(x，y)－F2(x，y)＝0必定() A．经过P点B．经过原点C．经过P点和原点D．不一定经过P点3．方程(x－2)2＋(y＋2)2＝0表示曲线是()A．圆B．两条直线C．一个点D．两个点4．曲线y＝－1－x2与曲线y＝－|ax|(a∈R)的交点个数一定是()A．2B．4C．0D．与a的取值有关二、填空题5．方程1－|x|＝1－y表示的曲线是________．6．已知直线y＝2x－5与曲线x2＋y2＝k，当________时，有两个公共点；当________时，有一个公共点；当________时，无公共点．7．|x|＋|y|＝1表示的曲线围成的图形面积为____．三、解答题8．已知直线y＝2x＋b与曲线xy＝2相交于A、B两点，且|AB|＝5，求实数b的值．9．求方程|x2－1|＝x＋b的解的个数．参考答案基础巩固一、选择题 1．【答案】 C【解析】 将P (2,1)代入圆M 和直线l 的方程，得(2－3)2＋(1－2)2＝2且2＋1－3＝0，∴点P (1,2)既在圆(x －3)2＋(y －2)2＝2上也在直线l ：x ＋y －3＝0上，故选C. 2．【答案】 C【解析】 根据曲线与方程的概念知． 3．【答案】 D【解析】 ∵lg10x ＝x ，故x －y ＝0与y ＝lg10x 表示相同的曲线． 4．【答案】 A【解析】 两曲线的交点为(0，－k )，由已知点(0，－k )在曲线x 2＋y 2＝9上，故可得k 2＝9，∴k ＝±3. 5．【答案】 D【解析】 y ＝－2x －3与4x ＋2y －1＝0平行，无交点；将y ＝－2x －3代入x 2＋y 2＝3得5x 2＋12x ＋6＝0，Δ＝144－4×5×6＝24>0故有两个交点； 同理y ＝－2x －3与x 22±y 2＝1也有交点．故选D.6．【答案】 B【解析】 易知x 2＝4y 代入x 2＋y 2＝5得y 2＋4y －5＝0得(y ＋5)(y －1)＝0解得y ＝－5，y ＝1，y ＝－5不合题意舍去，∴y ＝1，解得x ＝±2. 二、填空题 7．【答案】 |y |＝x【解析】 曲线表示两条射线y ＝x (x ≥0)和y ＝－x (x ≥0)∴曲线方程为|y |＝x . 8．【答案】 四个点【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4＝0y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－2.故方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是四个点． 三、解答题9．解：设直线x ＋y －m ＝0与曲线y ＝x 2相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，联立直线与曲线得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －m ＝0，(1)y ＝x 2.(2)将(2)代入(1)得x 2＋x －m ＝0， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋(－1)2·|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·1＋4m ＝32，所以1＋4m ＝3，所以m 的值为2.能力提升一、选择题 1．【答案】 C【解析】 ∵4x 2－y 2＋6x －3y ＝(2x ＋y )(2x －y )＋3(2x －y )＝(2x －y )(2x ＋y ＋3)， ∴原方程表示两条直线2x －y ＝0和2x ＋y ＋3＝0. 2．【答案】 A【解析】 设A 点坐标为(x 0，y 0)，∴F 1(x 0，y 0)＝0，F 2(x 0，y 0)＝0，∴F 1(x 0，y 0)－F 2(x 0，y 0)＝0，∴F 1(x ，y )－F 2(x ，y )＝0过定点P .是否有F 1(0,0)＝F 2(0,0)未知，故是否过原点未知． 3．【答案】 C【解析】 由题意得x ＝2且y ＝－2为一个点． 4．【答案】 A【解析】 画出图形，易知两曲线的交点个数为2. 二、填空题5．【答案】 两条线段【解析】 由已知得1－|x |＝1－y,1－y ≥0,1－|x |≥0，∴y ＝|x |，|x |≤1∴曲线表示两条线段． 6．【答案】 k >5；k ＝5；0<k <5【解析】 首先应用k >0，再联立y ＝2x －5和x 2＋y 2＝k 组成方程组，利用“△”去研究． 7．【答案】 2【解析】 利用x ≥0，y ≥0时，有x ＋y ＝1；x ≥0，y ≤0时，x －y ＝1；x ≤0，y ≥0时，有－x ＋y ＝1；x ≤0，y ≤0时，－x －y ＝1，作出图形为一个正方形，其边长为2，面积为2. 三、解答题8．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，xy ＝2.消去y 整理得2x 2＋bx －2＝0， ①运用x 1＋x 2＝－b2，x 1·x 2＝－1及y 1－y 2＝(2x 1＋b )－(2x 2＋b )＝2(x 1－x 2)，得|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋4(x 1－x 2)2 ＝5·(x 1－x 2)2＝5·b 24＋4＝5. 解得b 2＝4，b ＝±2.而①式中Δ＝b 2＋16>0一定成立，故b ＝±2.9．解：方程|x 2－1|＝x ＋b 的解的个数就是曲线y ＝|x 2－1|和y ＝x ＋b 的公共点的个数．作出曲线y ＝|x 2－1|，如图中实线部分，方程y ＝x ＋b 表示斜率是1，在y 轴上截距为b 的直线．当－1≤x ≤1时，y ＝|x 2－1|＝1－x 2. 将y ＝x ＋b 代入y ＝1－x 2， 令Δ＝0，得b ＝54.由图可知：当b <－1时，原方程无解； 当b ＝－1时，原方程只有一解； 当－1<b <1时，原方程有两解； 当b ＝1时，原方程有三解； 当1<b <54时，原方程有四解；当b ＝54时，原方程有三解；当b >54时，原方程有两解．。
高中数学(人教B版)必修一课时作业2.4函数与方程.2 Word版含解析
第二章级基础巩固一、选择题．三次方程＋－－＝的根不可能所在的区间为( )．(－)．(－，－)．()．()[解析]∵(－)＝－<，(－)＝>，()＝－<，()＝－<，()＝>，∴三次方程＋－－＝的三个根分别在区间(－，－)、(－)、()内，故选．．用二分法求函数()＝－的零点时，初始区间可选为( )．()．()．()．()[解析]∵()＝－，()＝，∴()·()<，故选．．若函数()＝＋－－的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：．．．．[解析]∵()<, ()>，∴()·()<，又∈()，故选．．二次函数()＝＋＋(≠，∈)的部分对应值如下表：．(－，－)和()．(－，－)和(－)．(－)和()．(－∞，－)和(，＋∞)[解析]∵(－)·(－)<, ()·()<，故选．二、填空题．已知二次函数()＝－－在区间[]上的图象是一条连续的曲线，且()＝－<，()＝>.由零点存在性定理可知函数在[]内有零点．用二分法求解时，取()的中点，则()＝－[解析]区间[]的中点为，()＝－－＝－.．已知定义在上的函数()的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：则()[解析]因为()>，()<，()>，()<，∴()·()<，()·()<，()·()<，故()的零点至少有个．三、解答题．求方程－－＋＝的无理根．(精确到)[解析]令()＝－－＋，则()＝(－)·(－)．显然方程()＝有两个有理根，即＝，＝－，则无理根就是方程－＝的根．令()＝－，以下用二分法求函数()的零点．由于()＝－<，()＝>，故可以取[]作为计算的初始区间，列表如下：理根是.．求方程－－＝在[]的一个实根(精确到)[解析]设()＝－－，∵()＝－<，()＝>，∴方程在[]内有实根，用二分法逐次计算，列表如下：。
高中数学选修2-1课时作业5：2.1.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程1.方程y=3x-2(x ≥1)表示的曲线为( ).A.一条直线B.一条射线C.一条线段D.不能确定[答案]:B[解析]:方程y=3x-2表示的曲线是一条直线,当x ≥1时,它表示一条射线.2.已知曲线C 的方程为2x 2-3y-8=0,则有( ).A.点(3,0)在C 上B.点20,-3⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上C.点3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上D.点80,-3⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上 [答案]:D[解析]:经逐一检验知只有点80,-3⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标适合曲线C 的方程,故只有点80,-3⎛⎫ ⎪⎝⎭在曲线C 上.3.方程y=2||x x 表示的曲线的图象大致为( ).[答案]:C[解析]:当x>0时,y=21x x x =;当x<0时,y=2x x -=-1x ,即y=1,x 0,1,x 0.x x⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩ 4.一动点C 在曲线x 2+y 2=1上移动时,它和定点B (3,0)连线的中点P 的轨迹方程是( ).A.(x+3)2+y 2=4B.(x-3)2+y 2=1C.(2x-3)2+4y 2=1D.232x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+y 2=1 [答案]:C[解析]:设C (x 0,y 0),P (x ,y ).依题意有003,2.2x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以002x 3,2y.x y =-⎧⎨=⎩ 由于点C (x 0,y 0)在曲线x 2+y 2=1上,所以(2x-3)2+(2y )2=1,即点P 的轨迹方程为(2x-3)2+4y 2=1.5.已知A (-1,0),B (2,4),△ABC 的面积为10,则动点C 的轨迹方程是( ).A.4x-3y-16=0或4x-3y+16=0B.4x-3y-16=0或4x-3y+24=0C.4x-3y+16=0或4x-3y+24=0D.4x-3y+16=0或4x-3y-24=0[答案]:B[解析]:5.由于S △ABC =12|AB|·h=10, ∴h=4,即顶点C 到AB 所在直线的距离为4.易知AB 所在直线的方程为4x-3y+4=0. 设点C (x ,y ),则|434|5x y -+=h=4,∴4x-3y+4=±20. 6.平面内有两定点A ,B 且|AB|=4,动点P 满足|PA PB +u u u r u u u r |=4,则点P 的轨迹是( ).A.线段B.半圆C.圆D.直线[答案]:C[解析]:以AB 的中点为原点,以AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系,则A (-2,0),B (2,0).设P (x ,y ),则PA PB +u u u r u u u r =2PO uuu r =2(-x ,-y ).∴x 2+y 2=4.7.方程x 2+y 2-3x-2y+k=0表示的曲线经过原点的充要条件是k= .[答案]:0[解析]:若曲线过原点,则(0,0)适合曲线的方程,即02+02-3×0-2×0+k=0,得k=0.8.已知两点M (-2,0),N (2,0),点P 为坐标平面内的动点,满足|MN u u u u r |·|MP u u u r |+·MN NP u u u u r u u u r =0,则动点P (x ,y )的轨迹方程为 .[答案]:y 2=-8x[解析]:设点P 的坐标为(x ,y ),则MN u u u u r =(4,0),MP u u u r =(x+2,y ),NP uuu r =(x-2,y ).∴|MN u u u u r |=4,|MP u u u r|=MN u u u u r ·NP uuu r =4(x-2). 由已知条件得4(2-x ),整理得y 2=-8x.∴点P 的轨迹方程为y 2=-8x.9.在△ABC 中,A (-2,0),B (0,-2),顶点C 在曲线y=3x 2-1上移动,求△ABC 的重心的轨迹方程.解:设△ABC 的重心为G (x ,y ),顶点C 的坐标为(x 1,y 1).由重心坐标公式得1120,302,3x x y y -++⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩∴113x 2,3y 2.x y =+⎧⎨=+⎩代入y=3x 2-1中,得3y+2=3(3x+2)2-1.∴所求轨迹方程为y=9x 2+12x+3. 10.若曲线y 2-xy+2x+k=0过点(a ,-a )(a ∈R ),求k 的取值范围.解:∵曲线y 2-xy+2x+k=0过点(a ,-a ),∴a 2+a 2+2a+k=0.∴k=-2a 2-2a=-221122a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. ∴k ≤12.∴k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.。
2020-2021学年新教材数学人教B版选择性必修第一册课时分层作业2.4 曲线与方程
课时分层作业(十八) 曲线与方程(建议用时：40分钟）一、选择题1．f （x 0，y 0）＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y ）＝0上的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C ［由曲线与方程的概念可知，若点P （x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上，则必有f (x 0，y 0）＝0；又当f （x 0,y 0)＝0时,点P (x 0，y 0）也一定在方程f (x ,y ）＝0对应的曲线上，故选C ．]2．方程x 2＋y 2＝1（xy ＜0）的曲线形状是( )A B C DC [方程x 2＋y 2＝1(xy ＜0)表示以原点为圆心，1为半径的圆在第二、四象限的部分．]3．方程x 2＋2y 2＋2x －2y ＋32＝0表示的曲线是（ ) A ．一个点B ．一条直线C ．一个圆D ．两条线段A [方程可化为(x ＋1)2＋2错误!错误!＝0，所以错误!即错误!它表示点错误!．故选A ．]4．已知0≤α＜2π，点P(cos α，sin α)在曲线（x－2)2＋y2＝3上,则α的值为（)A．错误!B．错误!C．错误!或错误!D．错误!或错误!C[由(cos α－2)2＋sin2α＝3，得cos α＝错误!．又0≤α＜2π，∴α＝错误!或α＝错误!．］5．在平面直角坐标系中，已知两点A(3,1）,B(－1,3）,若点C满足错误!＝λ1错误!＋λ2错误!(O为原点)，其中λ1，λ2∈R,且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是( ）A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线A［设C（x，y)，则错误!＝(x，y），错误!＝(3，1),错误!＝(－1,3),∵错误!＝λ1错误!＋λ2错误!，∴错误!解得错误!又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0,表示一条直线．]二、填空题6．方程（x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的图形是．两个点(1，1）或（－1，－1）[由题意错误!所以错误!或错误!所以方程(x－y）2＋(xy－1)2＝0表示的是两个点（1,1）或（－1，－1）．] 7．动点P与平面上两定点A（－错误!,0），B(错误!,0）连线的斜率的积为定值－错误!，则动点P的轨迹方程为．x2＋2y2－2＝0(x≠±2) [设P(x，y)，由题意知，x≠±错误!，k AP＝错误!,k BP＝错误!，由条件知k AP·k BP＝－错误!，所以错误!×错误!＝－错误!,整理得x2＋2y2－2＝0(x≠±错误!)．]8．在直角坐标平面xOy中,过定点（0,1)的直线l与圆x2＋y2＝4交于A,B两点．若动点P(x，y)满足错误!＝错误!＋错误!，则点P的轨迹方程为．x2＋(y－1）2＝1 ［设AB的中点为M，则OM，→＝错误!错误!，M错误!．又因为OM⊥AB，错误!的方向向量为错误!，错误!＝错误!，所以错误!·错误!＝0,x2＋y（y－2）＝0，即x2＋（y－1）2＝1．］三、解答题9．曲线x2＋(y－1）2＝4与直线y＝k(x－2）＋4有两个不同的交点，求k的范围，若有一个交点、无交点呢？[解] 由错误!得(1＋k2）x2＋2k(3－2k）x＋(3－2k）2－4＝0，Δ＝4k2（3－2k）2－4(1＋k2）[（3－2k）2－4］＝48k－20．所以Δ＞0,即k＞错误!时,直线与曲线有两个不同的交点；Δ＝0，即k＝错误!时,直线与曲线有一个交点；Δ＜0，即k＜错误!时，直线与曲线没有交点．10．设点P是圆x2＋y2＝4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为P0,且错误!＝错误!错误!,求点M的轨迹C的方程．［解] 设点M（x,y），P(x0，y0)，则由题意知P0(x0，0）．由错误!＝(x0－x，－y)，错误!＝（0，－y0）,且错误!＝错误!错误!，得（x0－x,－y)＝错误!(0，－y0），所以错误!于是错误!又x错误!＋y错误!＝4，所以x2＋错误!y2＝4,所以,点M的轨迹C的方程为错误!＋错误!＝1．11．（多选题)给出下列结论：其中错误的是( )A．方程错误!＝1表示斜率为1，在y轴上截距为－2的直线B．到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2C．方程|x－3|＋(y2－9)2＝0表示两个点D．到两坐标轴距离之和为a（a＞0）的点M的轨迹方程为x＋y ＝a（a＞0）ABD[对于A,方程错误!＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线且去掉点(2,0），所以A错误;对于B，到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2或y＝2，所以B错误；对于C,方程|x－3|＋（y2－9)2＝0表示（3,－3），（3,3）两个点，所以C正确;对于D轨迹方程应为|x|＋｜y|＝a(a＞0)．]12．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（－1,1)关于原点O 对称,P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于错误!，则动点P的轨迹方程为( ）A．x2－3y2＝－2 B．x2－3y2＝－2（x≠±1)C．x2－3y2＝2 D．x2－3y2＝2（x≠±1)B［设P（x，y），由于点B与点A（－1，1）关于原点O对称，所以B（1，－1）．k PA ＝y －1x ＋1(x ≠－1)，k PB ＝错误!(x ≠1)， 因为k PA ·k PB ＝错误!,所以错误!·错误!＝错误!．整理得x 2－3y 2＝－2(x ≠±1)．]13．(一题两空)已知两定点A （－2,0），B (1，0),如果动点P 满足条件｜PA ｜＝2｜PB ｜，则动点P 的轨迹方程为 ，P 点轨迹所围成的图形的面积为 ．(x －2）2＋y 2＝4 4π [设P （x ，y )，由|PA ｜＝2|PB |知，错误!＝2x －12＋y 2化简整理得（x －2)2＋y 2＝4,所以动点P 的轨迹为圆心为(2,0），半径为2的圆，此圆的面积为S ＝22π＝4π．]14．已知sin θ，cos θ是方程x 2－ax ＋b ＝0的两根，点P (a ，b ）的轨迹方程为 ．a 2＝2错误!(－错误!≤a ≤错误!） ［由根与系数的关系知错误!由①2－②×2得a 2－2b ＝1．因为a ＝sin θ＋cos θ＝2sin 错误!，所以－错误!≤a ≤错误!，b ＝错误!sin 2θ，所以－错误!≤b ≤错误!．所以点P 的轨迹方程为：a 2＝2错误!（－错误!≤a ≤错误!）．］15．已知点P (－3,0），点Q 在x 轴上，点A 在y 轴上，且错误!·错误!＝0，错误!＝2错误!．当点A 在y 轴上移动时,求动点M 的轨迹方程．[解］ 设M （x ,y ）是曲线上任意一点，并设Q (a,0），A （0,b )， 则错误!＝(3，b )，错误!＝（a ，－b )，错误!＝(x －a ,y ),错误!·错误!＝3a －b 2＝0 ①，因为QM→＝2错误!， 所以错误!所以错误!②把②代入①，得y 2＝4x ，所以,动点M 的轨迹方程为y 2＝4x ．攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。
2024-2025学年高中数学人教B版选择性必修一课时作业18：曲线与方程
2024-2025学年高中数学人教B版选择性必修一课时作业(十八)曲线与方程一、选择题1．在点A(4，4)，B(3，4)，C(－3，3)，D(2，26)中，有几个点在方程x2－2x＋y2＝24的曲线上()A．1个B．2个C．3个D．4个2.“点M在曲线x2＝4y上”是“点M的坐标满足方程x＝2y”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．方程y＝－12−x2表示的曲线是()A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．一个半圆4．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线()A．恒过定点(－2，3)B．恒过定点(2，3)C．恒过点(－2，3)和点(2，3)D．都是平行直线二、填空题5．已知动点M到点A(9，0)的距离是M到点B(1，0)的距离的3倍，则动点M的轨迹方程是________．6．已知动点P(x，y)与两定点M(－1，0)，N(1，0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P的轨迹C的方程为________．(2)________________________________________________________________________；(3)________________________________________________________________________．三、解答题8．已知曲线C的方程为x＝4−y2，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．9.已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程．[尖子生题库]10．在平面直角坐标系xOy中，动点P到两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则不正确的说法是()A．曲线E经过坐标原点B．曲线E关于x轴对称C．曲线E关于y轴对称D．若点(x，y)在曲线E上，则－3≤x≤3答案解析1．解析：点A，C，D都在方程的曲线上．答案：C2．解析：若点M在曲线x2＝4y上，则x＝±2y；当点M的坐标满足方程x＝2y时，必有x2＝4y，即点M在曲线x2＝4y上，故“点M在曲线x2＝4y上”是“点M的坐标满足方程x＝2y”的必要不充分条件．故选B.答案：B3．解析：由方程知y≤0，将方程两边平方得y2＝12－x2，即x2＋y2＝12，(y≤0)，故该方程表示的曲线是圆上的一部分，即一个半圆．故选D.答案：D4．解析：把点(－2，3)和点(2，3)的坐标代入方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0.验证知(－2，3)适合方程，而(2，3)不一定适合方程，故选A.答案：A5．解析：设M(x，y)，则|MA|＝x−92+y2，|MB|＝x−12+y2.由|MA|＝3|MB|，得x−92+y2＝3x−12+y2，化简得x2＋y2＝9.答案：x2＋y2＝96．解析：由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以k PM·k PN＝y x+1·y x−1＝λ，整理得x2－y2λ＝1(λ≠0，x≠±1)．即动点P的轨迹C的方程为x2－y2λ＝1(λ≠0，x≠±1)．答案：x2－y2λ＝1(λ≠0，x≠±1)7．答案：(1)曲线是方程所表示的曲线的一部分(2)方程所表示的曲线是图中曲线的一部分(3)方程是曲线的方程8．解析：由x＝4−y2，得x2＋y2＝4.又x≥0，所以方程x＝4−y2表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆．从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积S＝12π·4＝2π.所以，所求图形的面积为2π.9．解析：方法一：(直接法)如图，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°.设Q(x，y)，由题意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，即x2＋y2＋[x2＋(y－3)2]＝9，所以点Q的轨迹方程是x2＋(y－32)2＝94(去掉原点)．方法二：(定义法)如图所示，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°，则Q在以OC为直径的圆上，故Q点的轨迹方程为x2＋y＝94(去掉原点)．方法三：(代入法)设P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意，得x=x12，y1=2y，y=y12，即x1=2x，又因为x12＋(y1－3)2＝9，所以4x2＋4y＝9，即点Q的轨迹方程为x2＋y＝94(去掉原点)．10．解析：设P(x，y)，由已知，|PF1||PF2|＝8，即x+12+y2×x−12+y2＝8，平方得，(0，0)不满足方程，故选项A错误；用(x，－y)换(x，y)，方程不变，所以曲线E 关于x轴对称，故B正确；同理用(－x，y)换(x，y)，方程不变，所以曲线E关于y轴对称，故C正确；令y＝0，得(x＋1)2(x－1)2＝64，即x2－1＝8，所以x＝±3，故－3≤x≤3，D正确．故选A.答案：A。
课时作业15：2.1.1 曲线与方程的概念
§2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念一、选择题1．“曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”是“曲线C的方程是F(x，y)＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析结合曲线方程的定义易得．2．若曲线C的方程为y＝2x－1(1<x<5)，则下列四个点中在曲线C上的是()A．(0,0) B．(7,15) C．(2,3) D．(4,4)答案 C解析由y＝2x－1(1<x<5)得A，B的横坐标不满足题意，D项中坐标代入后不满足方程，故选C.3．方程|x|＋|y|＝|xy|＋1表示的曲线是()A．一条直线B．一个正方形C．一个圆D．四条直线答案 D解析由|x|＋|y|＝|xy|＋1得(|x|－1)(|y|－1)＝0，即x＝±1或y＝±1，因此该方程表示四条直线．4．下列方程对应的曲线是同一条曲线的是()①y＝a log a x；②y＝x2；③y＝log a a x；④y＝3x3.A．①②B．③④C．②④D．①③答案 B解析 由y ＝log a a x ＝x ，y ＝3x 3＝x ，得③④表示同一条曲线．5．过坐标原点O 作单位圆x 2＋y 2＝1的两条互相垂直的半径OA ，OB ，若在该圆上存在一点C ，使得OC →＝aOA →＋bOB →(a ，b ∈R )，则以下说法正确的是( ) A ．点P (a ，b )一定在单位圆内 B ．点P (a ，b )一定在单位圆上 C ．点P (a ，b )一定在单位圆外D ．当且仅当ab ＝0时，点P (a ，b )在单位圆上 答案 B解析 ∵OC →2＝(aOA →＋bOB →)2，且OA →⊥OB →，∴a 2＋b 2＋2abOA →·OB →＝a 2＋b 2＝1，因此点P (a ，b )一定在单位圆上，故选B.6．方程|x |－|y |＝0表示的图形是下图中的( )答案 C解析 由|x |－|y |＝0知y ＝±x ，即表示一、三象限角平分线或二、四象限角平分线． 7．关于方程x (x 2＋y 2－1)＝0和x 2＋(x 2＋y 2－1)2＝0所表示的图形叙述正确的是( ) A ．表示的图形都是一条直线和一个圆 B ．表示的图形都是两个点C ．前者表示一条直线和一个圆，后者表示两个点D ．前者表示两个点，后者表示一条直线和一个圆 考点 曲线与方程的意义 题点 方程是否表示同一曲线 答案 C解析 x (x 2＋y 2－1)＝0⇔x ＝0或x 2＋y 2＝1， 表示直线x ＝0和圆x 2＋y 2＝1. x 2＋(x 2＋y 2－1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，x 2＋y 2－1＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝±1， 表示点(0,1)，(0，－1)．故选C.8．下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是( )答案 D解析对于A，点(0，－1)满足方程，但不在曲线上，排除A；对于B，点(1，－1)满足方程，但不在曲线上，排除B；对于C，曲线上第三象限的点，由于x<0，y<0，不满足方程，排除C.二、填空题9．设命题甲：点P的坐标适合方程F(x，y)＝0，命题乙：点P在曲线C上，命题丙：点Q 的坐标不适合方程F(x，y)＝0，命题丁：点Q不在曲线C上，已知甲是乙的必要条件，但不是充分条件，那么丙是丁的________条件．答案充分不必要解析依题意可知，曲线C上的点都满足方程，但以满足方程F(x，y)＝0的解为坐标的点不一定都在曲线C上，那么逆否命题为不满足方程的解为坐标的点一定不在曲线C上，从而丙是丁的充分条件，但不是必要条件．10．方程(x－1)2＋y－2＝0表示的是____________．答案点(1,2)解析由(x－1)2＋y－2＝0，知(x－1)2＝0且y－2＝0，即x＝1且y＝2，所以(x－1)2＋y－2＝0表示的是点(1,2)．11．给出下列说法：①方程yx－2＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线；②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2；③方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示四个点．其中正确说法的序号是________．考点曲线与方程的意义题点曲线与方程的综合应用答案③解析对于①，方程yx－2＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线(除掉点(2,0))，所以①错误；对于②，到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2或y＝2，所以②错误；对于③，方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示点(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)四个点，所以③正确．三、解答题12．判断下列命题是否正确．(1)以坐标原点为圆心，r 为半径的圆的方程是y ＝r 2－x 2； (2)过点A (2,0)平行于y 轴的直线l 的方程为|x |＝2. 考点 曲线与方程的概念 题点 曲线方程的求解与证明解 (1)不正确．设(x 0，y 0)是方程y ＝r 2－x 2的解，则y 0＝r 2－x 20，即x 20＋y 20＝r 2.两边开平方取算术平方根，得x 20＋y 20＝r 即点(x 0，y 0)到原点的距离等于r ，点(x 0，y 0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、r 为半径的圆上的一点如点⎝⎛⎭⎫r 2，－32r 在圆上，却不是y ＝r 2－x 2的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解．所以，以原点为圆心，r 为半径的圆的方程不是y ＝r 2－x 2，而应是y ＝±r 2－x 2. (2)不正确．直线l 上的点的坐标都是方程|x |＝2的解．然而，坐标满足|x |＝2的点不一定在直线l 上，因此|x |＝2不是直线l 的方程，直线l 的方程为x ＝2.13．已知曲线C 的方程为x ＝4－y 2，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围成的图形的面积．解 由x ＝4－y 2，得x 2＋y 2＝4.又x ≥0，∴方程x ＝4－y 2表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C 与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝12π·4＝2π.所以所求图形的面积为2π.14．已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是( ) A ．a >1B ．0<a <1C ．0<a <1或a >1D ．a ∈∅答案 A解析 ∵a >0，∴方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)的图象大致如图，要使方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求y ＝a |x |在y 轴右侧的斜率大于y ＝x ＋a 的斜率，∴a >1.15．方程|x －1|＋|y －1|＝1表示的曲线所围成的图形的面积是________．考点 曲线与方程的意义 题点 曲线与方程的综合应用 答案 2解析 方程|x －1|＋|y －1|＝1可写成⎩⎪⎨⎪⎧x >1，y ≥1，x ＋y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，y <1，x －y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≥1，y －x ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y <1，x ＋y ＝1，图形如图所示，它是边长为2的正方形，其面积为2.。
2018-2019学年人教A版选修2-1 2.1.1曲线与方程 课时作业
第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程A级基础巩固一、选择题1．下列选项中方程与其表示的曲线正确的是()解析：对于A，x2＋y2＝1表示一个整圆；对于B，x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝0，表示两条相交直线；对于D，由lg x＋lg y＝0知x＞0，y＞0.答案：C2．若方程x－2y－2k＝0与2x－y－k＝0所表示的两条曲线的交点在方程x2＋y2＝9的曲线上，则k＝()A．±3B．0C．±2 D．一切实数解析：两曲线的交点为(0，－k)，由已知点(0，－k)在曲线x2＋y 2＝9上，故可得k 2＝9，所以k ＝±3.答案：A3．方程x 2＋xy ＝x 表示的曲线是( )A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线解析：由x 2＋xy ＝x ，得x (x ＋y －1)＝0，即x ＝0或x ＋y －1＝0. 由此知方程x 2＋xy ＝x 表示两条直线．答案：C4．方程|y |－1＝1－（x －1）2表示的曲线是( )A ．两个半圆B ．两个圆C ．抛物线D ．一个圆 解析：方程|y |－1＝1－（x －1）2可化为(x －1)2＋(|y |－1)2＝1(|y |≥1)，y ≤－1时，(x －1)2＋(y ＋1)2＝1；y ≥1时，(x －1)2＋(y －1)2＝1；所以方程|y |－1＝1－（x －1）2表示的曲线是两个半圆.答案：A5．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”，以下不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y 解析：因为M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差为8， 所以M 的轨迹是以A (－5，0)，B (5，0)为焦点的双曲线的右支，方程为x 216－y 24＝1(x ≥4)． A ：直线x ＋y ＝5过点(5，0)，满足题意；B ：x 2＋y 2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；C ：x 225＋y 29＝1的右顶点为(5，0)，满足题意； D ：方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，所以y ＝3，满足题意．故选B.答案：B二、填空题6．已知点A (a ，2)既是曲线y ＝mx 2上的点，也是直线x －y ＝0上的点，则m ＝________．解析：根据点A 在曲线y ＝mx 2上，也在直线x －y ＝0上，则⎩⎨⎧2＝ma 2，a －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，m ＝12.答案：127．已知A (0，1)，B (1，0)，则线段AB 的垂直平分线的方程是________．解析：设点M (x ，y )是线段AB 的垂直平分线上任意一点，也就是点M 属于集合P ＝{M ||MA |＝|MB |}， 由两点间距离公式得x 2＋（y －1）2＝（x －1）2＋y 2，化简得，y ＝x .答案：y ＝x8．下列命题正确的是________(填序号)．①方程x y －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线； ②到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5；③曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0. 答案：③三、解答题9．方程x 2(x 2－1)＝y 2(y 2－1)所表示的曲线C .若点M (m ，2)与点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，n 在曲线C 上，求m ，n 的值． 解：将点M (m ，2)与点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，n 代入方程 x 2(x 2－1)＝y 2(y 2－1)，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2（m 2－1）＝2×1，34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝n 2（n 2－1），所以m ＝±2，n ＝±12或±32. 10．求方程(x ＋y －1)x －1＝0所表示的曲线． 解：依题意可得⎩⎨⎧x ＋y －1＝0，x －1≥0或x －1＝0， 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.综上可知，原方程所表示的曲线是射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和直线x ＝1.B 级 能力提升1．已知定点P (x 0，y 0)不在直线l ：f (x ，y )＝0上，则方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示( )A ．过点P 且垂直于l 的直线B ．过点P 且平行于l 的直线C ．不过点P 但垂直于l 的直线D ．不过点P 但平行于l 的直线答案：B2．设平面点集A ＝{(x ，y )|(y －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x ≥0}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为________．答案： π23．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4，过圆C 上的一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ→＝OM →＋ON →，求动点Q 的轨迹方程．解：设点Q 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，则点N 的坐标为(0，y 0)．因为OQ →＝OM →＋ON →，即(x ，y )＝(x 0，y 0)＋(0，y 0)＝(x 0，2y 0)，则x 0＝x ，y 0＝y 2. 又点M 在圆C 上，所以x 20＋y 20＝4，即x 2＋y 24＝4(y ≠0)． 所以动点Q 的轨迹方程是x 24＋y 216＝1(y ≠0)．。
人教B版选择性必修第一册24曲线与方程作业
课时作业(二十)曲线与方程一、选择题1．假设方程x－2y－2k＝0与2x－y－k＝0所表示的两条直线的交点在方程x2＋y2＝9表示的曲线上，那么k等于() A．±3 B．0C．±2 D．一切实数答案：A2．(2022广东横岗模拟)方程x(x2＋y2－1)＝0和x2＋(x2＋y2－1)2＝0所表示的图形是()A．前后两者都是一条直线和一个圆B．前后两者都是两点C．前者是一条直线和一个圆，后者是两点D．前者是两点，后者是一条直线和一个圆答案：C3．定点A(－1,0)，B(1,0)，动点P满意直线P A，PB的斜率之积为－1，那么动点P满意的方程是()A．x2＋y2＝1B．x2＋y2＝1(x≠±1)C．x2＋y2＝1(x≠0)D．y＝1－x2(x≠±1)答案：B4．(2022山东聊城月考)以下命题正确的选项是()A．方程xy－2＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线B．△ABC的顶点坐标分别为A(0,3)，B(－2，0)，C(2,0)，那么中线AO的方程是x＝0C．到x轴距离为5的点的轨迹方程是y＝5D．曲线2x2－3y2－2x＋m＝0通过原点的充要条件是m＝0答案：D解析：对比曲线和方程的概念，A 中的方程需满意y ≠2；B 中“中线AO 的方程是x ＝0(0≤y ≤3)〞；而C 中，动点的轨迹方程为|y |＝5，因而只有D 是正确的．5．(多项选择题)假设曲线C 的方程为y ＝2x －1(1<x <5)，那么以下四个点中在曲线C 上的是 ( )A ．(0,0)B ．(7,15)C ．(2,3)D ．(4,7)答案：CD解析：由曲线C 的方程为y ＝2x －1(1<x <5)，得A ，B 项中的横坐标不满意题意；由于3＝2×2－1，故(2,3)在曲线C 上，C 正确；由于7＝2×4－1，故(4,7)在曲线C 上，D 正确．6．(多项选择题)(2022江苏扬州中学月考)在平面直角坐标系中，曲线C 上任意一点P 与两个定点A (－2,0)和B (2,0)连线的斜率之和恒等于2，那么关于曲线C 的结论正确的选项是 ( )A ．曲线C 是轴对称图形B ．曲线C 上全部的点都在圆x 2＋y 2＝2外C ．曲线C 是中心对称图形D ．曲线C 上全部点的横坐标的肯定值都大于2答案：BC解析：设P (x ，y )，依题意有y x ＋2＋y x －2＝2，整理，得x 2＝xy ＋4，于是曲线C 的方程为y ＝x －4x (x ≠0，x ≠±2)，所以曲线C 不是轴对称图形，而是中心对称图形，原点是它的对称中心，因此A 选项错误，C 选项正确；又由于x 2＋y 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4x 2＝2x 2＋16x 2－8≥22x 2·16x 2－8＝82－8>2，所以曲线C 上全部的点都在圆x 2＋y 2＝2外，故B 选项正确；代入点(1，－3)，得－3＝1－41，所以点(1，－3)在曲线C 上，但其横坐标的肯定值不大于2，故D 选项错误．应选BC.7．(多项选择题)(2022山东烟台模拟)到两定点M (－2,0)，N (2,0)距离乘积为常数16的动点P 的轨迹为C ，那么( )A ．C 肯定经过原点B ．C 关于x 轴、y 轴对称C ．△MPN 的面积的最大值为4 3D ．C 在一个面积为64的矩形内答案：BCD解析：设点P 的坐标为(x ，y )，由题意可得(x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝16.对于A ，将原点坐标代入方程得2×2＝4≠16，所以A 错误； 对于B ，设点P 关于x 轴、y 轴的对称点分别为P 1(x ，－y )，P 2(－x ，y )，由于(x ＋2)2＋(－y )2·(x －2)2＋(－y )2＝(x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝16，(－x ＋2)2＋y 2·(－x －2)2＋y 2＝(x －2)2＋y 2·(x ＋2)2＋y 2＝16，那么点P 1，P 2都在曲线C 上，所以曲线C 关于x 轴、y 轴对称，B 正确；对于C ，设|PM |＝a ，|PN |＝b ，∠MPN ＝θ，那么ab ＝16，由余弦定理得cos θ＝a 2＋b 2－162ab ＝a 2＋b 2－1632≥2ab －1632＝12， 当且仅当a ＝b ＝4时等号成立，那么θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3， 所以sin θ＝1－cos 2θ≤32，那么△MPN 的面积为S △MPN ＝12ab sin θ≤12×16×32＝43，C 正确；对于D,16＝(x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2≥(x ＋2)2·(x －2)2＝|x 2－4|，可得－16≤x 2－4≤16，得x 2≤20， 解得－25≤x ≤25，由C 知，S △MPN ＝12|MN |·|y |＝12×4×|y |≤43，得|y |≤23，曲线C 在一个面积为45×43＝1615<64的矩形内，D 正确． 应选BCD.二、填空题8．直线y ＝kx ＋1与y ＝2kx －3(k 为常数，且k ≠0)交点的轨迹方程是________.答案：y ＝5(x ≠0)解析：y ＝kx ＋1与y ＝2kx －3联立，消去k ，得yy ＝kx ＋1＝5，得kx ＝4.∵k ≠0，∴x ≠y ＝5(x ≠0)．9．(2022浙江桐乡模拟)一动圆截直线3x －y ＝0和3x ＋y ＝0所得弦长分别为8,4，那么该动圆圆心的轨迹方程为_______________．答案：xy ＝10三、解答题10．(2022安徽庐阳月考)曲线C 是动点M 到两个定点O (0,0)，A (3,0)距离之比为12的点的轨迹.(1)求曲线C 的方程；(2)求过点N (1,3)且与曲线C 相切的直线方程．解：(1)在给定的坐标系里，设点M (x ，y )．由|OM ||AM |＝12及两点间的距离公式，得 x 2＋y 2(x －3)2＋y2＝12，① 将①式两边平方整理得x 2＋y 2＋2x －3＝0，即所求曲线方程为x 2＋y 2＋2x －3＝0.(2)由(1)得曲线C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4，其圆心为C (－1,0)，半径为2.(ⅰ)当过点N (1,3)的直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝1，明显与圆相切；(ⅱ)当过点N (1,3)的直线的斜率存在时，设其方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0.由其与圆相切得圆心到该直线的距离等于半径，即 |－k －0＋3－k |k 2＋1＝2， 解得k ＝512，此时直线方程为5x －12y ＋31＝0，所以过点N (1,3)且与曲线C 相切的直线方程为x ＝1或5x －12y ＋31＝0.11．(2022山东潍坊质检)在平面直角坐标系xOy 中，①点M (2,0)，N (5,0)，P (x ，y )为曲线C 上任一点，P 到点M 的距离和到点N 的距离的比值为2；②圆C 经过A (4,0)，B (6,2)，且圆心在直线x －y －6＝0上．从①②中任选一个条件．(1)求曲线C 的方程；(2)假设直线x ＝ay ＋4被曲线C 截得弦长为2，求a 的值． 解：(1)选择条件①，那么|PM ||PN |＝2，即(x －2)2＋y 2(x －5)2＋y2＝2， 所以(x －2)2＋y 2(x －5)2＋y 2＝4， 整理得x 2＋y 2－12x ＋32＝0，即(x －6)2＋y 2＝4.选择条件②，A (4,0)，B (6,2)的中点为E (5,1)，k AB ＝2－06－4＝1， 所以AB 的垂直平分线方程为y －1＝－(x －5)，即x ＋y －6＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －y －6＝0，x ＋y －6＝0，解得圆心C (6,0)． r ＝|CA |＝2，所以曲线C 的方程为(x －6)2＋y 2＝4. (2)直线x ＝ay ＋4被曲线C 截得弦长为2，圆心到直线的距离d ＝4－1＝ 3.由点到直线的距离公式得|6－a ·0－4|a 2＋1＝3， 解得a ＝±33.。
湘教版选择性必修第一册3.4曲线与方程课堂作业
【精品】3.4曲线与方程课堂练习一．单项选择1．笛卡尔．牛顿都研究过方程，关于这个方程的曲线有下列说法： ① 该曲线关于轴对称； ② 该曲线关于原点对称；③ 该曲线不经过第三象限； ④ 该曲线上有且只有三个点的横．纵坐标都是整数．其中正确的是（ ）A ．②③B ．①④C ．③D ．③④ 2．方程表示的曲线是()A ．B ．C ．D ．3．设动点P 是曲线上任意一点，定点，点M 分PA 所成的比为，则点M 的轨迹方程是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如果曲线上任一点的坐标都是方程的解，那么下列命题中正确的是（ ） A.曲线的方程为B.的曲线是C.以方程的解为坐标的点都在曲线上(1)(2)(3)x x x xy ---=y ()2210x y xy +=<221y x =+(0,1)A -2:12163y x =-2133y x =+231y x =--2163x y =-C (),0F x y =C (),0F x y =(),0F x y =C (),0F x y =CD.曲线上的点都在方程的曲线上5．如图所示的曲线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．C (),0F x y=6．方程表示的曲线是( )A ．B ．C ．D ．7．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是（ ）A ．B ．C ．D ．8．点A ，B 的坐标分别是，，直线AM 与BM 相交于点M ，且直线AM 与BM 的斜率的商是，则点M 的轨迹是 A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线9．已知曲线则下列正确的是（ ）A.曲线关于轴对称B.曲线与轴相交C.取值范围是D.无限趋近于零时，也无限趋近零10．方程(x －y)2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( )A ．一条直线和一条双曲线B ．两条双曲线C ．两个点D ．以上答案都不对11．与圆外切，又与轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（ ） A ． B ．（）和 C ．（）D ．（）和（）12．方程y ＝－表示的曲线( )A ．一条射线B ．一个圆()2210x y xy +=<224x y +=()2240x y x +=>y =)02y x =<<3411:1x y Γ+=，Γy Γx x ()()0-∞+∞，0，y x 2240x y x +-=y 28y x =28y x =0x >0y =28y x =0x >28y x =0x >0y =0x <C ．两条射线D ．半个圆13．在平面直角坐标系中，曲线上任意点与两个定点和点连线的斜率之和等于2，则关于曲线的结论正确的有（ ）A ．曲线是轴对称图形B ．曲线上所有的点都在圆外 C ．曲线是中心对称图形 D ．曲线上所有点的横坐标满足14．曲线.给出下列结论:①曲线关于原点对称;②曲线上任意一点到原点的距离不小于1;③曲线只经过个整点(即横？纵坐标均为整数的点). 其中,所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．②C ．②③D ．③ 15．若函数的图像与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ） A.B.C.D.C P ()2,0A -()2,0B C C C 222x y +=C C x 2x >33:1C x y +=C C C 2||1y x =-22:1C x y λ+=λ[1,1)-(1,0)-(,1][0,1)-∞-[1,0](1,)-+∞参考答案与试题解析1．【答案】C【解析】以﹣x 代x ，以﹣x 代x ，﹣y 代y ，判断①②的正误，利用方程两边的符号判断③的正误，利用赋值法判断④的正误. 【详解】 以﹣x 代x ，得到，方程改变，不关于轴对称；以﹣x 代x ，﹣y 代y ，得到，方程改变，不关于对称；当时，显然方程不成立，∴该曲线不经过第三象限； 令,易得，即适合题意，同理可得适合题意， ∴该曲线上有且只有三个点的横．纵坐标都是整数是错误的，故选：C 【点睛】本题考查曲线与方程，考查曲线的性质，考查逻辑推理能力与转化能力，属于中档题． 2．【答案】D【解析】因为,所以图像在二,四象限, 结合表示圆心在原点,半径为1的圆，即可得解.详解：因为表示圆心在原点,半径为1的圆, 又,说明图像在二,四象限,故选D.【点睛】本题考查了曲线与方程,属基础题. 3．【答案】A【解析】首先设M 的坐标为，由题意可用M 的坐标表示点P 的坐标为，由P 是曲线上任意一点，代入即可求得M 的轨迹方程 详解：设点M 的坐标为，点坐标为∵点，点M 分PA 所成的比为，，，得∴即点P 的坐标为，代入曲线， 得，()()()123x x x xy +++=y ()()()123x x x xy +++=-原点x 0,y 0<<()()()1230,?0,x x x xy ---x 1=-12y =()1,12-()()()1,02,03,0，，0xy <221x y +=221x y +=0xy <(,)x y (3,32)x y +221y x =+(,)x y P 00(,)x y (0,1)A -2:12PM MA =00(,)2(0,1)x x y y x y --=---003,32x x y y ==+(3,32)x y +221y x =+2163y x =-即点M 的轨迹方程是故选：A 【点睛】本题考查了动点轨迹问题，首先设目标点，根据相应关系用目标点表示已知方程上的点，代入方程即可求得动点的轨迹方程 4．【答案】D【解析】根据曲线和方程的关系选出正确选项. 【详解】依题意可知，曲线上任一点的坐标都是方程的解，也即曲线上的点都在方程的曲线上.但是方程的解，不一定是曲线上的点，所以A,B,C 选项错误，D 选项正确.故选：D. 【点睛】本小题主要考查曲线和方程的关系，属于基础题. 5．【答案】B【解析】先写出y ＞0时的曲线方程，再写出y ＜0时的曲线方程，最后综合得到曲线的方程. 【详解】当y ＞0时，曲线方程为y=x, 当y ＜0时，曲线方程为y=-x,综合得曲线方程为|y|=x,即x-|y|=0. 故答案为：B 【点睛】本题主要考查简单曲线方程的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平. 6．【答案】D【解析】因为,所以图像在二,四象限, 结合表示圆心在原点,半径为1的圆，即可得解.详解：因为表示圆心在原点,半径为1的圆, 又,说明图像在二,四象限,故选D.【点睛】本题考查了曲线与方程,属基础题. 7．【答案】D【解析】根据题意设的坐标是且．，由两点间的距离公式列出关系式，化简求出的轨迹方程．2163y x =-C (),0F x y =C (),0F x y =(),0F x y =C 0xy <221x y +=221x y +=0xy <M (,)x y 0x >0y <M详解：解：设的坐标是且．，因为到原点的距离等于2，.因为轨迹在第四象限内， 所以，所以的轨迹方程是，故选：．【点睛】本题考查了动点的轨迹方程求法：直接法，以及两点间的距离公式，属于基础题. 8．【答案】A【解析】设点M 坐标，由题意列等量关系，化简整理即可得出结果. 【详解】设，由题意可得,, 因为直线与的斜率的商是，所以，化简得，为一条直线,故选A. 【点睛】本题主要考查曲线的方程，通常情况下，都是设曲线上任一点坐标，由题中条件找等量关系，化简整理，即可求解，属于基础题型. 9．【答案】D【解析】关于轴对称，不关于轴对称，A 错误；取无意义，B 错误；需满足，C 错误；判断无限趋近于零时，也无限趋近零，D 正确.【详解】取上任意一点，则也在曲线上，不是一定在曲线上故关于轴对称，不关于轴对称，A 错误，取无意义，故曲线不与轴相交，B 错误M (,)x y 0x >0y <M 224x y +=2)y x =<<M 2)y x =<<D 3411:1x y Γ+=x y 0y =x {}01x x x ≠≠且y x 3411:1x y Γ+=(,)x y (,)x y -(,)x y -x y 3411:1x y Γ+=0y =Γx，且，故C 错误，当时，，故当时，，故综上所述：无限趋近于零时，也无限趋近零，D 正确故选：D 【点睛】本题考查了曲线的对称，与坐标轴的交点，范围，极限情况，意在考查学生的综合应用能力. 10．【答案】C【解析】由题意，根据方程，解方程组，即可得到结论。
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曲线与方程
（45分钟100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.如图,方程x+|y-1|=0表示的曲线是( )
2.已知命题“曲线C上的点的坐标是方程f(x,y)=0的解”是正确的,则下列命题中正确的是( )
A.满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上
B.方程f(x,y)=0是曲线C的方程
C.方程f(x,y)=0所表示的曲线不一定是C
D.以上说法都正确
3.已知曲线C的方程为x2-xy+y-5=0,则下列各点中,在曲线C上的点是( )
A.(-1,2)
B.(1,-2)
C.(2,-3)
D.(3,6)
4.方程xy2+x2y=1所表示的曲线( )
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线y=x对称
- 1 -
5.(2013·安阳高二检测)曲线y=√1−x2和y=-x+√2公共点的个数为( )
A.3
B.2
C.1
D.0
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.(2013·沧州高二检测)已知方程x2+y2+2x-4=0的曲线经过点P(m,1),那么m 的值为.
7.曲线y=|x|-1与x轴围成的图形的面积是.
8.(2013·重庆高二检测)如果直线l:x+y-b=0与曲线C:y=√1−x2有公共点,那么b的取值范围是.
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.求方程(x+y-1)√x−1=0所表示的曲线.
10.分析下列曲线上的点与方程的关系:
(1)求第一、三象限两轴夹角平分线上点的坐标满足的关系.
(2)作出函数y=x2的图象,指出图象上的点与方程y=x2的关系.
(3)说明过点A(2,0)平行于y轴的直线l与方程|x|=2之间的关系.
11.(能力挑战题)已知点P(x0,y0)是曲线f(x,y)=0和曲线g(x,y)=0的交点,求证:点P在曲线f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)上.
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答案解析
1.【解析】选B.由x+|y-1|=0可知x ≤0,用排除法可知应选B.也可去绝对值符号,
将方程化为{x ≤0,y ≥1,x +y −1=0或{x ≤0,y ≤1,x −y +1=0,
再找出符合条件的图象. 【变式备选】下列方程与图形对应的是( )
【解析】选C.选项A 中不对应,应该是个整圆;选项B 中应该还有一条直线y=-x;选项D 中需要x>0,y>0.
2.【解析】选C.因为“曲线C 上的点的坐标是方程f(x,y)=0的解”,所以可以认为曲线C 可能是方程f(x,y)=0所表示的曲线上的某一小段,因此只有C 正确.
3.【解题指南】若点M(x 0,y 0)满足f(x,y)=0,则点M 在曲线上,否则点M 不在曲线上,因此采用验证法.
【解析】选A.把(-1,2),(1,-2),(2,-3),(3,6)分别代入x 2-xy+y-5=0验证,只有(-1,2)适合
.。