2017年全国初中数学竞赛冲刺试卷(4)2009年“数学周报杯”全国初中数学竞赛决赛试卷
2017年全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)
2017 年全国初中数学联合竞赛试题2017年3月26日（星期日）上午8：30－11：30第一试(A)一、选择题（本题满分42分，每小题7分）(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)1．已知实数a,b,c 满足213390a b c ++=，3972a b c ++=，则32b ca b+=+ （ ）A. 2B. 1C. 0D. -2．已知△ABC 的三边长分别是a,b,c ，有以下三个结论：（1 （2）以222,,a b c 为边长的三角形一定存在；（3）以为1,1,1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在. 其中正确结论的个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．若正整数a,b,c 满足a b c ≤≤且=2()abc a b c ++，则称()a b c ，，为好数组.那么，好数组的个数为 （ ）A. 1 B ．2 C ．3 D ．44．设O 是四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，若0180BAD ACB ∠+∠=，且BC=3，AD=4，AC=5 ，AB=6 ，则DOOB= （ ） A. 10/9 B ．8/7 C ．6/5 D ．4/3第4题图第5题图5．设A是以BC为直径的圆上的一点，AD⊥BC于点D，点E在线段DC上，点F在CB的延长线上，满足BAF CAE∠=∠.已知BC=15，BF=6，BD=3，则AE＝（）A.B.C.D.6．对于正整数n，设a n的整数，则1232001111...a a a a++++=（）A. 191/7 B．192/7 C．193/7 D．194/7二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1=a的值为______ _．2．如图，平行四边形ABCD中，072ABC∠=，AF BC⊥于点F，AF交BD于点E，若DE=2AB，则AED∠=______．3．设m,n是正整数，且m>n. 若9m与9n的末两位数字相同，则m-n的最小值为．4．若实数x,y满足3331+的最小值为．x y++=，则22x y xy第一试(B)一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．已知二次函数y ax2bx c(c 的图象与x轴有唯一交点，则二次函数y a3 x2b3x c3的图象与x 轴的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．不确定．2．题目与（A）卷第1 题相同.3. 题目与（A）卷第3 题相同.4．已知正整数a,b,c满足a2 b c ， a b2 c ，则a2 b2c2＝（）A. 424B. 430C. 441D. 460．5．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若BAD ACB ，且BC ，AD ，AC ，AB ，则DO/OB＝（）A. 4/3B. 6/5C. 8/7D. 10/96．题目与（A）卷第5 题相同.二、填空题：（本题满分28 分，每小题7 分）1．题目与（A）卷第1 题相同.2．设O是锐角三角形ABC的外心，D,E分别为线段BC,OA的中点，∠=∠，则OED∠=_________.ABC OED∠=∠,57ACB OED3. 题目与（A ）卷第3 题相同.4. 题目与（A ）卷第4 题相同第二试 （A ）一、（本题满分20 分）已知实数x,y 满足x+y=3，221112x y x y +=++ ，求55x y +的值. 二、（本题满分25分）如图，△ABC 中，AB AC ，BAC ，E 是BAC的外角平分线与△ABC 的外接圆的交点，点F 在AB 上且EF AB .已知AF，BF ，求△ABC 的面积.三、（本题满分25分）求所有的正整数数对(a, b)，使得34938b a =⨯+第二试 （B ）一、（本题满分20分）已知实数a,b,c 满足a b c ≤≤，++=16a b c ，2221+++=1284a b c abc ， 求c 的值.二、（本题满分25 分）求所有的正整数m ，使得212-2+1m m -是完全平方数.三、（本题满分25分）如图，O 为四边形ABCD 内一点，OAD OCB ，OA OD ，OB OC .求证： AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 .。
“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题及答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）1．方程组12,6x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩的解的个数为（ ）．（A ）1 （B ） 2 （C ） 3 （D ）4答：（A ）．解：若x ≥0，则12,6,x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩于是6y y -=-，显然不可能． 若0x <，则 12,6,x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩于是18y y +=，解得9y =，进而求得3x =-．所以，原方程组的解为⎩⎨⎧=-=,9,3y x 只有1个解．故选（A ）．2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）．（A ） 14 （B ） 16 （C ）18 （D ）20答：（B ）．解：用枚举法：红球个数 白球个数 黑球个数 种 数5 2，3，4，5 3，2，1，0 44 3，4，5，6 3，2，1，0 43 4，5，6，7 3，2，1，0 42 5，6，7，8 3，2，1，0 4所以，共16种．故选（B ）．3．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ． 若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（ ）．（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心答：（B ）．解： 如图，连接BE ，因为△ABC 为锐角三角形，所以BAC ∠，ABE ∠均为锐角．又因为⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，且DE 为两圆的公共弦，所以BAC ABE ∠=∠．于是，2BEC BAC ABE BAC ∠=∠+∠=∠．若△ABC 的外心为1O ，则12BO C BAC ∠=∠，所以，⊙O一定过△ABC 的外心．故选（B ）．4．已知三个关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx 恰有一个公共实数根，则222a b c bc ca ab++的值为（ ）． （A ） 0 （B ）1 （C ）2 （D ）3答：（D ）．解：设0x 是它们的一个公共实数根，则0020=++c bx ax ，0020=++a cx bx ，0020=++b ax cx ．把上面三个式子相加，并整理得200()(1)0a b c x x ++++=． 因为22000131()024x x x ++=++>，所以0a b c ++=． 于是222333333()a b c a b c a b a b bc ca ab abc abc+++-+++== 3()3ab a b abc-+==． 故选（D ）．5．方程323652x x x y y ++=-+的整数解（x ，y ）的个数是（ ）．（A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多答：（A ）．解：原方程可化为（第3题答案图）2(1)(2)3(1)(1)2x x x x x y y y ++++=-++（），因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解．故选(A).二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，CA ＝4．点P 是半圆弧AC 的中点，连接BP ，线段BP 把图形APCB 分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ．答：4．解：如图，设AC 与BP 相交于点D ，点D 关于圆心O 的对称点记为点E ，线段BP 把图形APCB 分成两部分，这两部分面积之差的绝对值是△BEP 的面积，即△BOP 面积的两倍．而1122222BPO S PO CO ∆=⋅=⨯⨯=． 因此，这两部分面积之差的绝对值是4．7．如图, 点A ，C 都在函数33(0)y x =>的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为 ．答：（26，0）．解：如图，分别过点A ，C 作x 轴的垂线，垂足分别为E ，F ．设OE ＝a ，BF ＝b ， 则AE ＝3a ，CF ＝3b ，所以，点A ，C 的坐标为（a ，3a ），（2a ＋b ，3b ），所以 2333,3(2)33,a b a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得3,63,a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 因此，点D 的坐标为（26，0）．（第6题答案图） （第7题答案图）8．已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）． 若二次函数()233y x a x =+-+的图象与线段AB 恰有一个交点，则a 的取值范围是 ．答：1-≤12a <-，或者323a =-． 解：分两种情况：（Ⅰ）因为二次函数()233y x a x =+-+的图象与线段AB 只有一个交点，且点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0），所以[][]032)3(231)3(122<+⨯-+⨯+⨯-+a a ， 得112a -<<-． 由031)3(12=+⨯-+a ，得1a =-，此时11=x ，32=x ，符合题意；由032)3(22=+⨯-+a ，得12a =-，此时21=x ，232=x ，不符合题意． （Ⅱ）令()2330x a x +-+=，由判别式0∆=，得323a =±．当323a =+时，123x x ==-，不合题意；当323a =-时，123x x ==，符合题意．综上所述，a 的取值范围是1-≤12a <-，或者323a =-． 9．如图，90A B C D E F G n ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=⋅︒，则n ＝ ． 答：6．解：如图，设AF 与BG 相交于点Q ，则AQG A D G ∠=∠+∠+∠，于是A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠B C E F AQG =∠+∠+∠+∠+∠B C E F BQF =∠+∠+∠+∠+∠540690=︒=⨯︒．所以，n ＝6．10．已知对于任意正整数n ，都有312n a a a n +++=L ， 则 23100111111a a a +++=---L ． （第9题答案图）答：33100． 解：当n ≥2时，有 3121n a a a a n n =++++-Λ，3121(1)n a a a n -+++=-L ，两式相减，得 2331n a n n =-+，所以 ),111(31)1(3111nn n n a n --=-=- Λ,4,3,2=n 因此23100111111a a a +++---L 11111111(1)()()32323399100=-+-++-L 1133(1)3100100=-=． 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11（A ）．已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P 是抛物线214y x =上的一个动点．（1）判断以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y =-的位置关系；（2）设直线PM 与抛物线214y x =的另一个交点为点Q ，连接NP ，NQ ，求证：PNM QNM ∠=∠．解：（1）设点P 的坐标为2001(,)4x x ，则 PM ＝2222220000111(1)(1)1444x x x x +-=+=+; 又因为点P 到直线1y =-的距离为220011(1)144x x --=+， 所以，以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y =-相切．…………5分（2）如图，分别过点P ，Q 作直线1y =-的垂线，垂足分别为H ，R ．由（1）知，PH ＝PM ，同理可得，QM＝QR ．（第11A 题答案图）因为PH ，MN ，QR 都垂直于直线1y =-，所以，PH ∥MN ∥QR ，于是QM MP RN NH=， 所以 QR PH RN HN =， 因此，Rt △PHN ∽Rt △QRN ．于是HNP RNQ ∠=∠，从而PNM QNM ∠=∠．…………15分12（A ）．已知a ，b 都是正整数，试问关于x 的方程21()02x abx a b -++=是 否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明.解：不妨设a ≤b ，且方程的两个整数根为12,x x (1x ≤2x )，则有1212,1(),2x x ab x x a b +=⎧⎪⎨=+⎪⎩所以 12121122x x x x a b ab --=+-，124(1)(1)(21)(21)5x x a b --+--=. …………5分因为a ,b 都是正整数，所以x 1，x 2均是正整数，于是，11x -≥0,21x -≥0，21a -≥1,21b -≥1，所以12(1)(1)0,(21)(21)5,x x a b --=⎧⎨--=⎩ 或 ⎩⎨⎧=--=--.1)12)(12(,1)1)(121b a x x （ （1）当12(1)(1)0,(21)(21)5x x a b --=⎧⎨--=⎩时，由于a ,b 都是正整数，且a ≤b ，可得 a ＝1，b ＝3，此时，一元二次方程为2320x x -+=，它的两个根为11x =，22x =．（2）当12(1)(1)1,(21)(21)1x x a b --=⎧⎨--=⎩时，可得 a ＝1，b ＝1，此时，一元二次方程为210x x -+=，它无整数解.综上所述，当且仅当a ＝1，b ＝3时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为11x =，22x =． ……………15分13（A ）．已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB上的任意一点．以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A 与半圆O 相交于点C ；以点B 为圆心，BP 为半径作⊙B ，⊙B 与半圆O 相交于点D ，且线段CD 的中点为M ．求证：MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．证明：如图，连接AC ，AD ，BC ，BD ，并且分别过点C ，D 作AB 的垂线，垂足分别为,EF ，则CE ∥DF ．因为AB 是⊙O 的直径，所以90ACB ADB ∠=∠=︒．在Rt △ABC 和Rt △ABD 中，由射影定理得22PA AC AE AB ==⋅， 22PB BD BF AB ==⋅．……………5分两式相减可得()22PA PB AB AE BF -=-，又 ()22()()PA PB PA PB PA PB AB PA PB -=+-=-，于是有 AE BF PA PB -=-，即 PA AE PB BF -=-，所以PE PF =，也就是说，点P 是线段EF 的中点．因此，MP 是直角梯形CDFE 的中位线，于是有MP AB ⊥，从而可得MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．……………15分14（A ）．（1）是否存在正整数m ，n ，使得(2)(1)m m n n +=+？（2）设k (k ≥3)是给定的正整数，是否存在正整数m ，n ，使得()(1)m m k n n +=+？解：（1）答案是否定的．若存在正整数m ，n ，使得(2)(1)m m n n +=+，则22(1)1m n n +=++，显然1n >，于是2221(1)n n n n <++<+，所以，21n n ++不是平方数，矛盾． ……………5分 （第13A 题答案图）（2）当3k =时，若存在正整数m ，n ，满足(3)(1)m m n n +=+，则2241244m m n n +=+，22(23)(21)8m n +=++，(2321)(2321)8m n m n +--+++=，(1)(2)2m n m n -+++=，而22m n ++>，故上式不可能成立．………………10分当k ≥4时，若2k t =（t 是不小于2的整数）为偶数，取22,1m t t n t =-=-，则 2242()()()m m k t t t t t t +=-+=-，2242(1)(1)n n t t t t +=-=-，因此这样的（m ，n ）满足条件．若2k t =＋1（t 是不小于2的整数）为奇数，取222,22t t t t m n -+-==， 则 224321()(21)(22)224t t t t m m k t t t t t --+=++=+--， 2243221(1)(22)224t t t t n n t t t t +-++=⋅=+--， 因此这样的（m ，n ）满足条件．综上所述，当3k =时，答案是否定的；当k ≥4时，答案是肯定的．……………15分注：当k ≥4时，构造的例子不是唯一的．11（B ）．已知抛物线1C ：234y x x =--+和抛物线2C ：234y x x =--相交 于A ，B 两点. 点P 在抛物线1C 上，且位于点A 和点B 之间；点Q 在抛物线2C 上，也位于点A 和点B 之间.（1）求线段AB 的长；（2）当PQ ∥y 轴时，求PQ 长度的最大值．解：（1）解方程组2234,34,y x x y x x ⎧=--+⎪⎨=--⎪⎩得 112,6,x y =-⎧⎨=⎩ 222,6,x y =⎧⎨=-⎩所以，点A ，B 的坐标分别是（-2，6），（2，-6）．于是22(22)(66)410AB =++--=．…………5分（2）如图，当PQ ∥y 轴时，设点P ，Q 的坐标分别为)43,(2+--t t t ， )43,(2--t t t ， 22t -<<，因此 PQ 22(4)t =-≤8，当0t =时等号成立，所以，PQ 的长的最大值8．……………15分12（B ）．实数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，且0ab bc ca ++=，abc ＝1．求最大的实数k ，使得不等式a b +≥k c恒成立．解：当32a b ==-，32c =时，实数a ，b ，c 满足题设条件，此时k ≤4． ……………5分 下面证明：不等式a b +≥4c 对满足题设条件的实数a ，b ，c 恒成立． 由已知条件知，a ，b ，c 都不等于0，且0c >．因为2110,0ab a b c c=>+=-<， 所以a ≤b 0<．（第11B 题答案图）由一元二次方程根与系数的关系知，a ，b 是一元二次方程 22110x x c c ++= 的两个实数根，于是 414c c∆=-≥0， 所以 3c ≤14． ……………10分因此21()a b a b c+=-+=≥44c c =． ……………15分13（B ）．如图，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边AD ，BC 的延长线上，且满足DE AD CF BC=．若CD ，FE 的延长线相交于点G ，△DEG 的外接圆与△CFG 的外接圆的另一个交点为点P ，连接P A ，PB ，PC ，PD ．求证： （1）AD PD BC PC =； （2）△PAB ∽△PDC ．证明：（1）连接PE ，PF ，PG ，因为PDG PEG ∠=∠，所以PDC PEF ∠=∠．又因为PCG PFG ∠=∠，所以△PDC ∽△PEF ，于是有 ,PD PE CPD FPE PC PF=∠=∠， 从而 △PDE ∽△PCF ，所以 PD DE PC CF=． 又已知DE AD CF BC =，所以，AD PD BC PC =． ………………10分（2）由于PDA PGE PCB ∠=∠=∠，结合（1）知，△PDA ∽△PCB ，从而有,PA PD PB PC= DPA CPB ∠=∠， 所以APB DPC ∠=∠，因此△PAB ∽△PDC ． ………………15分14（B ）．证明：对任意三角形，一定存在两条边，它们的长u ，v 满足1≤152u v +<． （第13B 题答案图）证明：设任意△ABC 的三边长为a ，b ，c ，不妨设a b c >>．若结论不成立，则必有a b， ○1b c≥ ○2………………5分记,b c s a b t c s t =+=+=++，显然,0s t >，代入○1得c s t c s+++≥12+，11s tc c s c+++≥12+， 令,s tx y c c==，则11x y x+++． ○3由a b c <+，得c s t c s c ++<++，即t c <，于是1ty c=<． 由○2得1b c sx c c+==+， ○4 由○3，○4得y≥1(1)x ⎫-+⎪⎪⎝⎭1=， 此式与1<y 矛盾．从而命题得证．………………15分中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x ，y 满足：4x 4－2x 2＝3，y 4＋y 2＝3，则4x4＋y 4的值为（ ）（A ）7 （B ）1＋132 （C ）7＋132（D ）52．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）（A ）512（B ）49（C ）1736（D ）123．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确定的不同直线最少有 （ ）（A ）6条（B ）8条（C ）10条（D ）124．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为 （ ）（A ）52a （B ）1（C ）32（D ）a5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有 （ ）（A ）2种（B ）3种（C ）4种（D ）5种二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u *v ＝uv ＋v ．若关于x 的方程x *（a *x ）＝－14有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是_______． 7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_____分钟． 8．如图，在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为______． 9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为______．10．关于x ，y 的方程x 2＋y 2＝208(x －y )的所有正整数解为________．三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）11．在直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，且使得△OAB 的面积值等于｜OA ｜＋｜OB ｜＋3．（1）用b 表示k ；（2）求△OAB 面积的最小值．12．是否存在质数p ，q ，使得关于x 的一元二次方程px 2－qx ＋p ＝0有有理数根？13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC ？证明你的结论． 14．从1，2，…，9中任取n 个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n 的最小值．FMDBA简答：一．选择题 ACBBD ；二．填空题 6. a ＞ 0 或 a ＜－1； 7. 4； 8. 9； 9.163； 10. x ＝48， x ＝160， y ＝32； y ＝32． 三．解答题：11. （1）k ＝2b －b 22(b ＋3)，b ＞ 2； （2）当 b ＝2＋10， k ＝－1时，△OAB 面积的最小值为7＋210； 12. 存在满足题设条件的质数p ，q . 当p ＝2，q ＝5时，方程2x 2－5x ＋ 2＝0 的两根为 x 1＝12， x 2＝2. 它们都是有理数； 13. 存在满足条件的三角形. △ABC 的边 a ＝6，b ＝4，c ＝5，且∠A ＝2∠B .14. n 的最小值是5，当n=4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．（5分）当n=5时，设a 1，a 2，a 5是1，2，…，9中的5个不同的数．若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则a 1，a 2，a 5中不可能同时出现1和9；2和8；3和7；4和6．于是a 1，a 2，…，a 5中必定有一个数是5． 若a 1，a 2，…，a 5中含1，则不含9．于是不含4（4+1+5=10），故含6；于是不含3（3+6+1=10），故含7；于是不含2（2+1+7=10），故含8．但是5+7+8=20是10的倍数，矛盾． 若a 1，a 2，…，a 5中含9，则不含1．于是不含6（6+9+5=20），故含4；于是不含7（7+4+9=20），故含3；于是不含8（8+9+3=10），故含2．但是5+3+2=10是10的倍数，矛盾． 综上所述，n 的最小值为5．（15分）中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a ，b 满足 2242(3)42a b a b a -+++-=，则a b +等于（ ）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 【答】C ．解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为22(3)0b a b +-=，于是32a b ==-，，从而a b +＝1．2．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ ）．（A ）51+ （B 51- （C ）1 （D ）2 【答】A ．解：因为△BOC ∽ △ABC ，所以BO BCAB AC=，即11aa a =+， 所以， 210a a --=．由0a >，解得15a +=3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，只有正数解的概率为（ ）．（A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）3613 （第2题）【答】D．解：当20a b-=时，方程组无解．当02≠-ba时，方程组的解为62,223.2bxa baya b-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->--,0232,0226baabab即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02baba或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02baba由a，b的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得2345612ab=⎧⎨=⎩，，，，，，，共有5×2＝10种情况；或1456ab=⎧⎨=⎩，，，，共3种情况．又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为3613．4．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，90B∠=︒. 动点P从点B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y. 把y看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为（）．（A）10 （B）16 （C）18 （D）32【答】B．解：根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故S△ABC＝12×8×4＝16.5．关于x，y的方程22229x xy y++=的整数解（x，y）的组数为（）．（A）2组（B）3组（C）4组（D）无穷多组【答】C．解：可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为（第4题）图1 图222(229)0x yx y ++-=．由于该方程有整数根，则判别式∆≥0，且是完全平方数． 由 2224(229)7116y y y ∆=--=-+≥0， 解得 2y ≤11616.57≈．于是 显然，只有216y =时，4∆=是完全平方数，符合要求． 当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时121,3x x =-=-； 当y ＝－4时，原方程为2430x x -+=，此时341,3x x ==． 所以，原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩ 223,4;x y =-⎧⎨=⎩ 331,4;x y =⎧⎨=-⎩ 443,4.x y =⎧⎨=-⎩ 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．【答】3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k .又设一对新轮胎交换位置前走了x km ，交换位置后走了y km .分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kxky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相加，得()()250003000k x y k x y k +++=，则 237501150003000x y +==+．7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AHAB的值为 ．解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ． 由题设知13AC AD =，13AB AE =，在△FHA 和△EF A 中， 90EFA FHA ∠=∠=︒，FAH EAF ∠=∠所以 Rt △FHA ∽Rt △EF A ，AH AFAF AE=.而AF AB =，所以AH AB 13=. 8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为 ． 【答】 10．解：因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=，且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数，所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯，所以1234541b a b a b a b a b a -+-+-+-+-=．由123459a a a a a ++++=，可得10b =．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于 ．【答】602． （第7题）解：如图，由勾股定理知AD ＝9，BD ＝16，所以AB ＝AD ＋BD ＝25 ． 故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形，且90ACB ∠=︒．作EF ⊥BC ，垂足为F ．设EF ＝x ，由1452ECF ACB ∠=∠=︒，得CF ＝x ，于是BF ＝20－x ．由于EF ∥AC ，所以EF BFAC BC =， 即 201520x x-=， 解得607x =．所以60227CE x ==．10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ． 【答】2-．解：设报3的人心里想的数是x ，则报5的人心里想的数应是8x -．于是报7的人心里想的数是 12(8)4x x --=+，报9的人心里想的数是16(4)12x x -+=-，报1的人心里想的数是 20(12)8x x --=+，报3的人心里想的数是4(8)4x x -+=--．所以 4x x =--， 解得2x =-．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x . （1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值. 解：（1）联立2y x =与c x t y --=)12(，消去y 得二次方程（第9题）（第10题）2(21)0x t x c --+= ①有实数根1x ，2x ，则121221,x x t x x c +=-=．所以2221212121[()()]2c x x x x x x ==+-+=221[(21)(23)]2t t t --+-＝21(364)2t t -+． ②………………5分把②式代入方程①得221(21)(364)02x t x t t --+-+=． ③………………10分t 的取值应满足2221223t t x x +-=+≥0， ④且使方程③有实数根，即22(21)2(364)t t t ∆=---+＝2287t t -+-≥0， ⑤解不等式④得 t ≤-3或t ≥1，解不等式⑤得 2-t ≤2+所以，t 的取值范围为22-≤t ≤22+⑥ ………………15分(2) 由②式知22131(364)(1)222c t t t =-+=-+.由于231(1)22c t =-+在22-≤t ≤22+时是递增的，所以，当22t =-时,2min 3111(21)2224c -=--+=. ………………20分12．已知正整数a 满足3192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和．解：由3192191a +可得31921a -．619232=⨯，且()[]311(1)1(1)(1)(1)a a a a a a a a -=-++=-++-．………………5分因为()11a a ++是奇数，所以6321a -等价于621a -，又因为3(1)(1)a a a -+，所以331a -等价于31a -．因此有1921a -，于是可得1921a k =+．………………15分 又02009a <<，所以0110k =L ，，，．因此，满足条件的所有可能的正整数a 的和为11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分13．如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．解法1：结论是DF EG =．下面给出证明． ………………5分 因为FCD EAB ∠=∠，所以Rt △FCD ∽ Rt △EAB ．于是可得CDDF BE AB =⋅． 同理可得 CEEG AD AB=⋅．………………10分又因为tan AD BEACB CD CE∠==，所以有BE CD AD CE ⋅=⋅，于是可得 DF EG=．………………20分解法2：结论是DF EG =．下面给出证明．……………… 5分连接DE ，因为90ADB AEB ∠=∠=︒，所以A ，B ，D ，E 四点共圆，故CED ABC ∠=∠． ………………10分又l 是⊙O 的过点C 的切线，所以ACG ABC ∠=∠． ………………15分 所以，CED ACG ∠=∠，于是DE ∥FG ，故DF ＝EG ．………………20分（第13A 题）（第13A 题）14．n 个正整数12n a a a L ，，，满足如下条件：1212009n a a a =<<<=L ； 且12n a a a L ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．解：设12n a a a L ，，，中去掉i a 后剩下的n －1个数的算术平均数为正整数i b ，12i n =L ，，，．即 12()1n ii a a a a b n +++-=-L ．于是，对于任意的1≤i j <≤n ，都有1j i i j a a b b n --=-，从而 1()j i n a a --． ………………5分由于 11200811n n a a b b n n --==--是正整数，故 312251n -⨯． ………………10分由于 ()()()112211n n n n n a a a a a a a ----=-+-++-L ≥()()()2111(1)n n n n -+-++-=-L ， 所以，2(1)n -≤2008，于是n ≤45.结合312251n -⨯，所以，n ≤9． ………………15分另一方面，令123801,811,821a a a =⨯+=⨯+=⨯+，…，8871a =⨯+，982511a =⨯+，则这9个数满足题设要求．综上所述，n 的最大值为9. ………………20分中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若20 10a b b c==，，则a bb c ++的值为（ ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）21011解：D 由题设得12012101111110a ab bc b c b +++===+++． 代数式变形，同除b2．若实数a ，b 满足21202a ab b -++=，则a 的取值范围是 （ ）．（A ）a ≤2- （B ）a ≥4 （C ）a ≤2-或 a ≥4 （D ）2-≤a ≤4 解．C因为b 是实数，所以关于b 的一元二次方程21202b ab a -++=的判别式 21()41(2)2a a ∆--⨯⨯+＝≥0,解得a ≤2-或 a ≥4．方程思想，未达定理；要解一元二次不等式3．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =3BC =422-CD ＝2，则AD 边的长为（ ）．（A ）6（B ）64（C ）64+ （D ）622+ 解：D如图，过点A ，D 分别作AE ，DF 垂直于直线BC ，垂足分别为E ，F ．由已知可得BE =AE 6CF ＝22DF ＝6于是 EF ＝4＋6．过点A 作AG ⊥DF ，垂足为G ．在Rt △ADG 中，根据勾股定理得AD 222(46)(6)(224)=++=+226+勾股定理、涉及双重二次根式的化简，补全图形法4．在一列数123x x x ，，，……中，已知11=x ，且当k ≥2时，1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭（取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2010x 等于（ ）．(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解：B由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭可得 （第3题）（第3题）11x =，22x =，33x =，44x =，51x =，62x =，73x =，84x =，……因为2010=4×502+2，所以2010x =2． 高斯函数；找规律。
2017年全国初中数学竞赛试题参考答案(word版)
2017年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0（C ）12（D ）1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）． （A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---=【答案】B【解答】由于20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12bx x a+=-，12c x x a =，且120x x ≠，所以0c ≠，且 221212222221212()2112x x x x b ac x x x x c +--+==，22221211a x x c⋅=， 于是根据方程根与系数的关系，以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程是222220b ac a x x c c--+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=． 3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）．（A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC（第3题）【答案】D【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DODE OC =都是有理数，而AC ＝·AD AB 不一定是有理数． 4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8【答案】C【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ． 连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****的值为（ ）． （A ）607967（B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967【答案】C【解答】设201320124m ***=，则()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．（第3题答题）（第4题答题）（第4题）二、填空题6．设33a =，b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ． 【答案】9【解答】由于2123a a <<<<，故32292b a =-=-，因此333(2)(9)9b +==． 7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．【答案】20413【解答】如图，连接AF ，则有：45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=． 所以，四边形AEFD 的面积是20413． 8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．【答案】2013【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．（第7题答题）（第7题）9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数）【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=． 若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d，进而2b d a c ==--=-． 若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件．10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2017元．则他至少卖出了 支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+， 所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．三、解答题11．如图，抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线113y x =-+与y 轴交于点D ．求∠DBC ∠CBE ．【解答】将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)，C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B ．将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．抛物线223y x x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC ＝32，CE ＝2，BE ＝25．因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒．因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠．所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．（第11题答题）（第11题）12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形．因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．（ii ）若△ABC 为钝角三角形．当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒。
2017年初三数学中考复习冲刺阶段真题试卷(四)答题卡
A A′B′C ′BC第7题图′2015年中考狮山镇第二次模拟考试数 学 试 卷说 明：本试卷分为第Ι卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共6页，满分120分，考试时间100分钟．注意事项：1.试卷的选择题和非选择题都在答题卡上作答，不能答在试卷上.2.要作图(含辅助线)或画表，先用铅笔进行画线、绘图，再用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑.3.其余注意事项，见答题卡.第Ι卷 （选择题 共30分）一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)． 1．点A 在数轴上距原点3各单位长度，且位于原点的左侧．此时点A 所表示的数是（ ）．A .3B .3-C .3±D .32．一次函数x y 23-=的图象不经过．．．的象限是（ ）． A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象3．下列运算中，结果正确的是（ ）．A . y x xy xy 22223=+-B . 332276y x xy y x =+C .)(b a b a +-=+-D .6)6(+-=--x x4．在直角坐标系中，如果a ，b 均为正数，那么点（b ，a ）在（ ）象限．A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限5．九（5）班有50名学生，体育考试后统计其体育测试成绩结果如下表:九（5）班学生体育测试成绩的中位数是（ ）． A .46分B .47分C .48分D .49分6．各角相等的圆内接正四边形一定是（ ）．A .平行四边形B .矩形C .菱形D .正方形7． 如图，ACB ∆≌'''B C A ∆，︒=∠25C ，︒=∠40'B ，6''=C A ，则'A ∠的度数和AC 的长分别为（ ）．A . 6115和︒B . 665和︒C . 12125和︒D .315和︒8．用配方法解方程09-82=+x x 时，原方程应变形为（ ）.A . 254-2=）（xB . 1342=+）（xC . 134-2=）（x D . 2542=+）（x9．如果一个三角形的两边分别为8cm 和12cm ，那么连接这个三角形三边中点 所得的三角形的周长可能是（ ）．A .14cmB .12cmC .10cmD .2cm10．如图是一个几何体的三视图，其中主视图、左视图都是腰为13cm ，底为10cm 的等腰三角形，则这个几的 侧面积是（ ）．A . 60πcm 2B .65πcm 2C . 70πcm 2D .70πcm 2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分．把答案填在答题卡中)． 11．使分式121-+a a 的有意义的条件值是_______ __． 12．如图是20人的学习小组的一次数学测试满分4分的题目得分情况，该学习小组该题的平均得分和方差 为_______ __．13．如图，从八边形AGBFCHDE 的各顶点出发一共可以画出 条对角线（重合的算一条）．14．已知点),2(1y ，),1(2y ，),,1(3y -),,2(3y -都在反比例函数xy 1=的图象上，则4321,,,y y y y 的大小关系 是_______ __．15．长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图），则梯子的顶端沿墙面升高了_ __m ． 三、解答题（在答题卡上作答，写出必要的解题步骤．16~20题每小题6分，21～23题每小题8分，24题10分，25题11分，共75分）．16．已知方程0652=-+kx x 的一根是2，求它的另一根及k 的值．第15题图第10题图俯视图左视图主视图人数第12题图17．如图，已知⊿ABC ，用直尺和圆规作它的内切圆．（不写画法，保留作图痕迹）18．一个口袋中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外完全相同．⑴充分搅匀后随机摸出一球，发现是白球．如果将这个白球不放回，再摸一球，那么它是白球的概率是多少？ ⑵充分搅匀后随机摸出两球，两只球为一红一白的概率是多少？（请列表或画树状图说明）．19．在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN 进攻．当甲带球部到A 点时，乙随后冲到B 点，如图所示，此时甲是自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢？请你用所学的数学知识说明理由（不考虑其他因素）．20．某酒店客房部有三人间普通客房、双人间普通客房，收费标准为：三人间为300/间，双人间为280/间．为吸引 游客，实行团体入住五折优惠措施。
2017年全国初中数学联赛试题-含详细解析
2017年全国初中数学联合竞赛试题说明：评阅试卷时，请依据本评分标准．第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数．第一试(A)一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1. 已知实数a b c ，，满足2133903972a b c a b c ++=++= ，，则32b ca b+=+ ( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．1− 2. 已知△ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，有以下三个结论：(1) (2)以a 2，b 2，c 2为边长的三角形一定存在；(3)以|a －b |＋1，|b －c |＋1，|c －a |＋1为边长的三角形一定存在． 其中正确结论的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．33. 若正整数a ，b ，c 满足a b c ≤≤且()2abc a b c =++，则称(a ，b ，c )为好数组．那么，好数组的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．44. 设O 是四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，若∠BAD ＋∠ACB ＝180︒，且BC ＝3，AD ＝4，AC ＝5，AB ＝6，则DOOB＝( ) A ．109 B ．87 C ．65 D ．435. 设A 是以BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥BC 于点D ，点E 在线段DC 上，点F 在CB的延长线上，满足∠BAF ＝∠CAE ．已知BC ＝15，BF ＝6，BD ＝3，则AE ＝( ) A ．43 B ．213 C ．214 D ．2156. 对于正整数n ，设a n 是最接近n 的整数，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 200＝( )A ．1917B ．1927C ．1937D ．1947二、填空题(本题满分28分，每小题7分)7.成立的实数a 的值为______．8. 如图，平行四边形ABCD 中，∠ABC ＝72︒，AF ⊥BC 于点F ，AF 交BD 于点E ，若DE ＝2AB ，则∠AED ＝______．9. 设m ，n 是正整数，且m ＞n ．若9m 与9n 的末两位数字相同，则m －n 的最小值为____．10. 若实数x ，y 满足x 3＋y 3＋3xy ＝1，则x 2＋ y 2的最小值为______．第一试(B)一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (c ≠0)的图象与x 轴有唯一交点，则二次函数y ＝a 3x 2＋b 3x ＋c 3的图象与x 轴的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定 2．题目与(A )卷第1题相同． 3．题目与(A )卷第3题相同．4．已知正整数a ，b ，c 满足a 2－6b －3c ＋9＝0，－6a ＋b 2＋c ＝0，则a 2＋b 2＋c 2＝( ) A ．424． B ．430． C ．441． D ．460．5．设O 是四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，若∠BAD ＋∠ACB ＝180，且BC ＝3，AD ＝4，AC ＝5，AB ＝6，DOOB＝( )A ．43B ．65C ．87D ．1096．题目与(A )卷第5题相同．二、填空题(本题满分28分，每小题7分) 1．题目与(A )卷第1题相同．2．设O 是锐角三角形ABC 的外心，D ，E 分别为线段BC ，OA 的中点，∠ACB ＝7∠OED ，∠ABC ＝5∠OED ，则∠OED ＝______． 3．题目与(A )卷第3题相同． 4．题目与(A )卷第4题相同．第二试(A)一、(本题满分20分)已知实数x ，y 满足x ＋ y ＝3，1x ＋y 2＋1x 2＋y ＝12，求x 5＋y 5的值．二、(本题满分25分)如图，△ABC 中，AB ＞AC ，∠BAC ＝45︒，E 是∠BAC 的外角平分线与△ABC 的外接圆的交点，点F 在AB 上且EF ⊥AB ．已知AF ＝1，BF ＝5，求△ABC 的面积．三、(本题满分25分)求所有的正整数数对(a ，b )，使得a 3＝49×3b ＋8．第二试(B)一、(本题满分20分)已知实数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，a ＋b ＋c ＝16，a 2＋b 2＋c 2＋14abc ＝ ，求c 的值．二、(本题满分25分)求所有的正整数m ，使得22m －1－2m ＋1是完全平方数．三、(本题满分25分)如图，O 为四边形ABCD 内一点，∠OAD ＝∠OCB ，OA ⊥OD ，OB ⊥OC ．求证：AB 2＋CD 2＝AD 2＋BC 2．7。
全国初中数学竞赛试题及答案(2017年)
2017年全国初中数学竞赛试题考试时间2017年3月20日9︰30－11︰30满分150答题时注意：1、用圆珠笔或钢笔作答2、解答书写时不要超过装订线3、草稿纸不上交。
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。
每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1、设x =，则代数式(1)(2)(3)x x x x +++的值为（ C ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．22、对于任意实数,,,a b c d ，定义有序实数对(,)a b 与(,)c d 之间的运算“△”为：(,)(,)(,)a b c d ac bd ad bc ∆=++。
如果对于任意实数,u v ，都有(,)(,)(,)u v x y u v ∆=，那么(,)x y 为（ B ）。
A ．(0,1) B ．(1,0) C ．(1,0)- D ．(0,1)-3、已知,A B 是两个锐角，且满足225sin cos 4A B t +=，2223cos sin 4A B t +=，则实数t 所有可能值的和为（ C ）A ．83-B ．53-C ．1D ．1134、如图，点,D E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，BE ，CD 相交于点F ，设1EADF S S 四边形＝，BDF 2S S ∆＝，BCF 3S S ∆＝，CEF 4S S ∆＝，则13S S 与24S S 的大小关系为（ C ） A ．13S S ＜24S SB ．13S S ＝24S SC ．13S S ＞24S SD ．不能确定5、设33331111S 1232011＝＋＋＋＋，则4S 的整数部分等于（ A ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6、两条直角边长分别是整数,a b （其中2011b <），斜边长是1b +的直角三角形的个数为＿＿31＿＿。
2017年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷参考答案及评分细则详解
2017年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷参考答案及评分细则详解2017年全国初中数学联赛（初三组）初赛试卷试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
选择题和填空题只设7分和分两档；解答题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。
如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、设实数a、b满足a-b=-1，则a³-b³+3ab的值为（B）A、-3B、-1C、1D、3解析：a³-b³+3ab=(a-b)(a²+ab+b²)+3ab=-(a-b)=-12、若实数a为常数，关于x的不等式组{x+a²≤2a x≤-7}的整数解只有8个，则a的值为（C）A、-1B、0C、1D、2解析：{x+a²≤2a x≤-7}⇒-7≤x≤-a²+2a⇒1≤-a²+2a⇒(a-1)≤0⇒a≤1因为a是常数，所以a=13、在菱形ABCD中，AB=4，E为AB的中点，若在线段BD上取一点P，则PA+PE∠A=60°，的最小值是（D）A、23B、4C、25D、27解析：如图，连结AC，EC交BD于点P，则点P是所求的菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，E为AB的中点DE=√3×AB/2=2√3CE=DE+DC=2√3+4AE=√(CE²+AC²)=√(28²+16)=4√10PA+PE∠A=AE×sin(∠APE)=4√10×sin(60°+∠BPD)令∠BPD=θ，则∠APE=60°+θPA+PE∠A=4√10×(cosθ+√3sinθ)=4√10×(sinθ+√3cosθ+2)/24√10×(sin(θ-60°)+2)/2=2√10×(√3cosθ+sinθ+1)≥2√10所以最小值为2√10，即274、对于任意实数a，b，c，用M{a,b,c}表示三个数的平均数，用min{a,b,c}表示这三个数中最小的数，若M{2x+y+2,x+2y,2x-y}=min{2x+y+2,x+2y,2x-y}，则x+y=（A）A、-4B、-2C、2D、4解析：不妨设a最小，则M{a,b,c}=aa+b+c=3ab-a)+(c-a)=ab-a≥0，c-a≥0b=a，c=a2x+y+2=x+2y=2x-yx=-3，y=-1x+y=-45、如图，RtΔABC的斜边AB与⊙O相切于点P，直角顶点C在⊙O上，若AC=22，BC=4，则⊙O的半径是（B）A、3B、23C、4D、26解析：如图，由射影定理得：BC²=AC×DCCD=4²/22BD²=CD²+BC²=48BO=BD/2=√48/2=2√3OP=OB-√AB²-AP²=2√3-√22²-4²=2√3-2r=OP=2√3-2=2(√3-1)=2∙236、不超过1142无明显问题的段落，不需修改）即有：x2kx5x 2x25x k x 2将两式相减，得：10x52x化XXX：2x210x50由于方程只有一个公共实根，所以判别式为0，即：24250解得：2或 5又因为x2kx k的实根为0或k，所以：当2时，实根为0，k，所以实根之和为k；当5时，实根为0，k，所以实根之和为k；综上所述，关于x的方程x2kx k所有的实根之和为k k0.题目一：已知方程组 $\begin{cases}\alpha^2-k\alpha+5=0 \\\alpha^2+5\alpha-k=0\end{cases}$，求所有实数根的和。
2017全国初中数学联赛初二卷及详解
2017年全国初中数学联合竞赛试题 初二卷第一试一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1.已知实数a,b,c 满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b ca b++的值为（ ）. A.2 B.1 C.0 D.-1 2.已知实数a,b,c 满足a+b+c=1，1110135a b c ++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（ ）. A.125 B.120 C.100 D.813.若正整数a,b,c 满足a ≤b ≤c 且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（ ）. A.4 B.3 C.2 D.14.已知正整数a,b,c 满足a 2-6b-3c+9=0，-6a+b 2+c=0，则a 2+b 2+c 2的值为（ ）. A.424 B.430 C.441 D.4605.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（ ）. A.102 B.103C.32D.33 6.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，点E 在AB 上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE 的值为（ ）.A.56B.58C.60D.62二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.311a a ++=a 的值为________.8.已知△ABC 的三个内角满足A ＜B ＜C ＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A 中的最小者，则θ的最大值为________.9.设a,b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.第二试一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值.二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD.三、（本题满分25分）已知a,b,c 55a bb c++为有理数，求222a b ca b c++++的最小值.2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷参考答案第一试一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b ca b++的值为（）.A.2B.1C.0D.-1答案：B对应讲次：所属知识点：方程思路：因为所求分式的特点可以想到把a+2b，3b+c看成一个整体变量求解方程.解析：已知等式可变形为2(a+2b)+3(3b+c)=90，3(a+2b)+(3b+c)=72，解得a+2b=18，3b+c=18，所以312b ca b+=+.2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，111135a b c++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）.A.125B.120C.100D.81答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：可以想到换元法.解析：设x=a+1，y=b+3，z=c+5，则x+y+z=10，111x y z++=，∴xy+xz+yz=0，由x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+xz+yz)=100.则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2 =100.3. 若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）.A.4B.3C.2D.1答案：B对应讲次：所属知识点：数论思路：先通过a≤b≤c且abc=2(a+b+c)的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证. 解析：若(a,b,c)为好数组，则abc=2(a+b+c)≤6c，即ab≤6，显然a=1或2.若a=1，则bc=2(1+b+c)，即(b-2)(c-2)=6，可得(a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5)，共2个好数组.若a=2，则b=2或3，可得b=2,c=4；b=3,c=52，不是整数舍去，共1个好数组.共3个好数组(a,b,c)=(1,3,8) (1,4,5) (2,2,4).4. 已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）.A.424B.430C.441D.460答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：由已知等式消去c整理后，通过a,b是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.解析：联立方程可得(a-9)2+3(b-1)2=75，则3(b-1)2≤75，即1≤b≤6.当b=1,2,3,4,5时，均无与之对应的正整数a；当b=6时，a=9，符合要求，此时c=18，代入验证满足原方程.因此，a=9，b=6，c=18，则a2+b2+c2=441.5. 梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）.A.102B.103C.32D.33答案：A对应讲次：所属知识点：平面几何思路：通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.解析：作AE∥DC，AH⊥BC，则ADCE是平行四边形，则BE=BC-CE=BC-AD=3=AB，则△ABE 是等腰三角形，BE=AB=3，AE=2，经计算可得42AH =. 所以梯形ABCD 的面积为()142102142⨯+⨯=.6. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，点E 在AB 上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE 的值为（ ）.A.56B.58C.60D.62 答案：B 对应讲次：所属知识点：平面几何思路：补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形Rt △EAD 中去，利用勾股定理求解.解析：作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F ，将△CDF 绕点C 逆时针旋转90°至△CGB ，则ABCF 为正方形，可得△ECG ≌△ECD ，∴EG=ED. 设DE=x ，则DF=BG=x-28，AD=98-x.在Rt △EAD 中，有422+(98-x)2=x 2，解得x=58.二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.311a a ++=a 的值为________.答案：8 对应讲次： 所属知识点：方程思路：通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式.解析：易得(321a =.令x ，则x ≥0，代入整理可得x(x-3)(x+1)2=0，解得x 1=0, x 2=3, x 3=-1，舍负，即a=-1或8，验证可得a=8.8. 已知△ABC 的三个内角满足A ＜B ＜C ＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A 中的最小者，则θ的最大值为________. 答案：20° 对应讲次： 所属知识点：代数思路：一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况. 解析：∵θ≤100°-C ，θ≤C-B ，θ≤B-A ∴θ≤16［3（100°-C ）+2(C-B)+(B-A)］=20°又当A=40°,B=60°,C=80°时，θ=20°可以取到. 则θ的最大值为20°.9. 设a,b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.答案：7 对应讲次： 所属知识点：数论思路：因为p 是质数，只能拆成1和p ，另一方面通过a+b 、a 、b 两两互质来拆分38ab a b+的可能种类，最后分类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.解析：因为a,b 互质，所以a+b 、a 、b 两两互质，因为38ab a b +质数，所以318ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得a=b=1，p=4，不是质数舍；381ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得a=7，b=1，p=7，符合题意.则p=7.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________. 答案：34 对应讲次： 所属知识点：数论思路：考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.解析：设该正整数列为()20,*n a n n N ≤∈，考虑()16,,,14,*k k k i i i ki ka a a k k N ++==≤∈∑∑L ，依抽屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34.由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.第二试一、（本题满分 20 分）设A,B 是两个不同的两位数，且B 是由A 交换个位数字和十位数字所得，如果A 2-B 2是完全平方数，求A 的值. 答案：65 对应讲次： 所属知识点：数论思路：对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数ab 设为10a+b ，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果. 解析：设A=10a+b(1≤a,b ≤9,a,b ∈N)，则B=10b+a ，由A,B 不同得a ≠b ，A 2-B 2=（10a+b ）2-(10b+a)2=9×11×（a+b ）(a-b).………5分由A 2-B 2是完全平方数，则a ＞b ，()()11|a b a b +-，可得a+b=11， ………10分 a-b 也是完全平方数，所以a-b=1或4.………15分若a-b=1，则a=6，b=5； 若a-b=4，则没有正整数解. 因此a=6，b=5，A=65.………20分二、（本题满分 25 分）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，BE ⊥DE ，CF ⊥DF ，P 为AD 与EF 的交点.证明：EF=2PD.对应讲次：所属知识点：平面几何思路：因为EF 、PD 都在△DEF 中，所以想办法推出其性质，比较容易得出∠EDF=90°，此时若能得出EF=PD ，则自然可以得到结论.解析：由DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，可得∠EDF=90°.………5分由BE ⊥DE 得BE ∥DF ，则∠EBD=∠FDC. ………10分又BD=DC ，∠BED=∠DFC=90°，则△BED ≌△DFC ，BE=DF . ………15分 得四边形BDFE 是平行四边形，∠PED=∠EDB=∠EDP ，EP=PD. ………20分 又△EDF 是直角三角形，∴EF=2PD.………25分三、（本题满分 25 分）已知a,b,c 为有理数，求222a b c a b c ++++的最小值.答案：3 对应讲次： 所属知识点：数论思路：通过a,b,c 是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.0c -≠，可以通过分母有理化来实现分离，再利用a,b,c 互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值.0c -≠)()22222555bcab bc bac b cb c +--+-==--b 2=ac. …10分()()22222a c ba b c a c b a b c a c b +-++==+-++++.………15分不妨设a ＜c ，若a=1，c=b 2，因为a ≠b ，则a+c-b=1+b(b-1)≥3，取等号当且仅当b=2时. ………20分 若a ≥2，因为c ≠b ≠1，则a+c-b=a+b(b-1)≥a+2≥4＞3.所以222a b c a b c++++的最小值为3，当a=1，b=2，c=4时.………25分。
2017全国初中数学联赛初二卷及详解
2017年全国初中数学联合竞赛试题 初二卷第一试一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1.已知实数a,b,c 满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b ca b++的值为（ ）. A.2 B.1 C.0 D.-1 2.已知实数a,b,c 满足a+b+c=1，1110135a b c ++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（ ）. A.125 B.120 C.100 D.813.若正整数a,b,c 满足a ≤b ≤c 且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（ ）. A.4 B.3 C.2 D.14.已知正整数a,b,c 满足a 2-6b-3c+9=0，-6a+b 2+c=0，则a 2+b 2+c 2的值为（ ）. A.424 B.430 C.441 D.4605.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（ ）. A.1023 B.1033C.32D.33 6.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，点E 在AB 上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE 的值为（ ）.A.56B.58C.60D.62二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.311a a ++=a 的值为________.8.已知△ABC 的三个内角满足A ＜B ＜C ＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A 中的最小者，则θ的最大值为________.9.设a,b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.第二试一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值.二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD.三、（本题满分25分）已知a,b,c 55a bb c++为有理数，求222a b ca b c++++的最小值.2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷参考答案第一试一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b ca b++的值为（）.A.2B.1C.0D.-1答案：B对应讲次：所属知识点：方程思路：因为所求分式的特点可以想到把a+2b，3b+c看成一个整体变量求解方程.解析：已知等式可变形为2(a+2b)+3(3b+c)=90，3(a+2b)+(3b+c)=72，解得a+2b=18，3b+c=18，所以312b ca b+=+.2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，111135a b c++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）.A.125B.120C.100D.81答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：可以想到换元法.解析：设x=a+1，y=b+3，z=c+5，则x+y+z=10，111x y z++=，∴xy+xz+yz=0，由x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+xz+yz)=100.则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2 =100.3. 若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）.A.4B.3C.2D.1答案：B对应讲次：所属知识点：数论思路：先通过a≤b≤c且abc=2(a+b+c)的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证. 解析：若(a,b,c)为好数组，则abc=2(a+b+c)≤6c，即ab≤6，显然a=1或2.若a=1，则bc=2(1+b+c)，即(b-2)(c-2)=6，可得(a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5)，共2个好数组.若a=2，则b=2或3，可得b=2,c=4；b=3,c=52，不是整数舍去，共1个好数组.共3个好数组(a,b,c)=(1,3,8) (1,4,5) (2,2,4).4. 已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）.A.424B.430C.441D.460答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：由已知等式消去c整理后，通过a,b是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.解析：联立方程可得(a-9)2+3(b-1)2=75，则3(b-1)2≤75，即1≤b≤6.当b=1,2,3,4,5时，均无与之对应的正整数a；当b=6时，a=9，符合要求，此时c=18，代入验证满足原方程.因此，a=9，b=6，c=18，则a2+b2+c2=441.5. 梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）.A.1023B.1033C.32D.33答案：A对应讲次：所属知识点：平面几何思路：通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.解析：作AE∥DC，AH⊥BC，则ADCE是平行四边形，则BE=BC-CE=BC-AD=3=AB，则△ABE 是等腰三角形，BE=AB=3，AE=2，经计算可得423AH =. 所以梯形ABCD 的面积为()14210214233⨯+⨯=.6. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，点E 在AB 上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE 的值为（ ）.A.56B.58C.60D.62 答案：B 对应讲次：所属知识点：平面几何思路：补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形Rt △EAD 中去，利用勾股定理求解.解析：作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F ，将△CDF 绕点C 逆时针旋转90°至△CGB ，则ABCF 为正方形，可得△ECG ≌△ECD ，∴EG=ED. 设DE=x ，则DF=BG=x-28，AD=98-x.在Rt △EAD 中，有422+(98-x)2=x 2，解得x=58.二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.311a a ++=a 的值为________.答案：8 对应讲次： 所属知识点：方程思路：通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式.解析：易得(321a =.令x ，则x ≥0，代入整理可得x(x-3)(x+1)2=0，解得x 1=0, x 2=3, x 3=-1，舍负，即a=-1或8，验证可得a=8.8. 已知△ABC 的三个内角满足A ＜B ＜C ＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A 中的最小者，则θ的最大值为________. 答案：20° 对应讲次： 所属知识点：代数思路：一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况. 解析：∵θ≤100°-C ，θ≤C-B ，θ≤B-A ∴θ≤16［3（100°-C ）+2(C-B)+(B-A)］=20°又当A=40°,B=60°,C=80°时，θ=20°可以取到. 则θ的最大值为20°.9. 设a,b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.答案：7 对应讲次： 所属知识点：数论思路：因为p 是质数，只能拆成1和p ，另一方面通过a+b 、a 、b 两两互质来拆分38ab a b+的可能种类，最后分类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.解析：因为a,b 互质，所以a+b 、a 、b 两两互质，因为38ab a b +质数，所以318ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得a=b=1，p=4，不是质数舍；381ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得a=7，b=1，p=7，符合题意.则p=7.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________. 答案：34 对应讲次： 所属知识点：数论思路：考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.解析：设该正整数列为()20,*n a n n N ≤∈，考虑()16,,,14,*k k k i i i k i ka a a k k N ++==≤∈∑∑，依抽屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34.由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.第二试一、（本题满分 20 分）设A,B 是两个不同的两位数，且B 是由A 交换个位数字和十位数字所得，如果A 2-B 2是完全平方数，求A 的值. 答案：65 对应讲次： 所属知识点：数论思路：对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数ab 设为10a+b ，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果. 解析：设A=10a+b(1≤a,b ≤9,a,b ∈N)，则B=10b+a ，由A,B 不同得a ≠b ，A 2-B 2=（10a+b ）2-(10b+a)2=9×11×（a+b ）(a-b).………5分由A 2-B 2是完全平方数，则a ＞b ，()()11|a b a b +-，可得a+b=11， ………10分 a-b 也是完全平方数，所以a-b=1或4.………15分若a-b=1，则a=6，b=5； 若a-b=4，则没有正整数解. 因此a=6，b=5，A=65.………20分二、（本题满分 25 分）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，BE ⊥DE ，CF ⊥DF ，P 为AD 与EF 的交点.证明：EF=2PD.对应讲次：所属知识点：平面几何思路：因为EF 、PD 都在△DEF 中，所以想办法推出其性质，比较容易得出∠EDF=90°，此时若能得出EF=PD ，则自然可以得到结论.解析：由DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，可得∠EDF=90°.………5分由BE ⊥DE 得BE ∥DF ，则∠EBD=∠FDC. ………10分又BD=DC ，∠BED=∠DFC=90°，则△BED ≌△DFC ，BE=DF . ………15分 得四边形BDFE 是平行四边形，∠PED=∠EDB=∠EDP ，EP=PD. ………20分 又△EDF 是直角三角形，∴EF=2PD.………25分三、（本题满分 25 分）已知a,b,c 为有理数，求222a b c a b c ++++的最小值.答案：3 对应讲次： 所属知识点：数论思路：通过a,b,c 是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.0c -≠，可以通过分母有理化来实现分离，再利用a,b,c 互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值.0c -≠)()22222555bcab bc bac b cb c +--+-==--b 2=ac. …10分()()22222a c ba b c a c b a b c a c b +-++==+-++++.………15分不妨设a ＜c ，若a=1，c=b 2，因为a ≠b ，则a+c-b=1+b(b-1)≥3，取等号当且仅当b=2时. ………20分 若a ≥2，因为c ≠b ≠1，则a+c-b=a+b(b-1)≥a+2≥4＞3.所以222a b c a b c++++的最小值为3，当a=1，b=2，c=4时.………25分。
2017年全国初中数学联合竞赛试题含答案
2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1．已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则3b+c＝（）a +2bA. 2．B. 1．C. 0．D.-1．【答】B.已知等式可变形为 2( a+ 2b) + 3(3b+c ) = 90 ， 3( a+ 2b) + (3b+c ) = 72 ，解得a+2b=18，3b+c=18 ，所以3b+c=1.a +2b2．已知△ABC的三边长分别是a,b,c，有以下三个结论：（1）以a,b,c为边长的三角形一定存在；（2）以 a 2, b 2, c2为边长的三角形一定存在；（3）以 | a-b | +1,| b-c | +1,| c-a | +1 为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为（）A．0．B．1．C．2．D．3．【答】C.不妨设 a ≥ b ≥ c ，则有 b + c > a .（1）因为 b + c > a ，所以 b + c +222b +c > a ，故以a,b,c为bc > a ，即( b + c ) >（ a），即边长的三角形一定存在；（2）以 a =2, b =3, c =4为边长可以构成三角形，但以 a 2= 4, b2= 9, c2=16 为边长的三角形不存在；（3）因为 a ≥ b ≥ c ，所以| a - b |+1= a - b +1,| b - c |+1= b - c +1,| c - a |+1= a - c +1，故三条边中| c - a |+1大于或等于其余两边，而（| a-b | +1）+（| b-c | +1）=（a-b+ 1）+（b-c+1）=a-c+ 1 + 1 >a -c+ 1 =| c-a | +1 ，故以 | a-b | +1 ， | b-c | +1 ， | c-a | +1 为边长的三角形一定存在.3．若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么，好数组的个数为（）A. 1．B．2．C．3．D．4．【答】C.若( a, b, c) 为好数组，则abc= 2( a+b+c ) ≤ 6c，所以ab≤6.显然，a只能为1或2.若a ＝2，由ab≤6可得b=2或3，b=2时可得c=4，b=3时可得c=52（不是整数）；若a ＝1，则bc=2(1+b+c)，于是可得(b-2)(c-2)=6，可求得(a,b,c)＝（1，3，8）或（1，4，5）.综合可知：共有 3 个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）.4．设 O 是四边形 ABCD 的对角线 AC 、BD 的交点，若 ∠BAD + ∠ACB = 180︒，且 BC = 3，AD = 4 ，AC = 5 ， AB = 6 ，则 DO ＝ （ ）OB10 8 64A.．B.．C.．D.．D9 7 5 3E【答】A.C过 B 作 BE // AD ，交 AC 的延长线于点 E ，则 ∠ABE = 180︒ - ∠BAD= ∠ACB ，所以△ ABC ∽△ AEB ，所以AC = BC ，所以4O3AB EBAB ⋅ BC6 ⨯318BEB = = = .A6AC 5 5再由 BE // AD ，得 DO = AD = 4 = 10 .BEOB 18 955．设 A 是以 BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥ BC 于点 D ，点 E 在线段 DC 上，点 F 在 CB 的延长线上，满足 ∠BAF = ∠CAE .已知 BC =15 ， BF = 6 ， BD = 3 ，则 AE ＝ （ ）AA. 4 3 ．B. 2 13 ．C. 2 14 ．D. 2 15 ．【答】B.FBDEC如图，因为 ∠BAF = ∠CAE ，所以 ∠BAF + ∠BAE = ∠CAE + ∠BAE ，即 6 3∠FAE = ∠BAC = 90︒ .又因为 AD ⊥ BC ，故 AD 2 = DE ⋅ DF = DB ⋅ DC .而 DF = BF + BD = 6 + 3 = 9 ，DC = BC - BD = 15 - 3 =12 ，所以 AD 2 = DE ⋅ 9 = 3 ⋅ 12 ，所以 AD = 6 ，DE= 4 . 从而 AE = AD 2 + DE 2 = 62 + 42 = 213 .6．对于正整数 n ，设 a 是最接近的整数，则 1 + 1 + 1 + +1 = （ n）na 1 a 2 a 3a200A. 191 ．B. 192 ．C. 193 ．D. 194 ．777 7 【答】A.对于任意自然数 k ， ( k +1 )2 = k 2 + k + 1不是整数，所以，对于正整数 n ，- 1 一定不是整数.n24 2的整数，则| m - |< 1 ， m ≥1.设 m 是最接近 nn2易知：当 m ≥1时，| m - |< 1 ⇔ ( m - 1 ) 2 < n < ( m + 1 )2⇔ m 2 - m + 1 < n < m 2 + m + 1 .n 2 2 24 4 于是可知：对确定的正整数 m ，当正整数 n 满足 m 2 - m + 1 ≤ n ≤ m 2+ m 时，m 是最接近的整数，n 即 a n = m .所以，使得 a n ＝ m 的正整数 n 的个数为 2m .注意到132 + 13 = 182 < 200 < 14 2 + 14 = 210 ，因此， a , a , ,8 个 4，……，26 个 13，18 个 14.所以1+1+1+ +1= 2 ⨯1+ 4 ⨯1+ 6 ⨯1+ + 26 ⨯1+ 18⨯1=191.a a a a12313147 123200二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）1．使得等式 1 + 1+a=3a 成立的实数 a 的值为_______．【答】 8 .由所给等式可得 (1 + 1 +a )3=a2.令 x =1+a，则 x ≥0，且a=x2-1，于是有(1+ x )3=( x2-1)2，整理后因式分解得x ( x -3)( x +1)2=0，解得 x= 0 ，x= 3 ，x= -1 （舍去），所以a= -1或a=8.123验证可知： a = -1是原方程的增根， a =8是原方程的根.所以， a =8.2．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC=72︒，AF⊥BC于点F， AFM交 BD 于点 E ，若 DE =2AB ，则∠AED ＝_______．【答】 66︒.BE 取 DE 的中点 M ，在Rt△ ADE中，有 AM = EM =1DE = AB .2设∠AED =α，则∠AME =180︒ -2α，∠ABM =α-18︒.又∠ABM = ∠AMB ，所以180︒ -2α=α-18︒，解得α=66︒.3．设m,n是正整数，且m>n.若9m与9n的末两位数字相同，则m-n的最小值为．【答】10.由题意知，9m- 9n= 9n⋅ (9m-n-1) 是100的倍数，所以9m-n-1是100的倍数，所以9m-n的末两位数字是 01，显然，m-n是偶数，设m-n=2t（t是正整数），则9m-n=92t=81t .计算可知： 812的末两位数字是61， 813的末两位数字是41， 814的末两位数字是21， 815的末两位数字是 01.所以 t 的最小值为5，从而可得 m - n 的最小值为10.4．若实数 x, y 满足 x 3+ y 3+3 xy =1，则 x 2+ y2的最小值为．1【答】2 .因为0= x 3+ y 3+3 xy -1=( x + y )3+(-1)3-3 x 2 y -3 xy 2+3xy=( x+y- 1)( x2+y2-xy+x+y+1) =12(x+y-1)[(x-y)2+(x+1)2+(y+1)2]，所以 x = y = -1或x+y=1.若x = y = -1，则 x 2+ y2＝2.若x + y =1，则x2+y2=12[(x+y)2+(x-y)2]=12[1+(x-y)2]≥12，当且仅当x=y=12时等号成立.所以， x 2+ y2的最小值为12.第一试(B)一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1．已知二次函数y=ax2+bx+c(c≠0)的图象与x轴有唯一交点，则二次函数y=a3x2+b3x+c3的图象与 x 轴的交点个数为（）A．0．B．1．C．2．D．不确定．【答】C.因为二次函数 y = ax 2+ bx + c 的图象与 x 轴有唯一交点，所以∆1=b2-4ac=0，所以b2=4ac≠0.故二次函数 y = a 3 x 2+ b3 x + c3的判别式∆2=(b3)2-4a3c3=b6-161(4ac)3=b6-161(b2)3=1615b6>0 ，所以，二次函数y=a3x2+b3x+c3的图象与x轴有两个交点.2．题目和解答与（A）卷第 1 题相同.3.题目和解答与（A）卷第 3 题相同.4．已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2＝（）A. 424．B. 430．C. 441．D. 460．【答】C.由已知等式消去 c 整理得( a -9)2+3(b -1)2=75，所以3(b -1)2≤75，又b为正整数，所以1≤b≤6.若b ＝1，则( a -9)2=75，无正整数解；若b ＝2，则( a -9)2=72，无正整数解；若b ＝3，则( a -9)2=63，无正整数解；若b ＝4，则( a -9)2=48，无正整数解；若b ＝5，则( a -9)2=27，无正整数解；若b ＝6，则( a -9)2=0，解得a=9，此时c=18.因此， a =9，b＝6， c =18，故a2+b2+c2=＝441.5．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若∠BAD+ ∠ACB=180︒，且BC=3，AD=4，AC =5， AB =6，则DO＝（）OBA.4．B.6．C.8．D.10．3579【答】D.解答过程与（A）卷第 4 题相同.6．题目和解答与（A）卷第 5 题相同.二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）1．题目和解答与（A）卷第 1 题相同.2 ．设O是锐角三角形ABC的外心，D,E分别为线段BC,OA的中点，∠ACB=7∠OED，∠ABC =5∠OED ，则∠OED ＝_________.A 【答】10︒.如图，设∠OED = x ，则∠A B =C5，x ∠ACB =7x ，∠DOC= ∠BAC =180︒ -12x ，∠AOC =10x ，所以∠AOD =180︒ -2x ，∠ODE =180︒ - x -(180︒ -2 x)= x ，所以OD=OE=1OA =1OC ，所22B 以∠DOC =60︒，从而可得 x =10︒.3.题目和解答与（A）卷第 3 题相同.4.题目和解答与（A）卷第 4 题相同.EODC第二试（A）一、（本题满分20分）已知实数 x, y 满足x+y=3，1+1=1，求 x 5+ y5的值. x+ y 2x 2+ y2解由1+1=1可得 2( x+y+x2+ y 2)= x 3+ y 3+ x 2 y 2+ xy . x + y 2x 2+ y2设xy = t ，则 x 2+ y 2=( x + y )2-2xy =9-2t ， x 3+ y 3=( x + y )[( x + y )2-3 xy ]=3(9-3t )，代入上式可得 2(3 + 9 - 2t ) = 3(9 - 3t ) +t2+t，解得t=1或t=3.……………………10分当 t =3时，xy=3，又x+y=3，故x,y是一元二次方程m2-3m+3=0的两实数根，但易知此方程没有实数根，不合题意.……………………15分当 t =1时，xy=1，又x+y=3，故x,y是一元二次方程m2-3m+1=0的两实数根，符合题意.此时x 5+ y 5=( x 2+ y 2)( x 3+ y 3)-( x + y ) x 2 y 2=(9-2t )⋅[3(9-3t )]-3t 2=123.……………………20分二（、本题满分 25 分）如图，△ ABC 中，AB > AC ，∠BAC = 45︒ ，E 是 ∠BAC的外角平分线与 △ ABC 的外接圆的交点，点 F 在 AB 上且 EF ⊥ AB . 已知 AF =1， BF = 5，求△ ABC 的面积.解 在 FB 上取点 D ，使 FD ＝AF ，连接 ED 并延长，交△ ABC 的外接圆于点 G.由 EF ⊥AD ，AF ＝FD 知△AED 是等腰三角形，所以∠AED ＝180︒ - 2 ∠EAD ＝∠BAC ， ……………………10 分EAFDCGB……………………15 分 所以 AG = BC ，所以 AC = BG ，所以 AC ＝BG. 又∠BGE ＝∠BAE ＝∠ADE ＝∠BDG ，所以 BG ＝BD ，所以 AC ＝BD ＝5－1＝4， ……………………20 分△ ABC 的 AB 边上的高 h = AC sin 45︒ = 2 2 .所以，△ ABC 的面积 S = 1 ⋅ AB ⋅ h = 1 ⨯ 6 ⨯ 2 = 6 .2 2 ……………………25 分22三、（本题满分 25 分）求所有的正整数数对 ( a , b ) ，使得 a 3 = 49 ⨯ 3b +8 . 解 显然， 49 ⨯ 3b +8 为奇数，所以 a 为奇数.又因为 a 3 = 49 ⨯ 3b + 8 ≥ 49 ⨯ 3 + 8 > 53 ，所以 a > 5 .……………………5 分由 a 3 = 49 ⨯ 3b +8 可得 a 3 - 8 = 49 ⨯3b ，即 ( a - 2)( a 2 + 2a + 4) = 7 2 ⨯3b . ……………………10 分设 ( a - 2, a 2 + 2a + 4) = d ，则 d 为奇数.注意到 a 2 + 2a + 4 = ( a - 2)( a + 4) +12 ，所以 d | 12 ，所以 d＝1 或 3. ……………………15 分⎧a - 2 = 7 2,⎧a - 2 = 3b,均无正整数解.……………………20 分若 d ＝1，则有 ⎨a 2 + 2 a + 4 或 ⎨a 2 + 2 a + 4 = 7 2 ⎪ = 3b ,⎪ , ⎩⎩⎧a - 2 = 3 ⨯7 2, ⎧a - 2 = 3b -1,解得 a =11， b = 3 . 若 d ＝3，则有 ⎨ 2 + 2 a + 4 b -1或 ⎨ 2 + 2 a + 4 = 3 ⨯7 2 ⎪ a = 3 , ⎪ a ,⎩⎩所以，满足条件的正整数对只有一个，为（11，3）.……………………25 分第二试 （B ）一、（本题满分 20 分）已知实数 a , b , c 满足 a ≤ b ≤ c ， a + b + c =16 ， a 2 + b 2 + c 2 +14 abc =128 ，求 c 的值.解 设 a + b = x ， ab = y ，依题意有 x 2 - 2 y + (16 - x ) 2 +14 y (16 - x ) =128 ，整理得( x - 8) 2 = 1y ( x -8) ，8所以 x = 8 或 y = 8( x -8) .……………………10 分（1）若 x =8，则 a + b =8，此时 c ＝8.（2）若 y =8( x -8)，即 ab =8( a + b -8)，则( a -8)(b -8)=0，所以a=8或b=8.当a =8时，结合 a ≤ b ≤ c 可得 a + b + c ≥24，与 a + b + c =16矛盾.当b =8时，结合 a ≤ b ≤ c 及 a + b + c =16可得 a =0， c =8.综合可知： c =8.……………………20分二、（本题满分 25 分）求所有的正整数m，使得22m-1-2m+1是完全平方数.解当 m ＝1时，22m-1-2m+1=1是完全平方数.……………………5分当 m >1时，设22m-1-2m+1=n2（ n 为正整数）.注意到 22m-1- 2m+ 1 = 2 ⋅ (2m-1 ) 2- 2 ⋅ 2 m-1+ 1 = (2 m-1- 1) 2+ (2 m-1 )2，故可得(2 m-1- 1) 2+ (2 m-1 )2=n2，……………………10分所以 22m-2=n2- (2m-1- 1) 2= ( n+ 2 m-1- 1)( n- 2 m-1+1) .……………………15分设 x = n -2m-1+1， y = n +2m-1-1，则x<y， xy =22m-2，所以x,y均为2的方幂.……………………20分又 y - x =2m-2被4除余数为2，所以，只可能x=2， y =2m，故2⨯2m=22m-2，解得m=3.综上可知：满足条件的正整数 m 有两个，分别为1和3.……………………25分三、（本题满分 25 分）如图，O为四边形ABCD内一点，∠OAD= ∠OCB，DOA ⊥ OD ， OB ⊥ OC .求证：AB2+CD2=AD2+BC2.AOP 证明由题设条件可知∠AOD = ∠BOC =90︒，又∠OAD =∠OCB，所以△ AOD ∽△ COB ，……………………5分OD AO OC AOB所以OB=CO，从而OB=OD .……………………10分C 又∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = ∠AOB + ∠AOD = ∠DOB ，所以△ AOC ∽ △ DOB ，所以∠OAC = ∠ODB .……………………15分设AC 和BD交于点P，则∠APD = ∠AOD =90︒，所以 AC ⊥ DB ，……………………20分所以 AB 2+ CD 2=( AP 2+ PB 2)+( PD 2+ PC 2)=( AP 2+ PD 2)+( PB 2+ PC 2)= AD 2+ BC2.……………………25分。
“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛(辽宁赛区北师大版九年级)初赛试题及参考答案
、
选择题 （ 下列每 小题的选项 中 ，
（ ＜２或 ＞４ Ａ）
３
５ 若 函数 ｙ ＝ ＋６与 ｙ ＝ 的 图 ． １ ｚ
象 如 图 １ 示 ，则 有 （ 所
、
只有 一 个 是 正确 的 ，请 将 正 确 选 项 的代 号 填 入 题 号 后 的 括 号 内．本 大题 共 ８道 小
４ ８
ｌｌ ２ ２８ ０
２３ ２ １３ ９ １５ ６ ４ ２
Ｃ
Ｂ
图 ２
（ Ａ） １０ ２。 （ Ｃ）１ ０ ５。
（ ） １ ５ Ｂ ３。 （ Ｄ）１ ５ ２ｏ
［ ０ ， １ ０ ） １ ０ ５０ ３ ［ ｏ ，ｌ ０ ） １ ｏ ０ ５ ７ ［ ０ ，ｌ ０ ） １ ０ ０ ７ ９
塑
Ｄ Ａ
频率
的 ，还有 捐 ５ 和 １０元 的．如 图 ６所 结果如表 ２所示 ： ０元 ０ 示的统计 图反映 了不 同捐款 的人数 比例 ， 那 么该班学生平均每人捐款
５元
表２
分组 频数
［０ ，９ ０ ５０ ０ ）
［０ ９０，１１０） ０ ［ ０ ，１ ０ ） １ ｏ ０ １ ３
点 Ｇ， Ｆ ＡＣ于点 Ｆ 上 ；过点 曰作 Ｂ Ｌ Ｈ＿ ＡＣ
于 点 Ｈ．
Ｃ
的平 分线 ，设 Ｂ Ｃ＝０ ，ＡＣ＝ｂ Ｅ＝ｄ ，Ａ ， Ｂ ｅ Ｅ＝ ＇则有，＝、 一 ． Ｅ＝ ，ｃ ， ／ 如
证 明 ：如 图 ｌ ，延 长 Ｃ Ｏ Ｅ交 △Ａ Ｃ Ｂ
的 外 接 圆 于点 Ｄ，连接 Ａ ． Ｄ
显 然 ， 当 ＝９ 。 ， 此 公 式 即 ｆ＝ ０时
—
则 者 ・ 有
又 ＝ｄ ｅ，
2009年“数学周报杯”全国初中数学竞赛(广东省韶关市)初赛试卷及试卷解析
2009年“数学周报杯”全国初中数学竞赛（广东省韶关市）初赛试卷一、选择题（共30小题，每小题3分，满分90分）1．（3分）下列各点中，在反比例函数图象上的是（）A．（2，1）B．（，3）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣1，2）2．（3分）下列各式中，正确的是（）A．=9B．a2•a3=a6C．（﹣3a2）3=﹣9a6D．a5+a3=a83．（3分）化简的结果为（）A．﹣x﹣y B．y﹣x C．x﹣y D．x+y4．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AC⊥BD，添加适当的条件使四边形ABCD成为菱形．下列添加的条件不正确的是（）A．AB∥CD B．AD=BC C．BD=AC D．BO=DO 5．（3分）若a+b=3，则2a2+4ab+2b2﹣6的值是（）A．12B．6C．3D．06．（3分）在同一直角坐标系中，函数y=kx﹣k与y=（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．7．（3分）若a m=3，2n=8，则（a m）n等于（）A．9B．24C．27D．118．（3分）方程x+4y=20的非负整数解有（）A．4组B．5组C．6组D．无数组9．（3分）某班数学活动小组7位同学的家庭人口数分别为：3，2，3，3，4，3，3．设这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则下列各式正确的是（）A．a=b＜c B．a＜b＜c C．a＜b=c D．a=b=c10．（3分）如图，方格图中小正方形的边长为1，将方格中阴影部分图形剪下来，再把剪下的部分重新剪拼成一个正方形，那么所拼成的这个正方形的边长为（）A．B．2C．D．11．（3分）某化肥厂计划每天生产化肥x吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，因此实际生产150吨化肥与原计划生产化肥120吨化肥的时间相等，则下列所列方程正确的是（）A．B．C．D．12．（3分）下图是四个边长相等的正方形，其中阴影部分面积较大的是（）A．B．C．D．13．（3分）如果a、b、c是非零实数，且a+b+c=0，那么的所有可能的值为（）A．0B．1或﹣1C．2或﹣2D．0或﹣2 14．（3分）如图，OB平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，BC=24，AC=18，则△AMN的周长为（）A．30B．33C．36D．3915．（3分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴交于点P，点Q在直线上，且满足△OPQ为等腰三角形，则这样的Q点有（）个A．1B．2C．3D．416．（3分）如图所示，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE，交对角线BD于点F，连接CF，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对17．（3分）正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A、C两点．AB⊥x 轴于B，CD⊥x轴于D（如图），则四边形ABCD的面积为（）A．1B．C．2D．18．（3分）若一个n边形n个内角与某一个外角的总和为1350°，则n等于（）A．6B．7C．8D．919．（3分）某校为了了解学生的课外作业负担情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外作业所用时间的数据，结果用右面的条形图表示，根据图中数据可得这50名学生这一天平均每人的课外作业时间为（）A．0.6小时B．0.9小时C．1.0小时D．1.5小时20．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O 作OM⊥AC，交AD于点M，如果△CDM的周长是10cm，则平行四边形ABCD 的周长为（）A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm 21．（3分）小明从家骑车上学，先上坡到达A地后再下坡到达学校，所用的时间与路程如图所示．如果返回时，上、下坡速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是（）A．8.6分钟B．9分钟C．12分钟D．16分钟22．（3分）如图，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，点P是腰AD 上的一个动点，要使PC+PB最小，则点P应该满足（）A．PB=PC B．PA=PD C．∠BPC=90°D．∠APB=∠DPC 23．（3分）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，四边形DEFG也是正方形，已知AB=a，DE=b（a、b为常数，且a＞b＞0），则△ACF的面积（）A．只与a的大小有关B．只与b的大小有关C．只与CE的大小有关D．无法确定24．（3分）当x分别取值，，，…，，1，2，…，2007，2008，2009时，计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（）A．﹣1B．1C．0D．2009 25．（3分）如图，设△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD=62°，则∠AEB的度数是（）A．124°B．122°C．120°D．118°26．（3分）如果规定a⊕b=a×b+a﹣b，那么a⊕b+（b﹣a）⊗b等于（）A．a2﹣b B．b2﹣b C．b2D．b2﹣a 27．（3分）如果不等式组有解，则m的取值范围是（）A．m＜B．m≤C．m＞D．m≥28．（3分）如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的路程最短为（）A．a B．（1+）a C．3a D．a29．（3分）要使三角形的周长为20cm，且三边长均为整数，则这样的三角形个数是（）A．5B．6C．8D．1030．（3分）如图，已知P为平行四边形ABCD内一点，且S△PAB=5，S△PAD=2，则S△PAC等于（）A．2B．3C．4D．52009年“数学周报杯”全国初中数学竞赛（广东省韶关市）初赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（共30小题，每小题3分，满分90分）1．（3分）下列各点中，在反比例函数图象上的是（）A．（2，1）B．（，3）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣1，2）【分析】根据y=﹣得k=xy=﹣2，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于﹣2，就在函数图象上．【解答】解：A、2×1=2≠﹣2，故不在函数图象上；B、×3=2≠﹣2，故不在函数图象上；C、（﹣2）×（﹣1）=2≠﹣2，故不在函数图象上；D、（﹣1）×2=﹣2，故在函数图象上．故选：D．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．2．（3分）下列各式中，正确的是（）A．=9B．a2•a3=a6C．（﹣3a2）3=﹣9a6D．a5+a3=a8【分析】分别根据负整数指数幂的运算、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方、合并同类项等法则进行计算．【解答】解：A、正确，（）﹣2===9；B、错误，a2•a3=a5；C、错误，（﹣3a2）3=﹣27a6；D、错误，a5与a3不是同类项，不能合并．故选：A．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记负整数指数幂的运算、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方、合并同类项等考点的运算．3．（3分）化简的结果为（）A．﹣x﹣y B．y﹣x C．x﹣y D．x+y【分析】先将原式化为同分母的分式，再进行加减即可．【解答】解：原式=﹣==﹣x﹣y，故选：A．【点评】本题考查了分式的加减，同分母的分式相加的法则，分母不变，分子相加．4．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AC⊥BD，添加适当的条件使四边形ABCD成为菱形．下列添加的条件不正确的是（）A．AB∥CD B．AD=BC C．BD=AC D．BO=DO【分析】通过菱形的判定定理进行分析解答．【解答】解：A项根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形这一定理可以推出四边形ABCD为菱形，故本选项错误，B项根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形这一定理可以推出四边形ABCD为菱形，故本选项错误，C项根据题意还可以推出四边形ABCD为等腰梯形，故本选项正确，D项根据题意可以推出Rt△AOD≌Rt△COB，即可推出OA=OC，再根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形这一定理推出四边形ABCD为菱形，故本选项错误，故选：C．【点评】本题主要考查菱形的判定，关键在于熟练掌握菱形的判定定理．5．（3分）若a+b=3，则2a2+4ab+2b2﹣6的值是（）A．12B．6C．3D．0【分析】对所求式子的前三项根据完全平方公式进行变形，然后把已知的数值整体代入求值即可．【解答】解：∵2a2+4ab+2b2﹣6=2（a+b）2﹣6，∴原式=2×32﹣6=18﹣6=12．故选：A．【点评】本题的关键是根据完全平方公式的逆用，把式子转变成已知的式子的形式进行计算．6．（3分）在同一直角坐标系中，函数y=kx﹣k与y=（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．【解答】解：①当k＞0时，一次函数y=kx﹣k经过一、三、四象限，反比例函数的y=（k≠0）的图象经过一、三象限，故B选项的图象符合要求，②当k＜0时，一次函数y=kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数的y=（k≠0）的图象经过二、四象限，没有符合条件的选项．故选：B．【点评】此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关．7．（3分）若a m=3，2n=8，则（a m）n等于（）A．9B．24C．27D．11【分析】由2n=8，求出n的值，然后再把a m=3代入（a m）n即可解答．【解答】解：∵2n=8，∴n=3，又∵a m=3，∴（a m）n=33=27．故选：C．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方法则，理清指数的变化是解题的关键．8．（3分）方程x+4y=20的非负整数解有（）A．4组B．5组C．6组D．无数组【分析】分别列举出方程x+4y=20的非负整数即可解答．【解答】解：二元一次方程x+4y=20的所有正整数解有：x=4，y=4；x=8，y=3；x=12，y=2；x=16，y=1．x=0，y=5；x=20，y=0．故选：C．【点评】本题考查的是解二元一次方程，分别列举出此方程的非负整数解是解答此题的关键．9．（3分）某班数学活动小组7位同学的家庭人口数分别为：3，2，3，3，4，3，3．设这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则下列各式正确的是（）A．a=b＜c B．a＜b＜c C．a＜b=c D．a=b=c【分析】先把数据按大小排列，然后根据平均数、中位数和众数的意义求出a，b，c，最后比较大小．【解答】解：因为a=（3+2+3+3+4+3+3）÷7=3；b=3；c=3，所以a=b=c．故选：D．【点评】此题考查了平均数、中位数和众数的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，可能出错．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．10．（3分）如图，方格图中小正方形的边长为1，将方格中阴影部分图形剪下来，再把剪下的部分重新剪拼成一个正方形，那么所拼成的这个正方形的边长为（）A．B．2C．D．【分析】首先根据题意可得所拼的正方形的面积是5，然后利用正方形的面积公式即可求出边长．【解答】解：根据题意可得，所拼的正方形的面积是5，所以正方形的边长是．故选：C．【点评】此题主要考查了平方根、算术平方根概念的运用．解本题时要注意数形结合，充分利用正方形的性质．11．（3分）某化肥厂计划每天生产化肥x吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，因此实际生产150吨化肥与原计划生产化肥120吨化肥的时间相等，则下列所列方程正确的是（）A．B．C．D．【分析】计划每天生产化肥x吨，根据由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，因此实际生产150吨化肥与原计划生产化肥120吨化肥的时间相等，可列出方程．【解答】解：设计划每天生产化肥x吨，=．故选：C．【点评】本题考查理解题意的能力，关键是设出计划生产吨数，然后根据时间相等列方程求解．12．（3分）下图是四个边长相等的正方形，其中阴影部分面积较大的是（）A．B．C．D．【分析】将A、C、D各图中阴影部分理解为正方形面积与圆的面积的差，比较该差的大小即可；B中阴影面积要通过扇形面积与圆的面积的差来计算．【解答】解：先设正方形的边长为a，A、C、D中阴影面积均可理解为边长为a 的正方形面积减去以AC为直径的圆的面积，即S阴影=a2﹣π（）2=a2﹣a2；下面求B中阴影面积：如图：S B阴影=（S扇形ABC﹣S△ABC）=2（﹣×a2）=﹣a2．可见，图形A、C、D的S阴影＜S B阴影．故选：B．【点评】此题考查了面积及等积变换，将阴影面积转化为易求的图形的面积的差或和是解题的常用方法．13．（3分）如果a、b、c是非零实数，且a+b+c=0，那么的所有可能的值为（）A．0B．1或﹣1C．2或﹣2D．0或﹣2【分析】根据a、b、c是非零实数，且a+b+c=0可知a，b，c为两正一负或两负一正，按两种情况分别讨论代数式的可能的取值，再求所有可能的值即可．【解答】解：由已知可得：a，b，c为两正一负或两负一正．①当a，b，c为两正一负时：；②当a，b，c为两负一正时：．由①②知所有可能的值为0．应选A．【点评】本题考查了分式的化简求值，涉及到绝对值、非零实数的性质等知识点，注意分情况讨论未知数的取值，不要漏解．14．（3分）如图，OB平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，BC=24，AC=18，则△AMN的周长为（）A．30B．33C．36D．39【分析】根据BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，可得出MO=MC，NO=NB，所以三角形AMN的周长是AB+AC．【解答】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠MBO=∠OBC，∠OCN=∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO，∴MO=MB，NO=NC，∵AB=12，AC=18，∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AB+AC=12+18=30．故选：A．【点评】本题主要考查学生对考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是基础知识要熟练掌握．15．（3分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴交于点P，点Q在直线上，且满足△OPQ为等腰三角形，则这样的Q点有（）个A．1B．2C．3D．4【分析】分类讨论：OP作为腰时可得到三个等腰三角形，作为底时可得到一个等腰三角形．【解答】解：以P为端点，PO的长为半径画圆与直线有两个交点；以O为端点，OP为半径画圆与直线有一个交点；作OP的垂直平分线与直线有一个交点，所以共有四个等腰三角形．故选D．【点评】此题要求学生动手画图，思路就清晰，解题更准确．16．（3分）如图所示，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE，交对角线BD于点F，连接CF，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】根据正方形的性质可得出：正方形的一条对角线平分一组对角，而且四边相等，根据边角边公理可证出△ABD≌△CBD，△ABF≌△CBF，△AFD≌△CFD，有三对全等的三角形，【解答】解：∵AD=CD，∠ADB=∠CDB=45°，DF=DF；∴△ADF≌△CDF；同理可得：△ABF≌△CBF；∵AD=CD，AB=BC，BD=BD∴△ABD≌△CBD．因此本题共有3对全等三角形，故选：C ．【点评】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定，是基础知识要熟练掌握．17．（3分）正比例函数y=x 与反比例函数y=的图象相交于A 、C 两点．AB ⊥x轴于B ，CD ⊥x 轴于D （如图），则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．1B ．C ．2D ．【分析】首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=|k |，得出S △AOB =S △ODC =，再根据反比例函数的对称性可知：OB=OD ，得出S △AOB =S △ODA ，S △ODC =S △OBC ，最后根据四边形ABCD 的面积=S △AOB +S △ODA +S △ODC +S △OBC ，得出结果．【解答】解：根据反比例函数的对称性可知：OB=OD ，AB=CD ，∴四边形ABCD 的面积=S △AOB +S △ODA +S △ODC +S △OBC =1×2=2．故选：C ．【点评】本题主要考查了反比例函数中k 的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=|k |．18．（3分）若一个n 边形n 个内角与某一个外角的总和为1350°，则n 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【分析】根据n 边形的内角和定理可知：n 边形内角和为（n ﹣2）×180．设这个外角度数为x 度，利用方程即可求出答案．【解答】解：设这个外角度数为x°，根据题意，得（n﹣2）×180+x=1350，180n﹣360+x=1350，x=1350+360﹣180n，即x=1710﹣180n，由于0＜x＜180，即0＜1710﹣180n＜180，可变为：解得8.5＜n＜9.5，所以n=9．故选：D．【点评】主要考查了多边形的内角和定理．n边形的内角和为：180°•（n﹣2）．19．（3分）某校为了了解学生的课外作业负担情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外作业所用时间的数据，结果用右面的条形图表示，根据图中数据可得这50名学生这一天平均每人的课外作业时间为（）A．0.6小时B．0.9小时C．1.0小时D．1.5小时【分析】由条形统计图可知：5个同学不做课外作业，20个同学做0.5小时，10个同学做1小时，10个同学做1.5小时，5个同学做2.0小时，则这50名学生这一天平均每人的课外作业时间为=0.9小时．【解答】解：这50名学生这一天平均每人的课外作业时间为=0.9小时．故选：B．【点评】本题考查了平均数的定义和从直方图中获取信息的能力．20．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O 作OM⊥AC，交AD于点M，如果△CDM的周长是10cm，则平行四边形ABCD 的周长为（）A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm【分析】由四边形ABCD是平行四边形，即可得AB=CD，AD=BC，OA=OC，又由OM⊥AC，根据垂直平分线的性质，即可得AM=CM，又由△CDM的周长是40cm，即可求得平行四边形ABCD的周长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，∵OM⊥AC，∴AM=CM，∵△CDM的周长是10cm，即：DM+CM+CD=DM+AM+CD=AD+CD=10cm，∴平行四边形ABCD的周长为：2（AD+CD）=2×10=20（cm）．∴平行四边形ABCD的周长为20cm．故选：A．【点评】此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．21．（3分）小明从家骑车上学，先上坡到达A地后再下坡到达学校，所用的时间与路程如图所示．如果返回时，上、下坡速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是（）A．8.6分钟B．9分钟C．12分钟D．16分钟【分析】根据图象可知：小明从家骑车上学，上坡的路程是1千米，用5分钟，则上坡速度是0.2千米/分钟；下坡路长是2千米，用4分钟，因而速度是0.5千米/分钟，由此即可求出答案．【解答】解：他从学校回到家需要的时间是=12分钟．故选：C．【点评】读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．22．（3分）如图，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，点P是腰AD 上的一个动点，要使PC+PB最小，则点P应该满足（）A．PB=PC B．PA=PD C．∠BPC=90°D．∠APB=∠DPC 【分析】首先根据轴对称的知识，可知P点的位置是连接点B和点C关于AD的对称点E与AD的交点，利用轴对称和对顶角相等的性质可得．【解答】解：如图，作点C关于AD的对称点E，连接BE交AD于P，连接CP．根据轴对称的性质，得∠DPC=∠EPD，根据对顶角相等知∠APB=∠EPD，所以∠APB=∠DPC．故选：D．【点评】此题的关键是应知点P是怎样确定的．要找直线上一个点和直线同侧的两个点的距离之和最小，则需要利用轴对称的性质进行确定．23．（3分）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，四边形DEFG也是正方形，已知AB=a，DE=b（a、b为常数，且a＞b＞0），则△ACF的面积（）A．只与a的大小有关B．只与b的大小有关C．只与CE的大小有关D．无法确定【分析】由题意，即可推出△ADM∽△FEM，依据相似三角形的性质可知，AD：EF=DM：EM，可得：DM：EM=a：b，由EM+DM=b，设DM=ax，EM=bx，即得x关于a、b表达式，便可推出EM关于a、b表达式，便可推出CM的长度，=S△ACM+S△CMF=CM•AD+CM•EF=•（a+b），整理后，即然后根据S△ACF可推出只与a的大小有关．【解答】解：∵正方形ABCD的边CD，四边形DEFG也是正方形，∴AG∥EF，∴△ADM∽△FEM，∴AD：EF=DM：EM，∵AB=a，DE=b，∴DM：EM=a：b，∵EM+DM=b，设DM=ax，EM=bx，∴ax+bx=b，∴x=，∴EM=，∴CM=CE+EM=（a﹣b）+=，=S△ACM+S△CMF，∵S△ACF=CM•AD+CM•EF∴S△ACF=•（a+b）=，∴△ACF的面积只与a的大小有关系．故选：A．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、整式的混合运算、三角形的面积公式、正方形的性质，关键在于①正确认真的对相关整式进行整理，运算，②通过求证△ADM∽△FEM，推出EM的长度和CM的长度，根据图形明确△ACF的面积是△ACM和CMF的面积之和．24．（3分）当x分别取值，，，…，，1，2，…，2007，2008，2009时，计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（）A．﹣1B．1C．0D．2009【分析】先把x=n和x=代入代数式，并对代数式化简，得到它们的和为0，然后把x=1代入代数式求出代数式的值，再把所得的结果相加求出所有结果的和．【解答】解：因为=，即当x分别取值，n（n为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当x=1时，．因此，当x分别取值，，，，1，2，2005，2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为0．故选：C．【点评】本题考查的是代数式的求值，本题的x的取值较多，并且除x=1外，其它的数都是成对的且互为倒数，把互为倒数的两个数代入代数式得到它们的和为0，这样计算起来就很方便．25．（3分）如图，设△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD=62°，则∠AEB的度数是（）A．124°B．122°C．120°D．118°【分析】由题中条件，可得△ACE≌△BCD，得出∠DBC=∠CAE，进而再通过角之间的转化，可最终求解出结论．【解答】解：∵△ABC和△CDE都是正三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，又∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠ECD=∠BCE+∠BCD，∴∠BCD=∠ACE，△ACE≌△BCD，∴∠DBC=∠CAE，即62°﹣∠EBC=60°﹣∠BAE，即62°﹣（60°﹣∠ABE）=60°﹣∠BAE，∴∠ABE+∠BAE=60°+60°﹣62°=58°，∴∠AEB=180°﹣（∠ABE+∠BAE）=180°﹣58°=122°．故选：B．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握并运用．26．（3分）如果规定a⊕b=a×b+a﹣b，那么a⊕b+（b﹣a）⊗b等于（）A．a2﹣b B．b2﹣b C．b2D．b2﹣a【分析】按题目规定的运算规则a⊕b=a×b+a﹣b进行计算．【解答】解：a⊕b+（b﹣a）⊗b=ab+a﹣b+（b﹣a）×b+（b﹣a）﹣b=ab+a﹣b+b2﹣ab+b﹣a﹣b=b2﹣b．【点评】本题考查学生阅读理解，迁移应用的能力．（1）去括号法则的依据是乘法的分配律；（2）去括号是代数变形，是“形变值不变”；（3）去括号时，要连同括号前的符号一起去掉，括号前是“﹣”号，要注意括号里各项变号；（4）添括号与去括号一样，当括号前面添“﹣”号时，括进括号的各项符号要全改变．27．（3分）如果不等式组有解，则m的取值范围是（）A．m＜B．m≤C．m＞D．m≥【分析】由①得x≤；由②得x≥m，故其解集为m≤x≤，即m≤．【解答】解：由①得：x≤由②得：x≥m∴其解集为m≤x≤∴m≤．故选：B．【点评】解不等式组应遵循的法则：“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则解答．28．（3分）如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的路程最短为（）A．a B．（1+）a C．3a D．a【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．【解答】解：将正方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB==a．【点评】本题是一道趣味题，将正方体展开，运用勾股定理解答即可．29．（3分）要使三角形的周长为20cm，且三边长均为整数，则这样的三角形个数是（）A．5B．6C．8D．10【分析】三角形的周长是20，根据三角形的三边关系可知：三角形的三边都小于10，且都是整数，和是20，即可确定三角形的三边长，从而求解．【解答】解：共有8个，分别是：（9，9，2）（8，8，4）（7，7，6）（6，6，8）（9，6，5）（9，7，4）（9，8，3）（8，7，5）．故选：C．【点评】题主要考查了三角形的三边关系，根据三边关系以及周长正确确定边的范围是解题关键，难度适中．30．（3分）如图，已知P为平行四边形ABCD内一点，且S△PAB=5，S△PAD=2，则S△PAC等于（）A．2B．3C．4D．5【分析】假设P点到AB的距离是h1，假设P点到DC的距离是h2，根据三角形=S△PAB+S△PDC=5+S△PDC和S 的面积公式求出△PAB和△PDC的面积和，推出S△ADC=S△ADC﹣S△PDC﹣S△PAD，代入即可求出答案．△PAC【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，假设P点到AB的距离是h1，假设P点到DC的距离是h2，∴S △PAB =AB •h 1，S △PDC =DC•h 2，∴S △PAB +S △PDC =（AB•h 1+DC•h 2）=DC•（h 1+h 2），∵h 1+h 2正好是AB 到DC 的距离，∴S △PAB +S △PDC =S 平行四边形ABCD =S △ABC =S △ADC ，即S △ADC =S △PAB +S △PDC =5+S △PDC ，而S △PAC =S △ADC ﹣S △PDC ﹣S △PAD ，∴S △PAC =5﹣2=3，故选：B ．【点评】本题主要考查对平行四边形的性质，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能根据性质推出S △ADC =S △PAB +S △PDC =5+S △PDC ，和S △PAC =S △ADC ﹣S △PDC ﹣S △PAD 是解此题的关键．。
2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准(1)
2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题， 请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在 评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1．已知实数 a ,b ,c 满足 2 a 13b 3 c 90，3 a9b c 72 ，则3 b c a2b＝（ ）A. 2．B. 1．C. 0．D.1．【答】B.已知等式可变形为 2( a2b )3(3b c ) 90 ，3( a 2b )(3b c ) 72 ，解得 a 2 b 18，3b c18，所以3b c1.a 2b2．已知△ ABC 的三边长分别是 a ,b ,c ，有以下三个结论： （1）以 a , b , c 为边长的三角形一定存在； （2）以 a 2 ,b 2 ,c 2 为边长的三角形一定存在； （3）以| a b | 1, | b c | 1, | c a | 1 为边长的三角形一定存在. 其中正确结论的个数为 （ ）A ．0．B ．1．C ．2．D ．3．【答】C.不妨设 a b c ，则有 b c a .（1）因为b c a ，所以b c 2 bc a ，即 ( b c ) 2 （ a ）2，即 b c a ，故以 a , b , c 为 边长的三角形一定存在； （2）以 a 2, b 3, c 4为边长可以构成三角形，但以 a 2 4,b 2 9,c 2 16 为边长的三角形不存在； （3）因为 a b c ，所以| a b | 1 a b 1, | b c | 1 b c 1, | c a | 1 a c 1，故三条边中| ca | 1大于或等于其余两边，而（| a b | 1）（| b c | 1）（ a b 1）（b c 1）= a c 11 a c 1| c a| 1，故以| a b | 1，| b c | 1，| c a | 1 为边长的三角形一定存在.3．若正整数 a ,b ,c 满足 a b c 且 abc 2( a b c ) ，则称(a ,b ,c ) 为好数组.那么，好数组的个数为（）A. 1． B ．2．C ．3．D ．4．【答】C.若 (a ,b ,c )为好数组，则 abc 2( a b c ) 6c ，所以 ab 6 .显然， a 只能为 1或 2.若 a ＝2，由 ab6 可得 b 2 或 3， b 2 时可得 c4， b 3时可得 5c （不是整数）；2若a ＝1，则bc 2(1b c) ，于是可得(b2)(c 2) 6，可求得(a,b,c) ＝（1，3，8）或（1，4，2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 1 页（共 7 页）5）.综合可知：共有 3个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）.4．设O 是四边形 ABCD 的对角线 AC 、BD 的交点，若BADACB 180，且 BC 3，AD 4，AC， AB 6，则 DO5 ＝（）OB10 8 6 4 A.．B.． C.． D. ．9753DE【答】A.过 B 作 BE // AD ， 交 AC 的 延 长 线 于 点 E ， 则ABE180BADC，所以△ ABC ∽△ AEB ，所以 AC BC ACB ，所以AB EBAB BC 6 3 18 EB . AC 5 5DO AD 4 10再由 BE // AD ，得 .18 9 5OB BEAOB5．设 A 是以 BC 为直径的圆上的一点，AD BC 于点 D ，点 E 在线段 DC 上，点 F 在CB 的延长线上， 满足BAF CAE .已知 BC 15 ， BF 6 ， BD 3 ，则 AE ＝ （ ）AA.4 3 ．B.2 13 ．C.2 14 ．D.2 15 ．【答】B. FBDEC如图，因为BAF CAE ，所以BAFBAE CAE BAE ，即FAE BAC 90 .又因为 AD BC ，故 AD 2 DE DF DB DC . 而 DF BF BD 6 3 9 ，DC BC BD 15 3 12，所 以 AD 2 DE 9 312 ，所 以 AD 6，DE4. 从而 AEAD 2DE 26 24 22 13 .6．对于正整数 n ，设 a 是最接近 n 的整数，则n11 1 1（）a aaa1 23200A.191．B. 192 ．C. 193 ．D. 194 ．777 7【答】A.1 1对于任意自然数 k ， ()22n 一定不是整数.k kk 不是整数，所以，对于正整数 n ， 124 21设 m 是最接近 n 的整数，则 m n ， m1.| |2易知：当 m1时，| m n | 1(m 1) 2n (m 1)22 1 21mm n mm . 22 2 44于是可知：对确定的正整数 m ，当正整数 n 满足 m 2m 1 n m 2m 时 ，m 是最接近 n 的整数，即am .所以，使得na ＝ m 的正整数 n 的个数为 2m .n注意到13213 182 200 14214 210 ，因此，a a a 中，有：2个 1，4个 2，6个 3， 1, 2 , , 2002017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 2 页（共 7 页）8个4，……，26个13，18个14.所以1 1 1 1 1 1 1 1 1 191.2 4 6 26 18a a a a 1 2 3 13 14 71 2 3 200二、填空题：（本题满分28 分，每小题7 分）1．使得等式11 a 3 a 成立的实数a 的值为_______．【答】8 .由所给等式可得(11a)3a2 .令x 1 a ，则x 0 ，且a x 2 1 ，于是有(1x)3 (x 2 1)2 ，整理后因式分解得x(x 3)(x 1) 0，解得2 x，1 0x，2 3x （舍去），所以a 1或a8.3 1验证可知：a 1是原方程的增根，a 8是原方程的根.所以，a 8. A D 2．如图，平行四边形ABCD 中，ABC 72，AF BC 于点F ，AF交BD于点E ，若DE 2AB ，则AED＝_______．【答】66.1取DE 的中点M ，在Rt △ADE 中，有AM EM DE AB .2设AED ，则AME 1802，ABM 18.又ABM AMB，所以180218，解得66. BMEF C3．设m,n 是正整数，且m n .若9m 与9n 的末两位数字相同，则m n的最小值为．【答】10.由题意知，9m 9n 9n (9m n 1)是100的倍数，所以9m n1是100的倍数，所以9m n的末两位数字是 01，显然，m n是偶数，设m n 2t （t 是正整数），则9m n 92t 81t .计算可知：812 的末两位数字是 61，813 的末两位数字是 41，814 的末两位数字是 21，815 的末两位数字是 01.所以t 的最小值为 5，从而可得m n的最小值为 10.4．若实数x, y 满足x 3y 3 3xy 1，则x 2 y2 的最小值为．【答】1 2 .因为。
2017年全国初中数学竞赛试题及答案
“《数学周报》杯”2017年全国初中数学竞赛 （天津赛区）试题参考答案及评分标准一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分） （1）设x =(1)(2)(3)x x x x +++的值为( ). （A ）0 （B ）1（C ）﹣1（D ）2【答】C ． 解：由已知得2310x x ++=， 于是2222(1)(2)(3)(3)(32)(31)1 1.x x x x x x x x x x +++=+++=++-=-（2）已知x y z ，，为实数，且满足253x y z +-=，25x y z --=-，则222x y z ++的最小值为( ).（A ）111（B ）0 （C ）5 （D ）5411【答】D ．解：由 25325x y z x y z +-=⎧⎨--=-⎩，， 可得 312.x z y z =-⎧⎨=+⎩，于是 22221125xy z z z ++=-+．因此，当111z =时，222x y z ++的最小值为5411． （3）若1x >，0y >，且满足3yy xxy x x y==，，则x y +的值为( ). （A ）1 （B ）2（C ）92（D ）112【答】C ．解：由题设可知1y yx -=，于是 341y y x yx x -==，所以411y -=．故12y =，从而4=x ．于是92x y +=．（4）设333311111232011S =++++，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5（C ）6（D ）7【答】A ．解：当2 3 2011k =，，，，因为()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦， 所以333111111511123201122201120124S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭． 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．（5）点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( ).（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 【答】C ．解：如图，连接DE ，设1DEF S S ∆'=， 则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >． 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）（6）两条直角边长分别是整数a b ，（其中2011b <），斜边长是1b +的直角三角形的个数为 .【答】31．解：由勾股定理,得 12)1(222+=-+=b b b a ．因为b 是整数，2011<b ，所以2a 第（5）题是1到4023之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有31个，即2223 5 63，，，．因此a 一定是3，5，…，63，故满足条件的直角三角形的个数为31．（7）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是 .【答】16． 解： 在36对可能出现的结果中，有6对：（1，6）， （2，5）， （2，5）， （3，4），（3，4），（4，3）的和为7，所以朝上的面两数字之和为7的概率是61366=.（8）若y =a ，最小值为b ，则22a b +的值为 . 【答】32． 解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．21122y =+=+ 由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =．当12x =或1时，2y 取到最小值12，故2b =．所以，2232a b +=．（9）如图，双曲线xy 2=（x ＞0）与矩形OABC 的边CB ， BA 分别交于点E ，F ，且AF=BF ，连接EF ，则△OEF 的面积为 .【答】32． 解：如图，设点B 的坐标为a b （,）,则点F 的坐标为2b a （，）.因为点F 在双曲线2y x=上，所以 4.ab = 又点E 在双曲线上，且纵坐标为b ，所以点E 的坐标为2(,)b b.于是11212222221312.22OEF OEC FBEOFBC S S S S b b b a b a b b ab ∆∆∆=--=+-⨯⨯-⨯⨯-=+-=梯形（）（）（） （10）如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .【答】84．解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ， 则22235a b +=＝1225． ① 又Rt △AFE ∽Rt △ACB ， 所以FE AF CB AC =，即1212b a b-=， 故12()a b ab +=． ②由①②得 2222122524a b a b ab a b +=++=++（）（），解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以 493584a b c ++=+=． 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）（11）已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得 ()()11a a αβαβ+=-++=，， ………………………………5分两式相加，得2210αβαβ+++=，即 (2)(2)3αβ++=，第（10）题第（9）题所以，2123αβ+=⎧⎨+=⎩，； 或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，………………………………10分解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，； 或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（）， 所以012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29. ………………………………………………20分 （12）如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ， 连接 AH BD QB QC QH ，，，，.因为AB 为⊙1O 的直径，所以∠ADB =∠90=︒BDQ ．…………5分 故BQ 为⊙2O 的直径.于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，. ……………………………………………………10分 又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. ………………………………………………15分 所以点P 为CH 的中点. ………………………………………………20分 （13） 如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223y x =于P ，Q 两点. （Ⅰ）求证：∠ABP =∠ABQ ； （Ⅱ）若点A 的坐标为（0，1）， 且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的 直线PQ 的函数解析式.解：（Ⅰ）如图，分别过点P Q ， 作y 轴的垂线，垂足分别为C D ， . 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）. 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，， 得2203x kx t --=，于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.于是，222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- …………5分又因为P Q x PC QD x =-，所以BC PCBD QD=. 因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ .故∠ABP =∠ABQ . …………………………………………………………10分（Ⅱ）解法一 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0， 由（Ⅰ）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC ，BD ，所以 AC 2-，AD =2. 因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ .于是PC ACDQ AD=，即a b ．所以a b +=．由（Ⅰ）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以32ab a b =+=，于是，可求得2==a b将b =代入223y x =，得到点Q ，12）. …………………15分再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得=k所以直线PQ 的函数解析式为1y x =+. 根据对称性知，所求直线PQ 的函数解析式为1y x =+，或1y =+. ………………20分 解法二 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（Ⅰ）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 2Q x =将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得 4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 2Q x =又由（Ⅰ），得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=.若Q x =代入上式得P x = 从而2()3P Q k x x =+=.同理，若Q x =可得2P x =-从而2()3P Q k x x =+.所以，直线PQ 的函数解析式为1y =+，或1y x =+. ………………………………………20分 （14）已知0122011i a i >=，， ， ， ，且122011a a a <<<，证明：122011a a a ，，，中一定存在两个数i j a a i j <，（），使得(1)(1)2010i j j i a a a a ++-<．证明：令20101 2 20111i ix i a ==+，，，，， ……………………………………5分 则20112010102010x x x <<<<<. …………………………………10分故一定存在1≤k ≤2017， 使得11k k x x +-<，从而120102010111k k a a +-<++． …………………………………15分即 11(1)(1)2010k k k k a a a a ++++-<． …………………………………………20分。
“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题
中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线. 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a ，b 满足 24242a b a-+++=，则a b +等于（ ）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 2．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ ）．（A ）12+（B ）12（C ）1 （D ）23．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组322a x b y x y +=⎧⎨+=⎩， 只有正数解的概率为（ ）．（A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）36134．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC 的面积为（ ）．（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）325．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x ，y ）的组数为（）．（A ）2组 （B ）3组 （C ）4组 （D ）无穷多组 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则A H A B的值为 ． 8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为 ．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为A C B ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于 ．10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11（A ）．函数22(21)yx k x k=+-+的图像与x 轴的两个交点是否都在直线1x =的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线1x =的右侧时k 的取值范围．11（B ）．已知抛物线2y x=与动直线cx t y--=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x .（1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值.12（A）．在平面直角坐标系x O y中，我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”，求二次函数2=--的图像上所有“好点”(90)4907y x的坐标．12（B）．已知正整数a满足3a+，且2009192191a<，求满足条件的所有可能的正整数a的和．13（A ）．如图，给定锐角三角形ABC ，B CC A<，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．13（B ）．已知A B 为⊙O 的直径，弦//D CA B，连接D O ．过点D 作D O 的垂线，与B A 的延长线交于点E ，过点E 作A C 的平行线交C D 于点F ，过点D 作A C的平行线交B F 于点G ．求证：A G B G⊥．14（A ）．n 个正整数12n a a a ，，，满足如下条件：1212009n a a a =<<<= ，且12n a a a ，，，中任意n －1个不同数的算术平均数都是正整数，求n 的最大值．14（B ）．已知正整数x ，y 使得4xy x y+是一个奇数，证明：存在一个正整数k ，使得4k －1整除4xy x y+．中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a ，b 满足24242a b a-+++=，则a b +等于（ ）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 【答】C ．解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为20b ++=，于是32a b ==-，，从而a b +＝1．2．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ ）．（A）2（B2（C ）1 （D ）2【答】A ．解：因为△BOC ∽ △ABC ，所以B O B C A BA C=，即11a aa =+， 所以，210a a --=．由0a>，解得2a=．3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组322a xb y x y +=⎧⎨+=⎩， 只有正数解的概率为（ ）．（A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）3613【答】D ．解：当20a b-=时，方程组无解．当02≠-b a 时，方程组的解为62,223.2b x a ba y ab -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->--,0232,0226ba a ba b即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02b a b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02b a b a由a ，b 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得2345612a b =⎧⎨=⎩，，，，，，，共有 5×2＝10种情况；或1456a b =⎧⎨=⎩，，，，共3种情况．又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为3613．4．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B∠=︒. 动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC 的面积为（ ）．（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）32【答】B ．解：根据图像可得BC ＝4，CD ＝5，DA ＝5，进而求得AB ＝8，故S △ABC ＝12×8×4＝16.5．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x ，y ）的组数为（）．（A ）2组 （B ）3组 （C ）4组 （D ）无穷多组 【答】C ．解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为22(229)0x yx y ++-=．由于该方程有整数根，则判别式∆≥0，且是完全平方数． 由 2224(229)7116yyy ∆=--=-+≥0，解得2y ≤11616.57≈．于是显然，只有216y =时，4∆=是完全平方数，符合要求．当4y=时，原方程为2430x x ++=，此时121,3x x =-=-； 当y ＝－4时，原方程为2430x x -+=，此时341,3x x ==．所以，原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩223,4;x y =-⎧⎨=⎩331,4;x y =⎧⎨=-⎩443,4.x y =⎧⎨=-⎩ 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．【答】3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k .又设一对新轮胎交换位置前走了x km ，交换位置后走了y km .分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kxky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相加，得 ()()250003000k x y k x y k +++=，则237501150003000x y +==+．7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则A H A B的值为 ．解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ． 由题设知13A CA D=，13A BA E=，在△FHA 和△EF A 中，90E F A F H A ∠=∠=︒，F A H E A F∠=∠所以 Rt △FHA ∽Rt △EF A ，A H A F A F A E=.而A FA B=，所以A H A B13=.8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为 ． 【答】 10．解：因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=，且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数，所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯，所以1234541b a b a b a b a b a -+-+-+-+-=．由123459a a a a a ++++=，可得10b =．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为A C B ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于 ．7．解：如图，由勾股定理知AD ＝9，BD ＝16，所以AB ＝AD ＋BD ＝25 ． 故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形，且90A C B ∠=︒．作EF ⊥BC ，垂足为F ．设EF ＝x ，由1452E CF A C B ∠=∠=︒，得CF ＝x ，于是BF ＝20－x ．由于EF ∥AC ，所以E F B FA CBC =， 即 201520x x-=，解得607x=．所以7C E==．10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ． 【答】2-．解：设报3的人心里想的数是x ，则报5的人心里想的数应是8x -．于是报7的人心里想的数是 12(8)4x x--=+，报9的人心里想的数是16(4)12x x -+=-，报1的人心里想的数是 20(12)8x x--=+，报3的人心里想的数是4(8)4x x-+=--．所以4x x=--，解得2x=-．三、解答题（共4题，每题20分，共80分） 11（A ）．函数22(21)yx k x k=+-+的图像与x 轴的两个交点是否都在直线1x =的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线1x =的右侧时k 的取值范围．解：不一定，例如，当k ＝0时，函数的图像与x 轴的交点为（0，0）和（1，0），不都在直线1x =的右侧． (5)分设函数与x 轴的两交点的横坐标为12,x x ，则21212(21),x x k x x k +=--=，当且仅当满足如下条件12120,(1)(1)0,(1)(1)0x x x x ∆⎧⎪-+->⎨⎪-->⎩≥ ………………10分时，抛物线与x 轴的两交点都在直线1x=的右侧．由222(21)40,210,20,k k k k k ⎧--⎪-->⎨⎪+>⎩≥解之，得1,41,220.k k k k ⎧⎪⎪⎪<-⎨⎪<->⎪⎪⎩≤或 ………………15分所以当2k <-时，抛物线与x 轴的两交点在直线1x =的右侧．………………20分 11（B ）．已知抛物线2y x=与动直线cx t y--=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x .（1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值. 解：（1）联立2yx=与cx t y--=)12(，消去y 得二次方程2(21)0x t x c --+= ①有实数根1x ，2x ，则121221,x x t x x c+=-=．所以2221212121[()()]2cx x x x x x ==+-+=221[(21)(23)]2t t t --+-＝21(364)2t t -+． ②………………5分把②式代入方程①得221(21)(364)02x t x t t --+-+=． ③………………10分t 的取值应满足2221223t t x x +-=+≥0， ④且使方程③有实数根，即22(21)2(364)t t t ∆=---+＝2287t t -+-≥0， ⑤ 解不等式④得 t ≤-3或t ≥1，解不等式⑤得22-≤t≤22+.所以，t 的取值范围为22-≤t≤22+. ⑥………………15分(2) 由②式知22131(364)(1)222c t t t =-+=-+.由于231(1)22ct =-+在22-t≤22+22t =-时,2m in3111(21)2224c -=--+=………………20分12（A ）．在平面直角坐标系xO y 中，我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”，求二次函数2(90)4907y x =--的图像上所有“好点”的坐标．解：设2,ym =22(90)x k-=，m ，k 都是非负整数，则22770114907k m -=⨯=⨯，即()()770114k m k m -+=⨯=⨯．……………10分 则有701,4907;1.k m k m k m k m +=+=⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩解得1212354,2454,347;2453.k k m m ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩所以312412342544,444,264,2364,120409;120409;6017209;6017209.x x x x y y y y ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩ 故“好点”共有4个，它们的坐标是：4441204092641204092544601720923646017209--（，），（，），（，），（，）.………………20分 12（B ）．已知正整数a 满足3192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和．解：由3192191a +可得31921a -．619232=⨯，且()[]311(1)1(1)(1)(1)a a a a a a a a -=-++=-++-．………………5分因为()11a a ++是奇数，所以6321a -等价于621a -，又因为3(1)(1)a a a -+，所以331a -等价于31a -．因此有1921a -，于是可得1921a k =+．………………15分 又02009a <<，所以0110k= ，，，．因此，满足条件的所有可能的正整数a 的和为11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分13（A ）．如图，给定锐角三角形ABC ，B CC A<，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．解法1：结论是D F E G=．下面给出证明． ………………5分因为F C DE A B∠=∠，所以Rt △FCD ∽ Rt △EAB ．于是可得C D D F B E A B =⋅．同理可得C E E G AD A B=⋅．………………10分又因为tan A D B E A C BC DC E∠==，所以有B E C DA D C E⋅=⋅D FE G=． ………………20分解法2：结论是D FE G=．下面给出证明．……………… 5分连接DE ，因为90A D B A E B ∠=∠=︒，所以A ，B ，D ，E四点共圆，故C ED A B C∠=∠． ………………10分又l 是⊙O 的过点C 的切线，所以A C G A B C∠=∠． ………………15分所以，C E DA C G∠=∠，于是DE ∥FG ，故DF ＝EG ．………………20分13（B ）．已知A B 为⊙O 的直径，弦//D CA B，连接D O ．过点D 作D O 的垂线，与B A 的延长线交于点E ，过点E 作A C 的平行线交C D 于点F ，过点D 作A C的平行线交B F 于点G ．求证：A GB G⊥．证明：连接AD ，BC ，因为四边形A E F C 是平行四边形，所以A EF C=．由于A D C B D A E B C F=∠=∠，，因此有D A E ∆≌B C F ∆，于是可得A D E CB F∠=∠．又因为DE 与⊙O 相切于点D ，所以D C A A D E∠=∠．结合//D GA C，可得G D C D C A A D E G B C∠=∠=∠=∠，于是D B C G ，，，四点共圆．因此点G 在⊙O 上，从而有A G B G⊥．………………20分14（A ）．n 个正整数12n a a a ，，，满足如下条件：1212009n a a a =<<<= ；且12n a a a ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．解：设12n a a a ，，，中去掉i a 后剩下的n －1个数的算术平均数为正整数i b ，12i n= ，，，．即12()1n ii a a a a b n +++-=- ．于是，对于任意的1≤i j<≤n ，都有1j i i j a a b b n --=-，（第13A 题）从而1()j i n a a --．………………5分由于11200811n n a a b b n n --==--是正整数，故312251n -⨯． ………………10分由于 ()()()112211nn n n n a a a a a a a ----=-+-++-≥()()()2111(1)n n n n -+-++-=- ，所以，2(1)n -≤2008，于是n ≤45. 结合312251n -⨯，所以，n≤9． ………………15分另一方面，令123801,811,821a a a =⨯+=⨯+=⨯+，…，8871a =⨯+，982511a =⨯+，则这9个数满足题设要求．综上所述，n 的最大值为9. ………………20分14（B ）．已知正整数x ，y 使得4xy x y+是一个奇数，证明：存在一个正整数k ，使得4k －1整除4xy x y+．证明：设2,2stx a y b==，这里的s ，t 是非负整数，a ，b 都是奇数，不妨设s t ≥，则224222(2)2s t s ts ts txy a ba bx ya b a b+++--==+++． ………………5分若s t>，则上式的分母是一个奇数，而分子是一个偶数，故上式是偶数，于是，st=．所以242s xy a bx ya b+=++．设(,)a b d=，1111,,(,)1aa db b d a b ===，则2111124s a b dxy x ya b +=++是一个奇数． ………………10分所以，11a b +能被22s +整除，故11a b +能被4整除，所以11,a b 都是奇数，它们除以4的余数为1或3，如果11,a b 除以4余数都是1，则它们的和不能被4整除，所以其中一定有一个除以4余数为3，设1a 除以4余3，则可设141a k =-，k是一个正整数，因为111(,)1a a b +=，所以1a 整除4xy x y+，从而4k －1整除4xy x y+．……………… 20分。
2017年全国初中数学联赛(整理好)
2017年全国初中数学联合竞赛试题说明：评阅试卷时，请依据本评分标准．第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数．第一试(A)一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1．已知实数a ，b ，c 满足2a ＋13b ＋3c ＝90，3a ＋9b ＋c ＝72，则3b ＋c a ＋2b＝( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－12．已知△ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，有以下三个结论：(1)以a ，b ，c 为边长的三角形一定存在；(2)以a 2，b 2，c 2为边长的三角形一定存在；(3)以|a －b |＋1，|b －c |＋1，|c －a |＋1为边长的三角形一定存在．其中正确结论的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．33．若正整数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c 且abc ＝2(a ＋b ＋c )，则称(a ，b ，c )为好数组．那么，好数组的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．设O 是四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，若∠BAD ＋∠ACB ＝180 ，且BC ＝3，AD ＝4，AC ＝5，AB ＝6，则DO OB ＝( )A ．109B ．87C ．65D ．435．设A 是以BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥BC 于点D ，点E 在线段DC 上，点F 在CB 的延长线上，满足∠BAF ＝∠CAE ．已知BC ＝15，BF ＝6，BD ＝3，则AE ＝( )A ．43B ．213C ．214D ．2156．对于正整数n ，设a n 是最接近n 的整数，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 200＝( ) A ．1917 B ．1927 C ．1937 D ．1947二、填空题(本题满分28分，每小题7分)1．使得等式1＋1＋a ＝3a 成立的实数a 的值为______． 2．如图，平行四边形ABCD 中，∠ABC ＝72︒，AF ⊥BC 于点F ，AF 交BD 于点E ，若DE ＝2AB ，则∠AED ＝______．3．设m ，n 是正整数，且m ＞n ．若9m 与9n 的末两位数字相同，则m －n 的最小值为____．4．若实数x ，y 满足x 3＋y 3＋3xy ＝1，则x 2＋ y 2的最小值为______．第一试(B)一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (c ≠0)的图象与x 轴有唯一交点，则二次函数y ＝a 3x 2＋b 3x ＋c 3的图象与x 轴的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定2．题目与(A )卷第1题相同．3．题目与(A )卷第3题相同．4．已知正整数a ，b ，c 满足a 2－6b －3c ＋9＝0，－6a ＋b 2＋c ＝0，则a 2＋b 2＋c 2＝( )A ．424．B ．430．C ．441．D ．460．5．设O 是四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，若∠BAD ＋∠ACB ＝180，且BC ＝3，AD＝4，AC ＝5，AB ＝6，DO OB ＝( ) A ．43 B ．65 C ．87 D ．1096．题目与(A )卷第5题相同．二、填空题(本题满分28分，每小题7分)1．题目与(A )卷第1题相同．2．设O 是锐角三角形ABC 的外心，D ，E 分别为线段BC ，OA 的中点，∠ACB ＝7∠OED ，∠ABC ＝5∠OED ，则∠OED ＝______．3．题目与(A )卷第3题相同．4．题目与(A )卷第4题相同．第二试(A)一、(本题满分20分)已知实数x ，y 满足x ＋ y ＝3，1x ＋y 2＋1x 2＋y ＝12，求x 5＋y 5的值．二、(本题满分25分)如图，△ABC 中，AB ＞AC ，∠BAC ＝45︒，E 是∠BAC 的外角平分线与△ABC 的外接圆的交点，点F 在AB 上且EF ⊥AB ．已知AF ＝1，BF ＝5，求△ABC 的面积．三、(本题满分25分)求所有的正整数数对(a ，b )，使得a 3＝49×3b ＋8．第二试(B)一、(本题满分20分)已知实数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，a ＋b ＋c ＝16，a 2＋b 2＋c 2＋14abc ＝128，求c 的值．二、(本题满分25分)求所有的正整数m ，使得22m －1－2m ＋1是完全平方数．三、(本题满分25分)如图，O 为四边形ABCD 内一点，∠OAD ＝∠OCB ，OA ⊥OD ，OB ⊥OC ．求证：AB 2＋CD 2＝AD 2＋BC 2．。
2017年全国初中数学竞赛冲刺试卷(1)2012年全国初中数学竞赛试卷(株洲卷)
班级： 姓名：____________座号：_____________ 准考证号：_______________密 封 线 2017年全国初中数学竞赛冲刺试卷（1）一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（ ）A ．2c ﹣aB ．2a ﹣2bC ．﹣aD ．a2．如果正比例函数y=ax （a ≠0）与反比例函数y=（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（﹣3，﹣2），那么另一个交点的坐标为（ ） A ．（2，3）B ．（3，﹣2）C ．（﹣2，3）D ．（3，2）3．如果a ，b 为给定的实数，且1＜a ＜b ，那么1，a +1，2a +b ，a +b +1这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ） A ．1B．C ．D ．4．已知一个三角形的三个内角的度数，一个是素数，另外两个恰好都是素数的平方，则这个三角形最大角与最小角的度数之差是（ ）A ．172B ．167C ．160D ．325．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为P 0，P 1，P 2，P 3，则P 0，P 1，P 2，P 3中最大的是（ ） A ．P 0 B ．P 1 C ．P 2 D ．P 3二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．已知y=+3，则x +y= ．7．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否＞487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 ．8．如图，正方形ABCD 的边长为，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 ．9．如果关于x 的方程x 2+kx +k 2﹣3k +=0的两个实数根分别为x 1，x 2，那么的值为 ．10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD=DC ．分别延长BA ，CD ，交点为E ．作BF ⊥EC ，并与EC 的延长线交于点F ．若AE=AO ，BC=6，则CF 的长为 ．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知二次函数y=x 2+（m +3）x +m +2，当﹣1＜x ＜3时，恒有y ＜0；关于x 的方程x 2+（m +3）x +m +2=0的两个实数根的倒数和小于．求m 的取值范围．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，AO=8，AB=AC，sin∠ABC=．CD与y轴交于点E，且S△COE=S△ADE．已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．13．如图，⊙O的直径为AB，⊙O1过点O，且与⊙O内切于点B．C为⊙O上的点，OC与⊙O1交于点D，且OD＞CD．点E在OD上，且DC=DE，BE的延长线与⊙O1交于点F，求证：△BOC∽△DO1F．14．已知整数a，b满足：a﹣b是素数，且ab是完全平方数．当a≥2012时，求a 的最小值．班级： 姓名：____________座号：_____________ 准考证号：_______________密 封 线 2017年全国初中数学竞赛冲刺试卷（1）答题卷一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分） 题号 1 2 3 4 5 答案二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6． ．7． ．8． ．9． ．10． ．三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）11．12．13．14．班级： 姓名：____________座号：_____________ 准考证号：_______________密 封 线 2017年全国初中数学竞赛冲刺试卷（1）答案一、选择题1．如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（ ）A ．2c ﹣aB ．2a ﹣2bC ．﹣aD ．a【解答】解：由实数a ，b ，c 在数轴上的位置可知：b ＜a ＜0＜c ，且|b |＞c ， 所以原式=|a |+（a +b ）+|c ﹣a |﹣（b +c ）=﹣a +a +b +c ﹣a ﹣b ﹣c=﹣a ．故选C ．2．如果正比例函数y=ax （a ≠0）与反比例函数y=（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（﹣3，﹣2），那么另一个交点的坐标为（ ） A ．（2，3） B ．（3，﹣2）C ．（﹣2，3）D ．（3，2）【解答】解：由题设知，﹣2=a•（﹣3），（﹣3）•（﹣2）=b ，解得a=，b=6，联立方程组得，解得，，所以另一个交点的坐标为（3，2）．或：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）．故选：D ．3．如果a ，b 为给定的实数，且1＜a ＜b ，那么1，a +1，2a +b ，a +b +1这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ） A ．1B ．C ．D ．【解答】解：∵a ，b 为给定的实数，且1＜a ＜b ，∴在这一组数据中平均数是：[1+（a +1）+（2a +b ）+（a +b +1）]÷4=，∴在这一组数据中中位数是：[（a +1）+（a +b +1）]÷2=， ∴这四个数据的平均数与中位数之差是：﹣=﹣∴这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是：．故选D ．4．已知一个三角形的三个内角的度数，一个是素数，另外两个恰好都是素数的平方，则这个三角形最大角与最小角的度数之差是（ ） A ．172 B ．167 C ．160 D ．32【解答】解：设三个素数分别为：x 、y 、z ．若x 、y 、z 都为奇数，则x +y 2+z 2=奇数，这与三角形的内角和为180°是偶数矛盾． ∴x 、y 、z 中必有一个素数是偶数，令x 是偶数，则x=2， ∴y 、z 是奇数，∴y 2、z 2是奇数，∴y 2、z 2中任何一个数与x 的差都为奇数．∴只有B 答案正确．故选B ．5．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为P 0，P 1，P 2，P 3，则P 0，P 1，P 2，P 3中最大的是（ ） A ．P 0B ．P 1C ．P 2D ．P 3【解答】解：根据题意画出树状图如下：一共有36种情况，两个数字之和除以4：和为4、8、12时余数是0，共有9种情况， 和是5、9时余数是1，共有8种情况，和是2、6、10时余数是2，共有9种情况， 和是3、7、11时余数是3，共有10种情况，所以，余数为0的有9个，P 0==；余数为1的有8个，P 1==；余数为2的有9个，P 2==；余数为3的有10个，P 3==．可见，＞＞；∴P 1＜P 0=P 2＜P 3．故选D ．二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．已知y=+3，则x +y= 8 ． 【解答】解：由题意得，，解得：x=5，∴y=3，故可得x +y=8．答案为：8．7．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否＞487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是7＜x≤19．【解答】解：前四次操作的结果分别为3x﹣2；3（3x﹣2）﹣2=9x﹣8；3（9x﹣8）﹣2=27x﹣26；3（27x﹣26）﹣2=81x﹣80；由已知得：，解得：7＜x≤19．容易验证，当7＜x≤19时，3x﹣2≤487 9x﹣8≤487，故x的取值范围是：7＜x≤19．故答案为：7＜x≤19．8．如图，正方形ABCD 的边长为，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是8．【解答】解：连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC=2，∴△BFN∽△DAN ，∴==，∵F是BC的中点，∴BF=BC=AD=，∴AN=2NF，∴AN=AF，在Rt△ABF中，AF==5，∴cos∠BAF===，∵E，F分别是AB，BC的中点，AD=AB=BC，∴AE=BF=，∵∠DAE=∠ABF=90°，在△ADE与△BAF中，，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴∠AED=∠AFB，∴∠AME=180°﹣∠BAF﹣∠AED=180°﹣∠BAF﹣∠AFB=90°．∴AM=AE•cos∠BAF=×=2，∴MN=AN﹣AM=AF﹣AM=×5﹣2=，∴．又∵S△AFD=AD•CD=×2×2=30，∴S△MND =S△AFD =×30=8．故答案为：8．9．如果关于x的方程x2+kx +k2﹣3k +=0的两个实数根分别为x1，x2，那么的值为．【解答】解：根据题意可得，∵方程有实数根，∴△=b2﹣4ac≥0，即k2﹣4（k2﹣3k +）≥0，∴﹣2（k﹣3）2≥0，∵（k﹣3）2≤0，∴k﹣3=0，即k=3，∴原方程为：x2+3x +=0，∴x1=x2=﹣，∴=（）2011•==﹣．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD=DC．分别延长BA，CD，交点为E．作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F．若AE=AO，BC=6，则CF的长为．【解答】解：如图，连接AC，BD，OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA=∠BDA=90°．∵BF⊥EC，∴∠BFC=90°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCF=∠BAD，∴Rt△BCF∽Rt△BAD ，∴=，即=，∵OD是⊙O的半径，AD=CD，∴OD垂直平分AC，∴OD∥BC ，∴=，∴△EOD∽△EBC ，∴==，=，而AE=AO，即OE=2OB，BE=3OB，BC=6，∴===，=2，∴OD=4，CE=DE，又∵∠EDA=EBC，∠E公共，∴△AED∽△CEB，∴DE•EC=AE•BE，∴DE•DE=4×12，∴DE=4，∴CD=2，则AD=2，∴=，∴CF=．故答案为．班级： 姓名：____________座号：_____________ 准考证号：_______________密 封 线 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知二次函数y=x 2+（m +3）x +m +2，当﹣1＜x ＜3时，恒有y ＜0；关于x 的方程x 2+（m +3）x +m +2=0的两个实数根的倒数和小于．求m 的取值范围．【解答】解：①由题意可得，方程x 2+（m +3）x +m +2=0与x 轴有两个交点， 故有△＞0，即（m +3）2﹣4（m +2）＞0，解得：m ≠﹣1， 又因为y=x 2+（m +3）x +m +2=（x +1）（x +m +2），当y ＜0时，x 可取两个范围：﹣1＜x ＜﹣m ﹣2或﹣m ﹣2＜x ＜﹣1， 而由题意得，当﹣1＜x ＜3时，恒有y ＜0，故可得，当y ＜0时，x 的取值范围为：﹣1＜x ＜﹣m ﹣2，也可得出﹣m ﹣2≥3，解得：m ≤﹣5； ②由题意得，方程x 2+（m +3）x +m +2=0有实数根，故有△≥0，即（m +3）2﹣4（m +2）≥0，解得：m 可取任意实数， 又因为+==＜﹣，解得：m ＜﹣12，综合①②可得：m ＜﹣12．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，AO=8，AB=AC ，sin ∠ABC=．CD 与y 轴交于点E ，且S △COE =S △ADE ．已知经过B ，C ，E 三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．【解答】解：过点D 作DN ⊥BC ，∵AB=AC ，AO ⊥BC ，∴BO=CO ， ∵sin ∠ABC=，AO=8，∴sin ∠ABC===，∴AB=10，BO==6，∴B 点坐标为：（6，0），C 点坐标为：（﹣6，0），∵S △COE =S △ADE ，∴S △CDB =S △ABO ，∴DN ×BC=AO ×BO ，∴DN===4，∵ND ∥AO ，∴=，∴NO=NB=3，∴=，∴=，解得：EO=，∴E 点坐标为：（0，﹣），∵经过B ，C ，E 三点的图象对称轴为y 轴，∴经过B ，C ，E 三点的解析式为：y=ax 2+c ， 将E 点坐标为：（0，﹣），B 点坐标为：（6，0）代入解析式得：，解得：，∴这条抛物线对应的二次函数的解析式为：y=x 2﹣．13．如图，⊙O 的直径为AB ，⊙O 1过点O ，且与⊙O 内切于点B ．C 为⊙O 上的点，OC 与⊙O 1交于点D ，且OD ＞CD ．点E 在OD 上，且DC=DE ，BE 的延长线与⊙O 1交于点F ，求证：△BOC ∽△DO 1F ．【解答】解：连接DB ．∵⊙O 1过点O ，且与⊙O 内切于点B ．C ∴BO 为⊙O 1直径，∴∠ODB=90°，∵DC=DE ，∴BD 垂直平分CE ，∴BC=EB ，∠FBD=∠CBD ，∴∠BCE=∠BEC ．∵BO=CO ， ∴∠OBC=∠OCB ，∴∠OBC=∠BCE=∠BEC ，∴∠CBE=∠COB （三角形内角和定理）， ∵∠FO 1D=2∠FBD ，∴∠FO 1D=∠FBC ， ∵CO=BO ，FO 1=DO 1，∴=，∴△BOC ∽△DO 1F ．14．已知整数a ，b 满足：a ﹣b 是素数，且ab 是完全平方数．当a ≥2012时，求a 的最小值．【解答】解：设a ﹣b=m （m 是素数），ab=n 2（n 是正整数）．∵（a +b ）2﹣4ab=（a ﹣b ）2，∴（2a ﹣m ）2﹣4n 2=m 2，即：（2a ﹣m +2n ）（2a ﹣m ﹣2n ）=m 2． ∵2a ﹣m +2n 与2a ﹣m ﹣2n 都是正整数，且2a ﹣m +2n ＞2a ﹣m ﹣2n （m 为素数）， ∴2a ﹣m +2n=m 2，2a ﹣m ﹣2n=1， 解得：a=，n=，∴b=a ﹣m=，∵a ≥2012，∴≥2012，∵m 是素数，解得：m ≥89，此时，a ≥=2025，当a=2025时，m=89，b=1936，n=1980．∴a 的最小值为2025．。
2017年初中数学竞赛试题及答案
2017年初中数学竞赛试题（含答案）一、选择题(共5小题，每小题6分，满分30分)1、设N＝，其中a、b为相邻的两个整数，c＝a.b，则N( )(A) 必为偶数(B) 必为奇数(C) 必为无理数(D) 以上三种都可能2、等腰△ABC中，AB＝AC＝6，P为BC上一点，且PA＝4，则PB·PC的值等于( )(A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 253、若x－1＝2 (y＋1)＝3 (z＋2)，则x2＋y2＋z2可取得的最小值为( )(A) 6 (B) (C) (D)4、已知正方形ABCD的边长为2，E、F分别是AB，BC的中点，AF分别交DE，DB于G，H两点，则四边形BEGH的面积是( )(A)(B) (C) (D)15、如图所示，边长为12的正三角形ABC内接于圆，弦DE∥BC分别交AB，AC于F，G，若AF长x，DF长y都是正整数，则y的值为( )(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6二、填空题(共5小题，每小题6分，满分30分)6、己知方程x2－x－1＝0的根是方程x６－px２＋q＝0的根，则p＝________，q＝________.7、已知：如图所示，凸五边形ABCDE中，S△ABC＝S△BCD＝S△CDE＝S△DEA＝S△EAB＝1，则S五边形ABCDE＝__________.8、如图，把10个两两互不相等的正整数，a1a2…a10写成下列图表的形式，其中两个箭头所指的数等于这两个箭头始点两个数的和，例如表示a2＝a1＋a5，那么，满足该图表的a4的最小可能值为___________.9、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c与一次函数y＝mx＋n的图象交点为(-1，2)，(2,5)，且二次函数的最小值为1，则这个二次函数的解析式为_________________________.10、将四十个自然数1，2……，40任意排成一排，总可以找到连续排列的八个数，它们的和不小于A，则A的最大值等于_____________.三、解答题(共4题，每小题15分，满分60分)11、已知正实数a、b、c满足方程组a＋b2＋2ac＝29b＋c2＋2ab＝18c＋a2＋2bc＝25求a＋b＋c的值12、设计一套邮票，设计要求如下：该套邮票由四种不同面值的邮票组成，面值数为正整数，并且对于连续整数1，2…，R中的任一面值数，都能够通过适当选取面值互相不同且不超过三枚的邮票实现。
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班级： 姓名：____________座号：_____________ 准考证号：_______________密 封 线 2017年全国初中数学竞赛冲刺试卷（4）一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分） 1．已知非零实数a ，b 满足|2a ﹣4|+|b +2|++4=2a ，则a +b 等于（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．22．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA=a ，OB=OC=OD=1，则a 等于（ ）A． B． C ．1 D ．23．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y的方程组只有正数解的概率为（ ）A．B． C ．D ．4．如图1，在直角梯形ABCD ，∠B=90°，DC ∥AB ，动点P 从B 点出发，由B ﹣﹣C ﹣﹣D ﹣﹣A 沿边运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果关于x 的函数y 的图象如图2，则△ABC 的面积为（ ）A ．10B ．16C ．18D ．325．关于x ，y 的方程x 2+xy +2y 2=29的整数解（x ，y ）的组数为（ ） A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．无穷多组二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废； 若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km 后报废，行驶一定路程后可以 交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同 时报废，那么这辆车将能行驶 km ．7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD=AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则的值为 ．8．已知a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是满足条件a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=9的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程（x ﹣a 1）（x ﹣a 2）（x ﹣a 3）（x ﹣a 4）（x ﹣a 5）=2009的整数根，则b 的值为 ．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为∠ACB 的平分线．若AC=15，BC=20，CD=12，则CE 的长等于 ．10． 10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ．三、解答题（共4小题，满分80分）11．已知抛物线y=x2与动直线y=（2t﹣1）x﹣c有公共点（x1，y1），（x2，y2），且x12+x22=t2+2t﹣3．（1）求实数t的取值范围；（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值．12．已知正整数a满足192|a3+191，且a＜2009，求满足条件的所有可能的正整数a 的和．13．如图，给定锐角三角形ABC，BC＜CA，AD，BE是它的两条高，过点C作△ABC的外接圆的切线l，过点D，E分别作l的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．14．n个正整数a1，a2，…，a n满足如下条件：1=a1＜a2＜…＜a n=2009；且a1，a2，…，a n中任意n﹣1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．班级： 姓名：____________座号：_____________ 准考证号：_______________密 封 线 2017年全国初中数学竞赛冲刺试卷（4）答案一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分） 1．已知非零实数a ，b 满足|2a ﹣4|+|b +2|++4=2a ，则a +b 等于（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【解答】解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为，于是a=3，b=﹣2，从而a +b=1．故选C ．2．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA=a ，OB=OC=OD=1，则a 等于（ ）A ．B ．C ．1D ．2【解答】解：∵∠BAC=∠BCA=∠OBC=∠OCB ， ∴△BOC ∽△ABC ，所以，即， 所以，a 2﹣a ﹣1=0．由a ＞0，解得．故选A ．3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组只有正数解的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：当2a ﹣b=0时，方程组无解；当2a ﹣b ≠0时，方程组的解为由a 、b 的实际意义为1，2，3，4，5，6可得． 易知a ，b 都为大于0的整数，则两式联合求解可得x=，y=，∵使x 、y 都大于0则有＞0，＞0，∴解得a ＜1.5，b ＞3或者a ＞1.5，b ＜3，而a ，b 都为1到6的整数，所以可知当a 为1时b 只能是4，5，6；或者a 为2，3，4，5，6时b 为1或2， 这两种情况的总出现可能有3+10=13种；又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况，故所求概率为，故选D ．4．如图1，在直角梯形ABCD ，∠B=90°，DC ∥AB ，动点P 从B 点出发，由B ﹣﹣C ﹣﹣D ﹣﹣A 沿边运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果关于x 的函数y 的图象如图2，则△ABC 的面积为（ ） A ．10B ．16C ．18D ．32【解答】解：根据图2可知当点P 在CD 上运动时，△ABP 的面积不变，与△ABC 面积相等；且不变的面积是在x=4，x=9之间；所以在直角梯形ABCD 中BC=4，CD=5，AD=5． 过点D 作DN ⊥AB 于点N ，则有DN=BC=4，BN=CD=5， 在Rt △ADN 中，AN===3，所以AB=BN +AN=5+3=8所以△ABC 的面积为AB•BC=×8×4=16．故选：B ．5．关于x ，y 的方程x 2+xy +2y 2=29的整数解（x ，y ）的组数为（ ） A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．无穷多组【解答】解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为x 2+yx +（2y 2﹣29）=0． 由于该方程有整数根，则判别式△≥0，且是完全平方数． 由△=y 2﹣4（2y 2﹣29）=﹣7y 2+116≥0，解得y 2≤．于是显然，只有y 2=16时，△=4是完全平方数，符合要求． 当y=4时，原方程为x 2+4x +3=0，此时x 1=﹣1，x 2=﹣3； 当y=﹣4时，原方程为x 2﹣4x +3=0，此时x 3=1，x 4=3．所以，原方程的整数解为故选C ．二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶3750km．【解答】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶1km 磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为．又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm．分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有两式相加，得，则（千米）．故答案为：3750．7．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD=AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H ，则的值为．【解答】解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF．∵线段AB的中点为C，∴AC=BC，∵BD=AC，∴BD=AC=BC ，∴，∵AC=AB，AD=AE ，∴，在△FHA和△EFA中，∵∠EFA=∠FHA=90°，∠FAH=∠EAF，∴Rt△FHA∽Rt△EFA ，∴，∵AF=AB ，∴==．故答案为：．8．已知a1，a2，a3，a4，a5是满足条件a1+a2+a3+a4+a5=9的五个不同的整数，若b是关于x的方程（x﹣a1）（x﹣a2）（x﹣a3）（x﹣a4）（x﹣a5）=2009的整数根，则b的值为10．【解答】解：因为（b﹣a1）（b﹣a2）（b﹣a3）（b﹣a4）（b﹣a5）=2009，且a1，a2，a3，a4，a5是五个不同的整数，所有b﹣a1，b﹣a2，b﹣a3，b﹣a4，b﹣a5也是五个不同的整数．又因为2009=1×（﹣1）×7×（﹣7）×41，所以b﹣a1+b﹣a2+b﹣a3+b﹣a4+b﹣a5=41．由a1+a2+a3+a4+a5=9，可得b=10．故答案为：10．9．（7分）如图，在△ABC中，CD是高，CE为∠ACB的平分线．若AC=15，BC=20，CD=12，则CE的长等于．【解答】解：如图，由勾股定理知AD=9，BD=16，所以AB=AD+BD=25．故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且∠ACB=90°．作EF⊥BC，垂足为F．设EF=x ，由，得CF=x，于是BF=20﹣x．由于EF∥AC ，所以，即，解得．所以．故答案为：．10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是﹣2．【解答】解：设报3的人心里想的数是x，因为报3与报5的两个人报的数的平均数是4，所以报5的人心里想的数应是8﹣x，于是报7的人心里想的数是12﹣（8﹣x）=4+x，报9的人心里想的数是16﹣（4+x）=12﹣x，报1的人心里想的数是20﹣（12﹣x）=8+x，报3的人心里想的数是4﹣（8+x）=﹣4﹣x，所以得x=﹣4﹣x，解得x=﹣2．故答案为：﹣2．三、解答题（共4小题，满分80分）班级： 姓名：____________座号：_____________ 准考证号：_______________密 封 线 11．已知抛物线y=x 2与动直线y=（2t ﹣1）x ﹣c 有公共点（x 1，y 1），（x 2，y 2），且x 12+x 22=t 2+2t ﹣3．（1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值．【解答】解：（1）联立y=x 2与y=（2t ﹣1）x ﹣c ，消去y 得二次方程x 2﹣（2t ﹣1）x +c=0① 有实数根x 1，x 2，则x 1+x 2=2t ﹣1，x 1x 2=c ．所以==②把②式代入方程①得③t 的取值应满足t 2+2t ﹣3=x 12+x 22≥0，④且使方程③有实数根，即△=（2t ﹣1）2﹣2（3t 2﹣6t +4）=﹣2t 2+8t ﹣7≥0，⑤ 解不等式④得t ≤﹣3或t ≥1，解不等式⑤得≤t ≤．所以，t 的取值范围为≤t ≤（t ≠）⑥（2）由②式知．由于在≤t ≤时是递增的，所以，当时，．答：当时，c 有最小值：．12．已知正整数a 满足192|a 3+191，且a ＜2009，求满足条件的所有可能的正整数a 的和． 【解答】解：由192|a 3+191，可得192|a 3﹣1+192=3×26，且a 3﹣1=（a ﹣1）[a （a +1）+1]=（a ﹣1）a （a +1）+（a ﹣1）． （5分）因为a （a +1）+1是奇数，所以3×26|a 3﹣1等价于26|a ﹣1，又因为3|（a ﹣1）a （a +1）， 所以3|a 3﹣1等价于3|a ﹣1．因此有192|a ﹣1，于是可得a=192k +1． （15分） 又∵0＜a ＜2009，所以k=0，1，10． 因此，满足条件的所有可能的正整数a 的和为 11+192（1+2+…+10）=10571． （20分）13．如图，给定锐角三角形ABC ，BC ＜CA ，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．【解答】解：结论是DF=EG ．∵∠FCD=∠EAB ，∠DFC=∠BEA=90°， ∴Rt △FCD ∽Rt △EAB ，∴=，∴，同理可得，又∵，∴BE•CD=AD•CE ，∴DF=EG ．14． n 个正整数a 1，a 2，…，a n 满足如下条件：1=a 1＜a 2＜…＜a n =2009；且a 1，a 2，…，a n 中任意n ﹣1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．【解答】解：设a 1，a 2，a n 中去掉a i 后剩下的n ﹣1个数的算术平均数为正整数b i ，i=1，2，n．即．于是，对于任意的1≤i ＜j ≤n ，都有，从而n ﹣1|（a j ﹣a i ），由于是正整数，故n ﹣1|23×251，由于a n ﹣1=（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）≥（n ﹣1）+（n ﹣1）+…+（n ﹣1）=（n ﹣1）2，所以，（n ﹣1）2≤2008，于是n ≤45，结合n ﹣1|23×251，所以，n ≤9； 另一方面，令a 1=8×0+1，a 2=8×1+1，a 3=8×2+1，a 8=8×7+1，a 9=8×251+1， 则这9个数满足题设要求．综上所述，n 的最大值为9．。