(浙江专用)高中数学2.22.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质学案新人教A版必修2
高中数学 第2章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.3 直线与平面平行的性质 2.2.4 平面与
2.2.3 直线与平面平行的性质 2.2.4 平面与平面平行的性质疱丁巧解牛知识·巧学一、线面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.符号语言：l∥α,l⊂β,α∩β=m⇒l∥m.证明：如图2-2-11,∵l∥α，∴l和α没有公共点.图2-2-11又∵m⊂α，∴l和m没有公共点.即l和m都在β内，且没有公共点.∴l∥m.方法点拨直线与平面平行的性质定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.线面平行的性质定理简记为“若线面平行，则线线平行”.它与判定定理经常混合使用，这反映了线面平行、线线平行间的相互转化、相互联系，也是将平面几何与立体几何联系起来的桥梁.二、线面平行性质定理的应用应用性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线不仅起到本身与已知直线平行的作用，而且起到已知平面内任一条直线与已知直线位置关系的判定作用，即在已知平面内所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与已知直线异面.线面平行的性质定理是由线面平行推出线线平行.这里的线线是指与平面平行的一条直线和过这条直线的平面与已知平面的交线，这个定理用符号语言来表示，即a∥α，a⊂β，α∩β=b，则a∥b.在应用该定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面就平行于这个平面内的一切直线”的错误.一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但不能与平面内的任意一条直线平行.“无数条”可以是同一方向的平行线，而“任意一条”则可以是任意方向的一条直线.“一切直线”自然包括了不同方向的直线，一条直线平行于一个平面，虽然它与平面内一切直线都没有公共点，但它与这些直线的位置关系，可能是平行，也可能是异面.三、面面平行性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 符号语言：α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b.上面的定理告诉我们，可以由平面与平面间的平行得出直线与直线平行.方法点拨面面平行性质定理可用于证明线线平行．四、面面平行的性质(1)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.用符号表示为α∥β，γ∩α=a，γ∩β=b⇒a∥b.此性质由面面平行得到线线平行，这为证明两直线平行增加了一个新的方法.(2)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.用符号表示为α∥β，a⊂α⇒a∥β.此性质由面面平行得到线面平行，这也是线面平行的一个判定方法.(3)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.用符号表示为α∥β，l⊥α⇒l⊥β.此性质为证明线面垂直又开辟了一条途径.(4)夹在两个平行平面之间的平行线段相等.(5)经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行.方法点拨面面平行的性质较多，在理解的基础上记忆各个性质，逐步达到灵活运用的目的.当然，重点性质应重点记忆. 面面平行的性质判定也是诸如线线平行、线面平行的判定方法，应加强对方法的理解掌握.五、线线平行、线面平行、面面平行间的关系问题·探究问题1 线面平行性质定理应用时，关键之处在哪儿？探究:应用线面平行性质定理，要作出或证明过已知直线的平面，其中可能有一些平面只是作为辅助平面出现，辅助平面的作用就是将空间几何平面化.和平面几何添加辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确定这个平面是否存在.问题2 利用平面与平面平行性质定理解题时需注意的地方有哪些？探究:两个平面平行性质定理应用时关键之处在于第三个平面的构造，以及第三个平面与这两个平面的交线的构造，这是特别需要注意的地方.典题·热题例1 求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行.已知：α∩β=l，a∥α，a∥β.求证：a∥l.思路解析：已知条件有线面平行关系，可利用线面平行的性质定理转化为线线平行，注意性质定理的应用.证法一：如图2-2-12，过a作平面γ交α于b.图2-2-12∵a∥α，∴a∥b.过a作平面ε交平面β于c.∵a∥β，∴a∥c.∴b∥c.又b⊄β且c⊂β，∴b∥β.又平面α过b交β于l，∴b∥l.∵a∥b，∴a∥l.证法二：如图2-2-13，在l上任取一点A，过A和a作平面与α相交于l1，与β相交于l2，则由线面平行的性质定理可知a∥l1，a∥l2.图2-2-13又过一点只能作一条直线与另一条直线平行，∴l1与l2重合.又l1⊂α，l2⊂β，∴l1、l2重合于l.∴a∥l.方法归纳应用线面平行的性质定理时，应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面.证明与平行有关的问题时，线面平行的判定定理、性质定理、公理4常结合起来使用.例2 已知AB、CD为异面线段，E、F分别为AC、BD的中点，过E、F作平面α∥AB.求证：CD∥α.思路解析：条件中有AB∥α，要利用线面平行，必须找到或作出过AB的平面与α相交，这样想到连结AD.证明：连结AD交平面α于G，连结GF，图2-2-14∵AB∥α，平面ADB∩α=GF，AB⊂平面ADB，∴AB∥GF.又∵F为BD中点，∴G为AD中点.又∵AC与AD是相交直线，确定的平面ACD∩α=EG，E为AC中点，G为AD中点，∴EG为△ACD的中位线.∴EG∥CD.∵EG⊂α，CD⊄α，EG∥CD，∴CD∥平面α.深化升华已知线面平行一般要推线线平行，关键是要找(或作)出过已知直线的平面.例3 如图2-2-15所示，四面体A—BCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形，(1)求证：CD∥平面EFGH；(2)求异面直线AB、CD所成的角.图2-2-15思路解析：矩形条件要用好对边平行这一性质，而线线平行与线面平行有密切联系.(1)证明：∵截面EFGH是一个矩形，∴EF∥GH.又GH⊂面BCD，∴EF∥面BCD.而EF⊂面ACD，面ACD∩面BCD=CD，∴EF∥CD.∴CD∥面EFGH.(2)解：由(1)知CD∥EF，同理,AB∥FG.由异面直线所成角的定义知∠EFG 即为所求. ∴AB、CD 所成的角为90°.深化升华 由线线平行可得线面平行，而线面平行又可推回线线平行.例4 如图2-2-16所示，ABCD 和ABEF 是两个全等的正方形，M 、N 分别是对角线AC 、BF 上的点，且AM=FN.求证：MN∥平面BCE.图2-2-16思路解析：要证线面平行，可以通过线线平行或者面面平行推出.证法一：过点M 、N 分别在平面AC 、FB 内作MQ∥AB、NP∥AB，它们分别交BC 、EB 于Q 、P 点，则MQ∥NP.∵MQ∥AB， ∴ACMC AB MQ =. ∵NP∥AB∥EF， ∴BF BN EF NP =. ∵四边形ABCD 和ABEF 是两个全等的正方形，且AM=FN ，∴AC=BF，AB=EF.∴CM=NB.∴MQ=NP.又∵MQ∥NP，∴四边形MNPQ 是平行四边形.∴MN∥PQ.∵PQ ⊂面BCE ，MN ⊄面BCE ，∴MN∥面BCE.证法二：如图2-2-17所示，过M 作MP∥BC 交AB 于P ，连结PN ，图2-2-17则AB AC AP AM =.∵AM=FN，AC=BF ，∴ABFB AP FN =. ∴NP∥AF.又AF∥BE，∴PN∥BE.又∵MP∩NP=P，MP ⊂面PMN ，NP ⊂面PMN ，∴面MNP∥面BCE.又MN ⊂面PMN ，∴MN∥面BCE.深化升华 线线平行、线面平行、面面平行可相互转化，相互利用，要证线面平行，可通过线线平行或者面面平行推出.例5 如图2-2-18，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，求证：(1)平面AB 1D 1∥平面C 1BD ；(2)对角线A 1C 被平面AB 1D 1和平面C 1BD 三等分.图2-2-18思路解析：本题若根据“一个平面内两条相交的直线分别与另一平面内两条相交的直线平行，则两平面平行”是很容易解决论证平面AB 1D 1∥平面C 1BD 的，但兼顾考虑(2)的论证，(1)我们还是采用“两平面垂直于同一直线则两平面平行”的判定方法.证明：(1)连结AC ，∵BD⊥AC，AC 是A 1C 在底面上的射影，由三垂线定理得A 1C⊥BD. 同理,可证A 1C⊥BC 1.∴A 1C⊥平面C 1BD ，同理,也能证得A 1C⊥平面AB 1D 1.∴平面AB 1D 1∥平面C 1BD.(2)设A 1到平面AB 1D 1的距离为h ，正方体的棱长为a ，则有222131)2(4331a a a h ∙=∙.图2-2-19 ∴h=a 33.同理,C 到平面C 1BD 的距离也为a 33，而A 1C=a 3.故A 1C 被两平行平面三等分. 方法归纳 论证A 1C 被两平行平面三等分，关键是求A 1到平面AB 1D 1的距离，C 到平面C 1BD 的距离，这里用三棱锥体积的代换，若不用体积代换，则可以在平面A 1ACC 1中考虑. 连结A 1C 1，设A 1C 1∩B 1D 1=O 1，AC∩BD=O，如图,连结AO 1，C 1O ，AC 1，设AC 1∩A 1C=K.A 1C∩AO 1=M ，C 1O∩A 1C=N.可证M 为△A 1AC 1的重心，N 为△ACC 1的重心，则可推知MN=NC=A 1M.图2-2-20另外值得说明的是：A 1C 是面AB 1D 1和面BC 1D 的公垂线.异面直线AD 1和C 1D 的距离也等于MN.例6 如图2-2-21,B 为△ACD 所在平面外一点，M 、N 、G 分别为△ABC、△ABD、△BCD 的重心，(1)求证：平面MNG∥平面ACD ；(2)求S △MNG ∶S △ADC .图2-2-21思路解析：(1)要证明平面MNG∥平面ACD ，由于M 、N 、G 分别为△ABC、△ABD、△BCD 的重心，因此可想到利用重心的性质找出与平面平行的直线.(2)因为△MNG 所在的平面与△ACD 所在的平面相互平行，因此，求两三角形的面积之比，实则求这两个三角形的对应边之比. 解：(1)连结BM 、BN 、BG,并延长分别交AC 、AD 、CD 于P 、F 、H.∵M、N 、G 分别为△ABC、△ABD、△BCD 的重心，则有2===GHBG NF BN MP BM . 连结PF 、FH 、PH,有MN∥PF，又PF ⊂平面ACD ，∴MN∥平面ACD.同理,MG∥平面ACD ，MG∩MN=M，∴平面MNG∥平面ACD.(2)由(1)可知32==BH BG PH MG ， ∴MG=PH 32.图2-2-22又PH=AD 21，∴MG=AD 31. 同理,NG=AC 31，MN=CD 31， ∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3，∴S △MNG ∶S △ADC =1∶9.方法归纳 立体几何问题，一般都是化成平面几何问题，所以要重视平面几何.比如重心定理，三角形的三边中线交点叫做三角形的重心，到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.。
2.2.3直线与平面平行的性质
2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质●三维目标1．知识与技能(1)掌握直线与平面平行的性质定理及其应用，掌握两个平面平行的性质定理及其应用．(2)运用两个定理实现“线线”、“线面”平行的转化，进一步发展空间想象能力和逻辑思维能力．2．过程与方法学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用．3．情感、态度与价值观(1)在推理和证明过程中，提高探究能力，逐渐养成严谨的科学态度．(2)增强“数学来源于生活、应用于实践”的意识，培养审美情趣．(3)进一步渗透等价转化的思想．●重点难点重点：两个性质定理及其应用．难点：两个性质定理的探索过程及应用．重难点突破：以教材中的“思考”为切入点，引出直线和平面平行的性质定理及平面和平面平行的性质定理．接着以长方体为载体，对这两个问题进行探究，通过操作确认，先得出两个性质定理的猜想，然后通过逻辑论证，证明猜想的正确性，从而得到性质定理．最后可通过题组训练，采用师生互动、讲练结合的方式，帮助学生突出重点、化解难点．●教学建议本节知识是上节知识的拓展和延伸，由于性质与判定是相辅相成相互统一的，故教学时，可采用引导发现法，采用以思导学的方式，从回顾两个判定定理出发，把探索两个性质定理的问题转移到线与线及线与面位置关系的问题上，然后教师要引导学生经历从现实的生活空间中抽象出空间图形的过程，注重引导学生通过观察、操作、有条理的思考和推理等活动，引导学生借助图形直观，通过归纳、类比等合情推理来探索直线、平面平行的性质及其证明，最后通过典例训练使学生体会线与面之间的互化关系，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力．●教学流程创设问题情境，引出问题：如何判断线面平行与面面平行有哪些性质？⇒引导学生借助实物体，通过观察、想象、思考，得出线面平行与面面平行的性质定理.⇒通过引导学生回答所提问题理解线面平行与面面平行的性质定理.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握直线与平面的平行的性质定理.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握平面与平面平行的性质定理.⇒1．若直线l ∥平面α，则l 平行于平面α内的所有直线吗？ 【提示】 不是．2．若a ∥α，过a 与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a 有什么关系？ 【提示】 若a ∥α，则过a 且与α相交的平面有无数个．这些平面与α的交线与直线a之间相互平行．直线与平面平行的性质定理(1)文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．(2)符号语言：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b . (3)图形语言：如图所示．图2－2－13(4)作用：证明两直线平行．观察长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的两个面：平面ABCD 及平面A 1B 1C 1D 1.1．平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？【提示】是的．2．若m⊂平面ABCD，n⊂平面A1B1C1D1，则m∥n吗？【提示】不一定．3．过BC的平面交面A1B1C1D1于EF，EF与BC什么关系？【提示】平行．平面与平面平行的性质定理(1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．(2)符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.(3)图形语言：如图所示．(4)作用：证明两直线平行.图2－2－14求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．【思路探究】先写出已知求证，再借助线面平行的性质定理求解．【自主解答】 已知直线a ，l ，平面α，β满足α∩β＝l ，a ∥α，a ∥β. 求证：a ∥l .证明：如图所示，过a 作平面γ交平面α于b ， ∵a ∥α，∴a ∥b .同样过a 作平面δ交平面β于c ， ∵a ∥β，∴a ∥c .则b ∥c .又∵b ⊄β，c ⊂β，∴b ∥β. 又∵b ⊂α，α∩β＝l ，∴b ∥l . 又∵a ∥b ，∴a ∥l .线∥面线面平行的性质线面平行的判定线∥线．在空间平行关系中，交替使用线线平行、线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键．若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行．【解】 已知：a ∥b ，a ⊂α，b ⊂β，α∩β＝l .求证：a ∥b ∥l . 证明：如图所示，∵a ∥b ，b ⊂β，a ⊄β， ∴a ∥β，又a ⊂α，α∩β＝l ，∴a ∥l ，又a ∥b ， ∴a ∥b ∥l .如图2－2－15，平面四边形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 均在平行四边形A ′B ′C ′D ′所确定一个平面α外，且AA ′、BB ′、CC ′、DD ′互相平行．求证：四边形ABCD 是平行四边形．图2－2－15【思路探究】先证平面AA′B′B∥平面DD′C′C，再证AB∥CD，同理证明BC ∥AD，进而证明ABCD为平行四边形．【自主解答】在▱A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′，∵A′B′⊄平面C′D′DC，C′D′⊂平面C′D′DC，∴A′B′∥平面C′D′DC.同理A′A∥平面C′D′DC.又A′A∩A′B′＝A′，∴平面A′B′BA∥平面C′D′DC.∵平面ABCD∩平面A′B′BA＝AB，平面ABCD∩平面C′D′DC＝CD，∴AB∥CD.同理AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形．1．利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交．2．面面平行⇒线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化．如图2－2－16，已知α∥β，点P是平面α、β外的一点(不在α与β之间)，直线PB、PD分别与α、β相交于点A、B和C、D.(1)求证：AC∥BD；(2)已知P A＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长．图2－2－16【解】(1)∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，∴PAAB＝PCCD，∴45＝3CD，∴CD＝154(cm)，∴PD＝PC＋CD＝274 (cm).图2－2－17如图2－2－17，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点．(1)求证：PQ∥平面DCC1D1.(2)求PQ的长．(3)求证：EF∥平面BB1D1D.【思路探究】(1)证明PQ∥CD1―→PQ∥平面DCC1D1或取AD的中点G―→证平面PGQ∥平面DCC1D1―→PQ∥平面DCC1D1(2)利用PQ＝12D1C求解．(3)取B1D1的中点O1―→证明BEFO1为平行四边形―→EF∥平面BB1D1D或取B 1C 1的中点E 1―→证明平面EE 1F ∥平面BB 1D 1D ―→EF ∥平面BB 1D 1D【自主解答】 (1)证明：法一 如图，连接AC 、CD 1.∵P 、Q 分别是AD 1、AC 的中点， ∴PQ ∥CD 1.又PQ ⊄平面DCC 1D 1， CD 1⊂平面DCC 1D 1， ∴PQ ∥平面DCC 1D 1.法二 取AD 的中点G ，连接PG 、GQ ， 则有PG ∥DD 1，GQ ∥DC ，且PG ∩GQ ＝G ， ∴平面PGQ ∥平面DCC 1D 1. 又PQ ⊂平面PGQ ， ∴PQ ∥平面DCC 1D 1. (2)由(1)易知PQ ＝12D 1C ＝22a .(3)证明：法一 取B 1D 1的中点O 1， 连接FO 1，BO 1，则有FO 1綊12B 1C 1.又BE 綊12B 1C 1，∴BE 綊FO 1.∴四边形BEFO 1为平行四边形，∴EF ∥BO 1， 又EF ⊄平面BB 1D 1D ，BO 1⊂平面BB 1D 1D ， ∴EF ∥平面BB 1D 1D .法二 取B 1C 1的中点E 1，连接EE 1、FE 1， 则有FE 1∥B 1D 1，EE 1∥BB 1，且FE 1∩EE 1＝E 1， ∴平面EE 1F ∥平面BB 1D 1D . 又EF ⊂平面EE 1F ， ∴EF ∥平面BB 1D 1D .1．证明线面平行的三种常用方法： (1)定义法．(2)线面平行的判定．(3)面面平行的性质．2．线线平行、线面平行、面面平行之间可以相互转化，其示意图为：直线与直线平行直线与平面平行的判定直线与平面平行的性质直线与平面平行平面与平面平行的判定平面与平面平行的性质平面与平平面与平面平行的判定平面与平面平行的性质面平行如图2－2－18所示，已知E、F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1、CC1的中点，求证：四边形BED1F是平行四边形．图2－2－18【证明】取D1D的中点G，连接EG，GC，∵E是A1A的中点，G是D1D的中点，∴EG綊AD.由正方体性质知AD綊BC，∴EG綊BC，∴四边形EGCB是平行四边形，∴EB∥GC.①又∵G，F分别是D1D，C1C的中点，∴D1G綊FC，∴四边形D1GCF为平行四边形，∴D1F∥GC.②由①②得EB∥D1F，③∴E、B、F、D1四点共面，四边形BED1F是平面四边形．又∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面EBFD1∩平面ADD1A1＝ED1，平面EBFD1∩平面BCC1B1＝BF，∴ED1∥BF，④由③④得，四边形BED1F是平行四边形．因将平面几何中的结论直接应用到立体几何中致误如图2－2－19所示，已知异面直线AB ，CD 都平行于平面α，且AB ，CD 在α的两侧，若AC ，BD 分别与α相交于M ，N 两点，求证AM MC ＝BNND.图2－2－19【错解】 连接MN .因为AB ∥CD ∥MN ，所以AM MC ＝BNND【错因分析】 错误的原因是在立体几何的证明中盲目地套用平面几何中的定理． 【防范措施】 立体几何问题只有在化归为平面几何问题后才能使用平面几何知识解题．【正解】 如图所示，连接AD ，交平面α于点P ，连接PM ，PN . 因为CD ∥α，平面ACD ∩α＝PM ，所以CD ∥PM ，所以在△ACD 中，有AM MC ＝APPD .同理，在△DAB 中，有AP PD ＝BN ND ，所以AM MC ＝BNND1．三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：2．证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“见了已知想性质，见了求证想判定”，也就是说“发现已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”．这是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A．唯一一条直线不相交B．仅两条相交直线不相交C．仅一组平行直线不相交D．任意一条直线都不相交【解析】根据直线和平面平行定义，易排除A、B.对于C，仅有一组平行线不相交，不正确，应排除C.与平面α内任意一条直线都不相交，才能保证直线a与平面α平行，∴D正确．【答案】 D2．若平面α∥平面β，a⊂α，下列说法正确的是()①a与β内任一直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内任一直线不垂直；④a与β无公共点．A．①③B．②④C．②③D．①③④【解析】∵a⊂α，α∥β，∴a∥β，∴a与β无公共点，④正确；如图，在正方体中，令线段B1C1所在的直线为a，显然a与β内无数条直线平行，故②正确；又AB⊥B1C1，故在β内存在直线与a垂直，故①③错误．【答案】 B3．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a、b的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定【解析】根据面面平行的性质定理，A选项正确．【答案】 A4．过正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.求证：BB1∥EE1.【证明】如图所示，∵CC1∥BB1，∴CC1∥平面BEE1B1(直线和平面平行的判定定理)．又∵平面CEE1C1过CC1且交平面BEE1B1于EE1，∴CC1∥EE1(直线和平面平行的性质定理)．由于CC1∥BB1，∴BB1∥EE1(平行公理)．一、选择题1．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．平行或异面或相交【解析】如图(1)，(2)，(3)所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．【答案】 D2．(2013·郑州高一检测)已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线() A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，在平面α内C．有两条，不一定都在平面α内D．有无数条，不一定都在平面α内【解析】如图所示，∵l∥平面α，P∈α，∴直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，∴P∈m，∴l∥m且m是惟一的．【答案】 B图2－2－203．(2013·呼和浩特高一检测)如图2－2－20，四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则()A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能【解析】∵MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝P A，∴MN∥PA.【答案】 B4．(2013·德州高一检测)设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，所有的动点C()A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面【解析】无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．【答案】 D5．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点【解析】∵l⊄α，∴l∥α或l与α相交．(1)若l∥α，则由线面平行的性质可知l∥a，l∥b，l∥c，…∴a，b，c，…这些交线都平行．(2)若l与α相交，不妨设l∩α＝A，则A∈l，又由题意可知A∈a，A∈b，A∈c，…，∴这些交线交于同一点A.综上可知D正确．【答案】 D二、填空题6．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．【解析】因为过A1，C1，B三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1，与底面ABCD 的交线为l，由于正方体的两底面互相平行，则由面面平行的性质定理知l∥A1C1.【答案】l∥A1C1图2－2－217．如图2－2－21，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中点，BD与平面α交于点N，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.【解析】因为AB∥平面α，AB⊂平面ABDC，平面ABDC∩平面α＝MN，所以AB∥MN.又M是AC的中点，所以MN是梯形ABDC的中位线，MN＝5.【答案】 58．如图2－2－22，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若P A′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′S△ABC＝________.图2－2－22 【解析】由平面α∥平面ABC，得AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′，由等角定理得∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，∠CAB＝∠C′A′B′，从而△ABC∽△A′B′C′，△P AB∽△P A′B′，S△A′B′C′S△ABC (A′B′AB)2＝(PA′PA)2＝425【答案】4 25三、解答题图2－2－239．如图2－2－23所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，试作出过AC且与直线D1B平行的截面，并说明理由．【解】如图，连接DB交AC于点O，取D1D的中点M，连接MA，MC，MO，则截面MAC即为所求作的截面．∵MO为△D1DB的中位线，∴D1B∥MO.∵D 1B ⊄平面MAC ，MO ⊂平面MAC ，∴D 1B ∥平面MAC ，则截面MAC 为过AC 且与直线D 1B 平行的截面．10．(2013·嘉峪关高一检测)如图2－2－24，平面α∥平面β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，点E ，F 分别在线段AB 与CD 上，且AE EB ＝CFFD，求证：EF ∥平面β.图2－2－24【证明】 (1)若直线AB 和CD 共面，∵α∥β，平面ABDC 与α，β分别交于AC ，BD 两直线， ∴AC ∥BD .又∵AE EB ＝CFFD ，∴EF ∥AC ∥BD ，∴EF ∥平面β.(2)若AB 与CD 异面，连接BC 并在BC 上取一点G ，使得AE EB ＝CGGB，则在△BAC 中，EG ∥AC ，AC ⊂平面α，∴EG ∥α，又∵α∥β，∴EG ∥β.同理可得：GF ∥BD ，而BD ⊂β. ∴GF ∥β，∵EG ∩GF ＝G ，∴平面EGF ∥β. 又∵EF ⊂平面EGF ，∴EF ∥β. 综合(1)(2)得EF ∥β.11．(思维拓展题)如图2－2－25所示，已知P 是▱ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC ＝l .图2－2－25(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．【解】法一(1)证明：因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面P AD，所以BC∥平面P AD.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.(2)平行．取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.可知四边形AMNE为平行四边形．所以MN∥AE，又因为MN⊄平面APD，AE⊂平面APD，所以MN∥平面APD.法二(1)证明：由AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以l∥AD∥BC.(2)设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，则MQ∥AD，NQ∥PD，而MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面P AD.MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面PAD.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，点E在AB′上(靠近B′处)，点F在BD上(靠近B处)，且B′E＝BF.求证：EF∥平面BB′C′C.【思路探究】 可根据线面平行的判定定理进行证明，也可利用面面平行的性质． 【自主解答】 法一 连接AF 并延长交BC 于M ，连接B ′M .∵AD ∥BC ，∴△AFD ∽△MFB . 则AF MF ＝DF BF. 又∵BD ＝B ′A ，BF ＝B ′E ，∴DF ＝AE . 于是AF MF ＝AE B ′E. 因而EF ∥B ′M .又∵B ′M ⊂平面BB ′C ′C ，EF ⊄平面BB ′C ′C ， ∴EF ∥平面BB ′C ′C .法二 作FH ∥AD 交AB 于H ，连接HE . ∵AD ∥BC ，∴FH ∥BC .∵BC ⊂平面BB ′C ′C ，FH ⊄平面BB ′C ′C ， ∴FH ∥平面BB ′C ′C . 由FH ∥AD ，可得BF BD ＝BHBA ，又∵BF ＝B ′E ，BD ＝B ′A ， ∴B ′E B ′A ＝BHBA.则EH ∥B ′B . 又∵B ′B ⊂平面BB ′C ′C ，EH ⊄平面BB ′C ′C ， ∴EH ∥平面BB ′C ′C .又∵EH ∩FH ＝H ，且EH ，FH ⊂平面FHE ， ∴平面FHE ∥平面BB ′C ′C .又∵EF ⊂平面FHE ，∴EH ∥平面BB ′C ′C .应用面面平行的性质证题的关键是找到过直线和已知平面平行的平面并给予证明，这时注意线线平行、线面平行和面面平行之间的相互转化．本题法一是利用线面平行的判定定理；法二是利用面面平行的性质，关键就是找到过直线EF 与平面BB ′C ′C 平行的平面．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，过A 1作与截面PBC1平行的截面，你能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．【解】能．取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1.因为A1N∥PC1∥MC且A1N＝PC1＝MC，所以四边形A1MCN是平行四边形．又A1N∥PC1，A1M∥BP，A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，∴平面A1MCN∥平面PBC1.过A1的截面是平行四边形，连接MN，作A1H⊥MN于点H，A1M＝A1N＝5，MN＝22，∴A1H＝ 3.∴截面A1MCN的面积为2 6.。
高中数学2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质课件新人教A版必修2
证明：∵AB∥平面 MNPQ，且过 AB 的平面 ABC 交平面 MNPQ 于 MN，
∴AB∥MN. 又过 AB 的平面 ABD 交平面 MNPQ 于 PQ，∴AB∥PQ， ∴MN∥PQ. 同理可证 NP∥MQ. ∴四边形 MNPQ 为平行四边形． AB∥平面 MNPQ， CD∥平面 MNPQ→MN∥PQ，NP∥MQ→ 四边形 MNPQ 是平行四边形
方法归纳
(1)直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据，可以用来 证明线线平行．
(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过 已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行．证题 过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．简记为“过 直线，作平面，得交线，得平行”．
跟踪训练 1 如图所示，已知两条异面直线 AB 与 CD，平面 MNPQ 与 AB，CD 都平行，且点 M，N，P，Q 依次在线段 AC，BC， BD，AD 上，求证：四边形 MNPQ 是平行四边形．
(1)求证：PQ∥平面 DCC1D1； (2)求 PQ 的长； (3)求证：EF∥平面 BB1D1D.
【解析】 (1)法一 如图，连接 AC，CD1. 因为 P，Q 分别是 AD1，AC 的中点， 所以 PQ∥CD1. 又 PQ⊄平面 DCC1D1， CD1⊂平面 DCC1D1， 所以 PQ∥平面 DCC1D1.
所以平面 BCE∥平面 AA1D. 又因为平面 A1DCE∩平面 BCE＝EC，平面 A1DCE∩平面 AA1D ＝A1D， 所以 EC∥A1D. 线线平行⇒线面平行⇒面面平行⇒线线平行．
类型三 平行关系的综合应用
例 3 如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F， P，Q 分别是 BC，C1D1，AD1，BD 的中点．
2.2.3直线与平面平行的性质
β DCba αAB DE FP Q2.2.3 直线与平面平行的性质一、课程标准要求1．理解并掌握空间中直线与平面平行的性质定理；2．能运用定理和已获得的结论证明一些线线平行与线面平行问题.二、自主课前预习1．直线与平面平行的性质：（1）定义：直线l 与平面α平行，则直线l 与平面α 公共点；用符号语言描述：l ∥α⇒ ；（2）性质定理：一条直线与一个平面平行，则过该 的任一个平面与此平面的 与该直线平行；用符号语言描述（如图）： ⇒ ；可简述为：⇒ .2．填空：如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，（1）与平面11A ADD 平行的直线有 条； （2）直线11C A 与平面ABCD 的位置关系是 ； （3）在平面ABCD 内作一条直线与直线11C A 平行，这条直线是 ；（4）如果CD 、11D C 的中点分别是M 、N ，则MN 与1AA 的位置关系是 .三、例题精选例1．如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是棱1CC 和1BB 的中点，过EF 的平面EFHG 分别交AB 和CD 于H 、G .求证：HG BC //.例2．如图，在三棱锥ABC P -中，一个平面截三棱锥的棱于M 、N 、F 、E 四点，若PA MN //，求证：EF MN //.例3．已知：如图所示，两个正方形ABCD 和ABEF 不在同一平面内，P 、Q 分别是对角线AE 、BD 上的点，（1）若DQ AP =，求证：//PQ 平面BCE ；（2）若Q 为BD 的中点，且//PQ 平面BCE ，求证：PQ EC 2=.PA B M NE FABCD 1A1C 1D1BABCD 1A1C 1D1B G FE四、知识与方法：1．对直线和平面平行的性质，能熟练进行文字语言、图形语言和符号语言的相互转化；2．证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）三角形中位线定理；（3）平行线分线段成比例定理；（4）平行四边形对边平行的性质；（5）线面平行的性质定理；3．利用直线与平面平行的判定定理和性质定理可以进行“线线平行”和“线面平行”的相互转化.五、分层练习 A 、基础性练习：1．已知平面m =βα ，直线α//n ，β//n ，则直线m 、n 的位置关系是________． 2．若直线a 和b 都与平面α平行，则a 和b 的位置关系是__________．3．在A B C ∆中，8==AC AB ，︒=∠90A ，G 是底边中线AD 的中点，过G 的平面α与BC 平行，M AB =α ，N AC =α ，则MN ＝________.4．已知空间四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别是8、12，过AB 的中点E 且平行于BD 、AC 的截面四边形的周长为 .5．在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是棱11B A 、11C B 的中点，P 是棱AD 上的一点，3aAP =，过P 、M 、N 的平面与棱CD 交于Q ，则=PQ .6．已知：a 、b 表示两条不同直线，α为一个平面，且α⊂a 、α⊄b 则“b a //”是“α//b ”的（ ）.（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件B 、综合性练习：7．在四面体ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且四边形EFGH 是平行四边形.（1）判断AC 与平面EFGH 的位置关系；（2）判断EH 与BD 的位置关系.8. 如图，已知a =βα ，m =γβ ，b =αγ ，且α//m ，求证：b a //．9．如图，在正四棱锥ABCD S -中，P 为SC 上一点，且21=PC SP ，M 、N 分别是SB 、SD 上的的点．若//BD 平面PMN ，//SA 平面PMN ，求BDMN的值．10.如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，平面PAD 平面m PBC =. (1)求证：m BC //；(2)MN 与平面PAD 是否平行？证明你的结论．mPABCD MNmPN M D CBASA BC D 1A 1C 1D 1B E C 、拓展训练：11. 如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是棱1DD 的中点. 在棱11D C 上是否存在一点F ，使//1F B 平面BE A 1? 证明你的结论.反思与总结：. 自主课前预习答案：1.（1）没有；φα= l ；（2）直线；交线；⎪⎭⎪⎬⎫=⊂b a a βαβα//；b a //；线面平行；线线平行； 2.（1）4；（2）平行；（3）AC ；（4）平行.例题精选：例1． 分析：由于BC EF //，则BC 就平行于EF 所在的平面EFHG ，因此只需判断HG 是过BC 的平面与平面EFHG 的交线即可.证明：∵E 、F 分别是棱1CC 和1BB 的中点，∴EF BC //，∵⊄BC 平面EFHG ，⊂EF 平面EFHG ，∴//BC 平面EFHG ，又⊂BC 平面ABCD ，平面 ABCD 平面HG EFHG =，∴HG BC //.点评：此题先由线线平行推导出线面平行，再由线面平行的性质得出线线平行，要注意定理中的“与交线平行”.例2． 分析：由于PA MN //，则MN 就平行于PA 所在的平面.证明：∵PA MN //，∴//MN 平面PAB ，∵⊂MN 平面M N F E ，平面M N F E 平面EF PAB =，∴EF MN //.点评：本题是线线平行、线面平行相互转化的简单题.例3． 分析：（1）要证//PQ 平面BCE ，只需证明PQ 平行于平面BCE 中的一条直线，结合已知条件运用平行线分线段成比例定理；（2）由//PQ 平面BCE 可作一个经过PQ 的平面与平面BCE 相交，则PQ 与交线平行，再运用三角形中位线定理即可.证明：（1）在平面ABEF 内过P 作AB PM //，交EB 于M ，在平面ABCD 内过Q 作DC QN //，交BC 于N ，连结MN ，则：ABPMEA EP =，DC QNBD BQ =，∵BD EA =，DQ AP =，∴DCQNAB PM =，即：QN PM =，又∵AB PM //，DC QN //且DC AB //，∴QN PM //，∴四边形PQNM 是平行四边形，∴MN PQ //，∴//PQ 平面BCE ；（2）连结AC ，由于ABCD 为正方形且Q 为BD 的中点，因此Q 是AC 、BD 的交点，∵//PQ 平面BCE ，∴EC PQ //，又Q 为AC 的中点，∴PQ EC 2=.点评：在直线和平面平行问题中，要注意利用直线与平面平行的判定定理和性质定理进行“线线平行”和“线面平行”的相互转化.AB DC EFP Q MNA 、基础性练习：1．n m //；2．相交或平行或异面；3．24；4．20；5．a 322；6．A ；B 、综合性练习：7．(1)//AC 平面EFGH ；(2)BD EH // .8．证明：∵a =βα ，m =γβ ，α//m ，∴a m //．同理，b m //，∴b a //．9．解：连结AC 交BD 于点O ，连结SO 交MN 于E 点，连结PE 并延长交AC 于F 点.∵//SA 平面PMN ，∴PF SA //.∵//BD 平面PMN ，∴MN BD //.∵21=PC SP ，∴21=FC AF ， ∴31=AC AF ，即312=AO AF ，∴32=AO AF . ∵SA EF //，∴32==AO AF SO SE .∵BD MN //，∴32==SO SE BD MN . 10.(1)证明：∵⊄BC 平面PAD ，⊂AD 平面PAD ，AD BC //，∴//BC 平面PAD ．而BC ⊂平面PBC ，平面 PBC 平面m PAD =，∴m BC //．(2)平行．连结CM 并延长交DA 的延长线于T ，再连结PT .∵M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，∴M 是TC 的中点．∴MN 是△TBC 的中位线．∴PT MN //.又∵∈T 平面PAD ，∴⊂PT 平面PAD .∴//MN 平面PAD .C 、拓展训练：11．解：在棱11D C 上存在点F ，使得//1F B 平面BE A 1；证明：分别取11D C 和CD 的中点F 、G ，连结EG 、BG 、1CD 、FG 、F B 1，因BC C B D A ////1111，且BC D A =11，所以四边形11BCD A 是平行四边形，因此B A C D 11//，又E 、G 分别是D D 1、CD 的中点，所以C D EG 1//，从而B A EG 1//，因此1A 、B 、G 、E 共面，所以⊂BG 平面BE A 1，因四边形11CDD C 与11BCC B 为正方形，F 、G 分别为11D C 和CD 的中点，所以B B C C FG 11////，因此四边形BGF B 1是平行四边形，所以BG F B //1，而⊄F B 1平面BE A 1，⊂BG 平面BE A 1，故//1F B 平面BE A 1． APBCMNTmD PNMD C BA S F EABCD 1A1C1D 1BEF G。
高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.2直线平面平行的判定及其性质2.2.3直线与平面平行的性质
易证 A′E∥AF，A′E＝AF. 易知 A′，E，F，A 共面于平面 A′EFA， 因为 A′E∥平面 DBC′，A′E⊂平面 A′EFA， 且平面 DBC′∩平面 A′EFA＝DO， 所以 A′E∥DO. 在平行四边形 A′EFA 中， 因为 O 是 EF 的中点(因为 EC′∥BF，且 EC′＝BF)， 所以 D 点为 AA′的中点．
直线 l，m 的位置关系是( )
A．相交
B．平行
C．异面
D．相交或异面
解析：由直线与平面平行的性质定理知 l∥m.
答案：B
3．设 m，n 表示不同直线，α，β表示不同平面， 则下列结论中正确的是( )
A．若 m∥α，m∥n，则 n∥α B．若 m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则 α∥β C．若 α∥β，m∥α，m∥n，则 n∥β D．若 α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则 n∥β
解析：由于点 A 不在直线 a 上，则直线 a 和点 A 确 定一个平面 β，所以 α∩β＝EF.
因为 a∥平面 α，a⊂平面 β，所以 EF∥a. 所以EBFC＝AAFC.所以 EF＝AFA·CBC＝35×＋43＝32. 答案：32
类型 1 线面平行性质定理的应用(自主研析)
[典例 1] 如图所示，点 P 为平行四边形 ABCD 外一 点，设面 PAB∩面 PCD＝l，试判断直线 l 与 AB 之间的 关系．
类型 2 平行性质定理在探索性问题中的应用 [典例 2] 已知正三棱柱 ABC-A′B′C′中，D 是 AA′上 的点，E 是 B′C′的中点，且 A′E∥平面 DBC′.试判断 D 点 在 AA′上的位置，并给出证明． 证明：D 点为 AA′的中点．证明如下：
取 BC 的中点 F，连接 AF，EF， 设 EF 与 BC′交于点 O，连接 OD，
2.2.3-2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
3．要注意判定定理与性质定理的综合运用 ．要注意判定定理与性质定理的综合运用 判定定理与性质
小结
4.面面平行性质定理: 4.面面平行性质定理: 面面平行性质定理
如果两个平行平面同时与第三个平面相交， 如果两个平行平面同时与第三个平面相交， 那么它们的交线平行。 那么它们的交线平行。 面面平行 线面平行
讲授新课： 讲授新课：
线面平行的性质定理： 线面平行的性质定理： 一条直线和一个平面平行， 一条直线和一个平面平行，则过这条直线 的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
l // α l ⊂ β α ∩β = m
β
l
l // m
m
α
简记为： 线面平行 线线平行” 线线平行” 简记为： “ 作用：判定直线与直线平行的重要依据。 作用：判定直线与直线平行的重要依据。 关键： 寻找平面与平面的交线。 关键： 寻找平面与平面的交线。
复习回顾： 复习回顾：
直线与平面平行的判定定理： 直线与平面平行的判定定理：
如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行， 如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行， 平面外的一条直线和平面内的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行.
a
图形
α
符号语言: 符号语言:
b
若 a ⊄ α , b ⊂ α , a // b，则 a // α
例题讲解： 例题讲解：
如图所示的一块木料中,棱 平行于面 平行于面A'C'． 例1 如图所示的一块木料中 棱BC平行于面 ． 要经过面A'C'内的一点 和棱 和棱BC 将木料锯开， 将木料锯开， ⑴要经过面 内的一点P和棱 应怎样画线？ 应怎样画线？ 解： 如图，在平面 ⑴如图，在平面A'C'内， 内 过点P作直 过点 作直EF//B'C'，分别交 作直 ， 于点E、 ， 棱A'B'、C'D'于点 、F， A' 、 于点 连结BE、 ， 连结 、CF， 下面证明EF、 、 下面证明 、BE、 A CF为应画的线． 为应画的线． 为应画的线 D D' E P B' C B F C'
高中数学必修二《2.2.3-4直线与平面平行,平面与平面平行的性质》课件
BE，CF，则
E（F2，）B因E，为C棱F就BC是平应行画于的平线面。A'C'，平面BC'与平面A'C'交于B'C'，
所以BC∥B'C'，由（1）知，EF∥B'C'，所以，EF∥BC，
因BE此、，CFE显F/然/都BC与,E平F面平A面C相AC交,B。C平面AC.所以,DE1F//平面ACF. C1
m ∩ γ =m, ß ∩ γ =n,且l// m
求证： n// l ，n// m
例题示范
例1：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′ (1)要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木料锯开，
应怎样画线？ (2)所画的线和面AC有什么关系？
解：（1）过点P作EF∥B’C’，分别
交棱A’B’，C’D’于点E，F。连接
作用： 可证明两直线平行。
β
欲证“线线平行”，可先证明“线面平
行”.
α
a // b
a
b
直线和平面平行的判定定理:
直线与直线平行
直线与平面平行
直线和平面平行的性质定理:
课堂练习：
（1）以下命题（其中a,b表示直线,表示平面） ①若a∥b，b，则a∥ ②若a∥，b∥，则a∥b ③若a∥b，b∥，则a∥ ④若a∥，b，则a∥b
（1）若两直线a、b异面，且 a ∥ α,则b与
α的位置关系可能是 b∥α，或b α， 或b与 α相交
（2）若两直线a、b相交，且a ∥ α，则b与 α的位置关系可能是 b∥ α，b与 α相交
3．判断下列命题的真假
（1）过直线外一点只能引一条直线与
这条直线平行.
（真）
课件4：2.2.3 直线与平面平行的性质~2.2.4 平面与平面平行的性质
知识点一 直线与平面平行的性质 线面平行的性质定理 (1)文字语言：一条直线与一个平面平行，则过 这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线 平行．
(2)图形语言：
(3)符号语言：
a∥α
a⊂β α∩β＝b
⇒a∥b
(4)作用：线面平行⇒线线平行．
题型三 线面平行和面面平行的综合问题 例3 如图所示，平面α∥平面β，△ABC、△A′B′C′ 分别在α、β内，线段AA′、BB′、CC′共点于O，O在α、 β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°,OA∶OA′ ＝3∶2.求△A′B′C面和两平行平面α、β分 别相交于AB、A′B′， 由面面平行的性质定理可得AB∥A′B′. 同理相交直线 BB′、CC′确定的平面和平行平面α、β分别相交于BC、 B′C′，从而BC∥B′C′.同理易证AC∥A′C′. ∴∠BAC与∠B′A′C′的两边对应平行且方向相反， ∴∠BAC＝∠B′A′C′.
练习
5.如图所示，P 是△ABC 所在平面外一 点，平面 α∥平面 ABC，α 分别交线段 PA、PB、PC 于 A′、B′、C′.若APA′A′＝23， 求S△A′B′C′的值．
S△ABC
解 平面α∥平面ABC，平面PAB∩平面α＝A′B′， 平面PAB∩平面ABC＝AB， ∴A′B′∥AB.同理可证B′C′∥BC，A′C′∥AC. ∴∠B′A′C′＝∠BAC，∠A′B′C′＝∠ABC， ∠A′C′B′＝∠ACB. ∴△A′B′C′∽△ABC. 又∵PA′∶A′A＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5. ∴A′B′∶AB＝2∶5.∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.
证明 如图所示，过点A作AE∥CD，且AE交平面β 于E，连接DE与BE. ∵AE∥CD， ∴由AE与CD可以确定一个平面γ， 则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE. ∵α∥β，∴AC∥DE. 取AE的中点N，连接NP与MN，如图所示． ∵M与P分别为线段AB与CD的中点，
人教版高中数学必修二第2章2.22.2.3直线与平面平行的性质
223直线与平面平行的性质学习目标1. 了解直线与平面平行的性质定理的探究以及证明过 程.2. 理解直线与平面平行的性质定理的含义并能应用.（重点） 3. 能够综合应用直线与平面平行的判定定理和性质定 理进行线面平行的相互转化.（难点） 自主预习。
播新和 zizHi jyt xi口新知初探I直线与平面平行的性质定理 文字语言一条直线与一个平面平行, 面的交线与该直线平行• 过该直线的任意一个平面与已知平符号语言a // a, a? 3, aA b? a /b 图形语言思考：若a // a b? a,则直线a 一定与直线b 平行吗？［提示］不一定.由a / a,可知直线a 与平面a 无公共点，又b? a,,所以a 与b 无公共点,所以直线a 与直线b 平行或异面.口初试身^□1. 如图，过正方体 ABCD-A'B C 'D 的棱BB '作一平面交平面 CDD'C 于EE : 则BB 与EE 的位置关系是（）核心素养通过学习直线与平面 平行的性质，提升直观 想象、逻辑推理的数学 素养•A .平行B .相交C•异面D .不确定A ［因为BB'// 平面CDD C ；BB 7 平面BB'E'E，平面BB'E^G 平面CDD C=EE 所以BB ' // EE '.］2. 设m、n是平面a外的两条直线，给出以下三个论断：①m// n；②m// a；③n// a以其中两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：________ .(用序号表示)①②？③(或①③？②)［设过m的平面B与a交于I •因为m//a,所以m//l，因为m // n，所以n // I，因为n?a, I? a，所以n // a］合作探究。
I星驀养直线与平面平行性质定理的应用［探究问题］1. 直线与平面平行性质定理的条件有哪些?［提示］线面平行的性质定理的条件有三个：(1) 直线a与平面a平行，即a / a；(2) 平面a、B相交于一条直线，即aG b;(3) 直线a在平面B内，即a? B三个条件缺一不可.2. 直线与平面平行的性质定理有什么作用?［提示］定理的作用：(1) 线面平行？线线平行；(2) 画一条直线与已知直线平行.3. 直线与平面平行的判定定理和性质定理有什么联系?［提示］经常利用判定定理证明线面平行，再利用性质定理证明线线平行.【例1】 如图，用平行于四面体 ABCD 的一组对棱AB , CD 的平面截此 四面体•求证：截面 MNPQ 是平行四边形.［证明］ 因为AB //平面 MNPQ ,平面 ABC A 平面 MNPQ = MN ,且 AB?平面 ABC ,所以由线面平行的性质定理,知AB / MN ,同理，AB//PQ ,所以MN // PQ.同理可得 MQ // NP.所以截面MNPQ 为平行四边形.对蕊凍吭 将本例变为：如图所示，四边形 ABCD 是矩形，P ■ 平面ABCD , 过BC 作平面BCFE 交AP 于E ,交DP 于F.［证明］因为四边形ABCD 为矩形,所以BC / AD ,因为AD?平面PAD , BC?平面PAD ,所以BC /平面PAD.因为平面BCFE G 平面FAD = EF ,所以 BC //EF. 求证：四边形因为AD = BC, AD托F,所以BC M EF,所以四边形BCFE是梯形.1.利用线面平行性质定理解题的步骤:2 •证明线线平行的方法：(1) 定义：在同一个平面内没有公共点的两条直线平行.(2) 平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行.a //a(3) 线面平行的性质定理：a? B ? a//b,应用时题目条件中需有线面aA b平行.【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA=3,点F在棱RA上，且AF = 1,点E在棱PD上，若CE//平面BDF，求PE : ED 的值.B［解］过点E作EG // FD交AP于点G,连接CG,连接AC交BD于点O, 连接FO.因为EG// FD , EG?平面BDF, FD?平面BDF ,所以EG//平面BDF ,又EG A CE= E, CE//平面BDF, EG?平面CGE, CE?平面CGE,所以平面CGE//平面BDF,又CG?平面CGE,所以CG//平面BDF,又平面BDF A平面PAC= FO, CG?平面PAC,所以FO // CG,又O为AC的中点，所以F为AG的中点,所以FG = GP= 1,所以E为PD的中点,PE : ED= 1 : 1.利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点：(1) 根据已知线面平行关系推出线线平行关系.(2) 在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系.(3) 利用所得关系计算求值.働跟礙训练I如图所示，在棱长为6的正方体ABCD-A i B i C i D i 中，点E, F 分别是棱C i D i , B i C i 的中点，过A , E , F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为 ____________ .6 13+ 3 2 [如图所示，延长EF ，A i B i 相交于点M ，连接AM ，交BB i 于 点H ，连接FH ，延长FE , A i D i 相交于点N ，连接AN 交DD i 于点G ，连接EG ,可得截面五边形AHFEG ,因为几何体ABCD-A i B i C i D i 是棱长为6的正方体，且ii E 、F 分别是棱 C i D i , B i C i 的中点，所以 EF = 3 2,易知 B i M = C i E = QC i D i = 2 A i B i ,又 B i H //AA i ,所以 B i H = iAA i = 2, J 则 BH = 4,易知 AG = AH = 62 + 42= 2 i3, EG = FH =、32 + 22= i3,所以截面的周长为 6 i3+ 3,2]i •在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面, 以便运用线面平行的性质.2 •要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化•在解决立体几 何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的 最有效的方法.当堂达标科固观基1 •如图，在三棱锥SABC中，E, F分别是SB SC上的点，且EF //平面ABC，则（）A. EF与BC相交B. EF // BCC. EF与BC异面D. 以上均有可能B ［因为平面SBC n平面ABC= BC,又因为EF //平面ABC，所以EF // BC.］2 .直线a//平面a, a内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有（）A. 0条B . 1条C. 0条或1条 D .无数条C ［过直线a与交点作平面B,设平面B与a交于直线b，则a// b，若所给n 条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条.］3. 过正方体ABCD-A1B1C1D1的三顶点A1, C1, B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为I，则I与A1C1的位置关系是__________ .平行［因为A1C1 /平面ABCD，A1C1?平面A1C1B，平面ABCD n平面A1C1B= I，由线面平行的性质定理，所以A1C1//IJ4. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1延长线的交点，且PB1//平面BDA1,求证：CD = C1D.［证明］如图，连接AB1与BA1交于点0,连接0D,因为PB i // 平面BDA i, PB i?平面AB i P,平面AB i P n平面BDA i = OD,所以OD // PB i, 又AO= B i O,所以AD = PD,又AC// C i P,所以CD = C i D.。
2019年数学人教A必修二2.2 2.2.3 直线与平面平行的性质 2.2.4 平面与平面平行的性质
解：(1)证明：因为 PB∩PD＝P，所以直线 PB 和 PD 确定一 个平面 γ， 则 α∩γ＝AC， β∩γ＝BD． 又 α∥β， 所以 AC∥BD． PA PC 4 3 (2)由(1)得 AC∥BD，所以 ＝ ，所以 ＝ ， AB CD 5 CD 15 所以 CD＝ (cm)， 4 27 所以 PD＝PC＋CD＝ (cm)． 4
证明：连接 AF 交平面 β 于点 M. 连接 MB，ME，BE，AD，CF，因为 α∥β， 所以 ME∥AD．
DE AM 所以 EF＝MF. 同理，BM∥CF， AB AM 所以 ＝ ， BC MF AB DE 即BC＝EF .
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
[提醒]面ຫໍສະໝຸດ 平行性质定理的实质： 面面平行⇒线线平行， 体
如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平 行四边形， 且 PA＝3.F 在棱 PA 上， 且 AF＝1， E 在棱 PD 上． 若 CE∥平面 BDF，求 PE∶ED 的值．
解：过点 E 作 EG∥FD 交 AP 于点 G，连 接 CG，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 FO. 因为 EG∥FD，EG⊄平面 BDF， FD⊂平面 BDF， 所以 EG∥平面 BDF，又 EG∩CE＝E，CE∥平面 BDF，EG ⊂平面 CGE，CE⊂平面 CGE， 所以平面 CGE∥平面 BDF， 又 CG⊂平面 CGE，
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
2．2.3 2．2.4
直线与平面平行的性质 平面与平面平行的性质
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
考点 直线与平 面平行的 性质 平面与平 面平行的 性质
学习目标 理解并能证明直线与平面平行的性质 定理， 明确定理的条件， 能利用直线与 平面平行的性质定理解决有关的平行 问题 理解并能证明平面与平面平行的性质
高中数学 必修二 2.2.3《 直线与平面平行的性质》
B' C
连结BE、CF，
A
B
下面证明EF、BE、CF为应画的线．
7
证明：
D' A'
F P
C'
BC//B'C'
BC//EF
DE
B' C
EF//B'C'
A
B
EF、BE、CF共面．则EF、BE、CF为应画的线．
(2)由⑴，得 EF//BC，
EF//BC
EF//面AC
BE、CF都与面相交．
线面平行
线线平行
且PQ//面AB1，则线段 PQ长为
．
D1
A1
C1 Q
B1
P D
A
C
B
15
练习2:已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1， 点P是面AA1D1D的中心，点Q是B1D1上一点，
2 且PQ//面AB1，则线段 PQ长为 2 ．
解析： 连结AB1、AD1， ∵PQ//面AB1，
D1 Q
A1
C1 B1
2.2 直线、平面平行 的判定及其性质
2.2.3-2.2.4 直线与平面平行、 平面与平面平行的性质
1
复习1：直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这 条直线和这个平面平行。
a b
a∥ b
a
a∥
b
线线平行 线面平行
2
复习2：平面与平面平行的判定定理
一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两 个平面平行．
b
又 a与b都在平面内
且没有公共点,
a // b
6
典例展示
直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理
β的位置关系如何？
l
l α
α
l
β
β
：若 // ，直线l与平面α平行，
那么直线l与平面β的位置关系如何？
思考3:若 // ，直线l与平面α相交，
那么直线l与平面β的位置关系如何？
l
αቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α
β
β
思考4:若 // ，平面α与平面γ相交，
则平面β与平面γ的位置关系如何？
思考5:若 // ，平面α、β分别与平面
c
a // b c b //
b
线面平行 线线平行 线面平判行定定理
练习：判断下列命题是否正确？
(1)若直线a与平面平行，则a与内任
何直线平行．
()
(2)若直线a、b都和平面平行，则a与b平行．
()
(3)若直线a和平面, 都平行，则与平行．
()
(4)若平面外的两条平行直线中的一条平行
于这个平面，则另一条也平行于这个平面．
性质3：夹在两个平行平面间的平行线段相等． 性质4：经过平面外一点只有一个平面和已知平
面平行 性质5：平行于同一平面的两平面平行
课堂小结
一、判定线线平行的方法
（1）利用定义：证明线线共面，且无公共点 （2）利用平行公理：两条直线同时平行于第三条直线
（3）利用线面平行的性质定理：a / /, a , b a / /b （4）利用面面平行的性质定理： / /, a =a, b a / /b
a
a
α
α
若直线a∥平面α,过直线a作平面β使它与 平面α相交,设α∩β=b,则a与b的位置关系如 何?为什么?
β
a
α
b
试用文字语言将上述原理表述成一个 命题.
高中数学人教A版必修二 2.2.3 直线与平面平行的性质2.2.4 平面与平面平行的性质 课件(53张)
【证明】 如右图，连接 AC 交 BD 于 O，连 接 MO，
∵ABCD 是平行四边形，∴O 是 AC 中点， 又 M 是 PC 的中点，∴AP∥OM.
根据直线和平面平行的判定定理， ∴PA∥平面 BMD. ∵平面 PAHG∩平面 BMD＝GH， 根据直线和平面平行的性质定理， ∴PA∥GH.
1．面面平行的其他性质： (1)两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平 面，即 αa⊂∥αβ ⇒a∥β，可用来证明线面平行； (2)夹在两平行平面间的平行线段相等；
(3)平行于同一平面的两个平面平行(平面平行的传递性) 即 αγ∥∥ββ⇒α∥γ. (4)一条直线与平行平面中的一个相交，与另一个也相交．
课后巩固
1.如图所示，在四面体 ABCD 中，截面 PQMN 是正方形， 则在下列命题中，错误的为( )
A．AC⊥BD B．AC∥截面 PQMN C．AC＝BD D．异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45°
答案 C 解析 由 PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，可得 AC⊥BD. 故 A 正确；PQ∥AC 可得 AC∥截面 PQMN，故 B 正确；异面直 线 PM 与 BD 所成的角等于 PM 与 PN 所成的角，故 D 正确；综 上 C 是错误的，故选 C.
例 2 如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线 和它们的交线平行．
已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β. 求证：a∥l. 【思路分析】 解答本题可先利用线面平行的性质，转化为线 线平行再利用平行公理证明．
【证明】 方法一：如图①所示，过 a 作平面 γ 交平面 α 于 b，
高中数学人教版必修2教案：第2章 2.2.3 直线与平面平行的性质+2.2.4 平面与平面平行的性质含答案
2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质1．理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义．(重点)2．能用三种语言准确描述直线与平面、平面与平面平行的性质定理．(重点) 3．能用直线与平面、平面与平面平行的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题．(难点)[基础·初探]教材整理1直线与平面平行的性质定理阅读教材P58～P59“例3”以上的内容，完成下列问题．自然语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行．()(2)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点．()(3)过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行．()(4)如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．()【解析】由线面平行的性质定理知(1)(4)正确；由直线与平面平行的定义知(2)正确；因为经过一点可作一条直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面，故(3)错．【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√教材整理2平面与平面平行的性质定理阅读教材P60“思考”以下至P61“练习”以上的内容，完成下列问题．自然语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定【解析】由面面平行的性质定理可知a∥b.【答案】 A[小组合作型]线面平行性质定理的应用面为平行四边形，求证：AB∥平面EFGH.图2-2-15【精彩点拨】要证明AB∥平面EFGH，只需证AB平行于平面EFGH内的某一条直线，由于EFGH是平行四边形，可利用其对边平行的特点，达到证题的目的．【自主解答】∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD.∵EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD＝AB，∴EF∥AB.∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行.应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.[再练一题]1．如图2-2-16，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过AA1作一平面交平面BCC1B1于EE1.求证：AA1∥EE1.图2-2-16【证明】在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1∥BB1，∵AA1⊄平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，∴AA1∥平面BCC1B1.∵AA1⊂平面AEE1A1，平面AEE1A1∩平面BCC1B1＝EE1，∴AA1∥EE1.面面平行性质定理的应用α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.图2-2-17(1)求证：AC∥BD；(2)已知P A＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长.【精彩点拨】(1)利用面面平行的性质定理直接证明即可．(2)利用平行线分线段成比例定理可求得PD.【自主解答】(1)证明：∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，∴P AAB＝PCCD，∴45＝3CD，∴CD＝154，∴PD ＝PC ＋CD ＝274.1．利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤：(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；(4)由性质定理得出线线平行．2．应用面面平行的性质定理时，往往需要“作”或“找”辅助平面，但辅助平面不可乱作，要想办法与其他已知量联系起来．[再练一题]2．如图2-2-18，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．图2-2-18【证明】 因为平面AB 1M ∥平面BC 1N ，平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ，平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ，所以C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1，所以四边形ANC 1M 为平行四边形， 所以AN ∥C 1M 且AN ＝C 1M ， 又C 1M ＝12A 1C 1，A 1C 1＝AC ，所以AN ＝12AC ，所以N 为AC 的中点．[探究共研型]平行关系的综合应用探究1 【提示】 应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，而且证明与平行有关的问题时，要与公理4等结合起来使用，扩大应用的范畴．探究2面面平行的判定定理与性质定理各有什么作用？【提示】两个平面平行的判定定理与性质定理的作用，关键都集中在“平行”二字上．判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平行”；性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”．前者给出了判定两个平面平行的一种方法；后者给出了判定两条直线平行的一种方法．探究3你能总结一下线线平行与线面平行、面面平行之间的转化关系吗？【提示】三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：如图2-2-19，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.图2-2-19【精彩点拨】用判定定理证明较困难，可通过证明过MN的平面与平面AA1B1B平行，得到MN∥平面AA1B1B.【自主解答】如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，∵MP∥BB1，∴CMMB1＝CPPB.∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN，∴CMMB1＝DNNB，∴CPPB＝DNNB，∴NP∥CD∥AB.∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B.∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，∴MP∥平面AA1B1B.又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.1．三种平行关系的转化要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．2．面面平行的性质定理的几个推论(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两平行平面间的平行线段相等．(3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．[再练一题]3．如图2-2-20，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.图2-2-20【证明】因为F为AB的中点，所以AB＝2AF.又因为AB＝2CD，所以CD＝AF.因为AB∥CD，所以CD∥AF，所以AFCD为平行四边形．所以FC∥AD.又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1.因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确命题是()图2-2-21A．AE⊥CGB．AE与CG是异面直线C．四边形AEC1F是正方形D．AE∥平面BC1F【解析】由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AE⊥CG 不成立；由于EG∥A1C1∥AC，故A，E，G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC1F是正方形错误；由于AE∥C1F，由线面平行的判定定理，可得AE∥平面BC1F.故选D.【答案】 D2．如图2-2-22，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN ∥平面P AD，则()图2-2-22A．MN∥PDB．MN∥P AC．MN∥ADD．以上均有可能B[∵MN∥平面P AD，平面P AC∩平面P AD＝P A，MN⊂平面P AC，∴MN ∥P A.]3．已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是________.【解析】由直线与平面平行的性质定理知l∥m.【答案】平行4．过两平行平面α，β外的点P的两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若P A＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为________．【解析】两条直线AB与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC∥BD，所以P APB＝ACBD，又P A＝6，AC＝9，PB＝8，故BD＝12.【答案】125．如图2-2-23，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α.求证：CD∥EF.图2-2-23【证明】因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，所以AB∥CD.同理可证AB∥EF，所以CD∥EF.学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a 平行的()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有【解析】过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条，也可能是．故选B.【答案】 B2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.【答案】 C3．下列命题中不正确的是()A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线【解析】选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A.【答案】 A4．如图2-2-24，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是()图2-2-24A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，又∵EF∥AB，∴GH∥AB，∴选A.【答案】 A5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C()A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面【解析】无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．【答案】 D二、填空题6．如图2-2-25，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．图2-2-25【解析】因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又点E为AD的中点，点F在CD上，所以点F是CD的中点，所以EF＝12AC＝ 2.【答案】 27．如图2-2-26所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB、AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.图2-2-26【解析】EF可看成直线a与点A确定的平面与平面α的交线，∵a∥α，由线面平行的性质定理知，BC∥EF，由条件知AC＝AF＋CF＝3＋5＝8.又EFBC＝AFAC，∴EF＝AF×BCAC＝3×48＝32.【答案】3 2三、解答题8．如图2-2-27所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE为梯形．图2-2-27【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面APD，BC⊄平面APD，∴BC∥平面APD.又平面BCFE∩平面APD＝EF，∴BC∥EF，∴AD∥EF.又E，F是△APD边上的点，∴EF≠AD，∴EF≠BC.∴四边形BCFE是梯形．9．如图2-2-28，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且AMSM＝DNNB，求证：MN∥平面SBC.图2-2-28【证明】在AB上取一点P，使APBP＝AMSM，连接MP，NP，则MP∥SB.∵SB⊂平面SBC，MP⊄平面SBC，∴MP∥平面SBC.又AMSM＝DNNB，∴APBP＝DNNB，∴NP∥AD.∵AD∥BC，∴NP∥BC.又BC⊂平面SBC，NP⊄平面SBC，∴NP∥平面SBC.又MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面SBC，而MN⊂平面MNP，∴MN∥平面SBC.[能力提升]10．对于直线m、n和平面α，下列命题中正确的是()A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n【解析】对于A，如图(1)所示，此时n与α相交，故A不正确；对于B，如图(2)所示，此时m，n是异面直线，而n与α平行，故B不正确；对于D，如图(3)所示，m与n相交，故D不正确．故选C.图(1)图(2)图(3)【答案】 C11．如图2-2-29，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF.图2-2-29【解】如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ ∥AE.因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB ∥EF.又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.。
高一数学必修二2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质导学案(解析版)
2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质一、课标解读1、掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；2、学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。
3、进一步提高学生空间想象能力、思维能力；二、自学导引问题1:在直线与平面平行的条件下可以得到什么结论？并用文字语言表述之.问题2:上述定理通常称为直线与平面平行的性质定理，该定理用符号语言可怎样表述？问题3:直线与平面平行的性质定理可简述为“线面平行，则线线平行”，在实际应用中它有何功能作用？问题4：平面与平面平行的性质定理：问题5：符号语言表述：问题6：面与面平行的性质定理有何作用？三、合作探究探究1:如果直线a 与平面α平行，那么直线a 与平面α内的直线有哪些位置关系？探究2:若直线a 与平面α平行，那么在平面α内与直线a 平行的直线有多少条？这些直线的位置关系如何？探究3:如果直线a 与平面α平行，那么经过平面α内一点P 且与直线a 平行的直线怎样定位？探究4：如果α∥β，,,βα⊂⊂b a 则直线a 与直线b 的位置关系如何？四、典例精析例1 如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行.已知：βαβα//,//,a a l =求证：l a //变式训练1 已知,,321l l l ===γβγαβα ，1l ∥2l .求证:3l ∥1l ,3l ∥2l例2.如图所示,三棱椎BCD A -被一平面所截,截面为平行四边形EFGH .求证:CD ∥平面EFGH变式训练2 在长方体1111ABCD A BC D -中,点重合）不与11,(B B BBP ∈M BA PA =1 N BC PC =1 ,求证：MN ∥平面AC例 3 已知N M CD AB ,,之间的线段，，是夹在两个平行平面βα分别为CD AB ,的中点.求证：MN ∥α变式训练3 如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，P N M ,,分别为11111,,B A D B B A上的点，若311111==BA BM D B N B ,又PN ∥11D A ，求证：MN ∥平面11BCC B例4 如图所示，已知的分别是所在平面外一点，是平行四边形PC AB N M ABCD P ,,中点，平面l PBC PAD =平面 .（1） 求证：l ∥BC（2） MN 与平面PAD 是否平行？证明你的结论.五、自主反馈 1．平面α∩平面β＝a ，平面β∩平面γ＝b ，平面γ∩平面a ＝c ，若a ∥b ，则c 与a ，b的位置关系是（ ）A ．c 与a ，b 都异面B ．c 与a ，b 都相交C ．c 至少与a ，b 中的一条相交D ．c 与a ，b 都平行2．如果两个相交平面分别经过两条平行线中的一条，那么它们的交线和这两条平行线的位置关系是（ ）A ．都平行B ．都相交C ．一个相交，一个平行D ．都异面 3．对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是A ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//nB ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交C ．如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //D ．如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m //4．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ∥α，m ∥β，则α∥β；③若α∩β=n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β；其中真命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．35．A 、B 是不在直线l 上的两点，则过点A 、B 且与直线l 平行的平面的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．以上三种情况均有可能 6 用一个平面去截正方体，所得的截面可能是______________________________；7．三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线的位置关系为__________；8. 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，∠A ＝60°，G 是重心，过G 的平面α与BC 平行，AB ∩α＝M ，AC ∩α＝N ，则MN ___________；9. P 是边长为8的正方形ABCD 所在平面外的一点，且PA ＝PB ＝PC ＝PD ＝8，M 、N 分别在PA 、BD 上，且53＝＝ND BN MA PM ，则MN ＝_________； 答案2.2.3 直线与平面平行的性质2.2.4 平面与平面平行的性质例1 证明：过b a 于交作平面αγb a a //,//∴α，于交平面作平面过c βδα βββ⊂⊄∴c b c b c a a ,,//,//,//又l a l b l b b //,//,,,//∴∴=⊂∴βααβ 又例2 略例3 证明：情形一：若ABCD CD AB 在同一平面内，则平面, BD AC BD AC //,//,,∴βαβα 的交线为，与BD MN CD AB N M //,,∴的中点，为又αα平面平面又//,MN BD ∴⊂P AE E CD AE A CD AB 中点，取于交作异面，过情形二：若α//, 连接AEDC CD AE CD AE ED BE PN MP 确定平面,,//,,,,∴ 且平面AC ED AEDC ,的交线为，与βα的中点分别为又CD AE N P ED AC ,,,//,//∴βααα//,//,//,//MP BE MP PN ED PN ∴∴∴同理可证 αα//,,//MN MPN MN MPN ∴⊂∴平面又平面例4 证明：（1）PAD AD PAD BC AD BC 平面平面⊂⊄,,// l PAD PBC PAD BC =∴平面平面，又平面 //l BC //∴（2）平行证明：取NE AE E PD ,,连接的中点AM NE AM NE =且可得,//是平行四边形可知四边形AMNEPAD MN AE MN 平面//,//∴∴变式训练1.略2.证明：M BA PA AA BB BA B A =11111,// 且中，在平面 1111,,CC PB MA PM CC AA AA PB MA PM =∴==∴又 ① N BC PC CC BB BCC B =11111,// 且中，在平面1CC PB NC PN =∴ ② 由①②得AC MN NC PN MA PM //,∴=AC MN AC AC AC MN 平面，平面平面//,∴⊂⊄3．证明：31,31,//11111111==A B P B D B N B D A PN 得由 ,//,3111BB PM BA BM ∴=又 11111,BCC B BB BCC B PM 平面平面又⊂⊄ 11111111//,////C B D A D A PN BCC B PM ，又平面∴ 111111//,C B PN BCC B C B ∴⊂平面1111//BCC B PN BCC B PN 平面，平面又∴⊄ 11//,BCC B PMN P PN PM 平面平面又∴= 11//,BCC B MN PMN MN 平面平面∴⊂ 自主反馈答案1.D2.A3.C4.A5.D6. 3,4,5,6边形7. 平行或交于一点 8.3392 9. 19。
高中数学人教A版(浙江专版)必修讲学案第二章 直线、平面平行的判定及其性质
直线、平面平行的判定及其性质2．2.1&2.2.2 直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定预习课本P54～57，思考并完成以下问题 1．线面平行的判定定理是什么？2．判定线面平行的方法有哪些？ 3．面面平行的判定定理是什么？ 4．判定面面平行的方法有哪些？[新知初探]1．直线与平面平行的判定 表示 定理 图形 文字符号直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内一直线平行，则该直线与此平面平行Error!⇒a ∥α[点睛] 用该定理判断直线a 和平面α平行时，必须同时具备三个条件： (1)直线a 在平面α外，即a ⊄α； (2)直线b 在平面α内，即b ⊂α；(3)两直线a ，b 平行，即a ∥b . 2．平面与平面平行的判定表示 位置 图形文字符号平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行Error!⇒α∥β[点睛] (1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线l 上有两点到平面α的距离相等，则l ∥平面α( ) (2)若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线平行( )(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．能保证直线a 与平面α平行的条件是( ) A ．b ⊂α，a ∥bB ．b ⊂α，c ∥α，a ∥b ，a ∥cC ．b ⊂α，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，且AC ∥BD D ．a⊄α，b ⊂α，a ∥b解析：选D 由线面平行的判定定理可知，D 正确．3．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是( )A ．一定平行B ．一定相交C ．平行或相交D ．以上判断都不对解析：选C 可借助于长方体判断两平面对应平行或相交．直线与平面平行的判定[典例] 如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是BC ，CC 1，BB 1的中点，求证：EF ∥平面AD 1G .[证明] 连接BC 1，则由E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，知EF ∥BC 1. 又AB 綊A 1B 1綊D 1C 1，所以四边形ABC 1D 1是平行四边形， 所以BC 1∥AD 1，所以EF ∥AD 1.又EF ⊄平面AD 1G ，AD 1⊂平面AD 1G ， 所以EF ∥平面AD 1G .利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等． [活学活用] 已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不同在一个平面内，P ，Q 分别是对角线AE ，BD 上的点，且AP ＝DQ .求证：PQ ∥平面CBE .证明：如图，作PM ∥AB 交BE 于点M ，作QN ∥AB 交BC 于点N ，连接MN ，则PM ∥QN ，＝，＝. PMAB EP EA QN CD BQBD∵EA ＝BD ，AP ＝DQ ，∴EP ＝BQ . 又∵AB ＝CD ，∴PM 綊QN ，∴四边形PMNQ 是平行四边形，∴PQ ∥MN . 又∵PQ ⊄平面CBE ，MN ⊂平面CBE ， ∴PQ ∥平面CBE .平面与平面平行的判定[典例] 已知，点P 是△ABC 所在平面外一点，点A ′，B ′，C ′分别是△PBC ，△PAC ，△PAB 的重心．(1)求证：平面A ′B ′C ′∥平面ABC . (2)求A ′B ′∶AB 的值．[解] (1)证明：如图，连接PA ′，并延长交BC 于点M ，连接PB ′，并延长交AC 于点N ，连接PC ′，并延长交AB 于点Q ，连接MN ，NQ .∵A ′，B ′，C ′分别是△PBC ，△PAC ，△PAB 的重心， ∴M ，N ，Q 分别是△ABC 的边BC ，AC ，AB 的中点，且＝PA ′A ′M PB ′B ′N＝2，∴A ′B ′∥MN .同理可得B ′C ′∥NQ .∵A ′B ′∥MN ，MN ⊂平面ABC ，A ′B ′⊄平面ABC ， ∴A ′B ′∥平面ABC .同理可证B ′C ′∥平面ABC .又∵A ′B ′∩B ′C ′＝B ′，A ′B ′⊂平面A ′B ′C ′，B ′C ′⊂平面A ′B ′C ′， ∴平面A ′B ′C ′∥平面ABC . (2)由(1)知A ′B ′∥MN ，且＝＝， A ′B ′MN PA ′PM 23即A ′B ′＝MN .23∵M ，N 分别是BC ，AC 的中点，∴MN ＝AB .12∴A ′B ′＝MN ＝×AB ＝AB ，23231213∴＝，即A ′B ′∶AB 的值为. A ′B ′AB1313两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法．解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行． [活学活用]如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点． 求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EFA 1∥平面BCHG .证明：(1)∵GH 是△A 1B 1C 1的中位线， ∴GH ∥B 1C 1.又B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ， ∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC . ∵EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ， ∴EF ∥平面BCHG .∵A 1G 綊EB ，∴四边形A 1EBG 是平行四边形， ∴A 1E ∥GB .∵A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG ， ∴A 1E ∥平面BCHG .∵A 1E ∩EF ＝E ，∴平面EFA 1∥平面BCHG .平行中探索存在性问题[典例] 在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．[解] 如图，取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点．由已知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线， 所以MD 綊AC ，OE 綊AC ，1212因此MD 綊OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO . 因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ， 所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .平行中探索存在性问题的判定是高考的常考内容，多出现在解答题中．证明线面平行的关键是找线线平行，注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系，当题目中有中点时，一般考虑先探索中点，再用中位线定理找平行关系． [活学活用] 如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为CC 1，C 1D 1，DD 1，CD 的中点．N 为BC 的中点．试在E ，F ，G ，H 四个点中找两个点，使这两个点与点N 确定一个平面α，且平面α∥平面BB 1D 1D .解：由面面平行的判定定理，若使平面α∥平面BB 1D 1D ，只需在平面α内有两条相交直线平行于平面BB 1D 1D ，或在平面α内有两条相交直线平行于平面BB 1D 1D 内的两条相交直线即可．连接HN ，HF ，NF ，易知HN ∥BD ，HF ∥DD 1，所以平面NHF ∥平面BB 1D 1D ，即在E ，F ，G ，H 四个点中，由H ，F 两点与点N 确定的平面α满足条件．层级一 学业水平达标1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是( )A．直线m在平面α外B．直线m与平面α内的两条直线平行C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行D．直线m与平面α内的一条直线平行解析：选C 选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项B与D不符合题意，因为缺少条件m⊄α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m 与平面α平行，故选项C符合题意．2．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是( )A．平面α内有一条直线与平面β平行B．平面α内有两条直线与平面β平行C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行D．平面α与平面β不相交解析：选D 选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.3．在三棱锥ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是( )A．平行 B．相交C．直线AC在平面DEF内D．不能确定解析：选A ∵AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，∴EF∥AC.又EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF.4．已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是( )A．平行B．相交C．平行或相交D．以上都不对解析：选C 根据图1和图2可知α与β平行或相交．5．如图，下列正三棱柱ABCA1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是( )解析：选C 在图A、B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP.故选C.6．已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m⊂α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l⊄α”．答案：l⊄α7．已知A，B两点是平面α外两点，则过A，B与α平行的平面有________个．解析：当A，B两点在平面α异侧时，不存在这样的平面．当A，B两点在平面同侧时，若直线AB∥α，则存在一个，否则不存在．答案：0或18.如图，在五面体FEABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．解析：∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE.答案：平行9．如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P∉平面ABCD.求证：平面PAB∥平面EFG.证明：∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD，又∵CD∥AB，∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB.同理可证EG∥平面PAB.又∵EF∩EG＝E，∴平面PAB∥平面EFG.10．已知正方形ABCD，如图(1)E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，求证：BF∥平面ADE.证明：∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD.又∵EB∥FD，∴四边形EBFD为平行四边形，∴BF∥ED.∵DE⊂平面ADE，而BF⊄平面ADE，∴BF∥平面ADE.层级二 应试能力达标1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交解析：选B 若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l⊄α，故l∥α，这与题意矛盾．2．在正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G解析：选A 画出相应的截面如图所示，即可得答案．3．已知P是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1上任意一点(不是端点)，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的有( )A．3个 B．6个C．9个D．12个解析：选A 因为棱AB在平面ABP内，所以只要与棱AB平行的棱都满足题意，即A1B1，D1C1，DC.4．A，B是直线l外的两点，过A，B且和l平行的平面有( )A．0个B．1个C．无数个D．以上都有可能解析：选D 若AB与l平行，则和l平行的平面有无数个；若AB与l相交，则和l平行的平面没有；若AB与l异面，则和l平行的平面有一个．5．已知三棱柱ABCA1B1C1，D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．解析：∵D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，∴在平行四边形AA1B1B与平行四边形BB1C1C中，DE∥AB，EF∥BC，∴DE∥平面ABC，EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，∴平面DEF∥平面ABC.答案：平行6.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②直线PA∥平面BDG；③直线EF∥平面PBC；④直线EF∥平面BDG.其中正确的序号是________．解析：作出立体图形，可知平面EFGH∥平面ABCD；PA∥平面BDG；EF∥HG，所以EF∥平面PBC；直线EF与平面BDG不平行．答案：①②③7.如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC 和SC 的中点．求证：平面EFG ∥平面BDD 1B 1.证明：如图所示，连接SB ，SD ， ∵F ，G 分别是DC ，SC 的中点， ∴FG ∥SD .又∵SD ⊂平面BDD 1B 1，FG ⊄平面BDD 1B 1，∴FG ∥平面BDD 1B 1.同理可证EG ∥平面BDD 1B 1， 又∵EG ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，EG ∩FG ＝G ， ∴平面EFG ∥平面BDD 1B 1.8.如图，已知底面是平行四边形的四棱锥P ABCD ，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？若存在，请证明你的结论，并说出点F 的位置；若不存在，请说明理由．解：当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC .证明如下：取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE .因为FM ⊄平面AEC ， EC ⊂平面AEC ， 所以FM ∥平面AEC .由EM ＝PE ＝ED ，得E 为MD 的中点，连接BM ，BD ，12设BD ∩AC ＝O ，则O 为BD 的中点． 连接OE ，则BM ∥OE .因为BM ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ， 所以BM ∥平面AEC .又因为FM ⊂平面BFM ，BM ⊂平面BFM ，FM ∩BM ＝M ， 所以平面BFM ∥平面AEC ，所以平面BFM 内的任何直线与平面AEC 均没有公共点． 又BF ⊂平面BFM ，所以BF 与平面AEC 没有公共点， 所以BF ∥平面AEC .2．2.3&2.2.4 直线与平面平行的性质、平面与平面平行的性质预习课本P58～61，思考并完成以下问题1．直线与平面平行的性质(1)文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．(2)图形语言：(3)符号语言：Error!⇒a∥b.[点睛] 定理中有三个条件：①直线a和平面α平行，即a∥α；②直线a在平面β内，即a⊂β；③平面α，β相交，即α∩β＝b.三个条件缺一不可．2．平面与平面平行的性质(1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．(2)图形语言：(3)符号语言：Error!⇒a∥b.[点睛] (1)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．(2)该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α( )(2)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点( )(3)若α∥β，则平面α内有无数条互相平行的直线平行于平面β( )答案：(1)× (2)√ (3)√2．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )A．平行 B．平行或异面C．平行或相交D．异面或相交解析：选B 由题意，CD∥α，则平面α内的直线与CD可能平行，也可能异面．3．过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．解析：由于平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1，平面ABCD∩平面A1C1B＝l，所以l∥A1C1.答案：平行线面平行性质的应用[典例] 如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.[证明] 如图，连接AC，交BD于点O，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是AC的中点．又∵点M是PC的中点，∴AP∥OM.又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.∵平面PAHG∩平面BDM＝GH，AP⊂平面PAHG，∴AP∥GH.线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行．利用线面平行的性质定理解题的具体步骤：(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面；(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面；(3)确定交线；(4)由性质定理得出线线平行的结论． [活学活用] 如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．证明：∵AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN.又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.同理可证NP∥MQ.∴四边形MNPQ为平行四边形.面面平行性质的应用[典例] 如图所示，已知三棱柱ABCA′B′C′中，D是BC的中点，D′是B′C′的中点，设平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面ADC′∩平面A′B′C′＝b，判断直线a，b的位置关系，并证明．[解] 直线a，b的位置关系是平行．∵平面ABC∥平面A′B′C′，平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面A′D′B∩平面A′B′C′＝A′D′，∴A′D′∥a，同理可得AD∥b.又D是BC的中点，D′是B′C′的中点，∴DD′綊BB′，而BB′綊AA′，∴DD′綊AA′，∴四边形AA′D′D为平行四边形，∴A′D′∥AD，因此a∥b.利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条； (2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)； (3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上； (4)由定理得出结论． [活学活用] 如图，平面α∥平面β，AB ，CD 是两异面直线，且A ，C ∈β，B ，C ∈α，M ，N 分别在线段AB ，CD 上，且＝.求证：MN ∥α. AM MB CNND证明：如图，过点A 作AE ∥CD ，AE ∩α＝E ，连接BE ，在平面ABE 内作MP ∥BE ，MP 交AE 于P ，连接NP ，DE ，则＝. AM MB APPE∵＝，∴＝. AM MB CN ND AP PE CNND∵平面α∥平面β，平面ACDE ∩α＝ED ， 平面ACDE ∩β＝AC ， ∴AC ∥ED ，∴PN ∥ED . ∵PN ⊄α，ED ⊂α，∴PN ∥α.∵PM ∥BE ，PM ⊄α，BE ⊂α，∴PM ∥α. 又PM ∩PN ＝P ， ∴平面PMN ∥平面α. ∵MN ⊂平面PMN ，∴MN ∥α.平行关系的综合应用[典例] 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，如图． (1)求证：平面AB 1D 1∥平面C 1BD ；(2)试找出体对角线A 1C 与平面AB 1D 1和平面C 1BD 的交点E ，F ，并证明：A 1E ＝EF ＝FC .[证明] (1)因为在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AD 綊B 1C 1， 所以四边形AB 1C 1D 是平行四边形，所以AB 1∥C 1D . 又因为C 1D ⊂平面C 1BD ，AB 1⊄平面C 1BD . 所以AB 1∥平面C 1BD . 同理B 1D 1∥平面C 1BD .又因为AB 1∩B 1D 1＝B 1，AB 1⊂平面AB 1D 1，B 1D 1⊂平面AB 1D 1，所以平面AB 1D 1∥平面C 1BD .(2)如图，连接A1C 1交B 1D 1于点O 1，连接AO 1与A 1C 交于点E . 又因为AO 1⊂平面AB 1D 1，所以点E 也在平面AB 1D 1内， 所以点E 就是A 1C 与平面AB 1D 1的交点；连接AC 交BD 于O ，连接C 1O 与A 1C 交于点F ，则点F 就是A 1C 与平面C 1BD 的交点．下面证明A 1E ＝EF ＝FC .因为平面A 1C 1C ∩平面AB 1D 1＝EO 1， 平面A 1C 1C ∩平面C 1BD ＝C 1F ，平面AB 1D 1∥平面C 1BD ，所以EO 1∥C 1F .在△A 1C 1F 中，O 1是A 1C 1的中点，所以E 是A 1F 的中点，即A 1E ＝EF ； 同理可证OF ∥AE ，所以F 是CE 的中点， 即CF ＝FE ， 所以A 1E ＝EF ＝FC .(1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．(2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法． [活学活用] 如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM ＝DN .求证：MN ∥平面AA 1B 1B .证明：如图，作MP ∥BB 1交BC 于点P ，连接NP ， ∵MP ∥BB 1，∴＝. CM MB 1CP PB∵BD ＝B 1C ，DN ＝CM ， ∴B 1M ＝BN ， ∴＝， CM MB 1DNNB∴＝， CP PB DN NB∴NP ∥CD ∥AB .∵NP ⊄平面AA 1B 1B ，AB ⊂平面AA 1B 1B ， ∴NP ∥平面AA 1B 1B .∵MP ∥BB 1，MP ⊄平面AA 1B 1B ，BB 1⊂平面AA 1B 1B ， ∴MP ∥平面AA 1B 1B .又∵MP ⊂平面MNP ，NP ⊂平面MNP ，MP ∩NP ＝P ， ∴平面MNP ∥平面AA 1B 1B . ∵MN ⊂平面MNP ， ∴MN ∥平面AA 1B 1B .层级一 学业水平达标1．若直线l ∥平面α，则过l 作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a ，b ，c ，…，那么这些交线的位置关系为( )A ．都平行B ．都相交且一定交于同一点C ．都相交但不一定交于同一点D ．都平行或交于同一点解析：选A 因为直线l ∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l ∥a ，l ∥b ，l ∥c ，…，所以a ∥b ∥c ∥…，故选A.2.如图，已知S 为四边形ABCD 外一点，G ，H 分别为SB ，BD 上的点，若GH ∥平面SCD ，则( )A ．GH ∥SAB ．GH ∥SDC ．GH ∥SCD ．以上均有可能解析：选B 因为GH ∥平面SCD ，GH ⊂平面SBD ，平面SBD ∩平面SCD ＝SD ，所以GH ∥SD ，显然GH 与SA ，SC 均不平行，故选B.3．在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，当BD ∥平面EFGH 时，下列结论中正确的是( )A ．E ，F ，G ，H 一定是各边的中点B ．G ，H 一定是CD ，DA 的中点C ．BE ∶EA ＝BF ∶FC ，且DH ∶HA ＝DG ∶GCD ．AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC解析：选D 由于BD ∥平面EFGH ，由线面平行的性质定理，有BD ∥EH ，BD ∥FG ，则AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC .4．已知a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出四个命题： ①Error!⇒α∥β； ②Error!⇒α∥β； ③Error!⇒a ∥α； ④Error!⇒a ∥β.其中正确的命题是( ) A ．①②③ B ．①④ C ．②D ．①③④ 解析：选C ①α与β有可能相交；②正确；③有可能a ⊂α；④有可能a ⊂β.故选C.5．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C 两点，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D 两点，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或 245C ．14D ．20解析：选B 由α∥β得AB ∥CD .分两种情况：若点P 在α，β的同侧，则＝，∴PB PA PC PBPD＝，∴BD ＝；若点P 在α，β之间，则有＝，∴PB ＝16，∴BD ＝24. 165245PA PC PBPD 6.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：∵在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2.又E 为AD 的中点，EF ∥平2面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 的中点，∴EF ＝AC ＝.122答案：27．过三棱柱ABC A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．解析：记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，E 1F 1，EE 1，FF 1，E 1F ，EF 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共有6条．答案：68．已知a ，b 表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题： ①若α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，且a ∥b ，则α∥β；②若a ，b 相交且都在α，β外，a ∥α，b ∥β，则α∥β； ③若a ∥α，a ∥β，则α∥β； ④若a ⊂α，a ∥β，α∩β＝b ，则a ∥b . 其中正确命题的序号是________．解析：①错误，α与β也可能相交；②正确，设a ，b 确定的平面为γ，依题意，得γ∥α，γ∥β，故α∥β；③错误，α与β也可能相交；④正确，由线面平行的性质定理可知．答案：②④9.如图，S 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是SA ，B D 上的点，且＝，AM SM DNNB求证：MN ∥平面SBC .证明：在AB 上取一点P ，使＝，连接MP ，NP ，则MP ∥SB . AP BP AMSM∵SB ⊂平面SBC ，MP ⊄平面SBC ，∴MP ∥平面SBC .又＝，∴＝，∴NP ∥AD . AM SM DN NB AP BP DNNB∵AD ∥BC ，∴NP ∥BC .又BC ⊂平面SBC ，NP ⊄平面SBC ， ∴NP ∥平面SBC . 又MP ∩NP ＝P ，∴平面MNP ∥平面SBC ，而MN ⊂平面MNP ， ∴MN ∥平面SBC .10.如图所示，四边形ABCD 是矩形，P ∉平面ABCD ，过BC 作平面BCFE 交AP 于点E ，交DP 于点F ，求证：四边形BCFE 为梯形．证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴BC ∥AD .∵AD ⊂平面APD ，BC ⊄平面APD ， ∴BC ∥平面APD .又平面BCFE ∩平面APD ＝EF ， ∴BC ∥EF ，∴AD ∥EF .又E，F是△APD边上的点，∴EF≠AD，∴EF≠BC.∴四边形BCFE是梯形．层级二 应试能力达标1．已知平面α，β，直线a，b，c，若a⊂α，b⊂α，c⊂α，a∥b∥c，且a∥β，b∥β，c∥β，则平面α与β的位置关系是( )A．平行 B．相交C．平行或相交D．以上都不对解析：选C 由题意可知，平面α内不一定有两条相交直线与平面β平行，所以平面α与β有可能平行，也有可能相交．2．已知直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则( )A．a∥b B．a与b异面C．a与b相交D．a与b无公共点解析：选D 由题意可知直线a与平面α无公共点，所以a与b平行或异面，所以两者无公共点．3．已知平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．平行或异面解析：选D ∵平面α∥平面β，∴平面α与平面β没有公共点．∵a⊂α，b⊂β，∴直线a，b 没有公共点，∴直线a，b的位置关系是平行或异面．α分别交线段PA，PB，4.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为( ) A．2∶5 B．3∶8C．4∶9 D．4∶25解析：选D ∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB.又∵PA′∶AA′＝2∶3，∴A′B′∶AB＝PA′∶PA＝2∶5.同理B′C′∶BC＝A′C′∶AC＝2∶5.∴△A′B′C′与△ABC相似，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.5.如图，四边形ABDC 是梯形，AB ∥CD ，且AB ∥平面α，M 是AC 的中点，BD 与平面α交于点N ，AB ＝4，CD ＝6，则MN ＝________.解析：∵AB ∥平面α，AB ⊂平面ABDC ，平面ABDC ∩平面α＝MN ，∴A B ∥MN .又M 是AC 的中点，∴MN 是梯形ABDC 的中位线，故MN ＝(AB ＋CD )＝5.12答案：56.如图，四边形ABCD 是空间四边形，E ，F ，G ，H 分别是四边上的点，它们共面，且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，则当四边形EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝________.解析：∵AC ∥平面EFGH ，∴EF ∥AC ，HG ∥AC ，∴EF ＝HG ＝BEABm .同理，EH ＝FG ＝n ，∴m ＝n ，∴AE ∶EB ＝m ∶n . AE AB BE AB AEAB答案：m ∶n7.如图，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q 分别是BC ，C 1D 1，AD 1，BD 的中点．(1)求证：PQ ∥平面DCC 1D 1； (2)求PQ 的长；(3)求证：EF ∥平面BB 1D 1D . 解：(1)证明：如图所示．连接AC ，CD 1，∵P ，Q 分别是AD 1，AC 的中点， ∴PQ ∥CD 1.又PQ ⊄平面DCC 1D 1， CD 1⊂平面DCC 1D 1， ∴PQ ∥平面DCC 1D 1.(2)由(1)易知PQ ＝D 1C ＝a .1222(3)证明：取B 1C 1的中点E 1，连接EE 1，FE 1，则有FE 1∥B 1D 1，EE 1∥BB 1，又FE 1∩EE 1＝E 1，B 1D 1∩BB 1＝B 1，∴平面EE 1F ∥平面BB 1D 1D .又EF ⊂平面EE 1F ，所以EF ∥平面BB 1D 1D .8.如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，- 21 - 点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2，若MB ∥平面AEF ，试判断点M 在何位置．解：若MB ∥平面AEF ，过F ，B ，M 作平面FBMN 交AE 于N ，连接MN ，NF .因为BF ∥平面AA 1C 1C ，BF ⊂平面FBMN ，平面FBMN ∩平面AA 1C 1C ＝MN ，所以BF ∥MN .又MB ∥平面AEF ，MB ⊂平面FBMN ，平面FBMN ∩平面AEF ＝FN ，所以MB ∥FN ，所以BFNM 是平行四边形，所以MN ∥BF ，MN ＝BF ＝1.而EC ∥FB ，EC ＝2FB ＝2，所以MN ∥EC ，MN ＝EC ＝1，12故MN 是△ACE 的中位线．所以M 是AC 的中点时，MB ∥平面AEF .。
课件9：2.2.3 直线与平面平行的性质~2.2.4 平面与平面平行的性质
4.如图，已知E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1B1、 CC1的中点，过D1、E、F作平面D1EGF交BB1于G.求证： EG∥D1F.
证明 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，因为平面ABB1A1∥ 平面DCC1D1，平面D1EGF∩平面ABB1A1＝EG，平面D1EGF∩ 平面DCC1D1＝D1F，∴EG∥D1F.
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【解析】由面面平行的性质定理知D正确. 【答案】D
3.过两平行平面α，β外的点P的两条直线AB与CD，它们分别 交α于A，C两点，交β于B，D两点，若PA＝6，AC＝9，PB ＝8，则BD的长为________.
【解析】两条直线 AB 与 CD 相交于 P 点，所以可以确定一 个平面，此平面与两平行平面 α，β 的交线 AC∥BD，所以PPAB ＝BADC，又 PA＝6，AC＝9，PB＝8，故 BD＝12. 【答案】12
[课堂小结] 1.三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：
2.证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想 性质，由求证想判定”，是分析和解决问题的一般思维方法， 而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段.
课堂达标
1.已知：α∩β＝b，a∥α，a∥β，则a与b的位置关系是( )
类型一 线面平行性质定理的应用 【例1】 求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么 这条直线和它们的交线平行. 解 已知直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β. 求证：a∥l. 证明：如图所示，过a作平面γ交平面α于b， ∵a∥α，∴a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c， ∵a∥β，∴a∥c.则b∥c.又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β. 又∵b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l.又∵a∥b，∴a∥l.
高中数学必修二教案-直线与平面平行的性质+平面与平面平行的性质
2.2.3 直线与平面平行的性质2.2.4 平面与平面平行的性质1．理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义．(重点)2．能用三种语言准确描述直线与平面、平面与平面平行的性质定理．(重点) 3．能用直线与平面、平面与平面平行的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题．(难点)[基础·初探]教材整理1 直线与平面平行的性质定理阅读教材P58～P59“例3”以上的内容，完成下列问题．自然语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行．( )(2)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点．( )(3)过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行．( )(4)如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．( )【解析】由线面平行的性质定理知(1)(4)正确；由直线与平面平行的定义知(2)正确；因为经过一点可作一条直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面，故(3)错．【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√教材整理2 平面与平面平行的性质定理阅读教材P60“思考”以下至P61“练习”以上的内容，完成下列问题．自然语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．不确定【解析】由面面平行的性质定理可知a∥b.【答案】 A[小组合作型]线面平行性质定理的应用如图2215，四边形EFGH是空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形，求证：AB∥平面EFGH.图2215【精彩点拨】要证明AB∥平面EFGH，只需证AB平行于平面EFGH内的某一条直线，由于EFGH是平行四边形，可利用其对边平行的特点，达到证题的目的．【自主解答】∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD.∵EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD＝AB，∴EF∥AB.∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行.应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.[再练一题]1．如图2216，在三棱柱ABCA1B1C1中，过AA1作一平面交平面BCC1B1于EE.1求证：AA1∥EE1.图2216【证明】在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1∥BB1，∵AA1⊄平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，∴AA1∥平面BCC1B1.∵AA1⊂平面AEE1A1，平面AEE1A1∩平面BCC1B1＝EE1，∴AA1∥EE1.面面平行性质定理的应用如图2217，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.图2217(1)求证：AC∥BD；(2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长.【精彩点拨】(1)利用面面平行的性质定理直接证明即可．(2)利用平行线分线段成比例定理可求得PD.【自主解答】(1)证明：∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，∴PAAB＝PCCD，∴45＝3CD，∴CD＝154，∴PD＝PC＋CD＝27 4.1．利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤：(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；(4)由性质定理得出线线平行．2．应用面面平行的性质定理时，往往需要“作”或“找”辅助平面，但辅助平面不可乱作，要想办法与其他已知量联系起来．[再练一题]2．如图2218，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.求证：N为AC的中点．图2218【证明】因为平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，所以C1N∥AM，又AC∥A1C1，所以四边形ANC1M为平行四边形，所以AN∥C1M且AN＝C1M，又C1M＝12A1C1，A1C1＝AC，所以AN＝12AC，所以N为AC的中点．[探究共研型]平行关系的综合应用探究1 应用线面平行性质定理有什么技巧？【提示】应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，而且证明与平行有关的问题时，要与公理4等结合起来使用，扩大应用的范畴．探究2 面面平行的判定定理与性质定理各有什么作用？【提示】两个平面平行的判定定理与性质定理的作用，关键都集中在“平行”二字上．判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平行”；性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”．前者给出了判定两个平面平行的一种方法；后者给出了判定两条直线平行的一种方法．探究3 你能总结一下线线平行与线面平行、面面平行之间的转化关系吗？【提示】三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：如图2219，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C 上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.图2219【精彩点拨】用判定定理证明较困难，可通过证明过MN的平面与平面AA1B1B平行，得到MN∥平面AA1B1B.【自主解答】如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，∵MP∥BB1，∴CMMB1＝CPPB.∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN，∴CMMB1＝DNNB，∴CPPB＝DNNB，∴NP∥CD∥AB.∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B.∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，∴MP∥平面AA1B1B.又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.1．三种平行关系的转化要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．2．面面平行的性质定理的几个推论(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两平行平面间的平行线段相等．(3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．[再练一题]3．如图2220，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点，证明：直线1EE∥平面FCC1.1图2220【证明】因为F为AB的中点，所以AB＝2AF.又因为AB＝2CD，所以CD＝AF.因为AB∥CD，所以CD∥AF，所以AFCD为平行四边形．所以FC∥AD.又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1.因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.1．正方体ABCDA 1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确命题是( )图2221A．AE⊥CGB．AE与CG是异面直线C．四边形AEC1F是正方形D．AE∥平面BC1F【解析】由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AE⊥CG不成立；由于EG∥A1C1∥AC，故A，E，G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC1F是正方形错误；由于AE ∥C 1F ，由线面平行的判定定理，可得AE ∥平面BC 1F .故选D.【答案】 D2．如图2222，四棱锥P ABCD 中，M ，N 分别为AC ，PC 上的点，且MN ∥平面PAD ，则( )图2222 A ．MN ∥PD B ．MN ∥PA C ．MN ∥AD D ．以上均有可能B [∵MN ∥平面PAD ，平面PAC ∩平面PAD ＝PA ，MN ⊂平面PAC ，∴MN ∥PA .] 3．已知直线l ∥平面α，l ⊂平面β，α∩β＝m ，则直线l ，m 的位置关系是________.【解析】 由直线与平面平行的性质定理知l ∥m . 【答案】 平行4．过两平行平面α，β外的点P 的两条直线AB 与CD ，它们分别交α于A ，C 两点，交β于B ，D 两点，若PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，则BD 的长为________．【解析】 两条直线AB 与CD 相交于P 点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC ∥BD ，所以PA PB ＝ACBD，又PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，故BD ＝12.【答案】 125．如图2223，α∩β＝CD ，α∩γ＝EF ，β∩γ＝AB ，AB ∥α.求证：CD ∥EF .图2223【证明】 因为AB ∥α，AB ⊂β，α∩β＝CD ，所以AB ∥CD . 同理可证AB ∥EF ， 所以CD ∥EF .学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的( )A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有【解析】过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条，也可能是．故选B.【答案】 B2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.【答案】 C3．下列命题中不正确的是( )A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线【解析】选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A.【答案】 A4．如图2224，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是( )图2224A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，又∵EF∥AB，∴GH∥AB，∴选A.【答案】 A5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C( )A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面【解析】无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．【答案】 D二、填空题6．如图2225，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F 在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．图2225【解析】因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又点E为AD的中点，点F在CD上，所以点F是CD的中点，所以EF＝12AC＝ 2.【答案】 27．如图2226所示，直线a ∥平面α，A ∉α，并且a 和A 位于平面α两侧，点B ，C ∈a ，AB 、AC 分别交平面α于点E ，F ，若BC ＝4，CF ＝5，AF ＝3，则EF ＝________.图2226【解析】 EF 可看成直线a 与点A 确定的平面与平面α的交线，∵a ∥α，由线面平行的性质定理知，BC ∥EF ，由条件知AC ＝AF ＋CF ＝3＋5＝8. 又EF BC ＝AF AC ，∴EF ＝AF ×BC AC ＝3×48＝32. 【答案】 32三、解答题8．如图2227所示，四边形ABCD 是矩形，P ∉平面ABCD ，过BC 作平面BCFE 交AP 于点E ，交DP 于点F ，求证：四边形BCFE 为梯形．图2227【证明】 ∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ∥AD .∵AD ⊂平面APD ，BC ⊄平面APD ，∴BC ∥平面APD .又平面BCFE ∩平面APD ＝EF ，∴BC ∥EF ，∴AD ∥EF .又E ，F 是△APD 边上的点，∴EF ≠AD ，∴EF ≠BC .∴四边形BCFE 是梯形．9．如图2228，S 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是SA ，BD 上的点，且AM SM ＝DN NB，求证：MN ∥平面SBC .图2228【证明】 在AB 上取一点P ，使APBP ＝AM SM，连接MP ，NP ，则MP ∥SB . ∵SB ⊂平面SBC ，MP ⊄平面SBC ，∴MP ∥平面SBC .又AMSM＝DNNB，∴APBP＝DNNB，∴NP∥AD.∵AD∥BC，∴NP∥BC.又BC⊂平面SBC，NP⊄平面SBC，∴NP∥平面SBC.又MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面SBC，而MN⊂平面MNP，∴MN∥平面SBC.[能力提升]10．对于直线m、n和平面α，下列命题中正确的是( )A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n【解析】对于A，如图(1)所示，此时n与α相交，故A不正确；对于B，如图(2)所示，此时m，n是异面直线，而n与α平行，故B不正确；对于D，如图(3)所示，m与n相交，故D不正确．故选C.图(1) 图(2) 图(3)【答案】 C11．如图2229，三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF.图2229【解】如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ∥AE.因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB∥EF.又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.。
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2.2.3 直线与平面平行的性质2.2.4 平面与平面平行的性质目标定位 1.证明并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理.2.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理.3.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题.自 主 预 习1.判断题(1)一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行.(√) (2)如果直线a ∥平面α，直线b ⊂α，则a 与b 平行.(×)(3)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(√) (4)过直线外一点，有且只有一个平面和已知直线平行.(×) 提示 (2)a 与b 平行或异面.(4)过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行，但过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行.2.如图所示，过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平面CDD 1C 1于EE 1，则BB 1与EE 1的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面D.不确定解析BB1∥平面CDD1C1，平面BB1E1E∩平面CDD1C1＝E1E，BB1⊂平面BB1E1E，由线面平行的性质定理知，BB1∥EE1.答案 A3.若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行C.存在无数多条直线与a平行D.存在唯一一条直线与a平行解析设点B与直线a确定一平面为γ，γ∩β＝b，∴a∥b.答案 D4.已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是________. 解析由直线与平面平行的性质定理知l∥m.答案平行类型一线面平行性质定理的应用【例1】求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行. 解已知直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β.求证：a∥l.证明：如图所示，过a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c.则b∥c.又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β.又∵b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l.又∵a∥b，∴a∥l.规律方法在空间平行关系中，交替使用线线平行、线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键.【训练1】若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行. 解已知：a∥b，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l.求证：a∥b∥l.证明：如图所示，∵a∥b，b⊂β，a⊄β，∴a∥β，又a⊂α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，∴a∥b∥l.类型二面面平行性质定理的应用【例2】已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN∥平面α.证明(1)若AB、CD在同一平面内，则平面ABDC与α、β的交线为BD、AC.∵α∥β，∴AC∥BD.又M、N为AB、CD的中点，∴MN∥BD.又BD⊂平面α，MN⊄平面α，∴MN∥平面α.(2)若AB、CD异面，如图，过A作AE∥CD交α于E，取AE中点P，连接MP、PN、BE、ED.∵AE∥CD.∴AE、CD确定平面AEDC.则平面AEDC与α、β的交线分别为ED、AC，∵α∥β，∴ED∥AC.又P、N分别为AE、CD的中点，∴PN∥ED，又ED⊂平面α，PN⊄平面α，∴PN∥平面α.同理可证MP∥BE，又MP⊄平面α，BE⊂平面α，∴MP∥平面α，∵AB、CD异面，∴MP、NP相交.∴平面MPN∥平面α.又MN⊂平面MPN，∴MN∥平面α.规律方法 1.利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交. 2.面面平行⇒线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化.【训练2】如图，已知α∥β，点P是平面α、β外的一点(不在α与β之间)，直线PB、PD分别与α、β相交于点A、B和C、D.(1)求证：AC ∥BD ；(2)已知PA ＝4 cm ，AB ＝5 cm ，PC ＝3 cm ，求PD 的长.(1)证明 ∵PB ∩PD ＝P ，∴直线PB 和PD 确定一个平面γ，则α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD .又α∥β，∴AC ∥BD . (2)解 由(1)得AC ∥BD ，∴PA AB ＝PC CD ，∴45＝3CD， ∴CD ＝154(cm)，∴PD ＝PC ＋CD ＝274(cm).类型三 平行关系的综合应用(互动探究)【例3】 如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：GH ∥平面PAD . [思路探究]探究点一 证明平行关系的基本思路是什么？提示 证明平行关系时，应综合应用线线平行、线面平行及面面平行之间的相互转化. 探究点二 解本题的关键是什么？提示 关键是连接AC 交BD 于O ，结合PC 中点M ，利用中位线，进行平行转化，进而作出判断.证明 如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接MO .∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点， ∴PA ∥MO ，而AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ， ∴PA ∥平面BMD ，又∵PA ⊂平面PAHG ， 平面PAHG ∩平面BMD ＝GH ，∴PA ∥GH .又PA⊂平面PAD，GH⊄平面PAD，∴GH∥平面PAD.规律方法 1.本题证明线面平行，利用了线面平行的性质定理和判定定理进行转化，即线线平行⇒线面平行⇒线线平行⇒线面平行.2.在将线面平行转化为线线平行时，注意观察图形中是否是性质定理中符合条件的平面. 【训练3】在长方体ABCD－A1B1C1D1，E为棱DD1上的点，试确定点E的位置，使B1D∥平面A1C1E.解如图，连接B1D1，设A1C1∩B1D1＝M，连接ME.若B1D∥平面A1C1E，则B1D平行于过B1D的平面与平面A1C1E的交线.由于B1D⊂平面B1DD1，平面B1DD1∩平面A1C1E＝ME，所以B1D∥ME.又因为M为B1D1的中点，所以E为DD1的中点.[课堂小结]1.三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：2.证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想性质，由求证想判定”，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段.1.已知：α∩β＝b，a∥α，a∥β，则a与b的位置关系是( )A.a∥bB.a⊥bC.a，b相交但不垂直D.a，b异面解析利用结论：若一直线与两个相交平面平行则此直线与交线平行.答案 A2.已知a，b表示直线，α、β、γ表示平面，下列推理正确的是( )A.α∩β＝a，b⊂α⇒a∥bB.α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥βC.a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥βD.α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b解析由面面平行的性质定理知D正确.答案 D3.过两平行平面α，β外的点P 的两条直线AB 与CD ，它们分别交α于A ，C 两点，交β于B ，D 两点，若PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，则BD 的长为________. 解析 两条直线AB 与CD 相交于P 点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC ∥BD ，所以PA PB ＝ACBD，又PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，故BD ＝12.答案 124.如图，已知E ，F 分别是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱A 1B 1、CC 1的中点，过D 1、E 、F 作平面D 1EGF 交BB 1于G .求证：EG ∥D 1F .证明 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，因为平面ABB 1A 1∥平面DCC 1D 1，平面D 1EGF ∩平面ABB 1A 1＝EG ，平面D 1EGF ∩平面DCC 1D 1＝D 1F ，∴EG ∥D 1F .基 础 过 关1.a ∥α，b ∥β，α∥β，则a 与b 位置关系是( ) A.平行 B.异面C.相交D.平行或异面或相交解析 如图(1)，(2)，(3)所示，a 与b 的关系分别是平行、异面或相交.答案 D2.已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于l 的直线( ) A.只有一条，不在平面α内 B.只有一条，在平面α内 C.有两条，不一定都在平面α内 D.有无数条，不一定都在平面α内 解析 如图所示，∵l ∥平面α，P ∈α，∴直线l 与点P 确定一个平面β， α∩β＝m ，∴P ∈m ，∴l ∥m 且m 是唯一的. 答案 B3.如图，四棱锥P －ABCD 中，M ，N 分别为AC ，PC 上的点，且MN ∥平面PAD ，则( )A.MN ∥PDB.MN ∥PAC.MN ∥ADD.以上均有可能解析 ∵MN ∥平面PAD ，MN ⊂平面PAC ， 平面PAD ∩平面PAC ＝PA ，∴MN ∥PA . 答案 B4.过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的三个顶点A 1、C 1、B 的平面与底面ABCD 所在平面的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是________.解析 由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的. 答案 平行5.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上.若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________.解析 ∵在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E 为AD 的中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ， ∴EF ∥AC ，∴F 为DC 的中点， ∴EF ＝12AC ＝ 2.答案26.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，过A 1，B ，C 1的平面与平面ABC 的交线为l ，试判断l 与直线A 1C 1的位置关系，并给以证明.解 l ∥A 1C 1证明 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1C 1∥AC ，A 1C 1⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴A 1C 1∥平面ABC .又∵A 1C 1⊂平面A 1BC 1，且平面A 1BC 1∩平面ABC ＝l ， ∴A 1C 1∥l .7.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM ＝DN ，求证：MN ∥平面AA 1B 1B .证明 如图，作MP ∥BB 1交BC 于点P ，连接NP . ∵MP ∥BB 1，∴CM MB 1＝CP PB.∵BD ＝B 1C ，DN ＝CM ，∴B 1M ＝BN ，∴CM MB 1＝DN NB， ∴CP PB ＝DN NB，∴NP ∥CD ∥AB .∵NP ⊄平面AA 1B 1B ，AB ⊂平面AA 1B 1B ，∴NP ∥平面AA 1B 1B . ∵MP ∥BB 1，MP ⊄平面AA 1B 1B ，BB 1⊂平面AA 1B 1B ，∴MP ∥平面AA 1B 1B .又∵MP ⊂平面MNP ，NP ⊂平面MNP ，MP ∩NP ＝P ， ∴平面MNP ∥平面AA 1B 1B .∵MN ⊂平面MNP ，∴MN ∥平面AA 1B 1B .能 力 提 升8.下列说法正确的是( )A.平行于同一条直线的两个平面平行B.平行于同一个平面的两个平面平行C.一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行D.若三直线a ，b ，c 两两平行，则在过直线a 的平面中，有且只有一个平面与b ，c 均平行 解析 平行于同一条直线的两个平面可以平行也可以相交，所以A 错；B 正确；C 中没有指明这三个点在平面的同侧还是异侧，不正确；D 不正确，因为过直线a 的平面中，只要b ，c 不在其平面内，则与b ，c 均平行. 答案 B9.过平面α外的直线l ，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a ，b ，c ，…，则这些交线的位置关系为( ) A.都平行B.都相交且一定交于同一点C.都相交但不一定交于同一点D.都平行或交于同一点解析 ∵l ⊄α，∴l ∥α或l 与α相交.(1)若l ∥α，则由线面平行的性质可知l ∥a ，l ∥b ，l ∥c ，… ∴a ，b ，c ，…这些交线都平行.(2)若l 与α相交，不妨设l ∩α＝A ，则A ∈l ，又由题意可知A ∈a ，A ∈b ，A ∈c ，…，∴这些交线交于同一点A .综上可知D 正确. 答案 D10.如图，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若PA ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′S △ABC＝________.解析 由平面α∥平面ABC ，得AB ∥A ′B ′，BC ∥B ′C ′，AC ∥A ′C ′， 由等角定理得∠ABC ＝∠A ′B ′C ′， ∠BCA ＝∠B ′C ′A ′，∠CAB ＝∠C ′A ′B ′， 从而△ABC ∽△A ′B ′C ′，△PAB ∽△PA ′B ′，S △A ′B ′C ′S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫A ′B ′AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA ′PA 2＝425. 答案42511.如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论.法一(1)证明因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.(2)解平行.证明如下：取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.可知四边形AMNE为平行四边形.所以MN∥AE，又因为MN⊄平面APD，AE⊂平面APD，所以MN∥平面APD.法二(1)证明由AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以l∥AD，l∥BC.(2)解平行.证明如下：设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，则MQ∥AD，NQ∥PD，而MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD.MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面PAD.探究创新12.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积.11解 能.取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MC ，CN ，NA 1， ∵A 1N ∥PC 1且A 1N ＝PC 1，PC 1∥MC ，PC 1＝MC ，A 1N 綉MC ， ∴四边形A 1MCN 是平行四边形，又∵A 1N ∥PC 1，A 1M ∥BP ，A 1N ∩A 1M ＝A 1，C 1P ∩PB ＝P ， ∴平面A 1MCN ∥平面PBC 1，因此，过点A 1与截面PBC 1平行的截面是平行四边形. 连接MN ，作A 1H ⊥MN 于点H ， ∵A 1M ＝A 1N ＝5，MN ＝22，∴A 1H ＝ 3. ∴S △A 1MN ＝12×22×3＝ 6.故S ▱A 1MCN ＝2S △A 1MN ＝2 6.。