2.2.3待定系数法学案
新人教B版必修一2.2.3《待定系数法》word学案
一、基本知识：待定系数法的定义一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的，可先把所求函数写为一般形式，其中，然后再根据题设条件求出这些．这种通过求来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．二、例题讲解：考点一：求一次函数的解析式例1 若函数y＝kx＋b的图象经过点P(3，－2)和Q(－1,2)，则这个函数的解析式为( ) A．y＝x－1 B．y＝x＋1 C．y＝－x－1 D．y＝－x＋1[小结] 用待定系数法求函数解析式的步骤：(1)根据题设条件，设出含有待定系数的函数解析式的恰当形式．(2)把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程(组)．(3)解方程(组)，求出待定系数的值(或消去待定系数，从而使问题得到解决)．(4)将求得的待定系数的值代回所设的解析式．练习：1、已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，则f(x)＝________.考点二：求二次函数的解析式ax＋bx＋c的解析式．例2、根据下列条件，求二次函数y＝2(1)图象过点(2,0)，(4,0)，(0,3)；(2)图象顶点为(1,2)并且过点(0,4)；(3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)．练习：2、若二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值是－1，则它的解析式为________考点三：待定系数法的综合应用例3、(12分)如果函数f (x )＝x 2＋a bx －c (b ，c ∈N *)满足f (0)＝0，f (2)＝2，且f (－2)<21 ，求f (x )的解析式．练习：3．已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174.求f (x )的解析式．方法总结：运用待定系数法的常见设法：(1)正比例函数，设解析式为y ＝kx (k ≠0)．(2)一次函数，设解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．(3)反比例函数，设解析式为y ＝k x (k ≠0)．(4)对于二次函数，①若已知顶点坐标为(h ，k )，则可设顶点式y ＝2)(h x a -＋k (a ≠0)．②若已知对称轴方程为x ＝h ，则可设顶点式y ＝2)(h x a -＋c (a ≠0)．③若已知函数的最大值或最小值为k ，则可设顶点式y ＝2)(h x a -＋k (a ≠0)． ④若已知函数与x 轴只有一个交点(h,0)，则可设交点式y ＝2)(h x a - (a ≠0)． ⑤若已知函数与x 轴有两个交点(1x ,0)，(2x ,0)，则可设交点式y ＝a (x －1x )(x －2x )(a ≠0)．⑥若已知函数图象上两对称点(1x ，m )，(2x ，m )，则可设对称点式y ＝a (x －1x )(x －2x )＋m (a ≠0)．⑦若已知函数图象上的三点，则可设一般式y ＝a 2x ＋bx ＋c (a ≠0)．三、课后练习：1．反比例函数y ＝12x的图象和一次函数y ＝kx －7的图象都经过点P (m,2)，求一次函数的解析式．2．已知y ＝2x －4x ＋h 的顶点A 在直线y ＝－4x －1上，函求数解析式为.。
2.2.3待定系数法教案学生版
2.2.3 待定系数法【学习要求】1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求一元一次函数、一元二次函数及反比例函数解析式；2.掌握待定系数法的特征，会用待定系数法求解综合问题．【学法指导】通过待定系数法的学习，培养由特殊事例发现一般规律的归纳能力；通过在旧知识的基础上产生新知识，激发求知欲；通过合作学习，培养团结协作的品质.填一填：知识要点、记下疑难点1.待定系数法：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数．这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．2.正比例函数的一般形式为 y＝kx(k≠0)，反比例函数的一般形式为y(k≠0)，一次函数的一般形式为y＝kx＋b(k≠0) ，二次函数的一般形式为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0).研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 对于一次函数y＝kx＋b(k≠0)，如果知道了k与b的值，函数关系式就确定了，那么如果已知一次函数的图象过两个已知点，用怎样的方法来求一次函数的关系式？本节就来学习求函数解析式的一种常用方法——待定系数法．探究点一待定系数法的概念问题1 已知一个正比例函数的图象通过点(－3,4)，如何求这个函数的解析式？问题2 在问题1中求函数解析式的方法称为待定系数法，那么你能给待定系数法下个定义吗？问题3 正比例函数、一次函数、二次函数解析式的一般形式各是什么？各有几个需要确定的系数？问题4对于两个按降幂顺序排列的一元多项式，当满足什么条件时，它们才相等？探究点二用待定系数法求一次函数问题1 我们要确定反比例函数或正比例函数的解析式时，通常需要几个条件？问题2我们要确定一次函数的关系式时，通常需要几个独立的条件？为什么？例1 已知f(x)是一次函数，且有2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，求这个函数的解析式．跟踪训练1 已知函数f(x)是一次函数，且有f[f(x)]＝9x＋8，求此一次函数的解析式．探究点三用待定系数法求二次函数问题1 二次函数解析式有哪几种表达式？问题2我们要确定二次函数的解析式，需要几个条件？为什么？问题3 如何根据题设条件来设二次函数的解析式？例2 已知一个二次函数f(x)，f(0)＝－5，f(－1)＝－4，f(2)＝5，求这个函数．跟踪训练2 已知二次函数图象的顶点为(－1，－3)，图象与y轴交点为(0，－5)，求函数的解析式．例3.已知函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋6，若函数的值域是[0, ＋∞)，求函数的解析式．跟踪训练3 二次函数的图象与x轴交于A(－2, 0)，B(3, 0)两点，与y轴交于点C(0，－3)，求此二次函数的解析式．练一练：当堂检测、目标达成落实处1.二次函数y＝－x2－6x＋k的图象的顶点在x轴上，则k的值为 ( )A．－9 B．9 C．3 D．－32.已知y＋5与3x＋4成正比例，且当x＝1时，y＝2.则y与x的函数关系式为______________．3.若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝________.课堂小结：1.求二次函数解析式时，已知函数图象上三点的坐标，通常选择一般式；已知图象的顶点坐标(对称轴和最值)通常选择顶点式；已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，通常选择两根式．2.一般地，函数关系式中有几个待定的系数，就需要有几个独立的条件才能求出函数关系式.。
高中数学人教B必修二学案：第二单元 2.2.3 第1课时 两条直线相交、平行与重合的条件含答案
2．2.3 两条直线的位置关系第1课时 两条直线相交、平行与重合的条件学习目标 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.能根据斜截式方程和一般式方程判定两条直线是否平行或重合.3.能应用两直线平行与重合求参数或直线方程．知识点 两条直线相交、平行与重合的条件思考1 直线l 1：2x ＋3y －6＝0与直线l 2：3x ＋2y ＋6＝0的位置关系是怎样的？思考2 直线l 3：2x ＋3y －2＝0与直线l 4：4x ＋6y ＋3＝0的位置关系是怎样的？梳理 两条直线相交、平行与重合的判定方法 (1)代数法两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系，可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解进行判断(如表所示)：(2)几何法设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1；l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则： ①l 1与l 2相交⇔____________； ②l 1∥l 2⇔________________； ③l 1与l 2重合⇔____________.类型一 两条直线位置关系的判定例1 判断下列各组中两条直线的位置关系． (1)l 1：y ＝3x ＋4，l 2：2x －6y ＋1＝0； (2)l 1：2x －6y ＋4＝0，l 2：y ＝x 3＋23；(3)l 1：(2－1)x ＋y ＝3，l 2：x ＋(2＋1)y ＝2； (4)l 1：x ＝5，l 2：x ＝6.反思与感悟 两条直线位置关系的判定方法 设两条直线的方程分别为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.(1)若A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2、B 2≠0)，则两直线相交．(2)若A 1A 2＋B 1B 2＝0，则两直线相互垂直．(3)若A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0或(B 1C 2－B 2C 1≠0)或A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)，则两直线平行．跟踪训练1 已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，直线l 1与l 2：(1)相交？(2)平行？(3)重合？类型二 两条直线平行的应用例2 (1)求过点A (1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线方程； (2)求过点P (3,2)且与经过点A (0,1)，B (－2，－1)的直线平行的直线方程．反思与感悟 (1)求与直线y ＝kx ＋b 平行的直线的方程时，根据两直线平行的条件可巧设为y ＝kx ＋m (m ≠b )，然后通过待定系数法，求参数m 的值．(2)求与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程时，可设方程为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，代入已知条件求出m 即可．其中对于斜率为零及不存在的情形要单独讨论．跟踪训练2 若直线l 与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为56，求直线l的方程．类型三 两条直线的交点问题例3 求经过原点，且经过直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点的直线l 的方程．反思与感悟 利用过交点的直线系方程避免了解方程组的过程，减少了运算量，因此我们必须熟练掌握这一方法，并能灵活运用它解决求过两直线交点的直线方程的问题．跟踪训练3 三条直线x ＋y ＋1＝0,2x －y ＋8＝0，ax ＋3y －5＝0只有两个不同的交点，则a ＝________.1．直线Ax ＋4y －1＝0与直线3x －y －C ＝0重合的条件是( ) A ．A ＝12，C ≠0 B ．A ＝－12，C ＝14C ．A ＝－12，C ≠－14D ．A ＝－12，C ＝－142．直线2x －y ＋k ＝0和直线4x －2y ＋1＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．不平行C ．平行或重合D ．既不平行也不重合3．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为( ) A ．－8 B ．0 C ．2D ．104．过点(－1，－3)且与直线2x ＋y －1＝0平行的直线方程为________________________． 5．已知▱ABCD 的三个顶点的坐标分别是A (0,1)，B (1,0)，C (4,3)，求顶点D 的坐标．两条直线相交、平行与重合的条件(1)两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系，可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解的个数进行判断，也可用直线方程的系数进行判断，方法如下：答案精析问题导学 知识点思考1 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －6＝0，3x ＋2y ＋6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝6.∴l 1与l 2相交．思考2 24＝36≠－23，∴l 3∥l 4.梳理 (1)平行 A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) 相交 A 1A 2≠B 1B 2 重合 A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(2)①k 1≠k 2 ②k 1＝k 2且b 1≠b 2 ③k 1＝k 2且b 1＝b 2 题型探究例1 解 (1)A 1＝3，B 1＝－1，C 1＝4； A 2＝2，B 2＝－6，C 2＝1. 因为A 1A 2≠B 1B 2，所以l 1与l 2相交．(2)A 1＝2，B 1＝－6，C 1＝4； 把l 2化为x －3y ＋2＝0， 所以A 2＝1，B 2＝－3，C 2＝2. 因为A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2，所以l 1与l 2重合．(3)A 1＝2－1，B 1＝1，C 1＝－3； A 2＝1，B 2＝2＋1，C 2＝－2. 因为A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，所以l 1与l 2平行．(4)A 1＝1，B 1＝0，C 1＝－5； A 2＝1，B 2＝0，C 2＝－6， 因为A 1B 2－A 2B 1＝0，而A 2C 1－A 1C 2≠0，所以l 1与l 2平行． 跟踪训练1 解 因为直线l 1：x ＋my ＋6＝0， 直线l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0， 所以A 1＝1，B 1＝m ，C 1＝6， A 2＝m －2，B 2＝3，C 2＝2m .(1)若l 1与 l 2相交，则A 1B 2－A 2B 1≠0， 即1×3－m (m －2)≠0， 即m 2－2m －3≠0， 所以(m －3)(m ＋1)≠0， 解得m ≠3且m ≠－1.故当m ≠3且m ≠－1时，直线l 1与l 2相交．(2)若l 1∥l 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－m (m －2)＝0，2m 2－18≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3＝0，m 2≠9，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠3且m ≠－3，所以m ＝－1.故当m ＝－1时，直线l 1与l 2平行．(3)若l 1与l 2重合，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－m (m －2)＝0，2m 2－18＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ＝3或m ＝－3.所以m ＝3.故当m ＝3时，直线l 1与l 2重合．例2 解 (1)方法一 已知直线的斜率为－23，∵所求直线与已知直线平行，∴所求直线方程的斜率为－23.由点斜式，得所求直线的方程为y ＋4＝－23(x －1)，即2x ＋3y ＋10＝0.方法二 设与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线l 的方程为2x ＋3y ＋λ＝0(λ≠5)． ∵l 经过点A (1，－4)，∴2×1＋3×(－4)＋λ＝0，解得λ＝10， ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋10＝0.(2)经过点A (0,1)，B (－2，－1)的直线的斜率为k ＝1－(－1)0－(－2)＝1.∵所求直线经过点P (3,2)， ∴所求直线方程为y －2＝x －3 即x －y －1＝0.跟踪训练2 解 设直线l 的方程为 2x ＋3y ＋C ＝0， 令x ＝0，得y ＝－C3，令y ＝0，得x ＝－C2.由题意，得－C 3－C 2＝56，解得C ＝－1.所以直线的方程为2x ＋3y －1＝0.例3 解 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，∴直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点坐标为(－1，－2)． 又直线l 经过原点， ∴直线l 的方程为y －0－2－0＝x －0－1－0，即2x －y ＝0. 方法二 设所求直线方程为2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0， ∵直线过原点(0,0)， ∴8－λ＝0，∴λ＝8，∴直线方程为2x ＋3y ＋8＋8x －8y －8＝0， 即2x －y ＝0. 跟踪训练3 3或－6解析 当直线ax ＋3y －5＝0与x ＋y ＋1＝0平行时，a ＝3. 当直线ax ＋3y －5＝0与2x －y ＋8＝0平行时， a 2＝3－1≠－58，得a ＝－6， ∴a ＝3或a ＝－6. 当堂训练 1．D 2.C 3.A 4．2x ＋y ＋5＝0解析 设所求直线方程为2x ＋y ＋C ＝0， 将点(－1，－3)代入方程， 2×(－1)－3＋C ＝0，得C ＝5. ∴直线方程为2x ＋y ＋5＝0.5．解 设D (m ，n )，由题意，得AB ∥DC ，AD ∥BC ， 则有k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC .所以⎩⎪⎨⎪⎧0－11－0＝3－n4－m，n －1m －0＝3－04－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝4.所以点D 的坐标为(3,4)．。
待定系数法教学学案
一【学习目标】
1．理解待定系数法
2．会利用待定系数法求函数的解析式
二【重点、难点】
重点：待定系数法
难点：二次函数表达式的选择、恒成立条件下求函数解析式
三【学习过程】（粗宋体小４号）
（一）学习活动一：（让学生理解待定系数法）
1．任务一：理解待定系数法
2．任务二：从定义中抽象出使用待定系数法求函数解析式的一般步骤
四【整体建构】
五【我的困惑】
[即时训练]
1．已知一个正比例函数的图象通过点 ，求这个函数的解析表达式．
2．已知反比例函数经过点 ，求此反比例函数解析式．
（二）学习活动二：（利用待定系数法求二次函数的解析式）
1．任务一：回顾二次函数的三种表达形式
2．任务二：总结三种形式的适用情况
[即时训练]
3．已知一个二次函数 ， ， ， ，求这个函数．
４.已知二次函数 图象的对称轴为ห้องสมุดไป่ตู้，它与 轴交点的
纵坐标是 ，且图象 经过 ．求这个二次函数的解析式
（三）学习活动三：（其他题型）
1．任务一：让学生做题
2．任务二：从做题过程中的体会总结出解题的要领
.
.
.
[即时训练]
５.已知 是一次函数，且有 ， ，
求这个函数的解析式．
６．已知对任意数 ，都有 ，求 ．
2.2.3待定系数法
在解应用问题时，我们常用一个字母， 如x，y，z，……来表示未知数，然后根据问 题的条件列方程求解. 在解决某些问题中， 有时要根据条件确定一个未知函数.
例如已知一个正比例函数的图象通过点 (－3，4)，求这个函数的解析式.
为此，我们可设所求的正比例函数为 y=kx(k≠0) ，其中k待定.
ax2 bx c a' x2 b' x c' b b' c c'
例4. 对于任意的实数x，都有
2x2+x-3 =(x－1)(ax+b),求a,b
例4. 对于任意的实数x，都有
2x2+x-3 =(x－1)(ax+b),求a,b
解：(x－1)(ax+b)= ax2+bx-ax -b
解： 设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－1） (a≠0) y
由条件得：
点M( 0,1 )在抛物线上
所以：a(0+1)(0-1)=1
x o
得： a=-1
故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1)
即：y=－x2+1
设二次函数解析式的一般方法：
▪ 已知图象上三点，
通常选择一般式 y=ax2+bx+c (a≠0)
练习：三高P26: 5、11题
例4. 已知f(x)是一次函数，且有2f(2) －3f(1)=5，
2f(0) －f(－1)=1，求这个函数的解析式. 解：设所求的一次函数是f(x)=kx+b， (k≠0).
由题知 2(2k b) 3(k b) 5
2b (k b) 1
• 一般式：y=ax2+bx+c (a≠0) • 顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0) • 两根式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
高中数学 第二章 函数 2.2.3 待定系数法学案 新人教B
2.2.3 待定系数法[学习目标] 1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式.2.掌握待定系数法的特征及应用.[预习导引]1.待定系数法：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.2.正比例函数的一般形式为y ＝kx (k ≠0)，反比例函数的一般形式为y ＝kx(k ≠0)，一次函数的一般形式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，二次函数的一般形式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).要点一 求一次函数的解析式例1 设一次函数f (x )满足f [f (x )]＝4x ＋9，求f (x )的解析式. 解 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝a ·f (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b .由f [f (x )]＝4x ＋9，得a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－9.∴f (x )＝2x ＋3或f (x )＝－2x －9.规律方法 设出一次函数解析式，由等量关系列式求解.跟踪演练1 已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x ). 解 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则有3f (x ＋1)－2f (x －1) ＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，∴a ＝2，b ＝7，即f (x )＝2x ＋7. 要点二 求二次函数的解析式例2 已知二次函数y ＝f (x )的图象过A (0，－5)，B (5,0)两点，它的对称轴为直线x ＝2，求这个二次函数的解析式.解 方法一 设二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－5＝c ，0＝25a ＋5b ＋c ，－b2a＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝－5.∴所求函数解析式为f (x )＝x 2－4x －5.方法二 设二次函数f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)， 将(0，－5)，(5,0)，代入上式得⎩⎪⎨⎪⎧－5＝4a ＋k ，0＝9a ＋k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，k ＝－9，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －2)2－9， 即f (x )＝x 2－4x －5.方法三 ∵二次函数过点(5,0)，且对称轴为x ＝2， ∴二次函数与x 轴另一交点为(－1,0)， 设二次函数为f (x )＝a (x －5)(x ＋1)(a ≠0)， 将(0，－5)代入得a ＝1， ∴f (x )＝x 2－4x －5.规律方法 用待定系数法求二次函数解析式时，要注意其设法的多样性，由条件选择适当的形式.跟踪演练2 求满足下列条件的二次函数的解析式.(1)已知二次函数的图象经过A (3,0)，B (0，－3)，C (－2,5)三点； (2)已知顶点坐标为(4,2)，点(2,0)在函数图象上； (3)已知y ＝x 2－4x ＋h 的顶点A 在直线y ＝－4x －1上.解 (1)设所求函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，其中a ，b ，c 待定.根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝－3，4a －2b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.因此所求函数为y ＝x 2－2x －3.(2)设所求函数y ＝a (x －4)2＋2(a ≠0)，其中a 待定. 根据已知条件得a (2－4)2＋2＝0，解得a ＝－12，因此所求函数为y ＝－12(x －4)2＋2＝－12x 2＋4x －6.(3)∵y ＝x 2－4x ＋h ＝(x －2)2＋h －4， ∴顶点A (2，h －4)，由已知得(－4)×2－1＝h －4，h ＝－5， ∴所求函数为y ＝x 2－4x －5. 要点三 待定系数法的综合应用例3 如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式，并求该函数的值域.解 设左侧的射线对应的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0，x ≤1)，因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝1，b ＝2，解得k ＝－1，b ＝2，所以左侧射线对应的函数的解析式为y ＝－x ＋2(x <1)，同理可求x ≥3时，函数的解析式为y ＝x －2(x >3). 当1≤x ≤3时，抛物线对应的函数为二次函数. 设其方程为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a ＜0)， 由点(1,1)在抛物线上可知a ＋2＝1，所以a ＝－1， 所以抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3).综上，函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2 x ＜1，－x 2＋4x － 2 1≤x ≤3，x － 2 x >3，由图象可知函数的最小值为1，无最大值， 所以，值域为[1，＋∞).规律方法 由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数组成，然后根据不同区间上的函数类型，利用待定系数法求出相应解析式.跟踪演练3 已知f (x )是定义在[－6,6]上的奇函数，且f (x )在[－3,3]上是一次函数，在[3,6]上是二次函数，f (6)＝2，又当3≤x ≤6时，f (x )≤f (5)＝3， 求f (x )的解析式.解 因为f (x )在[3,6]上是二次函数，f (x )≤f (5)＝3， 则(5,3)为抛物线的顶点， 所以设f (x )＝a (x －5)2＋3(a ≠0)， 又因为f (6)＝2，代入f (x )得a ＝－1， 所以x ∈[3,6]时，f (x )＝－(x －5)2＋3.当x ＝3时，f (3)＝－1，所以点(3，－1)既在二次函数的图象上又在一次函数的图象上. 又因为f (x )为奇函数，且x ∈[－6,6]，所以f (0)＝0，故可设一次函数式为f (x )＝kx (k ≠0)， 将(3，－1)代入f (x )得k ＝－13.所以一次函数式为f (x )＝－13x .当x∈[－6，－3]时，－x ∈[3,6]， 所以f (x )＝－f (－x )＝(x ＋5)2－3.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋52－3，x ∈[－6，－3，－13x ，x ∈[－3，3]，－x －52＋3，x ∈3，6].1.已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过(1,0)(2,5)两点，则二次函数的解析式为( ) A.y ＝x 2＋2x －3B.y ＝x 2－2x －3 C.y ＝x 2＋2x ＋3 D.y ＝x 2－2x ＋6 答案 A解析 将(1,0)，(2,5)代入y ＝x 2＋bx ＋c 可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，①4＋2b ＋c ＝5. ②由①②解得b ＝2，c ＝－3.2.已知一次函数的图象过点(1,3)，(3,4)，则这个函数的解析式为( ) A.y ＝12x －52B.y ＝12x ＋52C.y ＝－12x ＋52D.y ＝－12x －52答案 B解析 设一次函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把点(1,3)，(3,4)代入易知⎩⎪⎨⎪⎧3＝k ＋b ，4＝3k ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝52.3.已知二次函数的图象经过(－1,0)，(1,0)，(2,3)三点，则这个函数的解析式为( ) A.y ＝x 2－1 B.y ＝1－x 2C.y ＝12x 2＋1D.y ＝12x 2－1答案 A解析 设y ＝a (x ＋1)(x －1)(a ≠0)， 将点(2,3)代入得3＝3a ， ∴a ＝1.∴y ＝x 2－1.4.已知某二次函数的图象与函数y ＝2x 2的图象形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为( ) A.y ＝2(x －1)2＋3 B.y ＝2(x ＋1)2＋3 C.y ＝－2(x －1)2＋3 D.y ＝－2(x ＋1)2＋3答案 D解析 设所求函数的解析式为y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，由题意可知a ＝－2，h ＝1，k ＝3，故y ＝－2(x ＋1)2＋3.5.已知二次函数f (x )的图象顶点坐标为(1，－2)，且过点(2,4)，则f (x )＝________.答案6x2－12x＋4解析设f(x)＝a(x－1)2－2(a≠0)，因为过点(2,4)，所以有a(2－1)2－2＝4，得a＝6.所以f(x)＝6(x－1)2－2＝6x2－12x＋4.1.求二次函数解析式时，已知函数图象上三点的坐标，通常选择一般式；已知图象的顶点坐标(对称轴和最值)通常选择顶点式；已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，通常选择两根式.2.一般地，函数关系式中有几个待定的系数，就需要有几个独立的条件才能求出函数关系式.。
2.2.3待定系数法导学案
年级高一课题 2.2.3待定系数法设计者高一数学组学习目标掌握待定系数法的应用学习重点待定系数法知识再现1.一次函数的解析式形式：，其中正比例函数的解析式：2.反比例函数的解析式形式：；3、二次函数解析式形式有：（1）、；（2）、；（3）、。
自主学习1.待定系数法定义一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做。
2.待定系数法步骤：自学检测1、已知一个一次函数的图像过点)4,3(),3,1(，在这个函数的解析式为（）Ａ．2521-=xyＢ．2521+=xyＣ．2521+-=xyＤ．2521--=xy2、已知一个二次函数经过)3,2(),0,1(),0,1(-点，则这个函数的解析式为（）Ａ．12-=xyＢ．21xy-=Ｃ．1212+-=xyＤ．1212-=xy 3合作探究：核心突破导与练例1已知二次函数的图象过点（1，4）,且与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），求函数的解析式。
变式训练：教材62页第1、3、5题例2已知)(xfy=是一次函数，且有1)1()0(2,5)1(3)2(2=--=-ffff，求这个函数的解析式。
变式训练：教材62页第2、4题。
2.2.3待定系数法2
4aa
2b c 0 bc 0
4ac b2 4a
9 4
2
解此方程组，得a 1, b 1, c 2.
3
因此，所求函数为f x x2 x 2.
对应练习
已知二次函数 yyf fxx 满足 f f22 00, ,f f11 00
且函数的最大值为 4994,求这个二次函数的解析式.
解法解二法:一：设f 所2求函f数为1f x 抛ax物2 线bx的 c对 , a称 轴 0 为直线
且函数的最大值为 4994,求这个二次函数的解析式.
解法解三法: 一f：2设 所f求函1数为0，f知xfxax2 0的bx两 c根, 分a 别0为 2和 -1， 可设f x ax 2x 1a 0
整理得 f x ax2 ax 2a
又 f x 的最大值
4a (2a ) ( a )2 9
4a
且函数的最大值为 4994,求这个二次函数的解析式.
1
2
3
对应练习
已知二次函数 yyf fxx 满足 f f22 00, ,f f11 00
且函数的最大值为 4994,求这个二次函数的解析式.
解解法法一一：：设设所求求函函数数为为f xfxax2 axb2xbc,x ac, 0a 0
根据已知条件，得方程 组
x 2 (1) 1 ,且f x的最大值为 9 ，
2
2
4
则 解法 可三设:
f
f2
xf
1
a0， 知 Байду номын сангаас f
x
1
0的 2两根分9别为 a2和
-10，
可设f x ax 2x 1a 0
2
4
则 a 2
1
待定系数法学案
用“待定系数法”求二次函数解析式一、 待定系数法解题的一般步骤待定系的数法是数学中的一个重要方法，其一般步骤是：1． 确定所求问题的解析式；2． 根据所给条件，列出方程或方程组； 3． 解方程或方程组二、 用待定系数法求二次函数解析式例 根据所给条件求二次函数解析式 （1） 已知抛物线与y 轴交于50,2⎛⎫-⎪⎝⎭，且经过()1,6-，()1,0-两点，求抛物线解析式.（2） 已知二次函数的图像过点()2,0P ，且顶点坐标为()3,1，求这个二次函数的解析式.（3） 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标为-1和3，且经过点（-3,6），确定抛物线的解析式.三、 综合应用解决问题1. 二次函数c bx ax y ++=2的最大值等于a 3-，且它的图像经过()2,1--，()6,1两点，求二次函数的解析式.2. 已知函数c bx ax y ++=21，它的顶点坐标为()2,3--，1y 与m x y +=22交于点()6,1，求：（1）1y 与 2y 的函数解析式（2）画出1y 、2y 的图像，根据图像指出当x 取何 值时1y >2y3. 如图，在直角坐标系中，AOB Rt △的顶点坐标分别为)2,0(A ，()0,0O ，()0,4B ，把A O B △绕点O 按逆时针方向旋转90°得到COD △.（1） 求C 、D 两点坐标；（2） 求经过C 、D 、B 三点的抛物线的解析式.4.y 轴交于点,AB ，以线段AB 为直角边在第一象限内做等腰直角三角形CD x ⊥轴，D （1）点A ，B （2） 过,,A B C如图，抛物线23y ax bx a =+-经过A （-1,0）、C (0,-3)两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求抛物线的解析式；（2）已知点D （m ,-m -1）在第四象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点'D 的坐标；（3）在（2）的条件下，连结BD ，问在x 轴上是否存在点P ，使∠PCB =∠CBD ．若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．。
《待定系数法(2)》学案
《待定系数法（2）》学案一，复习：根据图象信息求下列抛物线的解析式归纳：一般地，知道抛物线的顶点坐标，应将解析式设为 。
2，抛物线c bx ax y ++=2交y 轴于（ ）。
对称轴是 ，顶点坐标是 。
3，1422-+-=x x y 交y 轴于（ ）。
对称轴是 ，顶点坐标是 。
二，例题1：抛物线交y 轴于（0，3），经过点（-3，0）、（1，0）。
求其解析式。
分析：若设解析式为c bx ax y ++=2，根据“抛物线交y 轴于（0，3）”易知c 值为3。
不妨直接将解析式设为32++=bx ax y ，再代入另两点坐标，得方程组，求出a ，b ，写出解析式。
解：练习：抛物线交y 轴于（0，-5），经过点（1，0）、（-1，-8）。
求其解析式三，探究：观察322++-=x x y 与x 轴的交点为 。
计算检验：x 取值为 时，函数值为0。
理解：把322++-=x x y 的右边分解因式，得)3)(1(-+-=x x y ，可以直接看出x=-1时，y=0；x=3时，y=0 试一试：)5)(2(21+-=x x y 与x 轴的交点坐标为 。
抛物线)4)(3(-+=x x a y 与x 轴的交点坐标为四，例题2：抛物线交y 轴于（0，5），交x 轴于（-2，0）、（5，0）。
求其解析式。
合作交流：你想如何设解析式？你有几种方法设解析式？解：（注意：最后需要把解析式写成一般式）五，提高把2x y -=平移后，交坐标轴于A 、B 、C ，如图。
且AO ：BO ：CO=1：4：4。
求解析式。
六，巩固与作业：1， 抛物线交y 轴于（0，2），经过点（3，8）、（-3，2）。
求解析式。
2， 抛物线交y 轴于（0，4），经过点（3，0）、（-2，0）。
求解析式。
3， 在“五，提高”中的抛物线上，点P 是第二象限的抛物线上的点，作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于E 。
设PE 的长为L 。
求L 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围。
(新课程)高中数学2.2.3《待定系数法》学案2新人教B版必修1
f (x) 2x 1 或f (x) 2x 3223待定系数法学案【预习达标】1用待 定系数法解题时，关键步骤是什么？ ________________ 2. 二次函数的解析式有哪些形式？ 【课前达标】 1基本知识填空：(1)、一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可以把所求的函数写为一 般形式，其中 ________________________ ，然后再根据题设条件求出这些待定系数， 这种通过____________ 求 ____________ 来确定 ______________ 的方法，叫待定系数法。
(2)、正比例函数的一般形式为 ________________________________ , 一次函数的一般形式为 ____ . ________________________ ，二次函数的一般形式为 ______________________________ . 2•正比例函数的图象经过(1, 4)点，则此函数的解析式为 ________ ________________ 3. 二次函数的图象的顶点坐标为(1,2),且过(0 , 0)点，则函数解析式为 ___________________参考答案： 2. y 4x 3. y 2(x 1)2 2【典例解析】例1.已知f(x)是一次函数，且 f[(x)] 4x 3，求f(x)。
b 为常数，若 f(x) x 2 4x 3, f (ax b) x 2 10x 24,则5a b ______ 参考答案:例 1 .解：设 f (x) kx b(k 0),即k xkb b 4x 3k 24k 2亠 k 23解得或kb bb 1b3例2.已知二次函数的图象过点( 的解析式。
1 , 4),且与x 轴的交点为(-1 , 0)和(3, 0)，求函数例3 .已知a ,f[ f (x)] k(kx b) b评析：已知函数是一次函数，故设出一般形式，再求相应的系数4 a b c 0 a b c ，解得 a 1,b 3,c30 9a 3bcf(x)x 22x 3f(x) (x 1)(x 3) x 2 2x 3例3.a 1或a 1，所以5a b 2b 3 b 7二、 填空题：3、 直线 y x 2与抛物线 y x 2 2x 的交点坐标为 __________________________________4、 若抛物线y x 2 6x c 的顶点在x 轴上，那么c 的值为 _____________________ , _____ 三、 解答题：5、已知二次函数满足 f(3x 1) 9x 2 6x 5,求f(x)6、设f(x)为定义在实数集上的偶函数，当 x 1时，图象为经过点(-2 , 0)，斜率为1的射线，又 1 x 1时图象是顶点为(0, 2),且过点(-1 , 1)的一段抛物线，求函 数的表达式。
中专部理综组集体备课记录 第一次
主备人活动总结反思： 本节选择的内容是待定系数法，是一种比较重要的数学方法， 在教授相关内容时涉及到了一次函数、正比例、反比例函数的相关 内容，并着重考察学生的解方程和方程组的能力。在备课时只注意 活动 总结 反思 到了要涉及全部知识点，扩大一节课的容量，在初步备课中，对学 生的解列方程和方程组的能力有些高估，在学案涉及的题型和题量 上对于学生能力来说较完成起来较困难。通过跟本组老师交流讨论 准备在课件的制作和学案题型题量的选择上进行修改和完善，以期 达到最好的教学效果。
2.2.3 待定系数法第一课时教案 【教学目标】 1、了解两个条件确定一个一次函数，一个条件确定一个正比例函 数，并能由此求出解析式。 2、根据函数的图像确定一次函数的解析式，培养的数形结合能力。 重点：会用待定系数法确定一次函数的解析式 难点：利用待定系数法确定一次函数的解析式。 【复习引入】 1、正比例函数解析式的一般形式 一次函数解析式的一般形式 附改善 2、待定系数法定义 后教案 【例题解析】 1、待定系数法求正比例函数解析式 例 1、已知一个正比例函数的图象通过点(－3，4)，求这个函数的 解析式. 解：设正比例函数的解析式为 y=kx 把点（-3，4），代入解析式 得-3k=4, 所以 k=-4/3 把 k=-4/3 代入 y=kx 中，得正比例函数的解析式为 y=-4x/3 练习 1、已知一个正比例函数的图象通过点(1，2)，求这个函数的 解析式 2、已知一个正比例函数，当 x＝2 时，y＝6，求 y 与 x 的函 数关系式。
【当堂小结】 1、用待定系数法求解析式的方法 2、确定正比例函数和反比例函数的解析式需要 定一次函数的解析式需要 个条件。 个条件，确
2、两个一元多项式分别整理成标准式之后，当且仅当它们对应同 类项的系数相等，则称这两个多项式相等，如:
14.2.2.3待定系数法求一次函数解析式 学案
14.2.2.3待定系数法求一次函数解析式学案【学习目标】1、理解用两点求一次函数解析式的原理2、会用待定系数法求一次函数解析式。
3、学会分析所给不同条件转化成两个条件求一次函数解析式【学习重点】使学生能应用待定系数法求一次函数的解析式，渗透常量与变量、已知和未知可以相互转化的思想方法【学习难点】：会用待定系数法求一次函数解析式。
一、预习新知：（一）复习：1、水池已有水10m³，现以2m³/分钟的速度向水池注水，则水池中水的体积y（m³）与注水时间x（分钟）之间的函数关系式为2、水池已有水bm³（b为常数），现以km³/分钟（k为常数）的速度向水池注水，则水池中水的体积y（m³）与注水时间x（分钟）之间的函数关系式为（1）水池已有水bm³（b为常数），现以2m³/分钟的速度向水池注水，5分钟后水池中水的体积为25m³，则b= 。
（2）水池已有水15m³，现打开水管，以km³/分钟的速度向水池注水，5分钟后，水池中水的体积为30 m³，则k= 。
（3）水池已有水bm³（b为常数），现以km³/分钟（k为常数）的速度向水池注水，3分钟后水池中水的体积为16m³，8分钟后水池中水的体积为26m³，则 b= ，k= 。
（二）.试一试你会不会做下列题目？1.已知一个正比例函数，当自变量x=3时，函数值y=5，求函数解析式。
2.一个一次函数平行于y=2x,且过点（1，5），求其解析式。
3.某个一次函数的图象分别过点(3，5)和(-4，-9)，求这个一次函数的解析式。
小结:请总结出上面三个题目的解法用了几个步骤?请你总结出来. 二：例题解析例1：已知一次函数的图像经过点（3，5）与（2，3），求这个一次函数的解析式。
分析：求一次函数bkxy+=的解析式，关键是求出k，b的值，从已知条件可以列出关于k，b的二元一次方程组，并求出k，b。
人教版高中必修1(B版)2.2.3待定系数法教学设计
人教版高中必修1(B版)2.2.3待定系数法教学设计一、教学目标1.了解待定系数法的基本概念及其解题思路；2.掌握通过待定系数法解决一元二次方程组的方法；3.能够在题目中运用待定系数法进行求解。
二、教学重点与难点1.教学重点•学生掌握待定系数法的基本思路；•学生掌握待定系数法解决一元二次方程组的方法；•学生加深对待定系数法的理解。
2.教学难点•学生理解待定系数法的概念；•学生能否独立运用待定系数法解决问题。
三、教学内容及进度安排1. 待定系数法概念及解题思路（1课时）1.待定系数法的基本概念；2.待定系数法的解题思路；3.示例分析及练习。
2. 用待定系数法求解一元二次方程组（3课时）1.一元二次方程组的解法；2.用待定系数法解决一元二次方程组的方法；3.示例分析及练习。
3. 总结与拓展（1课时）1.梳理待定系数法的思路；2.拓展待定系数法在其他问题解决中的应用。
四、教学方法1.归纳法：通过案例讲解待定系数法的应用及求解方法；2.诱导法：通过启发式教学，巧妙引发学生对待定系数法的思考和探索；3.讨论法：在分析解题思路及例题中，鼓励学生提出自己的解法，并讨论其可行性。
五、教学手段1.演示PPT：辅助讲解示范；2.黑板教学：对于关键概念进行强调和梳理；3.练习题：巩固学生对于待定系数法的理解。
六、教学评估方式1.课堂练习：通过对教学内容的练习巩固学生对于待定系数法的掌握情况；2.作业及考核：在教学过程中设置针对性的作业及考核，以全面了解学生对于待定系数法的掌握情况。
七、教学思路与策略待定系数法作为一种高中数学中较为重要的解题方法，需要通过丰富的教学手段和策略，实现教学目标的达成。
在教学过程中，采用诱导和讨论等启发式教学方法，引导学生逐步掌握待定系数法的应用及其解决问题的思路。
进一步通过练习题的巩固，帮助学生深入理解和掌握该方法的本质，同时能够在实际情况中灵活运用。
(教学案)2.2.3待定系数法(1)Word版含解析
待定系数法教学分析:在初中阶段，学生已经对待定系数法有了认知根底．由于待定系数法是解决数学问题的重要方法，所以本节进一步学习．教材利用实例引入了待定系数法，并且通过两个例题介绍了其应用．值得注意的是本节重点应放在运用待定系数法求函数的解析式上，对于其他方面的应用不必过多延伸．三维目标:1．了解待定系数法，通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲，培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力．2．掌握用待定系数法求函数解析式的方法及其应用，提高学生解决问题的能力．教学重点：待定系数法及其应用．教学难点：待定系数法的应用．课时安排：1课时一、待定系数法的概念【问题思考】1.如果反比例函数的图象过(1,-1)点,那么你能求出满足此条件的函数解析式吗?2.填空:一般地,在求一个函数时,如果知道这个函数的一般形式,那么可先把所求函数写为一般形式,其中系数待定,再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.二、常见函数的一般形式【问题思考】1.填空:(1)正比例函数:y=kx(k≠0);(2)反比例函数:__________;(3)一次函数:y=kx+b(k≠0);(4)二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0)或y=a(x-h)2+k(a≠0)或y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).2.做一做:假设函数y=kx+b的图象经过点P(3,-2)和Q(-1,2),那么这个函数的解析式为()A.y=x-1B.y=x+1C.y=-x-1D.y=-x+1解析:把点P(3,-2)和Q(-1,2)的坐标分别代入y=kx+b,思考辨析判断以下说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√〞,错误的打“×〞.(1)用待定系数法求函数解析式的前提条件是该函数图象上一个定点. ()(2)二次函数图象的对称轴及顶点坐标,设出二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)是无法求解此类问题的. ()(3)用待定系数法求函数解析式,当条件确定时,所设的函数形式不是唯一的. ()答案:(1)×(2)×(3)√用待定系数法求一次函数的解析式【例1】一次函数的图象与x轴交点的横坐标为,并且当x=1时,y=5,那么这个一次函数的解析式为.反思感悟用待定系数法求一次函数解析式的具体步骤1.设一次函数的解析式为y=kx+b (k ≠0);2.根据题意列出关于k 和b 的方程组;3.求出k ,b 的值,代入即可.变式训练1f (x )是一次函数,且f [f (x )]=4x+3,求f (x ).用待定系数法求二次函数的解析式【例2】二次函数f (x )满足f (2)=-1,f (-1)=-1,且f (x )的最大值为8,试求二次函数的解析式.反思感悟求二次函数解析式常见情形如下表: 函数图象求函数解析式 【例3】如图,函数的图象由两条射线及抛物线的一局部组成,求函数的解析式. 分析:由图象可知:(1)函数图象由两条射线及抛物线的一局部组成; (2)当x ≤1或x ≥3时,函数解析式可设为y=kx+b (k ≠0);(3)当1≤x ≤3时,函数解析式可设为y=a (x-2)2+2(a<0)或y=ax 2+bx+c (a<0).解:设左侧的射线对应的函数解析式为y=kx+b (k ≠0,x ≤1).解得k=-1,b=2,所以左侧射线对应的函数解析式为y=-x+2(x ≤1). 同理可得,当x ≥3时,函数的解析式为y=x-2(x ≥3).已知条件 形式 要确定的系数 不同的三个点的坐标y=ax 2+bx+c (a ≠0) a ,b ,c 顶点坐标(h ,k )y=a (x-h )2+k (a ≠0) a 与x 轴的两个交点 (x 1,0),(x 2,0)y=a (x-x 1)(x-x 2) (a ≠0) a 已知对称轴x=hy=a (x-h )2+k (a ≠0) a ,k当1≤x ≤3时,抛物线对应的函数为二次函数.方法一:设函数解析式为y=a (x-2)2+2(1≤x ≤3,a<0).由点(1,1)在抛物线上,可知a+2=1,所以a=-1.所以抛物线对应的函数解析式为y=-x 2+4x-2(1≤x ≤3).反思感悟1.由函数图象求函数的解析式,关键观察函数图象的形状,分析图象由哪几种函数的图象组成,然后就在不同区间上,利用待定系数法求出相应的解析式. 2.分段函数的表达式要注意端点值. 变式训练：f (x )=x 2+ax+3-a ,假设x ∈[-2,2],f (x )>0恒成立,求a 的取值范围. 1)是一次函数,且有2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,那么这个函数的解()A.f (x )=-3x+2B.f (x )=3x-2C.f (x )=4x+9D.f (x )=2x-9 解析:设f (x )=kx+b (k ≠0), 即这个函数的解析式为f (x )=3x-2.答案:B 2.抛物线经过点(-3,2),顶点是(-2,3),那么抛物线的解析式为() A.y=-x 2-4x-1 B.y=x 2-4x-1C.y=x 2+4x-1D.y=-x 2-4x+1解析:设所求解析式为y=a (x+2)2+3(a ≠0).∵抛物线过点(-3,2),∴2=a+3.∴a=-1.∴y=-(x+2)2+3=-x 2-4x-1.答案:A4.二次函数的图象经过(0,1),(2,4),(3,10)三点,那么这个二次函数的解析方法二:设函数解析式为y=ax 2+bx+c (a<0,1≤x ≤3). 因为其图象过点(1,1),(2,2),(3,1), 所以有 a +b +c =1,4a +2b +c =2,9a +3b +c =1,解得 a =-1,b =4,c =-2. 所以抛物线对应的解析式为y=-x 2+4x-2(1≤x ≤3).综上,函数的解析式为y= -x +2,-x 2+4x -2,x -2, x <1,1≤x ≤3,x >3.f (x )在[-2,2]上的最小值为g (a ),则只需g (a )>0. 当-2<-2,即a>4时,g (a )=f (-2)=7-3a>0,得a<73. 又a>4,故此时a 不存在. 当-2≤-a 2≤2,即a ∈[-4,4]时, g (a )=f -a 2 =3-a-a 24>0,得-6<a<2. 因为-4≤a ≤4,所以-4≤a<2. 当-a 2>2,即a<-4时,g (a )=f (2)=7+a>0,得a>-7. 因为a<-4,所以-7<a<-4. 综上所述,a 的取值范围是(-7,2). 由题意得 2(2k +b )-3(k +b )=5,2b -(-k +b )=1. 解得 k =3,b =-2,式为.5.二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)在区间[-1,1]上,g(x)=f(x)-2x-m,且g(x)min>0,试确定实数m的取值范围.解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=1,得c=1,故f(x)=ax2+bx+1(a≠0).∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,即2ax+a+b=2x,∴f(x)的解析式为f(x)=x2-x+1.(2)g(x)=f(x)-2x-m=x2-3x+1-m.这个二次函数的图象开口向上,对称轴为直线,∴g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上是减函数.故g(x)min=g(1)=-m-1>0,解得m<-1.即实数m的取值范围是(-∞,-1).。
人教B版：2.2.3待定系数法
二次函数的解析式。 解： 因为二次函数的图象与x轴交于A(－2, 0), B(3, 0)两点，所以可设二次函数为
f(x)=a(x+2)(x－3)，
将C点坐标(0，－3)代入得
－6a=－3，解得a= 2 .
所以二次函数是f(x)= (x+2)(x－3).
2 1
1
即f(x)= 2 x2－ 2 x－3.
y
O
x
在解应用问题时，我们常用一个字母， 如x，y，z，……来表示未知数，然后根据问
题的条件列方程求解. 在解决某些问题中，
有时要根据条件确定一个未知函数.
例如已知一个正比例函数的图象通过点
，其中k待定，
根据已知条件，将点(－3， 4)代入可得
2
（3） 两根式： y a( x x1 )( x x2 )( a 0)
例1. 已知一个二次函数f(x)，f(0)=－5， f(－1)=－4，f(2)=5，求这个函数. 解：设所求函数为f(x)=ax2+bx+c，其中a， b，c待定，
0 0 c 5 根据已知条件得方程组 a b c 4 4 a 2b c 5
即
k b 5 k b 1
解得k=3，b=－2. 因此所求的函数是y=3x－2.
例3. 已知函数f(x)是一次函数，且有
f[f(x)]=9x+8，求此一次函数的解析式。
解： 设该一次函数是y=ax+b,由题意得 f[f(x)]=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=9x+8. 所以有
一次函数：y=kx+b
待定系数k、b；
待定系数a、b、c；
数学人教B版必修1学案：课堂导学 2-2-3待定系数法 含
课堂导学三点剖析一、待定系数法求二次函数的解析式【例1】根据下列条件求二次函数解析式.(1)该二次函数的图象过(0,1)、(1，-3)、(-1,3)三点；(2)该二次函数的图象过点(1,4)，且与x 轴的交点为(-1,0)和(3,0)；(3)该二次函数的图象顶点为(1,4)，与x 轴交于(-1,0)点.思路分析：(1)已知二次函数图象上的三点坐标，可设一般式.(2)已知二次函数的图象与x 轴的交点，可设零点式.(3)已知二次函数图象的顶点，可设顶点式.解:(1)设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c,则⎪⎩⎪⎨⎧=+=++= 3.c b -a -3,c b a 1,c解之,得a=-1,b=-3,c=1，即所求二次函数为y=-x 2-3x+1.(2)设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3).又∵图象过点(1,4),∴4=a ∙2×(-2)⇒a=-1,即所求二次函数解析式为y=-x 2+2x+3.(3)设所求二次函数为y=a(x-1)2+4.又∵图象过(-1,0),∴0=a(-1-1)2+4⇒a=-1,即所求二次函数的解析式为y=-x 2+2x+3.二、待定系数法求一般函数的解析式【例2】f(x)=ax 2+a 2x+2b-a 3,当x ∈(-2,6)时，f(x)>0；当x ∈(-∞,-2)∪(6,+∞)时，f(x)<0.求a 、b 及f(x).思路分析：二次函数的零点是函数值大于0和小于0的分界点.先根据题目条件,把二次函数的零点求出来.解:当a=0时，显然不符合题设条件，故a≠0，于是可由题设条件画出f(x)的草图，如右图所示.由图知x=-2和x=6是方程ax 2+a 2x+2b-a 3=0的两根，且a<0，利用一元二次方程的根与系数的关系，得⎪⎩⎪⎨⎧-=∙--=+-.26)2(,6)2(3a a b a 解之,得⎩⎨⎧==-8.b -4,a∴f(x)=-4x 2+16x+48.温馨提示注意二次函数与二次不等式之间的关系.三、用待定系数法解带参变量的函数问题【例3】已知a 、b 为常数,若f(x)=x 2+4x+3,f(ax+b)=x 2+10x+24,则5a-b=_____.思路分析：利用待定系数法及代数恒等式性质,求出f(ax+b),再根据恒等式性质建立a 、b 的方程求解.解:∵f(x)=x 2+4x+3,∴f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3=a 2x 2+(2ab+4a)x+b 2+4b+3.又f(ax+b)=x 2+10x+24,∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=24.34b b 10,4a 2ab 1,a 22解之,得⎩⎨⎧==3b 1,a 或⎩⎨⎧==-7.b -1,a ∴5a-b=2.答案：2各个击破类题演练1设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x),且f(x)=0的两实数根平方和为10,图象过点(0,3),求f(x)的解析式.解析：设f(x)=ax 2+bx+c(a≠0),由f(x+2)=f(2-x)知该函数的图象关于直线x=2对称. ∴ab 2-=2,即b=-4a. ① 又图象过点(0,3),∴c=3. ② 又x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=(a b -)2a c 2-=10. ∴b 2-2ac=10a 2. ③解①②③,得a=1,b=-4,c=3,故f(x)=x 2-4x+3.变式提升1若f{f ［f(x)］}=27x+26,求一次函数f(x)的解析式.解析：设f(x)=ax+b,f ［f(x)］=a 2x+ab+b,f{f ［f(x)］}=a(a 2x+ab+b)+b=a 3x+a 2b+ab+b,∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=26.b ab b a 27,a 23 解之,得a=3,b=2,则f(x)=3x+2.类题演练2二次不等式ax 2+bx+2>0的解集是(-21,31)，则a+b 的值是（ ）A.10B.-10C.14D.-14解析：令f(x)=ax 2+bx+2.由题意-21、31是f(x)=0的两根, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯--=+-.23121,3121aa b 解之,得⎩⎨⎧==-2.b -12,a ∴a+b=-14.答案：D变式提升2设函数f(x)=⎩⎨⎧>≤++,0,2,0,2x x c bx x 若f(-4)=f(0),f(-2)=2,则关于x 的方程f(x)=x 的解的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析：由题意,得b=4,c=6.当x<0时,有x 2+4x+6=x,方程无解;当x>0时,x=2.答案：A类题演练3若函数f(x)=1-++a x a x 的图象的对称中心为(3，1)，则实数a 的值为_______. 思路分析：反比例函数图象的对称中心是原点，可利用坐标轴或图象的平移求出f(x)的对称中心.解：f(x)=1+11-+a x ,∴y-1=)1(1a x --. ∴中心即为(1-a,1).∴令1-a=3⇒a=-2.答案：-2变式提升3函数f(x)=21x b ax ++是定义在(-1,1)上的奇函数，且f(21)=52,求函数f(x)的解析式. 解析：对任意x ∈(-1,1),有f(-x)=-f(x), 即21x b ax ++-=21xb ax ++-. ∴b=0.又由f(21)=52,得a=1. ∴f(x)=21x x +.。
高中数学 2.2.3《待定系数法》学案 新人教b必修11
2.2.3 待定系数法 学案【预习达标】1．用待定系数法解题时，关键步骤是什么？2．二次函数的解析式有哪些形式？【课前达标】1．基本知识填空：(1)、一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可以把所求的函数写为一般形式，其中______________________，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过____________求___________来确定_____________的方法，叫待定系数法。
（2）、正比例函数的一般形式为_____________________,一次函数的一般形式为___________________________，二次函数的一般形式为__________________________.2．正比例函数的图象经过（1，4）点，则此函数的解析式为________________3．二次函数的图象的顶点坐标为（1，2），且过（0，0）点，则函数解析式为_____________ 参考答案：2．4y x =3．22(1)2y x =--+【典例解析】例1．已知)(x f 是一次函数，且34)][(+=x x f ，求)(x f 。
例2．已知二次函数的图象过点（1，4）,且与x 轴的交点为（-1，0）和（3，0），求函数的解析式。
例3．已知a ，b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++则5a b -=______；参考答案：例1．解：设)0()(≠+=k b kx x f ，b b kx k x f f ++=∴)()]([即 342+=++x b kb x k ⎩⎨⎧=+=∴342b kb k ，解得 ⎩⎨⎧==12b k 或⎩⎨⎧-=-=32b k32)(12)(--=+=∴x x f x x f 或评析：已知函数是一次函数，故设出一般形式，再求相应的系数例2． 解法一：设函数的解析式为c bx ax y ++=2，将三个点的坐标代入，得⎪⎩⎪⎨⎧++=+-=++=c b a c b a c b a 39004，解得3,3,1==-=c b a32)(2++-=∴x x x f解法二 ：设函数的解析式为)3)(1(-+=x x a y ，将（1，4）代入1-=a32)3)(1()(2++-=-+-=∴x x x x x f评析：已知二次函数与x 轴的交点)0,(),0(2,1x x ,可设函数解析式为))((21x x x x a y --= 例3．⎩⎨⎧==31b a 或⎩⎨⎧-=-=71b a ，所以25=-b a【达标测试】一、 选择题1、已知))(1(322b ax x x x +-=-+，则b a ,的值分别为 （ ）（A ）2，3（B ）3，2 （C ）-2，3 （D ） -3，2u2、已知二次函数222)1(2)(m m x m x x f -+-+-=，如果它的图象关于y 轴对称，则m 的值为 （ ）（A ）1 （B ）0 （C ）2 （D ） -1二、填空题:3、直线2+=x y 与抛物线x x y 22+=的交点坐标为_______________________.4、若抛物线c x x y ++=62的顶点在x 轴上，那么c 的值为_________________.三、解答题：5、已知二次函数满足569)13(2+-=+x x x f ，求)(x f6、设)(x f 为定义在实数集上的偶函数，当1-≤x 时，图象为经过点（-2，0），斜率为1的射线，又11<<-x 时图象是顶点为（0，2），且过点（-1，1）的一段抛物线，求函数的表达式。
待定系数法
一次函数表达式的确定学案 一、学习目标： １、待定系数法确定一次函数关系式的步骤；（1.设 2.代 3.解 4.确定） 2、能通过观察、理解函数的图象，并能从中获取信息，确定一次函数的表达式，发展形象思维能力； 3、渗透的三种数学思想方法：数形结合思想、转化思想方法、函数与方程思想方法。
注：做题时要认真审题，仔细分析，听讲注意力要集中，回答问题要积极。
二、知识链接： 1、y=-3x+2经过（-2，_________） 2、若y 与x 成正比例，且x=5时，y=7，则此函数的关系式为________________ 3、直线y ＝kx －2过点（2，－6），则k ＝_________，点（-4，3）在这个函数的图象上吗？________(填“是”或“不是”) 4、下列一次函数中，y 的值随x 值的增大而增大的是（ ） A 、y=-5x+3 B 、y=-x-7 C 、y=x 3-5 D 、y=-x 7+4 5、下列一次函数中，y 的值随x 值的增大而减小的是（ ） A 、y=32x-8 B 、y=-x+3 C 、y=2x+5 D 、y=7x-6 三、探究新知：例1：如图，直线l 是函数y ＝kx ＋b 的图象， (1)该函数的图象过点（____,0）和（0,____）； （2）试求函数y 与x 的表达式 (3)当x ＝10时，y 是多少？ （4）当y ＝10时，x 是多少？.友情提示四、巩固新知（一）：1.利用图象写出直线所表示的变量y 与x 的关系式_____________________ _____________________ __________________2、已知一次函数的图象经过点（1，0），（0，－2 ）.求此一次函数的解析式。
五．运用新知：1.已知y -2与x 成正比,且当x=1时,y= -6(1)求y 与x 之间的函数关系式(2)若点(a,2)在这个函数图象上，求a 的值2.已知函数y=(2m+1)x+m -3(1)若函数图象经过原点,求m 的值 (2)若这个函数是一 次函数,且y 随着x 的增大而减小,求m 的取值范围. 3、设一次函数y ＝kx ＋b （k,b 是常数，且k ≠0）当x=0时y=-3；当x=-1时y=4； （1）求这个一次函数的关系式。
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2.2.3待定系数法学案
出题人：王国伟 2008-11-6
【学习目标】
1、 会求一些简单的系数；
2、 会用待定系数法求函数的函数的解析式。
【自主学习】
1、一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的 ，可先把所求函数写为一般形式，其中 ，然后再根据 求出这些待定系数. 这种通过求待定系数来 的方法叫做 。
2、两个一元多项是分别整理成标准式之后，当且仅当它们对应同类项的系数相等，则称这两个多项是相等，如:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⇔++=++'''22c x b x a c bx ax
3、二次函数解析式形式有哪几种？ （1）、 ；
（2）、 ；
（3）、 。
跟踪1、已知一个二次函数5)2(,4)1(,5)0(),(=-=--=f f f x f ，求这个函数。
跟踪2、已知)(x f y =是一次函数，且有1)1()0(2,5)1(3)2(2=--=-f f f f ，求这个函数的解析式。
总结：待定系数法解题的基本步骤是什么？
【典例示范】
例：抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于点)0,3(-A ，对称轴1-=x ，顶点C 到x 轴的距离为2，求此抛物线的解析式。
（至少用两种方法解出）
探索与研究：请同学们自己探索研究一下，给定哪些条件，才能确定一个具体的二次函数？
【稳扎马步】
1、已知一次函数过点（10，ａ）与（
29,23），且其对应直线的斜率为３，则a 的值为（ ） Ａ．2
3 Ｂ．30 Ｃ．10 Ｄ．15 2、已知一个一次函数的图像过点)4,3(),3,1(，在这个函数的解析式为（ ）
Ａ．2521-=x y Ｂ．2521+=x y Ｃ．2521+-=x y Ｄ．2
521--=x y 3、已知一个二次函数经过)3,2(),0,1(),0,1(-点，则这个函数的解析式为（ ）
Ａ．12-=x y Ｂ．21x y -= Ｃ．1212+-=x y Ｄ．12
12-=x y
4、已知函数f （ｘ）＝c bx ax ++2（0≠a ）是偶函数，那么cx bx ax x g ++=23)(是（ ）
Ａ．奇函数 Ｂ．偶函数
Ｃ．可能是奇函数也可能是偶函数 Ｄ．不是奇函数也不是偶函数
5、二次函数1422+-=x x a y 有最小值－１，则ａ的值为（ ）
Ａ．2 Ｂ．－2 Ｃ．2± Ｄ．2±
6、如果二次函数12++=bx ax y 的图像的对称轴是1=x ，且通过点)7,1(-A ，则a ，b 的值分别是（ ）
Ａ．2，4 Ｂ．2，－4 Ｃ．—2，4 Ｄ．—2,—4
【重拳出击】
7、函数132++-=x ax ax y 的图像与x 轴有且只有一个交点，那么a 的值为（ ） Ａ．0 Ｂ．0或1 Ｃ．0或1或9 Ｄ．0或1或9或12
8、已知)(,2))(()(b a b x a x x f <---=，并且βα,是方程0)(=x f 的两根，则实数βα,,,b a 的大小关系可能是（ ）
Ａ．βα<<<b a Ｂ．b a <<<βα Ｃ．βα<<<b a Ｄ．b a <<<βα
9、若不等式22++bx ax ＞０的解集是⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
<<-3121|x x ，则ａ－ｂ的值是（ ） Ａ．10 Ｂ．14 Ｃ．－10 Ｄ．－14
10、二次函数c bx x y ++=2
的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数为122+-=x x y ，则b= ，c= 。
11、已知c bx ax x f ++=2)(，若0)0(=f ，且1)()1(++=+x x f x f ，则=)(x f 。
12、已知偶函数)(x f 的定义域为R ，且在)0,(-∞上是增函数，试比较)4
3
(-f 与)(),1(2R a a a f ∈+-的大小。
【登峰揽月】
13、已知Ａ＝{}0|2≤++q px x x ，Ｂ＝⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
>--013|x x x ，且R B A =⋃，{}43|≤<=⋂x x B A ，则ｐ，ｑ的值分别为（ ）
Ａ．ｐ＝－３，ｑ＝４ Ｂ．ｐ＝３，ｑ＝－４
Ｃ．ｐ＝－５，ｑ＝４ Ｄ．ｐ＝５，ｑ＝４
14、若函数3)2(2+++=x a x y ，ｘ[]b a ,∈的图象关于ｘ＝１对称，则ａ＝ ，ｂ＝ ．
15、已知二次函数bx ax x f +=2)(（ａ，ｂ是常数，且ａ≠０）满足条件：)2(f ＝０，
方程)(x f ＝ｘ有两个相等的实根．
（１）求)(x f 的解析式；
（２）问是否存在实数ｍ，ｎ()n m <，使)(x f 的定义域和值域分别为[]n m ,和[]n m 2,2，
如果存在，求出ｍ，ｎ的值，如果不存在，说明理由．。