2018年高考总复习知识导学案(文科)7.2空间几何体的表面积和体积
空间几何体的表面积与体积导学案高三数学一轮复习
第八章 第二节 空间几何体的表面积与体积一、学习目标 【课标解读】了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 【衍生考点】1.空间几何体的表面积与侧面积2.空间几何体的体积3.与球有关的切、接问题 二、相关知识回顾 1.多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是 ,表面积是侧面积与底面面积之和.【微点拨】当台体的上底面与下底面全等时,台体变为柱体;当台体上底面缩为一个点时,台体变为锥体.柱体、锥体、台体的体积公式间有如下联系:【微拓展】球的截面的性质 (1)球的截面是圆面;(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;(3)球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r 的关系为【微思考】如何求不规则几何体的体积?【常用结论】1.与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等. 2.长方体的外接球V 柱体=Sh V 台体=13(S'+ S 'S +S )hV 锥体=13Sh.r=√R 2-d 2.(1)球心:体对角线的交点. (2)半径:r=a 2+b 2+c 22(a ,b ,c 分别为长方体的长、宽、高).3.正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)(1)外接球:球心是正四面体的中心;半径r= 64a (a 为正四面体的棱长). (2)内切球:球心是正四面体的中心;半径r= 612a (a 为正四面体的棱长).三、考点精讲精练考点一 空间几何体的表面积与侧面积 【典例突破】例1.(1)(2021四川成都三诊)某几何体的三视图如图所示,已知网格纸上的小正方形边长为1,则该几何体的表面积为( )A.(20+8 2)πB.(20+4 2)πC.(24+8 2)πD.(24+4 2)π(2)(2021河南安阳高三三模)为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境,某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示,该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体,正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形,若正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为 7∶8,则正六棱锥与正六棱柱的高的比值为( ) A. 32 B.23C. 34D.12对点训练1(1)(2020全国Ⅱ,理10)已知△ABC 是面积为的等边三角形,且其顶点都在球O 的球面上.若球O的表面积为16π,则O 到平面ABC 的距离为(2)(2021陕西西安检测)下图网格纸中小正方形的边长为1,粗线画出的是一个几何体的三视图,则该几何体的表面积为( ) A.4 10π+4 29π+6πB.4 15π+4 29π+6πC.2 15π+2 29π+6πD.2 10π+2 29π+6π 考点二 空间几何体的体积(多考向探究) 考向1.简单几何体的体积 【典例突破】例2.(1)(2021北京,8)某一时间段内,从天空降落到地面上的雨水,未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度,称为这个时段的降雨量(单位:mm).24 h 降雨量的等级划分如下:在综合实践活动中,某小组自制了一个底面直径为200 mm,高为300 mm 的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中,该雨量器收集的24 h 的雨水高度是150 mm(如图所示),则这24 h 降雨量的等级是( )9 34A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨(2)(2021浙江杭州二模)某四棱锥的三视图(图中每个小方格的边长为1)如图所示,则该四棱锥的体积为( )A.4B.83C.43D.1考向2.不规则几何体的体积 【典例突破】例3.(1)(2021河南开封模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈;上袤二丈,无广;高一丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽3丈,长4丈;上棱长2丈,高一丈.问它的体积是多少?”已知1丈为10尺,现将该楔体的三视图给出如下图所示,其中网格纸上小正方形的边长为1丈,则该楔体的体积为( ) A.5 000立方尺 B.5 500立方尺 C.6 000立方尺 D.6 500立方尺(2)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为( )A.13+2π3B.13+ 2π3C.13+2π6D.1+2π6对点训练2(1)(2021山东莱州高三检测)如图所示,半径为R 的半圆内(其中∠BAC=30°)的阴影部分以直径AB 所在直线为轴,旋转一周得到一个几何体,则该几何体的体积为 .(2)(2021福建龙岩高三模拟)某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息.如图①的多面体石凳是由图②的正方体石块截去八个相同的四面体得到,且该石凳的体积是m m 3,则正方体石块的棱长为 .考点三 与球有关的切、接问题(多考向探究) 考向1.几何体的外接球问题 【典例突破】例4.(1)(2021广西玉林模拟)攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称攒尖,依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖,也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑、园林建筑.某四角攒尖,它的主要部分轮廓可以近似看作一个正四棱锥,其三视图如图所示,则这个四棱锥外接球的表面积为( )(2)(2021甘肃兰州月考)已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是矩形,AD=1,AB=2,侧棱P A ⊥底面ABCD ,且直线PB 与CD 所成角的余弦值为 ,则四棱锥P-ABCD 的外接球的表面积为 .对点训练3(1)(2021四川成都二诊)已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球O 的球面上,则该圆柱的侧面积的最大值为( )160 0003 2 5532π3(2)(2021河北邯郸三模)在上、下底面均为正方形的四棱台ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=BB1=CC1=DD1=,AB=2,A1B1=1,则该四棱台的表面积为;该四棱台外接球的体积为.考向2.几何体的内切球问题【典例突破】例5.(1)(2021四川成都石室中学高三)《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑,若三棱锥P-ABC 为鳖臑,P A⊥平面ABC, P A=BC=4,AB=3,AB⊥BC,若三棱锥P-ABC有一个内切球O,则球O的体积为()A.9π2B.9π4C.9π16D.9π(2)(2021山东潍坊三模改编)圆锥的内切球(与圆锥的底面及侧面都相切的球)的表面积与该圆锥的表面积之比的最大值为.对点训练4(1)(2021广西桂林、崇左二模)有一底面半径与高的比值为12的圆柱,则该圆柱的表面积与其内切球的表面积之比为()∶3∶2∶1∶3(2)(2021云南昆明一中高三月考)在封闭的正四棱锥内有一个体积为V的球.若正四棱锥的底面边长为43,侧棱长为215,则V的最大值是()A.36πB.32π3C.9π2D.4π32。
2018届高考数学一轮复习第七章立体几何第二节空间几何体的表面积与体积学案文
第二节空间几何体的表面积与体积1.了解球、柱体、锥体、台体的表面积计算公式．2．了解球、柱体、锥体、台体的体积计算公式．知识点一空间几何体的表面积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和．答案1．2πrl πrl1．(2016·新课标全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π解析：该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径r ＝2，底面圆的周长c ＝2πr ＝4π，圆锥的母线长l ＝22＋ 23 2＝4，圆柱的高h ＝4，所以该几何体的表面积S 表＝πr 2＋ch ＋12cl ＝4π＋16π＋8π＝28π，故选C .答案：C2．(必修②P 36A 组第10题改编)一直角三角形的三边长分别为6 cm ，8 cm, 10 cm ，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为________．解析：旋转一周所得几何体为以245 cm 为半径的两个同底面的圆锥，其表面积为S ＝π×245×6＋π×245×8＝3365π(cm 2)．答案：3365π(cm 2)知识点二 空间几何体的体积 1．柱体：V ＝________； 2．棱锥：V ＝________；3．棱台：V ＝13h(S 上＋S 下＋S 上S 下)；4．球：V ＝43πR 3.答案1．Sh 2.13Sh3．(2016·新课标全国卷Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．12πB .323π C ．8π D ．4π解析：由正方体的体积为8可知，正方体的棱长a ＝2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2R ＝3a(R 为正方体外接球的半径)，所以R ＝3，故所求球的表面积S ＝4πR 2＝12π.答案：A4．(必修②P 28习题1.3A 组第3题改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a ，b ，c ，它截出棱锥的体积为V 1＝13×12×12a×12b×12c ＝148abc ，剩下的几何体的体积V 2＝abc －148abc ＝4748abc, 所以V 1 V 2＝1 47. 答案：1 475．三棱锥P －ABC 中，PA⊥底面ABC ，PA ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P －ABC 的体积等于________．解析：∵PA⊥底面ABC ，∴PA 为三棱锥P －ABC 的高，且PA ＝3. ∵底面ABC 为正三角形且边长为2， ∴底面面积为12×22×sin 60°＝3，∴V P －ABC ＝13×3×3＝ 3.答案： 3热点一 空间几何体的表面积【例1】 (1)(2016·新课标全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( ) A ．17π B ．18π C ．20πD ．28π(2)(2017·黑龙江哈师大附中一模)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A .73B .172C ．13D .17＋3102【解析】 (1)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r ，故78×43πr 3＝283π，所以r ＝2，表面积S ＝78×4πr 2＋34πr 2＝17π，选A . (2)由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示．则CC′⊥平面ABC ，上下底均为等腰直角三角形，AC⊥BC，AC ＝BC ＝1，A′C′＝B′C′＝C′C＝2，∴AB＝2，A′B′＝22.∴棱台的上底面积为12×1×1＝12，下底面积为12×2×2＝2，梯形ACC′A′的面积为12×(1＋2)×2＝3，梯形BCC′B′的面积为12×(1＋2)×2＝3，过A 作AD⊥A′C′于D ，过D 作DE⊥A′B′，则AD ＝CC′＝2，DE 为△A′B′C′斜边高的12，∴DE＝22，∴AE＝AD 2＋DE 2＝32，∴梯形ABB′A′的面积为12×(2＋22)×32＝92，∴几何体的表面积S ＝12＋2＋3＋3＋92＝13，故选C .【答案】 (1)A (2)C某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为( )A ．54B ．60C ．66D ．72解析：根据几何体的三视图可得该几何体的直观图为如图所示的ABC －DEF ，故其表面积为S ＝S △DEF ＋S △ABC ＋S 梯形ABED ＋S 梯形CBEF ＋S 矩形ACFD ＝12×3×5＋12×3×4＋12×(5＋2)×4＋12×(5＋2)×5＋3×5＝60.故选B .答案：B热点二 空间几何体的体积【例2】 如图所示，已知E ，F 分别是棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱A 1A ，CC 1的中点，则四棱锥C 1－B 1EDF 的体积为________．【解析】(1)法1：连接A 1C 1，B 1D 1交于点O 1，连接B 1D ，EF ，过O 1作O 1H⊥B 1D 于H.∵EF∥A 1C 1，且A 1C 1⊄平面B 1EDF ，EF ⊂平面B 1EDF ，∴A 1C 1∥平面B 1EDF.∴C 1到平面B 1EDF 的距离就是A 1C 1到平面B 1EDF 的距离． ∵平面B 1D 1D⊥平面B 1EDF ，且平面B 1D 1D∩平面B 1EDF ＝B 1D ， ∴O 1H⊥平面B 1EDF ，即O 1H 为棱锥的高， ∵△B 1O 1H∽△B 1DD 1， ∴O 1H ＝B 1O 1·DD 1B 1D ＝66a.∴V C 1－B 1EDF ＝13S 四边形B 1EDF ·O 1H＝13·12·EF·B 1D·O 1H ＝13·12·2a·3a·66a ＝16a 3. 法2：连接EF ，B 1D.设B 1到平面C 1EF 的距离为h 1，D 到平面C 1EF 的距离为h 2，则h 1＋h 2＝B 1D 1＝2a. 由题意得，V C 1－B 1EDF ＝V B 1－C 1EF ＋V D －C 1EF ＝13·S △C 1EF ·(h 1＋h 2)＝16a 3.【答案】 16a 3(1)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A .18B .17C .16D .15(2)如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF ＝2，则该多面体的体积为( )A .23 B .33 C .43D .32解析：(1)由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V 2＝13－16＝56，所以V 1V 2＝1656＝15.(2)如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，则△BHC 中BC 边的高h ＝22.∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴V＝V E －ADG ＋V F －BHC ＋V AGD －BHC ＝2V E －ADG ＋V AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23.答案：(1)D (2)A热点三 与球有关的切、接问题 考向1 球的内接问题【例3】 已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A .26 B .36 C .23D .22【解析】 由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 底面都是△ABC，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，所以三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍．在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，如图所示，S △ABC ＝34×AB 2＝34，高OD ＝12－⎝⎛⎭⎪⎫332＝63， ∴V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝26. 【答案】 A考向2 球的外切问题【例4】 若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.【解析】 设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2π6a 2＝63π. 【答案】 63π(1)(2017·张掖模拟)如图是一个空间几何体的三视图，该几何体的外接球的体积记为V 1，俯视图绕斜边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为V 2，则V 1 V 2＝( )A ．12 2B ．8 2C ．6 2D ．4 2(2)如图，已知球O 是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为( )A .66π B .π3 C .π6D .33π 解析：(1)三视图复原的几何体如图，它是底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的三棱锥，它的外接球，就是扩展为长方体的外接球，外接球的直径是22，该几何体的外接球的体积V 1＝43π(2)3＝823π， V 2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×12×1×π＝23π， 所以V 1 V 2＝823π 2π3＝4 2.(2)平面ACD 1截球O 的截面为△ACD 1的内切圆．因为正方体的棱长为1，所以AC ＝CD 1＝AD 1＝2，所以内切圆的半径r ＝66，所以S ＝πr 2＝π×636＝16π. 答案：(1)D (2)C1．对于基本概念和能用公式直接求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决，这种题目难度不大．2．要注意将空间问题转化为平面问题．3．当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．如何巧妙确定各类外接球的球心简单多面体的外接球问题是立体几何中的难点也是重要的考点，此类问题最能有效考查考生的空间想象能力，自然受到命题者的青睐．有些同学对于此类问题的解答，往往不知从何处入手，其实简单多面体的外接球问题实质上就是解决球的半径和确定球心位置的问题，其中球心的确定是关键，抓住球心就抓住了球的位置．为此下面介绍了几个解决球类问题的策略，可以快速秒杀各类球的球心．一、由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．深刻理解球的定义，可以得到简单多面体的一些常见结论：1．长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；2．正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；3．直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；4．正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到；5．若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．【例1】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A．16πB．20πC．24πD．32π【解析】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，可求得底面边长为2，故球的直径为22＋22＋42＝26，半径为6，球的表面积为24π，故选C.【答案】C解题策略：本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来迅速求解的．二、构造长方体或正方体确定球心1．正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；2．同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；3．若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；4．若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体．【例2】 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的体积是________．【解析】 三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则可将三棱锥补形成正方体，从而外接球的直径为3，半径为32，故所求外接球的体积V ＝4π3×(32)3＝9π2. 【答案】 9π2解题策略：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a 、b 、c ，则可以将这个三棱锥补形成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥外接球的直径．设其外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.三、由性质确定球心利用球心O 与截面圆圆心O′的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．【例3】 正三棱锥A －BCD 内接于球O ，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O 的表面积为________．【解析】 如图，设三棱锥A －BCD 的外接球的半径为r ，M 为正△BCD 的中心，因为BC ＝CD ＝BD ＝3，AB ＝AC ＝AD ＝2，AM⊥平面BCD ，所以DM ＝1，AM ＝3，又OA ＝OD ＝r ，所以(3－r)2＋1＝r 2，解得r ＝233，所以球O 的表面积S ＝4πr 2＝16π3.【答案】 16π3解题策略：本题是运用公式R 2＝r 2＋d 2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式．本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究．这种等价转化的数学思想方法值得我们深思．。
2018版高考数学一轮复习课件：第7章 第2节 空间几何体的表面积与体积
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第十七页，编辑于星期六：二十二点 二十八分。
高三一轮总复习
[规律方法] 1.(1)多面体与旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积之和．(2) 简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理．
2．若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发 现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条 件求解．
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第二十三页，编辑于星期六：二十二点 二十八 分。
高三一轮总复习
由于 V 圆柱＝π·AB2·BC＝π×12×2＝2π， V 圆锥＝13π·CE2·DE＝13π·12×(2－1)＝π3， 所以该几何体的体积 V＝V 圆柱－V 圆锥＝2π－π3＝53π. (2)由三视图知，四棱锥的高为 3，底面平行四边形的一边长为 2，对应高为 1， 所以其体积 V＝13Sh＝13×2×1×3＝2.]
此时 2r＝4＞3，不合题意． 因此球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径 R 最大． 由 2R＝3，即 R＝32. 故球的最大体积 V＝43πR3＝92π.]
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第二十九页，编辑于星期六：二十二点 二十八 分。
高三一轮总复习
[迁移探究 1] 若本例中的条件变为“直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上”，若 AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球 O 的表面积．
高三一轮总复习
△BCD 为等腰三角形，E 为 BC 的中点，连接 AE，DE， 又 AD＝BE＝EC＝1，DE＝2， 所以 BD＝CD＝ 5，AE＝ 5. 则 S△ACD＝S△ABD＝12×1× 5＝ 25，S△ABC＝12×2× 5＝ 5，S△BCD＝2. 故 S 表＝S△ACD＋S△ABD＋S△BCD＋S△ABC＝2＋2 5.
高考数学一轮复习第7章立体几何7.2空间几何体的表面积与体积课件文
A.π2＋1 B.π2＋3 C.32π＋1 D.32π＋3
还原几何体，分清组合体构成部分．
解析 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面 半径为 1，高为 3 的圆锥的一半与一个底面为直角边长是 2 的等腰直角三角形，高为 3 的三棱锥的组合体，
∴该几何体的体积 V＝13×π2×12×3＋13×12× 2× 2×3＝π2＋1. 故选 A.
角度 2 根据几何体的直观图计算体积
典例 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今 有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．” 现有一个羡除如图所示，四边形 ABCD、ABFE、CDEF 均 为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10, EF 到平面 ABCD 的距离为 3，CD 与 AB 间的距离为 10，则这 个羡除的体积是( )
A．18＋36 5 C．90
B．54＋18 5 D．81
解析 由三视图可知，该几何体的底面是边长为 3 的 正方形，高为 6，侧棱长为 3 5的平行六面体，则该几何体 的表面积 S＝2×32＋2×3×3 5＋2×3×6＝54＋18 5.故 选 B.
题型 2 空间几何体的体积 角度 1 根据几何体的三视图计算体积 典例 (2017·浙江高考)某几何体的三视图如图所示 (单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
解析 由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图 所示．该几何体由两个完全相同的长方体组合而成，其中 AB＝BC＝2 cm，BD＝4 cm，所以该几何体的体积 V＝ 2×2×4×2＝32 cm3，表面积 S＝(2×2×3＋2×4×3)×2 ＝36×2＝72 cm2.
经典题型冲关
题型 1 空间几何体的侧面积与表面积 典例 (2016·全国卷Ⅱ)下图是由圆柱与圆锥组合而 成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
高三 一轮复习 空间几何体的表面积及体积 教案
空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrlS 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝π(r ＋r ′)l2．空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体 (棱柱和圆柱)S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体 (棱锥和圆锥)S 表面积＝S 侧＋S 底V ＝13Sh台体 (棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 31．求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错． 2．易混侧面积与表面积的概念． [试一试]1.(2012·江苏高考)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A -BB 1D 1D 的体积为________cm 3.2．(2013·苏州暑假调查)设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝PB ＝1，PC ＝2，则球O 的表面积是________．1．求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体．2．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①正方体的外接球，则2R＝3a；②正方体的内切球，则2R＝a；③球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.3．旋转体侧面积问题中的转化思想计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．[练一练]1．(2014·南通一调)已知正四棱锥的底面边长是6，高为7，则这个正四棱锥的侧面积是________．2．在三棱柱ABC-A′B′C′中，已知AA′⊥平面ABC，AA′＝2，BC＝23，∠BAC＝π2，且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上，则球的体积为________．考点一几何体的表面积1．(2013·南通三模)底面边长为2 m，高为1 m的正三棱锥的全面积为________ m2.2．(2013·苏州暑期调查)若正四面体的棱长为a，则其外接球的表面积为________．[类题通法]几何体的表面积问题的求法(1)找准几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)注意组合体的表面积问题中重合部分的处理．考点二几何体的体积[典例](1)如图所示，已知三棱柱ABC -A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1 -ABC1的体积为________．(2)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则三棱锥A-B1D1D的体积为________ cm3.[类题通法]求解几何体体积的策略及注意问题(1)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高．(2)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．(3)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征．[针对训练](2013·苏北四市二模)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，O为底面正方形ABCD的中心，则三棱锥B1-BCO的体积为________．与球有关的切、接问题考点三与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点.命题角度多变，归纳起来常见的命题角度有： (1)直三棱柱的外接球； (2)正(长)方体的外接球； (3)正四面体的内切球； (4)四面体的外接球； (5)正三棱柱的内切球.角度一 直三棱柱的外接球1．(2013·辽宁高考改编)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为________．角度二 正(长)方体的外接球2．一个正方体的棱长为2，则该几何体外接球的体积为________．角度三 正四面体的内切球3．若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.角度四 四面体的外接球4．(2014·南通期末)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为23，则四面体A -B 1CD 1的外接球的体积为________．角度五 正三棱柱的内切球5．点P 是底边长为23，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN 是该棱柱内切球的一条直径，则PM ·PN 的取值范围是________．[类题通法]解决与球有关的切、接问题的方法(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．(2)若球面上四点P，A，B，C中P A，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．[课堂练通考点]1．(2013·南京三模)已知圆锥的母线长为2，高为3，则该圆锥的侧面积是________．2．(2014·苏北三市统考)若一个长方体的长、宽、高分别为3，2，1，则它的外接球的表面积是________．3．(2014·苏北四市质检)已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M分别为线段BD1，B1C1上的点，若BPPD1＝12，则三棱锥M-PBC的体积为________．4．已知三棱锥O-ABC中，∠BOC＝90°，OA⊥平面BOC，其中AB＝AC＝7，BC＝11，O，A，B，C四点均在球S的表面上，则球S的表面积为________．5．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝23，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为________．[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为________．2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为________．3．(2013·南京、淮安二模)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3 cm ，圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的高为________ cm.4．设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．5．设M 、N 是球O 半径OP 上的两点，且NP ＝MN ＝OM ，分别过N ，M ，O 作垂直于OP 的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为________．6．(2013·苏北四市三调)在矩形ABCD 中，已知AB ＝2，BC ＝3，以边BC 所在的直线为轴旋转一周，则形成的几何体的侧面积为________．7．(2014·苏北四市摸底)已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为433，则它的体积为________．8.(创新题)如图，在三棱锥D -ABC 中，已知BC ⊥AD ，BC ＝2，AD ＝6，AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10，则三棱锥D -ABC 的体积的最大值是________．9.如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形， 其中BD 是圆的直径，∠ABD ＝60°，∠BDC ＝45°，△ADP ∽△BAD .(1)求线段PD的长；(2)若PC＝11R，求三棱锥P-ABC的体积．10．(2014·徐州质检)如图，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求三棱锥E -BCD的体积．第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·苏中三市、宿迁调研(一))若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2 cm的半圆，则该圆锥的高为________ cm.2．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个正四面体的体积为。
高考一轮复习第七章 第二节 空间几何体的表面积和体积
法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的
方法，应熟练掌握．
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3．等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥
的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计
算；②利用“等积法”可求“点到面的距离”.
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[精析考题] [例3] (2011· 陕西高考)如图，在△ABC中，∠ABC＝
45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD 折起，使∠BDC＝90°.
(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；
(2)若BD＝1，求三棱锥D－ABC的表面积． 返回
[自主解答]
(1)∵折起前AD是BC边上的高，
∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB. 又DB∩DC＝D，
∴AD⊥平面BDC.
又AD⊂平面ABD， ∴平面ABD⊥平面BDC.
返回
(2)由(1)知，DA⊥DB，DC⊥DA， ∵DB＝DA＝DC＝1，DB⊥DC， ∴AB＝BC＝CA＝ 2. 1 1 从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝2×1×1＝2， 1 3 S△ABC＝2× 2× 2×sin60° 2 ， ＝ 1 3 3＋ 3 ∴三棱锥的表面积S＝2×3＋ 2 ＝ 2 .
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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)
5．(2012· 大连模拟)矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形 ABCD折起，使面BAC⊥面DAC，则四面体A－BCD的外接球 的体积为 125 A. 12 π 125 C. 6 π 125 B. 9 π 125 D. 3 π ( )
第 七 章
立 体 几 何
第 二 节 空 间 几 何 体 的 表 面 积和 体积
抓 基 础
明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练
2018高考数学文全国大一轮复习课件：第七篇 立体几何
知识梳理
表面积 棱 柱 棱 锥 S 表= S 侧+ 2S 底 S 表= S 侧+ S底 S 表= S 侧+ S 上底 + S 下底 表面积即空 间几何体暴 露在外的所 有面的面积 之和 体积 若棱柱的底面积为 S,高为 h, 则 V=S·h 若棱锥的底面积为 S,高为 h, 则 V= V 柱=S·h
2
考点专项突破
考点一 几何体的表面积与侧面积 【高考这样考】
在讲练中理解知识
1.(2016· 全国Ⅲ卷,文10)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画
出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为(
B )
(A)18+36 5 (C)90
(B)54+18 5 (D)81
解析:由三视图知此多面体是一个斜四棱柱, 其表面积 S=2×(3×3+3×6+3×3 5 ) =54+18 5 . 故选 B.
( A
)
(A)
1 6
(B)
1 3
(C)
1 2
(D)1
解析:由三视图知该三棱锥的体积
1 1 1 V= × ×1×1×1= ,选 A. 3 2 6
2.导学号 49612190 如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积为 ( B ) (B)20+3π (C)24+2π (D)24+3π
(A)20+2π
1 2 πrh 3
2
2π r2+2π rl
若圆锥的底面半径和母线长分别为 r,l, 圆锥 则 S 侧= π rl
2 ,S 表= π r
+π rl
若圆台的上、下底面半径和母线长分别为 圆台 r,r′,l,则 S 侧=
2018高考数学7.2 空间几何体的表面积与体积
)
A.21+
3
B.18+
3
C.21
D.18
(2)(2015·石家庄模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的
表面积为 .
【解题提示】(1)将三视图还原为原几何体,求各个面面积的和.
(2)将三视图还原为原几何体,可得该几何体是长方体内挖去圆柱后剩
下的部分.
【规范解答】(1)选A.由三视图可知原几何体是一个正方 体截去两个全等的小正三棱锥.正方体的表面积为S=24, 两个全等的三棱锥是以正方体的相对顶点为顶点 ,侧面是 三个全等的直角边长为1的等腰直角三角形,其侧面面积的和为3,三棱 锥的底面是边长为 的表面积为24-3+
2.教材改编
链接教材
练一练
(1)(必修2P28习题1.3A组T3改编)如图,将一个长方体用过相邻三条 棱的中点的平面截出一个棱锥,则该棱锥的体积与剩下的几何体体积 的比为 .
【解析】设长方体的相邻三条棱长分别为a,b,c,它截出棱锥的体积为
V 1=
1 3 1 2 1 2 a 1 2 b 1 2 c 1 48 abc,
剩下的几何体的体积V2=
abc
1 48
abc
47 48
abc,
所以V1∶V2=1∶47.
答案:1∶47
(2)(必修2P36T10改编)一直角三角形的三边长分别为6cm,8cm,10cm, 绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为 【解析】旋转一周所得几何体为以
24 5
.
cm为半径的两个同底面的圆锥,其
(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.( (5)长方体既有外接球又有内切球.( )
)
【解析】(1)正确.多面体的表面积等于侧面积与底面积之和 .
高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解34---空间几何体的表面积和体积
高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解 专题34 空间几何体的表面积和体积【考纲要求】1．会计算柱、锥、台、球的表面积和体积.【知识清单】知识点1．几何体的表面积圆柱的侧面积 rl S π2=圆柱的表面积 )(2l r r S +=π圆锥的侧面积 rl S π=圆锥的表面积 )(l r r S +=π圆台的侧面积 l r r S )(+'=π圆台的表面积 )(22rl l r r r S +'++'=π球体的表面积 24R S π=柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积. 知识点2．几何体的体积圆柱的体积 h r V 2π=圆锥的体积 h r V 231π=圆台的体积 )(3122r r r r h V '++'=π 球体的体积 334R V π= 正方体的体积 3a V =正方体的体积 abc V =【考点梳理】考点一 ：几何体的面积【典例1】（2020·天津高考真题）若棱长为则该球的表面积为（ ）A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π 【答案】C【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C.【典例2】（2020·全国高考真题（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A ．514-B ．512-C ．514+D ．512+ 【答案】C【解析】如图，设,CD a PE b ==，则PO ==， 由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得14b a +=（负值舍去）. 故选：C.【规律方法】几类空间几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．【变式探究】1．（2018·全国高考真题（理））已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB ∆的面积为__________．【答案】【解析】因为母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，所以母线SA ，SB ，因为SAB 的面积为,l 所以221802l l ⨯==，因为SA 与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为πcos,4l =因此圆锥的侧面积为2ππ.2rl l ==2．（2019·福建高三月考）已知四面体ABCD 内接于球O ，且2AB BC AC ===，若四面体ABCD ，球心O 恰好在棱DA 上，则球O 的表面积是_____． 【答案】16π【解析】如图:在三角形ABC 中,因为222AB BC AC +=,所以△ABC 为直角三角形,所以三角形ABC 的外接圆的圆心为AC 的中点1O ,连1OO ,根据垂径定理,可得1OO ⊥平面ABC ,因为1,O O 为,AD AC 的中点可知DC ⊥平面ABC ,所以DC 为四面体ABCD 的高.所以11323DC ⨯=,解得DC =所以4AD ==. 所以四面体ABCD 的外接球的半径为2,表面积为24R π=24216ππ⨯=.【总结提升】计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法. 高频考点二 ：几何体的体积【典例3】（2019·北京高考真题（文））某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【答案】40.【解析】如图所示,在棱长为4的正方体中,三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱1111MPD A NQC B -之后余下的几何体,几何体的体积()3142424402V =-+⨯⨯=. 【典例4】（2020·江苏省高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】2π【解析】正六棱柱体积为2624⨯⨯圆柱体积为21()222ππ⋅=所求几何体体积为2π故答案为： 2π【总结提升】 （1）已知几何体的三视图求其体积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表体积公式求其体积.(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．（3）规则几何体：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法（4）不规则几何体：若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.（5）三视图形式：若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解提醒：处理高线问题时，经常利用的方法就是“等积法”．【变式探究】1．（2020·全国高一课时练习）已知ABC ∆的三边长分别是3AC =，4BC =，5AB =.下列说法正确的是（ ）A ．以BC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15πB ．以BC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36π C ．以AC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25πD ．以AC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π【答案】AD【解析】以BC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，其侧面积为3515ππ⨯⨯=，体积为2134123ππ⨯⨯⨯=，故A 正确，B 错误； 以AC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥，侧面积为4520ππ⨯⨯=，体积为2143163ππ⨯⨯⨯=，故C 错误，D 正确. 故选：AD.2.（2019·湖南高三月考（理））正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，以EFG ∆为底面作直三棱柱（侧棱垂直底面的棱柱），若此直三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则该直三棱柱的体积为（ ）B.2C.32D.34【答案】C【解析】如图，连接11A C ，1C D ，1AC , 1BC ,分别取11A C 、1BC 、1C D 中点M 、N 、Q ，连接MQ ，MN ，NQ ,FQ ,EN ,GM由中位线定理可得111111111//,,//,,//,222GM AC GM AC FQ AC FQ AC EN AC EN AC === 又1AC EFG ⊥平面，∴三棱柱EFG NQM —是正三棱柱2EFG S ∆==112h GM AC ===，∴三棱柱32EFG NQM V =— 答案选C【方法总结】求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.高频考点三 ： 几何体的展开、折叠、切、截问题【典例5】（2020·全国高考真题（理））已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【答案】A【解析】 设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 60AB r =︒=，1OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，11,4OO O A R OA ∴⊥====，∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A【典例6】（2019·天津高考真题（理））已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.【答案】4π. 【解析】2=，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为12，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1，故圆柱的体积为21124ππ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭. 【规律方法】几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ，①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ；②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.【典例7】（2019·全国高考真题（理））已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（ ） A ．86π B ．46πC ．26πD 6π【答案】D 【解析】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++= 364466633R V R =∴=π==ππ，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形，CF ∴=又90CEF ∠=︒1,2CE AE PA x ∴===AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=，22121222x x x ∴+=∴==，PA PB PC ∴======2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==R ∴=，344338V R ∴=π=π⨯=，故选D.【典例8】（2019·四川高三月考（理））学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，高为10cm .打印所用部料密度为30.9g/cm ．不考虑打印损耗．制作该模型所需原料的质量为________g .（π取3.14）【答案】358.5 【解析】设被挖去的正方体的棱长为xcm ，圆锥底面半径为r ，取过正方体上下底面面对角线的轴截面，由相似三角形得则10210x xh x x r h --=⇒=，解得5x =．模型的体积为(223311500105125333V r h x πππ=-=⨯⨯-=-， 因此，制作该模型所需材料质量约为5000.91251500.9125358.5g 3ππ⎛⎫⨯-=-⨯≈⎪⎝⎭． 故答案为：358.5. 【总结提升】1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．【典例9】（2018届河南省林州市第一中学高三8月调研）如图，已知矩形ABCD中，，现沿AC折起，使得平面ABC⊥平面ADC，连接BD，得到三棱锥-，则其外接球的体积为（）B ACD【答案】D【解析】结合几何体的特征可得，外接球的球心为AC的中点，则外接球半径：本题选择D选项.【总结提升】解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：【变式探究】1．（2018届河南省洛阳市高三期中）在三棱锥S ABC -中，底面ABC ∆是直角三角形，其斜边4AB =， SC ⊥平面ABC ，且3SC =，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. 25π B. 20π C. 16π D. 13π 【答案】A【解析】根据已知，可将三棱锥补成一个长方体，如下图：则三棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，由于43AB SC ==，，且ABC ∆是直角三角形， SC ⊥平面ABC ， ∴长方体的对角线长为∴三棱锥的外接球的半径 ∴三A.2．（2018·天津高考真题（文））如图，已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1–BB 1D 1D 的体积为__________．【答案】13【解析】如图所示，连结11A C ，交11B D 于点O ，很明显11A C ⊥平面11BDD B ，则1A O 是四棱锥的高，且111122A O A C ===，1111BDD B S BD DD =⨯==四边形，结合四棱锥体积公式可得其体积为1113323V Sh ===，故答案为13.3．（2018届河北省衡水市武邑中学高三上第三次调研）在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bie nao).已知在鳖臑M ABC-中, MA⊥平面ABC, 2MA AB BC===,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为____．【解析】由题意，MC为球O的直径，O∴球O的表面积为4π•3=12π，内切球的半径设为ｒ，【典例10】（2017课标1，理16）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.【答案】【解析】【规律方法】有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．【变式探究】（2018届河南省林州市第一中学高三8月调研）如图，已知矩形中，，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为（ ）ABCD AC ABC ⊥ADC BD B ACD -【答案】D【解析】结合几何体的特征可得，外接球的球心为AC的中点，则外接球半径：本题选择D选项.【典例11】（2018·江苏高考真题）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】43【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正，所以该多面体的体积为21421.33⨯⨯⨯=【变式探究】（2020·山东省滨州市三模）已知P，A，B，C是球O的球面上的四个点，平面，则球O的表面积为__________．PA⊥,26,ABC PA BC==AB AC⊥【答案】 【解析】由于平面，所以，而，故可将补形为长方体，如图所示，长方体的外接球，也即三棱锥的外接球，也即球. 由于，设，则，所以长方体的对角设球的半径为，则所以球的表面积为. 故答案为：【典例12】（2020·山东省泰安市6月三模）已知球O是正三棱锥的外接球，，E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是_______. 【答案】45πPA ⊥ABC ,PA AB PA AC ⊥⊥AB AC ⊥P ABC -P ABC -O 26,3PA BC BC ===,AB a AC b ==2229a b BC +===O R 2R =O 2445R ππ=45πP ABC -3AB =PA =94π【解析】如图，设三棱锥的外接球半径为R ，正三角形的外接圆圆心为，因为，三角形是正三角形，为正三角形的外接圆圆心， 所以因为所以，解得，，因为过作球的截面，当截面与垂直时，截面圆的半径最小，所以当截面与垂直时，截面圆的面积有最小值，在中，故，截面面积， 故答案为：. 【总结提升】解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．【变式探究】1.（2020·安徽马鞍山�高三三模（文））已知正方体1111ABCD A B C D -，直线1AC ⊥平面α，平面α截此正方体所得截面中，正确的说法是（ ）ABC D 3AB =ABC D ABC DA =PA =3PD =()223R R +-=2R =1OD =E O OE OE Rt EDO ∆OE ==32r ==294S r ππ==94πA ．截面形状可能为四边形B ．截面形状可能为五边形C ．截面面积最大值为D 【答案】D【解析】如图在正方体中1AC ⊥平面1A BD ，所以平面α与平面1A BD 平行平面α与正方体的截面可以是三角形、六边形但不会是五边形和四边形 当截面为正六边形EFNMGH 时，截面面积有最大，由题可知：21sin 45==NM ，则133611sin 6022=⨯⨯⨯⨯=EFNMGH S 故选：D2．（2020·江苏苏州�高一期末）已知在球O 的内接长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，3AD =，则球O 的表面积为________，若P 为线段AD 的中点，则过点P 的平面截球O 所得截面面积的最小值为______．【答案】17π9π4【解析】如图，因为球O 的内接长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，3AD =，所以12=DB R = 所以球的表面积2=417S R ππ=， 当OP ⊥球的截面，即P 为截面圆圆心时，球心到截面圆的距离d OP =时最大， 此时截面圆的半径22d R r -=最小，此时截面圆的面积最小，而OP ===所以32r ==， 所以截面圆面积294S r ππ==. 故答案为：17π；94π。
2018版高考数学复习第八章立体几何8.2空间几何体的表面积与体积教师用书文新人教版
2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何 8.2 空间几何体的表面积与体积教师用书文新人教版1．多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式3.柱、锥、台和球的表面积和体积【知识拓展】1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．2．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √)(2)锥体的体积等于底面积与高之积．( ×)(3)球的体积之比等于半径比的平方．( ×)(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( √)(5)长方体既有外接球又有内切球．( ×)(6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( ×)1．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A．1 cm B．2 cmC．3 cm D.32cm答案 B解析S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2 cm.2．(2015·陕西)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4答案 D解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为S ＝2×12π×12＋12×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4.3．(2016·全国甲卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为( ) A ．12π B.323π C ．8π D ．4π答案 A解析 由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线23即为球的直径，所以球的表面积为4πR 2＝(2R )2π＝12π，故选A.4．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2 000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长约为( ) A ．1丈3尺 B ．5丈4尺 C ．9丈2尺 D ．48丈6尺答案 B解析 设圆柱底面半径为r 尺，高为h 尺，依题意，圆柱体积为V ＝πr 2h ＝2 000×1.62≈3×r 2×13.33，所以r 2≈81，即r ≈9，所以圆柱底面圆周长为2πr ≈54,54尺＝5丈4尺，即圆柱底面圆周长约为5丈4尺，故选B.5.如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为1，P 为侧棱B 1B 上的一点，则四棱锥P －ACC 1A 1的体积为______．答案 23解析 设点P 到平面ABC ，平面A 1B 1C 1的距离分别为h 1，h 2，则棱柱的高为h ＝h 1＋h 2，又记S ＝S △ABC ＝111A B C S ，则三棱柱的体积为V ＝Sh ＝1.而从三棱柱中去掉四棱锥P －ACC 1A 1的剩余体积为V ′＝V P －ABC ＋111P A B C V -＝13Sh 1＋13Sh 2＝13S (h 1＋h 2)＝13，从而11P ACC A V -＝V －V ′＝1－13＝23.题型一 求空间几何体的表面积例1 (1)(2017·淮北月考)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．18＋ 3C ．21D ．18(2)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________． 答案 (1)A (2)12解析 (1)由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，因此该几何体的表面积为 6×(4－12)＋2×34×(2)2＝21＋ 3.故选A.(2)设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，∴h ＝1， ∴斜高h ′＝12＋32＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.思维升华 空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．(2016·大连模拟)如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．答案 26解析 该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为S ＝S 长方体表－2S 半圆柱底－S 圆柱轴截面＋S 半圆柱侧＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋12×2π×1＝26.题型二 求空间几何体的体积命题点1 求以三视图为背景的几何体的体积例2 (2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23π B.13＋23π C.13＋26π D ．1＋26π 答案 C解析 由三视图知，半球的半径R ＝22，四棱锥为正四棱锥，它的底面边长为1，高为1，∴V ＝13×1×1×1＋12×43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝13＋26π，故选C.命题点2 求简单几何体的体积例3 (2016·江苏改编)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积为________m 3.答案 312解析 由PO 1＝2 m ，知O 1O ＝4PO 1＝8 m ．因为A 1B 1＝AB ＝6 m ，所以正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)；正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)．所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)． 思维升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．(1)(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．(2)正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( )A ．3 B.32 C ．1 D.32答案 (1)33(2)C 解析 (1)由题意可知，因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图可得俯视图(如图)，且三棱锥高为h ＝1，则体积V ＝13Sh ＝13×(12×23×1)×1＝33.(2)在正△ABC 中，D 为BC 的中点，则有AD ＝32AB ＝3，11DB C S ∆＝12×2×3＝ 3.又∵平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ， 平面BB 1C 1C ∩平面ABC ＝BC ，AD ⊥BC ，AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A －B 1DC 1底面上的高．∴11A B DC V -三棱锥＝1311DB C S ∆·AD ＝13×3×3＝1.题型三 与球有关的切、接问题例4 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172B ．210 C.132 D ．310答案 C解析 如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M . 又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝522＋62＝132. 引申探究1．已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R ，内切球的半径为r . 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43， 从而V 外接球＝43πR 3＝43π×(23)3＝323π，V 内切球＝43πr 3＝43π×23＝32π3. 2．已知棱长为a 的正四面体，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少？解 正四面体的表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π. 3．已知侧棱和底面边长都是32的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？ 解 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为22－122＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.思维升华 空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( ) A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4答案 A解析 如图，设球心为O ，半径为r ，则在Rt△AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2， 解得r ＝94，∴该球的表面积为4πr 2＝4π×(94)2＝814π.15．巧用补形法解决立体几何问题典例 (2016·青岛模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，DB ⊥平面ABC ，且AE ∥FC ∥BD ，BD ＝3，FC ＝4，AE ＝5，则此几何体的体积为________．思想方法指导 解答本题时可用“补形法”完成．“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”，将不规则的几何体补成规则的几何体等． 解析 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，所以V 几何体＝12V 三棱柱＝12×S △ABC ×AA ′＝12×24×8＝96.答案 961．(2016·合肥质检)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．12＋4 2B ．18＋8 2C ．28D ．20＋8 2答案 D解析 由三视图可得该几何体是平放的直三棱柱，该直三棱柱的底面是腰长为2的等腰直角三角形、侧棱长为4，所以表面积为12×2×2×2＋4×2×2＋4×22＝20＋82，故选D.2．(2016·大同模拟)一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )A.＋π33B.＋π36C.＋π33D ．(4＋π) 3答案 B解析 由三视图可知该几何体是由一个半圆锥和一个四棱锥组成的，其中半圆锥的底面半径为1，四棱锥的底面是一个边长为2的正方形，它们的高均为 3.则V ＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫12π＋4·3＝＋π36.故选B.3．(2015·山东)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3 B.4π3C.5π3D ．2π答案 C解析 过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V 圆柱－V圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C.4．(2015·安微)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．2 2答案 B解析 由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图所示，∴该四面体的表面积为S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋3，故选B.5．(2016·湖北优质高中联考)甲几何体(上)与乙几何体(下)的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为V 1，V 2，则V 1∶V 2等于( )A ．1∶4B ．1∶3C ．2∶3D ．1∶π 答案 B解析 由三视图知，甲几何体是半径为1的球，乙几何体是底面半径为2，高为3的圆锥，所以球的体积V 1＝43π，V 2＝13π×22×3＝4π，所以V 1∶V 2＝1∶3.故选B.6．(2015·课标全国Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛 答案 B解析 由题意知米堆的底面半径为163尺，体积V ＝13×14πR 2·h ＝3209(立方尺)．所以堆放的米大约为3209×1.62≈22(斛)．7．(2016·北京)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．答案 32解析 由三视图知该四棱柱为直四棱柱， 底面积S ＝＋2＝32，高h ＝1， 所以四棱柱体积V ＝S ·h ＝32×1＝32.8．(2016·新疆乌鲁木齐地区二诊)已知四面体ABCD 满足AB ＝CD ＝6，AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝2，则四面体ABCD 的外接球的表面积是________． 答案 7π解析 (图略)在四面体ABCD 中，取线段CD 的中点为E ，连接AE ，BE .∵AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝2，∴AE ⊥CD ，BE ⊥CD .在Rt△AED 中，CD ＝6，∴AE ＝102.同理BE ＝102.取AB 的中点为F ，连接EF .由AE ＝BE ，得EF ⊥AB .在Rt△EFA 中，∵AF ＝12AB ＝62，AE ＝102，∴EF ＝1.取EF的中点为O ，连接OA ，则OF ＝12.在Rt△OFA 中，OA ＝72.∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴该四面体的外接球的半径是72，∴外接球的表面积是7π. 9. (2016·三门峡陕州中学对抗赛)如图所示，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1.则三棱锥P －ABC 体积的最大值为________．答案 13解析 V P －ABC ＝13PO ·S △ABC ，当△ABC 的面积最大时，三棱锥P －ABC 体积达到最大值．当CO ⊥AB时，△ABC 的面积最大，最大值为12×2×1＝1，此时V P －ABC ＝13PO ·S △ABC ＝13.10．(2016·武汉模拟)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．答案 3π解析 方法一 由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14，所以V ＝34×π×12×4＝3π.方法二 由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱从母线的中点处截去了圆柱的14，直观图如图(1)所示，我们可用两个大小与形状完全相同的该几何体补成一个半径为1，高为6的圆柱，如图(2)所示，则所求几何体的体积为V ＝12×π×12×6＝3π.11．(2016·全国丙卷)如图，四棱锥PABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明：MN ∥平面PAB ； (2)求四面体NBCM 的体积． (1)证明 由已知得AM ＝23AD ＝2.如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ， 所以MN ∥平面PAB .(2)解 因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12PA .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5， 故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N-BCM 的体积V N-BCM ＝13×S △BCM ×PA 2＝453.*12.(2016·湖北七校联考)如图所示，在空间几何体ADE －BCF 中，四边形ABCD 是梯形，四边形CDEF 是矩形，且平面ABCD ⊥平面CDEF ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ＝DE ＝2，EF ＝4，M 是线段AE 上的动点．(1)试确定点M 的位置，使AC ∥平面MDF ，并说明理由；(2)在(1)的条件下，平面MDF 将几何体ADE －BCF 分成两部分，求空间几何体M －DEF 与空间几何体ADM －BCF 的体积之比．解 (1)当M 是线段AE 的中点时，AC ∥平面MDF . 理由如下：连接CE 交DF 于点N ，连接MN .因为M ，N 分别是AE ，CE 的中点，所以MN ∥AC .又因为MN ⊂平面MDF ，AC ⊄平面MDF ，所以AC ∥平面MDF .(2)将几何体ADE －BCF 补成三棱柱ADE －B ′CF ，如图所示，三棱柱ADE －B ′CF 的体积为V ＝S △ADE ·CD ＝12×2×2×4＝8，则几何体ADE －BCF 的体积V ADE －BCF ＝V ADE －B ′CF －V F －BB ′C ＝8－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×2＝203. 因为三棱锥M －DEF 的体积V M －DEF ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×4×1＝43，所以V ADM －BCF ＝203－43＝163，所以两几何体的体积之比为43∶163＝1∶4.。
空间几何体的表面积和体积 导学案
1.3.1空间几何体的表面积与体积
【学习目标】柱体、锥体、台体的表面积和体积公式；关于台体问题的解决办法【学习重点】柱体、锥体、台体的表面积和体积公式
【学习难点】台体的表面积公式的推导、体积公式
【学习过程】
一、预习分享及检测
问题1、空间几何体的表面积指的是什么？
2、如何求空间几何体的表面积？
3、正方体的棱长为a，它的表面积是
4、长方体的棱长分别为a，b，c，，它的表面积是
5、正四面体的棱长为a，它的表面积为（记住正三角形的面积）
6、如何求棱柱、棱锥、棱台的表面积？
二、新课学习
问题7、如何求圆柱、圆锥的表面积？
8、探究圆台的侧面展开图是什么？如何求圆台的表面积？
例1、见课本例2，你能说说这个问题如何解决吗？
解答：
求解注意事项：1、
2、
9、柱体的体积公式：
10、锥体的体积公式：
11、台体的体积公式：
12、圆柱、圆锥、圆台它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否互相转化，其表面积公式能否看成台体表面积公式的“特殊”形式？
13、柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？柱体、锥体能否看成特殊的“台体”？其体积公式能否看成台体体积公式的“特殊”形式？
例2 见课本例3，你能说说这个问题如何解决吗？
解答：
题后反思：
六、布置作业
【课后反思】。
《空间几何体的表面积和体积》教案(2)
空间几何体的表面积和体积
4．圆柱．
把圆柱的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形?展开的图形与原图有什么关系？
5．圆锥．
把圆锥的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形?展开的图形与原图有什么关系？
6．圆台．
把圆台的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形?展开的图形与原图有什么关系？
思考：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间有什么联系与区别？
四、点燃智慧之炬〔研究性学习的小课题、知识的自主串联、直击高考、自主编题等〕
1．例题．
例1 设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是0．85m，底面的边长是1．5m，制造这种塔顶需要多少平方米的铁板？〔保留两位有效数字〕
例2 边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，那么从点E沿圆柱的侧面到G点的最短距离是
例3 有一根长为5cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，那么铁丝的最短长度为多少厘米？(精确到 0．1cm〕
分析: 可以把圆柱沿这条母线展开,将问题转化为平面几何的问题．2．练习．
〔1〕如图，E，F分别为正方形ABCD的边BC,CD的中点,沿图中虚线折起。
专题38 空间几何体的表面积和体积教学案-2018年高考数学文一轮复习资料 含解析 精品
1.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．1.柱、锥、台和球的表面积和体积高频考点一求空间几何体的表面积例1、(1)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A．1＋ 3 B．1＋2 2C．2＋ 3 D．2 2(2)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8(3)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________． 答案 (1)C (2)B (3)12＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π，∴r 2＝4，r ＝2，故选B.(3)设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23， ∴h ＝1，∴斜高h ′＝12＋32＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.【感悟提升】空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．【变式探究】(2016·全国Ⅲ卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A.18＋365B.54＋18 5C.90D.81答案 B高频考点二 求空间几何体的体积例2、(1)(2016·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )A.13＋23π B.13＋23π C.13＋26πD.1＋26π(2)正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( )A.3B.32C.1D.32所以VA －B 1DC 1＝13×3×3＝1. 答案 (1)C (2)C【变式探究】(2015·课标全国Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15答案 D 解析 如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1被过三点A 、B 1、D 1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥A-A 1B 1D 1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为＝13×12×12×113－13×12×12×1＝15.选D. 高频考点三 求简单几何体的体积例3、在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3 B.4π3 C.5π3 D ．2π答案C该几何体的体积为V ＝V圆柱－V圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×11111111111111111A AB D A A B D BCD ABCDA B C D ABCD A A B D V V V V V -----=-＝5π3，故选C.【变式探究】(1)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的体积等于( )A.4π3B.32π3 C ．36πD.256π3(2)如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( )A.23B.33C.43D.32答案 (1)B (2)A解析 (1)由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，底面为直角三角形，高为12，如图所示，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32， ∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴V ＝V E －ADG ＋V F －BCH ＋V AGD －BHC ＝2V E －ADG ＋V AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23.故选A. 【感悟提升】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．高频考点四 与球有关的切、接问题例4、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( ) A.3172 B ．210 C.132 D ．310答案 C解析 如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，【感悟提升】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解． 【变式探究】如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB ＝AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为( )A.22 B ．1 C. 2 D. 3答案 C∴(x 2)2＋(x2)2＝1，即x ＝2，则AB ＝AC ＝1， ∴S 矩形ABB 1A 1＝2×1＝ 2.1. 【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是错误！未找到引用源。
广东省惠阳市第一中学高三数学一轮复习 7.2 空间几何体的表面积和体积导学案 理(1)
广东省惠阳市第一中学高三数学一轮复习 7.2 空间几何体的表面积和体积导学案 理【学习目标】了解球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式【重点难点】重点 ：会用空间几何体的表面积和体积的计算公式解决问题。
难点 ：会用空间几何体的表面积和体积的计算公式解决问题。
【使用说明及学法指导】①要求学生完成知识梳理和基础自测题；限时完成预习案，识记基础知识；②课前只独立完成预习案，探究案和训练案留在课中完成预习案一、知识梳理1面积 体积 圆柱S 侧＝ V ＝Sh ＝ 圆锥 S 侧＝ V ＝13Sh ＝13πr2h ＝13πr2l2－r2 圆台 S 侧＝ V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h ＝13π(r 21＋r22＋r1r2)h 直棱柱 S 侧＝ V ＝正棱锥 S 侧＝12Ch′ V ＝13Sh 正棱台 S 侧＝12(C ＋C′)h′ V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h 球 S 球面＝V ＝43πR3 2(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 ．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 、 、 ；它们的表面积等于 ．二、基础自测1． 圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是________．2． 设某几何体的三视图如右(尺寸的长度单位为m)．则该几何体的体积为________m3.3． 表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．4． 一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的边长为a ，则球的表面积为________．5. 如图所示，在棱长为4的正方体ABCD —A1B1C1D1中，P 是A1B1上一点，且PB1＝14A1B1，则多面体P —BB1C1C 的体积为________．探究案一、合作探究例1、一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80例2、如图所示，已知E 、F 分别是棱长为a 的正方体ABCD —A1B1C1D1的棱A1A 、CC1的中点，求四棱锥C1—B1EDF的体积．例3、(1)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，剪去△AOB ，将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A 、B 、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为________．(2)有一根长为3π cm ，底面直径为2 cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________ cm.二、总结整理训练案一、课中训练与检测1．一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是________cm2.2．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为 ( )A.26 B.36 C.23 D.223．如图，已知一个多面体的平面展开图由一边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．二、课后巩固促提升如图，在直棱柱ABC—A′B′C′中，底面是边长为3的等边三角形，AA′＝4，M为AA′的中点，P 是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC′到M的最短路线长为29，设这条最短路线与CC′的交点为N，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC与NC的长；(3)三棱锥C—MNP的体积．。
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(2)(2017· 长春模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何 体的表面积为( ) A．20 B．18 C．14＋2 3 D．14＋2 2
[解析] 由三视图可得该几何体的直观图如图所示，其为 一个正方体截掉4个角后形成的几何体，故该几何体的表面积为 1 1 1 2 S＝2×2＋ 2× 2＋4×2×2×2＋4×2× 2× 2 ＋2＝20.故 选A. [答案] A
解析：由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正 四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm的正方体，体积V1＝ 2×2×2＝8(cm3)；上面是底面边长为2 cm，高为2 cm的正四棱 1 8 锥，体积V2＝ 3 ×2×2×2＝ 3 (cm3)，所以该几何体的体积V＝V1 32 ＋V2＝ 3 (cm3)． 答案：C
解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面 为侧视图，该侧视图是底边为2，高为 3 的三角形，正视图的 长为三棱柱的高，故h＝3，所以几何体的体积V＝S· h＝ 1 ×2× 3×3＝3 3. 2 答案：B
4．(2015· 浙江卷)某几何体的三视图 如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积 是( ) A．8 cm3 B．12 cm3 32 3 40 3 C. 3 cm D. 3 cm
——[悟· 技法]—— 几何体表面积的求法 (1)多面体：其表面积是各个面的面积之和． (2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和． 计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即 将侧面展开化为平面图形来解决． (3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处 理． (4)若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图 进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关 系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
2．长方体的外接球 (1)球心：体对角线的交点； a2＋b2＋c2 (2)半径：r＝ (a，b，c为长方体的长、宽、 2 高)．
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3．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球 3 (1)外接球：球心是正方体中心；半径r＝ 2 a(a为正方体的 棱长)； a (2)内切球：球心是正方体中心；半径r＝ 2 (a为正方体的棱 长)； 2 (3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r＝ 2 a(a为正方体的棱长)．
[小题热身] 1．(2014· 陕西卷)将边长为1的正方形以其一边所在直线为 旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( ) A．4π B．3π C．2π D．π
解析：由题意可知该几何体是底面半径r＝1，母线l＝1的 圆柱，故S侧＝2πrl＝2π×1×1＝2π.故选C. 答案：C
2．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图 如图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是( ) 8 A．4 5，8 B．4 5，3 8 C．4( 5＋1)，3 D．8,8
——[通· 一类]—— 5．(2017· 河南中原名校联考)如图，四棱柱ABCD－ A1B1C1D1是棱长为1的正方体，四棱锥S－ABCD是高为1的正四 棱锥，若点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的表面 积为( ) 9 25 A.16π B.16π 49 81 C.16π D.16π
直棱柱 正棱锥 正棱台 球
Ch S侧＝⑧________ 1 S侧＝⑩________ Ch′ 2 1 (C＋C′)h′ S侧＝⑫2 ________
S球面＝⑬________ 4πR2
Sh V＝⑨__________ 1 V＝⑪__________ 3Sh 1 V＝3(S上＋S下＋ S上S下)h 4 3 V＝⑭____________ 3πR
——[通· 一类]—— 1．(2017· 安徽江南十校联考)某几何体的三视图如图所示， 其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为 ( ) A．4π＋16＋4 3 B．5π＋16＋4 3 C．4π＋16＋2 3 D．5π＋16＋2 3
解析：由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆 柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2＝16，两个 1 底面面积之和为2× 2 ×2× 3 ＝2 3 ；半圆柱的侧面积为π×4＝ 1 4π，两个底面面积之和为2× 2 ×π×12＝π，所以几何体的表面 积为5π＋16＋2 3，故选D. 答案：D
解析：由三视图可得该几何体为圆柱和四分之一球的组合 体．圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1，故该几何体的 1 1 1 2 2 2 表面积为S＝π×1 ＋2π×1×3＋4π×1 × 4 ＋ 2 π×1 ＋ 2 π×12＝ 9π. 答案：9π
[知识重温] 一、必记4●个知识点 1．柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 体积 2πrh πr2h 圆柱 S侧＝①________ V＝②______ Sh ＝③______ 1 1 2 1 2 2 2 Sh πr h＝ πr l －r πrl 圆锥 S侧＝④________ V＝⑤____ ____ 3 ＝⑥3 3 1 V＝3(S上＋S下＋ S上S下)h π(r1＋r2)l 圆台 S侧＝⑦________ 1 2 2 ＝3π(r1＋r2＋r1r2)h
解法二：连接EF，B1D. 设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2， 则h1＋h2＝B1D1＝ 2a. 1 由题意得，VC1－B1EDF＝VB1－C1EF＋VD－C1EF＝ 3 · S△ 1 3 C1EF· (h1＋h2)＝6a . 1 3 [答案] 6a
——[悟· 技法]—— 计算几何体体积的常见类型及解题策略 常见类型 解题策略 球的体积问 直接利用球的体积公式求解，在实际问题中要根据题 题 意作出图形，构造直角三角形确定球的半径 锥体、柱体 根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套 的体积问题 用公式求解 以三视图为 将三视图还原为几何体，利用空间几何体的体积公式 载体的几何 求解 体体积问题 不规则几何 常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需 体的体积问 采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化 题 为规则的几何体或平面图形，易于求解
4．(2017· 湖南长沙四校一模)某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为( ) 11 3 A. 6 B. 3 5 3 4 3 C. 3 D. 3
解析：由三视图知该几何体是一个四棱锥，其直观图如图 所示，△PAD为正三角形，四棱锥的底面是直角梯形，四棱锥 的高为 3， 1 1 ∴所求体积V＝3×2×1＋2×2× 3＝ 3，故选B.
——[通· 一类]—— 3．(2016· 天津卷)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该 四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为 ________m3.
解析：四棱锥的底面是平行四边形，由三视图可知其面积 为2×1＝2 m ，四棱锥的高为3
2
1 m，所以四棱锥的体积V＝ 3
×2×3＝2 m3. 答案：2
[解析] 由题意及正视图可知三棱锥的底面等腰三角形的 底长为2 3 ，三棱锥的高为1，则三棱锥的底面积为 1 2
× 22－ 32×2 3＝ 3， 1 3 ∴该三棱锥的体积为3× 3×1＝ 3 . 3 [答案] 3
(2)(2017· 宁夏银川一中月考)已知E、F分别是棱长为a的正 方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，则四棱锥C1－ B1EDF的体积为________．
解析：由正视图知：四棱锥的底面是边长为2的正方形，四 1 8 2 棱锥的高为2，∴V＝ 3 ×2 ×2＝ 3 .四棱锥的侧面是全等的等腰 1 三角形，底为2，高为 5，∴S侧＝4×2×2× 5＝4 5.
答案：B
3．某几何体的三视图如下图所 示，则该几何体的体积为( ) A．6 B．3 3 C．2 3 D．3
5．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积 9π 为 2 ，则正方体的棱长为________． 4 3 9 解析：设正方体棱长为a，球半径为R，则 3 πR ＝ 2 π，∴R 3 ＝2，∴ 3a＝3，∴a＝ 3. 答案： 3
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ________．
[解析] 解法一：如图所示，连接A1C1，B1D1交于点O1， 连接B1D，EF，过O1作O1H⊥B1D于H.
因为EF∥A1C1，且A1C1⊄平面B1EDF，EF⊂平面B1EDF， 所以A1C1∥平面B1EDF. 所以C1到平面 B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距 离．
易知平面B1D1D⊥平面B1EDF， 又平面B1D1D∩平面B1EDF＝B1D， 所以O1H⊥平面B1EDF， 所以O1H等于四棱锥C1－B1EDF的高． 因为△B1O1H∽△B1DD1， B1O1· DD1 6 所以O1H＝ B D ＝ 6 a. 1 1 1 1 所以VC1－B1EDF＝ 3 S四边形B1EDF· O1H＝ 3 · EF· B1D· O1H 2· 11 6 1 3 ＝3· 2· 2a· 3a·6 a＝6a .
——[悟· 技法]—— 空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及 接、切点作截图，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问 题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC 两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素 “补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
考向一 空间几何体的侧面积与表面积 [自主练透型] [例 1] (1)(2017· 江西赣州二模)某几何体的主视图和左视图 如图(1)，它的俯视图的直观图是矩形 O1A1B1C1，如图(2)，其中 O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为( )
A．48
B．64
C．96
D．128
[解析] 由几何体的三视图可知该几何体为一个四棱 柱．因为它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，其中O1A1＝6， O1C1＝2，所以俯视图的直观图的面积为12，由平面图形的直观 图与原图形面积的关系可知俯视图的面积为24 2 ，易知俯视图 是边长为6的菱形，又几何体的高为4，所以该几何体的侧面积 为4×6×4＝96.故选C. [答案] C