高中数学课件-平行关系的判定
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高一数学《平行关系的判定》PPT课件
如果不在一个平面内的一条直线和平面内的 一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.
面面平行的判定定理
线面平行 面面平行
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行.
重点：掌握线面、面面平行的判定定理，并会用它们
证明面面平行,线面平行等问题；
.
19
A' β
D
α
A
C'
B'
α//β
C
B
.
12
平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另 一个平面平行,则这两个平面平行.
(线面平行,则面面平行)
P a a,b,abP,
β
b
a//,b//
α
α∥β
注：面面. 平行的画法
13
例２：已知四面体PABC，D，E，F 分别是PA，PB，PC的中点.
的面AA1DD1 、面ABCD的中心
（1）求证：PQ// 平面DD1C1C D1
（2）求线段的PQ长
A1
P
C1 B1
D
C
Q
A
B
.
7
二、平面与平面平行的判定
面面平行的定义:如果两个平面没 有公共点,那么这两个平面互相平行。
β
α
记作：α ∥ β
因此，判定平面与平面平行的关 键在于判定它们有. 没有公共点. 8
平 面 A B 1D 1//平 面 B D C 1 17
B1D1AD1D1
练习:课本P31页1、2、3、4
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、
G分别为AA1 、A1B1 、A1D1 的中点 求
证：平面EFG∥平面BDC1.
面面平行的判定定理
线面平行 面面平行
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行.
重点：掌握线面、面面平行的判定定理，并会用它们
证明面面平行,线面平行等问题；
.
19
A' β
D
α
A
C'
B'
α//β
C
B
.
12
平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另 一个平面平行,则这两个平面平行.
(线面平行,则面面平行)
P a a,b,abP,
β
b
a//,b//
α
α∥β
注：面面. 平行的画法
13
例２：已知四面体PABC，D，E，F 分别是PA，PB，PC的中点.
的面AA1DD1 、面ABCD的中心
（1）求证：PQ// 平面DD1C1C D1
（2）求线段的PQ长
A1
P
C1 B1
D
C
Q
A
B
.
7
二、平面与平面平行的判定
面面平行的定义:如果两个平面没 有公共点,那么这两个平面互相平行。
β
α
记作：α ∥ β
因此，判定平面与平面平行的关 键在于判定它们有. 没有公共点. 8
平 面 A B 1D 1//平 面 B D C 1 17
B1D1AD1D1
练习:课本P31页1、2、3、4
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、
G分别为AA1 、A1B1 、A1D1 的中点 求
证：平面EFG∥平面BDC1.
2.1.2两条直线平行与垂直的判定 课件(共15张PPT)
在同一条直线上,确定常数a的值.
2
复习回顾
复习2：平面上两条直线位置关系
y
o
x
有平行,相交两种
我们设想如何通过直线的斜率
来判定这两种位置关系.
3
学习新知 两条直线平行的判定
思考1:若两条不同直线的倾斜角相等,这两条直线
的位置关系如何？反之成立吗？
y
l1
α1
O
l2
α2
x
4
学习新知
思考2:若两条不同直线的斜率相等,这两
在两种情况求解.
两直线垂直的判定方法
3.两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提条件
是两条直线斜率都存在,若其中一条直线斜率不存
在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直.
9
例题讲解
例2：已知A(-2,m),B(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若
AB∥MN,则m的值为
.
解析:当m=-2时,直线AB的斜率不存在,而直线MN的斜率存
D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行
3．若经过点M(m,3)和N(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相
垂直，则m的值是________．
14
5 [由题意知，直线 MN 的斜率存在，因为 MN⊥l，
m－3 1
14
所以 kMN＝
＝4，解得 m＝ 5 .]
2－m
14
学完一节课或一个内容,
应当及时小结,梳理知识
1
即 1－3k＝0，∴k＝3.]
7
例题讲解
例1 已知A、B、C、D四点的坐标,试判断直线AB与CD
的位置关系.
(1)A(2,3), B(－4,0), C(－3,l), D(－l,2)； 平行
2
复习回顾
复习2：平面上两条直线位置关系
y
o
x
有平行,相交两种
我们设想如何通过直线的斜率
来判定这两种位置关系.
3
学习新知 两条直线平行的判定
思考1:若两条不同直线的倾斜角相等,这两条直线
的位置关系如何？反之成立吗？
y
l1
α1
O
l2
α2
x
4
学习新知
思考2:若两条不同直线的斜率相等,这两
在两种情况求解.
两直线垂直的判定方法
3.两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提条件
是两条直线斜率都存在,若其中一条直线斜率不存
在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直.
9
例题讲解
例2：已知A(-2,m),B(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若
AB∥MN,则m的值为
.
解析:当m=-2时,直线AB的斜率不存在,而直线MN的斜率存
D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行
3．若经过点M(m,3)和N(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相
垂直，则m的值是________．
14
5 [由题意知，直线 MN 的斜率存在，因为 MN⊥l，
m－3 1
14
所以 kMN＝
＝4，解得 m＝ 5 .]
2－m
14
学完一节课或一个内容,
应当及时小结,梳理知识
1
即 1－3k＝0，∴k＝3.]
7
例题讲解
例1 已知A、B、C、D四点的坐标,试判断直线AB与CD
的位置关系.
(1)A(2,3), B(－4,0), C(－3,l), D(－l,2)； 平行
高中数学1.5.1平行关系的判定省公开课一等奖新优质课获奖课件
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(1)直线与平面平行的判定定理的应用步骤 ①线与线平行； ②一条线在已知平面内； ③一条线在已知平面外． (2)中点的应用 在题目中出现中点时，常见的证线线平行的两种途径： ①中位线→线线平行； ②平行四边形→线线平行.
14/49
1. (1)如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为 平行四边形，AC∩BD＝O，E 为 PD 的中点，则 EO 与平面 PBC 的位置关系为________．
19/49
则 MP∥NQ，在△D1AD 中，MADP＝DD11MA . 因为 NQ∥AD，AD∥BC，所以 NQ∥BC. 在△DBC 中，NBQC＝DDNB， 因为 D1M＝DN，D1A＝DB，AD＝BC， 所以 NQ＝MP.
20/49
所以四边形 MNQP 为平行四边形， 则 MN∥PQ. 又 MN 平面 CC1D1D， PQ 平面 CC1D1D，
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
25/49
2.(1)已知 m，n 表示两条不同的直线，α，β，
γ表示三个不同的平面，则下列命题中正确的个数是( )
①若 α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则 α∥β；
②若 m，n 相交且都在平面 α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，
n∥β，则 α∥β；
17/49
所以ANNE＝NBND⇒NAEE＝NBDD. 因为 BD＝AD1，且 D1M＝DN， 所以EANE＝MADD11.
故在△AD1E 中，MN∥D1E，
18/49
又 MN 平面 CC1D1D，D1E 平面 CC1D1D，
所以 MN∥平面 CC1D1D．
法二：过点 M 作 MP∥AD 交 DD1 于 P， 过点 N 作 NQ∥AD 交 CD 于 Q，连接 PQ，
(1)直线与平面平行的判定定理的应用步骤 ①线与线平行； ②一条线在已知平面内； ③一条线在已知平面外． (2)中点的应用 在题目中出现中点时，常见的证线线平行的两种途径： ①中位线→线线平行； ②平行四边形→线线平行.
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1. (1)如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为 平行四边形，AC∩BD＝O，E 为 PD 的中点，则 EO 与平面 PBC 的位置关系为________．
19/49
则 MP∥NQ，在△D1AD 中，MADP＝DD11MA . 因为 NQ∥AD，AD∥BC，所以 NQ∥BC. 在△DBC 中，NBQC＝DDNB， 因为 D1M＝DN，D1A＝DB，AD＝BC， 所以 NQ＝MP.
20/49
所以四边形 MNQP 为平行四边形， 则 MN∥PQ. 又 MN 平面 CC1D1D， PQ 平面 CC1D1D，
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
25/49
2.(1)已知 m，n 表示两条不同的直线，α，β，
γ表示三个不同的平面，则下列命题中正确的个数是( )
①若 α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则 α∥β；
②若 m，n 相交且都在平面 α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，
n∥β，则 α∥β；
17/49
所以ANNE＝NBND⇒NAEE＝NBDD. 因为 BD＝AD1，且 D1M＝DN， 所以EANE＝MADD11.
故在△AD1E 中，MN∥D1E，
18/49
又 MN 平面 CC1D1D，D1E 平面 CC1D1D，
所以 MN∥平面 CC1D1D．
法二：过点 M 作 MP∥AD 交 DD1 于 P， 过点 N 作 NQ∥AD 交 CD 于 Q，连接 PQ，
直线与平面平行的判定定理(公开课)ppt课件全
平行于经过另外两边所在的平面．
已知空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，
证明:直线EF与平面BCD平行
A
证明：如右图，连接BD，
在△ABD中，E,F分别为AB，
AD的中点，即EF为中位线 ∴EF ∥BD,
又EF 平面BCD，
F E
C D B
BD 平面BCD,
∴EF ∥平面BCD . 大图
将线面平行转化为线线平行
4．数学思想方法：
转化化归的思想方法： .将空间问题转化为平面问题
归纳小结，理清知识体系
1.判定直线与平面平行的方法：
（1）定义法：直线与平面没有公共点则线面平行；
（2）判定定理：（线线平行 线面平行）；
a
b
a
//
a // b
2.用定理证明线面平行时,在寻找平行直线可
以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平 行四边形对边平行等来完成。
.
作业： 1.课本P62 第3题
2.三维设计26-28页及课时跟踪练习 3.一线精练19-20页
.
• 直线与平面平行的判定
.
一、知识回顾：
在空间中直线与平面有几 种位置关系？
文字语言
图形语言
1、直线在平面内
a
α
a
2、直线与平面相交 α .P
a
3、直线与平面平行 α.
符号语言
a
a P
a//
直观感知
怎样判定直线与平面平行呢？
.
操作确认
门扇转动的一边与门框所在的平面之间的 位置关系．
A1
A
B1
B
.
例2在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，
高中数学课件：直线、平面平行的判定与性质
(2)连接FH，OH， ∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD. ∵PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，∴FH∥平面PAD. 又∵O是AC的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD， 又∵AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD， ∴OH∥平面PAD. 又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD. 又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.
的角为 60°，转化为三角形的一个角有关的问题 还缺少所需要用的三角形，可连接 AD，取 AD 的中 差什么 点 M，连接 ME，MF，得三角形 MEF，利用平行 找什么 关系可找到 ME 与 MF 所成的角，然后利用余弦定 理求解即可
[解题方略] 证明面面平行的常用方法
(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线 都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(主要方法)； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题常用)； (4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面 平行(客观题常用)； (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转 化进行证明．
所以四边形BDC1D1为平行四边形， 所以BD1∥C1D. BD1⊄平面AC1D，C1D⊂平面AC1D， 所以BD1∥平面AC1D， 又因为A1B∩BD1＝B， 所以平面A1BD1∥平面AC1D.
2.如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB＝BC
＝
1 2
AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的
考法(二) 直线与平面平行性质定理的应用 [例2] 如图所示，四边形ABCD是平行四 边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中 点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面 BDM于GH. 求证：AP∥GH.
高中数学课件两个平面平行的判定与性质ppt课件.优秀文档PPT
（2）重学生学习体验。 (1)判定两个平面平行的主要途径有那些.
定义
如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公共点的直线，就称这两个平面相交．
提问：能否加上某些条件，从而由“线线平行”推出“面面平行”。
形式：讲述、提问、讨论
返回
过程分析 ——设计思路
问题： （1）若两条直线平行，则分别经过这两条直线的
(2)平面 BC CB内的直 BC 和 线 BC有什么关系？为
(3)若AA12，直A线 A和平A面 B所 C 成 NhomakorabeaC
3
的角6是 0，则两个平A行 B和 C平面A 2
B
ABC的距离是多少？
4C
1
A
B
课时小结
a
1.两个平面平行的性质
（1）一个结论 / /,a a/ /
面面平行
线面平行
（2）性质定理a/,/ba//b
②一条直线和两个平行平面相交,则此直线和两个平
面成等角;
③一条直线和两个平面成等角,则此两个平面平行;
④夹在两个平行平面间的两条线段长相等,那么这两
条线段平行.
A1 B2 C3 D4
巩固与拓展
3且.一不个为平零面,则上这不两同个的平三面点到另一个平面的距离( B相等)
A. 平行
B. 相交
C. 平行或重合
9.5.2两个平面平行的判定和性质
珲春一中 崔星
复习与引入
1.两个平面的位置关系
两个平面的位置关系只有两种 (1)两个平面平行——没有公共点 (2)两个平面相交——有一条公共直线．
l
符号表示 //
l
2.两个平面平行的判定
（1）判定定理：如果一
个平面内有两条相交直线
定义
如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公共点的直线，就称这两个平面相交．
提问：能否加上某些条件，从而由“线线平行”推出“面面平行”。
形式：讲述、提问、讨论
返回
过程分析 ——设计思路
问题： （1）若两条直线平行，则分别经过这两条直线的
(2)平面 BC CB内的直 BC 和 线 BC有什么关系？为
(3)若AA12，直A线 A和平A面 B所 C 成 NhomakorabeaC
3
的角6是 0，则两个平A行 B和 C平面A 2
B
ABC的距离是多少？
4C
1
A
B
课时小结
a
1.两个平面平行的性质
（1）一个结论 / /,a a/ /
面面平行
线面平行
（2）性质定理a/,/ba//b
②一条直线和两个平行平面相交,则此直线和两个平
面成等角;
③一条直线和两个平面成等角,则此两个平面平行;
④夹在两个平行平面间的两条线段长相等,那么这两
条线段平行.
A1 B2 C3 D4
巩固与拓展
3且.一不个为平零面,则上这不两同个的平三面点到另一个平面的距离( B相等)
A. 平行
B. 相交
C. 平行或重合
9.5.2两个平面平行的判定和性质
珲春一中 崔星
复习与引入
1.两个平面的位置关系
两个平面的位置关系只有两种 (1)两个平面平行——没有公共点 (2)两个平面相交——有一条公共直线．
l
符号表示 //
l
2.两个平面平行的判定
（1）判定定理：如果一
个平面内有两条相交直线
线面平行的判定定理ppt课件
三个条件缺一不可，缺少其中任何一条，则 结论就不一定成立了.
2、简记：线线平行，则线面平行。
3、定理告诉我们：
直线间平行关系
直线与平面平行关系
空间问题
平面问题
理论迁移
例1.空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的
中点，试判断EF与平面BCD的位置关系，并予
以证明.P29例1.
A
解：EF∥平面BCD。
求证：AB1//平面DBC1
A1
C1
B1
P
D
A
C
B
2、如图，在正方体 ABCD——A1B1C1D1中， O是底面ABCD对角线的交点. 求证：C1O//平面AD1B1.
A1 C1
B1
E
A D C
B
4、如图 ,正方体AC1中,点N是BD中点,点M是B1C中 点.
求证: MN // 平面AA1B1B .
件是要满足六个字，
b
“面外、面内、平行”. b//a
a //
反思3:运用定理的关键是找平行线,找平行线又经常会 用到三角形中位线定理.
理论迁移
例2. 如图，四面体ABCD中，E，F，G，H分别 是AB，BC，CD，AD的中点.
(1)E、F、G、H四点是否共面？
(2)试判断AC与平面EFGH的位置关系；A
根据定义，判定直线与平面是否平行，只需 判定直线与平面有没有公共点．但是，直线无限 延长，平面无限延展，用定义这种方法来判定直 线与平面是否平行是很困难的.
那么，是否有简单的方法来判定直线与平面 平行呢？
知识探究（三）：直线与平面平行的判断定理 1、直观感知
三.线面平行判定定理的探究
动手操作—确认定理
直线和平面平行的判定定理ppt课件
判定定理二：向量
03
共线法
向量共线法原理
定义
若两向量方向相同或相反，则称这两 向量共线。
性质
应用
在直线与平面平行判定中，通过判断 直线的方向向量与平面上两不共线向 量的关系，确定直线与平面的位置关 系。
共线的向量可以表示为同一基向量的 倍数。
向量运算规则
加法运算
向量加法满足平行四边形 法则或三角形法则。
$l parallel alpha$。
实例二
若直线$l$的方向向量$vec{a}$ 与平面$alpha$的法向量
$vec{n}$满足$vec{a} cdot vec{n} = 0$，则$l parallel
alpha$。
讨论
通过实例分析，我们可以发现向 量共线法在直线与平面平行判定 中的重要作用。同时，需要注意 判定条件的充分性和必要性，以
及特殊情况的处理。
判定定理三：距离
04
相等法
距离相等法原理
直线与平面平行时，直线上任意一点 到平面的距离都相等。
利用这一性质，可以通过比较直线上 不同点到平面的距离是否相等来判断 直线与平面是否平行。
点到直线距离公式
点$P(x_0, y_0, z_0)$到平面 $Ax + By + Cz + D = 0$的距 离公式为
直线与平面的距离为零
当直线上的任意一点到平面的距离都为零时，直线与平面平行。可 以通过计算点到平面的距离公式来判断。
复杂问题简化策略
转化为基本问题
将复杂问题转化为判断直线与平面是否平行的基本问题，以便运 用上述方法进行求解。
利用已知条件
充分利用题目中给出$d = frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
221222直线与平面平面与平面平行的判定定理PPT课件
D1
N
A1
M
F
B1
C1
E
D1 M
A1
N
C1 B1
D A
C B
D
K
A
Q
C
P B
变式
例 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别为DD1，DB的中点.求证：EF//平面ABC1D1.
证明：如图，连接BD1 ，
D1
C1
在△DBD1中，EF为三角形中位线，
所以EF//BD1 ，
又EF
故A1B//平面ADC1
A1
C1
B1
E
A
C
D B
例 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，M，N分别是 AB，PC的中点,求证：MN//平面PAD.
证明：取PD的中点H，连接HN，AH ， P
在三角形△PDC中，HN为三角形中位线， 所以HN//DC且 HN= 1 DC
H
2
D
又因为底面为正方形，且M为AB中点，
②从中你能得出什么结论？
A
B
猜想：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行.
1.直线与平面平行的判定定理
若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 则该直线与此平面平行.
(1)用该定理判断直线a和平面平行，须具备三个条件：
“面外、面内、平行”
a
a
即
b
a
//
a // b
EF和面BCD哪一条直线平行呢？ 直线BD
EF D
C
证明：连接BD，
B
∵在△ABD中，E、F分别是AB、AD的中点
(完整版)《平行线的判定与性质的综合运用》教学课件
6.如图，AB，CD，EF，MN均为直线，∠2=∠3=70°， ∠GPC=80°，GH平分∠MGB，求∠1的度数.
解：∵∠2=∠3=70°(已知)， ∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)， ∴∠BGP=∠GPC(两直线平行，内错角相等)， ∵∠GPC=80°(已知)， ∴∠BGP=80°(等量代换)， ∴∠BGM=180°-∠BGP=100°(平角的定 义)，
(完整版)《平行线的判定与性质的综合运用》教学课件
平行线的性质
第2课时 平行线的判定与性质的综合运用
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
三、平行线的基本性质3
思考：类似地，已知两直线平行，能否得到同旁内角
之间的数量关系？ 如图,已知a//b,那么2与4有什么关系呢？为什么?
解: ∵a//b （已知）,
A.80° B.65° C.60°
D.55°
3.如图，BD⊥AB，BD⊥CD，则∠a的度 数是（ A ） A.50° B.40° C.60° D.45°
4.已知AB∥DE，试问∠B，∠E，∠BCE有什么关系.请
完成填空：
A 解：过点C作CF∥AB， 则_∠__B__=_∠__1__ （ 两直线平行，内错角相等 ）. C
B
1
F
2
又∵AB∥DE，AB∥CF，
D
E
∴__C_F__∥__D_E____（平行于同一直线的两条直线平行 ）.
∴∠E＝∠__2__（两直线平行，内错角相等）.
∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2（等式的性质），
即∠B＋∠E＝∠BCE．
5.已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC与G， ∠E=∠3，试问：AD是∠BAC的平分线吗？若是， 请说明理由．
高中数学北师大版必修二课件：第一章 立体几何初步§5 5-1
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【解析】 当平面 β 与平面 ABC 重合时，有 MN β； 当平面 β 与平面 ABC 不重合时， 则 β∩平面 ABC＝BC. ∵M，N 分别为 AB，AC 的中点，∴MN∥BC. 又 MN⊆/ β，BC β，∴MN∥β.
【答案】 A
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
阶
阶
段
段
一
三
§5 平行关系
5.1 平行关系的判定
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
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1．理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义，会判断线面、 面面平行．(重点)
2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与 平面平行的判定定理，并知道其地位和作用．(重点、易错点)
平行线的判定及性质课件
05
总结与展望
总结
01
02
03
04
05
直线平行的定义
直线平行的判定 方法
直线平行的性质
平行线在实际生 活中的应用
平行线在数学中 的地位
在同一平面内，不相交的 两条直线叫做平行线。
同位角相等，两直线平行 ；内错角相等，两直线平 行；同旁内角互补，两直 线平行。
两直线平行，同位角相等 ；两直线平行，内错角相 等；两直线平行，同旁内 角互补。
在几何图形中，平行线具 有非常重要的应用价值， 如矩形、菱形、正方形等 都有平行线的性质。
平行线是数学几何学中的 重要概念之一，是研究平 面图形性质的基础之一。 掌握平行线的判定方法和 性质对于学习数学几何学 非常重要。
展望
进一步探索平行线的性质
加强实际应用
除了已经学习的平行线的基本性质外，还 有许多复杂的性质和定理，值得进一步探 索和学习。
详细描述
在制造业中，机器人使用平行线来定位和移动物体，进行高效和精确的生产操作。例如 ，在汽车制造中，机器人通过使用平行线来定位和抓取车辆部件，以提高生产效率和质 量。在医疗领域，手术机器人使用平行线来精确控制手术器械，提高手术的准确性和安
全性。
04
平行线在数学问题中 的应用
代数中与平行线相关的知识点
在道路交通中，平行线是确保车辆安全行驶的重要标志。它们被用来划分车道、标识道路边缘以及引 导驾驶员在正确的车道上行驶。在高速公路上，平行线被用来表示应急车道和车道分隔线，帮助驾驶 员在紧急情况下做出正确的反应。
机器人在工作中的应用
总结词
机器人广泛应用于生产制造、医疗服务和军事等领域，平行线在机器人的工作中发挥着 重要作用。
两条直线平行和垂直的判定ppt课件
(3)由题意知，l1 的斜率不存在，且不是 y 轴，l2 的斜率也不存在，恰好是 y 轴，
所以 l1∥l2.
－1－1
3－4
(4)由题意知，k1＝
＝1，k2＝
＝1，所以 l1 与 l2 重合或平行，
－2－0
2－3
4－（－1）
因为 kFG ＝
＝1，所以 E，F，G，H 四点共线．
3－（－2）
所以 l1 与 l2 重合．
√
3
0，－
1
2
C．l1 的倾斜角为 30°，l2 过点 P(3， 3)，Q(4，2 3)
D．l1 过点 M(1，0)，N(4，－5)，l2 过点 P(－6，0)，Q(－1，3)
√
两条直线垂直
3.已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三点，试判
断△ABC的形状.
分析
结合图形可猜想AB⊥BC，△ABC为直角三角形.
l1//l2 ⇔ k1=k2.
注：若没有特别说明，
说“两条直线l1，l2”时，
显然，当α1=α2=90o时，直线l1与直线l2的斜率不存在，此时l1∥l2． 指两条不重合的直线.
两条直线平行
两条直线平行的判定
类型
斜率存在
斜率不存在
前提条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在
图示
用斜率证Байду номын сангаас三点共线时，常常用到这个结论。
两条直线平行
例 1 根据下列给定的条件，判断直线 l1 与直线 l2 是否平行．
(1)l1 经过点 A(2，1)，B(－3，5)，l2 经过 C(3，－3)，D(8，－7)；
所以 l1∥l2.
－1－1
3－4
(4)由题意知，k1＝
＝1，k2＝
＝1，所以 l1 与 l2 重合或平行，
－2－0
2－3
4－（－1）
因为 kFG ＝
＝1，所以 E，F，G，H 四点共线．
3－（－2）
所以 l1 与 l2 重合．
√
3
0，－
1
2
C．l1 的倾斜角为 30°，l2 过点 P(3， 3)，Q(4，2 3)
D．l1 过点 M(1，0)，N(4，－5)，l2 过点 P(－6，0)，Q(－1，3)
√
两条直线垂直
3.已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三点，试判
断△ABC的形状.
分析
结合图形可猜想AB⊥BC，△ABC为直角三角形.
l1//l2 ⇔ k1=k2.
注：若没有特别说明，
说“两条直线l1，l2”时，
显然，当α1=α2=90o时，直线l1与直线l2的斜率不存在，此时l1∥l2． 指两条不重合的直线.
两条直线平行
两条直线平行的判定
类型
斜率存在
斜率不存在
前提条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在
图示
用斜率证Байду номын сангаас三点共线时，常常用到这个结论。
两条直线平行
例 1 根据下列给定的条件，判断直线 l1 与直线 l2 是否平行．
(1)l1 经过点 A(2，1)，B(－3，5)，l2 经过 C(3，－3)，D(8，－7)；
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【练习 3】如图，两个完全相等的正方形 ABCD 和 ABEF 不在
同一平面内，点 M、N 分别在它们的对角线 AC、BF 上，且
CM=BN．求证：MN∥平面 BCE．
【证明】连结 AN 并延长交 BE 于 G 点．
∵AF∥BE，∴ BN GN ． NF NA
∵正方形 ABCD 与正方形 ABEF 全等，
关键词有哪 些？
定理5.1 若平面外一条直线与此平面 内的一条直线平行，则该直线与此平 面平行.
如果直线a与平面α内的一条直线b平行， 则直线a与平面α平行？
a
b
下列说法是否正确？说明理由： 1、如果一条直线不在平面内，则这条直线就与 平面平行 2、过直线外一点可以作无数个平面与这条直线 平行
直线与平面有几种位置关系？ 有三种位置关系：在平面内，相交、平行．
其中平行是一种非常重要的关系，不仅应用较多，而且是 学习平面和平面平行的基础．
怎样判定直线与平面平行呢？
根据定义，判定直线与平面是否平行，只 需判定直线与平面有没有公共点。
但是，直线无限延长，平面无限延展，如 何保证直线与平面没有公共点呢？
定理5.1 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 则该直线与此平面平行.
a
a
b
a
//
b
a // b
线(平面内）线（平面外）平行
线面平行
转化
直线与平面平行（空间）
直线与直线平行（平面）
1）与AB平行的平面是： 2）与AA1平行的平面是：
D1 A1
C1 B1
典例展示
例1.空间四边形ABCD 中，E，F分别为AB，AD 的中点，
线面平行 线与面交于一点
线面平行
3、数学思想找平行直线可以 通过三角形的中位线、平行四边形、平行线段成比 例定理等来完成。
证明：连接BD交AC于点O,
连接OE,
D1
A1 E
C1 B1
在 DBD中，E，O分别是 DD, BD 的中点．
D
C
O
EO// BD
A
B
EO
平面ACE
BD
//
平面AEC
BD 平面ACE
运用定理的关键是找平行线； 找平行线又经常会用到三角形中位线定理。
典例展示
例2：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形， AB / /CD, AB 2CDM, 是PB的中点. 求证：CM∥平面PAD
练习2.在直三棱柱 ABC A1B1C中1 ， 点 D、E分别为棱， CC1 、 AB的中点.
求证：DE∥平面 AB1C1
运用定理的关键是找平行线；
找平行线又经常会用到平行四边形对边相互 平行。
典例展示
例3.已知空间四边形ABCD 中，P、Q分别是三角形 ABC和三角形ACD的重心。 求证：PQ∥平面BCD
∴AC=BF．
∵CM=BN，∴MA=NF．
∵ CM GN ，∴MN∥CG． MA NA
∵ CG 平面 BCE，MN 平面 BCE，∴MN∥平面 BCE．
运用定理的关键是找平行线；
找平行线又经常会用到对应线段成比例，两 直线平行。
直线在平面内 1、线面的位置关系 直线在平面外 2、线面平行的判定定理 线线平行
求证:直线EF与平面BCD平行.
A
证明：如右图，连接BD，
在△ABD中，E,F分别为AB，AD的中点， F
即EF为中位线.
E
∴EF∥BD,
DC
又EF 平面BCD,
B
BD 平面BCD,
∴EF∥平面BCD.
练习1.如图，正方体 ABCD ABCD 中，E为 DD的中
点，试判断 BD与平面AEC的位置关系，并说明理由．
在日常生活中，哪些实例给我们以直线与平 面平行的印象呢？
根据以上实例总结在什么条件下一条直线和 一个平面平行？
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平 行，那么这条直线和这个平面平行
定理5.1 若平面外一条直线与此平面 内的一条直线平行，则该直线与此平 面平行.
1、能够举出生活中直线与平面平行的例子 2、掌握直线与平面平行的判定定理 3、会用三种语言对判定定理进行描述 4、能用判定定理证明直线与平面平行