高三文科数学导数2

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1 (0,1］内恒成立, 的取值范围. 在 x∈(0,1］内恒成立,求 b 的取值范围. 2 x
a 解: （I） f ′( x) = 2 x − , 依题意 f ′( x ) > 0 , 在 x ∈ (1, 2 ]恒成立 , ） x
2
即 a < 2 x ,当 a=2 时, a<2x2 也恒成立∴ a ≤ 2 也恒成立∴ 当 又 g ′( x) = 1 −
∴ ϕ ( x ) 在 (0,1] 为减函数
∴ϕ( x)min = ϕ(1) = 1− 2b +1 ≥ 0 又 b > − 1
所以： − 1 < b ≤ 1为所求范围.
1 7 g ( x ) = x 2 + m x + （ m < 0 ） 直线 l 与函数 f ( x) 、 思考 2： 已知 f ( x) = ln x ， ， 2 2
2 可知,方程 解： (2)由(1)可知 方程 f ( x) = g ( x) + 2 ,即x − 2 ln x − x + 2 x − 2 = 0. 由 可知
设 h( x) = x − 2 ln x − x + 2 x − 2 ,定义域为 (0,+∞ ) 定义域为
2
则 h ′( x ) = 2 x −
g ( x) 的图像都相切，且与函数
f ( x) 的图像的切点的横坐标为 1．
（Ⅰ）求直线 l 的方程及 m 的值； （Ⅱ）若 h( x ) =
f ( x + 1) − g ′( x ) （其中 g ′( x ) 是 g ( x) 的导函数），
求函数 h( x) 的最大值；
解： （Ⅰ）依题意知：直线 l 是函数 f ( x ) = ln x 在点 (1 , 0 ) 处的切线， 故其斜率
小结：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键. 小结：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.
变式探讨 已知 的图象上， 变式探讨:已知：在函数 f ( x) = mx 3 − x 的图象上，以 N (1, n) 为切点的 探讨 已知： 切线的倾斜角为 π ．
解:(1) f’(x)=3ax2+2bx－3，依题意， f ' (1) = f ' (−1) = 0
3a + 2b −3=0 即 3a − 2b −3=0
{
得
(x)=0， ∴f（x）=x3－3x， f’(x)= 3x2－3=3(x-1)(x+1) 令f’(x) ，得x=-1，x=1. （ ） ， (x) ， （－∞，－1 +∞）， ），则 0， 若x∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则f’(x)> 0， （－∞，－1 上是增函数， +∞）上是增函数. 故f（x）在（－∞，－1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数 ），则 若x∈（－ ，1），则f’(x)< 0，故f（x）在（－ ，1）上是减函数 ∈（－1， ）， ， （ ） （－1， ） 所以f（－ ） 是极大值 （ ） － 是极小值 是极大值， 是极小值. 所以 （－1）=2是极大值，f（1）=－2是极小值 （－
3
（1）当a > 2时，求f(x)的极小值； （2）当a>0时,讨论方程f(x) = 0的根的个数.
2 f ′( x ) = 3 ax − 3( a + 2 ) x + 6 = 3 a ( x − )( x − 1) 解:(1) ， ……2 分 a 2 Q a > 2,∴ < 1 a 2 2 当 x < 或x > 1时, f ′( x ) > 0,当 < x < 1时, f ′( x ) < 0. ……4 分 a a 2 2 ∴ f ( x)在(−∞, ), (1,+∞)内单调递增, 在( ,1) 内单调递减， a a a 故 f ( x)的极小值为f (1) = − . ……………6 分 2
①
a 2 x
,依题意 g ′( x ) < 0, x ∈ (0,1) 即 a > 2 x , x ∈ (0,1) . 依题意 ②
∵上式恒成立, ∴ a ≥ 2. 上式恒成立 由①②得 a = 2 . ①②得
∴ f ( x) = x − 2 ln x, g ( x) = x − 2 x.
2
有唯一解； （2）求证:当 x>0 时,方程 f(x)=g(x)+2 有唯一解； 求证:
1 3)当 (0,1］内恒成立, (3)当 b > −1时,若 f ( x ) ≥ 2bx − 2 在 x∈(0,1］内恒成立, x
的取值范围. 求 b 的取值范围.
ϕ ( x ) = x 2 − 2 ln x − 2bx + 解：(3)设
1 2 2 则ϕ ' ( x ) = 2 x − − 2b − 3 < 0 , x2 x x
2
（1） 、当 0 < a < 2时, 2 > 1,当x < 1或x > 2 时, f ′( x ) > 0 当1 < x < 2 时, f ′( x) < 0 ， a a a a ∴ f ( x)极大值为f (1) = − < 0,∴ f ( x) = 0 有一个根； 2
（２） 、当 a = 2时, f ′( x) = 6( x − 1) 2 ≥ 0.∴ f ( x) = 0 有一个根 （３） 、当 a > 2时 ，由(1) f ( x )极大值为 f ( 2 ) = −4( 1 − 3 ) 2 − 3 < 0 ， f ( x) = 0 有一
﹙不合题意，舍去﹚；
∴ m= -2
（Ⅱ）因为 h ( x ) = f ( x + 1) − g ′( x ) = ln( x + 1) − x + 2 （ x > −1 ），所以
h′( x) = 1 −x −1 = x +1 x +1 ．
当 −1 < x < 0 时， h′( x ) > 0 ；当 x > 0 时， h ′( x ) < 0 ． 因此， h ( x ) 在 ( − 1 , 0 ) 上单调递增，在 (0 , + ∞ ) 上单调递减． 因此，当 x = 0 时， h ( x ) 取得最大值 h(0) = 2 ；
4
（Ⅰ）求 m，n 的值； ， 的值； （Ⅱ）是否存在最小的正整数 k，使得不等式 f ( x ) ≤ k − 1993 对于 ， x ∈ [−1, 3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数 k；如果不存在， 恒成立？如果存在， ；如果不存在， 请说明理由； 请说明理由；
解：（Ⅰ） f ′( x ) = 3mx 2 − 1 ，依题意，得 f ′(1) = tan ， 依题意， 4 2 即 3m − 1 = 1， m = 3 ∵
要使得不等式 f ( x) ≤ k − 1993对于 x ∈ [−1, 3] 恒成立， 则 k ≥ 15 + 1993 = 2008. 所以，存在最小的正整数 k = 2008，使得不等式 f ( x) ≤ k − 1993对于 x ∈ [−1, 3] 恒成立.
例2 、已知函数
3 f ( x ) = x − ( a + 2) x 2 + 6 x − 3 2
2 1 −1+ , x x
令 h′( x) = 0 ,得 x=1 得
列表分析: x (0,1)
1 0 0
(1,+∞) + 递增
h′(x)递减Fra bibliotekh(x)
知 h(x) 在 x
= 1处有一个最小值 0,
∴ h( x) = 0 在(0,+∞)上只有一个解. 即当 x＞0 时,方程 f ( x ) = g ( x) + 2 有唯一解.
思路启迪： x=± 是方程f’(x)=0的根 思路启迪：（1）x=±1是方程f’(x)=0的根 （2）分析x=±1处的极值情况，关键是分析x=±1左右f’(x)的符号. 分析x=± 处的极值情况，关键是分析x=± 左右f’(x)的符号 的符号. （3）要分清点A（0，16）是否在曲线上. 要分清点A 16）是否在曲线上.
a = 1 b = 0
（2）曲线 ）曲线y=x3－3x，点A（0，16）不在曲线上，设切点 ， （ ， ）不在曲线上，设切点M ），则 （x0，y0），则y0 = x0 3－3 x0 ∵f’（ x0 ）=3 x0 2－3， （ ， 切线方程为y－ ∴切线方程为 － y0 =3(x0 2－1)(x－ x0). － 代入A（ ， ） 代入 （0，16）得16－ x0 3+3 x0 =3(x0 2－1)(0－ x0 ). － － 解得x － ， （－2，－ ），切线方程为 解得 0 =－2，∴M（－ ，－ ），切线方程为 －y+16=0. （－ ，－2），切线方程为9x－
a a 4 4
个根 综上：当 a > 0时, f ( x) = 0 有一根；
2 是增函数, 思考 1： 已知函数 f ( x) = x − a ln x 在 ( 1 , 2 ] 是增函数, g ( x) = x − a x 在
(0,1)为减函数. (0,1)为减函数. 为减函数 f(x)、g(x)的表达式 的表达式； （1）求 f(x)、g(x)的表达式； 求证: 有唯一解； （2）求证:当 x>0 时,方程 f(x)=g(x)+2 有唯一解； 3)当 (3)当 b > −1时,若 f ( x) ≥ 2bx −
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------------导数的应用
新塘中学 高三备课组
2004年天津卷 年天津卷） 例1 （2004年天津卷）已知函数f（x）=ax3+bx2－3x在x=±1处 取得极值. 取得极值. （－1 的极大值还是极小值； （1）讨论f（1）和f（－1）是函数f（x）的极大值还是极小值； 16） 的切线，求出此切线方程. （2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求出此切线方程.