华科大数理方程课件——具有非齐次边界条件的问题(2014)
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数理方程第二章 非齐次边界条件的处理-5
0
深圳大学电子科学与技术学院
W
W W
x 0 xl
u1 ( t ) u2 ( t )
W1
W2
( 2.59)
l
x
例如上图 W ( x, t ) ,W1 ( x, t ) ,W2 ( x, t )等等，都能满足（ 2.59 ）的要求。
如，可取直线
W ( x, t ) A(t ) x B(t )
2 2
1 ( x )
t 0
将U的边界条件代入 u( x, t ) V ( x, t ) u1 (t ) u2 (t ) u1 (t ) x
L
由 u x L u2 (t )，得
u (t ) u1 (t ) u (0, t ) V ( L, t ) u1 (t ) 2 L L
x
孙子兵法中，称之为 “偷梁换柱”法。
就能使新的未知函数 V ( x , t ) ，满足齐次的边界条件。
深圳大学电子科学与技术学院
然后来解决关于新的函数V(x,t)——（齐次）的定解问题. 2 2 u u 2 u V W a f ( x, t ) 2 代入 t 2 x
( 2.59)
就能合乎要求。可是，满足（2.59）要求的函数 W(x,t) 是很多的，例如
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W
l , (u2 (t ))
0
l
W
W W
x 0 xL
u1 (t ) u2 (t )
0, (u1 (t ))
W1
W2
( 2.59)
x
例如上图 W ( x, t ) ,W1 ( x, t ) ,W2 ( x, t )等等，都能满足（ 2.59 ）的要求。
深圳大学电子科学与技术学院
W
W W
x 0 xl
u1 ( t ) u2 ( t )
W1
W2
( 2.59)
l
x
例如上图 W ( x, t ) ,W1 ( x, t ) ,W2 ( x, t )等等，都能满足（ 2.59 ）的要求。
如，可取直线
W ( x, t ) A(t ) x B(t )
2 2
1 ( x )
t 0
将U的边界条件代入 u( x, t ) V ( x, t ) u1 (t ) u2 (t ) u1 (t ) x
L
由 u x L u2 (t )，得
u (t ) u1 (t ) u (0, t ) V ( L, t ) u1 (t ) 2 L L
x
孙子兵法中，称之为 “偷梁换柱”法。
就能使新的未知函数 V ( x , t ) ，满足齐次的边界条件。
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然后来解决关于新的函数V(x,t)——（齐次）的定解问题. 2 2 u u 2 u V W a f ( x, t ) 2 代入 t 2 x
( 2.59)
就能合乎要求。可是，满足（2.59）要求的函数 W(x,t) 是很多的，例如
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W
l , (u2 (t ))
0
l
W
W W
x 0 xL
u1 (t ) u2 (t )
0, (u1 (t ))
W1
W2
( 2.59)
x
例如上图 W ( x, t ) ,W1 ( x, t ) ,W2 ( x, t )等等，都能满足（ 2.59 ）的要求。
3.3非齐次边界条件的处理
Wuhan University
⎪ ⎩
§3.3 非齐次边界条件的处理
2
⎧ a2n2π 2ω2 Tn′′(t ) + 2 Tn (t ) = sinωt (−1)n+1 ⎪ l nπ ⎪ ⎨Tn (0) = 0 nπa l t nπa ⎪T ′(0) = 0 ωn = Tn (t ) = ⎪ n ∫0 f n (τ ) sin l (t − τ )dτ l nπa ⎩
(1 ) − ( 3 ) →
(4) 定解问题（1）－（3）的解
vtt − a v xx = − ( wtt − a w xx ) (8) v | x = 0 = 0, v | x = l = 0 (9 ) v |t = 0 = ϕ ( x ) − w ( x , 0 ) ⎫ ⎬ (10 ) vt |t = 0 = ψ ( x ) − wt ( x ,0 ) ⎭
无法确定其值
Wuhan University
§3.3 非齐次边界条件的处理
二、求解
2、求解 （１）边界条件齐次化： 令 使
u( x , t ) = v ( x , t ) + w ( x , t )
(4)
⎧ w | x = 0 = u | x = 0 = g ( t ) ( 5) ⎨ ⎩ w | x = l = w | x = l = h( t ) ( 6)
Wuhan University
§3.3 非齐次边界条件的处理
（2）令
v( x, t ) = v ( x, t ) + v
I
II
( x, t )
(9 )
⎧ II ω2 2 ⎧ I 2 I v tt − a 2v II xx = ω x sinωt ⎪ ⎪v tt − a v xx = 0 l ⎪ ⎪ I v (0, t ) = v I (l , t ) = 0 (10) ⎪v II (0, t ) = v II (l , t ) = 0 (11) ⎨ ⎨ ⎪ ω ⎪v II ( x,0) = v II t ( x,0) = 0 I I ⎪v ( x,0) = 0 , v t ( x,0) = − x ⎪ l ⎪ ⎩ ⎩
⎪ ⎩
§3.3 非齐次边界条件的处理
2
⎧ a2n2π 2ω2 Tn′′(t ) + 2 Tn (t ) = sinωt (−1)n+1 ⎪ l nπ ⎪ ⎨Tn (0) = 0 nπa l t nπa ⎪T ′(0) = 0 ωn = Tn (t ) = ⎪ n ∫0 f n (τ ) sin l (t − τ )dτ l nπa ⎩
(1 ) − ( 3 ) →
(4) 定解问题（1）－（3）的解
vtt − a v xx = − ( wtt − a w xx ) (8) v | x = 0 = 0, v | x = l = 0 (9 ) v |t = 0 = ϕ ( x ) − w ( x , 0 ) ⎫ ⎬ (10 ) vt |t = 0 = ψ ( x ) − wt ( x ,0 ) ⎭
无法确定其值
Wuhan University
§3.3 非齐次边界条件的处理
二、求解
2、求解 （１）边界条件齐次化： 令 使
u( x , t ) = v ( x , t ) + w ( x , t )
(4)
⎧ w | x = 0 = u | x = 0 = g ( t ) ( 5) ⎨ ⎩ w | x = l = w | x = l = h( t ) ( 6)
Wuhan University
§3.3 非齐次边界条件的处理
（2）令
v( x, t ) = v ( x, t ) + v
I
II
( x, t )
(9 )
⎧ II ω2 2 ⎧ I 2 I v tt − a 2v II xx = ω x sinωt ⎪ ⎪v tt − a v xx = 0 l ⎪ ⎪ I v (0, t ) = v I (l , t ) = 0 (10) ⎪v II (0, t ) = v II (l , t ) = 0 (11) ⎨ ⎨ ⎪ ω ⎪v II ( x,0) = v II t ( x,0) = 0 I I ⎪v ( x,0) = 0 , v t ( x,0) = − x ⎪ l ⎪ ⎩ ⎩
数学物理方法§08-3-35
§8-3 非齐次边界条件定解问题当边界条件是非齐次时，如何求解物理定解问题呢？ 一、非齐次边界条件定解问题对由边界条件引起的运动，首先可以做边界条件齐次化处理：非齐次边界问题化为另一个函数的齐次边界问题。
这里以振动问题为例给予说明：例对弦自由振动问题：)3()(|);(|)2()(|);(|)1(00002x u x u t u t u u a u t t t l x x xx tt ψφνµ=====−==== 第一步：选取（构造）一个函数v(x,t)，使其满足边界条件： )(|);(|0t v t v l x x νµ==== ⑷第二步：利用叠加原理，令：u(x,t)= w (x,t) + v (x,t) ⑸代入定解问题。
可以证明w(x,t)满足：)0;()(|);0;()(|0|;0|)(00022x v x w x v x w w w v a v w a w t t t t l x x xx tt xx tt −=−===−−=−====ψφ ⑹这是关于w(x,t)的齐次边界定解问题（一般为非齐次的泛定方程），可解。
特别地，当函数v (x,t)也满足齐次方程时，关于w(x,t)的微分方程也是齐次的。
证明w (x,t)满足⑹式。
解： u(x,t)= w (x,t) + v (x,t) 代入定解问题：)(|)();(|)()(|)();(|)(0)()(0002x v w x v w t v w t v w v w a v w t t t l x x xx tt ψφνµ=+=+=+=+=+−+==== 由v 满足的边界条件，既有⑹成立。
#例题：弦x=0端固定，x=l 端受迫做谐振动Asin ωt ，初始位移和速度都为0。
求此定解问题。
解：定解问题：)3(0|;0|)2(sin |;0|)1(00002=====−====t t t l x x xx tt u u t A u u u a u ω 设构造函数为：v(x;t)=X(x)sin ωt ⑷要求⑷式满足：边界条件⑵：v|x=0=0, v|x=l =Asin ωt ；以及齐次微分方程:v tt -a 2v xx =0。
非齐次边界条件的处理1.ppt
l
sin
n
l
x
n1
(1)n1
2 Ala 2l 2 n2
2a2
sin
n at
l
sin
n
l
x
2
Ala
n1
(1)n1
sin
n at sin
l
2l 2 n2
n
l 2a2
x
u( x, t )
v(x,t) w(x,t)
Asin x
a
sin l
sin t
2Ala (1)n1
n1
sin n at sin n x
可选取一个函数v(x,t) A(t)x B(t)使之满足边界条件(2)
v x0
v xl
(t ) (t)
A(t) A(t)
0 B(t) l B(t)
(t)
(t)
B(t) (t) A(t) (t) (t
l
)
v(x,t) (t) x [ (t) (t)] (4)
n1
An
sin
n x
l
0
An
0
wt
(x, 0)
n1
Bn
n a
l
sin
n
l
x
A sin(x / a) sin(l / a)
Bn
l
n a
2 l
l 0
A sin(x / a) sin(l / a)
sin
n
l
x
dx
(1)n1
2 Ala 2l 2 n2
2a2
w( x, t )
n1
Bn
sin
n at
l
令u(x,t) v(x,t) w(x,t)
sin
n
l
x
n1
(1)n1
2 Ala 2l 2 n2
2a2
sin
n at
l
sin
n
l
x
2
Ala
n1
(1)n1
sin
n at sin
l
2l 2 n2
n
l 2a2
x
u( x, t )
v(x,t) w(x,t)
Asin x
a
sin l
sin t
2Ala (1)n1
n1
sin n at sin n x
可选取一个函数v(x,t) A(t)x B(t)使之满足边界条件(2)
v x0
v xl
(t ) (t)
A(t) A(t)
0 B(t) l B(t)
(t)
(t)
B(t) (t) A(t) (t) (t
l
)
v(x,t) (t) x [ (t) (t)] (4)
n1
An
sin
n x
l
0
An
0
wt
(x, 0)
n1
Bn
n a
l
sin
n
l
x
A sin(x / a) sin(l / a)
Bn
l
n a
2 l
l 0
A sin(x / a) sin(l / a)
sin
n
l
x
dx
(1)n1
2 Ala 2l 2 n2
2a2
w( x, t )
n1
Bn
sin
n at
l
令u(x,t) v(x,t) w(x,t)
非齐次边界条件问题(10.30)
（10.30）非齐次边界条件问题问题1, (,0)(), (0,)0, (,)(0)t xx u ku u x f x u t u l t A A ====≠求解非齐次边界问题时，首先应将其转化为齐次边界问题。
因此，此处首先找出方程的稳态解，即与时间t 无关的解0()u x ，将其代入原方程后可得[][]00()0()t xx u x k u x ==解得0()u x px q =+式中，p 、q 为待定系数。
根据边界条件可得0(0)0u q ==0()u l A pl q ==+解得, 0Ap q l== 所以0()A u x x l=构造函数0(,)()(,)u x t u x v x t =+代入原方程可得[][]00()()t t xx t xx u u x v k u x kv =+=+化简后可得t xx v kv =又由初始条件可得0()(,0)()(,0)f x u x u x v x ==+所以0(,0)()()v x f x u x =-由边界条件还可以得到(0,)(,)0v t v l t ==因此，题设问题就转化为了齐次边界条件问题，即求解0, (,0)()(), (0,)(,)0t xx v kv v x f x u x v t v l t ==-==由变量分离法，首先假设(,)()()v x t X x T t =进而有()'()"()()X x T t kX x T t =移项整理得''()'()()()X x T t A X x kT t =≡ 其中A 是与x , t 都无关的常数，于是有'()()T t AkT t = "()()X x AX x =分别求解，对于()T td ()d ()T t Ak tT t =⎰⎰所以0()Akt T t C e =对于()X x ，当0A ≥时，都可以得到()0f x ≡，与题设不符。
数学物理方法-8.3非齐次边界条件的处理-精品文档
2 2 w a w ( v a v ) 0 tt xx tt x x
令：
v ( x , t ) X ( x ) sin t
X ' '
2
a
2
X 0
X ( 0 ) 0 ,
X ( l ) A
X ( x ) C cos( x / a ) D sin( x / a )
8.3 非齐次边界条件的处理
方法1 例
u au 0 tt xx
2
齐次方程
第一类 非齐次边界条件 非零初值
u ( x ,t)x ( t) 0
u (x ,t)x ( t) l
u t0 (x)
令
u t
t 0
(x)
u ( x , t ) v ( x , t ) w ( x , t )
u ( x ,t)x ( t) 0
第一类非齐次边界条件
( t ) ( t ) v ( x , t ) x ( t )
l
u (x ,t)x ( t) l
( t ) ( t ) w a w ( v a v ) [ x ( t )]"
w (x ,t) x00
w (x ,t) xl 0
w ( x ) v t 0 t 0
w ( x ) v tt 0 tt 0
8.3 非齐次边界条件的处理 例 弦的 x=0 端固定， x=l 端受迫在谐振动 Asinωt， 弦的初始位移和初始速度均为零，求弦的振动。 泛定方程
A sin( x /a ) . sin( l/a )
2 w a w 0 tt xx
n at n atn x w ( x , t ) ( A cos B sin ) sin . n n l l l n 1
非齐次边界条件
非齐次边界条件
非齐次边界条件是指边界条件中包含有非零项的情况。
在数学和物理学中，经常会遇到需要求解非齐次边界条件下的问题。
解决非齐次边界条件的方法通常可以分为两步：首先求解对应的齐次边界条件下的问题，然后再加上非齐次项的修正项。
在求解偏微分方程的边界值问题时，常常需要给定边界上的某些量的具体值或者导数的具体值。
如果这些量的值恒为零，则称为齐次边界条件。
否则，如果这些量有非零值，则称为非齐次边界条件。
一般情况下，非齐次边界条件会增加问题的复杂性，因为不再满足齐次边界条件的性质。
解决非齐次边界条件的一种常见方法是将问题转化为齐次边界条件下的问题，然后通过求解该齐次问题的解来得到非齐次问题的解。
具体而言，对于一个偏微分方程的边界值问题，我们可以首先求解相应的齐次边界条件下的问题，得到一个齐次解。
然后，我们再考虑非齐次项，根据非齐次项的性质，找到一个特解。
最后，将齐次解和特解相加，就可以得到非齐次边界条件下的解。
需要注意的是，对于不同的非齐次项，求解的方法和步骤可能会有所差异。
在实际问题中，通常需要根据具体的方程和边界条件来选择适合的方法来解决非齐次边界条件。
定解问题：非齐次方程和齐次边界条件的处理课件
化为其次边条的定解问题
精
7
非齐次稳定场问题（泊松方程）
• 利用叠加原理：
泊松方程的一般解 =其一特解+拉普拉斯方程的一般解
化为齐次定解问题
精
8
冲量定理法利用叠加原理非齐次边界条件的定解问题其一特解相应齐次边条定解问题的一般解化为其次边条的定解问题非齐次稳定场问题泊松方程利用叠加原理
定解问题：非齐次方程和齐次 边界条件的处理
精
1
齐次方程+齐次边界
• 分离变量法 • 傅里叶级数法
精
2
非齐次方程+齐次边界
Lu(x,t) f (x,t) ----------------------------------
1u(0, t) 1u(0, t) 0 2u(l, t) 2u(l, t) 0
-------------------------------------
u(x, 0) (x) u(x, 0) (x)
• 傅里叶级数法
• 冲量定理法（不要求）
精
3
傅里叶级数法(1)
1u(0, t) 1u(0, t) 0 2u(l, t) 2u(l, t) 0
-------------------------------------
v(x, ) 0 v(x, ) f (x, )
精
6
如何处理非其次边界条件？
• 利用叠加原理
非齐次边界条件的定解问题 =其一特解+相应齐次边条定解问题的一般解
fi Xi i
Ti 2a2T
= Ti (0) i
fi
Ti (0) i
或者
Ti 2a2T Ti (0) i
精
7
非齐次稳定场问题（泊松方程）
• 利用叠加原理：
泊松方程的一般解 =其一特解+拉普拉斯方程的一般解
化为齐次定解问题
精
8
冲量定理法利用叠加原理非齐次边界条件的定解问题其一特解相应齐次边条定解问题的一般解化为其次边条的定解问题非齐次稳定场问题泊松方程利用叠加原理
定解问题：非齐次方程和齐次 边界条件的处理
精
1
齐次方程+齐次边界
• 分离变量法 • 傅里叶级数法
精
2
非齐次方程+齐次边界
Lu(x,t) f (x,t) ----------------------------------
1u(0, t) 1u(0, t) 0 2u(l, t) 2u(l, t) 0
-------------------------------------
u(x, 0) (x) u(x, 0) (x)
• 傅里叶级数法
• 冲量定理法（不要求）
精
3
傅里叶级数法(1)
1u(0, t) 1u(0, t) 0 2u(l, t) 2u(l, t) 0
-------------------------------------
v(x, ) 0 v(x, ) f (x, )
精
6
如何处理非其次边界条件？
• 利用叠加原理
非齐次边界条件的定解问题 =其一特解+相应齐次边条定解问题的一般解
fi Xi i
Ti 2a2T
= Ti (0) i
fi
Ti (0) i
或者
Ti 2a2T Ti (0) i
第八章 非齐次边界条件处理(3节).
§8.3非齐次边界条件的处理
本节中心内容
非齐次边界转化为齐次边界的问题；
本节基本要求
掌握非齐次边界齐次化的方法 着重掌握求解四种非齐次边界问题的解题思 路、解题步骤。 掌握求解非齐次边界问题的特殊方法
以前处理方程都是对齐次边界条件，而生活实践中大多数 是对于非齐次边界条件如何处理？ 一般处理方法是要经过 代换转换为齐次的。
2 0 1 ( 0 0 ) l l
l
2 Cn { 0 ( x) ( x 0) 0 ( x) [ x (l o)]} l 0 n x con dx l 2 2 n [ 0 0 cos n ] 0 [1 () ] l l 0 (n为奇数) 4 0 （n为偶数, n 2k , k 1, 2,3,...） l
四、
X ( x) X ( x) 0 X (0) 0 X (l ) 0
1 n 2 x (n 0,1, 2,) X n ( x) Cnco s l
其本征值和本征函数分别为
1 2 2 (n ) 2 l2
五、
( ) ( ) 0 ( 2 ) ( )
一、齐次化的一般方法：
1、第一种边界条件：
x 0 , x l两端都是第二类
非齐次边界条件
utt a 2u xx 0
u x0 (t ), u xl (t )
u
y 0
( x), u t
t 0
( x)
此时，边界条件为非齐次的。选取一个函数
v( x, t )
( x ) t
t 0
尽管
的方程一般是非齐次的， w( x, t )
u(t ) u xl (t )
本节中心内容
非齐次边界转化为齐次边界的问题；
本节基本要求
掌握非齐次边界齐次化的方法 着重掌握求解四种非齐次边界问题的解题思 路、解题步骤。 掌握求解非齐次边界问题的特殊方法
以前处理方程都是对齐次边界条件，而生活实践中大多数 是对于非齐次边界条件如何处理？ 一般处理方法是要经过 代换转换为齐次的。
2 0 1 ( 0 0 ) l l
l
2 Cn { 0 ( x) ( x 0) 0 ( x) [ x (l o)]} l 0 n x con dx l 2 2 n [ 0 0 cos n ] 0 [1 () ] l l 0 (n为奇数) 4 0 （n为偶数, n 2k , k 1, 2,3,...） l
四、
X ( x) X ( x) 0 X (0) 0 X (l ) 0
1 n 2 x (n 0,1, 2,) X n ( x) Cnco s l
其本征值和本征函数分别为
1 2 2 (n ) 2 l2
五、
( ) ( ) 0 ( 2 ) ( )
一、齐次化的一般方法：
1、第一种边界条件：
x 0 , x l两端都是第二类
非齐次边界条件
utt a 2u xx 0
u x0 (t ), u xl (t )
u
y 0
( x), u t
t 0
( x)
此时，边界条件为非齐次的。选取一个函数
v( x, t )
( x ) t
t 0
尽管
的方程一般是非齐次的， w( x, t )
u(t ) u xl (t )
华科数理方程课件第4章
同理可得 1 r u nd S 1 u nd S 4 ( u n)因此有
又因为 l i0m u [ u u 1 n M (1 r 0) 1 r l i m u n 0 ] 4d (1 S 4 unu ) 4 01 于( u 是u n () M )0
u (M 0 ) 4 [ u (M ) n (r M 0)M r M 0M n]dM S
4.1.4 调和函数的性质
上性有质一1.阶设连u续(x偏, y,导z)数是，区则域 内und的S调和0,函其数中， 它 在 ,n
是 的外法线方向。证明: 只要在Green公式中取 v 1即证。
注：此性质表明调和函数的法向导数沿区域边界的积分为零。
对稳定的温度场，流入和流出物体界面的热量相等，否则就
格林函数法以统一的方式处理各类数学物理方程，既可以 研究常微分方程，又可以研究偏微分方程；既可以研究齐次方 程又可以研究非齐次方程；既可以研究有界问题，又可以研究 无界问题。它的内容十分丰富，应用极其广泛。这里主要介绍 用格林函数求解拉普拉斯方程的边值问题。
1
2021/3/6
数学物理方程与特殊函数
为了利用格林公式，我们在 内挖去 M 0的球形邻
域 K , 是其球面. 在区域 K内及其边界
上， v 1 是任意可导的。 r
4
2021/3/6
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
在第二格林公式中, 取u为调和函数, 假定它在
上有一阶连续偏导数, 而取v 1 , 在区域 K 上应
因用 在此公球式面 得u n 上( 1 r ) K d 1 ( u n / r1 r S 1 2 1 r u u d 1 ) r d /r S r1 V 2 r1 u 2 4 [ u 1 2 n 2 ( 1 r ) 4 u 1 r u n ] dS
又因为 l i0m u [ u u 1 n M (1 r 0) 1 r l i m u n 0 ] 4d (1 S 4 unu ) 4 01 于( u 是u n () M )0
u (M 0 ) 4 [ u (M ) n (r M 0)M r M 0M n]dM S
4.1.4 调和函数的性质
上性有质一1.阶设连u续(x偏, y,导z)数是，区则域 内und的S调和0,函其数中， 它 在 ,n
是 的外法线方向。证明: 只要在Green公式中取 v 1即证。
注：此性质表明调和函数的法向导数沿区域边界的积分为零。
对稳定的温度场，流入和流出物体界面的热量相等，否则就
格林函数法以统一的方式处理各类数学物理方程，既可以 研究常微分方程，又可以研究偏微分方程；既可以研究齐次方 程又可以研究非齐次方程；既可以研究有界问题，又可以研究 无界问题。它的内容十分丰富，应用极其广泛。这里主要介绍 用格林函数求解拉普拉斯方程的边值问题。
1
2021/3/6
数学物理方程与特殊函数
为了利用格林公式，我们在 内挖去 M 0的球形邻
域 K , 是其球面. 在区域 K内及其边界
上， v 1 是任意可导的。 r
4
2021/3/6
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
在第二格林公式中, 取u为调和函数, 假定它在
上有一阶连续偏导数, 而取v 1 , 在区域 K 上应
因用 在此公球式面 得u n 上( 1 r ) K d 1 ( u n / r1 r S 1 2 1 r u u d 1 ) r d /r S r1 V 2 r1 u 2 4 [ u 1 2 n 2 ( 1 r ) 4 u 1 r u n ] dS
数理方程与特殊函数8非齐次边界条件定界问题的解
Vx0 0,uxL0
Vt0 1(x)V , t t0 1(x)
其中 f1(x, t) = f(x, t) – Wtt(x, t)
1 (x ) (x ) W (x ,0 )1(x) (x) W t(x ,0 )
8/13
例1(P. 73)
u u
tt x
0
a 2 u xx 0, u
A
xL
B
u t 0 0, u t t 0 0
3. 为什么边界条件齐次化方法中的特殊函数是关于 x的线性函数？
4. 边界条件齐次化方法中的特殊函数是否是方程的 特解？
习题3. 6：2，3
《数学物理方程》第三章§6
非齐次方程齐次化例子 非齐次边界条件处理 边界条件齐次化例子
u tt a 2 u x xA co L x ssit,n 0 x L ,t 0
ux x0 0,ux xL 0
ut0 0,ut t0 0
将问题分解, 使u(x,t)= V+ W
WCcosxsint CA/[(a)22]
7/13
由: u(x, t) = V(x, t ) + W(x, t),求导数得
utt= Vtt+ Wtt , uxx = Vxx, 代入方程 得 , Vtt+ Wtt = a2 Vxx + f(x , t) 即, Vtt = a2 Vxx + [f(x , t) –Wtt ]
Vtt a2Vxxf1(x,t),0xL,t0
utt a2uxxf(x,t),0xL,t0
ux0 1(t),uxL2(t) ut0 (x),ut t0 (x)
边界条件的齐次化方法
1 (t )
构造特殊函数 W(x,t) 使
Vt0 1(x)V , t t0 1(x)
其中 f1(x, t) = f(x, t) – Wtt(x, t)
1 (x ) (x ) W (x ,0 )1(x) (x) W t(x ,0 )
8/13
例1(P. 73)
u u
tt x
0
a 2 u xx 0, u
A
xL
B
u t 0 0, u t t 0 0
3. 为什么边界条件齐次化方法中的特殊函数是关于 x的线性函数？
4. 边界条件齐次化方法中的特殊函数是否是方程的 特解？
习题3. 6：2，3
《数学物理方程》第三章§6
非齐次方程齐次化例子 非齐次边界条件处理 边界条件齐次化例子
u tt a 2 u x xA co L x ssit,n 0 x L ,t 0
ux x0 0,ux xL 0
ut0 0,ut t0 0
将问题分解, 使u(x,t)= V+ W
WCcosxsint CA/[(a)22]
7/13
由: u(x, t) = V(x, t ) + W(x, t),求导数得
utt= Vtt+ Wtt , uxx = Vxx, 代入方程 得 , Vtt+ Wtt = a2 Vxx + f(x , t) 即, Vtt = a2 Vxx + [f(x , t) –Wtt ]
Vtt a2Vxxf1(x,t),0xL,t0
utt a2uxxf(x,t),0xL,t0
ux0 1(t),uxL2(t) ut0 (x),ut t0 (x)
边界条件的齐次化方法
1 (t )
构造特殊函数 W(x,t) 使
2.5具有非齐次边界条件的问题.
于是可得
w(t, x)
x l
[u2
(t
)
u1
(t
)]
u1
(t
).
因此，令
u( x, t )
v( x, t )
x l
[u2 (t)
u1(t)]
u1 (t ).
则问题(79)-(81)可化成v(x,t) 的定解问题
(79) (80) (81) (82)
(85)
4
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0),
2
n
代入 vn (t)
t 0
2
t ( na )2 (t )
el
n 0
fn ( d
(
)e
na l
)2
(t
)
d
,
2l 2
(n )3 a 2
( na )2 t e l
1,
(90)
把(90)代入(89)v(
x,
t
)
n1
vn
(t
)
s
in
的方法。（也可称为辅助函数法）
1
考察定解问题：
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0), (79)
u(0,t) u1(t), u(l,t) u2 (t),
(80)
u(x,0) (x), ut (x,0) (x).
(81)
通过作一函数变换将边界条件化为齐次的，
sin
4
l
x.
15
3.3 非齐次边界条件的处理
令 v v I v II，且满足
I I vtt a 2vxx 0 分离变量法求解 I I v (0, t ) 0, v (l , t ) 0 v I ( x, 0) ( x) w( x, 0), v I ( x, 0) ( x) w ( x, 0) t t II II vtt a 2vxx a 2 wxx wtt II II v (0, t ) 0, v (l , t ) 0 v II ( x, 0) 0, v II ( x, 0) 0 t
接下来令 v v I v II，使得v I具有齐次的方程和非齐次的初始 条件，v II具有非齐次的方程和齐次的初始条件。用分离变量 法求v I，用冲量原理法或本征函数法求解v II，最终 u ( x, t ) w( x, t ) v I ( x, t ) v II ( x, t ) 。
冲量原理法或本征 函数法求解
说明：边界条件的齐次化，一般将导致方程的非齐次化和初 始条件的复杂化，但这是必须的！没法子啊！
例1 试研究一端固定，一端作周期运动 sin t 的弦振动。
utt a 2uxx 0 u (0, t ) 0, u (l , t ) sin t u ( x, 0) u ( x, 0) 0 t
2l nπat nπx 解得 v ( x, t ) (1) siБайду номын сангаас sin 2 a(nπ) l l n 1
2 l sin t sin nt sin t sin nt nπx II n 1 v ( x, t ) (1) sin 2 a ( nπ ) n n l n 1
则 v |x 0 0, v |x l 0.
I I vtt a 2vxx 0 分离变量法求解 I I v (0, t ) 0, v (l , t ) 0 v I ( x, 0) ( x) w( x, 0), v I ( x, 0) ( x) w ( x, 0) t t II II vtt a 2vxx a 2 wxx wtt II II v (0, t ) 0, v (l , t ) 0 v II ( x, 0) 0, v II ( x, 0) 0 t
接下来令 v v I v II，使得v I具有齐次的方程和非齐次的初始 条件，v II具有非齐次的方程和齐次的初始条件。用分离变量 法求v I，用冲量原理法或本征函数法求解v II，最终 u ( x, t ) w( x, t ) v I ( x, t ) v II ( x, t ) 。
冲量原理法或本征 函数法求解
说明：边界条件的齐次化，一般将导致方程的非齐次化和初 始条件的复杂化，但这是必须的！没法子啊！
例1 试研究一端固定，一端作周期运动 sin t 的弦振动。
utt a 2uxx 0 u (0, t ) 0, u (l , t ) sin t u ( x, 0) u ( x, 0) 0 t
2l nπat nπx 解得 v ( x, t ) (1) siБайду номын сангаас sin 2 a(nπ) l l n 1
2 l sin t sin nt sin t sin nt nπx II n 1 v ( x, t ) (1) sin 2 a ( nπ ) n n l n 1
则 v |x 0 0, v |x l 0.
具有非齐次边界条件的问题
nx sin (n 1, 2, ); l (2n 1)x sin (n 1, 2, ); 2l (2n 1)x cos (n 1, 2, ); 2l nx cos (n 0, 1, 2, ); l
和 w(r, ) 分别满足
1 1 vrr vr 2 v F (r , ),(0 r r0 ), r r
v | r r0 0.
(P1)
1
补充
对于如下泊松方程的边值问题而言：
1 1 u rr u r 2 u F (r , ), (0 r r0 ), r r
u ( x,0) ( x), u t ( x,0) ( x).
(82) w(0, t ) u1 (t ), w(l , t ) u 2 (t ), (84) 其实满足(84)中两个条件的函数 w( x, t ) 是很多的， 为了以后计算方便起见，通常取w( x, t ) 为 x 的一次 式， 即设 w( x, t ) A(t ) x B(t ), 由条件(84)确定 A(t ), B(t ) 得
2
2 v n (t ) n
e
0
t
(
na 2 ) ( t ) l
d
(90) 可得
( na ) 2 t 2l nx v ( x, t ) e l 1 sin . 3 2 l n 1 ( n ) a
u(0, t ) t , u(l , t ) 0,
(87) 令
u( x,0) 0,.
t w( x, t ) x t. 解 选取辅助函数 l
则问题(87)化成 x 2 vt a v xx - 1 (0 x l , t 0), l v(0, t ) 0, v(l , t ) 0, (88) v( x,0) 0.
[理学]华科数理方程课件第3章
![[理学]华科数理方程课件第3章](https://img.taocdn.com/s3/m/fa84c10e6c175f0e7cd1372d.png)
2u 0
下午5时55分
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
F ( x) G ( x) ( x) 1 x C F ( x) G ( x) ( )d a x0 a F ( ) G ( ) 1 1 x C F ( x) ( x) ( )d u ( x, t ) F ( x at ) G( x at ) 2 2a x0 2a 此即为原方程的通解。 1 1 x C G ( x) ( x) ( )d 利用初值条件确定函数 F，G 2 2a x0 2a u( x,0) ( x) ( x at ) ( x at ) F ( x) G ( x) ( x) u ( x, t ) 2 ut ( x,0) ( x) a[ F ( x) G( x)] ( x) 1 x at
下午5时55分
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
达朗贝尔解 的物理意义
( x at ) ( x at ) 1 x at u ( x, t ) ( )d 2 2a x at
1 1 [ ( x at ) ( x at )] [ ( x at ) ( x at )] 2 2a
utt a 2u xx f ( x, t ), x , t 0 u ( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x), x
无界弦的强迫振动问题（非齐次问题的齐次化原理)
qtt a 2 qxx f ( x, t ), x , t 0 q( x,0) 0, qt ( x,0) 0, x 怎么求解此
一起围成的三角形区域
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因此，原问题(87)的解为
x 2l 2 u ( x, t ) t 1 3 2 l ( n ) a n 1
a 2 ) t ( n nx l 1 sin . e l
9
特别值得注意的是，对于给定的定解问题， 例如：
utt a 2u xx f ( x, t ) (0 x l, t 0),
u x (0, t ) u1 (t ), u(l, t ) u2 (t ); w( x, t ) u1 (t ) x u 2 (t ) lu1 (t ).
u 2 (t ) u1 (t ) 2 x u1 (t ) x. (4) u x (0, t ) u1 (t ), u x (l, t ) u2 (t ); w( x, t ) 2l
2 vn (t ) n
2 n
代入 v n (t ) 0 f n ( )e
t
(
na 2 ) ( t ) l
d ,
e
0
t
(
na 2 ) ( t ) l
d
(90) 可得
na 2 ( ) t 2l nx l v ( x, t ) e 1 sin . 3 2 l n 1 ( n ) a 2
2
应用固有函数法求问题(88)的解。 为此，设
n v( x, t ) vn (t ) sin x, l n 1
(89)
d ,
利用2.4.2节中推得公式(64)可知 na
v n (t ) f n ( )e
0 t ( l
) 2 ( t )
再利用2.4.2节中推得公式(62)可知
通过作一函数变换将边界条件化为齐次的， 为此令 (82) u( x, t ) v( x, t ) w( x, t ), 并选取辅助函数 w( x, t ), 使新的未知函数 v( x, t ) 满足齐次边界条件，即 (83) v(0, t ) 0, v(l , t ) 0. 由(80)(82)容易看出， 要使(83)成立，只要
vtt a 2 vxx f1 ( x, t ) (0 x l, t 0),
v(0, t ) v(l , t ) 0,
v( x,0) 1 ( x), vt ( x,0) 1 ( x).
将问题(86)的解代入
x u ( x, t ) v( x, t ) [u 2 (t ) u1 (t )] u1 (t ). l
(82) w(0, t ) u1 (t ), w(l , t ) u2 (t ), (84) 其实满足(84)中两个条件的函数 w( x, t ) 是很多的， 为了以后计算方便起见，通常取w( x, t ) 为 x 的一次 式， 即设 w( x, t ) A(t ) x B(t ), 由条件(84)确定 A(t ), B(t ) 得
10
例2`求解下列问题：
ut uxx 12x(1 x) (0 x 1, t 0), u(0, t ) 0, ux (1, t ) 1, u( x ,0) sin x x 4 2 x 3 3 x . 2
(91`)
解
设问题的解为 u( x, t ) v( x, t ) w( x), (92`) 将(92`)代入问题(91`)中的方程，即得
vt v xx w( x) 12x(1 x) ,
为了将此方程化成齐次的，自然选取 w( x) 满足
w( x ) 12x( x 1).
11
例2`求解下列问题：
ut uxx 12x(1 x) (0 x 1, t 0), u(0, t ) 0, ux (1, t ) 1, u( x ,0) si n x x 4 2 x 3 3 x . 2
v(0, t ) 0, v x (1, t ) 0,
v ( x ,0) sin x . 2
(94`)
(2n 1)π 2 ] t 2
其级数解形式为 v( x, t ) an e
n 1
[
(2n 1)x sin . 2
我们以下面的问题为例，说明选取函数代换 的方法。（也可称为辅助函数法）
1
考察定解问题： utt a 2u xx f ( x, t ) (0 x l, t 0),
u(0, t ) u1 (t ), u(l , t ) u 2 (t ),
(79) (80) (81)
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
w(0, t ) u1 (t ), w(l , t ) u2 (t ),
(84)
2
utt a 2u xx f ( x, t ) (0 x l, t 0),
u(0, t ) u1 (t ), u(l , t ) u 2 (t ),
(79) (80) (81)
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
u(0, t ) u1 (t ), u(l , t ) u 2 (t ),
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
如果方程中的自由项 f 和边界条件中的 u1 , u 2 都与自变量 t 无关，在这种情形下，我们可选取 辅助函数 w( x ), 通过函数代换 u( x, t ) v( x, t ) w( x), 使方程与边界条件同时化成齐次的。
2.5
具有非齐次边界条件的问题
本节我们讨论带有非齐次边界条件的定解问题
的求解方法。处理这类问题的基本原则是： 无论方程是齐次的还是非齐次的，选取一个辅 助函数 w( x, t ), 通过函数代换 u( x, t ) v( x, t ) w( x, t ), 使得对于新的未知函数v( x, t ) 而言，边界条件为 齐次的。
w( x) x 4 2 x 3 3x.
将求得的 w( x) 代入问题(94`)
vt a 2uxx (0 x 1, t 0),
v(0, t ) 0, v x (1, t ) 0,
v ( x ,0) si n x . 2
(94`)
15
vt a 2uxx (0 x 1, t 0),
(85)
则问题(79)-(81)可化成 v( x, t ) 的定解问题
4
utt a 2u xx f ( x, t ) (0 x l, t 0),
u(0, t ) u1 (t ), u(l , t ) u 2 (t ),
(79) (80) (81) (86)
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
则问题(87)化成 x 2 vt a v xx - 1 (0 x l , t 0), l 固有函 v(0, t ) 0, v(l , t ) 0, (88) 数法 v( x,0) 0.
7
t u ( x , t ) v ( x, t ) x t , l
x vt a v xx - 1 (0 x l , t 0), l (88) v(0, t ) 0, v(l , t ) 0, v( x,0) 0.
B(t ) u1 (t ),
u( x, t ) v( x, t ) w( x, t ),
1 A(t ) [u 2 (t ) u1 (t )], l
3
utt a 2u xx f ( x, t ) (0 x l, t 0),
u(0, t ) u1 (t ), u(l , t ) u 2 (t ),
v(0, t ) 0, v x (1, t ) 0, 4
(94`)
v ( x ,0) sin x x 2 x 3 3 x w( x ). 2
14
w( x ) 12x( x 1),
(93`)
w(0) 0, w' (1) 1.
问题(93`)是一个常微分方程的边值问题，其解为
w(0) 0,
ut uxx 12x(1 x) (0 x 1, t 0), u(0, t ) 0, ux (1, t ) 1, u( x ,0) si n x x 4 2 x 3 3 x . 2
(91`)
这样由代换 u( x, t ) v( x, t ) w( x), 问题(91`)化为下面两个问题：
(91` )
解
(92` ) 再把(92`)代入问题(91`)中的定解条件，得
v(0, t ) w(0) 0,
v x (1, t ) w' (1) 1,
w' (1) 1.
12
u( x, t ) v( x, t ) w( x),
为了将 v( x, t ) 的边界条件为齐次， 则 w( x)满足
以上4种辅助函数的情形对热传导方程同样适用。
6
例1 求解下列问题： ut a 2u xx ( , u(l , t ) 0,
(87) 令
u ( x,0) 0,.
t w ( x , t ) x t. 解 选取辅助函数 l
(79) (80) (81) (82)
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
u( x, t ) v( x, t ) w( x, t ),
于是可得
x w(t , x) [u 2 (t ) u1 (t )] u1 (t ). l
因此，令
x u ( x, t ) v( x, t ) [u 2 (t ) u1 (t )] u1 (t ). l
w( x ) 12x( x 1),