运筹学基础-对偶线性规划(1)

改变策略后，需要考虑如何给资源定价的问题！
设y1、y2 、y3分别表示出租单位设备台时的租金和出售单位 原材料A、B的利润. 工厂出租设备、原材料的租金要大于生产的利润才合算。 则：
y1+4y2≥2，
2y1+4y3≥3
要寻找使租用者支付的租金最少的策略。 工厂把所有设备台时和资源都出租和出让，其收入为：
பைடு நூலகம்
联系在于，它们都是关于工厂生产经营的模型,并且使用相同 的数据； 区别在于,它们所反映的实质内容是完全不同的：前者是站在 工厂经营者的立场上追求工厂的销售收入最大，而后者则是站在 谈判对手的立场上寻求应付工厂租金最少的策略。
所谓对偶规划，就是与线性规划原问题相对应 并使用同一组数据按照特定方法形成的另一种反映 不同性质问题的线性规划模型。
二、对偶规划的一般数学模型
原模型与对偶模型有很多的内在联系和相似之处。如原问题如求目 标函数最大化，对偶问题即求目标函数最小化；原问题目标函数的系数 变成为对偶问题的右边项，而原问题的约束的右边项则变成为对偶问题 目标函数的系数；对偶问题的系数矩阵是原问题系数矩阵的转置。就象 一个人对着镜子会左右颠倒一样，原问题与对偶问题之间存在着严格的 对应关系。
max f 2x1 3x2
x 1 2 x 2 8 16 4x 1 s.t. 4x 2 12 x 1 , x 2 0
工厂获得最大利润
符合资源限制
Ⅰ
Ⅱ 2 0 4 3 8台时 16Kg 12Kg
新问题的模型
设
备
1 4 0 2
原 材 料 A 原 材 料 B 每单位产品利润（万元）
max f 2x1 3x2
x1 2 x2 8 4 x 16 1 s.t. 4 x2 12 x1 , x2 0
min g 8 y1 16 y2 12 y3
2 y1 4y2 s.t.2y1 4y3 3 y 0, i 1,2,3 i
ming 8y1 16y2 12y3
工厂改变策略以后的数学模型为：
min g 8y1 16y 2 12y 3
用户所付租金最少
y1 4y 2 2 s.t . 2y1 4y3 3 y 0, i 1,2,3 i
工厂获得相应利润
原模型和对偶模型既有联系又有区别
… … ….
a1n y1 a2n y2 ... amn ym cn y1, y2 ,...,ym 0
…
…
…
原问题与对偶问题的矩阵形式
上述的原问题P和对偶问题 D还可以用矩阵形式写为：
(P) max Z= cx s.t. Ax ≤b x ≥0
(D) min S= yb s.t. yA ≥ c y≥0 其中 y ( y1 , y 2 ,.., y m )
x1 2 x2 8 4 x1 16 s.t . 4 x2 12 x , x 0 1 2
max f 2x1 3x2
min g 8 y1 16 y2 12 y3
y1 4y 2 2 s.t. 2y1 4y3 3 y 0, i 1,2,3 i
一、对偶线性规划问题
【例1】 某工厂计划安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知每种单位产品的 利润、生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、 现有原材料和设备台时的定额如下表所示：
Ⅰ 设 备 1 4 0 2 原 材 料 A 原 材 料 B 每单位产品利润（万元）
原问题的策略: 问应如何安排生产才能使工
变量
同号
下列的表给出了原问题模型和模型的对应关系，这些也可以 看作是一个线性规划原问题转化为对偶问题的一般规律。
原问题为maxZ的线性规划问题对偶关系表
原问题（或对偶问题） 目标函数最大化 (maxZ) n 个变量 m 个约束 约束条件限定向量（右边项） 目标函数价值向量（系数） ≥0 ≤ 0 无限制 对偶问题（或原问题） 目标函数最小化（ minS） n 个约束 m 个变量 目标函数价值向量（系数） 约束条件限定向量（右边项） 约束 ≥ ≤ ＝ ≤0 反号 变量 ≥0 无限制
上述的对偶模型都称作为对称型对偶模型。 而在当原问题转化为标准型以后所建立的对偶模型则是非 对称型的，如： (P) maxZ= cx s.t. Ax =b x≥0
(D) minS= yb s.t. yA≥c y为自由变量
问题：如何由原模型写出对偶模型？其规律是什么?
三、原问题与对偶问题的对应关系
当我们讨论对偶问题时必定是指一对问题，因为没有原问 题也就不可能有对偶问题。原问题和对偶问题总是相依存在的。 同时，原问题和对偶问题之间也并没有严格的界线，它们互为 对偶，谁都可以是原问题，谁也都可以是对偶问题。 原问题线性规划模型 对偶线性规划模型
Ⅱ 2 0 4 3
现在的策略: 假设不生产Ⅰ、Ⅱ产品
8台时 16Kg 12Kg
厂获利最大？
,而是计划将 现有资源出租或出售,从而获得利润,这 时需要考虑如何定价才合理?
Ⅰ
Ⅱ 2 8台时
原问题的模型
设
备
1
原 材 料 A
原 材 料 B 每单位产品利润（万元）
4
0 2
0
4 3
16Kg
12Kg
设x1、x2分别表示计划生产产品Ⅰ、Ⅱ的单位 数量，由题意原问题的模型为：
原问题的一般模型可定义为：
相应的对偶问题的一般模型可定义为：
maxZ c1 x1 c2 x2 ... cn xn minS b1 y1b2 y2 ... bm ym s.t. a11y1 a21y2 ... am1 ym c1 a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 s.t. a12 y1 a22 y2 ... am2 ym c2 a21 x1 a22 x2 ... a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 ... amn xn bm x1 , x2 ,...,xn 0