2.2 常见函数(附思维导图)

2.2常见函数

一、一次函数和常函数：

思维导图：

（一） 、一次函数 （二）、常函数 定义域：（- ∞，+ ∞） 定义域: （- ∞，+ ∞） 值 域：（- ∞，+ ∞） 正 k=0 反 值 域：{ b }

解析式：y = kx + b ( k ≠ 0 ) 解析式：y = b ( b 为常数)

图 像：一条与x 轴、y 轴相交的直线 图 像：一条与x 轴平行或重合的直线

b>0 b=0 b<0 K > 0 k < 0

单调性： k > 0 ,在（- ∞，+ ∞）↑ 单调性：在（- ∞，+ ∞）上不单调 k < 0 ,在（- ∞，+ ∞）↓

奇偶性：奇函数⇔=0b 奇偶性: 偶函数 非奇非偶⇔≠0b

周期性: 非周期函数 周期性：周期函数，周期为任意非零实数 反函数：在（- ∞，+ ∞）上有反函数 反函数:在（- ∞，+ ∞）上没有反函数 反函数仍是一次函数

例题：

二、二次函数

1、定义域：（- ∞，+ ∞）

2、值 域： ),44[,02

+∞-∈>a

b a

c y a

]44,(,02

a

b a

c y a --∞∈<

3、解析式：)0(2

≠++=a c bx ax y

4、图 像:一条开口向上或向下的抛物线

开口向下，开口向上；正负：增大，开口缩小

绝对值：随着,00<>a a a a

正半轴相交与负半轴相交与y c y c c

,0,0><

对称轴：a

b x 2-=对称轴： ；)

44,2(2a

b a

c a

b --顶点： 轴交点个数图像与x a

c b →-=∆42：与x 轴交点的个数。

两个交点,0>∆一个交点,0=∆无交点,0<∆

5、单调性：↑+∞-↓--∞>),2[]2,(,0a

b a

b a

↓+∞-↑--∞<),2[]2,(,0a

b a

b a

6、奇偶性：偶函数⇔=0b

7、周期性：非周期函数

8、反函数：在（- ∞，+ ∞）上无反函数，

上及其子集上有反函数或在),2[]2,(+∞---∞a

b a

b

例题:

三、反比例函数和重要的分式函数

（一）、反比例函数 （二）、分式函数b

ax d

cx y ++= 定义域：（- ∞，0）∪（0，+ ∞） 定义域：),(),(+∞-

--∞a

b

a b Y 值 域：（- ∞，0）∪（0，+ ∞） 值 域: ),(),(+∞-∞a c a c Y

解析式：)0()(≠=k x

k x f 解析式：)(a b

x b ax d cx y -≠++=

图 像：以x 轴、y 轴为渐进线的双曲线 图 像：以a b x -=和a

c

y =为

渐近线的双曲线

y y

0 x 0 x

k > 0 k < 0

单调性： k>0,（- ∞，0）↓,（0，+ ∞）↓ 单调性:在),(a b --∞和),(+∞-a

b

上 k<0,（- ∞，0）↑,（0，+ ∞）↑ 单调性相同 奇偶性：奇函数 奇偶性：非奇非偶 对称性：关于原点对称 对称性：关于点),(a

c

a b -

成中心对称 周期性：非周期函数 周期性：非周期函数

反函数：在定义域上有反函数， 反函数：在定义域有反函数， 反函数是其本身。 反函数是)(a

c

x c ax d bx y ≠-+-=

（三）、)0()(>+=k x k

x x f （四）、)0()(>-=k x

k x x f 定义域：（- ∞，0）∪（0，+ ∞） 定义域：（- ∞，0）∪（0，+ ∞） 值 域：

)

,2()2,(+∞--∞k k Y 值 域:（- ∞，+ ∞）

图 像： 图 像：

单调性：

↑

+∞↓↓

-↑--∞),(,),0()0,(,),(k k k k 单调性：（- ∞，0）↑（0，+ ∞）↑

奇偶性：奇函数 奇偶性：奇函数 对称性：关于原点对称 对称性：关于原点对称

四、指数函数、对数函数和幂函数（一）、指数和对数运算及性质：

1、根式

又因为(b a )n 可看作a n ·b -n

，所以（b

a ）n ＝n n

b a 可以归入性质(3).

现在我们来研究如何用幂表示底数。

（1）、n 次方根的定义：若x n ＝a （n ＞1且n ∈N *），则x 叫a 的n 次方根. 问题：x 如何用a 表示呢?

【平方根】偶次方根有下列性质：

在实数范围内，正数的偶次方根有两个且互为相反数，负数没有偶次方根； 【立方根】奇次方根有下列性质：

在实数范围内，正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数. （2）、n 次方根的性质：

)(2,12,*N k k

n a k n a x n n ∈⎪⎩⎪⎨⎧=±+==，其中n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数.

（3）、根式的运算性质

①（a a n n =)(）② ⎩⎨⎧=为偶数

为奇数n a n a a n n |,|,

(1)33)8(- （2）2)10(- (3)44)3(π-

（4）2)(b a -（a ＞b ）

解：(1) 33)8(-＝－8 (2) 2)10(-＝｜－10｜

(3) 44)3(π-＝｜3－π｜＝π－3 (4) 2)(b a -＝｜a －b ｜＝a －b （a ＞b ） 例2、求值：

6

3

12

5.132)2(;246347625)1(⨯⨯---++

分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质； 解：

负去掉绝对值符号。

上绝对值，然后根据正注意：此题开方后先带2

2)22(3223|22||32||23|)22()32())23(()2(2222)3(3222)2(232)3(2

46347625)1(222222222=---++=----++=---++=+⨯--+⨯-++•+=---++6

323

22

3

323223

32322

332125.132)2(62223

626226

3

62

3

63=⨯⋅⋅⋅⨯⋅⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯＝＝＝＝

2、分数指数幂

（1）.正数的正分数指数幂的意义