北京市朝阳区2011届高三年级第一次综合练习理科数学试题
2011年北京市朝阳区高三一模数学(理)试题及答案
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学测试题（理工类）2011.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．若集合2{|, }M y y x x ==∈R ，{|2, }N y y x x ==+∈R ，则M N I 等于（A ）[)0,+∞（B ）(,)-∞+∞ （C ）∅ （D ）{(2, 4)，(1, 1)-}2．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是 （A ）8，8 （B ）10，6 （C ）9，7 （D ）12，4 3．极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是（A ）22(2)4x y -+=（B ）224x y += （C ）22(2)4x y +-=（D ）22(1)(1)4x y -+-= 4．已知{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 表示{}n a 的前n 项的和．若13a =，24144a a =，则10S 的值是（A ）511（B ） 1023 （C ）1533 （D ）30695．函数)2(cos 2π+=x y 的单调增区间是（A ）π(π,π)2k k + k ∈Z （B ）π(π, ππ)2k k ++ k ∈Z（C ）(2π, π2π)k k +k ∈Z （D ）(2ππ, 2π2π)k k ++k ∈Z6．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形， 则此三棱锥的体积等于（A ）612 （B ）33（C 6（D 23 7．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，, A C 分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B 是双曲线的左顶点，F 为双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点D .若双曲线的离心率为2，则BDF ∠的余弦值是侧视正视1俯视xy O B AFD（A ）77 （B ）577 （C ） 714 （D ）57148．定义区间(, )a b ，[, )a b ，(, ]a b ，[, ]a b 的长度均为d b a =-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, (1, 2)[3, 5)U 的长度(21)(53)3d =-+-=. 用[]x 表示不超过x 的最大整数，记{}[]x x x =-，其中x ∈R . 设()[]{}f x x x =⋅，()1g x x =-，若用123,,d d d 分别表示不等式()()f x g x >，方程()()f x g x =，不等式()()f x g x <解集区间的长度，则当02011x ≤≤时，有（A ）1231, 2, 2008d d d === （B ）1231, 1, 2009d d d === （C ）1233, 5, 2003d d d === （D ）1232, 3, 2006d d d === 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上 9．复数13i z =+，21i z =-，则12z z 等于 .10．在二项式6(2)x 的展开式中，第四项的系数是 .11．如右图，在三角形ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，F 为AB 上的点，且B 4A AF =u u u r u u u r . 若AD x AF y AE =+u u u r u u u r u u u r，则实数x = ，实数y = .12．执行右图所示的程序框图，若输入 5.2x =-，则输出y 的值为 ．13．如下图，在圆内接四边形ABCD 中, 对角线, AC BD 相交于点E ．已知23BC CD ==2AE EC =，30CBD ∠=o，A BC DE · · F则CAB ∠=，AC 的长是 ．14．对于各数互不相等的整数数组),,,,(321n i i i i Λ (n 是不小于3的正整数)，对于任意的,{1,2,3,,}p q n ∈L ，当q p <时有q p i i >，则称p i ，q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于 ；若数组123(,,,,)n i i i i L 中的逆序数为n ，则数组11(,,,)n n i i i -L 中的逆序数为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3cos 24C =-. （Ⅰ）求sin C ；（Ⅱ）当2c a =，且37b =时，求a .16．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，且//AD BC ，90ABC PAD ∠=∠=︒，侧面PAD ⊥底面ABCD . 若12PA AB BC AD ===. （Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）侧棱PA 上是否存在点E ，使得//BE 平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求二面角A PD C --的余弦值.A BP D17．（本小题满分13分）在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是23． （Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望； （Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？18．（本小题满分13分）已知函数2()ln 20)f x a x a x=+-> (. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线与直线2y x =+垂直，求函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记()()()g x f x x b b =+-∈R .当1a =时，函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点，求实数b 的取值范围. 19．（本小题满分14分）已知(2, 0)A -，(2, 0)B 为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且APB ∆面积的最大值为23．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率； （Ⅱ）直线AP 与椭圆在点B 处的切线交于点D ，当直线AP 绕点A 转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明． 20．（本小题满分14分）有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为mk a (,1,2,3,,, 3)m k n n =L ≥，公差为m d ，并且123,,,,n n n nn a a a a L 成等差数列．（Ⅰ）证明1122m d p d p d =+ （3m n ≤≤，12,p p 是m 的多项式），并求12p p +的值； （Ⅱ）当121, 3d d ==时，将数列{}m d 分组如下：123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d L (每组数的个数构成等差数列)．设前m 组中所有数之和为4()(0)m m c c >，求数列{2}m cm d 的前n 项和n S ．（Ⅲ）设N 是不超过20的正整数，当n N >时，对于（Ⅱ）中的n S ，求使得不等式1(6)50n n S d ->成立的所有N 的值．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学测试题理科2011.4 参考答案一、选择题:三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知可得2312sin 4C -=-.所以27sin 8C =.因为在ABC ∆中，sin 0C >，所以sin C =. …………………6分（Ⅱ）因为2c a =，所以1sin sin 2A C ==.因为ABC ∆是锐角三角形，所以cos 4C =，cos 8A =. 所以sin sin()B AC =+sin cos cos sin A C A C =+8484=+8=.由正弦定理可得：sin sin aB A=，所以a =. …………………………13分16．（本小题满分13分）解法一：（Ⅰ）因为 90PAD ∠=︒，所以PA AD ⊥.又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD I 底面ABCD AD =， 所以PA ⊥底面ABCD .而CD ⊂底面ABCD ，所以PA ⊥CD . 在底面ABCD 中，因为90ABC BAD ∠=∠=︒，12AB BC AD ==，所以 22AC CD AD ==， 所以AC ⊥CD . 又因为PA AC A =I ， 所以CD ⊥平面PAC . ……………………………4分 （Ⅱ）在PA 上存在中点E ，使得//BE 平面PCD ，证明如下：设PD 的中点是F ， 连结BE ，EF ，FC ，则//EF AD ，且12EF AD =. 由已知90ABC BAD ∠=∠=︒，所以//BC AD . 又12BC AD =，所以//BC EF ，且BC EF =，所以四边形BEFC 为平行四边形，所以//BE CF .因为BE ⊄平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，所以//BE 平面PCD . ……………8分（Ⅲ）设G 为AD 中点，连结CG ，则 CG ⊥AD .又因为平面ABCD ⊥平面PAD ， 所以 CG ⊥平面PAD . 过G 作GH PD ⊥于H ，连结CH ，由三垂线定理可知CH PD ⊥. 所以GHC ∠是二面角A PD C --的平面角.设2AD =，则1PA AB CG DG ====, 5DP =. 在PAD ∆中，GH DGPA DP =，所以5GH =. 所以 tan 5CGGHC GH∠==，6cos 6GHC ∠=. 即二面角A PD C --的余弦值为66. ………………………………13分解法二：因为 90PAD ∠=︒， 所以PA AD ⊥.又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ， 且侧面PAD I 底面ABCD AD =，所以 PA ⊥底面ABCD .E FABPCDGHABPCDz A P又因为90BAD ∠=︒，所以AB ，AD ，AP 两两垂直. 分别以AB ，AD ，AP 为x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图.设2AD =，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,1)P .（Ⅰ）(0,0,1)AP =u u u r ，(1,1,0)AC =u u u r ，(1,1,0)CD =-u u u r,所以 0AP CD ⋅=u u u r u u u r ，0AC CD ⋅=u u u r u u u r，所以AP ⊥CD ，AC ⊥CD .[来源:学科网]又因为AP AC A =I ， 所以CD ⊥平面PAC . ………………………………4分（Ⅱ）设侧棱PA 的中点是E ， 则1(0, 0, )2E ，1(1, 0, )2BE =-u u u r .设平面PCD 的一个法向量是(,,)x y z =n ，则0,0.CD PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n 因为(1, 1, 0)CD =-u u u r ，(0, 2,1)PD =-u u u r，所以0,20.x y y z -+=⎧⎨-=⎩取1x =，则(1, 1, 2)=n .所以1(1, 1, 2)(1, 0, )02BE ⋅=⋅-=u u u r n ， 所以BE ⊥u u u r n .因为BE ⊄平面PCD ，所以BE P 平面PCD . ………………………………8分（Ⅲ）由已知，AB ⊥平面PAD ，所以(1, 0, 0)AB =u u u r为平面PAD 的一个法向量.由（Ⅱ）知，(1, 1, 2)=n 为平面PCD 的一个法向量. 设二面角A PD C --的大小为θ，由图可知，θ为锐角，所以cos AB ABθ⋅===u u u ru u u r n n . 即二面角A PD C --的余弦值为6………………………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6. 依条件可知X ~B (6，23). 6621()33kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6k =)X所以(01112260316042405192664)729EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=4729=. 或因为X ~B (6，23)，所以2643EX =⨯=. 即X 的数学期望为4． ……………5分（Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，则224156441212232()()()()().3333381P A C C =⨯⨯+⨯⨯+=答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为32.81………………………………10分（Ⅲ）设教师乙在这场比赛中获奖为事件B ，则2444662()5A A PB A ==.即教师乙在这场比赛中获奖的概率为25. 显然2323258081=≠，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等．…………………13分18．（本小题满分13分）解: (I) 直线2y x =+的斜率为1.函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为22()a f x x x '=-+，所以22(1)111af '=-+=-，所以1a =. 所以2()ln 2f x x x =+-. 22()x f x x-'=.由()0f x '>解得2x >；由()0f x '<解得02x <<.所以()f x 的单调增区间是(2,)+∞,单调减区间是(0,2). ……………………4分 (II) 2222()a ax f x x x x -'=-+=， 由()0f x '>解得2x a >；由()0f x '<解得20x a <<.所以()f x 在区间2(, )a +∞上单调递增，在区间2(0, )a 上单调递减.所以当2x a =时，函数()f x 取得最小值，min 2()y f a=.因为对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，所以2()2(1)f a a>-即可.则22ln 22(1)2a a a a+->-. 由2ln a a a >解得20a e <<. 所以a 的取值范围是2(0, )e. ………………………………8分(III)依题得2()ln 2g x x x b x=++--，则222()x x g x x +-'=. 由()0g x '>解得1x >；由()0g x '<解得01x <<.所以函数()g x 在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, )+∞为增函数.又因为函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点，所以1()0,()0,(1)0. g e g e g -⎧⎪⎨⎪<⎩≥≥解得211b e e<+-≤. 所以b 的取值范围是2(1, 1]e e+-. ………………………………………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(,0)F c ．由题意知解得3b =，1c =．故椭圆C 的方程为22143x y +=，离心率为12．……6分 （Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明如下：由题意可设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠.则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ．[来源:学科网]由22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k --=+．⎧⎪⎨⎪⎩2221223,22, .a b a a b c ⋅⋅===+OF EPD BAy x所以2026834k x k -=+，00212(2)34ky k x k=+=+． ……………………………10分 因为点F 坐标为(1, 0)， 当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，点D 的坐标为(2, 2)±. 直线PF x ⊥轴，此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+=m 与直线PF 相切． 当12k ≠±时，则直线PF 的斜率0204114PF y k k x k ==--. 所以直线PF 的方程为24(1)14ky x k =--．点E 到直线PF的距离d =322228142||14|14|k k k k k k +-==+-． 又因为||4||BD k = ，所以1||2d BD =． 故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当直线AP 绕点A 转动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．………14分 20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意知1(1)mn m a n d =+-．212121[1(1)][1(1)](1)()n n a a n d n d n d d -=+--+-=--，同理，3232(1)()n n a a n d d -=--，4343(1)()n n a a n d d -=--，…， (1)1(1)()nn n n n n a a n d d ---=--．又因为123,,,,n n n nn a a a a L 成等差数列，所以2132(1)n n n n nn n n a a a a a a --=-==-L . 故21321n n d d d d d d --=-==-L ，即{}n d 是公差为21d d -的等差数列． 所以，12112(1)()(2)(1)m d d m d d m d m d =+--=-+-．令122,1p m p m =-=-，则1122m d p d p d =+，此时121p p +=． …………4分（Ⅱ）当121, 3d d ==时，*2 1 ()m d m m =-∈N ．数列{}m d 分组如下：123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d L ．最新整理. 按分组规律，第m 组中有21m -个奇数，所以第1组到第m 组共有2135(21)m m ++++-=L 个奇数．注意到前k 个奇数的和为2135(21)k k ++++-=L ，所以前2m 个奇数的和为224()m m =.即前m 组中所有数之和为4m ，所以44()m c m =．因为0m c >，所以m c m =，从而 *2(21)2()m c m m d m m =-⋅∈N ．所以 234112325272(23)2(21)2n n n S n n -=⋅+⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅L . 23412123252(23)2(21)2n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅L .故2341222222222(21)2n n n S n +-=+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅L2312(2222)2(21)2n n n +=++++---⋅L12(21)22(21)221n n n +-=⨯---⋅-1(32)26n n +=--. 所以 1(23)26n n S n +=-+． …………………………………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）得*2 1 ()n d n n =-∈N ，1(23)26n n S n +=-+* ()n ∈N .[来源:Z#xx#]故不等式1(6)50n n S b -> 就是1(23)250(21)n n n +->-． 考虑函数1()(23)250(21)n f n n n +=---1(23)(250)100n n +=---．当1,2,3,4,5n =时，都有()0f n <，即1(23)250(21)n n n +-<-．而(6)9(12850)1006020f =--=>， 注意到当6n ≥时，()f n 单调递增，故有()0f n >.因此当6n ≥时，1(23)250(21)n n n +->-成立，即1(6)50n n S d ->成立． 所以,满足条件的所有正整数5,6,7,,20N =L ． …………………………14分。
朝阳区学年高三数学第一次统一练习试卷理工农医类答案
朝阳区学年高三数学第一次统一练习试卷理工农医类答案文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]朝阳区2001-2002学年高三数学第一次统一练习试卷(理工农医类)参考答案一、选择题二、填空题：13.(理)21，(文)2n ; 14.π136; 15.62; 16.–4,2,1等等. 三、解答题：17.(Ⅰ)证：∵ ,2b c a =+ ………………………………………………(理)2分∴),sin(2sin 2sin sin C A B C A +==+………………………………(理)4分(文)3分 ∴,2cos 2sin 42cos 2sin2C A C A C A C A ++=-⋅+ …………………(文、理)6分 ∵02sin ≠+C A ,∴.2cos 22cos C A C A +=-…………………………(文、理)8分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)得),22cos(2)22cos(C A C A +=- ,2sin 2sin 22cos 2cos 22sin 2sin 2cos 2cos C A C A C A C A -=+…………(文、理)10分 ∴,2cos 2cos 2sin 2sin 3C A C A =∴.312tg 2tg =⋅C A ……………………(文、理)12分 18.解：(理)原不等式)1(log 2-⇔x a ≥),(log 2a x a + ……………2分22)(log )1(log a x x a a +≥- ……………………4分x +a >0x 2–1≥(x +a )2x ≤a a 212+- x +a >0 …………6分 x >–a (※)………9分x 2–1>0 x <–1或x >1∵–a <–1,又,021)(21,1)1(2121222>-=--+--<+-=+-aa a a a a a a a ∴a aa ->+-212 ⇔⇔∴(※),212a a x a +-≤<-⇔∴解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-≤<-a a x a x 21|2…………12分 (文)原不等式)1(log 2-⇔x a ≥2log a (x +2),……………2分)2(log )1(log 22+≥-x x a a(※) ,……………4分x +2>0x 2-1≥(x +2)2 x ≤45- a >1时：(※)⇔ x +2>0 ⇔ x >–2 ⇔–2<x ≤45-………7分 x 2–x <–1或xx 2-1≤ (x +2)2 x ≥45- 0<a <1时：(※)⇔ x +2>0 ⇔ x >–2 ⇔45-≤x <–1或x >1……10分 x 2–x <–1或x 综上，a >1时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤<-452|x x ；0<a <1时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<≤-1145|x x x 或. ………………12分19.(理)(Ⅰ)证：∵ABC –A 1B 1C 1为直三棱柱，∴B 1B ⊥底面ABC .∵BC ⊂面ABC ，∴B 1B ⊥BC . …………………………2分又AB ⊥BC ，BC ⊥面ABB 1A 1.又A 1E ⊂面ABB 1A 1,∴BC ⊥A 1E .……4分(Ⅱ)证：∵A 1A ⊥面ABC ，∴∠A 1CA 为A 1C 与面ABC 所成的角.∴∠A 1CA =45° ……………………………………………5分∵AB =BC =2,∠ABC =90°,∴AC =A 1A =2,A 1C =22.∵A 1A ⊥面ABC ，且A 1A ⊂面ACC 1A 1，∴面ABC ⊥面ACC 1A 1.过E 作EH ⊥AC ，垂足为H ，∴EH ⊥面ACC 1A 1.过H 作HG ⊥A 1C ，垂足为G ，连EG ，∴EG ⊥A 1C .∴∠EGH 是二面角A —A 1C —E 的平面角.………8分⇔∵△AEH ∽△ABC ，可求得EH =AH =21，HG =423， ∴tg ∠EFH =32=HG EH ,即二面角A —A 1C —E 的正切值为32.………9分 (Ⅲ)∵V EC A F 1-=V FC A E 1-,…………………11分由(Ⅱ)知EH ⊥面A 1FC ,∴.614131311111=⋅=⋅=∆-A ACC FC A FC A E S EH S EH V …………………………12分(文)(Ⅰ)同理科(Ⅰ)(Ⅱ)证：∵A 1A ⊥面ABC ，∴∠A 1CA 为A 1C 与面ABC 所成的角.∴∠A 1CA =45°.∴B 1B =AC =A 1A =2. 又B 1B ⊥面ABC ，过B 作BH ⊥EC ，垂足为H ，连B 1H ，∴B 1H ⊥EC ，∴∠B 1HB 是二面角B 1—EC —B 的平面角.………7分∵△EBH ∽△EBC ，可求得BH =210，∴tg ∠B 1HB =101=BHB B .……9分 (Ⅲ)∵1111EB AC C EB A V V --=……………………………11分 322)2221(31=⋅⋅=…………………………………12分 (20)(理)解：(Ⅰ)∵AB =S 千米，每年载油量为w 千克， ∴汽车每千米油耗为Sw 2千克. …………………4分 (Ⅱ)∵AC =x ,∴CB =S –x ,∴自A 地往返C 地一次，汽车油耗为Swx x S w =⋅22千克. ………………6分 ∴一辆汽车自A 地到C 地余下的油量为)(x S Sw S wx w -=-千克.…………8分 (Ⅲ)由(Ⅱ)结论可知，为使中转油库得到一车油，必须从A 地运出xS Sw -千克油，从中转油库满载一车油到B 地，B 地可收到的油为Swx S w x S w =⋅-⋅-2)(2千克.…9分 ∴.41)2()(222=-+≤-=-=Sx S x S x S x x S Sw S wx P ……………(文)12分当且仅当x S x -=，即S x 21= 时.41max =P ∴当油库设在两地运输道路的中点时运油率P 最大，最大值为41…………(理)12分(文)13分 (文)(Ⅰ)(Ⅱ)见理科(22)题(Ⅰ)(Ⅱ).(Ⅲ)∵1)43(1+=-n n a ,∴],4)43[()43()43(4])43[(2+=+=n n n n n b ∴,4)43(34+=⋅n n n n b ∴.434lim =⋅∞→n n n n b ………………………12分 (21)解：(理)(Ⅰ)设双曲线的中心为(x , y ),依题意x <0,∵a =2，∴双曲线右顶点为(x +2,y )…………………2分依条件点(x +2,y )在y 2=x –1上，∴y 2=(x +2)–1=x +1……………4分∴双曲线中心的轨迹方程为y 2=x +1 (–1≤x <0).……………………5分(Ⅱ)∵a =2,∴c 最小时，e 最小. 设双曲线方程为,1)()(220220=---by y a x x ………………6分2224b b a c +=+=且准线方程为x =0,∴,002=+x c a …………7分 ∴.44220bc a x +-=-=由(Ⅰ)知,1020+=x y ∴0144220≥++-=b y .(10分) ∴,1442≤+b ∴,122≥b ∴,442≥+=b c ∴224=≥=a c e 当且仅当b =12时取等号， 此时x 0= –1,y 0=0,所求双曲线方程为.1124)1(22=-+y x ……………13分 (文)见理科20题.(22)(理)(Ⅰ)∵(a n+1–a n )g (a n )+f (a n )=0, ………………1分又g (a n )=4(a n –1), f (a n )=(a n –1)2∴(a n –1)(4a n +1–3a n –1)=0,∵a n ≠1,∴a n +1=4143+n a ………………3分 (Ⅱ)∵,)43(1,431,112321=-=-=-a a a 猜测{a n –1}为等比数列.……………………………………………(文科20题)6分 证明：,431)1(43114143111=--=--+=--+n n n n n n a a a a a a ∴{a n –1}是首项为1、公比为43的等比数列，∴.)43(11-=-n n a …………(理)6分(文科20题)9分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知，2211214433,1)43(----⋅-=+=n n n n n n n b a …………7分 =,43]21)43[(3]1)43[()43(32111--=----n n n ………………10分 设x u )43(=，函数43)21(32--=u y ，当0≥x 时，1)43(0≤=<x u ， ∵x u )43(=为减函数，∴当121≤<u 时，y 为增函数，当210≤<u 时，y 为减函数， ∴{b n }的最大项为b 1=0. ………………………11分又当n =2时，4121)43(12=--，当n =3时，16121)43(13=--，当n =4时，64521)43(14=--，∵161644645=>，∴n =3时，21)43(1--n 最小.…………13分 ∴{b n }的最小项为.2561893-=b (文)(Ⅰ)同理科21(Ⅰ) (Ⅱ)设双曲线的中心为(x 0,y 0),∵a =2,∴2224b b a c +=+=……………6分且准线方程为x =0，∴,002=+x ca ……………………………8分 ∴.44220bc a x +-=-=由(Ⅰ)知,1020+=x y ∴0144220≥++-=b y ……11分 ∴1442≤+b ,∴,122≥b ∴,32≥b ∴半虚轴长的取值范围是),32[+∞……13分(如有其它解法请酌情给分)。
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习试题理
（第6题图）北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）2014．3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）复数i(2+i)z =在复平面内对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （2）已知集合1{|()1}2xA x =<，集合{|lg 0}B x x =>，则AB =（A ）{|0}x x > （B ）{|1}x x > （C ） {|1}{|0}x x x x >< （D ） ∅ （3）已知平面向量a ，b 满足2==a b ，(2)()=2⋅--a +b a b ，则a 与b 的夹角为（A ）6π （B ） 3π （C ） 32π （D ） 65π （4）如图，设区域{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤，向区域D 内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落 入到阴影区域3{(,)01,0}M x y x y x =≤≤≤≤的概率为（A ）14（B ）13（C ）25 （D ） 27（5）在ABC △中，π4A =，BC =“AC =是“π3B =”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）执行如图所示的程序框图,输出的S 值为（A ）2 （B ）2- （C ）4 （D ）4-（7）已知函数2sin ()1xf x x =+．下列命题： ①函数()f x 的图象关于原点对称； ②函数()f x 是周期函数； ③当2x π=时,函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（A ） ①③ （B ）②③ （C ） ①④ （D ）②④ （8）直线y x m =+与圆2216x y +=交于不同的两点M ，N ，且3M N O M O N ≥+，其中O 是坐标原点，则实数m 的取值范围是 （A ）(2,22⎡-⎣ （B ）(22,4⎡--⎣（C ） [2,2]- （D ） [-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． （9）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，2312a a +=，则该数列的前4项和为 ．（10）在极坐标系中，A 为曲线2cos ρθ=上的点，B 为曲线cos 4ρθ=上的点，则线段AB 长度的最小值是 ．（11）某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积为 ；表面积为 ．（12）双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点到其渐近线的距离是2，则b = ；此双曲线的离心率为 ．（13）有标号分别为1,2,3的红色卡片3张，标号分别为1,2,3的蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内 （如图）．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数 为 ．（用数字作答）正视图俯视图（14）如图，在四棱锥S ABCD -中，SB ⊥底面ABCD ．底面ABCD 为梯形，AB AD ⊥，AB ∥CD ,1,3AB AD ==，2CD =．若点E 是线段AD 上的动点，则满足90SEC ∠=︒的点E 的个数是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）已知函数22()2sin()cos sin cos f x x x x x =π-⋅+-，x ∈R ． （Ⅰ）求()2f π的值及函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在[]0,π上的单调减区间．（16）（本小题满分13分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：例如，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25． （I ）求a ，b 的值；（II ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；（III ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．BCDESA（17）（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．PAD △为等腰直角三角形，且PA AD ⊥． E ，F 分别为底边AB 和侧棱PC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：EF ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求二面角E PD C --的余弦值．（18）（本小题满分13分）已知函数21()ln 2f x ax x =-，a ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[1,e]的最小值为1，求a 的值．（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(1,2，离心率为2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．（20）（本小题满分13分）从1,2,3,,n 中这n 个数中取m （,m n *∈N ，3m n ≤≤）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为(,)f n m ．（Ⅰ）当5,3n m ==时，写出所有可能的递增等差数列及(5,3)f 的值； （Ⅱ）求(100,10)f ；（Ⅲ）求证：()(1)(,)2(1)n m n f n m m -+>-．A E BCDPF北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案（理工类） 2014.3三、解答题15. （本小题满分13分） 解： ()f x =sin 2cos2x x -)4x π=-.（Ⅰ）())1224f πππ=⋅-==. 显然，函数()f x 的最小正周期为π. …………… 8分 （Ⅱ）令ππ3π2π22π242k x k +-+≤≤得 37ππππ88k x k ++≤≤，k ∈Z .又因为[]0,πx ∈，所以3π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 函数()f x 在[]0,π上的单调减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦． …………… 13分 16. （本小题满分13分）解：（I ）设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6)a +人． 则62()205a P A +==． 解得 2a =．所以4b =． …………… 4分（II ）设事件B ：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人．则21222062()1()195C P B P B C =-=-=． …………… 7分（III ）ξ的可能取值为0，1，2．20位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为8人．所以21222033(0)95C P C ξ===，1112822048(1)95C C P C ξ===，2822014(2)95C P C ξ===．所以ξ的分布列为所以，0E ξ=⨯33951+⨯48952+⨯1495764955==． …………… 13分 17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：取PD 的中点G ，连接FG ，AG .因为F ，G 分别是PC ，PD 的中点， 所以FG 是△PCD 的中位线. 所以FG ∥CD ，且12FG CD =． 又因为E 是AB 的中点，且底面ABCD 为正方形，所以1122AE AB CD ==，且AE ∥CD . 所以AE ∥FG ，且AE FG =． 所以四边形AEFG 是平行四边形． 所以EF ∥AG ．又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，AE BCDPFG所以EF平面PAD ． ……………4分（Ⅱ）证明： 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD ⊥，且平面PAD 平面ABCD AD =， 所以PA ⊥平面ABCD ． 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥．又因为ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥， 所以,,AB AD AP 两两垂直.以点A 为原点，分别以, , AB AD AP 为, , x y z 轴， 建立空间直角坐标系（如图）． 由题意易知AB AD AP ==， 设2AB AD AP ===，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ,(1,0,0)E ,(1,1,1)F ．因为(0,11)EF =，，(022)PD =-，，，(200)CD =-，，，且(0,11)(0,2,2)0EF PD ⋅=⋅-=，，(0,11)(2,00)0EF CD ⋅=⋅-=，，所以EF PD ⊥，EF CD ⊥． 又因为PD ，CD 相交于D ，所以EF⊥平面PCD ． …………… 9分（Ⅲ）易得(102)EP =-，，，(0,22)PD =-,．设平面EPD 的法向量为(, , )x y z =n ，则0,0.EP PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 20,220. x z y z -+=⎧⎨-=⎩即2,. x z y z =⎧⎨=⎩ 令1z =，则(2,1,1)=n ．由（Ⅱ）可知平面PCD 的法向量是(0,11)EF =，， 所以cos ,32EF EF EF⋅〈〉===⋅n n n .由图可知，二面角E PD C --的大小为锐角，所以二面角E PD C -- ……………14分 18. （本小题满分13分）解：函数()f x 的定义域是(0,)+∞， 1()f x ax x'=-21ax x -=．（Ⅰ）（1）当0a =时，1()0f x x'=-<，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递减． （2）当0a <时，()0f x '<恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减．（3）当0a >时，令()0f x '=，又因为0x >，解得x =①当x ∈时，()0f x '<，所以函数()f x 在单调递减．②当)x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在)+∞单调递增． 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调减区间是(0,)+∞，当0a >时，函数()f x 的单调减区间是，单调增区间为)+∞．…7分 （Ⅱ）（1）当0a ≤时，由（Ⅰ）可知，()f x 在[1,e]上单调递减，所以()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，解得240e a =>，舍去．（2）当0a >时，由（Ⅰ）可知，1，即1a ≥时，函数()f x 在[1,e]上单调递增， 所以函数()f x 的最小值为1(1)12f a ==，解得2a =．②当1e <<，即211e a <<时，函数()f x 在上单调递减，在上单调递增，所以函数()f x 的最小值为11ln 122f a =+=，解得e a =，舍去．e ，即210e a <≤时，函数()f x 在[1,e]上单调递减，所以函数()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，得24e a =，舍去．综上所述，2a =． ……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得22=21314c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得=2a ，1b =． 所以椭圆C 的方程是2214x y +=． …………… 4分 （Ⅱ）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点.由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+．又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点(2,0)M ．由题意可知直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--，故点112(0,)2y P x --． 直线BM 的方程为22(2)2y y x x =--，故点222(0,)2y Q x --． 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(,0)N x ，则等价于0PN QN ⋅=恒成立．又因为1012(,)2y PN x x =-，2022(,)2y QN x x =-， 所以221212001212224022(2)(2)y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+⋅=+=----恒成立． 又因为121212(2)(2)2()4x x x x x x --=-++2222448241414k k k k -=-+++ 22414k k=+， 212121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =--=-++22222448(1)1414k k k k k -=-+++22314k k-=+， 所以2222212000212212414304(2)(2)14k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+．解得0x =．故以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点(． …………… 14分 20. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）符合要求的递增等差数列为1，2，3；2，3，4；3，4，5；1，3，5，共4个.所以(5,3)4f =. …………… 3分 （Ⅱ）设满足条件的一个等差数列首项为1a ，公差为d ，d *∈N .1019a a d =+，10110011199a a d --==≤，d 的可能取值为1,2,,11．对于给定的d ，11091009a a d d =--≤， 当1a 分别取1,2,3,,1009d -时，可得递增等差数列1009d -个（如：1d =时，191a ≤，当1a 分别取1,2,3,,91时，可得递增等差数列91个：1,2,3,,11；2,3,4,,12；；91,92,93,,100，其它同理）.所以当d 取1,2,,11时，可得符合要求的等差数列的个数为：(100,10)100119(1211)1100966506f =⋅-⋅+++=-⋅=．…………… 8分（Ⅲ）设等差数列首项为1a ，公差为d ，1(1)m a a m d =+-，1111m a a n d m m --=--≤，北京市朝阳区高三年级第一次综合练习试题理11 / 11 记11n m --的整数部分是t ，则11111n n t m m ---<--≤，即111n m n t m m --<--≤． d 的可能取值为1,2,,t ，对于给定的d ，1(1)(1)m a a m d n m d =----≤，当1a 分别取1,2,3,,(1)n m d --时，可得递增等差数列(1)n m d --个.所以当d 取1,2,,t 时，得符合要求的等差数列的个数2(1)121(,)(1)222t t m n m f n m nt m t t +--+=--⋅=-+ 22121(21)()22(1)8(1)m n m n m t m m --+-+=--+-- 易证21112(1)1n m n m n m m m --+-<---≤． 又因为211||12(1)2(1)n m n m m m m m --++-=---，2113||2(1)12(1)n m n m m m m -+---=---， 所以21211||||12(1)2(1)1n m n m n m n m m m m --+-+-->-----． 所以(1)(,)(1)2t t f n m nt m +=--⋅ (1)()(1)11(1)122(1)n m n m n m n m n m m n m m m --+--+-->⋅--⋅=--． 即()(1)(,)2(1)n m n f n m m -+>-． …………… 13分。
2011年高考北京数学试题(理科)及参考答案详解
2011年高考数学——北京理科卷详解高考前，我们分别在1月底和4月底帮学生作过预测。
2011年高考与2010年相比：（1）新增知识点将增加出题量。
新增知识不会综合。
（2） 三角函数题变化不大，以函数为主。
（3）立体题考查基本图形中的变化，建系是工具 。
（4）概率大题 突出对数据的认识，图、表、直方图、茎叶图。
如果使用排列组合题目将简单。
（5）导数大题，眼下的题让人猜的透透的，将会有变化。
（6）解析大题，“解析几何首先是几何”“代数是手段”“解析几何的本质是把问题代数化。
（7）数列压轴。
沿用等差等比数列的研究方法研究新定义数列。
一．选择题1．已知集合2{|1}P x x =≤，{}M a =．若P M P = ，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞- B ．[1,)+∞ C ．[1,1]- D ．(,1][1,)-∞-+∞ 1、答案：C解：数轴法可知1a 1≤≤-2．复数212i i-=+ （ ） A ．i B ．i - C ．4355i -- D ． 4355i -+2、答案：A 。
解：i 41)2i 1)(2i (2i 12i z =+--=+-=3．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是 （ ） A ．(1,)2πB ．(1,)2π- C ．(1,0)D ．(1,)π 3、答案：B解：θρρsin 22-=，2y y x 22-=+，1)1y (x 22=++， 圆心)1,0(-。
改写为极坐标（1，2π-）4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 （ ） A ．3- B ．12- C ．13D ．24、答案：D 。
解：0<4,i=1,31s =;…，,43<i=4,2s =11s s s -=+0,2i s ==4i <1i i =+s输出开始结束第4题5．如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G ．给出下列三个结论：①AD AE AB BC CA +=++； ②AF AG AD AE ⋅=⋅； ③AFB ADG △△∽．其中正确结论的序号是 （ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③5、答案：A.解：综合运用切线长定理，圆幂定理。
2011年北京市高考理科数学试题及标准答案
2０11年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）(北京卷）本试卷共5页，1５0分。
考试时长１20分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题 共4０分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1）已知集合2{|1}P x x =≤，{}M a =．若PM P =,则a 的取值范围是（A)(,1]-∞-(Ｂ)[1,)+∞（C ）[1,1]-(D)(,1][1,)-∞-+∞ (２)复数212i i-=+ （A ）i (B)i - （C)4355i -- （D)4355i -+ （3）在极坐标系中，圆2sin ρθ=-的圆心的极坐标是（A ）(1,)2π (B ）(1,)2π- (C ）(1,0) (D)(1,)π(4)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A)3-（Ｂ)12- (C)13(D)2(5)如图，,,AD AE BC 分别与圆O 切于点,,D E F ，延长AF 与圆O 交于另一点G 。
给出下列三个结论：① AD AE AB BC CA +=++；② AF AG AD AE ⋅=⋅；③ AFB ADG ∆∆其中，正确结论的序号是（Ａ）① ② （B ）② ③（C ）① ③ (D ）① ② ③(6）根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为()x A f x x A <=≥（,A c 为常数)。
已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时１5分钟, 那么c 和A 的值分别是（A ）75,25 （B ）75,16 （C ）60,25 （Ｄ）60,16 (7)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中 最大的是（A ） ８(B）（C) 10(Ｄ)(８）设(0,0)A ,(4,0)B ,(4,4)C t +,(,4)D t （t R ∈），记()N t 为平行四边形内部(不含边界）的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数()N t 的 值域为(A ）{9,10,11} （Ｂ){9,10,12} (C){9,11,12} （D ）{10,11,12}A G俯视图。
2011届高三数学模拟试题 (理科)
2011届高三数学模拟试题（理科） 满分：150分 时间：120分钟一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{0,1,2,3},{|2,}A B x x a a A ===∈集合，则（ ）A ．AB A = B ．A B A ÙC ．A B B =D ．A B A Ø2．命题p ：若0,a b a b ⋅<则与的夹角为钝角，命题q ：定义域为R 的函数()(,0)(0,)f x -∞+∞在及上都是增函数，则()(,)f x -∞+∞在 上是增函数下列说法正确的是 （ ） A ．“p 且q ”是假命题 B ．“p 或q ”是真命题C ．p ⌝为假命题D ．q ⌝为假命题3．函数sin (3sin 4cos )()y x x x x R =+∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对（M ，T ）为 （ ）A ．(5,)πB ．(4,)πC ．(1,2)π-D ．(4,2)π4．“1a =-”是“直线260a x y -+=与直线4(3)90x a y --+=互相垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若120,C c ==，则（ ）A ．45B > B ．45A >C ．b a >D ．b a <6．定义在区间(0,)a 上的函数2()2xx f x =有反函数，则a 最大为 （ ）A ．2ln 2B ．ln 22C ．12 D ．27．已知22(,)(3)1P x y x y +-=是圆上的动点，定点A （2，0），B （—2，0），则PA PB⋅ 的最大值为（ ）A ．4B ．0C ．—12D ．128．如图，在1,3ABC AN NC∆=中，P 是BN 上的一点， 若211AP mAB AC=+，则实数m 的值为（ ）A ．911B ．511C ．311D ．2119．设二次函数2()4()f x ax x c x R =-+∈的值域为19[0,),19c a +∞+++则的最大值为（ ）A ．3125B ．3833C ．65D ．312610．有下列数组排成一排：121321432114321(),(,),(,,),(,,,),(,,,,),112123123452345如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列：121321132154321,,,,,,,,,,,,,,,112123423412345则此数列中的第2011项是（ ）A ．757B ．658C ．559D ．460二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。
北京市朝阳区高三一模数学理科带答案
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类） 2016．3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1． i 为虚数单位，复数2i 1i+= A ．1i -? B ．1i -- ? C ．1i -+? D ．1i +2． 已知全集U =R ，函数ln(1)y x =-的定义域为M ，集合{}20N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =B ．()UMN =∅C ．M N U =D ．()U M N ⊆ 3．>e e a b >”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4． 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．42 B ．19 C ．8 D ．35．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,.a b c 若222()tan a c b B +-=，则角B 的值为 A ． 3π B ． 6π C ． 233ππ或 D ． 566ππ或6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误．．的是 A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1 B. 结余最高的月份是7月(第4题至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D. 前6个月的平均收入为40万元 （注：结余=收入-支出）7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A ．13B ．12C ．1D ．328．若圆222(1)x y r +-=与曲线(1)1x y -=的没有公共点，则半径r 的取值范围是 A．0r < B．02r <<C．0r < D．0r <<第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9． 二项式251()x x+的展开式中含4x 的项的系数是 （用数字作答）．10．已知等差数列}{n a (n *∈N )中，11=a ，47a =，则数列}{n a 的通项公式n a = ；2610410n a a a a +++++=______． 11．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为222x y +=，曲线2C 的参数方程为月O 23 4 15 6 89 1711(第7题侧视俯视图2,(x t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲 线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为 ． 12．不等式组0,,290x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域为D ．若直线(1)y a x =+与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是 ．13．已知M 为ABC ∆所在平面内的一点，且14AM AB nAC =+．若点M 在ABC ∆的内部(不含边界)，则实数n 的取值范围是____．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i （1,2,,12i =）项能力特征用i x 表示，0,1i i x i ⎧=⎨⎩如果某学生不具有第项能力特征，，如果某学生具有第项能力特征.若学生,A B 的十二项能力特征分别记为1212(,,,)A a a a =，1212(,,,)B b b b =，则,A B 两名学生的不同能力特征项数为 （用,i i a b 表示）．如果两个 同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数21()sin 22xf x x ωω=+，0ω>． （Ⅰ）若1ω=，求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()13f π=，求()f x 的最小正周期T 的表达式并指出T 的最大值．16．（本小题满分13分）为了解学生暑假阅读名着的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表．（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名着本数之和为4的概率（Ⅱ）若从阅读名着不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名着本数的方差21s 与女学生阅读名着本数的方差22s 的大小（只需 写出结论）． 17．（本小题满分14分）如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB ∠=︒，11//A B AB ，11122AB AA A B ===．直角梯形11AAC C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA为轴旋转得到，且使得平面11AA C C ⊥平面11AA B B ．M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 上的动点．（Ⅰ）求证：11A C AP ⊥；（Ⅱ）当点P 是线段1BB 中点时，求二面角P AM B --的余弦值；（Ⅲ）是否存在点P，使得直线1A C AMP ()f x =ln ,x a x a +∈R ()f x []1,2x ∈()0f x >a (13)P ，()y f x=P :C 22142x y +=1F 2F 12PF F ∆:l 20(0)y m m -+=≠C A B PA PB x M N PM PN=}{n a 31()n a n n *=-∈N 数列{}n b 为等比数列,且n n k b a =.AMPCBA 1C 1B 1（Ⅰ）若11=2b a =,且等比数列{}n b 的公比最小， （ⅰ）写出数列{}n b 的前4项； （ⅱ）求数列{}n k 的通项公式；（Ⅱ）证明：以125b a ==为首项的无穷等比数列{}n b 有无数多个.北京市朝阳区2015-2016学年度第二学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．3一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1ω=时，21()sin 22x f x x =+1sin 2x x =+sin()3x π=+． 令22,232k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ．解得22,66k x k k 5πππ-≤≤π+∈Z ．所以()f x 的单调递增区间是[2,2],66k k k 5πππ-π+∈Z .……………………7分（Ⅱ）由21()sin 22xf x x ωω=+-1sin 22x x ωω=+ sin()3x ωπ=+．因为()13f π=，所以sin()133ωππ+=．则2332n ωπππ+=π+，n ∈Z ．解得162n ω=+．又因为函数()f x 的最小正周期2T ωπ=，且0ω>，所以当ω12=时，T 的最大值为4π． ………………………………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A ：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4 ． 由题意可知，13+41()128P A ⨯⨯=⨯4分（Ⅱ）阅读名着不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的取值为0,1,2,3,4．由题意可得44481(0)70C P X C ===； 134448168(1)7035C C P X C ====；2244483618(2)7035C C P X C ====； 314448168(3)7035C C P X C ====；4448(4)C P X C ===所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的均值0123427070707070EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．…………10分（Ⅲ）21s >22s ．…………………………………………………………………………13分 17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知1190A AB A AC ∠=∠=︒，且平面11AA C C ⊥平面11AA B B ，所以90BAC ∠=︒，即AC AB ⊥．又因为1AC AA ⊥且1ABAA A =，所以AC ⊥平面11AA B B ．由已知11//A C AC ，所以11A C ⊥平面11AA B B ．因为AP ⊂平面11AA B B ，所以11AC AP ⊥．…………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知1,,AC AB AA 两两垂直．分别以1,,AC AB AA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示． 由已知 11111222AB AC AA A B AC =====，所以(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),A B C 1(0,1,2)B ，1(0,0,2)A ．因为M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 的中点，所以3(1,1,0),(0,,1)2M P ． 易知平面ABM 的一个法向量(0,0,1)=m ． 设平面APM 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由 0,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0, 30. 2x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩取2y =，得(2,2,3)=--n ．由图可知，二面角P AM B --的大小为锐角，所以cos ,17⋅〈〉===⋅m n m n m n．所以二面角P AM B --的余弦值为17．………………………………9分 （Ⅲ）存在点P，使得直线1A C AMP 111(,,)P x y z 1BP BB λ=[0,1]λ∈111(,2,)(0,1,2)x y z λ-=-1110,2,2x y z λλ==-=(0,2,2)AP λλ=-AMP0000(,,)x y z =n 000,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 00000,(2)20.x y y z λλ+=⎧⎨-+=⎩01y =02(1,1,)2λλ-=-n 0λ=1(2,0,2)AC =-1A C AMP 10AC ⊥n 10220AC λλ-⋅=--=n 23λ=1BB P 12BPPB =1A C AMP ()f x {}0x x >()1a x a f x x x +'=+=0a ≥()0f x '>()f x (0,)+∞0a <()0f x '=x a =-0x a <<-()0f x '<()f x x a >-()0f x '>()f x 0a ≥()f x (0,)+∞0a <()f x (0,)a -(+)a -∞，1a -≤1a ≥-()f x []1,2[]1,2min ()(1)1f x f ==()f x []1,212a <-<21a -<<-()f x [)1a -，(],2a -min ()()ln()f x f a a a a =-=-+-min ()ln()0f x a a a =-+->e a >-21a -<<-2a -≥2a ≤-()f x []1,2min ()(2)2+ln 2f x f a ==min ()2+ln 20f x a =>2ln 2a >-22ln 2a -<≤-2ln 2a >-()f x []1,2000,ln )x x a x +（01a k x =+0000(ln )(1)()ay x a x x x x -+=+-(1,3)P 00003(ln )(1)(1)ax a x x x -+=+-001(ln 1)20a x x +--=1()(ln 1)2g x a x x =+--(0)x >2211(1)()()a x g x a x x x -'=-=0a <(0,1)()0g x '>()g x (1,)+∞()0g x '<()g x ()g x (1)20g =-<()0g x =0x 0a <00a >(0,1)()0g x '<()g x (1,)+∞()0g x '>()g x ()g x (1)20g =-<21+1e ea x =>221112()(1e 1)2e 0a a g x a a a----=++--=>()g x (1,)+∞2-1-21e <e ax =221122()(1e 1)2e 24a a g x a a a a++=--+--=--212[e 2(1)]a a a +=-+21(1)t t a =+>()e 2tu t t=-()e 2t u t '=-1t >()e 2e 20t u t '=->->()u t (1,)+∞()(1)e 20u t u >=->2()0g x >()g x (0,1)0a >(13)，0a =()f x x =(13)，0a >(13)，0a ≤(13)，24a =22b =22c=P C 124PF PF +=12PF F∆4+=2c e a=2220,1,42y m x y -+=⎨+=⎪⎩22480x m ++-=l C l P 22844(8)0,0.m m m ⎧-⨯->⎨≠⎩40m -<<04m <<11(,)A x y 22(,)B xy 122x x +=-21284m x x -=112my +=222m y +=PA PB PA PB 1k 2k 12k k +=1221(1)((1)(m m x x ++-+--====2=220==120k k +=PMN PNM ∠=∠PM PN =}{n a 因为数列}{n a 是递增的整数数列，且等比数列以2为首项，显然最小公比不能是52，最小公比是4.（ⅰ）以2为首项,且公比最小的等比数列的前四项是2，8，32，128.（ⅱ）由（ⅰ）可知12b =，公比4q =，所以124n n b -=⋅.又31nn k n b a k ==-，所以13124,n n k n -*-=⋅∈N ，即11(241),3n n k n -*=⋅+∈N . 再证n k 为正整数. 显然11k =为正整数，2n ≥时，1222111(2424)24(41)2433n n n n n n k k ------=⋅-⋅=⋅⋅-=⋅，即2124(2)n n n k k n --=+⋅≥，故11(241),3n n k n -*=⋅+∈N 为正整数.所以，所求通项公式为11(241),3n n k n -*=⋅+∈N .……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）设数列{}n c 是数列}{n a 中包含的一个无穷等比数列， 且115k c a ==，22231k c a k ==-，所以公比2315k q -=.因为等比数列{}n c 各项为整数，所以q 为整数. 取252k m =+（m *∈N ），则13+=m q ，故15(31)n n c m -=⋅+. 只要证15(31)n n c m -=⋅+是数列}{n a 的项，即证31n k -15(31)n m -=⋅+.只要证11[5(31)1]3n nk m -=++()n *∈N 为正整数，显然12k =为正整数. 又2n ≥时，12215[(31)(31)]5(31)3n n n n n k k m m m m -----=+-+=+，即215(31)n n n k k m m --=++，又因为12k =，25(31)n m m -+都是正整数，故2n ≥时，n k 也都是正整数.所以数列{}n c 是数列}{n a 中包含的无穷等比数列，其公比13+=m q 有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故数列}{n a 所包含的以52=a 为首项的不同无穷等比数列有无数多个.…………………………………………………………………………………………13分。
朝阳区高三第一次统一考试数学试卷(理科)
朝阳区高三第一次统一考试数学试卷(理科) 2007.4(考试时间120分钟, 满分150分)第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 设全集U=R，集合M={ x | x >0 }，N={x| x2≥x }，则下列关系中正确的是（）A．M∩N∈M B．M∪N⊆MC．(C U M)∪(C U N)=φ D．(C U N)∩M⊆M(2)在△ABC中，sin2A=sin2B是A=B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件(3) 已知a、b是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出四个命题：①a∥b，b∥α，则a∥α；②a、b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β；③a与α成30°的角，a⊥b，则b与α成60°的角；④a⊥α，b∥α，则a⊥b.其中正确命题的个数是（）A． 4个B．3个C．2个D．1个（4）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，S3=3，S6=27，则此等比数列的公比q等于（）A. 2B.-2C.12D. -12(5) 从4位男教师和3位女教师中选出3位教师，派往郊区3所学校支教，每校1人.要求这3位教师中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（）A．210种 B．186种 C．180种 D．90种(6) 已知函数f(x在区间M上的反函数是其本身，则M可以是（）A．[-2，2] B．[-2，0] C．[0，2] D．[-2，0)(7) 已知椭圆焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，过点F2向∠F1PF2的外角平分线作垂线，垂足为M，则点M的轨迹是（）A. 圆 B．椭圆C. 直线 D．双曲线的一支(8) 已知计算机中的某些存储器有如下特性：若存储器中原有数据个数为m个，则从存储器中取出n个数据后，此存储器中的数据个数为m-n个；若存储器中原有数据为m个，则将n 个数据存入存储器后，此存储器中的数据个数为m+n个.现已知计算机中A、B、C三个存储器中的数据个数均为0，计算机有如下操作：第一次运算：在每个存储器中都存入个数不小于2的数据；第二次运算：从A存储器中取出2个数据，将这2个数据存入B存储器中；第三次运算：从C存储器中取出1个数据，将这1个数据存入B存储器中；第四次运算：从B存储器中取出与A存储器中个数相同的数据，将取出的数据存入A存储器，则这时B存储器中的数据个数是（）A. 8B. 7C. 6D. 5朝阳区高三第一次统一考试数学试卷(理科)第II卷（非选择题共110分）填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.将答案填在题中横线上.(9) 设复数z 1=1+2i ，z 2=2-i ，则12z z 等于 ． (10) 若(1-ax )6的展开式中x 4的系数是240，则实数a 的值是 .(11)圆x 2+y 2+4x -2y +4=0上的点到直线x -y -1=0的最大距离与最小距离的差为 .(12) 已知一个球与一个二面角的两个半平面都相切，若球心到二面角的棱的距离是5，切点到二面角棱的距离是1，则球的表面积是 ，球的体积是 .(13)已知向量a = (2，3)，|b |，且a ∥b ，则|a |= ，b 的坐标是. (14)已知函数f (x )=|1|(1),3(1),x x x x +<⎧⎨-+⎩≥且不等式f (x )≥a 的解集是(]2-∞-，∪[0，2]，则实数a 的值是 .三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本小题满分13分）已知a = (cos x ，sin x )，b = (-cos x ，cos x )，函数f (x )= 2a ·b +1. (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期；(Ⅱ) 当x ∈[0，2π]时，求f (x )的单调减区间.(16)（本小题满分13分）甲、乙两支篮球队进行比赛，已知每一场甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0．4，每场比赛均要分出胜负. 比赛时采用三场两胜制，即先取得两场胜利的球队胜出.(Ⅰ)求甲队以二比一获胜的概率；(Ⅱ)求乙队获胜的概率；(Ⅲ)若比赛采用五场三胜制，试问甲获胜的概率是增大还是减小，请说明理由.(17)（本小题满分13分）如图，棱长为1的正四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、CD的中点，O是点A在平面BCD内的射影. (Ⅰ)求直线EF与直线BC所成角的大小；(Ⅱ)求点O到平面ACD的距离；(Ⅲ) 求二面角A-BE-F的大小.(18)（本小题满分13分）已知函数f(x)= x3+ax2+bx+c在x=1处有极值，f(x)在x=2处的切线l不过第四象限且斜率为1，坐标原点到切线l的距离为2．(Ⅰ) 求a、b、c的值；(Ⅱ) 求函数y = f(x)在区间[-1，32]上的最大值和最小值．·ABCDEFO(19)（本小题满分14分）已知双曲线的中心在原点O ，右焦点为(,0)F c ，P 是双曲线右支上任意一点，且OFP ∆（Ⅰ）若点P 的坐标为(2，求此双曲线的离心率；（Ⅱ）若26(1)OF FP c ⋅=，当OP 取得最小值时，求此双曲线的方程.(20)（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,n S n n ⎛⎫⎪⎝⎭在直线11122y x =+上．数列{}n b 满足2120n n n b b b ++-+=*()n N ∈，且311b =，前9项和为153．（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设3(211)(21)n n n c a b =--，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式57n k T >对一切*n N ∈都成立的最大正整数k 的值；（Ⅲ）设**(21, ),() (2, ).n n a n l l N f n b n l l N ⎧=-∈⎪=⎨=∈⎪⎩是否存在*m N ∈，使得(15)5()f m f m +=成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．朝阳区高三第一次统一考试数学试卷答案(理科) 2007.4一.选择题（1）D （2）B （3） D （4）A （5）C （6）B （7）A （8）D 二.填空题（9）i （10）±2 （11）2 （12）16π 323π（13（-4，-6）或（4，6） （14）1三.解答题(15) 解：(Ⅰ)因为f (x )= 2a ·b +1= 2(cos x ，sin x )·(-cos x ，cos x )+1=2(-cos 2x + sin x cos x ) +1 ……………………………………2分=1-2cos 2x + 2sin x cos x=sin2x -cos2x ……………………………………4分x -4π) ……………………………………6分 所以f (x )的最小正周期是T=22π= π. ……………………………………7分(Ⅱ)依条件得2k π+2π≤2x -4π≤2k π+32π(k ∈Z). ………………………………9分解得k π+38π≤x ≤k π+78π(k ∈Z). ……………………………………11分又x ∈[0，2π]，所以38π≤x ≤78π，118π≤x ≤158π.即当x ∈[0，2π]时，f (x )的单调减区间是[38π，78π]，[118π，158π]. …………13分(16) 解： (Ⅰ)甲队以二比一获胜，即前两场中甲胜1场，第三场甲获胜，其概率为P 1=12C ×0.6×0.4×0.6=0.288. ……………………………………4分(Ⅱ)乙队以2：0获胜的概率为 20.40.40.16P '=⨯=；乙队以2：1获胜的概率为 1220.40.60.40.192P C ''=⨯⨯=∴乙队获胜的概率为 P 2=0.42+12C ×0.4×0.6×0.4=0.16+0.192=0.352. …………………8分(Ⅲ)若三场两胜，则甲获胜的概率P 3=0.62+12C ×0.6×0.4×0.6=0.36+0.288=0.648或P 3=1- P 2=1-0.352=0.648； 若五场三胜，则甲获胜的概率P 3′=0.63+23C ×0.62×0.4×0.6+24C ×0.62×0.42×0.6=0.216+0.2592+0.20736=0.68256. ……………………………………12分∵P3< P3′,∴采用五场三胜制，甲获胜的概率将增大. ……………………………………13分(17)方法一：(Ⅰ)因为E、F分别是棱AD、CD的中点，所以EF∥AC.所以∠BCA是EF与BC所成角.∵正四面体ABCD，∴△ABC为正三角形，所以∠BCA=60°.即EF与BC所成角的大小是60°.……………………………………3分(Ⅱ)解法1：如图，连结AO，AF，因为F是CD的中点，且△ACD，△BCD均为正三角形，所以BF⊥CD，AF⊥CD.因为BF∩AF=F，所以CD⊥面AFB.因为CD 面ACD，所以面AFB⊥面ACD.因为ABCD是正四面体，且O是点A在面BCD内的射影，所以点O必在正三角形BCD的中线BF上.在面ABF中，过O做OG⊥AF，垂足为G，所以OG⊥面ACD.即OG的长为点O到面ACD的距离.因为正四面体ABCD的棱长为1，在△ABF容易求出AF=BF=2，OF=6，AO=3因为△AOF∽△OGF，故由相似比易求出所以点O到平面ACD的距离是9……………………………………8分解法2：如图，连结AO，CO，DO，所以点O到平面ACD的距离就是三棱锥O-ACD底面ACD上的高h.与解法1同理容易求出·ABCDEFOG·AB DEFO所以V A-COD =13·312·6·1)=36.因为V O-ACD =V A-COD ，所以O-ACD =13·h ·(12··1) .解得h=9(Ⅲ) 设△ABD 中，AB 边的中线交BE 于H ， 连结CH ，则由ABCD 为正四面体知 CH ⊥面ABD.设HD 的中点为K ，则FK ∥CH. 所以FK ⊥面ABD.在面ABD 内，过点K 作KN ∥AD ， KN 交BE 于M ，交AB 于N ，因为BE ⊥AD ， 所以NM ⊥BE. 连结FM ， 所以FM ⊥BE.所以∠NMF 是所求二面角的平面角.因为FK=12CH=12·36MK=12ED=14AD=14， 所以tan ∠FMK=FK MK=3. 所以tan ∠NMF=tan (π-∠FMK)= -3. 所以所求二面角的大小为π-. ……………………………………13分 （或者由正四面体的对称性，可转求二面角C —BF —E 的大小） 方法二：如图，以点A 在面BCD 的射影O 为坐标原点，有向直线OA 为z 轴，有向直线BF 为y 轴，x过点O 与DC 平行方向.因为正四面体ABCD 的棱长为1， 所以可以求出各点的坐标依次为：O(0，0，0)，A(0，0，3，B(0，-3，C(12，6，0)，D(-12，6，0)， HKM · A BCDEFONCDE(-14，12，6，F(0，6，0). (Ⅰ)因为EF =(14，，=(120)， 又EF ·=14×120=18+18=14，且|EF |=12||=12，||=1， 所以cos 〈EF ，BC 〉=14112⨯=12. 所以EF 与BC 所成角的大小是60°. ……………………………………3分 (Ⅱ) 因为AC =(12，6，-6)， =(-12，6，-6)， 设平面ACD 的一个法向量为F ACD = (x 1，y 1，z 1)， 由AC ·F ACD =0，AD ·F ACD =0，解得F ACD = (0，2，22). 因为OF =(0，6，0)，OF ·F ACD =33，| F ACD|=2， 所以点O 到平面ACD 的距离等于d =ACD ACD OF ⋅F F =33×3…………8分 (Ⅲ)因为AB =(0，-33，，AD =(-12， 设平面ABD 的一个法向量为F ABD = (x 2，y 2，z 2)，AB ·F ABD =0，AD ·F ABD =0，可得一个法向量F ABD = (-6，-2， 1).同理可以求出平面BEF 的一个法向量为F BEF = (26，0，3).因为F ABD ·F BEF =-9，|F ABD |=3，|F BEF所以cos β=ABD BEF ABD BEF ⋅F F F F. 所以二面角A-BE-F 的大小为arccos)=π-. …………13分 (18) 解：(I) 由f (x )= x 3+ax 2+bx +c ，得f ′(x )= 3x 2+2ax +b ． ………………………2分∵x =1时f (x )有极值，∴f ′(1)= 3+2a +b =0． ①∵f (x )在x =2处的切线l 的斜率为1，∴f ′(2)= 12+4a +b =1． ②由①②可解得a = -4，b =5． ……………………………………4分设切线l 的方程为y =x + m ，由坐标原点（0，0）到切线l 的距离为2，可得m =±1， 又切线不过第四象限，所以m =1，切线方程为y =x +1． ……………………………6分 ∴ 切点坐标为(2，3)，∴f (2)=8-16+10+c =3，所以c =1．故a = -4，b =5，c =1． ……………………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x )= x 3-4x 2+5x +1，f ′(x )= 3x 2-8x +5=(x -1)(3x -5)．∵x ∈[-1，32]，∴ 函数f (x )在区间[-1，1]上递增，在3(1,]2上递减 . ………9分 又f (-1)=-9，f (1)=3，f (32)=238， ……………………………………12分 ∴f (x )在区间[-1，32]上的最大值为3，最小值为-9． ……………………………13分 (19) 解：（Ⅰ）设所求的双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则1||2OF =，∴ c =……………………………………1分 ∴ 22222b c a a =-=-． ……………………………………2分由点P 在双曲线上，∴224312a a -=-，解得21a =， ……5分∴ 离心率c e a== ……………………………………6分 （Ⅱ）设所求的双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，11(,)P x y ， 则11(,)FP x c y =-. ……………………………………7分∵OFP ∆的面积为21122OF y =.∴1y c=……8分∵26(1)3OF FP c ⋅=-, ∴21()(1)3OF FP x c c c ⋅=-=-.解得1x =……………………………………9分∵22OP x ==, …………………………11分当且仅当c =. …………………………………12分此时P .由此得2222221,3a b a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解得2212a b ⎧=⎨=⎩或2263a b ⎧=⎨=-⎩（舍）. 故所求双曲线的方程为2212y x -=. …………………………………14分(20)解：（Ⅰ）由题意，得11122n S n n =+，即211122n S n n =+． 故当2n ≥时，1n n n a S S -=-=2111()22n n +2111[(1)(1)]22n n --+-5n =+． 注意到1n =时，116a S ==，而当1n =时，56n +=，所以， *5 ()n a n n N =+∈． ………………………………………3分 又2120n n n b b b ++-+=，即211n n n n b b b b +++-=-*()n N ∈， 所以{}n b 为等差数列，于是379()1532b b +=． 而311b =，故723b =，2311373d -==-， 因此，33(3)32n b b n n =+-=+，即32n b n =+*()n N ∈．………………5分 （Ⅱ）3(211)(21)n n nc a b =--3[2(5)11][2(32)1]n n =+-+- 1111(21)(21)22121n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭． 所以，12n n T c c c =+++1111111112335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． ………………………………………8分 由于112321n n n n T T n n ++-=-++10(23)(21)n n =>++， 因此n T 单调递增，故min 1()3n T =． 令1357k >，得19k <，所以 max 18k =． …………………………………10分 （Ⅲ）**+5 (21, ),()3 2 (2, ).n n l l N f n n n l l N ⎧=-∈⎪=⎨+=∈⎪⎩ ① 当m 为奇数时，15m +为偶数．此时(15)3(15)2347f m m m +=++=+，5()5(5)525f m m m =+=+， 所以347m +525m =+，11m =． …………………………………12分 ② 当m 为偶数时，15m +为奇数．此时(15)15520f m m m +=++=+，5()5(32)1510f m m m =+=+， 所以20m +1510m =+，*57m N =∉（舍去）． 综上，存在唯一正整数11m =，使得(15)5()f m f m +=成立．…………………………………14分注：（1）2个空的填空题，第一个空给3分，第二个空给2分.（2）如有不同解法，请阅卷老师酌情给分.。
2011届高三第一次质检试题 理数试题
2011届高三第一次质检试题理科数学试题一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求)1．若集合M ＝{x | |x |＜1}，N ＝{x |2x ≤x }，则M N ＝（ ） A ．}11|{<<-x x B ．}10|{<<x x C ．}01|{<<-x x D ．}10|{<≤x x 2．复数21(1)i+等于( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i3．下列命题中的假命题．．．是（ ） A ．R x ∀∈，120x -＞ B ．N x *∀∈，()10x -2＞ C ．R x ∃∈，lg x ＜1 D ．R x ∃∈，tan 2x =4．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前8项和8S 等于（ ）A ．64B ．100C ．110D ．1205．若随机变量ξ的分布列如下表，则ξE 的值为（ ）ξ0 1 2 Pa 3a6a A ．34B ．12C ．32D ．236. 已知f (x )=sin(x +2π),g (x )=cos(x －2π),则f (x )的图象 ( )A.与g (x )的图象相同B.与g (x )的图象关于y 轴对称C.向左平移2π个单位，得到g (x )的图象 D.向右平移2π个单位，得到g (x )的图象7.0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()()00S t S =，则导函数()'y S t =的图像大致为( )二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,满分30分. 9．不等式lg(1)0x +≤的解集是____________10．设向量(12)(23)== ，，，a b ，若向量λ+ a b 与向量(35)=，c 共线，则λ= ． 11．已知n m ,是两条不重合的直线，γβα,,是三个不重合的平面，给出下列命题： ①若,,βα⊥⊥m m 则//αβ； ②若,,γββα⊥⊥则//αγ； ③若,,m n αα⊥⊥则//m n ； ④若//m α，//,m β则//αβ． 其中是真命题的序号是 (写出所有满足题意的序号) 12．在A B C ∆中,a 比b 长2,b 比c 长2 ，且最大角的余弦值是12-, 则A B C ∆的面积等于 ． 13．已知函数⎩⎨⎧=xx x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，且关于x 的方程0)(=-+a x x f 有且只有一个实根，则实数a 的范围是 ． 14．已知椭圆2214xy +=的焦点为F 1、F 2，在长轴A 1A 2上任取一点M ，过M 作垂直于A 1A 2的直线交椭圆于P ，则使得120PF PF ⋅<的M 点的概率为 ．P )(P AA BCDDCB直观图 俯视图三、解答题(本大题共6小题,共80分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.（本小题满分12分）已知向量(sin ,cos )a θθ= 与(3,1)b = ，其中)2,0(πθ∈（1）若//a b，求θsin 和θcos 的值；（2）若()2()f a bθ=+，求()f θ的值域。
朝阳高三一模数学卷(理科)(有答案)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学（理工类）2015．4（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合{}21,2,A m =，{}1,B m =.若B A ⊆，则m =A.0B. 2C. 0 或2D. 1或22.已知点0(1,)A y 0(0)y >为抛物线22y px =()0p >上一点.若点A 到该抛物线焦点的距离为3，则0y =A.B. 2C. D. 43.在ABC ∆中，若π3A =，cos B =6BC =,则AC =A. B.4C.4.“x ∀∈R ,210x ax ++≥成立”是“2a ≤”的A ．充分必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.某商场每天上午10点开门，晚上19点停止进入．在如图所示的框图中，t 表示整点时刻，()a t 表示时间段[1,)t t -内进入商场人次，S 表示某天某整点时刻前进入商场人次总和，为了统计某天进入商场的总人次数，则判断框内可以填A. 17?t ≤ B ．19?t ≥ C ．18?t ≥ D ．18?t ≤6.设123,,x x x 均为实数，且1211log (1)3x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2321log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3231log 3xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭则A. 132x x x <<B. 321x x x <<C. 312x x x <<D. 213x x x << 7.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(1,0)A ,(1,1)B ，且90BOP ∠=.设OP OA kOB =+()k ∈R ，则OP =A .12B.C.D.28. 设集合M ={}22000000(,)20,,x y x y x y +≤∈∈Z Z ，则M 中元素的个数为 A.61 B. 65 C. 69 D.84第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.i 为虚数单位，计算12i1i-=+ ______. 10.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若383a a +=，31S =,则通项公式n a =______.11.在极坐标中，设002πρθ>≤<，，曲线2ρ=与曲线sin 2ρθ=交点的极坐标为______. 12.已知有身穿两种不同队服的球迷各有三人，现将这六人排成一排照相，要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻，则不同的排法种数为 . （用数字作答）13. 设3z x y =+，实数x ，y 满足20,20,0,x y x y y t +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩其中0t >．若z 的最大值为5，则实数t 的值为______，此时z 的最小值为______.14．将体积为1的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，第二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，如此下去，共进行了n (n *∈N )次.则第一次挖去的几何体的体积是______；这n 次共挖去的所有几何体的体积和是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数2()cos cos f x x x x =+，x ∈R . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）设x m =()m ∈R 是函数()y f x =图象的对称轴，求sin4m 的值． 16．（本小题满分13分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[90,100].据此解答如下问题．（Ⅰ）求全班人数及分数在[80,100]之间的频率；（Ⅱ）现从分数在[80,100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90,100]的份数为X ，求X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）0.03750.0125O0.025如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直， 已知//,AB CD AD CD ⊥，12AB AD CD ==.（Ⅰ）求证:BF //平面CDE ；（Ⅱ）求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值;(Ⅲ)线段EC 上是否存在点M ，使得平面BDM ⊥平面BDF ？若存在，求出EM EC的值；若不存在，说明理由. 18．（本小题满分13分） 已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+，a ∈R ．（Ⅰ） 当1a =-时，求函数()f x 的最小值； （Ⅱ） 当1a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数. 19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为(2,0)F，离心率为3F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 中点为D ，O 为坐标原点，过O ，D 的直线交椭圆于,M N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求四边形AMBN 面积的最大值． 20.（本小题满分13分）若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为m b ()m ∈*N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是{}n a 生成{}m b 的控制函数．设2()f m m =． （Ⅰ）若数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，11=b ，求1a ； （Ⅱ）若数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，,11b a =求1a ；(Ⅲ)若2(1,2,3)n a n n ==，是否存在{}m b 生成{}n a 的控制函数2()g n pn qn r =++（其中常数,,p q r ∈Z ）？使得数列{}n a 也是数列{}m b 的生成数列？若存在，求出)(n g ；若不存在，说明理由.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案（理工类） 2015．4ABFE D C三、解答题（满分80分） 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知，函数2()cos cos f x x x x = 1(1cos2)2x =+2x=π1sin(2)62x ++.函数()f x 的最小正周期为πT =.当ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+时（k ∈Z ），即π2ππ+π+63k x k ≤≤时，函数()f x 为减函数.即函数()f x 的单调减区间为π2ππ+,π+63k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . ………………….9分（Ⅱ）由x m =是函数()y f x =图象的对称轴，则ππ2=π62m k ++（k ∈Z ），即126m k π=π+，k ∈Z .则423m k 2π=π+.则sin 4m ………………….13分16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知，分布在[50,60)之间的频数为4，由直方图，频率为0.0125100.125⨯=，所以全班人数为4320.125=人．所以分数在[80,100]之间的人数为32(4810)10-++=人. 分数在[80,100]之间的频率为100.312532= ………………….4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，分数在[80,100]之间的有10份，分数在[90,100]之间的人数有0.01251032=4创份，由题意，X 的取值可为0,1,2,3．363101(0)6C P X C ===， 12463101(1)2C C P X C ===，21463103(2)10C C P X C ===， 343101(3)30C P X C ===．所以随机变量X 的分布列为 随机变量X 的数学期望为01236210305EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………….13分17.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为//,AB CD AB ⊄平面,CDE CD ⊂平面CDE ，所以//AB 平面CDE ，同理，//AF 平面CDE ， 又,AB AF A =所以平面//ABF 平面CDE ，因为BF ⊂平面,ABF 所以//BF 平面CDE . ……………….4分 （Ⅱ）因为平面ADEF ^平面ABCD ，平面ADEF I 平面ABCD =AD ， C D A D^，CD Ì平面ABCD ， 所以CD ^平面ADEF .又DE Ì平面ADEF ，故CD ED ^. 而四边形ADEF 为正方形，所以AD DE ^又AD CD ^，以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -.设1AD =，则(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,2,0),(0,0,1)D B F C E ， 取平面CDE 的一个法向量(1,0,0)DA =， 设平面BDF 的一个法向量(,,)x y z =n ，则00DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即00x y x z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y z ==-， 所以(1,1,1)=--n .设平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的大小为θ，则cos |cos ,|DA θ=<>==n . ……………….9分 所以平面BDF 与平面CDE. (Ⅲ)若M 与C 重合，则平面()BDM C 的一个法向量0(0,0,1)=m ，由（Ⅱ）知平面BDF 的一个法向量(1,1,1)=--n ，则010??m n =，则此时平面BDF 与平面BDM 不垂直.若M 与C 不重合，如图设EMECλ=()01λ?，则(0,2,1)M λλ-，设平面BDM 的一个法向量000(,,)x y z =m ，则00DB DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即000002(1)0x y y z λλ+=⎧⎨+-=⎩，令01x =，则0021,1y z λλ=-=-，所以2(1,1,)1λλ=--m ， 若平面BDF ⊥平面BDM 等价于0⋅=m n ，即2110,1λλ+-=-所以[]10,12λ=∈. 所以，EC 上存在点M 使平面BDF ⊥平面BDM ，且12EM EC =.……………….14分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >.当1a =-时，2()ln 2x f x x =-+.211(1)(1)()x x x f x x x x x -+-'=-+==. 由(1)(1)0x x x +->()0x >解得1x >；由(1)(1)0x x x+-<()0x >解得01x <<.所以()f x 在区间(0,1)单调递减, 在区间(1,)+∞单调递增.所以1x =时,函数()f x 取得最小值1(1)2f =. ……………….5分 （Ⅱ）(1)()()x x a f x x--'=,0x >. （1）当0a ≤时，(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 为减函数; (1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数. 所以()f x 在1x =时取得最小值1(1)2f a =--. （ⅰ）当0a =时，2()2x f x x =-，由于0x >，令()0f x =，2x =，则()f x 在(0,)+∞上有一个零点；（ⅱ）当12a =-时，即(1)0f =时，()f x 有一个零点；（ⅲ）当12a <-时，即(1)0f >时，()f x 无零点.（ⅳ）当102a -<<时，即(1)0f <时，由于0x →（从右侧趋近0）时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞， 所以()f x 有两个零点.(2)当01a <<时，(0,)x a ∈时,()0f x '>,()f x 为增函数; (,1)x a ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数； (1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以()f x 在x a =处取极大值，()f x 在1x =处取极小值. 21()ln (1)2f a a a a a a =+-+21ln 2a a a a =--.当01a <<时，()0f a <,即在(0,1)x ∈时，()0f x <.而()f x 在(1,)x ∈+∞时为增函数，且x →+∞时，()f x →+∞，所以此时()f x 有一个零点.(3)当1a =时，2(1)()0x f x x-'=≥在()0,+∞上恒成立，所以()f x 为增函数.且0x →（从右侧趋近0）时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →+∞. 所以()f x 有一个零点.综上所述，01a ≤≤或12a =-时()f x 有一个零点；12a <-时，()f x 无零点；102a -<<()f x 有两个零点.……………….13分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222,,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a，b =， 故椭圆的方程为22162x y +=． …….4分（Ⅱ）当直线l 斜率不存在时,A B的坐标分别为，(2,，||MN =，四边形AMBN 面积为1||||42AMBN S MN AB =⋅=． 当直线l 斜率存在时，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ，则四边形AMBN 面积为121||()2AMBN S AB d d =+． 由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 则21221213k x x k +=+，212212613k x x k -=+，所以||AB=． 因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+， 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++． 当0k ¹时，直线OD 方程为30x ky +=， 由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得333,x ky =-232213y k =+． 所以121||()2AMBN S AB d d =+==< 当0k =时，四边形AMBN面积的最大值AMBN S =综上四边形AMBN面积的最大值为 …………………………14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若11b =，因为数列{}n a 单调递增，所以211a ≤，又1a 是自然数，所以10a =或1. ………2分 （Ⅱ）因为数列{}n a 的每项都是自然数，若2101a =≤，则11b ≥，与11a b =矛盾；若12a ≥，则因{}n a 单调递增，故不存在21n a ≤，即10b =，也与11a b =矛盾. 当11=a 时，因{}n a 单调递增，故2≥n 时，1>n a ，所以11b =，符合条件， 所以，11a =. ………6分 （Ⅲ）若2(1,2,)n a n n ==，则数列{}n a 单调递增，显然数列{}m b 也单调递增，由2n a m ≤，即22n m ≤，得212n m ≤，所以，m b 为不超过212m 的最大整数，当21m k =-()k *ÎN 时，因为222211222222122kk m k k k k -<=-+<-+，所以222m b k k =-； 当2m k =()k *ÎN时，22122m k =，所以，22m b k =.综上，2222,21(2,2(m k k m k k b k m k k **ìï-=-?ï=íï=?ïîN )N )， 即当0m >且m 为奇数时，212m m b -=；当0m >且m 为偶数时，22m mb =. 若数列{}n a 是数列{}m b 的生成数列，且{}m b 生成{}n a 的控制函数为()g n ， 则m b 中不超过()g n 的项数恰为n a ，即m b 中不超过()g n 的项数恰为2n ，所以221()n n b g n b +≤<，即222222n pn qn r n n ≤++<+对一切正整数n 都成立，即22(2)0(2)(2)0p n qn r p n q n r ⎧-++≥⎪⎨-+-->⎪⎩对一切正整数n 都成立，故得2p =，且0(2)0qn r q n r +≥⎧⎨-->⎩对一切正整数n 都成立，故02q ≤≤，q Z ∈.又常数r Z ∈，当0q =时，02(1)r n n ≤<≥，所以0r =，或1r =； 当1q =时，(1)n r n n -≤<≥，所以0r =，或1r =-； 当2q =时，20(1)n r n -≤<≥，所以2r =-，或1r =-；所以2()2g n n =，或221n +，或221n n +-，或22n n +，或2222n n +-，或2221n n +-(n *ÎN ). ………13分。
北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试(数学理)
北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试（数学理)一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知平面向量，，且，则实数的值为______A. B. C. D.2. 设集合，，若，则实数的值为______A. B. C. D.3. 设数列是公差不为的等差数列，且，，成等比数列，则的前项和等于______A. B. C. D.4. 执行如图所示的程序框图，输出的值为______A. B. C. D.5. 已知函数，设，，，则，，的大小关系是______A. B. C. D.6. 函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是______A. B. C. D.7. 已知正方形的边长为，将沿对角线折起，使平面平面，得到如图所示的三棱锥．若为边的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且．设，则三棱锥的体积的函数图象大致是______A. B.C. D.8. 已知集合，．若存在实数，使得成立，称点为“ ￡”点，则“ ￡”点在平面区域内的个数是______A. B. C. D. 无数个二、填空题（共6小题；共30分）9. 已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间上的汽车大约有______辆．10. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是______．11. 在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积是，则实数的值为______．12. 设直线与圆相交于，两点，且弦的长为，则实数的值是______．13. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润（万元）与机器运转时间（年数，）的关系为．则当每台机器运转______年时，年平均利润最大，最大值是______万元．14. 已知两个正数，，可按规则扩充为一个新数，在，，三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．（1）若，，按上述规则操作三次，扩充所得的数是______；（2）若，经过次操作后扩充所得的数为（，为正整数），则，的值分别为______．三、解答题（共6小题；共78分）15. 在锐角中，，，分别为内角，，所对的边，且满足．（1）求角的大小；（2）若，且，的值．16. 如图，一个圆形游戏转盘被分成个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）．（1）求某个家庭得分为的概率?（2）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少?（3）若共有个家庭参加家庭抽奖活动．在（2）的条件下，记获奖的家庭数为，求的分布列及数学期望．17. 如图，在四棱锥中，平面平面．底面为矩形，，，．（1）求证：；（2）求二面角的大小．18. 已知函数（，为正实数）．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若函数的最小值为，求的取值范围．19. 已知椭圆的离心率为，直线过点，，且与椭圆相切于点．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，使得?若存在，试求出直线的方程；若不存在，请说明理由．20. 数列，（）由下列条件确定：（i），；（ii）当时，与满足：当时，，；当时，，．（1）若，，写出，，，并求数列的通项公式；（2）在数列中，若（，且），试用，表示；（3）在（1）的条件下，设数列满足，，（其中为给定的不小于的整数），求证：当时，恒有．答案第一部分1. C2. B3. A4. D5. B6. C7. B8. A第二部分9.10.11.12.13. ；14. ；，第三部分15. （1）因为，所以，因为，所以．又为锐角，则．（2）由（1）可知，．因为，根据余弦定理，得整理，得由已知，则．又，可得于是，所以．16. （1）记事件：某个家庭得分情况为．则．所以某个家庭得分情况为的概率为．（2）记事件：某个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分包括，，共类情况．所以．所以某个家庭获奖的概率为．（3）由（2）可知，每个家庭获奖的概率都是，所以．；；；；；．所以的分布列为：所以．所以的数学期望为．17. （1）因为平面平面，，且面面，所以平面．又因为平面，所以．（2）由（1）可知，．在中，，，所以，所以平面．即，，所以为二面角的平面角．在中，，所以二面角的大小．18. （1）当时，，则．所以．又，因此所求的切线方程为．（2）（i）当，即时，因为，所以，所以函数在上单调递增．（ii）当，即时，令，则（），所以．因此，当时，，当时，．所以函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为．（3）当时，函数在上单调递增，则的最小值为，满足题意．当时，由（2）知函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为，则的最小值为，而，不合题意．所以的取值范围是．19. （1）由题得过两点，的直线的方程为．因为，所以，．设椭圆方程为，由消去得又因为直线与椭圆相切，所以解得所以椭圆方程为．（2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去，整理得由题意知解得设，，则又直线与椭圆相切，由解得所以．则．所以．所以，解得经检验成立．所以直线的方程为．20. （1）因为，所以，．因为，所以，．因为，所以，．所以，，，．由此猜想，当时，，则，．下面用数学归纳法证明：（i）当时，已证成立．（ii）假设当（，且）时猜想成立，即，，．当时，由，得，则，．综上所述，猜想成立．所以．故（2）当时，假设，根据已知条件则有，与矛盾，因此不成立，所以有，从而有，所以．当时，，，所以；当时，总有成立．又，所以数列（）是首项为，公比为的等比数列，，，又因为，所以．（3）由题意得．因为，所以．所以数列是单调递增数列．因此要证，只须证．由，则 < ，即．因此．所以．故当，恒有．。
2011朝阳区高三一模理综试卷及答案
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习理科综合测试2011.4 试卷共两道大题，一、选择题，二、非选择题，共300分。
考试时间150分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1. 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
2. 答题前考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上’填写姓名、准考证号，然后再用2B铅笔将与准考证号对应的信息点涂黑。
3. 答题卡上选择题必须用2B铅笔作答，将选中项涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。
非选择题必须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Ca 40 Ba 137―、选择题(本题共20小题，每小题6分，共120分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 下列有关细胞结构和功能的叙述，错误的是A. 若细胞同时有内质网和中心体，则该细胞一定是动物细胞B. 若细胞同时有叶绿体和细胞壁，则该细胞一定是植物细胞C. 核糖体在真核细胞与原核细胞中具有相同的功能D. 在细胞核内和线粒体中都可以进行碱基互补配对2. 以测定的产氧和耗氧速率为指标，研究温度对某种绿藻的光合作用与细胞呼吸的影响，结果如下图所示。
下列分析不年寧的是A. 测定光照下产氧速率时,各温度条件下的光照强度必须相同B. 测定呼吸耗氧速率时，须置于黑暗条件下进行C. 35T是最有利于该绿藻生长的温度D. 若温度长期保持在40¾，则该绿藻不能生长3. 某生物小组探究果实中不同浓度的乙烯对呼吸速率的影响,结果如下图所示。
据图分析正确的是4.A. 乙烯能调节细胞的呼吸速率，从而促进果实发育B. 随着乙烯浓度增大，呼吸峰值不断增大C. 随着乙烯浓度增大，呼吸峰出现的时间提前D. 乙烯通过影响酶的活性来影响呼吸速率4. 耐冷菌是生活在低温环境下的一类微生物，在O－50C可生长繁殖，最高生长温度一般在30 0C左右。
北京市朝阳区高三数学理科一模试题及答案
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）2013.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． （1）i 为虚数单位，复数11i-的虚部是 A．12 B．12- C ．1i 2- D . 1i 2（2）已知集合{}23M x x =-<<，{}lg(2)0N x x=+≥，则MN=A. (2,)-+∞ B. (2,3)- C. (2,1]-- D. [1,3)-（3）已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.若//AB OC ，则实数m 的值为A ．3-B ．17-C ．35- D ．35（4）在极坐标系中，直线1cos 2ρθ=与曲线2cos ρθ=相交于,A B 两点, O 为极点，则AOB ∠的 大小为 A ．3π B ．2π C ．32π D ．65π（5）在下列命题中，①“2απ=”是“sin 1α=”的充要条件； ②341()2x x+的展开式中的常数项为2； ③设随机变量ξ～(0,1)N ,若(1)P p ξ≥=，则1(10)2P p ξ-<<=-．其中所有正确命题的序号是 A ．② B ．③ C ．②③ D ．①③（6）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三 视图如图所示，则这个几何体的体积为A. 4B.C.D. 8正视图侧视图俯视图（7）抛物线22y px =（p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为A.B. 1C. D. 2 （8）已知函数*()21,f x x x =+∈N .若*0,x n ∃∈N ，使000()(1)()63f x f x f x n +++++=成立，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.函数()f x 的“生成点”共有 A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）在等比数列{}n a 中，32420a a a -=，则3a = ，{}n b 为等差数列，且33b a =，则数列{}n b 的前5项和等于 .（10）在ABC ∆中， a ，b ，c 分别为角A ， B ，C 所对的边.已知角A 为锐角，且3sin b a B =,则tan A = .（11）执行如图所示的程序框图，输出的结果S= .（12）如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 作圆O 的切 线交BA 的延长线于点D .若CD =2AB AC ==，则线段AD 的长是 ；圆O 的 半径是 . （13）函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时，()2f x x =.若在区间[2,3]-上方程2()0ax a f x +-=恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 .（14）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是半圆2240x x y -+=（2≤x ≤4）上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ．D三、解答题：本大题共6小题，共80分. （15）（13分）已知函数21()sin sin 222x f x x ωω=-+（0ω>）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的取值范围.（16）（13分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字1,01-，,2．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）． （Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为ξη，，试求随机变量X=ξη⋅的分布列与数学期望EX ．（17）（14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA AC ⊥，2PA AD ==．四边形ABCD 满足BCAD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．点,E F 分别为侧棱,PB PC 上的点，且PE PFPB PCλ==． （Ⅰ）求证：EF 平面PAD ；（Ⅱ）当12λ=时，求异面直线BF 与CD 所成角的余弦值； （Ⅲ）是否存在实数λ，使得平面AFD ⊥平面PCD ？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．（18）（13分）已知函数2()(2)ln 22f x x a x a x a =-++++，其中2a ≤．PDABCFE（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(]0,2上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.（19）（14分）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 过点(1,)2,离心率为2，点A 为其右顶点.过点(10)B ，作直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，直线AE ，AF 与直线3x =分别交于点M ，N .（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求EM FN ⋅的取值范围.（20）（13分）设1210(,,,)x x x τ=是数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的任意一个全排列，定义1011()|23|k k k S x x τ+==-∑，其中111x x =.（Ⅰ）若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=，求()S τ的值； （Ⅱ）求()S τ的最大值；（Ⅲ）求使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（理工类）2013.4三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1cos 1()222x f x x ωω-=-+1cos 22x x ωω=+ sin()6x ωπ=+. …………………………………………4分因为()f x 最小正周期为π，所以2ω=. ………………………………6分 所以()sin(2)6f x x π=+.由222262k x k ππππ-≤+≤π+，k ∈Z ，得36k x k πππ-≤≤π+.所以函数()f x 的单调递增区间为[,36k k πππ-π+]，k ∈Z . ………………8分（Ⅱ）因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈， …………………………………10分 所以1sin(2)126x π-≤+≤. ………………………………………12分所以函数()f x 在[0,]2π上的取值范围是[1,12-]. ……………………………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A ：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则 21()42P A ==． 答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12．…………………………3分（Ⅱ）设事件B ：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．由（Ⅰ）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12． 所以041344111111()1[()()()]222216P B C C =-⋅+⋅=． 答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为1116．……………7分 （Ⅲ）由题意可知，ξη，的可能取值为1,01-，,2，所以随机变量X 的可能取值为2,101,--，，,24．21(2)448P X=-==⨯； 21(1)448P X=-==⨯； 77(0)4416P X===⨯； 21(=1)448P X ==⨯；21(=2)448P X ==⨯； 11(=4)4416P X ==⨯．所以随机变量X 的分布列为所以1()2101881688164E X =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=24．……………………13分（17）（本小题满分14分） 证明：（Ⅰ）由已知，PE PFPB PCλ==， 所以 EF BC ． 因为BCAD ，所以EFAD ．而EF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以EF平面PAD ． ……………………………………………………4分（Ⅱ）因为平面ABCD ⊥平面PAC ，平面ABCD平面PAC AC =，且PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABCD . 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥． 又因为AB AD ⊥，所以,,PA AB AD 两两垂直． ……………………………………………………5分如图所示，建立空间直角坐标系， 因为1AB BC ==，2PA AD ==， 所以()()0,0,01,0,0,A B ,()()()1,1,0,0,2,0,0,0,2C D P ．当12λ=时，F 为PC 中点， 所以11(,,1)22F ,所以11(,,1),(1,1,0)22BF CD =-=-．设异面直线BF 与CD 所成的角为θ，所以11|(,,1)(1,1,0)|cos |cos ,|3BF CD θ-⋅-=〈〉==， 所以异面直线BF 与CD 9分 （Ⅲ）设000(,,)F x y z ，则000(,,2),(1,1,2)PF x y z PC =-=-． 由已知PF PC λ=，所以000(,,2)(1,1,2)x y z λ-=-，所以000,,22.x y z λλλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 所以(,,22)AF λλλ=-．设平面AFD 的一个法向量为1111(,,)x y z =n ，因为()0,2,0AD =,所以110,0.AF AD n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1111(22)0,20.x y z y λλλ++-=⎧⎨=⎩令1z λ=，得1(22,0,)λλn =-．设平面PCD 的一个法向量为2222(,,)x y z =n ，因为()()0,2,2,1,1,0PD CD =-=-,所以220,0.PD CD n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2222220,0. y z x y -=⎧⎨-+=⎩令21x =，则2(1,1,1)=n ．若平面AFD ⊥平面PCD ，则120n n ⋅=，所以(22)0λλ-+=，解得23λ=． 所以当23λ=时，平面AFD ⊥平面PCD ．…………………………………………14分 （18）（本小题满分1 3分）解：函数定义域为{}0x x >， 且(2)(1)()2(2).a x a x f x x a x x--'=-++=…………2分 ①当0a ≤，即02a≤时，令()0f x '<，得01x <<，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)， 令()0f x '>，得1x >，函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞.②当012a <<，即02a <<时，令()0f x '>，得02ax <<或1x >， 函数()f x 的单调递增区间为(0,)2a，(1,)+∞.令()0f x '<，得12a x <<，函数()f x 的单调递减区间为(,1)2a.③当12a=，即2a =时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. …7分(Ⅱ)①当0a ≤时，由(Ⅰ)可知，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，()f x 在(1,2]单调递增. 所以()f x 在(]0,2上的最小值为(1)1f a =+， 由于22422221121()2(1)10e e e e e e a a f =--+=--+>， 要使()f x 在(]0,2上有且只有一个零点， 需满足(1)0f =或(1)0,(2)0,f f <⎧⎨<⎩解得1a =-或2ln 2a <-. ②当02a <≤时，由(Ⅰ)可知，（ⅰ）当2a =时，函数()f x 在(0,2]上单调递增；且48414(e )20,(2)22ln 20e ef f -=--<=+>，所以()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. （ⅱ）当02a <<时，函数()f x 在(,1)2a上单调递减，在(1,2]上单调递增；又因为(1)10f a =+>，所以当(,2]2ax ∈时，总有()0f x >.因为22e12a aa +-<<+，所以22222222(e)e[e(2)](ln e22)0a a a a aaaaf a a a ++++----=-++++<.所以在区间(0,)2a 内必有零点.又因为()f x 在(0,)2a 内单调递增， 从而当02a <≤时，()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. 综上所述，02a <≤或2ln 2a <-或1a =-时，()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. …………………………………………………………………………………………13分 （19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，依题意得22222,1314a b c c a ab ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得24a =，21b =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ………………………………………………4分 （Ⅱ）显然点(2,0)A .（1）当直线l 的斜率不存在时，不妨设点E 在x 轴上方，易得(1,E F，(3,),(3,22M N -，所以1EM FN ⋅=. …………………………………………6分 （2）当直线l 的斜率存在时，由题意可设直线l 的方程为(1)y k x =-，显然0k =时，不符合题意.由22(1),440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=. 设1122(,),(,)E x y F x y ,则22121222844,4141k k x x x x k k -+==++.直线AE ，AF 的方程分别为：1212(2),(2)22y y y x y x x x =-=---， 令3x =，则1212(3,),(3,)22y yM N x x --.所以1111(3)(3,)2y x EM x x -=--，2222(3)(3,)2y x FN x x -=--. ……………………10分 所以11221212(3)(3)(3)(3)22y x y x EM FN x x x x --⋅=--+⋅-- 121212(3)(3)(1)(2)(2)y y x x x x =--+-- 2121212(1)(1)(3)(3)(1)(2)(2)x x x x k x x --=--+⋅-- 2121212121212()1[3()9][1]2()4x x x x x x x x k x x x x -++=-++⨯+⋅-++ 222222222222244814484141(39)(1)4484141244141k k k k k k k k k k k k k --+-++=-⋅+⋅+⋅-++-⋅+++ 22221653()(1)414k k k k+-=⋅++ 22216511164164k k k +==+++. ……………………………………………12分 因为20k >，所以21644k +>，所以22165511644k k +<<+，即5(1,)4EM FN ⋅∈. 综上所述，EM FN ⋅的取值范围是5[1,)4. ……………………………………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1011()|23|7654321012857k k k S xx τ+==-=+++++++++=∑. ……3分（Ⅱ）数10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍分别如下：20,18,16,14,12,10,8,6,4,2,30,27,24,21,18,15,12,9,6,3其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为20372131-=，所以()131S τ≤.对于排列0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ=，此时0()131S τ=，所以()S τ的最大值为131. ……………………………………………………………8分（Ⅲ）由于数1,2,3,4所产生的8个数都是较小的数，而数7,8,9,10所产生的8个数都是较大的数，所以使()S τ取最大值的排列中，必须保证数1,2,3,4互不相邻，数7,8,9,10也互不相邻；而数5和6既不能排在7,8,9,10之一的后面，又不能排在1,2,3,4之一的前面.设11x =，并参照下面的符号排列1△○□△○□△○□△○其中2,3,4任意填入3个□中，有6种不同的填法；7,8,9,10任意填入4个圆圈○中，共有24种不同的填法；5填入4个△之一中，有4种不同的填法；6填入4个△中，且当与5在同一个△时，既可以在5之前又可在5之后，共有5种不同的填法，所以当11x =时，使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数为624452880⨯⨯⨯=，由轮换性知，使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数为28800. ……………………………13分。
高考数学 答案
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北京市朝阳区2011年第二学期高三综合练习(一)
北京市朝阳区2011年第二学期高三综合练习（一）数学（理科）（朝阳一模）（时间：120分钟总分： 150分）第1卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小 题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合},,2{{},,|{2R x x y y N R x x y y M ∈+==∈==则=N M ( )),0.[+∞A ),.(∝+-∞B ∅.C )1,1()4,2.(- D2．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从这两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是 ( )8,8.A 6,10.B 7,9.C 4,12.D3．极坐标方程θρcos 4=化为直角坐标方程是 ( )4)2.(22=+-y x A 4.22=+y x B 4)2(.22=-+y x C 4)1()1.(22=-+-y x D4．已知}{n a 是由正数组成的等比数列，n s 表示 }{n a 的前n 项和．若,144,3421==a a a 则10s 的值是( )511.A 1023.B 1533.C 3069.D5．函数)2(cos 2π+=x y 的单调递增区间是 ( )Z k k k A ∈+),2,.(πππ z k k k B ∈++),,2.(ππππZ k k k C ∈+),2,2.(πππ z k k k D ∈++),22,2.(ππππ6．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于 ( )126.A 33.B 46.C 332.D7．如图，双曲线的中心在坐标原点0，A ，C 分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B 是双曲线的左顶点，F 为双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点D.若双曲线的离心率为2，则∠BDF 的余弦值是 ( )77.A 775.B 147.C 1475.D 8．定义区间（a ，b ），k ，b ），（a ，b]，k ，b]的长度均为,a b d -=多个区间并集的长度为各区间长度之和．例如， )2,1()5,3[的长度.3)35()12(=-+-=d 用][x 表示不超过x 的最大整数，记 ],[||x x x -=其中.R x ∈设=)(x f ,1)(|,|][-=⋅x x g x x 若321,,d d d 分别表示不等式),()(x g x f > 方程),()(x g x f =不等式)()(x g x f <解集区间的长度，则当20110≤≤x 时，有 ( )2008,2,1.321===d d d A 2009,1,1.321===d d d B2003,5,3.321===d d d C 2006,3,2.321===d d d D第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．复数,1,321i z i z -=+=则21z z等于 10.在二项式6)2(+x 的展开式中，第四项的系数是11.如下图，在三角形ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，F 为AB 上的点，且.4=若 ,AE y AF x AD +=则实数=x =y ,12.执行下图所示的程序框图，若输入,2.5-=x 则输出y 的值为13.如下图，在圆内接四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点 E.已知=∠===D B C EC AE CD BC ,2,32=∠C A B 则,30 ，AC 的长是14.对于各数互不相等的整数数组n i i i i n （),,,,(321 ⋅是不小于3的正整数），对于任意},,,3,2,1{,n q P ∈ 当P q <时，有,q P i i >则称q P i i ,是该数组的一个“逆序”，一个数据中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组(2，4，3，1)中的逆序数等于____；若数组,,(21i i ),,3n i i 中的逆序数为n ，则数组),,,(11i i i n n -中的逆序数为三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写在文字说明，演算步骤或证明过程：15.（本小题共13分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知⋅-=432cos C (I)求sinC ；(Ⅱ)当C=2a ，且73=b 时，求a ．16.（本小题共13分）如图，在四棱雉P- ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且=∠=∠PAD ABC BC AD ,// ,90 侧面PAD ⊥底面ABCD.若BC AB PA ==.21AD = (I)求证：CD ⊥平面PAC ．(Ⅱ)侧棱PA ⊥是否存在点E ，使得BE∥平面PCD? 若存在，指出点E 的位置并证明；若不存在，请说明理由．(Ⅲ)求二面角A-PD-C 的余弦值．17．（本小题共13分）在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进 4个球且最后．2个球都投 进者获奖，否则不获奖，已知教师甲投进每个球的概率都是⋅32 (I)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ， 求X 的分布列及数学期望；(Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率；(Ⅲ)已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙 在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？18．（本小题共13分）已知函数>-+=a x a xZ x f (2ln )().0 (I)若曲线)(x f y =在点))1(,1(f P 处的切线与直线2+=x y 垂直，求函数)(x f y =的单调区间； (Ⅱ)若对于),0(+∞∈∀x 都有)1(2)(->a x f 成立，试求a 的取值范围；(Ⅲ)记).()()(R b b x x f x g ∈-+=当1=a 时，函数)(x g 在区间].,[1e e -上有两个零点，求实数b的取值范围．19．（本小题共14分）已知A （-2，0），B(2，O)为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且△APB 面积的最大值为.32（I ）求椭圆C 的方程及离心率；(Ⅱ)直线AP 与椭圆在点B 处的切线交于点D ，当直线AP 绕点A 转动时，试判断以BD 为直径的圆与直 线PF 的位置关系，并加以证明．20.（本小题共14分）有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为),3,,,3,2,1,(≥=n n k m a nk 公差为,m d 并且*,,,,32ln r n n a a a a 成等差数列．(I)证明212211,,3(1P P n m d p d p d m ≤≤+==是m 的多项式），并求21P P +的值； (Ⅱ)当3,121==d d 时，将数列}{m d 分组如下：),(1d ),,,,,(),,,(98765432d d d d d d d d …（每组数的个数构成等差数列），设前m 组中所有数之和为m m c c ()(4),0>求数列}*2{m c d 的前挖项和n s . (Ⅲ)设N 是不超过20的正整数，当N n >时，对于(Ⅱ)中的,n s 求使得不等式n n d S >-)6(501成立的所有N 的值.。
2011年高考北京市数学试卷-理科(含详细答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时间长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是 （A ）(-∞, -1] （B ）[1, +∞）（C ）[-1，1] （D ）（-∞，-1] ∪[1，+∞）【答案】C【解析】：2{|1}{|11}P x x x x =≤=-≤≤，[1,1]PM P a =⇒∈-，选C 。
（2）复数212i i-=+ （A ）i （B ）-i （C ）4355i -- （D ）4355i -+【答案】A【解析】：22i 2(i 2)(12i)2242(1)2412i (12i)(12i)1414(1)i i i i ii i ---------+====++----，选A 。
（3）在极坐标系中，圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标系是(A) (1,)2π (B) (1,)2π-(C) (1,0) (D)(1，π)【答案】B【解析】：222sin (1)1x y ρθ=-⇒++=，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为(1,)2π-，选B 。
（4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 （A ）-3 （B ）-12（C ）13（D ）2【答案】D【解析】：循环操作4次时S 的值分别为11,,3,232--，选D 。
（5）如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G 。
给出下列三个结论：○1AD+AE=AB+BC+CA ； ○2AF ·AG=AD ·AE③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是（A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②③【答案】A.【解析】：①正确。
2011年北京高考数学(理)试题及答案word版
2011年北京高考数学（理）试题及答案word 版本试卷共5页，150分。
考试时间长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是 （A ）(-∞, -1] （B ）[1, +∞）（C ）[-1，1] （D ）（-∞，-1] ∪[1，+∞）【答案】C【解析】：2{|1}{|11}P x x x x =≤=-≤≤，[1,1]PM P a =⇒∈-，选C 。
（2）复数212i i-=+ （A ）i （B ）-i （C ）4355i -- （D ）4355i -+【答案】A【解析】：22i 2(i 2)(12i)2242(1)2412i (12i)(12i)1414(1)i i i i ii i ---------+====++----，选A 。
（3）在极坐标系中，圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标系是(A) (1,)2π (B) (1,)2π- (C) (1,0) (D)(1，π)【答案】B【解析】：222sin (1)1x y ρθ=-⇒++=，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为(1,)2π-，选B 。
（4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 （A ）-3 （B ）-12（C ）13（D ）2【答案】D【解析】：循环操作4次时S 的值分别为11,,3,232--，选D 。
（5）如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G 。
给出下列三个结论：○1AD+AE=AB+BC+CA ； ○2AF ·AG=AD ·AE③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是（A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②③【答案】A.【解析】：①正确。
北京市各区2011届高三一模考试试题汇总
北京市各区2011届高三一模考试试题汇总试题精粹05-18 0802：北京市各区2011届高三一模考试试题汇总北京市海淀区2011届高三第二学期期中练习--语文（扫描版）北京市海淀区2011年高三年级第二学期期中练习数学文北京市海淀区2011年高三年级第二学期期中练习数学理北京市海淀区2011届高三第二学期期中练习--英语（扫描版）北京市海淀区2011届高三一模考试（理综）北京市海淀区2011届高三第二学期期中练习--文综（扫描版）北京市海淀区2011届高三第二学期期中练习（全科6套）扫描版北京市海淀区2011高三第二学期期中练习（文科全套）扫描版北京市海淀区2011高三第二学期期中练习（理科全套）扫描版北京市西城区2011届高三一模试题（语文）Word版北京市西城区2011届高三一模试题（数学文）Word版北京市西城区2011届高三一模试题（数学理）Word版北京市西城区2011届高三一模试题（英语）Word版北京市西城区2011届高三一模试题（文综）Word版北京市西城区2011届高三下学期4月模拟考试（理综）扫描版北京市西城区2011届高三4月一模试题（文科全套）北京市西城区2011届高三4月一模试题（理科全套）北京市西城区2011届高三4月一模试题（全科）北京市东城区2011年高三第二学期综合练习（一）：语文北京市东城区2011学年度综合练习（一）数学文北京市东城区2011学年度综合练习（一）数学理北京市东城区2011年高三第二学期综合练习（一）：英语北京市东城区2011年高三第二学期综合练习（一）：文综北京市东城区2011年高三第二学期综合练习（一）：理综北京市东城区2011届高三下学期综合练习（一）（文科全套）北京市东城区2011届高三下学期综合练习（一）（理科全套）北京市东城区2011届高三下学期综合练习（一）（全科）北京市丰台区2011高三下学期统一练习（一）语文（无答案）北京市丰台区2011年高三下学期统一练习（一）：数学文北京市丰台区2011年高三下学期统一练习（一）（数学理）北京市丰台区2011年高三下学期统一练习（一）（英语）北京市丰台区2011年高三下学期统一练习（一）：理综北京市丰台区2011年高三下学期统一练习（一）：文综北京市丰台区2011年高三下学期统一练习（一）（文科全套）北京市丰台区2011年高三下学期统一练习（一）（理科4套）北京市丰台区2011年高三下学期统一练习（一）（文理科6套）北京市石景山区2011届高三统一测试扫描版（语文）北京市石景山区2011届高三统一测试扫描版（数学文）北京市石景山区2011届高三统一测试试题（word版）：数学理北京市石景山区2011届高三统一测试扫描版（英语）北京市石景山区2011届高三统一测试试题（word版）：文综北京市石景山区2011届高三统一测试扫描版（理综）北京市石景山区2011届高三3月统一测试（文科4套）word版北京市石景山区2011届高三3月统一测试（理科4套）word版北京市石景山区2011届高三3月统一测试（全科6套）word版北京市朝阳区2011届高三第一次综合练习（语文）北京市朝阳区高三第一次综合练习试卷（word版）：数学文北京市朝阳区高三第一次综合练习试卷（word版）：数学理北京市朝阳区高三4月第一次综合练习试卷（英语）扫描版北京市朝阳区高三第一次综合练习试卷（word版）：文综北京市朝阳区届高三第一次综合练习试卷（word版）：理综北京市朝阳区2011高三4月第一次综合练习（文科全套）北京市朝阳区2011高三4月第一次综合练习（理科全套）北京市朝阳区2011高三4月第一次综合练习（全科）。
北京市朝阳区高三数学第一次综合练习(一模)试题 理
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学试卷（理工类） 2016．3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1． i 为虚数单位，复数2i 1i+= A ．1i - B ．1i -- C ．1i -+ D ．1i +2． 已知全集U =R ，函数ln(1)y x =-的定义域为M ，集合{}20N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =IB ．()U M N =∅I ðC ．M N U =UD ．()U M N ⊆ð 3． “a b >”是“e e a b>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4． 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．42 B ．19 C ．8 D ．35．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,.a b c若222()tan 3a c b B ac +-=，则角B 的值为A ． 3πB ． 6πC ． 233ππ或 D ． 566ππ或开始1,1i S ==4?i < 1i i =+2S S i =+输出S结束 否 是(第4题图)6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误．．的是 A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1B. 结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D. 前6个月的平均收入为40万元 （注：结余=收入-支出）7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A ．13B ．12C ．1D ．328．若圆222(1)x y r +-=与曲线(1)1x y -=的没有公共点，则半径r 的取值范围是 A ．02r << B ．1102r <<C ．03r <<D ．130r << 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9． 二项式251()x x+的展开式中含4x 的项的系数是 （用数字作答）．10．已知等差数列}{n a (n *∈N )中，11=a ，47a =，则数列}{n a 的通项公式n a = ；2610410n a a a a +++++=L ______．万元 月O23430 1 10 20 5689 10 7111240 60 570 90 8收入支出(第7题图)正视图侧视图俯视图2 11111．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为222x y +=，曲线2C 的参数方程为2,(x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲 线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为 ． 12．不等式组0,,290x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域为D ．若直线(1)y a x =+与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是 ．13．已知M 为ABC ∆所在平面内的一点，且14AM AB nAC =+u u u u r u u u r u u u r．若点M 在ABC ∆的内部(不含边界)，则实数n 的取值范围是____．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i （1,2,,12i =L ）项能力特征用i x 表示，0,1i i x i ⎧=⎨⎩如果某学生不具有第项能力特征，，如果某学生具有第项能力特征.若学生,A B 的十二项能力特征分别记为1212(,,,)A a a a =L ，1212(,,,)B b b b =L ，则,A B 两名学生的不同能力特征项数为 （用,i i a b 表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分） 已知函数213()sin 3cos 22x f x x ωω=+-，0ω>． （Ⅰ）若1ω=，求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()13f π=，求()f x 的最小正周期T 的表达式并指出T 的最大值．16．（本小题满分13分）为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表．人数 本数12345（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差21s 与女学生阅读名著本数的方差22s 的大小（只需 写出结论）．17．（本小题满分14分）如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB ∠=︒，11//A B AB ，11122AB AA A B ===．直角梯形11AAC C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA 为轴旋转得到，且使得平面11AA C C ⊥平面11AA B B ．M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 上的动点．（Ⅰ）求证：11A C AP ⊥；（Ⅱ）当点P 是线段1BB 中点时，求二面角P AM B --的余弦值；（Ⅲ）是否存在点P ，使得直线1A C //平面AMP ？请说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数()f x =ln ,x a x a +∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[]1,2x ∈时，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）试问过点(13)P ，可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由．性别男生 1 4 3 2 2 女生1331AMPCBA 1C 1B 119．（本小题满分14分）已知点(2,1)P 和椭圆:C 22142x y +=． （Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，试求12PF F ∆的周长及椭圆的离心率； （Ⅱ）若直线:l 220(0)x y m m -+=≠与椭圆C 交于两个不同的点A ，B ，直线PA ，PB 与x轴分别交于M ，N 两点，求证：PM PN =．20．（本小题满分13分）已知等差数列}{n a 的通项公式31()n a n n *=-∈N .设数列{}n b 为等比数列,且n n k b a =.（Ⅰ）若11=2b a =,且等比数列{}n b 的公比最小， （ⅰ）写出数列{}n b 的前4项； （ⅱ）求数列{}n k 的通项公式；（Ⅱ）证明：以125b a ==为首项的无穷等比数列{}n b 有无数多个.北京市朝阳区2015-2016学年度第二学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．3一、选择题：（满分40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DDABCDAC二、填空题：（满分30分） 题号91011121314答案 10 21n a n =-,(3)(411)n n ++ (2,)4π3(,]4-∞3(0,)4121||ii i ab =-∑22（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当1ω=时，213()sin 3cos 222x f x x =+-13sin 2x x =+ sin()3x π=+．令22,232k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ．解得22,66k x k k 5πππ-≤≤π+∈Z ．所以()f x 的单调递增区间是[2,2],66k k k 5πππ-π+∈Z .……………………7分（Ⅱ）由213()sin 3222x f x x ωω=+-13sin 22x x ωω=+ sin()3x ωπ=+．因为()13f π=，所以sin()133ωππ+=．则2332n ωπππ+=π+，n ∈Z ． 解得162n ω=+．又因为函数()f x 的最小正周期2T ωπ=，且0ω>，所以当ω12=时，T 的最大值为4π． ………………………………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A ：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4 ． 由题意可知，13+41()128P A ⨯⨯=⨯4分（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的取值为0,1,2,3,4．由题意可得44481(0)70C P X C ===； 134448168(1)7035C C P X C ====；2244483618(2)7035C C P X C ====； 314448168(3)7035C C P X C ====； 44481(4)70C P X C ===． 所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的均值0123427070707070EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．…………10分（Ⅲ）21s >22s ．…………………………………………………………………………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知1190A AB A AC ∠=∠=︒，且平面11AA C C ⊥平面11AA B B ，所以90BAC ∠=︒，即AC AB ⊥． 又因为1AC AA ⊥且1AB AA A =I ， 所以AC ⊥平面11AA B B ．由已知11//A C AC ，所以11A C ⊥平面11AA B B ． 因为AP ⊂平面11AA B B ，所以11AC AP ⊥．…………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知1,,AC AB AA 两两垂直．分别以1,,AC AB AA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示． 由已知 11111222AB AC AA A B AC =====， 所以(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),A B C 1(0,1,2)B ，1(0,0,2)A ．因为M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 的中点，所以3(1,1,0),(0,,1)2M P ．易知平面ABM 的一个法向量(0,0,1)=m ． 设平面APM 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由 0,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u rn n 得0, 30. 2x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取2y =，得(2,2,3)=--n ．由图可知，二面角P AM B --的大小为锐角， 所以317cos ,1717⋅〈〉===⋅m n m n m n．所以二面角P AM B --的余弦值为31717．………………………………9分 （Ⅲ）存在点P ，使得直线1A C //平面AMP ．设111(,,)P x y z ，且1BP BB λ=u u u r u u u r，[0,1]λ∈，则111(,2,)(0,1,2)x y z λ-=-， 所以1110,2,2x y z λλ==-=．所以(0,2,2)AP λλ=-u u u r．设平面AMP 的一个法向量为0000(,,)x y z =n ，由 000,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u rn n 得00000, (2)20. x y y z λλ+=⎧⎨-+=⎩ yxAMPC BA 1 C 1B 1z取01y =，得02(1,1,)2λλ-=-n （显然0λ=不符合题意）． 又1(2,0,2)AC =-u u u r ，若1A C //平面AMP ，则10AC ⊥u u u rn ． 所以10220AC λλ-⋅=--=u u u r n ．所以23λ=． 所以在线段1BB 上存在点P ，且12BPPB =时，使得直线1A C //平面AMP ．…………14分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >．()1a x af x x x+'=+=． （1）当0a ≥时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）当0a <时， 令()0f x '=，得x a =-．当0x a <<-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数； 当x a >-时，()0f x '>，函数()f x 为增函数．综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞．当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为(0,)a -，单调递增区间为(+)a -∞，． ……………………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当1a -≤时，即1a ≥-时，函数()f x 在区间[]1,2上为增函数，所以在区间[]1,2上，min ()(1)1f x f ==，显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零； （2）当12a <-<时，即21a -<<-时，函数()f x 在[)1a -，上为减函数，在(],2a - 上为增函数，所以min ()()ln()f x f a a a a =-=-+-．依题意有min ()ln()0f x a a a =-+->，解得e a >-，所以21a -<<-． （3）当2a -≥时，即2a ≤-时，()f x 在区间[]1,2上为减函数， 所以min ()(2)2+ln 2f x f a ==．依题意有min ()2+ln 20f x a =>，解得2ln 2a >-，所以22ln 2a -<≤-．综上所述，当2ln 2a >-时，函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零．………………8分 （Ⅲ）设切点为000,ln )x x a x +（，则切线斜率01a k x =+， 切线方程为0000(ln )(1)()ay x a x x x x -+=+-． 因为切线过点(1,3)P ，则00003(ln )(1)(1)ax a x x x -+=+-． 即001(ln 1)20a x x +--=． ………………① 令1()(ln 1)2g x a x x =+-- (0)x >，则 2211(1)()()a x g x a x x x-'=-=． （1）当0a <时，在区间(0,1)上，()0g x '>， ()g x 单调递增；在区间(1,)+∞上，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以函数()g x 的最大值为(1)20g =-<． 故方程()0g x =无解，即不存在0x 满足①式． 因此当0a <时，切线的条数为0．（2）当0a >时, 在区间(0,1)上，()0g x '<，()g x 单调递减，在区间(1,)+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以函数()g x 的最小值为(1)20g =-<．取21+1ee ax =>，则221112()(1e 1)2e 0aag x a a a----=++--=>．故()g x 在(1,)+∞上存在唯一零点．取2-1-21e<e ax =，则221122()(1e 1)2e 24a a g x a a a a ++=--+--=--212[e 2(1)]a a a+=-+． 设21(1)t t a=+>，()e 2t u t t =-，则()e 2t u t '=-． 当1t >时，()e 2e 20tu t '=->->恒成立．所以()u t 在(1,)+∞单调递增，()(1)e 20u t u >=->恒成立．所以2()0g x >．故()g x 在(0,1)上存在唯一零点．因此当0a >时，过点P (13)，存在两条切线．（3）当0a =时，()f x x =，显然不存在过点P (13)，的切线．综上所述，当0a >时，过点P (13)，存在两条切线；当0a ≤时，不存在过点P (13)，的切线．…………………………………………………13分19．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)由题意可知，24a =，22b =，所以22c =．因为P 是椭圆C 上的点，由椭圆定义得124PF PF +=．所以12PF F ∆的周长为4+．易得椭圆的离心率=2c e a =．………………………………………………………4分 (Ⅱ)由2220,1,42y m x y -+=⎨+=⎪⎩得22480x m ++-=． 因为直线l 与椭圆C 有两个交点，并注意到直线l 不过点P ，所以22844(8)0,0.m m m ⎧-⨯->⎨≠⎩解得40m -<<或04m <<． 设11(,)A x y ，22(,)B x y，则122x x m +=-，21284m x x -=, 112m y +=，222m y +=． 显然直线PA 与PB 的斜率存在，设直线PA 与PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +=211)(1)(x x -+-===28)(m m ----+=2=220==． 因为120k k +=，所以PMN PNM ∠=∠． 所以PM PN =． ………………………………………………………14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）观察数列}{n a 的前若干项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，…. 因为数列}{n a 是递增的整数数列，且等比数列以2为首项，显然最小公比不能是52，最小公比是4.（ⅰ）以2为首项,且公比最小的等比数列的前四项是2，8，32，128.（ⅱ）由（ⅰ）可知12b =，公比4q =，所以124n n b -=⋅.又31n n k n b a k ==-，所以13124,n n k n -*-=⋅∈N ， 即11(241),3n n k n -*=⋅+∈N . 再证n k 为正整数.显然11k =为正整数，2n ≥时，1222111(2424)24(41)2433n n n n n n k k ------=⋅-⋅=⋅⋅-=⋅， 即2124(2)n n n k k n --=+⋅≥，故11(241),3n n k n -*=⋅+∈N 为正整数.所以，所求通项公式为11(241),3n n k n -*=⋅+∈N . ……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）设数列{}n c 是数列}{n a 中包含的一个无穷等比数列，且115k c a ==，22231k c a k ==-，所以公比2315k q -=.因为等比数列{}n c 各项为整数，所以q 为整数. 取252k m =+（m *∈N ），则13+=m q ，故15(31)n n c m -=⋅+.只要证15(31)n n c m -=⋅+是数列}{n a 的项，即证31n k -15(31)n m -=⋅+.只要证11[5(31)1]3n n k m -=++()n *∈N 为正整数，显然12k =为正整数. 又2n ≥时，12215[(31)(31)]5(31)3n n n n n k k m m m m -----=+-+=+， 即215(31)n n n k k m m --=++，又因为12k =，25(31)n m m -+都是正整数，故2n ≥时，n k 也都是正整数.所以数列{}n c 是数列}{n a 中包含的无穷等比数列，其公比13+=m q 有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故数列}{n a 所包含的以52=a 为首项的不同无穷等比数列有无数多个.…………………………………………………………………………………………13分。
(完整版)年北京市高考数学试卷(理科)
2011年北京市高考数学试卷(理科）一、选择题(共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合P=｛x｜x2≤1}，M={a}．若P∪M=P,则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1］ B．[1，+∞） C．[﹣1，1] D．（﹣∞，﹣1]∪［1,+∞）2．（5分）复数=（）A．i B．﹣i C．D．3．（5分）在极坐标系中，圆ρ=﹣2sinθ的圆心的极坐标是（)A． B．C．（1，0) D．（1，π）4．(5分)执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣3 B．﹣C．D．25．（5分)如图，AD，AE,BC分别与圆O切于点D，E,F，延长AF与圆O交于另一点G．给出下列三个结论：①AD+AE=AB+BC+CA；②AF•AG=AD•AE③△AFB~△ADG其中正确结论的序号是（)A．①②B．②③C．①③D．①②③6．（5分）根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟)为（A，C为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A 的值分别是（）A．75，25 B．75,16 C．60，25 D．60，167．(5分）某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8 B．C．10 D．8．（5分）设A(0，0），B(4，0），C（t+4，4），D（t，4)（t∈R）．记N(t）为平行四边形ABCD 内部(不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为( ）A．｛9，10，11｝ B．{9，10，12} C．｛9，11，12｝ D．{10,11，12}二、填空题（共6小题，每小题5分,满分30分）9．（5分)在△ABC 中．若b=5，，tanA=2，则sinA= ；a= ．10．（5分）已知向量=（，1），=（0，﹣1）,=（k ，）．若与共线，则k= ．11．（5分）在等比数列｛a n ｝中，a 1=，a 4=﹣4，则公比q= ;|a 1｜+|a 2|+…+｜a n |= ． 12．（5分)用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次,这样的四位数共有 个．(用数字作答）13．(5分)已知函数若关于x 的方程f （x ）=k 有两个不同的实根，则数k的取值范围是 ．14．（5分）曲线C 是平面内与两个定点F 1（﹣1，0）和F 2（1，0)的距离的积等于常数a 2（a ＞1）的点的轨迹．给出下列三个结论: ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称;③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于a 2． 其中，所有正确结论的序号是 ．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知f(x ）=4cosxsin （x+)﹣1． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求f （x)在区间[﹣,］上的最大值和最小值．16．(14分）如图,在四棱锥P ﹣ABCD 中,PA ⊥平面ABCD,底面ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值;(Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．17．（13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望．(注：方差，其中为x1，x2， (x)n的平均数)18．(13分)已知函数．（Ⅰ）求f（x)的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，求k的取值范围．19．（14分）已知椭圆．过点(m，0)作圆x2+y2=1的切线I交椭圆G于A,B两点．（Ⅰ）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（Ⅱ)将｜AB|表示为m 的函数,并求｜AB ｜的最大值．20．(13分)若数列A n =a 1，a 2,…,a n (n≥2）满足|a k+1﹣a k |=1(k=1,2,…，n ﹣1），数列A n 为E 数列,记S(A n )=a 1+a 2+…+a n ．（Ⅰ）写出一个满足a 1=a s =0，且S （A s ）＞0的E 数列A n ；（Ⅱ)若a 1=12，n=2000，证明：E 数列A n 是递增数列的充要条件是a n =2011；（Ⅲ）对任意给定的整数n （n≥2），是否存在首项为0的E 数列A n ，使得S （A n )=0？如果存在，写出一个满足条件的E 数列A n ;如果不存在,说明理由．2011年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题,每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合P=｛x|x2≤1｝，M=｛a｝．若P∪M=P,则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1］ B．［1，+∞)C．［﹣1，1] D．（﹣∞，﹣1］∪[1,+∞）【解答】解：∵P=｛x｜x2≤1}，∴P=｛x｜﹣1≤x≤1}∵P∪M=P∴M⊆P∴a∈P﹣1≤a≤1故选：C．2．（5分）复数=（）A．i B．﹣i C．D．【解答】解：==i故选A3．（5分）在极坐标系中，圆ρ=﹣2sinθ的圆心的极坐标是（）A． B．C．（1，0）D．（1，π）【解答】解：将方程ρ=﹣2sinθ两边都乘以p得:ρ2=﹣2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2+y2+2y=0．圆心的坐标(0，﹣1)．∴圆心的极坐标故选B．4．（5分）执行如图所示的程序框图,输出的s值为（）A．﹣3 B．﹣C．D．2【解答】解:i=0,满足条件i＜4，执行循环体，i=1，s=满足条件i＜4，执行循环体,i=2，s=﹣满足条件i＜4，执行循环体，i=3，s=﹣3满足条件i＜4，执行循环体，i=4，s=2不满足条件i＜4，退出循环体，此时s=2故选：D5．(5分）如图,AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G．给出下列三个结论:①AD+AE=AB+BC+CA;②AF•AG=AD•AE③△AFB~△ADG其中正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【解答】解：根据从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等,有CE=CF,BF=BD,∴AD+AE=AB+BC+CA,故①正确，∵AD=AE，AE2=AF•AG,∴AF•AG=AD•AE，故②正确，根据切割线定理知△ADF～△ADG故③不正确，综上所述①②两个说法是正确的，故选A．6．（5分）根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟）为（A，C为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟,那么c和A的值分别是（）A．75，25 B．75,16 C．60，25 D．60，16【解答】解：由题意可得:f(A)==15，所以c=15而f（4）==30，可得出=30故=4，可得A=16从而c=15=60故答案为D7．(5分）某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中，最大的是( )A．8 B．C．10 D．【解答】解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，，10，显然面积的最大值,10．故选C．8．(5分)设A(0,0）,B（4，0），C（t+4,4），D(t，4)（t∈R）．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N(t）的值域为（）A．{9，10，11} B．{9，10,12｝C．｛9,11，12｝D．{10，11,12}【解答】解：当t=0时,▱ABCD的四个顶点是A(0,0），B（4，0），C（4，4），D（0,4），符合条件的点有(1，1），（1，2），（1，3），（2,1），（2，2），（2，3），(3，1），（3，2)，（3，3），共九个，N（t）=9，故选项D不正确．当t=1时，▱ABCD的四个顶点是A(0,0)，B（4，0),C（5，4），D(1，4）,同理知N（t）=12，故选项A不正确．当t=2时，▱ABCD的四个顶点是A（0，0），B（4，0），C(6，4），D(2，4)，同理知N（t）=11，故选项B不正确．故选C．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．(5分）在△ABC中．若b=5，，tanA=2，则sinA= ;a= 2．【解答】解：由tanA=2,得到cos2A==,由A ∈（0，π），得到sinA==，根据正弦定理得：=,得到a===2．故答案为：；210．（5分）已知向量=（，1），=(0,﹣1），=（k,）．若与共线，则k= 1 ．【解答】解：∵与共线，∴解得k=1． 故答案为1．11．（5分）在等比数列｛a n ｝中,a 1=，a 4=﹣4，则公比q= ﹣2 ；|a 1｜+|a 2|+…+|a n |= ．【解答】解：q===﹣2，｜a 1｜+|a 2|+…+｜a n ｜==故答案为：﹣2，12．（5分）用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有 14 个．(用数字作答）【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3 的个数，当数字中有1个2，3个3时，共有C 41=4种结果， 当数字中有2个2，2个3时,共有C 42=6种结果, 当数字中有3个2，1个3时，共有有C 41=4种结果， 根据分类加法原理知共有4+6+4=14种结果， 故答案为：1413．（5分）已知函数若关于x 的方程f （x ）=k 有两个不同的实根,则数k的取值范围是 (0，1） ．【解答】解：函数的图象如下图所示：由函数图象可得当k ∈(0，1）时 方程f （x ）=k 有两个不同的实根, 故答案为:（0，1）14．(5分）曲线C 是平面内与两个定点F 1（﹣1，0）和F 2（1，0）的距离的积等于常数a 2（a ＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称;③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2．其中，所有正确结论的序号是②③．【解答】解：对于①，由题意设动点坐标为（x，y)，则利用题意及两点间的距离公式的得:⇔［（x+1）2+y2］•[（x﹣1）2+y2]=a4（1)将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错；对于②，把方程中的x被﹣x代换，y被﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称．②正确；对于③,由题意知点P在曲线C上，则△F1PF2的面积=a2sin∠F 1PF2,≤a2，所以③正确．故答案为：②③．三、解答题(共6小题,满分80分）15．(13分）已知f(x)=4cosxsin（x+）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ)求f（x）在区间［﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵,=4cosx()﹣1=sin2x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+),所以函数的最小正周期为π；（Ⅱ）∵﹣≤x≤,∴﹣≤2x+≤，∴当2x+=，即x=时，f（x)取最大值2,当2x+=﹣时，即x=﹣时，f(x）取得最小值﹣1．16．(14分）如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形,AB=2，∠BAD=60°．(Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；(Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；(Ⅲ)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．【解答】解：（I）证明:因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD，PA∩AC=A所以BD⊥平面PAC(II)设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，所以BO=1,AO=OC=,以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz,则P（0,﹣，2）,A（0,﹣，0），B(1,0，0），C(0，,0)所以=（1,，﹣2）,设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|(III）由（II)知,设，则设平面PBC的法向量=（x，y，z）则=0，所以令,平面PBC的法向量所以，同理平面PDC的法向量，因为平面PBC⊥平面PDC，所以=0，即﹣6+=0，解得t=，所以PA=．17．（13分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（Ⅱ）如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望．（注:方差，其中为x1，x2， (x)n的平均数）【解答】解：（Ⅰ)当X=8，乙组同学植树棵数是8，8，9，10，平均数是=,方差为+=；（Ⅱ）当X=9时，甲组同学的植树棵数是9，9，11,11；乙组同学的植树棵数是9,8，9,10，分别从甲和乙两组中随机取一名同学，共有4×4=16种结果，这两名同学植树的总棵数Y可能是17，18，19，20,21，事件Y=17，表示甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵，∴P（Y=17)=P（Y=18）=P（Y=19）=P（Y=20）=，P(Y=21）=Y1718192021P0。
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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学测试题（理工类） 2011.4（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：1．答第一部分前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上.考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．若集合2{|, }M y y x x ==∈R ，{|2, }N y y x x ==+∈R ，则M N I 等于（A ）[)0,+∞（B ）(,)-∞+∞ （C ）∅ （D ）{(2, 4)，(1, 1)-}2．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是 （A ）8，8（B ）10，6（C ）9，7 （D ）12，43．极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是（A ）22(2)4x y -+= （B ）224x y += （C ）22(2)4x y +-= （D ）22(1)(1)4x y -+-=4．已知{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 表示{}n a 的前n 项的和．若13a =，24144a a =，则10S 的值是 （A ）511（B ） 1023 （C ）1533 （D ）30695．函数)2(cos 2π+=x y 的单调增区间是（A ）π(π,π)2k k + k ∈Z （B ）π(π, ππ)2k k ++ k ∈Z（C ）(2π, π2π)k k +k ∈Z （D ）(2ππ, 2π2π)k k ++k ∈Z6．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形， 则此三棱锥的体积等于 （A ）612 （B ）33（C ）64（D ）2337．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，, A C 分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B 是双曲线的左顶点，F 为双曲线的左焦点，直线A B 与F C 相交于点D .若双曲线的离心率为2，则BD F ∠的余弦值是（A ）77 （B ）577（C ） 714（D ）57148．定义区间(, )a b ，[, )a b ，(, ]a b ，[, ]a b 的长度均为d b a =-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, (1, 2)[3, 5) 的长度(21)(53)3d =-+-=. 用[]x 表示不超过x 的最大整数，记{}[]x x x =-，其中x ∈R . 设()[]{}f x x x =⋅，()1g x x =-，若用123,,d d d 分别表示不等式()()f x g x >，方程()()f x g x =，不等式()()f x g x <解集区间的长度，则当02011x ≤≤时，有（A ）1231, 2, 2008d d d === （B ）1231, 1, 2009d d d === （C ）1233, 5, 2003d d d === （D ）1232, 3, 2006d d d ===侧视图正视图1俯视图xy O CB AFD第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. [来源:学&科&网]9．复数13i z =+，21i z =-，则12z z 等于 .10．在二项式6(2)x +的展开式中，第四项的系数是 .11．如右图，在三角形ABC 中，D ，E 分别为B C ，A C 的中点，F 为A B 上的点，且B 4A AF = . 若A D x A F y A E =+，则实数x = ，实数y = .12．执行右图所示的程序框图，若输入 5.2x =-，则输出y 的值为 ．13．如下图，在圆内接四边形A B C D 中, 对角线, AC BD相交于点E ．已知23BC CD ==，2A E E C =，30CBD ∠=，则C AB ∠= ，A C 的长是 ．A BC DE · ·F 开始输入x是 ?i ≥5输出y结束x y =|2|y x =-否0, 0y i ==1i i =+14．对于各数互不相等的整数数组),,,,(321n i i i i (n 是不小于3的正整数)，对于任意的,{1,2,3,,}p q n ∈ ，当q p <时有q p i i >，则称p i ，q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于 ；若数组123(,,,,)n i i i i 中的逆序数为n ，则数组11(,,,)n n i i i - 中的逆序数为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）在锐角A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3cos 24C =-.（Ⅰ）求sin C ；（Ⅱ）当2c a =，且37b =时，求a .16．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 为直角梯形，且//A D B C ，90A B C P A D ∠=∠=︒，侧面P A D ⊥底面A B C D . 若12P A A B B C A D ===.（Ⅰ）求证：C D ⊥平面PAC ；（Ⅱ）侧棱P A 上是否存在点E ，使得//BE 平面PC D ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求二面角A P D C --的余弦值.17．（本小题满分13分）在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是23．（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望； （Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？A BP CD18．（本小题满分13分）已知函数2()ln 20)f x a x a x=+-> (.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线与直线2y x =+垂直，求函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记()()()g x f x x b b =+-∈R .当1a =时，函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点，求实数b 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知(2, 0)A -，(2, 0)B 为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且A P B ∆面积的最大值为23．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率； （Ⅱ）直线A P 与椭圆在点B 处的切线交于点D ，当直线A P 绕点A 转动时，试判断以B D为直径的圆与直线P F 的位置关系，并加以证明．20．（本小题满分14分）有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为m k a (,1,2,3,,,m k n n =≥，公差为m d ，并且123,,,,n n n nn a a a a 成等差数列． （Ⅰ）证明1122m d p d p d =+ （3m n≤≤，12,p p 是m 的多项式），并求12p p +的值；（Ⅱ）当121, 3d d ==时，将数列{}m d 分组如下：123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d (每组数的个数构成等差数列)．设前m 组中所有数之和为4()(0)m m c c >，求数列{2}mc md 的前n 项和n S ．（Ⅲ）设N 是不超过20的正整数，当n N >时，对于（Ⅱ）中的n S ，求使得不等式1(6)50n n S d ->成立的所有N 的值．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学测试题答案（理工类）2011.4一、选择题: 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案ACADABCB二、填空题: 题号 （9） （10） （11） （12） （13）（14） 答案1+2i160210.83064232n n -三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知可得2312sin 4C -=-.所以27sin 8C =.因为在A B C ∆中，sin 0C >， 所以14sin 4C =. ……………………………………………6分（Ⅱ）因为2c a =，所以114sin sin 28A C ==.因为A B C ∆是锐角三角形，所以2cos 4C =，52cos 8A =.所以sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+14252148484=⨯+⨯378=.由正弦定理可得：37sin sin a BA=，所以14a =. …………………………13分16．（本小题满分13分） 解法一：（Ⅰ）因为 90P A D ∠=︒，所以PA AD ⊥.又因为侧面P A D ⊥底面A B C D ，且侧面PAD 底面A B C D A D =， 所以P A ⊥底面A B C D .而C D ⊂底面A B C D ， 所以P A ⊥C D .在底面A B C D 中，因为90A B C B A D ∠=∠=︒，12A B B C A D ==，所以 22AC C D AD ==， 所以A C ⊥C D .又因为PA AC A = ， 所以C D ⊥平面PAC . ……………………………4分 （Ⅱ）在P A 上存在中点E ，使得//B E 平面PC D ，证明如下：设P D 的中点是F ， 连结B E ，E F ，F C ， 则//E F A D ，且12E F A D =.由已知90A B C B A D ∠=∠=︒，所以//B C A D . 又12B C A D =，所以//B C E F ，且B C E F =，所以四边形B E F C 为平行四边形，所以//B E C F .因为B E ⊄平面PC D ，C F ⊂平面PC D ，所以//BE 平面PC D . ……………8分（Ⅲ）设G 为A D 中点，连结C G ，则 C G ⊥A D .又因为平面A B C D ⊥平面PAD ， 所以 C G ⊥平面PAD .过G 作G H PD ⊥于H ，连结C H ，由三垂线定理可知C H P D ⊥. 所以G H C ∠是二面角A P D C --的平面角.设2AD =，则1P A A B C G D G ====, 5D P =.在PAD ∆中，G H D G P AD P=，所以15G H =.所以 tan 5C G G H C G H∠==，6cos 6G H C ∠=.即二面角A P D C --的余弦值为66. ………………………………13分E FABPCDGHABPCD解法二：因为 90P A D ∠=︒， 所以PA AD ⊥.又因为侧面P A D ⊥底面A B C D ， 且侧面PAD 底面A B C D A D =，所以 P A ⊥底面A B C D . 又因为90B A D ∠=︒，所以A B ，A D ，A P 两两垂直. 分别以A B ，A D ，A P 为x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图.设2AD =，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,1)P .（Ⅰ）(0,0,1)AP = ，(1,1,0)A C = ，(1,1,0)C D =-,所以 0AP CD ⋅= ，0AC CD ⋅=，所以AP ⊥C D ，A C ⊥C D .又因为AP AC A = ， 所以C D ⊥平面PAC . ………………………………4分（Ⅱ）设侧棱P A 的中点是E ， 则1(0, 0, )2E ，1(1, 0, )2B E =- .设平面PC D 的一个法向量是(,,)x y z =n ，则0,0.C D P D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n因为(1, 1, 0)C D =- ，(0, 2,1)P D =-，所以0,20.x y y z -+=⎧⎨-=⎩取1x =，则(1, 1, 2)=n .所以1(1, 1, 2)(1, 0, )02B E ⋅=⋅-= n ， 所以BE ⊥ n .因为B E ⊄平面PC D ，所以BE 平面PC D . ………………………………8分（Ⅲ）由已知，AB ⊥平面PAD ，所以(1, 0, 0)A B =为平面PAD 的一个法向量.由（Ⅱ）知，(1, 1, 2)=n 为平面PC D 的一个法向量. 设二面角A P D C --的大小为θ，由图可知，θ为锐角，所以(1, 1, 2)(1, 0, 0)6cos 661A B A Bθ⋅⋅===⨯ n n . 即二面角A P D C --的余弦值为66. ………………………………13分z yxA BPCD17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.依条件可知X ~B (6，23).6621()33kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6k =)X 的分布列为：X 012345 6P1729127296072916072924072919272964729所以1(01112260316042405192664)729EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=29164729=.或因为X ~B (6，23)，所以2643E X =⨯=. 即X 的数学期望为4． ……………5分（Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，则224156441212232()()()()().3333381P A C C =⨯⨯+⨯⨯+=答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为32.81………………………………10分 （Ⅲ）设教师乙在这场比赛中获奖为事件B ，则2444662()5A A PB A ==.即教师乙在这场比赛中获奖的概率为25.显然2323258081=≠，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等．…………………13分18．（本小题满分13分）解: (I) 直线2y x =+的斜率为1.函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 因为22()a f x xx'=-+，所以22(1)111a f '=-+=-，所以1a =.所以2()ln 2f x x x =+-. 22()x f x x-'=.由()0f x '>解得2x >；由()0f x '<解得02x <<.所以()f x 的单调增区间是(2,)+∞,单调减区间是(0,2). ……………………4分 (II) 2222()a ax f x xxx-'=-+=，由()0f x '>解得2x a>；由()0f x '<解得20x a<<.所以()f x 在区间2(, )a+∞上单调递增，在区间2(0,)a 上单调递减.所以当2x a=时，函数()f x 取得最小值，m in2()y f a=.因为对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立， 所以2()2(1)f a a >-即可.则22ln22(1)2a a aa+->-. 由2lna a a>解得20a e<<.所以a 的取值范围是2(0, )e. ………………………………8分(III)依题得2()ln 2g x x x b x=++--，则222()x x g x x+-'=.由()0g x '>解得1x >；由()0g x '<解得01x <<.所以函数()g x 在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, )+∞为增函数.又因为函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点，所以1()0,()0,(1)0. g e g e g -⎧⎪⎨⎪<⎩≥≥解得211b e e<+-≤.所以b 的取值范围是2(1, 1]e e+-. ………………………………………13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b ab+=>>，(,0)F c ．由题意知解得3b =，1c =．故椭圆C 的方程为22143xy+=，离心率为12．……6分（Ⅱ）以B D 为直径的圆与直线P F 相切．证明如下：由题意可设直线A P 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠.⎧⎪⎨⎪⎩2221223,22, .a b a a b c ⋅⋅===+OF EPD BAyx则点D 坐标为(2, 4)k ，B D 中点E 的坐标为(2, 2)k ．由22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k--=+．所以2026834k x k-=+，00212(2)34k y k x k=+=+． ……………………………10分因为点F 坐标为(1, 0)， 当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，点D 的坐标为(2, 2)±.直线P F x ⊥轴，此时以B D 为直径的圆22(2)(1)1x y -+= 与直线P F 相切． 当12k ≠±时，则直线P F 的斜率0204114PF y k k x k==--.所以直线P F 的方程为24(1)14k y x k=--．点E 到直线P F 的距离222228421414161(14)kk k kkd kk ----=+-322228142||14|14|k k k k kk +-==+-．又因为||4||BD k = ，所以1||2d B D =．故以B D 为直径的圆与直线P F 相切．综上得，当直线A P 绕点A 转动时，以B D 为直径的圆与直线P F 相切．………14分 20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意知1(1)m n m a n d =+-．212121[1(1)][1(1)](1)()n n a a n d n d n d d -=+--+-=--，同理，3232(1)()n n a a n d d -=--，4343(1)()n n a a n d d -=--，…， (1)1(1)()n n n nn n a a n d d ---=--．又因为123,,,,n n n nn a a a a 成等差数列，所以2132(1)n n n n nn n n a a a a a a --=-==- . 故21321n n d d d d d d --=-==- ，即{}n d 是公差为21d d -的等差数列．所以，12112(1)()(2)(1)m d d m d d m d m d =+--=-+-．令122,1p m p m =-=-，则1122m d p d p d =+，此时121p p +=． …………4分 （Ⅱ）当121, 3d d ==时，*2 1 ()m d m m =-∈N ．数列{}m d 分组如下：123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d ． 按分组规律，第m 组中有21m -个奇数，所以第1组到第m 组共有2135(21)m m ++++-= 个奇数． 注意到前k 个奇数的和为2135(21)k k ++++-= ， 所以前2m 个奇数的和为224()m m =.即前m 组中所有数之和为4m ，所以44()m c m =．因为0m c >，所以m c m =，从而 *2(21)2()mc m md m m =-⋅∈N ．所以 234112325272(23)2(21)2n nn S n n -=⋅+⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ .23412123252(23)2(21)2n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ .故2341222222222(21)2n n n S n +-=+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅2312(2222)2(21)2n n n +=++++---⋅12(21)22(21)221nn n +-=⨯---⋅-1(32)26n n +=--.所以 1(23)26n n S n +=-+． …………………………………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）得*2 1 ()n d n n =-∈N ，1(23)26n n S n +=-+*()n ∈N .故不等式1(6)50n n S b -> 就是1(23)250(21)n n n +->-．考虑函数1()(23)250(21)n f n n n +=---1(23)(250)100n n +=---．当1,2,3,4,5n =时，都有()0f n <，即1(23)250(21)n n n +-<-．而(6)9(12850)1006020f =--=>，注意到当6n ≥时，()f n 单调递增，故有()0f n >.因此当6n ≥时，1(23)250(21)n n n +->-成立，即1(6)50n n S d ->成立．所以,满足条件的所有正整数5,6,7,,20N = ． …………………………14分。