一般线性规划数学模型
第三章线性规讲义划模型
Min W= Yb
YA - YS= C Y,YS≥0
➢ 若两个互为对偶问题之一有最优解，则另一个必有最优解， 且目标函数值相等(Z*=W*)，最优解满足CX*=Y*b。
第三章 线性规划模型
▪ 线性规划问题的提出 ▪ 线性规划问题的建模 ▪ 典型特征和基本条件 ▪ 一般模型和标准模型 ▪ 线性规划的图解方法 ▪ 影子价格与敏感分析 ▪ 线性规划模型的应用
第三章 线性规划模型
• 对偶问题的提出
某厂生产甲、乙两 种产品，消耗A、B两 种原材料 。生产一件 甲产品可获利2元，生 产乙产品获利3元。问 在 以 下条件下如何安 排生产？
设备 A 设备 B 设备 C 利润（元/件）
产品 产品 产品 产品 甲乙丙丁 1.5 1.0 2.4 1.0 1.0 5.0 1.0 3.5 1.5 3.0 3.5 1.0 5.24 7.30 8.34 4.18
设备能力 （小时）
2000 8000 5000
第三章 线性规划模型
▪ 建立的模型如下：
z=12737.06（元）
▪ 请注意最优解中利润率最高的产品丙在最优生产计 划中不安排生产。说明按产品利润率大小为优先次 序来安排生产计划的方法有很大局限性。尤其当产 品品种很多，设备类型很多的情况下，用手工方法 安排生产计划很难获得满意的结果。另外，变量是 否需要取整也是需要考虑的问题。
第三章 线性规划模型
用线性规划制订使总利润最大的生产计划。
每件产品占用的 产品 产品 产品 产品 设备能力
机时数（小时/件） 甲 乙 丙 丁 （小时）
设备 A
1.5 1.0 2.4 1.0
2000
设备 B
1.0 5.0 1.0 3.5
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型引言线性规划（Linear Programming, LP）是数学规划的一种方法，用于解决一类特殊的优化问题。
线性规划的数学模型可以表示为一个线性的目标函数和一系列线性约束条件。
本文将介绍线性规划的数学模型及其应用。
数学模型线性规划的数学模型可以用以下形式表示：最大化：$$ \\max_{x_1,x_2,...,x_n} Z=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n $$约束条件：$$ \\begin{align*} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n&\\leq b_1 \\\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n &\\leq b_2 \\\\ &\\vdots \\\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n&\\leq b_m \\\\ x_1,x_2,...,x_n &\\geq 0 \\end{align*} $$其中，Z为目标函数的值，Z1,Z2,...,Z Z为目标函数的系数，Z1,Z2,...,Z Z为决策变量，Z ZZ为约束条件的系数，Z1,Z2,...,Z Z为约束条件的右侧常数。
线性规划的应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，其应用领域包括但不限于以下几个方面：生产计划线性规划在生产计划中的应用是最为常见的。
通过建立适当的数学模型，可以最大化生产线的产能，同时满足客户需求和资源限制。
例如，一个工厂需要决定每个月生产的产品数量，以最大化利润。
这个问题可以通过线性规划来解决。
运输问题线性规划在运输问题中的应用也非常广泛。
运输问题涉及到将特定产品从供应地点运送到需求地点，以满足需求并尽量降低运输成本。
线性规划可以用来决定每个供应地点到每个需求地点的运输量，以最小化总运输成本。
资源分配在资源有限的情况下，线性规划可以用于优化资源的分配。
线性规划基本模型
在每次迭代中，单纯形法会根据目标函数的 系数和约束条件，通过一系列的数学运算， 将问题转化为更简单的形式，直到找到最优 解或确定无解。
单纯形法具有简单易懂、易于实现 的特点，是解决线性规划问题最常 用的方法之一。
对偶问题
等式约束
等式约束优化是指在优化问题中包含等式约束的线性规划问题。等式约束通常 表示决策变量之间的关系，满足等式约束是找到最优解的必要条件。
求解算法
对于包含等式约束的线性规划问题，可以采用一些特殊的算法进行求解，如消 元法或拉格朗日乘子法。这些算法能够更高效地处理等式约束，并找到最优解。
05
线性规划的扩展模型
线性规划基本模型
• 线性规划概述 • 线性规划的基本概念 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的优化方法 • 线性规划的扩展模型 • 线性规划的实际应用案例
01
线性规划概述
定义与特点
定义
线性规划是一种数学优化方法，通过 在一定的约束条件下最大化或最小化 一个线性目标函数，来找到一组变量 的最优解。
现状
目前，线性规划已经发展成为一 个成熟的学科分支，有许多成熟 的算法和软件工具可用于解决各 种实际问题。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组
01
线性规划问题通常由一组线性方程组成，这些方程描述了决策
变量之间的关系。
线性方程的解
02
线性方程组可能有多个解，但在线性规划中，我们通常只关心
满足特定约束条件的解。
资源利用
线性规划可以确定最佳的资源利用方案，包括原材料、设备、劳动力等，以最小化生产成本或最大化 利润。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型线性规划是一种数学模型，被广泛应用于许多领域。
本文将介绍线性规划的数学模型的重要性和应用领域，并简要说明线性规划的定义和基本概念。
线性规划是一种优化问题的数学表述，其目的是在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最大或最小的变量值。
线性规划的主要特点是目标函数和约束条件均为线性关系。
线性规划在工程、经济、物流、运输等领域都有广泛的应用。
它可以用来解决资源分配、生产计划、成本最小化、效益最大化等问题。
线性规划的数学模型可以通过建立目标函数和约束条件的数学表达式来表示。
这篇文档将深入探讨线性规划的数学模型，并介绍一些常见的线性规划应用案例。
通过了解线性规划的数学模型，读者可以更好地理解其背后的原理和应用。
希望本文能对读者在研究和实践中解决实际问题时提供帮助和指导。
本文将讨论如何构建线性规划模型，包括确定决策变量、目标函数和约束条件，以及如何将实际问题转化为数学模型。
决策变量在构建线性规划模型时，首先需要确定决策变量。
决策变量是用来表示决策问题中需要决定的未知量。
它们的取值将影响函数的输出结果。
在确定决策变量时，需要考虑问题的具体情况，并确保决策变量具有明确的定义和可行的取值范围。
目标函数确定决策变量后，下一步是确定目标函数。
目标函数是线性规划模型中需要最大化或最小化的函数。
它通常与问题的目标密切相关，并且能够量化问题的目标。
在确定目标函数时，需要考虑问题的特点和要求，确保目标函数能够准确地度量问题的目标。
约束条件除了目标函数，线性规划模型还包括一系列约束条件。
约束条件是对决策变量的限制和要求，用于限定决策变量的取值范围。
约束条件可以是等式或不等式，它们对问题的解产生了限制和约束。
在确定约束条件时，需要将问题的限制条件转化为数学形式，并确保约束条件与实际问题相符合。
实际问题转化为数学模型最后，将实际问题转化为数学模型是构建线性规划模型的关键步骤。
这需要理解问题的要求和限制，并将其转化为决策变量、目标函数和约束条件的数学表达式。
运筹学第1章-线性规划
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
运筹学第二章
例2.4：将以下线性规划问题转化为 标准形式
Max s.t. Z = 3 x1 - 5 x2 + 8 x3 2x1 + 2x2 - x3 = 15.7
4 x1
+ 3x3 = 8.9
x1 + x2 + x3 = 38 x2 , x3 ≥ 0
4.右端项有负值的问题：
在标准形式中，要求右端项 必须每一个分量非负。当某一个 右端项系数为负时，如 bi<0，则 把该等式约束两端同时乘以-1， 得到：
产品甲 设备A 3 产品乙 2 设备能力 （h） 65
设备B
设备C 利润（元/件）
2
0 1500
1
3 2500
40
75
问：如何安排生产计划，才能使制药厂利润最大？
解：设变量 xi为第i种（甲、乙）产品的生 产件数（i＝1，2）。根据前面分析，可 以建立如下的线性规划模型： Max
z = 1500 x1 + 2500 x2
MinZ=∑xi
i=1
X6 +
x1 x1 + x2 x2 + x3 x3 + x4 x4 + x5 x5 + x6
≥ 8 ≥ 12
≥ 10
≥ 8 ≥ 6 ≥ 4
二、线性规划模型的一般形式
目标函数 s.t.
产品对资源的 单位消耗量
利润系数
Max(Min)z=c1x1+c2x2+……+cnxn
a11x1+a12x2+……+a1nxn≥(=、≤)b1 a21x1+a22x2+……+a2nxn≥(=、≤)b2 …… am1x1+am2x2+……+amnxn≥(=、≤)bm
线性规划的数学模型和基本性质
月份 所需仓库面积 合同租借期限 合同期内的租费
1 15 1个月 2800
2 10 2个月 4500
3 20 3个月 6000
4 12 4个月 7300
2．线性规划数学模型
用数学语言描述
例1
项目
I
设备A（h）
0
设备B（h）
6
调试工序（h） 1
利润（元）
2
II
每天可用能力
5
15
2
24
1
5
1
解：用变量x1和x2分别表示美佳公司制造家电I和II的数量。
肯尼斯-J-阿罗（KENNETH J. ARROW）,美国人，因与约翰-希克 斯（JOHN R. HICKS）共同深入研究了经济均衡理论和福利理论获得 1972年诺贝尔经济学奖。
牟顿-米勒（MERTON M. MILLER）,1923-2000, 美国人,由于他在 金融经济学方面做出了开创性工作，于1990年获得诺贝尔经济奖。
1．线性规划介绍
线性规划研究的主要问题： 有一定的人力、财力、资源条件下，如何 合理安排使用，效益最高? 某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省?
2．线性规划数学模型
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各 制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、 B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出 一件时的获利情况如表I—l所示。问该公司应制造A、B两 种家电各多少件，使获取的利润为最大？
2．线性规划数学模型
练习1 生产计划问题
A B 备用资源
煤12
30
劳动日 3 2
60
仓库 0 2
24
利润 40 50
线性规划
线性规划是一类最简单的优化问题，同时也是 具有普遍实际意义的一类优化问题。
线性规划模型的一般形式为：
max(min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
s.t.
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 , , xn 0
约束条件 每套钢架所需的三种长度的元钢数目是相 同的，而100套钢架需要三种长度的元钢都是 100根，因此有
长度为2.9m的元钢数： x1 2 x2 x4 x6 100 长度为2.1m的元钢数：2 x3 2 x4 x5 x6 3 x7 100 长度为1.5m的元钢数：3 x1 x2 2 x3 3 x5 x6 4 x8 100
车床B上的加工台时限制: x1 2 x2 8
车床C上的加工台时限制: 4 x1
车床D上的加工台时限制:
16
4 x2 12
非负条件：x1 , x2 0
第三步——明确目标函数 利润最大： max : z 2 x1 3 x2 该问题的数学模型为：
返回
结束
线性规划
目标函数：
max z 2 x2 3 x2
该问题所涉及的因素以及之间的数量关系可 以用表1-1表示
返回 结束
线性规划
产品 单位产品所需资源 资源
A1 A2 An
可供应的资源量
B1 B2 Bm
单位产品所得利润
a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n a m 1 a m 2j 1
线性规划问题的数学模型
式中所有非基变量的系数均是负数，意味着目标函数值不 可能再增加，故此时的基本可行解就是最优解，最优值为8
2．最优性检验
由标准形等式约束条件得
代入目标函数进行简单的运算后，用非基变量表示目标函数为
某工厂生产A 、B两种产品，现有资源数、生产每单位产品所需原 材料数以及每单位产品可得利润如下表所示。问如何制定生产计划使两 种产品总利润最大？
单位产品
产品
耗用资源
资源
铜（吨）
电力（千瓦）
劳动日（个）
单位利润 （万元/公斤）
A（公斤）
9 4 3 7
B（公斤）
4 5 10 12
现有资源
360 200 300
解 ： x2
例4 若把例3改为使的目标函数的值最 大，从图可看出目标函数无上界，因此 无最优解
X1+2x2=0
X1-x2=1
2X1+2x2=16
x1 0
2X1+2x2=6 2X1+2x2=10
2X1+2x2=2 最优解 X1=1，x2=0, 目标函数最小值 s=2
例5 求x1、x2的值，使它们满足 并且使目标函数s=2 x1+2x2的值最小。
3. 单纯形表
用表格的形式来表示上面求解线性规划问题的单纯形法的计算过程可以 使计算和检验更加简便。具体方法如下：
将目标函数式改写为-f+ c1 x1 + c2 x2 +…+ cnxn =0 且作为等式约束方程 组的第m+1个方程，得
第4章线性规划
f ( X ) 5 x1 4 x 2 4 x1 x 2 60 x1 x 2 24 x1 0 x2 0
(1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5)
例题21： • 首先由(4)，(5)二式（x1≥ 0、x2 ≥ 0）知， 其解
在第一象限所在的范围，所以在画图时将第二、
产品Ⅰ 产品Ⅱ 资源总量
设 备（台时）
原料A（公斤） 原料B（公斤）
1
4 0
2
0 4
8
16 12
利 润（百元）
2
3
线性规划范例
• 例B. 任务分配问题
表2
产品
1 23
2 21
3 19
4 17
某公司拟生产4种产品， 可分配给下属的3个工厂 生产，由于工厂的地理位 置和设备不同，每个工厂 生产每种产品的成本不相 同，加工能力也不相同。 有关数据分别由表2和表3 给出。公司应如何给下属 各工厂分配任务，才能在 保证完成每种产品的任务 的条件下，使得公司所花 费的成本最少？
例 : x2 0 y 0, y x2
对于无限制变量的处理：同时引进两个非负变量， 然后用它们的差代替无限制变量。
例 : x2无限制 x2 y1 y2 y1 , y2 0
例题20： 将下述线性规划问题化为标准形
m i n s .t . f ( X ) x1 2 x 2 3 x 3 2 x1 x 2 x 3 9 3 x1 x 2 2 x 3 4 3 x1 2 x 2 3 x 3 6 x1 0, x 2 0, x 3无限制
含量限制 原 A B C 加工费（元/kg） 料 纱线1 ≥60% 无 ≤20% 1.5 纱线2 ≥15% ≥10% ≤60% 1.2 纱线3 无 无 50% 0.9 （元/kg） 6 4.5 3 （kg/月） 2000 2500 1200 原料成本 原料限量
线性规划数学模型
x 1 x 6 60
x 1 x 2 70
s
.
t
x 2 x 3 60
x 3 x 4 50 x 4 x 5 20
x 5 x 6 30
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 0
此问题最优解：x1＝50， x2＝20， x3＝50， x4＝0， x5＝20， x6＝10，一共需要司机和乘务员150人。
配料问题
原料 化学成分
成分含量(%)
甲
乙
产品成分 最低含量(%)
A
12
3
4
B
2
3
2
C
3
15
5
成本（元/千克） 3
2
z
x1
x2
min z = 3x1+2x2 12 x1 +3x2 ≥ 4 2 x1 +3x2 ≥ 2
s.t. 3 x1+15x2 ≥ 5 x1 +x2 = 1 x1 , x2 ≥ 0
配料平衡条件
14
三、人力资源问题的数学模型
解（参见教材P17）
三、人力资源问题的数学模型
练习： 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内 所需司机和乘务人员人数如下表所示：
班次 1 2 3 4 5 6
时间 6:00——10:00 10:00——14:00 14:00——18:00 18:00——22:00 22:00——2:00 2:00——6:00
8
16 12
线性规划问题的数学模型
解：设x1、x2分别为甲、乙两种产品的产量， 则数学模型为：
max Z = 2x1 + 3x2
2x1 + 2x2 ≤ 12
线性规划模型
（1）模型中常数数据不精确
（2）模型中常数数据可能发生变化
价值变动
min z cx s.t. Ax b x0
11/43
资源总量变动
敏感性分析
max z 60d 30t 20c 8d + 6t + c <=48 4d + 2t + 1.5c <= 20 d + 1.5t + 0.5c <=8 t <= 5
mn
满足约束条件的解称为可行解，所有可行解的集合 称为可行域 ，满足最优目标的解称为最优解 决策变量为整数时，称为整数线性规划
决策变量取0或1时，称为0-1线性规划
7/43
线性规划问题的解
线性规划问题的可行域是一个凸多边形；
线性规划问题如果存在最优解，则最优解必在可行域的
顶点处达到。
单纯形法:
约束条件右端变化一个单位时目标函数变化量，只对紧约 决策变量改变一个单位时目标函数的改变量，只有非基变 量有值 束有值
12/43
敏感性分析
Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Coefficient Increase Decrease 60.00000 0.0 8.000000 30.00000 60.00000 0.0 20.00000 2.500000 INFINITY Righthand Side Ranges Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 48.00000 INFINITY 2.000000 20.00000 1.333333 8.000000 8.000000 1.000000 3.000000 5.000000 INFINITY 2.000000
运筹学讲义第1章
(2) 和式： max z= cjxj
j=1
n
s.t.
aijxj≤bi （i=1,2,……,m)
j=1
n
xj≥ 0
（j=1,2,……,n)
其中：cj---------表示目标函数系数 aij---------表示约束条件系数 bi ---------表示约束右端项
2007/08
-7-
---第 1 章 线性规划---
起迄时间 2----6 时 6---10 时 10--14 时 14--18 时 18--22 时 22---2 时
2007/08
服务员人数 4 8 10 7 12 4
-18-
---第 1 章 线性规划---
建立线性规划模型要求：
（1）要求决策的量是连续的、可控的量，或 者是可以简化为连续取值的变量；
1
n
xj≥0
（j=1,2,……,n)
（1）可行解：满足所有约束方程和变量符号限制条件的一组变量的 取值。 （2）可行域：全部可行解的集合称为可行域。 （3）最优解：使目标函数达到最优值的可行解。
2007/08 -20-
---第 1 章 线性规划---
（4）基：设A为线性规划模型约束条件系数矩阵（m n，m<n）， 而B为其mm子矩阵，若|B|≠0，则称B为该线性规划模型的一个基。
可行解：X=(0，0)T，X=(0，1)T，X=(1/2，1/3)T 等。 x3 x4 ——基变量 x x x x
1 2 3 4
设
A=
1 1
1 2
1
0
0
1
，令 B=
1
0
0
1
，则 | B |=1≠0,
第一 线性规划(共188张PPT)
x1 ≥0， x2 ≥0
• 综上所述，该问题的数学模型表示为
maxZ= 3x1 +5 x2
x1
≤8
2x2 ≤12
3x1 +4 x2 ≤36
x1 ≥0, x2 ≥0
5
第一节 线性规划一般模型
• 例2. 运输问题 某名牌饮料在国内有三个生产厂，分布在城市A1、 A2、A3,其一级承销商有4个，分布在城市B1、B2、B3、 B4，已知各厂的产量、各承销商的销售量及从Ai到Bj 的每吨饮料运费为Cij，为发挥集团优势，公司要统 一筹划运销问题，求运费最小的调运方案。
(3)约束条件。产量之和等于销量之和,故要满足：
▪ 供应平衡条件
x11+x12+x13+x14=5 x21+x22+x23+x24=2 x31+x32+x33+x34 =3
§ 销售平衡条件
x11+x21+x31=2 x12+x22+x32=3 x13+x23+x33=1 x14+x24+x34=4
§ 非负性约束
29
第三节 线性规划的标准型
§ 标准化2
minZ= x1 +2 (x2′-x 2〃) +3 x3′
函数。可能是最大化，也可能是最小化。 • 线性规划一般模型的代数式 为：
max(min)Z=c1x1+c2x2+…+cnxn a11x1+a12x2+…+a1nxn ≤(≥,＝)b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn ≤(≥,＝)b2 …………… am1x1+am2x2+…+amnxn≤(≥,＝)bm x1,x2,…,xn ≥(≤)0
一、一般线性规划问题的数学模型
第一章线性规划及单纯形法1、一般线性规划问题的数学模型问题的提出在生产管理的经营活动中，通常需要对“有限的资源”寻求“最佳”的利用或分配方式。
任何资源，如劳动力、原材料、设备或资金等都是有限的。
因此，必须进行合理的配置，寻求最佳的利用方式。
由此可以把有限资源的合理配置归纳为两类问题：一类是如何合理地使用有限的资源，使生产经营的效益达到最大；另一类是在生产或经营的任务确定的条件下如何合理地组织生产，安排经营活动，使所消耗的资源数最少。
这是最常见的两类规划问题。
与规划问题有关的数学模型由两部分组成：一部分是约束条件，反映了有限资源对生产经营活动的种种约束，或者生产经营必须完成的任务，另一部分是目标函数，反映生产经营在有限资源条件下希望达到的生产或经营的目标。
例1 常山机器厂生产甲、乙两种产品。
这两种产品都要分别在A、B、C三种不同设备上加工。
按工艺材料规定，生产每件产品甲需占用各设备分别为2小时、4小时、0小时，生产每件产品乙需占用各设备分别为2小时、0小时、5小时。
已知各设备计划期内用于生产这两种产品的能力分别为12小时、16小时、15小时，又知每生产一件甲产品企业能获得2元利润，每生产一件乙产品企业能获得3元利润，问该企业应安排生产两种产品各多少件，使总的利润收入为最大？解：为更加直观理解题意，把上述问题转化为如下表格假定用x1和x2分别表示甲、乙两种产品在计划期内的产量。
因设备A在计划期内的可用时间为12小时，不允许超过，于是有2x1+2x2≤12。
对设备B、C也可列出类似的不等式：4x1≤16，5x2≤15。
企业的目标实在各种设备能力允许的条件下，使总的利润收入z=2x1+3x2为最大。
所以可归结为：约束于s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+0,1551641222212121x x x x x x 使 z=2x 1+3x 2→max这是一个将生产安排问题抽象为在满足一组约束条件的限制下，寻求变量xl 和x2的决策值，使目标函数达到最大值的数学规划问题。
线性规划模型
线性规划模型线性规划（Linear Programming，LP）是一种用于求解线性优化问题的数学建模方法。
线性规划模型是在一组线性约束条件下，通过线性目标函数来寻找最优解的数学模型。
其基本形式如下：最大化或最小化：Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + cₙxₙ（目标函数）约束条件为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ ≤ b₂…aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + … + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, …, xₙ ≥ 0其中，c₁, c₂, …, cₙ为目标函数中各项的系数；a₁₁,a₁₂, …, aₙₙ为约束条件中各项的系数；b₁, b₂, …, bₙ为约束条件中的常数项；x₁, x₂, …, xₙ为决策变量。
线性规划模型的求解过程分为以下几个步骤：1. 建立数学模型：根据问题的描述，确定决策变量，确定最优化目标，建立目标函数和约束条件。
2. 确定可行解区域：根据约束条件，画出约束条件所确定的可行解区域。
3. 求解最优解：在可行解区域内寻找目标函数最大化或最小化的解。
常用的求解方法有单纯形法和对偶单纯形法。
4. 解释结果：根据最优解，给出对决策变量和目标函数的解释，进一步分析结果的意义。
线性规划模型适用于许多实际问题的求解，如生产计划、资源分配、物流调度等。
通过构建适当的数学模型，可以帮助管理者做出理性决策，最大化或最小化目标函数。
然而，线性规划模型也有其局限性。
首先，线性规划只能处理线性约束条件和线性目标函数，对于非线性问题无法求解。
其次，线性规划假设决策变量是连续的，对于离散的决策问题，线性规划无法适用。
此外，线性规划模型还需要求解算法的支持，对于复杂问题需要较高的计算资源。
总之，线性规划模型是一种常用的数学建模方法，通过线性约束条件和线性目标函数，求解最优解，帮助解决实际问题。
但线性规划模型也有其适用范围和局限性，需要根据具体问题来选择合适的求解方法。
第01-03章线性规划(1)
s.t.
x1+x2+x3≤7
x1-x2+x3≥2
-3x1+x2+2x3＝5
x1，x2≥0
24
(3)
Min z = -3 x1 + 5 x2 + 8 x3 - 7 x4 s.t. 2 x1 - 3 x2 + 5 x3 + 6 x4 ≤ 28 4 x1 + 2 x2 + 3 x3 - 9 x4 ≥ 39 6 x2 + 2 x3 + 3 x4 ≤ - 58 x1 , x3 , x4 ≥ 0 解：首先，将目标函数转换成极大化： 令 z’ = -z = 3x1–5x2–8x3+7x4 ； 其次考虑约束，有3个不等式约束，引进松弛变 量x5 ,x6 ,x7 ≥0 ； 由于x2无非负限制，可令x2=x2’-x2”,其中x2’≥0 ， x2”≥0 ； 由于第3个约束右端项系数为-58，于是把该式两 端乘以-1 。 25
矩阵，一般有0<m<n
A=[aij]m×n i=1,2,..,m;j=1,2,…,n是约束条件方程的系数
X=(x1,x2,…,xn)T b= (b1,b2,…,bn)T
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二、标准形式
1.标准型的描写形式
繁写形式
Max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 . . . am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm x1 ，x2 ，… ，xn
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一般线性规划问题1. 线性规划的条件：① 决策变量有没有---------------------必须有 ② 目标函数和约束条件是不是决策变量的线性表达式------------------必须是③ 决策变量非负条件是否满足-------------必须满足④ 目标函数是否表现出极大化或极小化------必须表现2. 线性规划的表达式 目标函数：x c x c x c n n z Max Min +•••++=2211)(约束条件：b xa x a x a nn11212111)(≤≥+•••++ b x a x a x a nn22222121)(≤≥+•••++ b xa x a x a nn33223131)(≤≥+•••++..............b xa x a x a n nnnn )(221n1≤≥+•••++非负性约束：0,,0,021≥•••≥≥x xx n问题重述某储蓄所每天的营业时间是上午9时到下午5时。
根据经验，每天不同时间段所需要的服务员数量如表17所示。
储蓄所可以雇用全时和半时两类服务员。
全时服务员每天报酬100元，从上午9时到下午5时工作，但中午12时到下午2时之间必须安排1h 的午餐时间。
储蓄所每天可以雇用不超过3名的半时服务员，每个半小时服务员必须连续工作4h ，报酬40元。
（1）问该储蓄所应如何雇用全时和半时两类服务员。
（2）如果不能雇用半时服务员，每天至少增加多少费用。
（3）如果雇用半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用？表16 每天不同时间段所需要的服务员数量附表为储蓄所每天每个时段所需的服务员数量，建立数学模型，解决如下问题：对储蓄所的雇用选择数学模型进行分析，特别说明怎么样建立一个能够说明全时服务员雇用人数、半时服务员雇用人数及储蓄所支付工资最少的方案，并阐明这样建立模型的理由。
基本假设（1）服务员在工作期间，无因事而有请假、半退等情况；（2）在12-14时间段，全时服务员能够做到分段休息的安排，以保证储蓄所在这个时间段的营业；（3）每个服务员都具备着良好的服务能力，保证每个人做到各司其职，效率良好。
【符号约定】：储蓄所支付服务员最小工资数；x1：12-13时间段全时服务员仍在工作的人数；x2：13-14时间段全时服务员仍在工作的人数；y1：9点半时服务员开始工作的人数；y2：10点半时服务员开始工作的人数；y3：11点半时服务员开始工作的人数；y4：12点半时服务员开始工作的人数；y5：13点半时服务员开始工作的人数；问题分析问题提出要说明全时服务员要雇用多少人，半时服务员又要雇用多少人，在满足储蓄所日常正常经营下，使得储蓄所支付最少服务员的工资，使自己有最大的净利润。
因此在此问题上，我们建立起数学中最常见的线性规划的模型，并利用MATLAB或者LINGO等数学软件，帮助我们快速解题。
我们在数学模型搭建过程中，假设剔除掉影响变量的不可控因素，比如，在工作期间，某服务员由于家里出事，急忙请假等，这些不可控因素直接导致整个模型架难以搭起，所以进行合理化假设。
这样，我们整个线性规划模型搭建起来。
模型的建立与求解问题一根据每天不同时间段所需要的服务员数量，列出所有变量的不等式关系。
=100*x1+100*x2+40*y1+40*y2+40*y3+40*y4+40*y5;x1+x2+y1≥4;x1+x2+y1+y2≥3;x1+x2+y1+y2+y3≥4;x1+y1+y2+y3+y4≥6;x2+y2+y3+y4+y5≥5;x1+x2+y3+y4+y5≥6;x1+x2+y4+y5≥8;x1+x2+y5≥8;y1+y2+y3+y4+y5≤3;从而将实际问题模型转化成数学中求解线性规划问题的模型。
通过MATLAB 软件中的linprog函数，求出使储蓄所获得最大净利润时所有变量的值(由于解决的是实际问题，所以求出的变量值(人数)必须是整数，所以用linprog函数时需要改成整形函数，即intlinprog)。
从而得到招聘的一种方案。
即12-13时间段全时服务员仍在工作的人数x1为4人；13-14时间段全时服务员仍在工作的人数x2为3人；9点半时服务员开始工作的人数y1为0人；10点半时服务员开始工作的人数y2为0人；11点半时服务员开始工作的人数y3为2人；12点半时服务员开始工作的人数y4为0人；13点半时服务员开始工作的人数y5为1人。
所以这种方案储蓄所的每天总花费为820元。
或者通过LINGO软件进行不等式求解，得到另一种招聘方案：12-13时间段全时服务员仍在工作的人数x1为4人；13-14时间段全时服务员仍在工作的人数x2为3人；9点半时服务员开始工作的人数y1为0人；10点半时服务员开始工作的人数y2为2人；11点半时服务员开始工作的人数y3为0人；12点半时服务员开始工作的人数y4为0人；13点半时服务员开始工作的人数y5为1人。
这种方案储蓄所的每天总花费也为820元。
（2）问题二问题二的处理方式和问题一一样。
首先列出变量的关系式：min=100*x1+100*x2+40*y1+40*y2+40*y3+40*y4+40*y5;x1+x2+y1≥4;x1+x2+y1+y2≥3;x1+x2+y1+y2+y3≥4;x1+y1+y2+y3+y4≥6;x2+y2+y3+y4+y5≥5;x1+x2+y3+y4+y5≥6;x1+x2+y4+y5≥8;x1+x2+y5≥8;y1=0;y2=0;y3=0;y4=0;y5=0;利用MATLAB软件中的linprog函数进行处理。
得到不能雇用半时服务员的雇用的最佳方案。
即12-13时间段全时服务员仍在工作的人数x1为6人；13-14时间段全时服务员仍在工作的人数x2为5人；9点半时服务员开始工作的人数y1为0人；10点半时服务员开始工作的人数y2为0人；11点半时服务员开始工作的人数y3为0人；12点半时服务员开始工作的人数y4为0人；13点半时服务员开始工作的人数y5为0人。
此时储蓄所每天所需付给服务员的总金额为1100元，所以每天增加了280元的开支。
或者利用LINGO软件对关系式进行处理，得到的雇用方案和上述方案相同。
（3）问题三利用与问题一、问题二相同的方法，列出关系式：min=100*x1+100*x2+40*y1+40*y2+40*y3+40*y4+40*y5;x1+x2+y1≥4;x1+x2+y1+y2≥3;x1+x2+y1+y2+y3≥4;x1+y1+y2+y3+y4≥6;x2+y2+y3+y4+y5≥5;x1+x2+y3+y4+y5≥6;x1+x2+y4+y5≥8;x1+x2+y5≥8;利用MATLAB软件中的linprog函数进行处理。
得到雇用半时服务员的数量没有限制时的最佳雇佣方案：12-13时间段全时服务员仍在工作的人数x1为0人；13-14时间段全时服务员仍在工作的人数x2为0人；9点半时服务员开始工作的人数y1为4人；10点半时服务员开始工作的人数y2为0人；11点半时服务员开始工作的人数y3为2人；12点半时服务员开始工作的人数y4为0人；13点半时服务员开始工作的人数y5为8人。
此时储蓄所每天所需付给服务员的总金额为540元，减少了280元的开支。
同理利用LINGO软件对关系式进行处理得到另一种雇用方法：12-13时间段全时服务员仍在工作的人数x1为0人；13-14时间段全时服务员仍在工作的人数x2为0人；9点半时服务员开始工作的人数y1为6人；10点半时服务员开始工作的人数y2为0人；11点半时服务员开始工作的人数y3为0人；12点半时服务员开始工作的人数y4为0人；13点半时服务员开始工作的人数y5为8人。
此时储蓄所每天所需付给服务员的总金额为540元，也减少了280元的开支。
Matlab代码：【1】f=[100;100;40;40;40;40;40]A=[1 1 1 0 0 0 0;1 1 1 1 0 0 0;1 1 1 1 1 0 0;1 0 1 1 1 1 0;0 1 0 1 1 1 1;1 1 0 0 1 1 1;1 1 0 0 0 1 1;1 1 0 0 0 0 1;0 0 -1 -1 -1 -1 -1]B=[4;3;4;6;5;6;8;8;-3]lb=zeros(7,1)[x,fval]=intlinprog(f,[1,2],-A,-B,[],[],lb)【2】f=[100;100]A=[1 1;1 1;1 1;1 0;0 1;1 1;1 1;1 1]B=[4;3;4;6;5;6;8;8]lb=zeros(2,1)[x,fval]=intlinprog(f,[1,2],-A,-B,[],[],lb)【3】f=[100;100;40;40;40;40;40]A=[1 1 1 0 0 0 0;1 1 1 1 0 0 0;1 1 1 1 1 0 0;1 0 1 1 1 1 0;0 1 0 1 1 1 1;1 1 0 0 1 1 1;1 1 0 0 0 1 1;1 1 0 0 0 0 1]B=[4;3;4;6;5;6;8;8]lb=zeros(7,1)[x,fval]=intlinprog(f,[1,2],-A,-B,[],[],lb)Lingo代码：model1:min=100*x1+100*x2+40*y1+40*y2+40*y3+40*y4+40*y5;x1+x2+y1>=4;x1+x2+y1+y2>=3;x1+x2+y1+y2+y3>=4;x1+y1+y2+y3+y4>=6;x2+y2+y3+y4+y5>=5;x1+x2+y3+y4+y5>=6;x1+x2+y4+y5>=8;x1+x2+y5>=8;y1+y2+y3+y4+y5<=3;@gin(x1);@gin(x2);@gin(y1);@gin(y2);@gin(y3);@gin(y4);@gin(y5);endmodel2:min=100*x1+100*x2+40*y1+40*y2+40*y3+40*y4+40*y5; x1+x2+y1>=4;x1+x2+y1+y2>=3;x1+x2+y1+y2+y3>=4;x1+y1+y2+y3+y4>=6;x2+y2+y3+y4+y5>=5;x1+x2+y3+y4+y5>=6;x1+x2+y4+y5>=8;x1+x2+y5>=8;y1=0;y2=0;y3=0;y4=0;y5=0;@gin(x1);@gin(x2);@gin(y1);@gin(y2);@gin(y3);@gin(y4);@gin(y5);endmodel3:min=100*x1+100*x2+40*y1+40*y2+40*y3+40*y4+40*y5; x1+x2+y1>=4;x1+x2+y1+y2>=3;x1+x2+y1+y2+y3>=4;x1+y1+y2+y3+y4>=6;x2+y2+y3+y4+y5>=5;x1+x2+y3+y4+y5>=6;x1+x2+y4+y5>=8;x1+x2+y5>=8;@gin(x1);@gin(x2);@gin(y1);@gin(y2);@gin(y3);@gin(y4);@gin(y5);end。