一般线性规划数学模型

一般线性规划问题

1. 线性规划的条件：

① 决策变量有没有---------------------必须有 ② 目标函数和约束条件是不是决策变量的线性表达式------------------必须是

③ 决策变量非负条件是否满足-------------必须满足

④ 目标函数是否表现出极大化或极小化------必须表现

2. 线性规划的表达式 目标函数：

x c x c x c n n z Max Min +•••++=2211)(

约束条件：

b x

a x a x a n

n

112

12

1

11

)(≤≥+•••++ b x a x a x a n

n

222

2

21

21

)(≤≥+•••++ b x

a x a x a n

n

332

2

31

31

)(≤≥+•••++

..............

b x

a x a x a n n

nn

n )(2

2

1

n1

≤≥+•••++

非负性约束：

0,,0,02

1

≥•••≥≥x x

x n

问题重述

某储蓄所每天的营业时间是上午9时到下午5时。根据经验，每天不同时间段所需要的服务员数量如表17所示。储蓄所可以雇用全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬100元，从上午9时到下午5时工作，但中午12时到下午2时之间必须安排1h 的午餐时间。储蓄所每天可以雇用不超过3名的半时服务员，每个半小时服务员必须连续工作4h ，报酬40元。（1）问该储蓄所应如何雇用全时和半时两类服务员。（2）如果不能雇用半时服务员，每天至少增加多少费用。（3）如果雇用半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用？

表16 每天不同时间段所需要的服务员数量

附表为储蓄所每天每个时段所需的服务员数量，建立数学模型，解决如下问题：

对储蓄所的雇用选择数学模型进行分析，特别说明怎么样建立一个能够说明全时服务员雇用人数、半时服务员雇用人数及储蓄所支付工资最少的方案，并阐明这样建立模型的理由。

基本假设

（1）服务员在工作期间，无因事而有请假、半退等情况；

（2）在12-14时间段，全时服务员能够做到分段休息的安排，以保证储蓄所在这个时间段的营业；

（3）每个服务员都具备着良好的服务能力，保证每个人做到各司其职，效率良好。

【符号约定】

：储蓄所支付服务员最小工资数；

x1：12-13时间段全时服务员仍在工作的人数；

x2：13-14时间段全时服务员仍在工作的人数；

y1：9点半时服务员开始工作的人数；

y2：10点半时服务员开始工作的人数；

y3：11点半时服务员开始工作的人数；

y4：12点半时服务员开始工作的人数；

y5：13点半时服务员开始工作的人数；

问题分析

问题提出要说明全时服务员要雇用多少人，半时服务员又要雇用多少人，在满足储蓄所日常正常经营下，使得储蓄所支付最少服务员的工资，使自己有最大的净利润。因此在此问题上，我们建立起数学中最常见的线性规划的模型，并利用MATLAB或者LINGO等数学软件，帮助我们快速解题。我们在数学模型搭建过程中，假设剔除掉影响变量的不可控因素，比如，在工作期间，某服务员由于家里出事，急忙请假等，这些不可控因素直接导致整个模型架难以搭起，所以进行合理化假设。这样，我们整个线性规划模型搭建起来。

模型的建立与求解

问题一

根据每天不同时间段所需要的服务员数量，列出所有变量的不等式关系。

=100*x1+100*x2+40*y1+40*y2+40*y3+40*y4+40*y5;

x1+x2+y1≥4;

x1+x2+y1+y2≥3;

x1+x2+y1+y2+y3≥4;

x1+y1+y2+y3+y4≥6;

x2+y2+y3+y4+y5≥5;

x1+x2+y3+y4+y5≥6;

x1+x2+y4+y5≥8;

x1+x2+y5≥8;

y1+y2+y3+y4+y5≤3;

从而将实际问题模型转化成数学中求解线性规划问题的模型。通过MATLAB 软件中的linprog函数，求出使储蓄所获得最大净利润时所有变量的值(由于解决的是实际问题，所以求出的变量值(人数)必须是整数，所以用linprog函数时需要改成整形函数，即intlinprog)。从而得到招聘的一种方案。即

12-13时间段全时服务员仍在工作的人数x1为4人；

13-14时间段全时服务员仍在工作的人数x2为3人；

9点半时服务员开始工作的人数y1为0人；

10点半时服务员开始工作的人数y2为0人；

11点半时服务员开始工作的人数y3为2人；

12点半时服务员开始工作的人数y4为0人；

13点半时服务员开始工作的人数y5为1人。

所以这种方案储蓄所的每天总花费为820元。

或者通过LINGO软件进行不等式求解，得到另一种招聘方案：12-13时间段全时服务员仍在工作的人数x1为4人；

13-14时间段全时服务员仍在工作的人数x2为3人；

9点半时服务员开始工作的人数y1为0人；

10点半时服务员开始工作的人数y2为2人；

11点半时服务员开始工作的人数y3为0人；

12点半时服务员开始工作的人数y4为0人；

13点半时服务员开始工作的人数y5为1人。

这种方案储蓄所的每天总花费也为820元。

（2）问题二

问题二的处理方式和问题一一样。首先列出变量的关系式：

min=100*x1+100*x2+40*y1+40*y2+40*y3+40*y4+40*y5;

x1+x2+y1≥4;

x1+x2+y1+y2≥3;

x1+x2+y1+y2+y3≥4;

x1+y1+y2+y3+y4≥6;