高考数学经典常考题型第9专题 零点存在的判定与证明

第9专题训练 零点存在的判定与证明

一、基础知识:

1、函数的零点:一般的,对于函数()y f x =,我们把方程()0f x =的实数根0x 叫作函数

()y f x =的零点。

2、零点存在性定理:如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线,并且有

()()0f a f b ⋅<,那么函数()y f x =在区间(),a b 内必有零点,即()0,x a b ∃∈,使得()00f x =

注:零点存在性定理使用的前提是()f x 在区间[],a b 连续,如果()f x 是分段的,那么零点不一定存在

3、函数单调性对零点个数的影响:如果一个连续函数是单调函数,那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前,可尝试判断函数是否单调

4、几个“不一定”与“一定”(假设()f x 在区间(),a b 连续)

(1)若()()0f a f b ⋅<,则()f x “一定”存在零点,但“不一定”只有一个零点。要分析()f x 的性质与图像,如果()f x 单调,则“一定”只有一个零点

(2)若()()0f a f b ⋅>,则()f x “不一定”存在零点,也“不一定”没有零点。如果()f x 单调,那么“一定”没有零点

(3)如果()f x 在区间(),a b 中存在零点,则()()f a f b ⋅的符号是“不确定”的,受函数性质与图像影响。如果()f x 单调,则()()f a f b ⋅一定小于0

5、零点与单调性配合可确定函数的符号:()f x 是一个在(),a b 单增连续函数,0x x =是()f x 的零点,且()0,x a b ∈,则()0,x a x ∈时,()0f x <；()0,x x b ∈时,()0f x >

6、判断函数单调性的方法: (1)可直接判断的几个结论:

① 若()(),f x g x 为增(减)函数,则()()f x g x +也为增(减)函数

② 若()f x 为增函数,则()f x -为减函数；同样,若()f x 为减函数,则()f x -为增函数

③ 若()(),f x g x 为增函数,且()(),0f x g x >,则()()f x g x ⋅为增函数

(2)复合函数单调性:判断()()

y f g x =的单调性可分别判断()t g x =与()y f t =的单调性(注意要利用x 的范围求出t 的范围),若()t g x =,()y f t =均为增函数或均为减函数,则

()()y f g x =单调递增；若()t g x =,()y f t =一增一减,则()()y f g x =单调递减(此规律

可简记为“同增异减”)

(3)利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像 7、证明零点存在的步骤:

(1)将所证等式中的所有项移至等号一侧,以便于构造函数

(2)判断是否要对表达式进行合理变形,然后将表达式设为函数()f x (3)分析函数()f x 的性质,并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间 (4)利用零点存在性定理证明零点存在

例1:函数()23x

f x e x =+-的零点所在的一个区间是( )

A.1,02

⎛⎫- ⎪⎝⎭

B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭

C. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭

D. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭

思路:函数()f x 为增函数,所以只需代入每个选项区间的端点,判断函数值是否异号即可

解:1

2112340

22f e -⎛⎫⎛⎫

-=+⋅--=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

,()020f =-<

11

232022

f ⎛⎫=

+⋅

-=< ⎪⎝⎭

()12310f e e =+-=-> ()1102f f ⎛⎫∴⋅< ⎪⎝⎭ 01,12x ⎛⎫

∴∈ ⎪⎝⎭

,使得()00f x =

答案:C

例2:函数()()ln 1f x x x =-+的零点所在的大致区间是( )

A.31,2⎛⎫

⎪⎝⎭ B. 3,22

⎛⎫ ⎪⎝⎭

C. ()2,e

D. (),e +∞ 思路:先能判断出()f x 为增函数,然后利用零点存在性判定定理,只需验证选项中区间端点函

数值的符号即可。1x →时,()ln 1x -→-∞,从而()f x ⇒-∞,313

ln

0222

f ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭

,所以031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

,使得()00f x = 答案:A

小专题训练有话说:(1)本题在处理1x →时,是利用对数的性质得到其()ln 1x -的一个趋势,从而确定符号。那么处理零点问题遇到无法计算的点时也要善于估计函数值的取向。 (2)本题在估计出1x →时,()ln 1x -→-∞后,也可举一个具体的函数值为负数的例子来说明,比如()1

1.1 1.1ln 010

f =+<。正是在已分析清楚函数趋势的前提下,才能保证快速找到合适的例子。

例3:(2010,浙江)已知0x 是函数()1

21x

f x x

=+

-的一个零点,若()()10201,,,x x x x ∈∈+∞,则( )

A. ()()120,0f x f x <<

B. ()()120,0f x f x <>

C. ()()120,0f x f x ><

D. ()()120,0f x f x >>

思路:条件给出了()f x 的零点,且可以分析出()f x 在()1,+∞为连续的增函数,所以结合函数性质可得()()()()10200,0f x f x f x f x <=>= 答案:B

例4:已知函数()()log 0,1a f x x x b a a =+->≠,当234a b <<<<时,函数()f x 的零点()0,1,x n n n N *

∈+∈,则n =________

思路:由a 的范围和()f x 解析式可判断出()f x 为增函数,所以0x 是唯一的零点。考虑

()3log 33log 334log 310a a a f b =+->+-=-

>,

()2log 22log 223log 210a a a f b =+-<+-=-<,所以()02,3x ∈,从而2n =

答案:2n = 例5:定义方程()()'f

x f x =的实数根

0x 叫做函数()f x 的“新驻点”,若

()()()()3,ln 1,1g x x h x x x x ϕ==+=-的“新驻点”分别为,,αβγ,则( )