2020高考数学导数中的证明与探索性问题考点考题突破(4页)
2020年高考数学之冲破压轴题讲与练 专题14 圆锥曲线中的探索性问题(解析版)
第三章 解析几何专题14 圆锥曲线中的探索性问题【压轴综述】纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解存在性和探索性问题等. 1. 探究性问题求解的思路及策略(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在． (2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有什么差别． 2.解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立.（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去. （3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解.【压轴典例】例1.（2019·湖北高三开学考试（文））设O 为坐标原点，动点M 在椭圆E :22142x y +=上，过点M 作x轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP =u u u vu u u v.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设()1,0A ，在x 轴上是否存在一定点B ，使2BP AP =总成立？若存在，求出B 点坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1) 224x y +=； (2) 存在点()4,0B 满足条件.【解析】（1）设(),P x y ，()11,M x y ，则()1,0N xM Q 在椭圆E 上 2211142x y ∴+=…① 由2NP NM =u u u v u u u u v 知：112x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，即：112x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入①得：224x y +=即点P 的轨迹方程为：224x y +=…② （2）假设存在点(),0B m 满足条件，设(),P x y 由2BP AP =得：()()222221x m y x y -+=-+即：()22233284x y m x m ++-=-此方程与(1)中②表示同一方程，故：2280412m m -=⎧⎨-=⎩，解得：4m =∴存在点()4,0B 满足条件例2.（江西省新余市第四中学2019届10月月考）已知为椭圆的右焦点，点在上，且轴.（1）求的方程； （2）过的直线交于两点，交直线于点．判定直线的斜率是否构成等差数列？请说明理由.【答案】(1) ；(2) 直线的斜率成等差数列【解析】(Ⅰ) 因为点在上，且轴，所以．设椭圆左焦点为，则，．中，，所以．所以，．又，故椭圆的方程为.(Ⅱ) 由题意可设直线的方程为，令得，的坐标为．由得，．设，，则有，…①．记直线的斜率分别为，从而，，．因为直线的方程为，所以，所以…②．①代入②得，又，所以，故直线的斜率成等差数列例3.（广东省华南师范大学附属中学2019届高三上第二次月考）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）过点任作一条直线，与椭圆交于不同于点的，两点，与直线交于点，记直线、、的斜率分别为、、．试探究与的关系，并证明你的结论．【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）因为椭圆的离心率为，所以，因为，所以．故可设椭圆的方程为：，因为点在椭圆上，所以将其代入椭圆的方程得．所以椭圆的方程为．（2）依题意，直线不可能与轴垂直，故可设直线的方程为：，即，，为与椭圆的两个交点．将代入方程化简得：．所以，．所以．又由，解得，，即点的坐标为，所以．因此，与的关系为：.例4.（2019·云南师大附中高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>6，短袖长为4.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）设直线l 过点（2,0）且与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ，直线6x =与x 轴交于点D ,E 是直线6x =上异于D 的任意一点，当0AE DE ⋅=u u u r u u u r时，直线BE 是否恒过x 轴上的定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.【答案】（1）221124x y +=（2）直线BE 恒过x 轴上的定点(4,0)，详见解析【解析】（1）由题意得22262c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩.解得3,2a b ==，所以椭圆C 的标准方程为221124x y +=（2）直线BE 恒过x 轴上的定点(4,0) 证明如下：因为0AE DE ⋅=u u u r u u u r.所以AE DE ⊥，因为直线l 过点(2,0)①当直线l 的斜率不存在时，则直线l 的方程为2x =，不妨设26262,,2,,.33A B ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭则266,3E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭此时，直线BE 的方程为64)y x =-， 所以直线BE 过定点(4,0)；②直线l 的斜率存在且不为零时，设直线l 的方程为2(0)x my m =+≠，()()1122,,,A x y B x y ，所以()16,E y .直线2112:(6)6y y BE y y x x --=--，令0y =，得()122166y x x y y --=-- 即1212166y x y x y y -+=+-，又222x my =+所以()12121266y my y x y y -++=+-即证()121212664y my y y y -+++=-即证()()121220*y y my y +-=联立2211242x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消x 得()223480m y my ++-=，因为点(2,0)在C 内，所以直线l 与C 恒有两个交点，由韦达定理得，12122248,33my y y y m m +=-=-++代入（*）中得()121222882033m my y my y m m -+-=--=++ 所以直线BE 过定点(4,0)，综上所述，直线BE 恒过x 轴上的定点(4,0).例5.（2019·湖南衡阳市八中高三月考（理））已知椭圆22:14x C y +=的左右顶点为A ，B ，点P ，Q 为椭圆上异于A ，B 的两点，直线AP 与直线BQ 的斜率分别记为12,k k ，且214k k =． （Ⅰ）求证：BP BQ ⊥；（Ⅱ）设APQ ∆，BPQ ∆的面积分别为1S ，2S ，判断12S S 是否为定值，若是求出这个定值，若不是请说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）12S S 为定值4，详见解析【解析】（Ⅰ）设()11,P x y ，∵(2,0),(2,0)A B -， 则21112111224AP BPy y y k k x x x ⋅=⋅=+--， 又221114x y +=，则221114x y =-，代入上式，得14AP BP k k ⋅=-,由已知：14AP BQ k k =，则1144AP BP BQ BP k k k k ⋅=-=⋅， 从而1BO BP k k ⋅=-，即BP BQ ⊥． （Ⅱ）设直线PQ 的方程为：y kx b =+，联立得：22222(14)84(1)044y kx bk x kbx b x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩， 由22041k b >⇒+>V ，由韦达定理：122814kb x x k +=-+，21224(1)14b x x k -=+，由（1）BP BQ ⊥，则0BP BQ ⋅=u u u r u u u r，则()()()()()()12121212220220x x y y x x kx b kx b --+=⇒--+++=， 即：221212(1)(2)()40k x x kb x x b ++-+++=， 所以：22121650k kb b ++=， 得：12k b =-或56k b =-， 当12k b =-时，直线1:(1)2PQ y b x =-+，不合题意， 当56k b =-时，直线5:(1)6PQ y b x =-+，过定点6(,0)5M ，又1211||||2S AM y y =-，2211||2||S MB y y =-，则126(2)||546||25S AM S MB --===-，为定值．例6.（2019·天津高三开学考试）已知椭圆()222210y x a b a b +=>>2，以椭圆的上焦点F 为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线40x y +-=截得的弦长为2（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆左顶点做两条互相垂直的直线1l ，2l ，且分别交椭圆于M ，N 两点（M ，N 不是椭圆的顶点），探究直线MN 是否过定点，若过定点则求出定点坐标，否则说明理由.【答案】(1) 22184y x += (2) MN 恒过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，见解析【解析】 （1）∵22e =，∴2b c ==， 设圆F 的方程为()222x y c c +-=，圆心为()0,c ，半径为c ，设d 为圆心到直线40x y +-=的距离，则42c d -，∵222222d r ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，∴()22422c c -+=，即28200c c +-=，()()2100c c -+=，∵0c >，∴2c =.所以椭圆的方程为22184y x +=.（2）设1l 的方程为2x ty =-，2l 的方程为12x y t=--，联立222802y x x ty ⎧+-=⎨=-⎩，可得()222280y ty +--=，整理()222180t y ty +-=，设()11,M x y ，∵M 不是椭圆的顶点，∴12821ty t =+， 代入2x ty =-，得2124221t x t -=+，222428,2121t t M t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 联立 2228012y x x y t ⎧+-=⎪⎨=--⎪⎩，设()22,N x y ， ∴222882121t t y t t --==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 带入12x y t =--，得2222214242=2121t t x t t ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 222428,22t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，①若MN 斜率存在，()()()()()()2222222222228882821212=42424224221212MNt t t t t t t t k t t t t t t t t --+++++=---+--+-++ 34224243=881t t tt t +=--， MN l ：22228342=212t t t y x t t t ⎛⎫---- ⎪+-+⎝⎭22222334281122t t t ty x t t t t -=-⋅---++ ()()()()22222342813112t t t t t y x t t t -+-=---+()()3222324112t t t y x t t t +=---+ 223211t ty x t t =--- 23213t y x t ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭恒过2,03⎛⎫⎪⎝⎭. ②若MN 斜率不存在，1l 的方程为2x y =-，2l 的方程为2x y =--，28,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，28,33N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时MN l ：23x =，亦过2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，综上，直线MN 恒过2,03⎛⎫⎪⎝⎭. 例7. （2018·上海高考真题）设常数2t >．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()20F ，，直线l ：x t =，曲线Γ：()2800y x x t y =≤≤≥，．l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ．P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 距离；（2）设3t =，2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP ，求AQP △的面积；（3）设8t =，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）2BF t =+；（2）1773323S ==；（3）见解析. 【解析】（1）方法一：由题意可知：设()22B t t ，， 则()2282BF t t t =-+=+，∴2BF t =+；方法二：由题意可知：设()22B t t ，， 由抛物线的性质可知：22pBF t t =+=+，∴2BF t =+； （2）()20F ，，2FQ =，3t =，则1FA =， ∴3AQ =(32Q ，，设OQ 的中点D ，322D ⎛ ⎝⎭，， 3023322QFk ==--，则直线PF 方程：)32y x =--， 联立)2328y x y x ⎧=--⎪⎨=⎪⎩，整理得：2320120x x -+=， 解得：23x =，6x =（舍去）， ∴AQP V 的面积1773323S ==（3）存在，设28y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，28m E m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则2281628PF y y k y y ==--，2168FQ y k y -=， 直线QF 方程为()21628y y x y -=-，∴()22164838284Q y y y y y --=-=，248384y Q y ，⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据FP FQ FE +=u u u v u u u v u u u v ，则2248684y y E y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，，∴222488648y y y ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2165y =， ∴存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上，且2455P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，．例8. （2014·山东高考真题（理））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ， （ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）ABE ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】（I ）24y x =.（II ）（ⅰ）直线AE 过定点(1,0)F .（ⅱ）ABE ∆的面积的最小值为16. 【解析】 （I ）由题意知(,0)2PF 设(,0)(0)D t t >，则FD 的中点为2(,0)4p t+， 因为FA FD =，由抛物线的定义知：322p p t +=-， 解得3t p =+或3t =-（舍去）.由234p t+=，解得2p =. 所以抛物线C 的方程为24y x =. （II ）（ⅰ）由（I ）知(1,0)F ，设0000(,)(0),(,0)(0)D D A x y x y D x x ≠>， 因为FA FD =，则011D x x -=+， 由0D x >得02D x x =+，故0(2,0)D x +， 故直线AB 的斜率为02AB y k =-， 因为直线1l 和直线AB 平行， 设直线1l 的方程为02y y x b =-+， 代入抛物线方程得200880b y y y y +-=， 由题意20064320b y y ∆=+=，得02b y =-. 设(,)E E E x y ，则04E y y =-，204E x y =. 当204y ≠时，0000220002044444E ABE y y y y y k y x x y y +-==-=---， 可得直线AE 的方程为000204()4y y y x x y -=--， 由2004y x =，整理可得0204(1)4y y x y =--， 直线AE 恒过点(1,0)F .当204y =时，直线AE 的方程为1x =，过点(1,0)F ，所以直线AE 过定点(1,0)F .（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE 过焦点(1,0)F ， 所以000011(1)(1)2AE AF FE x x x x =+=+++=++， 设直线AE 的方程为+1x my =， 因为点00(,)A x y 在直线AE 上， 故001x m y -=， 设11(,)B x y ，直线AB 的方程为000()2y y y x x -=--， 由于00y ≠， 可得0022x y x y =-++， 代入抛物线方程得2008840y y x y +--=， 所以0108y y y +=-， 可求得1008y y y =--，10044x x x =++， 所以点B 到直线AE 的距离为00002484()11x m y x y d m ++++-=+00x =004(x x =.则ABE ∆的面积0000114()(2)162S x x x x =⨯+++≥， 当且仅当001x x =即01x =时等号成立. 所以ABE ∆的面积的最小值为16.【压轴训练】1．（2018届江西省重点中学协作体第二次联考）已知椭圆：的离心率为，短轴为.点满足.(1)求椭圆的方程；(2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于点、，是否存在常数使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）.（2）答案见解析.【解析】 （1），所以从而的方程为. （2）当不为轴时，设：，、.联立与的方程可得，所以，，.因为为定值，所以，解得.此时定值为.当为轴时，，..综上，存在使得为定值.2. (2018届山东省威海市二模)已知椭圆：的左右焦点分别为，且离心率为，点为椭圆上一动点，面积的最大值为.（1）求椭圆的标准方程； （2）设分别为椭圆的左右顶点，过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆.若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点，试判断是否为定值，并说明理由. 【答案】（1）（2）3【解析】 （1）由题意可知，解得所以椭圆的方程为（2）由（1）可知， 因为过与圆相切的直线分别切于两点，所以，所以，设点，则，圆的半径为则直线的方程为的方程设为，则化简得由，得所以点,所以点在椭圆上， ∴，即.3．（2019·云南师大附中高三月考）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>6，短轴长为4.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知不经过点P （0，2）的直线l ：()0,x my n m n R =+≠∈交椭圆C 于A ，B 两点，M 在AB 上满足()12PM PA PB =+u u u u r u u u r u u u r且2AB PM =，问直线是否过定点，若过求定点坐标；若不过，请说明理由.【答案】（1）221124x y +=（2）直线l 恒过定点(01)-，，详见解析【解析】（1）由题意得222632c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，，解得23a =2b =，所以椭圆C 的标准方程为221124x y +=．（2）设11()A x y ，，22()B x y ，，又(02)P ，，所以11(2)PA x y =-u u u r ，，22(2)PB x y =-u u u r，，因为M 在AB 上满足1()2PM PA PB =+u u u u r u u u r u u u r，所以M 为AB 的中点． 又||2||AB PM =，即||||||MA MB MP ==， 所以线段AB 为PAB △外接圆的直径， 即0PA PB =u u u r u u u rg ，所以1212(2)(2)0x x y y +--=． 又A B ，在直线l 上，所以1212()()(2)(2)0my n my n y y +++--=， 即221212(1)(2)()40m y y mn y y n ++-+++=，()*联立221124x y x my n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，消x 得222(3)2120m y mny n +++-=， 因为直线l 与椭圆C 交于不同的A B ，两点，所以222244(3)(12)0m n m n ∆=-+->， 即22412n m <+，由韦达定理得122212223123mn yy m n y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，，代入（*）中，得2220n mn m +-=， 解得2n m =-或n m =，所以直线l ：2(2)x my m m y =-=-或(1)x my m m y =+=+， 所以直线l 过定点(01)-，或(02)，（舍去）， 综上所述：直线l 恒过定点(01)-，． 4．(2018届上海市徐汇区二模)如图，是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上与均不重合的相异两点，设直线的斜率分别是.(1)求的值； (2)若直线过点，求证：；(3)设直线与轴的交点为(为常数且)，试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）见解析（3）落在定直线上【解析】 (1)设，由于，所以，因为在椭圆上，于是，即，所以.(2)设直线，，由得，于是，．(3)由于直线与轴的交点为，于是，联立直线与椭圆的方程，可得，于是因为直线，直线，两式相除，可知，于是，所以，即直线与直线的交点落在定直线上．5.(2018届辽宁省部分重点中学协作体模拟)已知是椭圆上的一点，是该椭圆的左右焦点，且.（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上与坐标原点不共线的两点，直线的斜率分别为，且.试探究是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由.【答案】(1) 椭圆;(2)见解析.【解析】 （1）由题意，，根据椭圆定义，所以所以，因此，椭圆.（用待定系数法，列方程组求解同样给分） （2）设直线，，由 消去y 得因为，所以即，解得所以，6．（2017·湖南高考模拟（理））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C 的长轴长为直径的圆与直线20x y +-=相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过椭圆右焦点且不重合于x 轴的动直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，探究在x 轴上是否存在定点E ，使得EA EB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，试求出定值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2212x y +=；（2）定点为5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（1）由题意知，2220022b c a b c a=⎧⎪+-⎪=⎨⎪⎪+=⎩，解得121b a c =⎧⎪=⎨⎪=⎩则椭圆C 的方程是2212x y +=（2）①当直线的斜率存在时，设直线()()10y k x k =-≠联立()22121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22222124220,880k x k x k k +-+-=∆=+>所以2222422,1212A B A B k k x x x x k k-+==++ 假设x 轴上存在定点()0,0E x ，使得EA EB ⋅u u u v u u u v为定值.所以()()()20000,,A A B B A B A B A B EA EB x x y x x y x x x x x x y y ⋅=-⋅-=-+++u u u v u u u v()()220011A B A B x x x x k x x =-++--()()()2222001A B AB k x x x k xx x k =+-++++()()2220002241212x x k x k -++-=+要使EA EB ⋅u u u v u u u v 为定值，则EA EB ⋅u u u v u u u v的值与k 无关， 所以()2200024122x x x -+=- 解得054x =， 此时716EA EB ⋅=-u u u v u u u v 为定值，定点为5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭②当直线的斜率不存在时，221,,1,22A B ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，716EA EB ⋅=-u u u v u u u v 也成立 所以，综上所述，在x 轴上存在定点5,04E ⎛⎫⎪⎝⎭，使得EA EB ⋅u u u v u u u v 为定值716-7．（2016·湖南高三月考（文））已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方． (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）224x y +=；（2）存在，且(4,0)N ． 【解析】(1)设圆心C(a ，0)52a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，则410205a a +=⇒=或a ＝－5(舍)，所以圆C ：x 2＋y 2＝4. (2)当直线AB⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，N(t ，0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由()2241x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以212221k x x k +=+，212241k x x k -=-，若x 轴平分∠ANB，则AN BN k k =-⇒()()121212121100k x k x y y x t x t x t x t--+=⇒+=----⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒()()2222242120411k k t t t k k -+-+=⇒=++，所以当点N 为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM 总成立．8.(河北省衡水中学2019届高三上期中)已知椭圆C ：的离心率为，分别为椭圆的左、右顶点，点满足.(1)求椭圆的方程；(2)设直线经过点且与交于不同的两点，试问：在x 轴上是否存在点,使得直线与直线的斜率的和为定值？若存在，求出点的坐标及定值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） ； （2）Q （2，0），1 .【解析】 （1）依题意，，P （2，-1），所以=（-a-2,1）·(a -2,1)=5-a 2,由=1，a>0,得a=2,因为e =，所以c=，b 2=a 2-c 2=1，结果为，进而得到最终结果.故椭圆C的方程为.（2）假设存在满足条件的点Q（t，0），当直线l与x轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意，因此直线l的斜率k存在，设l：y+1=k（x-2），由消y，得（1+4k2）x2-（16k2+8k）x+16k2+16k=0，△=-64k>0,所以k<0,设，则x1+x2=,x1x2=,因为===，所以要使对任意满足条件的k，为定值，则只有t=2，此时=1.故在x轴上存在点Q（2，0）使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值1.9．(陕西省汉中市汉中中学2019届第三次月考)已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与交于、两点，线段的中点为．（1）证明:直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（2）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求的斜率；若不能，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）四边形能为平行四边形，当的斜率为或时，四边形为平行四边形．【解析】（1）设直线，，，，将代入，得，故，，于是直线的斜率，即，所是命题得证．（2）四边形能为平行四边形．∵直线过点，∴不过原点且与C有两个交点的充要条件是且．由（1）得的方程为．设点的横坐标为．由，得，即．将点的坐标代入直线的方程得，因此，四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分， 即．于是．解得，．∵，，，2，∴当的斜率为或时，四边形为平行四边形．10．（2019·黑龙江高三月考（文））已知圆C 经过(2,0),(1,3)A B -两点，且圆心C 在直线1:l y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）已知过点(1,2)P 的直线2l 与圆C 相交截得的弦长为232l 的方程；（3）已知点(1,1)M ，在平面内是否存在异于点M 的定点N ，对于圆C 上的任意动点Q ，都有QNQM为定值?若存在求出定点N 的坐标，若不存在说明理由．【答案】（1）224x y +=；（2）1x =或3450x y -+=；（3）见解析 【解析】（1）因为圆C 经过(2,0),3)A B -两点，且圆心C 在直线1:l y x =上 设圆C ：220x y Dx Ey F ++++=所以2(2)20D F --+=，221(3)0D E F ++++=，22D E -=-所以0D E ==，4F =- 所以圆22:4C x y +=（2）当斜率不存在的时候，1x =，弦长为3 当斜率存在的时候，设2:2(1)l y k x -=-，即20kx y k -+-=21,413k k ==+ 所以直线2l 的方程为：1x =或3450x y -+=（3）设()00,,(,)Q x y N m n ，且22004x y +=2222002200(2)(2)4()()(1)(1)(2)(2)6m x n y m n QN x m y n QM x y x y -+-+++-+-==-+--+-+因为QN QM 为定值，设220000(2)(2)4(2)(2)6m x n y m n x y λ-+-+++=-+-+ 化简得：2200(22)(22)460m x n y m n λλλ-+-+++-=，与Q 点位置无关，所以22220220460m n m n λλλ-=⎧⎪-=⎨⎪++-=⎩解得：1m n ==或2m n == 所以定点为(2,2).11．（2019·安徽高三月考（理））已知圆C 的圆心C 的坐标为()1,2，且圆C 与直线l ：270x y --=相切，过点()2,0A 的动直线m 与圆C 相交于M ，N 两点，直线m 与直线l 的交点为B . （1）求圆C 的标准方程； （2）求MN 的最小值；（3）问：()AM AN AB +⋅uuu r uuu r uu u r是否是定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】(1) ()()221220x y -+-=. (2) 15 (3) ()AM AN AB +⋅uuu r uuu r uu u r是定值，定值为-10.【解析】（1）∵圆C 与直线l ：270x y --=相切，圆心为()1,2， ∴半径14755r --==∴圆C 的方程为()()221220x y -+-=.（2）∵2222220MN r d d =-=-d 是圆心C 到直线m 的距离， ∴d 最大时，MN 最小.∵当()2,0A 是弦MN 中点时，d 最大，且()()22max 12205d AC ==-+-=∴MN 的最小值为2205215-=（3）设MN 中点为P ，则CP MN ⊥即CP AB ⊥，∴0CP AB ⋅=uu r uu u r， 且2AM AN AP +=uuu r uuu r uu u r，∴()()22AM AN AB AP AB AC CP AB +⋅=⋅=+⋅uuu r uuu r uu u r uu u r uu u r uuu r uu r uu u r 222AC AB CP AB AC AB =⋅+⋅=⋅uuu r uu u r uu r uu u r uuu r uu u r.当m 与x 轴垂直时，m 方程为2x =，代入圆C 方程得219y =±∴MN 中点P 的坐标为()2,2，直线2x =与直线l 的交点B 坐标为52,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴50,2AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u r .∵()1,2AC =-uu u r ，∴5AC AB ⋅=-uuu r uu u r ，∴()10AM AN AB +⋅=-uuu r uuu r uu u r；当MN 与x 轴不垂直时，设m 方程为()2y k x =-，由()2270y k x x y ⎧=-⎨--=⎩，得475,2121k k B k k -⎛⎫-⎪--⎝⎭， ∴55,2121k AB k k --⎛⎫= ⎪--⎝⎭uu u r ， ∴()551,2,2121k AC AB k k --⎛⎫⋅=-⋅ ⎪--⎝⎭uuu r uu u r ()5125105212121k k k k k -=-==----， ∴()10AM AN AB +⋅=-uuu r uuu r uu u r，∴()AM AN AB +⋅uuu r uuu r uu u r是定值，定值为-10.12．（2019·广东高三开学考试（理））已知离心率为223的椭圆()22211x y a a +=>，与直线l 交于,P Q 两点，记直线OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k . (1)求椭圆方程; (2)若1219k k ⋅=-，则三角形OPQ 的面积是否为定值?若是，求出这个定值;若不是，请说明理由. 【答案】（1）2219x y +=；（2）是定值且为32，详见解析. 【解析】(1)由题意可知222122b c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得3,2a c ==所以椭圆方程为2219x y +=.(2)设()()1122,,,P x y Q x y ，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+, 联立椭圆方程得()2229118990k x kmx m +++-=，则21212221899,9191km m x x x x k k --+==++， 点O 到直线的距离21m d k=+所以222213129191POQm m S PQ d k k ∆⎛⎫=⋅=- ⎪++⎝⎭由()221212*********9k x x km x x m y y k k x x x x +++===-， 化简得222222222991891k m k k m k m m m --++=-， 整理得到22921k m =-，入上式得32POQ S ∆=.若直线斜率不存在易算得32POQS∆=.综上得，三角形POQ的面积是定值32.13．(山西省太原市第五中学2019届10月月考)已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，，过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点．（1）求椭圆的方程；（2）若的中点为，在线段上是否存在点，使得？若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由得，，，由余弦定理得，，解得，，，所以椭圆的方程为．（2）存在这样的点符合题意.设，，，由，设直线的方程为，由得，由韦达定理得，故，又点在直线上，，所以.因为，所以，整理得，所以存在实数，且的取值范围为.14．（2019·重庆巴蜀中学高三月考（理））已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的短轴长为43斜率不为0的直线l 与椭圆恒交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点M （A ，B 两点不与点M 重合）.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 是否过定点，如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由.【答案】(1) 221164x y +=. (2) 直线过定点12,05⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】 （1）由题2b =，34c a a =⇒=， 所以椭圆的标准方程为221164x y +=.（2）由题设直线l ：x ty m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()4,0M ， 联立直线方程和椭圆方程得()22242160t y tmy m +++-=，()22164160t m ∆=-+>，12224tm y y t -+=+，2122164m y y t -=+.因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点M ，所以()()121244MA MB x x y y ⋅=--+u u u v u u u v()()()()2212121440t y y t m y y m =++-++-=，即2125324805m m m -+=⇒=，4， 经验证125m =，所以直线过定点12,05⎛⎫ ⎪⎝⎭. 15．（2019·山东高三月考）已知定点()30A -,，()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19-，记动点M 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点()1,0T 的直线与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点()0,0S x ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在，求出S 坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1) ()22139x y x +=≠± ；(2) 存在定点()3,0S ±，见解析【解析】（1）设动点(),M x y ，则()33MA yk x x =≠-+， ()33MB yk x x =≠-， 19MA MB k k ⋅=-Q ，即1339y y x x ⋅=-+-，化简得：2219x y +=.由已知3x ≠±，故曲线C 的方程为()22139x y x +=≠±.（2）由已知直线l 过点()1,0T ，设l 的方程为1x my =+，则联立方程组221,19x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()229280m y my ++-=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1221222,98.9m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩又直线SP 与SQ 斜率分别为1110101SP y y k x x my x ==-+-，2220201SQ y y k x x my x ==-+-，则()()()()12222102000811991SP SQ y y k k my x my x x m x -⋅==+-+--+-.当03x =时，m R ∀∈，()2082991SP SQ k k x -⋅==--；当03x =-时，m R ∀∈，()20811891SP SQ k k x -⋅==--.所以存在定点()3,0S ±，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值.16．（2019·湖南高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(2,0)F ，6. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）P M N 、、是椭圆C 上不同的三点，若直线,PM PN 的斜率之积为13-，试问从M N 、两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）2213x y +=（2）M N 、两点的横坐标之和为0，详见解析 【解析】（1）由椭圆的右焦点2,0)得2c =又离心率63c e a ==得3,1a b =∴=， 所以椭圆的标准方程为：2213x y += （2）M N 、两点的横坐标之和为0，理由如下设P M N 、、三点坐标分别为()()(),,,,,P P M M N N x y x y x y ，直线PM PN 、的斜率分别为12,k k ， 则直线PM 的方程为：()1p p y y k x x -=-， 由方程组()22113p p x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，消去y 得：()()()2221111136330p p p p k x k k x y x k x y +--+-+-=， ()1121613p p M p k k x y x x k -∴+=+， 故211213613p p pM k x k y x x k --=+，同理可得：222223613p p p N k x k y x x k --=+， 又1213k k ⋅=-，即2113k k =-，221111221111366333131133P p p p p p N x y x x k y k x k k x k k ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∴==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭从而0M N x x +=，即M N 、两点的横坐标之和为常数零。
高考数学探索性问题练习专项解析
高考数学探索性问题练习专项解析一、解答题1．已知21,F F 分别为椭圆C ：（0>>b a ）的左、右焦点, 且离心率为22，点椭圆C 上（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在斜率为k 的直线与椭圆C 交于不同的两点N M ,，使直线与的倾斜角互补，且直线l 是否恒过定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）过定点()0,2 【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出22,b a 的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式∇：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.试题解析：（1）由题意得22=a c ，123222222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−b a ，222c b a +=，联立得1,1,2222===c b a 椭圆方程为2212x y += 6分 （2）由题意,知直线MN 存在斜率,其方程为由消去△=（4km ）2—4（2k 2+1）（2m 2—2）>0设22221x y a b +=)23,22(−A l M F 2N F 2则8分又由已知直线M F 2与N F 2的倾斜角互补, 得化简,得整理得10分直线MN 的方程为,因此直线MN 过定点,该定点的坐标为（2,0） 12分 考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的综合应用.2．椭圆上顶点为M ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且焦距为2． （1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 交椭圆于P ，Q 两点，判断是否存在直线l ，使点F 恰为PQM ∆的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=（2）存在，43y x =−【分析】（1）根据椭圆的焦距为2，离心率为2，解得：22a =，21b =，故椭圆的标准方程为2212x y +=；（2）设直线PQ 的方程为y x m =+，代入到2212xy +=得2234220x mx m ++−=，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，由韦达定理得：1243x x m +=−，212223m x x −=，因为PF MQ ⊥，1(1PF x −，1)y −，2(MQ x =，21)y −可得：2121120x x x y y y −+−=代入整理可得2340m m +−=，解得：43m =−，即可求出直线方程. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为22221x y a b+=，(0)a b >>，焦距为2c ，故221c c =⇒=又2c e a ==，222a b c =+，22a ∴=，21b =． 故椭圆的标准方程为2212x y +=．（2）设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，F 为PQM ∆的垂心，, MF PQ MP FQ ∴⊥⊥． (0,1)M ，(1,0)F ，21212(1)()20m x x x x m m −+−+−=，1MF k ∴=−，1PQ k ∴=，设直线PQ 的方程为y x m =+，代入到2212xy +=得2234220x mx m ++−=，∴22(4)12(22)0m m ∆=−−>，解得m <<且1m ≠1243x x m ∴+=−，212223m x x −=，PF MQ ⊥，1(1PF x =−，1)y −，2(MQ x =，21)y −2121120x x x y y y ∴−+−=，即21212(1)()20m x x x x m m −+−+−= 由根与系数的关系，得2340m m +−=． 解得43m =−或1m =（舍去）． 故存在直线l ，使点F 恰为PQM ∆的垂心，且直线l 的方程为43y x =− 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和椭圆的关系，常用方法为：设而不求利用韦达定理求出根与系数关系，结合条件即可得解.要求较高的计算能力，属于难题. 3．已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k R =+∈，使得22OA OB OA OB +=−成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）22143x y +=，（Ⅱ）(,)−∞⋃+∞. 【解析】试题分析：（1）由已知条件可推得1,12c e a c a ==−=，由此能求出椭圆的标准方程；（2）存在直线l 使得22OA OB OA OB +=−成立，直线方程与椭圆的方程联立，由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件，得出2271212m k =+，即可求解实数m 的取值范围．试题解析：（1）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=（0a b >>），半焦距为c ．依题意12c e a ==，由右焦点到右顶点的距离为1，得1a c −=．解得1c =，2a =．所以2223b a c =−=．所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=．（2）解：存在直线l ，使得22OA OB OA OB +=−成立．理由如下：由22{143y kx mx y =++=得()2223484120k xkmx m +++−=．()()()22284344120km k m ∆=−+−>，化简得2234k m +>．设()11,x y A ，()22,x y B ，则122834km x x k +=−+，212241234m x x k−=+． 若22OA OB OA OB +=−成立，即2222OA +OB =OA −OB ，等价于0OA⋅OB =． 所以．()()12120x x kx m kx m +++=，()()22121210k x x km x x m ++++=，()222224128103434m km k km m k k−+⋅−⋅+=++, 化简得，2271212m k =+．将227112k m =−代入2234k m +>中，22734112m m ⎛⎫+−> ⎪⎝⎭，解得，234m >．又由227121212m k =+≥，2127m ≥，从而2127m ≥，m ≥m ≤所以实数m 的取值范围是,⎛⎫−∞⋃+∞ ⎪⎝⎭． 考点：椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置的应用．【方法点晴】本题主要考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，其中解答中涉及到椭圆的几何性质、不等式求范围问题，此类问题的解答中，把直线的方程与圆锥曲线方程联立，利用方程的根与系数的关系，以及韦达定理结合题目的条件进行合理运算是解答的关键，着重考查了学生推理与运算能力，同时注意试题中的隐含条件，做到合理加以运用，属于中档试题． 4．已知为椭圆C 的左、右焦点，且点在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程； （2）过的直线交椭圆C 于A ，B 两点，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求其最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程为，由，利用已知条件能求出，由此能求出椭圆的方程；（2）设直线，由，得，利用韦达定理推导出．当不存在时圆面积最大，此时直线方程为．试题解析：（1）由已知，可设椭圆的方程为.因为，所以.所以椭圆的方程为.（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为，由得.设，则，所以.设内切圆半径为，因为的周长为（定值），，所以当的面积最大时，内切圆面积最大.又，令，则，所以，又当k不存在时，，此时，故当k不存在时内切圆面积最大，，此时直线方程为.考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆的综合.【方法点晴】本题考查椭圆方程的求法，根据椭圆的定义设出椭圆的标准方程，得解；考查三角形内切圆面积是否存在最大值的判断，用到不太常用的三角形内切圆半径公式：，故可得当三角形周长固定时，三角形面积越大内切圆面积越大，解题时要认真审题，注意韦达定理和分类讨论思想的合理运用，计算难度较大，属于难题. 5．（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2−12x +32=0的圆心为Q ，过点P(0，2)且斜率为k 的直线l 与圆Q 相交于不同的两点A ，B ． （Ⅰ）求圆Q 的面积； （Ⅱ）求k 的取值范围；（Ⅲ）是否存在常数k ，使得向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说 明理由．【答案】(1)4π. (2)(−34,0)(3)没有符合题意的常数k【解析】解：（Ⅰ）圆的方程可化为(x −6)2+y 2=4，可得圆心为Q(6，0)，半径为2， 故圆的面积为4π． ---------------------3分 （Ⅱ）设直线l 的方程为y =kx +2． 法一：将直线方程代入圆方程得x 2+(kx +2)2−12x +32=0， 整理得(1+k 2)x 2+4(k −3)x +36=0． ① ---------------------4分 直线与圆交于两个不同的点A ，B 等价于Δ=[4(k −3)]2−4×36(1+k 2)=42(−8k 2−6k)>0， ---------------------6分 解得−34<k <0，即k 的取值范围为(−34，0)． ---------------------8分 法二：直线l 与圆(x −6)2+y 2=4交于两个不同的点A ，B 等价于√k 2+1<2---------------------5分化简得(−8k 2−6k)>0，解得−34<k <0，即k 的取值范围为(−34，0)． ---------------------8分（Ⅲ）设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x 2,y 1+y 2)，由方程①， x 1+x 2=−4(k−3)1+k 2②又y 1+y 2=k(x 1+x 2)+4． ③ ---------------------10分而P(0，2)，Q(6，0)，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6，−2)．所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线等价于−2(x 1+x 2)=6(y 1+y 2)---------------------11分 将②③代入上式，解得k =−34． ---------------------12分6．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，长轴长为23，离心率为33，经过其左焦点1F 的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点（I ）求椭圆C 的方程；（II ）在x 轴上是否存在一点M ，使得MP MQ ⋅恒为常数？若存在，求出M 点的坐标和这个常数；若不存在，说明理由.【答案】（I ）22132x y +=；（II ）见详解. 【分析】 （I ）根据ce a=，222a b c =+和已知即可求解；（II ）联立直线与椭圆方程，消去y 根据韦达定理代入数量积即可求解. 【详解】（I ）设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意，得2a c a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩22a = 所求的椭圆方程为22132x y += .（II ）由（I ）知1(1,0)F −. 假设在轴上存在一点(,0)M t ，使得MP MQ ⋅恒为常数， ①当直线l 与x 轴不垂直时，设其方程为(1)y k x =+，()11,P x y 、()22,Q x y .由22(1)132y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()2222236360k x k x k +++−=，所以2122623x x x k +=−+，21223623k x x k−=+()()()()()()21212122211MP MQ x t x t y y x t x t k x x ⋅=−−+=−−+++()()()222222221k x x k txx k t =++−+++()()()222222222221366(61)6232323k k kt k t k k t t k k k+−−−−−=−++=++++()2222211616223441333223323t k r t t t t k t ⎛⎫⎛⎫−+−++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+−−++. 因为MP MQ ⋅是与k 无关的常数，从而有16403t +=，即73t =− 此时119MP MQ ⋅=−②当直线l 与x 轴垂直时，此时点,P Q的坐标分别为,1,⎛⎛−− ⎝⎭⎝⎭，当43t =−时，亦有119MP MQ ⋅=− 综上，在x 轴上存在定点4,03M ⎛⎫− ⎪⎝⎭，使得MP MQ ⋅恒为常数，且这个常数为119−.【点睛】本题考查椭圆方程及椭圆与直线的应用.此题的难点是计算. 7．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A12），且点F0）为其右焦点． （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线l 与椭圆C 交于B ，D 两点，满足22·5OB OD =，且原点到直线l 在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=（2）不存在【分析】（1）根据焦点及椭圆定义，即可求得参数c 与a ，从而求得椭圆的方程．（2）根据点到直线距离，可得m 与k 的等量关系式；联立方程，由判别式可得k 的取值范围，进而结合向量的数量积求得斜率，判断是否存在． 【详解】（1）设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，则左焦点为()F '，在直角三角形AFF '中，可求72AF '=，∴242a AF AF a '=+=⇒=， 故椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）假设存在符合题意的直线l ，其方程为y kx m =+，由原点到l()2231m k ==+．联立方程2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()()222148410k x kmx m +++−=．则122814mk x x k −+=+，()21224114m x x k −=+，()2216202k k ∆=−>⇒>． 设()11,B x y ，()22,D x y ，则()()()222121212122111221145k OB OD x x y y k x x mk x x m k +⋅=+=++++==+，解得()212,k =∉+∞．当斜率不存在时，l的方程为x =112245OB OD ⋅=≠． 综上，不存在符合条件的直线． … 【点睛】本题考查了圆锥曲线的综合应用，直线与椭圆的关系，是高考的常考点，属于难题．8．（本小题12分）已知如图，圆8)2(:22=++y x N 和抛物线x y C 2:2=，圆的切线l 与抛物线C 交于不同的点A ，B .（1）当直线l 的斜率为1时，求线段AB 的长；（2）设点M 和点N 关于直线x y =对称，问是否存在圆的切线a my x l +=:使得MA MB ⊥？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）102=AB ；（2）存在，2+−=x y . 【解析】试题分析：（1）圆N 的圆心坐标为)0,2(−，半径22=r ，设),(11y x A ，),(22y x B ，设l 的方程，利用直线l 是圆N 的切线，求得m 的值，从而可得直线l 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，即可计算弦长||AB ；（2）利用直线l 是圆N 的切线，可得a ，m 满足的一个方程，将直线l 的方程与抛物线方程联立，利用MA MB ⊥，可得a ，m 满足的另一个方程，联立方程组可求得a ，m 的值，从而得到满足题设的直线l .试题解析：∵圆N ：8)2(:22=++y x N ，∴圆心坐标为)0,2(−，半径22=r ，（1）当直线l 的斜率为1时，设l 的方程为m x y +=，即0=+−m y x ，∵直线l 是圆N 的切线，∴222|2|=+−m ，解得2−=m 或6=m （舍），此时直线l 的方程为2−=x y ，由⎩⎨⎧=−=xy x y 222，消去x 得0422=−−y y ，∴0>∆，设),(11y x A ，),(22y x B ，则221=+y y ，421−=y y ，得204)()(21221221=−+=−y y y y y y ，∴弦长102||11||212=−⋅+=y y kAB ；（2）∵直线l 是圆N 的切线，∴221|2|2=+−−m a ，得048422=−−+m a a ①，由⎩⎨⎧=+=xy amy x 22，消去x 得0222=−−a my y ，∴0842>+=∆a m ，即022>+a m ，且m y y 221=+，a y y 221−=，∵点M 和点N 关于直线x y =对称，∴点M 为)2,0(−，∴11(,2)MA x y =+，22(,2)MB x y =+，∵MA MB ⊥，∴1212(2)(2)0MA MB x x y y ⋅=+++=，即04)(2212121=++++y y y y x x ，即04422=++−m a a ②，①+②，得0482222=+−+m m a a ， 解得m a 2−=或12−=m a ，当m a 2−=时，代入①解得1−=m ，2=a ，满足条件022>+a m ，当12−=m a 时，代入①得07442=+−m m ，无解，综上所述，存在满足条件的直线l ，其方程为2+−=x y . 考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.弦长的计算；3.韦达定理的运用.9．已知曲线22111:()1()44C x y y +−=≥，22:81(1)C x y x =−≥，动直线l 与2C 相交于,A B 两点，曲线2C 在,A B 处的切线相交于点M ．（1）当MA MB ⊥时，求证：直线l 恒过定点，并求出定点坐标；（2）若直线l 与1C 相切于点P ，试问：在y 轴上是否存在两个定点12,T T ，当直线12,MT MT 斜率存在时，两直线的斜率之积恒为定值？若存在求出满足条件的点12,T T 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）17(0,)8；（2）存在两个定点12(0,1),(0,1)T T −恒满足12116MT MT k k =. 【解析】试题分析：（1）设出直线方程:l y kx b =+，联立其与抛物线方程得到,A B 两点坐标的关系，再由导数的几何意义，直线,MA MB 的斜率就是它们分别在,A B 两点处切线的斜率，且1MA MB k k =−，可求得178b =；（2）利用,A B 两点坐标表示出直线MA ，MB 的方程，观察可得直线AB 的方程，利用AB 与圆相切整理即得动点M 的轨迹方程，问题得解.试题解析：（1）依题意，直线l 的斜率存在，设1122:,(,),(,)l y kx b A x y B x y =+，由281y kx b x y =+⎧⎨=−⎩得28810x kx b −−+=则1281x x b =−+， 又由218x y +=得1212116444MA MB x x xy k k x x '==⋅=−=−，∴8116b −+=−，∴178b = ∴l 的方程为178y kx =+，恒过定点17(0,)8． （2）设(,)M u v ，直线111:()4x MA y y x x −=−，即111044x x y y −−+=又MA 经过(,)M u v ，∴111044x u v y −−+=，即∴111044x u y v −−+=，同理，∴221044x u y v −−+=由此可得切线AB 的方程为∴1044x u y v −−+=．由直线AB1=，化简得22116u v −=， 从而动点M 的轨迹方程为22116x y −=，为焦点在y 轴上的双曲线．取12(0,1),(0,1)T T −，则12222211111616MT MT x y y y k k x x x x +−−=⋅===为定值故存在两个定点12(0,1),(0,1)T T −满足12116MT MT k k =恒为定值．考点：直线与圆、直线与抛物线的位置关系的应用.【方法点晴】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系及函数与方程思想的应用,综合性较强，属于难题.解答本题的技巧在于，通过导数的几何意义得到两条切线斜率之间的关系，由直线与抛物线方程构成的方程组得到两切点坐标的关系，二者本质上是统一的，从而得到直线经过的定点；第二问的难点是从第一问出发，写出直线MA ，MB 的方程，观察得到点M 的轨迹，通过双曲线知识得到答案. 10．已知椭圆焦点在x 轴上，下顶点为D(0，－1)，且离心率e =√63．经过点M(1,0)的直线L 与椭圆交于A ，B 两点.(Ⅰ)求椭圆的标准方程； （Ⅱ）求|AM|的取值范围.（Ⅲ）在x 轴上是否存在定点P ，使∠MPA=∠MPB 。
高中数学导数知识点归纳的总结及例题(word文档物超所值)
为函数
_____ _ 的图象的顶点在第四象限，则其导
o
y
x
-33
)
(x
f
y'
=
()y f x ='()f x 为( )
（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数()y f x =的图像如下右)
(x f y '=
（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某
一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）
象大致形状是（ ）
2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数
()x 在区间[,]a b 上的图象可能是
y
y
y
14.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),
y=g(x)的图象可能是（ ）
15.(2008珠海一模文、理)设是函数的导函数，将和的图)('x f )(x f )(x f y =)('x f y =像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．16.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数
)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下，则（
）
函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
y。
2020年高考数学(理)考点分析与突破训练导数及其应用(解析版).
热点导数及其应用【命题趋势】在目前高考全国卷的考点中，导数板块常常作为压轴题的形式出现，这块部分的试题难度呈现非减的态势，因此若想高考中数学拿高分的同学，都必须拿下导数这块的内容.函数单调性的讨论、零点问题和不等式恒成立的相关问题（包含不等式证明和由不等式恒成立求参数取值范围）是出题频率最高的.对于导数内容，其关键在于把握好导数，其关键在于把握好导数的几何意义即切线的斜率，这一基本概念和关系，在此基础上，引申出函数的单调性与导函数的关系，以及函数极值的概念求解和极值与最值的关系以及最值的求解.本专题选取了有代表性的选择，填空题与解答题，通过本专题的学习熟悉常规导数题目的思路解析与解题套路，从而在以后的导数题目中能够快速得到导数问题的得分技巧.【满分技巧】对于导数的各类题型都是万变不离其宗，要掌握住导数的集中核心题型，即函数的极值问题，函数的单调性的判定.因为函数零点问题可转化为极值点问题，函数恒成立与存在性问题可以转化为函数的最值问题，函数不等式证明一般转化为函数单调性和最值求解，而函数的极值和最值是由函数的单调性来确定的.所以函数导数部分的重点核心就是函数的单调性.对于函数零点问题贴别是分段函数零点问题是常考题型，数形结合是最快捷的方法，在此方法中应学会用导数的大小去判断原函数的单调区间，进而去求出对应的极值点与最值.恒成立与存在性问题也是伴随着导数经典题型，对于选择题来说，恒成立选择小题可以采用排除法与特殊值法相结合的验证方法能够比较快捷准确得到答案，对于填空以及大题则采用对函数进行求导，从而判定出函数的最值.函数的极值类问题是解答题中的一个重难点，对于非常规函数，超出一般解方程的范畴类题目则采用特殊值验证法，特殊值一般情况下是0,1等特殊数字进行验证求解.对于理科类导数类题目，对于比较复杂的导数题目.一般需要二次求导，但是要注意导数大小与原函数之间的关系，搞清楚导数与原函数的关系是解决此类题目的关键所在.含参不等式证明问题也是一种重难点题型，对于此类题型应采取的方法是：一双变量常见解题思路：1双变量化为单变量→寻找两变量的等量关系；2转化为构造新函数；二含参不等式常见解题思路：1参数分离；2通过运算化简消参（化简或不等关系）；3将参数看成未知数，通过它的单调关系来进行消参.那么两种结构的解题思路理顺了，那么我们来看这道题.这是含参的双变量问题，一般来说，含参双变量问题我们一般是不采用转化为构造新函数，我们最好就双变量化为单变量，这就是我们解这道题的一个非常重要的思路：① 寻找双变量之间的关系并确定范围，并且确定参数的取值范围；②化简和尝试消参；③双变量化为单变量.④证明函数恒成立（求导、求极值……）（经典题型2018年全国一卷理21题）【考查题型】选择题，填空，解答题21题【限时检测】（建议用时：90分钟）1．（2019·全国高考真题（理））已知曲线ln x y ae x x =+在点），（ae 1处的切线方程 为b x y +=2，则（ ）A ．a =e,b =−1B ．a =e,b =1C ．a =e −1,b =1D ．a =e −1,b =−1【答案】D【解析】详解：1ln y '++=x ae x21=+=ae y ，即1a e -=将（1,1）代入b x y +=2得1.12==+b b 故故选D ．【名师点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系.2．（2019·安徽高三期中（理））已知函数11,1()4ln ,1x x f x x x +≤⎧=⎨⎩>,则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．C ．D ．1,4e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】试题分析：ln y x =，所以1'y x=，设切点为00(,)x y ，则切线方程为0001()y y x x x -=-，即0001ln ()y x x x x -=-，与直线y ax =重合时，有01a x =，0ln 10x -=，解得0x e =，所以1a e =，当直线与直线114y x =+平行时，直线为14y x =，当1x =时，11ln ln1044x x -=-<，当x e =时，11ln ln 044x x e e -=->，当3x e =时，3311ln ln 044x x e e -=-<，所以ln y x =与14y x =在3(1,),(,)e e e 上有2个交点，所以直线在14y x =和1y x e =之间时与函数()f x 有2个交点，所以11[,)4a e∈，故选B ．考点：函数图像的交点问题．3．（2019·临沂第十九中学高考模拟（理））设函数()xf x mπ=．若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m ⎡⎤+<⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）A ．()(),66,-∞-⋃∞B ．()(),44,-∞-⋃∞C ．()(),22,-∞-⋃∞D ．()(),11,-∞-⋃∞ 【答案】C 【解析】由题意知：()f x 的极值为所以()203f x ⎡⎤=⎣⎦，因为00()0xf x m mππ='=， 所以0,2x k k z mπππ=+∈，所以01,2x k k z m =+∈即01122x k m =+≥，所以02m x ≥，即2200[()]x f x +≥24m +3，而已知()22200x f x m ⎡⎤+<⎣⎦，所以224m m >+3，故2334m >，解得2m >或2m <-，故选C.【名师点睛】本小题主要考查利用导数研究的极值，考查三角函数，考查一元二次不等式的解法，考查分析问题与解决问题的能力，三角函数出现在导数里面不常见，故做三角函数对应的导数题目时应注意用三角函数最值问题去解决.4（2019·四川高考模拟（文））已知函数32(x)(5)(4)f x a x b x =+-++，若函数()f x 是奇函数，且曲线()y f x =在点(3,(3))f 的切线与直线y 36x=+垂直，则a b +=( ) A ．−32 B ．−20C ．25D ．42【答案】A【解析】先根据函数是奇函数求出a 的值，再根据切线与直线垂直得到b 的值,即得a +b 因为函数f(x)是奇函数，所以--()f x f x =（）,所以a =5.由题得43)(2'++=b x x f ，31)3('+==b f k因为切线与直线y 36x=+垂直，所以b+31=-6, 所以b=-37.所以a +b=-32.故选：A【名师点睛】本题主要考查奇函数的性质，考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．（2019·广东高考模拟（理））若函数()(cos )xf x e x a =-在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()+∞B ．(1,)+∞C ．)+∞D ．[1,)+∞【答案】C【解析】对函数求导只需要,22x ππ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，()()sin cos 0xf x e x x a +'=--≤恒成立，即cos sin 4a x x x π⎛⎫≥-=+ ⎪⎝⎭恒成立，结合三角函数的性质得到函数的最值为,即可得到参数范围.【详解】由题意，,22x ππ⎛⎫∀∈-⎪⎝⎭，()()sin cos 0x f x e x x a +'=--≤恒成立，即cos sin 4a x x x π⎛⎫≥-=+ ⎪⎝⎭恒成立，当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，3,444x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，(cos ,1424x x ππ⎛⎤⎛⎫⎛⎫∴+∈-+∈- ⎥ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎦，所以实数a 的取值范围是)+∞．故选:C 【名师点睛】这个题目考查了导数在研究函数的单调性中的应用，也考查了不等式恒成立求参的应用，此类题目最常见的方法有：通过变量分离，转化为函数最值问题.6（2018·河北衡水中学高考模拟（理））定义在R 上的可导函数()f x 满足()11f =， 且()2'1f x >，当3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则不等式23(2cos )2sin 22x f x +> 的解集为( )A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】构造函数()()1122g x f x x =--，可得()g x 在定义域内R 上是增函数，且()10g =，进而根据23(2cos )2sin 022x f x +->转化成()(2cos )1g x g >，进而可求得答案 【详解】 令11()()22g x f x x =--，则1()'()0'2g x f x =->， ()g x ∴在定义域R 上是增函数，且11(1)(1)022g f =--=， 1(2cos )(2cos )cos 2g x f x x ∴=--23=(2cos )2sin 22x f x +-， ∴23(2cos )2sin 022x f x +->可转化成()(2cos )1g x g >，得到 2cos 1x >，又Q 3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可以得到,33x ππ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭故选D【名师点睛】本题考查利用函数的单调性求取值范围，此类题目应学会构造新的函数，利用新的函数去解决问题，此外此类题目最快捷的方法是特殊值与排除法相结合即可快速得到答案，特殊值首选应该选择当0=x 时，结果满足条件，故排除A ，C ，然后观察B,D 选项，带入特殊值3π=x 不满足条件.故选择D.二、填空题7．（2018·河北衡水中学高考模拟（理））若两曲线21y x =-与ln 1y a x =-存在公切线，则正实数a 的取值范围是__________． 【答案】(0,2]e【解析】设两个切点分别为1122(,),(,)A x y B x y ,两个切线方程分别为2111(1)2()y x x x x --=-,222(ln 1)()ay a x x x x --=-,化简得2112221,ln 1ay x x x y x a x a x =--=+--两条切线为同一条.可得122212ln ax x a x a x =-⎧=-⎨⎩, ,2224(ln 1)a x x =--,令22()44ln (0)g x x x x x =->，()4(12ln )g x x x =-'，所以g(x)在递增，)+∞递减，max ()2g x g e ==.所以a ∈(]0,2e ，填(]0,2e .8（2019·临沂第十九中学高考模拟（理））设函数()xf x mπ=．若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m ⎡⎤+<⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）A ．()(),66,-∞-⋃∞B ．()(),44,-∞-⋃∞C ．()(),22,-∞-⋃∞D ．()(),11,-∞-⋃∞ 【答案】C 【解析】由题意知：()f x的极值为所以()203f x ⎡⎤=⎣⎦，因为00()0xf x m mππ='=，所以0,2x k k z m πππ=+∈，所以01,2x k k z m =+∈即01122x k m =+≥，所以02m x ≥，即2200[()]x f x +≥24m +3，而已知()22200x f x m ⎡⎤+<⎣⎦，所以224m m >+3，故2334m >，解得2m >或2m <-，故选C.考点：本小题主要考查利用导数研究的极值，考查三角函数，考查一元二次不等式的解法，考查分析问题与解决问题的能力.9．（2019·天津高考模拟（理））已知函数()12cos 2xx f x e x e π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，其中e 为自然对数的底数，若()()()22300f af a f +-+<，则实数a 的取值范围为___________.【答案】312a -<< 【解析】【思路分析】利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，利用导数结合不等式与三角函数的有界性判断函数的单调性，再将原不等式转化为223a a <-求解即可. 【详解】()12cos 2x x f x e x e π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭Q 12sin xx e x e =--， ()()12sin xx f x e x e --∴-=---()2sin 1x xx e f x e ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭-， ()f x ∴是奇函数，且()00f =，又()12'cos xx f x e ex -=+Q ，2,2c s 1o 2x xe x e +≥≤，()'0f x ∴≥， ()f x ∴在()+-∞∞，上递增， ()()()22300f a f a f ∴+-+<，化为()()()2233f af a f a <--=-，∴232312a a a <-⇒-<<，故答案为312a -<<.【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查了奇偶性的应用、单调性的应用，属于难题. 解决抽象不等式()()f a f b <时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数()f x 的单调性．若函数()f x 为增函数，则a b <；若函数()f x 为减函数，则a b >．10．（2019·安徽高考模拟）设函数21(),()x x xf xg x x e+==，对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是_______. 【答案】121k e ≥- 【解析】对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则等价为()()121g x k f x k ≤+恒成立，()2112x f x x x x +=++≥=，当且仅当1x x =，即 1x =时取等号，即()f x 的最小值是2，由()x x g x e =，则()()21'x x x x e xe x g x e e --==，由()'0g x >得01x <<，此时函数()g x 为增函数，由()'0g x >得1x >，此时函数()g x 为减函数，即当1x =时，()g x 取得极大值同时也是最大值()11g e =，则()()12g x f x 的最大值为1122e e=，则由112k k e ≥+，得21ek k ≥+，即()211k e -≥，则121k e ≥-，故答案为121k e ≥-.三、解答题11．（2019·浙江高考模拟）已知函数()1ln f x x x x=-- . （1）若()1ln f x x x x=--在()1212,x x x x x =≠ 处导数相等，证明：()()1232ln2f x f x +>- ；（2）若对于任意(),1k ∈-∞ ，直线y kx b =+ 与曲线()y f x =都有唯一公共点，求实数b 的取值范围.【答案】（I ）见解析（II ）ln 2b ≥- 【思路分析】（1）由题x ＞0，()2111f x x x'=+-，由f （x ）在x=x 1，x 2（x 1≠x 2）处导数相等，得到()()12f x f x m ''==，得21122211101110m x x m x x ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，由韦达定理得12111x x +=，由基本不等式得1212x x x x +=⋅>，得124x x ⋅>，由题意得()()()121212ln 1f x f x x x x x +=--，令124t x x =⋅>,则()1212ln 1ln 1x x x x t t --=--，令()()ln 14g t t t t =-->，，利用导数性质能证明()()432ln2g t g >=-．（2）由()f x kx b =+得1ln x x b x k x ---=，令()1ln x x bx h x x---=， 利用反证法可证明证明()1h x <恒成立.由对任意(),1k ∈-∞，()h x k =只有一个解，得()h x 为()0,+∞上的递增函数，()22ln 10x b x h x x ++-='∴≥得2ln 1b x x ≥--+，令()()2ln 10m x x x x=--+>，由此可求b 的取值范围.. 【过程详解】 （I ）()2111f x x x'=+- 令()()12f x f x m ''==，得21122211101110m x x m x x ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，由韦达定理得12111x x +=即1212x x x x +=⋅>，得124x x ⋅>()()()()1212121211ln ln f x f x x x x x x x ⎛⎫∴+=+-+-+ ⎪⎝⎭()1212ln 1x x x x =--令124t x x =⋅>,则()1212ln 1ln 1x x x x t t --=--，令()()ln 14g t t t t =-->， 则()()1104g t t t>'=->，得()()432ln2g t g >=-（II ）由()f x kx b =+得1ln x x bxk x---=令()1ln x x bx h x x---=， 则0x →+，()h x →-∞，(),1x h x →+∞→ 下面先证明()1h x <恒成立.若存在()00,x ∈+∞，使得()01h x ≥，0x →+Q ，()h x →-∞，且当自变量x 充分大时，()1ln 1x x bx h x x---=<，所以存在()100,x x ∈，()20,x x ∈+∞，使得()11h x <，()21h x <，取()(){}12max ,1k h x h x =<，则y k =与()y h x =至少有两个交点，矛盾.由对任意(),1k ∈-∞，()h x k =只有一个解，得()h x 为()0,+∞上的递增函数，()22ln 1x b x h x x ++-='∴≥ 得2ln 1b x x ≥--+，令()()2ln 10m x x x x =--+>，则()22212x m x x x x-=-='， 得()()max 2ln2b m x m ≥==-【名师点睛】本题考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力属难题．12．（2019·浙江高考模拟）知函数()2x af x x a+=+，()()2ln 2g x x a a R =+∈.（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：存在()0,1a ∈，使得方程()()f x g x =在()1,+∞上有唯一解. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【思路分析】（1）求出函数f （x ）的定义域，对函数f （x ）求导得到22y x ax a =+-， 分0∆≤ 与0∆>,得到导函数在各区间段内的符号,得到函数f （x ）的单调区间； （2）构造()()()h x f x g x =-，求导分析()h x 的单调性，找到12≤a<1时，()0h x <在(1,1上恒成立，在()1+∞上递增，而h(1)0x <，()20h e >,由函数零点存在定理得到存在()00,1a ∈，使得方程()0h x =在()1,+∞上有唯一解，即证得结论. 【过程详解】（1）函数f （x ）的定义域为()(),,a a -∞-⋃-+∞，因为()()222x ax af x x a +-=+'，令22y x ax a =+-，则2440a a ∆=+≤，即10a -≤≤，则()0f x '≥在()(),,a a -∞-⋃-+∞上恒成立，当1a <-或0a >，由220x ax a +->有x a >-x a <-由220x ax a +-<有a x a -<<-，综上，当10a -≤≤时，()f x 的递增区间是()(),,,a a -∞--+∞，当1a <-或0a >时，()f x 的递增区间是((),,a a -∞--+∞，递减区间是()(,,a a a a ----+；（2）令()()()22ln 2x ah x f x g x x a x a+=-=--+，当()0,1a ∈时，则()()()()()22222222x a x x ax ax ah x x x a x a x+--+-=-=++' ()((()2211x a x x x a x⎡⎤⎡⎤+--⎣⎦⎣⎦=+，因为()1,x ∈+∞，故当11x <<+()0h x '<，当1x 时，()0h x '>，所以()h x在(1,1上递减，在()1++∞上递增，即当11x =()h x 有最小值，又h （1）=1-2a ，当12≤a<1时，h （1）≤0，即()0h x <在(1,1+上恒成立， 又12≤a<1时,()2222ln 22ln 22ln 222x a x x h x x a x a x x lnx x a x x+=-->-->--=--+，取x=2e ,则22224260x lnx e e ，--=--=->即()20h e>，又()h x在()1+∞上递增，而h(1)0x <，由函数零点存在定理知()h x在()1+∞上存在唯一零点，所以当12≤a<1时即存在()0,1a ∈，使得方程()0h x =在()1,+∞上有唯一解，即方程()()f x g x =在()1,+∞上有唯一解.【名师点睛】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数零点等基础知识，考查了推理论证能力、运算求解能力，考查了函数与方程、分类与整合、化归与转化等数学思想方法，属于难题．13．（2018·河北衡水中学高考模拟（理））已知函数()ln xf x ax b x=-+在点 ()(),e f e 处的切线方程为2y ax e =-+.（2）若存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，满足()014f x e ≤+，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 实数b 的值为e .(2)211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】分析：（1）根据导数的几何意义求得曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程，与2y ax e =-+对照后可得b e =．（2）问题可转化为11ln 4a x x≥-在2,e e ⎡⎤⎣⎦上有解，令()11ln 4h x x x=-，2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，结合导数可得()()221124minh x h e e==-，故得实数a的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 详解：（1）函数()f x 的定义域为()()0,11,⋃+∞， ∵()ln xf x ax b x =-+， ∵()2ln 1'ln x f x a x-=-. ∵()'f e a =-， 又()e f e ae b =-+,∵所求切线方程为()()y e ae b a x e --+=--， 即y ax e b =-++.又函数()f x 在点()(),e f e 处的切线方程为2y ax e =-+， ∵b e =.（2）由题意得()00001ln 4x f x ax e e x =-+≤+， 所以问题转化为11ln 4a x x≥-在2,e e ⎡⎤⎣⎦上有解. 令()11ln 4h x x x=-，2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦， 则()2222211ln 4'4ln 4ln x xh x x x x x x -=-=(22ln ln 4ln x x x x+-=. 令()ln p x x =-则当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()1'0p x x ==<. 所以函数()p x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，所以()()ln 0p x p e e <=-<.所以()'0h x <，所以()h x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()22221111ln 424h x h eee e ≥=-=-. 所以实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【名师点睛】对于恒成立和能成立的问题，常用的解法是分离参数，转化为求函数最值的问题处理．解题时注意常用的结论：若()a f x >有解，则()min a f x >；若()a f x <有解，则()max a f x <．当函数的最值不存在时，可利用函数值域的端点值来代替，解题时特别要注意不等式中的等号能否成立．14．（2019·安徽六安一中高考模拟（理））已知函数()()2ln R 2a f x x x x a =-∈ . （1）若2a = ，求曲线()y f x = 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()()()1g x f x a x =+- 在1x = 处取得极小值，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）y x =-（2）1a <【解析】：（1）当2a =时，()2ln f x x x x =-，利用导数几何意义，能够求出此函数在1x =处的切线斜率，再求出切线方程；（2）对函数()g x 求导，令()()'ln h x g x x ax a ==-+，讨论)'(h x 的单调性，对a 分情况讨论，得出实数a 的取值范围. 试题解析：（1）当2a =时，()2ln f x x x x =-，()'ln 12f x x x =+-，()()11,'11f f =-=-，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为y x =-.（2）由已知得()()2ln 12a g x x x x a x =-+-，则()'ln g x x ax a =-+， 记()()'ln h x g x x ax a ==-+，则()()1110,'ax h h x a x x-==-=， ∵当0a ≤，()0,x ∈+∞时，()'0h x >，函数()'g x 单调递增， 所以当()0,1x ∈时，()'0g x <，当()1,x ∈+∞时，()'0g x >， 所以()g x 在1x =处取得极小值，满足题意.∵当01a <<时，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0h x >，函数()'g x 单调递增， 可得当()0,1x ∈时，()'0g x <，11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >当， 所以()g x 在1x =处取得极小值，满足题意.∵当1a =时，当()0,1x ∈时，()'0h x >，函数()'g x 单调递增，()1,x ∈+∞时，()'0h x <，()'g x 在()1,+∞内单调递减，所以当()0,x ∈+∞时，()'0g x ≤，()g x 单调递减，不合题意.∵当1a >时，即101a <<，当1,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0h x <，()'g x 单调递减， ()'0g x >，当()1,x ∈+∞时，()'0h x <，()'g x 单调递减，()'0g x <，所以()g x 在1x =处取得极大值，不合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为1a <.【名师点睛】本题主要考查了导数在研究函数单调性、最值上的应用，考的知识点有导数几何意义，导数的应用等，属于中档题.分类讨论时注意不重不漏. 15．（2019·山东高考模拟（理））已知函数()()21ln ,2f x x xg x mx ==． （1）若函数()f x 与()g x 的图象上存在关于原点对称的点，求实数m 的取值范围； （2）设()()()F x f x g x =--，已知()F x 在()0,∞+上存在两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：2122x x e >（其中e 为自然对数的底数）．【答案】（1）2m e≥-；（2）证明见解析. 【解析】（1）函数21()2g x mx =关于原点对称的函数解析式为212y mx =-．函数()f x 与()g x 的图象上存在关于原点对称的点，等价于方程21ln 2x x mx =-在(0,)+∞有解．即12lnx mx =，2lnx m x ⇒=，令2()lnx g x x=，(0)x >，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．（2）2122x x e >等价于122()2ln ln x x +>，等价于12()22ln x x ln >-21()()()ln 2F x f x g x x x mx =--=--，()1ln F x x mx '=---，(0)x >，再利用导数研究函数的单调性、极值，利用分析法即可得证. 【详解】（1）函数()f x 与()g x 的图像上存在关于原点对称的点，即21()()2g x m x --=--的图像与函数()ln f x x x =的图像有交点， 即21()ln 2m x x x --=在(0,)+∞上有解. 即1ln 2x m x=-在(0,)+∞上有解. 设ln ()x x x ϕ=-，（0x >），则2ln 1()x x xϕ'-= 当(0,)x e ∈时，()x ϕ为减函数；当(,)x e ∈+∞时，()x ϕ为增函数，所以min 1()()x e e ϕϕ==-，即2m e≥-. （2）证明：()()21212122ln 2ln 2ln 2ln 2x x e x x x x ⇔+>⇔>->． 可得()()()21ln 2F x f x g x x x mx =--=--， ()1ln F x x mx '=---，()0x >，∵()F x 在()0+∞，上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <， ∵()1ln h x x mx =++，()0x >，在()0+∞，上存在两个零点1x ，2x ，且12x x <， ∵11ln 1x mx =--，22ln 1x mx =--．∵()()1212ln 2x x m x x =-+-，()1122lnx m x x x =--．∵()1121221112221ln 1x ln x x x x x x x x x x x ++==--，令()12 01x t x =∈，，则()121ln ln 1t x x t t +=-， 要证明：()12ln 2ln 2x x >-．即证明：()1ln 2ln 2,011t t t t +>-∈-，， 即证明：()()1ln 2ln 20,011t t t t ---⋅<∈+，． 令()()()1220,011t h t lnt ln t t -=--⋅<∈+，，()10h =． ()()()()()()22222122ln 21212()()ln 22ln 20111t t t t h t t t t t t t +---+'=--⋅==>+++． ∵函数()h t 在()01t ∈，上单调递增．∵()()10h t h <=，即1ln 2ln 21t t t +>--，()01t ∈，成立．∵2x 1x 2＞e 2成立． 【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分析法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2020年高考数学23道题必考考点各个击破精讲主题06 导数(文)(含详细答案解析)
2020年新课标高考数学23道题必考考点各个击破（按题号与考点编排）主题06 导数（文）【主题考法】本主题考试题型为选择填空题，与解析几何、函数、立体几何、概率等数学知识结合主要考查常见函数的导数、导数的运算法则，考查利用导数函数研究函数的切线，利用导数研究函数单调性、极值及最值进而研究函数的图象与性质，再利用函数图象与性质处理函数零点、不等式等综合问题，常为压轴题，难度较大，分值为5至10分.【主题回扣】1．导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．2．利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)＞0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．(2)由函数的单调性求参数的取值范围：①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)＞0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．3．利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0；③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：若左正右负，则x0为极大值点；若左负右正，则x0为极小值点；若不变号，则x0不是极值点．(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值；②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【易错提醒】1．已知可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(≤0)对∀x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立；已知可导函数f(x)的单调递增(减)区间为(a，b)，则f′(x)＞0(＜0)的解集为(a，b)．学科-网2．f′(x)＝0的解不一定是函数f(x)的极值点．一定要检验在x＝x0的两侧f′(x)的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．3.函数在某点的切线与过某点的切线的区别.【主题考向】考向一导数的运算和几何意义【解决法宝】利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解. 求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.例1直线与曲线相切于点，则的值为（）A. B. C. D.【分析】由题知M（1,2）在切线上，将其代入切线方程即可求出k，求出曲线在x=1处的导数即为切线的斜率，即可求出b.考向二 利用导数研究函数的性质【解决法宝】利用导数研究函数性质的一般步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导函数)(x f '；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式)(x f '>0或)(x f '<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式)(x f '≥0或)(x f '≤0在单调区间上恒成立问题来求解.(4)①若求极值，则先求方程)(x f '＝0的根，再检查)(x f '在方程根的左右函数值的符号. ②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程)(x f '＝0根的大小或存在情况来求解. (5)求函数)(x f 在闭区间],[b a 的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值)(a f ，)(b f 与)(x f 的各极值进行比较得到函数的最值.例2 函数()2ln f x x x mx =-有两个极值点，则实数m 的取值范围是（ ）A. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭B. (),0-∞C. ()0,1D. ()0,+∞【分析】由函数()2ln f x x x mx =-有两个极值点知，)(x f '恰好有两个零点，转化函数y=lnx 与y=2mx ﹣1的图象有两个交点，数形结合即可求出实数m 的取值范围.考向三 导数的综合应用【解决法宝】研究方程及不等式问题，都要运用函数性质，而导数是研究函数性质的一种重要工具．基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数，必要时画出函数的草图辅助思考． 例3已知函数，若在恒成立，则实数的取值范围为（ ） A.B.C.D.【分析】先考虑当1=x 时，当0)1(≥f 时，a 满足的条件，当10<<x 时，参变分离为1ln 22-≥x x x a ，利用导数求1ln 22-=x x x y 的最大值，即可求出a 的取值范围.【解析】当时，恒成立，；当时， 即：，令，则，令，则：，则函数在区间上单调递减，，据此可得函数，故函数在区间上单调递增，的最大值为：， 综上可得，实数的取值范围为.，故选C .【主题集训】 1. 已知函数，则其单调增区间是A. （0，1]B. [0，1]C. （0，+∞）D. （1，+∞） 【答案】D 【解析】，定义域为，令，解得，故函数单调增区间是，故选2.已知可导函数()f x 的导函数为()f x '， ()02018f =，若对任意的x R ∈，都有()()f x f x >'，则不等式()2018x f x e <的解集为（ ）A. ()0,+∞B. 21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.21,e ⎛⎫-∞⎪⎝⎭D. (),0-∞ 【答案】A【解析】根据题意构建函数()()()()'(,'0xxf x f x f xg x g x e e -==<），故函数在R 上递减，且g(0)=2018,所以()2018x f x e <等价于()()()0xf xg x g e=<，所以0x >，故选A.3.已知：，若方程有唯一的实数解，则（ ）A.B.C.D. 1【答案】B4.已知定义在上的奇函数可导，设其导函数为，当时，恒有，令，则满足的实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】因为，所以当时，，所以在单调递减，又为奇函数，所以为偶函数，因此由得，选D.5.定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ）A. B.C.D.【答案】C 【解析】令，则其导数，又由，且有，所以，即函数为减函数，又由，则有，即，化简可得，故选C.6.设曲线()e x f x x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在曲线()32cos g x ax x =+上某点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,2-B ．()3,+∞C ．21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D7.若函数有两个极值点，则实数的取值范围是( ) A.B.C.D.【答案】A 【解析】有两个正根，即有两个正根，令，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，，当时，，所以,故选：A ．8.已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当)0,(-∞∈x 时，0)(')(<+x xf x f 成立，若)2()2(1.01.0f a ⋅=，)2(ln )2(ln f b ⋅=，)81log )81(log 22f c ⋅=，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a >>B ．a b c >> C. b a c >> D ．b c a >> 【答案】B【解析】由)()(x f x f -=知函数()x f 为偶函数，设()()x xf x F =，则()x F 为奇函数，当()0,∞-∈x 时，()()()0<'+='x f x x f x F ，所以()F x 在()0,∞-上为递减函数，所以()F x 在R 上是递减函数．因为0.121log 30ln 2128=-<<<<，所以0.121(log )(ln 2)(2)8F F F >>，即a b c >>，故选B ． 9.已知函数()ln 2x axf x x-=，若有且仅有一个整数k ，使得()1f k >，则实数a 的取值范围是( )A. (]1,3B. 1111ln2,ln34262⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C.11ln21,ln3123⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D. 11,1e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦【答案】B【解析】函数()ln 2x axf x x-=，若有且仅有一个整数k ，使得()1f k >，不等式程()ln 21x a x >+只有一个整数解，在同一坐标系中画出图像，可知这个整数解就是2，故得到()()ln2221,ln3321a a >+≤+，解得不等式组解集为1111ln2,ln34262⎡⎫--⎪⎢⎣⎭,故选B.10.已知不等式在上恒成立，且函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D.【答案】D 【解析】不等式在上恒成立，令,，由图可知，或，即；又在上单调递增，故在上恒成立，，综上，，故选D.11.设函数，若是函数是极大值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，若因为是函数是极大值点，所以即，所以若时，因为，所以当时，，当时，所以是函数是极大值点，符合题意；当时，若是函数是极大值点，则需，即，综上，故选A.12.若关于的方程存在三个不等实根，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】原方程可化为，令，则．设，则得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，故当时，函数有极大值，也为最大值，且．可得函数的图象如下：∵关于的方程存在三个不等实根，∴方程有两个根，且一正一负，且正根在区间内．令，则有，解得．∴实数的取值范围是．选C ．13. 已知函数()()232x f x e x a x =+++在区间()1,0-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A. 11,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B.1,3e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 3,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D. 11,3e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D14.已知函数，则下列关于的表述正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. ，的最小值为C.有个零点 D.有无数个极值点【答案】D【解析】A 因为函数，故函数不是偶函数，图像也不关于y 轴对称；A 不正确； B. 假设，使得的最小值为，即有解，在同一坐标系中画出图像，得到的最大值为2，最小值为2，且不是在同一个x 处取得的，故得到两个图像无交点，故B 是错误的; C,其中一个零点为0，另外的零点就是两个图像的交点，两者的图像只有一个交点，故选项不正确； D ，化一得到，，此时满足的x 值有无数个；故选D.15. 函数()2ln 2f x x x x ax =+-+恰有一个零点，则实数a 的值为（ ） A. 1- B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D【解析】∵函数()2ln 2f x x x x ax =+-+恰有一个零点∴方程2ln 20x x x ax +-+=在()0,+∞上有且只有一个根，即2ln a x x x=++在()0,+∞上有且只有一个根，令()2ln h x x x x=++，则()()()2222211221x x x x h x x x x x +-+-='=+-=，当01x <<时，()0h x '<，则()h x 在()0,1上单调递减；当1x >时， ()0h x '>，则()h x 在()1,+∞上单调递增，∴()()min 13h x h ==由题意可知，若使函数()2ln 2f x x x x ax =+-+恰有一个零点，则()min 3a h x ==，故选D. 16. 已知函数为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为____. 【答案】2 【解析】∵当时，，∴当时，，∵函数为奇函数，∴，则∴ ∴曲线在点处的切线的斜率为17. 已知l 为曲线在A （1，2）处的切线，若l 与二次曲线也相切，则______．【答案】4【解析】的导数为曲线在处的切线斜率为则曲线在处的切线方程为，即由于切线与曲线相切可联立得到：又，两线相切有一个切点，，解得. 18.已知函数（为自然对数的底数），若，则实数的取值范围是__________． 【答案】【解析】 由题意得，因为，所以，所以函数单调递减， 由因为为奇函数，，所以，即，解得.19.已知函数()3221f x x ax a x =+-+在[]1,1-上单调递减，则a 的取值范围是__________． 【答案】(][),33,-∞-⋃+∞20.曲线1x y e x -=+的一条切线经过坐标原点，则该切线方程为____________. 【答案】2y x =【解析】设切点为()0100,x x e x -+，则1'1x y e -=+，即011x k e -=+，故切线方程为()()0011001x x y e x e x x ----=+-，又切线过原点， ()()001100010x x e x e x --∴--=+-，解得01x =，将01x =代入()()0011001x x y e x e x x ----=+-，可得切线方程为2y x =，故答案为2y x =.21.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是__________. 【答案】【解析】函数存在唯一的整数，使得，设与,即存在唯一的整数，使得在直线下方,,当时,当时,在上单调递减,在上单调递增,所以当时, 取到最小值,且g(0)=1;直线恒过点(1,0),斜率为,由图知当时不合题意,故,若要存在唯一的整数，使得在直线下方,则,即,代入得,解得,故填.22.已知函数()()2ln ,mf x x xg x e x=+-=，其中e 为自然对数的底数，若函数()f x 与)(x g 的图像恰有一个公共点，则实数的取值范围是______． 【答案】0m ≥或21e m e+=-【解析】因为()110f x x=+>'，所以函数在()0,+∞上为增函数且1110f e e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，所以当0m ≥时，与()m g x x =有一个公共点，当0m <时， 令()()22,f x g x x xlnx x m e=∴+-=有一解即可，设22(=h x x xlnx x e +-），令2(=2x +1=0h x lnx e -'+）得1x e =，因为当10x e <<时， ()0h x '<，当1x e <时， ()0h x '>，所以当1x e =时， (h x ）有唯一极小值21e e+-，即()h x 有最小值21e e +-，故当21e m e +=-时有一公共点，故填0m ≥或21e m e +=-.。
2020高考数学专题复习----探索性专题
三、高考复习建议1.复习建议：（1）在第二轮复习的过程中要重视对探索性问题的专题训练,题型要多样化,题目涉及的知识覆盖面尽量广一些，难度由浅入深; （2）近几年高考探索性问题重点出在函数、数列、不等式、立体几何和解析几何,今年高考这些内容还是出探索性问题的热点（特别是解答题）,应加强对这些内容的研究；（3）注意总结探索性问题的解题策略。
2.解题策略：解探索性问题应注意三个基本问题:认真审题,确定目标;深刻理解题意;开阔思路,发散思维,运用观察、比较、类比、联想、猜想等带有非逻辑思维成分的合理推理,以便为逻辑思维定向.方向确定后,又需借助逻辑思维,进行严格推理论证,这两种推理的灵活运用,两种思维成分的交织融合,便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略解决探索性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求，高考题中一般解这类问题有如下方法：(1)直接法：直接从给出的结论入手，寻求成立的充分条件；直接从给出的条件入手，寻求结论；假设结论存在（或不存在），然后经过推理求得符合条件的结果（或导出矛盾）等例1.如图，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件__________时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的条件即可，不必考虑所有可能的情况）分析：本题是条件探索型试题，即寻找结论A1C⊥B1D1成立的充分条件，由AA1⊥平面A1C1以及A1C⊥B1D1（平面A1C1的一条斜线A1C与面内的一条直线B1D1互相垂直），容易联想到三垂线定理及其逆定理。
因此，欲使A1C⊥B1D1，只需B1D1与CA1在平面A1C1上的射影垂直即可。
显然，CA1在平面A1C1上的射影为A1C1，故当B1D1⊥A1C1时，有A1C⊥B1D1，又由于直四棱柱的上、下底面互相平行，从而B1D1∥BD，A1C1∥AC。
因此，当BD⊥AC时，有A1C⊥B1D1。
由于本题是要探求使A1C⊥B1D1成立的充分条件，故当四边形ABCD为菱形或正方形时，依然有BD ⊥AC，从而有A1C⊥B1D1，故可以填：①AC⊥BD或②四边形ABCD 为菱形，或③四边形ABCD为正方形中的任一个条件即可。
2020届高三数学问题：数列中的探索性问题-2020届高三数学提分精品(解析版)
专题五 数列问题六：数列中的探索性问题一、考情分析近几年的高考试卷中经常出现以数列为载体的探索性问题，这类问题不仅考查学生的探索能力，而且给学生提供了创新思维的空间，而这类问题有下列三类题型：规律探索性问题；条件探索性问题；结论探索性问题.二、经验分享(1)对于条件开放的探索性问题，往往采用分析法，从结论和部分已知的条件入手，执果索因，导出所需的条件．另外，需要注意的是，这一类问题所要求的往往是问题的充分条件，而不一定是充要条件，因此，直觉联想、较好的洞察力都将有助于这一类问题的解答．(2)探索结论型问题是指那些题目结论不明确、或者答案不唯一，给同学们留有较大探索余地的试题．一般是由给定的已知条件求相应的结论。
它要求同学们充分利用已知条件进行猜想、透彻分析，发现规律、获取结论，这一类问题立意于对发散思维能力的培养和考察，具有开放性，解法活、形式新，无法套用统一的解题模式，不仅有利于考查和区分同学们的数学素质和创新能力，而且还可以有效地检测和区分考生的学习潜能，因而受到各方面的重视，近年来已成为高考试题的一个新亮点．注意含有两个变量的问题，变量归一是常用的解题思想，一般把其中的一个变量转化为另一个变量，根据题目条件，确定变量的值．数列中大小关系的探索问题可以采用构造函数，根据函数的单调性进行证明，这是解决复杂问题常用的方法．(3)存在型探索性问题通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．(4)处理规律探索性问题，应充分利用已知条件，先求出数列的前几项，根据前几项的特点透彻分析，发现规律、猜想结论．三、题型分析(一) 条件探索性问题【例1】已知数列{}n a 为等差数列，12a =，{}n a 的前n 和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的n *∈N 恒成立．（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）是否存在非零整数λ，使不等式1121111(1)(1)(1)cos 21n n n a a a a a πλ+--⋅⋅⋅⋅⋅⋅-<+对一切n *∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．（Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列{}n c ，满足391007c a =，且存在正整数k ，使139,,k c c c 成等比数列，若数列{}n c 的公差为d ，求d 的所有可能取值之和．【分析】（Ⅰ）因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的n *∈N 恒成立，所以取1,2,3n =，又知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，设出首项，公差，公比解方程组即可；（Ⅱ））由2n a n =，得11coscos(1)(1)2n n a n ππ++=+=-，设121111(1)(1)(1)1n n nb a a a a =--⋅⋅⋅-+，则不等式等价于1(1)n n b λ+-<，问题转化为求n b 的最小值，因0n b >，利用()12112123n n n b b n n ++=>++知n b 单调递增，求n b 的最小值，再根据1(1)n n b λ+-<求解；（Ⅲ）特殊情况0d =时，成立，当d ＞0时，3911382014201438c c d c d =+=⇒=-，39(39)2014(39)k c c k d k d =+-=+-，由等比中项知2391k c c c =，化简得()23953(77)0(39)53(77)k d k d k d k --+-=⇒-=-，整理得：*53383953k N d ⨯=+∈-，由120143838(53)05300c d d d d =-=->⇒->⎧⎨>⎩，所以53530d >->，根据*533853N d⨯∈-，故531,2,19d -=，从而52,51,34d =，所以公差d 的所有可能取值之和为137．【解析】（Ⅰ）法1：设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ．因为2112233(1)24()n n n a b a b a b a b n n +*+++⋅⋅⋅+=-⋅+∈N令1,2,3n =分别得114a b =，112220a b a b +=，11223368a b a b a b ++=，又12a =所以1122332,21648a b a b a b ==⎧⎪=⎨⎪=⎩即22(2)(2)163440(22)(2)48d q d d d q +=⎧⇒--=⎨+=⎩，得11236d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或2222d q =⎧⎨=⎩，经检验2,2d q ==符合题意，2,63d q =-=不合题意，舍去． 所以2,2nn n a n b ==．①当n 为奇数时，得min 123()3n b b λ<==； ② 当n 为偶数时，得min 285()15n b b λ-<==，即8515λ>-．[来源:Z,xx,]综上，8523,153λ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭，由λ是非零整数，可知存在1λ=±满足条件．（Ⅲ）易知d=0，成立．当d ＞0时，3911382014201438c c d c d =+=⇒=-，39(39)2014(39)k c c k d k d =+-=+-，[][]22391(201438)2014(39)2014,38(53)2014(39)20142014,k c c c d k d d k d =⇒-+-=⇒-+-=⨯()()53201439532014d k d ⇒-+-=⨯⎡⎤⎣⎦，()23953(77)0(39)53(77)k d k d k d k ⇒--+-=⇒-=-， 395353107(53)395377kd d k d k d ⇒-=-⨯⇒-=-⨯，*39537739(53)5339537753385338393953535353d d k N d d d d-⨯-+⨯-⨯⨯⨯===-=+∈----，又120143838(53)05300c d d d d =-=->⇒->⎧⎨>⎩Q ，05353d ∴<-<，531,2,19d ∴-=，52,51,34d ∴=，所以公差d 的所有可能取值之和为137．……16分【点评】第一问采取特殊化的思想，转化为联立方程组求首项，公差公比问题，比较容易解决；第二问学会构造数列，将恒成立问题转化为求数列的最小值，选择做商的方法研究数列的单调性，进而求其最值，特别注意最后结果需要对n 分奇偶讨论；第三问通过等比中项，构造公差和项数的方程，利用项数是正整数，分析对公差d 的要求，进而得到d 的可能取值，此类问题虽然比较常见，但是对变形、运算、分析能力要求很高．【小试牛刀】【2017届河北武邑中学高三上学期调研】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()12n n S n λ=+-⋅,又数列{}n b 满足:n n a b n ⋅=． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)当λ为何值时,数列{}n b 是等比数列？并求此时数列{}n b 的前n 项和n T 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）()()11,22n n n a n n λ-=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩；(Ⅱ)[)1,2. 【解析】（Ⅰ）由()12n n S n λ=+-⋅，当1n =时，11a S λ==；当2n ≥时，()()11112222n n n n n n a S S n n n ---=-=-⋅--⋅=⋅， 故数列{}n a 的通项公式为()()11,22n n n a n n λ-=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩(Ⅱ)由n n a b n ⋅=有()()111,122n n n b n λ-⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩则数列{}n b 为等比数列， 则首项为11b λ=满足2n ≥的情况，故1λ=，则()112111122111212nn n nb q b b q --⎛⎫++===- ⎪-⎝⎭-…+b 而1212n⎛⎫- ⎪⎝⎭是单调递增的，故[)121211,22n n b b ⎛⎫++=-∈ ⎪⎝⎭…+b [来源:](二) 结论探索性问题【例2】已知数列{}n a 中，2a a =（a 为非零常数），其前n 项和n S 满足1()()2n n n a a S n N +-=∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2a =，且21114m n a S -=，求m n 、的值； （3）是否存在实数a b 、，使得对任意正整数p ，数列{}n a 中满足n a b p +≤的最大项恰为第32p -项？ 若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】(1)先由()12n n n a a S -=得11111()02a a a S -===g ， 2n n na S =，11(1)2n n n a S +++=两式相减整理得1(1)n n n a na +-=，21(1)n n na n a ++=+， 再相减化为121n n n n a a a a +++-=-，故{}n a 是等差数列，(1)n a n a =-；(2)先求出()()221,1n n a n S n n =-=-代入21114m n a S -=整理得(223)(221)43m n m n +---=，只有22343,m n +-=且2211m n --=，解得12,11m n ==；(3)先排除0a <的情况，再求得0a >时有1p b n a -≤+，再由3231p bp p a--≤<-对任意正数p 成立可得310,a -= 13a =，最后验证2013b b -<≤-得213b <≤．【解析】（1）由已知，得11111()02a a a S -===g ，∴2n n na S =， 则有11(1)2n n n a S +++=，∴112()(1)n n n n S S n a na ++-=+-， 即1(1)n n n a na +-=，21(1)n n na n a ++=+，两式相加，得*122,n n n a a a n N ++=+∈， 即*121,n n n n a a a a n N +++-=-∈，故数列{}n a 是等差数列，又120,a a a ==，∴(1)n a n a =-（3）由n a b p +≤，得(1)a n b p -+≤， 若0a <，则1p bn a -≥+，不合题意，舍去； 若0a >，则1p bn a-≤+． ∵不等式n a b p +≤成立的最大正整数解为32p -， ∴32131p bp p a--≤+<-， 即2(31)3a b a p a b -<-≤-对任意正整数p 都成立，∴310a -=，解得13a =， 此时，2013b b -<≤-，解得213b <≤， 故存在实数a b 、满足条件，a 与b 的取值范围是12,133a b =<≤， 【点评】判定一个数列为等差数列的常见方法是：①验证2n ≥时1n n a a --为同一常数；②验证3n ≥时，112n n n n a a a a ----=-恒成立；③验证n a pn q =+；④验证2n S An Bn =+．本题（1）运用了方法②．【小试牛刀】【2017届河北武邑中学高三理周考】已知数列{}n a 中，11a =，且点()()*1n n P a a n N +∈，在直线10x y -+=上．⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵若函数()123123nnf n n a n a n a n a =++++++++…（n N ∈，且2n ≥），求函数()f n 的最小值； ⑶设1n nb a =，n S 表示数列{}n b 的前n 项和，试问：是否存在关于n 的整式()g n ，使得()()12311n n S S S S S g n -++++=-⋅…对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在，写出()g n 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)n a n =；（2）65)2(=f ；(3)n ng =)(，证明见解析. 【解析】⑴Θ点）（1,+n n a a P 在直线01=--y x 上，即11=-+n n a a ，且11=a ，∴数列}{n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，)2(1)1(1≥=⋅-+=∴n n n a n ，11=a 也满足，n a n =∴⑵Θn nn n n f 22211)(+++++=Λ， ∴22112213221)1(+++++-+++++=+n n n n n n n n n f Λ， 0)()1(≥-+∴n f n f ，)(n f ∴是单调递增的，故)(n f 的最小值是65)2(=f ． ⑶Θn S n b n n 1312111++++=⇒=Λ，)2(11≥=-∴-n nS S n n ， 即，1,,1)2()1(112221+=-+=---∴---S S S S S n S n n n n Λ，,1-n 1211++++=-∴-n n S S S S nS Λ)2()1(121≥⋅-=-=+++∴-n n S n nS S S S n n n Λ，n n g =∴)(．故存在关于n 的整式n n g =)(，使等式对于一切不小于2的自然数n 恒成立． 法二：先由3,2==n n 的情况，猜想出n n g =)(，再用数学归纳法证明． (三) 存在型探索问题通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用． 【例3】【广东省茂名市五大联盟学校2018届高三3月联考】设数列的前n 项和为，且满足（）.（1）求数列的通项公式；（2）是否存在实数,使得数列为等差数列？若存在，求出的值,若不存在,请说明理由. 【答案】(1)；(2)答案见解析.【分析】（1）由题意可得，据此有.且（）.，故，整理可得.数列是以2为首项,2为公比的等比数列，.（2）由（1）知，，，必要条件探路，若为等差数列，则，，成等差数列，据此可得.经检验时，成等差数列，故的值为-2.【解析】（1）由（），可知当时，.又由（）.可得，两式相减，得，即，即.所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列故.（2）由（1）知，，所以若为等差数列，则，，成等差数列，即有，即，解得. 经检验时，成等差数列，故的值为-2.【小试牛刀】【2017安徽六安一中上学期周检】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，13n S +是6与2nS 的等差中项()n N *∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数k ，使不等式()()21nn n k a S n N*-<∈恒成立，若存在，求出k 的最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)()*131N n a n n ∈=-；(2)存在,11. 【解析】（1）解法一：因为13n S +是6与2n S 的等差中项， 所以()1626n n S S n N *++=∈，即1113n n S S +=+，当2n ≥时有1113n n S S -=+② -①②得()1113n n n n S S S S +--=-，即113n n a a +=对2n ≥都成立又根据①有21113S S =+即121113a a a +=+，所以211133a a ==所以()113n n a n N *-=∈.所以数列{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列.解法二：因为13n S +是6与2n S 的等差中项 所以()1626n n S S n N *++=∈，即1113n n S S +=+，()n N *∈ 由此得()1313111312323232n n n n S S S S n N *+⎛⎫⎛⎫-=+-=-=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又11331222S a -=-=-，所以()1312332n n S n N S +*-=∈-， 所以数列32n S ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以为12-首项，13为公比的等比数列. 得1311223n n S -⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭，即()1311223n n S n N -*⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，所以，当2n ≥时，121131131112232233n n n n n n a S S ----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=---=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又1n =时，11a =也适合上式，所以()113n n a n N *-=∈. （2）根据（1）的结论可知， 数列{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列， 所以其前n 项和为()1311223n n S n N -*⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭原问题等价于()()()21111113323n n nk n N --*⎡⎤⎛⎫⎛⎫-<-∈⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦①恒成立. 当n 为奇数时，不等式左边恒为负数，右边恒为正数，所以对任意正整数k 不等式恒成立；当n 为偶数时，①等价于()2111123033n n k --⎛⎫⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，令113n t -⎛⎫= ⎪⎝⎭，有103t <<，则①等价于2230kt t +-<在103t <<恒成立，因为k 为正整数，二次函数223y kt t =+-的对称轴显然在y 轴左侧，所以当103t <<时，二次函数为增函数，故只须21123033k ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，解得012k <<，k N *∈，所以存在符合要求的正整数k ，且最大值为11.四、迁移运用1．【2017福建厦门一中高二上学期期中】数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*3113,21,n n S a S n N +==+∈，则符合5n S a >的最小的n 值为（ ）学！科网A ．8B ．7C ．6D ．5[来源学§科§网Z §X §X §K]【答案】D2．【2017届安徽淮北一中高三上学期四模】已知{}n a 是等比数列, 公比为q , 前n 项和是n S ，若1341,,a a a a - 成等差数列，则（ ）A ．10a >时，1n n S qS +<B ．10a >时，21n n S q S +< C. 10a <时，1n n S qS +< D ．10a <时，21n n S q S +<【答案】B【解析】1341,,a a a a -成等差数列，即314142,2a a a a a q =+-==.()()11122112n n n a S a -==--，()11121n n S a ++=-，()21421n n q S a =-，当10a >时，()()()211111214213120n n n n n S q S a a a ++-=---=-<，所以21n n S q S +<，选B.3．【2017届河北武邑中学高三周考】若数列{}n a 满足112324221n n a a a a n -++++=-…，且数列{}n a 的前n 项和为n S ，若实数λ满足对于任意*n N ∈都有24n S λλ<<，则λ的取值范围是 ． 【答案】143<≤λ 【解析】由,122421321-=++++-n a a a a n n 得2123124221123n n a a a a n n --++++=--=-（）2n ≥（），两式相减得）（2,221≥=-n a n n ，又1=n 时，11=a ，所以,)2(2112⎩⎨⎧≥==-n n a n n ），（所以212210213211211122221------=--+=++++=n n nn S ）（）（Λ，在1≥n 时单调递增，可得31<≤n S ，由题意可得,3412⎩⎨⎧≥<λλ解得143<≤λ.4．【2017届安徽淮北一中高三上学期四模】已知数列{}n a 与{}n b 满足()1122n n n n a b b a n N *+++=+∈，若()19,3n n a b n N *==∈且()33633n n a n λλ>+-+对一切n N *∈恒成立 ，则实数λ的取值范围是_________. 【答案】13,18⎛⎫+∞⎪⎝⎭5．【2017届山西临汾一中等五校高三联考】已知数列{}n a 的通项公式()(),14182,2nn a n a n a n =⎧⎪=⎨+--≥⎪⎩，若对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立，则a 的取值范围是_____________ . 【答案】()3,5【解析】∵对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立，∴1=n 时，21a a <，可得()a a 288-+<，解得316<a ．2≥n 时，()()()()()a n a n n n2811428141--++<--++，化为：()()01141>+--+n a ，k n 2=时，化为：()014>+--a ，解得3>a ；12+=k n 时，化为：014>+-a ，解得5<a ．综上可得：()3,5．∴a 的取值范围是()3,5．故答案为：()3,5．6．【2017届湖南湘中名校教改联合体高三12月联考】对于数列{}n a ，定义11222n nn a a a H n-+++=L 为{}n a 的“优值”，现在已知某数列{}n a 的“优值”12n n H +=，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若5n S S ≤对任意的n 恒成立，则实数k 的最大值为__________． 【答案】712,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题可知1112222n n na a a n-++++=L ，∴1112222n n n a a a n -++++=⋅L ①，212122(1)2n n n a a a n --+++=-⋅L ②，由①-②得：1122(1)2n n n n a n n -+=⋅--⋅，则22n a n =+，所以(2)2n a kn k n -=-⋅+，令(2)2n b k n =-⋅+，5n S S ≤Q ，560,0b b ∴≥≤，解得：71235k ≤≤，所以k 的取值范围是712[,]35. 7．【2017届江苏如东高级中学等四校高三12月联考】已知数列{}n x 各项为正整数，满足1, 21,nn n nn x x x x x +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数，为奇数，*n ∈N ．若343x x +=，则1x 所有可能取值的集合为__________． 【答案】{}1,2,3,4,8【解析】由题意得34341,22,1x x x x ====或；当31x =时，22x =，从而114x =或；当32x =时，214x =或，因此当21x =时，12x =；当24x =时，183x =或，综上1x 所有可能取值的集合为{}1,2,3,4,88.设等差数列{}n a 满足公差d N +∈,n a N +∈,且数列{}n a 中任意两项之和也是该数列的一项.若513a =，则d 的所有可能取值之和为_________________.【答案】364【解析】设,n m a a (m n)≠设等差数列{}n a 中的任意两项，由已知得，53(n 1)n a d =+-，53(1)m a m d =+-，则523(2)m n a a m n d +=⨯++-，设m n a a +是数列{}n a 中的第k 项，则有53(1)m n a a k d +=+-，即5523(2)3(1)m n d k d ⨯++-=+-，531d m n k =-+--，故d 的所有可能取值为23451,3,3,3,3,3，其和为61336413-=-． 9．【江苏省扬州市2017-2018学年度第一学期期末调研】已知各项都是正数的数列的前项和为，且，数列满足，.（1）求数列、的通项公式；（2）设数列满足，求和；（3）是否存在正整数，，，使得，，成等差数列？若存在，求出所有满足要求的，，，若不存在，说明理由. 【解析】（1）①，②，②-①得：，即，因为是正数数列，所以，即，所以是等差数列，其中公差为1，在中，令，得，所以，由得，所以数列是等比数列，其中首项为，公比为，所以.（2），裂项得，所以，（3）假设存在正整数，使得成等差数列，则，即，因为，所以数列从第二项起单调递减，当时，，若，则，此时无解；若，则，因为从第二项起递减，故，所以符合要求，若，则，即，不符合要求，此时无解；当时，一定有，否则若，则，即，矛盾，所以，此时，令，则，所以，，综上得：存在或，，满足要求.10．数列{}n x 满足： 11x =， 141n n n x x x ++=+， *n N ∈ (Ⅰ)判断n x 与2的大小关系，并证明你的结论； (Ⅱ)求证： 122222n x x x -+-++-<L . 【解析】Ⅰ) 当n 为奇数时， n x <2；当n 为偶数时， n x >2. 证明如下：()1221n n n x x x +---=+，两边同取倒数得：11131222n n n n x x x x++=-=-----，1111132424n nx x +⎛⎫+=-⨯+ ⎪--⎝⎭，所以数列1124n x ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以34-为首项， 3-为公比的等比数列，()11133244n n x -+=-⋅--， ()4231n nx -=--，所以当n 为奇数时，()42031n nx -=<--，即n x <2；当n 为偶数时， ()42031n nx -=>--， n x >2.当n 为偶数且4n ≥时， 要证1412312n n n x --=<-， 只需证2231nn⨯<-，即证212133n n⎛⎫⎛⎫⨯+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()21233nnf n ⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f n 单调递减， ()()max 41f n f =<，当n 为奇数且3n ≥时，要证1412312n n n x --=<+， 只需证2231nn⨯<+， 只需证223nn⨯<，即证2213n ⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭，令()223ng n ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，则()g n 单调递减， ()()max 31g n g =<， 所以()1412231n nn x --=<--成立， 所以122222n x x x -+-++-<L 成立.学科-网11．【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末】已知数列{}n a 满足11a =， 2142n n n n a a a a λμ+++=+，其中*N n ∈， λ， μ为非零常数.（1）若3λ=，8μ=，求证： {}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 是公差不等于零的等差数列. ①求实数λ，μ的值；②数列{}n a 的前n 项和n S 构成数列{}n S ，从{}n S 中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问：是否存在首项为1S 的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）当3λ=， 8μ=时， 213842n n n n a a a a +++=+ ()()3222n n n a a a ++=+ 32na =+， ()1131n n a a +∴+=+.又10n a +≠，不然110a +=，这与112a +=矛盾，{}1n a ∴+为2为首项，3为公比的等比数列，1123n n a -∴+=⋅， 1231n n a -∴=⋅-.经检验，满足题意. 综上，1λ=， 4μ=， 21n a n =-.②由①知()21212n n n S n +-==.设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数.1°若三个奇数一个偶数，设1S ， 21x S +， 21y S +， 2z S 是满足条件的四项， 则()2121x +++ ()222142017y z ++=，()2222x x y y z ∴++++ 1007=，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去.2°若一个奇数三个偶数，设1S ， 2x S ， 2y S ， 2z S 是满足条件的四项， 则2214x ++ 22442017y z +=， 222504x y z ∴++=. 由504为偶数知， x ， y ， z 中一个偶数两个奇数或者三个偶数.1）若x ， y ， z 中一个偶数两个奇数，不妨设12x x =， 121y y =+， 121z z =+， 则()222111112x y y z z ++++ 251=，这与251为奇数矛盾.2）若x ， y ， z 均为偶数，不妨设12x x =， 12y y =， 12z z =，则222111126x y z ++=，继续奇偶分析知1x ， 1y ， 1z 中两奇数一个偶数，不妨设122x x =， 1221y y =+， 1221z z =+，则22222x y y +++ 22231z z +=.[来源:Z §xx §]因为()221y y +， ()221z z +均为偶数，所以2x 为奇数，不妨设220y z ≤≤，当21x =时， 222222y y z z +++ 30=， 22214y y +≤，检验得20y =， 25z =， 21x =， 当23x =时， 222222y y z z +++ 22=， 22210y y +≤，检验得21y =， 24z =， 23x =， 当25x =时， 222222y y z z +++ 6=， 2222y y +≤，检验得20y =， 22z =， 25x =，即1S ， 4S ， 8S ， 44S 或者1S ， 12S ， 24S ， 36S 或者1S ， 4S ， 20S ， 40S 满足条件， 综上所述， {}14844,,,S S S S ， {}1122436,,,S S S S ， {}142040,,,S S S S 为全部满足条件的四元子列. 12．【西南名校联盟高三2018年元月考试】已知数列{}n a 为等差数列，公差为d ，其前n 项和为n S ，且1357915a a a a a ++++=， 24681025a a a a a ++++=.（1）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ；（2）若数列{}n b 满足14b a =， ()*13n n n b b n N +=+∈，求满足6n n b S n ≤+的所有n 的值. 【解析】学！科网（1）∵1357915a a a a a ++++=， 24681025a a a a a ++++=， ∴5515a =， 6525a =，得53a =， 65a =，∴2d =，∴()55n a a n d =+- ()325n =+- 27n =-，得15a =-，∴()112n n n S na d -=+26n n =-．（2）∵141b a ==， 13nn n b b +-=，∴()()()121122113331n n n n n n n b b b b b b b b -----=-+-+⋅⋅⋅+-+=++⋅⋅⋅++ ()3122n n -=≥，又13112b -==∴()31*2n n b n N -=∈，故由6n n b S n ≤+得2312nn -≤ ∴1n =或2n =．13．【2017届湖南长沙雅礼中学高三月考】已知首项为23的等比数列}{n a 的前n 项和为)(*∈N n S n ，且4324,,2S S S -成等差数列.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）对于数列}{n A ，若存在一个区间M ，均有),3,2,1(,Λ=∈i M A i ，则称M 为数列}{n A 的“容值区间”.设nn n S S b 1+=，试求数列}{n b 的“容值区间”长度的最小值. （注：区间],[),,[],,(),,(b a b a b a b a 的长度均为a b -） 【答案】（1）1)21(23--⋅=n n a ；（2）61． 【解析】（1）设等比数列}{n a 的公比为)0(≠q q ，由题意知342242S S S =+-，则)232323(2)23232323(4)2323(2232q q q q q q ++=+++++-，化简得06332=+q q ， 解得21-=q ，∴1)21(23--⋅=n n a .（2）由（1）可知n n S )21(1--=.当n 为偶数时，n n S )21(1-=，易知n S 随n 增大而增大，∴)1,43[∈n S ，此时]1225,2(1∈+=n n n S S b ； 当n 为奇数时，n n S )21(1+=，易知n S 随n 增大而减小，∴]23,1(∈n S ，此时]613,2(1∈+=n n n S S b . 又1225613>，∴]213,2(∈n b .故数列}{n b 的“容值区间”长度的最小值为61. 14．【2017届河南南阳一中高三上学期月考】已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足11()22n n n S a -++=（*n N ∈），设2n n n c a =.（1）求证：数列{}n c 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）按以下规律构造数列{}n b ，具体方法如下：11b c =，223b c c =+，34567b c c c c =+++，…，第n 项n b 由相应的{}n c 中12n -项的和组成，求数列{}n b 的通项公式．【答案】（1）2n nn a =；（2）232322n n --⨯-.【解析】（1）在11()22n n n S a -++=，①中，令1n =，得1112S a ++=，∴112a =． 当2n ≥时，2111()22n n n S a ---++=，②①-②得：1112()02n n n a a ----=，（2n ≥），∴1112()2n n n a a ---=，∴11221n n n n a a ---=，又2nn n c a =，∴11(2)n n c c n --=≥，又1121c a ==，所以数列{}n c 是等差数列，∴1(1)1n c n n =+-⨯=，又2nn n c a =，∴2n nn a =． （2）由题意得1111122122212(21)(21)n n n n n n n n b c c c c -----++-=++++=++++-……，而12n -，121n -+，122n -+，…，21n -是首项为12n -，公差为1的等差数列，设数列共有12n -项，所以，11222112322(21)222232222n n n n n n n n n b -------⎡⎤+-⨯+-⎣⎦===⨯-．15．【2017届福建连城县二中高三上学期期中】数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a t =，121n n a S +=+（*n N ∈）．（1）t 为何值时，数列{}n a 是等比数列？（2）在（1）的条件下，若等差数列{}n b 的前n 项和n T 有最大值，且315T =，又11a b +，22a b +，33a b +等比数列，求n T ．【答案】（1）1t =；（2）2205n T n n =-.【解析】（1）∵121n n a S +=+， ∴当2n ≥时，121n n a S -=+，两式相减得12n n n a a a +-=，即13n n a a +=， ∴当2n ≥时，数列{}n a 是等比数列， 要使数列{}n a 是等比数列， 当且仅当213a a =，即213t t+=，从而1t =．16．【2017届江西鹰潭一中高三上学期月考】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1,1a a =r ，()101,b a =r，若24a b =r rg ，且11143S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足()1121n a n T a λ-=--（*n N ∈）．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和；（Ⅱ）是否存在非零实数λ，使得数列为等比数列？并说明理由．【答案】（Ⅰ）21n a n =+，96+=n nM n ；（Ⅱ）不存在非零实数，使数列为等比数列，理由见解析．【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由()1,1a a =r ，()101,b a =r，24a b =r r g ，得11024a a +=又11143S =解得13a =，2d =，因此数列的通项公式是21n a n =+（*n N ∈），所以1111122123n n a a n n +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 所以111111123557212369n nM n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪+++⎝⎭L（Ⅱ）因为()1121n a n T a λ-=--（*n N ∈）且13a =可得124n n T λλ=+，当1n =时，16b λ=；当2n ≥时，1134n n n n b T T λ--=-=，此时有14n n b b -=，若是{}n b 等比数列，则有214bb =，而16b λ=，212b λ=，彼此相矛盾，故不存在非零实数，使数列为等比数列．17．【2017届河南中原名校豫南九校高三上学期质检四】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且55625S a a =+=.（1）求{}n a 的通项公式；[来源学科网ZXXK]（2）若不等式()()282714nn n S n k a ++>-+对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）34n a n =-（Ⅱ）2974k -<<18．【2017届江苏南京市盐城高三一模】若存在常数*(,2)k k N k ∈≥、q 、d ，使得无穷数列{}n a 满足1,,,,n n n n a d N ka n qa N k *+*⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩则称数列{}n a 为“段比差数列”，其中常数k 、q 、d 分别叫做段长、段比、段差. 设数列{}n b 为“段比差数列”.（1）若{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3. ①当0q =时，求2016b ；②当1q =时，设{}n b 的前3n 项和为3n S ，若不等式133n n S λ-≤⋅对n N *∈恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{}n b 为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{}n b ，并说明理由. 【答案】（Ⅰ）①6，②[)14,λ∈+∞（Ⅱ）n b b =或()11n n b b -=-.【解析】（1）①方法一：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，2014201300b b ∴=⨯=，2015201433b b ∴=+=，2016201536b b ∴=+=.方法二：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴11b =，24b =，37b =，4300b b =⨯=，5433b b =+=，6536b b =+=，7600b b =⨯=， ∴当4n ≥时，{}n b 是周期为3的周期数列. ∴201666b b ==.②方法一：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴()()()32313131331313126n n n n n n n n b b b d b qb d b q b d d b d +-+-----=+-=+-=++-==⎡⎤⎣⎦， ∴{}31n b -是以24b =为首项、6为公差的等差数列，又()()32313313131313n n n n n n n b b b b d b b d b ------++=-+++=Q ，()()()312345632313n n n n S b b b b b b b b b --∴=+++++++++L()()2253113346932n n n b b b n n n --⎡⎤=++=+⨯=+⎢⎥⎣⎦L ，133n n S λ-≤⋅Q ，313n n S λ-∴≤，设313nnn S c -=，则()max n c λ≥， 又()()()2221112322913193333n n n n n n n n n n n c c +-----++++-=-=，当1n =时，23220n n --<，12c c <；当2n ≥时，23220n n -->，1n n c c +<， ∴123c c c <>>⋅⋅⋅，∴()2max 14n c c ==， ∴14λ≥，得[)14,λ∈+∞.方法二：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴313n n b b +=，∴333333126n n n n b b b b d +++-=-==，∴{}3n b 是首项为37b =、公差为6的等差数列，∴()2363176342n n n b b b n n n -+++=+⨯=+L ， 易知{}n b 中删掉{}3n b 的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，()21245323122121362n n n n b b b b b b n n n ---∴++++++=⨯+⨯=-L ， ()()222334693n S n n n n n n ∴=++-=+，以下同方法一.方法二：设{}n b 的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，①若2k =，则1b b =，2b b d =+，()3b b d q =+，()4b b d q d =++，由2132b b b =，得b d bq +=；由2243b b b =，得()()2b d q b d q d +=++，联立两式，得01d q =⎧⎨=⎩或21d b q =-⎧⎨=-⎩，则n b b =或()11n n b b -=-，经检验均合题意.②若3k ≥，则1b b =，2b b d =+，32b b d =+，由2132b b b =，得()()22b d b b d +=+，得0d =，则n b b =，经检验适合题意.综上①②，满足条件的{}n b 的通项公式为n b b =或()11n n b b -=-.19．【2017届江苏如东高级中学等四校高三12月联考】已知数列{}n a 满足10a =，218a =，且对任意m ，*n ∈N 都有()221211324m n m n a a a m n --+-+=+-． （1）求3a ，5a ；（2）设2121n n n b a a +-=-（*n ∈N ）． ①求数列{}n b 的通项公式； ②设数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ，是否存在正整数p ，q ，且1p q <<，使得1S ，p S ，q S 成等比数列？若存在，求出p ，q 的值，若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）31a =，55a =（Ⅱ）①32n b n =-②2p =，16q = 【解析】（1）由题意，令2m =，1n =，则()231232214a a a +=+-，解得31a =． 令3m =，1n =，则()251332314a a a +=+-，解得55a =． （2）①以2n +代替m ，得23212123n n n a a a +-++=+．则()()()21212112113n n n n a a a a +-+++-⎡⎤---=⎣⎦，即13n nb b +-=． 所以数列{}n b 是以3为公差的等差数列．1311b a a =-=，()11332n b n n ∴=+-⨯=-．②因为()()111111323133231n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭． 所以11111111113447323133131n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ． 则114S =，31p p S p =+，31q q S q =+．因为1S ，p S ，q S 成等比数列，2131431p q p q ⎛⎫∴= ⎪++⎝⎭g ，即26134p q p q ++=． 所以1p q <<，34433q q q +∴=+>．2613p p+∴>．解得32332333p -+<<． 又1p <，且*p ∈N ，2p ∴=，则16q =．学科-网所以存在正整数2p =，16q =，使得1S ，p S ，q S 成等比数列．。
高考满分数学压轴题16 立体几何中探索性问题(可编辑可打印)
一．方法综述立体几何在高考中突出对考生空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力等核心素养的考查。
考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等；同时考查转化化归思想与数形结合的思想方法。
对于探索性问题（是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题）是近几年高考命题的热点，问题一般有三种类型：(1)条件追溯型；(2)存在探索型；(3)方法类比探索型。
现进行归纳整理，以便对此类问题有一个明确的思考方向和解决办法。
二．解题策略类型一 空间平行关系的探索【例1】（2020·眉山外国语学校高三期中（理））在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的动点（点M 与1A C 、不重合），则下列结论正确的是__________①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得平面DM 平面11B CD ； ③1A DM ∆的面积可能等于36；④若12,S S 分别是1A DM ∆在平面1111A B C D 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S【答案】①②③④【解析】①如图所示，当M 是1AC 中点时，可知M 也是1A C 中点且11B C BC ⊥，111A B BC ⊥，1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，所以11BC A M ⊥，同理可知1BD A M ⊥，立体几何中探索性问题且1BC BD B =，所以1A M ⊥平面1BC D ，又1A M ⊂平面1A DM ，所以平面1A DM ⊥平面1BC D ，故正确；②如图所示，取1AC 靠近A 的一个三等分点记为M ，记1111AC B D O =，1OC AC N =，因为11AC AC ，所以1112OC C N AC AN ==，所以N 为1AC 靠近1C 的一个三等分点， 则N 为1MC 中点，又O 为11A C 中点，所以1A M NO ，且11A DB C ，111A MA D A =，1NOB C C =，所以平面1A DM平面11B CD ，且DM ⊂平面1A DM ，所以DM 平面11B CD ，故正确；③如图所示，作11A M AC ⊥，在11AA C 中根据等面积得：12633A M ==， 根据对称性可知：16A M DM ==，又2AD =1A DM 是等腰三角形， 则122162322326A DMS⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故正确；④如图所示，设1AM aAC =，1A DM ∆在平面1111D C B A 内的正投影为111A D M ∆，1A DM ∆在平面11BB C C 内的正投影为12B CM ∆，所以1111122222A D M aS S a ∆==⨯⨯=，122121222222B CM a S S a ∆-==⨯-⨯=，当12S S 时，解得：13a =，故正确.故答案为 ①②③④【点评】.探索开放性问题，采用了先猜后证，即先观察与尝试给出条件再加以证明，对于命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，再寻找与条件相容或者矛盾的结论。
2020版高考数学大二轮专题突破理科通用版课件：2.4.3 利用导数证明问题及讨论零点个数
=
2������������-1>0
恒成立,
所以 F(x)在(1,+∞)上为增函数.又∵F(1)=2-0-2=0,
∴F(x)>0,即 h(x)min>0,故当 x∈(0,+∞)时,f(x)>g(x).
-10-
考向一 考向二 考向三 考向四
解题心得欲证函数不等式f(x)>g(x)(x∈I,I是区间),设h(x)=f(x)g(x)(x∈I),即证h(x)>0,为此研究h(x)的单调性,先求h'(x)的零点,根据 零点确定h(x)在给定区间I的正负,若h(x)在区间I内递增或递减或先 递减后递增,只须h(x)min>0(x∈I)(若h(x)min不存在,则须求函数h(x)的 下确界),若h(x)在区间I内先递增后递减,只须区间I的端点的函数值 大于或等于0;若h'(x)的零点不好求,可设出零点x0,然后确定零点的 范围,进而确定h(x)的单调区间,求出h(x)的最小值h(x0),再研究h(x0) 的正负.
则
g'(x)=���1���·������
3
-(ln ������+1)·3������ ������ 6
2
=-3ln���������4��� +2=-3(ln
������-ln ������ 4
e -23 ).
当 0<x<e-23时,g'(x)>0;当 x>e-23时,g'(x)<0.
所以 g(x)在区间
∴f(x)在(-∞,ln k)和(0,+∞)上单调递增,在[ln k,0]上单调递减.
由f(0)=-1,当x∈(-∞,0)时,f
22版：高考专题突破五 第3课时 证明与探索性问题（步步高）
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB 与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.
12345
证明 设 P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，则 x20＋4y20＝4. 因为A(2,0)，B(0,1)， 所以直线 PA 的方程为 y＝x0y－0 2(x－2)， 令 x＝0，得 yM＝－x02－y02，从而|BM|＝1－yM＝1＋x02－y02. 直线 PB 的方程为 y＝y0x－0 1x＋1， 令 y＝0，得 xN＝－y0x－0 1，从而|AN|＝2－xN＝2＋y0x－0 1.
y＝kx＋1， 联立方程x82＋y42＝1， 消去y得，(1＋2k2)x2＋4kx－6＝0. Δ＝16k2＋24(1＋2k2)>0恒成立，
设直线AB交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则 x1＋x2＝1－＋42kk2，x1x2＝1＋－26k2. 所以 kAN＋kBN＝y1x－1 4＋y2x－2 4＝kx1x－1 3＋kx2x－2 3 ＝2kx1x2－x13x2x1＋x2＝x11x21－＋122kk2＋1＋122kk2＝0.
12345
3.(2020·皖北协作区联考)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)， 且点F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆C的方程；
12345
解 依题意，可设椭圆 C 的方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)， 且可知左焦点F′的坐标为(－2,0). 所以c2＝a＝2，|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8， 解得ca＝＝24，. 又a2＝b2＋c2，所以b2＝12， 所以椭圆 C 的方程为1x62 ＋1y22 ＝1.
所以符合题意的直线l不存在.
12345
2020年 名师讲解高考数学总复习 高考专题突破5 第3课时 证明与探索性问题
第3课时 证明与探索性问题题型一 证明问题例1 设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .(1)解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)， NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)． 由NP →＝ 2 NM →得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在C 上， 所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2. (2)证明 由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )， PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ， OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )． 由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1.又由(1)知m 2＋n 2＝2， 故3＋3m －tn ＝0.所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →. 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .思维升华 圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法．跟踪训练1 已知椭圆T ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点A (0,1)，离心率e ＝63，圆C ：x 2＋y 2＝4，从圆C 上任意一点P 向椭圆T 引两条切线PM ，PN . (1)求椭圆T 的方程； (2)求证：PM ⊥PN .(1)解 由题意可知b ＝1，c a ＝63，即2a 2＝3c 2，又a 2＝b 2＋c 2，联立解得a 2＝3，b 2＝1. ∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)证明 ①当P 点横坐标为±3时，纵坐标为±1，PM 斜率不存在，PN 斜率为0，PM ⊥PN . ②当P 点横坐标不为±3时，设P (x 0，y 0)， 则x 02＋y 02＝4，设k PM ＝k ， PM 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k (x －x 0)，x 23＋y 2＝1，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6k (y 0－kx 0)x ＋3k 2x 20－6kx 0y 0＋3y 20－3＝0， 依题意Δ＝36k 2(y 0－kx 0)2－4(1＋3k 2)(3k 2x 20－6kx 0y 0＋3y 20－3)＝0，化简得(3－x 02)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0， 又k PM ，k PN 为方程的两根，所以k PM ，PN ＝－2x 0y 0±4x 20y 20－4(3－x 20)(1－y 20)2(3－x 20)，所以k PM ·k PN ＝1－y 203－x 20＝1－(4－x 20)3－x 20＝x 20－33－x 20＝－1.所以PM ⊥PN . 综上知PM ⊥PN .题型二 探索性问题例2 (2018·苏北三市模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P 在x 轴上方)．(1)若QF ＝2FP ，求直线l 的方程；(2)设直线AP ，BQ 的斜率分别为k 1，k 2.是否存在常数λ，使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)因为a 2＝4，b 2＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1， 所以F 的坐标为(1,0)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋1， 代入椭圆方程，得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0， 则y 1＝－3m ＋61＋m 24＋3m 2，y 2＝－3m －61＋m 24＋3m 2.若QF ＝2PF ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3m －61＋m 24＋3m 2＝2×－3m ＋61＋m 24＋3m 2，即3m ＋61＋m 24＋3m 2＝2×－3m ＋61＋m 24＋3m 2，3m ＋61＋m 2＝－6m ＋121＋m 2， 解得m ＝255(舍负)，故直线l 的方程为5x －2y －5＝0.(2)由(1)知，y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m 2， 所以my 1y 2＝－9m 4＋3m 2＝32(y 1＋y 2)，所以k 1k 2＝y 1x 1＋2· x 2－2y 2＝y 1(my 2－1)y 2(my 1＋3)＝32(y 1＋y 2)－y 132(y 1＋y 2)＋3y 2＝13， 故存在常数λ＝13，使得k 1＝13k 2.思维升华 解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法． 跟踪训练2 (2018·扬州期末)如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，且圆C 与y 轴交于M ，N 两点(点N 在点M 的上方)，直线l ：y ＝kx (k >0)与圆C 交于A ，B 两点．(1)若AB ＝255，求实数k 的值；(2)设直线AM ，直线BN 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在常数a 使得k 1＝ak 2恒成立？若存在，求出a 的值．若不存在，请说明理由；(3)若直线AM 与直线BN 相交于点P ，求证：点P 在一条定直线上． (1)解 ∵圆C ：x 2＋(y －2)2＝1， ∴圆心C (0,2)，半径r ＝1，∵直线l ：kx －y ＝0(k >0)与圆C 相交于A ，B 两点，且AB ＝255，∴圆心到l 的距离为d ＝ 1－⎝⎛⎭⎫12×2552＝25， ∴2k 2＋1＝25，解得k ＝±2.∵k >0，∴k ＝2.(2)解 ∵圆C 与y 轴交于M ，N 两点(点N 在点M 上方)， ∴M (0,1)，N (0,3)，∴AM ：y ＝k 1x ＋1，BN ：y ＝k 2x ＋3， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线AM 与圆C 方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，x 2＋(y －2)2＝1， 化简得(k 12＋1)x 2－2k 1x ＝0，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1k 21＋1，3k 21＋1k 21＋1，同理可求得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 2k 22＋1，k 22＋3k 22＋1， ∵O ，A ，B 三点共线，且OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1k 21＋1，3k 21＋1k 21＋1，OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 2k 22＋1，k 22＋3k 22＋1，∴2k 1k 21＋1· k 22＋3k 22＋1－⎝⎛⎭⎫－2k 2k 22＋1· 3k 21＋1k 21＋1＝0， 化简得(3k 1＋k 2)(k 1k 2＋1)＝0，∵k 1k 2＋1≠0，∴3k 1＋k 2＝0，即k 1＝－13k 2，∴存在实数a ＝－13，使得k 1＝ak 2恒成立．(3)证明 设P (x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝k 1x 0＋1，y 0＝k 2x 0＋3且k 1≠k 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2k 1－k 2，y 0＝3k 1－k2k 1－k 2.由(2)知k 2＝－3k 1，代入得y 0＝3k 1－(－3k 1)k 1－(－3k 1)＝32为定值．∴点P 在定直线y ＝32上．1．(2018·苏州期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且过点P (2，－1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交椭圆C 于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若直线PQ 平分∠APB ，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值． 解 (1)因为椭圆C 的离心率为c a ＝32，所以a 2－b 2a 2＝34，即a 2＝4b 2，所以椭圆C 的方程可化为x 2＋4y 2＝4b 2， 又椭圆C 过点P (2，－1)，所以4＋4＝4b 2， 解得b 2＝2，a 2＝8，所以所求椭圆C 的标准方程为x 28＋y 22＝1.(2)由题意知，直线P A 与PB 的斜率都存在， 设直线P A 的方程为y ＋1＝k (x －2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝8，y ＝k (x －2)－1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8(2k 2＋k )x ＋16k 2＋16k －4＝0， 所以x 1＝8k 2＋8k －21＋4k 2，因为直线PQ 平行于x 轴且平分∠APB ， 即直线P A 与直线PB 的斜率互为相反数， 设直线PB 的方程为y ＋1＝－k (x －2)， 同理求得x 2＝8k 2－8k －21＋4k 2.又⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1＝k (x 1－2)，y 2＋1＝－k (x 2－2)，所以y 1－y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ， 即y 1－y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝k · 16k 2－41＋4k 2－4k ＝－8k 1＋4k 2， x 1－x 2＝16k1＋4k 2.所以直线AB 的斜率为k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－8k 1＋4k 216k 1＋4k 2＝－12.2．(2018·江苏省海安高级中学月考)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x －3)2＋(y ＋2)2＝4，圆C 2：(x ＋m )2＋(y ＋m ＋5)2＝2m 2＋8m ＋10(m ∈R ，且m ≠－3)．(1)设P 为坐标轴上的点，满足：过点P 分别作圆C 1与圆C 2的一条切线，切点分别为T 1，T 2，使得PT 1＝PT 2，试求出所有满足条件的点P 的坐标；(2)若斜率为正数的直线l 平分圆C 1，求证：直线l 与圆C 2总相交． (1)解 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，圆C 1与圆C 2的半径分别为r 1，r 2，由题意得PC 21－r 21＝PC 22－r 22，即(x 0－3)2＋(y 0＋2)2－4＝(x 0＋m )2＋(y 0＋m ＋5)2－(2m 2＋8m ＋10)， 化简得x 0＋y 0＋1＝0， 因为P 为坐标轴上的点，所以点P 的坐标为(0，－1)或(－1,0)．(2)证明 依题意知直线l 过圆C 1的圆心(3，－2)， 可设直线l 的方程为y ＋2＝k (x －3)(k >0)， 即kx －y －3k －2＝0，则圆心C 2(－m ，－m －5)到直线l 的距离为|k －1|·|m ＋3|k 2＋1，又圆C 2的半径为2m 2＋8m ＋10，“直线l 与圆C 2总相交”等价于“∀m ∈R ，且m ≠－3，|k －1|·|m ＋3|k 2＋1<2m 2＋8m ＋10”， 即|k －1|k 2＋1< 2m 2＋8m ＋10(m ＋3)2，①记y ＝2m 2＋8m ＋10(m ＋3)2，整理得(y －2)m 2＋2(3y －4)m ＋9y －10＝0， 当y ＝2时，得m ＝－2； 当y ≠2时，由判别式Δ＝[2(3y －4)]2－4(y －2)(9y －10)≥0， 解得y ≥1.综上得y ＝2m 2＋8m ＋10(m ＋3)2，m ≠－3的最小值为1，所以由①可得|k －1|k 2＋1<1，解得k >0. 故直线l 与圆C 2总相交．3．(2018·宿州检测)已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝32，以椭圆C 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4 5. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若经过点P (1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，是否存在直线l 0：x ＝x 0(x 0>2)，使得A ，B 到直线l 0的距离d A ，d B 满足d A d B ＝P APB 恒成立，若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵c a ＝32，∴c ＝32a ， 又∵4a 2＋b 2＝45，∴a 2＋b 2＝5，由b 2＝a 2－c 2＝14a 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)若直线l 的斜率不存在，则直线l 0为任意直线都满足要求；当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(不妨令x 1>1>x 2)， 则d A ＝x 0－x 1，d B ＝x 0－x 2，P A ＝1＋k 2(x 1－1)，PB ＝1＋k 2(1－x 2)， ∵d A d B ＝P A PB， ∴x 0－x 1x 0－x 2＝1＋k 2(x 1－1)1＋k 2(1－x 2)＝x 1－11－x 2， 解得x 0＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)(x 1＋x 2)－2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －1)，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0， 由题意知，Δ>0显然成立，∴x 1,2＝8k 2±64k 4－4(1＋4k 2)(4k 2－4)2(1＋4k 2)，∴x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2，x 0＝8k 2－81＋4k 2－8k 21＋4k 28k 21＋4k 2－2＝4.综上可知存在直线l 0：x ＝4，使得A ，B 到直线l 0的距离d A ，d B 满足d A d B ＝P APB 恒成立．4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长与短轴长之和为6，椭圆上任一点到两焦点F 1，F 2的距离之和为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线AB ：y ＝x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，C ，D 在椭圆上，且C ，D 两点关于直线AB 对称，问：是否存在实数m ，使AB ＝2CD ，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由题意，2a ＝4,2a ＋2b ＝6，∴a ＝2，b ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)∵C ，D 关于直线AB 对称， 设直线CD 的方程为y ＝－x ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋t ，x 24＋y 2＝1消去y ，得5x 2－8tx ＋4t 2－4＝0，Δ＝64t 2－4×5×(4t 2－4)>0，解得t 2<5， 设C ，D 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1,2＝8t ±80－16t 210，∴x 1＋x 2＝8t5，x 1x 2＝4t 2－45，设CD 的中点为M (x 0，y 0)， ∴⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22＝4t 5，y 0＝－x 0＋t ＝t5，∴M ⎝⎛⎭⎫4t 5，t 5，又点M 也在直线y ＝x ＋m 上， 则t 5＝4t 5＋m ，∴t ＝－5m3， ∵t 2<5，∴m 2<95.则CD ＝1＋1|x 1－x 2|＝2· 45－t 25.同理AB ＝2· 45－m 25.∵AB ＝2CD ，∴AB 2＝2CD 2， ∴2t 2－m 2＝5，∴m 2＝4541<95，∴存在实数m ，使AB ＝2CD ，此时m 的值为±320541.5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，过右焦点F 且斜率为1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，N 为弦AB 的中点，O 为坐标原点． (1)求直线ON 的斜率k ON ；(2)求证：对于椭圆C 上的任意一点M ，都存在θ∈[0,2π)，使得OM →＝cos θOA →＋sin θOB →成立． (1)解 设椭圆的焦距为2c ，因为c a ＝63，所以a 2－b 2a 2＝23，故有a 2＝3b 2.从而椭圆C 的方程可化为x 2＋3y 2＝3b 2. ① 由题意知右焦点F 的坐标为(2b,0)， 据题意有AB 所在的直线方程为y ＝x －2b .② 由①②得4x 2－62bx ＋3b 2＝0.③设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点N (x 0，y 0)， 所以x 1,2＝62b ±72b 2－4×4×3b 28，所以x 0＝x 1＋x 22＝32b 4，y 0＝x 0－2b ＝－24b .所以k ON ＝y 0x 0＝－13.(2)证明 显然OA →与OB →可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM →，有且只有一对实数λ，μ，使得等式OM →＝λOA →＋μOB →成立．设M (x ，y )，由(1)中各点的坐标有(x ，y )＝λ(x 1，y 1)＋μ(x 2，y 2)，故x ＝λx 1＋μx 2，y ＝λy 1＋μy 2. 又因为点M 在椭圆C 上，所以有(λx 1＋μx 2)2＋3(λy 1＋μy 2)2＝3b 2，整理可得λ2(x 21＋3y 21)＋μ2(x 22＋3y 22)＋2λμ(x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2. ④由(1)可得x 1＋x 2＝32b 2，x 1·x 2＝3b 24.所以x 1x 2＋3y 1y 2＝x 1x 2＋3(x 1－2b )(x 2－2b ) ＝4x 1x 2－32b (x 1＋x 2)＋6b 2＝3b 2－9b 2＋6b 2＝0.⑤又点A ，B 在椭圆C 上，故有x 21＋3y 21＝3b 2， x 22＋3y 22＝3b 2.⑥将⑤，⑥代入④可得λ2＋μ2＝1.所以，对于椭圆上的每一个点M ，总存在一对实数，使等式OM →＝λOA →＋μOB →成立，且λ2＋μ2＝1.所以存在θ∈[0,2π)，使得λ＝cos θ，μ＝sin θ.也就是：对于椭圆C 上任意一点M ，总存在θ∈[0,2π)，使得等式OM →＝cos θOA →＋sin θOB →成立．6.如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →· OB →＋λP A →· PB →为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )， 又点P 的坐标为(0,1)，且PC →· PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝32，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝22，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(4k 2＋1)x 2＋8kx －4＝0，其判别式Δ＝(8k )2＋16(4k 2＋1)>0， 所以x 1,2＝－8k ±128k 2＋162(4k 2＋1)，所以x 1＋x 2＝－8k 4k 2＋1，x 1x 2＝－44k 2＋1，所以OA →·OB →＋λP A →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝(－4λ－8)k 2＋(－4λ－3)4k 2＋1＝－3λ＋14k 2＋1－λ－2.所以当λ＝－13时，－3λ＋14k 2＋1－λ－2＝－53，此时OA →·OB →＋λP A →· PB →＝－53为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ， 此时，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝OC →·OD →－13PC →·PD →＝－2＋13＝－53.故存在常数λ＝－13，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值－53.。
2020高考数学之冲破压轴题讲与练 专题04 应用导数研究函数的极(最)值【解析版】
第一章 函数与导数专题04 应用导数研究函数的极（最）值【压轴综述】纵观近几年的高考命题，应用导数研究函数的单调性、极（最）值问题，证明不等式、研究函数的零点等，是高考考查的“高频点”问题，常常出现在“压轴题”的位置.其中，应用导数研究函数的极（最）值问题的主要命题角度有：已知函数求极值(点)、已知极值(点)，求参数的值或取值范围、利用导数研究函数的最值、函数极值与最值的综合问题.本专题就应用导数研究函数的极（最）值问题，进行专题探讨，通过例题说明此类问题解答规律与方法. 一、函数极值的两类热点问题(1)求函数f (x )极值这类问题的一般解题步骤为：①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值． (2)由函数极值求参数的值或范围．讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f ′(x )＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号． 二、函数最值的基本求法1.求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： 第一步，求函数在(a ，b )内的极值；第二步，求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；第三步，将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值． 三、求解函数极值与最值综合问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．【压轴典例】例1.（2017课标II ，理11）若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e -- C.35e - D.1 【答案】A【解析】例2.（2019·北京高考真题（文））已知函数321()4f x x x x =-+. （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ），当M （a ）最小时，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）0x y -=和2727640x y --=.（Ⅱ）见解析； （Ⅲ）3a =-. 【解析】 （Ⅰ）23()214f x x x '=-+，令23()2114f x x x '=-+=得0x =或者83x =. 当0x =时，(0)0f =，此时切线方程为y x =，即0x y -=；当83x =时，88()327f =，此时切线方程为6427y x =-，即2727640x y --=； 综上可得所求切线方程为0x y -=和2727640x y --=.（Ⅱ）设321()()4g x f x x x x =-=-，23()24g x x x '=-，令23()204g x x x '=-=得0x =或者83x =，所以当[2,0]x ∈-时，()0g x '≥，()g x 为增函数；当8(0,)3x ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数；当8[,4]3x ∈时，()0g x '≥，()g x 为增函数；而(0)(4)0g g ==，所以()0g x ≤，即()f x x ≤； 同理令321()()664h x f x x x x =-+=-+，可求其最小值为(2)0h -=，所以()0h x ≥，即()6f x x ≥-，综上可得6()x f x x -≤≤.（Ⅲ）由（Ⅱ）知6()0f x x -≤-≤， 所以()M a 是,6a a +中的较大者，若6a a ≥+，即3a -≤时，()3M a a a ==-≥； 若6a a <+，即3a >-时，()663M a a a =+=+>； 所以当()M a 最小时，()3M a =，此时3π.例3.（2019·全国高考真题Ⅲ（理））已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）01a b =⎧⎨=-⎩或41a b =⎧⎨=⎩. 【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-． 令()0f x '=，得x =0或3ax =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增； 若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.（2）满足题设条件的a ，b 存在.（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，1b =-．（ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．（iii ）当0<a <3时，由（1）知，()f x 在[0，1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+． 若3127a b -+=-，b =1，则332a =，与0<a <3矛盾. 若3127a b -+=-，21a b -+=，则33a =或33a =-或a =0，与0<a <3矛盾． 综上，当且仅当a =0，1b =-或a =4，b =1时，()f x 在[0，1]的最小值为-1，最大值为1． 例4.（2017·山东高考真题（文））已知函数()3211,32f x x ax a R =-∈. (I)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(II)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 【答案】（Ⅰ）390x y --=；（Ⅱ）见解析. 【解析】（Ⅰ）由题意()2f x x ax '=-，所以，当2a =时， ()30f =， ()22f x x x '=-，所以()33f '=，因此，曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程是()33y x =-， 即390x y --=.（Ⅱ）因为()()()cos sin g x f x x a x x =+--， 所以()()()cos sin cos g x f x x x a x x =+---''，()()sin x x a x a x =--- ()()sin x a x x =--，令()sin h x x x =-， 则()1cos 0h x x ='-≥， 所以()h x 在R 上单调递增，因为()00h =，所以，当0x >时， ()0h x >；当0x <时， ()0h x <. （1）当0a <时， ()()()sin g x x a x x -'=-，当(),x a ∈-∞时， 0x a -<， ()0g x '>， ()g x 单调递增； 当(),0x a ∈时， 0x a ->， ()0g x '<， ()g x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时， 0x a ->， ()0g x '>， ()g x 单调递增. 所以当x a =时()g x 取到极大值，极大值是()31sin 6g a a a =--， 当0x =时()g x 取到极小值，极小值是()0g a =-. （2）当0a =时， ()()sin g x x x x -'=，当(),x ∈-∞+∞时， ()0g x '≥， ()g x 单调递增；所以()g x 在(),-∞+∞上单调递增， ()g x 无极大值也无极小值. （3）当0a >时， ()()()sin g x x a x x -'=-，当(),0x ∈-∞时， 0x a -<， ()0g x '>， ()g x 单调递增； 当()0,x a ∈时， 0x a -<， ()0g x '<， ()g x 单调递减； 当(),x a ∈+∞时， 0x a ->， ()0g x '>， ()g x 单调递增. 所以当0x =时()g x 取到极大值，极大值是()0g a =-； 当x a =时()g x 取到极小值，极小值是()31sin 6g a a a =--. 综上所述：当0a <时，函数()g x 在(),a -∞和()0,+∞上单调递增，在(),0a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是()31sin 6g a a a =--，极小值是()0g a =-； 当0a =时，函数()g x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，函数()g x 在(),0-∞和(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是()0g a =-，极小值是()31sin 6g a a a =--. 例5.（2016·山东高考真题（文））设f(x)=xln x –ax 2+(2a –1)x ，a R.（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；（Ⅱ）已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）当时，函数单调递增区间为，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为； （Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由 可得，则， 当时，时，，函数单调递增；当时，时，，函数单调递增， 时，，函数单调递减.所以当时，单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，. ①当时，，单调递减. 所以当时，，单调递减. 当时，，单调递增. 所以在x=1处取得极小值，不合题意.②当时，，由(Ⅰ)知在内单调递增，可得当当时，，时，，所以在(0,1)内单调递减，在内单调递增，所以在x=1处取得极小值，不合题意. ③当时，即时，在(0,1)内单调递增，在内单调递减，所以当时，，单调递减，不合题意.④当时，即，当时，，单调递增,当时，，单调递减，所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为.例6.（2019·全国高考真题（理））已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.【答案】(1)见详解；(2) 01a b =⎧⎨=-⎩或41a b =⎧⎨=⎩.【解析】(1)对32()2f x x ax b =-+求导得2'()626()3a f x x ax x x =-=-.所以有当0a <时，(,)3a -∞区间上单调递增，(,0)3a 区间上单调递减，(0,)+∞区间上单调递增； 当0a =时，(,)-∞+∞区间上单调递增；当0a >时，(,0)-∞区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a +∞区间上单调递增. (2)若()f x 在区间[0,1]有最大值1和最小值-1，所以若0a <，(,)3a -∞区间上单调递增，(,0)3a 区间上单调递减，(0,)+∞区间上单调递增；此时在区间[0,1]上单调递增，所以(0)1f =-，(1)1f =代入解得1b =-，0a =，与0a <矛盾，所以0a <不成立.若0a =，(,)-∞+∞区间上单调递增；在区间[0,1].所以(0)1f =-，(1)1f =代入解得 01a b =⎧⎨=-⎩.若02a <≤，(,0)-∞区间上单调递增，(0,)3a区间上单调递减，(,)3a +∞区间上单调递增.即()f x 在区间(0,)3a 单调递减，在区间(,1)3a 单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3a f 而(0),(1)2(0)fb f a b f ==-+≥，故所以区间[0,1]上最大值为(1)f .即322()()13321a a ab a b ⎧-+=-⎪⎨⎪-+=⎩相减得32227a a -+=，即(33)(33)0a a a -+=，又因为02a <≤，所以无解.若23a <≤，(,0)-∞区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a +∞区间上单调递增. 即()f x 在区间(0,)3a 单调递减，在区间(,1)3a 单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3a f 而(0),(1)2(0)fb f a b f ==-+≤，故所以区间[0,1]上最大值为(0)f .即322()()1331a a ab b ⎧-+=-⎪⎨⎪=⎩相减得3227a =，解得332x =，又因为23a <≤，所以无解.若3a >，(,0)-∞区间上单调递增，(0,)3a区间上单调递减，(,)3a +∞区间上单调递增. 所以有()f x 区间[0,1]上单调递减，所以区间[0,1]上最大值为(0)f ，最小值为(1)f即121b a b =⎧⎨-+=-⎩解得41a b =⎧⎨=⎩.综上得01a b =⎧⎨=-⎩或41a b =⎧⎨=⎩.例7.（2018·全国高考真题（理））已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：．【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）的定义域为，. （i ）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.（ii ）若，令得，或.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于，所以等价于.设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.所以，即.【思路点拨】(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间； (2)根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.（3）本题涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，确定函数的定义域，要对参数进行讨论.同时，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.例8. (2017·山东高考真题（理））已知函数()22cos f x x x =+， ()()cos sin 22xg x ex x x =-+-，其中 2.71828e =L 是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()(),f x π处的切线方程；（Ⅱ）令()()()()h x g x af x a R =-∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值. 【答案】（1）22ππ2y x =-- （2）见解析 【解析】 （Ⅰ）由题意()22fππ=-又()22sin f x x x =-'， 所以()2f ππ'=，因此 曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为()()222y x πππ--=-，即 222y x ππ=--.（Ⅱ）由题意得 ()()()2cos sin 222cos x h x e x x x a x x =-+--+， 因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin xx h x ex x x e x x a x x =-+-+--+--'()()2sin 2sin x e x x a x x =---()()2sin x e a x x =--，令()sin m x x x =- 则()1cos 0m x x ='-≥ 所以()m x 在R 上单调递增. 因为()00,m =所以 当0x >时， ()0,m x > 当0x <时， ()0m x <(1)当0a ≤时， xe a - 0>当0x <时， ()0h x '<， ()h x 单调递减， 当0x >时， ()0h x '>， ()h x 单调递增，所以 当0x =时()h x 取得极小值，极小值是 ()021h a =--； (2)当0a >时， ()()()ln 2sin x a h x e e x x '=--由 ()0h x '=得 1ln x a =， 2=0x ①当01a <<时， ln 0a <，当(),ln x a ∈-∞时， ()ln 0,0x a e e h x '-， ()h x 单调递增； 当()ln ,0x a ∈时， ()ln 0,0xae eh x -><'， ()h x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时， ()ln 0,0xae eh x ->>'， ()h x 单调递增.所以 当ln x a =时()h x 取得极大值.极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--； ②当1a =时， ln 0a =，所以 当(),x ∈-∞+∞时， ()0h x '≥，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值； ③当1a >时， ln 0a >所以 当(),0x ∈-∞时， ln 0x a e e -<， ()()0,h x h x '>单调递增； 当()0,ln x a ∈时， ln 0x a e e -<， ()()0,h x h x '<单调递减； 当()ln ,x a ∈+∞时， ln 0x a e e ->， ()()0,h x h x '>单调递增； 所以 当0x =时()h x 取得极大值，极大值是()021h a =--； 当ln x a =时()h x 取得极小值.极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.综上所述：当0a ≤时， ()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增， 函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值； 当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增， 在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值， 极大值是()021h a =--；极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.【压轴训练】1．（2019·青海湟川中学高三月考）已知函数2()2ln 2f x a x x x =+-（a R ∈）在定义域上为单调递增函数，则a 的最小值是（ ） A ．14B ．12C ．13D ．15【答案】A 【解析】由题意知：函数定义域为()0,∞+，且()()22222x x a a f x x x x-+'=+-=()f x Q 在定义域上为单调递增函数 20x x a ∴-+≥对()0,x ∈+∞恒成立即：2a x x ≥-+对()0,x ∈+∞恒成立 当12x =时，2x x -+取得最大值：111424-+= 14a ∴≥，即a 的最小值为14本题正确选项：A2．（2019·湖北黄冈中学高考模拟（理））已知函数()ln 2f x a x x =-+（a 为大于1的整数），若()y f x =与(())y f f x =的值域相同，则a 的最小值是（ ）（参考数据：ln20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A 【解析】'()ln 2()=1a a x f x a x x f x x x -=-+⇒-=，当x a >时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当0x a <<时，'()0f x >，函数()f x 单调递增，故max ()()ln 2f x f a a a a ==-+，又当0,()x f x →→-∞，所以函数()f x 的值域为(,ln 2]a a a -∞-+，令'()ln 2()ln 11ln ,t a a a a t a a a =-+⇒=+-='1,()0a a Z t a >∈∴>Q 因此()t a 是单调递增函数，因此当2,a a Z ≥∈时， ()(2)2ln 20t a t ≥=>，令()ln 2f x a x x n =-+=由上可知：ln 2n a a a ≤-+，(())()y f f x f n ==，由上可知函数(n)f 在0x a <<时，单调递增，在x a >时，单调递减，要想(())()y f f x f n ==的值域为(,ln 2]a a a -∞-+，只需ln 2a a a a ≤-+，即ln 220a a a -+≥，设()ln 22g a a a a =-+，2,a a Z ≥∈，'()ln 1g a a =-，所以当3,a a Z ≥∈时，函数()g a 单调递增，(2)2ln 240,(3)3ln 340g g =-<=-<，(4)4ln 460,(5)5ln 580g g =-<=->，所以a 的最小值是5，故本题选A.3. （2019·湖北高考模拟（理））已知直线x t =与曲线()()()ln 1,xf x xg x e =+=分别交于,M N 两点，则MN的最小值为________ 【答案】1. 【解析】令()()()ln(1)th t g t f t e t =-=-+，1'()()()1t h t g t f t e t =-=-+，显然为增函数，且'(0)0h = 所以当(1,0)t ∈-时，'()0,()h t h t <单调递减； 当(1,)t ∈+∞时，'()0,()h t h t >单调递增.所以min ()(0)1h t h ==. 故答案为1.4.（2018届海南省高三第二次联考）若1x =是函数()()ln x f x e a x =+的极值点，则实数a =__________． 【答案】e -【解析】因为()1ln +x x f x e x e a x='+⋅（），且1x =是函数()()ln x f x e a x =+的极值点，所以()10f e a '=+=，解得a e =-.5.（2019·甘肃兰州一中高考模拟（理））已知函数()()()121102x f x f ef x x -'=-+,其中()f x '是函数()f x 的导数, e 为自然对数的底数, ()212g x x ax b =++ (a R ∈,b R ∈). （Ⅰ）求()f x 的解析式及极值;（Ⅱ）若()()f x g x ≥，求(1)b a +的最大值. 【答案】（Ⅰ）()212xf x e x x =-+,0x =为极大值点,且(0)1f =；（Ⅱ）2e.【解析】（Ⅰ）由已知得()()()110x f x f ef x -''=-+,令1x =, 得()()()1101f f f ''=-+,即()01f =,又()()'10f f e=, ∴()1f e '=,从而()212xf x e x x =-+, ∴()1x x f e x '=+-, 又()1xx f e x '=+-在R 上递增,且()00f '=,∴当0?x <时, ()0f x '<；当0x >时, ()0f x '>, 故0x =为极大值点,且(0)1f =. （Ⅱ）由()()f x g x ≥得()212f x x ax b ≥++， 令()()10xh x e a x b =-+-≥，得()()1xh x e a '=-+, ①当10a +≤时, ()()0h x y h x '>⇔=在x ∈R 上单调递增,x →-∞时, ()h x →-∞与()0h x ≥相矛盾;②当10a +>时, ()0ln(1)h x x a >'>⇔+,()()0ln 1h x x a '<⇔<+ ∴当()ln 1x a =+时, ()()()()min 11ln 10h x a a a b =+-++-≥, 即()()()11ln 1a a a b +-++≥,∴()()()()22111ln 1a b a a a +≤+-++,()10a +>,令()()22ln 0F x x x x x =->,则()()12ln F x x x '=-,∴()00F x x e '>⇔<<,()0F x x e '<⇔>, 当x e =时, ()max 2e F x =, 即当1a e =-,2eb =时, ∴()1b a +的最大值为2e , 6.（2019·山东高考模拟（理））已知抛物线216y x =，过抛物线焦点F 的直线l 分别交抛物线与圆22(4)16x y -+=于,,,A C D B （自上而下顺次）四点.（1）求证：||||AC BD ⋅为定值； （2）求||||AB AF ⋅的最小值. 【答案】(1)见证明；(2)108 【解析】（1）有题意可知，(4,0)F可设直线l 的方程为4x my =+，1122(,),(,)A x y B x y联立直线和抛物线方程2164y x x my ⎧=⎨=+⎩，消x 可得216640y my --=，所以1216y y m +=，1264y y =-， 由抛物线的定义可知，112||4,||42pAF x x BF x =+=+=+， 又||||4,||||4AC AF BD BF =-=-，所以2221212264||||(||4)(||4)16161616y y AC BD AF BF x x ⋅=--==⋅==，所以||||AC BD ⋅为定值16.（2）由（1）可知，12||||||8AB AF BF x x =+=++，1||4AF x =+，212111212||||(8)(4)12432AB AF x x x x x x x x ⋅=+++=++++，由1216x x =，可得2116x x =， 所以211164||||1248AB AF x x x ⋅=+++（其中1>0x ）， 令264()1248f x x x x =+++，222642(2)(4)()212x x f x x x x-+'=+-=， 当(0,2)x ∈时，()0f x '<，函数单调递减，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数单调递增， 所以()(2)108f x f ≥=. 所以||||AB AF ⋅的最小值为108.7.（2018届江西省上饶市高三二模）设函数()22ln x e kf x k x x x=++（k 为常数， 2.71828e =L 为自然对数的底数）．（1）当0k ≥时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在()0,3内存在三个极值点，求实数k 的取值范围．【答案】(1) ()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,.+∞（2）322,,322e e e e ⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】(1) 函数()f x 的定义域为()0,+∞.()()()2423222xx x x e kxx e xe k k f x x x x x -+-=-'+=. 由0,0k x ≥>可得0xe kx +>，所以当()0,2x ∈时， ()0f x '<；当()2,x ∈+∞时， ()0f x '>.故()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,.+∞（2）由（1）知，当0k ≥时，函数()f x 在()0,2内单调递减，在()2,3内单调递增，故()f x 在()0,3内仅存在一个极值点2x =；当0k <时，令0x xe e kx k x +=⇒-=， ()x e g x x =，依题函数y k =-与函数()xe g x x=， ()0,3x ∈的图象有两个横坐标不等于2的交点.()()21x e x g x x='-，当()0,1x ∈时， ()0g x '<，则()g x 在()0,1上单调递减，当()1,3x ∈时， ()0g x '>，则()g x 在()1,3上单调递增；而()()()231,2,3.23e e g e g g === 所以当2323e e k <-<即3232e e k -<<-时，存在12023x x <<<<使得xe k x -=， 且当()10,x x ∈时()0f x '<，当()1,2x x ∈ ()0f x '>，当()22,x x ∈时()0f x '<，当()2,3x x ∈时()0f x '>，此时()f x 存在极小值点12,x x 和极大值点2；同理，当22e e k <-<即22e k e -<<-时，存在3402x x <<<使得xe k x -=，此时()f x 存在极小值点1,2x 和极大值点2x .综上，函数()f x 在()0,3内存在三个极值点时，实数k 的取值范围为322,,322e e e e ⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.8．（2018届北京市城六区高三一模）已知函数()1e ln xf x a x x ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，其中a R ∈． （Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值；（Ⅱ）当()0,ln2a ∈时，证明： ()f x 存在极小值． 【答案】（Ⅰ）0a =．（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ） ()f x 的导函数为()2211121e ln e e ln x x x f x a x a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+++⋅-=⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'．依题意，有 ()()1e 1e f a =⋅+='，解得0a =． （Ⅱ）由()221e ln xf x a x x x ⎛⎫=⋅++'- ⎪⎝⎭及e 0x >知， ()f x '与221ln a x x x +-+同号． 令()221ln g x a x x x =+-+， 则 ()()22331122x x x g x x x -='+-+=． 所以对任意()0,x ∈+∞，有()0g x '>，故()g x 在()0,+∞单调递增． 因为()0,ln2a ∈，所以()110g a =+>， 11ln 022g a ⎛⎫=+<⎪⎝⎭， 故存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00g x =． ()f x 与()f x '在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上的情况如下： x01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭0x()0,1x()f x ' -+()f x↘极小值↗所以()f x 在区间01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在区间()0,1x 上单调递增． 所以()f x 存在极小值()0f x ．9.（2019·天津高三期中（理））已知函数()()3232f x ax x b x R =-+∈在1x =处有极值32.（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）在[]1,1x ∈-时，求函数()f x 的最值.【答案】(Ⅰ)1,2a b ==；(Ⅱ)最大值为2，最小值为12-. 【解析】(Ⅰ)由函数的解析式可得：2'()33f x ax x =-，则3(1)2(1)0f f ⎧=⎪⎨⎪=⎩'，即：3322330a b a ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩. 经检验1,2a b ==符合题意. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：()32322f x x x =-+，()2'()3331f x x x x x =-=-， 令'()0f x =可得0x =或1x =，由于：()3111222f -=--+=-，()3311222f =-+=，()02f =，故函数的最大值为()02f =，函数的最小值为()112f -=-.10.（2019·新疆高考模拟（文））已知函数（Ⅰ）若,求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数有两个极值点，求征：.【答案】（Ⅰ）在上单调递增，在上单调递减；（Ⅱ）详见解析.【解析】 （Ⅰ）当时，，，当时，，当时，在上单调递增，在上单调递减；（Ⅱ），有两个极值点得,，，令,则 ,在上单调递增,.11．（2019·广西高考模拟（理））设函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）已知函数在上有极值，求实数的取值范围.【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）.【解析】（1）.当时.由有，解得；.所以函数在上单调递增，在上单调递减.（2）设，，因为函数在上有极值点，所以函数在上有零点.当时，，∴，∴，∴在上单调递增，∵，所以当时恒成立，即函数在上没有零点.当时，，，时，，时，，∴在上单调递减，在上单调递增∵，且在上单调递减，∴.对于，当时，，所以存在使.所以函数在上有零点.所以函数在上有极值点时，实数的取值范围是.12.（2019·天津高考模拟（理））已知函数2()ln (21)f x a x x a x =-+-，其中a R ∈. （Ⅰ）当a=1时，求函数()f x 的单调区间： （Ⅱ）求函数()f x 的极值；（Ⅲ）若函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）单调减区间为（1，+∞） ，增区间为（0,1）; （Ⅱ）见解析（Ⅲ）a>1 【解析】（Ⅰ）当a=1时,()2f x ?lnx x x =-+, f′（x ）=()()2x 1x 112x 1x x+--+=- 当f′（x ）<0时，x>1; f′（x ）>0时，0<x<1∴函数()f x 的单调减区间为（1，+∞） ，增区间为（0,1） （Ⅱ）f （x ）的定义域是（0，+∞）， f′（x ）()()()2x 1x a a2x 2a 1x x+-=-+-=-， 若a≤0，则f′（x ）＜0，此时f （x ）在（0，+∞）递减，无极值 若a ＞0，则由f′（x ）＝0，解得：x ＝a ，当0＜x ＜a 时，f′（x ）>0，当x ＞a 时，f′（x ）<0， 此时f （x ）在（0，a ）递增，在（a ，+∞）递减；∴当x=a 时，函数的极大值为f(a)=a lna a 1)+-（，无极小值 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知当 a≤0时，f （x ）在（0，+∞）递减，则f(x)至多有一个零点，不符合题意，舍去； 当a ＞0时，函数的极小值为f(a)=a lna a 1)+-（， 令g(x)=lnx+x-1(x>0)∵()110,g x x+>'=∴g(x)在（0，+∞）单调递增，又g(1)=0, ∴0<x<1时，g(x)<0;x>1时，g(x)>0 (i) 当0<a≤1,f(a)=ag(a) ≤0,则函数f(x)至多有一个零点，不符合题意，舍去； (ii) 当a>1时，f(a)=ag(a)>0 ∵21211f 10a e e e e⎛⎫⎛⎫=---< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴函数f(x)在（1,a e ）内有一个零点，∵f(3a -1)=aln(3a-1)-()()()()()23121313131a a a a ln a a ⎡⎤-+--=---⎣⎦ 设h(x)=lnx-x(x>2) ∵()110,h x x-<'=∴h(x)在（2，+∞）内单调递减，则h(3a-1)<h(2)=ln2-2<0 ∴函数f （x ）在（a,3a-1）内有一个零点.则当a>1时，函数f(x)恰有两个零点 综上，函数()f x 有两个不同的零点时，a>113．（2019·北京高考模拟（文））已知函数()(1)ln ()f x m x x m =++∈R . （1）当1m =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若函数211()+()2g x x f x x=-在区间(1,2)内有且只有一个极值点，求m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）310x y --=（Ⅱ）见解析（Ⅲ）124m -<<【解析】（Ⅰ）当1m =时，()2ln f x x x =+， 所以1(x)2'=+f x，(1)3f '=． 又(1)2f =，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为310x y --= （Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞．1(1)1()1m x f x m x x'++=++=， （1）当10m +…即1m -…时， 因为(0,)x ∈+∞，()0f x '>，所以()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间. （2）当10+<m ，即1m <-时，令()0f x '=，得11x m =-+．当101<<-+x m 时，()0f x '>； 当11x m >-+时，()0f x '<； 所以()f x 的单调增区间为10,1m ⎛⎫-⎪+⎝⎭，减区间为1,1m ⎛⎫-+∞ ⎪+⎝⎭．综上，当1m -…时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间； 当1m <-时，()f x 的单调增区间为10,1m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，减区间为1,1m ⎛⎫-+∞ ⎪+⎝⎭．（Ⅲ）因为211()(1)ln 2g x x m x x x=+-+-， 所以322211(1)1()(1)x m x x g x x m x x x'-+--=--+-=. 令322()(1)1,()32(1)1h x x m x x h x x m x '=-+--=-+-.若函数()g x 在区间(1,2)内有且只有一个极值点, 则函数()h x 在区间(1,2)内存在零点. 又(0)10h '=-<，所以()h x '在(0,)+∞内有唯一零点0x . 且()00,x x ∈时，()0h x '<()0,x x ∈+∞时，()0h x '>则()h x 在()00,x 内为减函数，在()0,x +∞内为增函数. 又因为(0)10h =-<且()h x 在(1,2)内存在零点, 所以(1)0(2)0h h <⎧⎨>⎩解得124m -<<. 显然()h x 在()1,2内有唯一零点，记为1x .当()11,x x ∈时，()1()0,,2h x x x <∈时，()0h x >，所以()h x 在1x 点两侧异号，即()g x '在1x 点两侧异号，1x 为函数()g x 在区间(1,2)内唯一极值点.当2m ≤-时，(1)20h m =--≥ 又(1)0,()0h h x ''>>在(1,2)内成立,所以()h x 在(1,2)内单调递增，故()g x 无极值点.当14m ≥时，(2)0,(0)0h h ≤<易得(1,2)x ∈时,()0h x <故()g x 无极值点. 所以当且仅当124m -<<时，函数()g x 在区间(1,2)内有且只有一个极值点.14.（2019·北京高考模拟（理））已知函数21()2sin +1,()cos 2f x x xg x x m x =-=+. （Ⅰ）求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在(0,)π上的单调区间；（Ⅲ）当1m >时，证明：()g x 在(0,)π上存在最小值.【答案】（Ⅰ）1y x =-+；（Ⅱ）单调递减区间为(0,)3π,单调递增区间为()3ππ,；（Ⅲ）详见解析.【解析】（Ⅰ）因为()2sin 1f x x x =-+，所以'()12cos f x x =-则(0)1f =，'(0)1f =-，所以切线方程为1y x =-+（Ⅱ）令'()0f x =，即1cos 2x =，()0,x π∈，得3x π= 当x 变化时，(),()f x f x '变化如下：x (0,)3π3π ()3ππ, '()f x-0 +()f x减最小值增所以函数()f x 的单调递减区间为(0,)3π,单调递增区间为()3ππ,（Ⅲ）因为21()cos 2g x x m x =+，所以'()sin g x x m x =- 令'()()sin h x g x x m x ==-，则'()1cos h x m x =-因为1m >，所以1(0,1)m∈ 所以'()1cos 0,h x m x =-=即1cos x m=在()0,π内有唯一解0x 当()00,x x ∈时，()0h x '<，当()0,x x π∈时，()0h x '>， 所以()h x 在()00,x 上单调递减,在()0,x π上单调递增. 所以0()(0)0h x h <=，又因为()0h ππ=>所以()sin h x x m x =-在0(,)(0,)x ππ⊆内有唯一零点1x 当()10,x x ∈时，()0h x <即'()0g x <，当()1,x x π∈时，()0h x >即'()0g x >，所以()g x 在()10,x 上单调递减,在()1,πx 上单调递增. 所以函数()g x 在1x x =处取得最小值 即1m >时，函数()g x 在()0,π上存在最小值15.（2019·山东高考模拟（理））设函数()2ln f x x a x =-.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当2a =时，①求函数()f x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；②若存在1x ，2x ，…，1,n x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x f x -+++≤L 成立，求n 的最大值.【答案】（1）见解析（2）①()min 1f x =，()2max 2f x e =-②6【解析】（1）()222a x af x x x x='-=-，故当0a ≤时，()0f x '≥，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，令()0f x '>，得22a x >，所以函数()f x 在2,2a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增； 令()0f x '<，得22a x <，所以函数()f x 在20,2a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上，当0a ≤时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，函数()f x 在2,2a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,2a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减（2）①当2a =时，由（1）知，函数()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增.故()()min 11f x f ==，又因为21123f e e⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，()2225.29 2.722 2.82 5.84f e e =-<=-<-=， 故()()2max 2f x f e e ==-. ②由于，()()()()()()()21212111n n e f e f x f x f x f x n f n --=≥≥+++≥-=-L ，故217n e ≤-<.由于1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()21,2f x e ⎡⎤∈-⎣⎦，取123451x x x x x =====，则()()()212552f x f x f x e +++=<-L ，故n 的最大值为6.16.（2019·山东高考模拟（文））已知函数.（Ⅰ）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （Ⅱ）若，求的最大值. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】 （Ⅰ）由题意知， 在上恒成立，所以在上恒成立.令，则，所以在上单调递增，所以，所以.（Ⅱ）当时，.则，令，则，所以在上单调递减.由于，，所以存在满足，即.当时，，；当时，，. 所以在上单调递增，在上单调递减.所以，因为，所以，所以，所以.。
2020版高考数学大二轮专题突破理科通用版专题突破练9 利用导数证明问题及讨论零点个数 Word版
姓名，年级：时间：专题突破练9利用导数证明问题及讨论零点个数1.设函数f（x)=e2x—a ln x.（1)讨论f（x）的导函数f'(x)零点的个数;(2)证明：当a〉0时，f（x)≥2a+a ln2a。
2.（2019福建漳州质检二,理21)已知函数f（x)=x ln x.（1）若函数g（x）=f(x)x2−1x，求g（x)的极值；(2）证明：f（x）+1<e x-x2。
（参考数据:ln 2≈0。
69,ln 3≈1。
10,e32≈4.48，e2≈7。
39）3。
(2019河南洛阳三模，理21)已知函数f（x)=ln x-kx，其中k∈R为常数.（1)讨论函数f（x）的单调性;(2)若f(x）有两个相异零点x1,x2(x1〈x2)，求证：ln x2〉2-ln x1.—1,a∈R。
4.(2019四川成都二模,理21)已知函数f(x)=ln x+a1x(1)若f(x）≥0，求实数a取值的集合;≥2—ln x+x2+（e-2）x。
(2）证明：e x+1x5.设函数f（x)=ln x—x+1。
（1)讨论f（x）的单调性;<x；(2)证明当x∈(1，+∞）时,1<x-1lnx（3)设c〉1，证明当x∈（0,1）时，1+(c-1）x〉c x。
6.已知函数f（x)=（x—2)e x+a（x—1）2有两个零点。
(1)求a的取值范围;（2）设x1,x2是f（x)的两个零点,证明:x1+x2〈2。
7.(2019天津卷,理20)设函数f(x)=e x cos x,g(x)为f(x）的导函数. (1）求f(x)的单调区间;(2）当x∈π4,π2时,证明f(x）+g（x）π2-x≥0；(3）设x n为函数u（x)=f（x)—1在区间2nπ+π4,2nπ+π2内的零点，其中n∈N，证明2nπ+π2-x n<e-2nπsin x0-cos x0.参考答案专题突破练9利用导数证明问题及讨论零点个数1.解 (1)f(x)的定义域为（0,+∞）,f'（x）=2e2x-ax(x>0）.当a≤0时，f'(x）>0，f’（x)没有零点,当a〉0时，因为e2x单调递增,-ax单调递增，所以f’（x)在（0,+∞）单调递增.又f’（a）>0，当b满足0<b〈a4且b<14时,f'(b)〈0,故当a〉0时,f’（x）存在唯一零点.（2）由(1)，可设f’（x）在(0,+∞)的唯一零点为x0，当x∈（0，x0)时，f'(x）〈0；当x∈(x0,+∞）时,f'（x)〉0.故f(x）在（0,x0)单调递减，在(x0，+∞)单调递增，所以当x=x0时，f （x）取得最小值,最小值为f（x0)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020高考数学导数中的证明与探索性问题考点考题突破
【知识框图】
【自主热身，归纳总结】
1、（2017⋅江苏）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数'()f x 的极值点是
()f x 的零点．
（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：33b a >；
2、(2017镇江期末）已知函数f (x )＝ln x x ，g (x )＝λ(x 2－1)(λ为常数)．
(1) 若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )在x ＝1处有相同的切线，求实数λ的值；
(2) 若λ＝12，且x ≥1，证明：f (x )≤g (x )；
3、(2017南京、盐城二模）已知函数f (x )＝e x －ax －1，其中e 为自然对数的底数，a ∈R .
(1) 若a ＝e ，函数g (x )＝(2－e)x .
①求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；
②若函数F (x )＝⎩⎨⎧ f (x )，x ≤m ，g (x )，x ＞m
)的值域为R ，求实数m 的取值范围． (2) 若存在实数x 1，x 2∈[0,2]，使得f (x 1)＝f (x 2)，且|x 1－x 2|≥1，求证：e －1≤a ≤e 2－e.
4、(2017扬州期末）已知函数f(x)＝g(x)·h(x)，其中函数g(x)＝e x，h(x)＝x2＋ax＋a.
(1) 求函数g(x)在(1，g(1))处的切线方程；
(2) 当0＜a＜2时，求函数f(x)在x∈[－2a，a]上的最大值；
(3) 当a＝0时，对于给定的正整数k，问函数F(x)＝e·f(x)－2k(ln x＋1)是否有零点？请说明理由．(参考数据e≈2.718，e≈1.649，e e≈4.482，ln2≈0.693)
【问题探究，变式训练】
题型一、与零点、极值点有关的证明
利用导数证明不等式的常规解题策略：(1) 构造差函数h(x)＝f(x)－g(x)，根据差函数的导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；(2) 根据条件，寻找目标函数．一般思路为充分利用条件将求和问题转化为对应项之间的大小关系，或利用放缩、等量代换等手段将多元函数转化为一元函数．
例1、(2019无锡期末）已知函数f(x)＝e x－a
2x
2－ax(a>0)．
(1) 当a＝1时，求证：对于任意x>0，都有f(x)>0 成立；
(2) 若函数y＝f(x)恰好在x＝x1和x＝x2两处取得极值，求证：x1＋x2
2<ln a
【变式1】、(2019南通、泰州、扬州一调）已知函数f(x)＝a
x
＋ln x(a∈R)．
(1) 讨论f(x)的单调性；
(2) 设f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)有两个不相同的零点x1，x2.
①求实数a的取值范围；
②证明：x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2ln a＋2.
【变式2】(2018常州期末）已知函数f(x)＝
ln x
（x＋a）2
，其中a为常数．
(1) 若a＝0，求函数f(x)的极值；
(2) 若函数f(x)在(0，－a)上单调递增，求实数a的取值范围；
(3) 若a＝－1，设函数f(x)在(0，1)上的极值点为x0，求证：f(x0)<－2.
【变式3】(2017南京学情调研）已知函数f(x)＝ax2－bx＋ln x，a，b∈R.
(1) 当a＝b＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；
(2) 当b＝2a＋1时，讨论函数f(x)的单调性；
(3) 当a ＝1，b ＞3时，记函数f (x )的导函数f ′(x )的两个零点是x 1和x 2 (x 1＜x 2)，求证：f (x 1)
－f (x 2)＞34－ln2.
【变式4】(2018南京、盐城一模）设函数f(x)＝ln x ，g(x)＝ax ＋b x －c(a ，b ，c ∈R )．
(1) 当c ＝0时，若函数f (x )与g (x )的图像在x ＝1处有相同的切线，求a ，b 的值；
(2) 当b ＝3－a 时，若对任意x 0∈(1，＋∞)和任意a ∈(0，3)，总存在不相等的正实数x 1，x 2，使得g (x 1)＝g (x 2)＝f (x 0)，求c 的最小值；
(3) 当a ＝1时，设函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点．求证：x 1x 2－x 2<b <x 1x 2－x 1.
题型二 探索性问题
探索性问题论证可以运用反证法，假设存在，解题的难点在于导出矛盾，根据已知条件，得到方程解的问题，通过构造函数，研究函数的单调性，得到方程不成立，从而与假设矛盾，证得结论．
例2、(2019南京、盐城一模）若函数y ＝f(x)在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f(x)的极值点．
设函数f(x)＝x 3－tx 2＋1(t ∈R )．
(1) 若函数f (x )在(0，1)上无极值点，求t 的取值范围；
(2) 求证：对任意实数t ，函数f (x )的图像总存在两条切线相互平行；
(3) 当t ＝3时，函数f (x )的图像存在的两条平行切线之间的距离为4，求满足此条件的平行线共有几组．
【变式1】(2019苏州三市、苏北四市二调）已知函数f(x)＝2ln x ＋12x 2－ax ，a ∈R .
(1) 当a ＝3时，求函数f (x )的极值；
(2) 设函数f (x )在x ＝x 0处的切线方程为y ＝g (x )，若函数y ＝f (x )－g (x )是(0，＋∞)上的单调增函数，求x 0的值；
(3) 是否存在一条直线与函数y ＝f (x )的图像相切于两个不同的点？并说明理由．
【变式2】(2018苏州暑假测试）已知函数f(x)＝(ax 2＋x)e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .
(1) 若f′(x)是函数f(x)的导函数，当a>0时，解关于x的不等式f′(x)>e x；
(2) 若f(x)在[－1，1]上是单调递增函数，求a的取值范围；
(3) 当a＝0时，求整数k的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[k，k＋1]上有解．
【变式3】(2017苏北四市期末）已知函数f(x)＝x2
2e－ax，g(x)＝ln x－ax，a∈R.
(1) 解关于x(x∈R)的不等式f(x)≤0；
(2) 证明：f(x)≥g(x)；
(3) 是否存在常数a，b，使得f(x)≥ax＋b≥g(x)对任意的x＞0恒成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
【变式4】(2017南京、盐城一模）设函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋a－1
x－3(a∈R)．
(1) 当a＝2时，解关于x的方程g(e x)＝0(其中e为自然对数的底数)；
(2) 求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的单调增区间；
(3) 当a＝1时，记h(x)＝f(x)·g(x)，是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h(x)有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．
(参考数据：ln2≈0.693 1，ln3≈1.098 6)。