湖北省华中师大一附中2016-2017学年度第一学期期中考试高三年级理科数学试卷(含详细答案)
2017-2018学年湖北省华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试数学(理)(详细答案版)
2017-2018学年湖北省华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试数学（理）一、选择题：共12题1．已知复数z =21−i,则下列命题中正确的个数为①|z|=√2 ②z̅=1−i ③z 的虚部为i ④z 在复平面上对应点在第一象限 A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】本题考查复数的代数形式的运算.解答本题时要注意先对复数进行除法运算,然后对命题进行判断,确定真命题的个数.因为z =21−i =1+i ,所以|z|=√2,z̅=1−i,z 的虚部为1,z 在复平面上对应点(1,1)在第一象限.所以正确命题的序号为①②④,合计有3个.故选C.2．下列函数为偶函数且在(0,＋∞)上为增函数的是A.f(x)=(∫costdt x0)2 B.f(x)=x 2+3x 2C.f(x)=12x +x 2 D.f(x)=x(e x −e −x ) 【答案】D【解析】本题考查函数的基本性质.解答本题时要注意根据所给的函数进行逐一判断,确定满足条件的函数解析式.由题可得,因为f (x )=(∫costdt x 0)2=(sinx)2是偶函数但在(0,＋∞)上不单调,所以排除A;因为f(x)=x 2+3x 2是偶函数,但在(0,＋∞)上不单调,所以排除B.因为f(x)=12x +x 2不是偶函数,所以排除C;故选D.3．已知集合A ={x|y =lg2−x x+2},集合B ={y|y =1−x 2},则集合{x|x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B}为A.[−2,1]∪(2,+∞)B.(−2,1)∪(2,+∞)C.(−∞,−2)∪[1,2)D.(−∞,−2]∪(1,2)【答案】D【解析】本题考查集合的基本运算.解答本题时要注意先求得集合A,B,然后求得并集与交集,再求得结论.因为A ={x|y =lg 2−xx+2}={x |−2<x <2}, B ={y |y =1−x 2}={y|y ≤1}.所以A ∪B =(−∞,2),A ∩B =(−2,1].所以{x|x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B}=(−∞,−2]∪(1,2).故选D.4．下列说法正确的是A.“∀x,y ∈R ,若x +y ≠0,则x ≠1且y ≠−1”是真命题B.在同一坐标系中,函数y =f(1+x)与y =f(1−x)的图象关于y 轴对称.C.命题“∃x ∈R ,使得x 2+2x +3<0”的否定是“∀x ∈R ,都有x 2+2x +3>0”D.a ∈R ,“1a <1 ”是“a >1”的充分不必要条件【答案】B【解析】本题考查常用逻辑用语.解答本题时要注意对选项进行逐一判断,排除错误说法,确定正确说法.对于选项A,取x =1,y =0,则x +y ≠0,但x ≠1且y ≠−1不成立,所以是假命题,故排除A;对于选项C,命题“∃x ∈R ,使得x 2+2x +3<0”的否定是“∀x ∈R ,都有x 2+2x +3≥0”,故排除C;对于选项D,当1a <1时有a <0或a >1,所以是必要不充分条件,故排除D.所以说法正确的是选项B.故选B.5．如图,在△ABC 中,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 是BN 上的一点,若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数m 的值为A.19B.13C.1D.3【答案】A【解析】本题考查平面向量的线性运算.解答本题时要注意利用平面向量的基本定理及其线性运算,表示向量,通过向量相等,求得实数的值.由题可得,AP⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +nBN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−n )AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +nAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−n )AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n 4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以n 4=29,解得n =89,所以m =1−n =19.故选A.6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女子善织,日益功,疾,初日织五尺,今一月织七匹三丈(1匹=40尺,一丈=10尺),问日益几何?”其意思为:“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快,从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,第一天织5尺,一月织了七匹三丈,问每天增加多少尺布?”若这一个月有31天,记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为a n ,则a 1+a 3+⋅⋅⋅+a 29+a 31a 2+a 4+⋅⋅⋅+a 28+a 30的值为 A.2930B.1615C.13D.15【答案】B【解析】本题考查等差数列求和问题解答本题时要注意根据《九章算术》题中意思,构造等差数列,然后求和比较.由题可得,该问题可转化为等差数列求和问题.已知首项为5,设公差为d ,则31×5+31×322d =310,解得d =516.所以a 1+a 3+⋅⋅⋅+a 29+a 31a2+a 4+⋅⋅⋅+a 28+a 30=16×5+2+302×15×515×5+1+292×15×5=1615.故选B.7．若tanα−1tanα=32,α∈(π4,π2),则sin(2α+π4)的值为 A.±√210B.√25C.√210D.±√25【答案】C【解析】本题考查三角函数恒等变换.解答本题时要注意先根据条件求得tanα,再转化计算得到sinα及cosα.最后计算得到结论.因为tanα−1tanα=32,α∈(π4,π2),所以tanα=−12.所以sinα=√55,cosα=−2√55.所以sin (2α+π4)=√22sin2α+√22cos2α=√2sinαcosα+√22(2cos 2α−1)=√2×√55×(−2√55)+√22(2×25−1)=√210.故选C.8．某食品的保鲜时间y (单位:小时)与储存温度x (单位:°C )满足函数关系y =e kx+b (e =2.718⋯为自然对数的底数,k,b 为常数),若该食品在0°C 的保鲜时间是192小时,在22°C 的保鲜时间是48小时,则该食品在33°C 的保鲜时间是( )小时. A.22 B.23 C.24 D.33【答案】C【解析】本题考查函数模型的实际应用.解答本题时要注意根据条件确定函数关系式,然后求值计算.由题可得,{192=e b 48=e22k+b ,解得e 11k =12,所以当x =33时,y =e 33k+b =(e 11k )3∙e b=(12)3×192=24.故选C.9．已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如所示,为了得到y =f(x)的图象需将y =cos2x 的图象A.向右平移π3个单位长度 B.向左平移π3个单位长度 C.向右平移π6个单位长度 D.向左平移π6个单位长度【答案】A【解析】本题考查三角函数的图象与性质.解答本题时要注意先根据给出的函数的部分图象确定函数的解析式,然后考查函数图象平移问题.由图可知,T4=7π12−π3=π4,解得T =π=2πω,解得ω=2.由五点法可知,当x =π3时,2π3+φ=π2,解得φ=−π6.所以f (x )=sin (2x −π6)=cos(2x −π3).所以需将y =cos2x 的图象向右平移π3个单位长度即可得到y =f(x)的图象.故选A.10．已知定义在R 上的偶函数f(x),满足f (x +4)=f(x),且x ∈[0,2]时,f (x )=sin πx +2|sin πx |,则方程f (x )−|lg x |=0在区间[0,10]上根的个数是 A.18 B.19C.10D.9【答案】B【解析】本题考查函数与方程.解答本题时要注意利用函数的奇偶性及周期性,画出函数的图象,结合图象判断方程的根的情况.由题可得,因为f (x +4)=f(x),所以函数是周期为4的函数,因为当x ∈[0,2],f (x )=sin πx +2|sin πx |={3sinπx,0≤x ≤1−sinπx,1<x ≤2.因为函数是偶函数,所以可知函数的图象如图所示,在同一坐标系内画出函数y =|lg x |的图象.结合函数的图象可知,方程f (x )−|lg x |=0在区间[0,10]上根的个数是19个.故选B.11．在△ABC 和△AEF 中,B 是EF 的中点,AB =EF =1,BC =6,CA =√33,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,则EF⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角的余弦值为A.12 B.23C.34D.−13【答案】B【解析】本题考查平面向量的数量积运算.解答本题时要注意利用已知的向量数量积,化简求值,再结合数量积的定义,求得向量的夹角.因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2,即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BE⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2.因为AB =1,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√33×1×2×√33×1=−1,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以1+BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−1=2,即BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2.设EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ,则有BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ=3cosθ=2.所以cosθ=23.故选B.12．设函数f(x)=e x (x −ae x )(其中e 为自然对数的底数)恰有两个极值点x 1,x 2(x 1<x 2),则下列说法中正确的是 A.0<a <13 B.0<x 2<1 C.−12<f(0)<0 D.f(x 1)+f(x 2)>0【答案】C【解析】本题考查导数及其应用.解答本题时要注意先对函数进行求导,然后利用函数恰有两个极值点,通过函数分解,考查函数图象的交点,判断选项的正确与否.由题可得,f ′(x )=e x (x −ae x )+e x (1−ae x )=e x (x +1−2ae x ).因为函数恰有两个极值点,所以f ′(x )=0有两个根,即x +1−2ae x =0有两个根x 1,x 2(x 1<x 2),所以函数y =x +1与y =2ae x 的图象有两个不同的交点.结合图形(图略)可知,要使满足条件,则0<2a <1,所以0<a <12.所以f (0)=−a ∈(−12,0).所以选项C 正确.故选C.二、填空题：共4题13．函数y =lg(−x 2−2x +3)的单调递增区间是________.【答案】(−3,−1]或(−3,−1)【解析】本题考查函数的单调性.解答本题时要注意根据复合函数的单调性的判断方式,求得函数的单调递增区间.由题可得,令−x 2−2x +3>0,解得−3<x <1.因为函数y =lgx 在定义域内单调递增,函数y =−x 2−2x +3在(-3,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,由复合函数的单调性判断方式可知,函数y =lg(−x 2−2x +3)的单调递增区间是(−3,−1)或(−3,−1].14．已知向量a =(6,−2),b =(1,m),且a ⊥b ,则|a −2b|= .【答案】4√5【解析】本题考查平面向量的数量积运算.解答本题时要注意先利用向量垂直,计算得到实数m的值,然后进行求模计算.因为向量a=(6,−2),b=(1,m),且a⊥b,所以6−2m= 0,解得m=3.所以a−2b=(4,-8),所以|a−2b|=√16+64=√80=4√5.15．已知数列{a n}的通项公式为a n=−n2+10n−194,当a1a2a3+a2a3a4+a3a4a5+⋯+a n a n+1a n+2取得最大值时,n的值为_________.【答案】9【解析】本题考查数列的求和.解答本题时要注意根据数列的通项公式,判断数列的项是正项的情况,然后判断使得结论取到最大值时的n的值.令a n=−n2+10n−194>0,由n∈N∗解得n≤9.且有a10<0,a11<0.因为a8a9a10+a9a10a11=−(16−194)(9−194)×19 4+(9−194)×194×(11+194)=(9−194)×194×(−5+192)>0,所以可知当n=9时,a1a2a3+a2a3a4+a3a4a5+⋯+a9a10a11取到最大值.16．若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a−x)=2b(其中a2+b2≠0),则称函数y=f(x)为“中心对称函数”,称点(a,b)为函数f(x)的“中心点”.现有如下命题:①函数f(x)=sinx+1是“中心对称函数”;②若“中心对称函数”y=f(x)在R上的“中心点”为(a,f(a)),则函数F(x)=f(x+a)−f(a)是R上的奇函数;③函数f(x)=x3−2x2+6x−2是“中心对称函数”,且它的“中心点”一定为(1,2);④函数f(x)=2x−cos x是“中心对称函数”,且它的“中心点”一定为(π2,π).其中正确的命题是___ _____.(写出所有正确命题的序号)【答案】①②③【解析】本题考查函数的性质.解答本题时要注意根据中心对称函数的定义对命题逐一验证,得到正确的命题.由题可得,因为y=sinx图象关于点(0,0)对称,所以f(x)=sinx+1,图象关于点(0,1)对称,所以是中心对称函数,所以①正确;因为函数是中心对称函数,所以有f(a+x)+f(a−x)=2f(a),所以F(−x)=f(−x+a)−f(a)=2f(a)−f(a+x)−f(a)=f(a)−f(a+x)=−[f(a+x)−f(a)]=−F(x),所以函数是奇函数,所以②正确;因为f(1−x)+f(1+x)=(1−x)3−2(1−x)2+6(1−x)−2+(1+x)3−2(1+x)2+6(1+x)−2=1−3x+3x2−x3−2+2x−2x2+6−6x−2+1+3x+3x2+x3−2−2x−2x2+6+6x−2=4=2×2.所以可知函数f(x)=x3−2x2+6x−2是“中心对称函数”,且它的“中心点”一定为(1,2),所以③正确;因为f(π2−x)+f(π2+x)=2(π2−x)−cos(π2−x)+2(π2+x)−cos(π2+x)=2π−2sinx≠2π,所以函数不是中心对称函数,所以④错误.所以正确的命题是①②③.三、解答题：共6题17．已知向量a=(sinx,cos(π−x)),b=(2cosx,2cosx),函数f(x)=a⋅b+1.(1)求f(x)的对称中心;(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值,并求出相应x的值.【答案】(1)因为f(x)=a⋅b+1=2sin x cos x+cos(π−x)·2cos x+1=2sin x cos x−2cos2x+1=sin2x−cos2x=√2sin(2x−π4),所以f(x)的对称中心为(kπ2+π8,0)(k∈Z).(2)由(1)得,f(x)=sin2x−cos2x=√2sin(2x−π4),因为x∈[0,π2],所以2x−π4∈[−π4,3π4],所以当2x−π4=π2时,即x=3π8时,f(x)的最大值是√2;当2x−π4=π4时,即x=0时,f(x)的最小值是−1.【解析】本题考查三角函数的图象与性质.解答本题时要注意(1)利用平面向量数量积的坐标表示,结合三角恒等变换,化简函数的解析式,利用整体代换,求得函数的对称中心;(2)利用整体代换,结合函数y=sin x的图象与性质,求得函数在给定区间的最大值与最小值.18．已知函数f(x)＝log4(4x+1)＋kx(k∈R).(1)当k=−12时,若方程f(x)−m＝0有解,求实数m的取值范围;(2)试讨论f(x)的奇偶性.【答案】(1)由m＝f(x)＝log4(4x+1)−12x,∴m＝log44x+12x＝log4(2x+12x).∵2x+12x ≥2,∴m≥12.(2)依题意得定义域为R,关于原点对称∵f(x)=log4(4x+1)＋kx,f(−x)=log4(4−x+1)−kx,令f(x)=f(−x),得log44x+14−x+1＝−2kx,即log44x＝−2kx, ∴x=−2kx对一切k∈R恒成立.∴k=−12时f(x)=f(−x),此时函数f(x)是偶函数,∵f(0)=log 4(40+1)−k ×0=log 42=12,∴函数f(x)不是奇函数, 综上,当k =−12时,函数f(x)是偶函数; 当k ≠−12时,函数f(x)是非奇非偶函数.【解析】本题考查函数的性质及函数与方程.解答本题时要注意(1)利用方程有解,转化为函数值域问题,由此得到实数m 的取值范围;(2)根据实数k 的取值情况,利用函数奇偶性的定义,判断函数的奇偶性.19．已知数列{a n },{b n },S n 为数列{a n }的前n 项和,且满足a 2=4b 1,S n =2a n −2,nb n+1−(n +1)b n =n 2+n(n ∈N ∗). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)试问{bn n}能否为等差数列,请说明理由;(3)若数列{c n }的通项公式为c n ={−a n bn 2,n 为奇数a nb n4,n 为偶数,令T n 为{c n }的前n 项的和,求T 2n .【答案】(1)当n =1时,S 1=2a 1−2⇒a 1=2,当n ≥2时,由{S n=2a n −2S n−1=2a n−1−2,得:a n =2a n −2a n−1,则a n =2a n−1, 综上,{a n }是公比为2,首项为2的等比数列,a n =2n ; (2){bn n}是等差数列,理由如下:∵a 2=4b 1,∴b 1=1,∵nb n+1−(n +1)b n =n 2+n ,∴bn+1n+1−b n n=1综上,{b nn}是公差为1,首项为1的等差数列,且bn n=1+n −1⇒b n =n 2; (3)令p n =c 2n−1+c 2n =−(2n−1)2⋅22n−12+(2n)2⋅22n4=(4n −1)⋅22n−2=(4n −1)⋅4n−1,{T 2n =3×40+7×41+11×42+⋯+(4n −1)×4n−14T 2n=3×41+7×42+11×43+⋯+(4n −5)×4n−1+(4n −1)×4n ①②①-②,得:−3T 2n =3⋅40+4⋅41+4⋅42+⋯+4⋅4n−1−(4n −1)⋅4n =3+16−4⋅4n 1−4−(4n −1)⋅4n ,所以T 2n =79+12n−79⋅4n .【解析】本题考查等比数列及其求和问题.解答本题时要注意(1)根据数列的前n 项和与通项之前的递推关系式,判断得到数列是等比数列,并由此表示得到通项公式;(2)根据递推关系式,判断得到数列{bnn}时等差数列,由此得到其通项公式;(3)通过化简得到数列的通项公式,结合错位相减法,求得数列的前n 项和.20．已知函数f(x)=e x −ax(a ∈R,e 为自然对数的底数).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若a =1,函数g(x)=(x −m)f(x)−e x +x 2+x 在(2,+∞)上为增函数,求实数m 的取值范围.【答案】(1)函数f(x)的定义域为R,f ′(x)=e x −a . 当a ≤0时,f ′(x)>0,∴f(x)在R 上为增函数; 当a >0时,由f ′(x)=0得x =lna ,当x ∈(−∞,lna)时,f ′(x)<0,∴函数f(x)在(−∞,lna)上为减函数, 当x ∈(lna,+∞)时,f ′(x)>0,∴函数f(x)在(lna,+∞)上为增函数 (2)当a =1时,g(x)=(x −m)(e x −x)−e x +x 2+x , ∵g(x)在(2,+∞)上为增函数;∴g ′(x)=xe x −me x +m +1≥0在(2,+∞)上恒成立, 即m ≤xe x +1e x −1在(2,+∞)上恒成立, 令ℎ(x)=xe x +1e x −1,x ∈(2,+∞),则ℎ′(x)=(e x )2−xe x −2e x(e −1)=e x (e x −x−2)(e −1),令L(x)=e x −x −2,L ′(x)=e x −1>0在(2,+∞)上恒成立,即L(x)=e x −x −2在(2,+∞)上为增函数,即L(x)>L(2)=e 2−4>0, ∴ℎ′(x)>0,即ℎ(x)=xe x +1e x −1在(2,+∞)上为增函数,∴ℎ(x)>ℎ(2)=2e 2+1e 2−1,∴m ≤2e 2+1e 2−1,所以实数m 的取值范围是(−∞,2e 2+1e 2−1].【解析】本题考查函数与导数的应用.解答本题时要注意(1)对函数进行求导,利用实数a 的取值情况,结合导数的正负,判断函数的单调性,求得函数的单调区间;(2)先确定函数的解析式,利用函数在给定区间的单调性,结合导数大于0恒成立,构造不等式,并参变分离,构造新的函数,求导,利用导数判断函数的单调性,求得最小值,由此计算得到实数m 的取值范围.21．如图所示,某住宅小区一侧有一块三角形空地ABO ,其中OA =3km,OB =3√3km,∠AOB =90∘.物业管理拟在中间开挖一个三角形人工湖OMN ,其中M,N 都在边AB 上(M,N 不与A,B 重合,M 在A,N 之间),且∠MON =30∘.(1)若M 在距离A 点2km 处,求点M,N 之间的距离;(2)为节省投入资金,三角形人工湖OMN 的面积要尽可能小.试确定M 的位置,使△OMN 的面积最小,并求出最小面积.【答案】(1)在△ABO 中,因为OA =3,OB =3√3,∠AOB =90∘,所以∠OAB =60∘, 在△OAM 中,由余弦定理得:OM 2=AO 2+AM 2−2AO ⋅AMcosA =7, 所以OM =√7, 所以cos∠AOM =OA 2+OM 2−AM 22AO⋅AM=2√77,在△OAN 中,sin∠ONA =sin(∠A +∠AON)=sin(∠AOM +90∘)=cos∠AOM =2√77, 在△OMN 中,由MNsin30∘=OMsin∠ONA ,得MN =√72√77×12=74;(2)设∠AOM =θ,0∘<θ<60∘ ,在△OAM 中,由OMsin∠OAB =OAsin∠OMA ,得OM =3√32sin(θ+60∘), 在△OAN 中,由ONsin∠OAB =OAsin∠ONA ,得ON =3√32sin(θ+90∘)=3√32cosθ,所以S △OMN =12OM ⋅ONsin∠MON =12⋅3√32sin(θ+60∘)⋅3√32cosθ⋅12＝2716sin(θ+60∘)cosθ＝8sinθcosθ+8√3cos 2θ＝4sin2θ+4√3cos2θ+4√3＝8sin(2θ+60∘)+4√30<θ<60∘.当2θ+60∘=90∘,即θ=15∘时,S △OMN 的最小值为27(2−√3)4.所以应设计∠AOM =15∘,可使△OMN 的面积最小,最小面积是27(2−√3)4km 2【解析】本题考查解三角形的实际应用.解答本题时要注意(1)在三角形中利用余弦定理求得OM 及cos∠AOM 的值,再利用正弦定理求得MN 的值;(2)利用正弦定理分别求得OM 和ON 的值,然后表示三角形的面积,结合三角函数的有界性,求得面积的最小值.22．已知数列{a n }满足a n =n t+1(n,t ∈N ∗,t ≥3,t 为常数,n ≤t).(1)设S n =∑1a ini=1=1a 1+1a 2+⋯+1a n,n ∈N ∗,证明:S n >(t +1)ln(n +1);(2)证明:a n <e a n −1(e 为自然对数底数);(3)设T n =∑(a k )t nk=1=(a 1)t +(a 2)t +(a 3)t +⋯(a n )t ,n ∈N ∗,试比较与T n 与1的大小关系,并说明理由.【答案】(1)即证:1(t+1)a 1+1(t+1)a 2+⋯+1(t+1)a n>ln(n +1),即证:1+12+13+⋯+1n >ln(n +1),设g(x)=x −ln(x +1),g ′(x)=1−1x+1=xx+1,∵当x >0时,g ′(x)>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增,当−1<x <0时,g ′(x)<0,g(x)在(−1,0)上单调递减,∴g(x)=x −ln(x +1)≥g(0)=0(当且仅当x =0时等号成立),即x >0时,有x >ln(x +1),∴1+12+13+⋯+1n >ln 2+ln 32+ln 43+⋯+lnn+1n =ln(n +1), ∴1a 1+1a 2+⋯+1a n >(t +1)ln(n +1), (2)由(1)知:当x >−1且x ≠0时,有x >ln(x +1),即当x >0且x ≠1时,有x −1>lnx ,因为0<a n =n t+1≤t t+1<1,所以a n −1>lna n ,即a n <e a n −1(3)T n =∑(a k )t n k=1=(a 1)t +(a 2)t +(a 3)t +⋯+(a n )t <1,理由如下:由(2)知:(a 1)t +(a 2)t +(a 3)t +⋯+(a n )t <(e a 1−1)t +(e a 2−1)t +(e a 3−1)t +⋯+(e a n −1)t =(e t )a 1−1+(e t )a 2−1+(e t )a 3−1+⋯+(e t )a n −1=e −t 2t+1(1−e tn t+1)1−e t t+1≤e −t 2t+1(1−e t 2t+1)1−e t t+1=e −t 2t+1−11−e t t+1, 设e t t+1=q ,因为q =e t t+1≥e 34>2,∴e −t 2t+1−11−e t t+1=q −t −11−q =1−q −t q−1<1q−1<1,所以T n =∑(a k )t n k=1=(a 1)t +(a 2)t +(a 3)t +⋯+(a n )t <1.【解析】本题考查数列与不等式.解答本题时要注意(1)通过将问题转化,构造新的函数,求导,利用导数判断函数的单调性,求得最小值,通过构造,证明不等式成立;(2)根据(1)的结论,构造不等式,通过证明a n −1>lna n ,得到结论成立;(3)利用(2)的结论,结合放缩法,构造等比数列,利用等比数列求和及放缩法,比较得到T n 与1的大小关系.。
湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2016届高三上学期期中考试理科综合试卷 Word版含答案.pdf
写为FeO·Fe2O3，Fe2+与Fe3+物质的量之比为1:2D将FeCl2溶液加入到NaClO溶液中
Fe2+ +2ClO－+2H2O=Fe(OH)2↓+2HClO错误，Fe2+ 与ClO－会发生氧化还原反应:
2Fe2+ +ClO－+5H2O=2Fe(OH)3↓+ Cl－+4H+13．25℃时，用0.1mol·L－1的CH3COOH溶液滴定20mL0.1 mol·L－1的
：
(1)小球的初速度；
(2)应加电场的场强；
(3)小球落地时的动能.25．光滑水平面上有一质量为M=2 kg的足够长的木板，木板上最有右端有一大小可忽略、质
量为m=3kg的物块ຫໍສະໝຸດ 物块与木板间的动摩擦因数μ＝0.4，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。开始时物块和木板都静止
，距木板左端L=24m处有一固定在水平面上的竖直弹性挡板P。现对物块施加一水平向左外力F＝6N，若木板与挡板P发生
静止，最后木板静止于挡板P处，求木板与物块都静止时物块距木板最右端的距离x为多少?
26．(14分)某晶体(结晶水合物)由五种短周期元素组成。常温下，将该晶体溶于蒸馏水后可电离出三种离子(忽略
NaOH溶液，当滴加VmLCH3COOH溶液时，混合溶液的pH=7。已知CH3COOH的电离平衡常数为Ka，忽略混合时溶液体积的变
化，下列关系式正确的是( )
A、Ka=B、V=C、K a=D、K a=二、选择题：本题共8小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，第14—18题只
有一项符合题目要求，第19—21题有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对不全的得3分，有选错的得0分。
2016年湖北省武汉市华中师大一附中高三理科上学期数学期中考试试卷
2016年湖北省武汉市华中师大一附中高三理科上学期数学期中考试试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 设集合，，若，则的取值范围是A. B. C. D.2. 设复数满足，则在复平面内对应的点在A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限3. 数列中，，，则A. B. C. D.4. ，是第二象限的角，则A. B. C. D.5. 已知向量，．设，若，，则A. B. C. D.6. 两个单位向量，的夹角为，点在以为圆心的圆弧上移动，，则的最大值为A. B. C. D.7. 已知函数，若函数有个零点，则的值为A. B. C. D.8. 下列四个命题中，正确的个数是①命题“存在，”的否定是“对于任意的，”；②若函数在上有零点，则；③在公差为的等差数列中，，，，成等比数列，则公差为；④函数在上的单调递增区间为．A. B. C. D.9. 若，，，，则，，的大小关系为A. B. C. D.10. 实数，满足若目标函数的最大值为，则的值为A. B. C. D.11. 定义在上的函数满足，，则对任意的，是的A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件12. 已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，等式成立，若数列满足，且，则下列结论成立的是A. B.C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 若关于，的不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为．14. 在中，，，分别为角，，的对边，且满足，若，则的面积的最大值是．15. 已知，，且，，成等比数列，则的最小值为．16. 已知函数，，若任意的，总有或，则的取值范围是．三、解答题（共6小题；共78分）17. 已知，其中，若的最小正周期为．（1）求函数的单调递增区间；（2）锐角三角形中，，求的取值范围．18. 如图所示，中，为的中点，，，．（1）求的值；（2）求的值．19. 已知数列的前项和．（1）求的通项公式；（2）令，求的前项和．20. 已知函数．（1）试讨论的极值；（2）若，设，且任意的，恒成立，求的取值范围．21. 已知函数（其中是实数）．（1）求的单调区间；（2）若，且有两个极值点，，求取值范围．（其中为自然对数的底数）．22. 已知．（1）解不等式；（2）关于的不等式的解集为，求的取值范围．答案第一部分1. B 【解析】因为，所以，则．2. C 【解析】因为，所以，所以，则在复平面内对应的点在第二象限．3. A 【解析】因为，所以，所以数列是等差数列，公差为．所以，所以，所以．4. C 【解析】因为，所以，则．又因为是第二象限的角，且，所以，所以，所以，所以．5. C【解析】因为所以所以，因为，所以，所以，所以．6. D 【解析】两个单位向量，的夹角为，点在以为圆心的圆弧上移动，，建立如图所示的坐标系，则，，即．设，因为，所以，所以所以，，所以因为，所以，所以，故当时，取得最大值为．7. B 【解析】令，得．当时，，解得，，因为有个零点，所以时，，经检验，当时，有个零点，分别为，和，满足条件．8. B 【解析】①命题“存在，”的否定是“对于任意的，”，故错误；②若函数在上有零点，则不一定成立，故错误；③在公差为的等差数列中，，，，成等比数列，则，解得：或，故错误；④函数，时，，令，解得：．即在上函数的单调递增区间为，故正确．9. A 【解析】因为当时，，所以，，，又因为时，，所以．10. C【解析】由，得，因为，所以直线的斜率为，作出不等式组对应的平面区域如图：若，即时，平移直线，得直线经过点时直线截距最大，由得即，此时，得，与矛盾；若，即时，平移直线，得直线经过点时直线截距最大，由得即，此时，得．11. B 【解析】因为，所以时，；时，，所以在上单调递减，在上单调递增．对任意的，若，因为在上单调递减，所以，此时；若，，则，且，由，可得，因为在上单调递减，所以，即．反之也成立；若，与都不成立．综上可得，对任意的，是的充要条件．12. D 【解析】因为对任意的实数，恒成立，所以令，，则，因为当时，，所以，则，因为，所以，则，即，且，当时，；当时，；当时，．所以数列是以为周期的周期数列，所以，，．，，任取，且，则，因为时，，所以，，所以，即．所以在上单调递减．因为，．所以．第二部分13. 或【解析】直线过点，要使不等式组表示的区域为直角三角形，只有直线垂直于轴（如图（））或与直线垂直（如图（））时才符合题意．所以或．14.【解析】由题可得， ，解得，，又由正弦定理得（ 为 外接圆得半径），当，即 时取最大值 ． 15.【解析】因为 ， ， 所以 ， ，又因为，， 成等比数列，所以， 解得，由基本不等式可得 ， 当且仅当 ，即 时取等号，故 ，即 ，故 的最小值为： ． 16.【解析】结合题意，画出图象，如图示：若任意的 ，总有 或 ，则解得．第三部分17. （1）因为因为最小正周期为，所以，所以，所以令，可得：，所以的单调递增区间为．（2）因为，所以，所以，所以，所以，所以，解得：，因为为锐角三角形，所以所以，所以，所以，故的取值范围为．18. （1）因为在中，，，所以，由，可得：，所以为锐角，所以所以（2）因为，，，所以在中，，解得：，因为为的中点，所以，，所以在中，，所以．19. （1）因为，所以当时，，当时，，不适合上式，所以．（2）因为，所以时，，时，得：，因为也符合上式，所以．20. （1），时，由，得；由，得或，故在和上单调递减，在上单调递增．所以的极小值为，的极大值为，时，由，得；由，得或，故在和上单调递增，在上单调递减．所以的极大值为，的极小值为．（2）方法一：由条件可得，对任意，．因为时，，所以对任意，，当时，恒成立，此时，当时，，即恒成立，记，，因为时，，所以在上单调递减，所以，所以，综上可得，的取值范围为．方法二：分类讨论因为，，所以，，因为，所以，）当时，因为时，，所以在上单调递增，所以，解得：（舍），）当时，因为时，，所以在上单调递增，所以，解得：，所以，）当时，由，得；由，得．故在上单调递增，在上单调递减，所以，解得：，所以．综合得：．21. （1）因为（其中是实数），所以的定义域为，，令，，对称轴，，当，即时，，所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间．当，即或时，①若，则恒成立，所以的单调递增区间为，无减区间．②若，令，得，，当时，，当时，．所以的单调递增区间为，，单调递减区间为．综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间．当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．（2）由（）知，若有两个极值点，，则，且，，所以，又因为，所以，因为，所以，又，解得．所以令，则恒成立，所以在上单调递减，所以，即，故的取值范围为．22. （1）或或解得：解得：解得：综上得的解集为：；（2）由条件可得：，因为，所以时，；时，；时，，所以．所以，解得：或．故的取值范围为．。
湖北武汉华中师范大学第一附属中学届高三上学期期中测验数学(理)试题word版含答案
(Ⅲ）令 ，如果 图14——2０1５学年度上学期期中检测
高三数学（理）试题参考答案及评分标准
三、解答题：(本大题共6小题，共7５分）
１7．(本小题满分12分）
解：(Ⅰ)由题意得 ，
即 ，由正弦定理得 ,
再由余弦定理得 ， .……………6分
(Ⅱ) ，
16．（选修 ：坐标系与参数方程)
在直角坐标系 中,曲线 的参数方程是 ，以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程是 ,则两曲线交点间的距离是
三、解答题:(本大题共６小题,共7５分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分1２分）
设角 是 的三个内角,已知向量 ，
考试用时1２0分钟，满分1５０分。请把试题答案填写在答题卡相应的位置上。
一、选择题:（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数 的实部是 ,虚部是 ,则 的值是()
Ａ. B. C. Ｄ.
2．已知集合 ，则 为()
Ａ. Ｂ. Ｃ. D．
3．下列命题错误的是()
令z=１,解得 ，取平面AＢCD的法向量 ，
设所求二面角为 ,而 为锐角,则 ,
故二面角 的大小为60°.…………12分
20.(本小题满分１２分)
解:（I）系统抽样……………………２分
（II)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 ,
设图中虚线所对应的车速为 ,则中位数的估计值为
,解得
即中位数的估计值为 ……………………6分
，
所以 ,故 .……………………12分
1８．(本小题满分1２分)
湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三数学上学期期中试题 文
湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2015届高三上学期期中考试数学（文）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{1,2},{}M N a ==，则“1a =”是“N M ⊆”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则15S 的值为A ．250B ．260C ．350D ．3603．已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点（-1，4）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为A ．15B ．30C ．45D ．604．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是A ．//,,l n αβαβ⊂⊂⇒//l nB ．,l αβα⊥⊂⇒l β⊥C ．,l n m n ⊥⊥⇒//l mD ．,//l l αβ⊥⇒βα⊥5．已知向量)3,2(=a ，)2,1(-=b ，若 b n a m + 与 b a2-共线，则 n m 等于A ．21- B ．21 C ．2- D ．26．偶函数()()f x x R ∈满足：(4)(1)0f f -==，且在区间[0，3]与[3,)+∞上分别递减和递增，则不等式()0xf x <的解集为A ．(,4)(4,)-∞-+∞ B ．(4,1)(1,4)-- C ．(,4)(1,0)-∞--D ．(,4)(1,0)(1,4)-∞--7．若41)6sin(=-θπ，则=+)232cos(θπA ．87-B ．41- C ．41D ．879．若不等式na n n1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 都成立，则实数a 的取值范围是A ．3[22-，）B ．322-（，）C ．3[32-，）D ．332-（，）10．如图，A 地在高压线l (不计高度)的东侧0.50km 处，B 地在A 地东北方向1.00km 处，公路沿线PQ 上任意一点到A 地与高压线l 的距离相等．现要在公路旁建一配电房向A 、B 两地降压供电(分别向两地进线) ．经协商，架设低压线路部分的费用由A 、B 两地用户分摊, 为了使分摊费 用总和最小，配电房应距高压线l A ．1.21km B ．0.50km C ．0.75km D ．0.96km二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．化简：2)2(lg 50lg 2lg 25lg ++= ．12．若,x y R ∈，且162=+y x ，则 xy 的最大值为 ． 13．已知五个实数1,,,,16a b c 依次成等比数列，则a b c ++ = ．14．若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是_________．15．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．（l（第15题图） （第16题图）16．把边长为1的正方形ABCD 如图放置，A 、D 别在x 轴、y 轴的非负半轴上滑动． （1）当A 点与原点重合时，OB OC ⋅= ； （2）OB OC ⋅的最大值是_________．17．用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如3]5.2[-=-，[2.5]2=，设函数]][[)(x x x f =． (1)=)6.3(f ；（2）若函数)(x f 的定义域是)0[n ，，+∈N n ，则其值域中元素个数为 ． 三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）已知函数2()sin2f x x x a =-． （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）设[0,]()2x f x π∈时的最小值是2-，求()f x 的最大值．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥-P ABCD 中，PA ABCD ⊥底面，ABCD 是矩形， E 是棱PD 的 中点，4PA AD ==，3AB =． （1）证明//PB ACE 平面；（2）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值．ABCDEP21．（本小题满分14分）已知椭圆的中心为原点，焦点在x ，且经过点(4,1)M ，直线:l y x m =+交椭圆于异于M 的不同两点,A B ．直线MA MB x 、与轴 分别交于点E F 、． （1）求椭圆标准方程； （2）求m 的取值范围；（3）证明MEF ∆是等腰三角形．22．（本小题满分14分） 已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=．（1）求)(x f 的解析式； （2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）设n 是正整数，用!n 表示前n 个正整数的积，即n n ⋅⋅⋅⋅= 321!．求证： 4)1(!+<n n en ．华中师大一附中2014-2015学年度上学期高三期中检测数学（文科）试题参考答案三、解答题18．解析：（1）()sin2cos2)f x x x a =+sin 2x x a =+2sin(2)3x a π=-+，令3222232+≤-≤+k x k πππππ，得511,1212+≤≤+∈k x k k Z ππππ，()∴f x 的单调递减区间 511[,]()1212++∈k k k Z ππππ ……6分（2）20,22333x x ππππ≤≤∴-≤-≤，sin(2)13x π≤-≤ min ()f x a ∴=； max ()=f x 2a +，令 2,2a a =-得，所以 max ()=f x 2……12分19．解析：（1）连BD 交AC 于O ，连EO则EO 是PBD ∆的中位线，所以//PB EO ， 因为PB ACE ⊄平面，EO ACE ⊂平面，//PB ACE 所以平面． ………6分(2)BH AC H PH ⊥作于，连PA ABCD PAC ABCD ⊥⊥因为底面，所以平面平面 由两平面垂直的性质定理得，BH PAC ⊥平面所以BPH PB PAC ∠就是直线与平面所成的角， 因为 125,5PB BH ==，1225BH BPH PB ∠==所以sin ， 即直线PB PAC 和平面所成角的正弦值是1225． ………12分20．解析：（1）当*2,n n N ≥∈时：114121341213(1)n n n n T S nT S n ---=⎧⎨-=-⎩，两式相减得：41213n n b a -=，∴1334n n b a =+534n =--， 又1174b =-也适合上式，∴数列{b }n 的通项公式为n b 534n =--．（也可直接求出n T ，再求n b ） ………7分A BC D E POH（2）由（1）得 3n c n =-，于是 111111()9(1)91n n c c n n n n +==-++ 所以12231111n n c c c c c c ++++ 111111[(1)()()]92231n n =-+-++-+ 11(1)919(1)nn n =-=++ 令9(1)nn +11100>，得99n >所以n 的最小值为100 ． ………13分21．解析：（1）设椭圆的方程为22221,x y a b+=因为e =，所以224a b =，又因为椭圆过点(4,1)M ，所以221611a b +=，解得225,20b a ==，故椭圆标准方程为 221205x y += ………4分（2）将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200,x mx m ++-=令 2(8)m ∆=220(420)0m -->，解得 55m -<<． 又由题设知直线不过M(4,1)，所以3,14-≠≠+m m ，所以m 的取值范围是 )5,3()3,5(-⋃--． ………8分1221(1)(4)(1)(4)y x y x --+--1221(1)(4)(1)(4)x m x x m x =+--++--=122x x +12(5)()8(1)m x x m -+--22(420)8(5)8(1)55m m m m --=--- =0，120k k ∴+=，所以MEF ∆是等腰三角形． ……………14分 22．解析（1）∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且曲线()y f x =过点1(1,)2-， ∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-.所以 ()ln 2xf x x =-…………4分（2）由（1）得当1x >时，()0k f x x +<恒成立即 ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-. 令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=. 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=. 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增， 故()()112g x g >=. 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ∴ k 的取值范围是1(,]2-∞. ………11分（3）由（2）知，当1x >时，()0f x <（0k =时），又 1x =时()0f x <也成立， 所以当1≥x 时，2ln xx <， 于是211ln <，222ln <，233ln <， ，2ln n n <。
湖北省武汉市华中师大第一附中高三数学上学期期中试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
湖北省武汉市华中师大第一附中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数Z=（1+i）（2﹣i）的实部是m，虚部是n，则m•n的值是（）A．3 B．﹣3 C．3i D．﹣3i2．（5分）已知集合A=Z，B={x|y=ln（9﹣x2）}，则A∩B为（）A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C．{0，1，2} D． {﹣1，0，1，2}3．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”B．若命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题4．（5分）从某高中随机选取5名2015届高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高x（cm）160 165 170 175 180体重y（kg）63 66 70 72 74根据上表可得回归直线方程=0.56x+，据此模型预报身高为172cm的2015届高三男生的体重为（）A．70.09kg B．70.12kg C．70.55kg D．71.05kg5．（5分）已知Ω={（x，y）||x≤1，|y|≤1}，A是曲线围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜），其部分图象如图所示，将f（x）的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（）A．g（x）=sin（x+1）B．g（x）=sin（x+1）C．g（x）=sin（x+1）D．g（x）=sin（x+1）7．（5分）已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π8．（5分）若x、y满足条件，当且仅当x=y=3时，z=ax﹣y取最小值，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．9．（5分）若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的左、右顶点分别为A、B，点P是第一象限内双曲线上的点．若直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，且β=mα（m＞1），那么α的值是（）A．B．C．D．10．（5分）函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数，设f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下条件：（1）f（0）=0；（2）f（）=f（x）；（3）f（1﹣x）=1﹣f（x），则f（）+f（）=（）A．B．C．1 D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共25分）（一）必考题（1114题）11．（5分）已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项是．（用数字作答）12．（5分）在△OAB中，，，AD与BC交于点M，设，，以、为基底表示，则=．13．（5分）若正数x，y满足2x+y﹣3=0，则的最小值为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（3，0）在圆C：x2+y2﹣2mx﹣4y+m2﹣28=0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分）选修4-1：几何证明选讲15．（5分）如图，PB为△ABC外接圆O的切线，BD平分∠PBC，交圆O于D，C，D，P共线．若AB⊥BD，PC⊥PB，PD=1，则圆O的半径是．选修4-4：坐标系与参数方程16．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρsin（θ+）=1，则两曲线交点间的距离是．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）设角A，B，C是△ABC的三个内角，已知向量，，且．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若向量，试求的取值范围．18．（12分）已知数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，b4=54，a1+a2+a3=b2+b3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）数列{c n}满足c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2（1）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；（2）在（1）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．20．（12分）2013年国庆期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），[100，105），[105，110）后得到如下图的频率分布直方图．（1）此调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这40辆小型车辆车速的中位数的估计值；（3）若从车速在[80，90）的车辆中任抽取3辆，求抽出的3辆车中车速在[85，90）的车辆数ξ的分布列及数学期望．21．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线L：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且k OA•k OB=﹣．求证：△AOB的面积为定值．在椭圆上是否存在一点P，使OAPB为平行四边形，若存在，求出|OP|的取值范围，若不存在说明理由．22．（14分）已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2 （1）求a，b的值；（2）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求实数m的取值范围（其中e为自然对数的底，e≈2.7）；（3）令g（x）=f（x）﹣nx，如果g（x）图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，AB 中点为C（x0，0），求证：g′（x0）≠0．湖北省武汉市华中师大第一附中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数Z=（1+i）（2﹣i）的实部是m，虚部是n，则m•n的值是（）A．3 B．﹣3 C．3i D．﹣3i考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：将复数进行化简，求出实部m，虚部n，即可得到结论．解答：解：∵Z=（1+i）（2﹣i）=3+i，∴实部m=3，虚部n=1，即mn=3，故选：A．点评：本题主要考查复数的有关概念和计算，比较基础．2．（5分）已知集合A=Z，B={x|y=ln（9﹣x2）}，则A∩B为（）A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C．{0，1，2} D． {﹣1，0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：先求9﹣x2＞0的解集，即求出函数y=ln（9﹣x2）的定义域B，再由交集的运算求出A∩B．解答：解：由9﹣x2＞0得，﹣3＜x＜3，则函数y=ln（9﹣x2）的定义域B=（﹣3，3），又集合A=Z，则A∩B={﹣2，﹣1，0，1，2}，故选：B．点评：本题考查交集及其运算，以及对数函数的定义域，属于基础题．3．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”B．若命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A．写出命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题，再判断其真假即可；B．利用特称命题的否定为全称命题，可判断B的正误；C．△ABC中，利用正弦定理及大边对大角可判断C的正误；D．利用复合命题p∧q一假则假可判断D的正误．解答：解：A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”，A正确；B．特称命题的否定为全称命题，由于命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，B正确；C．△ABC中，sinA＞sinB⇔2RsinA＞2RsinB⇔a＞b⇔A＞B，故△ABC中，sinA＞sinB是A＞B 的充要条件，C正确；D．若p∧q为假命题，则p、q中至少有一个为假命题，不一定均为假命题，D错误．故选：D．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查四种命题之间的关系、全称命题与特称命题、充分必要条件及复合命题的真假判断，属于中档题．4．（5分）从某高中随机选取5名2015届高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高x（cm）160 165 170 175 180体重y（kg）63 66 70 72 74根据上表可得回归直线方程=0.56x+，据此模型预报身高为172cm的2015届高三男生的体重为（）A．70.09kg B．70.12kg C．70.55kg D．71.05kg考点：回归分析的初步应用．专题：应用题；概率与统计．分析：根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报身高为172cm的2015届高三男生的体重解答：解：由表中数据可得==170，==69 ∵（，）一定在回归直线方程=0.56x+上故69=0.56×170+解得=﹣26.2故=0.56x﹣26.2当x=172时，=0.56×172﹣26.2=70.12故选B．点评：本题主要考查线性回归方程的求解与运用，解题的关键是线性回归方程经过样本点的中心同时注意理解线性回归方程中相关系数的意义．5．（5分）已知Ω={（x，y）||x≤1，|y|≤1}，A是曲线围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题；压轴题．分析：本题利用几何概型求解．欲求恰好落在阴影范围内的概率，只须求出阴影范围内的面积与正方形的面积比即可．为了求出阴影部分的面积，联立由曲线y=x2和曲线y=两个解析式求出交点坐标，然后在x∈（0，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可．解答：解：联立得，解得或，设曲线与曲线围成的面积为S，则S=∫01（﹣x2）dx=而Ω={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，表示的区域是一个边长为2的正方形，∴Ω上随机投一点P，则点P落入区域A（阴影部分）中的概率P==，故选D．点评：本题考查的知识点是几何概型，其中利用积分公式，计算出阴影部分的面积是解答本题的关键．6．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜），其部分图象如图所示，将f（x）的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（）A．g（x）=sin（x+1）B．g（x）=sin（x+1）C．g（x）=sin（x+1）D．g（x）=sin（x+1）考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解答：解：由函数的图象可得A=1，T==1﹣（﹣1）=2，∴ω=．再由五点法作图可得，（﹣1）+φ=0，∴φ=，函数f（x）=sin（x+）．将f（x）的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，可得函数y=sin（x+）的图象；再向右平移1个单位得到g（x）=sin[（x﹣1）+]=sin（x+）的图象，故函数g（x）的解析式为 g（x）=sin（x+1），故选：B．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．7．（5分）已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π考点：球的体积和表面积；由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中三棱锥的三视图，我们可以求出三棱棱的高，即顶点到底面的距离，及底面外接圆的半径，进而求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式，即可求出外接球的表面积．解答：解：由已知中三棱锥的高为1底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等则三棱锥的外接球半径R为1，则三棱锥的外接球表面积S=4πR2=4π故选：A点评：本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图出判断出三棱锥的几何特征，进而求出其外接球的半径是解答本题的关键．8．（5分）若x、y满足条件，当且仅当x=y=3时，z=ax﹣y取最小值，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用当且仅当x=y=3时，z=ax﹣y取最小值，确定目标函数的斜率满足的条件即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=ax﹣y得y=ax﹣z，则直线y=ax﹣z截距最大时，此时z最小．直线3x﹣5y+6=0的斜率k1=，直线2x+3y﹣15=0的斜率k2=，∵当且仅当x=y=3时，z=ax﹣y取最小值，∴直线y=ax﹣z经过点A（3，3）时，截距最大，此时z最小．则直线直线y=ax﹣z的斜率a满足：k2＜a＜k1，即＜a＜，故实数a的取值范围是：（，），故选：A．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．9．（5分）若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的左、右顶点分别为A、B，点P是第一象限内双曲线上的点．若直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，且β=mα（m＞1），那么α的值是（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P（m，n），得直线PA、PB的斜率K PA和K PB满足：K PA•K PB=．由点P是双曲线x2﹣y2=a2上的点，得n2=m2﹣a2，整理得K PA•K PB=1．由斜率与倾斜角的关系，得tanα•tanβ=1，结合三角函数诱导公式，得α+β=，最后根据β=mα化简整理，即可得到本题的答案．解答：解：∵双曲线方程为x2﹣y2=a2，即（a＞0）∴双曲线的左顶点为A（﹣a，0），右顶点为B（a，0）设P（m，n），得直线PA的斜率为K PA=；直线PB的斜率为K PB=∴K PA•K PB= (1)∵P（m，n）是双曲线x2﹣y2=a2上的点∴m2﹣n2=a2，得n2=m2﹣a2，代入（1）式得K PA•K PB=1∵直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，得tanα=K PA，tanβ=K PB，∴tanα•tanβ=1，∵P是第一象限内双曲线上的点，得α、β均为锐角∴α+β=（m+1）α=，解之得α=故选：D点评：本题给出等轴双曲线上一点P，求P与两个顶点连线的倾斜角之间的一个关系式，着重考查了直线的斜率、三角函数公式和双曲线的简单几何性质等知识，属于中档题．10．（5分）函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数，设f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下条件：（1）f（0）=0；（2）f（）=f（x）；（3）f（1﹣x）=1﹣f（x），则f（）+f（）=（）A．B．C．1 D．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件（1）（3）分别令x=1，x=，可得f（1）=1，f（）=，结合条件（2）可得f（），f（）==f（）结合由f（x）在[0，1]上为非减函数，可得：f（）=．解答：解：∵f（0）=0，f（1﹣x）=1﹣f（x），令x=1，则f（0）=1﹣f（1），解得f（1）=1，令x=，则f（）=1﹣f（），解得：f（）=又∵f（）=f（x），∴f（）=f（1）=，f（）=f（）=，f（）=f（）=，又由f（x）在[0，1]上为非减函数，故f（）=，故f（）+f（）=，故选：A点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及对新定义的理解，同时考查了计算能力和转化的思想，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共25分）（一）必考题（1114题）11．（5分）已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项是﹣540．（用数字作答）考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据题意，分析该程序的作用，可得b的值，再利用二项式定理求出展开式的通项，分析可得常数项．解答：解：第一次循环：b=3，a=2；第二次循环得：b=5，a=3；第三次循环得：b=7，a=4；第四次循环得：b=9，a=5；不满足判断框中的条件输出b=9．∵（﹣）6=的展开式的通项为：=令3﹣r=0得r=3∴常数项为=﹣540．故答案为：﹣540．点评：本题考查二项式定理的应用，关键是结合循环语句、赋值语句的含义，分析程序框图，得到b的值．12．（5分）在△OAB中，，，AD与BC交于点M，设，，以、为基底表示，则=．考点：向量的线性运算性质及几何意义．专题：计算题．分析：由BMC三点共线，知=x+（1﹣x）=x+（1﹣x）；由AMD三点共线，知=y+（1﹣y）=y+（1﹣y），所以x=，y=，所以=．解答：解：∵BMC三点共线，∴=x+（1﹣x）=x+（1﹣x），∵AMD三点共线，∴=y+（1﹣y）=y+（1﹣y），即=y，且1﹣x=，所以 x=，y=，所以=．故答案为：．点评：本题考查向量的线性运算性质和几何意义，解题时要认真审题，注意向量的几何意义的灵活运用．13．（5分）若正数x，y满足2x+y﹣3=0，则的最小值为3．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可知2x+y=3，所以想到把要求最小值的式子分子分母同时乘以3，把分子的3同时换成2x+y，展开后利用基本不等式可求最小值．解答：解：由2x+y﹣3=0，得2x+y=3，又∵x，y为正数，所以=．当且仅当x=y时取等号，因为2x+y﹣3=0，所以此时x=y=1．所以的最小值为3．故答案为3．点评：本题考查了基本不等式的应用，训练了学生灵活变形和处理问题的能力，解答此题的关键是对已知条件的灵活运用，属中档题．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（3，0）在圆C：x2+y2﹣2mx﹣4y+m2﹣28=0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为（3﹣2，3﹣2]∪[3+2，3+2）．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：根据圆的标准方程得到圆心坐标和半径，利用三角形面积的最大值，确定直线的位置，利用直线和方程的位置关系即可得到结论．解答：解：圆的标准方程为（x﹣m）2+（y﹣2）2=32，则圆心C（m，2），半径r=4，S△ABC=r2sin∠ACB=16sin∠ACB，∴当∠ACB=90时S取最大值16，此时△ABC为等腰直角三角形，AB==8，则C到AB距离=，∴4≤PC＜4，即4≤＜4，∴16≤（m﹣3）2+4＜32，即12≤（m﹣3）2＜28，∴，解得3﹣2＜m≤3﹣2或3+2≤m＜3+2，故答案为：（3﹣2，3﹣2]∪[3+2，3+2）点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用圆的标准方程求出圆心坐标和半径是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分）选修4-1：几何证明选讲15．（5分）如图，PB为△ABC外接圆O的切线，BD平分∠PBC，交圆O于D，C，D，P共线．若AB⊥BD，PC⊥PB，PD=1，则圆O的半径是2．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：连结AD，由PB为圆O的切线，得∠PBD=∠BCP=∠BAD，结合BD为∠PBC的平分线，可得∠PDB=2∠PBD=60°，在Rt△BPD中，由PD=1，得BD=2，由Rt△ABD与Rt△BPD的内角关系得AD的长度，即得圆O的半径．解答：解：如右图所示，连结AD，∵PB为圆O的切线，∴∠PBD=∠BCD=∠BAD，∵BD为∠PBC的平分线，∴∠PBD=∠CBD，∴∠PDB=∠CBD+∠BCD=∠PBD+∠PBD=2∠PBD，又∵PC⊥PB，∴∠PBD=∠BCD=∠CBD=∠BAD=30°，∠PDB=60°．由PD=1，得BD=2PD=2．在△ABD中，∵AB⊥BD，∴AD是圆O的直径，且直径AD=2BD=4，∴圆O的半径为2．故答案为：2．点评：本题考查了圆的弦切角定理及直角三角形的有关性质等，解题的突破口是得到∠BDP 与∠PBD的2倍关系．应记住一些常用的结论，如（1）弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．（2）在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．（3）同弧（或等弧）所对的圆周角相等．（4）90°的圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是90°．选修4-4：坐标系与参数方程16．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρsin（θ+）=1，则两曲线交点间的距离是4．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：由曲线C1的参数方程是，平方相减可得y2﹣x2=4．以坐曲线C2的极坐标方程是ρsin（θ+）=1，展开为=1，化为y+x=2．联立求出交点，再利用两点之间的距离公式即可得出．解答：解：由曲线C1的参数方程是，平方相减可得y2﹣x2=4．以坐曲线C2的极坐标方程是ρsin（θ+）=1，展开为=1，化为y+x=2．联立，化为=0．解得x=0或2．∴，．则两曲线交点间的距离是=4．故答案为：4．点评：本题考查了把参数方程极坐标方程化为普通方程、直线与曲线的相交转化为方程联立可得交点坐标、两点之间的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）设角A，B，C是△ABC的三个内角，已知向量，，且．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若向量，试求的取值范围．考点：解三角形；三角函数的最值．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据推断出=0，利用向量的基本运算求得sin2C=sin2A+sin2B﹣sinAsinB，利用正弦定理把角的正弦转化成边，代入余弦定理求得cosC的值，进而求得C．（Ⅱ）根据和的坐标可求得的表达式，然后利用二倍角公式化简整理，利用A的范围和正弦函数的单调性求得的范围，进而求得的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由题意得即sin2C=sin2A+sin2B﹣sinAsinB由正弦定理得c2=a2+b2﹣ab再由余弦定理得∵0＜C＜π，∴（Ⅱ）∵∴==∵，∴∴所以，故．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，向量的基本运算，三角函数的基本公式．综合考查了学生对基础知识整体把握．18．（12分）已知数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，b4=54，a1+a2+a3=b2+b3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）数列{c n}满足c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：综合题．分析：（1）利用等比数列的通项公式，可求确定公比，从而可求{b n}的通项公式，利用a1+a2+a3=b2+b3，可得数列的公差，从而可求数列{a n}的通项公式；（2）利用错位相减法可求数列{c n}的前n项和S n．解答：解：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q由=54，得，从而q=3因此（3分）又a1+a2+a3=3a2=b2+b3=6+18=24，∴a2=8从而d=a2﹣a1=6，故a n=a1+（n﹣1）•6=6n﹣4（6分）（2）令（9分）两式相减得=﹣（3n﹣2）•3n=∴，又（12分）．点评：本题考查数列的通项，考查等差数列与等比数列的综合，考查错位相减法求数列的和，确定数列的通项是关键．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2（1）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；（2）在（1）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题．分析：（1）当t=时，PA∥平面MQB，若PA∥平面MQB，连AC交BQ于N，根据线面平行得到PA∥MN，从而，即PM=PC，从而求出t的值；（2）以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，先求出平面MQB的法向量，取平面ABCD的法向量设所求二面角为θ，根据公式即可求出二面角M﹣BQ﹣C的大小．解答：解：（1）当t=时，PA∥平面MQB下面证明：若PA∥平面MQB，连AC交BQ于N由AQ∥BC可得，△ANQ∽△BNC，∴…（2分）PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN，∴PA∥MN…（4分）即：PM=PC∴t=…（6分）（2）由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQ⊥AD．．（7分）又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，连BD，四边形ABCD为菱形，∵AD=AB，∠BAD=60°△ABD为正三角形，Q为AD中点，∴AD⊥BQ…（8分）以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A（1，0，0），B（0，，0），Q（0，0，0），P（0，0，）设平面MQB的法向量为，可得而PA∥MN∴，取z=1，解得…（10分）取平面ABCD的法向量设所求二面角为θ，则故二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°…（12分）点评：本题主要考查了线面平行的判断，以及利用空间向量的方法度量二面角的平面角，同时考查了空间想象能力，论证推理能力，属于中档题．20．（12分）2013年国庆期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），[100，105），[105，110）后得到如下图的频率分布直方图．（1）此调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这40辆小型车辆车速的中位数的估计值；（3）若从车速在[80，90）的车辆中任抽取3辆，求抽出的3辆车中车速在[85，90）的车辆数ξ的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；收集数据的方法；众数、中位数、平均数．分析：（1）这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样；（2）选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横轴的左边即为中位数；利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数．（3）从车速在[80，90）的车辆中任抽取3辆，根据题意抽出的3辆车中速车在[85，90）的车辆数ξ可能为1、2、3，求出相应的概率，即可求得分布列和期望．解答：解：（1）由题意知这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样．故调查公司在采样中，用到的是系统抽样；…（2分）（2）设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣95）=0.5，解得x=97.5即中位数的估计值为97.5…（4分）（3）从图中可知，车速在[80，85）的车辆数为0.01×5×40=2（辆），车速在[85，90）的车辆数为0.02×5×40=4（辆）∴ξ可取：1，2，3 …（6分），，，…（8分）ξ的分布列为ξ 1 2 3P…（10分）均值．…（12分）点评：解决频率分布直方图的有关特征数问题，利用众数是最高矩形的底边中点；中位数是左右两边的矩形的面积相等的底边的值；平均数等于各个小矩形的面积乘以对应的矩形的底边中点的和21．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线L：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且k OA•k OB=﹣．求证：△AOB的面积为定值．在椭圆上是否存在一点P，使OAPB为平行四边形，若存在，求出|OP|的取值范围，若不存在说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由题意得，b==，，又a2+b2=c2，由此能求出椭圆的方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B的坐标满足，从而（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式，结合已知条件能证明：△AOB的面积为定值；若存在平行四边形OAPB使P在椭圆上，则，设P（x0，y0），则x0=x1+x2=﹣，y0=y1+y2=，由已知条件推导出不存在P在椭圆上的平行四边形．解答：（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意得，b==，，又a2+b2=c2，联立解得a2=4，b2=3，∴椭圆的方程为．…（3分）（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B的坐标满足，消去y化简得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，∴，x1x2=，△＞0，得4k2﹣m2+3＞0，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）===．∵k OA•k OB=﹣，=﹣，即，∴=﹣，即2m2﹣4k2=3，∴|AB|=====．O到直线y=kx+m的距离d=，∴S△AOB==••===为定值．…（8分）若存在平行四边形OAPB使P在椭圆上，则，设P（x0，y0），则x0=x1+x2=﹣，y0=y1+y2=，由于P在椭圆上，所以，从而化简得，化简得4m2=3+4k2，（1）由k OA•k OB=﹣，知2m2﹣4k2=3，（2）解（1）（2）知无解，故不存在P在椭圆上的平行四边形．…（13分）点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查三角形的面积为定值的证明，考查满足条件的平行四边形是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式的合理运用．22．（14分）已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2 （1）求a，b的值；（2）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求实数m的取值范围（其中e为自然对数的底，e≈2.7）；（3）令g（x）=f（x）﹣nx，如果g（x）图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，AB 中点为C（x0，0），求证：g′（x0）≠0．考点：函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）由切线方程得函数在x=2处的切线斜率为﹣3，即f′（2）=﹣3，由函数f（x）=alnx﹣bx2得其导函数，进而得f′（2），由f′（2）=﹣3得关于a、b的方程，又切点在函数图象上，也在切线上，当x=2时分别代入两个函数方程，函数值相等，得第二个关于a、b 的方程，求解方程组，得a，b的值；（2）设h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，求h′（x），令h′（x）＞0，h′（x）＜0，得函数h（x）的单调区间，得出h（x）的图象的大致走向，得出满足题意的不等式组，解得实数m 的取值范围；（3）由点A（x1，0），B（x2，0）在g（x）图象上，把点的坐标代入g（x）的解析式得方程组，两式相减得关于x1、x2、n的方程，假设g′（x）=0成立，求导，得关于x0、n的方程，由中点坐标公式转化关于x1、x2、n的方程，两方程消去n，得关于x1、x2的方程，整理此方程，分子分母同除以x2，整理方程，右边为0，设t=，左边得关于t的函数，求此函数的导数，得函数的单调性，得函数值恒小于0，所以方程不成立，所以假设不成立，所以g′（x0）≠0．解答：解：（1），所以，且aln2﹣4b=﹣6+2ln2+2，解得a=2，b=1．（2）f（x）=2lnx﹣x2，令h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，则=，令h'（x）=0，得x=1（x=﹣1舍去）．在内，当时，h'（x）＞0，所以h（x）是增函数；当x∈（1，e]时，h'（x）＜0，所以h（x）是减函数则方程h（x）=0在内有两个不等实根的充要条件是即1＜m≤．（3）．假设不结论成立，则有，。
2016届湖北武汉华中师大一附等高三上学期第一次联考数学(理)试题(解析版)
2016届湖北武汉华中师大一附等高三上学期第一次联考数学（理）试题及解析一、选择题1．已知集合2{|230}A x x x =--≥，2{|log (1)2}B x x =-<，则()R C A B = （ ） A ．(1,3) B ．(1,3)- C ．(3,5) D ．(1,5)- 【答案】A【解析】试题分析：由已知{|13}A x x x =≤-≥或，{|13}R C A x x =-<<，{|014}{|15}B x x x x =<-<=<<，所以()(|13}RC A B x x =<< ，故选A ．【考点】集合的运算．2．命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题为（ ）A ．若220x y +=，则0x ≠且0y ≠B ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠C ．若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠D ．若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠ 【答案】D【解析】试题分析：命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题是“若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠”．故选D ． 【考点】四种命题．3．欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2ie 表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】试题分析：2cos 2sin 2ie i =+，对应点为(cos 2,sin 2)，由于22ππ<<，因此cos 20,sin 20<>，点(cos 2,sin 2)在第二象限，故选B ． 【考点】复数的几何意义．4．函数222,1,()log (1),1,x x f x x x ⎧-≤=⎨-⎩>则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A ．12-B ．1-C ．5-D ．12【答案】A【解析】试题分析：22553()log (1)log 1222f =-=<，所以23log 225331(())(log )2222222f f f ==-=-=-．故选A ．【考点】分段函数．5．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且20162015120162015S S =+，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．2015 D ．2016 【答案】B 【解析】试题分析：由1(1)2n n n S na d -=+得201620151120152014()()12016201522S S a d a d -=+-+=，所以2d =，故选B ． 【考点】等差数列的前n 项和公式． 6．若ln 2a =，125b -=，01sin 4c xdx π=⎰，则,,a b c 的大小关系（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．b c a << 【答案】D【解析】试题分析：111(cos )(cos cos0)0442c x ππ=-=--=，12152b -==<，121ln 2ln 2a e =>=，所以a c b >>，故选D ． 【考点】比较大小，定积分． 7．已知1sin cos 63παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．518 B ．518- C ．79 D ．79- 【答案】C 【解析】试题分析：sin()cos sin cos cos sin cos 666πππααααα--=--1cos 2αα=-=1sin()63πα-+=，1sin()63πα+=-，所以2219cos(2)12sin ()12()3637ππαα+=-+=-⨯-=．故选C ．【考点】两角和与差的正弦（余弦）公式，二倍角公式．【名师点睛】1．当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； 2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 3．常见的配角技巧：22αα=⋅；()()ααββββα=+-=--；1[()()]2ααβαβ=++-，1[()()]2βαβαβ=+--，()424πππαα+=--等等．8．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A．．．．【答案】C【解析】试题分析：题设三视图是下图中几何体ABCDEF 的三视图，由三视图中的尺寸，知其体积为11146(43)232V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，故选C ． FEDCBA【考点】三视图与几何体的体积．9．已知函数21()sin ()2f x x ω=-，(0)ω>的周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位(0)a >，所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为（ ） A ．π B ．34π C ．2π D ．4π 【答案】D【解析】试题分析：22111()sin ()(12sin ())cos 2222f x x x x ωωω=-=--=-，由22T ππω==得1ω=，即()c o s 2f x x =-，向右平移a 个单位后得()c o s 2()c o sg x x a x a =--=--，其图象关于原点对称，即为奇函数，(0)cos(2)cos 20g a a =--=-=，2,2a k k Z ππ=+∈，,24k a k Z ππ=+∈，最小的正数4a π=，故选D ．【考点】函数图象的平移，函数的奇偶性．410．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，点P 是CDE ∆内（包括边界）的一个动点，设(,)AP AF AB R λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是（ ）A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]3,4 C ．35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】试题分析：建立如图所求的直角坐标系，设2AB =，则(0,0)A ，(2,0)B，C，D，E，(1F -， 设(,)P x y ，即(,)AP x y =，Ey BA x所以EC的方程为60x -=，CD的方程为0y +-=，因为P 是CDE ∆内（含边界）的动点，则可行域为600x y y ⎧+-≥≤≤+-，由A P A B A Fλμ=+ 及(2,0)AB =，(1AF =-得(,)(2,0)(1x y λμ=+-，所以2x y λμ=-⎧⎪⎨=⎪⎩，代入可行域得3122λμμλ+≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤⎩，34λμ⇒≤+≤．故选B ．【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．CF11．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（ ） A ．3 B．．．【答案】A【解析】试题分析：此四棱锥为正四棱锥，设此正四棱锥的底面边长为a ，高为h ，则2193a h =，227a h =，再设其外接球半径为R ，则222()()2R R h a =-+，22212224h a h a R h +==+22724h h =+227444h h h =++94≥=，当且仅当22744h h =，即3h =时，等号成立，此时球面积最小，故选A ．【考点】正四棱锥与外接球．【名师点睛】本题考查多面体及其外接球问题．我们应该掌握一些特殊的多面体与外接球的特征．正四面体外接球的球在其高上，且把高分成3:1两部分，正方体，长方体的对角线就是其外接球的直径，正三棱锥，正四棱锥的外接球的球心在其高上，具体计算可借助相应的直角三角形． 12．关于函数2()ln f x x x=+，下列说法错误的是（ ） A ．2x =是()f x 的极小值点B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数12,x x ，且21x x >，若12()()f x f x =，则124x x +> 【答案】C【解析】试题分析：22212'()x f x x x x-=-+=，'(2)0f =，且当02x <<时，'()0f x <，函数递减，当2x >时，'()0f x >，函数递增，因此2x =是()f x 的极小值点，A 正确；()()g x f x x =-，221'()1g x x x=-+- 2217()24x x -+=-，所以当0x >时，'()0g x <恒成立，即()g x 单调递减，又11()210g e e e =+->，2222()20g e e e=+-<，所以()g x 有零点且只有一个零点，B 正确；设2()2ln ()f x xh x x x x==+，易知当2x >时，222ln 21112()x h x x x x x x x x =+<+<+=，对任意的正实数k ，显然当2x k >时，2k x<，即()f x k x<，()f x kx <，所以()f x kx >不成立，C 错误；作为选择题这时可得结论，选C ，下面对D 研究，因为12()()f x f x =，即121222ln ln x x x x +=+，变形为2122112()ln x x x x x x -=，设21(1)x t t x =>，21x tx =，代入上式解得122(1)ln 2(1)ln t t x tt x t -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，所以2121()2(1)ln t g t x x t t -=+=⋅>，由导数的知识可证明()(1)g t t >是增函数，又1lim ()4t g t →=（洛必达法则），所以()4g t >，即124x x +>．【考点】命题的判断，函数的性质．【名师点睛】本题考查命题的判断，实质上考查函数的性质，一般要对每一个选择支进行判断，所考查的知识点较多，难度较大．A 考查函数的极值，B 考查函数的零点，C 考查不等式恒成立问题，D 考查函数的性质，涉及到转化与化归思想，导数与函数的单调性，甚至还有函数的极限，当然从选择题的角度考虑，D 可以不必证明（因为C 是错误的，只能选C ）． 二、填空题13．已知平面直角坐标系中，(3,4)b =，3a b ⋅=- ，则向量a 在向量b 的方向上的投影是 ． 【答案】35-【解析】试题分析：向量a 在向量b的方向上的投影是35a b b ⋅==-．【考点】向量的数量积的概念．14．若函数1,02()1,20x x f x x -<≤⎧=⎨--≤≤⎩，[]()(),2,2g x f x ax x =+∈-为偶函数，则实数a = ．【答案】12-【解析】试题分析：由题意(1)1,02()1,20a x x g x ax x +-<≤⎧=⎨--≤≤⎩，则(2)(2)f f -=，即212(1)1a a --=+-，12a =-． 【考点】函数的奇偶性．15．设实数x ，y 满足约束条件202x y y x -≥⎧⎪⎨≥-⎪⎩，则2z x y =+的最大值为 ．【答案】10【解析】试题分析：作出题高约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，把直线l 向上平移时2z x y =+在增大，当l 过点(4,2)A 时，z 取得最大值10．【考点】简单的线性规划问题．【名师点睛】求目标函数的最大值或最小值，必须先求出准确的可行域，令目标函数等于0，将其对应的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．具体地就是： （1）线性目标函数z=ax+by 与y 轴交点为(0,)zb ，zz b b b=⨯=⨯（线性目标函数在y 轴上的截距）．故对b 的符号一定要注意：当b>0时，当直线过可行域且在y 轴上的截距最大时，z 值最大，在y 轴上的截距最小时，z 值最小；当b<0时，当直线过可行域且在y 轴上的截距最大时，z 值最小，在y 轴上的截距最小时，z 值最大．（2）如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点．16．如图所示，已知ABC ∆中，90C ∠= ，6AC =，8BC =，D 为边AC 上的一点，K 为BD 上的一点，且ABC KAD AKD ∠=∠=∠，则DC = ．【答案】73【解析】试题分析：由题意3sin 5ABC ∠=，4cos 5ABC ∠=，sin sin()sin 2BDC DKA DAK ABC ∠=∠+∠=∠34242sin cos 25525ABC ABC =∠∠=⨯⨯=，所以7c o s 25BDC ∠=，BC24tan 7BDC ∠=，8724tan 37BC CD BDC ===∠． 【考点】解三角形．【名师点睛】本题考查解直角三角形．直角三角形中除勾股定理外，还有三角函数的定义，而涉及到三角函数问题时，它就与三角函数公式（如两角和与差的正（余）弦公式、正切公式，二倍角公式等）建立联系，所以本题还考查了二倍角的正弦公式，同角关系式．本题已知直角ABC ∆中的所有量（三边，三角），要求的线段长可能在直角BDC ∆中，此三角形中已知一直角边，要求另一直角边，要么先求得斜边，要么先求得一锐角，再结合已知条件发现锐角BDC ∠与直角ABC ∆中的角有联系，由此得出解法． 三、解答题17．在等比数列{}n a 中，332a =，392S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2216log n n b a +=，且{}n b 为递增数列，若11n n n c b b +=⋅，求证：12314nc c c c ++++<． 【答案】（1）32n a =或116()2n n a -=⋅-；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）要分类，按1q =和1q ≠分类求得首项1a ，公比q ；（2）由于{}n b 是递增数列，因此{}n a 不是常数数列，从而116()2n n a -=⋅-，由此得2n b n =，而1111()2(22)41n c n n n n ==-++，即数列{}n c 采用裂项相消法求和．试题解析：（1）1q =时，32n a =； 1q ≠时，116()2n n a -=⋅-（2）由题意知：116()2n n a -=⋅- ∴2116()4n n a +=⋅ ∴2n b n = ∴111111()2(2n 2)4(n 1)41n c n n n n ===-⋅+⋅++∴123111(1)414n c c c c n ++++=-<+ 【考点】等比数列的通项公式，裂项相消法求和．18．如图，ABC ∆中，三个内角B 、A 、C 成等差数列，且10AC =，15BC =．（1）求ABC ∆的面积；（2）已知平面直角坐标系xOy ，点(10,D ，若函数()sin()f x M x ωϕ=+(0,0,)2M πωϕ>><的图象经过A 、C 、B 三点，且A 、B为()f x 的图象与x 轴相邻的两个交点，求()f x 的解析式．【答案】（1）252；（2）(x)10sin()153f x ππ∴=+．【解析】试题分析：（1）已知两边一角，三角形可解，由已知60A =︒，由余弦定理求得边c ，从而有ABC S ∆1sin 2bc A =，当然也可求得高OC ；（2）由（1）求得,A C坐标，(5,0),A C -，要求三角函数式()sin()f x M x ωϕ=+，首先且A 、B 为()f x 的图象与x 轴相邻的两个交点，得周期2[10(5)]30T =--=，于是有215T ππω==，把(5,0)A -代入，再结合2πϕ<可得ϕ=3π，再把点C 坐标代入可得M ． 试题解析：（1）在△ABC 中，60A = 由余弦定理可知：2222cos60a b c bc =+-∴2101250c c --=5c AB ∴==+又∵10cos605AO =⋅=BO ∴=125(522ABC S ∴=+⨯= ． （2）T=2×（10+5）=30，∴15πω=∵(5)Msin((5))015f π-=⋅-+ϕ= sin()03π∴-+ϕ=，,3k k Z π∴-+ϕ=π∈2πϕ< ，3π∴ϕ=。
【全国百强校】湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2016届高三上学期期中考试理数试题解析(解析版)
第I 卷（选择题共60分）注意事项：务必将每小题的答案填在答题卡的相应位置.答在试卷上无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的选项代号涂填在选择题的答题卡内.1.已知集合2{|lg()}A x y x x ==-,集合2{|0(0)}B x x cx c =-<>错误！未找到引用源。
,若A B ⊆错误！未找到引用源。
,则c 的取值范围为( ) A.(0,1] B.(0,1) C.[1,)+∞ D.(1,)+∞【答案】C考点：集合的运算 2.复数241iz i+=-错误！未找到引用源。
(i 为虚数单位)在复平面内对应点的坐标为( ) A.(3,3) B.(1,3)- C.(3,1)-D.(2,4)【答案】B 【解析】试题分析：由题化简所给复数根据复数的几何意义判断即可. 因为()()()()2412426131112i i i iz i i i i +++-+====-+--+,所以其在复平面对应的点的坐标为(1,3)-，故选B. 考点：复数的运算及其几何意义3.已知向量(1,2),(2,1)a x b =-=错误！未找到引用源。
，则“0x >”是“a 与b 错误！未找到引用源。
夹角为锐角”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：由题(1,2),(2,1),(1,2)(2,1)2x a x b a b x =-=∴⋅=-⋅=，22255cos ,255cos ,a b x x a b x x a b ⋅=-+⨯⨯<>=-+⨯⨯<>，x>0不一定推出向量a 与b 错误！未找到引用源。
夹角为锐角，反之可以得到x>0,所以“0x >”是“a 与b 错误！未找到引用源。
夹角为锐角”的必要不充分条件，故选C 考点：必要条件4..已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-,数列{}n a 错误！未找到引用源。
数学---湖北省华中师范大学第一附属中学2017届高三上学期期中考试(理)
湖北省华中师范大学第一附属中学2017届高三上学期期中考试（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.1.已知集合，{})2lg(2x x y x N -==，则为（ ）(A) ()2,1(B)()+∞,1 (C) [)+∞,2(D) [)+∞,12.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）(A) y =(B) 2(1)y x =- (C) 2x y -=(D) 0.5log (1)y x =+3.在等差数列{a n }中，已知4816a a +=，则该数列前11项和S 11＝（ ）(A) 58(B) 88(C) 143(D) 1764.下列判断正确的是（ ）(A) 若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p 且q ”为真命题 (B) 命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠” (C)“1sin 2α=”是“6πα=”的充分不必要条件(D) 命题“对任意,20xx ∈>R 成立”的否定是“存在0x ∈R ，使020x ≤成立”.5.已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+,若()()m n m n +⊥- ,则=λ（ ）(A) 4- (B) 3- (C) 2- (D) -16.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x x >02x x ≤0，则f (f (19))＝( )(A) 4(B) 14(C) －4(D) －147.一质点受到同一平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成︒120角，且，的大小分别为1和2，则的大小为( )(A) 1(B) 2(C) 32(D)38.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是( ){}2,0x M y y x ==>M N 123,,F F F 1F 2F 1F 2F 3F v v 乙甲和01t t 和(A) 时刻后，甲车在乙车后面 (B) 在、时刻，甲车均在乙车前面 (C) 在时刻，两车的位置相同 (D) 时刻后，乙车在甲车前面 9.将函数)3cos(π-=x y 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移6π个单位长度，所得函数图象其中的一条对称轴为( ) (A)9π (B)8π (C)2π (D)π10.定义行列式运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f(x)＝13 x x ωωc o s s i n (ω>0)的图像向左平 移5π6个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是( ) (A) 15(B) 1(C)115(D) 211.已知函数()ln ,00,0x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩，则方程()()20f x f x -=的不相等的实根个数为（ ）(A) 5(B) 6(C) 7(D) 812.下列命题：①已知A 、B 、C 是三角形ABC 的内角,则B A =是B A sin sin =的充要条件；②设a ，b 为向量,如果||||-=+，则b a ⊥；③设a ，b 为向量, 则“||||||=⋅”是“//”的充分不必要条件；④设，为向量, “b a 2=”是“a 与b 共线”的充要条件，正确的是（ ）(A) ①②(B) ①③(C) ②③(D) ②④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 13．已知41)4tan(,32)tan(=-=+πββα，则)4tan(πα+=________.14.已知函数, 则________．15．已知矩形ABCD 的边AB 长为2，边ADE 是AB 边上的动点，则 DE →·DC →1t 0t 1t 0t 0t的最大值为________.16．设曲线)(1*+∈=N n x y n 在点)1,1(处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令2n x a nn =，则122015a a a +++L 的值为________.三、解答题：本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）若向量(cos ,sin )a θθ=r ,1)b =-r.（1）若b ⊥且)2,0(πθ∈，求θ的值；（2）若[0,]θπ∈，求|2|a b -r r的最大值.18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：*1(N )n n a a n +>∈，11a =，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列,22log 1n n a b +=-. （1）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：数列{}n n b a ⋅的前n 项和n T 3<.19．（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，2sin 0b A -=． （1）求角B 的大小；（2）若5a c +=，且a c >，b =AB AC ⋅uu u r uu u r的值．20．（本小题满分12分）已知函数()()2cos (0,0).f x x ωϕωϕπ=+><<⎡⎤⎣⎦ (1)若函数()f x 图像过点（0，-2）且图像上两个对称中心1(,0)A x 与2(,0)B x 间最短距离为2π，求函数()f x 解析式； (2)若2πϕ=，函数()f x 在[-2,33ππ]上单调递减，求ω的取值范围；21．（本小题满分14分）已知函数()ln()f x x x a a R ∈＝－＋（）． (1) 求函数()f x 的单调区间；(2) 当)(x f 在1x ＝处取得极值时，若关于x 的方程21()2[2]2f x x x b +=+在区间，上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围； (3) 求证:当2,n n R +≥∈时，．请考生从22、23、24题中任选一题做答.多答按所答的首题进行评分. 22.（本题满分10分) 选修4—1：几何问题选讲 如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 垂直， 垂足为M ，E 是CD 延长线上的一点，且AB =10,CD =8, 3DE =4OM ，过F 点作⊙O 的切线EF ，BF 交CD 于G . （1）求EG 的长；（2）连接FD ,判断FD 与AB 是否平行，为什么？e n <⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+22211 (311211)23．（本题满分10分) 选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的 非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点A 、B 的极坐标分别为(1,)3π、2(3,)3π，曲线C 的参数方程为cos ,(sin x r y r ααα=⎧⎨=⎩为参数）． （1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 只有一个交点，求r 的值．24.（本题满分10分) 选修4—5：不等式选讲 已知函数()||f x x =，()|4|g x x m =--+ （1）解关于x 的不等式[()]20g f x m +->；（2）若函数()f x 的图像恒在函数()g x 图像的上方，求实数m 的取值范围.参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应的位置上. 13．145; 14． ;15.4; 16.20152016三、解答题：本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）解：（1）由,b a ⊥得0=⋅， ……………………2分 即：0sin cos 3=-θθ ，∴3tan =θ ………………3分Q )2,0(πθ∈3πθ=∴ …………………5分（2）Q 2||,1||==2|2|a b ∴-=r r 224||||4a b a b +-⋅r r r r =44sin )θθ+--88cos()6πθ=-+…8分[0,]θπ∈Q 7[,]666πππθ+∈Q 5==66ππθπθ∴+当，即时 2max |2|16a b ∴-=r r 故|2|a b -r r的最大值为4. ……………………10分18.（本小题满分12分）解：（1）设d 为等差数列{}n a 的公差，且0d>由,21,1,1321d a d a a +=+==分别加上1，1，3成等比数列， 得),24(2)2(2d d +=+0d >，所以2=d ，所以122)1(1-=⨯-+=n n a n ，又因为212log n n a b =--，所以n b n -=2log即nn b 21= . .............................6分 （2）2313521,2222n n n T -=++++L ①2341113521.22222n n n T +-=++++L ② ①—②，得 2311111()22222n n T =++++L .2121+--n n ..................10分 121121121232133 3.1222212n n n n n n n n n T -----+∴=+-=--=-<- ...........12分 19．（本小题满分12分） 解：（1）由正弦定理得sin sin a bA B=2sin 0b A -=2sin sin 0A B A -=，……………3分因为A 为锐角sin 0A ≠，所以23sin =B . …………………………4分 又B 为锐角， 则3B π=. ……… 6分（2）由（1）可知，3B π=．因为b =，根据余弦定理，得 2272cos3a c ac π=+-，整理，得2()37a c ac +-=． …………………………8分 由已知 5a c +=，则6ac =．又a c >，可得 3a =，2c =．于是222cos 2b c a A bc +-===，…………………………10分所以cos cos 21AB AC AB AC A cb A ⋅=⋅===uu u r uuu r uu u r uuu r ． … 12分20．（本小题满分12分）． 解：（1）12min22Tx x π-==，T π=，2ω=，……………2分 (0)2cos 22f ϕ==-，cos 21ϕ=-，0ϕπ<<，022ϕπ<<，所以 2ϕπ=，2πϕ=， ……………5分()2cos[2()]2sin 22f x x x π=+=- ……………6分（2）27,,,,033266x x πππππω⎡⎤⎡⎤∈-+∈>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因为根据题意有：21266(),12772660127k k k N k N k k ωππωωπππω*⎧≥⎪+⎪∈∈≤≤⎨⎪≤+⎪⎩<≤ 又时，无解，可得分21．（本小题满分14分）解：（１）由已知由函数的定义域为，……1分 ，由得，由得， …………………………3分 所以函数的减区间为，增区间为． …4分 （2）由题意，得 ， a ＝0 ． ……5分由(1)知f (x )＝x －lnx ，∴f (x )＋2x ＝x 2＋b ，即 x －lnx ＋2x ＝x 2＋b ， x 2－3x ＋lnx ＋b ＝0， 设＝x 2－3x ＋lnx ＋b (x ＞0)， ……………………6分则＝2x －3＋1x ＝2x 2－3x ＋1x ＝(2x －1)(x －1)x,当变化时，，的变化情况如下表：…………………………7分∵方程f (x )＋2x ＝x 2＋b 在[12，2]上恰有两个不相等的实数根,()f x x a >-()ax a x a x x f +-+=+-='1111+-<-a a ∴,0)(>'x f 1+->a x ,0)(<'x f 1+-<<-a x a )(x f ()1,+--a a ()+∞+-,1a ()01='f ∴∴∴()x g ()x g '1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()x g '()x g⎩⎨⎧g (12)≥0g (1)＜0g (2)≥0,⎩⎨⎧b －54－ln 2≥0b －2＜0b －2＋ln 2≥0, …………………………8分 54＋ln 2≤b <2，即．……9分(3)由(1) 和(2)可知当时,,即,当时, ．……… 10分令（）,则． ……… 12分 所以当时,, ……… 13分 即, ． ……………………………14分 22．（本题满分10分) 选修4—1：几何问题选讲解:（1）连接AF ,OF ,，则A ，F ，G ，M 共园，因为EF ⊥OF , ∵∠FGE =∠BAF 又∠EFG =∠BAF , ∴∠EFG =∠FGE ,有EF =EG …………………….3分 由AB =10,CD =8知OM =3 ∴ED =43OM =4 2.48EF ED EC == ∴EF =EG= ………………………………….5分（2）连接AD , ∠BAD =∠BFD 及（Ⅰ）知GM =EM-EG=8-∴tan ∠MBG=4MG MB =-, tan ∠BAD =4182MD MA ==≠ tan ∠MBG ∴∠BAD ≠∠MBG ，∠MBF ≠∠BFD∴ FD 与AB 不平行 ………………………………………….10分 23．（本题满分10分) 选修4—4：极坐标与参数方程∴∴∴5ln 2,24b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭10,,2a x ⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣⎭)1()(f x f ≥1ln -≤x x ∴1>x 1ln -<x x 211x n =+2,n n ≥∈*N 22111ln nn <⎪⎭⎫ ⎝⎛+2,n n ≥∈*N 2222221 (312)111ln .......311ln 211ln n n +++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+()11111......321211<-=-⨯++⨯+⨯<n n n 111.......311211ln 222<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n ∴e n <⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+22211 (311211)解:（1）∵点A 、B 的极坐标分别为(1,)3π、2(3,)3π， ∴点A 、B的直角坐标分别为1(,22、3(,)22-， ····························· 3分 ∴直线AB的直角坐标方程为40y +-=． ·································· 5分 （2）由曲线C 的参数方程cos ,(sin x r y r ααα=⎧⎨=⎩为参数）化为普通方程为 222x y r += ………………………………………………………8分∵直线AB 和曲线C 只有一个交点，∴半径r == ···················································· 10分 24.（本题满分10分)解:（1）由[()]20g f x m +->得|||4|2x -<，2||42x ∴-<-< 2||6x ∴<< 故不等式的解集为[6,2][2,6]-- …………5分 （2）∵函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方∴()()f x g x >恒成立，即|4|||m x x <-+恒成立 ………………8分 ∵|4||||(4)|4x x x x -+≥--=，∴m 的取值范围为4m <. …………………………………………10分。
湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试数学(理)试题
湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2015届高三上学期期中考试数学（理）试题考试用时120分钟，满分150分。
请把试题答案填写在答题卡相应的位置上。
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数的实部是，虚部是，则的值是（ ）A ． B. C. D. 2．已知集合{}2|ln(9)A Z B x y x ===-，，则为（ ）A ． B. C. D. 3．下列命题错误的是（ ） A ．命题“若，则”的逆否命题为 “若中至少有一个不为0，则”B ．若命题：2000,10x x x ∃∈-+≤R ，则：C ．中，是的充要条件D ．若为假命题，则、均为假命题由上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为的男生的体重大约为（ ）A ．70.09B ．70.12C ．70.55D ．71.055．已知(){}1,1,≤≤=Ωy x y x ，A 是曲线与围成的区域，若向区域上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为（ ）A. B.C.D.6．已知函数()sin()f x A x x R ωϕ=+∈，（其中0022A ππωϕ>>-<<，，），其部分图像如图所示，将的图像纵坐标不变，横坐标变成原的2倍，再向右平移1个单位得到的图像，则函数的解析式为（ ） A. B.C. D.7．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D.8．若满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-,001532,0653y y x y x ，当且仅当时，取最小值,则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.9．若双曲线的左、右顶点分别为，点是第一象限内双曲线上的点．若直线的倾斜角分别为，且，那么的值是（ ）A ．B ．C ．D ．10．函数的定义域为D,若对于任意,当时都有,则称函数在D 上为非减函数,设函数在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个条件①;②;③,则等于（ ）A. B. C. 1 D.二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分） （一）必考题（1114题）11．已知为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中的常数项是_________．（用数字作答） 12．在中，OB OD OA OC 21,41==，与交于点，设=， =， 则 (用,表示)13．若正数满足，则的最小值为 ．14．在平面直角坐标系中，已知点在圆222:24280C x y mx y m +--+-=内，动直线过点且交圆于两点，若的面积的最大值为，则实数的取值范围是 （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答.如果全选，则按第15题作答结果计分） 15．（选修：几何证明选讲）如图，为△外接圆的切线，平分，交圆于， 共线．若, ,，则圆的半径是 16．（选修：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，曲线的参数方程是11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则两曲线交点间的距离是三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分12分） 设角是的三个内角,已知向量(sin sin ,sin sin )m A C B A =+-，(sin sin ,sin )n A C B =-,且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若向量2(0,1),(cos ,2cos)2Bs t A =-=,试求的取值范围 18．（本小题满分12分）已知数列是等差数列，是等比数列，且，， ．（Ⅰ）求数列和的通项公式（Ⅱ）数列满足，求数列的前项和．20．（本小题满分12分）节日期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段后得到如下图所示的频率分布直方图. （Ⅰ）此调查公司在采样中用到的是什么抽样方法?（Ⅱ）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值. （Ⅲ）若从车速在的车辆中任抽取2辆,求抽出 的2辆车中车速在的车辆数的分布列及 数学期望. 21．（本小题满分13分）已知椭圆C )0(12222>>=+b a by a x 的离心率为，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程（Ⅱ）若直线L ：与椭圆C 相交于A 、B 两点，且 ①求证：的面积为定值②在椭圆上是否存在一点P ，使为平行四边形，若存在，求出的取 值范围，若不存在说明理由. 22．（本小题满分14分）已知函数图象上一点处的切线方程为 （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底，）；（Ⅲ）令，如果图象与轴交于()()()21210,,0,x x x B x A <， 中点为，求证：．华中师大一附中2014——2015学年度上学期期中检测高三数学（理）试题参考答案及评分标准三、解答题：(本大题共6小题，共75分)17．（本小题满分12分）解： (Ⅰ)由题意得0)sin sin (sin )sin (sin 222=-+-=⋅B A B C A ，即B A B A C sin sin sin sin sin 222-+=，由正弦定理得，再由余弦定理得212cos 222=-+=ab c b a C ，3,0ππ=∴<<C C .……………6分(Ⅱ))cos ,(cos )12cos 2,(cos 2B A B A =-=+ ， 222222cos cos cos cos ()3s t A B A A π+=+=+-41cos(2)1cos 2113cos 221sin(2)122426A A A A A ππ+-+=+=+=--+ 67626,320ππππ<-<-∴<<A A 1sin(2)126A π∴-<-≤， 所以，故.……………………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由341b b q =，得354272q ==， 从而3q =，因此，又123223361824a a a a b b ++==+=+=， 28a ∴=， 216d a a =-=，故………………………6分（Ⅱ）14(32)3n n n n c a b n -==⋅-⋅令01221134373(35)3(32)3n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯…则12313134373(35)3(32)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯………………9分两式相减得1217(67)321333333(32)322nnn n n T n ---=+⨯+⨯++⨯--⨯=--… 73(67)44n n n T -∴=+，故nn n S 4T 7(6n 7)3==+-⋅ ………………………12分19．（本小题满分12分）解：（I ）当13t =时，//PA 平面MQB 证明：连AC 交BQ 于N ，连．由//AQ BC 可得，ANQ BNC ∆∆∽， 12AQ AN BC NC ∴==，所以．若13t =，即，//PA MN ∴，由平面PAC ，故//PA 平面MQB ．……………………6分（II ）由2PA PD AD ===，为的中点，则又平面⊥平面，所以⊥平面，连，∵四边形为菱形，， 由得为正三角形，又为的中点， ，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图 所示的坐标系，则各点坐标为，，，设平面的法向量为，可得00,//,00n QB n QB PA MN n MN n PA ⎧⎧⋅=⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⋅=⎪⎪⎩⎩，⎪⎩⎪⎨⎧=-=0303z x y 令z=1，解得(3,0,1)n =，取平面ABCD 的法向量， 设所求二面角为θ，而θ为锐角，则,故二面角M BQ C --的大小为60°．…………12分 20．（本小题满分12分） 解：（I ）系统抽样 ……………………2分 （II ）众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于，设图中虚线所对应的车速为,则中位数的估计值为0.0150.0250.0450.06(95)0.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-=,解得即中位数的估计值为 ……………………6分均值864()01215153E ξ=+⨯+⨯=. ……………………12分21．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得，，，又，联立解得，∴椭圆的方程为13422=+yx .……………………3分（Ⅱ）设)(1,1y x A ，)(2,2y x B 则A,B 的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧+==+mkx y y x 13422 消去y 化简得，()0124843222=-+++m kmx x k∴221438k km x x +-=+，222143124km x x +-= ，0>∆得03422>+-m k 2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++==2222222243123)438(43124kk m m k km km k m k +-=++-++-。
2017级高三上学期文科、理科数学期中考试题(华师一附中期中考试)
华中师大一附中2019—2020学年度上学期期中检测高三年级文科数学试题时限：120分钟满分：150分命题人：廖义振 审题人：黄进林一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数i-12(i 为虚数单位)的共轭复数是 A.i +1 B.i -1 C.i +-1 D.i --12．已知集合1|,0A y y x x x ⎧⎫==+≠⎨⎬⎩⎭，集合{}2|40B x x =-≤，若A B P ⋂=，则集合P 的子集个数为 A ．2B ．4C ．8D ．163．下列命题错误的是A ．命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”B ．命题“∀R ∈，2 20x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，2 20x x -+>”C ．若“p 且q ”为真命题，则p ，q 均为真命题D ．“1x >-”是“2430x x ++>”的充分不必要条件4．一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为A ．B ．4C ．2+D ．4+5．已知4cos(),45πα+=则sin 2α=A ．725-B ．925C ．259-D ．7256．甲、乙、丙、丁四人关于买彩票的中奖情况有下列对话：甲说：“如果我中奖了，那么乙也中奖了”。
乙说：“如果我中奖了，那么丙也中奖了”。
丙说：“如果我中奖了，那么丁也中奖了”。
结果三人都没说错，但是只有两人中奖，那么这两人是 A ．甲、乙B ．乙、丙C ．丙、丁D ．甲、丁7．已知函数log (8)a y ax =-(其中 0,1a a >≠)在区间[]1,4上单调递减，则实数a 的取值范围是 A ．()0,1B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,28．在ABC ∆中，10AB =，6BC =，8CA =，且O 是ABC ∆的外心，则CA AO ⋅= A ．16 B ．32C ．16-D ．32-9．设函数()21log 21xf x x =+-,定义121...n S f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,其中,2n N n *∈≥,则n S =A ．()12n n - B ．()21log 12n n --- C ．12n -D ．()21log 12n n -+- 10．实数对(,)x y 满足不等式组2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，且目标函数y kx z -=当且仅当3x =，1y =时取最大值，则k 的取值范围为 A.)1,21(-B.)1,21[-C.]1,21(-D.]1,21[-11．函数()sin()10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将()f x 的图象向右平移π4个单位长度后得函数()g x 的图象，则()g xA ．2sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭ B ．sin 213x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．sin 213x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭ D ．sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭12．设函数()f x 是定义在)2,0(π上的函数，)(x f '是函数()f x 的导函数，若x x f x f tan )()('<，1)6(=πf ，则不等式()2sin f x x <的解集是 A ．)6,0(π B ．)21,0(C ．)2,6(ππ D ．)2,21(π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若幂函数()()21m f x m m x =--在()0,∞+上为增函数，则实数m 的值为_________. 14．设向量(1,3)a =，(,3)b m =，且向量a ，b 的夹角为锐角，则实数m 的取值范围 是。
湖北省华中师大一附中2017届高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年湖北省华中师大一附中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．集合A={y|y=2x﹣1}，B={x||2x﹣3|≤3}，则A∩B=（）A．{x|0＜x≤3}B．{x|1≤x≤3}C．{x|0≤x≤3}D．{x|1＜x≤3}2．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z在复平面内对应的点在（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限=2a n﹣2n，则a17（）3．数列{a n}中，a1=1，a n+1A．﹣15×216B．15×217C．﹣16×216D．16×2174．sinθ+cosθ=﹣，θ是第二象限的角，则tanθ（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣D．﹣5．已知向量=（2cos2x，），=（1，sin2x）．设f（x）=•，若f（α﹣）=2，α∈[，π]，则sin（2α﹣）=（）A．﹣B．C．﹣D．6．两个单位向量，的夹角为60°，点C在以O圆心的圆弧AB上移动，=x+y，则x+y的最大值为（）A．1 B．C．D．7．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣4有3个零点，则a的值为（）A．3 B．4 C．5 D．68．下列四个命题中，正确的个数是（）①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意的x∈R，x2﹣x＜0”；②若函数f（x）在上有零点，则f＜0；③在公差为d的等差数列{a n}中，a1=2，a1，a3，a4成等比数列，则公差d为﹣；④函数y=sin2x+cos2x在[0，]上的单调递增区间为[0，]．A．0 B．1 C．2 D．39．若＜θ＜π，P=3cosθ，Q=（cosθ）3，R=（cosθ），则P，Q，R的大小关系为（）A．R＜Q＜P B．Q＜R＜P C．P＜Q＜R D．R＜P＜Q10．实数x，y满足，若目标函数z=mx+y（m＞0）的最大值为5，则m的值为（）A．B．C．2 D．511．定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）=f（2﹣x），f'（x）（x﹣1）＞0，则对任意的x1＜x2，f（x1）＞f（x2）是x1+x2＜2的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件12．已知函数y=f（x）的定义域的R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，）f（）=1（n∈N*），且a1=f 等式f（x）f（y）=f（x+y）成立，若数列{a n}满足f（a n+1（0），则下列结论成立的是（）A．f（a2013）＞f（a2016）B．f（a2014）＞f（a2017）C．f（a2016）＜f（a2015）D．f（a2013）＞f（a2015）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．关于x的不等式表示的平面区域是等腰直角三角形，则该三角形的面积为．14．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4cos2﹣cos2（B+C）=，若a=2，则△ABC的面积的最大值是．15．已知x＞1，y＞1，且lnx，，lny成等比数列，则xy的最小值为．16．已知函数f（x）=m（x+m+5），g（x）=2x﹣2，若任意的x∈R，总有f（x）＜0或g（x）＜0，则m的取值范围是．三、解答题：写出文字说明，证明过程或演算过程．17．已知f（x）=（xinωx+cosωx）cosωx﹣，其中ω＞0，若f（x）的最小正周期为4π．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）锐角三角形ABC中，（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．18．如图所示，△ABC中，D为AC的中点，AB=2，BC=，∠A=．（1）求cos∠ABC的值；（2）求BD的值．19．数列{a n}的前n项和S n=3n2+2n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）令b n=a n2n，求{b n}的前n项和T n．20．已知函数f（x）=（a≠0）．（1）试讨论y=f（x）的极值；（2）若a＞0，设g（x）=x2e mx，且任意的x1，x2∈[0，2]，f（x1）﹣g（x2）≥﹣1恒成立，求m的取值范围．21．已知函数f（x）=x2﹣ax+2lnx（其中a是实数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若设2（e+）＜a＜，且f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求f（x1）﹣f（x2）取值范围．（其中e为自然对数的底数）．22．已知f（x）=|x﹣1|﹣|2x+3|．（1）解不等式f（x）＞2；（2）关于x的不等式f（x）≤a2﹣a的解集为R，求a的取值范围．2016-2017学年湖北省华中师大一附中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．集合A={y|y=2x﹣1}，B={x||2x﹣3|≤3}，则A∩B=（）A．{x|0＜x≤3}B．{x|1≤x≤3}C．{x|0≤x≤3}D．{x|1＜x≤3}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A，B，然后求解交集即可．【解答】解：集合A={y|y=2x﹣1}={y|y＞0}，B={x||2x﹣3|≤3}={x|0≤x≤3}，则A∩B={x|0＜x≤3}．故选：A．2．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z在复平面内对应的点在（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：∵（1﹣i）z=2i，∴（1+i）（1﹣i）z=2i（1+i），化为z=i﹣1则z在复平面内对应的点（﹣1，1）在第二象限．故选：C．=2a n﹣2n，则a17（）3．数列{a n}中，a1=1，a n+1A．﹣15×216B．15×217C．﹣16×216D．16×217【考点】数列递推式．=2a n﹣2n，变形为﹣=﹣，利用等差数列的通项公式即可得出．【分析】a n+1=2a n﹣2n，【解答】解：∵a n+1∴﹣=﹣，∴数列是等差数列，公差为﹣．∴=﹣（n﹣1）=，可得a n=（2﹣n）•2n﹣1，∴a17=﹣15×216．故选：A．4．sinθ+cosθ=﹣，θ是第二象限的角，则tanθ（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣D．﹣【考点】三角函数的化简求值．【分析】已知等式两边平方，利用同角三角函数间基本关系化简求出sinθcosθ的值，然后由倍角公式进行计算．【解答】解：∵sinθ+cosθ=﹣，∴1+2sinθcosθ=1+sin2θ=，则sin2θ=﹣．又∵θ是第二象限的角，即＜θ＜π，∴π＜2θ＜2π，∴cos2θ=，∴tanθ===﹣．故选：C．5．已知向量=（2cos2x，），=（1，sin2x）．设f（x）=•，若f（α﹣）=2，α∈[，π]，则sin（2α﹣）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】进行数量积的运算，并化简即可得出f（x）=，这样根据即可得出cos2α=，而由α的范围便可得出2α的范围，从而求出α，这样便可求出的范围．【解答】解：f（x）====；∴=﹣2cos2α+1=2；∴；∵；∴2α∈[π，2π]；∴；∴．故选C．6．两个单位向量，的夹角为60°，点C在以O圆心的圆弧AB上移动，=x+y，则x+y的最大值为（）A．1 B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角；基本不等式．【分析】本题是向量的坐标表示的应用，结合图形，利用三角函数的性质，即可求出结果．【解答】解：∵两个单位向量，的夹角为60°，点C在以O圆心的圆弧AB上移动，=x+y，建立如图所示的坐标系，则B（1，0），A（cos60°，sin60°），即A（，）．设∠BOC=α，则=x+y=（cosα，sinα）=（x+y，x），∴∴x=sinα，y=cosα﹣sinα，∴x+y=cosα+sinα=sin（α+60°）．∵0°≤α≤60°，∴60°≤α+60°≤120°，∴≤sin（α+60°）≤1，故当α+60°=90°时，x+y取得最大值为，故选：D．7．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣4有3个零点，则a的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由已知中函数函数y=f（x）﹣4=，我们分别判断出x≠4时，函数的零点，及x=4时，函数的零点，进而可得实数a的值．【解答】解：由题意，函数y=f（x）﹣4=x≠a时，函数关于x=a对称，此时f（x）=4一定有两个零点，则当x=a时，f（x）=4，∴a=4．若x≠4，则﹣2=0，则x=1.5或x=5.5；若x=4，则a﹣4=0，则a=4，满足函数y=f（x）﹣4有3个零点故选B．8．下列四个命题中，正确的个数是（）①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意的x∈R，x2﹣x＜0”；②若函数f（x）在上有零点，则f＜0；③在公差为d的等差数列{a n}中，a1=2，a1，a3，a4成等比数列，则公差d为﹣；④函数y=sin2x+cos2x在[0，]上的单调递增区间为[0，]．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出原命题的否定，可判断①；根据函数零点的存在定理，可判断②；求出满足条件的公差，可判断③；根据三角函数的单调性，可判断④【解答】解：①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意的x∈R，x2﹣x≤0”；故错误；②若函数f（x）在上有零点，则f＜0不一定成立，故错误；③在公差为d的等差数列{a n}中，a1=2，a1，a3，a4成等比数列，则（2+2d）2=2（2+3d），解得：d=﹣，或d=0，故错误；④函数y=sin2x+cos2x=sin（2x+），x∈[0，]时，2x+∈[，]，令2x+∈[，]，解得：x∈[0，]．即在[0，]上函数y=sin2x+cos2x的单调递增区间为[0，]．故正确；故选：B．9．若＜θ＜π，P=3cosθ，Q=（cosθ）3，R=（cosθ），则P，Q，R的大小关系为（）A．R＜Q＜P B．Q＜R＜P C．P＜Q＜R D．R＜P＜Q【考点】不等式比较大小．【分析】判断三个数的范围，即可比较大小．【解答】解：＜θ＜π，cosθ∈（﹣1，0）且P=3cosθ＜1，Q=（cosθ）3∈（﹣1，0）；R=（cosθ），∈（0，1）．（cosθ）3＞（cosθ），可得：R＜Q＜P．故选：A．10．实数x，y满足，若目标函数z=mx+y（m＞0）的最大值为5，则m的值为（）A．B．C．2 D．5【考点】简单线性规划．【分析】由z=mx+y（m＞0），得y=﹣mx+z，利用z与直线截距之间的关系确定直线的斜率满足的条件即可求出a的值．【解答】解：由z=mx+y（m＞0），得y=﹣mx+z，∵m＞0，∴直线的斜率为﹣m＜0，作出不等式组对应的平面区域如图：若﹣m≥﹣1，即0＜m≤1时，平移直线y=﹣mx+z，得直线经过点A时直线截距最大，由得，即A（，），此时m+=5，得m=7，此时m不成立，若﹣m＜﹣1，即m＞1时，平移直线y=﹣mx+z，得直线经过点C时直线截距最大，由得，即C（2，1），此时2m+1=5，得m=2，故选：C11．定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）=f（2﹣x），f'（x）（x﹣1）＞0，则对任意的x1＜x2，f（x1）＞f（x2）是x1+x2＜2的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据条件判断函数的对称性和单调性，结合函数单调性和对称性之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：由f（x）=f（2﹣x），得函数关于x=1对称，由f'（x）（x﹣1）＞0得，当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数，若x1＜x2，当x2≤1，函数为减函数，满足对任意的x1＜x2，f（x1）＞f（x2），此时x1+x2＜2，若x2＞1，∵函数f（x）关于x=1对称，则f（x2）=f（2﹣x2），则2﹣x2＜1，则由f（x1）＞f（x2）得f（x1）＞f（x2）=f（2﹣x2），此时函数在x＜1时为减函数，则x1＜2﹣x2，即x1+x2＜2，即对任意的x1＜x2，f（x1）＞f（x2）得x1+x2＜2，反之也成立，即对任意的x1＜x2，f（x1）＞f（x2）是x1+x2＜2的充要条件，故选：B12．已知函数y=f （x ）的定义域的R ，当x ＜0时，f （x ）＞1，且对任意的实数x ，y ∈R ，等式f （x ）f （y ）=f （x +y ）成立，若数列{a n }满足f （a n +1）f （）=1（n ∈N *），且a 1=f（0），则下列结论成立的是（ ）A ．f （a 2013）＞f （a 2016）B ．f （a 2014）＞f （a 2017）C ．f （a 2016）＜f （a 2015）D ．f （a 2013）＞f （a 2015） 【考点】抽象函数及其应用．【分析】利用恒等式和赋值法求f （0）的值，由恒等式化简f （a n +1）f （）=1，得到数列的递推公式，依次求出a 2、a 3、a 4，判断数列{a n }是周期数列，再由周期性求出a 2013、a 2014、a 2015、a 2016、a 2017，即可比较大小，选出答案项．【解答】解：∵对任意的实数x ，y ∈R ，f （x ）•f （y ）=f （x +y ）恒成立， ∴令x=﹣1，y=0，则f （﹣1）•f （0）=f （﹣1），∵当x ＜0时，f （x ）＞1，∴f （﹣1）≠0，则f （0）=1，∵f （a n +1）f （）=1=f （0），∴f （a n +1+）=f （0）=a 1，则a n +1+=0，即a n +1=﹣，且a 1=1，当n=1时，a 2=﹣；当n=2时，a 3=﹣2；当n=3时，a 4=1， ∴数列{a n }是以3为周期的周期数列，∴a 2013=a 3=﹣2，a 2014=a 1=1，a 2015=a 2=﹣，a 2016=a 3=﹣2，a 2017=a 1=1，故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．关于x 的不等式表示的平面区域是等腰直角三角形，则该三角形的面积为 或 ．【考点】简单线性规划．【分析】讨论直线斜率，作出对应的区域，求出交点坐标，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：当k=0时，对应的三角形为△OAB ，此时三角形为等腰直角三角形，满足条件，此时OB=1，则对应的面积S=，若k≠0，直线kx﹣y+1=0与x+y=0垂直，则k=1，此时对应的三角形为△OAB，此时三角形为等腰直角三角形，满足条件，由得，得A（﹣，），则三角形的面积S==，综上该三角形的面积为或，故答案为：或．14．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4cos2﹣cos2（B+C）=，若a=2，则△ABC的面积的最大值是．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用三角形的内角和，结合已知条件等式，可得关于A的三角方程，从而可以求得A的大小，利用余弦定理及基本不等式，可求得bc，从而可求△ABC的面积的最大值．【解答】（本题满分为10分）解：∵A+B+C=π，∴4cos2﹣cos2（B+C）=2（1+cosA）﹣cos2A=﹣2cos2A+2cosA+3=，∴2cos2A﹣2cosA+=0．…∴cosA=．∵0＜A ＜π，∴A=°．…∵a=2，由余弦定理可得：4=b 2+c 2﹣bc ≥2bc ﹣bc=bc ，（当且仅当b=c=2，不等式等号成立）．∴bc ≤4．∴S △ABC =bcsinA ≤×=．…故答案为：．15．已知x ＞1，y ＞1，且lnx ，，lny 成等比数列，则xy 的最小值为 e ． 【考点】等比数列的通项公式；基本不等式．【分析】由题意可得lnx ＞0，lny ＞0，lnx •lny=，由基本不等式可得lnx +lny 的最小值，由对数的运算可得xy 的最小值．【解答】解：∵x ＞1，y ＞1，∴lnx ＞0，lny ＞0，又∵成等比数列，∴=，解得lnx •lny=，由基本不等式可得lnx +lny ≥2=1，当且仅当lnx=lny ，即x=y=时取等号， 故ln （xy ）=lnx +lny ≥1=lne ，即xy ≥e ， 故xy 的最小值为：e 故答案为：e16．已知函数f （x ）=m （x +m +5），g （x ）=2x ﹣2，若任意的x ∈R ，总有f （x ）＜0或g （x ）＜0，则m 的取值范围是 ﹣6＜m ＜0 ． 【考点】函数恒成立问题．【分析】画出函数图象，结合图象求出m 的范围即可． 【解答】解：结合题意，画出图象，如图示：，若任意的x ∈R ，总有f （x ）＜0或g （x ）＜0， 显然m ＜0，且1+m +5＞0，即m ＞﹣6， 故答案为：﹣6＜m ＜0．三、解答题：写出文字说明，证明过程或演算过程．17．已知f（x）=（xinωx+cosωx）cosωx﹣，其中ω＞0，若f（x）的最小正周期为4π．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）锐角三角形ABC中，（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx+），利用周期公式可求ω，可得函数解析式：f（x）=sin（x+），令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，可得f（x）的单调递增区间．（2）利用正弦定理化简已知，整理得cosB=，进而解得B=，利用已知求得范围＜A+＜，根据正弦函数的性质可求f（A）的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵f（x）=（xinωx+cosωx）cosωx﹣=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），…∵最小正周期为4π，∴ω==，可得：f（x）=sin（x+），…∴令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，可得：4kπ﹣≤x≤3kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[4kπ﹣，3kπ+]，k∈Z…（2）∵（2a﹣c）cosB=bcosC，∴（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，整理得2sinAcosB=sinA，可得：cosB=，解得：B=，…∵锐角三角形ABC，∴，∴＜A＜，…∴＜A+＜，可得：＜f（A）＜．…18．如图所示，△ABC中，D为AC的中点，AB=2，BC=，∠A=．（1）求cos∠ABC的值；（2）求BD的值．【考点】余弦定理．【分析】（1）在△ABC中利用正弦定理可求sinC，利用大边对大角可得C为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosC，利用两角差的余弦函数公式即可计算得解cos∠ABC的值．（2）由已知在△ABC中，利用余弦定理可求AC，进而在△ABD中，利用余弦定理可求BD．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵在△ABC中，，sinA=，∴sinC===，由BC＞AB，可得：A＞C，C为锐角，∴cosC==，∴cos∠ABC=cos（﹣C）=cos cosC+sin sinC=．（2）∵AB=2，BC=，cos∠ABC=．∴在△ABC中，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=9，可得：AC=3，∴在△ABD中，BD2=AB2+AD2﹣2AB×ADcosA=，∴BD=．…19．数列{a n}的前n项和S n=3n2+2n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）令b n=a n2n，求{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．=6n﹣1，验证n=1时是否适合，【分析】（1）由S n=3n2+2n+1知，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1即可求得{a n}的通项公式；（2）b n=a n2n，易求T1=12，n＞1时，T n=6×2+11×22+17×23+…+（6n﹣1）×2n，利用错位相减法可求得{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵S n=3n2+2n+1，=3n2+2n+1﹣[3（n﹣1）2+2（n﹣1）+1]=6n﹣1，∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1当n=1时，a1=6，不适合上式，∴a n=…..（2）∵b n=a n2n，∴n=1时，T1=b1=a1×2=12…..n＞1时，T n=6×2+11×22+17×23+…+（6n﹣1）×2n，①2T n=6×22+11×23+17×24+…+（6n﹣7）×2n+（6n﹣1）2n+1，②…②﹣①得：T n=﹣32﹣6（23+24+…+2n）+（6n﹣1）2n+1=16+（6n﹣7）×2n+1．…..∴T n=．…20．已知函数f（x）=（a≠0）．（1）试讨论y=f（x）的极值；（2）若a＞0，设g（x）=x2e mx，且任意的x1，x2∈[0，2]，f（x1）﹣g（x2）≥﹣1恒成立，求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的极值即可；（2）结合题意得到f（x）min（x1）+1≥g max（x2），法一：分离参数问题转化为m≤﹣，从而求出m的范围即可；法二：通过分类讨论求出m的范围即可．【解答】解：（1）f′（x）=﹣，a＞0时，当x=﹣1时，f（x）的极小值为f（﹣1）=﹣，当x=1时，f（x）的极大值为f（1）=，a＜0时，当x=﹣1时，f（x）的极大值为f（﹣1）=﹣，当x=1时，f（x）的极小值为f（1）=；（2）方法一：由题意知，x1，x2∈[0，2]，f（x）min（x1）+1≥g max（x2），x1∈[0，2]，f min（x1）+1=1，x∈[0，2]，x2e mx≤1，m≤﹣，m≤{﹣}min，m≤﹣ln2，方法二：分类讨论x1∈[0，2]，f min（x1）+1=1，∴x∈[0，2]，g max（x）≤1，g（x）=x2e mx，g′（x）=e mx x（mx+2），1）当m≥0时，g（x）在[0，2]上单调递增，g max（x）=g（2）=4•e2m≤1，解得：m≤﹣ln2（舍），2）当﹣1＜m＜0时，g（x）在[0，2]上单调递增，g max（x）=g（2）=4e2m≤1，解得：m≤﹣ln2，∴﹣1＜m≤﹣ln2，3）当m≤﹣1时，g（x）在[0，﹣]上单调递增，在[﹣，2]上单调递减，g max（x）=g（﹣）=≤1，解得：m≤﹣，∴m≤﹣1，综合得：m≤﹣ln2．21．已知函数f（x）=x2﹣ax+2lnx（其中a是实数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若设2（e+）＜a＜，且f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求f（x1）﹣f（x2）取值范围．（其中e为自然对数的底数）．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出f（x）的定义域为（0，+∞），=，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出f（x）的单调区间．（2）推导出f（x1）﹣f（x2）=，令h（x）=，（），则＜0恒成立，由此能求出f（x1）﹣f（x2）的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣ax+2lnx（其中a是实数），∴f（x）的定义域为（0，+∞），=，…．令g（x）=2x2﹣ax+2，△=a2﹣16，对称轴x=，g（0）=2，当△=a2﹣16≤0，即﹣4≤a≤4时，f′（x）≥0，∴函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间．…当△=a2﹣16＞0，即a＜﹣4或a＞4时，①若a＜﹣4，则f′（x）＞0恒成立，∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无减区间．…②若a＞4，令f′（x）=0，得，，当x∈（0，x1）∪（x2，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0．∴f（x）的单调递增区间为（0，x1），（x2，+∞），单调递减区间为（x1，x2）．…综上所述：当a≤4时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间．当a＞4时，f（x）的单调递增区间为（0，x1）和（x2，+∞），单调递减区间为（x1，x2）．…（2）由（1）知，若f（x）有两个极值点，则a＞4，且x1+x2=＞0，x1x2=1，∴0＜x1＜1＜x2，又∵，a=2（），，e+＜＜3+，又0＜x1＜1，解得．…∴f（x1）﹣f（x2）=（）﹣（）=（）﹣a（x1﹣x2）+2（lnx1﹣lnx2）=（x1﹣x2）﹣a（x1﹣x2）+2ln=﹣（）•（x1+）+4lnx1=，…令h（x）=，（），则＜0恒成立，∴h（x）在（）单调递减，∴h（）＜h（x）＜h（），即﹣4＜f（x1）﹣f（x2）＜﹣4ln3，故f（x1）﹣f（x2）的取值范围为（，）．…22．已知f（x）=|x﹣1|﹣|2x+3|．（1）解不等式f（x）＞2；（2）关于x的不等式f（x）≤a2﹣a的解集为R，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出各个区间上的x的范围，取并集即可；（2）求出f（x）的范围，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1），①，或，②，或，③，解①得：﹣2＜x≤﹣，解②得：﹣＜x＜﹣，解③得：x∈∅，综上得解集为：{x|﹣2＜x＜﹣}；（2）f（x）=，f（x）∈∴a2﹣a≥，解得：a≥或a≤﹣1．2016年11月27日。
华师一附中期中考试数学试卷
华师一附中2016-2017年度上学期数学期中考试卷一、单选（共10题，满分30分）1.（3分）若A={1，2}，则可用列举法将集合{（x，y）∣x∈A，y∈A}表示为（）A {（1，2）}B {1，2}C {（1，2），（2，1）}D {（1，2），（2，2），（1，1），（2，1）} 【知识点】集合的定义【答案】D【解析】因为集合{（x，y）∣x∈A，y∈A}是点集或数对构成的集合，其中x，y均属于集合A，所以用列举法可表示为{（1，2），（2，2），（1，1），（2，1）}.二、多项选择题（共10题，满分30分）2.（3分）满足{3，4}⊆M ⊆{0，1，2，3，4}的所有集合M的个数是（）A 6B 7C 8D 9【知识点】集合的定义【答案】AC【解析】就是求集合{0，1，2}的子集的个数，即2*2*2=8（个）。
三、解答题（共6题，满分60分）3.（12分）某市乘出租车计费规定：2千米以内5元，超过2千米不超过8千米的部分按每千米1.6元计费，超过8千米以后超过部分按每千米2.4元计费.（1）写出乘车路程x（千米）与收费y（元）之间的函数关系式；【知识点】函数的关系【答案】y =（x-2）*1.6（2）若甲、乙两地相距10千米，则乘出租车从甲地到乙地共需要支付车费多少元？【知识点】函数的值【答案】19.4【解析】5 + 6*1.6 + 2*2.4 = 5 + 9.6 + 4.8 = 19.4（元）4.【解答】已知集合A={ x∣1≤x≤2 }，B={ x∣1≤x≤a，a≥1}.（1）若A⫋B，求a的取值范围；（2）若B⊆A，求a的取值范围.【知识点】集合的运算【答案】（1）a≥2；（2）1≤a≤2如果只勾选【答案】，则使用以下排版：华师一附中2016-2017年度上学期数学期中考试卷一、单选（共10题，满分30分）1. A2. C3. D4. B5. D6. B7. D8. B9. D 10. C 11. C 12. C 13. A 14. B15. D 16. D 17. A 18. C19. D 20. B二、多项选择题（共10题，满分30分）21. AC 22. CD 23. BCD 24. AB 25. ACD 26. AB 27. BD 28. BC 29. AD 30. AC三、解答题（共6题，满分60分）31. AC≠BD32. -433. 16.734. （1）-4（2）-335. 8。
2016届湖北武汉华中师大一附等高三上学期第一次联考数学(理)试题(解析版)解析
2016届湖北武汉华中师大一附等高三上学期第一次联考数学（理）试题及解析一、选择题1．已知集合2{|230}A x x x =--≥，2{|log (1)2}B x x =-<，则()R C A B =（ ）A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(3,5)D ．(1,5)- 【答案】A【解析】试题分析：由已知{|13}A x x x =≤-≥或，{|13}R C A x x =-<<，{|014}{|15}B x x x x =<-<=<<，所以()(|13}R C A B x x =<<，故选A ．【考点】集合的运算．2．命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题为（ ）A ．若220x y +=，则0x ≠且0y ≠ B ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠ C ．若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠ D ．若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠ 【答案】D【解析】试题分析：命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题是“若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠”．故选D ． 【考点】四种命题．3．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2i e 表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】试题分析：2cos 2sin 2i e i =+，对应点为(cos 2,sin 2)，由于22ππ<<，因此cos 20,sin 20<>，点(cos 2,sin 2)在第二象限，故选B ． 【考点】复数的几何意义．4．函数222,1,()log (1),1,x x f x x x ⎧-≤=⎨-⎩>则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A ．12-B ．1-C ．5-D ．12【答案】A【解析】试题分析：22553()log (1)log 1222f =-=<，所以23log 225331(())(log )2222222f f f ==-=-=-．故选A ．【考点】分段函数．5．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且20162015120162015S S =+，则数列{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．2015D ．2016 【答案】B 【解析】试题分析：由1(1)2n n n S na d -=+得201620151120152014()()12016201522S S a d a d -=+-+=，所以2d =，故选B ． 【考点】等差数列的前n 项和公式．6．若ln 2a =，125b -=，01sin 4c xdx π=⎰，则,,a b c 的大小关系（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．b c a << 【答案】D【解析】试题分析：111(cos )(cos cos0)0442c x ππ=-=--=，121552b -==<，121ln 2ln 2a e =>=，所以a c b >>，故选D ． 【考点】比较大小，定积分． 7．已知1sin cos 63παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．518 B ．518- C ．79 D ．79- 【答案】C 【解析】试题分析：sin()cos sin cos cos sin cos 666πππααααα--=--1cos sin 22αα=--= 1sin()63πα-+=，1sin()63πα+=-，所以2219cos(2)12sin ()12()3637ππαα+=-+=-⨯-=．故选C ．【考点】两角和与差的正弦（余弦）公式，二倍角公式．【名师点睛】1．当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； 2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 3．常见的配角技巧：22αα=⋅；()()ααββββα=+-=--；1[()()]2ααβαβ=++-，1[()()]2βαβαβ=+--，()424πππαα+=--等等．8．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A．．．．【答案】C【解析】试题分析：题设三视图是下图中几何体ABCDEF 的三视图，由三视图中的尺寸，知其体积为11146(43)232V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，故选C ． FEDCBA【考点】三视图与几何体的体积． 9．已知函数21()sin ()2f x x ω=-，(0)ω>的周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位(0)a >，所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为（ ） A ．π B ．34π C ．2π D ．4π 【答案】D【解析】试题分析：22111()sin ()(12sin ())cos 2222f x x x x ωωω=-=--=-，由22T ππω==得1ω=，即()cos 2f x x =-，向右平移a 个单位后得()cos 2()cos(22)g x x a x a =--=--，其图象关于原点对称，即为奇函数，(0)cos(2)cos 20g a a =--=-=，2,2a k k Z ππ=+∈，,24k a k Z ππ=+∈，最小的正数4a π=，故选D ．【考点】函数图象的平移，函数的奇偶性．410．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，点P 是CDE ∆内（包括边界）的一个动点，设(,)AP AF AB R λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是（ ）A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]3,4 C ．35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】试题分析：建立如图所求的直角坐标系，设2AB =，则(0,0)A ，(2,0)B，C，(2,D，(0,E，(F -， 设(,)P x y ，即(,)AP x y =，Ey BA x所以EC的方程为60x +-=，CD的方程为0y +-=，因为P 是CDE ∆内（含边界）的动点，则可行域为600x y y ⎧+-≥≤+-≤，由AP AB AF λμ=+及(2,0)AB =，(AF =-得(,)(2,0)(x y λμ=+-，所以2x y λμ=-⎧⎪⎨=⎪⎩，代入可行域得3122λμμλ+≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤⎩，34λμ⇒≤+≤．故选B ．【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．CF11．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（ ） A ．3 B．．．【答案】A【解析】试题分析：此四棱锥为正四棱锥，设此正四棱锥的底面边长为a ，高为h ，则2193a h =，227a h=，再设其外接球半径为R ，则222())R R h =-+，22212224h a h a R h +==+22724h h =+227444h h h =++94≥=，当且仅当22744h h=，即3h =时，等号成立，此时球面积最小，故选A ．【考点】正四棱锥与外接球．【名师点睛】本题考查多面体及其外接球问题．我们应该掌握一些特殊的多面体与外接球的特征．正四面体外接球的球在其高上，且把高分成3:1两部分，正方体，长方体的对角线就是其外接球的直径，正三棱锥，正四棱锥的外接球的球心在其高上，具体计算可借助相应的直角三角形． 12．关于函数2()ln f x x x=+，下列说法错误的是（ ） A ．2x =是()f x 的极小值点B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数12,x x ，且21x x >，若12()()f x f x =，则124x x +> 【答案】C【解析】试题分析：22212'()x f x x x x-=-+=，'(2)0f =，且当02x <<时，'()0f x <，函数递减，当2x >时，'()0f x >，函数递增，因此2x =是()f x 的极小值点，A 正确；()()g x f x x =-，221'()1g x x x=-+- 2217()24x x -+=-，所以当0x >时，'()0g x <恒成立，即()g x 单调递减，又11()210g e e e =+->，2222()20g e e e=+-<，所以()g x 有零点且只有一个零点，B 正确；设2()2ln ()f x xh x x x x==+，易知当2x >时，222ln 21112()x h x x x x x x x x =+<+<+=，对任意的正实数k ，显然当2x k >时，2k x<，即()f x k x<，()f x kx <，所以()f x kx >不成立，C 错误；作为选择题这时可得结论，选C ，下面对D 研究，因为12()()f x f x =，即121222ln ln x x x x +=+，变形为2122112()ln x x x x x x -=，设21(1)x t t x =>，21x tx =，代入上式解得122(1)ln 2(1)ln t t x tt x t -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，所以2121()2(1)ln t g t x x t t-=+=⋅>，由导数的知识可证明()(1)g t t >是增函数，又1lim ()4t g t →=（洛必达法则），所以()4g t >，即124x x +>． 【考点】命题的判断，函数的性质．【名师点睛】本题考查命题的判断，实质上考查函数的性质，一般要对每一个选择支进行判断，所考查的知识点较多，难度较大．A 考查函数的极值，B 考查函数的零点，C 考查不等式恒成立问题，D 考查函数的性质，涉及到转化与化归思想，导数与函数的单调性，甚至还有函数的极限，当然从选择题的角度考虑，D 可以不必证明（因为C 是错误的，只能选C ）． 二、填空题13．已知平面直角坐标系中，(3,4)b =，3a b ⋅=-，则向量a 在向量b 的方向上的投影是 ． 【答案】35-【解析】试题分析：向量a 在向量b 的方向上的投影是2353a b b⋅==-+．【考点】向量的数量积的概念．14．若函数1,02()1,20x x f x x -<≤⎧=⎨--≤≤⎩，[]()(),2,2g x f x ax x =+∈-为偶函数，则实数a = ．【答案】12-【解析】试题分析：由题意(1)1,02()1,20a x x g x ax x +-<≤⎧=⎨--≤≤⎩，则(2)(2)f f -=，即212(1)1a a --=+-，12a =-．【考点】函数的奇偶性．15．设实数x ，y 满足约束条件202x y y x -≥⎧⎪⎨≥-⎪⎩，则2z x y =+的最大值为 ．【答案】10【解析】试题分析：作出题高约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y+=，把直线l向上平移时2z x y=+在增大，当l过点(4,2)A时，z取得最大值10．【考点】简单的线性规划问题．【名师点睛】求目标函数的最大值或最小值，必须先求出准确的可行域，令目标函数等于0，将其对应的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．具体地就是：（1）线性目标函数z=ax+by与y轴交点为(0,)zb，zz b bb=⨯=⨯（线性目标函数在y 轴上的截距）．故对b的符号一定要注意：当b>0时，当直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最大，在y轴上的截距最小时，z值最小；当b<0时，当直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最小，在y轴上的截距最小时，z值最大．（2）如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点．16．如图所示，已知ABC∆中，90C∠=，6AC=，8BC=，D为边AC上的一点，K为BD上的一点，且ABC KAD AKD∠=∠=∠，则DC=．【答案】73【解析】试题分析：由题意3sin5ABC∠=，4cos5ABC∠=，sin sin()sin2BDC DKA DAK ABC∠=∠+∠=∠34242sin cos25525ABC ABC=∠∠=⨯⨯=，所以7cos25BDC∠=，ABCK24tan 7BDC ∠=，8724tan 37BC CD BDC ===∠． 【考点】解三角形．【名师点睛】本题考查解直角三角形．直角三角形中除勾股定理外，还有三角函数的定义，而涉及到三角函数问题时，它就与三角函数公式（如两角和与差的正（余）弦公式、正切公式，二倍角公式等）建立联系，所以本题还考查了二倍角的正弦公式，同角关系式．本题已知直角ABC ∆中的所有量（三边，三角），要求的线段长可能在直角BDC ∆中，此三角形中已知一直角边，要求另一直角边，要么先求得斜边，要么先求得一锐角，再结合已知条件发现锐角BDC ∠与直角ABC ∆中的角有联系，由此得出解法． 三、解答题17．在等比数列{}n a 中，332a =，392S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2216log n n b a +=，且{}n b 为递增数列，若11n n n c b b +=⋅，求证：12314n c c c c ++++<． 【答案】（1）32n a =或116()2n n a -=⋅-；（2）见解析． 【解析】试题分析：（1）要分类，按1q =和1q ≠分类求得首项1a ，公比q ；（2）由于{}n b 是递增数列，因此{}n a 不是常数数列，从而116()2n n a -=⋅-，由此得2n b n =，而1111()2(22)41n c n n n n ==-++，即数列{}n c 采用裂项相消法求和．试题解析：（1）1q =时，32n a =； 1q ≠时，116()2n n a -=⋅-（2）由题意知：116()2n n a -=⋅-∴2116()4nn a +=⋅ ∴2n b n = ∴111111()2(2n 2)4(n 1)41n c n n n n ===-⋅+⋅++∴123111(1)414n c c c c n ++++=-<+【考点】等比数列的通项公式，裂项相消法求和．18．如图，ABC ∆中，三个内角B 、A 、C 成等差数列，且10AC =，15BC =．（1）求ABC ∆的面积；（2）已知平面直角坐标系xOy ，点(10,0)D ，若函数()sin()f x M x ωϕ=+(0,0,)2M πωϕ>><的图象经过A 、C 、B 三点，且A 、B为()f x 的图象与x 轴相邻的两个交点，求()f x 的解析式．【答案】（1）252；（2）(x)10sin()153f x ππ∴=+． 【解析】试题分析：（1）已知两边一角，三角形可解，由已知60A =︒，由余弦定理求得边c ，从而有ABC S ∆1sin 2bc A =，当然也可求得高OC ；（2）由（1）求得,A C坐标，(5,0),A C -，要求三角函数式()sin()f x M x ωϕ=+，首先且A 、B 为()f x 的图象与x 轴相邻的两个交点，得周期2[10(5)]30T =--=，于是有215T ππω==，把(5,0)A -代入，再结合2πϕ<可得ϕ=3π，再把点C 坐标代入可得M ． 试题解析：（1）在△ABC 中，60A = 由余弦定理可知：2222cos60a b c bc =+-∴2101250c c --=5c AB ∴==+又∵10cos605AO =⋅=BO ∴=125(522ABCS∴=+⨯=． （2）T=2×（10+5）=30，∴15πω=∵(5)Msin((5))015f π-=⋅-+ϕ= sin()03π∴-+ϕ=，,3k k Z π∴-+ϕ=π∈2πϕ<，3π∴ϕ=。
湖北省武汉市华中师大一附中高三(上)期中数学试卷含答案
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）
17.
已知 △ 퐴퐵퐶的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若cos2퐴2=
12+
푏
2푐．
(1)求角 C；
(2)퐵푀平分角 B 交 AC 于点 M，且퐵푀 = 1，푐 = 6，求cos∠퐴퐵푀．
18.
已知数列{푎푛}的前 n
项和为푆푛，푎
1
=
A. 第 2 天
B. 第 3 天
C. 第 4 天
D. 第 5 天
{푥 ≥ 1
5.
已知变量 x，y 满足约束条件
푥 +푦 ≤ 푥−2푦−3
3 ≤
0，则푧
= 2푥
+ 푦的最小值为(
)
A. 0
B. 1
C. 4
D. 6
6. 已知等差数列{푎푛}的前 n 项和푆푛满足푆12 > 0，푆13 < 0，且{푆푛}的最大项为푆푚，푎
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的线性运算的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，
属于基础题．
直接利用平面向量的线性运算的应用求出结果．
【解答】
解： △ 퐴퐵퐶中，퐴퐷 = 2퐷퐶，E 为 BD 中点，
由已知得：퐵퐶 = 퐵퐴 + 퐴퐶 = 퐵퐴 + 32퐴퐷
3
3
= 퐵퐴 + 2(퐴퐸 + 퐸퐷) = 퐵퐴 + 2(2퐴퐸 + 퐵퐴)
= −52퐴퐵 +3퐴퐸，
第 8 页，共 17 页
所以휆 = 3,휇 = −52． 则：휆−2휇 = 8． 故选：C．
9.【答案】A
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湖北省华中师大一附中2016-2017学年度第一学期期中考试高三年级
理科数学试卷
试卷满分150分 考试时间120分钟
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在给出的四个选项中，只有一项是符合要 求的。
1．集合}2|{1-==x y y A ，}3|32||{≤-=x x B ，则=B A I A ．}30|{≤<x x
B ．}31|{≤≤x x
C ．}30|{≤≤x x
D ．}31|{≤<x x
2．已知复数z 满足i z i 2)1(=-，则z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．数列{a n }中，11=a ，n n n a a 221-=+，则=17a A ．16215⨯-
B ．17215⨯
C ．16216⨯-
D ．17216⨯
4．5
10
cos sin -=+θθ，θ是第二象限的角，则=θtan A ．3-
B ．2-
C ．3
1-
D ．2
1-
5．已知向量a )3,cos 2(2x =，b =)2sin ,1(x ．设=)(x f a ·b ，若],2[,2)3(ππ
απα∈=-f ，则
=-)62sin(π
α
A ．2
3-
B ．
2
1 C ．2
1-
D ．
2
3 6．两个单位向量，OB 的夹角为︒60，点C 在以O 圆心的圆弧AB 上移动，y x +=， 则y x +的最大值为 A ．1
B ．
362
C ．3
D ．
3
3
2 7．已知函数⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠-=a x a a x a x x f ,,||3
)(，若函数4)(-=x f y 有3个零点，则a 的值为
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
8．下列四个命题中，正确的个数是 ①命题“存在R x ∈，02>-x x ”的否定是“对于任意的R x ∈，02<-x x ”；
②若函数)(x f 在(2016, 2017)上有零点，则0)2017()2016(<⋅f f ； ③在公差为d 的等差数列{a n }中，a 1=2, a 1, a 3, a 4成等比数列，则公差d 为2
1-； ④函数x x y 2cos 2sin +=在]2,0[π上的单调递增区间为]8,0[π
;
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
9．若
πθπ
<<2
，θcos 3=P ，3)(cos θ=Q ，3
1
)(cos θ=
R ，则P ，Q ，R 的大小关系为
A ．P Q R <<
B ．P R Q <<
C ．R Q P <<
D ．Q P R <<
10．实数x , y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-+≥+-10302y y x y x ，若目标函数)0(>+=m y mx z 的最大值为5，则m 的值为
A ．
5
1 B ．
2
1 C ．
2 D ．5
11．定义在R 上的函数)(x f y =满足)2()(x f x f -=，0)1)(('>-x x f ，则对任意的21x x <， )()(21x f x f >是221<+x x 的 A ．充分不必要条件 B ．充要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
12．已知函数)(x f y =的定义域的R ，当0<x 时，1)(>x f ，且对任意的实数R y x ∈,，等式 )()()(y x f y f x f +=成立，若数列{a n }满足)(1)11
()(*1N n a f a f n
n ∈=++，且)0(1f a =，则下
列结论成立的是 A ．)()(20162013a f a f > B ．)
()(20172014a f a f >
C ．)()(20152016a f a f <
D ．)()(20152013a f a f >
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分,请将答案填写在答题卡对应题号的位置上．答 错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
13．关于x 的不等式⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≥+≤0100y kx y x x 表示的平面区域是等腰直角三角形，则该三角形的面积为
．
14．在△ABC 中，2
7
)(2cos 2cos 42
=+-C B A ，2=a ，则△ABC 面积的最大值是 ． 15．已知1>a ，1>b ，且a ln 41
，41，b ln 成等比数列，则ab 的最小值为 ．
16．已知函数)5()(++=m x m x f ，22)(-=x x g ，若任意的R x ∈，总有0)(<x f 或0)(<x g ，则 m 的取值范围是 ．
三、解答题：写出文字说明，证明过程或演算过程。
17．（本小题满分12分）
已知2
1
cos )cos sin 3()(-+=x x x x f ωωω，其中0>ω，若)(x f 的最小正周期为π4． （1）求函数)(x f 的单调递增区间；
（2）锐角三角形ABC 中，C b B c a cos cos )2(=-，求)(A f 的取值范围．
18. （本小题满分12分）
如图所示，△ABC 中，D 为AC 的中点，2=AB ，7=BC ，3
π
=∠A ．
（1）求ABC ∠cos 的值； （2）求BD 的值．
19. （本小题满分12分）
数列{a n }的前n 项和1232++=n n S n （1）求{a n }的通项公式；
（2）令n n n a b 2=，求{b n }的前n 项和T n ．
C。