2020高考数学一轮复习 函数的值域精品教案 苏教版必修1 精品

第3课时：函数的值域
一．课标要求
1、教学目标：理解函数值域的意义；掌握常见题型求值域的方法，了解函数值域的一些应用
2、教学重点：求函数的值域
二．要点精讲
求函数的值域是较困难的数学问题，中学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。

1、基本初等函数的值域：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数。

2、求函数值域的方法：
（1）直接法：初等函数或初等函数的复合函数，从自变量x 的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；
（2）二次函数法：形如()()()F x af x bf x c =++的函数利用换元法将函数转化为二次函数求值域；
（3）换元法：代数换元，三角换元，均值换元等。

（4）反表示法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域；
（5）判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的取值范围；
（6）单调性法：利用函数在定义域上的单调性求值域；
（7）基本不等式法：利用各基本不等式求值域；
（8）图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；
（9）求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域；
（10）几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。

【课前预习】
1、（2020重庆文数）（4）函数y =
（A ）[0,)+∞ （B ）[0,4]
（C ）[0,4) （D ）(0,4)
解析：[)40,0164160,4x x >∴≤-<Q 答案：C 2、（2020宁夏海南卷理）用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值
( )
设f （x ）=min{2x , x+2,10-x} (x ≥ 0),则f （x ）的最大值为
（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7
答案 C
3．【08年四川延考卷文14】函数2()cos f x x x =-的最大值是____________．
（提示： x ≤2cos 0x ≥，
2()cos f x x x ⇒=-≤sin 1,cos 0x x ==时取等号。

（另2227()cos sin 1(sin 24
f x x x x x x =-=+-=+-在sin 1x =时取最大值） 4．(2020年高考上海卷理科13)设()
g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 。

【答案】[15,11]-
【解析】本小题考查函数的性质.
三．典例解析
题型一。

初等函数的复合函数：
例1、求下列函数的值域：
（1）4y = 答案 []2,4
（2）1
25x y -= 答案01y y >≠且
（3）()
22log 65y x x =--- 答案(],2-∞ （5）已知()[]3log 1,9f x x x =∈，求函数()()22f x f x +的值域。

解：()()22f x f x +的定义域为
[]1,3x ∈，由此可得值域为[0，3]；
题型二。

其它函数
例2、求下列函数的值域： （1）分子常数化法：521+-=
x x y }2
1{R y y y ∈-≠且 点评：适用一次分式函数ax b y cx d
+=+型 （2）反表示法：1
22+=x x
y []0,1 点评：类似地：2sin sin 1
x y x -=+ （3）∆法：求函数y=1122+++-x x x x 值域 先因式分解，能约先约。

解：∵04
343)21(122
>≥++=++x x x ，∴函数的定义域R ，原式可化为1)1(22+-=++x x x x y ,整理得01)1()1(2=-++++-y x y x y ，若y=1,即2x=0,则x=0；若y ≠1,∵∈x R ，即有∆≥0，∴0)14(-)1(22≥+y-y ,解得331≤≤y 且 y ≠1. 综上：函数是值域是{y|33
1≤≤y }. 点评：适用二次分式函数221ax bx y dx ex f
++=++型，先因式分解，能约先约。

（4
）配方法：25y x =-+
解：25y x =-+
)(]2113,32y =-+∈-∞
（5）换元法：x x y 212-+= 换元法：]45
,(-∞
21x x y -+= 三角换元法：]2,1[-
（6）函数单调性法：4
522++=x x y 用x x y 1+=的单调性：),25[+∞ 点评：可用导数法求之
（7）分段函数图象法：求 y=|x+1|+|x-2|的值域.
解：将函数化为分段函数形式：⎪⎩
⎪⎨⎧≥-<≤--<+-=)2(12)21(3)1(12x x x x x y ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y ≥3}.
（8）几何意义法、数形结合：4sin 12cos 4
x y x +=- 解：1sin 4cos 2x y x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-构造点()12,,cos ,sin 4A M αα⎛⎫- ⎪⎝⎭
得：35,26AM y k ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦
点评：亦可用合一法解之。

题型三。

给定函数值域,求参数的取值范围
例3、已知函数1
8log )(223+++=x n x mx x f 的定义域为R ，值域为[0，2]，求m,n 的值。

解：()00≠>m m ，mn mn <⇒<-160464，因为值域为
[0，2]，设()()081
8222=-++-⇒+++=n u x x m u x n x mx u ， 其()()()()06,04642≥-++-⇒≥---=∆mn u n m u n u m u ，[]9,1∈u ，
所以，5991161091==⇒⎩
⎨⎧=⨯=-=+=+n m mn n m ，验证：得5==n m 【课外作业】
1.【08江西卷3】若函数()y f x =的值域是1
[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ） A ．1[,3]2
B ．10[2,
]3 C ．510[,]23 D ．10[3,]3
2、【07浙江文11】函数()221
x y x R x =∈+的值域是__[)1,0_． 3、函数221x
x y =+的值域为(0,1)．
4．若函数()log a f x x =在[2,4]上的最大值与最小值之差为2，则a =2
五．思维总结
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的。

其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；
(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域。

①直接法：利用常见函数的值域来求(一次函数、反比例函数、二次函数的值域分别为)
②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式；
③分式转化法（或改为“分离常数法”）
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如：)0(>+=k x
k x y ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。