(完整版)《实变函数及泛函分析基础》试卷及答案

试卷一：

一、单项选择题（3分×5=15分）

1、1、下列各式正确的是（ ）

（A ）1lim n k n n k n A A ∞

∞

→∞

===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞

∞

==→∞

=⋂⋃;

（C ）1lim n k n n k n

A A ∞

∞

→∞

===⋂⋃; （D ）1lim n k n k n

n A A ∞

∞

==→∞

=⋂⋂;

2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='

(D) P P =

3、下列说法不正确的是（ ）

(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测

4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n

f x 是可测函数

（C ）{}inf ()n n

f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测

5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)('

x f 在],[b a 上L 可积 (D) ⎰

-=b a

a f

b f dx x f )()()('

二. 填空题(3分×5=15分)

1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________

2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'

E =______,o

E =______,E =______.

3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有

_________________________________，则称E 是L 可测的

4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”）

5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________________________,则称()f x 为

[],a b 上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举

反例说明.(5分×4=20分)

1、设1E R ⊂，若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。

2、若0=mE ，则E 一定是可数集.

3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数。

4．设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ∀∈>，则()0E

f x >⎰

四、解答题（8分×2=16分）.

1、（8分）设2,()1,x x f x x ⎧=⎨⎩为无理数

为有理数 ，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -

可积，若可积，求出积分值。

2、（8分）求0

ln()lim cos x

n

x n e xdx n

∞-+⎰

五、证明题（6分×4+10=34分）.

1、（6分）证明[]0,1上的全体无理数作成的集其势为c .

2、（6分）设()f x 是(),-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数

,{|()}a E x f x a =≥是闭集。

3、（6分）在[],a b 上的任一有界变差函数()f x 都可以表示为两个增函数之差。

4、（6分）设,()mE f x <∞在E 上可积，(||)n e E f n =≥，则lim 0n n

n me ⋅=.

5、（10分）设()f x 是E 上..a e 有限的函数，若对任意0δ>，存在闭子集F E δ⊂，使()f x 在F δ上连续，且()m E F δδ-<，证明：()f x 是E 上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)

试卷一 答案：

试卷一 （参考答案及评分标准）

一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D

二、1．∅ 2、[]0,1； ∅ ； []0,1 3、***()()m T m T E m T CE =⋂+⋂

4、充要

5、11|()()|n i i i f x f x -=⎧⎫

-⎨⎬⎩⎭

∑成一有界数集。

三、1．错误……………………………………………………2分

例如：设E 是[]0,1上有理点全体，则E 和CE 都在[]0,1中稠密 ………………………..5分

2．错误…………………………………………………………2分 例如：设E 是Cantor 集，则0mE =，但E =c ， 故其为不可数集 ……………………….5分 3．错误…………………………………………………………2分

例如：设E 是[],a b 上的不可测集，[],;

(),,;

x x E f x x x a b E ∈⎧⎪=⎨-∈-⎪⎩

则|()|f x 是[],a b 上的可测函数，但()f x 不是[],a b 上的可测函数………………………………………………………………..5分

4．错误…………………………………………………………2分

0mE =时，对E 上任意的实函数()f x 都有()0E

f x dx =⎰…5分

四、1．()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在1x =处连续，即不连续点为正测度集………………………………………..3分

因为()f x 是有界可测函数，()f x 在[]0,1上是L -可积的…6分 因为()f x 与2x ..a e 相等，进一步，[]

120,101

()3

f x dx x dx ==⎰

⎰…8分