【步步高】2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.3 函数的奇偶性与周期性课件 理

跟踪训练2
解析答案
题型三
函数性质的综合应用
命题点1 函数奇偶性的应用
例3 (1) 已知 f(x) 是奇函数， g(x) 是偶函数，且 f( － 1) ＋ g(1) ＝ 2 ， f(1) ＋ g(－1)＝4，则g(1)＝__.
解析答案
1 (2)(2015· 课标全国Ⅰ)若函数 f(x)＝xln(x＋ a＋x2)为偶函数，则 a＝__. 解析 f(x)为偶函数，
当x<0时，－x>0，f(x)＝x2＋x，
∴f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x
＝－(x2＋x)＝－f(x).
∴对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
均有f(－x)＝－f(x).
∴函数为奇函数.
思维升华 解析答案
跟踪训练1
(1)设函数 f(x)，g(x) 的定义域都为 R，且f(x) 是奇函数， g(x)是 ③ 填序号) 偶函数，则下列结论中正确的是____.( ①f(x)g(x)是偶函数； ②|f(x)|g(x)是奇函数； ③f(x)|g(x)|是奇函数；
解析 ∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数， ∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，
2a－3 ∵f(1)<1，f(5)＝ ， a＋1
2a－3 a－4 ∴ <1，即 <0， a＋1 a＋1
解得－1<a<4.
解析答案
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增 函数，则f(－25)，f(11)，f(80)的大小关系是__________________.
1
2
3
4
5
解析答案
返回
题型分类 深度剖析
题型一
判断函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3－x； 解 定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－(x3－x)＝－f(x)， ∴函数为奇函数.
解析答案
(2)f(x)＝(x＋1)
1－x ； 1＋x
1
2
3
4
5
解析答案
4.(2014· 天津)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x∈[－1,1)时，f(x)
2 －4x ＋2， －1≤x<0， 3 1 ＝ 则 f( )＝__. 2 x， 0≤x<1，
解析
函数的周期是2，
3 3 1 所以 f( )＝f( －2)＝f(－ )， 2 2 2 1 12 根据题意得 f(－2)＝－4×(－2) ＋2＝1.
答案
2
考点自测
1.(2015· 福建改编)下列函数中， ①y＝ x； ②y＝|sin x|； ③y＝cos x；
④ 填函数序号) ④y＝ex－e－x 为奇函数的是___.(
解析 对于④，f(x)＝ex－e－x的定义域为R，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，
故y＝ex－e－x为奇函数.
而 y＝ x的定义域为{x|x≥0}，不具有对称性，
解析答案
题型二
函数的周期性
例2 (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)
＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋„＋f(2 017)等
于________.
解析答案
1 (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并且 f(x＋2)＝－ ，当 2≤x≤3 fx
整理得e3x＋1＝e2ax＋3x(e3x＋1)， 3 所以 2ax＋3x＝0，解得 a＝－2.
解析答案
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x
的解集用区间表示为________.
解析答案
返回
易错警示系列
易错警示系列
2.忽视定义域致误
典例
k－2x (1)若函数 f(x)＝ 则实数 k＝____. x在定义域上为奇函数， 1＋k· 2
思维升华
解析答案
3 －2 3 x (1)若f(x)＝ln(e ＋1)＋ax是偶函数，则a＝_____.
解析 函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数， 故f(－x)＝f(x)， 即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，
跟踪训练3
1＋e3x 2ax 化简得 ln 3x 6x＝2ax＝ln e ， e ＋e 1＋e3x 即 3x 6x＝e2ax， e ＋e
则 ln(x＋ a＋x2)为奇函数，
所以 ln(x＋ a＋x2)＋ln(－x＋ a＋x2)＝0，
即ln(a＋x2－x2)＝0，
∴a＝1.
解析答案
命题点2 单调性与奇偶性、周期性结合
例4 (1)已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，若 f(1)<1，f(5) 2a－3 (－1,4) ＝ ，则实数 a 的取值范围为_______. a＋1
1 2 3 4 5
解析答案
3.(2015· 天津)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记 c＜a＜b a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为________. 解析 由函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，得m＝0， 所以f(x)＝2|x|－1， 当x＞0时，f(x)为增函数， log0.53＝－log23， 所以log25＞|－log23|＞0， 所以b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)＝f(0).
1
2
3
4
5
解析答案
5.(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，
x(1－x) 则x<0时，f(x)＝________.
解析 当x<0时，则－x>0， ∴f(－x)＝(－x)(1－x). 又f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)， ∴f(x)＝x(1－x).
设函数y
＝f(x)是偶函数 .
原点 对称 关于_____
＝f(x)的定 如果对于任意的x∈A，都有 f(－x)＝－f(x)，那么称函数 奇函数 义域为A ____________ y＝f(x)是奇函数.
答案
2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义
f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数， 域内的任何值时，都有____________
解题中忽视函数f(x)的定义域，直接通过计算f(0)＝0得k＝1.
易错分析
易错分析
解析答案
2 x ＋1，x≥0， (2)已知函数 f(x)＝ 则满足不等式 f(1－x2)>f(2x)的 x 1，x<0，
的取值范围是________.
易错分析 本题易出现以下错误：
由f(1－x2)>f(2x)得1－x2>2x，忽视了1－x2>0导致解答失误.
2.5 时，f(x)＝x，则 f(105.5)＝____.
1 1 解析 由已知，可得 f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2] ＝－ ＝－ ＝f(x). 1 fx＋2 － f x 故函数的周期为4.
∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5).
∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.
④|f(x)g(x)|是奇函数.
解析 易知f(x)|g(x)|定义域为R，
∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，
∴f(x)|g(x)|为奇函数.
解析答案
(2)函数f(x)＝loga(2＋x)，g(x)＝loga(2－x)(a>0且a≠1)，则函数F(x)＝f(x) 偶函数，奇函数 填奇偶性). ＋g(x)，G(x)＝f(x)－g(x)分别是_______________( 解析 F(x)，G(x)定义域均为(－2,2)， 由已知F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝loga(2－x)＋loga(2＋x)＝F(x)， G(－x)＝f(－x)－g(－x)＝loga(2－x)－loga(2＋x)＝－G(x)， ∴F(x)是偶函数，G(x)是奇函数.
故 y＝ x为非奇非偶函数.
y＝|sin x|和y＝cos x为偶函数.
1
2
3
4
5
解析答案
2. 已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数， f(x ＋ 1) 是偶函数，则 f(1) ＋ f(2) ＋ f(3) ＋ f(4)＝___. 0 解析 由f(x＋1)是偶函数得f(－x＋1)＝f(x＋1)， 又f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(－x＋1)＝－f(x－1)，即－f(x－1)＝f(x＋1)， 所以f(x＋2)＝－f(x)，即f(x)＋f(x＋2)＝0， 所以f(1)＋f(3)＝0，f(2)＋f(4)＝0， 因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.
失误与防范
1.f(0) ＝ 0 既不是 f(x) 是奇函数的充分条件，也不是必要条件 .应用时要注意 函数的定义域并进行检验. 2.判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数 在定义域某一区间上不是奇、偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性.
返回
练出高分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解
1－x 由 ≥0 可得函数的定义域为(－1,1]. 1＋x
∵函数定义域不关于原点对称，
∴函数为非奇非偶函数.
解析答案
2 x ＋x， (3)f(x)＝ 2 －x ＋x，
x<0， x>0.