华师大版九年级上册《一元二次方程的解法》...
一元二次方程的解法公式法PPT课件(华师大版)
知识点2 公式法的定义
用求根公式求一元二次方程 的根的方法叫做公式法。
例题 1 用公式法解下列方程：
(1)2x2 x 6 0
解 a=2, b=1, c=-6
正确确定a、b、c的值
b2 4ac 12 4 26
=49
准确代数，先计
算 b2 4ac 的值
x b b2 4ac 2a
记牢公式，准确代数
_2_4___.
x b
b2
4ac
4 24
_2__1 ___
__2___6___
2a
x1 2 6, x2 2 6
(3)4x2 4x 10 1 8x 【都为课本P29例题】
解 将方程化为一般情势，得
4x2 12x 9 0
b2 4ac __1_22___4__4__9
=0
1 49 1 7
22
4
x1
3 2
,
x2 2
(2)x2 4x 2 （师生互动）
解 将方程化为一般情势，得
x2 4x 2 0
a=_1__,b=_4___,c=__-_2__。
b2 4ac 4_2__4__1___2__
切记：方程不是一 般情势的，要先化 为一般情势，再确 定a、b、c的值
§22.2一元二次方程的解法（4）
——公式法
知识回顾
配方法的步骤：
1.化 1 2.移项 3.配方 4.求解
配方的关键是：
在方程两边同时添加的常数项等于一次项系 数一半的平方。
巩固练习： 1.用配方法解一元二次方程 2x2 4x 6 0
2.用配方法解关于x的方程 x2＋p x＋q＝0 (p2－4q≥0)．
④写出两个根。
3、你知道公式法合适解哪些一元二次方程吗？
华东师大版初三数学上册《一元二次方程的解法4.一元二次方程根的判别式》(华东师大版)
华东师大版初三数学上册《22一元二次方程是中学数学的要紧内容之一，在初中数学中占有重要地位。
我们从知识的进展来看，学生通过一元二次方程的学习，能够对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的分式方程、二次函数等知识的基础。
初中数学中，一些常用的解题方法、运算技巧以及要紧的数学思想，在本章教材中都有比较多的表达、应用和提升。
我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。
专门多实际问题都需要通过列、解一元二次方程来解决。
而我们想通过一元二次方程来解决实际问题，第一就要学会一元二次方程的解法。
解二次方程的差不多策略是将其转化为一次方程，这确实是降次。
本节课由简到难的展开学习，使学生认识即配方法、公式法后又一种新的解法因式分解法的差不多原理并把握其具体方法。
【知识与能力目标】1.能运用根的判别式，判定方程根的情形和进行有关的推理论证；2.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范畴.【过程与方法目标】1.经历一元二次方程根的判别式的产生过程；2.向学生渗透分类讨论的数学思想；3.培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力.【情感态度价值观目标】1.体验数学的简洁美;2.培养学生的探究、创新精神和协作精神.【教学重点】根的判别式的正确明白得与运用.【教学难点】含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用.一、知识回忆用配方法一元二次方程20(a 0)ax bx c ++=≠【教学说明】让学生亲身感知一元二次方程根的情形，回忆已有知识.二、摸索探究，猎取新知观看解题过程，能够发觉:在把系数代入求根公式之前，需先确定a,b,c 的值，然后求出b2-4ac 的值，它能决定方程是否有解，我们把b2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b2-4ac.我们回忆一元二次方程求根公式的推导过程发觉：【归纳结论】（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根:1x =2x ;（2）当Δ=0时，方程有两个相等的实数根,x1=x2=-2ba ;（3）当Δ＜0时，方程没有实数根.例.不解方程判定下列方程的根的情形： (1)232302x x --=(2)2162490x x -+= (3)290x -+=(4)2231028x x x x +=+解：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）无实数根；（4）有两个不相等的实数根.例2 当m 为何值时，方程（m+1）x2-（2m -3）x+m+1=0,（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？解：（1）m ＜14且m ≠-1;（2）m=14;（3）m ＞14 .【教学说明】注意（1）中的m+1≠0这一条件.三、运用新知，深化明白得1.方程x2-4x+4=0的根的情形是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根2.已知x2+2x=m-1没有实数根，求证：x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.【答案】1.B3.假如一元二次方程2m x-4x+1=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范畴时( )A.m＜4B.m＜4且m≠0C.m＜1D.m＜1且m≠04. k取何值时，关于x的一元二次方程kx2－12x ＋9＝0有两个不相等的实数根？5.已知关于x的方程2x2-(3+4k)x+2k2+k=0（1）当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）当k取何值时，方程有两个相等的实数根？（3）当k取何值时，方程没有实数根？【教学说明】引导学生灵活运用知识.四、师生互动，课堂小结1.用判别式判定一元二次方程根的情形（1）Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根.（3）Δ＜0时，一元二次方程无实数根.2.运用根的判别式解决具体问题时，要注意二次项系数不为0这一隐含条件.【教学说明】可让学生分组讨论，回忆整理，再由小组代表陈述.略。
华师大版数学九年级上第2讲 一元二次方程及解法
第2讲 一元二次方程解法复习知识要点1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。
2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。
（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；③配方，即方程两边都加上 的平方；④化原方程为2()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。
如果n ＜0，则原方程 。
（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________（4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个 的乘积；③令每个因式都等于 ，得到两个 方程；④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。
3.一元二次方程的根的判别式 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根,即----------==2,1x x（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有两个 的实数根，即-----==21x x ,（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根。
4. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x ，则12x x += ，12x x =提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。
经典考题：例1、若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______变式1、已知关于x 的方程x 2-3x+2k=0的一个根是1，则k=变式2、一元二次方程230x mx ++=的一个根为1-，则另一个根为 ．例2、一元二次方程x （x －2）=2－x 的根是（ ）A ．－1B ．2C ．1和2D ．－1和2变式1、一元二次方程x 2=16的解是 ．变式2、方程240x -=的根是（ ）A ．2x =B ．2x =-C ．1222x x ==-，D ．4x = 例3、已知关于x 的一元二次方程（a ﹣l ）x 2﹣2x+l ＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A 、a ＜2B 、a ＞2C 、a ＜2且a≠lD 、a ＜﹣2变式1、若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是(A)1k >- (B) 1k >-且0k ≠ (c)1k < (D) 1k <且0k ≠例4、若12x x ，是一元二次方程2560x x -+=的两个根，则12x x +的值是（ ）A ．1B ．5C ．5-D ．6变式1、已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12x x ，，且2212x x +=24，则k 的值是（ ）A ．8B ．7-C ．6D ．5 变式2、若方程2310x x --=的两根为1x 、2x ，则1211x x +的值为( ) A ．3 B ．－3C ．13D ．13- 例5、用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=变式1、用配方法解方程23610x x -+=，则方程可变形为（ ）A ．21(3)3x -=B ．213(1)3x -=C ．2(31)1x -=D ．22(1)3x -= 变式2、用配方法解一元二次方程542=-x x 的过程中，配方正确的是（ ）A ．（1)22=+xB ．1)2(2=-xC ．9)2(2=+xD ．9)2(2=-x例6、解方程：（1）0)3(2)3(2=-+-x x x （2）2(3)4(3)0x x x -+-=．（3）2420x x ++=． （4） 2230x x --=（5）2310x x --=． （6）2220x x --=（7）x 2﹣2x ﹣1=0 （8）x 2﹣7=6x（9）（2x +1）2=（2﹣3x ）2 （10）（x ﹣1）（x +2）=70．（11）（x ﹣1）2=4（x +1）2 （12） 3x （x ﹣2）=2（2﹣x ）（13）x （x +4）=621 （14）（x ﹣5）2﹣32=0课堂练习题一．选择题（共10小题）1．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞2 C．a＜﹣2 D．a＜2且a≠12．若一个三角形两边的长分别是3和7，且第三边的长恰好是方程x2﹣8x+12=0的一个实根，则这个三角形的周长为（）A．12 B．15 C．16 D．12或153．若关于y的一元二次方程ky2﹣4y﹣3=3y+4有实根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣B．k≥﹣且k≠0 C．k≤﹣D．k＞﹣且k≠04．已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则x12+x22的最大值是（）A．19 B．18 C．15 D．135．已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则b a的值是（）A．B．﹣C．4 D．﹣16．若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0没有实数根，则一次函数y=（k﹣1）x+3的图象经过（）A．第二、三、四象限 B．第一、二、三象限C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限7．下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（）A．若x2=4，则x=2 B．若x2+2x+k=0有一根为2，则k=﹣8C．方程x（2x﹣1）=2x﹣1的解为x=1 D．若分式的值为零，则x=1，28．若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（）象限．A．四B．三C．二D．一9．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=110．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为（）A．9 B．10 C．9或10 D．8或10二．填空题（共8小题）11．如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是．12．若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．13．已知x=1是关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为．14．关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有两不等实根，则k的取值范围是．15．设m、n是一元二次方程x2+3x﹣7=0的两个根，则m2+4m+n=．16．设m、n是一元二次方程x2+3x﹣7=0的两个根，则m+n=，m2+5m+2n=．17．如果把一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根各加上1作为一个新一元二次方程的两根，那么这个新一元二次方程是．18．若m是方程x2+x﹣4=0的根，则代数式m3+5m2﹣5的值是．三．解答题（共10小题）19．已知关于x的方程x2+2（a﹣1）x+a2﹣7a﹣4=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；（2）若方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22=32，求a的值．20．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2=0（1）求证：该方程有两个不等的实根；（2）若该方程的两实根x1、x2满足x1+2x2=9，求m的值．22．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1•x2，求k的值．23．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根分别为x1、x2，求x+x的最小值．24．已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+2=2（1﹣x）有两个实数根x1、x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若方程的两实数根x1、x2满足|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值．25．关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣1=0的两根x1、x2满足（2x1+x2）（x1+2x2）=6，求m的值．26．已知x1、x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a的取值范围；（2）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．27．已知二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m+=0的两个实数根为α和β，（1）求m的取值范围；（2）若|α|+|β|=2，求m的值．28．已知关于x的一元二次方程（x﹣k）2﹣2x+2k=0有两个实数根x1、x2．（1）求实数k的取值范围；（2）当实数k为何值时，代数式x12+x22﹣x1•x2+1取得最小值，并求出该最小值．。
华东师大版九年级上册22.2一元二次方程的解法2.一元二次方程的解法二：配方法(共20张PPT)
t1 2， t2 1
答：在1秒时，小球上升到10米；至最高点 后下落，在2秒时，其高度又为10米。
古题今解： 某古算书中有这样一首诗:“一群猴子分两队, 高高兴兴在游戏,八分之一再平方,蹦蹦跳跳树 林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮.告我总 数共多少”？ 解：设总共有 x 只猴子，
温故知新
3、用直接开平方法解一元二次方程适用于解 形如：x2=b(b≥0), (x+a)2=b(b≥0)的方程.
4、用因式分解法解满足a·b=0形式的一元二次 方程.这种方法的一般步骤：
(1)将方程化为一元二次方程的一般形式； (2)将方程的左边分解为两个一次因式的积； (3)令每一个一次因式分别为0，就得到两个
2
2
即 x 6 0或 x 6 0
2
2
x1
6 2
，x2
6 2
温故知新
分别用直接开平方法和因式分解法解方程：
(2)4(x-1)2=9
解法一： 变形，得 (x 1)2 9
4
直接开平方得
解法二：
变形，得 (x 1)2 ( 3)2 0
2
左边因式分解，得
(x 1 3)(x 1 3) 0
2
2
(1)x2 2x 5 (2)x2 4x 1 2
解：(1)方程两边同时加上1，得x2-2x+1=6 即 (x-1)2=6
直接开平方，得x-1= 6
x1 1 6， x2 1 6
(2)方程两边同时加上3，得x2+4x+4=5 即 (x+2)2=5
直接开平方，得x+2= 5
x1 2 5， x2 2 5
的解为 x1 b
b2 2a
华师大版九年级数学上册《一元二次方程的解法 第2课时 配方法》课件
A．x，－34
B．2x，－12
C．2x，－32
D．x，－32
11．若a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2－10a＋b2－24b＋
c－13＋169＝0，则此三角形是( B )
A．锐角三5
5
12．(1)y2＋5y＋(___2__)2＝(y＋__2___)2；
(2)x2－52x＋(___54___)2＝(x－___54___)2；
p
p
(3)x2＋px＋(___2___)2＝(x＋___2___)2.
13．(1)当m＝__2_5__时，x2＋10x＋m是完全平方式；
(2)当k＝_±___6__时，x2＋kx＋9是完全平方式．
14．(12分)用配方法解下列方程：
(1)x2＋1＝3x；
3＋ 5
3－ 5
解：x1＝ 2 ，x2＝ 2
(2)3y2－3y－6＝0；
解：y1＝2，y2＝－1
(3)(x＋1)(2x－3)＝1；
1＋ 33
1－ 33
解：x1＝ 4 ，x2＝ 4
(4)3(x－1)(x＋2)＝x－7.
解：原方程无实数解
15．(8分)若要用一根长20厘米的铁丝，折成一个面积为16平方厘 米的矩形方框，则应该怎样折呢？ 解：设折成的矩形的长为x厘米，则宽为(10－x)厘米，由题意， 得x(10－x)＝16，解之，得x1＝2，x2＝8，∴矩形的长为8厘米， 宽为2厘米 16．(9分)王红在计算某数的平方时，将这个数的平方误写成它的 2倍，使答案少了63，请你帮王红求出这个数的平方． 解：设这个数为x，根据题意，得x2－2x＝63.解得x1＝9，x2＝－7. 所以这个数的平方是81或49
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华师大版数学九年级上第3讲 一元二次方程及解法
第3讲 一元二次方程及解法【引例】小明把一张边长为10cm 的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如果要求长方体的底面积为81cm 2,那么剪去的正方形的边长是多少？设剪去的正方形的边长为xcm ，你能列出满足条件的方程吗？列出的方程是知识要点梳理：一元二次方程的概念：1、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的整式方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式： ,其中 是二次项， 是一次项， 是常数项， 是二次项系数 ， 是一次项系数。
3、一元二次方程的解（根）：使得方程成立的未知数的值4、形如2x =a(a ≥0)或（mx+n ）2=a(a ≥0)的方程可用直接开方法求解5、复习完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-尝试解方程：x 2－4x ＋3＝0我们把方程x 2－4x ＋3＝0变形为(x －2)2＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.练一练 ：配方.填空：（1）x 2＋6x ＋（ ）＝（x ＋ ）2； （2）x 2－8x ＋（ ）＝（x － ）2；（3）x 2＋23x ＋（ ）＝（x ＋ ）2； 经典例题：例1.判断下列方程是否为一元二次方程。
（1）8142=x ； （2）y x 3)1(22=-； （3）x x 4152=-； （4）02112=-+xx ； （5）1322-+x x ； （6）)2(5)1(3+=-x x x ； 例2 将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
（1）8142=x （2）)2(5)1(3+=-x x x例3.解下列方程：（1）x 2－2＝0; （2）16x 2－25＝0.（3）64)3(2=+x （4）49)121(42=-x（5）0862=+-x x例4.已知关于x 的方程122)2(222-+=--x x kx x k 是一元一次方程，求k 的值，并求出这个方程的解？例5. 用配方法解下列方程：（1）x 2－6x －7＝0； （2）x 2＋3x -1＝0.解（1）移项，得x 2－6x ＝____.方程左边配方，得x 2－2·x ·3＋ 2＝7＋ ，即（ ）2＝ .所以 x －3＝_______.原方程的解是x 1＝_____，x 2＝____.（2）移项，得x 2＋3x ＝1.方程左边配方，得x 2＋3x ＋（ ）2＝1＋____，即 ____________________所以___________________原方程的解是： x 1＝______________x 2＝___________例2.用配方法解下列方程：（1）011242=--x x （2）03232=-+x x (3)03422=+-x x经典练习：一、选择题1．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．3B ．-3C ．±3D ．以上都不对2. 若9x 2 -ax +4是一个完全平方式，则a 等于（ ）；A. 12B. -12C. 12或-12D. 6或-63．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）A ．（a-2）2+1B ．（a+2）2-1C ．（a+2）2+1D ．（a-2）2-14．把方程x x 432=+，得（ ）A ．（x-2）2=7B ．（x+2）2=21C ．（x-2）2=1D ．（x+2）2=25．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ）A ．2±10B ．-2±14C ．-2+10D ．2-10 二、填空用适当的数填空：①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x － ）2；③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x － ）2⑤ (x - )2 = x 2 - 32x + ； 三.用配方法解方程：（1）x 2＋8x －2＝0 （2）x 2－5x －6＝0.（3）2x 2-x=6 （4）4x 2－6x ＋（ ）＝4（x － ）2＝（2x － ）2作业练习1．如果2是方程x 2﹣3x +k=0的一个根，则常数k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣22．若1﹣是方程x 2﹣2x +c=0的一个根，则c 的值为（ ）A ．﹣2B ．4﹣2 C ．3﹣ D ．1+3．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（）A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或44．用配方法解方程x2+2x﹣1=0时，配方结果正确的是（）A．（x+2）2=2 B．（x+1）2=2 C．（x+2）2=3 D．（x+1）2=35．若|x2﹣4x+4|与互为相反数，则x+y的值为（）A．3 B．4 C．6 D．96．一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（）A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4二．填空题（共5小题）7．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，则k的值是．8．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m=．9．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0有一根为x=﹣1，则a+b=．10．方程（x﹣1）2=4的解为．11．若将方程x2+6x=7化为（x+m）2=16，则m=．三．解答题（共3小题）12．解方程：（x﹣3）2﹣9=0．13．解方程：x2+4x﹣1=0．14．解方程：x2﹣6x﹣4=0．因式分解法知识要点梳理:1.分解因式的方法有：提公因式法、利用平方差公式分解因式、利用完全平方公式分解因式、十字相乘法、分组分解法等2.因式分解法解一元二次方程的原理：000==⇔=b a ab 或经典例题例1：用因式分解法解下列方程：(1) t (2t －1)＝3(2t －1)； (2) y 2＋7y ＋6＝0(3)(2x －1)(x －1)＝1． （4）0)34()43(22=---x x例2：用适当方法解下列方程： (1)3(1－x )2＝27； (2)x 2－6x －19＝0；(3)3x 2＝4x ＋1； (4)y 2－15＝2y ；(5)5x (x －3)－(x －3)(x ＋1)＝0； (6)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2．练习题：1、解方程：2（x ﹣3）2=x 2﹣9．2、解方程：（x ﹣3）（x ﹣1）=3．3、解方程：（1）())3(332-=-x x x （2）0910x 2=+-x（3）()22x 1x 2+=+ （4）()0)32(33222=---x x公式法知识要点梳理1.一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的求根公式：利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.2.根的判别式：ac b 42-=∆① 当b 2－4ac ＞0时，方程有2个不相等的实数根；② 当b 2－4ac ＝0时，方程有2个相等的实数根x 1＝x 2＝ab 2- ③ 当b 2－4ac ＜0时，方程无实数根.经典例题例1.用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0).因为a ≠0，方程两边都除以a ，得_____________________＝0. 移项，得 x 2＋ab x ＝________， 配方，得 x 2＋a b x ＋______＝______－ac , 即 (____________) 2＝___________因为a ≠0，所以4 a 2＞0，当b 2－4 ac ≥0时，直接开平方，得_____________________________.所以x ＝_______________________ x ＝aac b b 242-±-( b 2－4 ac ≥0)例2.不解方程，判断方程根的情况。
华师大版数学九年级上册第22章《一元二次方程》教学设计
华师大版数学九年级上册第22章《一元二次方程》教学设计一. 教材分析《一元二次方程》是华师大版数学九年级上册第22章的内容，本章主要让学生掌握一元二次方程的解法、性质和应用。
一元二次方程是初中数学的重要内容，也是高中数学的基础。
通过本章的学习，学生能理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，并能运用一元二次方程解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于方程的概念和解法有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的性质和应用，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程，并通过例子让学生感受一元二次方程的应用。
三. 教学目标1.了解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法。
2.理解一元二次方程的性质，能运用一元二次方程解决实际问题。
3.培养学生的抽象思维能力，提高学生运用数学解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.一元二次方程的概念和性质。
2.一元二次方程的解法。
3.一元二次方程在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程。
2.利用数形结合法，帮助学生理解一元二次方程的性质。
3.运用实例讲解法，让学生感受一元二次方程的应用。
4.采用小组合作学习法，培养学生的团队合作精神。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生学习一元二次方程。
2.准备一元二次方程的例题，用于讲解一元二次方程的解法。
3.准备一元二次方程的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过呈现一个实际问题，引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程。
例如，某商品打8折后售价为120元，求原价。
2.呈现（10分钟）呈现一元二次方程的定义和性质，让学生了解一元二次方程的概念。
同时，通过例子讲解一元二次方程的解法，让学生掌握解一元二次方程的方法。
3.操练（15分钟）让学生独立完成一些一元二次方程的练习题，巩固所学知识。
2023九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法3公式法教案(新版)华东师大版
作用与目的：
-巩固学生在课堂上学到的“一元二次方程的解法--公式法”知识点和技能。
-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。
-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。
学生学习效果
1.知识与技能：
-学生能够理解一元二次方程的解法--公式法的基本概念和原理。
重点难点及解决办法
重点：一元二次方程的公式法及其应用。
难点：理解并运用公式法求解实际问题，掌握公式法与判别式之间的关系。
解决办法：
1.通过具体实例，引导学生理解一元二次方程的公式法，让学生在实际问题中体会公式的运用。
2.利用数形结合，让学生直观地理解公式法与判别式之间的关系，突破难点。
3.设计梯度性练习题，让学生在练习中逐步掌握公式法的运用，巩固知识点。
-学生能够运用公式法求解一元二次方程，并正确运用判别式判断方程的解的情况。
-学生能够在实际问题中运用公式法，求解实际问题，并能够解释结果的实际意义。
2.过程与方法：
-学生能够通过自主探索和小组合作的方式，积极主动地参与课堂学习和实践活动。
-学生能够通过听讲、思考和讨论，深入理解一元二次方程解法--公式法的内涵和应用。
3.在线学习平台：利用在线学习平台，提供丰富的学习资源和练习题，方便学生自主学习和巩固知识。
4.实物教具：使用实物教具，如数学模型、图形展示等，帮助学生更好地理解和掌握一元二次方程的解法。
5.练习册与评价工具：提供练习册和评价工具，及时检测学生的学习效果，为学生提供反馈和指导。
教学实施过程
1.课前自主探索
-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。
华师大版-数学-九年级上册-23.2一元二次方程的解法
思考
（1）方程 x2 4 能否用因式分解法来解？
（2）方程 x2 1 0
能否用直接开平方法来解？来自做一做试用两种方法解方程
x2 900 0
例1 解下列方程
（1） x2 2 0
（2） 16x2 25 0
解 （1）移项，得：
x2 2
直接开平方，得：
x 2
即
x1 2, x2 2
试一试
解下列方程，并说明你所用的 解法，与同伴交流。
(1) x2 4 (2) x2 1 0
方程（1）的解法：
x 因为 是4的平方根，所以
x 4
即 x 2
这种方法叫做直接开平方法。
方程（2）的解法：
将方程左边用平方差公式分解因式，得
x 1x 1 0
即 x 1 0 或 x 1 0
所以 x1 1, x2 1
2
即
x1 0, x2 3
（2）
x2 3x
解 （1）移项，得 x2 3x 0
方程左边分解因式，得
xx 3 0
所以 x 0 或者 x 3 0
即
x1 0, x2 3
随堂练习
练习：P22第1、2、
作业：P31第1.(1)(2) 第4.(1)(2)
（2） 16x2 25 0 解 （2）移项，得： 16x2 25
方程两边都除于16。得
x2 25 16
直接开平方，得 即
x5 4
x1
5 4
,
x2
5 4
例2 解下列方程
（1） 3x2 2x 0
（2） x2 3x
解 （1）方程左边分解因式，得
x3x 2 0
所以 x 0 或者 3x 2 0
华东师大版九年级数学上册22.2.3一元二次方程的解法(公式法)教学设计
4.能够运用公式法求解实际问题中涉及的一元二次方程，并解决相关问题。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，学生将通过自主探究、合作交流、问题解决等方式，培养以下能力：
1.自主探究：引导学生通过观察、分析、归纳等思维活动，发现一元二次方程的解法——公式法的规律；
1.基础练习题：完成课本P118页第1、2、3题，巩固求根公式的应用。
2.提高练习题：完成课本P119页第4、5题，进一步掌握一元二次方程解的性质及求解方法。
3.实际应用题：根据以下情境，列出一元二次方程并求解。
（1）某学生参加篮球比赛，比赛开始时，他距离篮筐3米。在比赛过程中，他向前跳起，跳跃高度为0.5米。求他距离篮筐的最短距离。
（3）在实际应用中，如何判断一元二次方程的解是否符合题意？
5.课后反思：请学生回顾本节课所学内容，总结自己在学习过程中遇到的困难和收获，并对学习方法进行反思，以提高学习效率。
作业要求：
1.学生独立完成作业，确保作业质量。
2.作业完成后，认真检查，确保无误。
3.遇到问题时，积极思考，可向同学或老师请教。
4.课后反思要真实、具体，以便找到适合自己的学习方法。
（2）某商品的成本为1000元，售价为x元。根据市场调查，每提高10元售价，销量增加5件。已知该商品销售总收入与成本相等时，求售价x。
4.探究性问题：小组合作，探讨以下问题，并在下节课上分享讨论成果。
（1）为什么一元二次方程的求根公式中要加上“±”？
（2）当判别式Δ=b²-4ac=0时，方程的解具有什么特点？
3.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、思考过程和合作交流情况，了解学生对知识的掌握程度；
九年级数学上册第22章一元二次方程的解法1直接开平方法和因式分解法上课pptx课件新版华东师大版
解 （1）原方程可以变形为
(x + 1)2 = 4.
你是这样解的 吗？还有没有
直接开平方，得
其他解法？
x + 1 = ±2.
所以
x1 = 1，x2 = – 3.
（4）(x – 4)2 = (5 – 2x)2
(x – 4)2 – (5 – 2x)2 =0
[(x – 4)-(5 – 2x)] [(x – 4)+(5 – 2x)] =0
2.当方程出现相同因式（单项式或多项式） 时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解.
教学反思
本节课教师引导学生探讨直接开平方法和 因式分解法解一元二次方程，让学生小组讨论， 归纳总结探究，掌握基本方法和步骤，合理、 恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分解法， 在整个教学过程中注意整体划归的思想.
所以 得
x(x – 3) = 0. x = 0 或 x – 3 = 0. x1 = 0，x2 = 3.
例3 解下列方程： （1）(x + 1)2 – 4 = 0； （2）12(2 – x)2 – 9 = 0.
分析 两个方程都可以通过简单的变形，化 为
(
)2 = a (a ≥ 0)
的形式，用直接开平方法求解.
（直1接）开移平项方，，得得x2x==9±0300，，（所2以）(x左+边30因)(式x –分3解0)，= 得0，
∴x1 = 30，x2 = – 30.
x + 30 = 0或x – 30 = 0，
得 x1 = 30，x2 = – 30.
（2）x2 = 3x
（2）移项，得
x2 – 3x = 0. 方程左边分解因式，得
对于题（2）x2 – 1 = 0,有这样的解法： 将方程左边用平方差公式分解因式，得
华师大版数学九上22.2《一元二次方程的解法》ppt课件4
心动 不如行动 公式法是这样产生的
你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解:a 2,b 9, c 8. 1.变形:化已知方程为一般形式;
b2 4ac 92 4 28 17 0.
b b2 4ac x
2a
9 17
22 9 17 .
4
2.确定系数:用a,b,c写出各项系 数;
x b b2 4ac .
5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方;
2a
2a
6.求解:解一元一次方程;
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 7.定解:写出原方程的解.
心动 不如行动
公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2 4ac 0时,它的根是:
答: 三角形的三条边长分别为6,8,10.
我最棒
,解题大师——规范正确!
解下列方程: (1). x2-2x－8＝0； (2). 9x2＋6x＝8； (3). (2x-1)(x-2) =-1;
4.3y2 1 2 3y.
参考答案:
1.x1 2; x2 4.
2.x1
2 3
;
x2
4 3
.
3.x1
1;
• 一元二次方程也是刻画现实世界 的有效数学模型.
x2
3. 2
4.y1 y2
3. 3
小结 拓展 回味无穷
列方程解应用题的一般步骤: 一审;二设;三列;四解;五验;六答.
用配方法解一元二次方程的一般步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:
九年级数学上第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法4一元二次方程根的判别式课华东师大
(3)4x－x2＝x2＋2; 方程整理为x2－2x＋1＝0，∵Δ＝(－2)2－4×1×1＝0， ∴方程有两个相等的实数根．
(4)3x－1＝2x2.
方程整理为2x2－3x＋1＝0，∵Δ＝(－3)2－4×2×1＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．
9．【中考·陇南】关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两 个实数根，则k的取值范围是( C )
A．k≤－4 B．k＜－4 C．k≤4 D．k＜4
10．【2020·攀枝花】若关于x的方程x2－x－m＝0没有实数
1．已知关于x的方程x2＋mx－1＝0的根的判别式的值为5， 则m的值为( D )
A．±3 B．3 C．1 D．±1
2．【2021·长春师大附中新城校区期末】一元二次方程x2 －x－3＝0根的判别式的值是___1_3____．
3．已知关于x的一元二次方程mx2－(3m－1)x＝1－2m，其 根的判别式的值为4，求m的值．
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
4．一元二次方程根的判别式
提示：点击 进入习题
新知笔记 1 b2－4ac；一般形式 2 (1)> (2)＝ (3)<
1D 2 13 3 见习题
4C
5A
答案显示
6B 7C 8 见习题 9C 10 A
11 1
16 B
答案显示
12 见习题 17 4
13 D
(2)若a、b、c为△ABC的三边长，方程有两个相等的实数根 ，求证：△ABC为等边三角形． ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝8[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0. ∵a、b、c为三角形的三边长， ∴a＝b≠0，b＝c≠0，a＝c≠0， ∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形．
华师版数学九年级上册-22.2一元二次方程的解法
注意：配方时，等式两边同时加上的是一次项系数 一半的平方.
华师版数学九年级上册
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
第 3 课时 公式法
回顾与思考
“配方法”解方程的基本步骤： 1. 化1：把二次项系数化为 1； 2. 移项：把常数项移到方程的右边； 3. 配方： 方程两边同加一次项系数一半的平方； 4. 变形：化成 (x + m)2 = a(a≥0)； 5. 开平方，求解.
解：将原方程化为一般形式，得
运用公式法解一元二次方程的步骤：
（1）把方程化为一般形式，确定 a、b、c 的值；
（2）求出 b2 4ac的值；
（3）若
，把 a、b、c 及 b2 4ac的值
代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；
若
，此时方程无实数解.
练一练
1.
用公式法解下列一元二次方程：23
用配方法解一元二次方程 x2－4x＋1＝0 变形为 (x－2)2 = 3
变 形
这种方程
为
怎样解？
•• • • 2 a 的形式．（a 为非负常数）
像这种通过方程的简单变形，将左边配成一个含有 未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可 以直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫 做配方法.
(1) x2＋8x＋ 16 =(x＋4)2
(2) x2－4x＋ 4 =(x－2 )2
(3) x2－_6__x＋ 9 =(x－ 3 )2
配方时，等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方
典例精析 例 用配方法解下列方程: (1) x2 - 4x - 1 = 0； (2) 2x2 - 3x - 1 = 0.
九年级数学上册22.2一元二次方程的解法教学课件新版华东师大版
你学过一元二次方程的哪些解法?
直接开平方法
配 方 法 因式分解法
公 式 法
你能说出每一种解法的特点吗?
方程的左边是完全平方式,右边是非负数;
即形如 x2=a 或 (x+m)2=a(a≥0)
x1=
或
a
x2=- a
x1 a m, x2 a m
解下列方程.
1x
2x
1、
ax2+c=0 直接开平方法 ==> ax2+bx=0 ==> 因式分解法 因式分解 2 ax +bx+c=0 ==> 法 公式法（配方法
2、公式法虽然是万能的，对任何一元二 次方程都适用，但不一定是最简单的，因 此在解方程时我们首先考虑能否应用“直 接开平方法”、“因式分解法”等简单方 法，若不行，再考虑公式法（适当也可考 虑配方法）
用因式分解法解下列方程
4(2x 1) (2)3x(x 1) 2x 2
1(2x 1)
2
(3)(2x 3) x 2
2
2
按要求解下列方程： 1.因式分解法： 3 x 2 x x 2
2
2.配方法： 2x 5 x 3 0 2 1 x x 1 3.公式法：
2
1、2x 3x 4 0；
用公式法解方程： 2
2、x2x 1 3 0.
1.用因式分解法的条件是:方程左边易于 分解因式,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0;
4.变形:化成
(x + m) = a
华师大版数学九年级上册22.2《一元二次方程的解法》课件
心动
2
不如行动
公式法将从这里诞生
2x2-9x+8=0 吗?
你能用配方法解方程
9 解 : x x 4 0. 1.化1:把二次项系数化为1; 2 2.移项:把常数项移到方程的右边; 9 2 x x 4. 2 2 2 9 9 9 3.配方:方程两边都加上一次项 2 x x 4. 系数绝对值一半的平方; 2 2 4 4 9 17 4.变形:方程左分解因式, x . 4 16 右边合并同类; 9 17 x . 5.开方:根据平方根意义, 4 4 方程两边开平方; 9 17 x . 6.求解:解一元一次方程; 4 4 9 17 9 17 7.定解:写出原方程的解. x1 ; x2 . 4 4
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8=49 - 96= - 47< 0,
∴原方程没有实数根.
我最棒
,用公式法解下列方程
1). 2x2＋x－6＝0； 2). x2＋4x＝2； 6 3.x1 2; x2 . 3). 5x2 - 4x – 12 = 0 ; 53 4.x1 x2 . 4). 4x2+4x+10 =1-8x ； 2 2 5.x1 3 2 2; x2 3 2 2. 5). x －6x＋1＝0 ； 3 2 6). 2x －x＝6 ； 6.x1 2; x2 . 1 2 2 7 .x1 x2 . 7). 4x - 3x - 1=x - 2； 2 9 73 9 73 8). 3x(x-3)=2(x-1)(x+1); 8.x1 ; x2 . 2 2 1 9). 9x2+6x+1 =0 ； 9.x1 x2 . 1 3 3 10). 16x2+8x=3 ； 10.x1 ; x2 .
华师大版-数学-九年级上册-23.2一元二次方程的解法 完整版
23.2一元二次方程的解法一、填空题1.（2009重庆綦江）一元二次方程x 2=16的解是 ． 【关键词】一元二次方程 【答案】14x =，24x =-2.（2009山东威海）若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______．【关键词】一元二次方程 【答案】13．（2009年甘肃庆阳）若关于x 的方程2210x x k ++-=的一个根是0，则k = ． 【关键词】一元二次方程组的解法 【答案】14.(2009年浙江温州)方程(x-1)2=4的解是 【关键词】解一元二次方程 【答案】x 1=3,x 2=-1.5.（2009年甘肃兰州）阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca.根据该材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2+6x +3＝0的两实数根，则21x x +12x x 的值为 ． 【关键词】一元二次方程根与系数关系【答案】106.(2009年福建宁德)方程042=-x x 的解______________． 【关键词】一元二次方程的解 【答案】x 1=0, x 2=47.（2009年广西崇左）分解因式：2242x x -+= ． 【关键词】利用求根方法因式分解 【答案】22(1)x -8.（2009年广西崇左）一元二次方程230x mx ++=的一个根为1-，则另一个根为 ．【关键词】利用一元二次方程的根的定义可得，或利用根与系数的关系可得。
【答案】3- 9．（2009年湖北十堰）方程(x ＋2)(x －1)=0的解为 ． 【关键词】解一元二次方程【答案】－2，1；－2或1(x =－2，x =1或1,221=-=x x )10．（2009年山西）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ． 【关键词】解一元二次方程；一元二次方程根与系数的关系 【答案】答案不唯一，如21x = 二、选择题1.(2009年四川成都)若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是A.1k >- B .1k >-且0k ≠ C.1k < D.1k <且0k ≠【关键词】一元二次方程根的判别式 【答案】B2.（2009年山西太原）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．()216x += B ．()216x -= C ．()229x +=D ．()229x -=解析：本题考查配方，2250x x --=，22151x x -+=+，()216x -=，故选B ． 【关键词】配方 【答案】B3.（2009年内蒙古呼和浩特）用配方法解方程23610x x -+=，则方程可变形为（ ） A ．21(3)3x -=B ．213(1)3x -=C ．2(31)1x -=D ．22(1)3x -=【关键词】解一元二次方程 【答案】D4.（2009年湖北襄樊）如图5，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AE EB EC a ===，且a 是一元二次方程2230x x +-=的根，则ABCD 的周长为（ ）A．4+ B．12+．2+ D．212++解析：本题考查平行四边形及一元二次方程的有关知识，∵a 是一元二次方程ADCEB图52230x x +-=的根，∴1a =，∴AE=EB=EC=1，∴AB=，BC=2，∴ABCD 的周长为4+，故选A 。
华师大版-数学-九年级上册-23.2 一元二次方程的解法(5).
华师大版 九年级（上） 《 第二十三章·一元二次方程 》 第二节23.2 一元二次方程的解法-5(根的判别式) 作业一、积累·整合1.若关于x 的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m 的取值范围是 ( )A.m ＜1B. m ＜1且m ≠0C.m ≤1D. m ≤1且m ≠02.已知关于x 的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根，则k 的取值范围是 ( )A.k ≤1B.k ≥1C.k<1D.k>13.如果方程组 只有一个实数解，那么m 的值为 ( )A. -3/8B.3/8C. -1D.-3/44.若关于x 的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0有两个相等的实数根，则k= .5.关于x 的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1，求m 的值及该方程的根。
6．已知关于x 的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0，当m 为何非负整数时：(1)方程只有一个实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程有两个不等的实数根.二、拓展·应用7.已知关于x 的方程x2+2(a-3)x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实根，且满足2a-b=0.(1)求a 、b 的值；(2)已知k 为一实数，求证：关于x 的方程 (-a+b)x2+bkx+2k-(a+b)=0有两个不等的实根.8．关于x 的方程kx2+(k+1)x+k/4=0有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由。
9．已知：m 、n 为整数，关于x 的二次方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不相等的实数解，x 2+(4+m)x+n+6=0有两个相等的实数根，x 2-(m-4)x+n+1=0没有实数根，求m 、n 的值.10．一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是 ( )A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根三、探索·创新11.方程x2-3x+1=0的根的情况是 ( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C. 没有实数根D.只有一个实数根12.关于x 的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是 ( )A.当k=1/2时，方程两根互为相反数B.当k=0时，方程的根是x=-1C.当k=±1时，方程两根互为倒数D.当k ≤1/4时，方程有实数根【答案与解析】1．D2．A3．Ax 3y m2x y 2=-=4．25．解：Δ=2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m=m2-2m+1=(m-1)2∴ (m-1)2=1,即 m1＝2，m2＝0(二次项系数不为0，舍去)。
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一元二次方程的解法（B卷）
一、学科内综合题：(每小题8分,共24分)
1.你能用所学知识解下面的方程吗?试一试：2x2+5│x│-12=0
2.已知一直角三角形的三边为a,b,c,∠B=90°,请你判断关于x的方程
a(x2-1)-2cx+b(x2+1)=0的根的情况.
3.已知x和x2为一元二次方程2x2-2x+3m-1=0的两个实数根,并且x1和x2满足不等式
12 12
1 4
x x x x <
+-
,试求m的取值范围.
二、学科间综合题(12分)
4.在某串联电路中有两个电阻R1,R2,其中R1=4Ω,当串联后安装在电压为6V的电路中时,R2实际消耗的功率为2瓦特,求R2的阻值.
三、实践应用题(每小题10分,共20分)
5.某公司向银行贷款20万元资金, 约定两年到期时一次性还本付息, 年利率是12%,该公司利用这笔贷款经营,两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余
6. 4万元,若在经营期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数.
6.某开发区2002年人口20万,人均住房面积20m2,预计到2004年底, 该地区人口将比2002年增加2万,为使到2004年底该地区人均住房面积达22m2/人,试求2003年和2003年这两年该地区住房总面积的年平均增长率应达到百分之几?
四、创新题(28分)
(一)教材中的变型题(8分)
7.(教材P38第9题变型)如图,某农户为了发展养殖业,准备利用一段墙( 墙长18米)和55米长的竹篱笆围成三个相连且面积相等的长方形鸡、鸭、鹅各一个.问:( 1)如果鸡、鸭、鹅场总面积为150米2,那么有几种围法?(2)如果需要围成的养殖场的面积尽可能大,那么又应怎样围,最大面积是多少?
(二)一题多解(8分)
8.设,αβ是方程x 2
-3x-5=0的两根,求2223αββ+-的值.
(三)一题多变(12分)
9.当a 取什么值时,关于x 的方程ax 2
+4x-1=0有两个实数根?
(1)一变:当a 取什么值时,关于x 的一元二次方程ax 2+4x-1=0有实根?
(2)二变:当a 取什么值时,关于x 的方程ax 2+4x-1=0有实根?
(3)三变:当a 取什么值时,关于x 的方程ax 2+4x-1=0的两根都是正数?
五、中考题(10-12每题3分,13题7分,共16分)
10.(2003,常州)请写出一个根为x= 1, 另一根满足-1< x< 1 的一元二次方程_______.
11.(2003,海南)已知x 1,x 2是关于x 的一元二次方程a 2x 2-(2a-3)x+1=0的两个实数根,如果12
112x x +=- ,那么a 的值等于_____________. 12.(2003,天门)如果方程x 2+2x+m=0有两个同号的实数根,则m 的取值范围是________.
13.(黑龙江,2003)关于x 的方程kx 2+(k+1)x+
4
k =0有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围.
(2)是否存在实数k,使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由.
答案
一、
1．1233,22
x x =
=- 2．提示：2224()0a c b ∆=+-=
3．5132m -<≤ 二、
4．228R =ΩΩ或
三、
5．20%
6．10%
四、
7．
（1）垂直于墙的竹篱笆长10米，平行于墙的竹篱笆长15米
（2）垂直于墙的竹篱笆长9.25米，平行于墙的竹篱笆长18米,最大面积166.5米2
8.24 提示：25350
αβββ=-⎧⎨--=⎩,22222233αββαβββ+-=++- 9. 40a a ≥-≠且
(1) 40a a ≥-≠且;(2) 4a ≥-;(3) 40a -≤<
五、
10．x 2-x=0 11. 12
12. 01m <≤ 13.(1) 1
02k k >-≠且;(2)不承在。