北京市海淀区高中课改水平监测高一数学试卷
2023-2024学年北京市海淀区高一上册期末数学学情检测模拟试卷合集2套(含答案)
2023-2024学年北京市海淀区高一上册期末数学质量检测模拟试题一、单选题1．已知集合{}|03A x x =<<，集合{}2B x x =≥．则集合A B = （）A ．{}|2x x <B ．{}2|0x x <≤C ．{}|2x x ≤<3D ．{}|2x x ≥【正确答案】C【分析】已知集合A 、集合B ，由集合的基本运算，直接求解A B ⋂.【详解】集合{}|03A x x =<<，集合{}2B x x =≥，则集合{}|23A B x x =≤< .故选：C2．命题:1,(1)0p x x x ∀>->，则p ⌝是（）A ．1,(1)0x x x ∀>-≤B ．()1,10x x x ∀≤->C ．()000110x x x ∃≤->，D ．0001,(1)0x x x ∃>-≤【正确答案】D【分析】根据全称命题的否定是存在命题，即可得到答案.【详解】命题:1,(1)0p x x x ∀>->，则p ⌝.0001,(1)0x x x ∃>-≤故选：D3．下列函数中，既是奇函数又在()0,∞+上是增函数的是（）A ．()f x x x=B ．()1f x x x =+C ．()ln f x x=D ．()2x f x =【正确答案】A【分析】分别判断每个函数的奇偶性和单调性是否符合题意.【详解】对A ，函数()f x x x =，定义域为R ，()()f x x x x x f x -=--=-=-，函数为奇函数，当()0,x ∞∈+时，()2f x x =，在()0,∞+上单调递增，A 选项正确；对B ，函数()1f x x x =+，1111424422f f ⎛⎫⎛⎫=+>=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不满足在()0,∞+上是增函数，B 选项错误；对C ，函数()ln f x x =，定义域为()0,∞+，不是奇函数，C 选项错误；对D ，函数()2x f x =，定义域为R ，值域为()0,∞+，函数图象在x 轴上方，不关于原点对称，不是奇函数，D 选项错误.故选：A4．已知实数,,a b c 满足0a b c <<<，则下列式子中正确的是（）A ．b a c b->-B ．2a bc <C ．22b a --<D ．||||a b c b <【正确答案】C【分析】ABD 错误的选项可以取特殊值进行判断，C 选项可以利用指数函数的性质判断.【详解】对于A 选项，例如1,1,20a b c =-==，则2,19b a c b -=-=，不满足b a c b ->-，A 选项错误；对于B 选项，例如5,1,2a b c =-==，225a =，2bc =，不满足2a bc <，B 选项错误；对于C 选项，由0a b c <<<可知，b a -<-，结合指数函数2x y =在R 上递增可知，22b a --<，C 选项正确；对于D 选项，例如5,1,2a b c =-==，||5a b =，||2c b =，不满足||||a b c b <，D 选项错误.故选：C5．已知0.20.233,log 3,log 2a b c ===，则（）A ．a b c>>B ．a c b>>C ．c a b >>D ．c b a >>【正确答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性判断各数的范围，可比较大小.【详解】根据指数函数、对数函数性质可得，0.20331a =>=，0.20.2log 3log 10b =<=，3log 2c =，由3330log 1log 2log 31=<<=，则01c <<，所以a c b >>，故选∶B ．6．若角α的终边与单位圆交于点01,3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则下列三角函数值恒为正的是（）A ．cos tan ααB ．sin cos ααC ．sin tan ααD ．tan α【正确答案】A 【分析】由三角函数定义结合同角三角函数关系得到正弦和余弦值，从而判断出正确答案.【详解】由题意得：1sin 3α=，0cos 3x α===±，A 选项，sin 1cos tan cos sin 0cos 3αααααα=⋅==>，B 选项，01sin cos 3x αα=可能正，可能负，不确定；C 选项，20sin 1sin tan cos 9x αααα==可能正，可能负，不确定；D选项，sin tan cos 4ααα==±，错误.故选：A7．函数()ln 3f x x x =-在下列区间内一定存在零点的是（）A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5【正确答案】B【分析】构建新函数()3ln g x x x=-，根据单调性结合零点存在性定理分析判断.【详解】令()ln 30f x x x =-=，则3ln 0x x -=，构建()3ln g x x x =-，则()g x 在()0,∞+上单调递增，∵()()32ln 20,3ln 3102g f =-<=->，∴()g x 在()0,∞+内有且仅有一个零点，且零点所在的区间是()2,3，故函数()ln 3f x x x =-一定存在零点的区间是()2,3.故选：B.8．已知函数()f x 定义域为D ，那么“函数()f x 图象关于y 轴对称”是“1x D ∀∈，都存在2x D ∈，使得12()()f x f x =成立”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据函数性质分别验证充分性与必要性是否成立，即可得答案.【详解】解：函数()f x 定义域为D ，若函数()f x 图象关于y 轴对称，则x D ∀∈，则x D -∈，且()()=f x f x -，所以1x D ∀∈，都存在21x x D =-∈，使得满足11()()f x f x =-，即12()()f x f x =成立，故充分性成立；若函数()1f x x =-，其定义域为R ，满足1x ∀∈R ，都存在212R x x =-∈，使得221111()12111()f x x x x x f x =-=--=-=-=成立，但是函数()f x 的图象不关于y 轴对称，故必要性不成立；故“函数()f x 图象关于y 轴对称”是“1x D ∀∈，都存在2x D ∈，使得12()()f x f x =成立”的充分不必要条件.故选：A.9．中医药在疫情防控中消毒防疫作用发挥有力，如果学校的教室内每立方米空气中的含药量y （单位：毫克）随时间x （单位：h ）的变化情况如图所示．在药物释放过程中，y 与x 成正比；药物释放完毕后，y 与x 的函数关系式为19x a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到13毫克以下，学生方可进教室，根据图中提供的信息，从药物释放开始到学生能进入教室，至少需要经过（）A ．0.4hB ．0.5hC ．0.7hD ．1h【正确答案】C【分析】根据函数图象经过点()0.2,1，求出a 的值，然后利用指数函数的单调性解不等式即得.【详解】由题意知，点()0.2,1在函数19x a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象上，所以0.2119a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0.2a =，所以0.219x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由0.21193x -⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得20.41133x -⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以20.41x ->，解得0.7x >，所以从药物释放开始，到学生回到教室至少需要经过的0.7小时.故选：C.10．已知三角形ABC 是边长为2的等边三角形．如图，将三角形ABC 的顶点A 与原点重合．AB 在x 轴上，然后将三角形沿着x 轴顺时针滚动，每当顶点A 再次回落到x 轴上时，将相邻两个A 之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论：①一个周期是6；②完成一个周期，顶点A 的轨迹是一个半圆；③完成一个周期，顶点A 的轨迹长度是8π3；④完成一个周期，顶点A 的轨迹与x 轴围成的面积是8π3．其中说法正确的是（）A ．①②B ．①③④C ．②③④D ．①③【正确答案】D 【分析】依题意将ABC 沿着x 轴顺时针滚动，完成一个周期，得出点A 轨迹，由题目中“一个周期”的定义、轨迹形状、弧长公式、扇形面积公式进行计算即可.【详解】如上图，ABC 沿着x 轴顺时针滚动完成一个周期的过程如下：第一步，ABC 绕点B 顺时针旋转至线段BC 落到x 轴上11B C 位置，得到111A B C △，此时顶点A 的轨迹是以B 为圆心，AB 为半径的一段圆弧，即顶点A 由原点O 沿 1AA 运动至1A 位置；第二步，111A B C △绕点1C 顺时针旋转至线段11C A 落到x 轴上22C A 位置，得到222A B C △，此时顶点A 的轨迹是以1C 为圆心，11C A 为半径的一段圆弧，即顶点A 由1A 沿 12A A 运动至2A 位置，落到x 轴，完成一个周期.对于①，∵11222AB B C C A ===，∴一个周期26AA =，故①正确；对于②，如图所示，完成一个周期，顶点A 的轨迹是 1AA 和12A A 组成的曲线，不是半圆，故②错误；对于③，由已知，111111π3A B C A C B ∠=∠=，∴11122π3A BA A C A ∠=∠=，∴ 1AA 的弧长114π3l A BA BC =∠⋅=， 12A A 的弧长2112114π3l A C A C A =∠⋅=，∴完成一个周期，顶点A 的轨迹长度为4π4π8π333+=，故③正确；对于④，如图，完成一个周期，顶点A 的轨迹与x 轴围成的图形为扇形1BAA ，扇形112C A A 与111A B C △的面积和，∵11122π3A BA A C A ∠=∠=，∴1112212π4π2233BAA C A A S S ==⨯⨯=扇形扇形，∵等边ABC 边长为2，∴111A B C S =∴完成一个周期，顶点A 的轨迹与x 轴围成的面积是4π4π8π333++=+，故④错误.∴正确的说法为：①③.故选：D.方法点睛：分步解决点A 轨迹，第一步是ABC 绕点B 滚动得到111A B C △，第二步是111A B C △绕点1C 滚动得到222A B C △，再将两步得到的点A 轨迹合并，即可依次判断各个说法是否正确.二、填空题11．4sin 3π=______.【正确答案】【分析】根据诱导公式，以及特殊角的正弦值，可得结果.【详解】4sinsin sin 333ππππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭故本题主要考查诱导公式，属基础题.12．函数()f x =___________．【正确答案】1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【分析】根据二次根式以及对数函数的性质，求出函数有意义所需的条件.【详解】函数()f x =01ln 0x x >⎧⎨+≥⎩，解得1e x ≥，即函数定义域为1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.故1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭13．函数()21f x x x =-+在区间[0，3]上的值域是___________．【正确答案】3,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】对二次函数配方，结合单调性得函数的值域.【详解】2213()1()24f x x x x =-+=-+，所以()f x 在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,32⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，13(24f =，(0)1f =，(3)7f =，所以()f x 值域为3,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为.3,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．已知函数()()2log 1f x x =+，若()f x x >，则x 的范围是___________．【正确答案】()0,1【分析】作出两个函数的图像，利用数形结合解不等式.【详解】作出函数()2log 1y x =+和函数y x =的图像，如图所示，两个函数的图像相交于点()0,0和()1,1，当且仅当()0,1x ∈时，()2log 1y x =+的图像在y x =的图像的上方，即不等式()>f x x 的解集为()0,1.故()0,115．在平面直角坐标系xOy 中，设角α的始边与x 轴的非负半轴重合，角α终边与单位圆相交于点03,5P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将角α终边顺时针旋转π后与角β终边重合，那么cos β=___________．【正确答案】35-##-0.6【分析】先根据三角函数的定义算出cos α，然后根据,αβ的关系结合诱导公式计算cos β.【详解】根据三角函数的定义，3cos 5α=，由题意，πβα=-，于是()3cos cos πcos 5βαα=-=-=-.故35-16．已知某产品总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为24016000C Q =+．设年产量为Q 时的平均成本为f （Q ）（单位：元/件），那么f （Q ）的最小值是___________．【正确答案】1600【分析】由题意得到年产量为Q 时的平均成本为()1600040C f Q Q Q Q==+，再利用基本不等式求解.【详解】解：因为某产品总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为24016000C Q =+．所以年产量为Q 时的平均成本为()16000401600C f Q Q Q Q ==+≥，当且仅当1600040Q Q=，即20Q =时，()f Q 取得最小值，最小值为1600，故1600三、双空题17．已知函数()21,16,3x x a f x x x x a ⎧-<⎪=⎨⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，a 为常数．（1）当3a =时，如果方程()0f x k -=有两个不同的解，那么k 的取值范围是___________；（2）若()f x 有最大值，则a 的取值范围是___________．【正确答案】()1,7-[]0,3【分析】（1）通过讨论21x y =-和163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的单调性得出函数()f x 在3a =时的单调性，将方程()0f x k -=有两个不同的解转化为函数()f x 与直线y k =有两个不同的交点的问题，即可得出k 的取值范围.（2）根据（1）中得出的21x y =-和163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的单调性，分类讨论a 不同情况时()f x 图象的情况，即可得出a 的取值范围.【详解】解（1）由题意，在21x y =-中，函数单调递增，且1y >-，在163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭中，2163y x x =-+，对称轴()16832213b x a =-=-=⨯-，∴函数在83x =处取最大值，为28168643339y ⎛⎫=-+⨯= ⎪⎝⎭，函数在8,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在()21,16,3x x a f x x x x a ⎧-<⎪=⎨⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，a 为常数中，当3a =时，()21,316,33x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，函数在(),3∞-上单调递增，在[)3,+∞上单调递减，当3x <时，3()21(3)217x f x f =-<=-=，∵()211x f x =->-，∴当3x <时，()17f x -<<，当3x ≥时，()()221616333733f x x x f =-+≤=-+⨯=，∴函数在3x =处取最大值7，∵方程()0f x k -=有两个不同的解，即()f x k =有两个不同的解，∴函数()f x 与直线y k =有两个不同的交点，∴17k -<<，∴k 的取值范围为()1,7-，（2）由题意及（1）得，在21x y =-中，函数单调递增，且1y >-，在163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭中，对称轴83x =，在83x =处取最大值649，且在8,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，函数()21,16,3x x a f x x x x a ⎧-<⎪=⎨⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，a 为常数∵()f x 有最大值，∴21x y =-在x a =的值要不大于16()3y x x =--在x a =的值，当a<0时，21x y =-图象在163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭上方，显然21x y =-在x a =的值要大于163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在x a =的值，不符题意，舍去当0a ≥时，由（1）知，当03a ≤≤时21x y =-在x a =的值不大于163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在x a =的值，综上，03a ≤≤.故()1,7-；[]0,3.思路点睛：本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，解决此类问题的基本思路是将问题转化为两函数的图象交点个数问题，进而作出函数图象，采用数形结合的方式来进行分析求解.四、解答题18．已知3cos 5α=-，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(1)求sin α，tan α；(2)求()()cos 3ππsin tan π2ααα+⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)4sin 5α=，4tan 3α=-.(2)34-【分析】（1）由同角三角函数的平方关系和商数关系进行运算即可；（2）结合第（1）问结果，由诱导公式进行运算即可.【详解】（1）222316sin 1cos 1525αα⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭，∵π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin 0α>，∴4sin 5α=，∴sin tan s 43co ααα==-.（2）原式()()()()cos 3πcos cos πsin cos tan sin tan πcos 2cos απααααααααα++-===⋅-⎛⎫⎛⎫+-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 3sin 4αα==-.19．已知函数()()221R f x x mx m m =+-+∈(1)若函数()f x 在区间()1,3-上单调，求实数m 的取值范围；(2)解不等式()21f x x <+．【正确答案】(1)(][),62,∞-∞-⋃+(2)当2m =-时，不等式()21f x x <+的解集为∅，当2m >-时，不等式()21f x x <+的解集为(),2m -，当2m <-时，不等式()21f x x <+的解集为()2,m -，【分析】（1）根据二次函数的性质确定参数m 的取值区间；（2）由题化简不等式()21f x x <+，求出对应方程的根，讨论两根的大小关系得出不等式()21f x x <+的解集.【详解】（1）函数()221f x x mx m =+-+的对称轴2m x =-，函数()f x 在区间()1,3-上单调依题意得12m -≤-或32m -≥，解得2m ≥或6m ≤-，所以实数m 的取值范围为(][),62,∞-∞-⋃+.（2）由()21f x x <+，即22121x mx m x +-+<+，即()2220x m x m +--<，令()()()222020x m x m x x m +--=⇒-+=得方程的两根分别为2,m -，当2m =-，即2m =-时，不等式()21f x x <+的解集为∅，当2m >-，即2m >-时，不等式()21f x x <+的解集为(),2m -，当2m <-，即2m <-时，不等式()21f x x <+的解集为()2,m -，综上，当2m =-时，不等式()21f x x <+的解集为∅，当2m >-时，不等式()21f x x <+的解集为(),2m -，当2m <-时，不等式()21f x x <+的解集为()2,m -，20．给定函数22()11x f x x =-+．(1)求函数()f x 的零点；(2)证明：函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；(3)若当,()0x ∈+∞时，函数()f x 的图象总在函数()3g x ax =-图象的上方，求实数a 的取值范围【正确答案】(1)1x =，12x =-；(2)见解析；(3)(,2]-∞.【分析】(1)令()0f x =求解即可；(2)根据函数单调性的定义证明即可；(3)由题意可得221x a x x <++在,()0x ∈+∞上恒成立，令22(),01x h x x x x=+>+，利用函数的单调性的定义可得()h x 在(0,)+∞上单调递减，且有()2h x >，即可得a 的取值范围.【详解】（1）解：因为22()11x f x x =-+，所以1x ≠-，令22()101x f x x =-=+，则有221x x =+，即2210x x --=，解得1x =或12x =-；（2）证明：任取1212,(0,),x x x x ∈+∞<，则222212122112121212121212222(1)2(1)2()()()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+-++-=-==++++++,因为120x x <<，所以121212122()()0(1)(1)x x x x x x x x -++<++，即1212()()0()()f x f x f x f x -<⇔<，所以函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；（3）解：由题意可得22131x ax x ->-+在,()0x ∈+∞上恒成立，即221x a x x<++在,()0x ∈+∞上恒成立，令22222()22,011(1)x h x x x x x x x x =+=-+=+>+++，因为0x >，22022(1)x x +>+=+，当x 趋于+∞时，2(1)x x +趋于0，22(1)x x ++趋于2，所以()()2,(0)h x x ∈+∞>，，所以由221x a x x<++在,()0x ∈+∞上恒成立可得2a ≤，故a 的取值范围为(,2]-∞.21．如图，四边形OABC 是高为2的等腰梯形．//,4,2OA BC OA CB ==(1)求两条腰OC ，AB 所在直线方程；(2)记等腰梯形OABC 位于直线(04)x m m =<≤左侧的图形的面积为()f m ．①当12m =时，求图形面积()f m 的值；②试求函数()y f m =的解析式，并画出函数()y f m =的图象．【正确答案】(1)腰OC所在直线方程为y =，腰AB所在直线方程为y =+；(2)①()f m =，②()22,0134m f m m m <≤⎪=-<≤-+<≤⎪⎩，图象见解析.【分析】(1)由已知，解三角形求点,,,O A B C 的坐标，利用待定系数法求其方程；(2)①解三角形结合三角形面积公式求01m <≤时()f m 的解析式，由此求12m =时，()f m 的值；②分别在条件01m <≤，13m <≤，34m <≤下求()f m ，由此可得函数()y f m =的解析式，作出函数()y f m =的图象．【详解】（1）过点C 作CE OA ⊥，垂足为E ，过点B 作BF OA ⊥，垂足为F ，又//OA BC ，2BC =，所以四边形BCEF 为矩形，且2EF =，因为四边形OABC 为等腰梯形，4,2OA OC AB ===，所以1OE AF ==，CE BF =所以()((()0,0,,3,,4,0O C B A ，设直线OC 的方程为y kx =1k =⨯，所以k =所以腰OC所在直线方程为y =，设直线AB 的方程为y sx t =+，则304s t s t =+=+⎪⎩，所以s t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以腰AB所在直线方程为y =+，（2）①当01m <≤时，设直线x m =与直线,OA OC 的交点分别为,M N ，则//MN CE ，所以~OMN OEC ，所以MN OM CE OE=，又,1OM m CE OE ===，所以MN =，所以()212OMN f m S m ==⨯=故当12m =时，()f m =，②由①知，当01m <≤时，()2f m =，当13m <≤时，设直线x m =与直线,OA OC 的交点分别为,G H ，则//GH CE ，由已知四边形CEGH 为矩形，所以()(1OCE CEGH f m S S m m =++- ，当34m <≤时，设直线x m =与直线,OA OC 的交点分别为,K L ，则//KL BF ，所以~AKL AFB ，所以KL AK FB AF=，又4,1AK m BF AF =-==，所以)4MN m =-，所以()(()()22414422OABC AKL f m S S m m +=-=---=+- ，所以()22,01,134m f m m m <≤⎪=<≤-+<≤⎪⎩，作函数()y f m =的图象可得22．设A 是正整数集的非空子集，称集合{|||,B u v u v A =-∈，且}u v ≠为集合A 的生成集．(1)当{}1,3,6A =时，写出集合A 的生成集B ；(2)若A 是由5个正整数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正整数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．【正确答案】(1){}2,3,5B =；(2)4；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解；（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）假设存在集合{},,,A a b c d =，可得d a c a b a ->->-，d a d b d c ->->-，c a c b ->-，16d a -=，然后结合条件说明即得.【详解】（1）因为{}1,3,6A =，所以132,165,363-=-=-=，所以{}2,3,5B =；（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为21314151a a a a a a a a <<<----，所以B 中元素个数大于等于4个，又{}1,2,3,4,5A =，则{}1,2,3,4B =，此时B 中元素个数等于4个，所以生成集B 中元素个数的最小值为4；（3）不存在，理由如下：假设存在4个正整数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集B 由,,,,,b a c a d a c b d b d c ------组成，又,,d a c a b a d a d b d c c a c b ->->-->->-->-，所以16d a -=，若2b a -=，又16d a -=，则14d b B -=∉，故2b a -≠，若2d c -=，又16d a -=，则14c a B -=∉，故2d c -≠，所以2c b -=，又16d a -=，则18d b c a -+-=，而{},3,5,6,10d b c a --∈，所以18d b c a -+-=不成立，所以假设不成立，故不存在4个正整数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =.方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.2023-2024学年北京市海淀区高一上册期末数学质量检测模拟试题一、单选题1．已知集合{}260A x x x =+-<，{}13B x x =-<<，则A B ⋃=（）A ．()3,3-B ．()2,3-C ．()1,5-D ．()5,3-【正确答案】A 【分析】求出集合A ，根据并集的运算即可求出结果.【详解】解260x x +-<可得，32x -<<，所以{}|32A x x =-<<，所以{}{}{}|3213|33A B x x x x x x ⋃=-<<⋃-<<=-<<.故选：A.2．已知命题2:5,210p x x x ∃>-+>，则p ⌝为（）A ．25,210x x x ∀≤-+≤B ．25,210x x x ∀>-+≤C ．25,210x x x ∃>-+≤D ．25,210x x x ∃≤-+>【正确答案】B【分析】根据全称命题的否定为特称命题，否量词，否结论即可得解.【详解】命题2:5,210p x x x ∃>-+>的否定p ⌝为：25,210x x x ∀>-+≤，故选：B.3．下列函数中，既是偶函数又在()0+∞，上是增函数的是（）A ．()lg f x x=B ．()0.3x f x =C ．()3f x x =D ．()21f x x =【正确答案】A 【分析】根据单调性排除BD ，根据奇偶性排除C ，A 满足单调性和奇偶性，得到答案.【详解】对选项A ：()()lg f x x f x -==，函数为偶函数，当0x >时，()lg f x x =为增函数，正确；对选项B ：()0.3x f x =在()0+∞，上为减函数，错误；对选项C ：()()3f x x f x -=-=-，函数为奇函数，错误；对选项D ：()21f x x =在()0+∞，上为减函数，错误；故选：A4．不等式2311x x +≥-的解集为（）A ．312x x x ⎧⎫<≥⎨⎬⎩⎭或B ．{}4x x ≥C ．{}4x x ≤-D ．{14}x x x >≤-或【正确答案】D【分析】将原不等式转化为一元二次不等式求解.【详解】2311x x +≥-，即23410,011x x x x ++-≥≥--，等价于()()41010x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得1x >或4x ≤-；故选：D.5．已知函数()21log f x x x =-在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A ．()01，B ．()12，C ．()23，D ．()34，【正确答案】B【分析】确定函数单调递增，计算()10f <，()20f >，得到答案.【详解】()21log f x x x =-在()0,∞+上单调递增，()110f =-<，()1121022f =-=>，故函数的零点在区间()12，上.故选：B6．已知a ＝0.63，b ＝30.6，c ＝log 30.6，则（）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a 【正确答案】C【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解即可．【详解】因为0＜0.63＜0.60＝1，则0＜a ＜1，而b ＝30.6＞30＝1，c ＝log 30.6＜log 31＝0，所以c ＜a ＜b ．故选：C7．已知实数,a b ，若a b <，则下列结论正确的是（）A ．11a b>B ．22a b <C ．1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎝⎭⎝⎭D ．()ln 0b a ->【正确答案】C【分析】对ABD 选项采用取特殊值验证即可，对于C ，首先构造指数函数，利用单调性即可.【详解】因为a b <，则对于A ，取1a =-，1b =，则11a b <，A 错误；对于B ，取1a =-，1b =，此时22a b =，故B 错误；对于C ，构造指数函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x 单调递减，因为a b <，所以有()()f a f b >，即1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，取13a =、12b =，则()111ln ln ln 0236b a ⎛⎫-=-=< ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：C8．某市6月前10天的空气质量指数为35，54，80，86，72，85，58，125，111，53，则这组数据的第75百分位数是（）A ．84.5B ．85C ．85.5D ．86【正确答案】D【分析】按照求解百分位数的流程，先计算出100.757.5⨯=，然后由小到大排序，选取第8个数作为第75百分位数.【详解】100.757.5⨯=，故从小到大排列后：35，53，54，58，72，80，85，86，111，125取第8个数作为第75百分位数，第8个数是86故选：D9．学校开展学生对食堂满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生550人，高二年级有学生500人，高三年级有学生450人.现从全校学生中用分层抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高二年级学生人数为（）A ．18B ．20C ．22D ．30【正确答案】B【分析】求出高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生人数比，再列式计算作答.【详解】依题意，该校高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生人数比为：550:500:45011:10:9=，所以抽取的高二年级学生人数为10602011109⨯=++.故选：B10．物理学规定音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算:010Ilg Iη=(其中0I 是人耳能听到声音的最低声波强度)，一般声音在30分贝左右时不会影响正常的生活和休息，超过50分贝就会影响睡眠和休息;70分贝以上会造成心烦意乱，精神不集中，影响工作效率，甚至发生事故;长期生活在90分贝以上的噪声环境，就会得“噪音病”，汽车的噪声可以达到100分贝，为了降低噪声对周围环境的影响，某高速公路上安装了隔音围挡护栏板，可以把噪声从75分贝降低到50分贝，则50dB 声音的声波强度是75dB 声音的声波强度的（）A ．5210-倍B ．3210-倍C ．2310-倍D ．2510-倍【正确答案】A首先根据题意得到10010I I η=，再代入公式计算即可.【详解】因为010IlgI η=，所以10010I I η=.所以50510027510010=1010I I -倍.故选：A二、填空题11．函数()()lg 32f x x =-的定义域为_____．【正确答案】[)2,+∞【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【详解】由题意，可知20320x x -≥⎧⎨->⎩，解得2x ≥，所以函数的定义域为[)2,+∞．故[)2,+∞．12．某校调查了200名学生每周的自习时间（单位:小时），制成了如图所示的的频率分布直方图，根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为：_____．【正确答案】140【分析】求出这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率，即可求得答案.【详解】由频率分布直方图得：这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为:(0.020.10) 2.50.71+⨯-=,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为：2000.7140⨯=，故140.13．若“11x -<<”是“0x a -≤”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．【正确答案】[)1,+∞【分析】结合充分不必要条件即可求出结果.【详解】因为0x a -≤，即x a ≤，由于“11x -<<”是“0x a -≤”的充分不必要条件，则11x x a -<<⇒≤，但11x -<<不能推出x a ≤，所以1a ≥，故答案为.[)1,+∞三、双空题14．函数22(0,1)x y a a a +=->≠恒过的定点坐标为___________，值域为_____________．【正确答案】()2,1--()2,-+∞【分析】根据010a a =≠（），求出对应的,x y 的值得到定点坐标，再由指数函数值域得所求值域.【详解】令20x +=，解得：2x =-，此时121y =-=-，故函数22(0,1)x y a a a +=->≠恒过定点()2,1--.指数函数(0,1)x y a a a =>≠的值域为()0,∞+，函数22(0,1)x y a a a +=->≠的图像，可将指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图像向左平移两个单位，再向下平移两个单位，所以函数22(0,1)x y a a a +=->≠的值域为()2,-+∞.故()2,1--；()2,-+∞.15．已知函数1,02()ln ,2x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨⎪>⎩，则函数()f x 最小值为_______________；如果关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是__________________．【正确答案】12##0.5()ln 2,+∞【分析】空1利用函数单调性求函数()f x 最小值，空2作函数()f x 与y k =的图像，从而利用数形结合求解．【详解】1()f x x =在区间(]0,2上单调递减，当02x <≤时，1()2f x ≥；()ln f x x =在区间()2,+∞上单调递增，当2x >时，()ln 2f x >，1ln 22≤，∴函数()f x 最小值为12.作出函数1,02()ln ,2x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨⎪>⎩与y k =的图像如下，∴结合图像可知，方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围()ln 2,+∞四、解答题16．计算下列各式的值：(1)()212342716e 1+-+-；(2)2lg8lg 2lg 25log 8-+-.【正确答案】(1)13(2)1-【分析】（1）由指数幂的运算性质求解即可；（2）由对数的运算性质求解即可【详解】（1）()212342716e 1+-+-()()2134343521=+-+952113=+-+=；（2）2lg8lg 2lg 25log 8-+-3lg 2lg 22lg 53=-+-()2lg 2lg53=+-231=-=-17．已知甲乙两人的投篮命中率分别为0.80.7，，如果这两人每人投篮一次，求：（1）两人都命中的概率；（2）两人中恰有一人命中的概率.【正确答案】（1）0.56；（2）0.38.【分析】（1）利用相互独立事件概率计算公式，求得两人都命中的概率.（2）利用互斥事件概率公式和相互独立事件概率计算公式，求得恰有一人命中的概率.【详解】记事件A ，B 分别为“甲投篮命中"，“乙投篮命中”，则()0.8,()0.7P A P B ==.（1）“两人都命中”为事件AB ，由于A ，B 相互独立，所以()()()0.80.70.56P AB P A P B ==⨯=，即两人都命中的概率为0.56.（2）由于AB AB +互斥且A ，B 相互独立，所以恰有1人命中的概率为()P AB AB +0.8(10.7)(10.8)0.70.38=⨯-+-⨯=.即恰有一人命中的概率为0.38.关键点睛：本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查互斥事件概率公式，关键在于准确地理解题意和运用公式求解.18．某班倡议假期每位学生每天至少锻炼一小时.为了解学生的锻炼情况，对该班全部34名学生在某周的锻炼时间进行了调查，调查结果如下表:锻炼时长（小时）56789男生人数（人）12434女生人数（人）38621（Ⅰ）试根据上述数据，求这个班级女生在该周的平均锻炼时长;（Ⅱ）若从锻炼8小时的学生中任选2人参加一项活动，求选到男生和女生各1人的概率；（Ⅲ）试判断该班男生锻炼时长的方差21s 与女生锻炼时长的方差22s 的大小.（直接写出结果）【正确答案】（Ⅰ）6.5小时（Ⅱ）35（Ⅲ）2212s s >（Ⅰ）由表中数据计算平均数即可；（Ⅱ）列举出任选2人的所有情况，再由古典概型的概率公式计算即可；（Ⅲ）根据数据的离散程度结合方差的性质得出2212s s >【详解】（Ⅰ）这个班级女生在该周的平均锻炼时长为53687682911306.53862120⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==++++小时（Ⅱ）由表中数据可知，锻炼8小时的学生中男生有3人，记为,,a b c ，女生有2人，记为,A B 从中任选2人的所有情况为{,},{,},{,},{,}a b a c a A a B ，{,},{,},{,}b c b A b B ，{,},{,},{,}c A c B A B ，共10种，其中选到男生和女生各1人的共有6种故选到男生和女生各1人的概率63105P ==（Ⅲ）2212s s >关键点睛：在第二问中，关键是利用列举法得出所有的情况，再结合古典概型的概率公式进行求解.19．已知函数()212xf x a =++是定义在R 上的奇函数.(1)求f （x ）的解析式及值域：(2)判断f （x ）在R 上的单调性，并用单调性定义．．．．．予以证明.(3)若()3f m -不大于f （1），直接写出实数m 的取值范围.【正确答案】(1)()2112xf x =-+，()1,1-(2)单调递减，证明见解析(3)(][),44,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据定义在R 上的奇函数()00f =列方程，解方程得到1a =-，即可得到解析式，然后根据20x >和反比例函数的单调性求值域即可；（2）根据单调性的定义证明即可；（3）根据单调性解不等式即可.【详解】（1）因为()f x 为R 上的奇函数，所以()020012f a =+=+，解得1a =-，所以()2112xf x =-+，因为121x +>，所以20212x<<+，211112-<-<+x ，所以()f x 的值域为()1,1-.（2）()f x 在R 上单调递减，设12x x >，则()()()()()21121212222221112121212x x x x x x f x f x --=--+=++++，因为12x x >，所以21220x x -<，()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在R 上单调递减.（3）(][),44,m ∈-∞-+∞ .20．为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备，使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C （单位：万元）与太阳能电池板面积x （单位：平方米）之间的函数关系为()4,0105,10m xx C x m x x-⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩（m 为常数）．已知太阳能电池板面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元，安装这种供电设备的工本费为0.5x （单位：万元），记()F x 为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和.(1)求常数m 的值；(2)写出()F x 的解析式；(3)当x 为多少平方米时，()F x 取得最小值？最小值是多少万元？【正确答案】(1)80(2)()7.5160,0108000.5,10x x F x x x x-+≤≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩(3)40；40【分析】（1）根据题意可知5x =时，()12C x =，代入即可求得m 的值；（2）根据题意可知()()100.5F x C x x =+，由此化简可得；（3）分段讨论()F x 的最小值，从而得到()F x 的最小值及x 的值.【详解】（1）依题意得，当5x =时，()12C x =，因为()4,0105,10m xx C x m x x-⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，所以当010x ≤≤时，()45m x C x -=，所以45125m -⨯=，解得80m =，故m 的值为80.（2）依题意可知()()100.5F x C x x =+，又由（1）得，()804,010580,10xx C x x x-⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，所以()8047.5160,010100.5,0105800800.5,10100.5,10x x x x x F x x x x x x x -⎧-+≤≤⨯+≤≤⎧⎪⎪⎪==⎨⎨+>⎪⎪⨯+>⎩⎪⎩.（3）当010x ≤≤时，()7.5160F x x =-+，显然()F x 在[]0,10上单调递减，所以()()min 1085F x F ==；当10x >时，()8000.540F x x x =+≥=，当且仅当8000.5x x=，即40x =时，等号成立，故()min 40F x =；综上：()min 40F x =，此时40x =，所以当x 为40平方米时，()F x 取得最小值，最小值是40万元.。
海淀区高中课改水平监测
海淀区高中课改水平监测2008高一语文本试卷分为第Ⅰ卷(基础性试题)第Ⅱ卷(发展性试题)两部分。
共120分，考试时间120分钟。
第1卷(90分)一、本题共10分。
1·下列词语中，加点字的读音全都正确的一组是( )(2分)A·赎罪(shú) 教诲(huǐ) 塞责(sè) 肄业(sì)B·袅娜(niǎo) 茁壮(zhuō) 窈窕(yǎo) 蜷缩(juǎn)C·夙愿(sù) 踯躅( chú) 粗犷(kuàng) 兑现(duì)D·卓越(zhuó) 瞭望(liào) 削弱（xuē) 涸辙(hé)2·下列词语中，没有错别字的一组是( )(2分)A．帝造颓废放浪形骸偃苗助长B·坦荡退变义愤填膺豁然开朗C·提携切磋终南捷径釜底抽薪D·倩影怡误信誓旦旦背道而弛3·依次填人下列各句横线处的词语，最恰当的一组是( )(2分)(1)一线天位于石门后约200米处，窄谷两边悬崖壁立，似刀削斧劈，高不可攀，谷成一隙，天成一线，入谷寒气袭人，顿生深邃之感。
(2)平淡的日子不会永远平淡，只要怀有的心境和一生一世永不放弃的追求，定能获得生活馈赠的那份欢乐，谱写出生命最璀璨辉煌的乐章。
(3)如果一个人只为自己劳动，他也许能够成为著名学者、大哲人、诗人，他永远不能成为完美无暇的伟大人物。
A·幽静淡薄反而B·幽僻淡薄然而C·幽僻淡泊然而D·幽静淡泊反而4·下列句子中，加点成语使用恰当的一项是( )(2分)A·专家们普遍认为，不能简单地把住房间题全部推向市场，对于中低收入者来说，保障他们的居住要求，政府有着责无旁贷的责任。
B．如果一味强调“出淤泥而不染”宁可孤芳自赏也不迎合世俗，那就难免落入曲高和寡的尴尬境地，而这对文化而言是致命的，因为它失去了社会意义。
北京市海淀区2023-2024学年高一下学期期末练习(二)数学试题含答案
2023-2024学年度第二学期高一数学学科期末练习（二）（答案在最后）命题人班级姓名本试卷共三道大题，满分50分，考试时间30分钟一、选择题（共9小题，每小题4分，共36分）1.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（）A.8B.C.16D.【答案】C【解析】【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的周长即可．【详解】还原直观图为原图形如图所示，O A''=，所以O B''=，还原回原图形后，因为2=''=，2OA O A2=''=OB O B，AB==，所以6⨯+=．所以原图形的周长为2(26)16故选：C.2.下列说法不正确的是（）A.平行六面体的侧面和底面均为平行四边形B.直棱柱的侧棱长与高相等C.斜棱柱的侧棱长大于斜棱柱的高D.直四棱柱是长方体【分析】根据几何体的定义和性质依次判断每个选项判断得到直四棱柱不一定是长方体得到答案.【详解】根据平行多面体的定义知：平行六面体的侧面和底面均为平行四边形，A 正确；直棱柱的侧棱长与底面垂直，故与高相等，B 正确；斜棱柱的侧棱与高可构成以侧棱为斜边，高为直角边的直角三角形，斜边大于直角边，C 正确；当直四棱柱的底面不是长方形时不是长方体，D 错误.故选：D.3.下列命题正确的是（）A.三点确定一个平面B.梯形确定一个平面C.两条直线确定一个平面D.四边形确定一个平面【答案】B【解析】【分析】依次判断每个选项：当三点共线时不能确定一个平面，梯形上底和下底平行，能确定一个平面，两条直线异面时不能确定一个平面，空间四边形不能确定一个平面，得到答案.【详解】当三点共线时不能确定一个平面，A 错误；梯形上底和下底平行，能确定一个平面，B 正确；两条直线异面时不能确定一个平面，C 错误；空间四边形不能确定一个平面，D 错误.故选：B.4.已知点A ∈直线l ，又A ∈平面α，则（）A.//l αB.l A α=IC.l ⊂αD. l A α⋂=或 l α⊂【答案】D【解析】【分析】根据直线与平面的位置关系判断．【详解】点A ∈直线l ，又A ∈平面α，则l 与平面α至少有一个公共点，所以l A α=I 或l ⊂α．故选：D ．5.若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b c ，则直线a 与c （）A.一定平行B.一定垂直C.一定是异面直线D.一定相交【分析】根据空间中直线的位置关系分析判断.【详解】∵a ⊥b ，b c ，∴a ⊥c .故选：B.6.给定空间中的直线l 与平面α，则“直线l 与平面α垂直”是“直线l 垂直于α平面内无数条直线”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由线面垂直的性质结合两个条件之间的推出关系可得正确的选项.【详解】若直线l 与平面α垂直，由垂直的定义知，直线l 垂直于α平面内无数条直线；但是当直线l 垂直于α平面内无数条直线时，直线l 与平面α不一定垂直.所以“直线l 与平面α垂直”是“直线l 垂直于α平面内无数条直线”的充分不必要条件，故选：A7.已知,αβ是平面，m 、n 是直线，则下列命题正确的是（）A .若//,m m n α^，则//n α B.若,m m αβ⊥⊥，则//αβC.若,ααβ⊥⊥m ，则//m βD.若//,//m n αα，则//m n 【答案】B【解析】【分析】根据线面平行、线面垂直的性质依次判断每个选项得到答案.【详解】若//,m m n α^，则//n α或n ⊂α或n 与α相交，A 错误；若,m m αβ⊥⊥，则//αβ，B 正确；若,ααβ⊥⊥m ，则//m β或m β⊂，C 错误；若//,//m n αα，则//m n 或,m n 相交或,m n 异面，D 错误.故选：B.8.如图，三棱台111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为6的正三角形，且11113AA A C C C ===，平面11AA C C ⊥平面ABC ，则棱1BB =（）A.2B.C.3D.【答案】A【解析】【分析】取11,A C AC 中点分别为,M N ，连接1,,MB MN NB ,过点1B 作BN 的垂线，垂足为P ，从而在直角梯形1MNBB 求解即可.【详解】如图，取11,A C AC 中点分别为,M N ，连接1,,MB MN NB ,过点1B 作BN 的垂线，垂足为P ，因为113AA C C ==，所以MN AC ⊥，且6AC =,所以2MN ==,因为平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AA C C 平面ABC AC =，,MN AC MN ⊥⊂面11AA C C ,所以MN ⊥平面ABC ，又因为BN ⊂平面ABC ，所以MN BN ⊥，又因为在三棱台111ABC A B C -中，1//MB NB ，所以四边形1MNBB 为直角梯形，因为12NP MB ===,NB ==,所以2PB =，所以在直角三角形1BPB 中，12BB ===,故选:A.9.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11AC 的中点，Q 为线段1BC 上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点Q ，使得//PQ BDB.存在点Q ，使得PQ ⊥平面11AB C DC.三棱锥Q APD -的体积是定值D.存在点Q ，使得PQ 与AD 所成的角为π6【答案】B【解析】【分析】A 由11//BD B D 、11B D PQ P = 即可判断；B 若Q 为1BC 中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断；C 只需求证1BC 与面APD 是否平行；D 利用空间向量求直线夹角的范围即可判断.【详解】A ：正方体中11//BD B D ，而P 为线段11A C 的中点，即为11B D 的中点，所以11B D PQ P = ，故,BD PQ 不可能平行，错；B ：若Q 为1BC 中点，则1//PQ A B ，而11A B AB ⊥，故1PQ AB ⊥，又AD ⊥面11ABB A ，1A B ⊂面11ABB A ，则1A B AD ⊥，故PQ AD ⊥，1AB AD A ⋂=，1,AB AD ⊂面11AB C D ，则PQ ⊥面11AB C D ，所以存在Q 使得PQ ⊥平面11AB C D，对；C ：由正方体性质知：11//BC AD ，而1AD 面APD A =，故1BC 与面APD不平行，所以Q 在线段1BC 上运动时，到面APD 的距离不一定相等，故三棱锥Q APD -的体积不是定值，错；D ：构建如下图示空间直角坐标系D xyz -，则(2,0,0)A ，(1,1,2)P ，(2,2,)Q a a -且02a ≤≤，所以(2,0,0)DA = ，(1,1,2)PQ a a =-- ，若它们夹角为θ，则cos ||θ==令1[1,1]t a =-∈-，则cos θ==，当(0,1]t ∈，则[)11,t ∈+∞，cos (0,]6θ∈；当0=t 则cos 0θ=；当[1,0)t ∈-，则(]1,1t ∞∈--，cos (0,2θ∈；所以πcos 62=不在上述范围内，错.故选：B二、填空题（共2小题，每小题4分，共8分）10.如图，在正方体ABCD﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在面对角线AC 上运动，给出下列四个命题：①D 1P∥平面A 1BC 1；②D 1P⊥BD；③平面PDB 1⊥平面A 1BC 1；④三棱锥A 1﹣BPC 1的体积不变．则其中所有正确的命题的序号是_____．【答案】①③④【解析】【分析】利用线面平行的判定定理与性质定理，面面垂直的判定定理与三棱锥的体积公式对四个选项逐一分析判断即可．【详解】①∵在正方体中，D 1A ∥BC 1，D 1C ∥BA 1，且D 1A∩DC 1=D 1，∴平面D 1AC∥平面A 1BC 1；∵P 在面对角线AC 上运动，∴D 1P∥平面A 1BC 1；∴①正确．②当P 位于AC 的中点时，D 1P⊥BD 不成立，∴②错误；③∵A 1C 1⊥平面BDD 1B 1；∴A 1C 1⊥B 1D，同理A 1B ⊥B 1D ，∴B 1D⊥平面A 1BC 1，∴平面BDD 1B⊥面ACD 1，∴平面PDB 1⊥平面A 1BC 1；∴③正确．④三棱锥A 1-BPC 1的体积等于B-A 1PC 1的体积，△A 1PC 1的面积为定值12A 1C 1•AA 1，B 到平面A 1PC 1的高为BP 为定值，∴三棱锥A 1-BPC 1的体积不变，∴④正确．故答案为①③④．【点睛】本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系及体积，突出考查面面平行的判定定理与性质定理，考查面面垂直的判定定理，考查几何体的体积运算.11.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S 滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周．①圆锥的母线长为9；②圆锥的表面积为36π；③圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角为60︒；④圆锥的体积为，其中所有正确命题的序号为______________．【答案】①②【解析】【分析】利用圆锥在平面内转回原位置求解以S 为圆心，SA 为半径的圆的面积，再求解圆锥的侧面积，根据圆锥本身恰好滚动了3周列出方程求解结果；利用圆锥的表面积公式进行计算；圆锥的底面圆周长即为圆锥侧面展开图（扇形）的弧长，根据弧长公式求解圆心角；求解圆锥的高，利用圆锥体积公式求解．【详解】解：设圆锥的母线长为l ，以S 为圆心，SA 为半径的圆的面积为2πl ，圆锥的侧面积为π3πrl l =，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则2π9πl l =，所以圆锥的母线长为9l =，故①正确；圆锥的表面积23π9π336π⨯+⨯=，故②正确；圆锥的底面圆周长为2π36π⨯=，设圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角为rad α，则6π9α=，解得2π3α=，即120α=︒，故③错误；圆锥的高h ===，所以圆锥的体积为2211ππ333V r h ==⨯⨯=，故④错误．故答案为：①②．三、解答题12.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，P ，Q 分别为1A B ，1CC 的中点.（1）证明：//PQ 平面AB C ；（2）证明：平面1A BQ ⊥平面11AA B B .请在下列证明过程中的横线上填上推理的依据.【解答】（1）证明：取AB 的中点D ，连接PD 、CD ，因为P ，Q 分别为1A B ，1CC 的中点，所以1PD AA ∥且112PD AA =，又三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱，所以1CQ AA ∥，112CQ AA =，所以PD CQ ∥且PD CQ =，所以PDCQ 为平行四边形，所以PQ CD ∥，又因为PQ ⊂/平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以//PQ 平面ABC （①定理）.（2）证明：在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥，又1AA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以1CD AA ⊥，1AA AB A = ，1AA ，AB ⊂平面11ABB A ，所以CD ⊥平面11ABB A （②定理）.又CD PQ ∥，所以PQ ⊥平面11ABB A ，又PQ ⊂平面1A BQ ，AA B B（③定理）.所以平面1A BQ 平面11【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】根据题意，由线面平行的判定定理以及线面与面面垂直的判定定理，即可得到结果.【小问1详解】①线面平行的判定定理【小问2详解】②线面垂直的判定定理③面面垂直的判定定理。
北京市海淀区高一下学期中考试数学试题(解析版)
一、单选题1．在平面直角坐标系中，点位于第（ ）象限. sin100,cos 0()20P ︒︒A ．一 B ．二 C ．三 D ．四【答案】D【分析】由钝角的正弦值大于0，再由诱导公式得，即可得到答案.0cos 200< 【详解】， ()sin1000,cos 200cos 18020cos 200︒︒︒︒︒>=+=-< ∴点位于第四象限．()sin100,cos 200P ︒︒故选：D ．【点睛】本题考查三角函数值的符号、诱导公式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．2．在中，“是“”的( )ABC A sin A 4A π=A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据正弦函数的性质和充分和必要条件的概念即可判断．【详解】在中，或，ABC A sin A =4A π=34π∴在中，“是“”的必要不充分条件，ABC A sin A =4A π=故选：B ．3．下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ） πA ．B ． πcos 2()2y x =+sin y x =C ． D ．tan y x =cos3y x =【答案】B【分析】化简并判断的奇偶性，判断A ；利用图像可判断B ；根据函数奇偶性判断πcos 2(2y x =+C ；根据函数的最小正周期可判断D.【详解】对于A ，为奇函数，不符合题意；πcos(2sin 22y x x =+=-对于B ，作出的图象如图：sin y x =可知函数最小正周期为，且为偶函数，符合题意； sin y x =π对于C ，为奇函数，不符合题意； tan y x =对于D ，的最小正周期为，不符合题意， cos3y x =2π3故选：B4．一个扇形的圆心角为150°，面积为，则该扇形半径为（ ） 53πA ．4B ．1CD ．2【答案】D【分析】利用扇形的面积公式：，即可求解. 212S R α=⋅【详解】圆心角为，设扇形的半径为， 51506πα==R ， 2215152326S R R ππα=⋅⇒=⨯解得. 2R =故选：D【点睛】本题考查了扇形的面积公式，需熟记公式，属于基础题.5．已知，则的值为（ ）1tan 3α=-2cos sin cos ααα-+A ． B ．C ．D ．3-34-43-34【答案】A【解析】利用同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】由，1tan 3α=-得. 2cos 2232sin cos 1tan 3αααα---===-++故选：A.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系.属于容易题. 6．将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则函数的解析式是（ ）()sin 2f x x =6π()g x A ．B ．()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．D ．()sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论． 【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，()sin 2f x x =6π可得.()sin 2()sin(263g x x x ππ=-=-故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.7．已知向量，，，则向量与的夹角为（）2a = 1b = 2a b -= a bA ．B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】C【分析】将平方，求得，再根据向量的夹角公式即可求得答案.2a b -= a b ⋅【详解】由题意向量，，，2a = 1b =2a b -= 则，即， 2212a b -= 224412a b a b +-⋅=所以，44412,1a b a b +-⋅=∴⋅=-故，而， 1cos ,2||||a b a b a b ⋅〈〉==-⋅0,180a b ≤≤故，,120a b 〈〉=故选：C8．如图所示，一个大风车的半径为，每旋转一周，最低点离地面，若风车翼片从最8m12min 2m 低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系P ()h m ()min t 是A ．B ．8cos106h t π=+8cos103h t π=-+C ．D ．8sin 106h t π=-+8cos106h t π=-+【答案】D【分析】由题意得出的最大值和最小值，以及最小正周期，可求出、、的值，再将点h T A B ω代入函数解析式求出的值，由此可得出与之间的函数关系式.()0,2ϕh t 【详解】由题意可得，，，，，max 18h =min 2h =12T =max min 82h h A -∴==max min 102h hB +==，，当时，，得， 26T ππω==8sin 106t h πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭0=t 8sin 102ϕ+=sin 1ϕ=-，可取，所以，故选D.sin 1ϕ=-2πϕ=-8sin 108cos 10626h t t πππ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查函数的解析式，基本步骤如下： ()()()sin 0,0f x A x b A ωϕω=++>>（1）求、：，；A b ()()max min2f x f x A -=()()max min2f x f x b +=（2）求：根据题中信息得出最小正周期，可得出； ωT 2Tπω=（3）求初相：将对称中心点、最高点或最低点代入函数解析式可求出的值.ϕϕ9．在中， ，，为线段的三等分点，则ABC A AB AC AB AC +=-4, 2AB AC =＝, E F BC ＝( ) AE AF ⋅A ．B ． 1094C ．D ．409569【答案】C【分析】根据题意得出⊥，建立平面直角坐标系，表示出、，求出数量积的AB AC AE AF AE AF ⋅值．【详解】中，||＝||， ABC A AB AC + AB AC -∴22， 2AB +AB ⋅22AC AC AB +=- AB ⋅2AC AC + ∴0，AB ⋅AC =∴⊥，AB AC 建立如图所示的平面直角坐标系，由E ，F 为BC 边的三等分点，则A （0，0），B （0，4），C （2，0），E （，），F （，），23834343∴（，），（，），AE = 2383AF = 4343∴+．AE 2433AF ⋅=⨯3398440⨯=故选：C10．已知动点，，O 为坐标原点，则当时，下列说法正确()111,cos P x x ()222,cos P x x 1211x x -≤≤≤的是（ ）A ．有最小值1B ．有最小值，且最小值小于11OP 1OPC ．恒成立D ．存在，使得120OP OP ⋅≥1x 2x 122OP OP ⋅≥【答案】A【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算，结合三角函数的性质，代入计算即可得到结果.【详解】由题意知，当时， 1211x x -≤≤≤()22222111111cos 1sin OP f x x x x x ==+=+- ，()()11111sin sin x x x x =++-因为函数为偶函数，所以只考虑的情形即可， ()1f x 101x ≤≤又因为，所以，11sin 0x x ≥≥()()()111111sin sin 1f x x x x x =++-≥即有最小值1，所以A 正确，B 错误； 1OP 又因为，121212cos cos OP OP x x x x ⋅=+当时，，所以C 错误； 12ππ,22x x =-=2212ππππcos cos 04224OP OP ⎛⎫⋅=-+-=-< ⎪⎝⎭ 又因为，，但与不可能同时为，121x x ≤12cos cos 1x x ≤2x 2cos x 1而，所以，所以D 错误； 1211x x -≤≤≤121212cos cos 2OP OP x x x x ⋅=+<故选:A二、填空题11．______． sin 20cos10cos160sin10︒︒-︒︒=【答案】/0.5 12【分析】用诱导公式变形后由两角和的正弦公式计算．【详解】， 1sin 20cos10cos160sin10sin 20cos10cos 20sin10sin(2010)sin 302︒︒-︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=故答案为：．1212．已知角的终边与单位圆交于点，则________．α3,5P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭sin tan αα⋅【答案】1615-【分析】根据题意，由条件可得，再由三角函数的定义即可得到结果. 21625y =【详解】由题意可得，，则，22315y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭21625y =由三角函数的定义可得. 216sin tan 331555y y y αα⋅=⋅==-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为： 1615-13．若实数，满足方程组，则的一个值是________．αβ1cos cos sin sin αβαβ+=⎧⎨=⎩β【答案】（答案不唯一） π3【分析】结合题意利用同角三角函数的平方关系可求得，即可求得答案. 1cos 2β=【详解】由可得，1cos cos sin sin αβαβ+=⎧⎨=⎩cos cos 1sin sin αβαβ=-⎧⎨=⎩故，即得， 2222sin cos sin (cos 1)1ααββ+=+-=1cos 2β=故的一个值可以取， βπ3故答案为：（答案不唯一） π314．已知，，，则________304παβ∈，（，）3sin()5αβ+=-12sin()413πβ-=cos()4πα-=【答案】3365【分析】由诱导公式将化为，再由，根据两角差的cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭()44ππααββ⎛⎫+=+-- ⎪⎝⎭正弦公式，即可求出结果.【详解】因为，所以，，304παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，302παβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，442πππβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又，，所以，，()3sin 5αβ+=-12sin 413πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭32，παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭042ππβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以，，所以()4cos 5αβ+=-5cos 413πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()()()3541cos sin sin cos cos sin 4444451351sin πππππαααββαββαββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=+--=+--+-=-⨯--⨯⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故答案为3365【点睛】本题主要考查简单的三角恒等变换，熟记两角差的正弦公式以及诱导公式，即可求解，属于常考题型.三、双空题15．已知函数，任取，定义集合： ()πsin2x f x =t ∈R，点，满足(){t A y y f x ==()(),P t f t ()(),Q x f x PQ ≤设，分别表示集合中元素的最大值和最小值，记， 则 t M t m t A ()t t h t M m =-（1）函数的最大值是______； ()h t （2）函数的单调递增区间为______． ()h t 【答案】2()21,2k k k Z -∈，【解析】作出函数的图象，分当点P 在A 点时，当点P 在曲线上从A 接近B 时，当点P 在()f x B 点时，当点P 在曲线上从B 接近C 时，当点P 在C 点时，当点P 在曲线上从C 接近D 时，当点P 在D 点时，当点P 在曲线上从D 接近E 时，分析的值和变化，从而得出的,t t M m ()t t h t M m =-值和变化，可得答案.【详解】函数，函数的最小正周期为T=4，点P (),Q ()，如图()πsin 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭π,sin 2t t ⎛⎫⎪⎝⎭π,sin 2x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭所示：当点P 在A 点时，点Q 在曲线OAB 上，,； 1,0t t M m ==()1t t h t M m =-=当点P 在曲线上从A 接近B 时，减小，所以逐渐增大； 1,t t M m =()t t h t M m =-当点P 在B 点时，,，1,1t t M m ==-()2t t h t M m =-=当点P 在曲线上从B 接近C 时，减小，所以逐渐减小； 1,t t m M =-()t t h t M m =-当点P 在C 点时，，；0,1t t M m ==-()1t t h t M m =-=当点P 在曲线上从C 接近D 时，增大，所以逐渐增大； 1,t t m M =-()t t h t M m =-当点P 在D 点时，，；1,1t t M m ==-()2t t h t M m =-=当点P 在曲线上从D 接近E 时，增大,逐渐减小，1,t t M m =()t t h t M m =-依次类推，得函数的最大值是， 的单调递增区间为， ()h t 2()h t ()21,2k k k Z -∈，故答案为：2；.()21,2k k k Z -∈，【点睛】本题考查正弦函数的周期性，最值，单调性，关键在于理解题目所给的条件，属于较难题.四、解答题16．已知函数． 2()cos sin 1f x x x =+-(1)当时，求函数的值； π6x =()y f x =(2)求不等式的解集． ()0f x ≥【答案】(1)14(2)[2π,2ππ],Z k k k +∈【分析】（1）利用同角三角函数关系式化简可得，代入求值可得答案；211()(sin 24f x x =--+（2）利用（1）中结论，由不等式可得，结合正弦函数性质即可求得答案. ()0f x ≥0sin 1x ≤≤【详解】（1）由题意可得22()cos sin 1sin sin f x x x x x =+-=-+，211(sin )24x =--+故当时，； π6x =24π6111()(sin 24f x =--+=（2）由可得，()0f x ≥211111(sin )0,sin 24222x x --+≥∴-≤-≤即，故, 0sin 1x ≤≤2π2ππ,Z k x k k ≤≤+∈故不等式的解集为.()0f x ≥[2π,2ππ],Z k k k +∈17．在平面直角坐标系中,已知三点为坐标原点， ()()()1,0,,2,2,,,A B t C t t O -∈R (1)若是为直角的直角三角形，求的值；ABC A B ∠t (2)若四边形是平行四边形，求的最小值. ABCD OD【答案】(1) 1t =【分析】（1）利用向量垂直解得即可；0AB BC ⋅=（2）由题意得，求得的坐标，利用模长公式即可得出结论.AD BC =D ()1,2D t t --【详解】（1）由题意得，()()()1,2,3,1,2,2AB t AC BC t t =+==--u u u r u u u r u u u r若，则，即，90B Ð=°0AB BC ⋅=()()()12220t t t +-+-=解得或，2t =1t =当，则，不合题意；2t =0BC =u u u r r当，则，符合题意； 1t =()1,1BC =-u u u r综上所述：.1t =（2）设点的坐标为，可得，D (),x y ()1,AD x y =+若四边形是平行四边形，则，ABCD ()2,2AD BC t t ==--u u u r u u u r所以，则，即，122x ty t +=-⎧⎨=-⎩12x t y t =-⎧⎨=-⎩()1,2D t t --可得， ()1,2OD t t =--u u u r则OD ===u u u r所以当时，取得最小值. 32t =OD18．已知函数，．π()sin 14f x x x ⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭x ∈R (1)请化简为正弦型函数，并求函数的单调递增区间；()f x (2)求函数在区间上的最值，及取得最值时x 的值．()f x ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(3)若，都有恒成立，求实数m 的取值范围．12ππ,,44x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦12()()f f x x m -≤【答案】(1)；π())4f x x =-π3π[π,π+],Z 88k k k -∈(2)最大值为1，此时；最小值为，此时；π4x =π8x =-(3) [1)+∞【分析】（1）根据三角函数的二倍角公式结合辅助角公式化简可得，结合正π()4f x x =-弦函数的单调性即可求得答案；（2）根据时，确定的范围，结合正弦函数的性质即可求得答案；ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦π24x -（3）由，都有恒成立，可得，结合（2）12ππ,,44x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦12()()f f x x m -≤max min ()()f m x f x -≤的结论，即可求得答案.【详解】（1）因为 π()sin 1cos )]14f x x x x x x ⎛⎫=⋅-+=-+ ⎪⎝⎭ 22sin cos 2cos 1sin 2cos 2x x x x x =-+=-,π)4x =-令，则， πππ2π22π+,Z 242k x k k -≤-≤∈π3πππ+,Z 88k x k k -≤≤∈故函数的单调递增区间为.()f x π3π[π,π+],Z 88k k k -∈（2）当时，，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦4π3ππ2,44x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦由于在单调递减，在单调递增， sin y x =,23ππ4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ππ,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当，即时，,取得最小值 ππ242x -=-π8x =-πsin(2)14x -=-()f x 当时，； 4π234πx -=-()1f x =-当，即时，取得最大值； ππ244x -=π4x =()f x 1（3）若，都有恒成立， 12ππ,,44x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦12()()f f x x m -≤即，max min ()()f m x f x -≤由（2）可知max min ()1,()f x f x ==故，即实数m 的取值范围为.1m ≥+[1)+∞19．对于定义域R 上的函数，如果存在非零常数T ，对任意，都有成()f x x ∈R ()()f x T Tf x +=立，则称为“T 函数”．()f x (1)设函数，判断是否为“T 函数”，说明理由；()f x x =()f x (2)若函数（且）的图象与函数的图象有公共点，证明：为“T 函数”；()x g x a =0a >1a ≠y x =()g x (3)若函数为“T 函数”，求实数m 的取值范围．()cos h x mx =【答案】(1)不是“T 函数”，理由见解析；()f x x =(2)证明见解析(3)|π,Z}{m m k k =∈【分析】（1）根据“T 函数”的定义判断是否满足该定义，即可得结论；()f x x =（2）只需证明满足“T 函数”定义，即可得结论；()g x （3）根据函数为“T 函数”，可得恒成立，即可推得()cos h x mx =cos )c (os mx mT T mx +=，即可求得答案.cos ,sin 0mT T mT ==【详解】（1）若函数是“T 函数”，则对于，恒有,()f x x =x ∈R ()()f x T Tf x +=即恒成立，故恒成立，x T Tx +=()1T x T -=由于，上式不可能恒成立，x ∈R 故不是“T 函数”；()f x x =（2）证明：函数（且）的图象与函数的图象有公共点，显然， ()x g x a =0a >1a ≠y x =0x ≠即存在非零常数T ，使得，T a T =所以恒成立，()f x T +=()x T T x x a a a Ta Tf x +===故为“T 函数”.()x g x a =（3）若函数是“T 函数”，则,()cos h x mx =()()f x T Tf x +=即恒成立，())cos cos (m x T T mx +=故恒成立，cos )c (os mx mT T mx +=即恒成立，cos cos sin sin cos mx mT mx mT T mx -=即有，cos ,sin 0mT T mT ==故，1,π,Z T m k k =±=∈即实数m 的取值范围是.|π,Z}{m m k k =∈【点睛】关键点睛：本题是给出函数的新定义，由此去判断求解问题，解答本题的关键就是要理解函数的新定义，明确其含义，依此去判断解决问题.。
2023_2024学年北京市海淀区高一上册期中数学模拟测试卷(附答案)
1 / 15给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；3 / 15（2）当车流密度为多大时，车流量可以达到最大？并求出最大值．（车流量指：x ()()f x x v x =⋅单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）．20．已知二次函数.()()22,R f x x bx c b c =++∈(1)若函数的零点是和1，求实数b ，c 的值；()f x 1-(2)已知，设、关于x 的方程的两根，且，求实数223c b b =++1x 2x ()0f x =()()12118x x ++=b 的值；(3)若满足，且关于x 的方程的两个实数根分别在区间，()f x ()10f =()0f x x b ++=()3,2--内，求实数b 的取值范围.()0,121．对于区间[a,b](a<b),若函数同时满足：①在[a,b]上是单调函数，②函数()y f x =()f x 在[a,b]的值域是[a,b]，则称区间[a,b]为函数的“保值”区间()y f x =()f x （1）求函数的所有“保值”区间2y x =（2）函数是否存在“保值”区间？若存在，求的取值范围，若不存在，说明()2y x m m 0=+≠m 理由1 / 153 / 1510．C【分析】根据图象可知盈利额与观影人数y 分析即可得出答案.【详解】由图象(1)可设盈利额与观影人数y 显然，，为票价.0k >0b <k 当时，，则为固定成本.0k =y b =b -5 / 157 / 159 / 15若，此时函数区间，此时的取值范围是11 / 15。
2023-2024学年北京市海淀区高一下学期7月期末考试数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市海淀区高一下学期7月期末考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足，则z的虚部为()A. B.2 C. D.i2.已知向量，则()A.0B.C.D.3.函数的部分图象如图所示，则其解析式为()A. B.C. D.4.若，且，则()A. B. C. D.75.在中，点D满足，若，则()A. B. C.3 D.6.已知，则下列直线中，是函数对称轴的为()A. B. C. D.7.在平面直角坐标系xOy中，点，点，其中若，则()A. B. C. D.8.在中，已知则下列说法正确的是()A.当时，是锐角三角形B.当时，是直角三角形C.当时，是钝角三角形D.当时，是等腰三角形9.已知是非零向量，则“”是“对于任意的，都有成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.定义域为、的函数的图象的两个端点分别为点是的图象上的任意一点，其中，点N满足向量，点O为坐标原点．若不等式恒成立，则称函数在上为k函数．已知函数在上为k函数，则实数k的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.知复数z满足，则__________，__________.12.在中，，P满足，则__________.13.在中，若，则k的一个取值为__________；当时，__________.14.一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点A，B，如图，相邻两观测点之间的距离为200m，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为，，，根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为___________________15.已知函数，给出下列四个结论：①对任意的，函数是周期函数；②存在，使得函数在上单调递减；③存在，使得函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；④对任意的，记函数的最大值为，则其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共4小题，共48分。
北京市海淀区高中课改水平监测高一数学试卷
北京市海淀区高中课改水平监测高一数学试卷参考答案卷一一、选择题二、填空题 11.34π； 12. 2 ； 13. 4 ； 14. 8，()2sin()44f x x ππ=+； 三、解答题15．解：(Ⅰ)∵(31,42)(2,2)AB =--=, ………………………………1分(51,02)(4,2),AC =--=-…………………………….…..2分∴ AB == ………………………………4分AC ===……………………………….6分(Ⅱ) 易知 4.AB AC ⋅=………………………………..8分cos ,cos 10AB AC AB AC BAC AB AC⋅<>=∠==……………………… .12分 16．解： 1sin 3a =-,且a 为第三象限角.cos α∴= ……………………………3分(Ⅰ)sin 22sin cos 9ααα==……………………………7分(Ⅱ)原式=tan .4α=……………………………12分17.解： ()sin cos 2f x x x x =1sin 222x x = ……………………………1分 sin(2)3x π=+……………………………2分（Ⅰ）∴T .π= …………………………… 4分 (Ⅱ)当22,()32x k k Z πππ+=+∈时，即,()12x x x k k Z ππ⎧⎫∈=+∈⎨⎬⎩⎭时， ……………………………6分 ∴max () 1.f x = ……………………………7分(Ⅲ)当3222,()232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈时，函数单调递减. 即 7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦为此函数的单调递减区间. ….……………….…10分 卷二一、填空题1．tan75°> sin75°> cos75°； 2．32 3．cos x ； 4．[12,)+∞； 二、解答题5. 解:(Ⅰ) cos 2α=725 ……………………………3分 (Ⅱ) βsin =2425…………………………… 6分注:注意公式变换正确建议可给出相应分数,但是sin(αβ+)=35说理不清扣1分.6． (Ⅰ)证明：令0x y ==，得 (0)2(0)(1)f f f =，所以(0)0f =或1(1)2f =. ……1分令0,1x y ==，得22(1)[(0)][(1)]f f f =+. 若1(1)2f =，则1(0)2f =±. 令12x y ==，得21(1)2[()]2f f =.即1()2f ＝12±，因为()f x 在[0,1]上单调递增，所以(0)f <1()(1)2f f <，矛盾！因此(0)0f =，2(1)[(1)]f f =，(1)1f =. ……………………….3分（Ⅱ） ()f x 是奇函数 ……………………….…………………….4分令y x =-，得f f x f x f x f x =++--(0)()(1)(1)().…………① 令1y =，得(1)()(0)(1)(1)(1)f x f x f f x f f x +=+-=-.…② 即对于任意的x R ∈，恒有(1)(1)f x f x -=--， 代入①式得对于任意的x R ∈，恒有()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数. ……………6分（Ⅲ）由（Ⅱ）可得()(2)(2)(4)(4)f x f x f x f x f x =-=--=--=-，即：函数()f x 的最小正周期为4.令13x y ==，212()2()()333f f f =，因为2()(0)0,3f f >=，所以11()32f =. 由②得:51()32f =.根据函数在[-2，2]的图象以及函数的周期性， 观察得 ，若1(21)2f x -≥， 则k x k k Z +≤-≤+∈154214,33， 所以k x k k Z +≤≤+∈2422,33,2422,33x xk x k k Z ⎧⎫∈+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭…………………8分注：若有其他解法，请按相应步骤酌情给分.。
北京市海淀区2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)
C．{x∣1 x 2}
D．{x∣1 x 2}
2．下列函数中，是奇函数且在区间 0, 上单调递增的是（ ）
1
A． f x x2
B． f x x2
C． f x 1
x
D． f x x3
3．某学校想了解高一学生社会实践项目的选择意向，采用分层抽样的方式抽取 100 人
进行问卷调查.已知高一年级有 270 名男生，从男生中抽取了 60 名，则该校高一年级共
5
5
(1)从中选择的两个条件的序号为_____，依所选择的条件求得 b ____， a ____；
(2)利用单调性定义证明函数
g
t
2 t
t
在
0,
上单调递减；
(3)在（1）的情况下，若方程 f x m 4x 在0,1 上有且只有一个实根，求实数 m 的取
值范围.
19．设函数 y f x 的定义域为 M ，且区间 I M ，对任意 x1, x2 I 且 x1 x2 ，记
【详解】因为函数 f x 在区间 1,2 上的图像是连续不断的， 由零点存在性定理，可知由 f 1 f 2 0 可得函数 f x 在区间 (1, 2) 上有零点， 即由函数 f x 在区间 (1, 2) 上没有零点，可得 f 1 f 2 0 ，
答案第 3页，共 12页
根据幂函数的性质，可得函数 f x x3 在区间 0, 上为单调递增函数，符合题意.
故选：D.
3．B
【分析】由题可得
100 n
60 270
，进而即得.
【详解】设该校高一年级共有学生 n 人，
由题可知 100 60 ， n 270
解得 n 450 (人).
故选：B.
4．B
北京市海淀区高一数学必修五水平监测试题(第二学期期中考试)
海淀区高一数学水平监测试题2008、04、23卷一一. 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 在等差数列3, 7, 11 …中,第5项为( C )A. 15B.18C.19D.23 2. 数列}{n a 中, 如果n a =3n （n =1, 2, 3, …） ，那么这个数列是（ C ） A. 公差为2的等差数列 B. 公差为3的等差数列 C. 首项为3的等比数列 D. 首项为1的等比数列3.等差数列}{n a 中, 384362=+=+a a a a ,, 那么它的公差是（ B ） A. 4 B.5 C.6 D.74. △ABC 中, ∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a , b , c .若3,4a b ==,∠C= 60, 则c .的值等于（ C ）A. 5B. 13C.13D.37 5. 数列}{n a 满足111,21n n a a a +==+（N n +∈）, 那么4a 的值为( C ) A. 4 B. 8 C. 15 D. 31 6. △ABC 中, 如果cos A cos B cosCa b c==, 那么△ABC 是（ B ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 7. 如果00>>>t b a ,, 设tb ta Nb a M ++==,, 那么（ A ） A. N M > B. N M <C. N M =D. M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 8. 如果}{n a 为递增数列,则}{n a 的通项公式可以为( D ) A. 32+-=n a n B. 132+-=n n a n C. n n a 21=D. 21log n a n =+9. 如果0<<b a , 那么（ C ）A. 0>-b aB. bc ac <C.ba 11> D. 22b a < 10.我们用以下程序框图来描述求解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的过程. 令a=2, b=4,若(0,1)c ∈，则输出区间的形式为（ B ）A.MB. NC.PD.∅二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 11.已知x 是4和16的等差中项,则x =___10___ 12.一元二次不等式26x x <+的解集为__(2,3)-___ 13. 函数()(1),(0,1)f x x x x =-∈的最大值为___14______14. 在数列{}n a 中,其前n 项和32n n S k =⋅+,若数列{}n a 是等比数列，则常数k 的值为 -3 三.解答题.2)(,)x +∞)(,2ba-+∞15.三角形ABC 中，3,7==AB BC ，且53sin sin =B C . （Ⅰ）求AC ； （Ⅱ）求A ∠.解：（Ⅰ）由正弦定理得：sin 3535sin sin sin 53AC AB AB C AC B C AC B ⨯=⇒==⇒== --------------------------6分 （Ⅱ）由余弦定理得：222925491cos 22352AB AC BC A AB AC +-+-∠===-⋅⨯⨯,所以120A ∠=︒。
海淀高一下数学期末考试试卷
海淀区高中课改水平监测高一数学2010.7学校 班级 姓名本试卷分卷一、卷二两部分，共100分，考试时间90分钟.卷一（70分）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若a 、b 为异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是( )A ．相交B ．异面C ．平行D ．异面或相交2. 直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（ ）A.(3,-1)B.(-1,3)C.(-3,-1)D.(3,1)3. 下列命题正确的是( )A ．棱柱的底面一定是平行四边形B ．棱锥的底面一定是三角形C ．棱台的底面是两个相似的正方形D ．棱台的侧棱延长后必交于一点4. 直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（ ）A. a=2,b=5;B. a=2,b=5-;C. a=2-,b=5;D. a=2-,b=5-.5. 给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两条直线互相平行；③若直线l 1，l 2与同一平面所成的角相等，则l 1，l 2互相平行；④若直线l 1，l 2是异面直线，则与l 1，l 2都相交的两条直线是异面直线．其中假．命题的个数是( ) A.1 B ．2 C ．3 D ．46. 圆C 1: 1)2()2(22=-++y x 与圆C 2:(x-2)²+(y-5)²=16的位置关系是（ ）A.外离B.相交C.内切D.外切7. 如图，正方体AC 1中，点P 在侧面BB 1C 1C 上运动，并且保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 中点连成的线段8. 将正三棱柱截去三个角(如图1所示A 、B 、C 分别是△GHI 三边的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( )图1 图2二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.1. 圆x 2+y 2-4x-2y-5=0的圆心坐标是____________2. 两平行直线0962043=-+=-+y x y x 与的距离是 。
2024届北京海淀中关村中学数学高一下期末质量检测试题含解析
2024届北京海淀中关村中学数学高一下期末质量检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列各角中，与126°角终边相同的角是（ ） A ．126-B ．486C ．244-D ．5742．设,,a b c ∈R ，且a b c >>，则下列各不等式中恒成立的是（ ） A ．ac bc >B ．b c >C ．22a b >D ．a c b c +>+3．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，，依次输入的为2，2，5，则输出的（ ）A ．7B ．12C ．17D ．344．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11m a =，21121m S -=，则m 的值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．65．已知圆锥的母线长为8，底面圆周长为6π，则它的体积是( ) A ． 955πB ． 55C ． 355D ． 355π6．阅读如图所示的程序框图，当输入5n =时，输出的S =（ ）A ．6B ．4615C ．7D ．47157．观察下列几何体各自的三视图，其中有且仅有两个视图完全相同的是（ ）①正方体 ②圆锥 ③正三棱柱 ④正四棱锥 A ．①②B ．②④C ．①③D ．①④8．已知函数1()sin 123f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭，那么下列式子：①(2)(2)f x f x ππ+=-；②10()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭；③(2)(2)f x f x ππ+=-；④2()3f x f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；其中恒成立的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④9．ABC ∆中，3,,4sin sin 3a Ab Bc C π===，则cos C （ ）A ．32B ．3C ．3或32D ．010．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为ˆy=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ）C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2023-2024学年北京市海淀区高一下学期阶段性诊断考试质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年北京市海淀区高一下册阶段性诊断考试数学试题一、单选题1．sin 210= A．2B．2-C ．12D ．12-【正确答案】D【详解】试题分析：()1sin 210sin 18030sin 302=+=-=-诱导公式2．如图，在平行四边形ABCD 中，AC AB -=（）A ．CB B ．ADC ．BD D ．CD【正确答案】B【分析】根据向量运算得AC AB AD -=.【详解】由图知AC AB BC AD -==，故选：B.3．在ABC中，AB =45A =o ，75C =，则BC =（）A．3BC ．2D．3【正确答案】A【分析】直接根据正弦定理求出BC ．【详解】在ABC ∆中，A ︒=45，∴75C ︒=．由正弦定理得BC ABsinA sinC=，∴ABsinA BC sinC ==3．故选A ．解三角形时注意三角形中的隐含条件，如三角形的内角和定理，三角形中的边角关系等，解题时要灵活应用．同时解三角形时还要根据所给出的边角的条件，选择运用正弦定理还是余弦定理求解．4．把函数sin y x =的图像上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是A ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】根据左右平移和周期变换原则变换即可得到结果.【详解】sin y x =向左平移3π个单位得：sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭横坐标缩短为原来的12得：sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭本题正确选项：C本题考查三角函数的左右平移变换和周期变换的问题，属于基础题.5．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（）A ．1B CD ．2【正确答案】B【详解】构造函数，根据辅助角公式，对函数的解析式进行化简，再根据正弦函数求出其最值，即可得到答案．则可知()sin cos sin 4F x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，F （x故|MN|,故选B6．若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥ ，则向量a 与b 的夹角为A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【正确答案】C【详解】试题分析：根据题意，由于||1,||2a b →→==，且2·0()·0·0a b c c a c a a b a a b a +=⊥⇔=⇔+=⇔+=，结合向量的数量积公式可知··cos b a b a θ= ，解得其向量,b a →→的夹角为1200，故选C.向量的数量积点评：主要是考查了向量的数量积的垂直的充要条件的运用，属于基础题．7．函数()()2sin f x x ωϕ=+0ω>2πϕ<的部分图象如图所示，则()f π=（）A ．B ．C D 【正确答案】A由函数()f x 的部分图像得到函数()f x 的最小正周期，求出ω，代入5,212π⎛⎫⎪⎝⎭求出ϕ值，则函数()f x 的解析式可求，取x π=可得()f π的值.【详解】由图像可得函数()f x 的最小正周期为521212T πππ⎡⎤⎛⎫=⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则22T πω==.又5552sin 22sin 212126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则5sin 16⎛⎫+= ⎪⎝⎭πϕ，则5262k ϕπ=π+π+，Z k ∈，则23k πϕπ=-，Z k ∈，22ππϕ-<< ，则0k =，3πϕ=-，则()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2sin 22sin 33f ππππ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭.故选：A.方法点睛：根据三角函数()()sin 0,0,2f x A x b A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图像求函数解析式的方法：（1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=；（3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.8．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边位于第一象限，且与单位圆O 交于点P ，PM x ⊥轴，垂足为M .若OMP 的面积为625，则sin2α=（）A ．625B ．1225C ．1825D ．2425【正确答案】D【分析】由三角函数的定义结合三角形面积列出方程，再由倍角公式求出答案.【详解】由三角函数的定义可知：cos ,sin OM PM αα==，故511cos s 62in 22OM PM αα⋅==，故51sin 2462α=，解得.sin2α=2425故选：D9．在ABC 中，“对于任意1t ≠，BA tBC AC ->”是“ABC 为直角三角形”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】设BD tBC = ，根据平面向量的运算可得DA AC > ，从而可得π2C =；若ABC 为直角三角形，不一定有π2C =，根据充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】设BD tBC =，则BA tBC BA BD DA --== ，所以BA tBC AC ->即为DA AC > ，所以AC 是边BC 上的高，即CA CB ⊥,即π2C =,故ABC 为直角三角形.若ABC 为直角三角形，不一定有π2C =，故不一定有BA tBC AC -> .所以“对于任意1t ≠，BA tBC AC -> ”是“ABC 为直角三角形”的充分而不必要条件.故选:A.10．已知向量,,a b c 满足()()1,,,04a b a b c a c b π===-⋅-=，则c r 的最大值是（）A 1-BCD 1【正确答案】C【分析】把,a b 平移到共起点以b 的起点为原点，b 所在的直线为x 轴，b的方向为x 轴的正方向，求出,a b 的坐标，则根据()()0c a c b -⋅-= 得c的终点得轨迹，根据c r 的意义求解最大值.【详解】把,a b 平移到共起点，以b 的起点为原点，b 所在的直线为x 轴，b的方向为x 轴的正方向，见下图，设,,OB b OA a OC c ===，则,c a AC c b BC-=-= 又()()0c a c b AC BC -⋅-=∴⊥则点C 的轨迹为以AB 为直径的圆，又因为2,1,,,4a b a b π=== 所以()()1,01,1B A 故以AB 为直径的圆为()2211124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，所以c r 的最大值就是以AB 为直径的圆上的点到原点距离的最大值，所以最大值为2211511222+⎛⎫++= ⎪⎝⎭故选：C 二、填空题11．已知4sin 5α=，2απ<<π，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________．【正确答案】2101210【分析】利用三角函数的基本关系式中的平方关系及角的范围求得3cos 5α=-，再利用余弦的和差公式展开即可求解.【详解】因为4sin 5α=，2απ<<π，所以23cos 1sin 5αα=--=-，故32422cos cos cos sin sin 444525210πππααα⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为.21012．在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则角B =_______．【正确答案】3π【详解】试题分析：根据三角形的正弦定理sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则可知ABC ∆的三个角所对应的三个边的比::5:7:8a b c =，根据三角形的余弦定理，则有222cos 2a c b B ac+-=12=，故3B π=．1．正弦定理；2．余弦定理．三、双空题13．已知函数()3sin cos f x x x =-，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______；若将()f x 的图象向左平行移动π6个单位长度得到()g x 的图象，则()g x 的一个对称中心为______.【正确答案】1()0,0(答案不唯一)【分析】化简()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，代入即可求出π3f ⎛⎫⎪⎝⎭；由三角函数的平移变换求出()g x ，再由三角函数的性质求出()g x 的对称中心，即可得出答案.【详解】()3sin cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2sin 1336f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将()f x 的图象向左平行移动π6个单位长度得到()g x 的图象，则()2sin 2sin 66g x x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以()g x 的对称中心为(),0k π.故()g x 的一个对称中心为()0,0.故1；()0,0(答案不唯一).四、填空题14．在菱形ABCD 中，若BD 3=CB DB ⋅的值为______．【正确答案】32【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分，则cos BC CBD BO ∠=，结合平面向量的数量积公式计算即可．【详解】菱形ABCD 中，BD 3=AC BD ⊥可得cos BC CBD BO ∠=则33 322CB DB BC BD BC BD cos CBD BO BD ⋅=⋅=⨯⨯∠=⨯== ，故答案为32．本题考查了平面向量的数量积计算问题，由菱形的性质得到cos BC CBD BO ∠= 是解题的关键，属于基础题．15．已知()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，则ω=______.【正确答案】143【分析】由题意可得函数的图象关于直线4x π=对称，再根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，可得()32432k k πππωπ+=+∈Z ，由此求得ω的值．【详解】依题意，当6324x πππ+==时，y 有最小值，即sin 143ππω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()32432k k πππωπ+=+∈Z ，所以()1483k k ω=+∈Z .因为()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，所以342T πππω-≤=，即12ω≤，令0k =，得143ω=.故143五、解答题16．如图，在ABC 中，11,32AM AB BN BC == .设,AB a AC b ==.(1)用,a b 表示,BC MN；(2)若P 为ABC 内部一点，且51124AP a b =+.求证：,,M P N 三点共线.【正确答案】(1)BC b a =- ，1126b MN a=+(2)证明见解析【分析】（1）由图中线段的位置及数量关系，用,AC AB 表示出,BC MN，即可得结果；（2）用,a b 表示AM AN +，得到AM AP AN λμ=+ ，根据向量共线的结论1λμ+=即证结论.【详解】（1）由题图，BC AC AB b a =-=-，121211()232326BN BM BC AB b a a b a MN =-=+=-+=+ .（2）由1111151()3323262AM AN AB AC CN AB AC BC a b b a a b +=++=+-=+--=+，又51124AP a b =+，所以1122AM AP AN =+ ，故,,M P N 三点共线.17．已知函数()222sin cos sin 222x x f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【正确答案】(1)π(2)最大值为2，最小值为【分析】（1）根据三角恒等变换可得π()2sin(2)3f x x =-，结合公式2T ωπ=计算即可求解；（2）根据题意可得ππ2π2[,]333x -∈-，结合正弦函数的单调性，进而得出函数()f x 的最值.【详解】（1）()222sin cos sin 222x x f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin cos 2x x x =，1πsin 222sin 222sin(2)23x x x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭则2ππT ω==，所以函数()f x 的最小正周期为π；（2）因为π[0,]2x ∈，所以ππ2π2[,]333x -∈-，而函数sin y x =在ππ(,)32-上单调递增，在π2π(,)23上单调递减，当ππ232x -=，即5π12x =时，函数()f x 取得最大值为2；当233x -=-ππ，即0x =时，(0)f =，当π2π233x -=，即π2x =时，()2f π=，所以当0x =时函数()f x取得最小值为故函数()f x 取得最大值为2，函数()f x取得最小值为18．在ABCsin cos C c A =，2c =.(1)求A ∠；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上高线的长.条件①：2sin C a=；条件②：1b =条件③.a =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【正确答案】(1)π6；(2)选②，2.【分析】（1sin sin cos A C C A =，从而tan A =（2）选①：由正弦定理得2πsin sin 6aC=，求得1sin C a =，从而确定三角形不存在；选②：由余弦定理求得a =再利用等面积法可求解；选③：由正弦定理可求得sin C =进而求得π4C =或3π4，不满足题意.【详解】（1sin cos C c A =，sin sin cos A C C A =，又sin 0C ≠cos A A =，即tan 3A =，因为(0,π)A ∈，所以π6A =.（2）若选条件①：2sin C a=，由正弦定理知22πsin sin 6aa C ==,可得1sin C a =，故满足所选条件的三角形不存在，不满足题意；若选条件②：1b =由余弦定理可得，22222cos (1a b c bc A =+-=222(122+-⨯=，即a =.设BC 边上的高为h ，由等面积法可知11csin 22ABC S b A ah == ,即12(12⨯+⨯=，解得h =故BC边上高线的长为2.若选条件③：a =sin sin a c A C=2sin 2C =，所以sin 2C =，可得π4C =或3π4，有两解，不符合题意.综上，应该选②，BC边上高线的长为2.19．设有限集合{}1,2,3,,E N = ，对于集合{}123,,,,，m A E A x x x x ⊆= ，给出两个性质：①对于集合A 中任意一个元素k x ，当1k x ≠时，在集合A 中存在元素()i j x x i j ≤，，使得k i j x x x =+，则称A 为E 的封闭子集；②对于集合A 中任意两个元素()，i j x x i j ≠，都有i j x x A +∉，则称A 为E 的开放子集.(1)若20N =，集合{}{}*1,2,4,6,8,1031,6,A B xx k k k ===+≤∈N ，∣，判断集合A B ，为E 的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论）(2)若1001100，，N A A =∈∈，且集合A 为E 的封闭子集，求m 的最小值；(3)若*N ∈N ，且N 为奇数，集合A 为E 的开放子集，求m 的最大值.【正确答案】(1)A 为E 的封闭子集，B 为E 的开放子集(2)9(3)12N +【分析】对于（1），利用封闭子集，开放子集定义可得答案；对于（2），{}2311100,,,,,m A x x x -= ，设2311100m x x x -<<<<< .因集合A 中任意一个元素k x ，当1k x ≠时，在集合A 中存在元素()i j x x i j ≤，，使得k i j x x x =+，则1112n n n x x x --+≤≤，其中2，N n m n *≤≤∈.据此可得7764100x ≤≤<，得7m >，后排除m =8，再说明m =9符合题意即可；对于（3），因*N ∈N ，且N 为奇数，当1N =时，得1m =；当3N ≥，将{}1,2,3,,E N = 里面的奇数组成集合A ，说明集合A 为E 开放子集，且12N m +=为最大值即可.【详解】（1）对于A ，因2114226248261028，，，，=+=+=+=+=+，且A E ⊆，则A 为E 的封闭子集；对于B ，由题可得{}4,7,10,13,16,19B =，注意到其中任意两个元素相加之和都不在B 中，任意元素也不是其他两个元素之和，且B E ⊆，故B 为E 的开放子集；（2）由题：{}2311100,,,,,m A x x x -= ，设2311100m x x x -<<<<< .因集合A 中任意一个元素k x ，当1k x ≠时，在集合A 中存在元素()i j x x i j ≤，，使得k i j x x x =+，则1112n n n x x x --+≤≤，其中2,,，N n n m n x *⎡⎤∈∈⎣⎦.得22x =，34538164， 4， 5x x x ≤≤≤≤≤≤，6632x ≤≤，7764x ≤≤.因7764100x ≤≤<，则7m >.若8m =，则8100x =，则在A 中存在元素()i j x x i j ≤，，使它们的和为100.又2311100m x x x -<<<<< ，则当i j <时，6796100i j x x x x ≤+≤<+，得877250x x x =⇒=，则在A 中存在元素()i j x x i j ≤，，使它们的和为50.又当i j <时，654850i j x x x x ≤≤<++，得766225x x x =⇒=，则在A 中存在元素()i j x x i j ≤，，使它们的和为25.注意到25奇数，且452425i j x x x x ≤≤<++，故不存在元素()i j x x i j ≤，，使6i j x x x =+，这与集合A 为E 的封闭子集矛盾，故8m ≠.当9m =，取{}124816326496100,,,,,,,,A =，易得其符合E 的封闭子集的定义，故m 的最小值为9；（3）因*N ∈N ，且N 为奇数，当1N =时，得1m =；当3N ≥，将{}1,2,3,,E N = 里面的奇数组成集合A ，则{}1357,,,,A N = ，因A 中每个元素都是奇数，而任意两个奇数之和为偶数，且A E ⊆，则A 为E 开放子集，此时集合A 元素个数为12N +.下面说明12N +为m 最大值.1N =时，显然成立；当3N ≥，若12N m +>，则A 中至少有一个属于{}1,2,3,,E N = 的偶数，设为t a ，则21t a N ≤≤-，得1t a +为属于集合{}1357,,,,,t N a 中的奇数，这与E 开放子集的定义矛盾，故12N m +≤.综上：m 的最大值为12N +.关键点点睛：本题考查集合新定义，难度较大.（1）问主要考查对于定义的理解；（2）问从定义出发，得到7764100x ≤≤<，得7m >，继而结合定义分析出8m ≠；（3）问，由任意两个奇数之和为偶数可构造出集合A.。
2023-2024学年北京市海淀区高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一、选择题：共14小题，每小题4分，共56分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1．已知全集U ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A ＝{﹣2，﹣1，0}，则∁U A ＝（ ） A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，2）D ．（1，2）2．某学校有高中学生1500人，初中学生1000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查，已知在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中抽取了（ ） A ．150人B ．200人C ．250人D ．300人3．命题p ：“∃x ∈R ，x +2≤0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x +2≤0 B ．∃x ∈R ，x +2≥0 C ．∀x ∈R ，x +2＞0D ．∃x ∈R ，x +2＞04．方程组{x +y =0x 2+x =2的解集是（ ）A ．{（1，﹣1），（﹣1，1）}B ．{（1，1），（﹣2，2）}C ．{（1，﹣1），（﹣2，2）}D ．{（2，﹣2），（﹣2，2）}5．某部门调查了200名学生每周的课外活动时间（单位：h ），制成了如图所示的频率分布直方图，其中课外活动时间的范围是[10，20]，并分成[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]五组．根据直方图，判断这200名学生中每周的课外活动时间不少于14h 的人数是（ ）A ．56B ．80C ．144D ．1846．若实数a ，b 满足a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．|a |＞|b |B ．a +c ＞b +cC ．a 2＞b 2D ．ac 2＞bc 27．函数f （x ）＝2x +2x 的零点所在的区间为（ ） A ．（0，1）B ．（﹣1，0）C ．（1，2）D ．（2，3）8．在同一个坐标系中，函数f （x ）＝log a x ，g （x ）＝a ﹣x ，h （x ）＝x a 的部分图象可能是（ ）A．B．C．D．9．下列函数中，既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递减的是（）A．f(x)=√x B．f（x）＝﹣x|x|C．f(x)=1x2+1D．f（x）＝x310．已知a＝20.1，b＝log2√3，c=log3√2，则实数a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c11．已知函数f(x)=12x+1−a2，则“a＝1”是f（x）为奇函数的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．已知函数f（x）＝log2（x+1）+x﹣2，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣1，1）C．（0，1）D．（1，+∞）13．科赫（Koch）曲线是几何中最简单的分形，科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线…在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成．若r D=1N，则称D为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形气维数是（）A ．log 23B ．log 32C ．1D ．2log 3214．已知函数f(x)={x +a ，x ≤ax 2，x ＞a ，若存在非零实数x 0，使得f （﹣x 0）＝﹣f （x 0）成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0]B ．(−∞，14]C ．[4，0]D ．[−2，14]二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分 15．函数f （x ）＝lg （x ﹣1）的定义域是 ．16．已知幂函数f （x ）的图象经过点（2，8），则f （x ）＝ ．17．农科院作物所为了解某种农作物的幼苗质量，分别从该农作物在甲、乙两个不同环境下培育的幼苗中各随机抽取了15株幼苗进行检测，量出它们的高度如图（单位：cm ）：记该样本中甲、乙两种环境下幼苗高度的中位数分别为a ，b ，则|a ﹣b |＝ ．若以样本估计总体，记甲、乙两种环境下幼苗高度的标准差分别为s 1，s 2，则s 1 s 2（用“＜，＞或＝”连接）．18．已知函数f(x)=x +4x−a 没有零点，则a 的一个取值为 ；a 的取值范围是 ．19．已知函数f(x)={2x ，x ≥0−x 2，x ＜0，则f （x ）的单调递增区间为 ；满足|f （x ）|＜4×104的整数解的个数为 ．（参考数据：lg 2≈0.30）20．共享单车已经逐渐成为人们在日常生活中必不可少的交通工具．通过调查发现人们在单车选择时，可以使用“Tullock 竞争函数”进行近似估计，其解析式为S(x)=x ax a +(1−x)a ，x ∈[0，1]，a ＞0（其中参数a 表示市场外部性强度，a 越大表示外部性越强）．给出下列四个结论： ①S （x ）过定点(12，12)；②S （x ）在[0，1]上单调递增； ③S （x ）关于x =12对称；④取定x ，外部性强度a 越大，S （x ）越小． 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题：共64分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．21．（12分）化简求值：（Ⅰ）(49)0.5+(6427)13+(0.1)−0.2−3π0（Ⅱ）5log32−log3329+5log5322．（12分）已知一元二次方程2x2+3x﹣2＝0的两个实数根为x1，x2．求值：（1）x12+x22；（2）1x1+1x2．23．（9分）国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类．其中“A：革命遗址及革命纪念建筑物”、“B：石窟寺”、“C：古建筑及历史纪念建筑物”、“D：石刻及其他”、“E：古遗址”、“F：古墓葬”，北京的18个“第一批文保单位”所在区分布如下表：（Ⅰ）某个研学小组随机选择北京市“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑物”的概率；（Ⅱ）小王同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“A：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观：小张同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观．两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率；（Ⅲ）现在拟从北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查，记抽到海淀区的概率为P1，抽不到海淀区的概率记为P2，试判断P1和P2的大小（直接写出结论）．24．（9分）已知集合A={x|x2−x−2＜0}，B={x||x−52|≥32}．（Ⅰ）求A∪B，A∩∁R B；（Ⅱ）记关于x的不等式x2﹣（2m+4）x+m2+4m≤0的解集为M，若B∪M＝R，求实数m的取值范围．25．（11分）已知函数f（x）＝ln（1﹣x）+kln（1+x），请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题：条件①：f（x）+f（﹣x）＝0条件②：f（x）﹣f（﹣x）＝0注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分．（Ⅰ）求实数k的值；（Ⅱ）设函数F（x）＝（1﹣x）（1+x）k，判断函数F（x）在区间上（0，1）的单调性，并给出证明；（Ⅲ）设函数g（x）＝f（x）+x k+2|k|，指出函数g（x）在区间（﹣1，0）上的零点的个数，并说明理由．26．（11分）已知函数f（x），g（x），h（x）的定义域均为R，给出下面两个定义：①若存在唯一的x∈R，使得f（g（x））＝h（f（x）），则称g（x）与h（x）关于f（x）唯一交换；②若对任意的x∈R，均有f（g（x））＝h（f（x）），则称g（x）与h（x）关于f（x）任意交换．（Ⅰ）请判断函数g（x）＝x+1与h（x）＝x﹣1关于f（x）＝x2是唯一交换还是任意交换，并说明理由；（Ⅱ）设f（x）＝a（x2+2）（a≠0），g（x）＝x2+bx﹣1，若存在函数h（x），使得g（x）与h（x）关于f（x）任意交换，求b的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若g（x）与f（x）关于ω(x)=e x−1e x+1唯一交换，求a的值．2023-2024学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共14小题，每小题4分，共56分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1．已知全集U ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A ＝{﹣2，﹣1，0}，则∁U A ＝（ ） A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，2）D ．（1，2）解：∵全集U ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A ＝{﹣2，﹣1，0}，∴∁U A ＝{1，2}． 故选：B ．2．某学校有高中学生1500人，初中学生1000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查，已知在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中抽取了（ ） A ．150人B ．200人C ．250人D ．300人解：由题意可知，抽样比为1001000=110，所以在高中学生中抽取的人数为1500×110=150人．故选：A ．3．命题p ：“∃x ∈R ，x +2≤0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x +2≤0 B ．∃x ∈R ，x +2≥0 C ．∀x ∈R ，x +2＞0D ．∃x ∈R ，x +2＞0解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论， 命题p ：∃x ∈R ，x +2≤0，则命题p 的否定是：∀x ∈R ，x +2＞0． 故选：C ．4．方程组{x +y =0x 2+x =2的解集是（ ）A ．{（1，﹣1），（﹣1，1）}B ．{（1，1），（﹣2，2）}C ．{（1，﹣1），（﹣2，2）}D ．{（2，﹣2），（﹣2，2）}解：解{x +y =0x 2+x =2得，{x =−2y =2或{x =1y =−1，∴原方程组的解集为：{（1，﹣1），（﹣2，2）}． 故选：C ．5．某部门调查了200名学生每周的课外活动时间（单位：h ），制成了如图所示的频率分布直方图，其中课外活动时间的范围是[10，20]，并分成[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]五组．根据直方图，判断这200名学生中每周的课外活动时间不少于14h 的人数是（ ）A．56B．80C．144D．184解：每周的课外活动时间不少于14h的频率为2×（0.16+0.12+0.08）＝0.72，故所求人数N＝0.72×200＝144，故选：C．6．若实数a，b满足a＞b，则下列不等式成立的是（）A．|a|＞|b|B．a+c＞b+c C．a2＞b2D．ac2＞bc2解：由a＞b，取a＝1，b＝﹣1，则可排除A，C，当c＝0时，ac2＝bc2，故D错误，由a＞b，可得a+c＞b+c，故B正确．故选：B．7．函数f（x）＝2x+2x的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（﹣1，0）C．（1，2）D．（2，3）解：函数定义域为R，且在R上单调递增，＜0，f（﹣1）•f（0）＜0f（0）＝1＞0，f（﹣1）＝2﹣1﹣2=−32所以函数在（﹣1，0）有唯一零点，故选：B．8．在同一个坐标系中，函数f（x）＝log a x，g（x）＝a﹣x，h（x）＝x a的部分图象可能是（）A．B．C ．D ．解：当a ＞1时，A 中，g （x ）＝a ﹣x应该单调递减，而h （x ）＝x a 在（0，1）应该在y ＝x 的下方，所以A 不正确； C 中，g （x ）＝a﹣x应该单调递减，而h （x ）＝x a 在（0，1）应该在y ＝x 的下方，f （x ）＝log a x 的图象应该单调递增，所以C 不正确；B 中，h （x ）＝x a 在（0，1）应该在y ＝x 的下方，所以B 不正确； D 中，f （x ）＝log a x 的图象应该单调递增，所以D 不正确；当0＜a ＜1时，A 中f （x ）＝log a x 的图象应该单调递减，所以A 不正确； B 中，g （x ）＝a﹣x应该单调递增，f （x ）＝log a x 的图象应该单调递减，所以B 不正确；C 中，三个图象正确；D 中，g （x ）＝a﹣x应该单调递增，h （x ）＝x a 应该在（0，1）在y ＝x 的上方，所以D 不正确．综上所述：只有0＜a ＜1时C 正确． 故选：C ．9．下列函数中，既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递减的是（ ） A ．f(x)=√x B ．f （x ）＝﹣x |x |C ．f(x)=1x 2+1 D ．f （x ）＝x 3解：在A 中，f （x ）=√x 的定义域为{x |x ≥0}，定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，故A 错误； 在B 中，f （x ）＝﹣x |x |的定义域为R ，f （﹣x ）＝x |x |＝﹣g （x ），是奇函数，x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2在（0，+∞）上单调递减，故B 正确； 在C 中，f （x ）=1x 2+1是偶函数，故C 错误；在D 中，f （x ）＝x 3是奇函数，在（0，+∞）上单调递增，故D 错误． 故选：B ．10．已知a ＝20.1，b ＝log 2√3，c =log 3√2，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c解：由20.1＞20，得a ＝20.1＞1，又log 2√2＜log 2√3＜log 22，得12＜b ＜1，由log 3√2＜log 3√3，得c ＜12，综上可得a ＞b ＞c ．故选：D ． 11．已知函数f(x)=12x+1−a2，则“a ＝1”是f （x ）为奇函数的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：∵函数f(x)=12x+1−a2的定义域为R ， ∴f （x ）为奇函数，可得f （0）＝0，解得a ＝1，当a ＝1时，f （x ）=12x +1−12，f （﹣x ）+f （x ）=12−x +1−12+12x +1−12=2x2x +1−12+12x +1−12=0，故f （x ）为奇函数．∴“a ＝1”是f （x ）为奇函数的充要条件． 故选：C ．12．已知函数f （x ）＝log 2（x +1）+x ﹣2，则不等式f （x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（﹣1，1）C ．（0，1）D ．（1，+∞）解：函数f （x ）＝log 2（x +1）+x ﹣2的定义域为（﹣1，+∞），因为y ＝log 2（x +1）在（﹣1，+∞）上单调递增，y ＝x ﹣2在（﹣1，+∞）上单调递增， 所以f （x ）在（﹣1，+∞）上单调递增， 又因为f （1）＝log 22+1﹣2＝0，且f （x ）＜0，所以f （x ）＜f （1），所以{x ＞−1x ＜1，所以不等式f （x ）＜0的解集为（﹣1，1）．故选：B ．13．科赫（Koch ）曲线是几何中最简单的分形，科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线…在分形中，一个图形通常由N 个与它的上一级图形相似，且相似比为r 的部分组成．若r D =1N，则称D 为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形气维数是（ ）A ．log 23B ．log 32C ．1D ．2log 32解：根据题意，n 级科赫曲线是由把上一级的科赫曲线全体缩小13的4个相似图形构成的，即r =13，N ＝4，若r D =1N ，即（13）D =14，则D ＝log r （1N）＝log 34＝2log 32．故选：D ．14．已知函数f(x)={x +a ，x ≤ax 2，x ＞a ，若存在非零实数x 0，使得f （﹣x 0）＝﹣f （x 0）成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0]B ．(−∞，14]C ．[4，0]D ．[−2，14]解：∵x 0和﹣x 0同属于（﹣∞，a ]或（a ，+∞）时，都不可能有f （﹣x 0）＝﹣f （x 0）， ∴﹣x 0≤a 且x 0＞a ，或x 0≤a 且﹣x 0＞a ， ①当﹣x 0≤a 且x 0＞a 时，则﹣x 0＜x 0， ∴x 0＞0，若存在非零实数x 0，使得f （﹣x 0）＝﹣f （x 0）成立，则﹣x 0+a =−x 02， 即a =−x 02+x 0=−（x 0−12）2+14，∵x 0＞0，∴﹣（x 0−12）2+14≤14，∴a ≤14，①当x 0≤a 且﹣x 0＞a 时，则﹣x 0＞x 0，∴x 0＜0，若存在非零实数x 0，使得f （﹣x 0）＝﹣f （x 0）成立，则（﹣x 0）2＝﹣（x 0+a ）， 即a =−x 02−x 0=−（x 0+12）2+14，∵x 0＜0，∴﹣（x 0+12）2+14≤14，∴a ≤14，综上所述，实数a 的取值范围是（﹣∞，14]．故选：B ．二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分 15．函数f （x ）＝lg （x ﹣1）的定义域是 {x |x ＞1} ．解：要使函数有意义，则有x ﹣1＞0，解得，x ＞1，∴函数的定义域是{x |x ＞1}， 故答案为：{x |x ＞1}．16．已知幂函数f （x ）的图象经过点（2，8），则f （x ）＝ x 3 ． 解：设幂函数f （x ）＝x α，把点（2，8）代入函数的解析式可得2α＝8， 解得 α＝3，故函数的解析式为f （x ）＝x 3，故答案为 x 3．17．农科院作物所为了解某种农作物的幼苗质量，分别从该农作物在甲、乙两个不同环境下培育的幼苗中各随机抽取了15株幼苗进行检测，量出它们的高度如图（单位：cm ）：记该样本中甲、乙两种环境下幼苗高度的中位数分别为a ，b ，则|a ﹣b |＝ 3 ．若以样本估计总体，记甲、乙两种环境下幼苗高度的标准差分别为s 1，s 2，则s 1 ＞ s 2（用“＜，＞或＝”连接）．解：对空①：由题意得甲环境的幼苗高度为：31，32，33，33，35，43，44，45，49，55，57，58，59，63，65，其中位数a ＝45，乙环境的幼苗高度为：37，43，44，45，45，47，48，48，49，52，54，54，55，58，60，其中位数b ＝48，所以|a ﹣b |＝|45﹣48|＝3；对空②：甲环境下的幼苗平均高度为：115（31+32+33+33+35+43+44+45+49+55+57+58+59+63+65）＝46.8，s 1=√115[(31−46.8)2+(32−46.8)2+(33−46.8)2+⋯+(65−46.8)2]≈1171，乙环境下的幼苗平均高度为115（37+43+44+45+45+47+48+48+49+52+54+54+55+58+60）=73915，所以s 2=√115[(37−73915)2+(43−73915)2+(44−73915)2+⋯+(60−73915)2]≈599， 所以S 1＞S 2． 故答案为：3；＞．18．已知函数f(x)=x +4x−a 没有零点，则a 的一个取值为 0（答案不唯一） ；a 的取值范围是 （﹣4，4） ．解：函数y ＝x +4x ，当x ＞0时，y ≥2√x ⋅4x =4，当且仅当x ＝2时取等号，当x ＜0时，y ≤﹣4，所以函数f(x)=x +4x−a 没有零点，则a 的一个取值为0（答案不唯一）；a 的取值范围是（﹣4，4）．故答案为：0（答案不唯一）；（﹣4，4）．19．已知函数f(x)={2x ，x ≥0−x 2，x ＜0，则f （x ）的单调递增区间为 （﹣∞，+∞） ；满足|f （x ）|＜4×104的整数解的个数为215．（参考数据：lg2≈0.30）解：当x≥0时，f（x）＝2x，单调递增，当x＜0时，f（x）＝﹣x2，单调递增，又∵0＜20＝1，∴f（x）在R上单调递增，即f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），当x≥0时，f（x）＝2x，由|f（x）|＜4×104，可得2x＜4×104，∴x＜log2(4×104)=2+4lg2≈15.33，∴0≤x＜15.33，又∵x∈Z，∴x的个数为16个，当x＜0时，f（x）＝﹣x2，由|f（x）|＜4×104，可得x2＜4×104，∴﹣200＜x＜200，又∵x＜0，∴﹣200＜x＜0，又∵x∈Z，∴x的个数为199个，综上所述，满足|f（x）|＜4×104的整数解的个数为16+199＝215个．故答案为：（﹣∞，+∞）；215．20．共享单车已经逐渐成为人们在日常生活中必不可少的交通工具．通过调查发现人们在单车选择时，可以使用“Tullock竞争函数”进行近似估计，其解析式为S(x)=x ax a+(1−x)a，x∈[0，1]，a＞0（其中参数a表示市场外部性强度，a越大表示外部性越强）．给出下列四个结论：①S（x）过定点(12，12)；②S（x）在[0，1]上单调递增；③S（x）关于x=12对称；④取定x，外部性强度a越大，S（x）越小．其中所有正确结论的序号是①②．解：对于①，在S（x）中，令x=12，则S(12)=(12)a2×(12)a=12，过定点(12，12)，故①正确；对于②，S(x)=x ax a+(1−x)a=11+(1−xx)a=11+(1x−1)a，令g(x)=(1x−1)a，当x∈（0，1]，则g（x）≥0，且由基本初等函数及复合函数的单调性知g（x）在（0，1]上单调递减，则S（x）在[0，1]上单调递增，故②正确；对于③，由②知S（x）在[0，1]上单调递增，故在[0，1]不存在对称轴，故③错误；对于④，方法一：由①知当x=12时，S（x）=12，与a的取值无关，故④错误．方法二：以a为自变量，设S（x）为T（a），则T′(a)=[x(1−x)]a[x a+(1−x)a]2lnx1−x，∵a＞0，故[x(1−x)]a[x a+(1−x)a]2＞0，T′(a)的正负取决于ln x1−x，当x1−x＜1，即0＜x＜12时，T′（a）＜0，随着a的增大，S（x）减小，当x1−x＞1，即12＜x＜1时，T′（a）＞0，随着a的增大，S（x）增大，故④错误．故答案为：①②．三、解答题：共64分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．21．（12分）化简求值：（Ⅰ）(49)0.5+(6427)13+(0.1)−0.2−3π0（Ⅱ）5log32−log3329+5log53解：（Ⅰ）(49)0.5+(6427)13+(0.1)−0.2−3π0=23+43+√105−3=√105−1．（Ⅱ）5log32−log3329+5log53=log3(32×932)+3=5．22．（12分）已知一元二次方程2x2+3x﹣2＝0的两个实数根为x1，x2．求值：（1）x12+x22；（2）1x1+1x2．解：由题意可得x1+x2=−32，x1⋅x2=−1．（1）x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−32)2−2×(−1)=94+2=178；（2）1x1+1x2=x1+x2x1x2=−32−1=32．23．（9分）国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类．其中“A：革命遗址及革命纪念建筑物”、“B：石窟寺”、“C：古建筑及历史纪念建筑物”、“D：石刻及其他”、“E：古遗址”、“F：古墓葬”，北京的18个“第一批文保单位”所在区分布如下表：（Ⅰ）某个研学小组随机选择北京市“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑物”的概率；（Ⅱ）小王同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“A：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观：小张同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观．两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率；（Ⅲ）现在拟从北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查，记抽到海淀区的概率为P1，抽不到海淀区的概率记为P2，试判断P1和P2的大小（直接写出结论）．解：（Ⅰ）设选中参观单位恰好为“ C ：古建筑及历史纪念建筑物”为事件A，由题意知总共有18，“ C ：古建筑及历史纪念建筑物”有12，所以P（A）=1218=23；（Ⅱ）设两人选择的参观单位恰好在同一个区为事件B，由题意可知小王参观“A：革命遗址及革命纪念建筑物”与小张参观“C：古建筑及历史纪念建筑物”在同一个区的只有东城区，所以小王参观东城区景区的概率为34，小张参观东城区景区的概率为512，所以P （B ）=34×512=516； （Ⅲ）当抽到的2个都是海淀区的概率为212×111=166，当抽到的2个中有1个是海淀区的概率为212×1011=1066=533， 所以P 1=166+533=16，P 2＝1−16=56， 所以P 1＜P 2．24．（9分）已知集合A ={x|x 2−x −2＜0}，B ={x||x −52|≥32}．（Ⅰ）求A ∪B ，A ∩∁R B ；（Ⅱ）记关于x 的不等式x 2﹣（2m +4）x +m 2+4m ≤0的解集为M ，若B ∪M ＝R ，求实数m 的取值范围． 解：（Ⅰ）∵x 2﹣x ﹣2＜0，解得﹣1＜x ＜2， ∴A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，∵|x −52|≥32，解得x ≥4或x ≤1，∴B ＝{x |x ≤1或x ≥4}，∴A ∪B ＝{x |x ＜2或x ≥4}， ∵∁R B ＝{x |1＜x ＜4}， ∴A ∩∁R B ＝{x |1＜x ＜2}．（Ⅱ）∵关于x 的不等式x 2﹣（2m +4）x +m 2+4m ≤0的解集为M ， 由x 2﹣（2m +4）x +m 2+4m ≤0，得m ≤x ≤m +4， ∴M ＝{x |m ≤x ≤m +4}，∵B ∪M ＝R ，∴{m ≤1m +4≥4，解得0≤m ≤1，∴实数m 的取值范围是{m |0≤m ≤1}．25．（11分）已知函数f （x ）＝ln （1﹣x ）+kln （1+x ），请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题： 条件①：f （x ）+f （﹣x ）＝0 条件②：f （x ）﹣f （﹣x ）＝0注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分． （Ⅰ）求实数k 的值；（Ⅱ）设函数F （x ）＝（1﹣x ）（1+x ）k ，判断函数F （x ）在区间上（0，1）的单调性，并给出证明； （Ⅲ）设函数g （x ）＝f （x ）+x k +2|k |，指出函数g （x ）在区间（﹣1，0）上的零点的个数，并说明理由．解：（Ⅰ）令{1−x ＞01+x ＞0，解得﹣1＜x ＜1，所以函数f （x ）的定义域为（﹣1，1），若选①因为f （x ）+f （﹣x ）＝0，即f （x ）为奇函数，则ln （1﹣x ）+kln （1+x ）+ln （1+x ）+kln （1﹣x ）＝0，所以（1+k ）ln （1﹣x 2）＝0， 因为对任意x ∈（﹣1，1）上式均成立，所以1+k ＝0，解得k ＝﹣1； 若选②因为f （x ）﹣f （﹣x ）＝0，即f （x ）为偶函数，则ln （1﹣x ）+kln （1+x ）﹣[ln （1+x ）+kln （1﹣x ）]＝0，所以(1−k)ln 1−x1+x=0， 因为对任意x ∈（﹣1，1）上式均成立，可得1﹣k ＝0，解得k ＝1． （Ⅱ）若选①则k ＝﹣1，可得F(x)=(1−x)(1+x)−1=1−x 1+x =21+x−1， 则函数F （x ）在区间（0，1）上单调递减，证明如下： 对任意x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2， 则F(x 1)−F(x 2)=(21+x 1−1)−(21+x 2−1)=21+x 1−21+x 2=2(x 2−x 1)(1+x 1)(1+x 2)， 因为0＜x 1＜x 2＜1，则1+x 1＞0，1+x 2＞0，x 2﹣x 1＞0， 所以F （x 1）﹣F （x 2）＞0，即F （x 1）＞F （x 2）， 所以函数F （x ）在区间（0，1）上单调递减；若选②则k ＝1，可得F （x ）＝（1﹣x ）（1+x ）＝1﹣x 2， 则函数F （x ）在区间（0，1）上单调递减，证明如下： 对任意x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2，则F(x 1)−F(x 2)=(1−x 12)−(1−x 22)=x 22−x 12=(x 1+x 2)(x 2−x 1)，因为0＜x 1＜x 2＜1，则x 1+x 2＞0，x 2﹣x 1＞0， 所以F （x 1）﹣F （x 2）＞0，即F （x 1）＞F （x 2）， 所以函数F （x ）在区间（0，1）上单调递减．（Ⅲ）若选①则k ＝﹣1，则g(x)=f(x)+1x +2=ln 1−x 1+x +1x+2，由（Ⅱ）可知，F(x)=1−x1+x在（0，1）内单调递减，且y ＝lnx 在定义域内单调递增， 则f(x)=ln(1−x)−ln(1+x)=ln1−x1+x在（0，1）内单调递减， 又f （x ）为奇函数，则f （x ）在（﹣1，0）内单调递减，且y =1x 在（﹣1，0）内单调递减，则g （x ）在（﹣1，0）内单调递减，结合g(−12)=ln3＞0，g(−110)=ln 119−8＜0，可知g （x ）在（﹣1，0）内有且仅有一个零点；若选②则k＝1，则g（x）＝f（x）+x+2＝ln（1﹣x2）+x+2，由（Ⅱ）可知，F（x）＝1﹣x2在（0，1）内单调递减，且y＝lnx在定义域内单调递增，则f（x）＝ln（1﹣x）+ln（1+x）＝ln（1﹣x2）在（0，1）内单调递减，又f（x）为偶函数，则f（x）在（﹣1，0）内单调递增，且y＝x+2在（﹣1，0）内单调递增，则g（x）在（﹣1，0）内单调递增，结合g(−12)=ln34+32＞ln1e+32=12＞0，g(−99100)=ln19910000+101100＜ln1e2+2=0，可知g（x）在（﹣1，0）内有且仅有一个零点．26．（11分）已知函数f（x），g（x），h（x）的定义域均为R，给出下面两个定义：①若存在唯一的x∈R，使得f（g（x））＝h（f（x）），则称g（x）与h（x）关于f（x）唯一交换；②若对任意的x∈R，均有f（g（x））＝h（f（x）），则称g（x）与h（x）关于f（x）任意交换．（Ⅰ）请判断函数g（x）＝x+1与h（x）＝x﹣1关于f（x）＝x2是唯一交换还是任意交换，并说明理由；（Ⅱ）设f（x）＝a（x2+2）（a≠0），g（x）＝x2+bx﹣1，若存在函数h（x），使得g（x）与h（x）关于f（x）任意交换，求b的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若g（x）与f（x）关于ω(x)=e x−1e x+1唯一交换，求a的值．解：（Ⅰ）g（x）与h（x）关于f（x）是唯一交换，理由如下：因为f（g（x））＝（x+1）2，h（f（x））＝x2﹣1，令f（g（x））＝h（f（x）），所以（x+1）2＝x2﹣1，解得x＝﹣1，所以f（g（x））＝h（f（x））有唯一解x＝﹣1，所以g（x）与h（x）关于f（x）是唯一交换．（Ⅱ）由题意可知，对任意的x∈R，f（g（x））＝h（f（x））成立，即对任意的x∈R，a[（x2+bx﹣1）2+2]＝h（a（x2+2））；因为h（x）为函数，且h（a（（﹣x）2+2））＝h（a（x2+2）），故b＝0，故a[（x2﹣1）2+2]＝h（a（x2+2）），即a[(a(x2+2)a−3)2+2]=ℎ(a(x2+2))，所以ℎ(x)=a[(xa−3)2+2]=x2a−6x+11a，综上所述，b＝0．（Ⅲ）当b＝0时，g（x）＝x2﹣1，因为g（x）与f（x）关于w(x)=e x−1e x+1唯一交换，所以存在唯一实数x ，使得w(x 2−1)=f(e x −1e x +1)， 即存在唯一实数x ，使得e x 2−1−1e x 2−1+1=a[(e x −1e x +1)2+2]，即存在唯一实数x ，使得a =e x 2−1−1e x 2−1+1[(e x −1e x +1)2+2]； 令s(x)=e x 2−1−1e x 2−1+1[(e x −1e x +1)2+2]，q(x)=e x 2−1−1e e2−1+1，p(x)=(e x −1e x +1)2+2，且s （x ），q （x ），p （x ）定义域均为R ，又q (−x )=e (−x)2−1−1e (−x)2−1+1=e x 2−1−1ex 2−1+1=q (x )，p(−x)=(e −x −1e −x +1)2+2=(1−e x 1+e x )2+2=(e x −1e x +1)2+2=p(x)， 所以q （x ），p （x ）都是偶函数，所以s （x ）为偶函数，因此，若存在唯一实数x 使得a =e x 2−1−1e x 2−1+1[(e x −1e x +1)2+2]，只能是a ＝s （0），所以a =1e −11e+12=1−e2(e+1)，综上所述，a 的取值为1−e2(e+1)．。
北京市海淀区2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含解析
北京2023-2024学年第一学期12月练习高一数学2023.12（答案在最后）说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）1.已知命题:0p x ∀>，25410x x -+≥，则命题p 的否定为（）A.0x ∀>，25410x x -+< B.0x ∀<，25410x x -+<C.0x ∃>，25410x x -+< D.0x ∃<，25410x x -+<【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：命题:0p x ∀>，25410x x -+≥的否定为：0x ∃>，25410x x -+<.故选：C2.设集合{}33x A x =>，{}230B x x x =-<，则A B = （）A.()1,3 B.[)1,3C.()0,3 D.[)0,3【答案】A【解析】【分析】先化简集合A ，B ，再根据集合的运算得解.【详解】由33x >，即133x >，因为3x y =是R 上的单调递增函数，所以1x >，{}1A x x ∴=>；又230x x -<，解得03x <<，{}03B x x ∴=<<；()1,3A B ∴⋂=.故选：A.3.以下函数既是偶函数又在(0,)+∞上单调递减的是（）A.4()f x x =B.()f x =C.1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.12()log f x x =【答案】D【解析】【分析】利用奇偶性的定义和指数函数、对数函数、幂函数的性质，对选项逐一判断即可.【详解】选项A 中，4()f x x =，满足()44()()f x x x f x -=-==，()f x 是偶函数，但由幂函数性质知4()f x x =在(0,)+∞上单调递增，故不符合题意；选项B 中，由幂函数性质知，()f x =在定义域[)0,∞+内单调递增，0x <无意义，故不具有奇偶性，不符合题意；选项C 中，由指数函数性质可知，1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，但1()()22x x f x f x -⎛⎫-= ⎪⎝⎭=≠，故不是偶函数，不符合题意；选项D 中，12()log f x x =定义域()(),00,-∞⋃+∞，满足1122()log log ()f x x x f x -=-==，故()f x 是偶函数，当0x >时，12()log f x x =，由对数函数性质可知，12()log f x x =在(0,)+∞上单调递减，故12()log f x x =符合题意.故选：D.4.已知x y <，则下列不等式一定成立的是（）A.33x y < B.11x y >C.22x y--< D.()()22lg 1lg 1x y +<+【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质，幂函数，指数函数和对数函数的性质判断．【详解】对A ，根据幂函数3y x =在R 上单调递增得x y <时，33x y <，故A 正确；对B ，当0x y <<时，11x y<，B 错；对C ，x y <，则x y ->-，根据指数函数2x y =在R 上单调递增得22x y -->，故C 错误；对D ，x y <时，例如，2,1x y =-=，则2211x y +>+，根据对数函数lg y x =在()0,∞+上单调递增，则()()22lg 1>lg 1x y ++，因此D 错；故选：A ．5.函数()lg 1y x =-的图象是（）A. B. C.D.【答案】C【解析】【分析】将函数lg y x =的图象进行变换可得出函数()lg 1y x =-的图象，由此可得出合适的选项.【详解】将函数lg y x =的图象先向右平移1个单位长度，可得到函数()lg 1y x =-的图象，再将所得函数图象位于x 轴下方的图象关于x 轴翻折，位于x 轴上方图象不变，可得到函数()lg 1y x =-的图象.故合乎条件的图象为选项C 中的图象.故选：C.【点睛】结论点睛：两种常见的图象翻折变换：()()x x x f x f x −−−−−−−−−−−−→保留轴上方，将轴下方的图象沿轴对称，()()y y y f x f x −−−−−−−−−−−−−→保留轴右方图像，将轴右方图象沿着轴对称.6.已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()f x 单调递增，且()40f =，则满足不等式()10x f x ⋅-<的x 的取值范围是（）A.()3,1-B.()1,5C.()()3,01,5-D.()(),31,5-∞- 【答案】C【解析】【分析】由奇函数的定义和单调性的性质，即可求解不等式．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，0x >时，()f x 单调递增，且()40f =，所以当()(),40,4x ∈-∞-⋃时，()0f x <，当()()4,04,x ∈-⋃+∞时，()0f x >，不等式()10x f x ⋅-<，则当0x <时，有()10f x ->，即410x -<-<或14x ->，解得31x -<<或5x >，又0x <，30x ∴-<<；当0x >时，有()10f x -<，即14x -<-或014x <-<，又0x >，解得15x <<；综上，不等式()10x f x ⋅-<的解集为()()3,01,5- .故选：C.7.已知函数2,1(),1x a x f x x a x ⎧-≤=⎨-+>⎩，则“函数()f x 有两个零点”成立的充分不必要条件是a ∈A.(0,2]B.(1,2]C.(1,2)D.(0,1]【答案】C【解析】【分析】根据()f x 单调性，结合已知条件，求得()f x 有两个零点的充要条件，再结合选项进行选择即可.【详解】2,1(),1x a x f x x a x ⎧-≤=⎨-+>⎩ ()f x ∴在,1∞（-）上单调递增，在1+∞（，）上单调递减．故“函数()f x 有两个零点”(1)20,0,(1)10f a a f a ⇔=-≥-<>-+>，解得12a <≤，“函数()f x 有两个零点”成立的充分不必要条件必须为(1,2]的子集，只有C 符合，故选：C ．【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，涉及由函数零点个数求参数范围问题，属综合基础题.8.在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m ，再由乙猜这个小球上的数字，记为n .如果m ，n 满足1m n -≤，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（）A.14 B.38 C.12 D.58【答案】D【解析】【分析】根据古典概型的计算公式，结合绝对值不等式进行求解即可.【详解】根据题意，m ，n 的情况如下：()()()()()()()()6,6,6,7,6,8,6,9,7,6,7,7,7,8,7,9,()()()()()()()()8,6,8,7,8,8,8,9,9,6,9,7,9,8,9,9,共16种情况，其中m ，n 满足1m n -≤的情况如下：()()()()()()()()()()6,6,6,7,7,6,7,7,7,8,8,7,8,8,8,9,9,8,9,9,共10种情况，所以两人“心领神会”的概率是105168=，故选：D9.函数()213log 3y x ax =-+在[1,2]上恒为正数，则实数a 的取值范围是（）A.a <<B.72a <<C.732a <<D.3a <<【答案】D【解析】【分析】根据底数是13，213()log (3)y f x x ax ==-+在[1,2]上恒为正数，故2031x ax <-+<在[1,2]上恒成立，进而解不等式就可以了．【详解】解：由于底数是13，从而213()log (3)y f x x ax ==-+在[1,2]上恒为正数，故2031x ax <-+<在[1,2]上恒成立，即23x a x x x+<<+由于[1,2]x ∈，3x x +≥=当且仅当3x x =即x =由对勾函数的性质可知，函数()2g x x x =+在⎡⎣上单调递减，在2⎤⎦上单调递增，且()()123g g ==所以3a <<故选：D ．【点睛】本题主要考查对数型函数，一元二次函数值域问题，属于中档题．10.形如221n +(n 是非负整数)的数称为费马数，记为.n F 数学家费马根据0123,,,,F F F F 4F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F 不是质数，那5F 的位数是（）(参考数据:lg 2≈0.3010)A.9B.10C.11D.12【答案】B【解析】【分析】32521F =+,设322m =,两边取常用对数估算m 的位数即可.【详解】32521F =+ ,设322m =，则两边取常用对数得32lg lg 232lg 2320.30109.632m ===´=.9.63291010m =»，故5F 的位数是10，故选：B ．【点睛】解决对数运算问题的常用方法：(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg 2lg 51+=简化计算.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.函数()2lg 54y x x =-+的定义域为__________.【答案】()()4,,1+∞⋃-∞【解析】【分析】利用对数函数真数大于零，解不等式即可求得结果.【详解】由对数函数定义可得2540x x -+>，解得>4x 或1x <，所以函数定义域为()()4,,1+∞⋃-∞.故答案为：()()4,,1+∞⋃-∞12.某高中学校进行问卷调查，用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为__________人.【答案】3600【解析】【分析】根据分层抽样的抽样比即可求解.【详解】由题意可知：高三年级抽取了3615129--=人，由于高三共有900人，所以抽样比为1100，所以高中学生总数为361003600⨯=，故答案为：360013.令0.76a =，60.7b =，0.7log 6c =，则三个数a ，b ，c 的大小顺序是______.（用“<”连接）【答案】c b a<<【解析】【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合临界值0,1即可确定大小关系.【详解】0.7000.60.70.76610.70.70log 1log 6>==>>=> ，c b a ∴<<.故答案为：c b a <<.14.为了解本书居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为______.（用“<”连接）【答案】231s s s <<【解析】【分析】根据平均数公式及方差公式分别计算21s 、22s 、23s ，即可判断；【详解】由图甲：平均值为()150012500.000617500.000422500.000227500.000232500.0006x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2200=，22221(12502200)(175021200)(22502200)0.30.20.s =-+⨯+⨯⨯--22)0.10.3(27502200)(32502200+-⨯⨯-+672500=，212500.117500.222500.427500.232500.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2250=，22222(12502250)(175024250)(22502250)0.10.20.s =-+⨯+⨯⨯--22)0.20.1(27502250)(32502250+-⨯⨯-+300000=，312500.217500.222500.327500.232500.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2150=，22223(12502150)(175023150)(22502150)0.20.20.s =-+⨯+⨯⨯--22)0.20.1(27502150)(32502150+-⨯⨯-+390000=，则标准差231s s s <<，故答案为：231s s s <<.15.如图，在等边三角形ABC 中，AB =6.动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f (x )，给出下列三个结论：①函数f (x )的最大值为12；②函数f (x )的图象的对称轴方程为x =9；③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根.其中，所有正确结论的序号是____.【答案】①②【解析】【分析】写出P 分别在,,AB BC CA 上运动时的函数解析式2()f x OP =，利用分段函数图象可解.【详解】P 分别在AB 上运动时的函数解析式22()3(3),(06)f x OP x x ==+-≤≤，P 分别在BC 上运动时的函数解析式22()3(9),(612)f x OP x x ==+-≤≤，P 分别在CA 上运动时的函数解析式22()3(15),(1218)f x OP x x ==+-≤≤，22223(3),(06)()||3(9),(612)3(15),(1218)x x f x OP x x x x ⎧+-≤≤⎪==+-≤≤⎨⎪+-≤≤⎩，由图象可得，方程()3f x kx =+最多有6个实数根故正确的是①②.故答案为：①②【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知集合213A x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}221,B x m x m m =-≤≤+∈R .（1）当6m =时，求集合A B ⋃；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{313}A B xx =<≤ ∣（2）(),3-∞-【解析】【分析】（1）直接代入计算，再根据并集含义计算即可；（2）分集合B 是否为空集讨论即可.【小问1详解】由()()222311005303333x x x x x x x ->⇒->⇒->⇒--<----解得{35}A xx =<<∣.当6m =时，{}413B x x =≤≤∣，则{313}A B xx =<≤ ∣【小问2详解】由A B B = ，得B A ⊆.当B =∅时，有221m m ->+，解得3m <-.当B ≠∅时，有323215m m m ≥-⎧⎪->⎨⎪+<⎩，无解.综上，(),3m ∈-∞-.17.已知函数()22f x x =+.（1）求函数()f x 的定义域和值域；（2）求函数()f x 在区间[](),1t t t +∈R 上的最小值.【答案】17.定义域为R ，值域为[)2,+∞18.答案见解析【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质可得答案；（2）讨论对称轴与区间的关系，结合二次函数性质可得答案.【小问1详解】由题意定义域为R ，因为20x ≥，所以222x ≥+，即值域为[)2,+∞.【小问2详解】()f x 图象的对称轴为0x=，当10t +≤时，即1t ≤-时，()f x 在区间[],1t t +上单调递减，则()f x 在区间[],1t t +上的最小值为()2(1)12f t t +=++；当01t t <<+时，即10t -<<时，()f x 在[),0t 上单调递减，在(]0,1t +上单调递增，则()f x 在区间[],1t t +上的最小值为(0)2f =；当0t ≥时，()f x 在区间[],1t t +上单调递增，()f x 在区间[],1t t +上的最小值为2()2f t t =+；综上可得1t ≤-时，最小值为()212t ++；10t -<<时，最小值为2；0t ≥时，最小值为22t +.18.在新高考背景下，北京高中学生需从思想政治､历史､地理､物理､化学､生物这6个科目中选择3个科目学习并参加相应的等级性考试.为提前了解学生的选科意愿，某校在期中考试之后，组织该校高一学生进行了模拟选科.为了解物理和其他科目组合的人数分布情况，某教师整理了该校高一（1）班和高一（2）班的相关数据，如下表：物理+化学物理+生物物理+思想政治物理+历史物理+地理高一（1）班106217高一（2）班.159316其中高一（1）班共有40名学生，高一（2）班共有38名学生.假设所有学生的选择互不影响.（1）从该校高一（1）班和高一（2）班所有学生中随机选取1人，求此人在模拟选科中选择了“物理+化学”的概率；（2）从表中选择“物理+思想政治”的学生中随机选取2人参加座谈会，求这2人均来自高一（2）班的概率；（3）该校在本学期期末考试之后组织高一学生进行了第二次选科，现从高一（1）班和高一（2）班各随机选取1人进行访谈，发现他们在第二次选科中都选择了“物理+历史”.根据这一结果，能否认为在第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生了变化？说明理由.【答案】（1）2578（2）310（3）答案见解析【解析】【分析】（1）（2）根据古典概型的概率公式即可求解，（3）根据小概率事件即可求解.【小问1详解】依题意得高一（1）班和高一（2）班学生共有403878+=人，即该随机试验的样本空间有78个样本点.设事件A =“此人在模拟选科中选择了“物理+化学”，则事件A 包含101525+=个样本点，所以()2578P A =.【小问2详解】依题意得高一（1）班选择“物理+思想政治”的学生有2人，分别记为12,A A ；高一（2）班选择“物理+思想政治”的学生有3人，分别记为123,,B B B .该随机试验的样本空间可以表示为：Ω={12111213212223121323,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B }即()Ω10n =.设事件B =“这2人均来自高一（2）班”，则{}121323,,B B B B B B B =，所以()3n B =，故()()()3Ω10n B P B n ==.【小问3详解】设事件C =“从高一（1）随机选取1人，此人在第二次选科中选择了“物理+历史”，事件D =“从高一（2）班随机选取1人，此人在第二次选科中选择了“物理+历史”，事件E =“这两人在第二次选科中都选择了“物理+历史”.假设第二次选科中选择“物理+历史”的人数没有发生变化，则由模拟选科数据可知，()()11,4038P C P D ==.所以()()()()11140381520P E P CD P C P D ===⨯=.答案示例1：可以认为第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生变化.理由如下：()P E 比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生了变化.答案示例2：无法确定第二次选科中选择“物理+历史”的人数是否发生变化.理由如下：事件E 是随机事件，()P E 虽然比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生，所以无法确定第二次选科中选择“物理+历史”的人数是否有变化.19.已知函数()2log 2ax f x x -=+（0a >且1a ≠）．（1）求()f x 的定义域；（2）若当2a =时，函数()()g x f x b =-在()2,+∞有且只有一个零点，求实数b 的范围；（3）是否存在实数a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++，若存在，求出实数a 的范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()(),22,∞∞--⋃+（2）(),0∞-（3）存在；3220,2a ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由202x x ->+可得()f x 的定义域；（2）注意到()24122x t x x x -==-++在()2,∞+上单调递增，则()f x 在()2,∞+，即b 的范围是就是()f x 在()2,∞+上的值域；（3）由题可得01a <<，则问题转化为22x ax x -=+在()2,∞+上有两个互异实根，即可得答案.【小问1详解】由202x x ->+，得<2x -或2x >．∴()f x 的定义域为()(),22,∞∞--⋃+；【小问2详解】令()24122x t x x x -==-++，因函数42=+y x 在()2,∞+上单调递减，则()t x 在()2,∞+上为增函数，故()t x 的值域为()0,1.又2a =，∴()f x 在()2,∞+上为增函数；函数()()g x f x b =-在()2,∞+有且只有一个零点，即()f x b =在()2,∞+有且只有一个解，∵函数()f x 在()2,∞+的值域为(),0∞-，∴b 的范围是(),0∞-．【小问3详解】假设存在这样的实数a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++，由m n <且1log a n +1log a m <+，可得01a <<．又由（2）()412t x x =-+在()2,∞+上为增函数，log a y x =在()2,∞+上为减函数.则()f x 在()2,∞+上为减函数，得()()()()2log 1log log 22log 1log log 2a a a aa a m f m m am m n f n n an n -⎧==+=⎪⎪+⎨-⎪==+=⎪+⎩.即22x ax x -=+在()2,∞+上有两个互异实根，因()2221202x ax ax a x x -=⇒+-+=+即()()2212g x ax a x =+-+，有两个大于2的相异零点.设()g x 零点为12,x x ，则()()()()212122180Δ02144220221240a a a x x a x x a aa ⎧⎪-->⎧>⎪-⎪⎪+>⇒->⎨⎨⎪⎪-->⎩⎪-++>⎪⎩.解得302a -<<．又∵01a <<，故存在这样的实数30,2a ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭符合题意．20.对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，且00x ≠，满足()()00f x f x -=，则称()f x 为“弱偶函数”.若在定义域内存在实数0x ，满足()()00f x f x -=-，则称()f x 为“弱奇函数”.（1）判断函数()31,0,0x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”；（直接写出结论）（2）已知函数()()21g x x x =-+，试判断()g x 为其定义域上的“弱奇函数”，若是，求出所有满足()()00g x g x -=-的0x 的值，若不是，请说明理由；（3）若()43,4x h x x x ≥=+<⎪⎩为其定义域上的“弱奇函数”.求实数m 取值范围.【答案】（1）弱奇函数（2）()g x 不是其定义域上的“弱奇函数”.（3）15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据所给定义判断即可；（2）对x 分类讨论即可；（3）首先由20x mx -≥在[)4,+∞上恒成立，求出m 的取值范围，依题意存在实数0x 使得()()00h x h x -=-，分04x ≥、044x -<<、04x ≤-三种情况讨论，分别结合方程有解求出m 的取值范围，即可得解.【小问1详解】当0x <时，则0x ->，若31x x=-，无实数解，舍去；若31x x=--，解得=1x -（正舍），当0x >时，则0x -<，若31x x-=，无实数解，舍去；若31x x-=-，解得1x =（负舍），则存在实数01x =±，满足()()00f x f x -=-，则()f x 是“弱奇函数”，【小问2详解】假设()()21g x x x =-+为其定义域上的“弱奇函数”，则()()2121x x x x -+=+-，若1x >，则()()()()2121x x x x -+=+-，则0x =，舍去；若11x -≤≤，则()()()()2121x x x x -+=+-，则x =若1x ≤-，则()()()()2121x x x x -+=+-，则0x =，舍去；从而()()00g x g x -=-无解，所以()g x 不是其定义域上的“弱奇函数”.【小问3详解】由20x mx -≥在[)4,+∞上恒成立，转化为m x ≤在[)4,+∞上恒成立，即4m ≤.因为()43,4x h x x x ≥=+<⎪⎩为其定义域上的“弱奇函数”，所以存在实数0x 使得()()00h x h x -=-，当04x ≥时，则04x -≤-，所以03x -+=，即03x -=，所以()220003x x mx -=-，0069x mx -+=-，即096m x =-在[)4,+∞有解可保证()f x 是“弱奇函数"，所以15,64m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，又因为4m ≤，所以15,44m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；当044x -<<时，044x -<-<，此时()00330x x -+--=，不成立；当04x ≤-时，则04x -≥()03x =-+，则22000069x mx x x +=++，即()069m x -=，即096m x =+在(],4-∞-有解可保证()f x 是“弱奇函数”，所以15,64m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，由4m ≤可知15,44m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；综上所述，实数m 的取值范围为15,44m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题属于新定义问题，对于新定义问题，关键是理解所给定义，将问题转化为方程有解，分段函数注意分类讨论.。
北京市海淀区中关村中学分校2022年数学高一上期末学业质量监测试题含解析
（1）用定义法证明 为增函数；
（2）对任意 ，都有 恒成立，求实数k的取值范围
18．已知函数 （ 且 ）为奇函数.
（1）求n的值；
（2）若 ，判断函数 在区间 上的单调性并用定义证明；
（3）在（2）的条件下证明：当 时， .
19．下列函数有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大值、最小值时自变量x的集合,并求出最大值、最小值.
D.甲种麦苗样本株高的中位数大于乙种麦苗样本株高的中位数
6．函数 单调递增区间为
A. B.
C D.
7．已知函数 ，则下列区间中含有 的零点的是（）
A. B. （）
A.1B.-1
C. D.
9．若圆 上至少有三个不同的点到直线 的距离为 ，则 的取值范围是（）
【详解】解:容易知道,这两个函数都有最大值、最小值.
(1)使函数 , 取得最大值的x的集合,就是使函数 , 取得最大值的x的集合 ;
使函数 , 取得最小值的x的集合,就是使函数 , 取得最小值的x的集合 .
函数 , 的最大值是 ;最小值是 .
(2)令 ,使函数 , 取得最大值的x的集合,就是使 , 取得最小值的z的集合 .
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）根据函数单调性 定义及指数函数的单调性与值域即可证明；
（2）由已知条件，利用函数 的奇偶性和单调性，可得 对 恒成立，然后分离参数，利用基本不等式求出最值即可得答案.
【小问1详解】
证明：设 ，则 ，
由 ，可得 ，即 ，又 ， ，
所以 ，即 ，则 在 上为增函数；
故答案 ： .
【点睛】本题考查平面向量数量积 计算，涉及利用向量的模求数量积，同时也考查了向量数量积几何意义的应用，考查计算能力，属于基础题.
北京市海淀区2022-2023学年高一上学期期末考试数学试卷(word版,含答案)
46
50
47
48
49
50
50
47
ห้องสมุดไป่ตู้48
47
48
49
50
49
50
50
48
50
49
50
（1）设事件 为“李明第一次英语听说考试取得满分”，用频率估计事件 的概率；
（3）在（1）的情况下，若方程 在 上有且只有一个实根，求实数 的取值范围.
19.设函数 的定义域为 ，且区间 ，对任意 且 ，记 ， .若 ，则称 在 上具有性质 ；若 ，则称 在 上具有性质 ；若 ，则称 在 上具有性质 ；若 ，则称 在 上具有性质 .
（1）记：①充分而不必要条件；
②必要而不充分条件；
③充要条件；
④既不充分也不必要条件
则 在 上具有性质 是 在 上单调递增的_____（填正确选项的序号）；
在 上具有性质 是 在 上单调递增的_____（填正确选项的序号）；
在 上具有性质 是 在 上单调递增的_____（填正确选项的序号）；
（2）若 在 满足性质 ，求实数 的取值范围；
（3）若函数 在区间 上恰满足性质 ､性质 ､性质 ､性质 中的一个，直接写出实数 的最小值.
（2）基于题干中假设，估计李明英语高考听说成绩为满分的概率的最大值.
18.已知 且 ，函数 在R上是单调减函数，且满足下列三个条件中的两个.
①函数 为奇函数；② ；③ .
（1）从中选择的两个条件的序号为_____，依所选择的条件求得 ____， ____；
2024届北京市海淀区首都师范大学附属中学数学高一第二学期期末监测模拟试题含解析
2024届北京市海淀区首都师范大学附属中学数学高一第二学期期末监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A ．63B ．33C ．23D ．132．为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A ．向右平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向左平移个单位3．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1{3(3)x x y y a x ≥+≤≥-,若z=2x+y 的最小值为1，则a=A ．B ．C ．1D ．24．不等式2230x x +->的解集为（ ） A ．()3,1- B ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞ C ．()1,3-D ．(,1)(3,)-∞-+∞5．函数()22f x cos x sinx ＝＋ 的最小值和最大值分别为( )A ．3,1－B ．2,2－C ．332－，D ．322－，6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是 ( ) A ．116B ．103C ．56D ．537．已知两点()2,4A --，()3,16B -，则AB =（ ） A ．12B ．145C ．13D ．5178．sin300°的值为 A ．32B ．32-C ．12-D ．129．同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为( ) A ．14B ．16C ．19D ．11210． “φ＝”是“函数y=sin （x ＋φ）为偶函数的”（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀区高中课改水平监测高一数学试卷
北京市海淀区高中课改水平监测高一数学试卷学校 班级 姓名 本试卷分卷一、卷二两部分，共120分.考试时间90分钟.卷一(共90分)一、选择题：本大题共10小题, 每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 与30终边相同的角是 （ ）A ．60B ．150C ．30 -D ．330-2. 已知sin 0,cos 0αα><且，那么角α是 （ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3. 已知角α终边经过点(3,4)P -，则cos α的值为（ ）A ．45-B ．35-C ．35D ．454. 下列函数为偶函数的是 （ ）A ．x y sin 2=B ．x x y 22sin cos -= C ．x x y cos =D ．x y tan 1+=5. 若四边形ABCD 满足 AB DC =，则四边形ABCD 的形状一定是 （ ）A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形6.sin 45cos15cos 45sin15- 的值为 （ ）A ．21 B ． －23 C ．22D ．21-7. 已知向量)3,1(-=a ,),1,(-=x b 且b a ⊥,则x 等于 （ ）A ．3B ．3-C ．31D ．31-8. 函数21(cos )32y x =--的最大值与最小值分别是 （ ）A. 11,34-- B. 113,4-- C. 113,44--D. 3,34--9. 下列命题中正确的是 （ ）A ．若0a b =， 则00a ,b ==或 B ．若b a =,则向量a 与向量b 是相等向量或相反向量C ．向量AB 与向量BA是平行向量 D ．若向量a ，b 共线，则a b |a ||b|=10. 要得到函数x y cos =的图象可将函数x y sin =的图象 （ ）A ．向左平移2π个单位 B ． 向右平移2π个单位C ．向左平移π个单位D ． 向左平移π个单位二、填空题：本大题共4小题, 每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.11.若cos (0,)2ααπ=-∈ ，则α的值为 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北京市海淀区高中课改水平监测高一数学试卷学校班级姓名
本试卷分卷一、卷二两部分，共120分.考试时间90分钟.
卷一(共90分)
一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.与30 终边相同的角是（
）A ．60 B ．150 C ．30 -D ．330
-2.已知sin 0,cos 0αα><且，那么角α是（
）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角
3.已知角α终边经过点(3,4)P -，则cos α的值为（
）
A ．4
5-B ．3
5-C ．3
5D ．4
5
4.下列函数为偶函数的是（
）A ．x y sin 2=B ．x
x y 22sin cos -=C ．x x y cos =D ．x
y tan 1+=5.若四边形ABCD 满足AB DC = ，则四边形ABCD 的形状一定是（
）A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
6.sin 45cos15cos 45sin15- 的值为（
）A ．21B ．－23C ．22D ．2
1
-7.已知向量)3,1(-=a ,),1,(-=x b 且b a ⊥,则x 等于（
）A ．3B ．3-C ．31
D ．31
-
8.函数21(cos 32
y x =--的最大值与最小值分别是（）A.11,34-- B.11
3,4-- C.113,44-- D.3,34
--9.下列命题中正确的是
（）A ．若0a b = ，则00
a ,
b ==或B ．若b a =,则向量a 与向量b 是相等向量或相反向量
C ．向量AB 与向量BA 是平行向量
D ．若向量a ，b 共线，则a b |a ||b |
= 10.要得到函数x y cos =的图象可将函数x y sin =的图象（）
A ．向左平移2π个单位
B ．向右平移2
π个单位C ．向左平移π个单位D ．向左平移π个单位
二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
11.
若cos (0,)2
ααπ=-∈，则α的值为。
12.若1tan ,3α=则tan(4πα+的值为。
13.河水从东向西流，流速为h km /2，一艘船以h km /32垂直于水流方向向北横渡，则船实际航行的速度的大小是
/km h 。
14.已知函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><
的部分图象如图所示，则函数()f x 的最小正周期为，函数解析式为。
三、解答题:本大题共3小题,共34分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题共12分)在平面直角坐标系中，已知点(1,2),(3,4),(5,0).
A B C
求：(Ⅰ)||,|| AB AC ；
(Ⅱ) AB AC ⋅，cos AB AC 〈⋅〉 。
16.(本小题共12分)已知1sin 3a =-
，且a 为第三象限角.(Ⅰ)求sin 2α的值;
(Ⅱ)求2sin(2)cos(2)
sin ()2αππαπα-⋅-+的值
17.本小题共10分)
已知函数()sin cos 22
f x x x x =+
.求:(Ⅰ)函数()f x 的最小正周期；(Ⅱ)函数()f x 的最大值，以及取得最大值时x 的取值集合；(Ⅲ)函数()f x 的单调减区间．．．
.
卷二(共30分)
三、
填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.1.sin 75,cos 75,tan 75 从大到小．．．．依次为。
2.向量a ，b ，若|a |=1，|b |=1，<a ，b >=
23π，则a ·(a －b )的值为，
cos<a ，a －b >的值为。
3.化简616-1cos()cos()33k k x x ππ++++（x k ∈∈R , Z ）的结果为。
4.函数()sin (0)f x x ωω=>在区间[0,]4π上至少有四个零点，则ω的取值范围是。
二、
解答题:本大题共2小题,共14分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.5.(本小题共6分)已知πβπα<<<<0，4)cos(,3sin -=+=βαα。
求：(Ⅰ)cos 2α的值；(Ⅱ)βsin 的值。
6.(本小题共8分)定义域为R 的函数()f x 满足以下两个条件：1
对于任意的,x y R ，均有()()(1)(1)()f x y f x f y f x f y +=-+-成立；2()f x 在[0,1]上单调递增.
(Ⅰ)求证：f =(1)1；
(Ⅱ)判断()f x 的奇偶性，并说明理由；
(Ⅲ)求满足1(21)2
f x -≥的实数x 的集合。