(2+1)维Boiti-Leon-Pemponelli方程的多线性分离变量法
2+1维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程的分离变量解
第26卷第5期Vol.26 No.5丽水学院学报JOURNAL OF L ISHUI UNIVERSIT Y2004年10月Oct.2004(2+1)维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程的分离变量解Ξ马正义(丽水学院数学系,浙江丽水 323000) 摘要:对于非线性演化方程,欲获其解并非易事。
试图用设定的变量分离法来得到方程的解。
同时,以(2+1)维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程为例来说明之。
关键词:非线性演化方程;变量分离法;(2+1)维中图分类号:O175.2 文献标识码:A 文章编号:1008-6749(2004)05-0037-031 引言在漫长的线性科学发展历史中,科学家们建立了许多行之有效的研究方法,如行波法、分离变量法和傅里叶变换法。
然而,对于非线性物理问题的研究,这些方法一般需要作相当大的甚至是根本性的变化才有可能得到推广应用。
对于行波法,在非线性物理中只要作行波约化就可以。
反散射方法可以看成是傅里叶变换法在非线性物理中的推广。
然而,分离变量法的推广迟迟得不到本质的进展。
最近我国科学家对这一问题作出了一些重要贡献。
由楼森岳教授等建立的多线性分离变量法,目前已经成功地应用到了许多(2 +1)维非线性物理模型,并由此发现了高维非线性物理模型中非常丰富的非线性激发模式。
本文试图在许多人工作[1～5]的基础上,给出一个解题步骤较为具体的分离变量法,并以(2+1)维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli(BLMP)方程为例来说明所给方法的可行性。
2 (2+1)维BLMP方程的分离变量解对于BLMP方程 u yt+u x x xy-3u x x u y-3u x u xy=0,(1)为了采用变量分离方法,引入B cklund变换 u=-2(ln f)x+u0,(2)式中u=u(x,y,t),f=f(x,y,t),u0=u0(x,y,t)是BLMP方程的一个任意已知的种子解。
数学物理方程经典教案 分离变量法(研究生,高校本科生)
X (0 )T (t) X (l)T (t) 0
(8 )
及
X X
( x )T ( x )T
(0) (x) '( 0 ) ( x )
(9 )
9
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
uutt|x0a20u,xux,|xl
0xl,t 0,t 0
0
(1) (2)
u|t0(x), ut |t0(x),0xl (3)
X (0) 0, X (l) 0 (10)
从 而 有 X ( x ) 0， 故 0时 ， 方 程 只 有 零 解 ， 也 不 可 取 。
12
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
③ 0时 , 此 时 (6 )的 通 解 为 ( 一 对 共 轭 复 根 )
X (x) A cos x B sin x, 其 中 A, B为 任 意 常 数 。 把 其 代 入 边 界 条 件 (1 0 )， 得
从 而 有 X ( x ) 0， 故 0时 ， 方 程 只 有 零 解 ， 不 可 取 。
② 0时 , 此 时 (6)的 通 解 为
X (x) Ax B, 其 中 A, B为 任 意 常 数 。
把 其 代 入 边 界 条 件 (10)， 得
固有值问题
B 0
A
l
B
0
AB0
X ''(x) X (x) 0 (6)
ii)求解固 有值问 题(Ⅱ)。
目标： 选取 适当的 ，使 得(Ⅱ)具 有非 零解。 称能够 使(Ⅱ)具 有非零 解的 常数为 固有值 (或本 征值)，相 应的 非零解 为固有
函数(或本 征函数 )。
下面分三种情况进行讨论：
① 0时, 此 时(6)的通 解为
《分离变量法》课件
目 录
• 分离变量法简介 • 分离变量法的步骤 • 分离变量法的应用实例 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的改进方向 • 分离变量法的未来展望
01
分离变量法简介
定义与特点
定义
分离变量法是一种求解偏微分方 程的方法，通过将多变量问题转 化为多个单变量问题，从而简化 求解过程。
交叉学科应用
探索分离变量法在交叉学 科中的应用，如生物医学 工程、环境科学等。
与其他方法的结合使用
与数值方法的结合
将分离变量法与其他数值方法（如有限元法、有限差分法等）结 合使用，形成更有效的数值计算方法。
与机器学习算法的结合
将分离变量法与机器学习算法相结合，用于数据分析和模式识别等 领域。
与优化算法的结合
工程与技术领域
分离变量法在解决工程与技术领域中的偏微 分方程问题方面具有优势，如结构分析、电 磁波传播、信号处理等。随着工程与技术的 不断发展，分离变量法有望在解决实际问题 中发挥更大的作用。
THANK YOU
感谢观看
立。
近似解
分离变量法得到的解是近似解，而 不是精确解。因为这种方法忽略了 各个变量之间的相互作用和影响。
数值稳定性
分离变量法在数值计算中可能存在 数值稳定性问题，例如数值误差的 累积和传播可能导致计算结果失真 或误差较大。
05
分离变量法的改进方向
算法优化
01
02
03
算法效率提升
通过改进算法结构，减少 计算复杂度，提高分离变 量法的计算速度。
精度控制
优化算法中的数值计算方 法，提高结果的精度和稳 定性，减少误差。
自适应调整
根据不同问题的特性，自 适应地调整算法参数，提 高分离变量法的适用性和 可靠性。
(2+1)维Boiti—Leon—Pempinelli方程的精确解
ｌ 一 ｃ ” ＝ （ 一 ０ ［ 甜 ｒ ） ” ＋ ２ ０ 【 Ｖ ＝ ０ ， （ ９ ） 【 一 ａ ｃ ｖ ＝ ‘ ｖ ” ＋２ ａ ｕ ｖ ＝０ 。
对方程组 （ ９ ） 的第 一 个 方 程 积分 两 次 ， 忽 略
积 分常 数 ， 得
甜 一 号 一 ｄ ４ 。 （ １ ０ ）
级数
ｌ ，
）
Ｇ－
（ ３ ）
其 中
＝０ ， １ ， ２ ， …， ， ） 是 待 定 常数 ， 正 整数 ，由
平衡方程 （ ２ ） 的最 高 阶导 数 项 和 最 高 阶非 线 性项 来 决定 ， Ｇ满 足 Ｇ ” ＋ ２ Ｇ ＋ ｐ Ｇ＝ ０ （ ， 为 常数） 。 （ ４ ）
第４ １ 卷 第１ 期
２ ０ １ ３ 年２ 月
江汉 大学学报 （ 自然 科 学 版 ） Ｊ ． Ｊ ｉ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ． （ Ｎ ａ ｔ ． Ｓ ｃ ｉ ． Ｅ ｄ ． ）
Ｖｏ ｌ ｜ ４１ Ｎｏ ． １ Ｆｅ ｂ ． ２ ０１ ３
（ ２ ＋ １ ） 维Ｂ ｏ ｉ ｔ ｉ — Ｌ ｅ ｏ ｎ — Ｐ ｅ ｍｐ ｉ ｎ ｅ ｌ ｌ ｉ 方 程 的精 确 解
２ （ ２十１ ） 维Ｂ Ｌ Ｐ方程的精确解
近年 来 ， 数 理学 家对 （ ２ ＋１ ） 维Ｂ Ｌ Ｐ方程
收 稿 日期 ：２ ０ １ ２ —１ ２ —０ ２ 基 金 项 目 ： 国 家 自然 科 学基 金 资助 项 目 （ １ １ ２ ７ １ ０ ６ ６ ） 作 者简 介 ：赵 艳 丽 （ １ ９ ８ ０ 一） ，女 ，助教 ，硕 士 ，研 究 方 向 ：偏 微 分 方程 。
４
方法 ， 文献 ［ １ ４ ］ 采 用广 义 代 数方 法 ， 文献［ １ ５ ］ 采
《分离变量法》课件
06
总结与展望
总结
内容回顾
详细梳理了分离变量法的基本概 念、应用场景、实施步骤和注意 事项，帮助学习者全面理解这一
方法。
案例分析
通过具体的案例分析，展示了分离 变量法在解决实际问题中的应用， 加深学习者对方法的理解和掌握。
互动问答
鼓励学习者在课程结束前提出疑问 ，并对常见问题进行了解答，有助 于巩固学习效果。
展望
新应用领域
实践应用建议
探讨分离变量法在未来可能的应用领 域，如人工智能、大数据分析等，为 学习者提供新的思路和方向。
为学习者提供将分离变量法应用于实 际问题的建议和指导，帮助他们更好 地实现学以致用。
方法改进
介绍分离变量法的最新研究进展和可 能的改进方向，激发学习者进一步探 索和研究。
谢谢您的聆听
02
分离变量法的原理
原理概述
分离变量法是一种求解偏微分方程的 方法，通过将多个变量分离，将复杂 的偏微分方程简化为一系列简单的常 微分方程，从而求解。
该方法适用于具有多个变量的偏微分 方程，特别是当各变量之间相互独立 时。
数学模型建立
首先，需要建立偏微分方程，并确定变量 的个数。
然后，通过适当的变换，将偏微分方程转 化为全微分方程。
求解过程
通过分离变量法，可以将 $u(x, t) = X(x) T(t)$，从而将波动方程 转化为 $X''(x) = -lambda X(x)$ 和 $T''(t) = -omega^2 T(t)$， 其中 $lambda$ 和 $omega$ 是常数。
应用实例二：化学反应动力学模型
总结词
描述化学反应速率
THANKS
(2+1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程的精确解
(2+1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程的精确解赵艳丽【摘要】介绍了求解非线性偏微分方程的方法一(G'/G)-展开法.通过使用该方法,并借助Maple得到了(2+1)维Boiti-Leon-Pempinelli(简称BLP)方程的多种新精确解,其中包括双曲函数解、三角函数解和有理函数解等.【期刊名称】《江汉大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(041)001【总页数】4页(P19-22)【关键词】(2+1)维BLP方程;(G'/G)-展开法;扭结孤子解;符号计算【作者】赵艳丽【作者单位】成都理工大学工程技术学院基础部,四川乐山 614000【正文语种】中文【中图分类】O175.23寻找非线性偏微分方程的精确解是研究非线性偏微分方程的非常重要的问题，因为物理领域中的许多现象都可以用非线性偏微分方程来描述。
近年来，人们一直在想办法通过直接探讨非线性偏微分方程的准确解的结构来得到它的精确解，已获得了许多求解非线性方程的准确解的方法，例如：双曲正切函数展开法［1-3］、正弦-余弦法［2-3］、指数函数法［3-4］、Hirota's双线性法［5］、Jaco⁃bi椭圆函数展开法［6］、修改的tanh展开法［7］、辅助微分方程［8-10］等，文献［11］提出了(G′/G)-展开法，本文将利用这一方法构造BLP方程的精确解。
首先，利用一个行波变换ξ=α(x+y+ct)将非线性偏微分方程变成常微分方程下一步，把未知量U展开为含有(G′/G)的幂级数其中αi(i=0，1，2，…，l)是待定常数，正整数l由平衡方程（2）的最高阶导数项和最高阶非线性项来决定，G满足由方程（4）的解，我们可以得到关于(G′/G)的下列结果：其中 A1，A2为任意实数。
把方程（3）、（4）代入方程（2），可以得到一组关于(G′/G)的代数方程。
合并(G′/G)的同幂次项，令同幂次项的系数为零，可以得到一组关于αi(i=0，1，2，…，l)，α，c的代数方程。
数学物理方程的分离变量法及其应用
数学物理方程的分离变量法及其应用数学物理方程是研究自然现象的基础，其中热传导方程、波动方程和电动力学方程是最为常见的。
为了解决这些方程的求解问题，数学家们提出了许多方法，其中分离变量法是一种常用的解法之一。
分离变量法是指将多元函数的变量分离，使得原方程可以化为若干个单元函数的乘积形式，从而可以通过对单元函数的研究来获得原方程的解。
这种方法适用于线性方程，而且只能用于满足一定边界条件的特定问题。
下面通过几个实例来进一步探讨分离变量法的应用。
1. 热传导方程热传导方程描述了物体内部温度的传导过程。
对于一个平板，其温度分布可以用以下偏微分方程描述：$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)$其中，$u(x,y,t)$表示平板上某一点的温度，$\alpha$为热传导系数。
为了求解这个方程，我们可以假设温度分布可以表示为两个函数 $X(x)$ 和 $Y(y)$ 的乘积形式：$u(x,y,t) = X(x)Y(y)T(t)$因此，原方程可以改写为$X(x)Y(y)\frac{dT}{dt} = \alpha T(t)\left(\frac{d^2X}{dx^2}Y(y) + X(x)\frac{d^2Y}{dy^2}\right)$将式子移项，可以得到$\frac{1}{\alpha T}\frac{dT}{dt} = \frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2} + \frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2}$由于左侧只和 $t$ 有关，而右侧只和 $x$ 和 $y$ 有关，因此等式两侧必须都等于一个常数，假设这个常数为 $-k^2$，可以得到以下三个常微分方程：$\frac{dT}{dt} = -\alpha k^2 T(t)$$\frac{d^2X}{dx^2} + k^2X(x) = 0$$\frac{d^2Y}{dy^2} + k^2Y(y) = 0$分别求解这三个方程，得到$T(t) = e^{-\alpha k^2 t}$$X(x) = A\sin(kx) + B\cos(kx)$$Y(y) = C\sin(ky) + D\cos(ky)$将这些解组合起来，即可得到原方程的通解：$u(x,y,t) = \sum_{n=1}^\infty (a_n\sin(k_n x) + b_n\cos(k_n x))(c_n\sin(k_n y) + d_n\cos(k_n y)) e^{-\alpha k_n^2 t}$其中，$a_n, b_n, c_n, d_n$ 是常数，$k_n = \frac{n\pi}{L}$，$L$ 是平板长度。
【国家自然科学基金】_局域激发_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140802
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
科研热词 推荐指数 金纳米岛状结构 1 辐射跃迁几率 1 表面等离子体 1 表面光学 1 荧光辐射 1 荧光增强 1 聚合物共混体系 1 纳米晶体 1 纳米定位 1 粒子等离子共振局域场增强效应 1 等离子体共振 1 离散偶极子近似 1 激发复合体 1 消光光谱 1 水热-烧结法 1 晶体结构 1 时间反演 1 局域对称性 1 复合纳米结构 1 eu3+/tm3+:laof/laf3 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
科研热词 隧穿 针尖增强拉曼光谱 针尖增强 金纳米颗粒 近场拉曼光谱术 近场光学显微 近场光学 表面等离激元 耦合 等离子体 电致发光 激光物理 泵浦功率 无序介质 扫描隧道显微镜 平均原子模型 局域等离激元振荡 局域模 对称性破缺 密度泛函 单壁碳纳米管 单分子光电子学 分子动力学模拟 光子发射
2008年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
科研热词 推荐指数 近紫外光激发发光二极管 1 荧光粉 1 能量传递 1 纳米集成光路 1 稀土离子掺杂 1 控制 1 扫描近场光学显微术 1 心颤 1 局域激发模式 1 多线性分离变量法 1 可激发系统 1 半导体光致发光 1 光波导 1 光增强 1 zno 1 winfree湍流态 1 (2+1)维boiti-leon-pemponelli (blp)方程 1
第三讲分离变量法
0时, X ( x ) C1 cos x C2 sin x
C1 0 C 2 sin l 0
由边界条件
从而
n 2 , n 1,2, l
2 2
特征函数为：
n x X ( x ) C 2 sin , l
n 1,2,
T 的方程
n T a T 0 2 l
取参数
''
''
T X 2 X aT
''
''
X ( x ) X ( x ) 0 ②
''
T a T 0
'' 2
…..…….. ③
利用边界条件
X (0)T ( t ) 0 ④ X ( l )T ( t ) 0
④ 成立 X (0) 0, X ( l ) 0
特点: 方程齐次, 边界齐次.
设 u( x , t ) X ( x )T ( t ) 且u( x , t ) 不恒为零，代入 方程和边界条件中得
XT '' a 2 X ''T 0 ①
由 u( x , t )不恒为零，有：
X ( x ) T (t ) 2 X ( x ) a T (t )
n 1,2,
所以 ( x ), ( x ) 展开为傅立叶余弦级数，比较系数得 将 1 2 l n u0 (0x , t )0 A0 l (B0d t A 0 ) An n 0 ( ) cos d
l l n at n at l n x un ( x , t ) ( An cos Bn sin 2 )lcos n 1 l n 1,2, l l B0 0 0 ( )d Bn l 0 ( ) cos d l n a l 故 n at n at n x u( x , t ) A0 B0 t ( An cos Bn sin ) cos l l l n 1
数学物理方法分离变量法
数学物理方法分离变量法分离变量法是数学物理中常用的一种解微分方程的方法，它适用于一些特定形式的偏微分方程，能够将原方程分解成一系列简单的常微分方程，从而求得方程的解。
在物理学中，分离变量法常常用于描述热传导、波动、量子力学等问题的求解。
本文将介绍分离变量法的基本思想和应用，以及一些实际问题中的案例分析。
首先，我们来看一般形式的偏微分方程：\[F(x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial^2u}{\partial x^2},\frac{\partial^2 u}{\partial y^2},...) = 0\]其中，\(u = u(x,y)\) 是未知函数，\(F\) 是关于 \(x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\frac{\partial^2u}{\partial y^2},...\) 的已知函数。
我们的目标是求解这个偏微分方程，找到满足条件的 \(u\) 函数。
分离变量法的基本思想是假设未知函数 \(u(x,y)\) 可以表示为两个独立变量 \(x\) 和 \(y\) 的乘积形式，即 \(u(x,y) = X(x)Y(y)\)。
将这个形式代入原方程中，然后通过变量分离的方法，将方程化为两个关于 \(x\) 和 \(y\) 的常微分方程。
最后再对这两个方程分别进行积分，得到原偏微分方程的解。
下面我们通过一个具体的例子来说明分离变量法的应用。
考虑二维热传导方程：\[\frac{\partial u}{\partial t} = k\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)\]其中，\(u(x,y,t)\) 表示温度分布，\(k\) 是热传导系数。
(2+1)维耗散长水波方程的一般多线性分离变量解
非线性 微分方 程 的精 确求解 一直是 人们非 常关 注的 问题 ． 由于非线性 微分方 程没有 统一 的求 解方法 ， 一 种方 法通 常不能得 到各 种类 型 的特解 ， 因此人 们相继 提 出许 多行 之有效 的方法． 分离变 量法ｎ 是 求解非线 性 系统 的一种 有效方 法 ， 并且 有不 同 的分 离变量 法被先后 提 出 ， 如形 式分离 变量法 、 多线性 分离 变量法 、 泛函分
２ 呼 伦 贝 尔学 院 数 学科 学 学院 。 蒙 古 呼 伦 贝 尔 ０ １０ ） ． 内 ２ ０ ８
摘
一
要 ： 基 于 Ｂ ｃｌｎ 换 的多 线性 分 离 变 量 法 推 广 到 （ ＋ １ 维 耗 散 长 水 波 方 程 ， 得 含 有 任 意 函数 的 将 ａｋｕ ｄ变 ２ ） 获
般 多 线 性 分离 变 量 解 ， 获 得 该 方 程 的 一 些 特解 ． 并 关 键 词 ： ２ １维 耗 散 长 水 波 方 程 ； ￣ｋｕｄ变 换 ； 般 多 线 性 分 离 变 量 法 （＋ ） Ｂ ｃ ｌｎ 一 中图 分 类 号 ： ７ ． ９ ０ １ ５２ 文献标识码 ： Ａ 文章 编 号 ：１０ － ７ ５２ １） １ ０ １－ ４ ０ １ ８３ （０ ００ － ０ ８ ０
“＝ Ｕ ０＋ １ ＋ “ 厂 厂 ２ ， Ｖ ０＋ ７ 厂 Ｊ １ ， ， ¨
ｏ ，
其 中Ｕ ，ｚ ｚＵ ，ｏｆ ｌ“ ， ，ｏ７ ， 都是关于｛ Ｙ ｔ 的函数 ， Ｕ ， 是种子解． ３ 式代人方程（） （）令 的同次 ． １ ， ，） 而 。７ Ｊ ｏ 将（） １ ，２ ，
Ｎ
推广 到更一 般 的形 式 ｆ—Ｏ （ ￡ ＋ Ｐ （ ， ） ，） 求解 （ 十 １ ｏ ， ） ｚ ｙ Ｑ （ ， ２ ）维耗散 长水波方 程 ， 得了含 有任意 获
_2_1_维Burgers方程组_u_t__省略_y_u_xx_v_y_u_x_
广西工学院学报第23卷0引言众所周知，许多非线性偏微分方程都有着非常重要的物理学背景，它们现已成为数学物理研究的基本方程之一［1-3］．最近，人们已经将部分偏微分方程的研究与复常微分方程的研究紧密结合起来［4-7］．2005年，Eremenko A ［4］研究了Kuramoto－Sivashinsky 方程vw ′″+bw ″+μw ′w 22+A =0，v ≠0（其中v ，μ，b 和A是复常数）亚纯解的结构;1986年，EremenkoA ［5］就k 阶的Briot —Bouquet 方程nk =0ΣP k （w ）（w （k ））n-k =0（其中P k （w ）是关于w 的常系数多项式）进行了研究，给出了k 为奇数时方程亚纯解的结构;2007年，EremenkoA ［6］等给出的k 为偶数时，Briot —Bouquet 方程亚纯解的结构;因此，关于高阶Briot —Bouquet 微分方程亚纯解的结构已经清楚了．本文的主要工作是：考虑在参数任意选择的情况下，给出（2＋1）维Burgers 方程组的亚纯行波解的结构．本文使用常用的Nevanlinna 值分布理论的记号，如T （r ，f ），m （r ，f ），N （r ，f ），S （r ，f ）.1有关引理引理1［8］（Clunie 引理）设w 是方程w n p （z ，w ）＝Q （z ，w ）的超越亚纯解，其中p （z ，w ）和Q （z ，w ）是关于w 和w 导数的多项式，w 导数的系数亚纯，记｛a λ|λ∈I 〉且对所有的λ∈I 有m （r ，a λ）＝S （r ，w ）．若Q （z ，w ）关于w 和w 导数的多项式总次数≤n ，那么m （r ，p （a ，w ））＝S （r ，w ）．引理2［9］（Mohon.ko 引理）设w 为亚纯函数，若关于w 的不可约有理函数R(z,w)=p （z ，w ）Q （z ，w ）=pi =0Σa i （z ）wiqj =0Σb j（z ）wj的系数a i （z ），b j （z ）亚纯，且T （r ，a i ）＝S （r ，w ），i＝1，…，p ，T （r ，b j ）＝S （r ，w ），j ＝1，…，q ，则T （r ，R （z ，w ）＝dT （r ，w ）＋S （r ，w ）．其中d＝max （p ，q ）．引理3［9］设f 为亚纯函数，若T （r ，f ）=S （r ，f ），则f 为有理函数．（2＋1）维Burgers 方程组u t =uu y +αvu x +βu yy +αβu xxv y =u xΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣ的亚纯行波解熊维玲（广西工学院信息与计算科学系，广西柳州545006）摘要：通过行波变换将（2＋1）维Burgers 方程组转变为复域中的常微分方程组，以Nevanlinna 值分布理论的有关知识为基础，研究了Burgers 方程组亚纯解的结构，得到了（2＋1）维Burgers 方程组的亚纯行波解的形式．关键词：亚纯函数；行波解；Burgers 方程组中图分类号：O175．4文献标志码：A收稿日期:2012-01-05基金项目：国家自然科学基金项目（10661002）；广西自然科学基金项目（桂科自0728041）资助．作者简介：熊维玲，教授，研究方向：复分析，E-mail ：xiongwl@.文章编号1004-6410（2012）01-0070-04第23卷第1期广西工学院学报Vol.23No.12012年3月JOURNAL OF GUANGXI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Mar.2012第1期引理4［4］设w＝w （z ）为周期亚纯函数，具有无穷多个极点，z 0为其一个极点．则w 的所有极点的集合可表示为z 0+Γ，其中Γ是（C ，+）上的一个非平凡离散子群．若Γ同构于Z ×Z ，则w 是椭圆函数且在每个周期格内仅有一个极点．若Γ同构于Z ，则，C/Γ=C *=C /0，且w 是单周期亚纯函数，所以w 可以用R （exp （az ））（a ∈C ）来表示，其中R 是C *上的亚纯函数且在C *上仅有一个极点．2定理及其证明（2＋1）维Burgers 方程组的一般形式为u t =uu y +αvu x +βu yy +αβu xxv y =u x∈（1）通过变换u＝u （ξ），ξ＝kx＋qy＋wt ，把方程（1）转化成为如下形式wu =q u 2＋αkq v 2＋（βq 2＋αβk 2）u ′＋C 1qv=ku+C 2∈∈∈∈∈∈∈∈∈（2）定理1方程组（2）的解只能有以下4种情形：1)u 为常数．2)u （ξ）＝（βq 2＋αβk 2）q ＋αk 3∈∈－1（ξ－ξ0）－1+A ．3)u 为椭圆函数，此时每个周期内有一个二阶极点．4)u＝R （z ），z＝R （exp （a ξ））（a ∈C ），其中R （z ）是关于z 的有理函数且仅有一个极点．其中qv＝ku＋C 1，A ，C 1，为常数．证明由（2）得到w -αk 2C 2∈∈u =q ＋αk 3∈∈u 2+（βq 2＋αβk 2）u ′+C 3（3）其中C 3=αk C 22+C 1．（I ）证明恰有一个以ξ=0为极点的亚纯Laurent 级数满足方程（3）设有级数u （ξ）＝∞j ＝mΣc j ξj ，m ＜0，c m ≠0（4）将式（4）代入式（3）得到w-αk 2C 2q ≠∈∞j ＝mΣc j ξj=q 2＋αk 32q ∈∈∞j ＝mΣc j ξ∈∈j2+（βq 2＋αβk 2）∞j ＝mΣc j ξ∈∈j′+C 3（5）考虑式（5）左右边的最低次项得到q 2＋αk32q∈∈c m2ξ2m+（βq 2＋αβk 2）c mξm -1=0，所以q 2＋αk32q∈∈c m2+（βq 2＋αβk 2）c m=0且2m=m -1因此m =-1，c -1=（βq 2＋αβk 2）q 2＋αk 32q∈∈－1同理其它的系数也都被唯一确定．因此，u （ξ）=βk2q 2＋αk 32q∈∈－1ξ-1+p （ξ），其中p （ξ）为整函数．熊维玲：（2＋1）维Burgers 方程组u t=uu y+αvu x+βu yy+αβu xxv y=ux≠的亚纯行波解71广西工学院学报第23卷（II ）u 为只有有限多个极点的亚纯函数时（i ）证明u 不可能为超越亚纯函数将式（3）改写为q 2＋αk 32q u 2=w-αk 2C 2qu-βk 2u ′-C 3．由引理1知：m （r ，u ）＝S （r ，u ），又N （r ，u ）＝S （r ，u ），由此T （r ，u ）＝S （r ，u ），由引理3，得到u 为有理函数．（ii ）证明u 在复平面只有一个极点设ξ0，ξ1为u 在C 平面上的两个不同极点，则u （ξ+ξ0）和u （ξ+ξ1）都为方程（3）的以ξ=0的极点的解．故由（I ）可知：u （ξ+ξ0）＝u （ξ+ξ1），即u （ξ）=u （ξ-ξ0+ξ1），所以u 为周期函数．而周期有理函数只能为常数，没有极点，这与u 在复平面有极点的条件矛盾，所以u 在C 上只有一个极点．（iii ）确定u 的形式假设u 在C 平面上只有一个极点记为ξ0，且记u 在ξ=ξ0的去心邻域内的Laurent 展式为u （ξ）=nj ＝p Σc j （ξ-ξ0）j （p ＜0）．将其代入（3）式得w-αk 2C 2qnj ＝pΣc j（ξ-ξ0）j=q 2-αk 32q nj ＝pΣc j（ξ-ξ0） j2+βk 2nj ＝pΣc k（ξ-ξ0） j′+C 3类似（I ）的证明，考虑上式ξ-ξ0的最低次幂的项可得p =-1，c -1=βk2q 2+αk 32q2．故u （ξ）=βk2q +αk 3-1（ξ-ξ0）-1+p （ξ）=C 4（ξ-ξ0）-1+p （ξ）（6）其中C 4=βk 2q +αk 3-1，p （ξ）为多项式．将式（6）代入式（3）可以得到w -αk 2C 2q（C 4（ξ-ξ0）-1+p （ξ））=q 2+αk 32q（C 4（ξ-ξ0）-1+p （ξ））2+βk 2（C 4（ξ-ξ0）-1+p （ξ））′+C 3考虑上式p （ξ）的最高次数可得p （ξ）为常数A ，因此，u （ξ）=βk 2q +αk 3-1（ξ-ξ0）-1+A（III ）u 为有无限多个极点的亚纯函数时设ξ0，ξ0为u 在C 平面上的2个不同极点，则u （ξ+ξ0）和u （ξ+ξ1）都为方程（3）的以ξ=0的极点的解．故由唯一性性质可知：u （ξ+ξ0）＝u （ξ+ξ1），即u （ξ）=u （ξ-ξ0+ξ1），所以u 为周期函数，且每一对极点ξ0-ξ1都是u 的一个周期．所以所有极点的集合可以表示成ξ0+Γ，其中Γ是（C ，+）上的一个非平凡离散子群．则Γ或者同构于Z 或者同构于Z ×Z ．下面我们分别讨论之．若Γ同构于Z ×Z ，由引理4知u 为椭圆函数，此时每个周期格内有一个二重极点．若Γ同构于Z ，由引理4有u=R （z ），z =exp （a ξ），R 为仅有一个极点的亚纯函数，a 为某一复常数．将u=R （z ）代入方程（3）整理得w-αk 2C 2q =q 2+αk 32qR+βk 2az R ′+C 31（7）令L （R ）=w-αk 2C 2q -βk 2az R ′R ，L 1（R ）=q 2+αk 32qR+C 31R如果R 为超越亚纯，则m （r ，L （R ））≤S （r,R ），而R 为仅有一个极点的亚纯函数，所以N （r ，R ）＝S （r ，R ），从而有N （r ，L （R ））≤N （r ，1/R ）+S （r ，R ）．因此T （r ，L （R ））≤N （r ，1/R ）+S （r ，R ）≤T （r ，R ）+S （r ，R ）（8）72第1期由引理2，有T （r ，L （R ））=2T （r ，R ）+S （r ，R ）（9）结合式（7），式（8）和式（9）式，得到T （r ，R ）=S （r ，R ）．由引理6，得到R 为有理函数，与R 不为有理函数矛盾，故R 为有理函数．这就证明了u=R （z ），z=R （exp （a ξ））（a ∈C ），其中R （z ）是关于z 的有理函数且仅有一个极点．综上所述，定理1得证．参考文献［1］李志斌．非线性数学物理方程的行波解［M ］．科学出版社，2007.［2］DriscollCF ，O ，NeilTM．Explanation of instabilities observed on a Fermi－Pasta－UIamLattice ［J ］．phys Rev Lett ，1976，37：69－72．［3］KodamaY ，TaniutiT．Higher order approximation in the reductive perturbation method ［J ］．phys Soc jpn ，1978，45（1）：298－310．［4］EremenkoA．Meromorphic traveling wave solution of the Kuramoto－Sivashinsky equation ［J ］．Math phys Anal Geom ，2005,25:278－286．［5］EremenkoA．Meromorphic solutions of equations of Bouquettype ［J ］．Teor Funktsii Funk Anal prilozh ，1982，38：48－56．［6］EremenkoA ，LiaoLW ，NgTW．Meromorphic solutions of higher order Briot —Bouquet differential equations ［J ］．Arxiv ，2007（28）：98．［7］柏玲玲，吴奇峰，袁文俊．高阶KdV 方程的复化解结构［J ］，应用数学学报，2010，33（4）：681－689．［8］何育赞，萧修治．代数体函数与常微分方程［M ］．北京：科学出版社，1988．［9］杨乐．值分布理论及其新研究［M ］．北京：科学出版社，1982．［10］熊维玲，邓涛．一类亚纯函数的分解［J ］．广西工学院学报，2011（4）：1－4．［11］赵展辉，韩松．一类拟线性边值问题的多重凸解［J ］．广西工学院学报，2010（3）：61－66．Meromorphic travel solutions of （2＋1）dimension Burgers systemsXIONG Wei－ling（Department of Information and Computing Science ，Guangxi University of Technology ，Liuzhou 545006，China ）Abstract ：Through the traveling wave transformation in the paper ，we transform the Burgers systems to the ordinary differential equation in complex field．Based on the knowledge of Nevanlinna valued distribution theory ，we investigate the forms of meromorphic solutions of the Burgers equations and obtain type of meromorphic travel solutions of （2＋1）dimension Burgers systems．Key words ：meromorphic function ；travel solutions ；Burgers system of equations（责任编辑李彦青）熊维玲：（2＋1）维Burgers 方程组u t=uu y+αvu x+βu yy+αβu xxv y=ux∈的亚纯行波解73。
(2+1)维非线性偏微分方程的精确解
(2+1)维非线性偏微分方程的精确解鱼翔【摘要】利用李群分析法得到了(2+1)维Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff方程的对称及不变解,并求得该方程的新的精确解,包括雅克比椭圆函数解、三角函数解.【期刊名称】《玉溪师范学院学报》【年(卷),期】2015(031)004【总页数】5页(P13-17)【关键词】(2+1)维CBS方程;对称群;群不变解;精确解【作者】鱼翔【作者单位】西安培华学院基础部,陕西西安710125【正文语种】中文【中图分类】O175随着现代数学和物理学的发展,非线性偏微分方程的求解问题特别是对一些高维的非线性微分方程的求解成为研究的热点.近年来,对非线性偏微分方程寻找对称约化和构造精确解方面的研究取得了很大的进展.为了得到非线性偏微分方程的精确解,研究者提出了很多方法来解决,诸如经典的李群方法[1]、非经典的李群方法[2]、CK直接法[3]和改进的CK直接法[4].本文研究(2+1)维Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff(CBS)方程4uxt+uxxxz+4uxuxz+2uxxuz=0(1)文献[5]利用Hirota双线性法求出了CBS方程的部分多孤子解;文献[6]利用经典的李对称方法给出了CBS方程的李点对称;文献[7]给出了(2+1)维广义CBS方程的无穷多对称及其约化;文献[8]利用李群分析法和行波约化法给出了(2+1)维CBS方程的相似解;文献[9]利用拓展的双曲函数展开法求出了该方程的行波解.本文利用非古典对称方法得到(2+1)维CBS方程的群不变解,然后将该方程约化为常微分方程,最后得到了该方程一些新的精确解.1 (2+1)维CBS方程的对称非线性发展方程Φ(x,z,t,ux,ut…)=0(2)称函数σ(x,z,t,ux…)为方程(2)的一个对称，如果Φ'(u)σ=0(3)对于任意的u都成立.其中对于(2+1)维CBS方程(1),利用(2)可得到方程(1)的对称满足的方程如下:σxxxz+4σxt+4σxuxz+4σxzux+2σxxuz+2uxxσz=0.(4)下面利用待定系数法[10，11]求解方程(1)的σ.假设方程(1)有如下形式的解σ=a(x,z,t)ut+b(x,z,t)ux+c(x,z,t)uz+d(x,z,t)u+e(x,z,t)(5)其中a,b,c,d,e为待定函数.将方程(5)代入方程(1),并且利用-4uxt-4uxuxz-2uxxuz 替换uxxxz,即可得到关于a,b,c,d,e的偏微分方程组ax=0,az=0,bz=0,cx=0,dz=0,dxx=0,d-bx=0,4dx+bxx=0,2bt+ez=04ext+exxxz=0,3dxx+4ct+bxxx+4ex=0,dt+bxt+exz=0,at-2bx-cz=0通过求解该决定方程组可得a=2f1t2+(2f2+f3)t+f4,b=(f1t+f2)x+φ(t),d=f1t+f2c=(2f1z+f5)t+f3z+f6,e=-x(2f1z+f5)-2zφ'(t)+ψ(t)(6)其中φ(t),ψ(t)为t的任意函数,fi(i=1,2,3,4,5,6)为常数.则方程(1)的对称为σ=[2f1t2+(2f2+f3)t+f4]ut+[(f1t+f2)x+φ(t)]ux+[(2f1z+f5)t+f3z+f6]uz+[f1t+f2]u+[-x(2f1z+f5)-2zφ'(t)+ψ(t)].(7)2 (2+1)维CBS方程的群不变解为得到方程(1)的对称约化,利用σ=0和方程(1)的相容性,先求解σ=0时方程(1)的特征方程组(8)现在讨论以下几种情况:情况(1):令f1=f4=φ(t)=f5=f6=ψ(t)=0,f2=f3=1特征方程为解特征方程可得到它的不变解为(9)将(9)式代入方程(1).就可以将方程(1)约化为下面的方程6hθθhω-8hθ-4θhθθ-4ωhθω+12hθhθω+3hθθθω=0.(10)情况(2):令f1=f2=f3=f4=f5=ψ(t)=0,f6=-a其特征方程为解特征方程可得到它的不变解为(11)将(11)代入方程(1)得到约化方程为(12)情况(3):令f1=f4=f6=φ(t)=ψ(t)=0,f3=-2,f2=f5=1其特征方程为解特征方程可得到它的不变解为(13)将(13)代入方程(1)得到约化方程为(14)情况(4):令f1=f4=f5=f6=ψ(t)=0,f2=f3=1,φ(t)=t其特征方程为解特征方程可得到它的不变解为(15)将(15)代入方程(1)得到约化方程为6ω2hθθθω-6ωhθθθ+6ωhθhθω-2θω2hθθ+3ωhθθhω-3hhθθ-2ω3hθω-2ω2hθ=0(16)情况(5):令f1=f2=f3=f6=ψ(t)=0,f4=f5=φ(t)=1其特征方程为解特征方程可得到它的不变解为(17)将(17)代入方程(1)得到约化方程为hθθθω+4θhθω-4hθhθω+2hω-2hωhθθ-4hθθ=0(18)3 (2+1)维CBS方程的精确解通过解约化方程(12)就可得到方程(2+1)维CBS方程的一些新的精确解,然后作下面的变换(19)方程(12)就可约化为常系数常微分方程(20)其中k为任意常数,由方程(11)和方程(19)可知其变换如下(21)即方程(1)就可约化为方程(20).对方程(20)两边同时积分后在同时乘以h''在积分,然后令h'=g得(22)求解上式方程的解就可以得到方程(1)的一些新的精确解:a)如果b=c=0,ak<0方程(22)的解如下(23)(24)因此方程(20)的解为(25)(26)由方程(21)、(25)、(26)可得方程(1)的新精确解为(27)(28)b)如果b=c=0,ak>0方程(1)的解为(29)c)如果取则方程方程(1)的解为(30)d)如果取则方程(1)的解为(31)e)如果取则方程(1)的解为(32)其中为雅克比椭圆函数4 结论本文通过李群分析法得到(2+1)维CBS方程的对称，然后利用特征方程得到群不变解将该方程约化为常微分方程，并求得该方程一些新的精确解，其中包括雅克比椭圆函数解、三角函数解.这些解在数学物理中有着重要的应用,这种方法也可以适用于其他高维的非线性微分方程的求解.参考文献：[1]OLVER P J.Application of lie group to differentialequations[M].Berlin:Springer,1986.[2]楼森岳，唐晓燕.非线性数学物理方法[M].北京:科学出版社,2006.[3]CLARKSON P A.KRUSKAL M D.New similarity reductions of theboussinesq equation[J].J Math Phys,1989,30:2201-2212.[4]LOU S Y,MA H C.Non-Lie symmetry groups of (2+1)-dimensional nonlinear systems obtained from a simple direct method[J].J Phy A:Math Gen,2005(38):129-137.[5]WAZWAZ Abdul-Majid.Multiple-soliton solutions for the Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff,Jimbo-Miwa and YTSF equation[J].Appl Math Comput,2008,203(2):592-597.[6]智红燕.(2+1)维Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff方程的对称约化及其新的类孤子解[J].中国石油大学学报:自然科学版,2010,34(3):170-173.[7]ZHANG H P，CHE Y,LI B.(2+1)维广义Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff方程无穷多对称及其约化[J].物理学报,2009,58(11):7393-7396.[8]M.L.Gandarias1,M.S. Bruzon1,Symmetry group analysis and similarity solutions of the CBS equation in (2+1) dimensions[J].Appl. Math. Mech,2008,8:10591-10592.[9]Wazwaz A.M. New solutions of distinct physical structures to high-dimensional nonlinear evolution equations[J].Applied Mathematics and Computation,2008,196:363-370.[10]李富志,刘希强.Jimbo-Miwa方程的对称约化及不变解[J].量子电子学报，2008,25(2):155-160.[11]刘娜,刘希强.(2+1)维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程的对称，精确解及守恒律[J].量子电子学报，2008,25(5):546-552.。
《两类(2+1)-维非线性波方程的有理解,半有理解及其带源推广》范文
《两类（2+1）-维非线性波方程的有理解，半有理解及其带源推广》篇一两类（2+1）-维非线性波方程的有理解、半有理解及其带源推广一、引言（2+1）-维非线性波方程是一类在物理学、工程学以及数学领域中广泛研究的偏微分方程。
它们描述了各种复杂的物理现象，如流体动力学、光学、电信号传播等。
本文旨在探讨两类（2+1）-维非线性波方程的有理解（完全解）和半有理解，并进一步研究其带源推广的解法。
二、两类（2+1）-维非线性波方程的概述（一）有理解有理解是指能够用一组明确的数学表达式来描述的解。
对于（2+1）-维非线性波方程，有理解通常包括一系列特定的函数形式，这些函数形式能够满足方程的所有约束条件。
有理解对于理解和分析非线性波的传播行为具有重要意义。
（二）半有理解半有理解是指部分满足方程约束条件的解。
这些解可能只适用于特定的初始条件或边界条件，但仍然为研究非线性波的传播行为提供了有用的信息。
半有理解通常涉及到更复杂的函数形式和更严格的约束条件。
三、两类（2+1）-维非线性波方程的有理解及其求解方法对于（2+1）-维非线性波方程的有理解，我们可以采用不同的方法来求解。
这些方法包括但不限于分离变量法、逆散射法、双线性法等。
通过这些方法，我们可以得到一系列具有明确函数形式的解，从而深入理解非线性波的传播行为。
四、两类（2+1）-维非线性波方程的半有理解及其应用半有理解在（2+1）-维非线性波方程的研究中同样具有重要意义。
虽然这些解可能只适用于特定的初始条件或边界条件，但它们仍然为研究非线性波的传播行为提供了有用的信息。
例如，在某些情况下，半有理解可以用于描述非线性波在特定介质中的传播行为，或者用于分析非线性波与其他物理现象之间的相互作用。
五、带源推广的（2+1）-维非线性波方程的解法带源推广的（2+1）-维非线性波方程是一种更复杂的非线性偏微分方程，它考虑了源项对非线性波传播的影响。
对于这种方程，我们可以采用类似上述的方法来求解，但需要考虑源项对解的影响。
KdV6方程的多线性分离变量解
KdV6方程的多线性分离变量解
张隽;谭喜玉
【期刊名称】《浙江工业大学学报》
【年(卷),期】2012(040)006
【摘要】KdV6方程是一个具有Painlevé性质的新的可积系统,拥有无穷多个非全局对称,具有双哈密顿结构.主要利用多线性分离变量法研究(1+1)维的KdV6方程.该方法的思路是先利用标准的Painlevé截断展开寻找变换,将原方程化为多线性形式,再利用变量分离求得方程的特殊解.利用这种方法得到了(1+1)维KdV6方程在一定条件下包含一个任意函数的解.最后利用Maple软件,做出了两个特解的图形.【总页数】3页(P689-691)
【作者】张隽;谭喜玉
【作者单位】浙江工业大学理学院,浙江杭州310032;浙江工业大学理学院,浙江杭州310032
【正文语种】中文
【中图分类】O175.2
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(3+1)维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程新的三波解
(3+1)维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程新的三波解袁娜【摘要】Nonlinear evolution equations(NLEEs) are widely employed as models to represent many important complex physical phenomena in nature.In this paper,by using theextend three-wave typeof ans(a)tz approach and the Symbolic computation software Mathematical,we obtain newthree-wave solutions of the(3 + 1) dimensional Boiti-Leon-Manna-Pempinelli equation.%很多自然界重要的复杂物理现象都能用非线性发展方程来表达,求解非线性方程的精确解已经变得越来越重要.本文利用拓展后的三波测试方法,结合符号计算软件Mathematical,获得了(3+1)维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程新的三波解.【期刊名称】《南昌大学学报（理科版）》【年(卷),期】2017(041)004【总页数】5页(P319-323)【关键词】三波测试方法;三波解;(3+1)维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程【作者】袁娜【作者单位】重庆电子工程职业学院马克思主义与通识教育学院,重庆401331【正文语种】中文非线性发展方程在自然科学、社会科学领域中有很多的应用，因此求非线性发展方程的精确解非常重要。
借助符号计算的帮助，求解非线性发展方程精确解的方法不断被研究者提出，比如齐次平衡法[1]、Hirota双线性法[2]、辅助方程法[3]、散射反演法[4]、Jacobi椭圆函数展开方法[5]、三波测试方法[6-12]等。
(2+1)-维Boussinesq方程的lump解与lump-stripe混合解
(2+1)-维Boussinesq方程的lump解与lump-stripe混合
解
庄建红;刘亚轻;郭金星
【期刊名称】《北京信息科技大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2017(032)006
【摘要】通过利用Hirota双线性形式,并借助符号计算Maple,得到了(2+1)-维Boussinesq方程的lump解、lump-stripe混合解、周期解与孤子解.通过选取不同的参数,并结合图像研究了这些解的动力学性质,特别是讨论了lump孤子和stripe孤子之间的相互作用现象,这些解及相关的性质将有利于理解(2+1)-维Boussinesq方程所描述的物理现象.
【总页数】6页(P84-89)
【作者】庄建红;刘亚轻;郭金星
【作者单位】北京信息科技大学理学院,北京100192;北京信息科技大学理学院,北京100192;中国人民解放军后勤学院后勤训练教研室,北京100858
【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
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其 中 Ｕ ， ，Ｏ Ｖ ， ｌ Ｕ ，ｏ厂都 是关 于 （ Ｙ，｝ 函数 ， ｚ， 的 而 ， ０ 种子 解． （ ） 代人 方程 （ ） （ ） 利用 ｆ的同次 Ｖ是 将 ３式 １ ，２ ，
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摘
要 ：利 用标 准 Ｐ ｉｌｖ 截 断 展 开 和 多 线 性 分 离 变 量 法 ， 究 了 （ ＋ １ 维 Ｂ ｉ— ｅｎＰ ｍｐ ｎ ｌ （ Ｌ ） ａｎｅｅ 研 ２ ） ｏｔ Ｌ ｏ － ｅ ｏ ｅ ｉ Ｂ Ｐ 方 ｉ ｌ
程 ， 得 （ ＋ １维 Ｂ Ｐ方 程 的包 含 两 个 任 意 函数 的解 ． 过 适 当选 取 任 意 函数 和 条 件 函数 ． 到 了 （ ＋ １维 Ｂ Ｐ 获 ２ ） Ｌ 通 得 ２ ） Ｌ 方 程 的 多 种 新 的局 域 相 干 结 构 ． 关 键 词 ：（ ＋ １维 Ｂ ｉ— ｅ ｎＰ ｍｐ ｎｌ （ Ｌ ） 程 ； 线 性 分 离 变 量 法 ；局 域 激 发 模 式 ２ ） ｏｔＬ ｏ － ｅ ｏ ｅｌ Ｂ Ｐ 方 ， ａｏ ｉ 得到 若干 周期 解． 文献 ｉ ］ 究 了 （ － １ 维 广 义 Ｂ ｏ ｒＫａ ｐ系统 ． 献 ［ ０ 研 究 了 － 研 ６ ２－ ） Ｉ － ｒｅ— ｕ 文 １３
（ ＋１ 维 破裂 孤子 方程 ． 文 受 上 述 文 献 的 启 发 ， （ ＋ １ 维 Ｂ ｉ － ｅ ｎ Ｐ ｍｐ ｎ ｌ （ Ｌ ） 程 进 行 了 ２ ） 本 对 ２ ） ｏｔ Ｌ ｏ － ｅ ｏ ｅｌ Ｂ Ｐ 方 ｉ ｉ
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１ （ ＋１ 维 Ｂ Ｐ 方 程 的 多线 性分 离变 量 解 ２ ） Ｌ
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第 ３ ７卷 第 ３ 期 ２０ ０ ８年 ５月
内 蒙 古 师 范 大 学 学 报 （自然 科 学 汉 文 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＩ ｎ ｒ Ｍｏ ｇ ｌ ｒ ｌ ｏ ｒ ａ ｏ ｎ ｅ ｎ ｏ ｉ Ｎｏ ｍａ ｉ ｅ ｓｔ （ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅ Ｅｄ ｔ ｎ ａ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｙ Ｎａ ｕ ａ ｃ ｅ ｃ ｉ ｏ ） ｉ
收穑 日期 ：２ ０ — ０ — １ ０７ ８ ８
基 金 项 目 ：国 家 自然 科 学 基 金 资助 项 目（０ ６ ０ ５ ；内 蒙 古 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（ ０ ６ ７ １ １ ４ １７ １０ ） ２０００００） 作者简介 ； 艳艳（９１ ， ， 杜 １８ 一） 女 内蒙 古 呼 和 浩 特 市 人 ， 内蒙 古 师 范 大 学 硕 士 研 究 生 ｝ 官 厅 （９ ６ ） 男 ， 刘 １ ６ 一 ， 内蒙 古 包 头 市 人 ， 蒙古 师范 大 内 学 教 授 ， 士 ， 要 从 事 内 插 空 同 理 论 及 应 用 、 晶 弹 性 与 缺 陷 力 学 以 及 非线 性 发展 方 程 等 研 究 ． 博 主 准
研究 ．
关 于 （ ＋１ 维 Ｂ Ｐ方 程 ， 有许 多学者 进行 过 研究 ， ２ ） Ｌ 已 文献 ［ １ 利 用 拓展 的映 射法 得 到 了（ ＋ １ 维 Ｂ Ｐ １］ ２ ） Ｌ 方程 的精 确解 ； 献 ［ ２ 将 改进 的变 系数 Ｒｉ ａｉ 程 映 射法 运用 到 （ ＋１ 维 Ｂ Ｐ方 程 ， 进一 步 研 究 了 文 １］ ｃ ｔ方 ｃ ２ ） Ｌ 并 其 混沌 现象 及孤 子 间的相 互作 用 ； 献 ［ ３ 证 明 了 （ － １ 维 Ｂ Ｐ方 程 的 可积 性 ， 证 明 了 （ ＋ １ 维 Ｂ Ｐ 文 １］ ２－ ） Ｉ － Ｌ 还 ２ ） Ｌ 方 程 可 以从 Ｓｎ － ｏ ｄ ｎ或 Ｓｎ － ｏ ｄ ｎ方 程导 出 ； 献 ［ ４ 经过 线 性 约 化 的线性 方程 进 行 分 离 变量 ， ｉｅＧ ｒｏ ｉｈＧ ｒｏ 文 １ ］对
中国 分 类 号 ： ４ １ ｉ Ｏ ｉ ． 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１ ０ － ７ ５ ２ ０ ） ３ ０ ６ － ４ ０ １ ８ ３ （０ ８０ － ３ ７ ０
近年来 ， 分离 变量 法在 非线 性领 域 的发展 为非线 性科 学 的研究 注入 了新 的活力 ［ ， 如 运用 多 线性 分 １ 例 ］ 离变量 法［ ， 以获得非 线 性 系统 的含任 意 函数 的广 义解 ， 为多线 性分 离 变量解 ． 目前 为止 ， ８ 可 ］ 称 到 人们 利用 多 线 性分 离 变量法 所得 的广 义解 中种 子解 的任 意性 ， 造 了非线 性 系统 的众 多精确 解 ， 构 并用 该方 法研究 了各种 相干结 构之 间的 相互作 用 性质 ． 一方 面 ， 找 非线 性 系统 精确 周 期解 也 是许 多学 者 研 究 的重 要课 题 ． 了 另 寻 为
达 到分 离变量 的 目的 ， 们 往往 采用 齐次 平衡 法 、 人 广义 形 变映射 法 、 ａｎｅ ｅ分析 法 、 ａｋｕ ｄ变换直 接代 入 Ｐ ｉｌｖ Ｂ ｃ ｌｎ
法 、 ａｂ ｕ Ｄ ｒｏ ｘ变换 等方法 ． 近 ， ｅ ｇ Ｙ ｎ ｅ 最 Ｐ ｎ ａ ｚ ［ 用 ＷＴＣ方 法研究 了一些 非线 性 演 化方 程 的 分离 变量 ， 过 钉运 通
Ｖｏ ． ７ ＮＯ ３ １３ ．
Ｍ ａ ０８ ｙ ２０
（ ＋ １ 维 Ｂ ｉ — ｅ ｎＰ ｍｐ ｎ ｌ ２ ） ｏｔ Ｌ ｏ — ｅ ｏ ｅｌ ｉ ｉ 方 程 的 多 线 性 分 离 变 量 法
杜 艳 艳 ，刘 官厅 ，韩 飞
（ 内蒙 古 师 范 大 学 数 学科 学 学 院 。 蒙 古 呼 和 浩特 ０ ０ ２ ） 内 １０ ２