第三章 同余

m
n
证明 由定理2.1.3和已知: p m n 又ab=c, 故 . ( ∑ a i )( ∑ b j ) ≡ ( ∑ c k )(mod 9 ) , i=0 j=0 k=0 可见, 若
( ∑ ai )( ∑ b j ) ≡ ( ∑ c k )(mod 9)
i =0 j =0 k =0
m
n
p
则可判断乘积ab=c是错误的, 这即是弃九法之原则 这即是弃九法之原则．
II
(弃九法 若ab=c, 其中a>0, b>0, 并且 弃九法) 其中a>0, 并且, 弃九法
m i
nபைடு நூலகம்
a = ∑ a i ⋅ ( − 1) , b =
i=0
∑b
j=0
j
⋅ 10 ,
j
c = ∑ ck ⋅10 k
p
k =0
p
则:
(∑ ai )(∑ b j ) ≡ (∑ ck )(mod 9)
i =0 j =0 k =0
接下来谈谈本节所列性质在算术里的两个应用
I. 检验因数的一些方法 整除的充分必要条件是它 A 一个整数能被3（9）整除的充分必要条件是它 的十进位数码的和能被3（9 9）整除.
•证明 设a是一正整数,并将a写成 写成10进位数的形式: a = an10n + an −110n −1 + L + a110 + a0, 0 ≤ ai < 10 因为10≡1(mod3),所以我们得到 所以我们得到
由同余的定义可以得到下列性质 ：
①甲 a≡a (mod m). ②乙 若a≡b(mod m), 则 b≡a(mod m). ③丙 若a≡b(mod m), b≡ ≡c(mod m), 则 a≡c(mod m).
定理1 两个整数a,b对于模m同余的充分与必要条件是 同余的充分与必要条件是m|(a－ b)，即a=b+mt a=b+mt，t是整数。 证明： 证明： ∵ a ≡ b (modm) ∴ a＝mq1+r ， b＝mq2+r，( 0≤r<m )， ＝ ＝ ， －（mq +r）＝ ）＝m(q1－q2)， ∴ a－ b ＝mq1+r －（ 2+r）＝ ， m |(a－b)。 a－ 。 从而由整除的定义得
设a＝mq1+r1,(0≤r1<m), b＝mq ＝ ＝mq2+r2 ,(0≤r2<m)， ， a－ b＝m (q1－q2) + (r1－r2 )， 则 ＝ － － 2 )， 所以m|(r1－ r2 )，而0≤r1<m ，0≤r2<m 故| r1－r2 因为 m |(a－b). 所以 － ， － |<m, 又因为 | r1－r2 |≥0，所以 － ， 只有r1－ 所以a 只有 －r2 ＝0，即r1＝r2 ， ＝ 所以 ≡ b (modm)
定理2 定理2
若A
己 若a ≡ b (modm),且a= a1d d，b=b1d ， (d，m)=1， 则a1≡b1 (modm)。 庚 (i)若a ≡ b (modm)，k>0,则若 则若ak≡ bk (modmk)。 (ii)若a ≡ b (modm)，d是a,b a,b及mde任一正公因数,则 (a/d)≡(b/d) (mod(m/d)). 辛 若a ≡ b (modmi ),i=1,2,...,k,则a ≡ b (mod[m1,…,mk ] )。 i=1,2,...,k,则 壬 若a ≡ b (modm)，d|m ， d d>0,则 a ≡ b (modd) 。 癸 若a ≡ b (modm), (a，m)= (b，m)，因而若d能整除m )= 及a，b二数之一，则d必能整除 必能整除a，b中的另一个。
由性质癸 ，即知，3 | a当且仅当3 | ∑ ai 。同法可证 a. 当且仅当3 同法可证9| 当且仅当
i =0
m
B 设正整数
a = ∑ ai ⋅1000
i =0
m
i
则7（或11，或13）整除a的充分必要条件是 7（或 的充分必要条件是 m 11，或13）整除 ∑ ai ⋅ (−1) i
i =0
第三章
同余
第一节 同余的概念及其基本性质 性质 §1 同余的概念 §2 同余的性质 §3 同余的应用 3
§1 同余的概念
给定一正整数m, 把它叫做模。如果用m 定义 给定一正整数m, 把它叫做模。如果用 去除任意两个整数a和b所得余数相同 所得余数相同, 去除任意两个整数 和b所得余数相同 则称 a,b为对模 同余 记作 ≡b(mod m); 若余数 为对模m同余 为对模 同余, 记作a≡ 不同, 为对模m不同余, 不同 则称 a,b为对模m不同余 记作 ≡ 为对模 不同余 记作a b(mod m).
由定理1及整数性质可得下列性质 由定理 及整数性质可得下列性质
丁 （i）若a ≡ b (modm), c ≡ d (modm), 则 a＋c ≡b＋d (modm)。 （ii）若a +b≡ c (modm), ),则a ≡c-b (modm)。 戊 若a ≡ b (modm), c ≡ d (modm),则 ac ≡bd (modm)， 特别的，若a ≡ b (modm)， ，则若ak≡ bk (modm)。