鲁教版七年级数学下学期三角形的综合证明精品
初中数学鲁教版七年级下册《第十章 三角形的有关证明 1 全等三角形》教材教案
鲁教版数学七年级下册第十章《三角形的有关证明》第1节《全等三角形》教学设计一．本节课的设计理念：新课程中对学生的情感．体验．价值观，以及获取知识的渠道都有悖于传统的教学模式，这正是教师在新课程中寻找新的教学方式的着眼点．应该说，新的教学方式将伴随着教师对新课程的逐渐透视而形成新的路径．在本节课的教学过程中，我要做的是：1．指挥员，帮助学生决定适当的学习目标，并确认和协调达到目标的最佳途径；2．引导员，指导学生形成良好的学习习惯，掌握学习策略；3．打火机，创造丰富的教学情境，培养学生的学习兴趣，充分调动学生的学习积极性；4．潜伏者，建立一个接纳的．支持性的．宽容的课堂气氛，作为学习的参与者，与学生分享自己的感情和想法，和学生一道寻找真理．二．课标要求1．了解并掌握作为证明基础的三条基本事实的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式．能利用基本事实证明全等三角形的判定定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形．2．能灵活运用“边角边”．“角边角”．“边边边”．“角角边”判定两个三角形全等，综合运用全等三角形的性质与判定解决问题．对推理证明的要求，进一步熟练和提高．三．学习目标1．会根据基本事实证明“AAS”定理．2．灵活运用基本事实和定理判定两个三角形全等．3．对推理证明的要求进一步熟练和提高．四．教材分析本节课是在学习了平行线的有关证明的基础上进行的，主要回顾全等三角形的判定方法，即三条基本事实和一条判定定理，使学生掌握推理证明的基本要求，明确每一步推理的依据并能准确地表达推理的过程，掌握证明的方法．思路，培养学生的推理能力.本节内容既是前面知识的深化和应用，又是本章后面学习的预备知识，还是证明角相等．线段相等的重要依据，为今后学习四边形及圆的有关知识奠定基础.因此，本节内容在教材中处于非常重要的位置，起着承前启后的作用.根据教材的地位和作用，确定本节课的教学重点是能把已知条件与图形结合判定两个三角形全等，进而判定线段．角之间的等量关系．五．学情分析在七年级上学期，学生已采用操作等直观方法归纳过三角形全等的条件，在侧重发展学生的合情推理能力的同时，初步渗透了简单的演绎推理，这为本节课的学习奠定了基础.但对于推理学习刚刚入门的初二学生而言，用文字语言叙述的几何命题的证明，从写已知．求证直至完成证明，每一部分都有些难度.因此，我确定本节课的难点是证明过程中数学符号语言的正确表达及定理的应用.在组织学生活动时，采用自主探究与合作交流相结合的方式，教师成为学生感知．探究数学知识的引导者和启发者，是学生进行联想．综合进而达成知识建构的帮助者，最大限度地关注学生，促进学生的发展.六．教法．学法和教学手段：采用“问题情境——自学——合作——展示——辩论——评价——应用与拓展”的模式展开教学．采用对话式．激励教学．问题教学．分层教学等多种教学方法，以达到教学目的．七．评价设计1.通过“小试锋芒”环节达成学习目标1.2.通过“宝剑锋从磨砺出”环节达成学习目标2.3.通过“思维加油站”环节达成学习目标3.八、 教学过程（一）温故知新如图，已知△ABC ≌△DEF ，则可以得到如下结论： ．2．如图，（1）如果AB=DE ，∠B=∠E ，∠A=∠D ，则证明△ABC ≌△DEF ，用到的方法是： ；（2）如果AB=DE ，∠B=∠E ，BC=EF ，则证明△ABC ≌△DEF ，用到的方法是： ； （3）如果AB=DE ，∠B=∠E ， ，则证明△ABC ≌△DEF ，用到的方法是：AAS ；（4）如果AB=DE ，AC=DF ， ，则证明 △ABC ≌△DEF ，用到的方法是：SSS ． 设计意图：通过问题1引领学生回顾全等三角形的性质，问题2便于学生及时回顾上学期学习的判定两个三角形全等的方法．采用由学生交流答案及知识点的方式引领全体同学回归基础知识，这样便于学生在第一时间感知本节课的学习内容，利于本节课知识的顺利进行．问题应对：学生在叙述四条判定方法时可能只说字母表示形式，这时教师要及时地引导学生（二）小试锋芒第四种方法现在还不能作为解题的依据，因为缺少严谨的证明过程，要用它，就必须先证明它的合理性．我们来看这一命题：“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”，考虑这样两个问题：（1）要证明什么？（2）条件有哪些？结合图形考虑，找一位同学交流已知和求证．问题（3）现在证明两个三角形全等的方法只有哪三种？独立尝试完成小试锋芒．已知：如图，在△ABC 和△A'B'C'中，∠B=∠B ’，∠C=∠C ’，AB=A ’B ’.求证：△ABC ≌△A'B'C'.教师引导学生共同分析命题的条件和结论，同时画出图形写出已知．求证． 学生自主完成．一生板演，交流解题分析过程，学生评价．4．符号语言： 在△ABC 和△A'B'C'中， ∵∠B=∠B ’，∠C=∠C ’，AB=A ’B ’∴△ABC ≌△A'B'C'.（AAS ）5． 盘点四种证明三角形全等的方法：设计意图：这一环节是对“AAS ”定理的证明，虽然简单，也应让学生进行证明，目的有两二是进一步巩固命题证明的一般步骤，为下面的推理证明做准备．同时，借助盘点过程，让学生进一步认清条件之间的位置关系，条件不足时的思考途径，对学生解题思路的引领起到无形的推动作用．学生展示作品环节由学生交流，学生评价，提高学生的参与程度，利用激励性的语言，在教A C B D F E AC BA ’ C ’B ’师或学生的引领下，促进学生解题分析能力的培养． 问题应对：学生在交流解题思路时可能会出现交流解题方法的情况，这时教师要及时总结引角形全等，我们是从问题出发，寻找条件，这道题已知的是两角一边，可以考虑ASA ，而ASA 中的边必须是夹边，在边不能改变的前提下，我们考虑改变角的位置，从而想到了三角形内角和定理，实现了问题的转化．这样为学生的后续学习奠定了基础． 思维加油站1．如图，线段AB 与CD 相交于点O ．判断下面的命题是否正确，并说明理由．如果AC=BD ，AO=DO ，那么△AOC ≌△DOB ．2．已知，如图，AE 和CD 相交于点O ，∠ADO=∠CEO=90O ．要证明△AOD ≌△COE ，只需再添加一个条件： = ，依据是 ；或 = ， 依据是 ；或 = ，依据是 ．设计意图：这一环节是对判定方法的及时巩固，通过问题1的错误命题，加深学生对于“SSA ”第2题设计为条件开放，目的是开阔学生思路，灵活选择方法，合理利用图形．问题应对：在判断第一题的真伪时，可能有学生判断这是一个真命题，也可能没有学生但学生可能对于真正的原因遗忘比较大，教师通过多媒体动画展示，引领学生回顾上学期知识的呈现过程，让学生不但知道所然，而且知道所以然． （三）宝剑锋从磨砺出例题：如图，已知AO=DO ，∠C=∠B ，请你独立设计问题并证明．1．先独立思考，小组交流，小组长把设计的问题总结一下，总结完的小组可以派一个代表板书在黑板上，其它小组补充．2．学生评价所有的问题或者哪一个问题的设计吗？（如：把问题归类，好与不好，成立还是不成立等）3．这些问题都能得以解决吗？尝试证明．4．学生交流分析过程，其它同学从中受益．设计意图：本题是本节课的例题，在处理时改为结论开放题，由学生当老师设计问题，这样充分发挥师生之间．生生之间的交流学习，培养思维的广度,激发求知欲.组内相互交流，组与组之间互相补充，培养学生的分析推理及合作交流的能力.通过审视学生的问题解决过程，发展学生勇于质疑．严谨求实的科学态度.让学生体会到证明定理的必要性和学习定理的意义所在.问题应对：学生可能会出现问题提出不全的情况，教师把整个课堂放手给学生，学生展示．交学生有发现就可以，因为此题的本质仍然是证明三角形全等，只要学生达到了这一层次即可． D A B CO D A B CO E D A B C O思维加油站 已知：如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，AB=AD ．求证：AC 平分∠BCD ．2．已知：如图，AC=BC ，AC ⊥BC ，过点C 任意画一条与AB 不平行的直线a ，分别过点A ．B 向直线a 作垂线，垂足分别是E ．F ． 求证：EF=AE+BF ．3．变式：（快手园地）已知：如图，若过点C 的直线a 与AB 交于点D ，其余条件不变，请你在图中画出图形，探索此时AE ，BF ，EF 之间的数量关系并证明．设计思路：第一题是通过判定两个三角形全等从而得到角之间的等量关系，与角平分线实现了完美的结合，第二题在第一题的基础上加深了一层，研究线段之间的和．差问题，学生通过练习实现知识的灵活运用，进一步巩固知识，评价采用小组合作的形式，便于及时反馈矫正，便于形成生帮生的氛围．问题应对：由于学生的学习存在着个体差异，特设计了拓展题，以供学有余力的学生继续探究，挖掘学生的学习潜能，拓宽学生的视野，增强学生的数学学习兴趣.（四）盘点收获先引领学生回顾本节知识，然后由学生交流1．你认为自己这节课的参与程度怎么样？（1）非常积极 （2）一般 （3）不积极，原因是什么？2．你认为自己这节课在知识和习惯方面最大的收获是什么？在解题方法和解题思路方面最大的收获是什么？3．在解决问题的过程中，你有什么要提醒大家注意的地方？设计意图：采用谈话式小结，给学生畅所欲言的机会，使学生对所学知识有一个完整系统的认识，锻炼学生的归纳表达能力，使学生养成及时反思的学习习惯，同时关注学生的情感态度，为学生的后继学习注入新动力.（五）作业布置：1．必做：课本随堂练习1、2知识技能1 选作：已知：如图，线段AB 与CD 相交于点O ，AC=BD ，AB=DC ．求证：△AOC ≌△DOB ．DA B C A a E B CF D A B CE F B C D A O设计意图：对本节课所学定理进行应用练习，强化证明中数学语言的表达.选做题的设计，.附：板书设计点、线、面、体 全等三角形 学生板书 （设计的问题） SSS ASA SAS AAS SSS 的符号语言 图形 AAS 证明的已知．求证 （学生板书证明过程）。
鲁教版七年级下册第十章三角形的有关证明线段的垂直平分线
得到新知
w定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个
端点的距离相等.
M
P
几何语言：
∵AC=BC,MN⊥AB,(已知),
∴PA=PB(线段垂直平分线上 A 的点到这条线段两个端点距离
C
B
相等).
N
提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等
的根据之一.
想一想
w你能写出“定理 线段垂直平分线上的点到这条线
M P
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条
线段两个端点距离相等的点,在这条
线段的垂直平分线上).
A
C
B
N
提示:这个结论是经常用来证明点在直线上
(或直线经过某一点)的根据之一.
典例示范
A
例1 已知：如图，在△ABC中，
AB=AC,O是△ABC内的一点
，且OB=OC. O
求证：直线AO垂直平分线段
BC。
C
A
E
B D
2、已知：是线段的垂直平分线，是上的两点。求证（1）
△ABC,ABD是等腰三角形；
（2）∠CAD=∠CBD
课堂小结
当堂检测
如图，在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=120。，AB的垂直平分 线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，求∠AFC的度数。
A E
BCF来自作业如图，在△ABC中，已知AC=27，BC=23，AB的垂直平分 线交AB于点D，交AC于点E，求△BCE的周长。
A
D E
B
C
选作：已知直线l和l上一点P，利用尺规作直线l的垂线，使 它经过点P。
段两个端点的距离相等”的逆命题吗?
w逆命题 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条
初中数学鲁教版七年级下册《第十章 三角形的有关证明 3 直角三角形》教材分析
直角三角形教材分析本节课的学习内容是直角三角形全等的判定，属于图形与几何课程内容中的三角形部分。
三角形是最基本的几何图形，是初中几何的重要研究对象，也是认识其他图形的基础。
而全等研究的是两个平面图形间的关系，其研究的问题和研究方法将为后面相似的学习提供思路。
直角三角形是特殊的三角形，是对三角形全等判定所做出的进一步研究。
通过本节课的学习，使三角形全等判定的知识相对完整，因此本节课的学习是前面学习的发展和深化，同时直角三角形在本章乃至整个平面几何教材中都有着重要的基础性的地位，它可以为我们今后解决实际问题进一步研究平面几何奠定一定的基础。
对于本节内容，不同版本的处理方式也不同。
人教版将全等三角形独立设章，安排在了八年级上册，从一般三角形到直角三角形，从SSS、SAS、ASA、AAS到HL，构建了一个完整的探索三角形全等条件的活动。
教材先安排了画图实验，让学生通过画一直角边和斜边分别相等的两个直角三角形并进行比较，然后猜想结论，直接给出“斜边、直角边”的判定定理，但并没有给出证明。
而鲁教版将一般三角形全等的探索放在了七年级上册，探索过程和人教版基本相同，但仅限于合情推理阶段。
对直角三角形全等的探索和证明安排在了七年级下册《直角三角形》一节中。
可以说，两个版本的安排各有千秋。
人教版主要通过画图让学生感受结论的正确性，并没有给出证明。
在习题的设计上，淡化了证明，降低了证明题的难度。
鲁教版更侧重于合情推理和演绎推理的紧密结合，让学生经历了一个“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步体会证明的必要性。
习题的设计中增加了利用HL定理解决实际问题的练习。
综合两个版本，我对本节课的目标定位如下：1. 知识技能：（1）掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。
（2）已知一直角边和斜边，能用尺规作出直角三角形。
2. 数学思考：（1）经历探索、猜想、证明的过程，进一步体会证明的必要性，发展推理能力和有条理的表达能力。
鲁教版初中数学七年级下册《三角形的有关证明》优质复习课件ppt课件
下册第十章复习 ┃ 考点攻略
► 考点三 勾股定理的应用 例 3 如图 S1－3，已知圆柱体底面圆的半径为π2，高为 2，
AB，CD 分别是两底面圆的直径，AD，BC 是母线，若一只小虫从 A 点出发，从侧面爬行到 C 点，求小虫爬行的最短路线的长度(结 果保留根号)．
下册第十章复习 ┃ 考点攻略
下册第十章复习 ┃ 考点攻略 解：将圆柱的侧面展开，如图S1－4，圆柱的底面周长为2πr
＝2×π×＝4，取其一半： ×4＝2，圆柱的高为2，根据勾 股定理，得AC2＝22＋22＝8，所以AC＝2 .
图 S1－4
下册第十章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 利用勾股定理解决最短路线问题的实质是解决旋转体的问题， 也是把立体图形转化为平面图形的问题，即将原图形的侧面展开转 化为平面图形问题——即“展曲为平”问题，特别要注意圆柱、圆 锥的侧面展开问题．这种由三维立体和二维平面的相互转化，充分 体现了新课程标准下的素质教育对学生空间想象能力、图形识别能 力、理解能力的要求，是考查空间观念和严谨认真态度的很好题型．
下册第十章复习 ┃ 考点攻略
[解析] 这个有趣的问题是勾股定理的典型应用，此问题看上 去是一个曲面上的路线问题，但实际上能通过圆柱的侧面展开而 转化为平面上的路线问题，值得注意的是，在剪开圆柱侧面时， 要从A开始并垂直于AB剪开，这样展开的侧面才是个矩形，才 能得到直角，再利用勾股定理解决此问题．
下册第十章复习 ┃ 知识归纳
3．用反证法证明的一般步骤 (1)假设命题的结论不成立； (2)从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、 已证定理或已知条件相矛盾的结果； (3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确． 4．等边三角形的判定 (1)有一个角等于60°的 等腰 三角形是等边三角形；
鲁教版(五四制)数学七年级下册第十章与三角形有关的证明习题课(31张PPT)
如图 40-6，在△ABC 中，点 D 是 BC 的中点，作射线 AD，在线段 AD 及其延长线上分别取点 E，F，连接 CE，BF.添加一个条件，使得△BDF≌△CDE， 并加以证明．你添加的条件是__D__E__＝___D_F__(_或___C_E__∥___B_F__或___∠__E__C__D_＝___∠___F_B__D_ 或 _∠___D__E_C__＝___∠__D__F__B__等．)(不添加辅助线)
性质
判定的条件
等边对等角
等角对等边
“三线合一”,即等 有一个角等于
等边三角形
腰三角形顶角的平分 线、底边上的中线、
60°的等腰三角
底边上的高互相重合 形是等边三角形
等边三角形三个角都 三个角都相等的
相等，并且每个角都 三角形是等边三
是60°
角形
定理:在直角三角形中, 如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
如图 40-4，在△ABC 和△DEF 中，已知 CB＝DF，∠C＝∠D，要使 △ABC≌△EFD，还需添加一个条件，那么这个条件可以是 ___A_C__＝___E_D__或___∠__A__＝__∠___F__E_D__或___∠__A__B__C_＝___∠. F
图 404
如图 40-5，在△ADB 和△ADC 中，下列条件：①BD＝CD，AB＝AC； ②∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD；③∠B＝∠C，BD＝CD；④∠ADB＝∠ADC，BD ＝CD.能得出△ADB≌△ADC 的序号是___①__②___④_____.
2
而由“两个直三角形”即可求得。
性质定理:线段垂直平分线上的点 到这条线段两个端点的距离相等
Q P在线段AB的垂直平分线上 PA PB
初中数学全等三角形鲁教版七年级下册三角形
全等三角形复习温故知新：三角形分类、三角形的高线、中线、角平分线知识点一：全等三角形的判定SSS归纳：有三边对应相等的两个三角形全等.可以简写成“边边边” 或“ SSS ”用数学语言表述：在△ABC和△DEF中AB=DEBC=EFCA=FD∴△ABC ≌△DEF（SSS）例题：例1. 如下图，△ABC是一个刚架，AB=AC，AD是连接A与BC中点D的支架。
求证：△ABD≌△ACD例题2：如图,AD=BC,AB=DC. 求证：∠A+∠D=180°练习：1、已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CB,AD=CD.求证：∠C=∠A.练习2：如图,已知线段AB、CD相交于点O,AD、CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,请说明∠A=∠C.D CB A 知识点二：SAS归纳结论：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS ”）例题：1、如图，已知AB=AD ，若AC 平分∠BAD ，问AC 是否平分∠BCD ？为什么？2、已知//AB DC AB DC BE DF ==，，，求证：////AF CE AE CF ，练习：已知：ABC ∆，点E 、F 分别在AB 、AC 边上，点D 是BC 边中点，且//EF BC ，DE DF =求证：AB AC =2、已知：如图：四边形ABCD 中，E 是AC 上一点，12EB ED ∠=∠=，求证：EBA EDA ∆≅∆拓展提高1、如图，已知AB=CD，AC=BD，求证：∠A=∠D．2、如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请推导下列结论：⑴∠D=∠B；⑵AE∥CF．3、已知如图，A、E、F、C四点共线，BF=DE，AB=CD.⑴请你添加一个条件，使△DEC≌△BFA；⑵在⑴的基础上，求证：DE∥BF.4、如图，在△ABC和△DEF中，B、E、F、C，在同一直线上，下面有4个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的一个作为结论，写一个真命题，并加以证明.①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF.5、如图⑴，AB⊥BD，DE⊥BD，点C是BD上一点，且BC=DE，CD=AB．⑴试判断AC与CE的位置关系，并说明理由．⑵如图⑵，若把△CDE沿直线BD向左平移，使△CDE的顶点C与B重合，此时第⑴问中AC与BE的位置关系还成立吗？(注意字母的变化)知识点三：全等三角形的判定ASA知识点归纳：两角与它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）．知识点四：全等三角形的判定AAS归纳规律：•两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简与成AAS）．例题如图11.2-10，D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.1．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高，则______≌______。
鲁教版七年级下册第十章三角形的有关证明2等腰三角形(3)教学课件 (共24张PPT)
C
D
A
3、如图， Rt△ABC中， ∠A= 30°，BD平分∠ABC，
且BD=16cm，则AC=
24cm.
五、拓展提升，拾阶而上
挑战自我
1.在△ABC中，∠C=900, ∠B=600,BC=7,
则∠A = -----3--0-0--,AB=---------1-4
2.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,
截长补短
D
归纳新知
含30 °直角三角形性质：
定理:在直角三角形中，如果一个锐角
等于30°，那么它所对的直角边等于
A
斜边的一半。
几何语言
∵在Rt△A1BC中，∠C=90°，∠A= 30°
∴ BC= 2 AB
B
30°
C
（或 AB=2BC )
四、巩固练习，夯实基础 判断
1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半．
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/142021/8/142021/8/142021/8/148/14/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月14日星期六2021/8/142021/8/142021/8/14 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/142021/8/142021/8/148/14/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/142021/8/14August 14, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/142021/8/142021/8/142021/8/14
山东省沂源县鲁村中学鲁教版（五四制）七年级数学下册第十章《三角形的有关证明》复习课件1(共29张PPT)
回顾 思考 2
作为证明基础的
本套教材选用如下命题作几为条公公理理 :
1、两直线被第三条直线所截,如果同位角相等, 那么这两条直线平行;
2、两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3、两边夹角对应相等的两个三角形全等; 4、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; 5、三边对应相等的两个三角形全等; 6、全等三角形的对应边相等,对应角相等.
3.等腰三角形有关知识要点:
结论1:等腰三角形两底角的平分线相等. 结论2:等腰三角形两腰上的中线相等. 结论3:等腰三角形两腰上的高相等；
结论4: 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于顶 角的一半.
结论5:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离 之和等于一腰上的高.
4.等边三角形的判定：
(1).三条边都相等的三角形是等边三角形. (2).三个角都相等的三角形是等边三角形. (3).有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
定理:角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
∵∠1=∠2,PD⊥OA,PE⊥OB
A D
∴PD=PE 逆定理:
1
O2
在一个角的内部,且到角的两边距离相 E 等的点,在这个角的平分线上.
P
C
B
∵ PD⊥OA,PE⊥OB , PD=PE ∴ ∠1=∠2(OP是角平分线或P在∠AOB的平分线上)
11.定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且
与直角三角形有关的结论 与一般的三角形有关的结论
线段的垂直平分线 角的平分线
回顾 思考 6 我能行不只是字面意义
与同伴交流讲述一两个命题的证明思路和证明方法.
如：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离 相等.
2024七年级数学下册第10章三角形的有关证明全章热门考点整合应用习题课件鲁教版五四制
(1)求证：AM＝AN. 证明：在 Rt△ ABC
和
Rt△
ADE
中，ABBC＝＝ADDE，，
∴Rt△ ABC≌Rt△ ADE(HL)．∴∠B＝∠D.
∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC＝∠DAE＝90°.
∴∠BAM＝90°－∠EAC＝∠DAN.
∠B＝∠D， 在△ ABM 和△ ADN 中，AB＝AD，
(2)如图②，若CA平分∠BCD，BF⊥AC交CA的延长线于点 F，写出与∠ACB相等的角(∠ACB除外).
解：∵CA平分∠BCD，∴∠DCA＝∠ACB. ∵∠ADE＋∠CDE＝∠DCA＋∠CDE＝90°， ∴∠ADE＝∠DCE＝∠ACB. ∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴BF∥DE. ∴∠FBA＝∠ADE＝∠ACB. ∴与∠ACB相等的角有∠DCA，∠ADE，∠FBA.
BE＝BD， ∴△ABE≌△CBD(SAS)．∴AE＝CD. 又∵ED＋AE＝AD，ED＝BD，∴BD＋CD＝AD.
6 如图，在△ABC中，CD⊥BA，交BA的延长线于点D， DE⊥AC于点E.
(1)如图①，若∠B＝35°，∠CDE＝60°，求∠ACB的度数. 解：∵CD⊥BD，∴∠BDC＝90°. ∵∠B＝35°，∴∠BCD＝90°－∠B＝55°. ∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°. ∵∠EDC＝60°， ∴∠DCE＝90°－∠EDC＝30°. ∴∠ACB＝∠BCD－∠DCE＝55°－30°＝25°.
全章热门考点整合应用
个角相等的三角形是等腰三角形；
②全等三角形的对应角相等；
③内错角相等，两直线平行.
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【点拨】 ①的逆命题是“等腰三角形有两个角相等”，是
定理；②的逆命题是“对应角相等的三角形全等”， 是假命题，不是定理；③的逆命题是“两直线平行， 内错角相等”，是定理．
鲁教版七年级数学下册_10.2.3 等边三角形
知3－讲
∴CD=12AC=12 ×2a=a(在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半).
总结：利用直角三角形30°的性质可以把角的关系转化为 边的关系.
感悟新知
知3－练
3-1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°， CD是斜边AB上的高，BD＝2，则AD的长为( C ) A．2 B．4 C．6 D．8
感悟新知
知3－导
证明：延长BC至点D，使CD=BC，连接AD(如图10-13(2)). ∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°. ∵AC=AC，∠ACB= ∠ACD，BC=DC， ∴△ABC≌△ADC(SAS). ∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)， ∠BAC=∠DAC=30°(全等三角形的对应角相等).
结论：小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然 后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾 的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为 反证法(reduction to absurdity).
感悟新知
知4－讲
用反证法证明时，由于要假设命题的结论不成立，就 必须要考虑结论的反面可能出现的情况．如果结论的反面 只有一种情况，那么只需否定这种情况；如果结论的反面 不止一种情况，那么必须把各种可能情况全部列举出来， 并且逐一否定以后，才能肯定原结论是正确的．
感悟新知
知2－讲
识别等边三角形可以从以下几个角度入手：(1)从边入 手：有三条边相等的三角形是等边三角形；(2)从角入手： 三个内角都相等的三角形是等边三角形，或有两个角等于 60°的三角形是等边三角形；(3)从边及角入手：有一个角 等于60°的等腰三角形是等边三角形；(4)从对称轴入手： 有三条对称轴的三角形是等边三角形．
鲁教版数学 七年级下册 第十章 三角形的有关证明第一节全等三角形(第三课时)教学课件
总分
1
2
3
4
各组评选： 表现突出，进步大的同学
必做:课本P98第1题, 习题10.3第2题 选做:第3题
全等三角形是两个三角形间最简单的 关系，但它却是证明线段相等和角相等的 重要方法，虽然简单却不平凡。愿同学们 能象它一样，用最简单的梦想造就最不平 凡的人生！
已知：如图，AB=AC，AD= AE，AB、DC 相交于点M，AC、BE相交于点N， A ∠D了: 全等三角形对应角的角平分线相等,
对应边上的中线相等.
探究活动四(例5)
已知:如图,AB=CD，BE=DF，∠B=∠D. 求证:(1)AE=CF (2)AE//CF (3) ∠AFE=∠CEF
D E F A
B
C
要证明两条线段(或两个角)相等,可以通过这两 条线段(或两个角)所在的两个三角形全等来证明.
问题1：全等三角形的判定方法: 基本事实:
两边及其夹角分别相等 的两个三角形全等.（SAS） （ 1） 两角及其夹边分别相等 的两个三角形全等.（ASA） （ 2） （3） 三边分别相等 的两个三 角形全等.（SSS） 定理： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等 的 两个三角形全等（AAS）.
你还记得吗？
问题２：全等三角形的性质: 全等三角形的 对应边 相等 ， 对应角 相等.
全等三角形对应边上的高有什么关系呢？
探究活动一 （例4）
已知：△ABC≌△A′B′C′,AD和A′D′ 分别是△ABC和△A′B′C′的高. 求证： AD = A′D′
B A
D A′
C
B′
D'
C′
探究活动二
(1)如果两个全等三角形对应边上的高在三 角形的外部,你还能得到上面的结论吗? (2)如果两个全等三角形对应边上的高就是 该三角形的一条边呢? (3)通过例4和上面的两个问题,你能得到什 么结论? 小组合作: 1.画出对应图形 2.分析做题思路 3.准备课堂展示
鲁教版五四制七年级下册 第十章 三角形的有关证明 等腰三角形的性质
诊断：等腰三角形的“三线合一”指的是底边上的高、 底边上的中线和顶角的平分线互相重合，对于腰上的高、 中线、底角的平分线却不一定成立．
解：∠DAC 的度数不会改变． 理由：因为 EA＝EC，所以∠CAE＝∠C. 易得∠AED＝2∠C. 因为∠BAE＝90°，BA＝BD， 所以∠BAD＝12(180°－∠B)＝12[180°－(90°－2∠C)]＝ 45°＋∠C.
所以∠DAE＝90°－∠BAD＝90°－(45°＋∠C)＝ 45°－∠C. 所以∠DAC＝∠DAE＋∠CAE＝45°－∠C＋∠C＝45°.
5 【2020·福建】如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平 分线，BD＝5，则CD等于( ) B A．10
B．5
C．4
D．3
6 【中考·苏州】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为 BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为( ) C A．35°
B．45°
C．55°
D．60°
7 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上， 连接AD，AE.若只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，
鲁教版五四七年级下
第10章三角形的有关证明
10.2.1 等腰三角形的性质
习题链接
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1B
5B
2D 3B
6C 7C
4 15°或75° 8
答案呈现
9 10 11 12
1 【2020·兰州】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在 CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°， 则∠D＝ ( ) A．40° B B．50° C．60° D．80°
鲁教版五四制七年级下册 第十章 三角形的有关证明 等腰三角形的判定
∠EDC＝∠FDB，
∴△CDE≌△BDF， ∴DE＝DF，CE＝BF，故①正确； ∵AE＝2BF， ∴AC＝3BF，故④正确．故选A.
9 在下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分 成两个小等腰三角形的是( ) B
10 如图，在△ABC中，D，E是BC边上的两点，且BD＝ CE，AD＝AE.求证：∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAE.
解：满足条件的等腰三角形有 △ ABE ， △ ACD ， △ DAE ， △DBF.
12 【中考·北京】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝ 36°，BD平分∠ABC，交AC于点D.求证：AD＝BC.
证明：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°. ∵BD平分∠ABC，交AC于点D， ∴∠ABD＝∠DBC＝36°. ∴∠A＝∠ABD.∴AD＝BD. ∵∠C＝72°，∠DBC＝36°， ∴∠BDC＝180°－∠DBC－∠C＝72°. ∴∠C＝∠BDC. ∴BC＝BD. ∴AD＝BC.
错解：∵AD＝AE， ∴∠B＝∠C. ∵BD＝CE，∴∠BAD＝∠CAE.
诊断：等腰三角形的性质“等边对等角”只有在同一 个三角形中才成立，对于不属于同一个三角形中的等边未 必有等角的结论，切不可不加分析而乱用．同样，等腰三 角形的判定也必须在同一个三角形中运用．
11 【中考·哈尔滨】已知在△ABC中，AB＝AC，点D， 点E在边BC上，BD＝CE，连接AD，AE. (1)如图①，求证：AD＝AE；
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. 又∵AB＝AC，BD＝CE， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴AD＝AE；
(2)如图②，当∠DAE＝∠C＝45°时，过点B作BF∥AC交 AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请 直接写出图②中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰 三角形的顶角都等于45°.
鲁教版五四制七年级下册 第十章 三角形的有关证明 勾股定理
三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋
S2＝S3的图形个数是( )
A．1
D
B．2
C．3
D．4
【点拨】 因为直角三角形的三边为a，b，c，所以应用勾股定理可 得a2＋b2＝c2. 第一个图形中，首先根据等边三角形的面积的求法，表示 出三个等边三角形的面积，然后根据a2＋b2＝c2，可得S1 ＋S2＝S3. 第二个图形中，首先根据圆的面积的求法，表示出三个半 圆形的面积，然后根据a2＋b2＝c2，可得S1＋S2＝S3.
解：∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5， ∴DB＝ 52－ 至点 E，使 DE＝BD，连接 AE. ∵D 是 AC 的中点，∴AD＝DC. 在△BDC 和△EDA 中， ∠DCB＝DCD＝A，∠EDA，
DB＝DE， ∴△BDC≌△EDA(SAS)，∴∠DAE＝∠DCB，
点B的坐标为( ) A． (0，5) BD． (5，0)
C． (6，0) D． (0，6)
4 【2020·雅安】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美” 四边形．现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角
线 AC ， BD 交 于 点 O ， 若 AD ＝ 2 ， BC ＝ 4 ， 则 AB2 ＋
CD2＝
c2等于小正方形的面积(a－b)2与4个直角三角形的面
积2ab的和证明了勾股定理a2＋b2＝c2，还可以用来证
明结论：若a＞0，b＞0，且a2＋b2为定值，则当
a
b时，ab取得最大值．
＝
【点拨】 如图，在直角三角形中，两直角边长为 a，b，斜边
长为 c，则 a2＋b2＝c2.作直角三角形斜边上的高 h，易知 12ab＝12ch，即 ab＝ch.
．
20
【点拨】 ∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°. 由勾股定理得，AB2＋CD2＝AO2＋BO2＋CO2＋DO2， AD2＋BC2＝AO2＋DO2＋BO2＋CO2， ∴AB2＋CD2＝AD2＋BC2. ∵AD＝2，BC＝4，∴AB2＋CD2＝22＋42＝20.
鲁教版七年级数学下册_10.1.1 全等三角形的判定与性质
感悟新知
知2－讲
总结：通过三角形的全等，我们可以得到线段 相等.
感悟新知
知2－练
2-1. 如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B
和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为F. 若
∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为( B ) A．30°
B．25°
C．35°
D．65°
感悟新知
知识点 3 全等三角形的五个常用结论
感悟新知
知3－练
证明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．
AB＝DC 在△ABF和△DCE中，ቐ∠B＝∠C
BF＝CE
∴△ABF≌△DCE， ∴∠A＝∠D．
感悟新知
思考：
知3－练
(1)如果两个全等三角形对应边上的高在三角形的外部，你
还能得到上面的结论吗？
(2)如果两个全等三角形对应边上的高就是该三角形的一条
知3－讲
感悟新知
知3－练
3-1. 全等三角形的对应边上的高、中线分别__相__等___．全 等三角形的对应角的角平分线__相__等___ ．全等三角形 的周长、面积分别__相__等___ ．
感悟新知
知3－练
3-2. 如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝ ∠C．求证：∠A＝∠D．
感悟新知
证明：在△OAC和△ODB中， ∵OA＝OD，∠AOC=∠DOB，OC=OB， ∴ △ΟΑC≌ △ODB(SAS). ∴AC=BD，∠A=∠D(全等三角形的定义).
知1－讲
感悟新知
知1－讲
总结：当已知两个直角三角形的一锐角和一边对 应相等或已知两条直角边对应相等时，通 常选用一般三角形的判定方法．
鲁教版五四制七年级下册 第十章 三角形的有关证明 等边三角形的性质和判定
是
．
6
12 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴有( C ) A．1条 B．2条 C．1条或3条 D．不确定
正解：C 错解：A
诊断：等腰三角形包括底和腰不相等的等腰三角形和 等边三角形，等边三角形是等腰三角形的特殊情形．在解 决有关问题时，往往因为忽略这种特殊情形而漏解．等边 三角形有3条对称轴．
15 如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等 腰三 角 形 ， 且∠BDC＝120°.以点 D为 顶点作一个 60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N， 连接MN.求△AMN的周长．
解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°， ∴∠BCD＝∠DBC＝30°. ∵△ABC是边长为3的等边三角形， ∴∠ABC＝∠BCA＝60°，∴∠DBA＝∠DCA＝90°. 延长AB至点F，使BF＝CN，连接DF. 在△BDF和△CDN中， BF＝CN，∠FBD＝∠NCD，DB＝DC， ∴△BDF≌△CDN，
16 如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到点D，延 长BA到点E，并且使AE＝BD，连接CE，DE. 求证：EC＝ED.
证明：如图，延长BD至点F，使DF＝BC，连接EF， 则BC＋CD＝DF＋CD，∴BD＝FC. ∵△ABC为等边三角形，AE＝BD， ∴∠B＝60°，AE＝FC， ∴BE＝BA＋AE＝BC＋FC＝BF， ∴△BEF为等边三角形．
②EF＝FD；③BE＝BD.其中正确结论的个数为( )
A．3B．2
A
C．1D．0
5 【2020·阜新】如图，直线a，b过等边三角形ABC的
顶 点 A 和 C ， 且 a ∥ b ， ∠ 1 ＝ 42° ， 则 ∠ 2 的 度ABC是等边三角形，点B，C，D，E在 同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则
难点解析鲁教版(五四制)七年级数学下册第十章三角形的有关证明重点解析试题(含详解)
鲁教版（五四制）七年级数学下册第十章三角形的有关证明重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列命题：①等腰三角形是轴对称图形；②到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；③两点之间线段最短；④两边分别相等且其中一边的对角也相等的两个三角形全等．其中假命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB =AC ，AD 是经过A 点的一条直线，且B 、C 在AD 的两侧，BD ⊥AD 于D ，CE ⊥AD 于E ，交AB 于点F ，CE =10，BD ＝4，则DE 的长为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．83、如图，点C 为AOB ∠的角平分线l 上一点，D ，E 分别为OA ，OB 边上的点，且CD CE =．作CF OA ⊥，垂足为F ，若5OF =，则+OD OE 的长为（ ）A．10 B．11 C．12 D．154、ABC中，A∠，B均为锐角，且有2tan sin0B A⎛+=⎝⎭，则ABC是（）A．直角（不等腰）三角形B．等边三角形C．等腰（不等边）三角形D．等腰直角三角形5、在平面直角坐标系中，A（2，3），O为原点，若点B为坐标轴上一点，且△AOB为等腰三角形，则这样的B点有（）A．6个B．7个C．8个D．9个6、已知点O在直线AB上，点P在直线AB外，以OP为一边作等腰三角形POM，使第三个顶点M在直线AB上，则点M的个数为（）A．2 B．2或4 C．3或4 D．2或3或47、如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA C．∠C＝∠D D．BC＝AD8、已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9、如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC B′D的长是（）A．1 B C D10、△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，若按如图的尺规作图方法作出线段BD，则下列结论错误的是（）A．AD＝BD B．∠BDC＝72°C．S△ABD：S△BCD＝BC：AC D．△BCD的周长＝AB+BC第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在直角坐标系中，等腰直角三角形11A B O 、221A B B 、332A B B 、⋯、1n n n A B B -按如图所示的方式放置，其中点1A 、2A 、3A 、⋯、n A 均在一次函数y kx b =+的图象上，点1B 、2B 、3B 、⋯、n B 均在x 轴上．若点1B 的坐标为(1,0)，点2B 的坐标为(3,0)，则n A 点的坐标为___．2、如图，平面直角坐标系内有一点A （2，－2），点O 是原点，点P 是x 轴上一动点，如果以P 、O 、A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么点P 的坐标为_______．3、如图，AC ＝AD ，∠DAC ＝∠EAB ，要使ABC AED ≌△△，应添加的条件是______．（只需写出一个条件即可）4、如图，四边形ABCD 中，90A ∠=︒，3AD =，连接BD ，BD CD ⊥，垂足为D ，ADB C ∠=∠，点P 是边BC 上的一动点，则DP 的最小值是______．∠+∠+∠=______°．5、如图是单位长度为1的正方形网格，则123三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作EF AB⊥于E，交BC边延长线于F，若2AE=，求BF的长．2、问题发现：∠的度数，并如图①，△ABC与△ADE是等边三角形，且点B、D，E在同一直线上，连接CE，求BEC确定线段BD与CE的数量关系．拓展探究：如图②，△ABC 与△ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，且点B ，D ，E 在同一直线上，AF BE ⊥于F ，连接CE ，求BEC ∠的度数，并确定线段AF ，BF ，CE 之间的数量关系．3、如图，点P 在∠AOB 边OB 上，按要求画图并填空：(1)用圆规和直尺作线段OP 的垂直平分线，分别交OA 、OB 于点M 、N ；(2)过点N 画NH ⊥OA ，垂足为点H ；(3)点M 到直线NH 的距离是线段 的长度．4、如图，在Rt ABC 中，90B ∠=︒．(1)作AC 的垂直平分线ED ，交BC 于点E ，交AC 于点D （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)当3AB =，5BC =时，求ABE △的周长．5、如图，大小不同的两块三角板ABC ∆和DEC ∆直角顶点重合在点C 处，AC BC =，DC EC =，连接AE 、BD ，点A 恰好在线段BD 上．(1)找出图中的全等三角形，并说明理由；(2)当4AD AB ==，则AE 的长度为 ．(3)猜想AE 与BD 的位置关系，并说明理由．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】根据轴对称的定义和等腰三角形的性质，可判断①；根据线段垂直平分线的性质，可判断②；根据两点之间线段最短是一个公理，可判断③；根据三角形全等的判定条件，可判断④，由此即可选择．【详解】等腰三角形是轴对称图形，故①是真命题；到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故②是真命题；两点之间线段最短，故③是真命题；两边分别相等且其中一边的对角也相等的两个三角形不一定全等，故④为假命题．故选A ．【点睛】本题考查判断命题真假．掌握正确的命题就是真命题，错误的命题就是假命题是解答本题的关键．2、A【解析】【分析】根据∠BAC ＝90°得到∠BAD +∠CAD ＝90°，由于CE ⊥AD 于E ，于是得到∠ACE +∠CAE ＝90°，根据余角的性质得到∠BAD ＝∠ACE ，推出△ABD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD +∠CAD ＝90°，∵CE ⊥AD 于E ，∴∠ACE +∠CAE ＝90°，∴∠BAD ＝∠ACE ，在△ABD 与△CAE 中，90D AEC BAD ACE AB AC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴AE ＝BD ＝4，AD ＝CE ＝10，∴DE ＝AD ﹣AE ＝6．故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用余角的性质得到∠BAD ＝∠ACE ．3、A【解析】【分析】过点C 作CM OB ⊥于点M ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到CF CM =，再通过证明Rt CFD Rt CME ≅和Rt OCF Rt OCM ≅，得到210OD OE OF +==．【详解】如图所示，过点C 作CM OB ⊥于点M ，∵点C 为AOB ∠的角平分线l 上一点，∴CF CM =，在Rt CFD △和Rt CME 中，∵CD CE CF CM=⎧⎨=⎩， ∴()Rt CFD Rt CME HL ≅，∴DF EM =，在Rt OCF 和Rt OCM △中，∵OC OC CF CM=⎧⎨=⎩，∴()Rt OCF Rt OCM HL ≅，∴OF OM =，∴2OD OE OF FD OE OF EM OE OF OM OF +=++=++=+=，∵5OF =，∴210OD OE OF +==．故答案选：A ．【点睛】本题考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质．角平分线上的点到角两边的距离相等．一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等．4、B【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠B ，∠A 的度数，进而得出答案．【详解】解：∵2tan sin 0B A ⎛= ⎝⎭，∴tan B ，sin A ，∴tanB sin A =， 则∠B ＝60°，∠A ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．故选：B ．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及非负数的性质、等边三角形的判定，正确记忆相关数据是解题关键．5、C【解析】【分析】分别以O 、A 为圆心，以OA 长为半径作圆，与坐标轴交点即为所求点B ，再作线段OA 的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点B ，作出图形，利用数形结合求解即可．【详解】解：如图，满足条件的点B 有8个，故选：C ．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定，对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．6、B【解析】【分析】利用图象法分三种情形：当90POB ∠≠︒且60POB ∠≠︒时；当60POB ∠=︒时；当90POB ∠=︒时；根据等腰三角形的判定及性质作出相应图形求解即可．【详解】解：如图1中，当90POB ∠≠︒且60POB ∠≠︒时，满足条件的点M 有4个；如图2中，当60POB ∠=︒时，满足条件的点M 有2个，此时点2M ，3M ，4M 三个点重合；如图3中，当90POB ∠=︒时，满足条件的点M 有2个．故选：B ．【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质及分类讨论思想，熟练掌握等腰三角形的判定和性质及分类讨论思想是解题关键．7、A【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理依次分析判断即可．【详解】解：由题知∠ABC＝∠BAD，AB=BA，当AC＝BD时，不能证明△ABC≌△BAD，故选项A符合题意；当∠CAB＝∠DBA时，可根据ASA证明△ABC≌△BAD，故选项B不符合题意；当∠C＝∠D时，可根据AAS证明△ABC≌△BAD，故选项C不符合题意；当BC＝AD时，可根据SAS证明△ABC≌△BAD，故选项D不符合题意；故选：A．【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．8、D【解析】【分析】①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE，本选项正确；②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案．【详解】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，∵在△BAD和△CAE中，AB ACBAD CAEAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，本选项正确；②∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；③∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，则BD⊥CE，本选项正确；④∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAE+∠DAC=360°-90°-90°=180°，故此选项正确，综上，四个选项都是正确的，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．9、B【解析】【分析】先通过角度关系与大小证明AD⊥B’C，再通过直角三角形各边长之间的关系求出B’D的长度．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AB∥CD，∠ADC=60°∴∠CAE=∠ACB=45°∵将△ABC沿AC翻折至△AB’C，∴∠AB’C=∠B=60°∴∠AEC=180°-∠CAE-∠ACB’=90°∴AE=CE∴∠AEC=90°，∠AB’C=60°，∠ADC=60°，∴∠B’AD=30°，∠DCE=30°，∴B’E=DE=1，∴B’D故选：B．【点睛】本题通过折叠问题考查了角度的计算和特殊直角三角形的三边之间的关系，掌握这些是本题解题关键．10、C【解析】【分析】根据作图痕迹发现BD 平分ABC ∠，然后根据等腰三角形的性质进行依次判断即可．【详解】解：∵等腰ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，∴72ABC ACB ∠=∠=︒，由作图痕迹发现BD 平分ABC ∠，∴36A ABD DBC ∠=∠=∠=︒，∴AD BD =，72BDC BCD ∠=∠=︒，故A 、B 正确；∵72BDC BCD ∠=∠=︒，∴BC BD AD ==，结合图形可得：ABD 与BCD 的高相同，∴:::ABD BCDS S AD CD BC CD ==，故C 错误； BCD 的周长为：BC CD BD BC AC BC AB ++=+=+，故D 正确；故选：C ．【点睛】本同题考查等腰三角形的性质及角平分线的作法，三角形内角和定理等，熟练掌握运用等腰三角形的性质是解题关键．二、填空题1、()1121,2n n ---【解析】【分析】首先，根据等腰直角三角形的性质求得点A 1、A 2的坐标；然后，将点A 1、A 2的坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法求得该直线方程是y =x +1；最后，利用等腰直角三角形的性质推知点Bn -1的坐标，然后将其横坐标代入直线方程y =x +1求得相应的y 值，从而得到点An 的坐标．【详解】 解：如图，点1B 的坐标为(1,0)，点2B 的坐标为(3,0)，11OB ∴=，23OB =，则122B B =．△11A B O 是等腰直角三角形，1190AOB ∠=︒，111OA OB ∴==．∴点1A 的坐标是(0,1)．同理，在等腰直角△221A B B 中，21290A B B ∠=︒，21122A B B B ==，则2(1,2)A ．点1A 、2A 均在一次函数y kx b =+的图象上，∴12b k b =⎧⎨=+⎩，解得，11k b =⎧⎨=⎩， ∴该直线方程是1y x =+．点3A ，2B 的横坐标相同，都是3，∴当3x =时，4y =，即3(3,4)A ，则324A B =，3(7,0)B ∴．同理，4(15,0)B ，⋯(21n n B -，0)，∴当121n x -=-时，112112n n y --=-+=，即点n A 的坐标为1(21n --，12)n -．故答案为1(21n --，12)n -．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质．解答该题的难点是找出点Bn 的坐标的规律．2、（0）或（4，0）或（－0）或（2，0）【解析】【分析】根据题意分类讨论，①OA 为等腰三角形底边，②OA 为等腰三角形一条腰，根据等腰三角形的性质求解即可．【详解】解：设(,0)P m ，A （2，－2）AO ∴=如图：①OA 为等腰三角形底边，即PO PA =m =∴符合条件的动点P 有一个，即（2，0）；②OA 为等腰三角形一条腰，当OA OP =时，即m =解得m =±当OA AP =时，=解得4m =或0m =（舍去）符合符合条件的动点P 有三个即（－，0），（0），（4，0）．综上所述，符合条件的点P 的坐标是：（0）或（4，0）或（－0）或（2，0）．故答案为：（0）或（4，0）或（－0）或（2，0）．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；利用等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，根据等腰三角形的性质求解．3、AE ＝AB 或∠E ＝∠B 或∠D ＝∠C【解析】由题意易证∠BAC =∠EAD ，由此可知两个三角形已经具备一边一角的条件，再根据全等三角形的判定方法，添加一边或一角的条件即可．【详解】∵DAC EAB ∠=∠，∴DAC BAD EAB BAD ∠+∠=∠+∠，即∠BAC =∠EAD ．（1）当∠B =∠E 时，即B E BAC EAD AC AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ABC AED AAS ≅；（2）当∠C =∠D 时，即BAC EAD AC AD C D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()ABC AED ASA ≅；（3）当AB =AE 时，即AB AE BAC EAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ABC AED SAS ≅．故答案为：∠B =∠E 或∠C =∠D 或AB =AE ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的各种判定方法及适用条件是解题的关键．4、3【解析】【分析】根据垂线段最短，确定DP⊥BC时，DP最短，结合已知，得到∠ABD=∠CBD，利用角的平分线的性质定理，得到DP=DA．【详解】如图，过点D作DP⊥BC，垂足为P，则此时的DP最短，∵∠ADB=∠C，∠A=∠BDC=90°，∴∠ABD=∠CBD，∵DP⊥BC，DA⊥BA，∴AD=DP=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了垂线段最短，角的平分线即经过角的顶点的射线把角分成相等的两个的角；角的平分线的性质，余角的性质，熟练掌握垂线段最短，角的平分线的性质定理是解题的关键．5、135【解析】【分析】如图，证明ABC ≌AEF 可得1390∠+∠=︒，根据等腰直角三角形的性质可得245∠=︒，进而即可求得答案．【详解】解：如图，在ABC 与AEF 中AB AE B E BC FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC ≌AEF∴4=3∠∠1490∠+∠=︒1390∴∠+∠=︒245∴∠=︒123135∴∠+∠+∠=︒故答案为：135【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．三、解答题1、12【解析】【分析】根据等边三角形的性质得到∠A=60°，∠ACB=60°，由EF AB得到∠ADE=30°，结合BD平分∠ABC 进而求出 DC=CF=4；再由∠F=∠ACB-∠CDF=30°得到CD=CF=4，最后BF=BC+CF即可得到BF的长．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ACB=60°，AC=BC，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴由等腰三角形“三线合一”可知：BD是△ABC边AC上的中线，AC，∴AD=CD=12∵DE⊥AB于E，∴∠ADE=∠AED-∠A=90°-60° =30°，由直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半可知：∴CD=AD=2AE=4，AC=8，∵∠CDF=∠ADE=30°，∴∠F=∠ACB-∠CDF=30°，∴∠CDF=∠F，∴DC=CF=4，∴BF=BC+CF=8+4=12．【点睛】此题考查等边三角形、等腰三角形“三线合一”的性质、30°所对直角边等于斜边的一半等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解决本题的关键．2、问题发现：∠AEB 的度数为60°；线段BD 与CE 之间的数量关系是：BD ＝CE ，理由见解析；拓展探究：∠BEC ＝90°，BF ＝CE ＋AF ，理由见解析【解析】【分析】问题发现：证明△ABD ≌△ACE ，可得BD ＝CE ，由点B ，D ，E 在同一直线上，可得∠BEC ＝60°； 拓展探究：方法同上，证明△ABD ≌△ACE （SAS ），可得BD ＝CE ，∠ADB ＝∠AEC ，由点A ，D ，E 在同一直线上，可得∠ADB ＝∠AEC ＝135°，进而可得∠DAE ＝90°，由AD ＝AE ，AF ⊥DE ，可得AF ＝DF ＝EF ，即可得出BF ＝BD ＋DF ＝CE ＋AF ．【详解】问题发现：∵△ACB 和△ADE 均为等边三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝60°，∠ADE ＝∠AED ＝60°，∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD ＝CE ，∠BDA ＝∠CEA ，∵点B ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADB ＝180－60＝120°，∴∠AEC ＝120°，∴∠BEC ＝∠AEC －∠AED ＝120－60＝60°，综上，可得∠AEB 的度数为60°；线段BD 与CE 之间的数量关系是：BD ＝CE ．拓展探究：∵△ACB 和△DAE 均为等腰直角三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∠ADE ＝∠AED ＝45°，∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD ＝CE ，∠ADB ＝∠AEC ，∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADB ＝180－45＝135°，∴∠AEC ＝135°，∴∠BEC ＝∠AEC －∠AED ＝135－45＝90°；∵∠DAE ＝90°，AD ＝AE ，AF ⊥DE ，∴AF ＝DF ＝EF ，∴DE＝DF＋EF＝2AF，∴BF＝BD＋DF＝CE＋AF．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．3、 (1)见解析(2)见解析(3)MH【解析】【分析】（1）分别以点O、点P为圆心，以大于OP的一半为半径画弧相交于两点，然后过两个交点画直线即可；（2）利用三角板的两条直角边画图即可；（3）根据点到直线的距离的定义求解．(1)解：如图，MN为所作；(2)解：如图，NH为所作；(3)解：点M到直线NH的距离是线段MH的长度．故答案为MH．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，作垂线，以及点到直线的距离，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图是解答本题的关键．4、 (1)见解析(2)8【解析】【分析】（1）利用基本作图作DE垂直平分AC；（2）根据线段垂直平分线的性质得到EA=EC，然后利用等线段代换得到△ABE的周长=AB+BC．(1)解：如图，ED为所作；(2)解：∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=3+5=8．【点睛】本题考查了作图——基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．5、 (1)CBD CAE ∆≅∆，理由见解析(2)8(3)AE BD ⊥，理由见解析【解析】【分析】（1）90ACB DCE ∠=∠=︒，ACB ACD DCE ACD ∠+∠=∠+∠，知BCD ACE ∠=∠，可证CBD CAE ∆≅∆；（2）根据BD AE AD AB ==+计算求解即可；（3）AE 与CD 相交于点O ，在AOD ∆与COE ∆中，CBD CAE ∆≅∆，ADO CEO ∠=∠，90OAD OCE ∠=∠=︒，进而可说明AE BD ⊥．(1)解：（1）CBD CAE ∆≅∆，理由如下：90ACB DCE ∠=∠=︒ACB ACD DCE ACD ∴∠+∠=∠+∠∴BCD ACE ∠=∠在CBD ∆与CAE ∆中BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()CBD CAE SAS ∴∆≅∆．(2)解：CBD CAE ∆≅∆448BD AE AD AB ∴==+=+=故答案为：8．(3)AE BD ⊥，理由如下：AE 与CD 相交于点O ，在AOD ∆与COE ∆中CBD CAE ∆≅∆ADO CEO ∴∠=∠AOD COE ∠=∠90OAD OCE ∴∠=∠=︒AE BD ∴⊥．【点睛】本题考查了三角形全等．解题的关键在于证明三角形全等．。