高中数学第一章集合与函数习题课集合学案人教A版必修1

习题课集合学习目标 1.系统和深化对集合基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算．1．集合元素的三个特性：确定性，互异性，无序性．2．元素与集合有且只有两种关系：∈，∉.3．已经学过的集合表示方法有列举法，描述法，Venn图法，常用数集字母代号．4．集合间的关系与集合的运算A B5.常用结论(1)∅⊆A；(2)A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝A⇔A⊇B.(3)A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝A⇔A⊆B.(4)A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.x，|x|，则x<0.(√)1．若A＝{}2．任何集合至少有两个子集．(×)x|ax2＋x＋1＝0有且只有一个元素，则必有Δ＝12－4a＝0.(×)3．若{}4．设A，B为全集的子集，则A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B.(√)类型一集合的概念及表示法例1 下列表示同一集合的是( )A．M＝{(2,1)，(3,2)}，N＝{(1,2)}B．M＝{2,1}，N＝{1,2}C ．M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈N } D ．M ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R } 考点 集合的表示综合 题点 集合的表示综合问题 答案 B解析 A 中M ，N 两集合的元素个数不同，故不可能相同；B 中M ，N 均为含有1,2两个元素的集合，由集合中元素的无序性可得M ＝N ；C 中M ，N 均为数集，显然有M N ；D 中M 为点集，即抛物线y ＝x 2－1上所有点的集合，而N 为数集，即抛物线y ＝x 2－1的y 的取值，故选B.反思与感悟 要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点集等．跟踪训练1 设集合A ＝{(x ，y )|x －y ＝0}，B ＝{(x ，y )|2x －3y ＋4＝0}，则A ∩B ＝________. 考点 交集的概念及运算 题点 无限集合的交集运算 答案 {(4,4)}解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x －3y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.∴A ∩B ＝{(4,4)}．类型二 集合间的基本关系例2 若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，求由a 的可能取值组成的集合．考点 子集及其运算题点 根据子集关系求参数的取值范围 解 由题意得，P ＝{－3,2}． 当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a，为满足S ⊆P ，可使－1a ＝－3，或－1a＝2，即a ＝13，或a ＝－12.故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.反思与感悟 (1)在分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．(2)对于两集合A，B，当A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．跟踪训练2 下列说法中不正确的是________．(填序号)①若集合A＝∅，则∅⊆A；②若集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{－1,1}，则A＝B；③已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a>2.考点集合的包含关系题点集合包含关系的判定答案③解析∅是任何集合的子集，故①正确；∵x2－1＝0，∴x＝±1，∴A＝{－1,1}，∴A＝B，故②正确；若A⊆B，则a≥2，故③错误.1．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有( ) A．2个B．4个C．6个D．8个考点交集的概念及运算题点有限集合的交集运算答案 B2．下列关系中正确的个数为( )①22∈R；②0∈N*；③{－5}⊆Z.A．0B．1C．2D．3考点元素与集合的关系题点判断元素与集合的关系答案 C解析①③正确．3．已知P＝{y|y＝a2＋1，a∈R}，Q＝{m|m＝x2－4x＋5，x∈R}，则P与Q的关系不正确的是( )A．P⊆Q B．P⊇QC．P＝Q D．P∩Q＝∅考点集合的包含关系题点集合包含关系的判定答案 D解析∵P＝{}y|y≥1，Q ＝{}m |m ＝x －2＋1＝{}m |m ≥1，∴P ＝Q .∴A，B ，C 皆正确．4．设全集I ＝{a ，b ，c ，d ，e }，集合M ＝{a ，b ，c }，N ＝{b ，d ，e }，那么(∁I M )∩(∁I N )＝________.考点 交并补集的综合问题 题点 有限集合的交并补运算 答案 ∅解析 (∁I M )∩(∁I N )＝∁I (M ∪N )＝∁I I ＝∅.5．(2017·烟台检测)已知集合U ＝R ，集合A ＝{}x |x <－2或x >4，B ＝{}x |－3≤x ≤3，则(∁UA )∩B ＝________.考点 交并补集的综合问题 题点 无限集合的交并补运算 答案{}x |－2≤x ≤3解析 由图知(∁U A )∩B ＝{}x |－2≤x ≤3.1．要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系． 2．在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一．一、选择题1．若集合M ＝{x |(x ＋4)(x ＋1)＝0}，N ＝{x |(x －4)·(x －1)＝0}，则M ∩N 等于( ) A ．{1,4} B ．{－1，－4} C ．{0}D ．∅考点 交集的概念及运算 题点 有限集合的交集运算 答案 D解析 因为M ＝{x |(x ＋4)(x ＋1)＝0}＝{－4，－1}，N ＝{x |(x －4)(x －1)＝0}＝{1,4}，所以M ∩N ＝∅，故选D.2．已知集合A ＝{x |x >－3}，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅ C ．A ⊆BD ．B ⊆A考点 集合的包含关系 题点 集合包含关系的判定 答案 D解析 A ＝{x |x >－3}，B ＝{x |x ≥2}，结合数轴可得：B ⊆A .3．已知全集U ＝R ，A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{x ∈R |x ≥3}，则集合A ∩(∁U B )等于( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{1,2,3}D ．{0,1,2}考点 交并补集的综合问题 题点 无限集合的交并补运算 答案 B解析 ∵∁U B ＝{x ∈R |x <3}，∴A ∩(∁U B )＝{1,2}．4．(2017·全国Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <32 B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32D ．A ∪B ＝R考点 并集、交集的综合运算 题点 并集、交集的综合运算 答案 A解析 因为B ＝{x |3－2x ＞0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32，A ＝{x |x ＜2}， 所以A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32，A ∪B ＝{x |x ＜2}． 故选A.5．设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{a ，a 2}，若M ∩N ＝N ，则a 的值是( ) A ．－1B ．0C ．1D ．1或－1 考点 交集的概念及运算题点 由交集的运算结果求参数的值 答案 A解析 由M ∩N ＝N ，得N ⊆M .当a ＝0时，与集合中元素的互异性矛盾； 当a ＝1时，也与集合中元素的互异性矛盾； 当a ＝－1时，N ＝{－1,1}，符合题意．故a ＝－1.6．设全集U ＝R ，已知集合A ＝{x |x ＜3或x ≥7}，B ＝{x |x ＜a }．若(∁U A )∩B ≠∅，则a 的取值范围为( )A ．a ＞3B ．a ≥3C．a ≥7D．a ＞7 考点 交并补集的综合问题题点 与交并补集运算有关的参数问题 答案 A解析 因为A ＝{x |x ＜3或x ≥7}，所以∁U A ＝{x |3≤x ＜7}，又(∁U A )∩B ≠∅，则a ＞3. 7．设集合I ＝{}1，2，3，A ⊆I ，若把满足M ∪A ＝I 的集合M 叫做集合A 的配集，则A ＝{}1，2的配集有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 考点 并集的概念及运算 题点 有限集合的并集运算 答案 D解析 M 可以是{}3，{}1，3，{}2，3，{}1，2，3，共4个．8．若集合A ＝{}x |0<x <7，x ∈N *，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪6y∈N *，y ∈A，则B 中元素个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 考点 元素与集合的关系 题点 集合中元素的个数 答案 D解析 A ＝{}1，2，3，4，5，6，B 中元素为A 中能整除6的数，∴B ＝{}1，2，3，6. 二、填空题9．设全集U ＝R ，若集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |2≤x ≤3}，则A ∩(∁U B )＝________. 考点 交并补集的综合问题 题点 无限集合的交并补运算 答案 {1,4}解析 ∵∁U B ＝{x |x <2或x >3}， ∴A ∩(∁U B )＝{1,4}．10．(2017·江苏)已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}，若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________． 考点 交集的概念及运算 题点 由交集运算结果求参数的值 答案 1解析 ∵A ∩B ＝{1}，A ＝{1,2}， ∴1∈B 且2∉B .若a ＝1，则a 2＋3＝4，符合题意． 又a 2＋3≥3≠1，故a ＝1.11．已知集合A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}，若A ∩B ＝∅，则a 的取值范围是________．考点 交集的概念及运算题点 由交集的运算结果求参数的值答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－12≤a ≤2或a >3解析 ①若A ＝∅，则A ∩B ＝∅，此时2a >a ＋3， 即a >3.②若A ≠∅，如图，由A ∩B ＝∅，可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，a ＋3≤5，2a ≤a ＋3，解得－12≤a ≤2.综上所述，a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－12≤a ≤2或a >3. 三、解答题12．已知集合A ＝{x |3≤x <6}，B ＝{x |2<x <9}．(1)求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知C ＝{x |a <x <a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围． 考点 集合各类问题的综合 题点 集合各类问题的综合 解 (1)显然A ∩B ＝{x |3≤x <6}．∵B ＝{x |2<x <9}，∴∁R B ＝{x |x ≤2或x ≥9}， ∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或3≤x <6或x ≥9}． (2)∵C ⊆B ，如图所示，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a ＋1≤9，解得2≤a ≤8，∴a 的取值范围为{a |2≤a ≤8}．13．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围；(2)当A ＝{x ∈Z |－2≤x ≤5}时，求A 的非空真子集的个数； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 考点 集合各类问题的综合 题点 集合各类问题的综合 解 (1)因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ， 当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，得m <2，符合； 当B ≠∅时，根据题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.综上可得，实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．(2)当x ∈Z 时，A ＝{x ∈Z |－2≤x ≤5}＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共有8个元素，所以A 的非空真子集的个数为28－2＝254. (3)当B ＝∅时，由(1)知m <2；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，2m －1<－2或⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1>5，解得m >4.综上可得，实数m 的取值范围是{m |m <2或m >4}． 四、探究与拓展14．定义差集A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，现有三个集合A ，B ，C 分别用圆表示，则集合C －(A －B )可表示下列图中阴影部分的为( )考点 Venn 图表达的集合关系及运用 题点 Venn 图表达的集合关系 答案 A解析 如图所示，A －B 表示图中阴影部分，故C －(A －B )所含元素属于C ，但不属于图中阴影部分，故选A.15．对于集合A ，B ，我们把集合{}a ，ba ∈A ，b ∈B 记作A ×B .例如，A ＝{}1，2，B ＝{}3，4，则有：A ×B ＝{}，，，，，，，，B ×A ＝{}，，，，，，，，A ×A ＝{}，，，，，，，，B ×B＝{}，，，，，，，.据此，试回答下列问题：(1)已知C ＝{}a ，D ＝{}1，2，3，求C ×D ； (2)已知A ×B ＝{}，，，，求集合A ，B ；(3)若集合A 中有3个元素，集合B 中有4个元素，试确定A ×B 中有多少个元素． 考点 集合各类问题的综合 题点 集合各类问题的综合 解 (1)C ×D ＝{}a ，，a ，，a ，.(2)因为A ×B ＝{}，，，，所以A ＝{}1，2，B ＝{}2.(3)由题意可知A ×B 中元素的个数与集合A 和B 中的元素个数有关，即集合A 中的任何一个元素与B 中的任何一个元素对应后，得到A ×B 中的一个新元素．若A 中有m 个元素，B 中有n 个元素，则A ×B 中应有m ×n 个元素．于是，若集合A 中有3个元素，集合B 中有4个元素，则A ×B 中有12个元素．。