2008年中考压轴题精选讲座二 直角坐标系下通过几何图形列函数式问题(含答案)教学资料
2008年中考数学压轴题精选(二次函数)(16题)_附详细解答和评分标准2008年中考数学压轴题精选
1．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且1AB=，OB=ABOC绕点O按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线2y ax bx c=++过点A E D，，．（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O B P Q，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）存在符合条件的点P，点Q．理由如下：矩形ABOC的面积3AB BO==∴以O B P Q，，，为顶点的平行四边形面积为OB为此平行四边形一边，又3OB=OB∴边上的高为2，依题意设点P的坐标为(2)m，点P在抛物线2829y x x=--+上28229m∴-+=解得，1m=，28m=-1(02)P∴，，228P⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭以O B P Q，，，为顶点的四边形是平行四边形，PQ OB∴∥，PQ OB==∴当点1P的坐标为(02)，时，点Q的坐标分别为1(Q，22)Q；x第26题图当点2P 的坐标为5328⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，时，点Q 的坐标分别为313328Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，43328Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，． 14分5、如图14，已知半径为1的1O 与x 轴交于A B ，两点，OM 为1O 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2y x bx c =-++的图象经过A B ，两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM 的函数解析式；（3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7、（12分）30．已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ．（1）写出直线BC 的解析式． （2）求ABC △的面积．（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？（3）过点N 作NP MB ⊥于点P EO MB ⊥ NP EO ∴∥ BNP BEO ∴△∽△ 7分BN NPBE EO∴= 8分 图14yxOA B MO 1由直线3342y x =-+可得：302E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴在BEO △中，2BO =，32EO =，则52BE = 25322t NP∴=，65NP t ∴= 9分 16(4)25S t t ∴=-2312(04)55S t t t =-+<< 10分2312(2)55S t =--+ 11分此抛物线开口向下，∴当2t =时，125S =最大 ∴当点M 运动2秒时，MNB △的面积达到最大，最大为125． 12分 11、抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A(-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ．⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；⑶坐标平面内是否存在点M ，使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：⑶存在．……………………………6分理由：如图，连接AC 、BC ．设点M 的坐标为),(y x M ．①当以AC 或BC 为对角线时，点M 在x 轴上方，此时CM ∥AB ，且CM ＝AB ．由⑵知，AB ＝4，∴|x|＝4，3==OC y ．∴x ＝±4．∴点M 的坐标为)3,4()3,4(-或M ．…9分②当以AB 为对角线时，点M 在x 轴下方． 过M 作MN ⊥AB 于N ，则∠MNB ＝∠AOC ＝90°．∵四边形AMBC 是平行四边形，∴AC ＝MB ，且AC ∥MB ．∴∠CAO ＝∠MBN ．∴△AOC ≌△BNM ．∴BN ＝AO ＝1，MN ＝CO．∵OB ＝3，∴0N ＝3－1＝2．∴点M的坐标为(2,M ． ……………………………12分综上所述，坐标平面内存在点M ，使得以点A 、B 、C 、M 为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为123((2,M M M -．12、（08四川达州23题）如图，将AOB △置于平面直角坐标系中，其中点O 为坐标原点，点A 的坐标为(30)，，60ABO ∠=．（1）若AOB △的外接圆与y 轴交于点D ，求D 点坐标．（2）若点C 的坐标为(10)-，，试猜想过D C ，的直线与AOB △的外接圆的位置关系，并加以说明．（3）二次函数的图象经过点O 和A 求此函数的解析式．（3）依题意可设二次函数的解析式为 ： y=α（x －0）(x －3)由此得顶点坐标的横坐标为：x=a a 23-=23; 即顶点在OA 的垂直平分线上，作OA 的垂直平分线EF ，则得∠EFA ＝21∠B ＝300得到EF ＝3EA ＝323 可得一个顶点坐标为（23，323） 同理可得另一个顶点坐标为（23，321-） 分别将两顶点代入y=α（x －0）(x －3)可解得α的值分别为332-，932则得到二次函数的解析式是y=332-x(x －3)或y=932 x(x －3)14、（08甘肃兰州28题）（本题满分12分）如图19-1，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，5OA =，4OC =．（1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D E，两点的坐标；（2）如图19-2，若AE 上有一动点P （不与A E ，重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒（05t <<），过P 点作ED 的平行线交AD 于点M ，过点M 作AE 的平行线交DE 于点N ．求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M 的坐标．（08甘肃兰州28题解析）（本题满分12分） 解：（1）依题意可知，折痕AD 是四边形OAED 的对称轴， ∴在Rt ABE △中，5AE AO ==，4AB =．3BE ∴=．2CE ∴=．E ∴点坐标为（2，4）． 2分 在Rt DCE △中，222DC CE DE +=， 又DE OD =．222(4)2OD OD ∴-+= ． 解得：52CD =． D ∴点坐标为502⎛⎫⎪⎝⎭， 3分（2）如图①PM ED ∥，APM AED ∴△∽△． PM AP ED AE ∴=，又知AP t =，52ED =，5AE = 5522t tPM ∴=⨯=， 又5PE t =-．而显然四边形PMNE 为矩形．215(5)222PMNE t S PM PE t t t ∴==⨯-=-+矩形 5分21525228PMNES t ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭四边形，又5052<<∴当52t =时，PMNE S 矩形有最大值258． 6分 （3）（i ）若以AE 为等腰三角形的底，则ME MA =（如图①） 在Rt AED △中，ME MA =，PM AE ⊥，P ∴为AE 的中点，1522t AP AE ∴===．又PM ED ∥，M ∴为AD 的中点．过点M 作MF OA ⊥，垂足为F ，则MF 是OAD △的中位线，1524MF OD ∴==，1522OF OA ==，∴当52t =时，5052⎛⎫<< ⎪⎝⎭，AME △为等腰三角形．此时M 点坐标为5524⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 8分（ii）若以AE 为等腰三角形的腰，则5AMAE ==（如图②）在Rt AOD △中，AD ===过点M 作MF OA ⊥，垂足为F ．PM ED ∥，APM AED ∴△∽△．AP AMAE AD∴=． 555AMAE t AP AD ⨯∴====12PM t ∴==．MF MP ∴==5OF OA AF OA AP =-=-=-∴当t =（05<<），此时M 点坐标为(5-．11分综合（i ）（ii ）可知，52t =或t =A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，相应M 点的坐标为5524⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(5-．12分。
2008年全国各地中考试题压轴题精选讲座三几何问题
2008年全国各地中考试题压轴题精选讲座三函数及图像与几何问题【知识纵横】函数（本节主要指一次函数、反比例函数）及图像与几何问题，是以函数为背景探求几何性质，这类题很重要点是利用函数的性质，解决几个主要点的坐标问题，使几何知识和函数知识有机而自然结合起来，这样，才能突破难点。
但在解这类题目时，要注意方程的解与坐标关系，及坐标值与线段长度关系。
【典型例题】【例1】（山西太原）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与334y x =-+交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点． （1）求点A B C ，，的坐标．（2）当CBD △为等腰三角形时，求点D 的坐标．（3）在直线AB 上是否存在点E ，使得以点E D O A ，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出BE CD【思路点拨】（1）注意直线方程的解与坐标关系；（2）当CBD △为等腰三角形时，分三种情况讨论，． （3）以点E D O A ，，，为顶点的四边形是平行四边形三种情形。
【例2】（浙江湖州）已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ．（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等； （2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）用k 的代数式表示AOE △与FOB △的面积； （2）写出E F ，两点坐标（含k 的代数式表示），利用三角形面积公式解之；（3）设存在这样的点F ，将CE F △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 边上的M 点，过点E 作EN OB ⊥，垂足为N ．证ENM MBF ∴△∽△．【例3】（浙江嘉兴）如图，直角坐标系中，已知两点(00)(20)O A ，，，，点B 在第一象限且OAB △为正三角形，OAB △的外接圆交y 轴的正半轴于点C ，过点C 的圆的切线交x 轴于点D ．（1）求B C ，两点的坐标；（2）求直线CD 的函数解析式；（3）设E F ，分别是线段AB AD ，上的两个动点，且EF 平分四边形ABCD 的周长． 试探究：AEF △的最大面积？ 【思路点拨】（1）作BG OA ⊥于G ； （2）连结A C,证CD ‖OB.（3）通过 几何图形建立二次函数模型解之，注意 自变量的取值范围。
直角坐标下通过几何图形列函数式问题的参考答案
直角坐标下通过几何图形列函数式问题的参考答案【典型例题】【例1】（黑龙江齐齐哈尔）（1）10OA -=Q230OB ∴-=，10OA -=OB ∴=，1OA =Q 点A ，点B 分别在x 轴，y 轴的正半轴上(10)(0A B ∴，，（2）求得90ABC ∠=o(0(t t S t t ⎧<⎪=⎨->⎪⎩ ≤（3）1(30)P -，；21P ⎛- ⎝；31P ⎛ ⎝；4(3P 【例2】（广东东莞）（1）等腰；（2）共有9对相似三角形. ①△DCE 、△ABE 与△ACD 或△BDC 两两相似，分别是：△DCE ∽△ABE ，△DCE ∽△ACD ，△DCE ∽△BDC ，△ABE ∽△ACD ，△ABE ∽△BDC ；(有5对)②△ABD ∽△EAD ，△ABD ∽△EBC ；(有2对) ③△BAC ∽△EAD ，△BAC ∽△EBC ；(有2对)所以，一共有9对相似三角形（3）由题意知，FP ∥AE ， ∴ ∠1＝∠PFB ，又∵ ∠1＝∠2＝30°，∴ ∠PFB ＝∠2＝30°, ∴ FP ＝BP. 过点P 作PK ⊥FB 于点K ，则12FK BK FB ==. ∵ AF ＝t ，AB ＝8， ∴ FB ＝8－t ，1(8)2BK t =-. 在Rt △BPK中，1tan 2(8)tan 30)26PK BK t t =⋅∠=-︒=- ∴ △FBP的面积11(8))22S FB PK t t =⋅⋅=⋅--， ∴ S 与t 之间的函数关系式为：28)12S t =-，或24123S t =-+ t 的取值范围为：08t ≤<. 【例3】（河北）（1）∵AB ∥OC∴ 090=∠=∠AOC OAB在OAB Rt ∆中，2=AB ,32=AO ∴4=OB ， 060=∠ABO∴060=∠BOC 而060=∠BCO ∴BOC ∆为等边三角形∴3223430cos 0=⨯==OB OH …（3分） （2）∵t PH OH OP -=-=32∴t OP x p 23330cos 0-== 2330sin 0t OP y p -== ∴)233(2121t t x OQ S p -⋅⋅=⋅⋅= =t t 23432+- （320<<t ） 即433)3(432+--=t S ∴当3=t 时，=最大S 433 （3）①若OPM ∆为等腰三角形，则：（i ）若PM OM =，POC MOP MPO ∠=∠=∠∴PQ ∥OC ∴p y OQ = 即23tt -=解得：332=t 此时33233223)332(432=⨯+⨯-=S （ii ）若OM OP =，75=∠=∠OMP OPM ∴045=∠OQP过P 点作OA PE ⊥，垂足为E ，则有： EP EQ =即t t t 233)213(-=-- 解得：2=t 此时332232432-=⨯+⨯-=S （iii ）若PM OP =，AOB PMO POM ∠=∠=∠∴PQ ∥OA此时Q 在AB 上，不满足题意. ②线段OM 长的最大值为23【例4】（（甘肃兰州）（1）依题意可知，折痕AD 是四边形OAED 的对称轴， ∴在Rt ABE △中，5AE AO ==，4AB =．3BE ∴=．2CE ∴=．E ∴点坐标为（2，4）． 在Rt DCE △中，222DC CE DE +=， 又DE OD =Q ．222(4)2OD OD ∴-+= ． 解得：52CD =． D ∴点坐标为502⎛⎫⎪⎝⎭，（2）如图①PM ED Q ∥，APM AED ∴△∽△．PM AP ED AE ∴=，又知AP t =，52ED =，5AE = 5522t tPM ∴=⨯=， 又5PE t =-Q ．而显然四边形PMNE 为矩形． 215(5)222PMNEt S PM PE t t t ∴==⨯-=-+g 矩形21525228PMNE S t ⎛⎫∴=--+⎪⎝⎭四边形，又5052<<Q ∴当52t =时，PMNE S 矩形有最大值258． （3）（i ）若以AE 为等腰三角形的底，则ME MA =（如图①） 在Rt AED △中，ME MA =，PM AE ⊥Q ，P ∴为AE 的中点，1522t AP AE ∴===．又PM ED Q ∥，M ∴为AD 的中点．过点M 作MF OA ⊥，垂足为F ，则MF 是OAD △的中位线，1524MF OD ∴==，1522OF OA ==，∴当52t =时，5052⎛⎫<< ⎪⎝⎭，AME △为等腰三角形．此时M 点坐标为5524⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（ii ）若以AE 为等腰三角形的腰，则5AM AE ==（如图②） 在Rt AOD △中，AD === 过点M 作MF OA ⊥，垂足为F ．PM ED Q ∥，APM AED ∴△∽△．AP AMAE AD∴=．555AM AE t AP AD ⨯∴====g，12PM t ∴==．MF MP ∴==5OF OA AF OA AP =-=-=- ∴当t =（05<），此时M点坐标为(5-．综合（i ）（ii ）可知，52t =或t =A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，相应M 点的坐标为5524⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(5-．【学力训练】1、(诸暨中学)（1）t=12-（2）OC=CP 过点C 作X 轴的平行线，交OA 与直线BP 于点T 、H ，证△OTC ≌△CHP 即可 （3）①t b 21-=（0≤t ≤1）②当t=0或1时，△PBC 为等腰三角形，即P （1.1）, P （1，1－2） 2、(湖北天门) (1)N(x x 34,3-) (2)①AM=ANx x -=335,335=+x x ,338=x ,89=x ②MN=AMx x x -=+-3)34()23(220)5443(=-x x0=x (舍去)或4354=x ③MN=AN)3(21x x -=,1=x (3)不能当N(x x 23,21)时，△OMN 为正三角形 由题意可得：3421323=-xx,解得：1196372-=x点N 的速度为：11160314035-=x 3、 (吉林省长春市)（1）作PK MN ⊥于K ，则122PK KM NM ===． 6KO ∴=，(62)P ∴，． （2）当02b <≤时，如图①，0S =．当23b <≤时，如图②，设AC 交PM 于H ．24AM HA b ==-．21(24)2S b ∴=-．即22(2)S b =-． 或2288S b b =-+． 当34b <<设AC 交PN 于H ． 82NA HA b ==-．22(4)4S b ∴=--+， 或221628S b b =-+-． 当4b ≥时，如图④，4S =．（此问不画图不扣分） （3）01b <．（提示：以OM 为直径作圆，当直线1(0)2y x b b =-+>与此圆相切时，1b =．） （4）b 的值为4，5，8±．（提示：当PC PD =时，4b =．当PC CD =时，12b =（舍），25b =．当PD CD =时，8b =±．）图②图③图④图⑤4、（湖北荆州）25.14510122ABC BE EA FE EA Rt AC BC CAB EF EAAOA OE AE EF ∴⊥=∴∠=︒∴=∴===∴=V Q Q （）折叠后与所在直线重合又中（，），折痕∥BA 交Y 轴于P ，2（）存在.设CP4133003POC C CP AC OA OC OP C P ==∴==∴--V Q 则为等腰直角三角形，直角顶点在射线上移动，（，），（，）可求得PC 所在直线解析式为：y=-x-3243(2)12123 1.214521cos 45(/2x x x y x y CP C BCFE EA BAC BCFE ++=+-∴--=-=--=-∴--∠=︒∴⨯︒=Q Q 2抛物线:y=x 抛物线的顶点为（，）代入得点（，）在直线上即直角顶点在移动中经过此抛物线的顶点四边形沿射线移动速度为每秒一个单位长度，直角顶点向水平方向移动速度为长度单位秒）30212312()2C C t s ------=∴==Q 直角顶点从（，）位置移动到（，）时，水平移动距离为（）（长度单位）直角顶点从开始到经过此抛物线顶点移动的时间22212(02)21(222(3)121(2232)41228(3242)4t t t t s t t t t t t ⎧-+≤≤⎪⎪≤≤⎪⎪=⎨-+-≤≤⎪⎪⎪-+≤≤⎪⎩。
2008年中考数学压轴题精选(二次函数)(16题)
1、（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－32x2+b x +c 经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x2-x 1=5．（1）求b 、c 的值；（4分）（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对 角线的菱形；（3分）（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分） 解：3、（本题14分）26．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形A B O C 的边B O 在x 轴的负半轴上，边O C 在y 轴的正半轴上，且1AB =，O B =A B O C 绕点O 按顺时针方向旋转60 后得到矩形E F O D ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，．（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形A B O C 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4、（本题14分）26．如图16，在平面直角坐标系中，直线y =-x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2(0)3y ax x c a =-+≠经过A B C ，，三点．（1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标； （2）在抛物线上是否存在点P ，使A B P △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线A C 上是否存在一点M ，使得M B F △的周长最小，（第1题图）xx第26题图x若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．5、如图14，已知半径为1的1O 与x 轴交于A B ，两点，O M 为1O 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2y x bx c =-++的图象经过A B ，两点．（1）求二次函数的解析式； （2）求切线O M 的函数解析式；7、（12分）30．已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ．（1）写出直线B C 的解析式． （2）求A B C △的面积．（3）若点M 在线段A B 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线B C 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出M N B △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，M N B △的面积最大，最大面积是多少？911、（08湖北十堰25题）已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A(-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ．⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；⑶坐标平面内是否存在点M ，使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图1415、（本小题10分）已知抛物线c bx ax y ++=232，（Ⅰ）若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；（Ⅱ）若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围； （Ⅲ）若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当10<<x 时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．16、（本小题满分8分）探索研究如图，在直角坐标系xOy 中，点P 为函数214y x =在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为(01)，，直线l 过(01)B -，且与x 轴平行，过P 作y 轴的平行线分别交x 轴，l 于C Q ，，连结AQ 交x 轴于H ，直线P H 交y 轴于R ．（1）求证：H 点为线段AQ 的中点； （2）求证：①四边形APQR 为平行四边形；②平行四边形APQR 为菱形；（3）除P 点外，直线P H 与抛物线214y x =有无其它公共点？并说明理由．x。
2008年全国中考数学压轴题精选2含答案(修)
（第24题图）2008年全国中考数学压轴题精选精析（二）11（08江苏连云港24题）（本小题满分14分）如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的AOB △，COD △处，直角边OB OD ，在x 轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至PEF △处时，设PE PF ，与OC 分别交于点M N ，，与x 轴分别交于点G H ，．（1）求直线AC 所对应的函数关系式；（2）当点P 是线段AC （端点除外）上的动点时，试探究：①点M 到x 轴的距离h 与线段BH 的长是否总相等？请说明理由；②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及S 取最大值时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（08江苏连云港24题解析）解：（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2，知A C ，两点的坐标分别为(12)(21)，，，． 设直线AC 所对应的函数关系式为y kx b =+． ················ 2分有221k b k b +=⎧⎨+=⎩，．解得13k b =-⎧⎨=⎩，．所以，直线AC 所对应的函数关系式为3y x =-+． ·············· 4分 （2）①点M 到x 轴距离h 与线段BH 的长总相等．因为点C 的坐标为(21)，， 所以，直线OC 所对应的函数关系式为12y x =． 又因为点P 在直线AC 上，所以可设点P 的坐标为(3)a a -，． 过点M 作x 轴的垂线，设垂足为点K ，则有MK h =．因为点M 在直线OC 上，所以有(2)M h h ，． ······ 6分 因为纸板为平行移动，故有EF OB ∥，即EF GH ∥．（第24题答图）又EF PF ⊥，所以PH GH ⊥．法一：故Rt Rt Rt MKG PHG PFE △∽△∽△，从而有12GK GH EF MK PH PF ===． 得1122GK MK h ==，11(3)22GH PH a ==-．所以13222OG OK GK h h h =-=-=．又有13(3)(1)22OG OH GH a a a =-=--=-． ··············· 8分所以33(1)22h a =-，得1h a =-，而1BH OH OB a =-=-，从而总有h BH =． ··························· 10分法二：故Rt Rt PHG PFE △∽△，可得12GH EF PH PF =-． 故11(3)22GH PH a ==-．所以13(3)(1)22OG OH GH a a a =-=--=-．故G 点坐标为3(1)02a ⎛⎫-⎪⎝⎭，． 设直线PG 所对应的函数关系式为y cx d =+，则有330(1)2a ca d c a d -=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，．解得233c d a =⎧⎨=-⎩ 所以，直线PG 所对的函数关系式为2(33)y x a =+-． ············ 8分 将点M 的坐标代入，可得4(33)h h a =+-．解得1h a =-．而1BH OH OB a --=-，从而总有h BH =． ··············· 10分 ②由①知，点M 的坐标为(221)a a --，，点N 的坐标为12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．ONH ONG S S S =-△△1111133(1)222222a NH OH OG h a a a -=⨯-⨯=⨯⨯-⨯⨯- 22133133224228a a a ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭． ·················· 12分当32a =时，S 有最大值，最大值为38． S 取最大值时点P 的坐标为3322⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ···················· 14分12（08江苏连云港25题）（本小题满分12分）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB 的最小覆盖圆就是以线段AB 为直径的圆．（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）； （3）某地有四个村庄E F G H ，，，（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由．（08江苏连云港25题解析）解：（1）如图所示： ··············· 4分（注：正确画出1个图得2分，无作图痕迹或痕迹不正确不得分） （2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆； ··········· 6分若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆． ····································· 8分（3）此中转站应建在EFH △的外接圆圆心处（线段EF 的垂直平分线与线段EH 的垂直平分线的交点A A B B CC 80100 （第25题图1）GF（第25题图2）（第25题答图1）处）． ····················· 10分 理由如下：由47.835.182.9HEF HEG GEF ∠=∠+∠=+=，50.0EHF ∠= ，47.1EFH ∠= ，故EFH △是锐角三角形，所以其最小覆盖圆为EFH △的外接圆，设此外接圆为O ，直线EG 与O 交于点E M ，， 则50.053.8EMF EHF EGF ∠=∠=<=∠．故点G 在O 内，从而O 也是四边形EFGH 的最小覆盖圆． 所以中转站建在EFH △的外接圆圆心处，能够符合题中要求． ························ 12分13（08江苏南通28题）（14分）已知双曲线k y x=与直线14y x =相交于A 、B 两点．第一象限上的点M （m ，n ）（在A 点左侧）是双曲线ky x=上的动点．过点B 作BD ∥y 轴交x 轴于点D ．过N （0，－n ）作NC ∥x 轴交双曲线ky x=于点E ，交BD 于点C ． （1）若点D 坐标是（－8，0），求A 、B 两点坐标及k 的值．（2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式．（3）设直线AM 、BM 分别与y 轴相交于P 、Q 两点，且MA =pMP ，MB =qMQ ，求p －q 的值．（08江苏南通28题解析）解：（1）∵D （－8，0），∴B 点的横坐标为－8，代入14y x =中，得y =－2． ∴B 点坐标为（－8，－2）．而A 、B 两点关于原点对称，∴A （8，2）．从而8216k =⨯=．……………………………………………………………………3分（2）∵N （0，－n ），B 是CD 的中点，A 、B 、M 、E 四点均在双曲线上，∴mn k =，B （－2m ，－2n），C （－2m ，－n ），E （－m ，－n ）． ……………4分 S 矩形DCNO 22mn k ==，S △DBO =1122mn k =，S △OEN =1122mn k =， ………………7分F（第25题答图2）（第28题）∴S 四边形OBCE = S 矩形DCNO －S △DBO － S △OEN =k ．∴4k =． …………………………8分由直线14y x =及双曲线4y x=，得A （4，1），B （－4，－1）， ∴C （－4，－2），M （2，2）．………………………………………………………9分 设直线CM 的解析式是y ax b =+，由C 、M 两点在这条直线上，得 42,2 2.a b a b -+=-⎧⎨+=⎩ 解得23a b ==． ∴直线CM 的解析式是2233y x =+．………………………………………………11分 （3）如图，分别作AA 1⊥x 轴，MM 1⊥x 轴，垂足分别为A 1、M 1．设A 点的横坐标为a ，则B 点的横坐标为－a ．于是 111A M MA a mp MP M O m-===． 同理MB m aq MQ m+==，……………………………13分 ∴2a m m ap q m m-+-=-=-．……………………14分14（08江苏宿迁27题）（本题满分12分）如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为)0,5(，顶点D 在⊙O 上运动．(1)当点D 运动到与点A 、O 在同一条直线上时,试证明直线CD 与⊙O 相切；(2)当直线CD 与⊙O 相切时，求CD 所在直线对应的函数关系式；(3)设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．第27题（08江苏宿迁27题解析）解：(1) ∵四边形ABCD 为正方形 ∴CD AD ⊥ ∵A 、O 、D 在同一条直线上 ∴︒=∠90ODC ∴直线CD 与⊙O 相切； (2)直线CD 与⊙O 相切分两种情况:①如图1, 设1D 点在第二象限时,过1D 作x E D ⊥11轴于点1E ,设此时的正方形的边长为a ,则2225)1(=+-a a ,解得4=a 或3-=a (舍去)．由BOA Rt ∆∽11OE D Rt ∆ 得OBOD BA E D OA OE 1111== ∴54,53111==E D OE ∴)54,53(1-D ，故直线OD 的函数关系式为x y 34-=；②如图2, 设2D 点在第四象限时,过2D 作x E D ⊥22轴于点2E ,设此时的正方形的边长为b ,则2225)1(=++b b ,解得3=b 或4-=b (舍去)．由BOA Rt ∆∽22OE D Rt ∆得OBOD BA E D OA OE 2222== ∴53,54222==E D OE ∴)53,54(2-D ，故直线OD 的函数关系式为x y 43-=. (3)设),(0y x D ,则201x y -±=,由)0,5(B 得x x x DB 1026)1()5(22-=-+-=∴x x BD S 513)1026(21212-=-==∵11≤≤-x第27题图1第27题图2∴851318513=-==+=最小值最大值，S S .15（08江苏泰州29题）已知二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 的图象经过三点（1，0），（-3，0），（0，23-）。
2008年全国中考数学压轴题精选精析(二)
2008年全国中考数学压轴题精选精析（二）14.（08某某某某）（本题答案暂缺）28.如图,抛物线24y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O ,它的顶点为A ,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l ,设P 是直线l 上一动点.(1) 求点A 的坐标;(2) 以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;(3) 设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S,点P 的横坐标为x,当46S +≤≤+,求x 的取值X 围.13.（08某某某某）（本题答案暂缺）28．(本小题14分)如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P ，与x 轴交点为 A 、B ，与y 轴交点为C ．连结BP 并延长交y 轴于点D. (1)写出点P 的坐标；(2)连结AP ，如果△APB 为等腰直角三角形，求a 的值及点C 、D 的坐标； (3)在(2)的条件下，连结BC 、AC 、AD ，点E(0，b)在线段CD(端点C 、D 除外)上,将△BCD 绕点E 逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD 重叠部分的面积为S ，根据不同情况，分别用含b 的代数式表示S ．选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b 为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．(第28题）AO EG B F H N C P I xy M（第24题图）DII14.（08某某某某）24．（本小题满分14分）如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的AOB △，COD △处，直角边OB OD ，在x 轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至PEF △处时，设PE PF ，与OC 分别交于点M N ，，与x 轴分别交于点G H ，． （1）求直线AC 所对应的函数关系式；（2）当点P 是线段AC （端点除外）上的动点时，试探究： ①点M 到x 轴的距离h 与线段BH 的长是否总相等？请说明理由；②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及S 取最大值时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（08某某某某24题解析）24．解：（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2，知A C ，两点的坐标分别为(12)(21)，，，． 设直线AC 所对应的函数关系式为y kx b =+． ·································· 2分有221k bk b+=⎧⎨+=⎩，．解得13kb=-⎧⎨=⎩，．所以，直线AC所对应的函数关系式为3y x=-+． ··························· 4分（2）①点M到x轴距离h与线段BH的长总相等．因为点C的坐标为(21)，，所以，直线OC所对应的函数关系式为12y x =．又因为点P在直线AC上，所以可设点P的坐标为(3)a a-，．过点M作x轴的垂线，设垂足为点K，则有MK h=．因为点M在直线OC上，所以有(2)M h h，． ······ 6分因为纸板为平行移动，故有EF OB∥，即EF GH∥．又EF PF⊥，所以PH GH⊥．法一：故Rt Rt RtMKG PHG PFE△∽△∽△，从而有12 GK GH EFMK PH PF===．得1122GK MK h==，11(3)22GH PH a==-．所以13222 OG OK GK h h h =-=-=．又有13(3)(1)22OG OH GH a a a=-=--=-．··································· 8分所以33(1)22h a=-，得1h a=-，而1BH OH OB a=-=-，从而总有h BH=．···································································· 10分法二：故Rt RtPHG PFE△∽△，可得12 GH EFPH PF=-．故11(3)22GH PH a==-．所以13(3)(1)22OG OH GH a a a=-=--=-．故G点坐标为3(1)02a⎛⎫-⎪⎝⎭，．设直线PG所对应的函数关系式为y cx d=+，（第24题答则有330(1)2a ca d c a d -=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，．解得233c d a =⎧⎨=-⎩ 所以，直线PG 所对的函数关系式为2(33)y x a =+-． ······················· 8分 将点M 的坐标代入，可得4(33)h h a =+-．解得1h a =-．而1BH OH OB a --=-，从而总有h BH =． ·································· 10分②由①知，点M 的坐标为(221)a a --，，点N 的坐标为12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．ONH ONG S S S =-△△1111133(1)222222a NH OH OG h a a a -=⨯-⨯=⨯⨯-⨯⨯- 22133133224228a a a ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭． ·············································· 12分 当32a =时，S 有最大值，最大值为38． S 取最大值时点P 的坐标为3322⎛⎫⎪⎝⎭，． ············································· 14分15.（08某某某某）25．（本小题满分12分）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB 的最小覆盖圆就是以线段AB 为直径的圆．（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）；AAB B CC 80 100 （第25题图（3）某地有四个村庄E F G H ，，，（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由．（08某某某某25题解析）25．解：（1）如图所示： ····························· 4分（注：正确画出1个图得2分，无作图痕迹或痕迹不正确不得分）（2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆； ·············· 6分 若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆． ········································································ 8分（3）此中转站应建在EFH △的外接圆圆心处（线段EF 的垂直平分线与线段EH 的垂直平分线的交点处）． ······························ 10分理由如下：由47.835.182.9HEF HEG GEF ∠=∠+∠=+=50.0EHF ∠=，47.1EFH ∠=，故EFH △是锐角三角形，32.4 49.8 E F53.8 44.0 47.1 35.1 47.8 50.0 （第25题图2）80100（第25题答图G32.4 49.8 F53.8 44.047.150.0所以其最小覆盖圆为EFH△的外接圆，设此外接圆为O，直线EG与O交于点E M，，则50.053.8EMF EHF EGF∠=∠=<=∠．故点G在O内，从而O也是四边形EFGH的最小覆盖圆．所以中转站建在EFH△的外接圆圆心处，能够符合题中要求．···························································· 12分16（08某某某某）28．（10分）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为(h)x，两车之间的距离．．．．．．．y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为km；（2）请解释图中点B的实际意义；图象理解（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值X围；问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？（08某某某某28题解析）28．（本题10分）解：（1）900； ········································································· 1分（2）图中点B的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇． ··· 2分（3）由图象可知，慢车12h行驶的路程为900km，所以慢车的速度为90075(km/h)12=； ············································· 3分（第28题）y当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km ，所以慢车和快车行驶的速度之和为900225(km /h)4=，所以快车的速度为150km/h ． ······· 4分 （4）根据题意，快车行驶900km 到达乙地，所以快车行驶9006(h)150=到达乙地，此时两车之间的距离为675450(km)⨯=，所以点C 的坐标为(6450)，．设线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，把(40)，，(6450)，代入得044506.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得225900.k b =⎧⎨=-⎩，所以，线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为225900y x =-． ···· 6分 自变量x 的取值X 围是46x ≤≤． ················································ 7分 （5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是． 把 4.5x =代入225900y x =-，得112.5y =．此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是，所以两列快车出发的间隔时间是112.51500.75(h)÷=，即第二列快车比第一列快车晚出发． ·· 10分 17.（08某某某某）（第28题14分）28．已知双曲线k y x =与直线14y x =相交于A 、B 两点．第一象限上的点M （m ，n ）（在A 点左侧）是双曲线k y x=上的动点．过点B 作BD ∥y 轴交x 轴于点D ．过N （0，－n ）作NC ∥x 轴交双曲线k y x=于点E ，交BD 于点C ．（1）若点D 坐标是（－8，0），求A 、B 两点坐标及k 的值．（2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式． （3）设直线AM 、BM 分别与y 轴相交于P 、Q 两点，且MA =pMP ，MB =qMQ ，求p－q 的值．（08某某某某28题解析）28．解：（1）∵D （－8，0），∴B 点的横坐标为－8，代入14y x =中，得y =－2．∴B 点坐标为（－8，－2）．而A 、B 两点关于原点对称，∴A （8，2）． 从而8216k =⨯=．……………………3分（2）∵N （0，－n ），B 是CD 的中点，A 、B 、M 、E 四点均在双曲线上，∴mn k =，B （－2m ，－2n ），C （－2m ，－n ），E （－m ，－n ）．…4分S 矩形DO 22mn k ==，S △DBO =1122mn k =，S △OEN =1122mn k =，…………7分 ∴S 四边形OBCE = S 矩形DO －S △DBO －S △OEN =k ．∴4k =． …………………8分由直线14y x =及双曲线4y x=，得A （4，1），B （－4，－1），∴C （－4，－2），M （2，2）．…………………………………………9分 设直线CM 的解析式是y ax b =+，由C 、M 两点在这条直线上，得42,2 2.a b a b -+=-⎧⎨+=⎩解得23a b ==． ∴直线CM 的解析式是2233y x =+．………………………………………11分（3）如图，分别作AA 1⊥x 轴，MM 1⊥x 轴，垂足分别为A 1、M 1． 设A 点的横坐标为a ，则B111A M MA a mp MP M O m-===． 同理MB m aq MQ m+==，…………13分∴2a m m ap q m m-+-=-=-．……………14分18.（08某某宿迁）27．（本题满分12分） 如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为)0,5(，顶点D 在⊙O 上运动．(1)当点D 运动到与点A 、O 在同一条直线上时,试证明直线CD 与⊙O 相切；(2)当直线CD 与⊙O 相切时，求CD 所在直线对应的函数关系式；(3)设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．（08某某宿迁27题解析）27．解：(1) ∵四边形ABCD 为正方形∴CD AD ⊥ ∵A 、O 、D 在同一条直线上∴︒=∠90ODC ∴直线CD 与⊙O 相切； (2)直线CD 与⊙O 相切分两种情况: ①如图1, 设1D 点在第二象限时,1D 作x E D ⊥11轴于点1E ,设此时的正方形的边长为a ,则2225)1(=+-a a ,解得4=a 或3-=a (舍去)．由BOA Rt ∆∽11OE D Rt ∆得OBOD BA E D OA OE 1111== 第27题∴54,53111==E D OE ∴)54,53(1-D ，故直线OD 的函数关系式为x y 34-=；②如图2, 设2D 点在第四象限时,过2D 作x E D ⊥22轴于点2E ,设此时的正方形的边长为b ,则2225)1(=++b b ,解得3=b 或4-=b (舍去)．由BOA Rt ∆∽22OE D Rt ∆得OBOD BA E D OA OE 2222== ∴53,54222==E D OE ∴)53,54(2-D ，故直线OD 的函数关系式为x y 43-=. (3)设),(0y x D ,则201x y -±=,由)0,5(B 得x x x DB 1026)1()5(22-=-+-= ∴x x BD S 513)1026(21212-=-==∵11≤≤-x∴851318513=-==+=最小值最大值，S S .19.（08某某某某）29．已知二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 的图象经过三点（1，0），（-3，0），（0，23-）。
2008年全国中考数学压轴题精选(含答案)
2008年全国中考数学压轴题精选(八)71.（08江苏镇江28题）（本小题满分8分）探索研究 如图，在直角坐标系xOy 中，点P 为函数214y x =在第一象限内的图象上的任一点，点A 的坐标为(01)，，直线l 过(01)B -，且与x 轴平行，过P 作y 轴的平行线分别交x 轴，l 于C Q ，，连结AQ 交x 轴于H ，直线P H 交y 轴于R ．（1）求证：H 点为线段AQ 的中点；（2）求证：①四边形APQR 为平行四边形；②平行四边形APQR 为菱形；（3）除P 点外，直线P H 与抛物线214y x =有无其它公共点？并说明理由．（08江苏镇江28题解析）（1）法一：由题可知1AO CQ ==．90AO H Q C H ∠=∠=，AHO QHC ∠=∠，AOH QCH ∴△≌△． ························································································ （1分） O H C H ∴=，即H 为AQ 的中点．····································································· （2分）法二：(01)A ，，(01)B -，，O A O B ∴=． ························································· （1分） 又BQ x ∥轴，HA HQ ∴=． ·············································································· （2分） （2）①由（1）可知AH QH =，AHR QHP ∠=∠，AR PQ ∥，RAH PQH ∴∠=∠，RAH PQH ∴△≌△． ························································································· （3分） AR PQ ∴=，又AR PQ ∥，∴四边形APQR 为平行四边形． ··················································· （4分）②设214P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，PQ y ∥轴，则(1)Q m -，，则2114P Q m =+．过P 作PG y ⊥轴，垂足为G ，在R t APG △中，x2114AP m PQ====+=．∴平行四边形APQR为菱形． ··············································································（6分）（3）设直线P R为y kx b=+，由O H C H=，得22mH⎛⎫⎪⎝⎭，，214P m m⎛⎫⎪⎝⎭，代入得：221.4mk bkm b m⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，221.4mkb m⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩，∴直线P R为2124my x m=-．························（7分）设直线P R与抛物线的公共点为214x x⎛⎫⎪⎝⎭，，代入直线P R关系式得：2211424mx x m-+=，21()04x m-=，解得x m=．得公共点为214m m⎛⎫⎪⎝⎭，．所以直线P H与抛物线214y x=只有一个公共点P． ············································（8分）72（08黑龙江齐齐哈尔28题）（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，点(30)C-，，点A B，分别在x轴，y轴的正半轴上，且满足10OA-=．（1）求点A，点B的坐标．（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线C B运动，连结A P．设A B P△的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A B P，，为顶点的三角形与A O B△相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．x（08黑龙江齐齐哈尔28题解析）解：（1）10O A -=230OB ∴-=，10O A -= ·················································································· （1分）O B ∴=，1O A =点A ，点B 分别在x 轴，y 轴的正半轴上(10)(0A B ∴，， ······························································································· （2分） （2）求得90ABC ∠= ························································································· （3分）(0(t t S t t ⎧<⎪=⎨->⎪⎩ ≤（每个解析式各1分，两个取值范围共1分）························································ （6分） （3）1(30)P -，；21P ⎛- ⎝；31P ⎛ ⎝；4(3P （每个1分，计4分） ·····························································································································（10分） 注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，酌情给分．73（08海南省卷24题）（本题满分14分）如图13，已知抛物线经过原点O 和x 轴上另一点A ,它的对称轴x =2 与x 轴交于点C ，直线y =-2x -1经过抛物线上一点B (-2,m )，且与y 轴、直线x =2分别交于点D 、E .（1）求m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB =CE ；② D 是BE 的中点；（3）若P (x ，y )条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（08海南省卷24题解析）（1）∵ 点B (-2,m )在直线y =-2x -1∴ m =-2×(-2)-1=3. ………………………………（2分） ∴ B (-2,3)∵ 抛物线经过原点O 和点A ，对称轴为x =2， ∴ 点A 的坐标为(4,0) .设所求的抛物线对应函数关系式为y =a (x -0)(x -4). ……………………（3分） 将点B (-2,3)代入上式，得3=a (-2-0)(-2-4)，∴ 41=a .∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为)4(41-=x x y ，即x xy -=241. （6分）（2）①直线y =-2x -1与y 轴、直线x =2过点B 作BG ∥x 轴，与y 轴交于F 、直线x 则BG ⊥直线x =2，BG =4.在Rt △BGC 中，BC =522=+BGCG .∵ CE =5，∴ CB =CE =5. ……………………（9分） ②过点E 作EH ∥x 轴，交y 轴于H ， 则点H 的坐标为H (0,-5).又点F 、D 的坐标为F (0,3)、D (0,-1)，∴ FD =DH =4，BF =EH =2，∠BFD =∠EHD ∴ △DFB ≌△DHE （SAS ），∴ BD =DE .即D 是BE 的中点. （3） 存在. 由于PB =PE ，∴ 点P 在直线CD 上，∴ 符合条件的点P 是直线CD 与该抛物线的交点.设直线CD 对应的函数关系式为y =kx +b . 将D (0,-1) C (2,0)代入，得⎩⎨⎧=+-=021b k b . 解得 1,21-==b k .∴ 直线CD 对应的函数关系式为y =21x -1.∵ 动点P 的坐标为(x ，x x -241)，∴21x -1=x x -241. ………………………………（13分）解得 531+=x ，532-=x . ∴ 2511+=y ，2511-=y .∴ 符合条件的点P 的坐标为(53+，251+)或(53-，251-).…（14分）(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)74.（08广东东莞22题）（本题满分9分）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB 重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC 与BD 相交于点E ，连结CD ． (1)填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD 是 梯形.(2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.(3)如图10，若以AB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ΔABD 不动，将ΔABC 向x 轴的正方向平移到ΔFGH 的位置，FH 与BD 相交于点P ，设AF=t ，ΔFBP 面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值值范围.（08广东东莞22题解析）解：（1）…………………………1分等腰；…………………………2分（2）共有9对相似三角形.（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3分）①△DCE 、△ABE 与△ACD 或△BDC 两两相似，分别是：△DCE ∽△ABE ，△DCE ∽△ACD ，△DCE ∽△BDC ，△ABE ∽△ACD ，△ABE ∽△BDC ；(有5对)②△ABD ∽△EAD ，△ABD ∽△EBC ；(有2对) ③△BAC ∽△EAD ，△BAC ∽△EBC ；(有2对)所以，一共有9对相似三角形.…………………………………………5分（3）由题意知，FP ∥AE ， ∴ ∠1＝∠PFB ， 又∵ ∠1＝∠2＝30°，∴ ∠PFB ＝∠2＝30°,∴ FP ＝BP .…………………………6分过点P 作PK ⊥FB 于点K ，则F K B K ==∵ AF ＝t ，AB ＝8， ∴ FB ＝8－t ，1(8)2B K t =-.在Rt △BPK 中，1tan 2(8)tan 30)26PK BK t t =⋅∠=-︒=-. ……………………7分∴ △FBP 的面积11(8))226S FB PK t t =⋅⋅=⋅--，∴ S 与t 之间的函数关系式为： 2(8)12S t =-，或24123S t t =-+分DCE图9 图10t 的取值范围为：08t ≤<. …………………………………………………………9分75（08甘肃兰州28题）（本题满分12分）如图19-1，O A B C 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，5O A =，4O C =．（1）在O C 边上取一点D ，将纸片沿A D 翻折，使点O 落在B C 边上的点E 处，求D E ，两点的坐标； （2）如图19-2，若A E 上有一动点P （不与A E ，重合）自A 点沿A E 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒（05t <<），过P 点作E D 的平行线交A D 于点M ，过点M 作A E 的平行线交D E 于点N ．求四边形P M N E 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M 的坐标．（08甘肃兰州28题解析）（本题满分12分） 解：（1）依题意可知，折痕A D 是四边形O A E D 的对称轴，∴在R t A B E △中，5AE AO ==，4A B =．3BE ∴===．2C E ∴=．E ∴点坐标为（2，4）．································································································ 2分 在R t D C E △中，222DC CE DE +=， 又D E O D = ．222(4)2OD OD ∴-+= ． 解得：52C D =．D ∴点坐标为502⎛⎫ ⎪⎝⎭，···································································································· 3分 （2）如图①PM ED ∥，A P M A E D ∴△∽△．P M A PE DA E ∴=，又知A P t =，52E D =，5A E =5522t tP M ∴=⨯=， 又5P E t =- ．而显然四边形P M N E 为矩形．215(5)222P M N E t S PM PE t t t ∴==⨯-=-+矩形·························································· 5分21525228PM N ES t ⎛⎫∴=--+⎪⎝⎭四边形，又5052<< ∴当52t =时，PM N E S 矩形有最大值258． ········································································ 6分x（3）（i ）若以A E 为等腰三角形的底，则M E M A =（如图①） 在R t AED △中，M E M A =，PM AE ⊥ ，P ∴为A E 的中点，1522t A P A E ∴===．又PM ED ∥，M ∴为A D 的中点．过点M 作M F O A ⊥，垂足为F ，则M F 是O AD △的中位线，1524M F O D ∴==，1522O F O A ==，∴当52t =时，5052⎛⎫<< ⎪⎝⎭，A M E △为等腰三角形． 此时M 点坐标为5524⎛⎫⎪⎝⎭，．··························································································· 8分（ii ）若以A E 为等腰三角形的腰，则5A M A E ==（如图②） 在R t A O D △中，AD ===过点M 作M F O A ⊥，垂足为F ．PM ED ∥，A P M A E D ∴△∽△． A P A M A E A D∴=．55AM AE t AP AD⨯∴====12P M t ∴==．M F M P ∴==5O F O A AF O A AP =-=-=-，∴当t =（05<<），此时M点坐标为(5-． ·························· 11分 综合（i ）（ii ）可知，52t =或t =A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，相应M 点的坐标为5524⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(5-． ·······················································································12分76.（08天津市卷26题）（本小题10分） 已知抛物线c bx ax y ++=232，（Ⅰ）若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；（Ⅱ）若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围；（Ⅲ）若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当10<<x 时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．x（08天津市卷26题解析）解（Ⅰ）当1==b a ，1-=c 时，抛物线为1232-+=x x y ， 方程01232=-+x x 的两个根为11-=x ，312=x ．∴该抛物线与x 轴公共点的坐标是()10-，和103⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ··············································· 2分 （Ⅱ）当1==b a 时，抛物线为c x x y ++=232，且与x 轴有公共点．对于方程0232=++c x x ，判别式c 124-=∆≥0，有c ≤31． ······································· 3分①当31=c 时，由方程031232=++x x ，解得3121-==x x ．此时抛物线为31232++=x x y 与x 轴只有一个公共点103⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ································· 4分 ②当31<c 时，11-=x 时，c c y +=+-=1231， 12=x 时，cc y +=++=5232．由已知11<<-x 时，该抛物线与x 轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为31-=x ，应有1200.y y ⎧⎨>⎩≤， 即1050.c c +⎧⎨+>⎩≤，解得51c -<-≤． 综上，31=c 或51c -<-≤． ··············································································· 6分（Ⅲ）对于二次函数c bx ax y ++=232，由已知01=x 时，01>=c y ；12=x 时，0232>++=c b a y ， 又0=++c b a ，∴b a b a c b a c b a +=++++=++22)(23． 于是02>+b a ．而c a b --=，∴02>--c a a ，即0>-c a ．∴0>>c a ． ············································································································ 7分 ∵关于x 的一元二次方程0232=++c bx ax 的判别式0])[(412)(4124222>+-=-+=-=∆ac c a ac c a ac b，∴抛物线c bx ax y ++=232与x 轴有两个公共点，顶点在x 轴下方． ····························· 8分 又该抛物线的对称轴ab x 3-=，由0=++c b a ，0>c ，02>+b a ， 得a b a -<<-2， ∴32331<-<ab ．又由已知01=x 时，01>y ；12=x 时，02>y ，观察图象，可知在10<<x 范围内，该抛物线与x 轴有两个公共点． ············································10分77（08湖北宜昌25题）如图1，已知四边形OABC 中的三个顶点坐标为O (0，0)，A (0，n )，C (m ，0)．动点P 从点O 出发依次沿线段OA ，AB ，BC 向点C 移动，设移动路程为z ，△OPC 的面积S 随着z 的变化而变化的图象如图2所示．m ，n 是常数， m ＞1，n ＞0．（1）请你确定n 的值和点B 的坐标；（2）当动点P 是经过点O ，C 的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点，且在双曲线y ＝115x上时，求这时四边形OABC 的面积．（08湖北宜昌25题解析）解：(1) 从图中可知，当P从O 向A 运动时，△POC 的面积S ＝12mz ， z 由0逐步增大到2,则S 由0逐步增大到m ，故OA ＝2，n ＝2 . (1分) 同理，AB ＝1，故点B 的坐标是(1，2).(2分) (2)解法一：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点O (0，0)，C (m ，0),∴c ＝0，b ＝－am ，(3分) ∴抛物线为y ＝ax 2－amx ，顶点坐标为(2m，－14 am 2).(4分)如图1，设经过点O ，C ，P 的抛物线为l. 当P 在OA 上运动时，O ,P 都在y 轴上， 这时P ,O ,C 三点不可能同在一条抛物线上， ∴这时抛物线l 不存在, 故不存在m 的值..① 当点P 与C 重合时，双曲线y ＝115x不可能经过P ,故也不存在m 的值.②(5分)(说明：①②任做对一处评1分，两处全对也只评一分) 当P 在AB 上运动时，即当0<x 0≤1时，y 0＝2，(第25题)抛物线l 的顶点为P (2m ，2).∵P 在双曲线y ＝115x上，可得 m ＝115，∵115>2,与 x 0＝2m ≤1不合，舍去.(6分)③容易求得直线BC 的解析式是：2211myx mm=---，(7分)当P 在BC 上运动，设P 的坐标为 (x 0,y 0)，当P 是顶点时 x 0＝2m ，故得y 0＝02211m x mm---＝1m m -，顶点P 为(2m ，1m m -)，∵1< x 0＝2m <m ，∴m>2，又∵P 在双曲线y ＝115x上，于是，2m ×1mm -＝115，化简后得5m 2－22m ＋22＝0,解得110m =210m =分)2,2220,>∴-<2222,10m -∴=<与题意2<x 0＝2m <m 不合,舍去.④(9分)故由①②③④，满足条件的只有一个值：2210m +=.这时四边形OABC 的面积＝1(1)22m +⨯＝165+.(10分)(2)解法二：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点O (0，0)，C (m ，0) ∴c ＝0，b ＝－am ，(3分)∴抛物线为y ＝ax 2－amx ，顶点坐标P 为(m 2 ，－14 am 2). (4分)∵m ＞1，∴m 2 ＞0，且m2≠m ，∴P 不在边OA 上且不与C 重合. (5分)∵P 在双曲线y ＝115x 上，∴m 2 ×(－ 14 am 2)＝115 即a ＝－ 885m 3 ..①当1＜m ≤2时，12 ＜m2≤1，如图2,分别过B ，P 作x 轴的垂线，M ，N 为垂足，此时点P 在线段AB 上，且纵坐标为2， ∴－14 am 2＝2，即a ＝－8m 2 .而a ＝－885m 3 ，∴－ 885m 3＝－8m 2 ，m ＝115＞2，而1＜m ≤2，不合题意，舍去.(6分)11 ②当m ≥2时，m 2＞1，如图3,分别过B ，P 作x 轴的垂线，M ，N 为垂足，ON ＞OM ， 此时点P 在线段CB 上，易证Rt △BMC ∽Rt △PNC ，∴BM ∶PN ＝MC ∶NC ，即: 2∶PN ＝(m －1)∶m 2 ，∴PN ＝m m －1(7分) 而P 的纵坐标为－ 14 am 2，∴m m －1 ＝－ 14 am 2，即a ＝4m(1－m)而a ＝－885m 3 ，∴－ 885m 3 ＝4m(1－m)化简得：5m 2－22m ＋22＝0.解得：m ＝ 11±11 5，(8分) 但m ≥2，所以m ＝11－115 舍去，(9分)取m ＝ 11＋115 .由以上,这时四边形OABC 的面积为：12(AB ＋OC ) ×OA ＝12 (1＋m ) ×2＝16＋115 . (10分)12 由A 、B 两点可知抛物线的对称轴为x=1，设抛物线的方程式为y=a(x-1)^2+b ，代入B 、C 坐标可解得a=-1,b=9,抛物线解析式为y=-(x-1)^2+9=-x^2+2x+8,顶点D 的坐标为（1，9）由C 、D 坐标可求出直线CD 的解析式为x-y+8=0，线段OB 的垂直平分线为x=2,设存在P(2,m)令P 到直线CD 的距离等于点P 到原点O 的距离，那么有√(4+m^2)=|2-m+8|/√2，m^2+20m-92=0,解得m=-10±8√3形如y=a(x+b)^2+c 的抛物线沿其对称轴平移时,a 与b 均不变，只有c 变可得到F(4,12),抛物线最多可向下平移到与直线CD:y=x+8相切为止，此时两者只有一个交点，联立y=-(x-1)^2+b 与y=x+8消去y ,得到x^2-x+9-b=0只有一个根，求出b=9-1/4=35/4，向下最多平移四分之一个单位长度向上平移最多可至抛物线过E 点，即(-8,0)在y=-(x-1)^2+b 上，解得b=81，向上最多可平移(81-9=)72个单位长度27．（1）设抛物线解析式为(2)(4)y a x x =+-，把(08)C ，代入得1a =-．228y x x ∴=-++2(1)9x =--+， 顶点(19)D ， ··········································································································· （2分） （2）假设满足条件的点P 存在，依题意设(2)P t ，，由(08)(19)C D ，，，求得直线C D 的解析式为8y x =+，它与x 轴的夹角为45 ，设O B 的中垂线交C D 于H ，则(210)H ，． 则10PH t =-，点P 到C D的距离为2d PH t ==-．又PO == ··············································································· （4分）t ∴=-．平方并整理得：220920t t +-=10t =-±∴存在满足条件的点P ，P的坐标为(210-±，． ········································· （6分） （3）由上求得(80)(412)E F -，，，．①若抛物线向上平移，可设解析式为228y x x =-+++13 当8x =-时，72y m =-+．当4x =时，y m =．720m ∴-+≤或12m ≤．072m ∴<≤． ······················ （8分）②若抛物线向下移，可设解析式为228(0)y x x m m =-++->．由2288y x x m y x ⎧=-++-⎨=+⎩，有20x x m -+=．140m ∴=-≥△，104m ∴<≤．∴向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移14个单位长．····························（10分）6、解：（1）（-4,-2） ……（2分） （-m ,－k'm ）或 （－m , km - ） ……（只要写出一种表示方法就得2分）（2）① 由勾股定理OA=OB=∴OA=OB同理可得OP=OQ ，所以四边形APBQ 一定是平行四边形. ……（2分） ②四边形APBQ 可能是矩形 ……（1分） m,n 应满足的条件是mn=k ……（1分） 四边形APBQ 不可能是正方形 ……（1分） 理由：点A,P 不可能达到坐标轴,即∠POA ≠900. ……（1分）25.⑴213222y x x =-++；⑵43k =；⑶M （3，2），N （1，3）。
2008年全国中考数学试卷压轴题精选(5)附标准答案
2008年全国中考数学压轴题精选精析（五）50.（08云南双柏）25．（本小题（1）～（3）问共12分；第（4）、（5）问为附加题10分，每小题5分，附加题得分可以记入总分，若记入总分后超过120分，则按120分记）已知：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x 轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）求△ABC的面积；（4）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（5）在（4）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．（08云南双柏25题解析）25．（本小题12分）解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）∴A、B、C三点的坐标分别是A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8）（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式y＝ax2＋bx＋8，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝36a －6b ＋80＝4a ＋2b ＋8 解得⎩⎨⎧a ＝－23b ＝－83∴所求抛物线的表达式为y ＝－23x 2－83x ＋8（3）∵AB ＝8，OC ＝8∴S △ABC ＝12×8×8=32（4）依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ， ∵OA ＝6，OC ＝8， ∴AC ＝10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC ∴EF AC ＝BE AB 即EF 10＝8－m8 ∴EF ＝40－5m 4过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝45∴FG EF ＝45 ∴FG ＝45·40－5m 4＝8－m ∴S ＝S △BCE －S △BFE ＝12（8－m ）×8－12（8－m ）（8－m ）＝12（8－m ）（8－8＋m ）＝12（8－m ）m ＝－12m 2＋4m 自变量m 的取值范围是0＜m ＜8 （5）存在． 理由：∵S ＝－12m 2＋4m ＝－12（m －4）2＋8 且－12＜0，∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8∵m ＝4，∴点E 的坐标为（－2，0） ∴△BCE 为等腰三角形．51.（08重庆市卷）（本题答案暂缺）28、（10分）已知：如图，抛物线)0(22≠+-=a c ax ax y 与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 、B ，点A 的坐标为（4，0）。
2008年全国各地中测验题压轴题精选讲座二直角坐标系下通过几何图形列函数式问题
2008年全国各地中考试卷压轴题精选讲座二直角坐标下通过几何图形列函数式问题【知识纵横】以平面直角坐标系为背景，通过几何图形运动变化中两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何图形的性质，体现了数形结合的思想方法。
但在坐标系中，每一个坐标由一对的序实数对应，实数的正负之分，而线段长度值均为正的，注意这一点，就可类似于讲座一的方法解决。
所列函数式有：反比例函数、一次函数、二次函数。
【典型例题】【例1】（黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，点(30)C -，，点A B ，分别在x 轴，y10OA -=．（1）求点A ，点B 的坐标．（2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连结AP ．设ABP △的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点A B P ，，为顶点的三角形与AOB △相似？若存在，请直接写出点P【思路点拨】（1）注意坐标值与线段长度关系； （2）求得90ABC ∠=（3）分类讨论。
【例2】（广东东莞）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边xAB 重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC 与BD 相交于点E ，连结CD ．(1)填空：如图1，AC=，BD=；四边形ABCD 是梯形. (2)请写出图1中所有的相似三角形（不含全等三角形）.(3)如图2，若以AB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴建立如图10 的平面直角坐标系，保持ΔABD 不动，将ΔABC 向x 轴的正方向平移到ΔFGH 的位置，FH 与BD 相交于点P ，设AF=t ，ΔFBP 面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值值范围.图1 【思路点拨】（2）有9对相似三角形. ；（3）用t 的变量表示相关线段，利用面积公式计算，注意自变量的取值范围。
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2008年全国各地中考试题压轴题精选讲座二
直角坐标下通过几何图形列函数式问题
【知识纵横】
以平面直角坐标系为背景，通过几何图形运动变化中两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何图形的性质，体现了数形结合的思想方法。
但在坐标系中，每一个坐标由一对的序实数对应，实数的正负之分，而线段长度值均为正的，注意这一点，就可类似于讲座一的方法解决。
所列函数式有：反比例函数、一次函数、二次函数。
【典型例题】
【例1】（黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，点(30)C -，，点A B ，分别在x 轴，
y
10OA -=．
（1）求点A ，点B 的坐标．
（2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连结AP ．设ABP △的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点A B P ，，为顶点的三角形与AOB △相似？若存在，请直接写出点P
【思路点拨】（1）注意坐标值与线段长度关系； （2）求得90ABC ∠=（3）分类讨论。
【例2】（广东东莞）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边
x
AB 重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC 与BD 相交于点E ，连结CD ．
(1)填空：如图1，AC= ，BD= ；四边形ABCD 是 梯形. (2)请写出图1中所有的相似三角形（不含全等三角形）.
(3)如图2，若以AB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴建立如图10 的平面直角坐标系，保持ΔABD 不动，将ΔABC 向x 轴的正方向平移到ΔFGH 的位置，FH 与BD 相交于点P ，设AF=t ，ΔFBP 面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值值范围.
图
1 【思路点拨】（2）有9对相似三角形. ；（3）用t 的变量表示相关线段，利用面积公式计算，注意自变量的取值范围。
【例3】（河北）如图，直角梯形OABC 中，AB ∥OC ,O 为坐标原点，点A 在y 轴正半
D
C
A
E
图2
轴上，点C 在x 轴正半轴上，点B 坐标为（2，23），∠BCO = 60°，BC OH ⊥于点H .动点
P 从点H 出发，沿线段HO 向点O 运动，动点Q 从点O 出发，沿线段OA 向点A 运动，两点同
时出发，速度都为每秒1个单位长度.设点P 运动的时间为t 秒.
（1） 求OH 的长；
（2） 若OPQ ∆的面积为S （平方单位）. 求S 与t 之间的函数关系式.并求t 为何值时，
OPQ ∆的面积最大，最大值是多少？
（3） 设PQ 与OB 交于点M .①当△OPM 为等腰三角形时，求（2）中S 的值. ②探究线段OM 长度的最大值是多少，直接写出结论.
【思路点拨】（3）若OPM ∆
讨论，再进行比较，从而求出线段OM 长的最大值。
【例4】（（甘肃兰州）如图1，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，
点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，5OA =，4OC =．
（1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D E ，两点的坐标；
（2）如图2，若AE 上有一动点P （不与A E ，重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒（05t <<），过P 点作ED 的平行线交AD 于点M ，过点M 作AE 的平行线交DE 于点N ．求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M 的坐标．
【思路点拨】（1）折痕AD 是四边形OAED 的对称轴 （2）四边形PMNE 为矩形．
（3）AME △为等腰三角形分类讨论
【学力训练】
1、(诸暨中学)如图，点A 在Y 轴上，点B 在X 轴上，且OA=OB=1，经过原点O 的直线L 交线段AB 于点C ，过C 作OC 的垂线，与直线X=1相交于点P ，现将直线L 绕O 点旋转，使交点C 从A 向B 运动，但C 点必须在第一象限内，并记AC 的长为t ，分析此图后，对下列问题作出探究：
（1）当△AOC 和△BCP 全等时，求出t 的值。
（2）通过动手测量线段OC 和CP 的长来判断它们之间的 大小关系？并证明你得到的结论。
（3）①设点P 的坐标为（1,b ）,试写出b 关于t 的函数 关系式和变量t 的取值范围。
②求出当△PBC 为等腰三角形时点P 的坐标。
2、 ( 湖北天门)如图①，在平面直角坐标系中，A 点坐标为(3，0)，B 点坐标为(0，4)．动 点M 从点O 出发，沿OA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动；同时，动点N 从点A 出发沿AB 方向以每秒3
5个单位长度的速度向终点B 运动．设运动了x 秒．
(1)点N 的坐标为(________________，________________)；(用含x 的代数式表示) (2)当x 为何值时，△AMN 为等腰三角形？
(3)如图②，连结ON 得△OMN ，△OMN 可能为正三角形吗？若不能，点M 的运动速度不变， 试改变点N 的运动速度，使△OMN 为正三角形，并求出点N 的运动速度和此时x 的值．
3、 (吉林省长春市) 如图，在平面直角坐标系中，直线1
(0)2
y x b b =-
+>分别交x 轴，y 轴于A B ，两点，以OA OB ，为边作矩形OACB ，D 为BC 的中点．以(40)M ，
，(80)N ，
为斜图
边端点作等腰直角三角形PMN ，点P 在第一象限，设矩形OACB 与PMN △重叠部分的面积为S ．
（1）求点P 的坐标．
（2）当b 值由小到大变化时，求S 与b 的函数关系式．
（3）若在直线1
(0)2
y x b b =-+>上存在点Q ，
使OQM ∠等于90，请直接写出．．．．b 的取值范围．
(4)在b 值的变化过程中，若PCD △为等腰三 角形，请直接写出．．．．
所有符合条件的b 值．
4、（湖北荆州）如图，等腰直角三角形纸片ABC 中，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90º，直角边
AC 在x 轴上，B 点在第二象限，A （1，0），AB 交y 轴于E ，将纸片过E 点折叠使BE 与EA 所在直线重合，得到折痕EF （F 在x 轴上），再展开还原沿EF 剪开得到四边形BCFE ，然后把四边形BCFE 从E 点开始沿射线EA 平移，至B 点到达A 点停止.设平
移时间为t （s ），移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE 与△AEF 重叠的面积为S. （1）求折痕EF 的长；
（2）是否存在某一时刻t 使平移中直角顶点C 经过抛物线2
43y x x =++的顶点？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；
（3）直接写出．．．．S 与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围.。