莆田一中2020学年度上学期第一学段高三文科数学试卷
2020年福建省莆田市高考数学一模试卷(文科)(有解析)
2020年福建省莆田市高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−1,0，1，2，3}，B ={x|x =n 2,n ∈A}，则A ∩B =( )A. {0,1}B. {2,3}C. {4,1}D. {0,9}2. |1+2i 2−i |=( )A. 35B. 1C. 53D. 23. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10=5，a 7=1，则a 1=( )A. −12B. −1C. 12D. 144. 函数y =1x −ln(x +1)的图象大致为( )A. B. C. D.5. 已知a =2,b =log 132,c =log 1215，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a6. 阅读程序框图，则输出的S 等于( )A. 14B. 20C. 30D. 557. 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，A 、B ，为抛物线上两点，若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( )A. √33B. 4√33C. 8√33D. 2√338. 长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =1，AD =2，AA 1=3，则异面直线AC 1与CD 1所成角的余弦值为( )A. √35B. −√35C. 4√35D. −4√359. 设x ，y ∈N ∗，x +y =15，则xy >36的概率是 ( )A. 13B. 59C. 47D. 7910. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0)的图象如图所示，则f(5π6)=( )A. −√22B. √22C. √32D. −√3211. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过双曲线C 的右顶点作x轴的垂线与其渐近线交于A ，B 两点，若|AB|=2√55|F 1F 2|，则双曲线C 的离心率为( )A. √2B. √3C. √5D. √612. 已知函数f(x)={x +2(x ≤−1)x 2(−1<x <2)2x(x ≥2)，若f(x)=9，则x 的值是( )A. 7B. 3或−3或7C. 1，45或±3D. 45二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(2,x)，若a ⃗ +b ⃗ 与3a ⃗ −b ⃗ 平行，则实数x 的值是______． 14. 设x ，y 满足约束条件{y ≥0x −y +1≥0x +y −3≤0，则z =2x −y 的最小值为______．15. 在数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2ann+1−1，则a 3= ______ ． 16. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为12π，则这个正四棱柱的体积为 ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者(200名女性，300名男性)进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：分值区间[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]女性用户频数2040805010分值区间[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]男性用户频数4575906030(Ⅰ)完成下列频率分布直方图，计算女性用户评分的平均值，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小(不计算具体值，给出结论即可)；(Ⅱ)把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关？参考附表：P(K2≥k0)0.100.0500.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.828，其中n=a+b+c+d参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)18.已知a,b,c分别为内角A,B,C的对边，．(1)求A．(2)已知点D在边BC上，DC=2BD=2,AC=√3，求AD．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q，M分别为AD，PC的中点，PA=PD=2，BC=12AD=1，CD=√3．(Ⅰ)求证：平面PBC⊥平面PQB；(Ⅱ)求三棱锥P−QMB的体积．20.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其上顶点B与左焦点F所在的直线的倾斜角为π3，O为坐标原点OBF，三角形的周长为3+√3．(1)求椭圆E的方程；(2)设椭圆E的右顶点为A，不过点A的直线l与椭圆E相交于P、Q两点，若以PQ为直径的圆经过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点坐标．21. 已知函数f(x)=(x 2−2x −5)e 2x−1，求函数f(x)的极值．22. 选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =4cosϕy =2sinϕ，(φ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线ι的极坐标方程为ρcos (θ−π4)=m ．(1)把曲线C 的参数方程化为普通方程，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)已知曲线C 与直线ι交于A ，B 两点，若∠AOB =90°，求m 的值．23. 已知函数f(x)=|x +a|+|x +1|．(1)若a=−1，求不等式f(x)≤3的解集；(2)已知关于x的不等式f(x)+|x+2|≤x+6在x∈[−1,1]上恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查了交集的定义与运算问题，属于基础题．根据题意化简集合B，再计算A∩B．解：集合A={−1,0，1，2，3}，B={x|x=n2,n∈A}={0,1，4，9}，则A∩B={0,1}．故选：A．2.答案：B解析：解：因为1+2i2−i =(1+2i)(2+i)(2−i)(2+i)=i，所以|1+2i2−i|=1，故选：B．化简代数式，根据复数模的定义，求出复数的模即可．本题考查了复数的化简问题，考查复数求模，是一道基础题．3.答案：B解析：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．设该等差数列的公差为d，则根据通项公式和前n项和公式列出关于a1、d的方程组，通过解方程组即可得到答案．解：设等差数列{a n}的公差为d，则{a1+6d=110a1+10×92d=5，解得{a1=−1 d=13．故选：B．解析：本题考查了函数的图象与性质的应用，属于基础题．根据函数的单调性排除B，D，根据函数值，排除C．解：函数定义域为(−1,0)∪(0,+∞)，由于y′=−1x2−1x+1=−x+1+x2x2(x+1)<0，所以函数y=1x−ln(x+1)在(−1,0)，(0,+∞)单调递减，故排除B，D，当x=1时，y=1−ln2>0，故排除C，故选A．5.答案：C解析：本题主要考查对数函数图像与性质的应用，属于基础题．解：由题意得：b=log132<log131=0，c=log1215>log1214=2=a，则c>a>b．故选C．6.答案：C解析：本题考查程序框图循环结构的应用，属于基础题．直接运行计算即可．解：由题意知：S=12+22+⋯+i2，当i=5时，循环程序终止，故S=12+22+32+42=30．故选C．解析：解：如图所示，根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB 的倾斜角为60°，直线AB 的方程为y =√3(x −1)， 联立直线AB 与抛物线的方程可得A(3,2√3)，B(13,−2√33)， 所以|AB|=√(3−13)2+(2√3+2√33)2=163，而原点到直线AB 的距离为d =√32，所以S △AOB =12×163×√32=4√33， 当直线AB 的倾斜角为120°时，同理可求． 故选B ．根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB 的倾斜角为60°，可得直线AB 的方程，与抛物线的方程联立，求出A ，B 的坐标，即可求出△AOB 的面积．本题考查抛物线的简单几何性质，考查直线与抛物线的相交问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8.答案：C解析：解：如图，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A(2,0，0)，C 1(0,1，3)，C(0,1，0)，D 1(0,0，3)，则AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,3)，CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,3)， 则cos <AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√14×√10=√35．∴异面直线AC 1与CD 1所成角的余弦值为35． 故选：C ．以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所成角的余弦值得答案．本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，是基础题．9.答案：C解析：本题考查等可能事件的判断与概率计算，由x +y =15，列举出所有结果，满足xy >36的有8种，求出概率即可.属于基础题．解：∵x ，y ∈N ∗，x +y =15，则(x,y)为(1,14)，(2,13)，…，(13,2)，(14,1)共14种情况， 由xy =x(15−x)>36，解得：3<x <12，又x ∈N ∗，故满足条件的(x,y)为 (4,11)，(5,10)，(6,9)，(7,8)，(8,7)，(9,6)，(10,5)，(11,4)共8个， 则所求概率为47． 故选C ．10.答案：B解析：解：由图象可知：T =2×2π3=2πω，解得ω=32． 且f(2π3)=sin(32×2π3+φ)=1，取φ=−π2．∴f(x)=sin(3π2x −π2)， ∴f(5π6)=sin(3π2×5π6−π2)=sin3π4=√22． 故选：B ．由图象可知：T =2×2π3=2πω，解得ω=32.且f(2π3)=sin(32×2π3+φ)=1，取φ=−π2.即可得出．本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：C解析：求得A 点坐标，即可得到|AB|，即可求得a 和c 的关系，即可求得双曲线的离心率．本题考查双曲线的性质，双曲线的离心率及渐近线方程的应用，考查转化思想，属于中档题． 解：双曲线C 的渐近线方程为y =±ba x ，右顶点为(a,0)，∴A(a,b)，则|AB|=2b ，又焦距|F 1F 2|=2c ，|AB|=2√55|F 1F 2|，∴2b =2√55×2c ，则b 2=45c 2，a 2=c 2−b 2=15c 2， ∴双曲线的离心率e =ca =√5， 故选C ．12.答案：D解析：解：根据题意，函数f(x)={x +2(x ≤−1)x 2(−1<x <2)2x(x ≥2)，分3种情况讨论：①，当x ≤−1时，f(x)=x +2， 若f(x)=9，即x +2=9，解可得x =7， 又由x ≤−1，x =7不符合题意， ②，当−1<x <2时，f(x)=x 2， 若f(x)=9，即x 2=9，解可得x =±3， 又由−1<x <2，x =±3均不符合题意；③，当x≥2时，f(x)=2x，若f(x)=9，即2x=9，解可得x=4.5，又由x≥2，x=4.5符合题意；综合可得：x=4.5；故选：D．根据题意，按x的取值范围分3种情况讨论，分析f(x)的解析式，求出x的值，综合三种情况即可得答案．本题考查分段函数的性质，注意函数解析式的形式，属于基础题．13.答案：2解析：本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题．根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出x的值．解：向量a⃗=(1,1)，b⃗ =(2,x)，则a⃗+b⃗ =(3,1+x)，3a⃗−b⃗ =(1,3−x)，又a⃗+b⃗ 与3a⃗−b⃗ 平行，则3(3−x)−(1+x)=0，解得x=2．故答案为2．14.答案：−2解析：解：由z =2x −y ，得y =2x −z ，作出不等式对应的可行域(阴影部分)，平移直线y =2x −z ，由平移可知当直线y =2x −z ，经过点A 时，直线y =2x −z 的截距最大，此时z 取得最小值， 由{y =0x −y +1=0，解得x =−1，y =0， 即A(−1,0)，代入z =−2，即目标函数z =2x −y 的最小值为−2， 故答案为：−2．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z =2x −y 的最小值． 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15.答案：−13解析：解：在数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2ann+1−1，则a 2=2a 12−1=1，a 3=2a 23−1=−13．故答案为：−13．利用数列的首项以及递推关系式逐步求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力，是基础题．16.答案：8解析：由球的表面积求出球的直径，根据正四棱柱的对角线长等于球的直径，求正四棱柱的底面边长，再求其体积．本题考查四棱柱的体积，球的表面积计算公式，考查学生的空间想象能力，容易疏忽的地方是几何体的体对角线是外接球的直径．解：由球的表面积为12π，得4πR2=12π⇒R=√3，设正四棱柱底面正方形边长为a∵正四棱柱的对角线长等于球的直径，即：2R=√2a2+22，∴2√3=√2a2+4，得a=2，∴正四棱柱的体积为V=a2×2=8．故答案是8．17.答案：解：(Ⅰ)女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．…(4分)(Ⅱ)2×2列联表如下图：女性用户男性用户合计“认可”手机140180320“不认可”手机60120180合计200300500≈5.208>2.706，K2=500(140×120−180×60)2200×300×320×180所以有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关．解析：(Ⅰ)利用所给数据，可得频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小；(Ⅱ)求出K2，与临界值比较，即可得出结论．本题考查频率分布直方图的作法及应用，考查独立检验的应用，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：(1)在△ABC中，由余弦定理得：，化简得a2=b2+c2+bc，所以，又A∈(0,π)，所以A=2π3．(2)依题意BC=BD+DC=3，在△ABC中，由正弦定理可得，即，解得，又B∈(0,π)，故B=π6或5π6，又因为A=2π3，故B=π6，从而C=π6，所以AB=AC=√3，在△ABD中，由余弦定理，，即√32=22√3×1，解得AD2=1，又因为AD>0，故AD=1．解析：本题主要考查正余弦定理的应用，属于中档题．(1)利用余弦定理有，化简得a2=b2+c2+bc，根据余弦定理即可求解；(2)根据题意有BC=BD+DC=3，根据正弦定理可求得，又A=2π3，结合B的范围即可求得B=π6，则C=π6，则AB=AC=√3，根据余弦定理即可求解．19.答案：(Ⅰ)证明：∵AD//BC，Q为AD的中点，BC=12AD，∴BC=QD，∴四边形BCDQ为平行四边形，∵∠ADC=90°，∴BC⊥BQ，∵PA=PD，AQ=QD，∴PQ⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，则PQ⊥BC，又∵PQ∩BQ=Q，PQ∩BQ⊂平面PQB，∴BC⊥平面PQB，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PQB；(Ⅱ)解：∵在Rt△PQB中，PQ=√PA2−AQ2=√3，BQ=CD=√3，∴S△PQB=12PQ×QB=32，由(Ⅰ)知，BC⊥平面PQB，∴V C−PQB=13S△PQB×BC=13×32×1=12，又∵M是线段PC得中点，∴V P−QMB=V M−PQB=12V C−PQB=12×12=14，∴三棱锥P−QMB的体积是14．解析：本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查了利用等积法求多面体的体积，属于中档题．(Ⅰ)由已知可得四边形BCDQ为平行四边形，结合∠ADC=90°，得BC⊥BQ，再由已知证明PQ⊥平面ABCD，得到PQ⊥BC，结合线面垂直的判定可得BC⊥平面PQB，则平面PBC⊥平面PQB；(Ⅱ)在Rt△PQB中，求得PQ，BQ，得到三角形PQB的面积，由(Ⅰ)知，BC⊥平面PQB，可得棱锥C−PQB的体积，再由等积法即可求得三棱锥P−QMB的体积．20.答案：解：(1)由题意可得：bc =tanπ3，a+b+c=3+√3，又a2=b2+c2，联立解得：a=2，b=√3，c=1．∴椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．(2)证明：A(2,0)．设直线l 的方程为：my +t =x ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2).联立{my +t =x x 24+y 23=1，化为：(3m 2+4)y 2+6mty +3t 2−12=0，∴y 1+y 2=−6mt3m 2+4，y 1⋅y 2=3t 2−123m 2+4，(∗)∵以PQ 为直径的圆经过点A ，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=0， 即(my 1+t −2)(my 2+t −2)+y 1y 2=0，化为：(m 2+1)y 1y 2+(mt −2m)(y 1+y 2)+(t −2)2=0， 把(∗)代入可得：(m 2+1)⋅3t 2−123m 2+4+(mt −2m)⋅−6mt3m 2+4+(t −2)2=0，化简可得：t =2或27． t =2舍去．代入直线l 的方程：my +t =x ，可得：my +27=x ． 可得直线l 经过定点：(27,0)．解析：(1)由题意可得：bc =tan π3，a +b +c =3+√3，又a 2=b 2+c 2，联立解出即可得出． (2)A(2,0).设直线l 的方程为：my +t =x ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2).与椭圆方程联立化为：(3m 2+4)y 2+6mty +3t 2−12=0.以PQ 为直径的圆经过点A ，可得(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=0，把根与系数的关系代入化简可得：t.即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、圆的性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.答案：解：∵f ′(x)=(2x −2)e 2x−1+2(x 2−2x −5)e 2x−1=2(x 2−x −6)e 2x−1．令f ′(x)=0，解得：x =−2或x =3． 1°当x <−2时，f ′(x)>0，∴f(x)单调递增； 2°当−2<x <3时，f ′(x)<0，∴f(x)单调递减； 3°当x >3时，f ′(x)>0，∴f(x)单调递增．∴当x =−2时，f(x)取得极大值等于3e −5； 当x =3时，f(x)取得极小值等于−2e 5．解析：本题考查了利用导数研究函数的极值，属于基础题． 直接求导，利用导数研究单调性即可得出极值．22.答案：解：(1)曲线C 的普通方程为x 216+y 24=1，直线l 的直角坐标方程为x +y −√2m =0． (2)由直线ι：代入椭圆极坐标方程ρ2(cos 2θ+4sin 2θ)=16，得，整理得(4m 2−8)tan 2θ−16tanθ+m 2−8=0. 由且m 2≠2.由∠AOB =90°，可得tanθ1·tanθ2=−1， 即m 2−84m 2−8=−1⇒m =±4√55，满足条件．解析：本题主要考查曲线的参数方程、直角坐标方程，关键是掌握相关知识，逐一分析解答即可． (1)曲线C 的普通方程为x 216+y 24=1，直线l 的直角坐标方程为x +y −√2m =0．(2)由直线ι：代入椭圆极坐标方程ρ2(cos 2θ+4sin 2θ)=16，得， 求m 的值．23.答案：解：(I)a =−1时，f(x)=|x −1|+|x +1|={−2x,x <−12,−1≤x ≤12x,x >1，所以f(x)≤3等价于{x <−1−2x ≤3，或{−1≤x ≤12≤3，或{x >12x ≤3；即−32≤x ≤32，所以不等式f(x)≤3的解集为{x|−32≤x ≤32};(II)由题知问题等价于不等式|x +a|+|x +1|+|x +2|≤x +6在x ∈[−1,1]上恒成立， 且当x ∈[−1,1]时，|x +1|=x +1，|x +2|=x +2， 所以不等式等价于|x +a|≤3−x ， 解得x −3≤a +x ≤3−x ，即−3≤a≤3−2x，又函数y=3−2x在x∈[−1,1]上的最小值为1，所以−3≤a≤1，即a的取值范围是[−3,1]．解析：(I)a=−1时利用分段讨论法求出不等式f(x)≤3的解集，再求并集即可；(II)把问题等价于不等式|x+a|+|x+1|+|x+2|≤x+6在x∈[−1,1]上恒成立，由x∈[−1,1]时去掉绝对值，得出|x+a|≤3−x，从而求得a的取值范围．本题考查了求含有绝对值的不等式解集问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。
2020年莆田市高中毕业班教学质量检测试卷 文科数学
＋
ｄ)
Ｐ(Ｋ２ ≥ ｋ) ｋ
０������ ０５０ ３������ ８４１
０������ ０１０ ６������ ６３５
０������ ００１ １０������ ８２８
文科数学试卷 第 ４ 页 (共 ６ 页)
１８������ (１２ 分) △ＡＢＣ 的内角 Ａꎬ Ｂꎬ Ｃ 的对边分别为 ａꎬ ｂꎬ ｃꎬ 已知 ａｃｏｓＣ ＋ ｃｃｏｓＡ ＋ ２ｂｃｏｓＢ ＝ ０. (１) 求 Ｂꎻ (２) 设 Ｄ 为 ＡＣ 上的点ꎬ ＢＤ 平分 ∠ＡＢＣꎬ 且 ＡＢ ＝ ３ＢＤ ＝ ３ꎬ 求 ｓｉｎＣ.
１９������ (１２ 分) 如图ꎬ 四棱锥 Ｐ － ＡＢＣＤ 的底面是菱形ꎬ ＡＢ ＝ ＡＣ ＝ ２ꎬ ＰＡ ＝ ２ ３ ꎬ ＰＢ ＝ ＰＤ������ (１) 证明: 平面 ＰＡＣ ⊥ 平面 ＡＢＣＤꎻ (２) 若 ＰＡ ⊥ ＡＣꎬ Ｍ 为 ＰＣ 的中点ꎬ 求三棱锥 Ｂ － ＣＤＭ 的体积 .
Ａ������ － ２
Ｂ������ ０
Ｃ������ ６
４������
函数 ｆ
(ｘ)
＝
２ｘ ｘ２ ＋
１
的图象大致为
Ｄ������ ５ Ｄ������ １０
Ａ������
Ｂ������
Ｃ������
Ｄ������
文科数学试卷 第 １ 页 (共 ６ 页)
５������
已知 ２ａ
＝
１ꎬ ３
ｂ
＝
５－
１ ２
１１������
已知双曲线 Ｃ:
ｘ２ ａ２
－
ｙ２ ｂ２
＝ １(ａ
>
ｂ
>
０) 的右焦点为 Ｆꎬ
Ｏ 为坐标原点 ������
(附加20套期末模拟试卷)福建省莆田一中等2020届高三上学期期末联考数学(文)试卷及答案
A． m // n
B． n // C． n m
D． n
8.函数 y 3|log3 x| 的图像是
9.若双曲线 x2 y2 1 的一个焦点在圆 x2 y2 4x 5 0 上，则双曲线的渐近线方程为 9m
A． y 3 x 4
B． y 4 x 3
C． y 2 2 x 3
D． y 3 2 x 4
15.设变量满足约束条件 x y 4 0 ，则目标函数 z 3x y 的最大值为
.
x 3y 4 0
16.利用函数 f (x) (3)x ( 4)x (x R) 是减函数可以求方程 (3)x ( 4)x 1的解.
55
55
由 f (2) 1可知原方程有唯一解 x 2 ，类比上述思路可知不等式
| | ).
y
2
2
(Ⅰ)求函数 f (x) 的解析式并求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）在 ABC 中，角 A , B , C 所对的边长分别为
O
x
a , b , c ，若 f ( A) 1, sin B 4sin( C) , ABC 的面
12 6
-2
积为 3 ，求边长 a 的值.
20.如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA 平面 ABCD， PA AD 1, AB 3 ,点 F 是 PD 的中点，点 E 是边 DC 上的任意一点. (Ⅰ)当点 E 为 DC 边的中点时，判断 EF 与平面 PAC 的位置关
于 140 分的概率.
18.已知各项均不相等的等差数列 an 的前四项和 S4 14 ,且 a1 ， a3 ， a7 成等比数列. (Ⅰ)求数列an 的通项公式；
（Ⅱ）设
Tn
为数列
福建省莆田第一中学2021-2022学年高三上学期期中考试数学试题及答案
20．（1）
（2）若 bn
log
2
(
an
1 3
2)
，求数列
{1 bnbn1
}
的前
n
项和
Tn
.
18．（本小题
12
分）在①
2c a
b
cos cos
B A
，②
2a
cos
C
c
2b
，
③ a sin Acos C 1 c sin 2A 3b cos A 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，
2
并解答该问题.
问题：锐角 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且___________.
17．（1）证明见解析， an 3 2n1 2
n N*
；（2） Tn
n n 1 .
【详解】
（1）解：（1）由 an1 2an 1 得 an1 2 2an 2 ，
因为
an
2
0 ，所以
an1 2 an 2
2
，又因为
a1
2
3
所以数列an 2 是以 3 为首项，以 2 为公比的等比数列，
两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个
几何体的体积相等，现有一个圆柱体和一个长方体，它们的底面面积相等， 高也相等，若长方体的底面周长为 8，圆柱体的体积为 4 ，根据祖暅原理， 可推断圆柱体的高的最小值为___________
试卷第 3页，共 5页
16．设函数
f
x
x3 3x, x x, x x0
（1）求 A ；
（2）求 cos B cosC 的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
福建省莆田一中2020学年度高一数学上学期第一学段考试试卷
福建省莆田一中2020学年度高一数学上学期第一学段考试试卷（满分100分 时间120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正确答案）1．如下图，可表示函数()y f x =的图象的只能是 （ ）2．函数x y ln 1-=的定义域为 ( )A.(]e ,0 B.(]e ,∞- C. (]10,0 D. (]10,∞-3．已知f(x +1)=x+1，则函数ƒ(x)的解析式为（ ）A.f(x)=x 2B.f(x)=x 2+1C.f(x)=x 2-2x+2D.f(x)=x 2-2x 4．已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合)(B A C U Y 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为（ ）A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,36．7．三个数60.7 ，0.76 ，log 0.76的大小顺序是 （ ）DAA ．0.76＜log 0.76＜60.7 B. 0.76＜60.7＜log 0.76 C. log 0.76＜60.7＜0.76D. log 0.76＜0.76＜60.77．设()833-+=x x f x ,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间 （ ）A. （1,1.25）B.（1.25,1.5）C.（1.5,2）D.不能确定8．函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ）A.4B.3C.2D.19．定义在[]1,2a +上的偶函数2()2f x ax bx =+-在区间［1,2］上是（ ） A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减函数 D ．先减后增函数10．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-+∞U ，，B ．(1)(01)-∞-U ，，C ．(1)(1)-∞-+∞U ，，D ．(10)(01)-U ，，二、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.把答案填在题中横线上） 11．若1,0≠>a a ，则函数y =a x －1+2的图象一定过点_______________。
2020年福建省莆田市高三一模试题
，在同一平面直角坐标系中，将曲线 上的
点按坐标变换
得到曲线 ，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设
点的极坐标为
3 2
，
.
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）若过点 且倾斜角为 的直线与曲线 交于 两点，求| AM | | AN | 的值. 6
23.[选修 4—5：不等式选讲]（本小题 10 分）
，将明文转换成密文，如
，即 f
变换成 p ；
那么原来的明文是（
，即 y 变换成 m ．若按上述规定，若王华收到的密文是 ukweat，
）
A．fujian
B．puxian
C．putian
D．fuxian
12．函数 满足 f x f x ex , x [1 , ) ，
x
2
的取值范围为（ ）
A．
解得 t 8 或 t 2 ， 3
当 t 2 时， P,Q, M 三点共线（舍去），t 8 ， 3
此时
x1
x2
32 9
,
x1x2
56 27
| PQ |
1 k2
x1
x2 2
4x1x2
8 9
11
点
M
到直线
PQ
的距离 d
|
14 3
|
7
2
23
SMPQ
1 2
|
PQ
|
d
28 27
22
21．（12 分）
2 3
，1
B．[ 2 , ) 3
C．
,若
恒成立,则
D．
1 2
,
2 3
二．填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
莆田一中上学期第一学段高三文科数学试卷
莆田一中上学期第一学段高三文科数学试卷高三文科数学试卷命题人：柯建焰 审核人： 杨金心一、单项选择题：（每题只有一个正确答案，5×12=60分）1、设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q={a ＋b ∣a Q b P ∈∈,},若P={0，2，5}，Q={1，2，6},则P ＋Q 中元素的个数是（ ） A ．9B ．8C ．7D ．62、已知：x>y>z ，且x ＋y ＋z=0则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．xy>yzB ．xz>yzC ．y z y x >D ．xy>xz3、已知数列{a n }是逐项递增的等比数列，其首项a 1<0，则公比q 的取值范围是（ ） A ．(－∞，0)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，＋∞)4、在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+1040x y x y x 表示的平面区域的面积是（ ）A ．3B ．6C ．4.5D ．95、ABC ∆4=1=，3=∆ABC S ，则⋅的值为（ ） A ．－2B ．2C ．±4D ．±26、定点A(1，2)和第一象限内动点P(x ，y)满足⋅=4(O 为坐标原点)，则 y x 22log log +取得最大值的条件是（ ） A ．x ＝2，y ＝1B ．x ＝y ＝34C ．x ＝0，y ＝2D ．x ＝1，y ＝27、函数f(x)＝)2sin(ϕ+x +)2cos(3ϕ+x 的图象关于原点对称的充要条件是（ ）A ．)(62z k k ∈-=ππϕ B ．)(6z k k ∈-=ππϕ C ．)(32z k k ∈-=ππϕD ．)(3z k k ∈-=ππϕ8、设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧-1lg 2x x)0()0(≥<x x 若f(a)>0则a 的取值范围是（ ）A ．(－∞，－1)⋃(1，＋∞)B ．(－∞，－1)⋃(0，＋∞)C ．(－1，0)⋃(1，0)D ．(－1，0)⋃(0，＋∞)9、正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面边长为a 2，侧棱长为a ，则异面直线AB 1与BC 1所成的角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 10、若x 2－ax ＋1≥0在),2[+∞∈x 上恒成立，则实数a 的最大值是（ ） A ．2B ．25 C ．4 D ．111、若a 、b 表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为（ ）①b a b a ⊥⇒⊥αα, ②ααb b a a ⇒⊥⊥, ③αα⊥⇒⊥b b a a , ④a b a ⇒⊥⊥αα,∥b A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12、若函数f(x)=653123+++x ax x 在区间[1，3]上为单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．),5[+∞-B ．]3,(--∞C ．),5[]3,(+∞-⋃--∞D ．]5,3[--二、填空题：（4×4=16分）13、若集合A=}02{2=++x ax x 中至多有一个元素，则a 的取值范围是 . 14、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .a a aa a正视图 侧视图 俯视图 15、△ABC 满足210==⋅，则△ABC 为 (三角形形状)16、有下列四个判断：①平面⊥α平面γ，平面⊥β平面γ ②直线a ∥b ，⊥a 平面α，⊥b 平面β③a 、b 是异面直线，α⊂a ,β⊂b 且a ∥β,b ∥α④平面α内距离为d 的两条平行直线在平面β内的射影仍为两条距离为d 的平行直线其中能推出βα的条件有 （填写所有正确条件的代号） 三、解答题：（12＋12＋12＋12＋12＋14=74分）17、已知)1,2cos 1(x m +=,=)2sin 3,1(a x +(x R ∈,a 为常数)，且y=·⑴求y 关于x 的函数关系式y=f(x);⑵若x ]2,0[π∈时， f(x)的最大值为4，求a 的值，并说明此时f(x)的图象可由y=2)6sin(π+x 的图象经过怎样的变换得到.18、如图：ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA=AB ，E ，F 分别为AB ，PC 中点。
【精准解析】福建省莆田市(第一联盟体)2020届高三上学期联考文科数学试题
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.设集合 A 2，1，1，2，B x x2 2x 0 ，则 A B （ ）
f
x
1 2
cos
x
，当
x
0,
3
时， cos
x
1 2
，即
f
¢(x) <
0
所以函数
f
x
在区间
0,
3
上单调递减，故排除
C
故选：A
【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，属于中档题.
9.关于函数 f x sin x cos x 有下述四个结论：① f x 是周期函数；② f x 的最小值
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意列方程组
aa11qa1aq1q2
6
12
求解.
【详解】设等比数列的公比为 q，
-2-
aa11qa1aq1q2
6
12
，解得： q 2, a1 2
故选：B
【点睛】本题考查等比数列基本量的求解，属于基础题型.
5.某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为 4 ，则图中 x 的值为（ ） 3
为
2
；③
f
x
的图象关于
y
轴对称；④
f
x
在区间
4
，
2
单调递增.其中所有正确结
论的编号是（ ）
A. ①②
2020届福建省莆田一中高三年级上学期10月月考数学(文)试题及答案
绝密★启用前福建省莆田市第一中学2020届高三年级上学期10月月考检测数学(文)试题2019年10月6日一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果复数i ai +-21(R a ∈,i 为虚数单位)的实部与虚部相等,则a 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-32. 设全集=U R ,集合{}()(){}2|log 2,|310A x x B x x x =≤=-+≥,则()U C B A =I （ ）A ．[)0,3B ．()0,3C ．(],1-∞-D ． {}|103x x x ≤-<<或3. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,3778,35a a S +==,则2a =（） A.5B.6C.7D.8 4．已知2333211,,log 32a b c π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>5. 设非零向量满足,则（ ） A. B.C. D. 6. 某高中数学兴趣小组准备选拔x 名男生、y 名女生,若x 、y 满足约束条件 251127x y y x x -≥⎧⎪⎪≥-⎨⎪≤⎪⎩, 则数学兴趣小组最多可以选拔学生( )A.21人B.16人C.13人D.11人7．已知函数()ln 4x f x x=-,则（ ）A. ()y f x =的图象关于点(2,0)对称B. ()y f x =的图象关于直线2x =对称C. ()f x 在(0,4)上单调递减D. ()f x 在(0,2)上单调递减,在(2,4)上单调递增 8．如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,若,,,E F G H 分别是棱111111A B BB CC C D ，，，的中点,则必有（ ）A ．1BD GH ∥B ．BD EF ∥C ．平面EFGH ∥平面ABCD D ．平面EFGH ∥平面11A BCD9. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.23B.43C.2D.4 10.设函数)6||,0>,0>)(sin()(πϕωϕω≤+=A x A x f 与直线3=y 的交点的横坐标构成 以π为公差的等差数列,且6π=x 是)(x f 图象的一条对称轴,则下列区间中是函数)(x f 的 单调递减区间的是( )A. ]67,32[ππB. ]0,3[π-C. ]65,34[ππ--D. ]3,65[ππ-- 11. 中国古代近似计算方法源远流长,早在八世纪,我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数()y f x =在x ＝x 1,x ＝x 2,x ＝x 3(x 1<x 2<x 3)处的函数值分别为y 1＝f(x 1),y 2＝f(x 2),y 3＝f(x 3),则在区间[x 1,x 3]上()f x 可以用二次函数来近似代替：111212()()()()f x y k x x k x x x x ≈++---,其中3221112213231,,y y y y k k k k k x x x x x x ---===---。
2020届福建省莆田市(第一联盟体)学年上学期高三联考文科数学试题
【分析】
画出该三视图对应的直观图，再由棱锥的体积公式得出 的值.
【详解】
该三视图对应的直观图是三棱锥 ，如下图所示
由棱锥的体积公式得： ，解得：
故选：C
【点睛】
本题主要考查了已知三视图求体积，属于中档题.
6．A
【解析】
【分析】
根据对数的运算法则化简，再根据函数的单调性比较大小.
【详解】
，
是单调递增函数，
20．已知椭圆 的右焦点为 ，左，右顶点分别为 ，离心率为 ，且过点 .
（1）求 的方程；
（2）设过点 的直线 交 于 ， （异于 ）两点，直线 的斜率分别为 .若 ，求 的值.
21．已知函数 .
（1）函数 在 处的切线 过点 ，求 的方程；
（2）若 且函数 有两个零点，求 的最小值.
22．已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线 上的点按坐标变换 得到曲线 ，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设 点的极坐标为 .
【详解】
当 时，且
，
，
若 ， ，
反过来，当 时，满足 ，当此时 ，
当 ， .
故选：A
【点睛】
本题考查充分必要条件，意在考查基本的判断方法，属于基础题型.
4．B
【解析】
【分析】
由题意列方程组 求解.
【详解】
设等比数列的公比为 ，
，解得：
故选：B
【点睛】
本题考查等比数列基本量的求解，属于基础题型.
5．C
2020届福建省莆田市（第一联盟体）学年上学期高三联考文科数学试题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
2020届福建省莆田第一中学高三上学期期中考试数学(文)试题
莆田一中2019-2020学年度高三第一次阶段考文科数学试题命题人：高三文数备课组 审题人：一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足121i i z -=+，则z =（ ）A B C D 2．若函数()f x =与()()ln 1g x x =+的定义域分别为M 和N ，则M N =I （ ）A ．{}11x x -<<B ．{}11x x -<≤C ．{}11x x -<≤D ．{}11x x -≤≤ 3.给出下列三个命题①命题:P x R ∀∈，都有sin 1x ≤，则非0:P x R ∃∈，使得0sin 1x >②在ABC ∆中，若sin 2sin 2A B =，则角A 与角B 相等③命题：“若tan x =3x π=”的逆否命题是假命题以上正确的命题序号是（ ）A.①②③B.①②C.①③D.②③4．等差数列{}n a 中，15,974==a a ，，则数列(){}n n a 1-的前20项和等于（ ） A. -10 B. -20 C. 10 D. 205．已知定义域为R 的奇函数()f x 在[)∞+，0是增函数．若21log 5a f ⎛⎫ ⎪⎝-⎭=，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>6. 设函数211log (2)1()21x x x f x x -+- <⎧=⎨ ≥⎩，2(2)(log 12)f f -+=（ ）A ．12B ．9C ．6D ．37.如图，点A 为单位圆上—点，3π=∠xOA ，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点B )22,22(-，则sin α=（ ）A. 462+-B. 462-C.462+ D. 462+- 8．如图是正方体的平面展开图。
2019-2020学年福建省莆田市第一中学高三数学文上学期期末试题含解析
2019-2020学年福建省莆田市第一中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数若x，y满足约束条件，目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是( )A．（﹣4，2）B．（﹣4，1）C．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）参考答案：A【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；不等式的解法及应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=ax+2y，再利用z的几何意义求最值，只需利用直线之间的斜率间的关系，求出何时直线z=ax+2y过可行域内的点（1，0）处取得最小值，从而得到a的取值范围即可．【解答】解：由约束条件指出可行域为△ABC如图，当a=0时，目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值；当a＞0时，直线ax+2y﹣z=0的斜率k=﹣＞k AC=﹣1，得a＜2；当a＜0时，k=﹣＜k AB=2，得a＞﹣4．综合得﹣4＜a＜2．故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和分类讨论的数学思想方法，是中档题．2. 已知当时，，则以下判断正确的是（）A．B．C．D ．参考答案：C记，为偶函数且在上单调递减，由，得到即∴，即故选:C3. 已知F1，F2是双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，且F2是抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，P是双曲线C1与抛物线C2在第一象限内的交点，线段PF2的中点为M，且|OM|=|F1F2|，其中O为坐标原点，则双曲线C1的离心率是（）A．2+B．1+C．2+D．1+参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】设P在抛物线准线的射影为A，在直角△F1AP中．利用勾股定理，结合双曲线、抛物线的定义，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：设点P（x0，y0），F2（c，0），设P在抛物线准线的射影为A，由双曲线定义可得|PF2|=|PF1|﹣2a，由抛物线的定义可得|PA|=x0+c=2c﹣2a，∴x0=c﹣2a，在直角△F1AP中，|F1A|2=8ac﹣4a2，∴y02=8ac﹣4a2，∴8ac﹣4a2=4c（c﹣2a），∴c2﹣4ac+a2=0，∴e2﹣4e+1=0，∵e＞1，∴e=2+，故选：A．4. 设变量x,y满足约束条件，则目标函数的最大值为(A)10 (B) 8 (C) 7 ( D)2参考答案：B5. 如图所示的韦恩图中，若，，则阴影部分表示的集合为（）A．B．C．或D．或参考答案：C略6. 已知向量A． B． C．5 D．25参考答案：C略7. ， B．，C．，D．，参考答案：C略8. 设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（）A．﹣12 B．﹣1 C．0 D．参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足约束条件的可行域，并求出各角点的坐标，然后代入目标函数，即可求出目标函数z=x﹣2y的最大值．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示：由图可知，由可得C（，﹣），由：，可得A（﹣4，4），由可得B（2，1），当x=，y=﹣时，z=x﹣2y取最大值：．故选：D．【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划，其中根据约束条件画出可行域，进而求出角点坐标，利用“角点法”解题是解答本题的关键．9. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是( )A．若m?α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m⊥α，m⊥β，则α∥β参考答案：D考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：证明题．分析：A选项可用线面平行的性质进行判断；B选项可用面面平行的条件进行判断；C选项可用线面平行的条件进行判断；D选项可用面面平等的条件进行判断．解答：解：A不正确，因为n∥α，可得出n与α内的直线位置关系是平行或异面；B不正确，因为m∥α，m∥β中的平行关系不具有传递性，平行于同一直线的两个平面可能相交；C不正确，m⊥α，m⊥n，可得出n∥α或n?α；D正确，m⊥α，m⊥β，可根据垂直于同一直线的两个平面平行得出α∥β．故选D．点评：本题考查平面与平面之间的位置关系，空间想像能力，主要涉及到了面面平行、线面平行的判定．10. 已知集合M={﹣1，0，1，2}，N={y|y=2x+1，x∈M}，则M∩N=（）A．{﹣1，1} B．{1，2} C．{﹣1，1，3，5} D．{﹣1，0，1，2}参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】求出集合N，再根据交集的定义写出M∩N即可．【解答】解：集合M={﹣1，0，1，2}，N={y|y=2x+1，x∈M}={﹣1，1，3，5}，所以M∩N={﹣1，1}．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某班开展一次智力竞赛活动，共a，b，c三个问题，其中题a满分是20分，题b，c满分都是25分．每道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题．答对题a与题b的人数之和为29，答对题a与题c的人数之和为25，答对题b与题c的人数之和为20．则该班同学中只答对一道题的人数是；该班的平均成绩是．参考答案：4，42【考点】众数、中位数、平均数．【分析】利用方程组求出答对题a，题b，题c的人数，再计算答对一题的人数和平均成绩．【解答】解：设x a、x b、x c分别表示答对题a，题b，题c的人数，则有，解得x a=17，x b=12，x c=8；∴答对一题的人数为37﹣1×3﹣2×15=4，全班人数为1+4+15=20；平均成绩为×（17×20+12×25+8×25）=42．故答案为：4，42．12. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a13=4，则S13．参考答案：26【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列通项公式直接求解．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a1+a13=4，∴S13==．故答案为：26．13. 如图，正方形边长是2，直线x+y﹣3=0与正方形交于两点，向正方形内投飞镖，则飞镖落在阴影部分内的概率是．参考答案：【考点】几何概型．【分析】根据几何概率的求法，可以得出镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【解答】解：观察这个图可知：阴影部分是正方形去掉一个小三角形，设直线与正方形的两个交点为A，B，∴在直线AB的方程为x+y﹣3=0中，令x=2得A（2，1），令y=2得B（1，2）．∴三角形ABC的面积为s==，则飞镖落在阴影部分的概率是：P=1﹣=1﹣=1﹣=．故答案为：．14. 已知平面向量，的夹角为，且，，则________．参考答案：【分析】先由题意求出，得到，进而可求出结果.【详解】因为，所以，又向量，的夹角为，且，则，所以.故答案为15. 已知的展开式中没有常数项,且，则.参考答案：5略16. 已知向量，，若，则m=________.参考答案：9【分析】根据向量垂直可知向量的数量积等于零，利用数量积的坐标运算即可.【详解】因为所以，解得m=9,故填9.17. 已知函数满足：，，则.参考答案：16三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年福建省莆田市忠门第一中学高三数学文上学期期末试卷含解析
2020年福建省莆田市忠门第一中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “”是数列“为递增数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略2. 若＜＜0，则下列不等式①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④＋＞2中，正确的不等式有()A．0个 B．1个C．2个 D．3个参考答案：C略3. 方程的实根个数是A.3B.2C.1D.0参考答案：C设，，由此可知函数的极大值为，极小值为，所以方程的实根个数为1个.选C.4. 函数在下面的哪个区间上是增函数（）A. B. C. D.参考答案：B略5. 一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为1的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积是 ()A. B. C. D.参考答案：D6. 已知直线平面，直线∥平面，则“”是“”的 ( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件参考答案：A7. 已知函数若f （f （0））=a,则实数a= ．参考答案：-4略8. 已知函数，则其图象的下列结论中，正确的是（）A．关于点中心对称 B．关于直线轴对称C．向左平移后得到奇函数 D．向左平移后得到偶函数参考答案：C9. 设A、B是两个非空集合，定义集合且，若，，则（）A. {0,1}B. {1,2}C. {0,1,2}D. {0,1,2,5}参考答案：D由题意可得：，结合题中新定义的集合运算可得：.本题选择D选项.10. 用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（）A．432 B．288 C．216 D．144参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数的图象在点处的切线斜率是1，则此切线方程是．参考答案：12. 若对任意满足不等式组的、，都有不等式x－2y＋m≤0恒成立，则实数m的取值范围是____________参考答案：13. 已知，且，则=___________。
2020届福建省莆田市(第一联盟体)学年上学期高三联考数学(文)试题(含答案解析)
2020届福建省莆田市（第一联盟体）学年上学期高三联考数学（文）试题一、单选题1．设集合{}{}2211220A B x x x =--=-≤，，，，，则A B =I （ ） A ．()12， B ．[]12， C ．{}12， D ．{}12x x ==， 【答案】C【解析】首先求集合B ，再求A B I . 【详解】220x x -≤，解得：02x ≤≤{}02B x x ∴=≤≤，{}1,2A B ∴=I .故选：C 【点睛】本题考查集合的交集，意在考查计算能力，属于基础题型. 2．若，则cos2α=（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据题意先求出，然后再用倍角公式求解即可得到结果．【详解】 由条件得，∴．故选C ． 【点睛】本题考查诱导公式和倍角公式的应用，考查变形和计算能力，解题的关键是正确进行公式的变形，属于基础题．3．若00x y >>，，则2x y +≤是224x y +≤的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】首先判断当2x y +≤时，两边平方后能判断224x y +≤成立，反过来，判断是否成立，再判断充分必要条件. 【详解】当2x y +≤时，且0,0x y >>()222424x y x y xy ∴+≤⇒++≤， 22424x y xy ∴+≤-< ，∴若00x y >>，， 2224x y x y +≤⇒+≤，反过来，当x y ==时，满足224x y +≤，当此时2x y +> ，∴当00x y >>，，2242x y x y +≤⇒+≤/.故选：A 【点睛】本题考查充分必要条件，意在考查基本的判断方法，属于基础题型. 4．已知等比数列{}n a 满足1223612a a a a +=+=，，则1a 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由题意列方程组11211612a a q a q a q +=⎧⎨+=⎩求解. 【详解】设等比数列的公比为q ，11211612a a q a q a q +=⎧∴⎨+=⎩ ，解得：12,2q a == 故选：B 【点睛】本题考查等比数列基本量的求解，属于基础题型. 5．某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为43，则图中x 的值为（ ）A ．2B ．2C ．1D ．12【答案】C【解析】画出该三视图对应的直观图，再由棱锥的体积公式得出x 的值. 【详解】该三视图对应的直观图是三棱锥S ABC -，如下图所示由棱锥的体积公式得：311442223233S ABC V x x x x -⎛⎫=⋅⋅⋅⋅== ⎪⎝⎭，解得：1x = 故选：C 【点睛】本题主要考查了已知三视图求体积，属于中档题. 6．已知ln 2421log 532a b c e ===，，，则a b c ，，满足（ ） A ．a b c << B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】A【解析】根据对数的运算法则化简，再根据函数的单调性比较大小. 【详解】4221log 5log 5log 52a ===2213log 32b == ，2log y x =Q 是单调递增函数，2221log 5log 3log 42∴<<<= ，ln 22c e ==，a b c ∴<<.故选：A 【点睛】本题考查对数的运算，和比较大小，意在考查基础计算能力，属于基础题型.7．已知直线:1l y x =-与抛物线24y x =相交于A B ，两点，M 是AB 的中点，则点M 到抛物线准线的距离为（ ）A ．72B ．4C ．7D ．8【答案】B【解析】根据数形结合分析可知点M 到抛物线准线的距离1'2MM AB =，再根据弦长公式求AB . 【详解】由题意可知直线1y x =-过抛物线24y x =的焦点()1,0，如图，',','AA BB MM 都和准线垂直，并且垂直分别是',','A B M ，由图象可知()1'''2MM AA BB =+， 根据抛物线的定义可知''AA BB AB +=，1'2MM AB ∴=， 214y x y x=-⎧⎨=⎩ 联立得2610x x -+=， 126x x += ，1228AB x x ∴=++=， '4MM ∴=.故选：B 【点睛】本题考查抛物线的定义和弦长公式，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于基础题型.8．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，如函数()1sin 2f x x x =-的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由判断函数()f x 的奇偶性以及利用导数得出区间0,3π⎛⎫⎪⎝⎭的单调性即可判断. 【详解】()()()111sin sin sin ()222f x x x x x x x f x ⎛⎫-=---=-+=--=- ⎪⎝⎭则函数()f x 在R 上为奇函数，故排除B 、D.()1cos 2f x x '=-，当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos 2x >，即()0f x ¢< 所以函数()f x 在区间0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故排除C 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，属于中档题.9．关于函数()sin cos f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是周期函数；②()f x 的最小值为；③()f x 的图象关于y 轴对称；④()f x 在区间42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增.其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．②④【答案】B【解析】①代入周期公式，判断周期；②去绝对值得到分段函数判断最小值；③利用定义判断函数的奇偶性；④去绝对值，化简函数，再判断函数的单调性. 【详解】①()()()2sin 2cos 2sin cos f x x x x x πππ+=+++=+()()2f x f x π∴+=，()f x ∴是周期为2π的周期函数，故①正确；②()f x Q 的周期是2π，所以分析[]0,2x π∈时函数的值域，当[)0,x Îp 时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ， 5,444x πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭Q ，sin 4x π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，()f x ∴的值域是(-，当[],2x ππ∈时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，59,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，cos 42x π⎡⎤⎛⎫∴+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()f x ∴的值域是⎡-⎣，综上可知函数()f x 的值域是⎡-⎣，最小值是-1，故②不正确；③()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=-+-=+=()f x ∴是偶函数，关于y 轴对称，故③正确；④由②知，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，3,424x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ，而sin y x =在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故④不正确. 综上可知，正确编号是①③. 故选：B 【点睛】本题考查含绝对值的三角函数性质的判断，意在考查转化与化归的思想，推理能力，和计算能力，属于中档题型，本题的关键是根据函数的周期，正确去掉绝对值，然后再分析函数的性质.10．已知双曲线()2222100x y a b a b -=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线右支交于点M ，若1230F MF ∠=°，则双曲线的渐近线斜率为（ ）A ．(3±B ．(3±+C ．1⎛±+⎝⎭） D ．1⎛± ⎝⎭【答案】A【解析】由直角三角形以及中位线的性质得出24MF a =，由双曲线的定义得16F M a =，再由余弦定理以及222c a b =+化简得出(3ba=±，即可得出双曲线的渐近线斜率. 【详解】取切点为B ，连接BO ，作21AF MF ⊥，垂足于A因为2BO AF P ，且O 为12F F ，的中点，所以222AF BO a == 在直角三角形2AF M 中，1230F MF ∠=°，所以2224MF AF a == 由双曲线的定义得： 1226F M a MF a =+=由余弦定理可知：()()()222264264cos30c a a a a =+-⨯⨯︒化简得：(2213c a =-，又222c a b =+所以(2212b a =-，即(222123b a=-=所以()33ba=±- 故双曲线的渐近线斜率为()33ba±=±- 故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，涉及了直角三角形的性质以及余弦定理，属于中档题. 11．2019年11月18日国际射联步手枪世界杯总决赛在莆田市综合体育馆开幕，这是国际射联步手枪世界杯总决赛时隔10年再度走进中国.为了增强趣味性，并实时播报现场赛况，我校现场小记者李明和播报小记者王华设计了一套播报转码法，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密的方法是：密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的a bc z ，，，…，的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数通过变换公式：()()**26121322262x N x x x y x x N x x +⎧⎪⎪=⎨⎪+∈∈≤⎪≤⎩，，不能被整除，，能被整除，将明文转换成密文，如6613162→+=，即f 变换成251:25132p +→=，即y 变换成m .若按上述规定，若王华收到的密文是ukweat ，那么原来的明文是（ ） A ．fujian B ．puxianC ．putianD ．fuxian【答案】C【解析】分别得出u 、w 对应的自然数，将21y =、23y =代入公式得出对应的明文，由排除法即可得出答案. 【详解】u 对应的自然数为21，即21y =，则1212x +=或13212x+=，解得：41x =(舍)，16x =即u 对应的明文为p ，故排除A ，D ；w 对应的自然数为23，即23y =，则1232x +=或13232x+=，解得：45x =(舍)，20x =，即w 对应的明文为t ，故排除B ；故选：C 【点睛】本题主要考查了分段函数已知函数值求自变量，属于中档题.12．已知对任意实数x 都有()()'2xf x f x e -=，()01f =-，若()()1f x k x >-，则k 的取值范围是（ ）A ．()1+∞， B ．32342e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．1214e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．3214e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【答案】D【解析】首先根题意构造函数()()xf x F x e=，并且求得函数()()21xf x e x =-，再讨论1,1x x >< 和1x =三种情况，参变分离后讨论k 的取值范围. 【详解】 设()()xf x F x e=， ()()()()()()22x xxx f x e f x e f x f x F x e e ''--'===，()2F x x c ∴=+，即()()()22x xf x x c f x e x c e=+⇒=+， ()01f c ==-，()()21x f x e x ∴=-，不等式()()()()1211xf x k x ex k x >-⇒->-当1x >时，()211x e x k x -<-，即()min211x e x k x ⎡⎤-<⎢⎥-⎣⎦ ，设()()211x e x g x x -=-，()()()()222232311xx x x e g x e x x x x -'=⋅=⋅---，1x > 当31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '< ，()g x 单调递减，当3,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，∴当32x =时，函数取得最小值，32342g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴当1x >时，324k e <，当1x <时，()211x e x k x ->-，即()max211x e x k x ⎡⎤->⎢⎥-⎣⎦设()()211x e x g x x -=-，()()()()222232311xx x x e g x e x x x x -'=⋅=⋅---，1x < ， 当0x <时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减， 0x ∴=时，()g x 取得最大值，()01g =，1x ∴<时，1k >，当1x =时，()10f e =>恒成立， 综上可知：3214k e <<. 故选：D 【点睛】本题考查构造函数，不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查利用函数的导数构造函数，并利用导数分析函数的性质，利用导数构造函数需熟记一些函数的导数，()()()()xf x f x xf x ''=+，()()()2f x xf x f x x x ''-⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()()()222x f x xf x x f x ''=+()()()()()xxe f x e f x f x ''=+，()()()x xf x f x f x e e ''-⎛⎫= ⎪⎝⎭.二、填空题13．已知复数z 满足13iz i =+（i 为虚数单位），则复数z =__________. 【答案】3i + 【解析】先化简13iz i+=，再求z .【详解】22133331i i i i z i i i ++-+====--3z i ∴=+.故答案为：3i + 【点睛】本题考查复数的化简，共轭复数，属于简单题型.14．已知x y ，满足20030x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是__________.【答案】[]05，【解析】首先作出不等式表示的可行域，再令0z =作出初始目标函数，通过平移直线求得函数的最大值，求2z x y =+的取值范围. 【详解】首先画出不等式组表示的可行域，如图OAB ∆，令0z =，画出初始目标函数20x y +=，然后平移到点B 取得最大值2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得：1,2x y ==， max 1225z ∴=+⨯=.当目标函数过点()0,0时，取得最小值，min 0200z =+⨯=，2z x y ∴=+的取值范围是[]0,5.故答案为：[]0,5 【点睛】本题考查线性规划，意在考查画图，数形结合分析问题的能力，属于基础题型.15．在三棱锥P ABC -中，60ABC ∠=︒，90PBA PCA ∠=∠=︒，点P 到底面ABC，若三棱锥P ABC -的外接球表面积为6π，则AC 的长为__________.【解析】PN ^平面ABC ,垂足为点N ，连接,NB NC ，由条件可知AN 是四边形ABNC 外接圆的直径，并作出几何体外接球的球心，并且求出2AN =，根据同弦所对的圆周角相等，可知60ANC ∠=o ，求出AC 的长. 【详解】PN ^平面ABC ,垂足为点N ，连接,NB NC ，,PN AB PB AB ⊥⊥，AB ∴⊥平面PBN ，BN ⊂平面PBN ，AB BN ∴⊥，同理AC CN ⊥， AN ∴是四边形ABNC 外接圆的直径，取AN 的中点M ，即M 是四边形ABNC 外接圆的圆心， 作OM ⊥平面ABC ，则OA OB OC ON ===过PN 的中点H 作PN 的垂线，交OM 于点O ，则ON OP =OA OB OC ON OP ∴====，O ∴是三棱锥P ABC -外接球的球心，246S R ππ==，R ∴=，OM =1AM ∴===, 2AN ∴=，即底面外接圆的直径是2，60ABC ∠=o Q ，60ANC ∴∠=o ，AC AN ∴==.3【点睛】本题考查几何体的外接球问题，意在考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型，一般几何体的外接球问题关键是确定球心，也可利用补体求解，若是几何体可以补成长方体或正方体，可以转化为正方体或长方体的外接球问题.16．在锐角ABC V 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，点O 为ABC V 外接圆的圆心，3A π=，且AO AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ的最大值为__________.【答案】19【解析】首先变形()()AO OB OA OC OA λμ=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，得到()1AO OB OC λμλμ--=+u u u r u u u r u u u r，两边平方后，得到()2221λμλμλμ∴--=+-，最后利用基本不等式求λμ的最大值 【详解】ABC ∆Q 是锐角三角形，∴O 在ABC ∆的内部， 0,1λμ∴<<()()AO OB OA OC OA λμ=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()1AO OB OC λμλμ--=+u u u r u u u r u u u r，两边平方后()()222222212AO OB OCOB OC OB OC λμλμλμλμ--=+=++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r3A π=Q ,120BOC ∴∠=o，且AO BO CO ==u u u r u u u r u u u r，()2221λμλμλμ∴--=+-()132λμλμ∴+=+0,1λμ<<Q ，13λμ∴+≥t =，2341t t ∴-+≥，解得：1t ≥（舍）或13t ≤，1139λμ≤⇒≤， λμ∴的最大值是19.故答案为：19【点睛】本题考查向量加，减和数量积运算的综合问题，意在考查转化与化归的思想和计算能力，本题的关键的关键转化是()()AO OB OA OC OA λμ=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，整理后得到()1AO OB OC λμλμ--=+u u u r u u u r u u u r，然后再两边平方求λμ的最大值.三、解答题17．在ABC V 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin cos 2sin cos A B c bB A b-=.（1）求A ；（2）设5b =，ABC S =V 若D 在边AB 上，且3AD DB =，求CD 的长.【答案】（1）3π；（2【解析】（1）根据正弦定理变换互化为sin cos 2sin sin sin cos sin A B C BB A B-=，再化简求得1cos 2A =，求角A ； （2）根据面积求8AB =，ADC ∆中，根据余弦定理求CD 的长. 【详解】（1）因为sin cos 2sin cos A B c bB A b-=，由正弦定理可得sin cos 2sin sin sin cos sin A B C BB A B-=，化简得：sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B =-， 所以sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，即()sin 2sin cos A B C A +=.又因为A B C π++=，所以()()sin sin sin A B C C π+=-=. 则sin 2sin cos C C A =.因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =. 因为0A π<<，所以3A π=.（2）因为11sin 5sin 223ABC S AB AC A AB AB π=⋅⋅=⨯⨯⨯=V ，因为ABC S =VAB =8AB =， 因为3AD DB =，即34AD AB =，所以6AD =. 在ACD V 中，563AC AD A π===，，，由余弦定理得：2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅⋅， 则212536256312CD =+-⨯⨯⨯=，所以CD =【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于基础题型，一般边和角在一个是式子的时候，可以采用正弦定理边角互化，转化为三角函数恒等变形问题.18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =-，{}n b 为正项等比数列，且1134362b a b a =+=+，.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设1211log n n n c a b ++=⋅，求{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）23n a n =-，212n n b -=；（2）21n nT n =+. 【解析】（1）首先已知n S 求n a ，再设数列{}n b 的首项1b ，设公比为q ，231b q b =，求数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）可知()()12121n c n n =-+，再利用裂项相消法求和.【详解】（1）由22n S n n =-，得当1n =时，111a S ==-，当2n ≥时，()()22112143n S n n n n -=---=-+， 所以当2n ≥时，123n n n a S S n -=-=-，11a =-也满足此式.所以23n a n =-.又1134326232b a b a =+==+=，，因为{}n b 为正项等比数列，设{}n b 的公比为()0q q >.所以23116b q b ==，即4q =， 所以11211242n n n n b b q ---=⋅=⋅=. （2）因为()2111213212n n n a n n b +++=+-=-=，.所以()()()211212111log 21log 22121n n n n c a b n n n +++===-⋅-+.11122121n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭所以123n n T c c c c =++++…1111111112335572121n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭ (11122121)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 所以21n nT n =+. 【点睛】本题考查已知数列的前n 项和n S ，求通项公式，以及数列求和，已知考查基本方法和计算计算能力，属于基础题型，11n nn S a S S -⎧=⎨-⎩ 12n n =≥，一般求和的方法包括：1.公式法求和，2.分组转化法求和，3.裂项相消法求和，4.错位相减法求和，5.倒序相加法求和，6.规律求和法.19．如图，正方形ABCD 的边长为22，以AC 为折痕把ACD V 折起，使点D 到达点P 的位置，且PA PB =.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若M 是PC 的中点，设()01PN PA i λ=<<u u u r u u u r ，且三棱锥A BMN -的体积为89，求λ的值.【答案】（1）证明见解析；（2）13. 【解析】（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，取AC 中点O ，连结POBO ，，由条件证明,PO AC PO OB ⊥⊥； （2）利用等体积转化1839A BMN B AMN AMN V V S BO --==⋅=V ，解得43AMN S =V ，由面积公式解得λ的值. 【详解】解：（1）取AC 中点O ，连结POBO ，. 因为PC PA =，所以PO AC ⊥. 在POB V 中，122PO OB AC ===，22PB PA == 则222PB PO OB =+， 所以PO OB ⊥，又AC OB O =I ，且AC OB ⊂、面ABC ， 所以PO ⊥面ABC ，又PO ⊂面PAC ，所以面PAC ⊥面ABC .（2）因为面PAC ⊥面ABC ，又面PAC I 面ABC AC =，且BO AC ⊥， 所以OB ⊥面PAC ，所以13A BMN B AMN AMN V V S BO --==⋅V . 又因为2OB =，89A BMN V -=，所以43AMN S =V .因为PN PA λ=u u u r u u u r ，所以()112AMN APM PAC S S S λλ-=-=V V V . 又142PAC S PA PC =⋅=V ，所以14423λ-⨯=，得13λ=. 【点睛】本题考查面面垂直的证明和利用等体积转化求参数的问题，意在考查空间想象能力和推理证明，计算能力，属于中档题型，本题第二问的关键是等体积转化A BMN B AMN V V --=，一般求四面体的体积或是求点到面的距离都需要考虑等体积转化，求点到面的距离也可以转化为其他等价的点到平面的距离.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，左，右顶点分别为A B ，，离心率为12，且过点312⎛⎫ ⎪⎝⎭，. （1）求C 的方程；（2）设过点F 的直线l 交C 于P ，Q （异于A B ，）两点，直线PAQB ，的斜率分别为12k k ，.若21k tk =，求t 的值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】（1）根据12c a =，求得2243b a =，再代入点的坐标，求得椭圆方程； （2）设直线PB 的斜率为3k ，直线l 的方程1x my =+和椭圆方程22143x y +=联立，利用根与系数的关系表示13k k 和23k k 的值，再求21k t k =. 【详解】（1）依题意得椭圆的离心率为12c e a ===，则2243b a =.将点312⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程2222:1x y C a b+=得221913a a +=， 则2243a b ==，，故椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设直线PB 的斜率为()()31122k P x y Q x y ，，，，. 由题意可知，直线PQ 的斜率不为0，故可设直线1l x my =+：.由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x ，得()2234690m y my ++-=，所以122634m y y m +=-+，122934y y m =-+. 所以()2112232211212221y y y y k k x x m y y m y y ⋅=⨯=---++ 22222992496413434m m m m m -+==--++++.又因为点P 在椭圆上，所以211321344y k k x ==--， 则213k k =，所以3t =. 【点睛】本题考查椭圆方程和直线与椭圆的位置关系的综合应用问题，意在考查利用根与系数的关系求解定值，属于中档题型，本题第二问的关键是设直线PB 的斜率为3k ，并且表示13k k 和23k k 的值.21．已知函数()ln 1f x ax x ax =++.（1）函数()f x 在1x =处的切线l 过点()22-，，求l 的方程； （2）若*N a ∈且函数()f x 有两个零点，求a 的最小值.【答案】（1）22y x =-+即220x y +-=；（2）8.【解析】（1）首先求出在1x =处的切线方程，然后代入点()2,2-，求参数a 的值； （2）首先利用导数判断函数的单调性和最小值，因为()f x 有两个零点，所以()min 0f x <即210ae --<得2a e >，再根据零点存在性定理证明()f x 在211a e e ⎛⎫⎪⎝⎭，上有一个零点，在211e ⎛⎫⎪⎝⎭，上有一个零点，得到a 的最小值. 【详解】（1）因为()()ln 10f x ax x ax x =++>， 所以()1'ln ln 2f x a x ax a a x a x=+⋅+=+， 所以()'12f a =又()11f a =+，所以()f x 在1x =处切线l 方程为()()121y a a x -+=-， 即21y ax a =-+.又因为直线l 过点()22-，，所以得241a a -=-+即1a =-. 所以直线l 方程为22y x =-+即220x y +-=. （2）因为()()'ln 2ln 2f x a x a a x =+=+. 令()'0f x =得ln 2x =-即2x e -=， 因为*a N ∈所以0a >，所以当20x e -<<时，()'0f x <，当2x e ->时，()'0f x >， 则()f x 在()20e-，上单调递减，在()2e-+∞，上单调递增，所以()()22min 1f x f eae--==-.因为()f x 有两个零点，所以()min 0f x <即210ae --<得2a e >， 又因为()110f a =+>，1111ln 1a a aaf a a e e e e ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2211a a a a a a e a a e e e-=++=-+. 设()()21a g a e a a a =-+> 则()'2ag a e a =-，因为()'g a 在()1+∞，上单调递增， 所以()'0g a >，所以()g a 在()1+∞，单调递增， 所以()()10g a g e >=>. 又10a e >，所以10a f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 故()f x 在211a e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上有一个零点，在211e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上有一个零点， 即()f x 在()0+∞，上有两个零点， 则2a e >又*a N ∈且2739e ≈．，所以a 得最小值为8.【点睛】本题考查导数的几何意义，和已知零点个数求参数的取值范围，意在考查转化与化归的思想和计算能力，本题第二问的难点是函数的最小值()min 0f x <后，如何说明左右各有一个零点，即根据零点存在性定理说明，当1a >时，证明1111ln 10a a a a f a a e e e e ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+⋅+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 22．已知曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换''x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩得到曲线'C ，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设A 点的极坐标为32π⎛⎫ ⎪⎝⎭，.（1）求曲线'C 的极坐标方程；（2）若过点A 且倾斜角为6π的直线l 与曲线'C 交于M N ，两点，求AM AN ⋅的值. 【答案】（1）'C 的极坐标方程为：1ρ=（2）54【解析】(1) 由曲线C 的参数方程得出其普通方程，利用坐标变换得出'C 的方程，再转化为极坐标方程；(2)利用直线的参数方程的参数的几何意义求解即可.【详解】解：（1）曲线C 的普通方程为：2213x y +=， 将曲线C上的点按坐标变换'3'x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩得到''x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，代入()()22''1x y +=得'C 的方程为：221x y +=.化为极坐标方程为：1ρ=.（2）点A 在直角坐标的坐标为3,02⎛⎫-⎪⎝⎭， 因为直线l 过点A 且倾斜角为6π， 设直线l的参数方程为3212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入22:1C x y +=得：25024t t -+=. 设M N ，两点对应的参数分别为12t t ，，则1212524t t t t +==. 所以1254AM AN t t ⋅==. 【点睛】 本题主要考查了参数方程与普通方程以及极坐标方程的转化、直线的参数方程参数的几何意义，属于中档题.23．已知函数()221f x m x =--，m R ∈，且102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集为{}11x x -≤≤. （1）求m 的值；（2）若,,a b c 都为正数，且11124m a b c++=，证明：249a b c ++≥.【答案】（1）1m =（2）证明见解析【解析】(1)由题设条件得出220m x -≥，解得m x m -≤≤，根据102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集求出m 的值；(2)将1代换为11124a b c ++，利用基本不等式证明不等式即可. 【详解】（1）由102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭得220m x -≥得m x m -≤≤， 因为102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集为{}11x x -≤≤， 所以1m =. （2）由（1）得111124a b c++=， ∴()1112442241119242424b a c a c b a b c a b c a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=++++++++≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 当且仅当24a b c ==时，等号成立.所以249a b c ++≥成立.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式证明不等式，注意“1”的代换，属于中档题.。
福建省莆田市第一中学2020届高三上学期第一次月考数学(文)试卷(含答案)
1＋ cos2x＋ 8sin2x
10．当 0 x 时，函数 f(x)＝ 2
sin2 x
的最小值为
D.直角三角形
A．2
B．2 3
C． 4
D．4 3
11．已知函数 f ( x)
ln x ( x t) 2 ,t
R ，若存在 x
1 [ ,2] ，使得 f ( x)
xf (x) 0 ，
x
2
则实数 t 的取值范围是（
b2
c≥
1. -------- 2
4
于是 c ≥ 1，且 c ≥ 2 b2 1 | b |，因此 2c b c ( c b) 0. ------------
4
4
（ 2）由（ I ）知， c≥| b |. 当 c | b | 时，有
M≥
f (c) c2
f (b) b2
c2 b2 bc b2 c2 b2
．
x0
14．若 θ∈
π4，
π 2 ，sin
2
θ＝
3 8
7，则
sin θ＝ ________．
2020年最新精品试题
15．已知 S, A, B,C 是球 O 表面上的点 , SA 平面 ABC , AB BC , SA AB 1,
BC 2 ,则球 O的表面积等于
.
16．已知函数 f ( x)
x ,x m ，其中 m 0，若存在实数 b ，使得关于 x
2c a
．
cos B
b
（ 1）求 sin C 的值； sin A
（ 2）若 cos B
1 ，△ ABC 的周长为 5，求 b 的长．
4
18． (本题满分 12 分 )
设 Sn 为数列 { an } 的前项和，已知 a1 0 ， 2a n a1 S1 Sn ， n N
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莆田一中2020～2020学年度上学期第一学段高三文科数学试卷命题人：柯建焰 审核人： 杨金心一、单项选择题：（每题只有一个正确答案，5×12=60分）1、设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q={a ＋b ∣a Q b P ∈∈,},若P={0，2，5}，Q={1，2，6},则P ＋Q 中元素的个数是（ ） A ．9B ．8C ．7D ．62、已知：x>y>z ，且x ＋y ＋z=0则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．xy>yzB ．xz>yzC ．y z y x >D ．xy>xz3、已知数列{a n }是逐项递增的等比数列，其首项a 1<0，则公比q 的取值范围是（ ） A ．(－∞，0)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，＋∞)4、在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+1040x y x y x 表示的平面区域的面积是（ ）A ．3B ．6C ．4.5D ．95、ABC ∆4=1=，3=∆ABC S ，则AC AB ⋅的值为（ ） A ．－2B ．2C ．±4D ．±26、定点A(1，2)和第一象限内动点P(x ，y)满足OA OP ⋅=4(O 为坐标原点)，则 y x 22log log +取得最大值的条件是（ ） A ．x ＝2，y ＝1B ．x ＝y ＝34C ．x ＝0，y ＝2D ．x ＝1，y ＝27、函数f(x)＝)2sin(ϕ+x +)2cos(3ϕ+x 的图象关于原点对称的充要条件是（ ）A ．)(62z k k ∈-=ππϕ B ．)(6z k k ∈-=ππϕ C ．)(32z k k ∈-=ππϕD ．)(3z k k ∈-=ππϕ8、设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧-1lg 2x x )0()0(≥<x x 若f(a)>0则a 的取值范围是（ ）A ．(－∞，－1)⋃(1，＋∞)B ．(－∞，－1)⋃(0，＋∞)C ．(－1，0)⋃(1，0)D ．(－1，0)⋃(0，＋∞)9、正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面边长为a 2，侧棱长为a ，则异面直线AB 1与BC 1所成的角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 10、若x 2－ax ＋1≥0在),2[+∞∈x 上恒成立，则实数a 的最大值是（ ） A ．2B ．25 C ．4 D ．111、若a 、b 表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为（ ）①b a b a ⊥⇒⊥αα, ②ααb b a a ⇒⊥⊥, ③αα⊥⇒⊥b b a a , ④a b a ⇒⊥⊥αα,∥b A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12、若函数f(x)=653123+++x ax x 在区间[1，3]上为单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．),5[+∞-B ．]3,(--∞C ．),5[]3,(+∞-⋃--∞D ．]5,3[--二、填空题：（4×4=16分）13、若集合A=}02{2=++x ax x 中至多有一个元素，则a 的取值范围是 . 14、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .a a aa a正视图 侧视图 俯视图 15、△ABC 满足210==⋅，则△ABC 为 (三角形形状) 16、有下列四个判断：①平面⊥α平面γ，平面⊥β平面γ②直线a ∥b ，⊥a 平面α，⊥b 平面β③a 、b 是异面直线，α⊂a ,β⊂b 且a ∥β,b ∥α④平面α内距离为d 的两条平行直线在平面β内的射影仍为两条距离为d 的平行直线其中能推出βα的条件有 （填写所有正确条件的代号） 三、解答题：（12＋12＋12＋12＋12＋14=74分）17、已知)1,2cos 1(x m +=,=)2sin 3,1(a x +(x R ∈,a 为常数)，且y=·⑴求y 关于x 的函数关系式y=f(x);⑵若x ]2,0[π∈时， f(x)的最大值为4，求a 的值，并说明此时f(x)的图象可由y=2)6sin(π+x 的图象经过怎样的变换得到.18、如图：ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA=AB ，E ，F 分别为AB ，PC 中点。
⑴求证：EF ⊥CD ；⑵求证：平面PEC ⊥平面PCD.19、把半径为l 的圆形铁皮分成两个扇形分别做成两个圆锥的侧面（不计接缝），求所得两个圆锥表面积的和的最小值.20、已知：f(x)=xxln⑴求f(x)的单调区间； ⑵求a>b>e 求证：a b <b a21、设函数f(x)=1)1(23323+++-x a x x a ⑴若函数f(x)在x=1处取得极值，求实数a 的值；⑵已知不等式1)(2+-->'a x x x f 对任意),0(+∞∈a 都成立, 求实数x 的取值范围.22、数列{a n }，a 1=2，a n =2a n-1＋2n (n ≥2)⑴求证：}2{n na 为等差数列； ⑵求{a n }的前n 项和s n ； ⑶若nn a n b 12-=，求证{b n }为递减数列.莆田一中2020～2020学年度上学期第一学段高三文科数学答案二、填空题：（4×4=16分）13、}0{),81[⋃+∞14、365a15、等边三角形 16、②③三、解答题：（12＋12＋12＋12＋12＋14=74分） 17、解：⑴y ＝f(x)=a x x +++=⋅2sin 32cos 1 ＝a x +++1)62sin(2π（3分）⑵当]2,0[π∈x 时，]67,6[62πππ∈+x ，]1,21[)62sin(-∈+πx （6分） ∴f(x)]3,[+∈a a ，又f(x)最大值为4，∴a ＋3=4 ∴a=1 （9分）这时f(x)=22)62sin(++πx把y=2)62sin(π+x 的图象上所有点的横坐标缩小为原来的21，纵坐标不变，再把图象向上平移两个单位即可得到y=f(x)的图象（12分）18、证明：⑴法一：取CD 中点M 连结EM ，FM∵PA ⊥面ABCD ∴PA ⊥CD 又∵正方形ABCD ∴CD ⊥AD ∴CD ⊥DM ∴CD ⊥PD ∵F 、M 为中点∴FM ∥PD ∴CD ⊥FM（3分）∵E 、M 为中点，ABCD 为正方形的CD ⊥EM ∴CD ⊥面EFM ∴ CD ⊥EF（6分）法二：取PD 中点N 连结AN 、FN则FN ∥CD 且FN=21CD又∵E 为AB 中点，ABCD 为正方形∴AE ∥CD 且AE=21CD ∴EFNA 为平行四边形（3分）∴EF ∥AN ，由法一CD ⊥面PAD ∴CD ⊥AN∴CD ⊥EF（6分）⑵法一：由已知可得PE=EC ，∵F 为PC 中点，∴EF ⊥PC（8分）由⑴EF ⊥CD ∴EF ⊥面PCD （10分） ∵EF ⊂面PEC ∴面PEC ⊥面PCD（12分）法二：⑴中法二：EF ∥AN 由已知得PA=AD ，N 为中点 ∴AN ⊥PD 又∵AN ⊥CD ∴AN ⊥面PCD ∵EF ∥AN ∴EF ⊥面PCD（10分）∵EF ⊂面PEC ∴面PEC ⊥面PCD（12分）19、解：设其中一个圆锥底面半径为R(0<R<l )，另一个圆锥底面半径为r 则有l r R πππ222=+即R l r -=（3分）设两个圆锥的表面积之和为y 则有 222222)(R l R l r R l y -++=++=ππππππ（6分）=22222l lR R πππ+-=2223)2(2l l R ππ+-(0<R<l )（10分） ∴当2l R =时，y 的最小值为223l π（12分）20、解：⑴22ln 11ln 1)(x x x x x x x f -=⋅-⋅=' （3分）令0)(='x f 得x=e当0<x<e 时，0)(>'x f ；当x>e 时0)(<'x f ∴f(x)在],0(e 上为增函数，f(x)在),[+∞e 为减函数（6分）⑵由(1)得f(x)在),[+∞e 上为减函数 又∵a>b>e ，∴f(a)<f(b)（8分）b a a b bb a a ln ln ln ln <⇒<⇒a b b a ln ln <⇒（10分）又∵x y ln =在),0(+∞上为增函数 ∴a b <b a（12分）21、解：⑴)(x f '=ax 2－3x ＋a ＋1，∵f(x)在x=1处取得极值∴)1(f '=0即a －3＋a ＋1=0 ∴a=1 （4分）这时)(x f '=x 2－3x ＋2=(x －1)(x －2)经检验f(x)在x=1处取得极大值，符合条件 ∴a=1 （6分）⑵由已知ax 2－3x ＋a ＋1>x 2－x －a ＋1对任意a ),0(+∞∈都成立 ∴(x 2＋2)a －x 2－2x>0设g(a)= (x 2＋2)a －x 2－2x ∵x 2＋2>0 ∴g(a)是a 的一次增函数（8分） 要使(x 2＋2)a －x 2－2x>0对任意a ),0(+∞∈都成立， 只须g(0)≥0（10分）即－x 2－2x ≥0 x(x ＋2)≤0∴－2≤x ≤0 ∴x 的取值范围为－2≤x ≤0 （12分）22、解：⑴∵a n =2a n －1＋2n (n ≥2)∴1221222111=-⇒+=---n n n n n n n n a a a a ∴}2{nn a 为等差数列，首项为1211=a ，公差d=1 (4分)⑵由⑴得n n a nn =⨯-+=1)1(12∴n n n a 2⋅= (6分)∴S n =1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n2S n =1·22＋2·23＋3·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n+1 两式相减得：－S n =21＋22＋23＋…＋2n －n ·2n+1=1221)21(2+⋅---n n n ∴S n =2－2n+1＋n ·2n+1=(n －1)·2n+1＋2 (9分)⑶021212>⋅-=-=nn n n n a n b ∴112)1(12++⋅++=n n n n b ∴)12(222)1()12()12(221-++=⋅+⋅-⋅+=+n n n n n n n n b b n n (11分) 又∵2(2n 2＋n －1)－(2n 2＋n)=2n 2＋n －2当n ≥1时，2n 2＋n －2>0 ∴2(2n 2＋n －1)>2n 2＋n>0 ∴11<+nn b b 即b n ＋1<b n ∴{b n }为递减数列(14分)。