【2019-2020】高考数学二轮复习小题专项练习(七)不等式文
2019高考数学二轮学科素养 专题7 不等式 Word版含答案
专题7 不等式组时，原不等式的解集为，小于0 ]道题目代数证明方法很多，就不一一列．）的距离的平方整数的点，则整的取值范围．的最小值．1316＋（m的值恒大于零，x＝1．【答案】D2．【答案】B【解析】原不等式为（x –a ）（x –1）≤0，当a <1时，不等式的解集为[a ，1]，此时只要a ≥–4即可，即–4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3．综上可得–4≤a ≤3．故选B ． 3．【答案】（–∞，4）【解析】若x >0，则–x <0，则f （–x ）＝bx 2＋3x ．因为f （x ）为奇函数，所以f （–x ）＝–f （x ），即bx 2＋3x ＝–x 2–ax ，可得a ＝–3，b ＝–1，所以f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x ＜0.当x ≥0时，由x 2–3x ＜4解得0≤x ＜4；当x ＜0时，由–x 2–3x ＜4解得x ＜0，所以不等式f （x ）＜4的解集为（–∞，4）．5．【答案】B【解析】作出可行域如图所示，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x –y ＝0与x ＋y –4＝0的交点（1，3）时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2–2x –2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝–12，故–12≤z ≤2，故选B ．6．【答案】B【解析】约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：ax ＋y ＝0，过点（1，1）作l 的平行线l ′，要满足题意，则直线l ′的斜率介于直线x ＋2y –3＝0与直线y ＝1的斜率之间，因此，–12<–a <0，即0<a <12．故选B ．7．【答案】13[1,]78．【答案】–1【解析】不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点（1，1），（0，0），（1，0），（2，0）；当a ＝–1时，增加了（–1，–1），（0，–1），（1，–1），（2，–1），（3，–1）共5个整点，此时，整点的个数共9个，故整数a ＝–1．9．【答案】1122--，【解析】由于210ax bx ++>的解集为{}21x x -<<，所以–2和1是方程2100ax bx a ++=≠（）的两根．由根与系数的关系，得21121b aa ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，．解得12a b ==-． 10．【解析】设2()2g x x x =+．∵()0f x >，∴2222x x a a +>-．要使()0f x >在[1,)+∞上恒成立，只需要2()2g x x x =+在[1,)+∞上的最小值大于22a a -即可．∵2()2g x x x =+在[1,)+∞上是单调递增的，∴min ()(1)3g x g ==．∴223a a -<，解此一元二次不等式，得13a -<<．∴实数a 的取值范围是13a -<<．12．【解析】假设存在实数k 符合题设，∵()f x 在(,1]-∞上是减函数∴22sin sin 1k x k x --剟．∵22sin 1k x -?，即221sin k x -?对一切x ∈R 恒成立，且2sin 0x …， ∴210k -…，∴11k-剟．①由22sin sin k x k x --…，得2211(sin )24x k k --+…，则2211(sin )42k k x -+-…对一切x ∈R 恒成立．∵21(sin )2x -的最大值为94，∴21944k k -+…，解得1k -…或2k …．②由①②，知1k =-为符合题意的实数． 13．【答案】A【解析】令f （x ）＝x 2–4x ＝（x –2）2–4，在（0，1]上为减函数，当x ＝1时，f （x ）最小值＝–3，所以m ≤ –3．故选A ．14．【解析】设2sin t x =，4()f t t t=+，则(0,1]t ∈， 而()f t 在(0,1]上为单调递减函数，所以当1t =时，()f t 有最小值，min ()5f t =．所以4()5f t t t =+…，即224sin 5sin x x+…． 15．【解析】设2()(2)f a x a x =-+，∴220ax x -->，即()0f a >．当0x =时，20->不成立．∴0x ≠．∵20x >，∴函数()f a 为增函数，∴要使()0f a >在[]12a ∈，上恒成立， 只需[]min ()0f a >，即10f >（），∴220x x -->，∴12x x -＜或＞． ∴x 的取值范围为{}12|x x x -＜或＞．。
(共4套)2019年高考数学章节练习题集第7章不等式.doc
第七章不等式也第［讲不等关系与不等式.docx生第2讲一元二次不等式及其解法.docx岂第3讲二元一次不等式（组）与简单的…鸣第4讲基本不等式.docx第1讲不等关糸与不等式一、选择题1.已知a = log2 3.6, b = log4 3.2, c = log4 3.6,则（）A. a> h> cB. a>c>bC. h> a> cD. c>a>b解析因为a〉l,b,c都小于1且大于0,故排除C,D;又因为处都是以4为底的对数,真数大，函数值也大，所以b<c,故选B.答案B2.设0<ZKXl,则下列不等式成立的是（）A.臼B. log〕方〈log〕日〈02 2C・ 2\2X2 D・解析取臼=*, 〃=扌验证可得.答案C3.已知下列四个条件：①b>0>o,②0>a>b,③a>Q>b,④a>b>0,能推出菇*成立的有（）.A.1个B. 2个C. 3个D. 4个解析运用倒数性质，由a>b, ah>0可得知,②、④正确.又正数大于负数，①正确，③错误，故选C.答案C4.如果a, b, c 满足c<h<a ,且dcvO,那么下列选项中不一定成立的是（ ）•=0时C 不正确•答案c答案D6. 若°、“均为不等于零的实数，给出下列两个条件.条件甲：对于区间r-i,o ］ 上的一切x 值，ax+b>0恒成立；条件乙：2b-a>o,则甲是乙的（）•A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析当［— 1,0］时，恒有ax+h>0成立， /.当 a>0 时，ax+b^b —a>0,当 a<0 时，ax+b^b>0, ：・b —a>0,方>0, /.2b —a>0,A• ab>ac B. c(b —a)>Q C. cb 2<ab 2D. dC (Q —C )<0解析由题意知c<0, tz>0,则A 一定正确; 一定正确；D 一定正确；当h 5・ 若臼>0, b>0,则不等式一b<~<a 等价于（ )•A •-詁V0或0仝B.C. XV —丄或心a bD.解析由题意知日>0, 〃>0, ⑴当 x> 0 时，—b<~< a^x>~； X ⑵当*0时，—£综上所述，不等式-1 Q-. a・••甲乍乙，乙推不岀甲，例如：o=|b, b>0时，则2b_a=gb>0,但是，当兀=一1 时，a-（—\）+b=—^h+h=—^h<0,・・・甲是乙的充分不必要条件.答案A二、填空题7.若&<如b&b，则日0 +臼2矗与臼厶+日2力1的大小关系是 _____ ・解析（日1方1 +辺乙）—（日厶+辺方1） = （&] —辺）（方1 —乙）>0・答案日]方1 +日厶>日厶+日2方18.现给出三个不等式：①/+1>2°；②^1 2+Z?2>2^-/7-|j； ®V7+Vio>V3+Vi4.其中恒成立的不等式共有_______ 个.解析因为/ —2d+1 =（Q—1）2$0,所以①不恒成立；对于②，圧+尸一2G +2b+3 = （a—l『+（b+1尸+1>0,所以②恒成立；对于③，因为（羽+{15）2—（寸5 +寸忆）2=2顾一2屈>0,且V7+Vio>o,羽+回>0,所以萌+PT5W + V14，即③恒成立.答案29.已知一1W/+応4,且2W/—応3,贝ij Z=2L3y的取值范围是 _______________ （用区间表示）.1 5解析z= —-O+ y） +~ （x—y）,1 5.•・3W—Jx+y）W8,・・・zG [3,8].答案[3,8]10.给出下列四个命题：①若a>b>0,则+>*；②若a>b>0,则a—*>/?—*；③若a>h>0f则:豐寫;④ 设a, b 是互不相等的正数，贝血一切+±22.其中正确命题的序号是 _______ （把你认为正确命题的序号都填上）.解析 ①作差可得十一律=守，而。
2020届高考数学(理)二轮强化专题卷(7)不等式+Word版含答案
（7）不等式1、设0.22log 0.3,log 0.3a b ==,则( ) A.0a b ab +<< B.0ab a b <+< C.0a b ab +<<D.0ab a b <<+2、若实数0a b <<，则下列不等式中正确的是（ ）A.11a b <B. b a >C. 2a bb a +> D. 2ab b <3、若,a b c d >>，则下列不等式不一定成立．．．．．的是（ ） A.a b d c ->- B.a b d c +>+ C.a c b c ->-D.a c a d -<- 4、不等式2340x x -++<的解集为（ ） A.{}1|4x x -<< B.1{}4|x x x <->或 C.4{}1|x x x <->或D.{}4|1x x -<<5、不等式2(2)(2)10a x a x -+-+>对一切R x ∈恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.[)2,6B.(2,6)C.(],2(6,)-∞⋃+∞D.(,2)(6,)-∞⋃+∞6、不等式111x ≤-的解集为( ) A.()[),12,-∞⋃+∞B. (](),01,-∞⋃+∞C. (]1,2D. [)2,+∞7、如果对于正数a ,满足35a a >,那么( )A. 2< B. 0.10.2a a <C. a a <D. 0.10. 2a a -->8、已知,x y 满足10240220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，如果目标函数1y z x m +=-的取值范围为[0,2),则实数m 的取值范围是（ ）A ．1[0,]2B ．1(,]2-∞C ．1(,)2-∞D ．(,0]-∞9、所有，未经书面同意，不得复制发布设x y ，满足约束条件210100x y x y m --≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数2z x y ＝﹣的最小值大于-5，则m 的取值范围为（ ）A ．11(1,)3- B ．11(3,)3- C ．[3,2)- D ．(,2)-∞10、若两个正实数x y 、，满足141x y +=，且不等式234yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围是( ) A.()1,4-B.()(),14,-∞-⋃+∞C.()4,1-D.()(),03,-∞⋃+∞11、已知,,,a b c d 均为实数,有下列命题:①若0,0ab bc ad >->,则0c da b->;②若0,0c dab a b>->,则0bc ad ->;③若0,0c dbc ad a b->->,则0ab >.其中正确的命题是_________.12、若函数2()lg(2)f x ax x a =-+的定义域为R ,则实数a 的取值范围为__________. 13、已知14x>0y>0x+y=+x y，，，则x+y 的最小值为__________.14、某加工厂用某原料由甲车间加下A 产品,由乙车间加工B 产品.甲车间用一箱原料可加工出7千克A 产品,需耗费工时10小时,每千克A 产品获利40元;乙车间用一箱原料可加工出4千克B 产品, 需耗费工时6小时,每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时,那么要满足上述的要求,并且获利最大,甲、乙两车间应当各加工多少箱原料? 15、已知二次函数2()1(R)f x x kx k =-+∈．(1).若()f x 在区间[2)+∞，上单调递增，求实数k 的取值范围； (2).若2k =，当[1,1]x ∈-时，求(2)x f 的最大值；(3).若()0f x ≥在(0)x ∈+∞，上恒成立，求实数k 的取值范围答案以及解析1答案及解析： 答案：B解析：∵0.22log 0.3,log 0.3a b ==,∴0.30.311log 0.2,log 2a b ==, ∴0.311log 0.4a b +=, ∴1101a b <+<,即01a b ab+<<.又∵0,0a b ><, ∴0ab <,即0ab a b <+<. 故选B.2答案及解析： 答案：C解析：令1b =-，2a =-，则C 正确，A ，B ，D 错误。
【2019-2020】高考数学二轮复习专题七选考系列第2讲不等式选讲练习
【2019-2020】高考数学二轮复习专题七选考系列第2讲不等式选讲练习高考定位 本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的最值及求含参数的绝对值不等式中的参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示.(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.2.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝－x 2＋x ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >1，2，－1≤x ≤1，－2x ，x <－1.①当x >1时，f (x )≥g (x－x 2＋x ＋4≥2x ， 解之得1<x ≤17－12. ②当－1≤x ≤1时，f (x )≥g (xx －2)(x ＋1)≤0， 则－1≤x ≤1.③当x <－1时，f (x )≥g (xx 2－3x －4≤0，解得－1≤x ≤4， 又x <－1，∴不等式此时的解集为空集.综上所述，f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤17－12. (2)依题意得：－x 2＋ax ＋4≥2在[－1，1]上恒成立.则x 2－ax －2≤0在[－1，1]上恒成立.则只需⎩⎪⎨⎪⎧12－a ·1－2≤0，（－1）2－a （－1）－2≤0，解之得－1≤a ≤1. 故a 的取值范围是[－1，1].考 点 整 合1.绝对值不等式的性质定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立.定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立.2.|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法(1)|ax ＋b |≤c －c ≤ax ＋b ≤c .(2)|ax ＋b |≥c ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .3.|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义直观求解.(2)利用零点分段法求解.(3)构造函数，利用函数的图象求解.4.基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立.定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立.定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立. 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立.热点一 绝对值不等式的解法【例1】 (2018·衡水中学质检)已知函数f (x )＝|2x －2|＋|x ＋3|.(1)求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )>1x＋a 的解集包含[2，3]，求实数a 的取值范围. 解 (1)依题意得|2x －2|＋|x ＋3|≥3x ＋2，当x <－3时，原不等式可化为2－2x －x －3≥3x ＋2，解得x ≤－12，故x <－3； 当－3≤x ≤1时，原不等式可化为2－2x ＋x ＋3≥3x ＋2，解得x ≤34，故－3≤x ≤34； 当x >1时，原不等式可化为2x －2＋x ＋3≥3x ＋2，无解.综上所述，不等式f (x )≥3x ＋2的解集为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34. (2)依题意，|2x －2|＋|x ＋3|>1x＋a 在[2，3]上恒成立， 则3x ＋1－1x>a 在[2，3]上恒成立. 又因为g (x )＝3x ＋1－1x在[2，3]上为增函数，所以有3×2＋1－12>a ，解得a <132. 故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，132. 探究提高 1.含绝对值的函数本质上是分段函数，绝对值不等式可利用分段函数的图象的几何直观性求解，体现了数形结合的思想.2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤：求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集.此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观求解.【训练1】 (2018·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若f (x )≤1，求a 的取值范围.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1<x ≤2，－2x ＋6，x >2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}.(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.又|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立.故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).热点二 不等式的证明【例2】 (2017·全国Ⅱ卷)已知实数a >0，b >0，且a 3＋b 3＝2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4；(2)a ＋b ≤2.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3（a ＋b ）24·(a ＋b )＝2＋3（a ＋b ）34， 所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.探究提高 1.证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法和反证法，其中比较法和综合法是基础，综合法证明的关键是找到证明的切入点.2.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法.【训练2】 (2018·济南调研)已知函数f (x )＝|x －1|.(1)解不等式f (x )＋f (2x ＋5)≥x ＋9；(2)若a >0，b >0，且1a ＋4b ＝2，证明：f (x ＋a )＋f (x －b )≥92，并求f (x ＋a )＋f (x －b )＝92时，a ，b 的值.解 (1)f (x )＋f (2x ＋5)＝|x －1|＋|2x ＋4|≥x ＋9，当x ≤－2时，不等式为4x ≤－12，解得x ≤－3，故x ≤－3，当－2<x <1时，不等式为5≥9，不成立；当x ≥1时，不等式为2x ≥6，解得x ≥3，故x ≥3，综上所述，不等式的解集为(－∞，－3]∪[3，＋∞).(2)f (x ＋a )＋f (x －b )＝|x ＋a －1|＋|x －b －1|≥|x ＋a －1－(x －b －1)|＝|a ＋b |＝a ＋b (a >0，b >0).又1a ＋4b＝2， 所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2b ＝52＋b 2a ＋2a b≥52＋2b 2a ·2a b ＝92， 当且仅当b 2a ＝2a b，即b ＝2a 时“＝”成立； 由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，1a ＋4b ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.综上所述，f (x ＋a )＋f (x －b )≥92， 当f (x ＋a )＋f (x －b )＝92时，a ＝32，b ＝3. 热点三 绝对值不等式恒成立(存在)问题【例3】 (2017·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围.解 (1)f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.由f (x )≥1可得①当x ≤－1时显然不满足题意；②当－1<x <2时，2x －1≥1，解得x ≥1，则1≤x <2；③当x ≥2时，f (x )＝3≥1恒成立，∴x ≥2.综上知f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}.(2)不等式f (x )≥x 2－x ＋m 等价于f (x )－x 2＋x ≥m ，令g (x )＝f (x )－x 2＋x ，则g (x )≥m 解集非空只需要[g (x )]max ≥m .由(1)知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x －3，x ≤－1，－x 2＋3x －1，－1<x <2，－x 2＋x ＋3，x ≥2.①当x ≤－1时，[g (x )]max ＝g (－1)＝－3－1－1＝－5；②当－1<x <2时，[g (x )]max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋3·32－1＝54； ③当x ≥2时，[g (x )]max ＝g (2)＝－22＋2＋3＝1.综上，[g (x )]max ＝54，故m ≤54. 所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54. 探究提高 1.不等式恒成立问题，存在性问题都可以转化为最值问题解决.2.本题分离参数m ，对含绝对值符号的函数g (x )分段讨论，求出g (x )的最大值，进而求出m 的取值范围，优化解题过程.【训练3】 (2018·郑州调研)设函数f (x )＝|x ＋a |＋2a .(1)若不等式f (x )≤1的解集为{x |－2≤x ≤4}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若不等式f (x )≥k 2－k －4恒成立，求实数k 的取值范围.解 (1)因为|x ＋a |＋2a ≤1，所以|x ＋a |≤1－2a ，所以2a －1≤x ＋a ≤1－2a ，所以a －1≤x ≤1－3a .因为不等式f (x )≤1的解集为{x |－2≤x ≤4}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝－2，1－3a ＝4，解得a ＝－1. (2)由(1)得f (x )＝|x －1|－2.不等式f (x )≥k 2－k －4恒成立，只需f (x )min ≥k 2－k －4，所以－2≥k 2－k －4，即k 2－k －2≤0，所以k 的取值范围是[－1，2].1.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法、几何法(利用绝对值几何意义)、构造函数法.前者体现了分类讨论思想，后者体现了数形结合思想的应用.2.利用绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |求函数最值，要注意其中等号成立的条件，利用基本不等式求最值也必须满足等号成立的条件.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.3.分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.1.(2018·湖南六校联考)已知函数f (x )＝|2x ＋3|－|1－2x |.若存在x ∈R ，使得f (x )>|3a －1|成立，求实数a 的取值范围.解 ∵f (x )＝|2x ＋3|－|1－2x |≤|(2x ＋3)＋(1－2x )|＝4.画出f (x )的图象，如图所示：∴f (x )max ＝4.若存在x ∈R ，使得f (x )>|3a －1|成立.∴|3a －1|<4，解之得－1<a <53，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－1，53. 2.设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ； (2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件.证明 (1)∵a ，b ，c ，d 为正数，且a ＋b ＝c ＋d ， 要证a ＋b >c ＋d ，只需证明(a ＋b )2>(c ＋d )2，也就是证明a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd ， 只需证明ab >cd ，即证ab >cd .由于ab >cd ，因此a ＋b >c ＋d .(2)必要性：若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .∵a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .由(1)得a ＋b >c ＋d . 充分性：若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2，∴a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd .∵a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |<|c －d |. 综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件.3.(2018·南宁联考)已知函数f (x )＝|x －1|.(1)求不等式f (x )≥3－2|x |的解集； (2)若函数g (x )＝f (x )＋|x ＋3|的最小值为m ，正数a ，b 满足a ＋b ＝m ，求证：a 2b ＋b 2a≥4. (1)解 当x ≥1时，x －1≥3－2x ，解得x ≥43，故x ≥43； 当0<x <1时，1－x ≥3－2x ，解得x ≥2，无解；当x ≤0时，1－x ≥3＋2x ，解得x ≤－23，故x ≤－23. ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥43或x ≤－23. (2)证明 ∵g (x )＝|x －1|＋|x ＋3|≥|(x －1)－(x ＋3)|＝4，∴m ＝4，则a ＋b ＝4.又a 2b ＋b ≥2a ，b 2a＋a ≥2b ， ∴两式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋a ≥2a ＋2b ， ∴a 2b ＋b 2a≥a ＋b ＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时等号成立.4.(2018·全国Ⅰ卷)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0，1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.则当x ≥1时，f (x )＝2>1恒成立，所以x ≥1；当－1<x <1时，f (x )＝2x >1，所以12<x <1； 当x ≤－1时，f (x )＝－2<1.故不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12. (2)当x ∈(0，1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0，1)时|ax －1|<1成立. 若a ≤0，则当x ∈(0，1)时，|ax －1|≥1；若a >0，|ax －1|<1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x <2a ， 所以2a≥1，故0<a ≤2. 综上，a 的取值范围为(0，2].5.(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12， M 为不等式f (x )<2的解集.(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2， 解得x >－1，所以－1<x ≤－12； 当－12<x <12时，f (x )<2恒成立. 当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2， 解得x <1，所以12<x <1. 所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}.(2)证明 由(1)知，a ，b ∈(－1，1)，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1 ＝(a 2－1)(1－b 2)<0，所以(a ＋b )2<(1＋ab )2，因此|a ＋b |<|1＋ab |. 6.(2018·武汉二模)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1x ，a 为实数. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>4的解集；(2)求f (a )的最小值.解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )>4，即f (x )＝|x ＋1|＋|x －1||x |>4， ①当x <－1时，得f (x )＝2>4，无解；②当x ∈[－1，0)∪(0，1]时，得f (x )＝2|x |>4， 即|x |<12，解得－12<x <0或0<x <12； ③当x >1时，得f (x )＝2>4，无解；综上不等式f (x )>4的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)f (a )＝|a 2＋1|＋|a 2－1||a |＝a 2＋1＋|a 2－1||a |，①当a <－1或a >1时，f (a )＝2a 2|a |＝2|a |>2， ②当－1≤a ≤1且a ≠0时，f (a )＝2|a |≥2， 综上知，f (a )的最小值为2.7.已知定义在R 上的函数f (x )＝|x －m |＋|x |，m ∈N *，若存在实数x 使得f (x )<2成立.(1)求实数m 的值；(2)若α，β>1，f (α)＋f (β)＝6，求证：4α＋1β≥94. (1)解 因为|x －m |＋|x |≥|x －m －x |＝|m |，要使|x －m |＋|x |<2有解，则|m |<2，解得－2<m <2.∵m ∈N *，∴m ＝1.(2)证明 α，β>1，f (α)＋f (β)＝2α－1＋2β－1＝6，∴α＋β＝4，∴4α＋1β＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋1β(α＋β) ＝14⎝⎛⎭⎪⎫5＋4βα＋αβ≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24βα·αβ＝94， 当且仅当4βα＝αβ， 即α＝83，β＝43时“＝”成立， 故4α＋1β≥94. 8.(2018·江南十校联考)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|2x ＋1|，a ∈R .(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≤1的解集；(2)设关于x 的不等式f (x )≤－2x ＋1的解集为P ，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－14P ，求a 的取值范围.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋a |＋|2x ＋1|＝|x ＋1|＋|2x ＋1|，f (x x ＋1|＋|2x ＋1|≤1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－x －1－2x －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <－12，x ＋1－2x －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－12，x ＋1＋2x ＋1≤1.即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，x ≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <－12，x ≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－12，x ≤－13. 解得x ＝－1或－1<x <－12或－12≤x <－13. 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤－13. (2)依题意，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－14时，不等式f (x )≤－2x ＋1， 即|x ＋a |＋|2x ＋1|≤－2x ＋1在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－14上恒成立， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12时，|x ＋a |－2x －1≤－2x ＋1， 即|x ＋a |≤2，所以－2－x ≤a ≤2－x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12恒成立， 所以(－2－x )max ≤a ≤(2－x )min ，即－1≤a ≤52. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－14时，|x ＋a |＋2x ＋1≤－2x ＋1， 即|x ＋a |≤－4x .所以3x ≤a ≤－5x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－14恒成立. 所以(3x )max ≤a ≤(－5x )min ，即－34≤a ≤54. 综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，54.。
高考数学二轮复习之专练二中档小题(七)
中档小题(七)1．下列函数中，不满足f (1x)＝－f (x )的是( )A ．f (x )＝1－x1＋x (x ≠－1且x ≠0)B ．f (x )＝x ＋1x －1(x ≠1且x ≠0)C ．f (x )＝log 2x (x >0)D ．f (x )＝x 2(x ≠0)2．一个半径为2的球体经切割后，剩余部分的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．8πB ．16πC ．12πD ．18π3．已知a ，b 为两条不同直线，α为一平面，则命题“直线a ⊥平面α，∀b ⊂α，a 与b 垂直”的否定是( )A ．直线a ⊥平面α，∀b ⊂α，a 与b 不垂直B ．直线a ⊥平面α，∃b 0⊂α，a 与b 0不垂直C ．直线a ⊥平面α，∃b 0⊂α，a 与b 0垂直D ．直线a ⊥平面α，a 与b 垂直，b ⊄α 4．(2013·江西省高三上学期七校联考)设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝( )A ．150B ．－200C ．150或－200D ．400或－505．已知圆C 的圆心是双曲线x 2－y23＝1的右焦点，且与双曲线的渐近线相切，则该圆的方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝1B ．x 2＋(y －2)2＝3C ．(x －2)2＋y 2＝3D ．x 2＋(y －3)2＝26．(2013·吉林省长春市高中毕业班第一次调研测试)关于函数f (x )＝sin(2x ＋π4)与函数g (x )＝cos(2x －3π4)，下列说法正确的是( )A ．函数f (x )和g (x )的图象有一个交点在y 轴上B ．函数f (x )和g (x )的图象在区间(0，π)内有3个交点C ．函数f (x )和g (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．函数f (x )和g (x )的图象关于原点(0，0)对称 7．(2013·湖北省武汉市高中毕业生调研测试)样本(x 1，x 2，…，x m )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y n )的平均数为y (x ≠y )．若样本(x 1，x 2，…，x m ，y 1，y 2，…，y n )的平均数z ＝αx＋(1－α)y ，其中0<α≤12，则m ，n 的大小关系为( )A ．m <nB ．m ≤nC ．m >nD ．m ≥n 8．(2013·高考湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( )A.2－1B. 2C.2＋1D.2＋2 9．(2013·洛阳市高三年级统一考试)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为( )A.53B.83C.103D ．10 10．把正奇数数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，…，依次循环的规律分为(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13)，(15，17)，(19，21，23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为( )A ．98B ．197C ．390D ．39211．向平面区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}内随机投入一点，则该点落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0内的概率等于________．12．某市为增强市民节约粮食的意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25)，第2组[25，30)，第3组[30，35)，第4组[35，40)，第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．若用分层抽样的方法从第3，4，5组中共抽取12名志愿者参加10月16日的“世界粮食日”宣传活动，则从第4组中抽取的人数为________．13．已知一圆柱内接于球O ，且圆柱的底面直径与母线长均为2，则球O 的表面积为________．14．(2013·石家庄市高中毕业班复习教学质量检测(二))在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为BC 的中点，若F 为该矩形内(含边界)任意一点，则AE →²AF →的最大值为________．备选题1．在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，则AB 的长为( )A ．2 3B ．3 5C ．5 6D ．7 2 2．(2013·湖北省八校高三第二次联考)定义：平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度相同)称为平面斜坐标系．在平面斜坐标系xOy 中，若OP →＝x e 1＋y e 2(其中e 1，e 2分别是斜坐标系x 轴，y 轴正方向上的单位向量，x ，y ∈R ，O 为坐标系原点)，则有序数对(x ，y )称为点P 的斜坐标．在平面斜坐标系xOy 中，若∠xOy ＝120°，点C 的斜坐标为(2，3)，则以点C 为圆心，2为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＋6y ＋9＝0C ．x 2＋y 2－x －4y －xy ＋3＝0D ．x 2＋y 2＋x ＋4y ＋xy ＋3＝03．已知函数y ＝f (x )的图象是开口向下的抛物线，且对任意x ∈R ，都有f (1－x )＝f (1＋x )，若向量a ＝(log 12m ，－1)，b ＝(1，－2)，则满足不等式f (a ·b )<f (－1)的实数m 的取值范围是________．4．现有一根n 节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm ，最下面的三节长度之和为114 cm ，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n ＝________．答案1．【解析】选D.本题可通过依次检验选项是否满足f (－x )＝1f （x ）得到D 选项不满足；也可赋值令x ＝1得f (1)＝0；令x ＝－1得f (－1)＝0，而对于函数f (x )＝x 2，f (±1)＝1，故选D.2．【解析】选B.该几何体是从一个球体中挖去14个球体后剩余的部分，所以该几何体的表面积为34³4³π³22＋π³22＝16π.3．【解析】选B.该命题的否定是“直线a ⊥平面α，∃b 0⊂α，a 与b 0不垂直”． 4．【解析】选A.依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30；又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 40＝10＋20＋40＋80＝150.5．【解析】选C.由题意可知双曲线的右焦点的坐标为(2，0)，渐近线为3x ±y ＝0，所以r ＝23（3）2＋1＝3，所以圆的方程是(x －2)2＋y 2＝3. 6．【解析】选D.y ＝cos(2x －3π4)＝cos(2x －π4－π2)＝cos[π2－(2x －π4)]＝sin(2x －π4)与y ＝sin(2x ＋π4)的图象关于原点对称．7．【解析】选B.由题意可得x ＝x 1＋x 2＋…＋x mm，y ＝y 1＋y 2＋…＋y n n，z ＝x 1＋x 2＋…＋x m ＋y 1＋y 2＋…＋y n m ＋n ＝mx ＋ny m ＋n ＝m m ＋n x ＋n m ＋n y ，则0<α＝m m ＋n ≤12，∴m ≤n .故选B.8．【解析】选C.∵a ，b 是单位向量，∴|a |＝|b |＝1. 又a ·b ＝0，∴a ⊥b ，∴|a ＋b |＝ 2. ∴|c －a －b |2＝c 2－2c ·(a ＋b )＋2a ·b ＋a 2＋b 2＝1.∴c 2－2c ·(a ＋b )＋1＝0， ∴2c ·(a ＋b )＝c 2＋1.∴c 2＋1＝2|c ||a ＋b |cos θ(θ是c 与a ＋b 的夹角)． ∴c 2＋1＝22|c |cos θ≤22|c |.∴c 2－22|c |＋1≤0. ∴2－1≤|c |≤2＋1.∴|c |的最大值为2＋1. 9．【解析】选B.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1>0，x 2>0.过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝3（x 2＋1）x 1x 2＝y 214²y 224＝（y 1y 2）216＝1，解得x 1＝3，x 2＝13，故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于x 1＋x 22＋1＝83.10．【解析】选D.将三个括号作为一组，则由50＝16³3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数．又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列{2n －1}的第16³6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n －1}的第16³6＋2＝98项，即为2³98－1＝195，第二个数为2³99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.11．【解析】如图所示落在阴影部分内的概率为14π.【答案】14π12．【解析】根据图形可知第3，4，5组的频率成等差数列，故各组抽取的人数也成等差数列，所以从第4组抽取了123＝4人．【答案】4 13．【解析】该组合体的轴截面如图，可得球的半径为2，其表面积为4π(2)2＝8π.【答案】8π14．【解析】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则E (2，12)，设F (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤20≤y ≤1，AE →²AF →＝2x ＋12y ，令z ＝2x ＋12y ，当z ＝2x ＋12y 过点(2，1)时，AE →²AF →取最大值92.【答案】92备选题1．【解析】选C.如图，在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ²DC ＝100＋36－1962³10³6＝－12，所以∠ADC ＝120°，故∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B ，所以AB ＝AD ²sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10³3222＝5 6.2．【解析】选C.设圆上任一点P (x ，y )，则CP →＝(x －2)e 1＋(y －3)e 2，|CP →|2＝(x －2)2＋2(x－2)(y －3)e 1²e 2＋(y －3)2＝(x －2)2＋2(x －2)(y －3)(－12)＋(y －3)2＝4，故所求方程为x 2＋y 2－x －4y －xy ＋3＝0.3．【解析】因为函数y ＝f (x )的图象是开口向下的抛物线，且对任意x ∈R ，都有f (1－x )＝f (1＋x )，所以函数y ＝f (x )为开口向下、以x ＝1为对称轴的二次函数，所以f (－1)＝f (3)．又因为a ·b ＝log 12m ＋2，所以不等式f (a ·b )<f (－1)即为不等式log 12m ＋2<－1或log 12m ＋2>3，解得m >8或0<m <12.【答案】(0，12)∪(8，＋∞)4．【解析】设自上而下各节的长度组成等差数列{a n }，则a 1＝10，a n －2＋a n －1＋a n ＝114，a 1a n ＝a 26.设等差数列的公差为d (d ≠0)，则3a 1＋(3n －6)d ＝114，a 21＋(n －1)a 1d ＝a 21＋10a 1d ＋25d 2，即10＋(n －2)d ＝38，(n －11)³10＝25d ，即(n －2)d ＝28，(n －11)³2＝5d ，两式相乘得(n －2)·(n －11)＝70，解得n ＝16.【答案】16。
2020学年高考数学(理)二轮复习解题方法与技巧训练(7)不等式 Word版含答案
（7）不等式1、若0a b <<，则下列不等式中不成立的是（ ）A ．||||a b >B ．11a b a >-C ．11a b >D ．22a b >2、已知实数,,a b c 满足22643,44b c a a c b a a +=-+-=-+,则,,a b c 的大小关系是( )A.c b a ≥>B.a c b >≥C.c b a >>D.a c b >>3、设()22M a a =-，()()13N a a =+-，则有（ ）A ．M N >B ．M N ≥C ．M N <D ．M N ≤ 4、不等式2230x x --<的解集是（ ）A ．(3,1)- B.(1,3)- C.(,1)(3,)-∞-⋃+∞ D.(,3)(1,)-∞-⋃+∞5、已知不等式250ax x b ++>的解集是3|}2{x x <<，则不等式250bx x a +>-的解集是（ ）A.{3|x x <-或}2x >-B.1{|2x x <-或1}3x >- C.11{|}23x x -<<- D.2{|}3x x <<--6、已知函数21,0,(),0,x x x f x e x -⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若对任意[1,1]x ∈-,不等式2[(12)42][()]a f a x a f x --+≥恒成立,其中0a >,则a 的取值范围是( ) A.1(0,]3 B.1[,)2+∞ C.3[,)7+∞ D.13[,]377、设实数,x y 满足约束条件03,04,26,x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩剟剟…则3z x y =+的最大值为( )A. 7B.9C. 13D. 158、若实数x ，y 满足约束条件22220x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则2y x +的取值范围为( ).A.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.[]1,1,2⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦UC.[]0,1D.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦9、已知0,0x y >>,且3622x y+=.若247x y m m +>-恒成立,则m 的取值范围为( ) A.{}|34m m << B.{}|43m m -<<C.{}|34m m m <>或D.{}|43m m m <->-或 10、已知0,0,2a b a b >>+=,则14y a b =+的最小值是( ) A.72 B.4 C.92 D.511、若实数,a b 满足0a b +<,则不等式0x a b x+<-的解集为___________. 12、若不等式组5002x y y a x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个三角形,则a 的取值范围是______．13、设0,0a b >>,给出下列不等式:①21a a +>;②114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭;③11()4a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭;④296a a +>.其中恒成立的是_________(填序号).14、已知正数a ，b 满足1ab a b =++，则2a b +的最小值为 _______ ．15、已知x 、y 满足条件7523,7110,4100.x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩求：(1)43z x y =-的最大值和最小值； (2)8-5y x +的最大值和最小值； (3)22x y +的最大值和最小值.答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：2答案及解析：答案：A解析：因为244c b a a -=-+,即2(2)0c b a -=-≥,所以c b ≥.因为22643,44b c a a c b a a +=-+-=-+,两式相减得2222b a =+,即21b a =+,所以22131024b a a a a ⎛⎫-=-+=-+> ⎪⎝⎭,所以b a >.综上可得c b a ≥>,故选A.3答案及解析：答案：A解析：4答案及解析：答案：B解析：5答案及解析：答案：C解析：6答案及解析：答案：B解析：由题可知函数()f x 在R 上单调递减，且222[()]()a ax f x e f ax -==，则不等式2[(12)42][()]a f a x a f x --+≥可化为2[(12)42]()f a x a f ax --+≥，即2(12)42ax a a x --+≤对[1,1]x ∀∈-恒成立，则max 22()24x a x x +≥++,令2x t +=，则[1,3]t ∈，所以2121424242x t x x t t t t+==++-++-，因为42[2,3]t t+-∈,则111[,]4322t t∈+-，所以12a ≥.7答案及解析：答案：C解析：作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示.由图可知当直线3z x y =+过点(3,4)A 时，z 取最大值13，故选C.8答案及解析：答案：A解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示.目标函数2y x +的几何意义是可行域上的点x y （，）与点20-（，）连线的斜率，由图可得当点20-（，）与点B 22-（，）连线时，斜率最小为12-，当点20-（，）与点A 02（，）连线时，斜率最大为1，所以1122y x -≤≤+。
2019-2020年高考数学二轮复习小题标准练十二文新人教A版
2019-2020年高考数学二轮复习小题标准练十二文新人教A版一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U=R,集合A={0,1,2},B={2,3,4},如图阴影部分所表示的集合为( )A.{2}B.{0,1}C.{3,4}D.{0,1,2,3,4}【解析】选B.根据题意,可知,阴影部分为A∩(B),所以求得的结果为,故选B.2.若复数z=(a∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则复数3-z的共轭复数是( ) A.3+i B.3-iC.3+2iD.2-i【解析】选B.z===是纯虚数,所以a=1,所以z=-i,则3-z=3+i,其共轭复数为3-i.3.已知m∈R,“方程e x+m-1=0有解”是“函数y=log m x在区间(0,+∞)为减函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.因方程e x+m-1=0有解,即1-m=e x有解,所以m-1<0,即m<1,由函数y=log m x在区间(0,+∞)为减函数可得0<m<1,所以“函数y=e x+m-1有零点”是“函数y=log m x在区间(0,+∞)为减函数”的必要不充分条件.4.已知向量a,b满足a+b=(2,4),a-b=(-6,8),则a,b夹角的余弦值为( )A.-B.-C. D.【解析】选B.因为a==(-2,6).b==(4,-2).则a,b的夹角余弦值为cos<a,b>===-.5.数列{a n}为等差数列,a1,a2,a3为等比数列,a6=1,则S n= ( )A.n(n+1)B.n(n-1)C.nD. n+1【解析】选C.设公差为d,由已知得解得所以S n=n.6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A. B. C. D.3【解析】选A.根据几何体的三视图,得该几何体是下部为直三棱柱,上部为三棱锥的组合体,如图所示.则该几何体的体积是V几何体=V三棱柱+V三棱锥=×2×1×1+××2×1×1=.7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2,则的值为( ) A. B. C. D.【解析】选C.因为a2=b2+c2,所以由余弦定理,得=·===.8.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果是( )A.-B.0C. D.336【解析】选C.由框图知输出的结果s=sin+sin+…+sin,因为函数y=sinx的周期是6,所以s=336+sin=336×0+sin=sin=.9.若实数x,y满足则目标函数z=x+2y的取值范围是 ( )A.[0,2]B.[0,1]C.[1,2]D.[-2,1]【解析】选A.作出可行域,由图可知,可行域三个顶点分别为A(0,0), B(-,),C(0,1),将三个点的坐标分别代入目标函数得z=0,z=,z=2,所以目标函数的取值范围为.10.过点P(-2,0)的直线与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,且|PA|=|AB|,则点A到抛物线的焦点的距离为 ( )A. B. C. D.2【解析】选 A.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为|PA|=|AB|,所以又得x1=,则点A到抛物线C的焦点的距离为1+=.11.已知圆C:(x-a)2+(y-a)2=2a2(a>0)及其外一点A(0,2),若圆C上存在点T满足∠CAT=,则实数a的取值范围是 ( )A.(-∞,1)B.[-1,1)C.[-1,1]D.[-1,+∞)【解析】选B.圆的方程(x-a2)+(y-a)2=2a2,圆心C(a,a),半径r=a,所以AC=,TC=a,如图,由于AC,TC长度固定,当T是切点时,∠CAT最大,由题意圆C上存在点T使得∠CAT=,因此最大角大于等于45°,所以=≥sin∠CAT=sin=,整理得a2+2a-2≥0,由于a>0,解得a≥-1.又因为=≤1,解得a≤1,又点A(0,2)为圆C外一点,所以02+22-4a>0,解得a<1,综上可得-1≤a<1.12.若函数f=x2+2kx-lnx在区间上单调递增,则实数k的取值范围是( ).A. B.C. D.【解析】选C.因为f′(x)=x+2k-≥0在上恒成立,即2k≥-x+在上恒成立,因为=,所以2k≥,即k≥.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.某智力游戏现场有5道智力题,其中有3道画图题,2道数字题,小王从中任取2道题解答,所取的两道题都是画图题的概率为____________.【解析】将3道画图题依次编号为1,2,3;将2道数字题依次编号为4,5,任取2道题,基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4), (3,5),(4,5),共10个,而且这些基本事件是等可能的,用A表示“都是画图题”这一事件,则包含的基本事件有(1,2),(1,3),(2,3),共3个,所以P(A)=.答案:14.函数f(x)=sin-sin2x(x∈R)的最大值是________.【解析】根据题意可知f(x)=(sinx+cosx)-2sinxcosx,令sinx+cosx=t∈[-,],则有sin2x=2sinxcosx=t2-1,所以y=1-t2+t=-+,则其是开口向下,对称轴为t=∈[-,]的抛物线,所以当t=时,y max=,即y有最大值为.答案:15.若f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,其定义域是[a-1,2a],则f(x)的最大值为________. 【解析】偶函数的定义域关于原点对称,所以a-1+2a=0,所以a=,并且函数满足f(-x)=f(x),所以b=0,所以函数f(x)=x2+1,当x∈,最大值是当x=±时,y max=.答案:16.已知数列{a n}满足a1=0,a n+1=a n+2+1,则a13=____________.【解析】由a n+1=a n+2+1,可知a n+1=(+1)2,即=+1,所以数列是公差为1的等差数列,=+12,则a13=144.答案:144。
2019-2020年高三数学二轮复习高考小题专攻练2函数不等式导数理新人教版
2019-2020年高三数学二轮复习高考小题专攻练2函数不等式导数理新人教版一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设0<a<b<1,则下列不等式成立的是( )A.a3>b3B.<C.a b>1D.lg(b-a)<0【解析】选D.因为0<a<b<1,由不等式的基本性质可知:a3<b3,故A不正确;>,所以B不正确;由指数函数的图象与性质可知a b<1,所以C不正确;由题意可知b-a∈(0,1),所以lg(b-a)<0,正确.2.设f(x)=则f(f(2))的值为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.f(f(2))=f(log3(22-1))=f(1)=2e1-1=2.3.若函数f(x)=e x-3-x+2a(a>0)有且只有两个零点，则实数a的取值范围是( )A.[0，1]B.(0，1)C.(1，+∞)D.(0，+∞)【解析】选B.因为f(x)=e x-3-x+2a(a>0)，所以f′(x)=e x-3-1，令f′(x)=e x-3-1>0，所以x>3；令f′(x)=e x-3-1<0，所以x<3；所以f(x)min=f(3)=-2+2a.要使函数f(x)=e x-3-x+2a(a>0)有且只有两个零点，则-2+2a<0，所以a<1.又因为a>0，所以0<a<1.4.函数y=ln的图象大致为( )【解析】选D.函数y=ln的定义域为>0,解得x<1,由此排除A和B;当x增大时,也增大,y=ln随着增大,即函数y=ln是增函数,由此排除C.5.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x+1)=，若f(x)在[-1，0]上是减函数，记a=f(log0.52)，b=f(log24)，c=f(20.5)，则( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c【解析】选B.由f(x+1)=得：函数的周期为2.因为f(x)在[-1，0]上是减函数，且f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(x)在[0，1]上是增函数，且图象关于y轴对称，a=f(log0.52)=f(-1)，b=f(log24)=f(2)=f(0)，c=f(20.5)=f()=f(-2).可知：a>c>b.6.实数x,y,k满足z2=x2+y2,若z2的最大值为13,则k的值为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由约束条件作出可行域如图,联立解得:A(k,k+1),由图可知,使z2=x2+y2取得最大值的最优解为A(k,k+1),由k2+(k+1)2=13,解得:k=2.7.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( )A. B.C.(1,2)D.(2,+∞)【解析】选B.由题意可得函数f(x)的图象和函数g(x)的图象有两个交点,如图所示:k OA=,数形结合可得<k<1.8.若曲线y=x2与曲线y=a l nx在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线,则实数a= ( )A.-2B.C.1D.2【解题导引】求出两个函数的导数然后求出公共点的斜率,利用向量相等,由公共点解方程即可求出a的值.【解析】选C.曲线y=x2的导数为:y′=,在P(s,t)处的斜率为:k=.曲线y=alnx的导数为:y′=,在P(s,t)处的斜率为:k=.曲线y=x2与曲线y=alnx在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线,可得=,并且t=s2,t=alns,即解得lns=,解得s2=e.可得a=1.9.设z=x+y,其中x,y满足若z的最大值为xx,则k的值为( )A.2 016B.2 018C.1 007D.1 008【解析】选D.作出不等式组对应的平面区域如图:由z=x+y得y=-x+z,则直线截距最大时,z也最大.平移直线y=-x+z,由图象可知当直线y=-x+z经过点A时,直线y=-x+z的截距最大,此时z最大,为xx,即x+y=xx,由得所以k=1008.10.设定义域为R的函数f(x)=若关于x的方程2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0有五个不同的实数解,则a的取值范围是( )A.(0,1)B.∪C.(1,2)D.∪【解析】选D.因为题中原方程2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0有且只有5个不同实数解,即要求对应于f(x)等于某个常数有3个不同实数解,故先根据题意作出f(x)的简图:由图可知,只有当f(x)=a时,它有三个根.所以有:1<a<2 ①.再根据2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0有两个不等实根,得:Δ=(2a+3)2-4×2×3a>0⇒a≠②.结合①②得:1<a<或<a<2.11.设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2)=0,当x>0时,有<0恒成立,则不等式x2f(x)>0的解集是( )A.(-2,0)∪(2,+∞)B.(-2,0)∪(0,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(0,2)【解析】选D.因为当x>0时,有<0恒成立,即′<0恒成立,所以在(0,+∞)内单调递减.因为f(2)=0,所以在(0,2)内恒有f(x)>0;在(2,+∞)内恒有f(x)<0.又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以在(-∞,-2)内恒有f(x)>0;在(-2,0)内恒有f(x)<0.又不等式x2f(x)>0的解集,即不等式f(x)>0的解集,所以答案为(-∞,-2)∪(0,2).12.f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对∀x∈(0,+∞),都有f(f(x)-lnx)=e+1,则方程f(x)-f′(x)=e的实数解所在的区间是( )A. B.C.(1,e)D.(e,3)【解析】选 C.因为f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对∀x∈(0,+∞),都有f(f(x)-lnx)=e+1,所以设f(x)-lnx=t,则f(t)=e+1,即f(x)=lnx+t,令x=t,则f(t)=lnt+t=e+1,则t=e,即f(x)=lnx+e,函数的导数f′(x)=,则由f(x)-f′(x)=e得lnx+e-=e,即lnx-=0,设h(x)=lnx-,则h(1)=ln1-1=-1<0,h(e)=lne-=1->0,所以函数h(x)在(1,e)上存在一个零点,即方程f(x)-f′(x)=e的实数解所在的区间是(1,e).二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.dx+dx=__________.【解析】因为dx=lnx=lne-ln1=1，dx的几何意义表示为y=对应上半圆的面积，即dx=×π×22=2π，即dx+dx=2π+1.答案：2π+114.设f(x)=则不等式f(x)≥2的解集为__________.【解析】当x≥0时,2e x-1≥2,所以x-1≥0,x≥1;当x<0时,l og2|x-1|≥2,所以|x-1|≥4,所以x≤-3.综上可得:不等式f(x)≥2的解集为{x|x≤-3或x≥1}.答案:{x|x≤-3或x≥1}15.设函数f(x)=xα+1(α∈Q)的定义域为[-b,-a]∪[a,b],其中0<a<b.若函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为6,最小值为3,则f(x)在区间[-b,-a]上的最大值与最小值的和为__________.【解析】令g(x)=xα,定义域为[-b,-a]∪[a,b],则因为函数f(x)=xα+1(α∈Q)在区间[a,b]上的最大值为6,最小值为3,所以g(x)=xα在区间[a,b]上的最大值为5,最小值为2,若g(x)=xα是偶函数,则g(x)=xα在区间[-b,-a]上的最大值为5,最小值为2,所以函数f(x)=xα+1(α∈Q)在区间[-b,-a]上的最大值为6,最小值为3,最大值与最小值的和为9;若g(x)=xα是奇函数,则g(x)=xα在区间[-b,-a]上的最大值为-2,最小值为-5,所以函数f(x)=xα+1(α∈Q)在区间[-b,-a]上的最大值为-1,最小值为-4,最大值与最小值的和为-5. 所以f(x)在区间[-b,-a]上的最大值与最小值的和为-5或9.答案:-5或916.定义在R上的函数f(x)，如果存在函数g(x)=kx+b(k，b为常数)，使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立，则称g(x)为函数f(x)的一个承托函数.①对给定的函数f(x)，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②g(x)=2x为函数f(x)=2x的一个承托函数；③定义域和值域都是R的函数f(x)不存在承托函数.以上命题正确的是__________.【解题导引】对于①，若取f(x)=sinx，则g(x)=B(B<-1)，都满足，且有无数个，故正确；对于②，即x=时，②错；对于③，如取f(x)=2x+3，即可看出其不符合，故错.抽象的背后总有具体的模型，我们可以通过具体的函数的研究，进行合理地联想.【解析】对于①，若f(x)=sinx，则g(x)=B(B<-1)，就是它的一个承托函数，且有无数个，再如y=tanx，y=lgx就没有承托函数，所以命题①正确；对于②，因为当x=时，g=3，f=2，所以f(x)<g(x)，所以g(x)=2x不是f(x)=2x的一个承托函数，故错误；对于③，如f(x)=2x+3存在一个承托函数y=2x+1，故错误.答案：①。
2019-2020年高考数学二轮总复习高考小题集训一文
2019-2020年高考数学二轮总复习高考小题集训一文1．若集合A ＝{x |－3<x <3}，B ＝{x |(x ＋4)(x －2)>0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－3<x <2} B ．{x |2<x <3} C ．{x |－3<x <－2} D ．{x |x <－4，或x >－3}解析：因为A ∩B ＝{x |－3<x <3}∩{x |x <－4或x >2}＝{x |2<x <3}． 答案：B2．(广东省五校xx 届高三第一次考试)已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，则a ＋i 20161＋i＝( )A ．1B ．0C ．1＋iD ．1－i解析：z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，则有a 2－1＝0，a ＋1≠0，得a ＝1，则有1＋i20161＋i＝1＋11＋i ＝21－i 1＋i 1－i＝1－i ，选D. 答案：D3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－1，m )，若a ⊥b ，则m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C.12 D ．－12解析：因为a ⊥b ，∴a·b ＝－1＋2m ＝0，解得m ＝12.答案：C4．(xx·云南省11校跨区调研)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( )A ．40B ．60C ．32D ．50解析：由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60，选B.答案：B5．函数f (x )＝sin2x －cos2x 的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8解析：因为f (x )＝sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以令－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π(k ∈Z )，故D 符合．答案：D6．某算法的程序框图如图所示，若输入的a ，b 的值分别为60与32，则程序执行后的结果是( )A ．0B ．4C ．7D ．28解析：该程序框图的算法功能为利用辗转相除法求a ，b 两数的最大公约数，60与32的最大公约数为4，故选B.答案：B7．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤10，x ＋2y ≤14，x ＋y ≥6，则xy 的最大值为( )A.252 B.492C ．12D ．14解析：满足约束条件的点所在可行域如图所示的三角形ABC 所在的区域，设xy ＝t ，则y ＝t x ，由图可知，当函数y ＝tx的图象与可行域的边AB 相切时，t 有最大值，此时2x ＋y ＝10，所以xy ＝12(2xy )≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝252，当且仅当2x ＝y ＝5即x ＝52，y ＝5时等号成立，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，5在可行域内，所以xy 的最大值为252，故选A.答案：A8．(xx·湖南省五市十校联考)如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则几何体的表面积为( )A ．45π＋96B ．(25＋6)π＋96C ．(45＋4)π＋64D ．(45＋4)π＋96解析：几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体，正方体的棱长为4，圆锥的高为4，底面半径长为2，几何体的表面积为S ＝6×42＋π×22＋π×2×42＋22＝(45＋4)π＋96.答案：D9．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A.π6B.π3 C.2π3 D.5π6解析：在直角三角形中，如果直角边为斜边的一半，则该直角边所对的角为π6，如图，所求的夹角为2π3，故选C.答案：C10．已知函数则函数y ＝f (1－x )的大致图象是( )解析：当x ＝0时，y ＝f (1)＝3，即y ＝f (1－x )的图象过点(0,3)，排除A ；当x ＝－2时，y ＝f (3)＝－1，即y ＝f (1－x )的图象过点(－2，－1)，排除B ；当x ＝－13时，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝log 43<0，即y ＝f (1－x )的图象过点，排除C.答案：D11．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油解析：“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B 错误；C 中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程为10 km ，行驶80 km ，消耗8升汽油，C 错误；D 中某城市机动车最高限速80千米/小时．由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，选D.答案：D12．(xx·成都高中毕业第一次诊断)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线上一点P 满足PF 2⊥x 轴．若|F 1F 2|＝12，|PF 2|＝5，则该双曲线的离心率为( )A.1312 B.125C.32D ．3 解析：由双曲线的定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝2a ＋5.在Rt△PF 2F 1中，|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，即(2a ＋5)2＝52＋122，解得a ＝4.因为|F 1F 2|＝12，所以c ＝6，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝64＝32，故选C.答案：C13．如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有380粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．解析：3801 000＝S 1，∴S ＝1950.答案：195014．已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 017π2－2α的值为________．解析：由已知得tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2 017π2－2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45. 答案：4515．(xx·惠州市第三次调研考试)已知直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－2ax －2y ＋2＝0交于两点A ，B ，且△CAB 为等边三角形，则圆C 的面积为________．解析：x 2＋y 2－2ax －2y ＋2＝0⇒(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－1，因此圆心C 到直线y ＝ax 的距离为32a 2－1＝|a 2－1|a 2＋1，所以a 2＝7，圆C 的面积为π(a 2－1)2＝6π.答案：6π16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a 2＋c 2＝ac ＋b 2，b ＝3，且a ≥c ，则2a －c 的最小值是________．解析：由a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ＝ac ，所以cos B ＝12，则B ＝60°，又a ≥c ，则A ≥C ＝120°。
【精选高考】2019-2020高考数学二轮复习小题专项练习(七)不等式文
小题专项练习(七) 不等式不等式组表示的平面区域如图所示：⎭⎪⎫x ＋y 2＝12y，即＝3y 时，等号成立，故选不等式组表示的平面区域如图所示：由a ⊥b 得2x ＋m －y ＝0，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x ＝2y得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝45，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45，∴m ＝y －2x ＝45－165＝－125，故选B.8．C 由xy ≤ax 2＋2y 2，得a ≥xy －2y 2x2＝y x－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2， 令t ＝y x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2，∵1≤x ≤2，∴12≤1x≤1，又2≤y ≤3，∴1≤y x≤3， ∴当y x＝1时，t max ＝－1，∴a ≥t max ，即a ≥－1，故选C.9．B 不等式组表示的平面区域如图所示：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x x －2y ＋1＝0得A (1,1)，|AO |2＝2，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0x ＝0得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， |BO |2＝14，∴x 2＋y 2的取值范围是[0,2]，故选B.10．B 不等式组表示的平面区域如图所示，D 点(－1,0)，∴y x ＋1表示(x ，y )与(－1,0)连线的斜率， ∴k BD 最大， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －m ＝0，∴B (1，m －1)， ∴k BD ＝m －12＝2，∴m ＝5，故选B.11．A 由题可知，3cos 2x －a cos x ＋2≥0，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时恒成立，令cos x ＝t ∈(0,1)，不等式化为3t 2－at ＋2≥0，∴a ≤3t 2＋2t ＝3t ＋2t，∴a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3t ＋2t min ，当t ∈(0,1)时，3t ＋2t ≥26，当t 2＝23时，“＝”成立，∴a ≤26，故选A.12．C 由b >a >0，a ＋b ＝1， 得0<a <1,0<b <1， ∴log 3a <0，A 错；－1<－b <0，∴－1<a －b <0，3a －b >3－1＝13，B 错；log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )≤log 2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝－2，C 正确；3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥3×2b a ×ab＝6， ∵a <b ，等号不成立，∴D 错，故选C. 13. 2解析：不等式组表示的平面区域如图所示，(0,0)到A 的距离最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －y ＝0得A (1,1)，∴|AO |＝x 2＋y 2＝ 2. 14．8解析：∵abc ＝4(a ＋b )，∴c ＝a ＋bab，∴a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋4b ＋4a≥2a ·4a＋2b ·4b＝4＋4＝8， 当且仅当a ＝2，b ＝2时，等号成立． 15．(－∞，1－ln2)解析：当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2e x －1<2， ∴f (f (x ))<2⇔f (x )<1，即2e x －1<1， 解得x <1－ln2∴f (f (x ))<2的解集为(－∞，1－ln2)． 16．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象的对称轴为直线x ＝1，则a2＝1，∴a ＝2，f (x )的图象开口向下， ∴f (x )在[－1,1]上为增函数，∴f (x )>0只需f (－1)>0，即f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.。
(新课标)2020版高考数学二轮复习专题七选考部分第2讲不等式选讲练习文新人教A版
第2讲 不等式选讲1．(2019·安徽省考试试题)已知f (x )＝|x －2|.(1)解不等式f (x )＋1>f (2x )；(2)若f (m )≤1，f (2n )≤2，求|m －2n －1|的最大值，并求此时实数m ，n 的取值． 解：(1)原不等式等价于|x －2|＋1>2|x －1|，所以⎩⎪⎨⎪⎧x <1，2－x ＋1>2－2x 或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，2－x ＋1>2x －2或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，x －2＋1>2x －2， 所以－1<x <1或1≤x <53或∅，所以原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，53. (2)由题意得f (m )＝|m －2|≤1，f (2n )＝|2n －2|≤2，所以|n －1|≤1，所以|m －2n －1|＝|(m －2)－2(n －1)－1|≤|m －2|＋2|n －1|＋1≤4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝2时，|m －2n －1|取得最大值4. 2．已知不等式|x |＋|x －3|<x ＋6的解集为(m ，n )．(1)求m ，n 的值；(2)若x >0，y >0，nx ＋y ＋m ＝0，求证：x ＋y ≥16xy .解：(1)由|x |＋|x －3|<x ＋6，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x ＋x －3<x ＋6或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <3，3<x ＋6或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x ＋3－x <x ＋6， 解得－1<x <9，所以m ＝－1，n ＝9.(2)证明：由(1)知9x ＋y ＝1，又x >0，y >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y (9x ＋y )＝10＋y x ＋9x y ≥10＋2y x ×9x y＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，即x ＝112，y ＝14时取等号， 所以1x ＋1y≥16，即x ＋y ≥16xy . 3．(2019·昆明市诊断测试)已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|.(1)求不等式f (x )>1的解集；(2)若不等式f (x )<x 2＋x ＋m 的解集为R ，求实数m 的取值范围．解：(1)原不等式等价于|2x ＋1|－|x －1|>1，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <1，3x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋1>0， 解得x <－3或13<x <1或x ≥1. 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－3或x >13. (2)由f (x )<x 2＋x ＋m 得m >－x 2－x ＋|2x ＋1|－|x －1|.令g (x )＝－x 2－x ＋|2x ＋1|－|x －1|，则由题意知m >g (x )max . g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x －2，x <－12，－x 2＋2x ，－12≤x ≤1，－x 2＋2，x >1，作出其图象如图所示，由图象知g (x )max ＝1.所以m >1，即m 的取值范围为(1，＋∞)．4．(2019·高考全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1.(1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1. 解：(1)因为[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)] ≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，故由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立． 所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43. (2)证明：因为[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]，故由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥（2＋a ）23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立． 因此(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为（2＋a ）23.由题设知（2＋a ）23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1. 5．设函数f (x )＝a (x －1)．(1)当a ＝1时，解不等式|f (x )|＋|f (－x )|≥3x .(2)设|a |≤1，当|x |≤1时，求证：|f (x 2)＋x |≤54. 解：(1)当a ＝1时，不等式 |f (x )|＋|f (－x )|≥3x ，即|x －1|＋|x ＋1|≥3x ，当x ≤－1时，得1－x －x －1≥3x ⇒x ≤0，所以x ≤－1，当－1<x <1时，得1－x ＋x ＋1≥3x ⇒x ≤23， 所以－1<x ≤23， 当x ≥1时，得x －1＋x ＋1≥3x ⇒x ≤0，与x ≥1矛盾，综上，原不等式的解集为{x |x ≤－1}∪⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x ≤23＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤23. (2)证明：|f (x 2)＋x |＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |，因为|a |≤1，|x |≤1，所以|f (x 2)＋x |≤|a |(1－x 2)＋|x |≤1－x 2＋|x |＝－|x |2＋|x |＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－122＋54≤54. 6．(2019·四省八校双教研联考)已知f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|，g (x )＝|x －a |－|x ＋a ＋1|.(1)解不等式f (x )>4；(2)若∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f (x 2)＝g (x 1)，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )>4，即|2x －1|－|x ＋2|>4，当x <－2时，－(2x －1)＋(x ＋2)>4，得x <－2；当－2≤x ≤12时，－(2x －1)－(x ＋2)>4，得－2≤x <－53； 当x >12时，2x －1－(x ＋2)>4，得x >7. 综上，不等式f (x )>4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－53或x >7. (2)因为∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f (x 2)＝g (x 1)，所以g (x )的值域是f (x )的值域的子集，f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3，x <－2，－3x －1，－2≤x ≤12，x －3，x >12， 所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，＋∞，g (x )＝|x －a |－|x ＋a ＋1|的值域为[－|2a ＋1|，|2a ＋1|]，所以－|2a ＋1|≥－52，即|2a ＋1|≤52，则－52≤2a ＋1≤52，－74≤a ≤34，即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－74，34.。
2019届高考数学(文)二轮复习强化训练：(7)不等式(有答案)
强化训练（7）不等式1、若x ,y 满足约束条件0,{23,23,x x y x y ≥+≥+≤则z x y =-的最小值是( )A. 3-B. 0C. 32D. 32、下列不等式一定成立的是( ) A. 21lg lg (0)4x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭ B. 1sin 2(,)sin x x k k Z x π+≥≠∈ C. 212()x x x R +≥∈ D. 211()1x R x >∈+ 3、设变量 ,x y 满足约束条件205010y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩,则2y x 的最小值为( ) A.1 B.29C. 43D.44、设变量,x y 满足约束条件260,{20,0,0,x y x y x y --≤-+≥>>若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为40,则51a b+的最小值为( )A.256B. 94C. 1D. 45、某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜的韭菜的产量、成本和售价如表.为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为( )A. 50,0B. 30,20C. 20,30D. 0,506、设,a b 是实数,且3a b +=,则2?2a b +的最小值是( ) A. 6B.C. D. 87、已知实数,x y 满足221x y +=,则()()11xy xy -+有( ) A.最小值12和最大值1 B.最小值34和最大值1C.最小值12和最大值34D.最小值18、设()()()22,13M a a N a a =-=+-,则有( )A. M N >B. M N ≥C. M N <D. M N ≤9、某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨, B 原料2吨,生产每吨乙产品要用A 原料1吨, B 原料3吨。
【精选高考】2019-2020高考数学一轮复习第七章不等式7.2一元二次不等式的解法练习理
§7.2 一元二次不等式的解法考纲解读分析解读 1.一元二次不等式的解法是高考热点.2.熟练掌握图象法求解一元二次不等式的方法、步骤.3.理解分式不等式转化为一元二次不等式(组)的等价过程.4.以函数为载体,一元二次不等式的解法为手段,求参数的取值范围也是高考热点,属于中低档题.五年高考考点 一元二次不等式的解法1.(2014大纲全国,2,5分)设集合M={x|x 2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则M∩N=( ) A.(0,4] B.[0,4) C.[-1,0) D.(-1,0] 答案 B2.(2013陕西,9,5分)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是( )A.[15,20]B.[12,25]C.[10,30]D.[20,30] 答案 C3.(2013江苏,11,5分)已知f(x)是定义在R 上的奇函数.当x>0时, f(x)=x 2-4x,则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为 . 答案 (-5,0)∪(5,+∞)教师用书专用(4—5)4.(2013广东,9,5分)不等式x 2+x-2<0的解集为 . 答案 {x|-2<x<1}5.(2013四川,14,5分)已知f(x)是定义域为R 的偶函数,当x≥0时,f(x)=x 2-4x.那么,不等式f(x+2)<5的解集是 . 答案 (-7,3)三年模拟A 组 2016—2018年模拟·基础题组考点 一元二次不等式的解法1.(2018黑龙江大庆实验中学期中,5)对于任意实数x,不等式(a-2)x 2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(-2,2)D.(-2,2]2.(2017河北八所重点中学一模,7)不等式2x2-x-3>0的解集为( )A. B.C. D.答案 B3.(2017广东汕头潮阳黄图盛中学第三次质检,9)设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1},若A∪B=R,则a的取值范围为( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)答案 B4.(2017上海浦东新区期中联考,17)已知函数f(x)=则不等式f(x)≥x2的解集是( )A.[-1,1]B.[-2,2]C.[-2,1]D.[-1,2]答案 A5.(2018全国名校第三次联考,13)不等式x2-2ax-3a2<0(a>0)的解集为.答案{x|-a<x<3a}6.(2018豫北豫南名校精英联赛,13)不等式x2-3|x|+2>0的解集是.答案(-∞,-2)∪(-1,1)∪(2,+∞)7.(2017重庆二诊,13)若关于x的不等式(2a-b)x+(a+b)>0的解集为{x|x>-3},则= .答案B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:45分时间:40分钟)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018辽宁庄河高级中学、沈阳第二十中学第一次联考,8)不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式2x2+bx+a>0的解集为( )A. B.C.{x|-2<x<1}D.{x|x<-2或x>1}答案 A2.(2018黑龙江哈尔滨第六中学高三10月阶段考试,7)已知关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则所有符合条件的整数a的值之和是( )A.13B.18C.21D.26答案 C3.(2017四川成都实验外国语学校二诊,8)已知0<a1<a2<a3,则使得(1-a i x)2<1(i=1,2,3)都成立的x的取值范围是( )A. B.C. D.答案 B4.(2017湖北重点高中联合协作体期中,11)已知函数f(x)=x3+sin x,x∈(-1,1),则满足f(a2-1)+f(a-1)>0的a的取值范围是( )A.(0,2)B.(1,)C.(1,2)D.(0,)答案 B5.(2016湖南衡阳八中一模,8)已知函数f(x)=若关于x的不等式[f(x)]2+af(x)-b2<0恰有1个整数解,则实数a的最大值是( )A.2B.3C.5D.8二、填空题(共5分)6.(2017上海浦东新区期中联考,11)已知f(x)=log a(x+1),g(x)=log a(1-x),a>0且a≠1,则使f(x)-g(x)>0成立的x 的集合是.答案{x|-1<x<0}(0<a<1)或{x|0<x<1}(a>1)三、解答题(共15分)7.(2017中原名校豫南九校第四次质量考评,19)已知函数f(x)=a(x2+1)+ln x.(1)当a≥0时,解关于x的不等式f(x)>2a;(2)若对任意a∈(-4,-2)及x∈[1,3],恒有ma-f(x)>a2成立,求实数m的取值范围.解析(1)f '(x)=2ax+=(x>0),当a≥0时,恒有f '(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上是增函数,又f(1)=2a,所以f(x)>2a可化为f(x)>f(1),故x>1.所以原不等式的解集为{x|x>1}.(2)对任意a∈(-4,-2)及x∈[1,3],恒有ma-f(x)>a2成立,等价于ma-a2>f(x)max,x∈[1,3],当a∈(-4,-2)时,由f '(x)=≤0,得x≥,因为a∈(-4,-2),所以<<<1.从而f(x)在[1,3]上是减函数,所以f(x)max=f(1)=2a,所以ma-a2>2a,即m<a+2.因为a∈(-4,-2),所以-2<a+2<0,所以实数m的取值范围为m≤-2.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 一元二次不等式及分式不等式的解法1.(2017安徽江淮十校第三次联考,5)|x|(1-2x)>0的解集为( )A.(-∞,0)∪B.C. D.答案 A2.(2018上海长宁、嘉定一模,2)不等式≤0的解集为.答案(-1,0]3.(2017江苏南京一模,12)已知函数f(x)=-x2+ax+b(a,b∈R)的值域为(-∞,0],若关于x的不等式f(x)>c-1的解集为(m-4,m+1),则实数c的值为.答案-方法2 解含参数的一元二次不等式4.(2016福建福州校级期末,17)已知不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b的值;(2)解不等式ax2-(am+b)x+bm<0.解析(1)根据题意,得方程ax2-3x+2=0的两个根为1和b,∴由根与系数的关系,得解之得a=1,b=2.(2)由(1)知不等式ax2-(am+b)x+bm<0即为不等式x2-(m+2)x+2m<0,因式分解,得(x-m)(x-2)<0,①当m=2时,原不等式的解集为⌀;②当m<2时,原不等式的解集为(m,2);③当m>2时,原不等式的解集为(2,m).方法3 一元二次不等式恒成立问题的解题方法是( )A. B.[-1,1] C.(-∞,1] D.答案 C6.(2018江苏南京金陵中学高三上学期月考,12)已知当0≤x≤2时,不等式-1≤tx2-2x≤1恒成立,则t的取值范围是.答案1≤t≤。
2020届高考数学压轴必刷题 专题07不等式(文理合卷)(含答案)
2020届高考数学压轴必刷题专题07不等式(文理合卷)1．【2019年北京理科08】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|x|y就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（）A．①B．②C．①②D．①②③【解答】解：将x换成﹣x方程不变，所以图形关于y轴对称，当x＝0时，代入得y2＝1，∴y＝±1，即曲线经过（0，1），（0，﹣1）；当x＞0时，方程变为y2﹣xy+x2﹣1＝0，所以△＝x2﹣4（x2﹣1）≥0，解得x∈（0，]，所以x只能取整数1，当x＝1时，y2﹣y＝0，解得y＝0或y＝1，即曲线经过（1，0），（1，1），根据对称性可得曲线还经过（﹣1，0），（﹣1，1），故曲线一共经过6个整点，故①正确．当x＞0时，由x2+y2＝1+xy得x2+y2﹣1＝xy，（当x＝y时取等），∴x2+y2≤2，∴，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；故②正确．在x轴上图形面积大于矩形面积＝1×2＝2，x轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积1，因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于2+1＝3，故③错误．故选：C．2．【2016年浙江理科08】已知实数a，b，c．（）A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100B．若|a2+b+c|+|a2+b﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100C．若|a+b+c2|+|a+b﹣c2|≤1，则a2+b2+c2＜100D．若|a2+b+c|+|a+b2﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100【解答】解：A．设a＝b＝10，c＝﹣110，则|a2+b+c|+|a+b2+c|＝0≤1，a2+b2+c2＞100；B．设a＝10，b＝﹣100，c＝0，则|a2+b+c|+|a2+b﹣c|＝0≤1，a2+b2+c2＞100；C．设a＝100，b＝﹣100，c＝0，则|a+b+c2|+|a+b﹣c2|＝0≤1，a2+b2+c2＞100；故选：D．3．【2014年浙江理科10】设函数f1（x）＝x2，f2（x）＝2（x﹣x2），，，i＝0，1，2，…，99．记I k＝|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k（a98）|，k＝1，2，3，则（）A．I1＜I2＜I3B．I2＜I1＜I3C．I1＜I3＜I2D．I3＜I2＜I1【解答】解：由，故1，由，故1，，故I2＜I1＜I3，故选：B．4．【2013年北京理科08】设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0＝2，求得m的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y x﹣1的下方，故得不等式组，解之得：m．故选：C．5．【2012年浙江理科09】设a＞0，b＞0，下列命题中正确的是（）A．若2a+2a＝2b+3b，则a＞b B．若2a+2a＝2b+3b，则a＜bC．若2a﹣2a＝2b﹣3b，则a＞b D．若2a﹣2a＝2b﹣3b，则a＜b【解答】解：∵a≤b时，2a+2a≤2b+2b＜2b+3b，∴若2a+2a＝2b+3b，则a＞b，故A正确，B错误；对于2a﹣2a＝2b﹣3b，若a≥b成立，则必有2a≥2b，故必有2a≥3b，即有a b，而不是a＞b排除C，也不是a＜b，排除D．故选：A．6．【2010年北京理科07】设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y＝a x的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（）A．（1，3] B．[2，3] C．（1，2] D．[3，+∞]【解答】解：作出区域D的图象，联系指数函数y＝a x的图象，由得到点C（2，9），当图象经过区域的边界点C（2，9）时，a可以取到最大值3，而显然只要a大于1，图象必然经过区域内的点．故选：A．7．【2019年天津理科13】设x＞0，y＞0，x+2y＝5，则的最小值为．【解答】解：x＞0，y＞0，x+2y＝5，则2；由基本不等式有：224；当且仅当2时，即：xy＝3，x+2y＝5时，即：或时；等号成立，故的最小值为4；故答案为：48．【2019年北京理科14】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为．【解答】解：①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80＝140（元），即有顾客需要支付140﹣10＝130（元）；②在促销活动中，设订单总金额为m元，可得（m﹣x）×80%≥m×70%，即有x，由题意可得m≥120，可得x15，则x的最大值为15元．故答案为：130，159．【2018年江苏13】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a+c的最小值为．【解答】解：由题意得ac sin120°a sin60°c sin60°，即ac＝a+c，得1，得4a+c＝（4a+c）（）5≥25＝4+5＝9，当且仅当，即c＝2a时，取等号，故答案为：9．10．【2018年天津理科13】已知a，b∈R，且a﹣3b+6＝0，则2a的最小值为．【解答】解：a，b∈R，且a﹣3b+6＝0，可得：3b＝a+6，则2a2，当且仅当2a．即a＝﹣3时取等号．函数的最小值为：．故答案为：．11．【2017年上海11】设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于．【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使2，∴sinα1＝﹣1，sin2α2＝﹣1．则：，k1∈Z．，即，k2∈Z．那么：α1+α2＝（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|＝|10π（2k1+k2）π|的最小值为．故答案为：．12．【2016年新课标1理科16】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z＝2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z＝2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100＝216000元．故答案为：216000．13．【2015年浙江理科14】若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．【解答】解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|＝6﹣x﹣3y，如图直线2x+y﹣2＝0将圆x2+y2＝1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2x+y﹣2|＝2x+y﹣2，此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|＝（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）＝x﹣2y+4，利用平移可得在A（，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，即|2x+y﹣2|＝﹣（2x+y﹣2），此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|＝﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）＝8﹣3x﹣4y，利用平移可得在A（，）处取得最小值3．综上可得，当x，y时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．故答案为：3．14．【2013年江苏13】在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为．【解答】解：设点P，则|P A|，令，∵x＞0，∴t≥2，令g（t）＝t2﹣2at+2a2﹣2＝（t﹣a）2+a2﹣2，①当a≤2时，t＝2时g（t）取得最小值g（2）＝2﹣4a+2a2，解得a＝﹣1；②当a＞2时，g（t）在区间[2，a）上单调递减，在（a，+∞）单调递增，∴t＝a，g（t）取得最小值g（a）＝a2﹣2，∴a2﹣2，解得a．综上可知：a＝﹣1或．故答案为﹣1或．15．【2013年天津理科14】设a+b＝2，b＞0，则当a＝时，取得最小值．【解答】解：∵a+b＝2，b＞0，∴，（a＜2）设f（a），（a＜2），画出此函数的图象，如图所示．利用导数研究其单调性得，当a＜0时，f（a），f′（a），当a＜﹣2时，f′（a）＜0，当﹣2＜a＜0时，f′（a）＞0，故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数，∴当a＝﹣2时，取得最小值．同样地，当0＜a＜2时，得到当a时，取得最小值．综合，则当a＝﹣2时，取得最小值．故答案为：﹣2．16．【2012年浙江理科17】设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a＝．【解答】解：（1）a＝1时，代入题中不等式明显不成立．（2）a≠1，构造函数y1＝（a﹣1）x﹣1，y2＝x 2﹣ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）．考查函数y1＝（a﹣1）x﹣1：令y＝0，得M（，0），∴a＞1；考查函数y2＝x2﹣ax﹣1，∵x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，∴y2＝x2﹣ax﹣1过点M（，0），代入得：，解之得：a，或a＝0（舍去）．故答案为：．17．【2011年浙江理科16】设x，y为实数，若4x2+y2+xy＝1，则2x+y的最大值是．【解答】解：∵4x2+y2+xy＝1∴（2x+y）2﹣3xy＝1令t＝2x+y则y＝t﹣2x∴t2﹣3（t﹣2x）x＝1即6x2﹣3tx+t2﹣1＝0∴△＝9t2﹣24（t2﹣1）＝﹣15t2+24≥0解得∴2x+y的最大值是故答案为18．【2010年江苏12】设实数x，y满足3≤xy2≤8，49，则的最大值是．【解答】解：因为实数x，y满足3≤xy2≤8，49，则有：，，再根据，即当且仅当x＝3，y＝1取得等号，即有的最大值是27．故答案为：27．1．【2019年新课标3文科11】记不等式组表示的平面区域为D．命题p：∃（x，y）∈D，2x+y ≥9；命题q：∀（x，y）∈D，2x+y≤12．下面给出了四个命题①p∨q②￢p∨q③p∧￢q④￢p∧￢q这四个命题中，所有真命题的编号是（）A．①③B．①②C．②③D．③④【解答】解：作出等式组的平面区域为D．在图形可行域范围内可知：命题p：∃（x，y）∈D，2x+y≥9；是真命题，则￢p假命题；命题q：∀（x，y）∈D，2x+y≤12．是假命题，则￢q真命题；所以：由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有：①p∨q真；②￢p∨q假；③p∧￢q真；④￢p∧￢q假；故答案①③真，正确．故选：A．2．【2016年北京文科07】已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y的最大值为（）A．﹣1 B．3 C．7 D．8【解答】解：如图A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，令z＝2x﹣y，则平行y＝2x﹣z当直线经过B时截距最小，Z取得最大值，可得2x﹣y的最大值为：2×4﹣1＝7．故选：C．3．【2013年新课标2文科12】若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）【解答】解：因为2x（x﹣a）＜1，所以，函数y是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，所以a的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：D．4．【2011年北京文科07】某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A．60件B．80件C．100件D．120件【解答】解：根据题意，该生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为（x为正整数）由基本不等式，得当且仅当时，f（x）取得最小值、可得x＝80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故选：B．5．【2010年新课标1文科11】已知▱ABCD的三个顶点为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），点（x，y）在▱ABCD的内部，则z＝2x﹣5y的取值范围是（）A．（﹣14，16）B．（﹣14，20）C．（﹣12，18）D．（﹣12，20）【解答】解：由已知条件得⇒D（0，﹣4），由z＝2x﹣5y得y，平移直线当直线经过点B（3，4）时，最大，即z取最小为﹣14；当直线经过点D（0，﹣4）时，最小，即z取最大为20，又由于点（x，y）在四边形的内部，故z∈（﹣14，20）．如图：故选B．6．【2019年天津文科13】设x＞0，y＞0，x+2y＝4，则的最小值为．【解答】解：x＞0，y＞0，x+2y＝4，则2；x＞0，y＞0，x+2y＝4，由基本不等式有：4＝x+2y≥2，∴0＜xy≤2，，故：22；（当且仅当x＝2y＝2时，即：x＝2，y＝1时，等号成立），故的最小值为；故答案为：．7．【2019年北京文科14】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为．【解答】解：①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80＝140（元），即有顾客需要支付140﹣10＝130（元）；②在促销活动中，设订单总金额为m元，可得（m﹣x）×80%≥m×70%，即有x，由题意可得m≥120，可得x15，则x的最大值为15元．故答案为：130，158．【2018年天津文科13】已知a，b∈R，且a﹣3b+6＝0，则2a的最小值为．【解答】解：a，b∈R，且a﹣3b+6＝0，可得：3b＝a+6，则2a2，当且仅当2a．即a＝﹣3时取等号．函数的最小值为：．故答案为：．9．【2017年北京文科14】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（i）男学生人数多于女学生人数；（ii）女学生人数多于教师人数；（iii）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为．②该小组人数的最小值为．【解答】解：①设男学生女学生分别为x，y人，若教师人数为4，则，即4＜y＜x＜8，即x的最大值为7，y的最大值为6，即女学生人数的最大值为6．②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，则，即z＜y＜x＜2z即z最小为3才能满足条件，此时x最小为5，y最小为4，即该小组人数的最小值为12，故答案为：6，1210．【2017年天津文科13】若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为．【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，∴＝4ab24，当且仅当，即，即a，b或a，b时取“＝”；∴上式的最小值为4．【解法二】a，b∈R，ab＞0，∴44，当且仅当，即，即a，b或a，b时取“＝”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．11．【2016年新课标1文科16】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z＝2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z＝2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100＝216000元．故答案为：216000．12．【2013年天津文科14】设a+b＝2，b＞0，则的最小值为．【解答】解：∵a+b＝2，∴，∴，∵b＞0，|a|＞0，∴1（当且仅当b2＝4a2时取等号），∴1，故当a＜0时，的最小值为．故答案为：．。
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15．已知函数f(x)＝ 则f(f(x))<2的解集为________．
16．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意的实数x，都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是________．
C．[－1，＋∞) D．[－1,6]
9．[2018·广东阳春一中月考]若实数x，y满足不等式组 则x2＋y2的取值范围是()
A. B．[0,2]
C. D．[0， ]
10．[2018·江西师大附中三模]已知x，y满足约束条件 ，若 的最大值为2，则m的值为()
A．4 B．5
C．8 D．9
11．[2018·高考押题预测卷]若命题：“存在x∈ ，使3cos2x－acosx＋2<0成立”为假命题，则实数a的取值范围为()
则 ＝1，∴a＝2，f(x)的图象开口向下，
∴f(x)在[－1,1]上为增函数，
∴f(x)>0只需f(－1)>0，即f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2>0，解得b<－1或b>2.
得lg(2x·8y)＝lg4，
∴2x＋3y＝4，∴x＋3y＝2，
＋ ＝ ＝ ≥2，
当且仅当 ＝ ，即x＝3y时，等号成立，故选C.
7．B不等式组表示的平面区域如图所示：
由a⊥b得2x＋m－y＝0，
∴当直线经过点C时，m有最小值，
由 得 ∴C ，
∴m＝y－2x＝ － ＝－ ，故选B.
8．C由xy≤ax2＋2y2，得a≥ ＝ －2 2，
A．(－∞，2 ] B．(－∞，2 ]
C．(－∞，2] D．[2 ，＋∞)
12．已知b>a>0，a＋b＝1，则下列不等式中正确的是()
A．log3a>0 B．3a－b<
C．log2a＋log2b<－2 D．3 ≥6
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．
13．[2018·安徽示范高中第八次联考]已知x，y满足条件 ，则点(0,0)到点(x，y)的距离的最小值是________．
令t＝ －2 2，∵1≤x≤2，∴ ≤ ≤1，
又2≤y≤3，∴1≤ ≤3，
∴当 ＝1时，tmax＝－1，
∴a≥tmax，即a≥－1，故选C.
9．B不等式组表示的平面区域如图所示：
由 得A(1,1)，|AO|2＝2，
由 得B ，
|BO|2＝ ，
∴x2＋y2的取值范围是[0,2]，故选B.
10．B不等式组表示的平面区域如图所示，
当z＝x－2y经过点A时，z有最小值，
由 ，得A(ห้องสมุดไป่ตู้1,2)，
∴zmin＝－1－4＝－5，故选D.
4．BM＝{x|lg(x－1)<0}＝(1,2)，
N＝{x|2x2－3x≤0}＝ ，
∴M∩N＝ ，故选B.
5．C∵1<a<2，∴1<a2<4，
又2<b<4，
∴3<a2＋b<8，故选C.
6．C由lg2x＋lg8y＝lg4，
A．a3>b3B. <
C．a2>b2D．a>b＋|b|
3．[2018·云南昆明一中第八次月考]若x，y满足约束条件 ，则函数z＝x－2y的最小值为()
A．5 B．2
C．－2 D．－5
4．[2018·河南六市第二次联考]已知集合M＝{x|lg(x－1)<0}，N＝{x|2x2－3x≤0}，则M∩N等于()
A. B.
C. D．(1,2)
5．[2018·安徽舒城期末]已知1<a<2<b<4，则a2＋b的取值范围为()
A．(3,6) B．(2,6)
C．(3,8) D．(4,8)
6．[2018·天津一中五月月考]已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg4，则 ＋ 的最小值是()
A．4 B．2
C．2 D．2
小题专项练习
1．A ≤0⇔(x－1)(2x＋1)<0或x－1＝0，
解得－ <x≤1，故选A.
2．Da3>b3⇔a>b，∴a3>b3是a>b的充要条件，
< D a>b，
a2>b2D a>b，
a>b＋|b|≥b，
反之不成立，∴a>b＋|b|是a>b成立的充分不必要条件，故选D.
3．D不等式组表示的平面区域如图所示：
D点(－1,0)，
∴ 表示(x，y)与(－1,0)连线的斜率，
∴kBD最大，
∴ ，∴B(1，m－1)，
∴kBD＝ ＝2，∴m＝5，故选B.
11．A由题可知，3cos2x－acosx＋2≥0，x∈ 时恒成立，
令cosx＝t∈(0,1)，不等式化为3t2－at＋2≥0，
∴a≤ ＝3t＋ ，
∴a≤ min，
当t∈(0,1)时，3t＋ ≥2 ，当t2＝ 时，“＝”成立，
∴a≤2 ，故选A.
12．C由b>a>0，a＋b＝1，
得0<a<1,0<b<1，
∴log3a<0，A错；
－1<－b<0，∴－1<a－b<0，
3a－b>3－1＝ ，B错；
log2a＋log2b＝log2(ab)≤log2 2＝－2，C正确；
15．(－∞，1－ln2)
解析：当x≥1时，f(x)＝x3＋x≥2，
当x<1时，f(x)＝2ex－1<2，
∴f(f(x))<2⇔f(x)<1，
即2ex－1<1，
解得x<1－ln2
∴f(f(x))<2的解集为(－∞，1－ln2)．
16．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析：由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象的对称轴为直线x＝1，
7．[2018·山东烟台适应性练习]设x，y满足约束条件 ，向量a＝(2x,1)，b＝(1，m－y)，则满足a⊥b的实数m的最小值为()
A. B．－
C. D．－
8．[2018·陕西吴起期中]已知不等式xy≤ax2＋2y2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，则a的取值范围是()
A．[1，＋∞) B．[－1,4)
3 ≥3×2 ＝6，
∵a<b，等号不成立，∴D错，故选C.
13.
解析：不等式组表示的平面区域如图所示，
(0,0)到A的距离最小，由 得A(1,1)，
∴|AO|＝ ＝ .
14．8
解析：∵abc＝4(a＋b)，
∴c＝ ，
∴a＋b＋c＝a＋b＋ ＋ ≥2 ＋2 ＝4＋4＝8，
当且仅当a＝2，b＝2时，等号成立．
【2019-2020】高考数学二轮复习小题专项练习（七）不等式文
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2018·河北××月考]不等式 ≤0的解集为()
A.
B.
C. ∪[1，＋∞)
D. ∪[1，＋∞)
2．[2018·台州中学模拟]设a，b∈R，则使a>b成立的一个充分不必要条件是()