江西省赣州市南康中学2018届高三下学期第四次大考数学

2018-2018学年江西省赣州市南康中学高三（下）第四次大考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为R，集合A={x|x﹣1≥0}，B={x|x2﹣5x+6≥0}，则A∪B=（）A．[2，3]B．（2，3）C．[1，+∞）D．R2．设i为虚数单位，复数z1=1+i，z2=2i﹣1，则复数在复平面上对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）4．已知sin（+θ）=﹣，则2sin2﹣1（）A．B．﹣C．D．±5．若实数x，y满足约束条件的最大值为（）A．B．11 C．0 D．96．某饮料店某5天的日销售收入y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：℃）之间的数程：①=﹣x+3，②=﹣x+2.8，③=﹣x+2.6，④=﹣x+2.4，其中正确的方程是（）A．①B．②C．③D．④7．已知函数f（x）=，若f（4）=2f（a），则实数a的值为（）A．﹣1或2 B．2 C．﹣1 D．﹣28．椭圆的两顶点为A（a，0），B（0，b），且左焦点为F，△FAB 是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（）A．B．C．D．9．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于（）A．16cm3B．20cm3C．24cm3D．28cm310．y=sin（ωx+φ）（ω＞0）与y=a函数图象相交于相邻三点，从左到右为P、Q、R，若PQ=3QR，则a的值为（）A．±B．±C．±D．±111．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣512．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的（x）的命题：函数（）的值域为[，]；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点．其中真命题的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某校现有高一、高二、高三三个年级共48个教学班，各年级学生数分别是1000，1180，1200，若按分层抽样从全校抽出65名学生，则高二年级比高一年级多抽出名学生．14．已知向量、满足||=1，||=，且（3﹣2）⊥，则与的夹角为．15．设△ABC的内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosC=4csinA，若△ABC的面积S=10，b=4，则a的值为．16．已知F为抛物线C：y2=2x的焦点，点E在射线l：x=﹣（y≥0）上，线段EF的垂直平分线与l交于点Q（﹣，），与抛物线C交于点P，则△PEQ的面积为．三、解答题：本题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. 17．已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n log a n，求数列{b n}的前n项和S n．18．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AA1⊥底面ABCD，AB=2，AA1=BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，点F为B1C1中点．（Ⅰ）求证：平面A1ED⊥平面A1AEF；（Ⅱ）求三棱锥E﹣A1FD的体积．19．根据微信同程旅游的调查统计显示，参与网上购票的1000位购票者的年龄（单位：岁）情况如图所示．（1）已知中间三个年龄段的网上购票人数成等差数列，求a，b的值；（2）为鼓励大家网上购票，该平台常采用购票就发放酒店入住代金券的方法进行促销，具体做法如下：年龄在[30，50）岁的每人发放20元，其余年龄段的每人发放50元，先按发放代金券的金额采用分层抽样的方式从参与调查的1000位网上购票者中抽取5人，并在这55人中随机抽取3人进行回访调查，求此3人获得代金券的金额总和为90元的概率．20．如图，曲线C1是以原点O为中心，F1，F2为焦点的椭圆的一部分，曲线C2是以O为顶点，F2（1，0）为焦点的抛物线的一部分，是曲线C1和C2的交点．（I）求曲线C1和C2所在的椭圆和抛物线的方程；（II）过F2作一条与x轴不垂直的直线，与曲线C2交于C，D两点，求△CDF1面积的取值范围．21．已知函数f（x）=﹣lnx+t（x﹣1），t为实数．（1）当t=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若当t=时，﹣﹣f（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．选做题：[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图△ABC内接于⊙O，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D．（Ⅰ）求证：AC2=AP•AD；（Ⅱ）若∠ABC=60°，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（φ为参数），定P（﹣1，0）．（1）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AP|•|BP|的值．（2）过点P作曲线C的切线m（斜率不为0），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求切线m的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）24．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．2018-2018学年江西省赣州市南康中学高三（下）第四次大考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为R，集合A={x|x﹣1≥0}，B={x|x2﹣5x+6≥0}，则A∪B=（）A．[2，3]B．（2，3）C．[1，+∞）D．R【考点】并集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的并集即可．【解答】解：由A中不等式解得：x≥1，即A=[1，+∞），由B中不等式变形得：（x﹣2）（x﹣3）≥0，解得：x≤2或x≥3，即B=（﹣∞，2]∪[3，+∞），则A∪B=R，故选：D．2．设i为虚数单位，复数z1=1+i，z2=2i﹣1，则复数在复平面上对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质化简，找出它在复平面内的对应点的坐标．【解答】解：复数=（1﹣i）（﹣1+2i）=1+3i，在复平面内的对应点为（1，3），故选A．3．已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）【考点】全称命题；特称命题．【分析】根据定义域为R的函数f（x）不是偶函数，可得：∀x∈R，f（﹣x）=f（x）为假命题；则其否定形式为真命题，可得答案．【解答】解：∵定义域为R的函数f（x）不是偶函数，∴∀x∈R，f（﹣x）=f（x）为假命题；∴∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）为真命题，故选：C．4．已知sin（+θ）=﹣，则2sin2﹣1（）A．B．﹣C．D．±【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式以及二倍角公式化简求解即可．【解答】解：sin（+θ）=﹣，可得：cosθ=﹣．则2sin2﹣1=﹣cosθ=．故选：A．5．若实数x，y满足约束条件的最大值为（）A．B．11 C．0 D．9【考点】简单线性规划．【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=2x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=2x ﹣z在y轴上的截距最小时，z有最大值，求出此时直线y=2x﹣z经过的可行域内的点的坐标，代入z=2x﹣y中即可．【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=2x，将l0平移至过点A处时，函数z=2x ﹣y有最大值9．故选D6．某饮料店某5天的日销售收入y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：℃）之间的数程：①=﹣x+3，②=﹣x+2.8，③=﹣x+2.6，④=﹣x+2.4，其中正确的方程是（）A．①B．②C．③D．④【考点】线性回归方程．【分析】由数据求得样本中心点（，）可得，利用样本中心点满足线性回归方程，即可得出结论．【解答】解：由==0，==2.8，∵线性回归方程过这组数据的样本中心点，∴点（0，2.8）满足线性回归方程，代入检验只有②符合．故选：B．7．已知函数f（x）=，若f（4）=2f（a），则实数a的值为（）A．﹣1或2 B．2 C．﹣1 D．﹣2【考点】分段函数的应用．【分析】利用分段函数对a是否大于0，列出方程求解即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（4）=2，当a＞0时，f（4）=2f（a）=2，解得a=2．当a≤0时，f（4）=2f（a），2a2=2，解得a=﹣1，综上a=﹣1或2．故选：A．8．椭圆的两顶点为A（a，0），B（0，b），且左焦点为F，△FAB 是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先求出F的坐标求出直线AB和BF的斜率，两直线垂直可知两斜率相乘得﹣1，进而求得a和c的关系式，进而求得e．【解答】解：依题意可知点F（﹣c，0）直线AB斜率为=，直线BF的斜率为=∵∠FBA=90°，∴（）•=﹣=﹣1整理得c2+ac﹣a2=0，即（）2+﹣1=0，即e2+e﹣1=0解得e=或﹣∵0＜e＜1∴e=，故选C．9．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于（ ）A ．16cm 3B ．20cm 3C ．24cm 3D ．28cm 3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为3，4，侧面的高为5，被截取的棱锥的高为3．如图所示．【解答】解：几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为3，4，侧面的高为5，被截取的棱锥的高为3．如图：V=V 棱柱﹣V 棱锥=×3×4×5﹣=24（cm 3），故选：C10．y=sin （ωx +φ）（ω＞0）与y=a 函数图象相交于相邻三点，从左到右为P 、Q 、R ，若PQ=3QR ，则a 的值为（ ）A ．±B ．±C ．±D ．±1【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意得出点Q 、P 的横坐标的差等于函数的周期，点R 、Q 的连线段的垂直平分线是函数图象的一条对称轴．由此设出P 、R 、Q 三点的坐标，建立方程组解出其中一点的横坐标值，即可求出a 的值． 【解答】解：设P （x 1，a ），R （x 2，a ），Q （x 3，a ），根据P 、R 、R 为相邻三点，从左到右为P 、R 、R ，且PR=3RQ ， 如图所示；则，（k ∈Z ）…①由PR=3RQ ，得x 2﹣x 1=3（x 3﹣x 2），…②由①②联立，解得x2=﹣+，（k∈Z）因此，a=f（x2）=sin（ωx2+φ）=sin（+kπ）=±．故选：B．11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣5【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当i=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=﹣1，i=2；当i=2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=1，i=3；当i=3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=﹣2，i=4；当i=4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=2，i=5；当i=5时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=﹣3，i=6；当i=6时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=3，i=7；当i=7时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=﹣4，i=8；当i=8时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=4，i=9；当i=9时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=﹣5，i=10；当i=10时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=5，i=11；当i=11时，不满足进行循环的条件，故输出S值为5，故选：C12．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的f（x）的命题：②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点．其中真命题的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对四个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案．【解答】解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象如图：由图得：①为假命题；②为真命题．因为在[0，2]上导函数为负，故原函数递减；由已知中y=f′（x）的图象，及表中数据可得当x=0或x=4时，函数取最大值2，若x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值为5，即③错误∵函数f（x）在定义域为[﹣1，5]共有两个单调增区间，两个单调减区间，故函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个，即④错误，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某校现有高一、高二、高三三个年级共48个教学班，各年级学生数分别是1000，1180，1200，若按分层抽样从全校抽出65名学生，则高二年级比高一年级多抽出1名学生．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：∵各年级学生数分别是1000，1180，1200，∴各年级学生数的比例为1000：1180：1200=20：21：24，∵按分层抽样从全校抽出65名学生，∴各年级抽出的学生分别是20，21，24，∴高二年级比高一年级多抽出1名学生，故答案为：1．14．已知向量、满足||=1，||=，且（3﹣2）⊥，则与的夹角为．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】设与的夹角为θ，则由题意可得（3﹣2）•=3﹣2×1×cosθ=0，求得cosθ的值，可得θ的值．【解答】解：∵向量、满足||=1，||=，且（3﹣2）⊥，设与的夹角为θ，∴（3﹣2）•=3﹣2=3﹣2×1×cosθ=0，求得cosθ=，∴θ=，故答案为：．15．设△ABC的内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosC=4csinA，若△ABC的面积S=10，b=4，则a的值为．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据A为三角形的内角，得到sinA不为0，等式两边同时除以sinA，得到tanC，由C为三角形的内角，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，进而利用三角形面积公式即可得解a的值．【解答】解：∵，∴4csinA=3acosC变形为：4sinCsinA=3sinAcosC，又∵A为三角形的内角，∴sinA≠0，∴4sinC=3cosC，即tanC=，∵C为三角形的内角，可得：cosC==，sinC==，∵b=4，S=10=absinC=，∴解得：a=．故答案为：．16．已知F为抛物线C：y2=2x的焦点，点E在射线l：x=﹣（y≥0）上，线段EF的垂直平分线与l交于点Q（﹣，），与抛物线C交于点P，则△PEQ的面积为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出F坐标，进而根据垂直平分线的性质，求出E点坐标，进而求出EF中点坐标，再求出PQ所在直线方程，联立抛物线方程后可得P点坐标，最后可得△PEQ的面积．【解答】解：∵F为抛物线C：y2=2x的焦点，∴F点的坐标为（，0），又∵线段EF的垂直平分线与C的准线交于点Q（﹣，），∴QE=QF==，∴E点坐标为：（﹣，2），则EF的中点为（0，1），∴PQ所在的直线方程为：y=x+1，代入y2=2x得：x=2，y=2，即P点坐标为（2，2），∴△PEQ的面积S==，故答案为：．三、解答题：本题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. 17．已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n log a n，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【分析】（I）根据a3+2是a2，a4的等差中项和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1，即可求得通项公式；（II）先求出数列{b n}的通项公式，然后求出﹣S n﹣（﹣2S n），即可求得的前n项和S n．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q∵a3+2是a2，a4的等差中项∴2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8∴a2+a4=20∴∴或∵数列{a n}单调递增∴a n=2n（II）∵a n=2n∴b n==﹣n•2n∴﹣s n=1×2+2×22+…+n×2n①∴﹣2s n=1×22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n2n+1②∴①﹣②得，s n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=2n+1﹣n•2n+1﹣218．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AA1⊥底面ABCD，AB=2，AA1=BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，点F为B1C1中点．（Ⅰ）求证：平面A1ED⊥平面A1AEF；（Ⅱ）求三棱锥E﹣A1FD的体积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）由已知中AB=2，BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，我们易得到∠AEB=60°，∠CED=30°，进而得到AE⊥ED，又由AA1⊥底面ABCD，得AA1⊥ED，结合线面垂直的判定定理得到ED⊥平面AA1EF，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面A1ED⊥平面A1AEF；（Ⅱ）将三棱锥E﹣A1FD的体积转化为三棱锥D﹣A1FE的体积，求出棱锥的高及底面面积，代入棱锥体积公式，即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AB=2，BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，∴△ABC为等边三角形，∠AEB=60°△CDE中，∠CED=30°∴AE⊥ED∵AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥ED，又由AE∩AA1=A∴ED⊥平面AA1EF又∵ED⊂平面A1ED∴平面A1ED⊥平面A1AEF；（Ⅱ）三棱锥E﹣A1FD的体积与三棱锥D﹣A1FE的体积相等其中DE为棱锥的高，又∵DE=AD•sin30°=2∴V==19．根据微信同程旅游的调查统计显示，参与网上购票的1000位购票者的年龄（单位：岁）情况如图所示．（1）已知中间三个年龄段的网上购票人数成等差数列，求a，b的值；（2）为鼓励大家网上购票，该平台常采用购票就发放酒店入住代金券的方法进行促销，具体做法如下：年龄在[30，50）岁的每人发放20元，其余年龄段的每人发放50元，先按发放代金券的金额采用分层抽样的方式从参与调查的1000位网上购票者中抽取5人，并在这55人中随机抽取3人进行回访调查，求此3人获得代金券的金额总和为90元的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）直方图中，频率=组距×纵坐标及频率和为1，列出方程组；（2）利用分层抽样从样本中抽取5人，其中年龄在[30，50）为3人，其余年龄段的为2人，取到所有的抽取情况及得代金卷总和为90元的情况列出，利用古典概型概率公式求出．【解答】解：（1）由已知可得，解得：a=0.185，b=0.185．（2）利用分层抽样从样本中抽取5人，其中年龄在[30，50）为3人，其余年龄段的为2人．随机抽取3人，有=10种，此3人获得代金券的金额总和为90元，则需要2个20元和1个50元，有=6种，∴此3人获得代金券的金额总和为90元的概率为=0.6．20．如图，曲线C1是以原点O为中心，F1，F2为焦点的椭圆的一部分，曲线C2是以O为顶点，F2（1，0）为焦点的抛物线的一部分，是曲线C1和C2的交点．（I）求曲线C1和C2所在的椭圆和抛物线的方程；（II）过F2作一条与x轴不垂直的直线，与曲线C2交于C，D两点，求△CDF1面积的取值范围．【考点】圆锥曲线的综合．【分析】（I）先设出抛物线以及椭圆方程，根据F2（1，0）为焦点，求出p=1，得到抛物线方程；再根据（，）在椭圆上，即可求出椭圆方程；（II）设出直线方程x=my+1，并根据条件求出m的取值范围；再联立直线与抛物线方程，根据韦达定理以及|y1﹣y2|=求出三角形面积的表达式，最后结合m的取值范围即可求出△CDF1面积的取值范围．【解答】解：（I）设抛物线方程为：y2=2px，由F2（1，0）为焦点，所以p=1．∴y2=4x设椭圆方程为；代入（，），解得a2=9，所以椭圆方程为：=1．（II）设直线方程为：x=my+1，则m∈（﹣，0）∪（0，）．由得y2﹣4my﹣4=0．设C（x1，y1），D（x2，y2）则y1+y2=4m，y1y2=﹣4．所以=×2×|y1﹣y2|==4，因为m2∈（0，）．∴S∈（4，）．△21．已知函数f（x）=﹣lnx+t（x﹣1），t为实数．（1）当t=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若当t=时，﹣﹣f（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导函数，利用导数大于0，求函数的单调增区间，导数小于0，求函数的单调减区间；（2）当t=时，﹣﹣f（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，可得k＜﹣xlnx+在（1，+∞）上恒成立，利用导数确定单调性，求出最值，即可求实数k的取值范围．【解答】解：（1）当t=1时，f（x）=﹣ln x+（x﹣1），f′（x）=﹣+1，令f′（x）=0，∴x=1，∵x∈（0，+∞）故函数f（x）的单调减区间为（0，1），单调增区间为（1，+∞）；（2）当t=时，﹣﹣f（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，可得k＜﹣xlnx+在（1，+∞）上恒成立，令y=﹣xlnx+，则y′=﹣lnx﹣1+x，y″=﹣+1＞0，∴y′在（1，+∞）上单调递增，∴y′＞﹣ln1﹣1+1=0，∴y在（1，+∞）上单调递增，∴y＞，∴k≤．选做题：[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图△ABC内接于⊙O，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D．（Ⅰ）求证：AC2=AP•AD；（Ⅱ）若∠ABC=60°，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）根据三角形中两条边相等，得到对应的两个底角相等，证明两个三角形相似，相似三角形对应边成比例，得到比例式，通过等量代换得到要求的等式．（II）根据有一个顶角是60°的等腰三角形是等边三角形，得到∠BAC=60°，从而得到∠BAP=90°，即BP是圆的直径，在直角三角形中利用勾股定理得到结果．【解答】（I）证明：连接BP，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB又∠ACB=∠APB，∴∠ABC=∠APB，∴△ABP∽△ABD∴即AB2=AP•AD，∵AB=AC，∴AC2=AP•AD（II）∵∠ABC=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵P为为弧AC的中点，∴∠ABP=∠PAC=30°，∴∠BAP=90°，∴BP是圆的直径，∴BP=2，∴AP=BP=1，在直角三角形PAB中，AB2=BP2﹣AP2=3，∴AD=[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（φ为参数），定P（﹣1，0）．（1）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AP|•|BP|的值．（2）过点P作曲线C的切线m（斜率不为0），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求切线m的极坐标方程．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的参数方程化为普通方程，将直线l的参数方程代入，利用参数的几何意义，即可求解；（2）设过点P作曲线C的切线为x=ny﹣1（n≠0），代入抛物线方程，整理，利用△=0，求出普通方程，再化为极坐标方程．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数），普通方程为y=2x2，将直线l的参数方程代入可得t2﹣（4+）t+4=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2=4，∴|AP|•|BP|=|t1t2|=4；（2）由题意，切线斜率一定存在，设过点P作曲线C的切线为x=ny﹣1（n≠0），代入抛物线方程，整理可得2nx2﹣x﹣1=0，△=1+8n=0，∴n=﹣．∴切线m的直角坐标方程为8x+y+8=0，极坐标方程为8ρcosθ+ρsinθ+8=0．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）24．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．【考点】不等式的证明；带绝对值的函数．【分析】（Ⅰ）将函数写成分段函数，再利用f（x）＜4，即可求得M；（Ⅱ）利用作差法，证明4（a+b）2﹣（4+ab）2＜0，即可得到结论．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=|x+1|+|x﹣1|=当x＜﹣1时，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（x）=2＜4；当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．所以M=（﹣2，2）．…（Ⅱ）证明：当a，b∈M，即﹣2＜a，b＜2，∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，∴4（a+b）2＜（4+ab）2，∴2|a+b|＜|4+ab|．…2018年10月21日。