济南市高二数学上学期期末考试试题(有答案)-精
山东省济南市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．复数的虚部为（ ） i(2i)-A ．-2 B ．2 C ．-2i D ．2i【答案】B【分析】由复数的运算得出虚部.【详解】，即该复数的虚部为. i(2i)12i -=+2故选：B2．命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5 D ．a ≤5【答案】C【分析】先要找出命题为真命题的充要条件， 从集合的角度充分不必要条件应为 {|4}a a ≥的真子集，由选择项不难得出答案{|4}a a ≥【详解】命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”为真命题，可化为∀x ∈[1，2]，恒成立2a x ≥即只需，2max ()4a x ≥=即命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”为真命题的的充要条件为，4a ≥而要找的一个充分不必要条件即为集合的真子集，由选择项可知 C 符合题 {|4}a a ≥意. 故选：C3．曲线在点处的切线方程为（ ） sin 2cos y x x =-(),2πA ． B ．C ．D ．20x y π+--=20x y π--+=220x y π+-+=220x y π---=【答案】A【解析】先求得导函数,根据切点求得斜线的斜率,再由点斜式即可求得方程. 【详解】曲线 sin 2cos y x x =-则'cos 2sin y x x =+当时,x π=cos 2sin 1k ππ=+=-所以在点处的切线方程,由点斜式可得 (),2π()21y x π-=-⨯-化简可得 20x y π+--=故选:A【点睛】本题考查了导数的几何意义,切线方程的求法,属于基础题.4．已知向量．若与垂直，则实数（ ）(1,0),)a b c k ==-= 2a b -c k =AB ．C ．1D ．33-【答案】B【分析】求出，根据向量垂直可得数量积为0即可求出. 2a b -【详解】因为，(1,0),)a b c k ==-=所以，(()(22,0a b -=--=因为与垂直，所以，解得. 2a b - c ()230a b c k -⋅== 3k =-故选：B.5．设等差数列{an }的前n 项和为Sn ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当Sn 取最小值时，n 等于( ) A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】A【详解】分析：条件已提供了首项，故用“a 1，d”法，再转化为关于n 的二次函数解得． 解答：解：设该数列的公差为d ，则a 4+a 6=2a 1+8d=2×（-11）+8d=-6，解得d=2， 所以S n =-11n+×2=n 2-12n=(n-6)2-36，所以当n=6时，S n 取最小值．()n n 12-故选A点评：本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．6．下列四个图形中，正方体棱上的四个中点共面的图形是（ ）．A ．甲与乙B ．乙与丙C ．丙与丁D ．丁与甲【答案】A【分析】如图所示:利用空间点线面位置关系可以证明图中中点E 、F 、G 、H 、M 、N 六点共面,进而判断甲乙图中对应的四点为分别为:H 、F 、G 、N 和E 、F 、G 、M 均在平面EFGNMH 内，所以可得甲乙图形符合要求;然后可判断丙和丁图中对应的四点不共面.【详解】如图所示, E 、F 、G 、H 、M 、N 、P 、Q 均为正方体AC 1棱上的中点,所以有:EF AC,MN A 1C 1,ACA 1C 1,得EF MN,所以得EF 、MN 可确定一个平面α,同理EH 、NG 可确定一个平面β,又因为E 、F 、M 三点不共线只能确定一个平面,所以α、β重合,即E 、F 、G 、H 、M 、N 六点共面为平面EN,所以有:甲图中对应的四点为H 、F 、G 、N 在平面EN 内即共面; 乙图中对应的四点为E 、F 、G 、M 在平面EN 内即共面;丙图中对应的四点为E 、F 、P 、M 其中P 点不在平面EN 内即得四点不共面; 丁图中对应的四点为E 、H 、G 、Q 其中Q 点不在平面EN 内即得四点不共面; 综上可得甲乙图满足要求. 故选:A【点睛】本题考查了多点共面的问题,综合利用点线面的位置关系来证明,解决此类问题要求学生有丰富的空间想象能力,属于中档题.7．已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆EF 22:2430C x y x y +--+=CE CF ⊥P EF EF 上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小C :30l x y --=,A B 2APB π∠≥AB 值是（ ）A ．B ．C ．D ．12【答案】B【分析】根据已知条件先确定出点的轨迹方程，然后将问题转化为“以为直径的圆要包括圆P AB ”，由此利用圆心到直线的距离结合点的轨迹所表示圆的半径可求解22(1)(2)1x y -+-=()1,2C l P 出的最小值.AB【详解】由题可知：，圆心，半径22:(1)(2)2C x y -+-= ()1,2C r 又，是的中点，所以， CE CF ⊥P EF 112CP EF ==所以点的轨迹方程，圆心为点，半径为， P 22(1)(2)1x y -+-=()1,2C 1R =若直线上存在两点，使得恒成立，:30l x y --=,A B 2APB π∠≥则以为直径的圆要包括圆， AB 22(1)(2)1xy -+-=点到直线的距离为，()1,2C ld 所以长度的最小值为， AB ()212d +=故选：B ．【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于点轨迹方程的求解以及转化思想的运用，根据弦中点P 以及线段长度可求点轨迹方程，其次“恒成立”转化为“以为直径的圆包括的轨P 2APB π∠≥AB P 迹”，结合圆心到直线的距离加上半径可分析的最小值.AB 8．已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，()()21e ,043,0x x f x x x x +⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩()y f x a =-1x 2x ，，，则的取值范围为（ ） 3x 4x 1234x x x x ++A ． B ．C ．D ．(]5,3e +[)4,4e +[4,)+∞(,4]-∞【答案】A【分析】根据导函数判断函数的单调性，画出函数图像，将有四个零点转化为()f x ()y f x a =-的图像与有四个不同交点，分析可知，由韦达定理可得()y f x =y a =1e a <≤，设，，由导函数分析函数单调性，即可求出范12344ln ++=+-x x x x a a ()4ln =+-g a a a 1e a <≤围.【详解】解：时，，， 0x ≤ 2(1)()e x f x +=2(1)()e 2(1)x f x x +'∴=⋅+在上单调递减，在上单调递增，，()f x ∴(,1)-∞-(1,0)-(1)1,(0)e f f -==时，， 0x >4()3f x x x=+-在上单调递减，在上单调递增，，()f x ∴(0,2)(2,)+∞(2)1f =画出的图像如下图，有四个零点即的图像与有四个不同交点，()f x ()y f x a =-()y f x =y a =由图可得，是方程，即的两根，1e a <≤12,x x 2(1)e x a +=221x x ++-ln 0a =是方程，即的两根， 34,x x 43x a x+-=2(3)x a x -+40+=，，121ln x x a ∴=-343x x a +=+则， 12341ln 34ln (1e)x x x x a a a a a ++=-++=+-<≤设，，则，在上单调递增， ()4ln =+-g a a a 1e a <≤1()10'=->g a a()g a ∴(1,e)当时，，即.∴1e a <≤(1)()(e)g g a g <≤5()3e g a <≤+故选：A.二、多选题9．已知等差数列 的前n 项和为 ，且 ，则（ ） {}n a 67,n S S S <78S S >A ．在数列中， 最大 {}n a 1a B ．在数列中， 或 最大 {}n a 3a 4a C ．310S S =D ．当 时， 8n ≥0n a <【答案】AD【分析】根据，且，可推出，，故，可判断AD 正确，B 错67S S <78S S >70a >8780a a a <>，0d <误，结合等差数列的性质可判断，判断C. 103770S S a -=>【详解】为等差数列，∵，且， {}n a 67S S <78S S >∴ ，7678787800S S a S S a a a -=>-=<>，，即，0d <∴{an }是递减等差数列，最大，当 时，，当 时，， 1a 7n ≤0n a >8n ≥0n a <故AD 正确，B 错误，， 10310987654770S S a a a a a a a a ++++=++-=>则 ，故C 错误， 103S S ≠故选：AD ．10．光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则实数2|2|=-+-y x a +=0x y 122y x =--a 可能为（ ） A ．6 B ．C ．2D ．6-2-【答案】AD【分析】根据入射光线上的点关于直线的对称点一定在反射光线上，即可求解.+=0x y 【详解】在直线上任意取一点，122y x =--00(,)A x y 由题知点关于直线的对称点在直线上， A +=0x y 00(,)B y x --2|2|=-+-y x a 则整理得，00001=22=2+2y x x y a ⎧--⎪⎨⎪--⎩1222-=a 解得或. 6a =2a=-故选：AD.11．如图，正三棱柱的底面是边长为的等边三角形，侧棱长为 ，分别是111ABC A B C -12,D E 的中点，则下列结论成立的是（ ）1,BB ACA ．直线与是异面直线 CD 11BC B ．直线与平面平行 BE 1ACD C ．直线与直线 AC 1A DD ．直线与平面CD 11AAC C 【答案】BCD【解析】直线与在同一平面内，不是异面直线，分别证明线面平行，计算异面直线夹角和CD 11B C 直线与平面所成角的大小即可得解.【详解】直线与 在同一平面内，不是异面直线，所以A 选项错误； CD 11B C 11B C CB 取交点，连接， ，11,A C AC O ,OE OD 1//,//OE CC OE BD 11=2OE CC BD =所以四边形是平行四边形，，BDOE //BE OD 平面，平面 ，所以直线与平面平行，B 选项正确； BE ⊄1ACD OD ⊂1ACD BE 1ACD 直线与直线 所成角就是与直线所成角， 11//AC A C AC 1A D 11A C 1A D 正三棱柱的底面是边长为的等边三角形，侧棱长为 ，111ABC A B C -12连接在中， 1C D 11AC D ∆11111,AC C D A D ===由余弦定理可得 11cos DA C ∠==所以直线与直线，所以C 选项正确； AC 1A D 由题可得：平面平面，交线为 AC ，，11AA C C ⊥ABC BE AC ⊥平面，根据面面垂直的性质可得平面 ，，BE ⊂ABC BE ⊥11AAC C //BE OD 所以平面，OD ⊥11AAC C线与平面所成角就是，在直角三角形 中， CD 11AAC C DCO ∠DCO CD CO ==直线与平面所成角的余弦值为 D 选项正确. CD 11AAC C 故选：BCD【点睛】此题考查空间线面位置关系，涉及异面直线判定，求异面直线所成角，判断线面平行，求直线与平面所成角的大小，关键在于熟练掌握相关定理和解决问题的基本方法.12．已知函数，则（ ）()2ln f x x x =-A ．恒成立B ．是上的减函数()0f x ≤()f x ()0,+∞C ．在得到极大值D ．在区间内只有一个零点 ()f x 12e x -=12e()f x ⎫⎪⎭【答案】CD【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，由此可判断BC ，取可判断A 选项的正()f x 01x <<误，根据函数的单调性及可判断D.()10f =【详解】，该函数的定义域为，()2ln f x x x =- ()0,∞+所以，()()2ln 2ln 1f x x x x x x '=--=-+由，可得，由，可得， ()0f x ¢>120ex -<<()0f x '<12e x ->所以当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，120e x -<<()f x 12e x ->()f x ，故B 选项错误，C 选项正确；()111221e e ln e 2e f x f ---⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭极大值当时，，此时，A 选项错误；01x <<ln 0x <()2ln 0f x x x =->由题可知函数在区间内单调递减，而，故在区间内只有一个零()f x ⎫⎪⎭()10f =()f x ⎫⎪⎭点，D 选项正确. 故选：CD.三、填空题13．若，，…，这20个数据的平均数为，方差为0.21，则，，…，，这21个1a 2a 20a x 1a 2a 20a x 数据的方差为__________． 【答案】0.20【解析】根据平均数与方差的概念，利用公式，准确计算，即可求解．【详解】由题意，数据，，…，这20个数据的平均数为，方差为，1a 2a 20a x 0.21由方差的公式，可得， 222212201[()()()]0.2120s a x a x a x =⨯-+-++-= 所以，2221220()()() 4.2a x a x a x -+-++-= 所以， 22222122011[()()()(] 4.20.202121s a x a x a x x x '=⨯-+-++-+-=⨯= 故答案为：．0.20【点睛】本题主要考查了平均数与方差的概念及应用，其中解答中熟记平均数和方差的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题．14．若点，，点P 是yOz 平面上一点，则的最小值为__________. (1,1,1)A -(232)B ,,PA PB +【分析】根据三点共线时距离和取到最小值，利用对称点转移等长线段，即可分析出，由空间两点间距离公式即可求解.()minPA PB A B '+=【详解】解：构造点关于平面yOz 的对称点， (1,1,1)A -(1,1,1)A '--将转化成，当P ，A ，B 三点共线时有最小值，PA PB +PA PB '+，()minPA PB +==15．如图，“神舟十三号”载人飞船的运行轨道是以地球的中心（简称“地心”）为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ．设地球半径为r ，该飞船远地点离地面的距离为R ，则该卫星近地点离地面的距离为______．【答案】()21R R r ee-++【分析】由题设及椭圆的几何性质可得，再由近地点距地面距离为，即可求a c R r c e a+=+⎧⎪⎨=⎪⎩a c r --结果.【详解】由题设，若椭圆轨道对应方程为且，22221x y a b +=0a b >>椭圆的几何性质知：，则，a c R r c e a +=+⎧⎪⎨=⎪⎩1()1R r a ee R r c e +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩又近地点离地面的距离为. ()2()111R R r e R r e R r a c r r e e e-+++--=--=+++故答案为：.()21R R r ee-++四、双空题 16．若函数在和两处取到极值，则实数的取值范围是()21e 12xf x ax =-+1x x =2x x =a ___________；若，则实数的取值范围是___________. 212x x ≥a 【答案】 (e,)+∞2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】对求导后令，再根据是导函数的两根，数形结合分析两根的关系求解. ()f x ()0f x '=12,x x 【详解】解：①已知函数，则， ()21e 12xf x ax =-+()x f x ax e '=-若函数在和两处取到极值，则和是函数的()21e 12xf x ax =-+1x x =2x x =1x x =2x x =()x f x ax e '=-两个零点，即是方程，即的两个根，e 0xax -=e xa x=所以函数的图像与直线有两个不同的交点且交点的横坐标分别为，e ()=xg x xy a =12,x x 由于，所以当或时，；当时，；2(1)e ()xx g x x '-=0x <01x <<()0g x '<1x >()0g x '>故的减区间有和，增区间有， ()g x (,0)-∞(0,1)(1,)+∞且当时，，作出的草图：1x =min ()(1)e g x g ==()g x由图可知要满足函数有两个零点，需使， ()x f x ax e '=-e a >所以实数的取值范围是， a (e,)+∞②，且 12,0x x > e a >若，即，取，并令，则， 212x x ≥212x x ≥212x x =1(0)x t t =>22x t =所以，解得，此时， 2e e 2t t t t =ln 2t =ln 2e 2ln 2ln 2a ==故，即实数的取值范围是， 2ln 2a ≥a 2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭故答案为：. ()2e,,ln 2∞∞⎡⎫++⎪⎢⎣⎭；五、解答题17．等差数列{}中，. n a 34574,6a a a a +=+=（Ⅰ）求{}的通项公式；n a （Ⅱ） 设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2. []n n b a ={}n b []x x 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）24. 235n n a +=【详解】试题分析：（Ⅰ） 根据等差数列的通项公式及已知条件求，，从而求得；（Ⅱ）由1a d n a （Ⅰ）求，再求数列的前10项和.n b {}n b 试题解析：（Ⅰ）设数列的公差为d ，由题意有. {}n a 112+54,+53a d a d ==解得. 121,5a d ==所以的通项公式为. {}n a 235n n a +=（Ⅱ）由（Ⅰ）知. 235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦当n=1,2,3时，； 2312,15n n b +≤<=当n=4,5时，； 2323,25n n b +≤<=当n=6,7,8时，； 2334,35n n b +≤<=当n=9,10时，. 2345,45n n b +≤<=所以数列的前10项和为.{}n b 1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=【解析】等差数列的通项公式，数列的求和【名师点睛】求解本题时常出现以下错误：对“表示不超过的最大整数”理解出错. []x x18．已知直线和圆． :10l x y -+=22:2440C x y x y +-+-=(1)若直线交圆于，两点，求弦的长； l C A B AB (2)求过点且与圆相切的直线方程． ()41-,C 【答案】(1)2(2)或 4x =43130x y +-=【分析】（1）先由圆的方程得到圆心和半径，根据几何法求弦长，即可得出结果； （2）当直线斜率不存在时，可直接得出切线方程；当直线斜率存在时，先设切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径列方程，得出的值即可求出直线方程．()14y k x +=-k 【详解】（1）将圆：化成标准方程：， C 222440x y x y +-+-=()()22129x y -++=所以的圆心为，半径， ()1,2C -3r =所以到直线：的距离()1,2C -l 10x y -+=d所以；2AB ===（2）①当直线斜率不存在时，过点的直线为，是圆的一条切线； ()41-,4x =C ②当直线的斜率存在时，设圆的切线方程为，即， C ()14y k x +=-410kx y k ---=所以圆心到直线的距离为，()1,2C -410kx y k ---=r，解得：，43k =-所以此时切线方程为，化简得． ()4143y x +=--43130x y +-=综上所述，所求的直线方程为：或．4x =43130x y +-=19．已知锐角三角形中，角、、所对的边分别为、、，向量，ABC A B C a b c (2sin ,m A =，且. (),n b a = m n ⊥(1)求角的大小；B(2)若，求面积的取值范围. 3c =ABC 【答案】(1)π3(2)【分析】（1）由已知可得出，利用正弦定理化简可得出的值，结合角2sin 0m n b A ⋅== sin B 为锐角可得角的值；B B （2）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出，求出角的取值范围，可求312tan a C=C 得的取值范围，再利用三角形的面积公式可求得面积的取值范围.a ABC 【详解】（1）解：由已知可得，由正弦定理可得，2sin 0m n b A ⋅==2sin sin 0A B A =、均为锐角，则，故.A B sin 0A >sin B π3B =（2）解：由（1）可知，，故，又因为，π3B =2π3A C +=3sin sin a AC =所以， ππ3sin π3sin 3sin 3133sin sin sin 2tan C C A a C C C C ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=====又因为，，所以，故π02C <<ππ0π32C <--<ππ62C <<tan C >即有，10tan C<<362a <<又由. 11sin 322ABCS ac B a ==⋅=∈ 所以面积的取值范围是.ABC20．如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA=PD ，点E 为BC 的中点，△AEB 为等边三角形.(1)证明：PB ⊥AE ；(2)点F 在线段PD 上且DF=2FP ，若二面角F −AC −D 的大小为45°，求直线AE 与平面ACF 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）作出辅助线，证明，由面面垂直得到线面垂直，进而得到，得到AE BO ⊥PO AE ⊥平面，求出PB ⊥AE ；（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的⊥AE PBO 正弦值；方法二：作出辅助线，得到二面角的平面角，求出各边长，利用等体积法求解点到平面E 的距离，从而求出线面角的正弦值.ACF 【详解】（1）因为点为的中点且为等边三角形， E BC AEB △所以，从而. AB BE AE EC ===90,60BAC ABC ∠∠== 取的中点，则四边形为菱形，连接BO ，AD O ABEO故，①AE BO ⊥又，且为的中点，则，PA PD =O AD PO AD ⊥又平面平面，平面平面，所以平面， PAD ⊥ABCD PAD ⋂ABCD AD =PO ⊥ABCD 从而②PO AE ⊥由①②得：平面， ⊥AE PBO 又平面，故.PB ⊂PBO PB AE ⊥（2）解法一：设，作交，由（1）已证平面，从而,1OP h AB ==ON AD ⊥BC N 于PO ⊥ABCD 两两垂直，以点，为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角,,ON OD OP O ,,ON OD OP x y z 坐标系如图所示.则. ()11120,1,0,,0,,0,0,,2233A C E F h ⎫⎫⎛⎫--⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭设平面的一个法向量为，ACF (),,n x y z =又，3421,0,0,,,,02332AC AF h AE ⎫⎫⎛⎫===⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭由得 0,0n AC n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩30,2420,33y y hz +=⎪+=⎪⎩今，故，x =21,y z h =-=21,n h ⎫=-⎪⎭ 由平面知为平面的一个法向量. PO ⊥ABCD ()0,0,1m =ACD 由二面角的大小为知.F AC D --45 cos 45m n m m⋅==⋅1h =从而为平面的一个法向量，)1,2n =- ACF 所以点到平面的距离为E ACFAE n d n ⋅== 从而直线与平面所成角的正弦值为AE ACF d AE =解法二：作交于，作于，连接，FH OP ∥AD H HM AC ⊥M FM由（1）已证平面，故平面， OP ⊥ABCD FH ⊥ABCD 又平面，所以，AC ⊂ABCD FH AC ⊥又，所以平面， ,MH AC FH MH H ⊥⋂=AC ⊥,FMH AC MF ⊥所以为二面角的平面角，由题知. FMH ∠F AC D --45FMH ∠= 不妨设，又，1OC OD OA CD ====AC CD ⊥所以，且，∥MH CD 2233MH FH CD ===所以31,2AC OP FH FM ====设点到平面的距离为，则由知， E ACF d E ACF F AEC V V --=12ACF ACE ACB S d S FH S FH ⋅=⋅=⋅得，解得12AC MF d AC CD FH ⋅⋅=⋅⋅⋅d =从而直线与平面所成角的正弦值为AE ACF d AE =21．已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为3，且过点.2222:1(0)x y E a b a b +=>>()2,1P (1)求椭圆的方程；E (2)为坐标原点，点与点关于轴对称，，是椭圆上位于直线两侧的动点，且满足O Q P x A B PQ ，求面积的最大值.APQ BPQ ∠=∠OAB 【答案】(1)22163x y +=【分析】（1）根据椭圆经过的点及上顶点到右顶点的距离，求出，得到椭圆方程；（2）设出直,a b 线方程，联立后用韦达定理，根据角度相等，转化为斜率之和为0，列出方程，求出，求出AB k 弦长，表达出面积，求出面积最大值.【详解】（1）由已知可得，解得 22229,411,a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩226,3.a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆的方程为.E 22163x y +=（2）依题意，直线斜率一定存在，设方程为，，.AB AB y kx m =+()11,A x y ()22,B x y 由得，，22,163y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222124260k x kmx m +++-=，得，()()2222Δ16412260k m k m=-+->22630k m -+>，. 122412km x x k +=-+21222612m x x k -=+，，. APQ BPQ ∠=∠ 0PA PB k k ∴+=121211022y y x x --∴+=--， ()()()()211221210x y x y ∴--+--=.()()()()211221210x kx m x kx m ∴-+-+-+-=.()()()1212.221410kx x m k x x m ∴+--+--=.()()()2222264214101212k m km m k m k k ---∴---=++化简得，， 22310k k km m -++-=即()()1210k k m -+-=或.1k ∴=12m k =-将代入中，得，即直线经过点，不合题意，所以12m k =-y kx m =+()12y k x -=-AB P 12m k =-舍去，分别位于的两侧，AB PQ ，且，. 31m ∴-<<-1243m x x +=-212263m x x -=2AB x=-==到的距离OAB d 的面积为OAB ∴ ()22911222m m S AB d +-=⨯⨯=≤=当且仅当，即. 229m m =-m =OAB ∴ 【点睛】对于圆锥曲线求解弦长，面积等最值问题，通常情况下，要设出直线方程，联立后利用韦达定理，求出弦长，表达出面积，再最后求解最值时，要结合代数式的特征，选择合适的方法，比如基本不等式，换元法，转化为二次函数求最值等. 22．已知函数()2ln 1f x x ax =-+(1)若存在零点，求实数a 的取值范围；()f x (2)若是的零点，求证： 0x ()f x 00220032e 1.x x a x x --≤<【答案】(1) ,⎛-∞ ⎝(2)证明见解析【分析】（1）令，变形得，令，求()2ln 10(0)f x x ax x =-+=>2ln 1x a x +=2ln 1()(0)x g x x x+=>出函数的值域，即可求得实数a 的范围；()g x （2）由题意可得，，得，要证，即证()0002ln 10f x x ax =-+=002ln 1x a x +=00220032e 1x x a x x --≤<，先证，只需证，令，求0000032e 12ln 1x x x x x --≤+<000322ln 1x x x -≤+001ln 1x x +≥()1()ln 0t x x x x =+>出函数的最小值即可得证；再证，令，证明即可得证.000e 12ln 1x x x -+<()2ln 1h x x x =+-()()h x k x <【详解】（1）令，变形得， ()2ln 10(0)f x x ax x =-+=>2ln 1x a x+=令，问题转化成与有交点， 2ln 1()(0)x g x x x+=>ya =()g x 令，解得212ln ()0xg x x -'==x =则在上单调递增，在上单调递减，()gxx∈)x ∈+∞故 max ()g x g ===又当时，，0x →()g x →-∞ a ∴≤故实数a 的取值范围为. ,⎛-∞⎝（2）由题意可得，，得， ()0002ln 10f x x ax =-+=002ln 1x a x +=要证，即证， 00220032e 1x x a x x --≤<000022000322ln 1e 1(0)x x x x x x x -+-≤<>即证， 0000032e 12ln 1x x x x x --≤+<先证，只需证，000322ln 1x x x -≤+001ln 1x x +≥令，则， ()1()ln 0t x x x x=+>21()x t x x -'=在上单调递减，在上单调递增，故，，左边证毕，()t x ∴(0,1)x ∈(1,)x ∈+∞min ()(1)1t x t ==()1t x ∴≥再证，000e 12ln 1x x x -+<令，， ()2ln 1h x x x =+-2()xh x x-'=在上单调递增，在上单调递减，故；()h x ∴(0,2)x ∈(2,)x ∈+∞max ()(2)2ln 21h x h ==-令，， e 1()x k x x x-=-22e e 1(1)(1e )()1x x x x x x k x x x -+--+-'=-=对于函数，， 1e x y x =+-0x >则，原函数单调递减， 1e 0x y '=-<故 1e 0x y x =+-<令，解得，()0k x '=1x =在上单调递减，在上单调递增，故()k x ∴(0,1)x ∈(1,)x ∈+∞min ()(1)e 2k x k ==-，，即，故，右边证毕， e 22ln 21->- ()()h x k x ∴<e 12ln 1xx x x x-+-<-000e 12ln 1x x x -+<则得证. 00220032e 1x x a x x --≤<【点睛】本题考查了函数的零点问题、单调性及最值，考查了计算能力及逻辑推理能力，需要构造新的函数来解决所求问题，属于难题.。
山东省济南市高二上学期数学期末考试试卷
山东省济南市高二上学期数学期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 解答题 (共 8 题；共 71 分)1. （1 分） (2020 高三上·静安期末) 若直线 和直线 的倾斜角分别为 和 角为________.则 与 的夹2. （10 分） (2019 高二上·四川期中) 已知椭圆 长轴的两个端点分别为，， 离心率.（1） 求椭圆 的标准方程；（2） 作一条垂直于 轴的直线，使之与椭圆 在第一象限相交于点 ，在第四象限相交于点 ，若直线与直线相交于点 ，且直线的斜率大于 ，求直线的斜率 的取值范围.3. （5 分） (2018 高三上·丰台期末) 在四棱锥，分别是的中点，，中，底面 .是矩形，侧棱底面（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求 与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱 在，请说明理由.上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存4. （10 分） (2017·黑龙江模拟) 已知椭圆第 1 页 共 19 页，其左、右焦点分别为 F1 ， F2 ， 离心率为 ，点 R 的坐标为 （1） 求椭圆 C 的方程；，又点 F2 在线段 RF1 的中垂线上．（2） 设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A1 ， A2 ， 点 P 在直线上（点 P 不在 x 轴上），直线 PA1 ，PA2 与椭圆 C 分别交于不同的两点 M，N，线段 MN 的中点为 Q，若|MN|=λ|A1Q|，求 λ．5. （15 分） (2016 高二上·淮南期中) 如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，已知 BC=1，BB1=2，∠BCC1=90°， AB⊥侧面 BB1CC1 ．（1） 求直线 C1B 与底面 ABC 所成角的正弦值； （2） 在棱 CC1（不包含端点 C，C1）上确定一点 E 的位置，使得 EA⊥EB1（要求说明理由）．（3） 在（2）的条件下，若 AB= ，求二面角 A﹣EB1﹣A1 的大小．6. （10 分） (2018 高二下·阿拉善左旗期末) 在极坐标系中,曲线 极坐标方程为点为原点,极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 的参数方程为 （1） 写出曲线 的参数方程和直线 的普通方程; （2） 已知点 是曲线 上一点,求点 到直线 的最小距离.参数,以极7. （10 分） (2020·随县模拟) 已知函数.（1） 若，求函数的单调区间；（2） 若函数有两个零点，求实数 的取值范围.8. （10 分） (2019 高二上·大兴期中) 已知椭圆 的两个焦点分别是，，且椭圆 经第 2 页 共 19 页过点.（1） 求椭圆 的标准方程；（2） 当 取何值时，直线与椭圆 有两个公共点；只有一个公共点；没有公共点？二、 填空题 (共 14 题；共 15 分)9. （1 分） (2016 高二下·绵阳期中) 命题“∀ x∈R，x2+2x+2＞0”的否定为________．10. （1 分） (2017 高二上·广东月考) 已知，交点坐标为________．，则直线 与坐标平面的11. （1 分） 如图正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，与 AD1 异面且与 AD1 所成的角为 90°的面对角线(面对角线是 指正方体各个面上的对角线)共有________条.12. （2 分） (2019 高二下·温州期末) 已知抛物线 y＝ax2 过点（4，2），则 a＝________，准线方程为________13. （1 分） (2019 高二上·诸暨月考) 若“ 值为________．”是“”的必要不充分条件，则实数 的最大14. （1 分） (2017 高三上·南通期末) 如图，在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，若各条棱长均为 2，且 M 为 A1C1 的中点，则三棱锥 M﹣AB1C 的体积是________．15. （1 分） (2019 高二上·建瓯月考) 已知 最大值是________．在区间[1，+∞）上是单调增函数，则实数 的第 3 页 共 19 页16. （1 分） (2020·平邑模拟) 已知双曲线 程为________.过点且渐近线为，则双曲线 C 的标准方17. （1 分） (2018 高二上·铜梁月考) 若圆柱的侧面展开图是一个边长为 2 的正方形则圆柱的体积为 ________.18. （1 分） (2017·陆川模拟) 已知抛物线 C：y2=8x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 M，过点 M 的直线l′与抛物线 C 的交点为 P，Q，延长 PF 交抛物线 C 于点 A，延长 QF 交抛物线 C 于点 B，若+=22，则直线 l′的方程为________．19. （1 分） (2019 高二上·诸暨期末) 已知椭圆点， 是椭圆上的点，则的最大值 ________.的离心率大于 ， 是椭圆的上顶20. （1 分） 如图，在直角梯形 ABCD 中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N 分别是 AD，BE 的中点，将三角形 ADE 沿 AE 折起，则下列说法正确的是________(填序号)．①不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)，都有 MN∥平面 DEC；②不论 D 折至何位置，都有 MN⊥AE；③不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)，都有 MN∥AB；④在折起过程中，一定存在某个位置，使 EC⊥AD.21. （1 分） 已知直线 l1：a1x＋b1y＝1 和直线 l2：a2x＋b2y＝1 相交于点 P(2,3)，则经过点 P1(a1 ， b1) 和 P2(a2 ， b2)的直线方程是________.22. （1 分） (2018·兴化模拟) 若函数在上存在唯一的，那么称函数是上的“单值函数”.已知函数满足 是上的“单值函数”，当实数 取最小值时，函数在取值范围是________．上恰好有两点零点，则实数 的第 4 页 共 19 页一、 解答题 (共 8 题；共 71 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析：答案：2-1、第 5 页 共 19 页答案：2-2、 考点： 解析：答案：3-1、第 6 页 共 19 页第 7 页 共 19 页考点： 解析：答案：4-1、答案：4-2、 考点： 解析：第 8 页 共 19 页答案：5-1、 答案：5-2、答案：5-3、第 9 页 共 19 页考点： 解析：答案：6-1、答案：6-2、 考点： 解析：答案：7-1、第 10 页 共 19 页考点：解析：答案：8-1、答案：8-2、考点：解析：二、填空题 (共14题；共15分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。
济南市第一中学高二数学期末考试真题
济南市第一中学高二数学期末考试真题一、选择题1. 若函数 f(x) 的导数 f'(x) = 3x^2 - 2x + 5，则 f(x) 在区间 (-∞, +∞) 上的增减性为（）。
A. 上升，下降B. 下降，上升C. 上升，上升D. 下降，下降2. 已知函数 f(x) 连续，则函数g(x) = ∫[a, b] f(x)dx 的极值点可能是（）。
A. a, b 或者在 (a, b) 内的点B. a, b 内的任意一点C. a, b 内的最大值点D. a, b 内的最小值点3. 已知直线 y = 3x + 2 与某曲线 y = f(x) 在点 (1, 5) 处相切，求 f(x) 的解析式。
4. 设函数 f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x - 2，求函数 f(x) 的零点及其对应的导数值。
5. 已知函数 f(x) = x^2 + px + q 在点 (1, 4) 处有切线 y = 2x + 3，求常数 p 和 q 的值。
二、证明题1. 证明：当a ≠ 0 时，函数 y = ae^x 的导数为 y' = ae^x。
2. 证明：若函数 f(x) 在 x=a 处连续，则 f(x) 在 x=a 处可导。
3. 证明：设函数 f(x) 满足 f'(x) = g(x)，则∫[a, b] f'(x)dx = ∫[a, b]g(x)dx。
三、计算题1. 计算∫[0, π] sin^2x dx。
2. 计算lim┬(n→∞) ∑[k=1]^n 1/n。
3. 计算lim┬(x→0) (e^x - 1)/x。
4. 计算lim┬(x→∞) (x^3 + 2x^2 + 1)/(2x^3 - x^2 + 3)。
四、解答题1. 已知函数f(x) = ∫[0, x] t^2e^tdt，求 f'(x)。
2. 设函数 f(x) 为偶函数，且满足 f'(0) = 0，求证函数F(x) = ∫[-x, x] f(t)dt 为奇函数。
2023-2024学年济南市高二数学上学期期末质量检测试卷附答案解析
2023-2024学年济南市高二数学上学期期末质量检测试卷2024年1月全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线10x y -+=的倾斜角是（）A．30︒B．45︒C．60︒D．120︒2．已知双曲线2212y x -=，则其渐近线方程为（）A．12y x=±B．y x =C．y =D．2y x=±3．已知正项等比数列{}n a 中，2816⋅=a a ，则5a 等于（）A．2B．4C．5D．84．在三棱柱111ABC A B C -中，若AC a = ，AB b = ，1AA c =，则1CB = （）A．a b c +-r r r B．a b c-+r r rC．a b c -+- D．a b c-++5．2023年10月29日，“济南泉城马拉松”在济南大明湖路拉开序幕，约3万名选手共聚一堂，在金秋十月享受了一场酣畅淋漓的马拉松盛会．某赞助商在沿途设置了10个饮水补给站，第一个补给站准备了1千瓶饮用水，第二站比第一站多2千瓶，第三站比第二站多3千瓶，以此类推，第n 站比第n 1-站多n 千瓶（2n ≥且*N n ∈），第10站准备的饮用水的数量为（）A．45千瓶B．50千瓶C．55千瓶D．60千瓶6．已知(2,0)A ，(8,0)B ，若直线y kx =上存在点M 使得0AM BM ⋅=，则实数k 的取值范围为（）A．33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．44,33⎡⎤-⎢⎣⎦C．33,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D．44,,33⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，其中A、2F 分别为双曲线的左顶点、右焦点，P 为双曲线上的点，满足2PF 垂直于x 轴且222AF PF =，则双曲线的离心率为（）A．32B．43C．2D．38．如图所示为正八面体的展开图，该几何体的8个表面都是边长为1的等边三角形，在该几何体中，P 为直线DE 上的动点，则P 到直线AB 距离的最小值为（）A．22B．63C．74D．105二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．一条光线从点(2,3)A -射出，射向点(1,0)B ，经x 轴反射后过点(,1)C a ，则下列结论正确的是（）A．直线AB 的斜率是1-B．AB BC⊥C．3a =D．||||AB BC +=10．已知1F ，2F 分别是椭圆22:12516x y C +=的左，右焦点，P 为椭圆C 上异于长轴端点A，B 的动点，则下列结论正确的是（）A．椭圆C 的焦距为6B．12PF F △的周长为16C．128PF ≤≤D．12PF F △的面积的最大值为1611．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P，Q 分别满足111D P D B λ= ，1DQ DA λ= ，则（）A．()0,1λ∃∈，使1PQ A D ⊥且11PQ B D ⊥B．()0,1λ∀∈，//PQ 平面11ABB A C．()0,1λ∃∈，使PQ 与平面ABCD 所成角的正切值为23D．()0,1λ∀∈，BP 与AQ 是异面直线12．已知集合{}*21,A x x n n ==-∈N ，{}*32,B x x n n ==-∈N ．将A B ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（）A．23a =B．46n n a a +-=C．20233035a =D．若2024n S >，则52n ≥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知(2,1,1)a = ，(6,,3)b λ=-- ，若a b ∥ ，则λ的值为．14．已知等差数列{}n a 首项17a =，公差2d =-，则前n 项和n S 的最大值为．15．已知圆22:4C x y +=，直线:10l mx y m +--=，直线l 被圆C 截得的最短弦长为．16．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F，过点F 作与x 轴不垂直的直线l 交C 于点A，B，过点A 做垂直于x 轴的直线交C 于点D，若点M 是ABD △的外心，则||||AB MF 的值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{}n a ，满足25215a a +=，47a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令(1)nn n b a =-，求{}n b的前2n 项和2n T ．18．已知圆心为C 的圆经过()0,0O，(0,A 两点，且圆心C在直线:l y =上．(1)求圆C 的标准方程；(2)点P 在圆C 上运动，求22PO PA+的取值范围．19．已知抛物线的准线方程为2x =-，直线l 与抛物线交于,A B 两点，O 为坐标原点．(1)若OAB 为等腰直角三角形，求OAB 的面积；(2)若OA OB ⊥，证明：直线l 过定点P，并求出定点P 的坐标．20．如图（1）所示PAB 中，AP AB ⊥，12AB AP ==．,D C 分别为,PA PB 中点．将PDC △沿DC 向平面ABCD上方翻折至图（2）所示的位置，使得PA =．连接,,PA PB PC 得到四棱锥P ABCD -．记PB 的中点为N ，连接CN ．(1)证明：CN ⊥平面PAB ；(2)点Q 在线段CN 上且2QC QN =，连接,AQ PQ ，求平面PAQ 与平面ABCD 的夹角的余弦值．21．设数列{}n a ，其前n 项和为n S ，2233n S n n =+，{}n b 为单调递增的等比数列，123729b b b =，1236b a b a +=-．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)记mc 为{}n b 在区间(]()*0,m a m ∈N 中的项的个数，求数列{}m c 的前100项和100T．22．在平面直角坐标系．xOy 中，设1A ，2A 两点的坐标分别为(2,0)-，(2,0)．直线1A M，2A M相交于点M，且它们的斜率之积是12-．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)记动点M 的轨迹为曲线E，过(1,0)P 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，1l与曲线E 交于A、B 两点，2l 与曲线E 交于C、D 两点，求AC BD ⋅ 的最大值．1．B【分析】根据直线的一般方程与斜率的关系，结合斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】直线10x y -+=的斜率为1，故倾斜角为45︒.故选：B 2．C【分析】利用双曲线方程，求解渐近线方程即可．【详解】由于双曲线为2212y x -=，所以其渐近线方程为2y =±.故选：C.3．B【分析】根据等比中项的性质计算即可.【详解】由题意易知228516a a a ⋅==，又{}n a 各项为正数，所以54a =.故选：B4．D【分析】利用空间向量的线性运算计算即可.【详解】由题可知111CB CC CB AA AB AC a b c =+=+-=-++ .故选：D5．C【分析】设第n 站的饮用水的数量为n a (1,2,3,,10)n = ，由题意得：11a =，212a a -=，323a a -=，L，10910a a -=，然后利用累加法即可求解.【详解】设第n 站的饮用水的数量为n a (1,2,3,,10)n = ，由题意得：11a =，212a a -=，323a a -=，L ，10910a a -=，以上等式相加得：，()()()()10121321091101012310552a a a a a a a a +⨯=+-+-++-=++++== ，即1055a =.故选：C6．A【分析】由题可得点M 的轨迹方程，再由直线与圆有公共点建立不等式，求解即可.【详解】因为0AM BM ⋅=，所以AM BM ⊥，则点M 在以AB 为直径的圆上，因为AB 的中点坐标为(5,0)，6AB =，所以点M 的轨迹方程为22(5)9x y -+=，由题可知，直线y kx =与圆22(5)9x y -+=3≤，解得：3344k -≤≤.故选：C7．A 【分析】设()0,P c y ，代入双曲线方程求出y ，根据222AF PF =可得答案.【详解】设()0,P c y ，则220221y c a b -=，解得20b y a =，即22b PF a =，2AF a c =+，因为222AF PF =，所以22+=b a c a ，可得()2222a ac c a +=-，2230e e --=，解得32e =.故选：A.8．B【分析】作出该几何体，确定直线DE 和直线AB 为异面直线，再根据平面ABC //平面DEF ，结合等体积法求得D 到平面ABC 的距离即可.【详解】把平面展开图还原为空间八面体，如图所示：由题意，P 到直线AB 距离的最小值即直线DF 到直线AB 的距离，又DF //AC ，AC ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，故DF //平面ABC .又1BC BD EC ED ====，故四边形BCED 为菱形，则DE //BC .BC ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，故DE //平面ABC .又DF DE D = ，,DF DE ⊂平面DEF ，故平面DEF //平面ABC .故直线DF 到直线AB 的距离为平面DEF 到平面ABC 的距离.则D 到平面ABC 的距离即为P 到直线AB 距离的最小值.设AF 与CD 交于O ，则易得O 为正四棱锥B ADFC -中心.则1BA BC BD AC AD =====，CD ===，故BCD △为直角三角形，故2OB =.设D 到平面ABC 的距离为h ，则由B ACDD ABC V V --=，故1133ACD ABC S BO S h ⋅=⋅ ，故12311224h ⨯⨯⨯=，解得h =.故选：B9．ABD【分析】选项A 应用斜率公式计算即可；选项B，先求得点A 关于x 轴的对称点，进而求得反射光线所在直线的斜率，应用两条直线垂直的斜率公式判断即可；选项C，求得反射光线所在直线的方程，进而求得点C 的坐标；选项D 应用两点间距离公式求解即可.【详解】由于(2,3)A -、(1,0)B ，由斜率公式得：0311(2)AB k -==---，选项A 正确；点(2,3)A -关于x 轴的对称点1A 的坐标为(2,3)--，经x 轴反射后直线BC 的斜率为：10(3)11(2)BC A B k k --===--，且1BC AB k k ⋅=-，所以AB BC ⊥，选项B 正确；直线BC 即直线1A B的方程为：01(1)y x -=⨯-，即1y x =-，将1y =代入得：2x =，所以点(2,1)C ，2a =，选项C 不正确；由两点间距离公式得：||||AB BC +=选项D 正确；故选：ABD.10．AB【分析】由椭圆方程求得a ，b ，c 的值，根据椭圆的几何性质结合选项即可逐一求解.【详解】由椭圆22:12516x y C +=，得5a =，4b =，3c =，∴椭圆C 的焦距为26c =，故A 正确；又P 为椭圆C 上异于长轴端点A ，B 的动点，∴△12PF F 的周长为2216a c +=，故B 正确；12||8a c PF a c =-<<+=，故C 错误；当P 为椭圆C 的短轴的一个端点时，△12PF F 的面积取最大值为12122c b bc ⨯⨯==，故D 错误．故选：AB．11．BCD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量一一计算判定选项即可.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意可知()()()()()()11,,1,,0,,1,0,1,0,0,1,1,1,0,1,0,0P Q A D B A λλλλ，则()()()()10,,1,1,0,1,1,1,1,1,0,PQ DA BP AQ λλλλλλ=--==--=-，平面11ABB A 的一个法向量为()1,0,0m = ，平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n = ，对于A，若1PQ A D⊥，则()()10,,11,0,110PQ DA λλλ⋅=--⋅=-=()10,1λ⇒=∉，故A 错误；对于B，易知()()0,,11,0,00PQ m λλ⋅=--⋅=恒成立，且PQ ⊄平面11ABB A ，则//PQ 平面11ABB A ，故B 正确；对于C，设PQ 与平面ABCD 所成角为π0,2αα⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，若2tan sin 3αα=⇒=，即sin cos ,PQ nPQ n PQ nα⋅====⋅，解之得35λ=或3λ=，显然()0,1λ∃∈，使得结论成立，故C 正确；对于D，因为()()1,1,1,1,0,BP AQ λλλλ=--=-，若,BP AQ 共线，则存在实数k ，使得()11101k BP k AQ k k λλλλ⎧-=-⎪=⇒-=⨯⎨⎪=⎩ ，解得()10,1λ=∉，所以()0,1λ∀∈，,BP AQ不共线，故D 正确.故选：BCD12．ABD【分析】求得,A B A B 中的一些元素，结合等差数列的定义、通项公式、求和公式，对选项逐一判断即可.【详解】由题意可得：{}*65,A B x x n n ⋂==-∈N ,可得{}1,3,4,5,7,9,10,11,13,15,16,17,19,A B ⋃= ，则123456781,3,4,5,7,9,10,11,,a a a a a a a a ======== 对于选项A:易得23a =，故A 正确；对于选项B:易得46n n a a +-=，故B 正确；对于选项C:由46n n a a +-=，可得202335056430303034a a =+⨯=+=，故C 错误；对于选项D:易得数列{}n a 每隔四个一组求和，可构成等差数列，其首项为13，公差为24，由11312121124107020242⨯+⨯⨯⨯=<，11313131224204120242⨯+⨯⨯⨯=>，则2024n S >，此时有52n ≥，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：关键是通过123456781,3,4,5,7,9,10,11,,a a a a a a a a ======== 找到46n n a a +-=，由此借助等差数列的相关知识，进而求解即可.13．3-【分析】根据向量共线即可求解.【详解】由(2,1,1)a = ，(6,,3)b λ=-- ，a b ∥ ，可得3b a =-r r ，故3λ=-，故答案为：3-14．16【分析】利用等差数列前n 项和公式和,结合二次函数的性质即可求解．【详解】等差数列{}n a 首项17a =，公差2d =-，22(1)7(2)8(4)162n n n S n n n n -∴=+⨯-=-+=--+．则前n 项和nS 的最大值为16．故答案为：16．15．【分析】先求出直线l 过定点()1,1A ，数形结合得到当AC 与故直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，求出最短弦长.【详解】:10l mx y m +--=变形为()110m x y -+-=，故直线l 过定点()1,1A ，故当AC 与故直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，其中22:4C x y +=的圆心为()0,0C ，半径为2，此时弦长为=.故答案为：16．2【分析】设直线():10l x my m =+≠，联立方程，利用韦达定理求AB以及点M 的坐标，即可得结果.【详解】由题意可知：抛物线2:4C y x =的焦点()1,0F ，可知直线l 与抛物线必相交，设直线():10l x my m =+≠，()()1122,,,A x y B x y ，可得()11,A x y -，联立方程241x xy y m =+=⎧⎨⎩，消去x 得2440y my --=，则12124,4y y m y y +==-，可得()241AB m =+，1222y y m +=，且212212x x m +=+，即线段AB 的中点()221,2m m +，则线段AB 的中垂线方程为()2221y m m x m -=---，由题意可知：点M 在x 轴上，令0y =，可得223x m =+，即()223,0M m +，则()221MF m =+，所以()()2241221m AB MF m +==+.故答案为：2.【点睛】方法点睛：对于弦中点问题常用“根与系数的关系”求解，在使用根与系数的关系时，在解决有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算，但要注意直线斜率是否存在．17．(1)21n a n =-(2)22n T n=【分析】（1）由题意得()111241537a d a d a d ⎧+++=⎪⎨+=⎪⎩，代入等差数列通项公式即可求解；（2）由(1)(21)n n b n =--，代入求和即可.【详解】（1）由已知，得()111241537a d a d a d ⎧+++=⎪⎨+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，故21n a n =-（2）由（1）得(1)(21)nn b n =--，所以122122(1)(41)(1)(43)41(43)2n n n n b b n n n n --=--+--=--+-=，得21234212()()()2n n n T b b b b b b n-=++++++= ．18．(1)()(2214x y -+=(2)[]8,24【分析】（1）利用圆的对称性先确定圆心，再求半径即可；（2）设P 坐标，利用两点距离公式及点在圆上消元转化为函数求值域求范围即可.【详解】（1）圆经过()0,0O，(0,A 两点，得圆心在OA的中垂线y =又圆心C在直线:l y =上，联立直线方程有y y ⎧⎪⎨⎪⎩，得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即圆心坐标为(C ，又224r CO ==，故圆C 的标准方程为()(2214x y -+=．（2）设()00,P x y ，易知[]01,3x ∈-，则((22222222000000226PO PA x y x y x y +=+++-=++（*），因为点P 在圆C 上运动，则()(220014x y -+=，故（*）式可化简为，()2222000||||22416412PO PA x x x ⎡⎤+=+--+=+⎣⎦，由[]01,3x ∈-得22PO PA+的取值范围为[]8,24．19．(1)64(2)证明见解析，(8,0)P 【分析】（1）先根据准线方程求得抛物线方程，再由抛物线及等腰直角三角形的对称性得AOB 90∠=，OA OB =，从而求得,A B 坐标计算面积即可；（2）设直线l 方程及,A B 坐标，与抛物线方程联立，由垂直关系及韦达定理计算即可.【详解】（1）因为抛物线的准线为2x =-，可得抛物线的方程为：28y x =，又AOB 为等腰直角三角形，根据抛物线及等腰直角三角形的对称性可知：AOB 90∠=，OA OB =，且,A B 两点关于横轴对称，则直线:OA y x =．于是28y x y x =⎧⎨=⎩得()8,8A ，则()8,8B -，所以()1888642OAB S =⨯⨯+= ．（2）设直线:l x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立28x my n y x =+⎧⎨=⎩，得2880y my n --=，264320m n +∆=>，且128y y m +=，128y y n ⋅=-又因为OA OB ⊥，则12121OA OB y y k k x x ⋅==-，即12120y y x x +=．由28y x =，得2118y x =，2228y x =，222121264y y x x n ==，即2121280y y x x n n +=-=，解得8n =或0n =（舍去）．当8n =时，满足0∆>．此时，直线l 的方程8x my =+．则l 过定点(8,0)P ．20．(1)证明见解析(2)31919【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证，（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角.【详解】（1）取AB 中点M，连接NM，CM．则//,CD AM CD AM =，即四边形AMCD 为平行四边形，所以CM AD ∥，又因为AB AD ⊥，所以AB CM ⊥，由PD CD ⊥，CD AB ∥，即AB PD ⊥，又AB AD ⊥，=PD AD D ⋂，,PD AD ⊂平面PAD ,所以AB ⊥平面PAD ，又AP ⊂平面PAD ，故AB AP ⊥，又因为NM AP ∥，则AB NM ⊥，又NM CM M = ，,NM CM ⊂平面NCM所以AB ⊥平面NCM ，又CN ⊂平面NCM ，所以CN AB ⊥，又在PCD 中，6PD CD ==且PD CD ⊥，在BCM 中，6CM BM ==且⊥CM BM ，则PC BC ==N 为PB 中点，所以CN PB ⊥，又AB PB B ⋂=，,AB PB ⊂平面PAB ,所以CN ⊥平面PAB ．（2）由6PD AD ==，AP =222PD AD AP +=，即PD AD ⊥，又PD CD ⊥，AD CD ⊥，故以D 为坐标原点，以,,DA DC DP 所在直线x 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,6)P ，(0,0,0)D ，(0,6,0)C ，(6,0,0)A ，(6,12,0)B ，(3,6,3)N ，故(3,0,3)CN = ，(6,0,6)PA =- ，因为2(2,0,2)3CQ CN ==，所以(2,6,2)Q ，(2,6,4)PQ =-，设平面PAQ 的法向量()1111,,n x y z =，平面ABCD 的法向量()2222,,n x y z =，则111116602640PA n x z PQ n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取13x =，解得1(3,1,3)n = ，易知DP ⊥平面ABCD ，即2(0,0,1)n =，所以12319cos ,19n n ==，所以平面PAQ 与平面ABCD的夹角的余弦值为．21．(1)3n a n=，()*3n n b n =∈N (2)384【分析】（1）根据,n na S 的关系即可求解3n a n=，根据等比数列基本量的计算即可求解()*3n n b n =∈N ，（2）利用列举法即可逐一求解{}m c 的前100项，即可求和得解.【详解】（1）对于数列{}n a ，因为2233n S n n =+①，所以2123(1)3(1)n S n n -=-+-，2n ≥，*n ∈N ②-①②得()*32,n a n n n =≥∈N由①式，当1n =时，得13a =，也满足3n a n=，所以()*3n a n n =∈N ．因为数列{}n b 为等比数列，由等比数列的性质得31232729b b b b ==，得29b =，设数列{}n b 的公比为q ，又因为26a =，618=a ，所以1236b a b a +=-即96918q q +=-，解得3q =或13-，又因为{}n b为单调递增的等比数列，所以3q =，所以()*3n n b n =∈N （2）由于133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，所以1c ，2c 对应的区间为(0,3]，(0,6]，则121c c ==，即有2个1；3c ，4c ，…,8c 对应的区间为(0,9]，(0,12]，…,(0,24]，则3482c c c ==⋅⋅⋅==，即有6个2；9c ，10c ，…,26c 对应的区间为(0,27]，(0,30]，…,(0,78]，则910263c c c ==⋅⋅⋅==，即有18个3；27c ，28c ，…,80c 对应的区间为(0,81]，(0,84]，…,(0,240]，则2728804c c c ==⋅⋅⋅==，即有54个4；81c ，82c ，…,100c 对应的区间为(0,243]，(0,246]，…,(0,300]，则81821005c c c ==⋅⋅⋅==，即有20个5；所以1001226318454520384T =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=22．(1)221(0)42x y y +=≠(2)4-【分析】（1）设出点M 的坐标为(,)x y ，根据斜率之积得到方程，求出轨迹方程，注意0y ≠；（2）设1:(1)l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，设()33,C x y ，()44,D x y，同理得到两根之和，两根之积，根据直线1l ，2l 相互垂直，得到()()()222291212k AC BD kk -+⋅=++，利用基本不等式求出最大值.【详解】（1）设点M 的坐标为(,)x y ，因为直线1A M ，2A M的斜率之积是12-，所以1222y y x x ⋅=-+-，所以22142x y +=，因为点M 与1A ，2A 两点不重合，所以点M 的轨迹方程为221(0)42x y y +=≠．（2）显然直线1l，2l 的斜率都存在且不为0，设1:(1)l y k x =-，21:(1)l y x k =--，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，联立22142(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()2222214240k x k x k +-+=-，显然()()4222164212424160k k k k ∆=-+-=+>，所以212221224212421k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以()()()2222221121212222224431111212121k k k y y k x x k x x x x k k k k ⎣⎛⎫ -⎪--=--=-++=+=⎡⎭⎦⎝⎤+++，同理23422223422234221442121124242121133,2121k x x k k k k x x k k k y y k k ⎧⎛⎫-⎪⎪⎝⎭⎪+==⎪+⎛⎫-+⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪-- ⎪-⎪⎝⎭==⎨+⎛⎫⎪-+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-- ⎪⎪-⎝⎭⎪==+⎪⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎩，因为直线1l ，2l 相互垂直，所以0AP PD PC BP ⋅=⋅=，所以()()AC BD AP PC BP PD AP BP PC PD ⋅=+⋅+=⋅+⋅()()()()121234341111x x y y x x y y =--++--+()()12121234343411x x x x y y x x x x y y =-++++-+++22222222222443244311212121222k k k k k k k k k k ----=-+++-++++++++22223333212k k k k ----=+++，则()()()()()()222222222911942122122k kAC BD k k k k -++⋅=≤-=-++⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦，当且仅当22212k k +=+，即1k =±时取得等号，所以AC BD ⋅的最大值为4-．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．。
精品解析：山东省济南市2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
【详解】由题得 、 为方程 的根，
将 代入 ，得 ，
即 ，
故选：A
4.若抛物线 上一点 到焦点 的距离是 ，则点 到直线 的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由抛物线的定义得点 到准线的距离，再由准线与直线 的关系得出结论．
四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知函数 的最小值为 .
（1）求 的值；
（2）记关于 的不等式: 的解集为 ，若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1）1；（2） .
【解析】
【分析】（1）由基本不等式可得最小值 ；
（2）解一元二次不等式得集合 ，由必要不充分条件与集合包含之间的关系得集合的关系，从而可得参数 的范围．
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）当 时，可得 ； 时，由 ，可得 ，两式作差可得数列 是等比数列，进而可得通项公式；
（2）利用错位相减法求解即可．
【详解】（1）由题意知，当 时， ，即
时，由 得
即
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
所以
（2）由题意知，
同样若 ，则 有最小值，满足 的最大值 ， 最小， 时， 是最小值．
11.设抛物线 的准线与对称轴交于点 ，过点 作抛物线的两条切线﹐切点分别为 和 ，则（ ）
A.点 坐标为 B.直线 方程为
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】将抛物线方程转化为标准方程，求得准线方程，即可判断A正确；由A设切线方程为 ，联立直线与抛物线方程，由 求出斜率，得出切点坐标，进而可判断B正确，D错误；再求得 与 的坐标，判断 是否为零，即可判断C正确.
山东省济南高二上学期期末考试数学试卷 有答案
山东省济南第一高二上学期期末考试数学试卷说明：试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第4页，第Ⅱ卷为第4页至第5页。
考试时间120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷（选择题，共80分）一、选择题（每小题4分，共80分，每题只有一个正确选项。
）1. 下列不等式中成立的是 （ ） A. 若a b >，则22ac bc > B. 若a b >，则22a b > C. 若0a b <<，则22a ab b << D. 若0a b <<，则11>a b2. 错误！未找到引用源。
（ ）A. 30B. 60C. 30或150D. 60或1203. 椭圆的两个焦点分别为1(8,0)F -、2(8,0)F ，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的标准方程为 （ ）A ．22136100x y += B ．221400336x y += C ．22110036x y += D ． 2212012x y += 4. 抛物线240y x -=上一点P 到焦点的距离为3，那么P 的横坐标是 （ ） A. 3 B. 2 C.25D. 2- 5. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且41a ，22a ，3a 成等差数列，若1a =1，则4S = ( ) A. 7 B. 8 C. 15 D. 166. 已知集合{}{}1,,1,2,3A a B ==，则“3a =”是“A B ⊆”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7. 经过点)62,62(-M 且与双曲线22134y x -=有共同渐近线的双曲线方程为（ ） A ．18622=-x y B ．16822=-x y C ．16822=-y x D ． 18622=-y x 8. 以下有关命题的说法错误的是 （ ） A. 命题“若0232=+-x x ，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠,则2320x x -+≠”. B. “1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件. C. 若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题.D. 对于命题0:p x R ∃∈，使得20010x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，则210x x ++≥.9. 在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则10122a a -的值为 （ ）A. 20B. 22C. 24D. 2810. 在ABC △中，若2sin sin sin A B C =⋅且()()3b c a b c a bc +++-=，则该三角形的形状是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形11. 设{}n a 是等比数列，*m n s t N ∈、、、，则“m n s t +=+”是“m n s t a a a a ⋅=⋅”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12. 若变量,x y 满足约束条件2,1,20,x y x z x y y +≤⎧⎪≥=+⎨⎪≥⎩则的最大值和最小值分别为 （ ） A ． 43和 B ．42和 C ．32和 D ．20和13. 已知方程220(0,,0)ax by ab ax by c ab a b c +=++=≠≠>和其中，它们所表示的曲线可能是 （ ）A ．B ．C ．D ．14. 已知点()2,1A -，24y x =-的焦点是F ，P 是24y x =-上的点，为使PA PF +取得最小值，P 点的坐标是 （ ） A. 1,14⎛⎫-⎪⎝⎭B. (2,-C. 1,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭D. (2,-- 15. 在数列{}n a 中，若对于任意的n N *∈均有12n n n a a a ++++为定值，且79982,3,4a a a ===，则数列{}n a 的前100项的和100S = （ ） A ．132B ．299C ．68D ．9916. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 （ ）A.54 B.53 C.52D.5117. 已知不等式201x x +<+的解集为{}|x a x b <<，点(,)A a b 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则21m n+的最小值为 （ ）A. B.8 C.9 D. 1218. 已知双曲线22 1 (0,0)m x n y m n ⋅-⋅=>>的离心率为2，则椭圆221m x n y ⋅+⋅=的离心率为 （ ）A ．13B C D19. 如图，1F 、2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，1F O 为半径的圆与该双曲线左 支交于A 、B 两点，若△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为 ( )A B ．2 C 1 D ．120. 已知点00(1,0),(1,0),(,)A B P x y -是直线2y x =+上任意一点，以,A B 为焦点的椭圆过P ，记椭圆离心率e 关于0x 的函数为0()e x ，那么下列结论正确的是 （ ） A ．e 与0x 一 一对应 B ．函数0()e x 无最小值，有最大值 C ．函数0()e x 是增函数 D ．函数0()e x 有最小值，无最大值第Ⅱ卷（非选择题，共70分）注意事项：1.第Ⅱ卷所有题目的答案考生须用黑色签字笔答在答题纸上答题，考试结束后将答题卡和答题纸一并上交。
山东省济南市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷 (含解析)
山东省济南市2020-2021学年高二（上）期末考试数学试卷一、选择题（共8小题）.1．直线x﹣y+1＝0的斜率为（）A．B．﹣C．D．﹣2．已知向量＝（2，3，1），＝（1，2，0），则|+|等于（）A．B．3C．D．93．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝，＝，＝，则下列向量与相等的是（）A．﹣﹣+B．+﹣C．﹣++D．++4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列．若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（）A．6.5尺B．13.5尺C．14.5尺D．15.5尺5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM 和CN所成角的余弦值是（）A．B．C．D．﹣6．历时23天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球，标志着中国航天向前迈出一大步．其中2020年11月28日晚，嫦娥五号成功进行首次近月制动，进入一个大椭圆轨道．该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点F1，若其近月点A（离月球表面最近的点）与月球表面距离为r1公里，远月点B（离月球表面最远的点）与月球表面距离为r2公里，并且F1，A，B在同一直线上已知月球的半径为R公里，则该椭圆形轨道的离心率为（）A．B．C．D．7．已知动点P在直线l1：3x﹣4y+1＝0上运动，动点Q在直线l2：6x+my+4＝0上运动，且l1∥l2，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．8．若等差数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＞0，a2020+a2021＞0，a2020•a2021＜0，则满足S n ＞0成立的最大正整数n是（）A．4039B．4040C．4041D．4042二、多项选择题（共4小题）.9．关于双曲线C1：＝1与双曲线C2：＝1，下列说法正确的是（）A．它们的实轴长相等B．它们的渐近线相同C．它们的离心率相等D．它们的焦距相等10．已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣4x＝0的公共点为A，B，则（）A．|C1C2|＝2B．直线AB的方程是x＝C．AC1⊥AC2D．|AB|＝11．若数列{a n}满足a1＝1，a2＝1，a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N+），则称数列{a n}为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用则下列结论成立的是（）A．a7＝13B．a1+a3+a5+……+a2019＝a2020C．S7＝54D．a2+a4+a6+……+a2020＝a202112．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E，F在平面A1B1C1D1内，若|AE|＝，AC⊥DF，则（）A．点E的轨迹是一个圆B．点F的轨迹是一个圆C．|EF|的最小值为﹣1D．AE与平面A1BD所成角的正弦值的最大值为三、填空题（共4小题）.13．若直线x﹣y+1＝0与直线mx+3y﹣1＝0互相垂直，则实数m的值为．14．若双曲线的渐近线为，则双曲线C的离心率为．15．已知四面体ABCD的顶点分别为A（2，3，1），B（1，0，2），C（4，3，﹣1），D （0，3，﹣3），则点D到平面ABC的距离．16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点（，0）的直线l与圆C：x2+y2﹣4x+8＝0交于A，B两点，则四边形OACB面积的最大值为．四、解答题（共6小题）.17．在①圆C与y轴相切，且与x轴正半轴相交所得弦长为2；②圆C经过点A（4，1）和B（2，3）；③圆C与直线x﹣2y﹣1＝0相切，且与圆Q：x2+（y﹣2）2＝1相外切．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的圆C存在，求出圆C的方程；若问题中的圆C不存在，说明理由．问题：是否存在圆C，____，且圆心C在直线y＝x上．18．已知等比数列{a n}中，a2＝4，a5＝256．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和S n．19．在平面直角坐标系中，已知抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣．（1）求p的值；（2）直线l：y＝x+t（t≠0）交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，求线段AB的长度．20．已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝3（n+1）a n．（1）设b n＝，求证：数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，AD＝PA＝PB＝2，PA⊥PB，平面PAB⊥平面ABCD．（1）证明：平面PAD⊥平面PBC；（2）若M为PC中点，求平面AMD与平面BMD的夹角的余弦值．22．已知椭圆E：＝（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，离心率为，且过点D（，）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点P（4，0）作与x轴不重合的直线l与椭圆E相交于M，N两点（N在P，M 之间）证明：直线MB与直线NA的交点的横坐标是定值．山东省济南市2020-2021学年高二（上）期末考试数学试卷参考答案一、选择题（共8小题）.1．直线x﹣y+1＝0的斜率为（）A．B．﹣C．D．﹣解：由x﹣y+1＝0，得：y＝x+，故直线的斜率k＝，故选：C．2．已知向量＝（2，3，1），＝（1，2，0），则|+|等于（）A．B．3C．D．9解：∵向量＝（2，3，1），＝（1，2，0），∴＝（3，5，1），∴|+|＝＝．故选：C．3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝，＝，＝，则下列向量与相等的是（）A．﹣﹣+B．+﹣C．﹣++D．++解：∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝，＝，＝，∴＝＝++＝（）＝+（）＝．故选：D．4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列．若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（）A．6.5尺B．13.5尺C．14.5尺D．15.5尺解：∵冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列．冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，设冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长分别为a n（n＝1，2，3，…，12），则{a n}是等差数列，∴，解得a1＝15.5．则冬至的日影子长为15.5（尺）．故选：D．5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM 和CN所成角的余弦值是（）A．B．C．D．﹣解：由题意可得＝，＝．•＝（）•（）＝•++•+•＝0+1×+0+0＝．又•＝×cos＜，＞＝cos＜，＞，∴cos＜，＞＝，∴cos＜，＞＝，故选：C．6．历时23天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球，标志着中国航天向前迈出一大步．其中2020年11月28日晚，嫦娥五号成功进行首次近月制动，进入一个大椭圆轨道．该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点F1，若其近月点A（离月球表面最近的点）与月球表面距离为r1公里，远月点B（离月球表面最远的点）与月球表面距离为r2公里，并且F1，A，B在同一直线上已知月球的半径为R公里，则该椭圆形轨道的离心率为（）A．B．C．D．解：由已知可得卫星的近地点，远地点离地心的距离分别为R+r1，R+r2，设轨道的标准方程为，所以a﹣c＝R+r1，a+c＝R+r2，解得a＝，c＝，所以椭圆形轨道的离心率为e＝，故选：B．7．已知动点P在直线l1：3x﹣4y+1＝0上运动，动点Q在直线l2：6x+my+4＝0上运动，且l1∥l2，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．解：动点P在直线l1：3x﹣4y+1＝0，即6x﹣8y+2＝0 上运动，动点Q在直线l2：6x+my+4＝0上运动，且l1∥l2，∴m＝﹣8，则|PQ|的最小值即为两平行直线间的距离，为＝，故选：C．8．若等差数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＞0，a2020+a2021＞0，a2020•a2021＜0，则满足S n ＞0成立的最大正整数n是（）A．4039B．4040C．4041D．4042解：∵等差数列{a n}满足，首项a1＞0，a2020+a2021＞0，a2020•a2021＜0，∴等差数列{a n}单调递减，a2020＞0，a2021＜0，∵S4040＝＝2020（a2020+a2021）＞0，S4041＝＝4041a2021＜0，则满足S n＞0成立的最大正整数n是4040．故选：B．二、多项选择题（共4小题）.9．关于双曲线C1：＝1与双曲线C2：＝1，下列说法正确的是（）A．它们的实轴长相等B．它们的渐近线相同C．它们的离心率相等D．它们的焦距相等解：双曲线C1的a2＝3，b2＝2，c2＝5，渐近线的方程为y＝±x，实轴长为2a＝2，离心率e＝＝；C2中的a2＝2，b2＝3，c2＝5，渐近线方程为：y＝±，离心率e＝＝，所以焦距相同，渐近线的方程相同，故选：BD．10．已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣4x＝0的公共点为A，B，则（）A．|C1C2|＝2B．直线AB的方程是x＝C．AC1⊥AC2D．|AB|＝解：圆C1：x2+y2＝1的圆心（0，0），半径为1，圆C2：x2+y2﹣4x＝0，圆心（2，0），半径为2，圆心距为：2，所以A正确；公共弦所在的准线方程为：﹣4x＝﹣1，即x＝，所以B正确；|AC1|＝1，|AC2|＝2，|C1C2|＝2，所以AC1与AC2不垂直．所以C不正确．|AB|＝2＝，所以D正确；故选：ABD．11．若数列{a n}满足a1＝1，a2＝1，a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N+），则称数列{a n}为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用则下列结论成立的是（）A．a7＝13B．a1+a3+a5+……+a2019＝a2020C．S7＝54D．a2+a4+a6+……+a2020＝a2021解：因为a1＝1，a2＝1，a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N+），所以a3＝a2+a1＝2，a4＝a3+a2＝3，a5＝a4+a3＝5，a6＝a5+a4＝8，a7＝a6+a5＝13，所以A 正确；S7＝1+1+2+3+5+8+13＝33，所以C不正确；a1+a3+a5+……+a2019＝a1+a2+a1+a4+a3+……+a2018+a2017＝a1+S2018＝1+S2018，又a n+2＝a n+1+a n＝a n+a n﹣1+a n﹣1+a n﹣2＝a n+a n﹣1+a n﹣2+a n﹣3+a n﹣3+a n﹣4＝……＝S n+1，所以a2020＝S2018+1＝a1+a3+a5+……+a2019，所以B正确；a2+a4+a6+……+a2020＝a2+a3+a2+a5+a4+……+a2019+a2018＝a1+a2+a3+a4+a5+……+a2019＝S2019，但S2019+1＝a2021，所以a2+a4+a6+……+a2020≠a2021，所以D不正确．故选：AB．12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E，F在平面A1B1C1D1内，若|AE|＝，AC⊥DF，则（）A．点E的轨迹是一个圆B．点F的轨迹是一个圆C．|EF|的最小值为﹣1D．AE与平面A1BD所成角的正弦值的最大值为解：对于选项A，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，A1E⊂平面A1B1C1D1，所以AA1⊥A1E，故，则有A1E＝1，所以点E的轨迹是以A1为圆心，1为半径的圆，故选项A正确；对于选项B，在正方体中，AC⊥平面B1BDD1，因为AC⊥DF，则DF⊂平面B1BDD1，故F在B1D1上，所以F的轨迹是线段B1D1，故选项B错误；对于选项C，|EF|的最小值即为求线段B1D1上的点到以A1为圆心，1为半径的圆的最小距离，又圆心A1到线段B1D1的距离为，所以|EF|的最小值为，故选项C正确；建立如图所示的空间直角坐标系，因为点E的轨迹是以A1为圆心，1为半径的圆，故设E（cosθ，sinθ，2），，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），D（0，2，0），所以，，设平面A1BD的法向量为，则有，令x＝1，则y＝1，z＝1，故，设AE与平面A1BD所成的角为α，则＝，当时，sinα有最大值，故AE与平面A1BD所成角的正弦值的最大值为，故选项D正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若直线x﹣y+1＝0与直线mx+3y﹣1＝0互相垂直，则实数m的值为3．解：∵直线x﹣y+1＝0与直线mx+3y﹣1＝0互相垂直，∴1×m+（﹣1）×3＝0，解得实数m＝3．故答案为：3．14．若双曲线的渐近线为，则双曲线C的离心率为2．解：∵双曲线的渐近线为，∴＝∴＝3即e2﹣1＝3∴e＝2故答案为215．已知四面体ABCD的顶点分别为A（2，3，1），B（1，0，2），C（4，3，﹣1），D（0，3，﹣3），则点D到平面ABC的距离3．解：因为四面体四个顶点分别为A（2，3，1）、B（1，0，2），C（4，3，﹣1），D（0，3，﹣3），所以＝（﹣1，﹣3，1），＝（2，0，﹣2），＝（﹣2，0，﹣4）．设平面ABC的法向量为＝（a，b，c）所以，不妨令a＝3，则c＝3，解得b＝0．平面ABC的法向量为＝（3，0，3）．所以顶点D到平面ABC的距离，就是在平面ABC的法向量投影的长度，即：＝＝3．故答案为：3．16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点（，0）的直线l与圆C：x2+y2﹣4x+8＝0交于A，B两点，则四边形OACB面积的最大值为4．解：∵点（，0）在圆x2+y2﹣4x+8＝0内部，∴直线l一定圆圆C有两个交点．当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝，圆C为，|AB|＝，则；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k（x﹣）（k≠0），点C（2，0）到AB的距离，∴|AB|＝2＝，O到AB的距离，∴．令k2+1＝t（t＞1），则＝，则当，即t＝3时，S OACB取得最大值为4．综上，四边形OACB面积的最大值为4．故答案为：4．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在①圆C与y轴相切，且与x轴正半轴相交所得弦长为2；②圆C经过点A（4，1）和B（2，3）；③圆C与直线x﹣2y﹣1＝0相切，且与圆Q：x2+（y﹣2）2＝1相外切．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的圆C存在，求出圆C的方程；若问题中的圆C不存在，说明理由．问题：是否存在圆C，____，且圆心C在直线y＝x上．解：若选条件①，由圆C的圆心在直线y＝上，可设圆心为（2a，a）．∵圆C与y轴相切，∴半径r＝2|a|．又∵该圆截x轴正半轴所得弦的长为2，可得a＞0，∴a2+（）2＝（2a）2，解得a＝1．因此，圆心为（2，1），半径r＝2．∴圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4；若选择条件②，AB的中点坐标为（3，2），，则AB的垂直平分线方程为y﹣2＝1×（x﹣3），即y＝x﹣1，联立，解得，则圆心坐标为（2，1），半径r＝4﹣2＝2．∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4；若选择条件3，设圆心为（2a，a），则，即，整理得．∵△＝＜0，方程无解．故圆C不存在．18．已知等比数列{a n}中，a2＝4，a5＝256．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和S n．解：（1）由题意，设等比数列{a n}的公比为q，则，解得，∴a n＝1•4n﹣1＝4n﹣1，n∈N*，（2）由（1），可得b n＝log2a n＝log24n﹣1＝log222（n﹣1）＝2（n﹣1），∴S n＝b1+b2+…+b n＝2×0+2×1+…+2×（n﹣1）＝2×[1+2+…+（n﹣1）]＝2×＝n2﹣n．19．在平面直角坐标系中，已知抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣．（1）求p的值；（2）直线l：y＝x+t（t≠0）交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，求线段AB的长度．解：（1）由已知得，，即p＝1．（2）由（1）得，抛物线方程为y2＝2x，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得y2﹣2y+2t＝0．△＝4﹣8t＞0，即t＜．y1+y2＝2，y1y2＝2t，由，可得y1y2＝﹣4，∵y1y2＝2t，∴2t＝﹣4，可得t＝﹣2．则y1+y2＝2，y1y2＝﹣4．∴．20．已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝3（n+1）a n．（1）设b n＝，求证：数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】（1）证明：依题意，由na n+1＝3（n+1）a n，可得＝3•，即b n+1＝3b n，∵b1＝＝1，∴数列{b n}是以1为首项，3为公比的等比数列，（2）解：由（1），可得b n＝1•3n﹣1＝3n﹣1，即＝3n﹣1，∴a n＝n•3n﹣1，n∈N*，∴S n＝a1+a2+a3+…+a n＝1•30+2•31+3•32+…+n•3n﹣1，3S n＝1•31+2•32+…+（n﹣1）•3n﹣1+n•3n，两式相减，可得﹣2S n＝1+31+32+…+3n﹣1﹣n•3n＝﹣n•3n＝﹣（n﹣）•3n﹣，∴S n＝﹣．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，AD＝PA＝PB＝2，PA⊥PB，平面PAB⊥平面ABCD．（1）证明：平面PAD⊥平面PBC；（2）若M为PC中点，求平面AMD与平面BMD的夹角的余弦值．解：（1）证明：∵ABCD为矩形，∴AD⊥AB，∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，∴AD⊥平面PAB，则AD⊥PB，又PA⊥PB，PA∩AD＝A，∴PB⊥平面PAD，而PB⊂平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC．（2）取AB中点O，分别以OP，OB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，则P（2，0，0），A（0，﹣2，0），B（0，2，0），D（0，﹣2，2），M（1，1，），则＝（0，0，﹣2），＝（1，3，﹣），＝（0，4，﹣2），设平面ADM的法向量为，则，令y＝﹣1，则x＝3，z＝0，所以．同理可得，平面BDM的法向量＝（﹣1，1，）．所以cos，＞＝＝＝﹣．故平面AMD与平面BMD的夹角的余弦值为．22．已知椭圆E：＝（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，离心率为，且过点D（，）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点P（4，0）作与x轴不重合的直线l与椭圆E相交于M，N两点（N在P，M之间）证明：直线MB与直线NA的交点的横坐标是定值．解：（1）由题意可得e＝＝，b2＝a2﹣c2，+＝1，解得a＝2，b＝1，所以椭圆的方程为+y2＝1．（2）证明：设直线l：x＝my+4，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得（m2+4）y2+8my+12＝0，所以△＝16m2﹣192＞0，解得m＞2或m＜﹣2，由韦达定理可得y1+y2＝，y1y2＝，由题意可得直线MB：y＝（x﹣2），直线NA：y＝（x+2），所以y1（x2+2）（x﹣2）＝y2（x1﹣2）（x+2），即x（my1y2+6y1﹣my1y2﹣2y2）＝2（my1y2+6y1+2y2+my1y2），整理得x（6y1﹣2y2）＝2（2my1y2+2y2+6y1），即x（6y1﹣2y2）＝2[﹣3（y1+y2）+2y2+6y1]，即x（6y1﹣2y2）＝（6y1﹣2y2），若y2＝3y1，则m＝±1，此时△＝16m2﹣192＜0，所以6y1﹣2y2≠0，所以x＝1，所以直线MB与NA交点的横坐标为定值1．。
学年上学期高二期末考试数学(附答案)
山东省济南第一中学14—15学年上学期高二期末考试数学试题说明：试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第4页，第Ⅱ卷为第4页至第5页。
考试时间120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷（选择题，共80分）一、选择题（每小题4分，共80分，每题只有一个正确选项。
）1. 下列不等式中成立的是 （ ） A. 若a b >，则22ac bc > B. 若a b >，则22a b >C. 若0a b <<，则22a ab b << D. 若0a b <<，则11>a b2. 等于，则三角形面积中，已知A S c b ABC 23,3,2===∆ （ ） A. 30 B. 60 C. 30或150 D. 60或1203. 椭圆的两个焦点分别为1(8,0)F -、2(8,0)F ，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的标准方程为 （ ）A ．22136100x y += B ．221400336x y += C ．22110036x y += D ． 2212012x y += 4. 抛物线240y x -=上一点P 到焦点的距离为3，那么P 的横坐标是 （ ） A. 3 B. 2 C.25D. 2- 5. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且41a ，22a ，3a 成等差数列，若1a =1，则4S = ( ) A. 7 B. 8 C. 15 D. 166. 已知集合{}{}1,,1,2,3A a B ==，则“3a =”是“A B ⊆”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7. 经过点)62,62(-M 且与双曲线22134y x -=有共同渐近线的双曲线方程为（ ）A ．18622=-x y B ．16822=-x y C ．16822=-y x D ． 18622=-y x 8. 以下有关命题的说法错误的是 （ ）A. 命题“若0232=+-x x ，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠,则2320x x -+≠”.B. “1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件.C. 若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题.D. 对于命题0:p x R ∃∈，使得20010x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，则210x x ++≥. 9. 在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则10122a a -的值为 （ ） A. 20B. 22C. 24D. 2810. 在ABC △中，若2sin sin sin A B C =⋅且()()3b c a b c a bc +++-=，则该三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 11. 设{}n a 是等比数列，*m n s t N ∈、、、，则“m n s t +=+”是“m n s t a a a a ⋅=⋅”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件12. 若变量,x y 满足约束条件2,1,20,x y x z x y y +≤⎧⎪≥=+⎨⎪≥⎩则的最大值和最小值分别为 （ ）A ． 43和B ．42和C ．32和D ．20和13. 已知方程220(0,,0)ax by ab ax by c ab a b c +=++=≠≠>和其中，它们所表示的曲线可能是 （ ）A ．B ．C ．D ．14. 已知点()2,1A -，24y x =-的焦点是F ，P 是24y x =-上的点，为使PA PF +取得最小值，P 点的坐标是 （ ） A. 1,14⎛⎫-⎪⎝⎭B. (2,-C. 1,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭D. (2,-- 15. 在数列{}n a 中，若对于任意的n N *∈均有12n n n a a a ++++为定值，且79982,3,4a a a ===，则数列{}n a 的前100项的和100S = （ ）A ．132B ．299C ．68D ．9916. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 （ ） A.54 B.53 C.52 D.5117. 已知不等式201x x +<+的解集为{}|x a x b <<，点(,)A a b 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则21m n+的最小值为（ ）A. B.8 C.9 D. 1218. 已知双曲线22 1 (0,0)m x n y m n ⋅-⋅=>>的离心率为2，则椭圆221m x n y ⋅+⋅=的离心率为 （ ）A ．13 B ．3 C ．3 D ．319. 如图，1F 、2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，1F O 为半径的圆与该双曲线左 支交于A 、B 两点，若△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为 ( )A B ．2 C 1 D ．1+20. 已知点00(1,0),(1,0),(,)A B P x y -是直线2y x =+上任意一点，以,A B 为焦点的椭圆过P ，记椭圆离心率e 关于0x 的函数为0()e x ，那么下列结论正确的是 （ ） A ．e 与0x 一 一对应 B ．函数0()e x 无最小值，有最大值 C ．函数0()e x 是增函数 D ．函数0()e x 有最小值，无最大值第Ⅱ卷（非选择题，共70分）注意事项：1.第Ⅱ卷所有题目的答案考生须用黑色签字笔答在答题纸上答题，考试结束后将答题卡和答题纸一并上交。
山东省济南第一中学数学高二上期末经典练习(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：13309]下面的程序框图表示求式子32×35×311×323×347×395的值, 则判断框内可以填的条件为（ ）A ．90?i ≤B ．100?i ≤C ．200?i ≤D ．300?i ≤2．(0分)[ID ：13308]执行如图所示的程序框图，若输入8x =，则输出的y 值为（ ）A ．3B ．52C ．12D ．34- 3．(0分)[ID ：13305]执行如图的程序框图，如果输入72m =，输出的6n =，则输入的n 是（ ）A ．30B ．20C ．12D ．84．(0分)[ID ：13296]袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中随机摸出2个球，则与事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是（ ）A ．没有白球B ．2个白球C ．红、黑球各1个D ．至少有1个红球5．(0分)[ID ：13290]从区间0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为A ．4n mB ．2n mC ．4m nD ．2m n6．(0分)[ID ：13278]执行如图所示的程序框图，如果输入x ＝5，y ＝1，则输出的结果是（ ）A ．261B ．425C ．179D ．544 7．(0分)[ID ：13274]执行如图的程序框图，如果输出a 的值大于100，那么判断框内的条件为( )A ．5k <？B ．5k ≥？C ．6k <？D ．6k ≥？8．(0分)[ID ：13263]“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元， 5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是 （ ）A ．310B ．25C ．12D ．359．(0分)[ID ：13261]甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人15分钟，过时即可离去，则两人能会面的概率是（ ）A ．14B ．34C ．916D ．71610．(0分)[ID ：13256]太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被3sin 6y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．136B ．118C ．112D ．1911．(0分)[ID ：13255]类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设D 为BE 中点，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．17B ．14C ．13D ．41312．(0分)[ID ：13254]从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ）A ．27B ．57C ．29D ．5913．(0分)[ID ：13252]赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元222年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由个3全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设DF =2AF ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是( )A ．2√1313B ．413C ．2√77D ．4714．(0分)[ID：13232]执行如图的程序框图，若输出的4n ，则输入的整数p的最小值是（）A．4B．5C．6D．1515．(0分)[ID：13320]一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( )A．127B．29C．49D．827二、填空题16．(0分)[ID：13395]一个算法的伪代码如下图所示，执行此算法，若输出的y值为1，则输入的实数x的值为________.17．(0分)[ID：13390]如下图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线y=22x与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S：①先产生两组0～1的均匀随机数，a=RAND（），b=RAND（）；②做变换，令x=2a，y=2b；③产生N个点（x，y），并统计落在阴影内的点（x，y）的个数1N，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当N=1 000时，1N=332，则据此可估计S的值为____．18．(0分)[ID：13389]玉林市有一学校为了从254名学生选取部分学生参加某次南宁研学活动，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为42的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为__________．19．(0分)[ID：13383]某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为_________20．(0分)[ID：13369]阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为___________21．(0分)[ID：13364]如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点M．则点M恰好取自阴影部分的概率是．22．(0分)[ID：13362]如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是__________．23．(0分)[ID：13351]将红、黄、蓝、白、黑5个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5个盒子里，每个盒子里放且只放1个小球，则红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率是______.24．(0分)[ID：13348]4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是________25．(0分)[ID：13329]某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%，在一次考试中，男、女生平均分数依次为72、74，则这次考试该年级学生的平均分数为__________．三、解答题26．(0分)[ID：13509]市政府为了节约用水，调查了100位居民某年的月均用水量（单位：t），频数分布如下：分组[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)[2.5,3)[3,3.5)[3.5,4)[4,4.5]频数4815222514642（1）根据所给数据将频率分布直方图补充完整（不必说明理由）；（2）根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的中位数；（3）根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的平均数（同一组数据由该组区间的中点值作为代表）.27．(0分)[ID ：13486]随着手机的普及，大学生迷恋手机的现象非常严重.为了调查双休日大学生使用手机的时间，某机构采用不记名方式随机调查了使用手机时间不超过10小时的50名大学生，将50人使用手机的时间分成5组：(]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10分别加以统计，得到下表，根据数据完成下列问题： 使用时间/时(]0,2 (]2,4 (]4,6 (]6,8 (]8,10 大学生/人 5 10 15 12 8（1）完成频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计大学生使用手机时间的中位数（保留小数点后两位）；（2）用分层抽样的方法从使用手机时间在区间(]0,2，(]2,4，(]4,6的大学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人取自不同使用时间区间的概率.28．(0分)[ID ：13451]某医疗器械公司在全国共有100个销售点，总公司每年会根据每个销售点的年销量进行评价分析.规定每个销售点的年销售任务为一万四千台器械.根据这100个销售点的年销量绘制出如下的频率分布直方图.（1）完成年销售任务的销售点有多少个？（2）若用分层抽样的方法从这100个销售点中抽取容量为25的样本，求该五组[2,6)，[6,10)，____________=，[14,18)，[18,22)，（单位：千台）中每组分别应抽取的销售点数量.（3）在（2）的条件下，从该样本中完成年销售任务的销售点中随机选取2个，求这两个销售点不在同一组的概率.29．(0分)[ID ：13436]一个盒子中有5只同型号的灯泡，其中有3只一等品，2只二等品，现在从中依次取出2只，设每只灯泡被取到的可能性都相同，请用“列举法”解答下列问题：（Ⅰ）求第一次取到二等品，且第二次取到的是一等品的概率；（Ⅱ）求至少有一次取到二等品的概率.30．(0分)[ID：13429]口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．（Ⅰ）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率；（Ⅱ）这种游戏规则公平吗?试说明理由．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．C3．A4．C5．C6．B7．C8．D9．D10．B11．A12．D13．B14．A15．C二、填空题16．3【解析】【分析】执行该算法后输出y＝令y＝1求出对应x值即可【详解】执行如图所示的算法知该算法输出y＝当x≥1时令y＝x2﹣2x﹣2＝1解得x＝3或x＝﹣1（不合题意舍去）；当x＜1时令y＝＝1此17．328【解析】根据题意满足条件y<的点(xy)的概率是矩形的面积为4则有所以S≈1328点睛:随机模拟求近似值的方法先分别根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式计算概率再根据两者相等求近似值18．2【解析】【分析】根据系统抽样的概念结合可得最后结果为2【详解】学生总数不能被容量整除根据系统抽样的方法应从总体中随机剔除个体保证整除∵故应从总体中随机剔除个体的数目是2故答案为2【点睛】本题主要考19．18【解析】【分析】由题意知抽样方法为系统抽样因此若第一组抽取号码为x则第18组抽取的号码为即可解得【详解】因为抽样方法为系统抽样因此若第一组抽取号码为x则第18组抽取的号码为解得【点睛】本题主要考20．4【解析】由程序框图可知：S=2=0+（﹣1）1×1+（﹣1）2×2+（﹣1）3×3+（﹣1）4×4因此当n=4时满足判断框的条件故跳出循环程序故输出的n的值为4故答案为421．【解析】试题分析：根据题意正方形的面积为而阴影部分由函数与围成其面积为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为考点：定积分在求面积中的应用几何概型点评:本题考22．7【解析】执行程序框图当输入第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；第五次循环结束循环输出故答案为【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点23．65【解析】设红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率为再设红球在红盒内的概率为黄球在黄盒内的概率为红球在红盒内且黄球在黄盒内的概率为则红球不在红盒且黄球不在黄盒由古典概型概率公式可得则即故答案为24．78【解析】【分析】求得4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动周六周日都有同学参加公益活动的情况利用古典概型概率公式求解即可【详解】4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动共有2425．1【解析】分析：根据平均数与对应概率乘积的和得总平均数计算结果详解：点睛：本题考查平均数考查基本求解能力三、解答题26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】根据题意可知该程序运行过程中，95i =时，判断框成立，191i =时，判断框不成立，即可选出答案。
2021-2022学年山东省济南市高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2021-2022学年山东省济南市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共9小题，共45分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知空间向量，，且，则m 的值为( )A. B.C. 10D.2.抛物线的准线方程为( )A. B.C.D.3.直线的倾斜角为( )A. B.C.D.4.直线的倾斜角为( )A.B.C.D. 5.已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足，则( )A. 8B. 4C. 2D. 16.如图，在四面体OABC 中，，，，，P 为线段OA 的中点，则等于( )A. B.C. D.7.若圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则半径r 的取值范围是( )A. B. C. D.8.设双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的取值范围为( )A. B. C. D.9.如图甲是第七届国际数学家大会简称的会徽图案，其主体图案是由图乙的连串直角三角形演化而成的．已知…，，，，…为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令，为数列的前n项和，则( )A. 8B. 9C. 10D. 11二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）10.已知椭圆与椭圆，则下列说法错误的是( )A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等11.已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是( )A.若，则B. 若，则是等差数列C. 若数列为等差数列，，，则D.若数列为等差数列，，，则时，最大12.数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数的点M的轨迹是圆.若两定点，，动点M满足，则下列说法正确的是( )A. 点M的轨迹围成区域的面积为B. 面积的最大值为C. 点M到直线距离的最大值为D. 若圆上存在满足条件的点M，则半径r的取值范围为13.在棱长为1的正方体中，E为侧面的中心，F是棱的中点，若点P 为线段上的动点，则下列说法正确的是( )A. PE的长最小值为B. 的最小值为C. 若，则平面PAC截正方体所得截面的面积为D. 若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则的值可以是三、填空题（本大题共4小题，共20分）14.已知直线：，：，若，则实数m的值为__________.15.已知等差数列的公差为1，且是和的等比中项，则前10项的和为__________.16.如图，把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，则折纸后异面直线AB，CD所成的角为__________.17.抛物线的聚焦特性：从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的对称轴．另一方面，根据光路的可逆性，平行于抛物线对称轴的光线射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处．已知抛物线，一条平行于抛物线对称轴的光线从点向左发出，先经抛物线反射，再经直线反射后，恰好经过点A，则该抛物线的标准方程为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
山东省济南市数学高二上学期理数期末考试试卷
山东省济南市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）抛物线的焦点到准线的距离是（）A . 1B . 2C . 4D . 82. （2分）椭圆上有n个不同的点：P1 ， P2 ，，Pn ，椭圆的右焦点为F，数列{|PnF|}是公差大于的等差数列，则n的最大值是（）A . 198B . 199C . 200D . 2013. （2分） (2020高二上·青铜峡期末) 命题“ ”的否定是（）A .B .C .D .4. （2分）双曲线的焦距是（）A . 4B .C . 8D . 与m有关5. （2分）对于直线m、 n 和平面 a、b、γ，有如下四个命题：（1）若,则,（2）若,,则,（3）若，，则，（4）若,则，其中正确的命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分）(2020·天津模拟) 设，则“ ”是“ ”的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既非充分也非必要条件7. （2分） (2017高二下·黄山期末) 如图，AB∩α=B，直线AB与平面α所成的角为75°，点A是直线AB 上一定点，动直线AP与平面α交于点P，且满足∠PAB=45°，则点P在平面α内的轨迹是（）A . 双曲线的一支B . 抛物线的一部分C . 圆D . 椭圆8. （2分）椭圆和具有（）A . 相同的长轴长B . 相同的焦点C . 相同的离心率D . 相同的顶点9. （2分） (2018高一下·泸州期末) 已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸单位：，可得这个几何体得体积是．A .B .C . 2D . 410. （2分）三条侧棱两两互相垂直且长都为a的三棱锥的四个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为（）A .B .C .D .11. （2分）△ABC的顶点A在y2=4x上，B，C两点在直线x﹣2y+5=0上，若|-|=2，则△ABC面积的最小值为（）A .B . 1C . 2D .12. （2分）一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为，则球的体积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一下·上高月考) 在平面直角坐标系中，直线过与两点，则其倾斜角的值为________．14. （1分）(2017·黑龙江模拟) 已知圆：（x+cosθ）2+（y﹣sinθ）2=1，直线l：y=kx．给出下面四个命题：①对任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点；②对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切；③对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切；④存在实数k和θ，使得圆M上有一点到直线l的距离为3．其中正确的命题是________（写出所以正确命题的编号）15. （1分）(2018·吉林模拟) 已知矩形ABCD的顶点都在半径R=4，球心为O的球面上，且AB = 6，BC = ，则棱锥的体积为________.16. （1分）已知双曲线的一条渐近线为，则________ .三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2019高二上·德惠期中) 命题：方程有实数解，命题：方程表示焦点在轴上的椭圆．（1）若命题为真，求的取值范围；（2）若命题为真，求的取值范围．18. （10分） (2017高三上·西湖开学考) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=AD=2，BC=1，CD= ．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若PM=3MC，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．19. （10分） (2016高二上·长春期中) 直线l1：4x+3y﹣1=0与l2：x+2y+1=0的交点M，（1）求交点M的坐标（2）求过点M且与直线x﹣2y﹣1=0垂直的直线方程．20. （5分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．求C2的方程；21. （10分） (2015高二上·集宁期末) 如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP= ．（1）求证：AB⊥PC；（2）求二面角B一PC﹣D的余弦值．22. （5分）(2017·红桥模拟) 已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率，且点在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点．求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、。
2022-2023学年山东省济南市高二年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年山东省济南市高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知空间向量，且，则的值为（ ）()()1,,2,2,1,4a m m b =--=-a b ⊥m A ．B ．C ．6D ．103-6-103【答案】B【分析】根据向量垂直得，即可求出的值.2(1)80m m --+-=m 【详解】因为空间向量，且()()1,,2,2,1,4a m m b =--=-a b⊥ .2(1)806m m m ∴--+-=⇒=-故选：B.2．已知等比数列各项均为正数，公比，且满足，则（ ）{}n a 2q =2616a a =3a =A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】C【分析】根据等比数列的性质可得，根据各项均为正数，得到，则，进而2416a =44a =432a a q ==求解.【详解】因为，由等比数列的性质可得：，2616a a =242616a a a ==又因为数列各项均为正数，所以，因为公比，则，{}n a 44a =2q =432a a q ==故选：.C3的倾斜角是10+=A ．B ．C ．D ．56π6π3π23π【答案】A【详解】试题分析：直线的斜率k ==56π【解析】直线的斜率与倾斜角的关系4．抛物线的准线方程为（ ）24y x =A ．B ．1y =-=1x -C ．D ．116x =-116y =-【答案】D【分析】将抛物线转化成标准式，由定义求出准线.【详解】由得，故抛物线的准线方程为.24y x =214x y =24y x =116y =-故选：D5．如图，在四面体中，，，，，为线段的中点，则OABC OA a = OB b = OC c = 2CQ QB =P OA 等于（ ）PQA ．B ．C ．D ．112233a b c ++ 112233a b c --112233a b c-++121233a b c-++【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算求解．【详解】由已知2132PQ OC CQ OP c CB OA =+-=+- 2121()()3232c OB OC a c b c a=+--=+--，121233a b c=-++ 故选：D ．6．若圆上恰有两个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是222(3)(5)x y r -++=4320x y --=r （ ）A ．B ．C ．D ．()6,+∞[)6,+∞()4,6[]4,6【答案】C【分析】作图，根据几何意义分析求解.【详解】如图，与直线 平行的距离为1的直线有2条： ，1l23,l l 圆C ：的圆心是，依题意及图：圆 与 必有2个交点，与 相离，()()22235x y r -++=()3,5-C 3l 2l圆心C 到 的距离 ， ；1l 5d 46r ∴<<故选：C.7．已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且22221(0,0)x y a b a b -=>>12,F F P ，则双曲线离心率的取值范围是（ ）125PF PF =A ．B ．C ．D ．31,2⎛⎤⎥⎝⎦3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(]1,2[)2,+∞【答案】A【分析】由条件结合双曲线的定义求，根据，即可求出结果.12,PF PF 1212+≥PF PF F F 【详解】因为点在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得，P 122PF PF a-=又，所以，即，则，125PF PF =242PF a=22aPF =152a PF =因为双曲线中，，1212+≥PF PF F F 即，则，即，32a c ≥32c a ≤32e ≤又双曲线的离心率大于，所以.1312e <≤故选：A.8．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME -7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知为直角顶点，设这些直角三1122334455667781232,,,OA A A A A A A A A A A A A A A A A A =========角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则（ ）{}n a 2,2n nn b S a =-{}n b n 120S=A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【分析】由题意可得的边长，进而可得周长及，进而可得，可得解.n OA n a n b n S 【详解】由，1122334455667782OA A A A A A A A A A A A A A A ========⋅⋅⋅=可得，，2OA =3OA =⋅⋅⋅n OA =所以，112n n n n n a OA OA A A ++=++=所以，22n n b a===-所以前项和，n 1211n n S b b b =+++== 所以，120110S ==故选：C.二、多选题9．已知椭圆，则的值可能为（ ）221mx y +=m A B ．C ．5D ．2515【答案】BC【分析】先将椭圆方程化为标准方程，然后分和两种情况结合离心率的定义列方程1m >01m <<求解即可.【详解】可化为.221mx y +=2211x y m +=当时，，椭圆；1m >101m <<221mx y +==5m =当时，，椭圆.01m <<11m >221mx y +==15m =故选：BC.10．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）{}n a n n S A ．若，则211n S n n =-212n a n =-B ．若，则当时，是等比数列(),0n n S p q r p q =⋅+≠r p =-{}n a C ．若数列为等差数列，，，则{}n a 10a >69S S =78S S >D ．若数列为等差数列，，，则时，最大{}n a 150S >160S <8n =n S 【答案】AD【分析】利用题设条件及等差等比数列性质以及前项和公式，一一验证即可.n 【详解】对于选项A ：， ，211n S n n =- ()()()221111113122n S n n n n n -∴=---=-+≥，又，()12122n n n S S a n n -∴-==-≥1111110S a ==-=- 则时也符合，故若，则，故选项A 正确；1n =212n a n =-211n S n n =-212n a n =-对于选项B ：当时，，此时，,1r p q =-=01nn S p p ⋅-==0n a =数列不是等比数列，故选项B 错误；{}n a 对于选项C ：数列为等差数列，，，{}n a 10a >69S S =，，，，11615936a d a d ∴+=+170a d ∴=->8170a a d ∴=+=78S S ∴=故选项C 错误；对于选项D ：数列为等差数列，，，{}n a 150S >160S <，即，()151158151502S a a a ∴=+=>80a >，即，()()1611689880S a a a a =+=+<890a a +<，时，最大，故选项D 正确；90a ∴<8n ∴=n S 综上所述：选项AD 正确，故选：AD.11．数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点距离之比是常数,A B的点的轨迹是圆.若两定点，动点(0,1)λλλ>≠M ()()2,0,2,0A B -M 说法正确的是（ ）A ．点的轨迹围成区域的面积为M 32πB ．面积的最大值为ABMC ．点到直线距离的最大值为M 40x y -+=D ．若圆上存在满足条件的点，则半径的取值范围为222:(1)(1)C x y r +++=M r 【答案】ACD【分析】设点的轨迹为以点为圆心，(),M x y M ()6,0N圆，可判断A ；得可判断B ；求出点到直线y ⎡∈-⎣(12ABM S AB y =⋅∈ ()6,0N 的距离可判断直线与圆相离，求出点到直线距离的最大值可判断C ；由40x y -+=M 40x y -+=D 选项可知圆与圆可判断D.C N r CN r-≤≤【详解】由题意，设点(),M x y=化简可得，()22632x y -+=所以点的轨迹为以点为圆心，M ()6,0N 所以点的轨迹围成的区域面积为，A 选项正确；M 32π又点满足，(),M x y y ⎡∈-⎣所以，面积的最大值为B 选项错误；(12ABM S AB y =⋅∈ ABM点到直线的距离，()6,0N 40x y -+=d >所以直线与圆相离，所以点到直线距离的最大值为C 选项正确；M 40x y -+==由D 选项可知圆与圆，C N r CN r-≤≤且==CN，r r-≤≤D 选项正确；r ≤≤故选：ACD.12．在棱长为1的正方体中，为侧面的中心，是棱的中点，若点1111ABCD A B C D -E 11BCC B F 11C D 为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）P 1BDA ．的长最小值为PE 12B ．的最小值为PE PF ⋅ 148-C ．若，则平面截正方体所得截面的面积为12BP PD =PAC 98D ．若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则的值可以是1BD θθ23π【答案】BCD【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，，得1(,,)BP BD λλλλ==--(01)λ≤≤，然后用空间向量法求得，判断A ，求得数量积计算最小值判断B ，由(1,1,)P λλλ--PE PE PF ⋅线面平行得线线平行，确定截面的形状、位置，从而可计算出截面面积，判断C ，结合正方体的对称性，利用是正方体的外接球直径判断D ．1BD 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为1，则，，，11(,1,22E (1,1,0)B 1(0,0,1)D ，1(0,,1)2F ，设，，所以，1(1,1,1)BD =--1(,,)BP BD λλλλ==--(01)λ≤≤(1,1,)P λλλ--，11(,,)22PE λλλ=--时，A 错；=13λ=min PE = ，1(1,,1)2PF λλλ=---，111()(1)()()(1)222PE PF λλλλλλ⋅=--+-+-- 2713()1248λ=--所以时，，B 正确；712λ=min 1()48PE PF ⋅=-，则是上靠近的三等分点，，12BP PD =P 1BD 1D 112(,,333P 取上靠近的三等分点，则，AC C G 12(,,0)33G ，显然与平面的法向量垂直，因此平面，12(0,,33PG =- PG 11CDD C (1,0,0)//PG 11CDD C 所以截面与平面的交线与平行，作交于点，PAC 11CDD C PG //CM PG 11C D M 设，则，由得，解得，(0,,1)M k (0,1,1)CM k =- //CM PG 21(1)33k --=12k=则与重合，因此取中点，易得，截面为，它是等腰梯形，M F11A D N //NF AC ACFN ，梯形的高为AC =NF=AN CF ==h ==截面面积为，C 正确；1928S ==，，，，，(1,0,0)A (0,1,0)C 1(1,1,1)B (1,1,0)AC =-1(1,1,1)BD =-- ，，同理，11100AC BD ⋅=-+=1AC BD ⊥ 11AB BD ⊥ 所以是平面的一个法向量，即平面，设垂足为，则1BD 1ACB 1BD ⊥1ACB 1O ，是正方体的外接球的直径，因此正方体绕旋转角度后111123AO C CO B B OA π∠=∠=∠=1BD 1BD θ与其自身重合，至少旋转．D 正确．23π故选：BCD ．三、填空题13．已知直线:，，当时，的值为__________.1l60x my ++=2:l ()1220m x y m -++=12l l ∥m 【答案】或1-2【分析】由一般式方程下两直线平行公式进行运算并检验即可.【详解】∵:，，1l60x my ++=2:l ()1220m x y m -++=∴当时，有，解得或，12l l ∥()1210m m ⨯--⨯=1m =-2m =当时，:，，∴满足题意；1m =-1l60x y -+=2:l 10x y -+=12l l ∥当时，:，，∴满足题意.2m =1l260x y ++=2:l 240x y ++=12l l ∥∴当时，的值为或.12l l ∥m 1-2故答案为：或.1-214．已知等差数列的公差为，且是和的等比中项，则前项的和为__________.{}n a 13a 2a 6a {}n a 20【答案】180【分析】利用等差数列的基本量，结合已知条件，即可求得等差数列的首项和公差，再求其前项的和即可.20【详解】由等差数列的公差为，{}n a 1且是和的等比中项，故可得3a 2a 6a ，解得.()()()2111152a a a ++=+112a =-故数列的前项的和{}n a 20.201201920118022S ⨯⎛⎫=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭故答案为：.18015．如图，把正方形纸片沿对角线折成直二面角，则折纸后异面直线，所成的角ABCD AC AB CD 为___________.【答案】##60°3π【分析】过点E 作CE ∥AB ，且使得CE =AB ，则四边形ABEC 是平行四边形，进而（或其补DEC ∠角）是所求角，算出答案即可.【详解】过点E 作CE ∥AB ，且使得CE =AB ，则四边形ABEC 是平行四边形，设所求角为，于是.02πθθ⎛⎫<≤⎪⎝⎭cos |cos |DCE θ=∠设原正方形ABCD 边长为2，取AC 的中点O ，连接DO ,BO ，则BO DO ==，而平面平面，且交于AC ，所以平面ABEC ，则.,BO AC DO AC ⊥⊥ACD ⊥ABC DO ⊥DO OE ⊥易得，，而则BE AC ==//BE AC ,BO AC ⊥.BO BE ⊥于是，.OE ==DE ==在中，，取DE 的中点F ，则，所以DCE △2DC CE ==CF DE ⊥cos FE DEC CE ∠==，2,63DEC DCE ππ∠=∠=于是.3πθ=故答案为：.3π16．已知F 为抛物线C ：的焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，抛物24y x =线在点A ，B 处的切线分别为和，若和交于点P ，则的最小值为______．1l 2l 1l 2l 2164PFAB+【答案】4【分析】设直线：，利用韦达定理求得，设，利用判别式l 1x my =+AB()()111:0l y y k x x k -=-≠求得直线的方程，进而得到的坐标，从而可得，再利用基本不等P 2221644164444PFm AB m ++=++式即得.【详解】由题可知，设直线：，(1,0)F l 1x my =+直线:与联立消，得，l 1x my =+24y x =x 2440y my --=设，，则，，()11,A x y ()22,B x y 124y y m +=124y y =-∴，()212122444AB x x m y y m =++=++=+设，()()111:0l y y k x x k -=-≠由，可得，()1124y y k x x y x ⎧-=-⎨=⎩2114440y y y x k k -+-=∴，又，21144440y x k k ⎛⎫⎛⎫∆=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2114y x =∴，12k y =∴，即，()11112:l y y x x y -=-1122y y x x =+同理可得，2:l 2222=+y y x x 所以可得，即，()1212111,242P P x y y y y y m ==-=+=()1,2P m -，∴，当且仅当，即取等号.2222216441641444441PF m m AB m m ++=+=++≥++22411m m +=+1m =±故答案为：4.四、解答题17．已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点.C 10x y --=23100x y +-=()2,2P (1)求圆的方程；C (2)若过点的直线被圆截得的弦的长为4，求直线的方程.()3,2Q --l C AB l 【答案】(1)()22113x y ++=(2)或3x =-43180x y ++=【分析】（1）根据圆的圆心在直线上，设圆心为，再根据圆与直线C 10x y --=(),1a a -相切于点求解；23100x y +-=()2,2P （2）分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况，利用弦长公式求解.【详解】（1）解：因为圆的圆心在直线上，C 10x y --=所以设圆心为，(),1a a -又因为圆与直线相切于点，23100x y +-=()2,2P 所以d 解得，0a =所以圆心为，半径为，()0,1-r =所以圆的方程；C ()22113x y ++=（2）当直线的斜率不存在时：直线方程为，3x =-圆心到直线的距离为，3d =所以弦长为，成立；4AB ==当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，2(3)y k x +=+320kx y k -+-=圆心到直线的距离为d所以弦长为，4AB ===解得，43k =-所以直线方程为：，43180x y ++=所以直线的方程为 或.l 3x =-43180x y ++=18．在数列中，，当时，其前n 项和满足．{}n a 11a =2n ≥n S 212n n n S a S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求证：是等差数列；1n S⎧⎫⎨⎬⎩⎭(2)设，求的前n 项和．21nn S b n =+{}n b n T 【答案】(1)证明见解析；(2)21n n +【分析】（1）利用可将已知等式整理为，结合可证得结论；1n n n a S S -=-1112n n S S --=11111S a ==（2）由（1）得到，进而求得，再采用裂项相消法求得结果.n S n b 【详解】（1）证明：∵当时，，2n ≥1nn n a S S -=-212n n n S a S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即：()22111111222n n n n n n n n n S S S S S S S S S ---⎛⎫∴=--=--+ ⎪⎝⎭112n nn n S S S S ---=，又111112112n n n n n n n n n n S S S S S S S S S S ------∴-===11111S a ==数列是以为首项，为公差的等差数列∴1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭12（2）解：由（1）知：()112121n n n S =+-=-121n S n ∴=-∴()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==⨯-⎪-+-+⎝⎭11111111112335212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭19．已知椭圆的中心是坐标原点，它的短轴长，焦点，点，且C O (),0F c 10,0A c c⎛⎫- ⎪⎝⎭2.OF FA = （1）求椭圆的标准方程；C （2）是否存在过点的直线与椭圆相交于两点，且以线段为直径的圆过坐标原点，若A C ,P Q PQ O 存在，求出直线的方程；不存在，说明理由.PQ 【答案】(1)；(2)答案见解析.22162x y +=【详解】【试题分析】(1)利用列方程,可求得,由题意可知,由此求得,且出去2OF FA =2c =b =a 椭圆的标准方程.(2) 设直线的方程为,联立直线的方程和椭圆的方程,写出韦达定理,PQ ()3y k x =-利用圆的直径所对的圆周角为直角,转化为两个向量的数量积为零建立方程,由此求得的值.k 【试题解析】（1）由题意知，()10,0,,0b F c A c c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()10,0,2,0OF c FA c c ⎛⎫==- ⎪⎝⎭由，得，解得：2OF FA = 204c c c =- 2.c =椭圆的方程为2226,a b c ∴=+=∴22162x y+==（2），设直线的方程为()3,0A PQ ()3y k x =-联立，得()223162y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩()222213182760k x k x k +-+-=设，则()()1122,,,P x y Q x y 2212122218276,1313k k x x x x k k -+==++()22222121212222276543399131313k k k y y k x x x x k k k k ⎡⎤-⎡⎤=-++=-+=⎢⎥⎣⎦+++⎣⎦由已知得，得，即OP OQ ⊥12120x x y y +=22222227633060131313k k k k k k--+==+++解得：k=符合直线的方程为.0,∆>∴PQ )3y x =-20．如图所示，在梯形中，，，四边形为矩形，且平面ABCD //AB CD 120BCD ∠=︒ACFE CF ⊥，.ABCD 112AD CD BC CF AB =====(1)求证：；EF BC ⊥(2)点在线段（不含端点）上运动，设直线与平面所成角为，当M BF BE MAC θsin θ=定此时点的位置.M 【答案】(1)证明见解析；(2)点为线段的中点.M BF 【分析】（1）由，求得，在中，用余弦定理求得，再//AB CD 120BCD ∠=︒60ABC ∠=︒ABC AC 使用勾股定理证得，即可证出；AC BC ⊥EF BC ⊥（2）建立空间直角坐标系，设，根据直线与平面BM BF λ=BE MAC 出实数的值即可.λ【详解】（1）在梯形中，∵，，∴，ABCD //AB CD 120BCD ∠=︒60ABC ∠=︒在中，∵，，ABC 2AB =1BC =∴由余弦定理，2222212cos 2122132AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=∴，∴，222AB AC BC =+AC BC ⊥∵四边形为矩形，∴，ACFE //AC FE ∴.EF BC ⊥（2）由第（1）问，，又∵平面，AC BC ⊥CF ⊥ABCD ∴以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，C CA CB CF x y z 则由已知，，，，，()0,0,0C )A()0,1,0B )E ()0,0,1F ∵点在线段（不含端点）上运动，M BF ∴设，，()()0,1,10,,BM BF λλλλ==-=-()0,1λ∈∴，()()()0,1,00,,0,1,CM CB BM λλλλ=+=+-=-又∵，)CA =∴设平面的一个法向量，则MAC (),,n x y z =，令，则，，00n CM n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ⇒()100y z λλ⎧-+=⎪=y λ=0x =1z λ=-∴，()0,,1n λλ=-又∵，直线与平面所成角为，当)1,1BE =- BE MAC θsin θ=∴，sin cos ,n BE n BE n BE θ⋅====解得，12λ=∴，即点为线段的中点.12BM BF= M BF 21．已知等差数列的首项为2，公差为8.在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数{}n A {}n A 列的项一起构成一个新的等差数列.{}n a (1)求数列的通项公式；{}n a(2)若，，，，是从中抽取的若干项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，1k a 2k a ⋅⋅⋅nk a ⋅⋅⋅{}n a ，，令，求数列的前项和.11k =23k =n n b nk ={}n b n n S 【答案】(1)；2,()n a n n N +=∈(2)11()3424n n n S =+-⋅【分析】（1）由题意在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的{}n A 等差数列，可知的公差，进而可求出其通项公式；{}n a {}n a 824d ==（2）根据题意可得，进而得到，再代入中得，利用错位相减即可求1=23n n k a -⨯1=3n n k -n b 1=3n n b n -⋅出前项和.n n S 【详解】（1）由于等差数列的公差为8，在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数{}n A {}n A 列的项一起构成一个新的等差数列，则的公差，的首项和 首项相同为{}n a {}n a 824d =={}n a {}n A 2，则数列的通项公式为.{}n a 22(1)2,()n a n n n N +=+-=∈（2）由于，是等比数列的前两项，且，，则，则等比数列的公比为1k a 2k a 11k =23k =132,6a a ==3， 则，即，.1=23n n k a -⨯112=23=3n n n n k k --⨯⨯⇒1=3n n n b nk n -=⋅①.01221132333(1)33n n n S n n --∴=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ②.12313132333(1)33n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ①减去②得.11213(13)1121333313()31322n n nn nn S n n n --⨯--=++++-⋅=+-⋅=-+-⋅- .11()3424nn n S ∴=+-⋅22．已知圆，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交直()22:24F x y -+=()2,0E -G F EG 线于点，点的轨迹记为曲线.FG T T C (1)求曲线的方程；C (2)已知曲线上一点，动圆，且点在圆外，过点C ()()002,0M y y >()()222:20N x y r r -+=>M N 作圆的两条切线分别交曲线于点，.M N C A B （i ）求证：直线的斜率为定值；AB（ii ）若直线与交于点，且时，求直线的方程.AB 2x =Q 2BQM AQMS S=△△AB 【答案】(1)2213y x -=(2)（i ）答案见解析（ii ）或4623310x y ++=2211130x y +-=【分析】（1）通过几何关系可知，且,由此可知点的轨迹是以点、2ET TF -=42EF =>T E 为焦点，且实轴长为的双曲线，通过双曲线的定义即可求解；F 2（2）（i ）设点，，直线的方程为，将直线方程与双曲线方程联立利()11,A x y ()22,B x y AB y kx m =+用韦达定理及求出，即得到直线的斜率为定值；0MA MB k k +=()()2230k k m ++-=AB （ii ）由（i ）可知，由已知可得，联立方程即可求出，的值，124x x m +=122122AQMBQM S x Sx -==-△△1x 2x 代入即可求出的值，即可得到直线方程.2123x x m =+m 【详解】（1）由题意可知,2ET TF TG TFFG -=-==,且,4=2EF >∴根据双曲线的定义可知，点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线，T E F 2即，，，1a =2c =2223b c a =-=则点的轨迹方程为；T 2213y x -=（2）（i ）设点，，直线的方程为，()11,A x y ()22,B x y AB y kx m =+联立得，2213y x y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩()2223230k x kmx m ----=其中，且，230k -≠()()22224433k m k m ∆=+-+()221230m k =-+>，，12223kmx x k +=-212233m x x k +=--∵曲线上一点，∴，C ()()002,0M y y >()2,3M 由已知条件得直线和直线关于对称，则，MA MB 2x =0MA MB k k +=即，整理得，12122233x x y y --+=--()()()()121223320x y y x --+--=()()()()121223320x kx m kx m x -+-++--=，()()()1212223430kx x m k x x m +--+--=，()()()2222322343033k m km m k m k k +---+--=--，即，()()221230k m k m +++-=()()2230k k m ++-=则或，2k =-32m k =-当，直线方程为，此直线过定点，应舍去，32m k =-()3223y kx k k x =+-=-+()2,3故直线的斜率为定值.AB 2-（ii ）由（i ）可知，124x x m +=2123x x m =+由已知得，即，12AQMBQMS S =△△122122AQMBQMS x S x -==-△△当时，，122122x x -=-2122x x =-，即，，1211224x x x x m +=+-=1423m x +=2823m x -=，解得或，2124282333m m x x m +-=⋅=+1m =3123m =-但是当时，，故应舍去，当时，直线方程为，1m =Δ0=3123m =-4623310x y ++=当时，，即，，122122x x -=--2162x x =-164x m =-286x m =-，解得（舍去）或，()()21264863x x m m m =--=+1m =1311m =当时，直线方程为,1311m =2211130x y +-=故直线的方程为或.AB 4623310x y ++=2211130x y +-=。
山东济南2022-2023学年高二上期期末数学试题及详解
．
设平面 的法向量为 ，
则 即
令 ，则 ，
．
设平面 的法向量为 ，
则 即
令 ，则 ，
．
．
设二面角 的平面角为
，
∴二面角 的正弦值为 ．
18.在 中， ,点 在直线 上，若 的面积为 ,求点 的坐标.
【答案】 或 .
【详解】试题分析：求出 的距离，利用三角形的面积求出 到 的距离，求出 的方程，设 ，利用点到直线的距离公式可求出 的坐标.
【点睛】本题考查圆的一般方程、两圆的相交弦问题；处理直线和圆、圆和圆的位置关系时，往往结合平面几何知识（如本题中，求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程）可减小运算量.
4.已知椭圆 的两个焦点为 ， 为椭圆上一点， .若 的内切圆面积为 ，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
9.给出下列命题，其中是假命题的是（）
A.若A，B，C，D是空间中的任意四点，则有
B. 是 ， 共线的充要条件
C.若 ， 共线，则
D.对空间中的任意一点O与不共线的三点A，B，C，若 ，则P，A，B，C四点共面
【答案】BCD
【分析】根据向量的加法运算、共线与共面的条件，即可判断正误.
【详解】解：由向量的加法运算，显然A是真命题；
【详解】解：由 ，得 ，
，即 ，
又 ， 数列 为以1为首项，以1为公差的等差数列，
则 ，可得 ，故 正确；
当 时， ，
， 数列 的最大项为 ，故 错误， 正确．
故选： ．
12.若直线 是函数 图像的一条切线，则函数 可以是（）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【分析】求得已知直线的斜率 ，对选项中的函数分别求导，可令导数为 ，解方程即可判断结论
山东省高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知向量，，若，则（ ） ()2,1,3a = (),2,1b x x =- a b ⊥x =A ． B ．C ．D ．5-541-【答案】B【解析】根据，利用求.a b ⊥0a b ⋅= x 【详解】因为，所以，得. a b ⊥223(1)0a b x x ⋅=++-=5x =故选：B.2．已知数列13，，……，则是这个数列的（ ）11A ．第21项 B ．第23项 C ．第25项 D ．第27项【答案】B【分析】将.【详解】因为题中数列的第 n而 ==所以是题中数列的第23项. 故选：B. 3．抛物线的焦点坐标是（ ） 213y x =A ．B ．C ．D ．3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭1,06⎛⎫ ⎪⎝⎭1,012⎛⎫ ⎪⎝⎭30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】先将抛物线化为标准方程，即可求出焦点坐标. 213y x =【详解】由，所以抛物线的标准方程为：，即 ， 213y x =23x y =32p =∴所以抛物线的焦点坐标为： 213y x =304⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：D.4．已知直线和互相平行，则实数（ ） 1:70l x my ++=2:(2)320l m x y m -++=m =A ． B ．C ．或D ．或3-1-1-313-【答案】C【分析】根据题意，结合两直线的平行，得到且，即可求解. 13(2)0m m ⨯--=2730m -⨯≠【详解】由题意，直线和互相平行，1:70l x my ++=2:(2)320l m x y m -++=可得且， 13(2)0m m ⨯--=2730m -⨯≠即且，解得或. 2230m m --=212m ≠1m =-3m =故选：C.5．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到:冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至､大寒､雨水的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为（ ） 40.5 4.5A ．尺 B ．尺C ．尺D ．尺6.513.514.515.5【答案】D【解析】根据题意转化为等差数列，求首项.【详解】设冬至的日影长为，雨水的日影长为，根据等差数列的性质可知1a 13540.5a a a ++=，芒种的日影长为，33340.513.5a a =⇒=12 4.5a =，解得：，， 11213.511 4.5a d a d +=⎧⎨+=⎩115.5a =1d =-所以冬至的日影长为尺. 15.5故选：D6．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则下列向量111ABC A B C -M 11A C BA a = BC b = 1BB c =与相等的是（ ）BMA ．B ．1122a b c --+ 1122+-a b c C ． D ．1122-++ a b c 1122a b c ++ 【答案】D【解析】根据空间向量的运算，用为基底表示出，可得选项.,,a b c BM【详解】 11112BM BA AA A M BA BB AC =++=++()11111222BA BB BC BA BA BB BC =++-=++1122a c b =++ 故选：D7．已知椭圆与轴交于点A ，B ，把线段AB 分成6等份，过每个分点作轴的垂线交221369x y +=x x 椭圆的上半部分于点，，，，，是椭圆C 的右焦点，则1P 2P 3P 4P 5P F （ ） 12345PF P F P F P F P F ++++=A ．20B ．C ．36D ．30【答案】D【分析】由题意知与，与分别关于y 轴对称，设椭圆的左焦点为，从而1P 5P 2P4P 1F ，，利用15111||||||||2PF P F PF PF a +=+=523||||2,||P F P F a P F a +==即可求解． 12345||||||||||5PF P F P F P F P F a ++++=【详解】由题意，知与，与分别关于y 轴对称 1P 5P 2P 4P 设椭圆的左焦点为，由已知a =6,1F 则，同时15111||||||||2PF P F PF PF a +=+=523||||2,||P F P F a P F a +==∴ 12345||||||||||530PF P F P F P F P F a ++++==故选：D ．8．已知圆O 的半径为5，，过点P 的2021条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长||3OP ={}n a 为，最长弦长为，则其公差为（ ） 1a 2021a A ．B ．C ．D ．1202011010310101505【答案】B【解析】可得过点P 的最长弦长为直径，最短弦长为过点P 的与垂直的弦，分别求出即可得出OP 公差.【详解】可得过点P 的最长弦长为直径，， 202110a ∴=最短弦长为过点P 的与垂直的弦，，OP 18a ∴==公差.∴20211212021120201010a a d -===-故选：B.二、多选题9．已知圆和圆的公共点为，，则（ ）221:1C x y +=222:40C x y x +-=A B A ． B ．直线的方程是 12||2C C =AB 14x =C ．D ．12AC AC ⊥||AB =【答案】ABD【解析】两圆相减就是直线的方程，再利用圆心距，判断C ，利用弦长公式求. AB AB 【详解】圆的圆心是，半径，圆，圆心，，1C ()0,011r =()222:24C x y -+=()2,022r =，故A 正确；122C C ∴=两圆相减就是直线的方程，两圆相减得，故B 正确； AB 1414x x =⇒=，，，，所以不正确，故C 不正确；11AC =22AC =122C C =2221212AC AC C C +≠12AC AC ⊥圆心到直线的距离，D 正确. ()0,014x =14d =AB ===故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题关键选项是B 选项，当两圆相交，两圆相减后的二元一次方程就是相交弦所在直线方程.10．已知空间四点，则下列说法正确的是（ ） (0,0,0),(0,1,2),(2,0,1),(3,2,1)O A B C -A ．B ．2OA OB ⋅=-2cos ,5OA OB <>=-C ．点O 到直线D ．O ，A ，B ，C 四点共面BC 【答案】ABC【解析】计算数量积判断A ，求向量夹角判断B ，利用向量垂直判断C ，根据空间向量共面定理判断D ．【详解】， (0,1,2),(2,0,1)OA OB ==-，A 正确；02102(1)2OA OB ⋅=⨯+⨯+⨯-=-，B 正确； 2cos ,5OA OB <=- ，，所以O 到直线(1,2,2)BC = 2102(1)20OB BC ⋅=⨯+⨯+-⨯= OB BC ⊥ BC C 正确； ，(3,2,1)OC =假设若O ，A ，B ，C 四点共面，则共面，设， ,,OA OB OC OC xOA yOB =+则，此方程组无解，所以O ，A ，B ，C 四点不共面，D 错． 23221y x x y =⎧⎪=⎨⎪-=⎩故选：ABC ．11．若数列满足，，，则称为斐波那契数列．记}{n F 11F =21F =)(123,n n n F F F n n N *--=+≥∈}{n F 数列的前项和为，则（ ）}{n F n n S A ．B ．26571F F F =+681S F =-C ． D ．135910F F F F F +++⋅⋅⋅+=2222123678F F F F F F +++⋅⋅⋅+=【答案】BC【分析】由递推式分别求出，，，，再逐个选项判断即可． 3F 4F ⋯10F 【详解】因为，，， 11F =21F =*12(3,)n n n F F F n n N --=+∈…所以，，3212F F F =+=4323F F F =+=，，5435F F F =+=6548F F F =+=，， 76513F F F =+=87621F F F =+=，，98734F F F =+=109855F F F =+=所以，，，故错误；2664F =57166F F +=26571F F F ≠+A ，，，故正确；611235820S =+++++=8120F -=681S F =-B ，故正确；135910125133455F F F F F +++⋯+=++++==C，，2222123611492564104F F F F +++⋯+=+++++=781321273F F =⨯=所以，故错误． 2222123678F F F F F F +++⋯+≠D 故选：．BC 12．已知常数，点，动点M (不与A ，B 重合)满足：直线与直线的斜0a >(,0),(,0)A a B a -AM BM 率之积为，动点M 的轨迹与点A ，B 共同构成曲线C ，则关于曲线C 的下列说法正确的是(0)m m ≠（ ）A ．当时，曲线C 表示椭圆0m <B ．当时，曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆1m <-C ．当时，曲线C 表示双曲线，其渐近线方程为 0m >y =D ．当且时，曲线C 1m >-0m ≠【答案】BCD【解析】设，则，即曲线C 的方程为，然后利用椭圆和双曲线(),M x y y y m x a x a ×=+-22221x y a ma-=的知识逐一判断即可. 【详解】设，则，所以，即曲线C 的方程为(),M x y y y m x a x a ×=+-()222y m x a =-22221x y a ma-=当且时，曲线C 表示椭圆，故A 错误0m <1m ≠-当时，，曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故B 正确 1m <-22ma a ->当时，曲线C 表示双曲线，其渐近线方程为，故C 正确0m >y =当时，曲线C0m >=当时，曲线C D 正确10m -<<=故选：BCD三、填空题13．在直角坐标系中，直线的倾斜角是___. 30x +-=【答案】150︒【分析】求得直线的斜率，由此求得直线的倾斜角.【详解】直线的斜率为. 150︒故答案为：150︒14．已知双曲线＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝，则它的离心率为________．2222x y a b-【答案】2【详解】由题意，得e ＝2. c a 15．已知正方形的边长为分别是边的中点，沿将四边形折起，使二ABCD 2,,E F ,AB CD EF AEFD 面角的大小为，则两点间的距离为__________． A EF B --60 ,A C【分析】取BE 的中点G ，然后证明是二面角的平面角，进而证明，最AEB ∠A EF B --AG GC ⊥后通过勾股定理求得答案.【详解】如图，取BE 的中点G ，连接AG ,CG ，由题意，则是二面角,EF AE EF BE ⊥⊥AEB ∠的平面角，则，又，则是正三角形，于是A EFB --=60AEB ∠︒1AE BE ==ABE A,AG BE AG ⊥=根据可得：平面ABE ，而平面ABE ，所以，,,EF AE EF BE AE BE E ⊥⊥⋂=EF ⊥AG ⊂EF AG ⊥而，则平面BCFE ，又平面BCFE ，于是，，又,AG BE BE EF E ⊥⋂=AG ⊥GC ⊂AG GC ⊥，所以222174GC BC BG =+=AC ==四、双空题16．已知数列的各项均为正数，其前项和满足，则__________；记{}n a n n S 1n a =+n a =[]x 表示不超过的最大整数，例如，若，设的前项和为，则x [][]3, 1.52π=-=-110n n a b ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦{}n b n n T __________．22T =【答案】 ； 60.21n -【分析】先根据并结合等差数列的定义求出；然后讨论n 的取值范围，讨论1,1,,2n n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩n a 出分别取1,2,3,4,5的情况，进而求出.n b n T 【详解】由题意，，n =1时，，满足，()214nna S +=()2111114a a a +=⇒=10a >时，，于是，2n ≥()21114n n a S --+=()()()()221111112044nn n n n n n n n a a a S S a a a a ----++=-=-⇒+--=，因为，所以.所以，是1为首项，2为公差的等差数列，0n a >11202n n n n a a a a ----=⇒-={}n a 所以.()12121n a n n =+-=-若，即时，， 1112110102n a n n <⇒-<⇒<15n ≤≤1110n n a b ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦若，则时，，1121121021201022n a n n ≤<⇒≤-<⇒≤<610n ≤≤1210n n a b ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦若，则时，， 2131232021301022n a n n ≤<⇒≤-<⇒≤<1115n ≤≤1310n n a b ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦若，则时，，3141343021401022n a n n ≤<⇒≤-<⇒≤<1620n ≤≤1410n n a b ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦若，则或22时，， 4151454021501022n a n n ≤<⇒≤-<⇒≤<21n =1510n n a b ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦于是，. ()22123455260T =+++⨯+⨯=故答案为：2n -1；60.五、解答题17．在三角形中，已知点，，. ABC ()4,0A ()3,4B -()1,2C (1)求边上中线所在的直线方程；BC (2)若某一直线过点，且轴上截距是轴上截距的倍，求该直线的一般式方程. B y x 2【答案】(1) 35120x y +-=(2)或 430x y +=220x y ++=【分析】（1）求出中点，利用点斜式求方程即可；（2）直线过原点和不过原点利用截距式方程求解即可【详解】（1）∵，，()3,4B -()1,2C∴线段的中点的坐标为， BC D ()1,3-又边上的中线经过点，∴，BC ()4,0A ()()03441y x -=---即，35120x y +-=故边上中线所在的直线方程BC 35120x y +-=（2）当直线在轴和轴上的截距均为0时，可设直线的方程为， x y y kx =代入点，则，解得，()3,4B -43k =-43k =-所以所求直线的方程为，即；43y x =-430x y +=当直线在轴和轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为， x y 12x y m m+=代入点，则，解得， ()3,4B -3412m m-+=1m =-所以所求直线的方程为，220x y ++=综上所述，该直线的一般式方程为或. 430x y +=220x y ++=18．已知数列，若_________________． {}n a （1）求数列的通项公式；{}n a （2）求数列的前项和．11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解．①；2123n a a a a n ++++= ②，，；11a =47a =()*112,2n n n a a a n n -+=+∈N ≥③，点，在斜率是2的直线上． 11a =(),n A n a ()11,n B n a ++【答案】答案见解析.【分析】（1）若选①，根据通项公式与前项和的关系求解通项公式即可；n 若选②，根据可得数列为等差数列，利用基本量法求解通项公式()*112,2n n n a a a n n -+=+∈N ≥{}n a 即可；若选③，根据两点间的斜率公式可得，可得数列为等差数列进而求得通项公式； 12n n a a +-={}n a （2）利用裂项相消求和即可【详解】解：（1）若选①，由，2123n a a a a n ++++=所以当，， 2n ≥()212311n a a a a n -++++=- 两式相减可得：，()22121n a n n n =--=-而在中，令可得：，符合上式，2123n a a a a n ++++= 1n =11a =故．21n a n =-若选②，由（，）可得：数列为等差数列， 112n n n a a a -+=+N*n ∈2n ≥{}n a 又因为，，所以，即， 11a =47a =413a a d -=2d =所以．()11221n a n n =+-⨯=-若选③，由点，在斜率是2的直线上得：， (),n A n a ()11,n B n a ++()121n na a n n +-=+-即，12n n a a +-=所以数列为等差数列且．{}n a ()11221n a n n =+-⨯=-（2）由（1）知：， ()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以 111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ． 11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭19．已知圆与轴相切，圆心在直线上，且到直线 C x 3y x =2y x =(1)求圆的方程；C (2)若圆的圆心在第一象限，过点的直线与相交于、两点，且C ()1,0l C A B AB =l 的方程．【答案】(1)或 ()()22139x y -+-=()()22139x y +++=(2)或 10x y --=10x y +-=【分析】（1）设圆心的坐标为，则该圆的半径长为，利用点到直线的距离公式可求得C (),3a a 3a 的值，即可得出圆的标准方程；a C （2）利用勾股定理可求得圆心到的距离，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为C l l l ，利用点到直线的距离公式可求得关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程.()1y k x =-k k l【详解】（1）解：设圆心的坐标为，则该圆的半径长为，C (),3a a 3a因为圆心到直线， C 2y x =1a =±所以圆心的坐标为或，半径为，C ()1,3()1,3--3因此，圆的标准方程为或.C ()()22139x y -+-=()()22139x y +++=（2）解：若圆的圆心在第一象限，则圆的标准方程为.C C ()()22139x y -+-=因为的距离AB =l d ===若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，不合乎题意； l l 1x =C l 2所以，直线的斜率存在，可设直线的方程为，即，l l ()1y k x =-kx y k 0--=由题意可得， d ==1k =±所以，直线的方程为或，即或.l 1y x =-1y x =-10x y --=10x y +-=20．四棱锥底面为平行四边形，且，平面P ABCD -60,2,3ABC PA AB AD ∠==== PA ⊥.1,3ABCD BM BC =(1)在棱上是否存在点，使得平面.若存在，确定点位置；若不存在，说明理由. PD N //PB AMN N (2)求直线与平面所成角的正弦值. PB PCD 【答案】(1)存在点，且，理由见解析； N 13PN ND =【分析】（1）连接相交于点，连接，利用线面平行的性质可得， AM BD 、O 、PO NO //NO PB 根据，可得答案；//AD BM 13BM BC =（2）以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面A 、、AM AD AP x y z 、、的法向量为，利用线面角的向量求法计算可得答案.PCD 【详解】（1）存在点，且时平面，理由如下： N 13PN ND =//PB AMN 连接相交于点，连接，则平面平面， AM BD 、O NO PBD =AMN NO 若平面，平面，平面，所以，//PB AMN NO ⊂AMN PB ⊄AMN //NO PB 因为，，所以， ，//AD BM 1133==BM BC AD 13=BO OD 13=PN ND 所以时平面； 13PN ND =//PB AMN（2）因为，，，113==BM BC 2AB =60ABC ∠= 由余弦定理可得，2222cos 603=+-⨯= AM AB BM AB BM 由可得， ，又平面，222AB AM BM =+AM BC ⊥AM AD ⊥PA ⊥ABCD 以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， A 、、AM AD AP x y z 、、则，，，，，，()002P,,)1,0B-)C ()0,3,0D )1,2=--PB ()0,3,2=-PD ，)2,2=- PC 设平面的法向量为，PCD (),,n x y z =所以，即，令，则00PC n PD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩320220y z y z -=⎧⎪+-=2y =3,==z x 所以，2,3⎫=⎪⎪⎭n 设直线与平面所成角的为，PB PCD θ所以sin cos ,θ⋅====PB n PB n PB n所以直线与平面. PB PCD 21．设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． {}n a {}n b 3nn na b =1a 23a 39a （1）求和的通项公式；{}n a {}n b （2）记和分别为和的前n 项和．证明：． n S n T {}n a {}n b 2nn S T <【答案】（1），；（2）证明见解析. 11()3n n a -=3n nnb =【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可； 1a 29610q q -+=（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.,n n S T 【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，{}n a 1a 23a 39a 所以，所以，21369a a a =+211169a q a a q =+即，解得，所以，29610q q -+=13q =11(3n n a -=所以. 33n n n na nb ==（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和，211213333n n n n nT --=++++ ， 012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ n n S 230121123111112333323333n n nn S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 012111012222333---++++ 111233---+n n n n ．设， ⑧0121111101212222Γ3333------=++++ n n n则． ⑨1231111012112222Γ33333-----=++++ n n n 由⑧-⑨得． 1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭- n n n n n n n 所以． 211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n 因此． 10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n n T 故． 2nn S T <[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得， 11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--，①211213333n n n n nT --=++++ ，② 231112133333n n n n nT +-=++++ ①②得 ， -23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---所以， 31(1)4323n n nn T =--⋅所以， 2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n n n n ----=-<⋅⋅所以. 2nn S T <[方法三]：构造裂项法由（Ⅰ）知，令，且，即13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n 1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n 1+=-n n n b c c ，1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭nnn n n n 通过等式左右两边系数比对易得，所以．33,24αβ==331243nn c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，下同方法二．12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭[方法四]：导函数法 设，()231()1-=++++=- n n x x f x x x x x x由于， ()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n nx x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦则．12121(1)()123(1)+-+-+=++++='- n nn nx n x f x x x nxx 又，1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n 所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭'，下同方法二． 13113311(1)4334423n nnn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；,n n S T 方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n 1+=-n n n b c c n T 达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.22．已知椭圆的左､右焦点分别为，且，直线过与交于2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F 122F F =l 2F C 两点，的周长为8．,M N 1F MN △(1)求的方程；C (2)过作直线交于两点，且向量与方向相同，求四边形面积的取值范围．1F C ,P Q PQ MNPQNM【答案】(1)；22143x y +=(2). (]0,6【分析】(1)根据给定条件直接求出半焦距，及长半轴长即可作答.c a (2)根据给定条件结合椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，设出直线l 的方程，与椭圆PQNM C 的方程联立，借助韦达定理、对勾函数性质计算作答.【详解】（1）依题意，椭圆半焦距，由椭圆定义知，的周长，解得，1c =1F MN △48a =2a =，2223b a c =-=因此椭圆的方程为.C 22143x y +=（2）依题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，，l l 1x my =+()()1122,,,M x y N x y 由消去并整理得：，则，221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x 22(34)690m y my ++-=122634m y y m +=-+122934y y m =-+，因与方向相同，即，又椭圆是以原点O 为对称中心的中心对称图形， PQ MN//PQ MN C 于是得，即四边形为平行四边形，其面积PQ MN =PQNM ，1121212222MNP MNFS S S F F y y ===⨯-A A 则，S ===，则，则，t =221,1t m t ≥=-224241313t S t t t==++显然在上单调递增，则当时，，即，从而可得，13y t t=+[)1,+∞1t =min 4y =[)4,y ∞∈+(]0,6S ∈所以四边形面积的取值范围为.PQNM (]0,6【点睛】结论点睛：过定点的直线l ：y =kx +b 交圆锥曲线于点，，则(0,)A b 11(,)M x y 22(,)N x y OMN A 面积； 121||||2OMN S OA x x =⋅-A 过定点直线l ：x =ty +a 交圆锥曲线于点，，则面积(,0)A a 11(,)M x y 22(,)N x y OMN A . 121||||2OMN S OA y y =⋅-A。
2020-2021学年山东省济南市高二上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年山东省济南市高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线310x y -+=的斜率为（ ）A ．3B ．3-C ．33D ．33-【答案】C【分析】310x y -+=可化为3333y x =+，即可得出斜率. 【详解】310x y -+=可化为33y x =+，则3k = 故选：C【点睛】本题主要考查了已知直线方程求斜率，属于基础题. 2．已知向量(2,3,1)a =，(1,2,0)b =，则a b +等于（ ） A ．3 B ．3C ．35D ．9【答案】C【分析】利用空间向量加法运算的坐标表示计算a b +，再用空间向量的模长公式计算模长.【详解】(3,5,1)a b += 故22235135a b +=++= 故选：C3．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，若BA a =，BC b =，1BB c =，则下列向量与BM 相等的是（ ）A ．1122a b c --+ B ．1122+-a b cC ．1122-++a b c D ．1122a b c ++ 【答案】D【分析】根据空间向量的运算，用,,a b c 为基底表示出BM ，可得选项. 【详解】11112BM BA AA A M BA BB AC =++=++()11111222BA BB BC BA BA BB BC =++-=++ 1122a cb =++ 故选：D4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到:冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至､大寒､雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（ ） A ．6.5尺 B ．13.5尺C ．14.5尺D ．15.5尺【答案】D【分析】根据题意转化为等差数列，求首项.【详解】设冬至的日影长为1a ，雨水的日影长为13540.5a a a ++=，根据等差数列的性质可知33340.513.5a a =⇒=，芒种的日影长为12 4.5a =，11213.511 4.5a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：115.5a =，1d =-， 所以冬至的日影长为15.5尺. 故选：D5．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 和N 分别为11A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ） A ．25B ．25-C．5D．5-【答案】A【分析】作出异面直线AM 和CN 所成的角，然后解三角形求出两条异面直线所成角的余弦值.【详解】设,E F 分别是1,AB CC 的中点，由于,M N 分别是111,A B BB 的中点，结合正方体的性质可知11//,//B E AM B F CN ，所以1EB F ∠是异面直线AM 和CN 所成的角或其补角， 设异面直线AM 和CN 所成的角为θ，设正方体的棱长为2，2211125BE BF ==+=，2221216EF =++=，则1cos cos EB F θ=∠=55625255+-=⨯⨯.故选：A.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．6．历时23天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球，标志着中国航天向前迈出一大步．其中2020年11月28日晚，嫦娥五号成功进行首次近月制动，进入一个大椭圆轨道．该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点1F ，若其近月点A (离月球表面最近的点)与月球表面距离为1r 公里，远月点B (离月球表面最远的点)与月球表面距离为2r 公里，并且1F ，A ，B 在同一直线上．已知月球的半径为R 公里，则该椭圆形轨道的离心率为（ ）A ．12122r r R r r +++B ．21122r r R r r -++C ．1212r r R r r +++D ．2112r r R r r -++ 【答案】B【分析】由已知可得卫星的近地点、远地点离地心的距离分别为12,R r R r ++ ，则12,a c R r a c R r -=++=+ ，进而可求解.【详解】由已知可得卫星的近地点、远地点离地心的距离分别为12,R r R r ++设轨道的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>所以12,a c R r a c R r -=++=+ 解得()12122a R r r =++，()2112c r r =- 所以椭圆形轨道的离心率为21122r r ce a R r r -==++ 故选：B7．已知动点P 在直线1:3410l x y -+=上运动，动点Q 在直线2:640l x my ++=上运动，且12l l //，则PQ 的最小值为（ ） A ．35B ．310C ．15D ．110【答案】C【分析】根据两平线上任意两点距离的最小值即为平行线间的距离求解. 【详解】因为12l l //， 所以64341m =≠-，解得8m =-， 化简得2:3420l x y -+= 设12,l l 间的距离为d ，则15d ==，由平行线的性质知PQ 的最小值为15， 故选：C8．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，202020210a a +>，202020210a a ⋅<，则满足0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．4039 B ．4040C ．4041D ．4042【答案】B【分析】由等差数列的10a >，及202020210a a ⋅<得数列是递减的数列，因此可确定202020210,0a a ><，然后利用等差数列的性质求前n 项和，确定和n S 的正负．【详解】∵202020210a a ⋅<，∴2020a 和2021a 异号，又数列{}n a 是等差数列，首项10a >，∴{}n a 是递减的数列，202020210,0a a ><， 由202020210a a +>，所以140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>，14041404120214041()404102a a S a +==<，∴满足0n S >的最大自然数n 为4040． 故选：B ．【点睛】关键点睛：本题求满足0n S >的最大正整数n 的值，关键就是求出100n n S S +><，，时成立的n 的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.二、多选题9．关于双曲线221:132x y C -=与双曲线222:123y x C -=下列说法正确的是（ ）A ．它们的实轴长相等B ．它们的渐近线相同C ．它们的离心率相等D ．它们的焦距相等【答案】BD【分析】根据两个双曲线分别求解四个选项中的性质，再比较，判断选项.【详解】双曲线221:132x y C -=，223,2a b ==，2225c a b =+=，实轴长2a =，渐近线方程3y x x ==±，离心率3c e a ===，焦距2c = 双曲线222:123y x C -=，222,3a b ==，2225c a b =+=，实轴长2a =，渐近线方程y x x ==，离心率c e a ===，焦距2c = 综上比较，可知两个双曲线的渐近线，焦距相等. 故选：BD10．已知圆221:1C x y +=和圆222:40C x y x +-=的公共点为A ，B ，则（ ） A ．12||2C C =B ．直线AB 的方程是14x =C ．12AC AC ⊥D ．||2AB =【答案】ABD【分析】两圆相减就是直线AB 的方程，再利用圆心距，判断C ，利用弦长公式求AB . 【详解】圆1C 的圆心是()0,0，半径11r =，圆()222:24C x y -+=，圆心()2,0，22r =，122C C ∴=，故A 正确；两圆相减就是直线AB 的方程，两圆相减得1414x x =⇒=，故B 正确； 11AC =，22AC =，122C C =，2221212AC AC C C +≠，所以12AC AC ⊥不正确，故C 不正确；圆心()0,0到直线14x =的距离14d =，AB ===，故D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题关键选项是B 选项，当两圆相交，两圆相减后的二元一次方程就是相交弦所在直线方程.11．若数列{}n a 满足11a =，21a =，()123,n n n a a a n n N --+=+≥∈，则称数列{}n a 为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理､准晶体结构､化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．则下列结论成立的是（ ） A ．713a = B ．135********a a a a a ++++= C ．754S = D ．62420202021a a a a a ++++=【答案】AB【分析】AB 项直接计算，CD 项找出性质21n n a S +=+，按照性质进行判断即可. 【详解】按照规律有，11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，733S =，故A 对C 错2111212334n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a ++--------=+=+++=+++++=…1n S =+201812202020183520191352019111S a a a a a a a a a a a =+=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+∴故B 对24202062234520182019a a a a a a a a a a a ++++++++=+⋅⋅⋅++1234520182019201920211a a a a a a a S a +++++⋅⋅⋅++==-=，故D 错故选：AB【点睛】遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、结合等差、等比数列的通项公式和求和公式，进行求解.12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在平面1111D C B A 内，若||5AE =，AC DF ⊥，则（ ）A ．点E 的轨迹是一个圆B ．点F 的轨迹是一个圆C ．EF 21D ．AE 与平面1A BD 所成角的正弦值的最大值为153015【答案】ACD【分析】对于A 、B 、C 、D 四个选项，需要对各个选项一一验证. 选项A ：由2211||5AE AA A E =+=1||1A E =，分析得E 的轨迹为圆的一部分；选项B ：由AC DBF ⊥，而点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，；选项C ：由E 的轨迹为圆，F 的轨迹为线段11B D ，可分析得min ||EF d r =-； 选项D ：建立空间直角坐标系，用向量法求最值. 【详解】对于A:2211||5AE AA A E =+=，即221|25A E +=，所以1||1A E =，即点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上，应为圆的一部分；故A 错误；对于B: 正方体1111ABCD A B C D -中，AC ⊥BD ，又AC DF ⊥，且BD ∩DF=D ，所以AC DBF ⊥，所以点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，故B 错误；对于C:在平面1111D C B A 内，1A 到直线11B D 的距离为2,d =当点E ，F 落在11A C 上时，min ||21EF =-；故C正确； 对于D:建立如图示的坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0A B A D因为点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上，可设()cos ,sin ,2E θθ所以()()()1cos ,sin ,2,2,0,2,2,2,0,AE A B BD θθ==-=- 设平面1A BD 的法向量(),,n x y z =，则有1·220·220n BD x y n A B x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩不妨令x =1，则()1,1,1n =， 设AE 与平面1A BD 所成角为α，则：2|||sin |cos ,|||||n AE nAE n AE πθα⎛⎫++ ⎪====⨯当且仅当4πθ=时，sin α=故D 正确 故选：CD【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．三、填空题13．若直线10x y -+=与直线310mx y +-=互相垂直，则实数m 的值为__________． 【答案】3【分析】直接利用两直线垂直，求出m .【详解】因为直线10x y -+=与直线310mx y +-=互相垂直， 所以30m -=，解得：3m = 故答案为：3【点睛】若用一般式表示的直线,不用讨论斜率是否存在,只要A 1A 2+B 1 B 2=0,两直线垂直.14．已知双曲线2222xy a b-＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝x ，则它的离心率为________． 【答案】2【解析】由题意，得e ＝c a 2. 15．已知四面体ABCD 的顶点分别为(2,3,1)A ，(1,0,2)B ，(4,3,1)C -，(0,3,3)D -，则点D 到平面ABC 的距离______.【答案】【分析】计算出平面ABC 的法向量，则D 与平面中任意一点构成的向量在法向量上的投影的绝对值即为点到平面的距离.【详解】根据已知可得：()1,3,1AB =--，()2,0,2AC =- 设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30220x y z x z --+=⎧⎨-=⎩ 取()1,0,1n =，又()4,0,2DC = 则点D 到平面ABC的距离为：2DC n n⋅==故答案为：【点睛】本题考查用向量法求解点到平面的距离，属基础题. 16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点)的直线l 与圆22:80C x y +-+=交于A ，B 两点，则四边形OACB 面积的最大值为__________． 【答案】4【分析】四边形的面积可分为OACOBCSS+，设出直线方程与圆的方程联立，利用A B、两点的纵坐标差作为两个三角形的高，OC 为底可得四边形面积，然后利用二次函数求最值.【详解】圆的方程为(224x y -+=，圆心()C ，将)代入301280+-+<，所以点)在圆内，不妨设112212(,),(,),0,0A x y B x y y y ><，则OAC 与OCB 的高可分别为12,y y -，设直线方程为x ky =+2280x y x ky ⎧+-+=⎪⎨=+⎪⎩，整理得()22110y k y +--=， 所以12y y +=，12211y y k -=+，所以()()22212121222222341644111k k y y y y y y k k k ⎛⎫+-=+-=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭， 所以四边形的面积为()212221164321OACOBCk SSOC y y k ++=⨯⨯-=⨯+ ()22222431242323311331k k k ⎛⎫=⨯-=⨯--+ ⎪++⎝⎭+，因为(]210,11k ∈+，所以当21213k =+即22k =时，面积有最大值为4. 故答案为：4.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，关键点是利用韦达定理求出两个三角形的高及用二次函数求最值，考查了学生分析问题、解决问题的能力.四、解答题17．在①圆C 与y 轴相切，且与x 轴正半轴相交所得弦长为23 ②圆C 经过点()4,1A 和()2,3B ;③圆C 与直线210x y --=相切，且与圆22:(2)1Q x y +-=相外切这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的圆C 存在，求出圆C 的方程;若问题中的圆C 不存在，说明理由．问题:是否存在圆C ，______，且圆心C 在直线12y x =上． 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】答案见解析.【分析】选择①、②、③，分别用待定系数法求圆E 的方程； 【详解】选择条件①：设圆心C 的坐标为(),a b ，圆C 的半径为r因为圆心C 在直线12y x =上，所以12b a =因为圆C 与y 轴相切，且与x 轴正半轴相交所得弦长为所以0a >，0b >，且2r a b == 由垂径定理得223r b =+解得1b =， 所以2a =，2r所以圆C 的方程为22(2)(1)4x y -+-=选择条件②：设圆心C 的坐标为(),a b ，圆C 的半径为r 因为圆心C 在直线12y x =上，所以12b a =因为圆C 经过点()4,1A 和()2,3B ，AB 的中点()3,2M 所以AB 的中垂线方程为1y x =- 联立直线12y x =解得21x y =⎧⎨=⎩即2a =，1b =，2r所以圆C 的方程为22(2)(1)4x y -+-=选择条件③：设圆心C 的坐标为(),a b ，圆C 的半径为r 因为圆心C 在直线12y x =上，所以2a b =r =，所以r =，因为圆C 与圆Q 相外切，所以||1CQ r =+1r =+可得：2540b b -=，因为该方程∆<0，所以方程无解 故不存在满足题意的圆C ．【点睛】“结构不良问题”是2020年新高考出现的新题型：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分.18．已知等比数列{}n a 中，24a =，5256a =． （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）令2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】（1）14n n a -=；（2）2n S n n =-.【分析】（1）等比数列问题解决的基本方法：基本量代换，用通项公式代入列方程组解得；（2）由2=log 22n n b a n =-，判断{}n b 为等差数列，套公式求和. 【详解】（1）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，由题意得：1414256a q a q =⎧⎨=⎩ 解得114a q =⎧⎨=⎩ 所以14n n a -=（2）124l =o 22g n n n n n a b a -=∴=-所以数列{}n b 为等差数列， 所以2(022)2n n n S n n +-==-．【点睛】(1)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换； (2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法． 19．在平面直角坐标系中，已知抛物线22y px =的准线方程为12x =-．（1）求p 的值;（2）直线:(0)l y x t t =+≠交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，求线段AB 的长度．【答案】（1）1p =；（2）. 【分析】（1）由已知准线方程可得答案；（2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示OA OB ⊥可得t ，然后利用弦长公式可得答案.【详解】（1）由已知得122p -=-，所以1p =； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22y x =与y x t =+得2220y y t -+=，480t ∆=->，即12t <时有122y y +=，122y y t =， 因为OA OB ⊥，所以()21212121204y y OA OB x x y y y y ⋅=+=+=，可得124y y =-，因为122y y t =，所以2t =-， 则122y y +=，124y y =-，所以||AB =====【点睛】本题考查了抛物线方程、直线与抛物线的位置关系，关键点是利用韦达定理计算弦长，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平及其应用能力. 20．已知数列{}n a 满足11a =，13(1)n n na n a +=+． （1）设nn a b n=，求证:数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）证明见解析；（2）(21)3144n n n S -=+.【分析】（1）将13(1)n n na n a +=+变形为131n na a n n+=+，得到{}n b 为等比数列， （2）由（1）得到{}n a 的通项公式，用错位相减法求得n S 【详解】（1）由11a =，13(1)n n na n a +=+，可得131n na a n n+=+， 因为nn a b n=则13n n b b +=，11b =，可得{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列， （2）由（1）13n n b -=，由13n na n-=，可得13n n a n -=⋅， 01211323333n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅， 12331323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，上面两式相减可得：0121233333n n n S n --=++++-⋅13313n n n -=-⋅-， 则(21)3144n n n S -=+．【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和. 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，22AD PA PB ===，PA PB ⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ．（1）证明:平面PAD ⊥平面PBC ;（2）若M 为PC 中点，求平面AMD 与平面BMD 的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（210【分析】（1）利用DA ⊥平面PAB ，得到DA PB ⊥，又有PA PB ⊥，DA PA A =，得到PB ⊥平面PAD ，从而平面PAD ⊥平面PBC ；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求平面AMD 与平面BMD 的夹角的余弦值． 【详解】（1）证明：因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =， 矩形ABCD 中，DA AB ⊥，所以DA ⊥平面PAB 因为PB ⊂平面PAB ，所以DA PB ⊥ 又因为PA PB ⊥，DAPA A =，DA ⊂平面PAD ，PA ⊂平面PAD所以PB ⊥平面PAD ．因为PB ⊂平面PBC ，所以，平面PAD ⊥平面PBC ．（2）解：由（1）知DA ⊥平面PAB ，取AB 中点O ，连结PO ，则PO AB ⊥， 以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(2,0,0,)P ，(0,2,0)A -，(0,2,0)B ，(0,2,22)D -，2)M 则(0,0,22)DA =-，(1,3,2)DM =，(0,4,2)DB =-， 设平面AMD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n DA n DM ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0320z x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令1y =-，则3x =，0z =，所以(3,1,0)n =- 同理易得，平面BMD 的一个法向量为(1,1,2)m =-所以10cos ,||||5102m n m n m n ⋅<>===-⋅⨯． 由图示，平面AMD 与平面BMD 所成夹角为锐角， 所以平面AMD 与平面BMD 10【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．22．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左右顶点分别为A ，B ，离心率为32，且过点22,2D ⎭．（1）求椭圆E 的标准方程;（2）过点()4,0P 作与x 轴不重合的直线l 与椭圆E 相交于M ，N 两点(N 在P ，M 之间)．证明:直线MB 与直线NA 的交点的横坐标是定值．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）待定系数法求椭圆标准方程；（2）用“设而不求法”表示出M 、N ，，从而表示出直线MB ，NA , 证明直线MB 与直线NA 的交点的横坐标是定值． 【详解】（1）因为c e a ==，所以12b a =椭圆过点2D ⎭，所以2221142b b +=， 所以2a =，1b =，所以椭圆E 的方程为2214x y +=（2）设直线:4l x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y联立22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()2248120m y my +++= 2161920m ∆=->，m >m <-由韦达定理得：12284m y y m -+=+，122124y y m =+ 由题意得：直线11:(2)2y MB y x x =--，直线22:(2)2y NA y x x =++ 所以()()12212(2)2(2)y x x y x x +-=-+即()()12112212121262262x my y y my y y my y y y my y +--=+++ 整理得()()121221622226x y y my y y y -=++， 即()()121221622326x y y y y y y -=-+++⎡⎤⎣⎦即()()12126262x y y y y -=-若213y y =，则1m =±，此时2161920m ∆=-<， 所以12620y y -≠ 所以1x =【点睛】（1）待定系数法是求二次曲线的标准方程的常用方法；（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.。
山东省济南市高二上学期期末数学试卷
山东省济南市高二上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）已知直线，平面.则“”是“直线，”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）(2017·潮南模拟) 在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则C等于（）A . 30°B . 150°C . 30°或150°D . 60°或120°3. （2分）设，则=（）A .B . 0C .D .4. （2分）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE 交抛物线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）A .C .D .5. （2分）已知三棱柱ABC－A1B1C1 ，如图所示，则其三视图为（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高三上·景德镇月考) 某正三棱柱各棱长均为2，则该棱柱的外接球表面积为（）A .B .C .7. （2分） (2019高二上·长沙期中) 过点，且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是（）A .B .C .D .8. （2分）(2014·辽宁理) 已知a= ，b=log2 ，c=log ，则（）A . a＞b＞cB . a＞c＞bC . c＞a＞bD . c＞b＞a二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分）已知a，b是常数，ab≠0，若函数f（x）=ax3+barcsinx+3的最大值为10，则f（x）的最小值为________10. （1分） (2019高一上·乌拉特前旗月考) 若函数在上是单调增函数，则k 的取值范围是________11. （1分） (2018高二上·阳高期末) 在直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程式，则圆的圆心到直线的距离为________．12. （1分）椭圆x2+4y2=16被直线y= x+1截得的弦长为________．13. （1分） (2016高一上·南京期末) 若扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为________cm2 ．14. （1分）(2017·三明模拟) 已知函数f（x）=log2x，g（x）=x2 ，则函数y=g（f（x））﹣x零点的个数为________．15. （1分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V 的最大值是________．三、解答题 (共5题；共55分)16. （10分）(2017·泰州模拟) 如图，在三棱锥A﹣BCD中，已知△ABD，△BCD都是边长为2的等边三角形，E为BD中点，且AE⊥平面BCD，F为线段AB上一动点，记．（1）当时，求异面直线DF与BC所成角的余弦值；（2）当CF与平面ACD所成角的正弦值为时，求λ的值．17. （10分）(2016·诸暨模拟) △ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2acosB=3b﹣2bcosA．（1）求的值；（2）设AB的中垂线交BC于D，若cos∠ADC= ，b=2，求△ABC的面积．18. （15分） (2017高二上·黄山期末) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知R（x0 ， y0）是椭圆C：=1上的一点，从原点O向圆R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q．（1）若R点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；（2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1 ， k2 ，求k1•k2的值；（3）试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．19. （10分） (2016高一上·嘉峪关期中) 已知函数f（x）=3x2﹣kx﹣8，x∈[1，5]．（1）当k=12时，求f（x）的值域；（2）若函数f（x）具有单调性，求实数k的取值范围．20. （10分）(2020·南昌模拟) 己知圆F1：(x+1)2 +y2= r2(1≤r≤3)，圆F2：(x-1)2+y2= (4-r)2 ．（1）证明：圆F1与圆F2有公共点，并求公共点的轨迹E的方程；（2）已知点Q(m ， 0)(m<0)，过点E斜率为k(k≠0）的直线与（Ⅰ）中轨迹E相交于M ， N两点，记直线QM的斜率为k1 ，直线QN的斜率为k2 ，是否存在实数m使得k(k1+k2)为定值？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、填空题 (共7题；共7分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共55分)答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：。
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山东省济南市历城区2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题第Ⅰ卷一、单项选择题（共60分，每题3分）每题都有ABCD 四个备选答案，只许从中选取一个最佳答案。
1. 在△ABC 中，b = 8，c =38，S △ABC =316，则∠A 等于( )．A. 30 ºB. 60ºC. 30º 或 150ºD. 60º 或120º2. 在△ABC 中，若3a = 2b sin A ，则∠B 为( )． A.3πB.6πC.6π或6π5D.3π或3π2 3．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若389a a =,则=101a aA ． 1B ． 2C ． 4D ． 94．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为错误！未找到引用。
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由此得到频率分布直方图如图1，则这20名工人中一天生产该产品数量在错误！未找到引用。
的人数是（ ）A ．11B ．12C ．13D ．145． 若 a ＞0，b ＞0 ，且 1a b +=，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-111122b a 的最小值是( )． A. 9 B. 8 C.7 D. 66．一个年级有12个班，每个班有50名学生，随机编为1～50号，为了解他们在课外的兴趣爱好。
要求每班是40号学生留下进行问卷调查，这里运用的抽样方法是（ ）A ．分层抽样B ．抽签法C ．随机数表法D ．系统抽样法7．等差数列{a n }中，a 1 + a 4 + a 7 = 39，a 3 + a 6 + a 9 = 27，则数列{a n }的 9 项和 S 9 等于( )．A. 66B. 99C. 144D. 2978．设122=+y x ，则y x +有最小值（ ）.A ．1B ．2C ．1-D ．2-9．一个等比数列的前 n 项和为 48，前 2n 项和为 60，那么前 3n 项和为( )．A. 84B. 75C. 68D. 6310． 下列函数中，最小值为 2 是( )． A. y =x x 55+，x ∈R ，且 x ≠0 B. y = lgx +x lg 1，1＜x ＜10 C. y = 3x + 3-x ，x ∈RD. y = sin x +x sin 1，2π0＜＜x 11． △ABC 中，若其面积 S =41(a 2 + b 2 - c 2)，则∠C =( )． A. 2π B.3π C. 4π D. 6π12．△ABC 中,==-+C ab c b a cos ,222（ ） A. 21 B. 21- C.23 D.23-13． 某校男子足球队16名队员的年龄如下：17 17 18 18 16 18 17 15 18 18 1716 18 17 18 14 ，这些队员年龄的众数 （ ）A.17岁B.18岁C.17.5岁D.18.5岁14．函数1)(2+=x x x f （x>0）的最大值为（ ） A.52 B.21 C.22 D.1 15．在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边长作正方形，这个正方形的面积介于25 cm 2与49 cm 2之间的概率为 ( )A.错误！未找到引用。
B.错误！未找到引用。
C.错误！未找到引用。
D.错误！未找到引用。
第Ⅱ卷二、填空题（共24分，每空4分）16．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60处；行驶4 h后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15处. 这时船与灯塔的距离为 km ．17． 函数y = 的定义域是 ．18．已知数列{a n }，a 1 = 2，a n+1 = a n + 3n + 2，则 a n = ．19．某中学高中部有三个年级，其中高一年级有学生400人，采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本， 高二年级抽取 15人，高三年级抽取10人，那么高中部的学生数为________．20．如果等差数列的前 5 个偶数项的和等于 15，前三项的和等于 -3，则a 1 = ，d = ．三、简答题（共66分）21. (本题满分8分) 求和：a ，2a 2，3a 3，…，na n ，其中a ≠0且a ≠1．22．（本题满分12分). 在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程02322=+-x x 的两个根，且()1cos 2=+B A 。
求：(1)角C 的度数； (2)AB 的长度。
23(本题满分12分） 为了了解某中学学生的体能情况，体育组决定抽样三个年级部分学生进行跳绳测试， 并将所得的数据整理后画出频率分布直方图（如图5）.已知图中从左到右的前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，第一小组的频数是5.(1) 求第四小组的频率和参加这次测试的学生人数；(2) 在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？(3) 参加这次测试跳绳次数在100次以上为优秀，试估计该校此年级跳绳成绩的优秀率是多少？24.(本题满分8分)已知 a ＞b ＞0，求216()a b a b +-的最小值． 25.（本题满分12分)．设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，已知3a ＝24，011=S ．频率 次数(Ⅰ) 求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）求数列{n a }的前n 项和n S ；26.(本题满分14分）一个口袋内装有大小相同的6个小球，其中2个红球，记为A1、A2，4个黑球，记为B1、B2、B3、B4，从中一次摸出2个球.（Ⅰ）写出所有的基本事件；（Ⅱ）求摸出的两个球颜色不同的概率.答案1. C【解析】 21bc sin A = 163，∴ sin A =21，A = 30° ，或 150° ．2. D【解析】 b a =3sin 2A，∴ 3sin 2sin sin AB A ，∴ sin B =23，∴ B =3π，或3π2． 3 D4 C5 A 【解析】 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-111122b a =22221b a b a --+ 1 =22222)(b a b a b a --++ 1 =ab 2+1≥222⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a + 1 = 9．∴ 当 a = b=21时，原式取最小值 9．6 D7 B【解析】∵ 由题可得 a 4 = 13，a 6 = 9．S 9 = 29)(91⨯+a a =29)(64⨯+a a = 99． 8 B9 D【解析】由题知，S n ，S 2n - S n ，S 3n - S 2n 成等比数列， 公比为484860-=41． ∴ S 3n - S 2n =(60 - 48)×41= 3．∴ S 3n = 3 + 60 = 63．10 C【解析】A ：y 没有最小值．B ：∵ 1＜x ＜10，∴ 0＜lg x ＜1．∴ y ≥2．lg x=1，即x =10时，y min = 2．此时不符合1＜x ＜10．C ：∵ 3x ＞0，∴ y = 3x +x31≥2． x = 0时，y min = 2．D ：∵ 0＜x ＜2π， ∴ sin x ＞0．∴ y ≥2．当 sin x =x sin 1时，此时 sin x = 1，x =2π，不符合 0＜x ＜2π． 11 C【解析】 由题知21ab sin C =41(a 2 + b 2 - c 2)，∴ sin C =ab c b a 2222-+= cos C ， ∴ C =4π．12 A13 B14 B15 B16【解析】︒=︒30sin 45sin BC AC ， BC =21×2×60 = 302．17. （-8，8）．【解析】∵ 64 - x 2＞0 ∴ x 2＜64，-8＜x ＜8，即(-8，8)． 18232n n +． 【解析】∵ a n+1 = a n + 3n + 2，∴ a n = a 1 + 5 + ··· + 3 (n - 1)+ 2= a 1 +22135+-+）（n (n - 1)= 2 +243+n (n - 1)=24432+-+n n =232n n +． 19.232n n +． 【解析】∵ a n+1 = a n + 3n + 2，∴ a n = a 1 + 5 + ··· + 3(n - 1)+ 2= a 1 +22135+-+）（n (n - 1)= 2 +243+n (n - 1)=24432+-+n n =232n n +．20 a 1 = -2，d = 1．【解析】∵ a 2 + a 4 + ··· + a 10 = 15，∴ 5a 6 = 15，∴ a 6 = 3．∵ a 1 + a 2 + a 3 = -3，∴ a 2 = -1．∴ d =4)1(3--= 1． ∴ a 1 = -2．21【解】∵ S n = a + 2a 2 + 3a 3 + … + na n ，且a ≠0，∴ aS n = a 2 + 2a 3 + … +(n - 1)a n + na n+1．∴ S n - aS n = a + a 2 + a 3 + … + a n - na n+1， ∵ a ≠0且a ≠1，∴ (1 - a)S n =aa a n --1)1(- na n+1． ∴ S n =2)1()1(a a a n ---a na n -+11． 22,解（1）()[]()21cos cos cos -=+-=+-=B A B A C π ∴C ＝120° （2）由题设：2a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ ︒-+=∙-+=∴120cos 2cos 222222ab b a C BC AC BC AC AB ()()102322222=-=-+=++=ab b a ab b a 10=∴AB23 由 a ＞b ＞0 知，a - b ＞0，∴ b （a - b ）≤4222a b a b =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+． ∴ a 2 +)(16b a b -≥a 2 +264a≥22264a a ⋅= 16． 当且仅当 a 2 =264a ，b = a - b ， 即当 a = 22，b =2时，a 2 +)(16b a b -取得最小值 16．24（Ⅰ）依题意有⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+0210111124211d a d a ，解之得⎩⎨⎧-==8401d a ，∴n a n 848-=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1a ＝40，n a n 848-=， ∴ n S ＝1()(40488)22n a a n n n ++-=＝2444n n -+.25。