[jia]09年海淀区高一第一学期期末试卷-数学
2009-2010学年北京市海淀区高一(上)期末数学试卷
2009-2010学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）若角α的终边经过点P（3，﹣4），则sinα的值是（）A．B．C．D．2．（4分）已知向量=（3，1），=（﹣1，3），那么（）A．⊥B．∥C．＞D．||＞|| 3．（4分）已知两个不共线的向量a，b满足a+2xb=xa+yb，那么实数x，y的值分别是（）A．0，0B．1，2C．0，1D．2，14．（4分）如果tanα=3，且sinα＜0，那么cosα的值是（）A．B．C．D．5．（4分）如图，用向量，表示向量﹣为（）A．﹣2﹣4B．﹣4﹣2C．﹣3D．﹣+36．（4分）下列关系式中正确的是（）A．sin11°＜cos10°＜sin168°B．sin168°＜sin11°＜cos10°C．sin11°＜sin168°＜cos10°D．sin168°＜cos10°＜sin11°7．（4分）函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A．y=﹣4sin（）B．y=4sin（）C．y=﹣4sin（）D．y=4sin（）8．（4分）已知函数，那么下列函数中既是奇函数又是周期函数的是（）A．y=f（x）sinx B．y=f（x）+sinxC．y=sin[f（x）]D．y=f（sinx）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上. 9．（4分）=．10．（4分）已知向量=（﹣1，2），=（2，k），若∥，则k=．11．（4分）函数的定义域为．12．（4分）已知，设，那么实数λ的值是．13．（4分）函数的最小正周期是，它的图象可以由y=sin2x的图象向左平移个单位得到．14．（4分）如图，在正方形ABCD中，M是边BC的中点，N是边CD上一点，且CN=3DN，设∠MAN=α，那么sinα的值等于．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）设α是锐角，且，求f（α）的值．16．（10分）已知向量，=（﹣2，0）．（Ⅰ）求向量﹣的坐标以及﹣与的夹角；（Ⅱ）当t∈[﹣1，1]时，求|﹣t|的取值范围．17．（12分）某车间为了制作某个零件，需从一块扇形的钢板余料（如图1）中按照图2的方式裁剪一块矩形钢板ABCD，其中顶点B、C在半径ON上，顶点A在半径OM上，顶点D在上，，ON=OM=1．设∠DON=θ，矩形ABCD的面积为S．（Ⅰ）用含θ的式子表示DC、OB的长；（Ⅱ）试将S表示为θ的函数；（Ⅲ）求S的最大值．18．（12分）若对于定义在R上的连续函数f（x），存在常数a（a∈R），使得f （x+a）+af（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是回旋函数，且阶数为a．（Ⅰ）试判断函数f（x）=x2是否是一个回旋函数；（Ⅱ）已知f（x）=sinωx是回旋函数，求实数ω的值；（Ⅲ）若对任意一个阶数为a的回旋函数f（x），方程f（x）=0均有实数根，求a的取值范围．2009-2010学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）若角α的终边经过点P（3，﹣4），则sinα的值是（）A．B．C．D．【分析】根据角α的终边经过点P（3，﹣4），可得x=3，y=﹣4，故r=5，由sinα= 运算求得结果．【解答】解：由于角α的终边经过点P（3，﹣4），故x=3，y=﹣4，∴r=5，∴sinα==，故选：C．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，求出x=3，y=﹣4，∴r=5，是解题的关键．2．（4分）已知向量=（3，1），=（﹣1，3），那么（）A．⊥B．∥C．＞D．||＞||【分析】根据向量的坐标运算直接计算数量积，数量积为0，则两向量垂直．【解答】解：向量=（3，1），=（﹣1，3），∴•=3×（﹣1）+1×3=0，即⊥；故选：A．【点评】本题考查了数量积的运算以及根据数量积判断两向量的关系，属于基础题．3．（4分）已知两个不共线的向量a，b满足a+2xb=xa+yb，那么实数x，y的值分别是（）A．0，0B．1，2C．0，1D．2，1【分析】利用平面向量的基本定理令两个基底的系数对应相等，列出方程组，求出x，y的值．【解答】解；∵不共线又由平面向量的基本定理得解得x=1，y=2故选：B．【点评】平面内的向量都可以向一组不共线的向量上分解且分解是唯一的．4．（4分）如果tanα=3，且sinα＜0，那么cosα的值是（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的符号，确定角的象限，然后利用已知条件以及平方关系，求出三角函数的值即可．【解答】解：tanα=3，且sinα＜0，所以α是第三象限的角，因为sinα=3cosα，sin2α+cos2α=1，则10cos2α=1所以cosα=；故选：D．【点评】本题考查三角函数的基本关系，角的象限三角函数值的符号是解题的关键之一，考查计算能力．5．（4分）如图，用向量，表示向量﹣为（）A．﹣2﹣4B．﹣4﹣2C．﹣3D．﹣+3【分析】利用单位向量表示向量，，然后求出向量﹣的值．【解答】解：由题意可知=，=，所以向量﹣==﹣3．故选：C．【点评】本题是基础题，考查向量的加减法的应用，正确表示向量的关系是解题的关键，考查计算能力．6．（4分）下列关系式中正确的是（）A．sin11°＜cos10°＜sin168°B．sin168°＜sin11°＜cos10°C．sin11°＜sin168°＜cos10°D．sin168°＜cos10°＜sin11°【分析】先根据诱导公式得到sin168°=sin12°和cos10°=sin80°，再结合正弦函数的单调性可得到sin11°＜sin12°＜sin80°从而可确定答案．【解答】解：∵sin168°=sin（180°﹣12°）=sin12°，cos10°=sin（90°﹣10°）=sin80°．又∵y=sinx在x∈[0，]上是增函数，∴sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°．故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式和正弦函数的单调性的应用．关键在于转化，再利用单调性比较大小．7．（4分）函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A．y=﹣4sin（）B．y=4sin（）C．y=﹣4sin（）D．y=4sin（）【分析】先由图象的最高点、最低点的纵坐标确定A（注意A的正负性），再通过周期确定ω，最后通过特殊点的横坐标确定φ，则问题解决．【解答】解：由图象得A=±4，=8，∴T=16，∵ω＞0，∴ω==，①若A＞0时，y=4sin（x+φ），当x=6时，φ=2kπ，φ=2kπ﹣，k∈Z；又|φ|＜，∴φ∈∅；②若A＜0时，y=﹣4sin（x+φ），当x=﹣2时，φ=2kπ，φ=2kπ+，k∈z；又|φ|＜，∴φ=．综合①②该函数解析式为y=﹣4sin（）．故选：A．【点评】本题主要考查由三角函数部分图象信息求其解析式的基本方法．8．（4分）已知函数，那么下列函数中既是奇函数又是周期函数的是（）A．y=f（x）sinx B．y=f（x）+sinxC．y=sin[f（x）]D．y=f（sinx）【分析】先根据分段函数化简各函数式，再对各选项一一分析：对于A：y=f（x）sinx=，对于B：y=f（x）+sinx=，对于C：y=sin[f（x）]=，对于D：y=f（sinx）=，结合函数的性质对是不是奇函数或周期函数进行判断，从而得出答案．【解答】解：对于A：y=f（x）sinx=，它不是周期函数，故错；对于B：y=f（x）+sinx=，它既是奇函数但不是周期函数，故错；对于C：y=sin[f（x）]=，它不是周期函数，故错；对于D：y=f（sinx）=，它既是奇函数又是周期函数，故正确；故选：D．【点评】本小题主要考查函数的周期性、函数奇偶性的应用、分段函数等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上. 9．（4分）=﹣．【分析】观察所给的三角函数的代数式，发现代数式符合两角和的余弦公式，逆用公式，写出角的余弦，根据特殊角的三角函数得到结果．【解答】解：∵=cos（）=cos=﹣故答案为：﹣【点评】本题考查两角和与差的余弦函数，本题解题的关键是看出所给的式子符合公式，有的题目需要整理以后才符合公式，这样就需要整理后利用公式．10．（4分）已知向量=（﹣1，2），=（2，k），若∥，则k=4．【分析】由已知中向量，若∥，结合向量平行（共线）的充要条件，构造关于k 的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：∵向量，又∵∥，∴1•k﹣2•2=0解得：k=4故答案为：4【点评】本题考查的知识点平面向量共线（平行）的坐标表示，其中根据向量平行（共线）的充要条件，构造关于k的方程，是解答本题的关键．11．（4分）函数的定义域为（1，2）．【分析】函数的定义域是非空数集，使函数有意义的类型如：分母不为0，偶次根式被开方数是非负数，对数的真数大于0等．【解答】解：有函数的概念，使函数有意义须有：，即1＜x＜2所以函数的定义域是：（1，2）故答案为：（1，2）【点评】本题考查了函数的概念，函数定义域的求法．12．（4分）已知，设，那么实数λ的值是．【分析】由题意有可得，将条件代入化简可得，从而得到λ的值．【解答】解：由题意有可得，∴﹣=，∴，∴λ=，故答案为．【点评】本题考查两个向量的加减法的法则，向量的数乘以及其几何意义，得到，是解题的难点和关键．13．（4分）函数的最小正周期是π，它的图象可以由y=sin2x的图象向左平移个单位得到．【分析】根据所给的三角函数是可以直接利用求周期的形式，根据周期的公式，写出周期的值，把三角函数式中的x的系数提出，括号中只有x和一个角度，这个角度就是图象变化的大小．【解答】解：∵，∴最小正周期是T==π∵∴它的图象可以由y=sin2x的图象向左平移个单位得到，故答案为：π；【点评】本题考查三角函数图象的变换和周期的求法，本题解题的关键是图象的变换不要写成变化的大小是，这里图象平移的大小是针对于变量的系数是1来说的．14．（4分）如图，在正方形ABCD中，M是边BC的中点，N是边CD上一点，且CN=3DN，设∠MAN=α，那么sinα的值等于．【分析】由题意可得tan∠MAB=，tan∠DAN=，利用两角和的正切公式可得tan ∠（MAB+∠DAN ）的值，再利用诱导公式可得cot α 的值，由1+cot2α=csc2α=，求得sinα 的值．【解答】解：设正方形的边长为1，由题意可得tan∠MAB=，tan∠DAN=，tan∠（MAB+∠DAN ）==，∴cot α=tan∠（MAB+∠DAN ）=，∴1+cot2α==csc2α=，∴sinα==，故答案为．【点评】本题考查两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，求出cotα=，是解题的关键．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）设α是锐角，且，求f（α）的值．【分析】（Ⅰ）=cos2x，由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，求得f（x）的单调递减区间．（Ⅱ）由α是锐角，且，得=，α=，故f（α）=cos2x= cos．【解答】解：（Ⅰ）= cos2x﹣sin2x=cos2x．由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，可得kπ≤x≤kπ+，故求f（x）的单调递减区间为[kπ，kπ+]，k∈z．（Ⅱ）∵α是锐角，且，∴=，α=．∴f（α）=cos2x= cos==﹣．【点评】本题考查两角和差的正弦公式的应用，余弦函数的单调性，根据三角函数的值求角，求出α=，是将诶提的关键．16．（10分）已知向量，=（﹣2，0）．（Ⅰ）求向量﹣的坐标以及﹣与的夹角；（Ⅱ）当t∈[﹣1，1]时，求|﹣t|的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出的坐标，设与的夹角为θ，则由cos＜，＞= 求出θ 的值．（Ⅱ）当t∈[﹣1，1]时，=（1+2t，），得||==在[﹣1，﹣]上单调递减，在[﹣，1]单调递增，由二次函数的性质求得||的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）=（1，）﹣（﹣2，0 ）=（3，），设与的夹角为θ，则cos＜，＞===﹣．根据题意得0≤θ≤π，∴θ=．（Ⅱ）当t∈[﹣1，1]时，=（1+2t，），∴||== 在[﹣1，﹣]上单调递减，在[﹣，1]单调递增，∴t=﹣时，||有最小值，t=1时，||有最大值2，故||的取值范围[，2]．【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，向量的模的定义和求法，函数的单调性的应用，准确运算是解题的关键．17．（12分）某车间为了制作某个零件，需从一块扇形的钢板余料（如图1）中按照图2的方式裁剪一块矩形钢板ABCD，其中顶点B、C在半径ON上，顶点A在半径OM上，顶点D在上，，ON=OM=1．设∠DON=θ，矩形ABCD的面积为S．（Ⅰ）用含θ的式子表示DC、OB的长；（Ⅱ）试将S表示为θ的函数；（Ⅲ）求S的最大值．【分析】（1）直接在三角形中利用三角函数可以表示DC、OB的长；（2）S=BC×CD，由（1）可以求出相应函数；（3）表达成θ的函数关系式，再利用导数方法研究函数的最大值，【解答】解：（1）在△ODC中DC=sinθ，在△OAB中，，从而OB=sinθ；（2）在△ODC中OC=c osθ，从而S=BC×CD=（）（3）由得，由，得，易得时，S的最大值为．【点评】解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情境”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系抽象成数学问题，在数学领域寻找适当的方法解决，再返回到实际问题中加以说明．18．（12分）若对于定义在R上的连续函数f（x），存在常数a（a∈R），使得f （x+a）+af（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是回旋函数，且阶数为a．（Ⅰ）试判断函数f（x）=x2是否是一个回旋函数；（Ⅱ）已知f（x）=s inωx是回旋函数，求实数ω的值；（Ⅲ）若对任意一个阶数为a的回旋函数f（x），方程f（x）=0均有实数根，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用回旋函数的定义，令x=0，则必须有a=0；令x=1，则有a2+3a+1=0，故可判断；（Ⅱ）由于f（x）=sinwx是回旋函数，故有：sinw（x+a）+asinwx=0对任意实数x成立，从而可求实数ω的值；（Ⅲ）分类讨论是关键．a=0时结论显然；当a≠0时先假设存在，利用回旋函数的定义，易得在区间（0，a）上必有一个实根．【解答】解：（Ⅰ）若（x+a）2+ax2=0对任意实数都成立，令x=0，则必须有a=0令x=1，则有a2+3a+1=0，显然a=0不是这个方程的解故假设不成立，该函数不是回旋函数．（Ⅱ）由于f（x）=sinwx是回旋函数，故有：sinw（x+a）+asinwx=0对任意实数x成立令x=0，可得sinwa=0，令x=，可得coswa=﹣a，故a=±1，w=kπ（k为整数）（Ⅲ）如果a=0，显然f（x）=0，则显然有实根．下面考虑a≠0的情况．若存在实根x0，则f（x0+a）+af（x0）=0，即f（x0+a）=0说明实根如果存在，那么加a也是实根．因此在区间（0，a）上必有一个实根．则：f（0）f（a）＜0由于f（0+a）+af（0）=0，则f（0）=，只要a＞0，即可保证f（0）和f（a）异号．综上a≥0【点评】本题是新定义题，关键是理解新定义，利用新定义时，应注意赋值法的运用。
北京市海淀高一上学期期末数学试卷
北京市海淀区高一(上)期末数学试卷.选择题(每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符 合题目要求的)1 •已知集合U={1, 2, 3, 4, 5, 6} , M={1, 5} , P={2, 4}，则下列结论正确的 是( )A. 1 € ?U ( MU P )B. 2€ ?U (MU P )C. 3 € ?U (MU P )D. 6??u (MU P )2•下列函数在区间(-x, 0)上是增函数的是( )A. f(x ) =x 2 - 4x B. g (x ) =3x+1 C. h (x ) =3- x D. t (x ) =tanx3. 已知向量-=(1, 3), = (3, t )，若J/ ；',则实数t 的值为()A.- 9 B . - 1 C . 1 D. 94. 下列函数中，对于任意的x € R,满足条件f (x ) +f (- x ) =0的函数是()1 2A. f (x ) =xB. f (x ) =sinxC. f (x ) =cosxD. f (x ) =log 2 (x +1) 7T 7T1T 1T5. 代数式sin (冷十才)+cos (冷■-卡)的值为( )A. - 1 B . 0 C. 1 D.甞26. 在边长为1的正方形ABC 冲，向量I •=「，丁 =二『：，贝U 向量「，厂的夹 角为()7. 如果函数f (x ) =3sin (2x+®的图象关于点(辛),那么函数f (x )图象的一条对称轴是()IT7TH7TA. x= -— B . x= 一 C. x= D. x=2s 5M8.已知函数f (x )其中MU P=R 则下列结论中一定正确的是( )A.函数f (x )一定存在最大值B •函数f (x ) —定存在最小值A. n ?B. 4 D. -,0)成中心对称(|创vC.函数f (x) 一定不存在最大值D.函数f (x) 一定不存在最小值二.填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)9. 函数y= _________ ' - 的定义域为 .10. _________________________________________________________ 已知a=40.5, b=0.54, c=log 0.54,则a, b, c 从小到大的排列为_______________ .11. ______________________________________________________ 已知角a终边上有一点P (x, 1),且cos a=-寺，贝U tan a= __________________ .12. 已知△ ABC中，点A (- 2, 0), B (2, 0), C (x, 1)(i )若/ ACB是直角，贝U x= __(ii )若厶ABC是锐角三角形，贝U x的取值范围是____ .13. 燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog2 •.若两岁燕子耗氧量达到40个单10位时，其飞行速度为v=10m/s,则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达到单位.14. 已知函数f (x) =|ax - 1| -(a - 1) x(1)当a」时，满足不等式f (x)> 1的x的取值范围为—;(2)________________________________________________________ 若函数f (x)的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为__________________ .三.解答题(本大题共4小题，共44分)15. 已知函数f (x) =x2+bx+c,其对称轴为y轴(其中b, c为常数)(I )求实数b的值；(U )记函数g (x) =f (x) - 2,若函数g (x)有两个不同的零点，求实数 c 的取值范围；(川)求证：不等式f (c2+1)>f (c)对任意c€ R成立.16. 已知如表为五点法”绘制函数f (x) =Asin(3X+®图象时的五个关键点的坐标(其中A>0, 3>0, |创v n)(I )请写出函数f (x)的最小正周期和解析式; (U)求函数f (x)的单调递减区间；TT(川)求函数f (x)在区间［0 ,］上的取值范围.17. 如图，在平面直角坐标系中，点A (-唇0), B(^, 0),锐角a的终边与单位圆O 交于点P.(I)用a的三角函数表示点P的坐标；(U )当?.二-.时，求a的值；(川)在X轴上是否存在定点M使得I '.1= 一I厂|恒成立？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由.18. 已知函数f (x)的定义域为R,若存在常数T M0,使得f (x) =Tf (x+T) 对任意的x € R成立，则称函数f (x)是Q函数.(I )判断函数f (x) =x, g (x) =sin n(是否是Q函数；(只需写出结论)(U)说明：请在(i )、(ii )问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择(i ) 计分(i )求证：若函数f (x)是Q函数，且f (x)是偶函数，贝U f (x)是周期函数；(ii )求证：若函数f (x)是Q函数，且f (x)是奇函数，贝U f (x)是周期函数；(川)求证：当a> 1时，函数f (x) =a x一定是Q函数.选做题(本题满分10分)19. 记所有非零向量构成的集合为V,对于',■€ V, > ；■,定义V( ', ■) =|x€ V|x? ：=x? |(1)请你任意写出两个平面向量打一，并写出集合V(】，J中的三个元素；(2)请根据你在(1)中写出的三个元素，猜想集合V(：,')中元素的关系，并试着给出证明；(3)若V( ., ) =V(-,)，其中工「，求证：一定存在实数入，“，且入+ ?2=1, 使得「a -.2016-2017学年北京市海淀区高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题(每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1 •已知集合U={1, 2, 3, 4, 5, 6} , M={1, 5} , P={2, 4}，则下列结论正确的是( )A. 1 € ?U ( MU P)B. 2€ ?U (MU P)C. 3 € ?U (MU P)D. 6??u (MU P)【考点】元素与集合关系的判断.【分析】首先计算MU P,并求其补集，然后判断元素与集合的关系.【解答】解：由已知得到MU P={1, 5, 2, 4};所以?u (MU P) ={3 , 6};故A、B、D错误；故选：C.2. 下列函数在区间(-％, 0)上是增函数的是( )A. f (x) =x2- 4xB. g (x) =3x+1C. h (x) =3- xD. t (x) =tanx【考点】函数单调性的判断与证明.【分析】分别判断选项中的函数在区间(-%, 0) 上的单调性即可.【解答】解：对于A, f (x) =x2- 4x= (x - 2) 2- 4,在(-X, 0) 上是单调减函数，不满足题意；对于B, g (x) =3x+1在(-%, 0) 上是单调增函数，满足题意；对于C, h (x) =3-x=丄I是(-%, 0) 上的单调减函数，不满足题意；对于D, t (x) =tanx在区间(-%, 0)上是周期函数，不是单调函数，不满足题意.故选：B.3. 已知向量-(1, 3), = (3, t)，若J/「，则实数t的值为( )A.- 9 B . - 1 C . 1 D. 9【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.【分析】利用向量共线列出方程求解即可.【解答】解：向量>(1, 3), I =( 3, t)，若；可得t=9 .故选：D.4. 下列函数中，对于任意的x € R,满足条件f (x) +f (- x) =0的函数是( )1 2A. f (x) =x 'B. f (x) =sinxC. f (x) =cosxD. f (x) =log 2 (x +1)【考点】函数奇偶性的性质.【分析】对于任意的x€ R,满足条件f (x) +f (- x) =0的函数是奇函数，分析选项，即可得出结论.【解答】解：对于任意的x € R,满足条件f (x) +f (-x) =0的函数是奇函数. A,非奇非偶函数；B奇函数，C, D是偶函数，故选B.5 .代数式sin (=+ , ) +cos - )的值为( )Z J d 0A. - 1 B . 0 C. 1 D.于【考点】三角函数的化简求值.【分析】原式利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得答案. 【解答】解：sin + . ) +cos ( ------------------ ) =•：・....】i；一_：故选：C.6.在边长为1的正方形ABC冲，向量I ■=,：「，「=「「，则向量的夹角为( )n A.bit ir 5 兀B. C D---【考点】平面向量数量积的运算.【分析】以A为坐标原点，以AB为x轴，以AD为x轴，建立直角坐标系，根据向量的夹角的公式计算即可【解答】解：设向量■.；：.'的夹角为9,以A 为坐标原点，以AB 为x 轴，以AD 为x 轴，建立直角坐标系, ••• A (0, 0), B (1.0 ), C (1,1), D( 0,1),(1，:), '■/= (1 , ■:),八1 '■ 1=，厂=「_ ,'■' ?「=:+• = ., § 6血7 •如果函数f (x ) =3sin (2x+©)的图象关于点JT=),那么函数f (x )图象的一条对称轴是( JT JTH 7TA. x= —— B . x=^C. x=D. x=—6 1263【考点】函数y=Asin (®x+©)的图象变换.【分析】由正弦函数的对称性可得 2X =+忻kn, k €乙 结合范围| V —,可 求氛令2x+^=k 廿一，k € Z ,可求函数的对称轴方程，对比选项即可得解.AE-AF二 cos 9=十|AE l-lAFl—0)成中心对称(|吗v )二 e =,【解答】解：•••函数f (x) =3sin (2x+©)的图象关于点(r, 0)成中心对称, TT 9 JTw+ 忙k n, k € Z,解得：©二k n—务，k€ Z,门⑷V :,•••忻.，可得：f (x) =3sin (2x+ ),人 c 兀i TT ― / 曰IT•••令2x+ .. =k n+ .. , k€ 乙可得：x= 一 , k€ 乙TT•••当k=0时，可得函数的对称轴为x=-.故选：B.X垃E H28. 已知函数f (x) = •其中MU P=R则下列结论中一定正确的是( ) 〔启疋PA.函数f (x)一定存在最大值B•函数f (x) —定存在最小值C. 函数f (x) 一定不存在最大值D.函数f (x) 一定不存在最小值【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】分别根据指数函数和二次函数的图象和性质，结合条件M U P=R讨论M P,即可得到结论.【解答】解：由函数y=2x的值域为(0, +x),y=x2的值域为[0 , +x),且MU P=R若M=(0 , +x) , p=(-x, 0],则f (x)的最小值为0 ,故D错；若M=( — x , 2), P=[2 , +x),则f (x)无最小值为,故B错；由MU P=R可得图象无限上升, 则f (x)无最大值.故选：C.二.填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)9. 函数y= - .|的定义域为_［2 , +x)_.【考点】函数的定义域及其求法.【分析】由根式内部的代数式大于等于0,然后求解指数不等式.【解答】解：由2x- 4>0,得2x>4,则x>2.函数y= 」的定义域为［2 , +x).故答案为：［2 , +X).10. 已知a=40.5, b=0.54, c=log°.54,则a, b, c 从小到大的排列为_c v b v a_ 【考点】对数值大小的比较.【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解.【解答】解：••• a=40.5> 40=1,0v b=0.54v 0.5 0=1,c=log o.54v log 0.51=0,••• a, b, c从小到大的排列为c v b v a.故答案为：c v b v a.11. 已知角a终边上有一点P (x, 1),且cos o=-*，贝U tan a=-讥【考点】任意角的三角函数的定义.【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得tan a的值.1 工価•••角a 终边上有一点P( X, 1),且cos a=-—= 「.，• x=- , 【解答】解:• tan a=—= - _,故答案为：-二12. 已知△ ABC中，点A (- 2, 0), B (2, 0), C (x , 1)(i )若/ ACB是直角,贝U x= -(ii )若厶ABC是锐角三角形,则x的取值范围是_(- 2,-二)U (2 , +^)精品文档【考点】平面向量的坐标运算.【分析】(i )求出視=(-2 - x, - 1),忑=(2 -x, - 1),由/ ACB是直角，则 :.・「=0,由此能求出x.CA*CB>0 (ii )分别求出石，&，反，爲，反，环,由厶ABC是锐角三角形，得，丘屁>0, 由此能求出x的取值范围.【解答】解：(i )•「△ ABC中，点 A (-2, 0), B (2 , 0), C (x , 1), •••.：= (- 2 -x, - 1), y (2 - x, - 1),•••/ ACB是直角,・ |= (- 2- x) (2-x) + (- 1) (- 1) =x - 3=0 , 解得x= • 二(")•••△ ABC中，点 A (- 2 , 0), B (2 , 0), C (x , 1),•••：=(-2 - x, - 1), y (2-x, - 1), ■-■ = (x+2 , 1), ：；=( 4 , 0) , 「二 (x- 2 , 1), .*= ( - 4 , 0),•••△ ABC是锐角三角形，CA*CB = x2- 3>0••瓦•尿4仗+2)>0 ,解得-2vxv-占或x>2.• x的取值范围是(-2, - -)U( 2 , +x). 故答案为：.-,(-2, - =)U( 2 , +x).13. 燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog2 •'.若两岁燕子耗氧量达到40个单10位时，其飞行速度为v=10m/s ,则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达到_320 单位.【考点】对数函数的图象与性质.【分析】由题意，令x=4 , y=10代入解析式得到a；求得解析式，然后将v=25 代入解析式求x【解答】解：由题意，令x=40 , v=1011欢迎下载。
09-10学年度上期末试题高一年级数学答案
学校09-10学年度上期末试题高一年级（上）数学试题参考答案及评分意见一、选择题：ABCDA BCABD DC二、填空题：13、{}122|≠≤≤-x x x 且；14、45；15、(]2,0；16、①③三、解答题：17、解：∵A ＝{}=<+-0)3)(4(|x x x {}43|<<-x x …………（2分） B ＝{}=>-+0)2)(4(|x x x {}42|-<>x x x 或 …………（4分） ∴ A ∩B ＝{}42|<<x x …………（6分） C ＝{}0)3)((|<--m x m x x当0>m 时，C ＝{}m x m x 3|<<当0<m 时，C ＝{}m x m x <<3| …………（9分）当0=m 时，C ＝Φ 要使A ∩B ⊆C ，必须 ⎩⎨⎧≥≤432m m ……（11分） ∴ m 的取值范围是234≤≤m 。
…………（12分） 18、解：(Ⅰ)∵{}n a 是首项为2，公差为)0(≠d d 的等差数列∴ d a +=21，d a 223+=，d a 627+= …………（3分）∵ 2a ，3a ，7a 成等比数列，∴=+2)22(d )2(d +)62(d +=>∴ 032=+d d ∴ 3-=d （0≠d ） …………（7分）∴等比数列2a ，3a ，7a 的公比41423=--==a a q …………（9分） (Ⅱ) 由(Ⅰ)知等差数列{}n a 的公差为－3，∴53)3()1(2+-=-⨯-+=n n a n …（12分） 19、解：命题P ：⎩⎨⎧<->∆00m => ⎩⎨⎧>>-0042m m => 2>m …………（3分）命题Q ：212<-<-m => 31<<-m …………（5分） 若P 且Q 假，P 或Q 真 则 P 真Q 假或P 假Q 真 …………（7分） 即⎩⎨⎧≥-≤>312m m m 或 => 3≥m 或⎩⎨⎧<<-≤312m m =>21≤<-m ……(11分) ∴ m 的取值范围是：3≥m 或21≤<-m …………（12分）20、解：(Ⅰ)由题意知，该市每年投入的电力型公交车数量成等比数列其中 1a ＝128，公比q ＝1+50%＝23 …………（3分） ∴该市2016年应投入的电力型公交车7a ＝1a 6q ＝128×(23)6＝1458辆 …（4分）(Ⅱ) 设经过n 年该市的电力型公交车的数量开始超过全市公交车总量的31…（5分） 则 )10000(31n n S S +> 即 5000>n S …………（6分） ∴ 231])23(1[128--=n n S ＝2565000]1)23[(>-n 722628641314)23(=>n >7)23( ∴ n >7 …………（11分） ∴到2017年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31。
海淀区学年高一第一学期期末数学试题及答案官方版
WOED格式海淀区高一年级第一学期期末调研数学学校班级姓名成绩考1．本试卷共6页，共三道大题，18道小题.总分值100分.另有一道附加题〔5分〕.考生试时间90分钟.须2．在卷面上准确填写学校名称、班级名称、姓名.知3．考试结束，请将本试卷和草稿纸一并交回.一、选择题：本大题共8小题，每题4分，共32分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〔1〕设集合A{x|1x2},B{0,1,2} ，那么AIB()A.{0}B.{0 ，1}C.{0，1，2}D.{1,01,,2}2〕不等式|x1|2的解集是()A.{x|x3}B.{ x|1x3}C.{ x|1x3}D.{ x|3x3}(0,.B.y2C.〔4〕某赛季甲、乙两名篮球运发动各参加了13场比赛，得分情况用茎叶图表示如下：甲乙988177996102256799532030237104根据上图对这两名运发动的成绩进行比拟，以下四个结论中，不正确．．．的是()A．甲运发动得分的极差大于乙运发动得分的极差（B．甲运发动得分的中位数大于乙运发动得分的中位数（C．甲运发动得分的平均值大于乙运发动得分的平均值（D．甲运发动的成绩比乙运发动的成绩稳定（ a（5〕a,bR，那么“ab〞是“1〞的()bA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件1专业资料整理WOED格式2,x2,〔6〕函数f(x)x假设关于x的函数yf(x)k有且只有三个不同的零点，那么实数k 的2x3,x2.取值范围是()A.(3,1)B.(0,1)C.3,0D.(0,)7〕“函数f(x)在区间[1,2]上不．是．增函数〞的一个充要条件是()A.存在a(1,2)满足f(a)f(1)B.存在a(1,2)满足f(a)f(2)C.存在a,b[1,2] 且ab满足f(a)f(b)D. 存在a,b[1,2] 且ab满足f(a)f(b)〔8〕区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务效劳、供给链、版权和专利、能源、物联网等.在区块链技术中，假设密码的长度设定为256比特，那么密码一共有256种可能，因此，2为了破解密码，最坏情况需要进行25611次哈希运算.现在有一台机器，每秒能进行10次哈希2运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为〔参考数据〕()73657二、填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分，把答案填在题中横线上.x9〕函数f(x)a(a0且a1)的图象经过点(1,2)，那么a的值为__________.10〕f(x)lgx，那么f(x)的定义域为__________,不等式f(x1)0的解集为.uuur uuur uuur uuur 〔11〕OA(1,0)，AB(1,2)，AC(1,1)，那么点B的坐标为_________,CB的坐标为_________.〔12〕函数()22的零点个数为_______，不等式f(x)0的解集为_____________.fxx〔13〕某大学在其百年校庆上，对参加校庆的校友做了一项问卷调查，发现在20世纪最后5年间毕业的校友，他们2021年的平均年收入约为35万元.由此_____〔填“能够〞或“不能〞〕推断该大学20世纪最后5年间的毕业生，2021年的平均年收入约为35万元，理由是________________________________________________________________________________.〔14〕对于正整数k，设函数fk(x)[kx]k[x] ，其中[a] 表示不超过a的最大整数.①那么2f()_______; 23②设函数g(x)f 2(x)f 4(x) ，那么在函数g(x)的值域中所含元素的个数是____________.专业资料整理WOED格式2专业资料整理WOED格式三、解答题：本大题共4小题，共44分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.(15)〔本小题共11分〕某校2021级高一年级共有学生 195人，其中男生105人，女生90人.基于目前高考制度的改革，为了预估学生“分科选考制〞中的学科选择情况，该校对2021级高一年级全体学生进行了问卷调查.现采用按性别分层抽样的方法，从中抽取13份问卷．问卷中某个必答题的选项分别为“同意〞和“不同意〞，下面表格记录了抽取的这13份问卷中此题的答题情况．选“同意〞的人数选“不同意〞的人数男生4a女生b2〔Ⅰ〕写出a，b的值；〔Ⅱ〕根据上表的数据估计2021级高一年级学生该题选择“同意〞的人数；〔Ⅲ〕从被抽取的男生问卷中随机选取2份问卷，对相应的学生进行访谈，求至少有一人选择“同意〞的概率．函数f(x)ax2ax3.2〔Ⅰ〕假设a1，求不等式f(x)0的解集；〔Ⅱ〕a0，且f(x)0在[3,)上恒成立，求a的取值范围；〔Ⅲ〕假设关于x的方程f(x)0x1,x2，求22有两个不相等的正．实数根xx的取值范围.123专业资料整理WOED格式〔本小题共12分〕如图，在射线OA,OB,OC中，相邻两条射线所成的角都是120o，且线段OAOBOC.uuuruuuruuur设OPxOAyOB.〔Ⅰ〕当x2,y1时，在图1中作出点P的位置〔保存作图的痕迹〕；〔Ⅱ〕请用x,y 写出“点P在射线OC上〞的一个充要条件： _________________________________；〔Ⅲ〕设满足“x2y4且xy0〞的点P所构成的图形为G，①图形G是_________；A.线段B.射线C.直线D.圆②在图2中作出图形G.BBOOCACA图图21〔本小题共10分〕函数f(x) 的图象在定义域(0,) 上连续不断.假设存在常数T0，使得对于任意的x0，f(Tx)f(x)T 恒成立，称函数f(x) 满足性质P(T).(Ⅰ)假设f(x)满足性质P(2)，且f(1)0，求1f(4)f()的值；(Ⅱ)假设f(x)logx4，试说明至少存在两个不等的正数T1,T2，同时使得函数f(x)满足性质P(T1) 4和P(T2).(参考数据:2.0736)(Ⅲ)假设函数f(x)满足性质P(T)，求证：函数f(x) 存在零点.4专业资料整理附加题：〔此题总分值5分.所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分〕在工程实践和科学研究中经常需要对采样所得的数据点进行函数拟合.定义数据点集为平面点集SPxyiLN〔NN+〕，寻找函数yf(x)去拟合数据点集S，就是寻找适宜的函数，{i(i,i)|1,2,,}使其图象尽可能地反映数据点集中元素位置的分布趋势.〔Ⅰ〕以下说法正确的选项是_________.〔写出所有正确说法对应的序号〕A.对于任意的数据点集S，一定存在某个函数，其图象可以经过每一个数据点B.存在数据点集S，不存在函数使其图象经过每一个数据点C.对于任意的数据点集S，一定存在某个函数，使得这些数据点均位于其图象的一侧D.拟合函数的图象所经过的数据点集S中元素个数越多，拟合的效果越好〔Ⅱ〕衡量拟合函数是否恰当有很多判断指标，其中有一个指标叫做“偏置度〞，用以衡量数据点集在拟合函数图象周围的分布情况.如下图，对于数据点集PPP，在如下的两种“偏1,2,3置度〞的定义中，使得函数1(x)的偏置度大于函数f2(x)的偏置度的序号为________；yP3l31P221P1O13xl2n①=(x,yf(x))(x,yf(x))(x,yf(x))L(x,yf(x));iii111222nnn i1x))||,yf(iii111222nnni1〔其中|(x,y)|代表向量w(x,y)的模长〕〔Ⅲ〕对于数据点集S0,0,1,1,1,1,2,2，用形如f(x)axb的函数去拟合.当拟合函数f(x)axb满足〔Ⅱ〕中你所选择的“偏置度〞到达最小时，该拟合函数的图象必过点_______.〔填点的坐标〕5专业资料整理WOED格式草稿纸6专业资料整理WOED格式高一年数学级习参一.选择题：本大题共8小题，每题4分，共32分.考（1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕答答案BCCDDBDB 案及准2021．01二.填空题：本大题共 6小题，每题4分，共24分.9〕〔10〕；11〕；〔12〕1；(,0)U(1,)13〕不能；参加校庆的校友年收入不能代表全体毕业生的年收入14〕1；4注：两空的题，每空2分；三.解答题：本大题共 4小题，共44分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.〔15〕(Ⅰ)由题意可得；..........2 分；..........4 分(Ⅱ)估计2021级高一年级学生该题选择“同意〞的人数为；..........7 分(Ⅲ)如果访谈学生中选择“同意〞那么记为1，如果选择“不同意〞那么记为0，列举如下：1111000 ..........9 分共有76=42种等可能的结果，其中至少有一人选择“同意〞的有42636种，中至少有一人选择‘同意’〞为事件，那么P(A)..........10 分记“访谈学生366427..........11 分〔16〕(Ⅰ)当a1时，由2f(x)x2x3≥0解得{x|x≥3或x≤-1}..........3分专业资料整理WOED格式7专业资料整理WOED格式(Ⅱ)当a0时，二次函数2f(x)ax2ax3开口向上，对称为轴x1，所以f(x)在[3,)上单调递，增...........5分要使f(x)≥0在[3,)上恒成立，只需f(3)9a6a3≥0，...........6分所以a的取值范围是{a|a≥1}...........7分(Ⅲ)因为f(x)0有两个不相等的正．实数根x1,x2，a024a12a0所以xx2，..........8分123xgx0a12解得a3，所以a的取值范围是{a|a3}...........9分因为2226 xx(xx)2xgx4，..........10分121212a22所以，xx的取值范围是(2,4)...........11分1217〕(Ⅰ)BPOCA图中点P即为所求............4 分(Ⅱ)xy且x0,y0；...........7分说(明Ⅲ)①A；,..........10分：②如果“xE,ByO〞CA，(D分图中线段DE即为所求............12 分专业资料整理WOED格式〔18〕(Ⅰ)因为满足性质，所以对于任意的，f(2x)f(x)2恒成立.又因为f(1)0，所以，f(2)f(1)22，...........1分f(4)f(2)2 4，...........2分由f(1)f()211可得f()f(1)22，22111 1由f()f()+2可得f()f()24，.........3分2414 2所以，f(4)f()0.............4分4(Ⅱ)假设正数T满足，等价于log TT〔或者TT〕，log(Tx)logxTx记g(x)xlog x，〔或者设，x(0,)〕.........5分显然g(1)0，，2，所以16，16log16，即g(16)0............6分因为g(x)的图像连续不断，所以存在T(1,2),T(2,16)，使得g(T1)g(T 2)0，1 2因此，至少存在两个不等的正数1，使得函数同时满足性质1T,T P(T)和P(T).............7分2(Ⅲ)①假设f(1)0，那么1即为的零点；...........8分②假设f(1)M0，那么f(T)f(1)T，2f(T)f(T)Tf(1)2T，L，可得kk1f(T)f(T)Tf(1)kT，其中kN.取k[M]1M kTT即可使得f(T)MkT0.所以，存在零点............9分③假设f(1)M0，那么由1，可得1，f(1)f()T f()f(1)TT T1111，L，由f()f()T，可得f()f()Tf(1)2TTT2TT111 1k1k kk1TTTTMM即可使得1取[]1f(k)MkT0.所以，存在零点.kTTT综上，存在零点............10分专业资料整理WOED格式9专业资料整理WOED格式附加题：〔此题总分值5分.所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分〕【答案】(Ⅰ)B、C ...........2分(Ⅱ)①...........分(Ⅲ)(1,1)..........2.5分注：对于其它正确解法，相应给分.10专业资料整理。
海淀区2009-2010学年第一学期期末高三数学(理科)试题
海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 （理科） 2010.1一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1． 函数1(0)y x x x=+>的值域为A ．[)2,+∞B ．(2,)+∞C ．(0,)+∞D ．(][),22,-∞-+∞2．如图，PAB 、PC 分别是圆O 的割线和切线（C 为切点），若3PA AB ==，则PC 的长为A． B ．6 C．D ．33．已知双曲线2213y x -=，那么它的焦点到渐近线的距离为A ．1BC ．3D ．44．已知,m n 为两条不同直线，,αβ为两个不同平面，那么使//m α成立的一个充分条件是A ．//,//m βαβB ．,m βαβ⊥⊥C ．,,m n n m αα⊥⊥⊄D ．m 上有不同的两个点到α的距离相等5．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为A ．16 B ．15C ．13D ．256．如图，向量-a b 等于 A ．1224--e e B ．1242--e e C ．123-e eD ．123-+e e7．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开三个班.选课结束后，有四名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有 A ．72种 B ．54种 C ．36种 D ．18种8．点P 在曲线C ：2214x y +=上，若存在过P 的直线交曲线C 于A 点，交直线l ：4x =于B 点，满足PA PB =或PA AB =，则称点P 为“H 点”，那么下列结论正确的是 A ．曲线.C .上的所有点都是“H 点” B ．曲线C 上仅有有限个点是“H 点” C ．曲线C 上的所有点都不是“H 点”D ．曲线C 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“H 点”第II 卷（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．若直线l 的参数方程为1 23x t t y t =+⎧⎨=-⎩，（为参数），，则直线l 的斜率为_______________.10．阅读右图所示的程序框图，若运行该程序后输出的y 值为1， 则输入的实数x 值为________________.11．一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为__________________.12．设关于x 的不等式2*2()x x nx n -<∈N 的解集中整数的个数为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则100S 的值为_______________________.13．在区间[0,2]上任取两个数,a b ，那么函数22()f x x ax b =++无零点的概率为_________.正视图侧视图俯视图14．考虑以下数列{}n a ，*n N ∈：① 21n a n n =++；② 21n a n =+；③ ln 1n na n =+. 其中满足性质“对任意正整数n ，212n nn a a a +++≤都成立”的数列有 （写出满足条件的所有序号）；若数列{}n a 满足上述性质，且11a =，2058a =，则10a 的最小值为 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c C π=，5b =，ABC ∆的面积为（Ⅰ）求a ，c 的值； （Ⅱ）求sin()6A π+的值.16．（本小题满分13分）某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况.已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得0分；第二空答对得2分，答错或不答得0分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取1000份试卷，其中该题的得分组成容量为1000的样本，统计结果如下表：（Ⅰ）求样本试卷中该题的平均分，并据此估计这个地区高三学生该题的平均分；（Ⅱ）这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得分情况的频率（精确到0.1）作为该同学相应的各种得分情况的概率.试求该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率.17． （本小题满分13分）已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为棱第一空得分情况第二空得分情况BC ，AD 的中点. （Ⅰ）求证：DE ∥平面PFB ； （Ⅱ）已知二面角P -BF -CP -ABCD 的体积.18.（本小题满分13分）已知函数2()1x af x x +=+（其中a R ∈）.（Ⅰ）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线为12y x b =+，求实数,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.19．（本小题满分14分）已知抛物线:W 2y ax =经过点A (2,1)，过A 作倾斜角互补的两条不同直线12,l l . （Ⅰ）求抛物线W 的方程及准线方程； （Ⅱ）当直线1l 与抛物线W 相切时，求直线2l 与抛物线W 所围成封闭区域的面积；（Ⅲ）设直线12,l l 分别交抛物线W 于B ，C 两点（均不与A 重合），若以线段BC 为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC 的方程.20．（本小题满分14分）给定项数为m *(,3)m N m ∈≥的数列{}n a ，其中{0,1}i a ∈(1,2,,)i m = .若存在一个正整数(21)k k m ≤≤-，若数列{}n a 中存在连续的k 项和该数列中另一个连续的k 项恰好按次序对应相等，则称数列{}n a 是“k 阶可重复数列”，例如数列{}n a0,1,1,0,1,1,0.ABECPD F因为1234,,,a a a a 与4567,,,a a a a 按次序对应相等，所以数列{}n a 是“4阶可重复数列”. （Ⅰ）分别判断下列数列①{}:0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0.n b ②{}:1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1.n c 是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；（Ⅱ）若数为m 的数列{}n a 一定是 “3阶可重复数列”，则m 的最小值是多少？说明理由； （III ）假设数列{}n a 不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项m a 后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且41a ，求数列{}n a 的最后一项m a 的值.海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 （理）参考答案及评分标准 2010．1说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） 9．3- 10．34 11．2412π+ 12．10100 13．3414．②③;28 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知，3C π=，5b =，因为 1s i n 2ABC S ab C ∆= ，即 115s i n23a π⋅ ， ………………..1分 解得 8a = .………………..3分由余弦定理可得:2642580cos493c π=+-=, ………………..5分所以 7c =. ………………..7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）有4925641cos 707A +-==,………………..9分由于A 是三角形的内角，易知 sin A = ………………..10分所以 s i n ()s i nc o sc o s s i n666A A A πππ+=+ ………………..11分1172=+⨯1314= . ………………..13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设样本试卷中该题的平均分为x ，则由表中数据可得: 01983802069823023.011000x ⨯+⨯+⨯+⨯== ，……………….4分 据此可估计这个地区高三学生该题的平均分为3.01分.……………….5分（Ⅱ）依题意，第一空答对的概率为0.8，第二空答对的概率为0.3，……………….7分记“第一空答对”为事件A ，“第二空答对”为事件B ，则“第一空答错”为事件A ， “第二空答错”为事件B .若要第一空得分不低于第二空得分，则A 发生或A 与B 同时发生，……………….9分 故有： ()()0.80.20.70.94P A P A B +⋅=+⨯= .……………….12分 答：该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率为0.94. ……………….13分17． （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为E ，F 分别为正方形ABCD 的两边BC ，AD 的中点，所以BE FD ∥,所以，BEDF 为平行四边形,……………….2分 得//ED FB ，……………….3分 又因为FB ⊂平面PFB ，且ED ⊄平面PFB ,……………….4分 所以DE ∥平面PFB .……………….5分（Ⅱ）如图，以D 为原点，射线DA ,DC ,DP 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.设PD =a , 可得如下点的坐标：P (0,0,a ),F (1,0,0),B (2,2,0) 则有：(1,0,),(1,2,0),PF a FB =-=因为PD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)=m ， 设平面PFB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则可得=0PF FB ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩n n即+2=0 x a zx y-=⎧⎨⎩令x=1,得11,2z ya==-，所以11(1,,)2a=-n. ……………….9分由已知，二面角P-BF-C:1cos<,>||||⋅===m nm nm n, ……………….10分解得a =2. ……………….11分因为PD是四棱锥P-ABCD的高，所以，其体积为182433P ABCDV-=⨯⨯=. ……………….13分18.（本小题满分13分）解：由2()1x af xx+=+，可得222()(1)x x af xx+-'=+. ……………….2分（Ⅰ）因为函数()f x在点(1,(1))f处的切线为12y x b=+，得:1(1)21(1)2ff b⎧'=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩……………….4分解得112ab=⎧⎪⎨=⎪⎩……………….5分（Ⅱ）令()0f x'>，得220x x a+->…①……………….6分当440a∆=+≤，即1a≤-时，不等式①在定义域内恒成立，所以此时函数()f x的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)-+∞. ……………….8分当440a∆=+>，即1a>-时，不等式①的解为1x>-+1x<-……………….10分又因为1x≠-，所以此时函数()f x的单调递增区间为(,1-∞-和(1)-+∞，单调递减区间为(11)--和(1,1--..……………….12分所以，当1a ≤-时，函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)-+∞；当1a >-时，函数()f x的单调递增区间为(,1-∞-和(1)-+∞，单调递减区间为(11)--和(1,1--..……………….13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由于A (2,1)在抛物线2y ax =上， 所以 14a =，即14a =. ……………….2分 故所求抛物线的方程为214y x =，其准线方程为1y =-. ……………….3分（Ⅱ）当直线1l 与抛物线相切时，由21x y ='=，可知直线1l 的斜率为1，其倾斜角为45︒，所以直线2l 的倾斜角为135︒，故直线2l 的斜率为1-，所以2l 的方程为3y x =-+ …….4分 将其代入抛物线的方程214y x =，得 24120x x +-=, 解得 122,6x x ==-, …….5分 所以直线2l 与抛物线所围成封闭区域的面积为:2222266611(3)d d (3)d 44x x x x x x x ----+-=-+-⎰⎰⎰ ……………….6分 223611(3)212x x x -=-+-643=……………….8分（Ⅲ）不妨设直线AB 的方程为1(2) (0)y k x k -=->，……………….9分由21(2)14y k x y x -=-⎧⎪⎨=⎪⎩ 得24840x kx k -+-=, ……………….10分易知该方程有一个根为2，所以另一个根为42k -， 所以点B 的坐标为2(42,441)k k k --+, 同理可得C 点坐标为2(42,441)k k k --++,……………….11分所以||BC=, ……………….12分线段BC 的中点为2(2,41)k -+，因为以BC 为直径的圆与准线1y =-相切，所以 241(1)2k +--=,由于0k >， 解得 k =. …………….13分此时，点B 的坐标为2,3-，点C 的坐标为(2,3-+，直线BC 1=-，所以，BC 的方程为(3[2)]y x --=--，即10x y +-=. …….14分 20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）记数列①为{}n b ，因为23456,,,,b b b b b 与678910,,,,b b b b b 按次序对应相等，所以数列①是“5阶可重复数列”，重复的这五项为0,0,1,1,0;记数列②为{}n c ，因为12345,,,,c c c c c 、23456,,,,c c c c c 、34567,,,,c c c c c 、45678,,,,c c c c c 、 56789,,,,c c c c c 、678910,,,,c c c c c 没有完全相同的，所以{}n c 不是“5阶可重复数列”.……………….3分（Ⅱ）因为数列{}n a 的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有328=种不同的情形.若m ＝11，则数列{}n a 中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列{}n a 一定是“3阶可重复数列”；若m ＝10，数列0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是“3阶可重复数列”；则310m ≤<时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列{}n a .所以，要使数列{}n a 一定是“3阶可重复数列”，则m 的最小值是11. ……………….8分 （III ）由于数列{}n a 在其最后一项m a 后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即在数列{}n a 的末项m a 后再添加一项01或，则存在i j ≠，使得1234,,,,i i i i i a a a a a ++++与321,,,,0m m m m a a a a ---按次序对应相等，或1234,,,,j j j j j a a a a a ++++与321,,,,1m m m m a a a a ---按次序对应相等，11 如果1234,,,a a a a 与321,,,m m m m a a a a ---不能按次序对应相等，那么必有2,4i j m ≤≤-，i j ≠，使得123,,,i i i i a a a a +++、123,,,j j j j a a a a +++与321,,,m m m m a a a a ---按次序对应相等.此时考虑11,i j a a --和4m a -，其中必有两个相同，这就导致数列{}n a 中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列{}n a 是“5阶可重复数列”，这和题设中数列{}n a 不是“5阶可重复数列”矛盾！所以1234,,,a a a a 与321,,,m m m m a a a a ---按次序对应相等，从而4 1.m a a == ……………….14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
北京市海淀区高一上期末数学试卷((有答案))
北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一.选择题（每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（4分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，5}，P={2，4}，则下列结论正确的是（）A．1∈∁U（M∪P）B．2∈∁U（M∪P）C．3∈∁U（M∪P）D．6∉∁U（M∪P）2．（4分）下列函数在区间（﹣∞，0）上是增函数的是（）A．f（x）=x2﹣4x B．g（x）=3x+1 C．h（x）=3﹣x D．t（x）=tanx3．（4分）已知向量=（1，3），=（3，t），若∥，则实数t的值为（）A．﹣9 B．﹣1 C．1 D．94．（4分）下列函数中，对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是（）A．f（x）=x B．f（x）=sinx C．f（x）=cosx D．f（x）=log2（x2+1）5．（4分）代数式sin（+）+cos（﹣）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．6．（4分）在边长为1的正方形ABCD中，向量=，=，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．7．（4分）如果函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象关于点（，0）成中心对称（|φ|＜），那么函数f（x）图象的一条对称轴是（）A．x=﹣B．x=C．x=D．x=8．（4分）已知函数f（x）=其中M∪P=R，则下列结论中一定正确的是（）A．函数f（x）一定存在最大值B．函数f（x）一定存在最小值C．函数f（x）一定不存在最大值D．函数f（x）一定不存在最小值二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）函数y=的定义域为．10．（4分）已知a=40.5，b=0.54，c=log0.54，则a，b，c从小到大的排列为．11．（4分）已知角α终边上有一点P（x，1），且cosα=﹣，则tanα=．12．（4分）已知△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1）（i）若∠ACB是直角，则x=（ii）若△ABC是锐角三角形，则x的取值范围是．13．（4分）燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog 2．若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为v=10m/s，则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达到单位．14．（4分）已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x（1）当a=时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为；（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为．三.解答题（本大题共4小题，共44分）15．（12分）已知函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴（其中b，c为常数）（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）﹣2，若函数g（x）有两个不同的零点，求实数c 的取值范围；（Ⅲ）求证：不等式f（c2+1）＞f（c）对任意c∈R成立．16．（12分）已知如表为“五点法”绘制函数f（x）=Asin（ωx+φ）图象时的五个关键点的坐标（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）（Ⅰ）请写出函数f（x）的最小正周期和解析式；（Ⅱ）求函数f （x ）的单调递减区间； （Ⅲ）求函数f （x ）在区间[0，]上的取值范围．17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A （﹣，0），B （，0），锐角α的终边与单位圆O 交于点P ．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P 的坐标； （Ⅱ）当•=﹣时，求α的值；（Ⅲ）在x 轴上是否存在定点M ，使得||=||恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．18．（10分）已知函数f （x ）的定义域为R ，若存在常数T ≠0，使得f （x ）=Tf （x +T ）对任意的x ∈R 成立，则称函数f （x ）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f （x ）=x ，g （x ）=sinπx 是否是Ω函数；（只需写出结论） （Ⅱ）说明：请在（i ）、（ii ）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i ）计分（i ）求证：若函数f （x ）是Ω函数，且f （x ）是偶函数，则f （x ）是周期函数； （ii ）求证：若函数f （x ）是Ω函数，且f （x ）是奇函数，则f （x ）是周期函数； （Ⅲ）求证：当a ＞1时，函数f （x ）=a x 一定是Ω函数．选做题（本题满分10分）19．（10分）记所有非零向量构成的集合为V ，对于，∈V ，≠，定义V （，）=|x ∈V |x•=x•|（1）请你任意写出两个平面向量，，并写出集合V （，）中的三个元素； （2）请根据你在（1）中写出的三个元素，猜想集合V （，）中元素的关系，并试着给出证明；（3）若V（，）=V（，），其中≠，求证：一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得=λ1+λ2．2016-2017学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（4分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，5}，P={2，4}，则下列结论正确的是（）A．1∈∁U（M∪P）B．2∈∁U（M∪P）C．3∈∁U（M∪P）D．6∉∁U（M∪P）【解答】解：由已知得到M∪P={1，5，2，4}；所以∁U（M∪P）={3，6}；故A、B、D错误；故选：C．2．（4分）下列函数在区间（﹣∞，0）上是增函数的是（）A．f（x）=x2﹣4x B．g（x）=3x+1 C．h（x）=3﹣x D．t（x）=tanx【解答】解：对于A，f（x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，在（﹣∞，0）上是单调减函数，不满足题意；对于B，g（x）=3x+1在（﹣∞，0）上是单调增函数，满足题意；对于C，h（x）=3﹣x=是（﹣∞，0）上的单调减函数，不满足题意；对于D，t（x）=tanx在区间（﹣∞，0）上是周期函数，不是单调函数，不满足题意．故选：B．3．（4分）已知向量=（1，3），=（3，t），若∥，则实数t的值为（）A．﹣9 B．﹣1 C．1 D．9【解答】解：向量=（1，3），=（3，t），若∥，可得t=9．故选：D．4．（4分）下列函数中，对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是（）A．f（x）=x B．f（x）=sinx C．f（x）=cosx D．f（x）=log2（x2+1）【解答】解：对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是奇函数．A，非奇非偶函数；B奇函数，C，D是偶函数，故选B．5．（4分）代数式sin（+）+cos（﹣）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．【解答】解：sin（+）+cos（﹣）=．故选：C．6．（4分）在边长为1的正方形ABCD中，向量=，=，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：设向量，的夹角为θ，以A为坐标原点，以AB为x轴，以AD为x轴，建立直角坐标系，∴A（0，0），B（1.0），C（1，1），D（0，1），∵向量=，=，∴E（，1），F（1，），∴=（，1），=（1，），∴||=，=，•=+=，∴cosθ===，∴θ=，故选：B7．（4分）如果函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象关于点（，0）成中心对称（|φ|＜），那么函数f（x）图象的一条对称轴是（）A．x=﹣B．x=C．x=D．x=【解答】解：∵函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象关于点（，0）成中心对称，∴2×+φ=kπ，k∈Z，解得：φ=kπ﹣，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ=，可得：f（x）=3sin（2x+），∴令2x+=kπ+，k∈Z，可得：x=+，k∈Z，∴当k=0时，可得函数的对称轴为x=．故选：B．8．（4分）已知函数f（x）=其中M∪P=R，则下列结论中一定正确的是（）A．函数f（x）一定存在最大值B．函数f（x）一定存在最小值C．函数f（x）一定不存在最大值D．函数f（x）一定不存在最小值【解答】解：由函数y=2x的值域为（0，+∞），y=x2的值域为[0，+∞），且M∪P=R，若M=（0，+∞），P=（﹣∞，0]，则f（x）的最小值为0，故D错；若M=（﹣∞，2），P=[2，+∞），则f（x）无最小值为，故B错；由M∪P=R，可得图象无限上升，则f（x）无最大值．故选：C．二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）函数y=的定义域为[2，+∞）．【解答】解：由2x﹣4≥0，得2x≥4，则x≥2．∴函数y=的定义域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．10．（4分）已知a=40.5，b=0.54，c=log0.54，则a，b，c从小到大的排列为c＜b ＜a．【解答】解：∵a=40.5＞40=1，0＜b=0.54＜0.50=1，c=log0.54＜log0.51=0，∴a，b，c从小到大的排列为c＜b＜a．故答案为：c＜b＜a．11．（4分）已知角α终边上有一点P（x，1），且cosα=﹣，则tanα=﹣．【解答】解：∵角α终边上有一点P（x，1），且cosα=﹣=，∴x=﹣，∴tanα==﹣，故答案为：﹣．12．（4分）已知△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1）（i）若∠ACB是直角，则x=（ii）若△ABC是锐角三角形，则x的取值范围是（﹣2，﹣）∪（2，+∞）．【解答】解：（i）∵△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1），∴=（﹣2﹣x，﹣1），=（2﹣x，﹣1），∵∠ACB是直角，∴=（﹣2﹣x）（2﹣x）+（﹣1）（﹣1）=x2﹣3=0，解得x=．（ii）∵△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1），∴=（﹣2﹣x，﹣1），=（2﹣x，﹣1），=（x+2，1），=（4，0），=（x﹣2，1），=（﹣4，0），∵△ABC是锐角三角形，∴，解得﹣2＜x＜﹣或x＞2．∴x的取值范围是（﹣2，﹣）∪（2，+∞）．故答案为：，（﹣2，﹣）∪（2，+∞）．13．（4分）燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog2．若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为v=10m/s，则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达到320单位．【解答】解：由题意，令x=40，v=1010=alog24；所以a=5；v=25 m/s，25=5 log，得到x=320单位．故答案为：320．14．（4分）已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x（1）当a=时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为（2，+∞）；（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为[，1）．【解答】解：（1）a=时，f（x）=|x﹣1|+x=，∵f（x）＞1，∴，解得x＞2，故x的取值范围为（2，+∞），（2）函数f（x）的图象与x轴没有交点，①当a≥1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：两函数的图象恒有交点，②当0＜a＜1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：要使两个图象无交点，斜率满足：a﹣1≥﹣a，∴a≥，故≤≤a＜1③当a≤0时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：两函数的图象恒有交点，综上①②③知：≤a＜1故答案为：（2，+∞），[，1）三.解答题（本大题共4小题，共44分）15．（12分）已知函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴（其中b，c为常数）（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）﹣2，若函数g（x）有两个不同的零点，求实数c 的取值范围；（Ⅲ）求证：不等式f（c2+1）＞f（c）对任意c∈R成立．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴，∴=0，解得：b=0；（Ⅱ）由（I）得：f（x）=x2+c，则g （x ）=f （x ）﹣2=x 2+c ﹣2， 若函数g （x ）有两个不同的零点， 则△=﹣4（c ﹣2）＞0， 解得：c ＜2；（Ⅲ）证明：函数f （x ）=x 2+c 的开口朝上， ∵|c 2+1|2﹣|c |2=c 4+c 2+1=（c 2+）2+＞0恒成立， 故|c 2+1|＞|c |，故不等式f （c 2+1）＞f （c ）对任意c ∈R 成立．16．（12分）已知如表为“五点法”绘制函数f （x ）=Asin （ωx +φ）图象时的五个关键点的坐标（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）（Ⅰ）请写出函数f （x ）的最小正周期和解析式； （Ⅱ）求函数f （x）的单调递减区间； （Ⅲ）求函数f（x ）在区间[0，]上的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由表格可得A=2，=+，∴ω=2，结合五点法作图可得2•+φ=，∴φ=，∴f （x ）=2sin （2x +），它的最小正周期为=π．（Ⅱ）令2kπ+≤2x +≤2kπ+，求得kπ+≤x ≤kπ+，可得函数f （x ）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k ∈Z ．（Ⅲ）在区间[0，]上，2x +∈[，]，sin （2x +）∈[﹣，1]，f （x ）∈[﹣，2]，即函数f （x ）的值域为[﹣，2]．17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，0），B（，0），锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当•=﹣时，求α的值；（Ⅲ）在x轴上是否存在定点M，使得||=||恒成立？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标为（cosα，sinα）；（Ⅱ），，•=﹣时，即（cos）（cos）+sin2α=，整理得到cos，所以锐角α=60°；（Ⅲ）在x轴上假设存在定点M，设M（x，0），，则由||=||恒成立，得到=，整理得2cosα（2+x）=x2﹣4，所以存在x=﹣2时等式恒成立，所以存在M（﹣2，0）．18．（10分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf （x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分（i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；（ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；（Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．【解答】解：（I）①对于函数f（x）=x是Ω函数，假设存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），则T（x+T）=x，取x=0时，则T=0，与T≠0矛盾，因此假设不成立，即函数f（x）=x不是Ω函数．②对于g（x）=sinπx是Ω函数，令T=﹣1，则sin（πx﹣π）=﹣sin（π﹣πx）=﹣sinπx．即﹣sin（π（x﹣1））=sinπx．∴Tsin（πx+πT）=sinπx成立，即函数f（x）=sinπx对任意x∈R，有Tf（x+T）=f （x）成立．（II）（i）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化为：f（x+T）=f（﹣x+T），令x﹣T=t，则x=T+t，∴f（2T+t）=f（﹣t）=f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．（ii）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf （﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣Tf（x+T）=Tf（﹣x+T），T≠0，化为：﹣f（x+T）=f（﹣x+T），令x﹣T=t，则x=T+t，∴﹣f（2T+t）=f（﹣t）=﹣f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．（III）证明：当a＞1时，假设函数f（x）=a x是Ω函数，则存在非零常数T，Tf （x+T）=f（x），∴Ta x+T=a x，化为：Ta T a x=a x，∵a x＞0，∴Ta T=1，即a T=，此方程有非0 的实数根，因此T≠0且存在，∴当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．选做题（本题满分10分）19．（10分）记所有非零向量构成的集合为V，对于，∈V，≠，定义V（，）=|x∈V|x•=x•|（1）请你任意写出两个平面向量，，并写出集合V（，）中的三个元素；（2）请根据你在（1）中写出的三个元素，猜想集合V（，）中元素的关系，并试着给出证明；（3）若V（，）=V（，），其中≠，求证：一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得=λ1+λ2．【解答】解：（1）比如=（1，2），=（3，4），设=（x，y），由•=•，可得x+2y=3x+4y，即为x+y=0，则集合V（，）中的三个元素为（1，﹣1），（2，﹣2），（3，﹣3）；（2）由（1）可得这些向量共线．理由：设=（s，t），=（a，b），=（c，d），由•=•，可得as+bt=cs+dt，即有s=t，即=（t，t），故集合V（，）中元素的关系为共线；（3）证明：设=（s，t），=（a，b），=（c，d），=（u，v），=（e，f），若V（，）=V（，），即有as+bt=cs+dt，au+bv=ue+fv，解得a=•c+•e+，可令d=f，可得λ1=，λ2=，则一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得=λ1+λ2．。
北京市海淀区高一数学上学期期末考试试题(含解析)
第Ⅰ卷（共32分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集{1,2,3,4},{1,2},{2,3},U A B ===则 ( )U A B = （ ）A.{2,3}B.{1,2,3}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}3.已知向量2(1,1),(,2),x x ==+a b 若,a b 共线,则实数x 的值为 （ ） A.1- B.2 C.1或2- D.1-或2 【答案】D. 【解析】试题分析：∵2(1,1),(,2)x x ==+a b ，,a b 共线,∴根据向量共线的充要条件知1×x 2-1×(x+2)=0，∴x=-1或2,选D.考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．4.函数1 ()lg1 fxx=-的定义域为（）A.(0,)+∞ B.(0,1)(1,)+∞ C.(1,)+∞ D.(0,10)(10,)+∞【答案】D．【解析】试题分析：由函数1()lg1f xx=-的解析式可得，Lgx-1≠0, x＞0，即 0＜x＜10或10＜x，故函数定义域为(0,10)(10,)+∞ ,故选D．考点：函数定义域.5.如图所示,矩形ABCD中,4,AB=点E为AB中点, 若DE AC⊥,则||DE=（）A.52B. 23C.3D.22ED CBA6.函数41()log4xf x x=-的零点所在的区间是（）A.(10,2) B.(1,12) C.(1,2) D.(2,4)8.已知函数||()||x af x x a -=-,则下列说法中正确的是 （ ）A.若0a ≤，则()1f x ≤恒成立B.若()1f x ≥恒成立，则0a ≥C.若0a <，则关于x 的方程()f x a =有解D.若关于x 的方程()f x a =有解，则01a <≤ 【答案】D. 【解析】10.比较大小：sin1cos1(用“>”,“<”或“=”连接).【答案】＞.【解析】试题分析：在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0.考点：三角函数线．11.已知函数()13,(,1)x f x x =-∈-∞,则()f x 的值域为 .14.已知函数π()sin 2f x x =，任取t ∈R ，记函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值为,t M 最小值为 t m 记()t t h t M m =-. 则关于函数()h t 有如下结论：①函数()h t 为偶函数；②函数()h t 的值域为2[1； ③函数()h t 的周期为2；④函数()h t 的单调增区间为13[2,2],22k k k ++∈Z .其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号）三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分10分）已知函数2()f x x bx c =++，其中,b c 为常数. （Ⅰ）若函数()f x 在区间[1,)+∞上单调，求b 的取值范围；（Ⅱ）若对任意x ∈R ，都有(1)(1)f x f x -+=--成立，且函数()f x 的图象经过点(,)c b -， 求,b c 的值.【答案】(I) 2b ≥-;（Ⅱ）c=-1或c=-2. 【解析】16.（本小题满分12分）已知函数()sin(2)3f x x π=-.（Ⅰ）请用“五点法”画出函数()f x 在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 的值.y11 xO（Ⅱ）令222()232k x k k ππππ-≤-≤π+∈Z , 解得()1212k x k k π5ππ-≤≤π+∈Z ,∴函数sin(2)3y x π=-的单调增区间为5[,]()1212k k k πππ-π+∈Z .（Ⅲ）∵[0,]2x π∈， ∴2[0,]x ∈π，(2)[,]333x ππ2π-∈- ∴当233x ππ-=-，即0x =时，in(2)3y s x π=-取得最小值3 当232x ππ-=，即12x 5π=时，sin(2)3y x π=-取得最大值1.考点：1.五点法作函数y=Asin （ωx+φ）的图象；2.三角函数的单调区间；3.三角函数的最值．17.（本小题满分12分）（Ⅱ）∵四边形ABPQ 为菱形，∴||||AB BP =222(2)x x +- 化简得到2210x x -+=， ∴1x =， ∴(1,0)P ,设(,)Q a b ，∵PQ BA =， ∴(1,)(1,1)a b -=--，∴01a b =⎧⎨=-⎩,∴(0,2)(1,1)2BQ AQ ⋅=-⋅-=.考点：1.用向量的内积求角;2.菱形.18.（本小题满分10分）已知函数()f x 的定义域为[0,1]，且()f x 的图象连续不间断. 若函数()f x 满足：对于给定的m （m ∈R 且01m <<），存在0[0,1]x m ∈-，使得00()()f x f x m =+，则称()f x 具有性质()P m . （Ⅰ）已知函数21()()2f x x =-，[0,1]x ∈，判断()f x 是否具有性质1()3P ，并说明理由； （Ⅱ）已知函数141, 0,413()41, ,44345, 1.4x x f x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-+≤≤⎪⎩若()f x 具有性质()P m ，求m 的最大值； （Ⅲ）若函数()f x 的定义域为[0,1]，且()f x 的图象连续不间断，又满足(0)(1)f f =，求证：对任意*k ∈N 且2k ≥，函数()f x 具有性质1()P k. 【答案】（Ⅰ）具有该性质,证明见解析;（Ⅱ）12;（Ⅲ）证明见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）创新定义问题,首先要读懂具有性质P(m)的意思, 对于给定的m （m ∈R 且01m <<）， 存在0[0,1]x m ∈-，使得00()()f x f x m =+，按照此定义进行判断,假设具有该性质, 设01[0,1]3x ∈-，令 001()()3f x f x =+,解得013x =2[0,]3∈,满足定义,故具有性质P(3);（Ⅱ）m 在0到1之间,取一半,看是 否具有性质P(12),如果有,再判断是否有大于12的m,没有的话,最大值就是12;（Ⅲ）构造函数()g x = 1()()f x f x k +-，则1(0)()(0)g f f k =-,121()()()g f f k k k =-…1()()()t t t g f f k k k k =+-…1()k g k-= ()1f -1k f k -⎛⎫ ⎪⎝⎭,相加,有11(0)()...()...()(1)(0)0t k g g g g f f k k k -+++++=-=,分里面有零和没零进行讨论,得到结论.。
海淀区学年第一学期期末高一数学试题及答案
海淀区高一年级第一学期期末考试数 学2017.1学校 班级 姓名 成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一.选择题：本大题共8小题, 每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{1,5}M =，{24},P =，则下列结论正确的是 ( ) A ．1()U M P ∈U ð B ．2()U M P ∈U ð C ．3()U M P ∈U ð D ．6()U M P ∉U ð 2．下列函数在区间(,0)-∞上是增函数的是 ( ) A. 2()4f x x x =- B. ()31g x x =+C. ()3xh x -= D. ()tan t x x =3. 已知向量(1,3), (3,),t ==a b 若a b P , 则实数t 的值为 ( ) A. 9- B. 1- C. 1 D. 94. 下列函数中，对于任意的x ∈R ，满足条件()()0f x f x +-=的函数是 ( ) A. 13()f x x = B. si ()n 1f x x =+C. 2()f x x =D. 22()log (1)f x x =+5. 代数式ππππsin()cos()2326++-的值为 ( )A. 1-B. 0C. 1D.26. 在边长为1的正方形ABCD 中，向量11,23DE DC BF BC ==u u u r u u u r u u u r u u u r，则向量,AE AF u u u r u u u r 的夹角为( ) A.π6 B. π4 C. π3 D. 5π2１ 7. 如果函数()3sin(2)f x x ϕ=+的图象关于点π(,0)3成中心对称(π||2ϕ<)，那么函数()f x 的一条对称轴是 ( ) A.π6x =-B.π12x =C. π6x =D. π3x = 8. 已知函数22() xx M f x x x P ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，，，，其中M P =R U ，则下列结论中一定正确的是 ( )A. 函数()f x 一定存在最大值B. 函数()f x 一定存在最小值C. 函数()f x 一定不存在最大值D. 函数()f x 一定不存在最小值 二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分, 共24分. 把答案填在题中横线上. 9．函数()f x =的定义域为_____________.10. 已知0.540.540.5,log 4，a b c ===，则,,a b c 从小到大的排列为_____________.11. 已知角α终边上有一点(,1)P x ,且21cos -=α,则_________ta _n ___α=. 12. 已知ABC ∆中，点(20), (2,0)A B -，, (,1)C x . (i) 若ACB ∠是直角，则_____________x =；(ii) 若ABC ∆是锐角三角形，则x 的取值范围是_____________.13. 燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬. 鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v 可以表示为耗氧量x 的函数2log 10xv a =. 若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为10/v m s =，则两岁燕子飞行速度为25/m s 时，耗氧量达到_____________单位. 14. 已知函数()|1|(1)f x ax a x =---.(i) 当１２a =时，满足不等式()1f x >的x 的取值范围为_____________； (ii) 若函数()f x 的图象与x 轴没有交点，则实数a 的取值范围为_____________.三.解答题: 本大题共4小题, 共44分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分12分）已知函数2()f x x bx c =++，其对称轴为y 轴(其中,b c 为常数) . (Ⅰ) 求实数b 的值；(Ⅱ) 记函数()()2g x f x =-，若函数()g x 有两个不同的零点，求实数c 的取值范围； (Ⅲ) 求证：不等式2(1)()f c f c +> 对任意c ∈R 成立. 16．（本小题满分12分）已知下表为“五点法”绘制函数()sin()f x A x ωϕ=+图象时的五个关键点的坐标(其中0,0,πA ωϕ>><).(Ⅰ) 请写出函数)(x f 的最小正周期和解析式；(Ⅱ) 求函数)(x f 的单调递增区间；(Ⅲ) 求函数)(x f 在区间π[0,]2上的取值范围.17．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，点1(,0)2A -，3(,0)2B ，锐角α的终边与单位圆O 交于点P . (Ⅰ) 用角α的三角函数表示点P 的坐标；(Ⅱ) 当14AP BP ⋅=-u u u r u u u r 时，求α的值；(Ⅲ) 在x 轴上是否存在定点M ，使得1||||2AP MP =u u u r u u u r恒成立若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，说明理由.18．（本小题满分10分）已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0T ≠，使得()()f x Tf x T =+对任意的x ∈R 成立，则称函数()f x 是Ω函数.（Ⅰ）判断函数()f x x =，()sin πg x x =是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（ⅰ）、（ⅱ）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（ⅰ）计分.（ⅰ）若函数()f x 是Ω函数，且()f x 是偶函数，则()f x 是周期函数； （ⅱ）若函数()f x 是Ω函数，且()f x 是奇函数，则()f x 是周期函数； (Ⅲ) 求证：当1a >时，函数 ()x f x a =一定是Ω函数.α选作题：（本小题满分10分）记所有非零平面向量构成的集合为V ，对于∈V a,b ，≠a b ，定义(){|}=∈⋅⋅V V a,b m m a =m b .(Ⅰ) 请你任意写出两个平面向量a,b ，并写出集合()V a,b 中的三个元素；（Ⅱ）请根据你在(Ⅰ)中写出的三个元素，猜想集合()V a,b 中元素的关系，并试着给出证明； (Ⅲ) 若()()=V V a,b a,c ，其中≠b c ，求证：一定存在实数12λλ,，121λλ=+，使得12λλ+a =b c .海淀区高一年级第一学期期末考试数 学参考答案及评分标准2017.1一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.9. [2,)+∞ 10. <<c b a 11.12. (2,-U 13. 320 14. 1(2,), [,1)2+∞ 说明：12，14题每个答案两分，丢掉一个减2分 三.解答题:本大题共4小题, 共44分. 15. （本小题满分12分）解: （I ）因为()f x 的对称轴为y 轴，所以()()-=f x f x 对任意的x ∈R 成立，即22++=-+x bx c x bx c 对任意的x ∈R 成立，整理有20=bx 对任意的x ∈R 成立，所以0=b . ………………………4分法二：因为()f x 的对称轴为y 轴， 而()f x 的对称轴为2b x =-， 所以有 02b-=，所以0=b . ………………………4分 （II ）依题意2()2=+-g x x c 有两个不同的零点，即关于x 的方程220x c +-=有两个不相等的实数根， 所以0>V ,即20c -<，2c <为所求. ………………………8分(Ⅲ) 因为2222(1)()[(1)]()+-=++-+f c f c c c c c 4222131()024c c c =++=++>恒成立， 所以2(1)()+>f c f c 对c ∈R 恒成立. ………………………12分 法二：因为()f x 的对称轴为y 轴, 其开口向上 且22131||(||)024c c c +-=-+>， 即21c +到对称轴的距离大于||c 到对称轴的距离， 根据二次函数的性质，所以2(1)()+>f c f c 对c ∈R 恒成立. ………………………12分16．（本小题满分12分） 解: （I ）5ππ()π66T =--=, ………………………2分 即2ππT ω==, 所以2ω=.又2=A , ()2sin(2)=+f x x ϕ,将π(,2)12代入()f x , 有π2sin()26ϕ+=，即πsin()16ϕ+=. 因为||π,ϕ< 所以π57(π,π)666ϕ+∈-，因此ππ62ϕ+=，即π3ϕ=.故π()2sin(2)3f x x =+. ………………………4分说明：这里只要结果正确，就给分，不用考虑过程. （II ） 因为函数sin y x =的单调区间为ππ2π2π22k x k -<<+， 所以令πππ2π22π232k x k -<+<+， 即 5ππ2π22π66k x k -<<+， 解得 5ππππ1212k x k -<<+， 所以()f x 的增区间为5ππ(ππ),()1212k k k -+∈Z ，. ………………………8分(Ⅲ) 因为π[0,]2x ∈，所以有ππ4π2[,]333x +∈， 所以当 π12x =时 ，函数()f x 取得最大值2， 当 π2x =时， 函数()f x取得最小值，所以函数()f x 在 π[0,]2上的取值范围为[2] ………………………12分17.（本小题满分10分）解: （I ）(cos ,sin )P αα. ………………………2分（II ）13(cos ,sin ) (cos ,sin )22AP BP αααα=+=-u u u r u u u r ，213(cos )(cos )sin 22AP BP ααα⋅=+-+u u u r u u u r ，因为14AP BP ⋅=-u u u r u u u r ，所以11cos 44α-=-，即1cos 2α=，因为α为锐角，所以π3α=. ………………………6分(Ⅲ) 法一：设(,0)M m ，则222115||(cos )sin 1cos cos 244AP αααα=++=++=+u u u r ，2222||(cos )sin 12cos MP m m m ααα=-+=-+u u u r ， 因为1||||2=u u u r u u u r AP AP ，所以251cos (12cos )44m m αα+=-+，所以2(1)cos (1)024m m α++-=对任意π(0,)2α∈成立， 所以2102104m m ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 所以2m =-. M 点的横坐标为2-. ………………………10分法二：设(,0)M m ，则222115||(cos )sin 1cos cos 244AP αααα=++=++=+u u u r ，2222||(cos )sin 12cos MP m m m ααα=-+=-+u u u r ，因为1||||2=u u u r u u u rAP AP ，所以251cos (12cos )44m m αα+=-+，即22cos 4cos 40m m αα---=，(2)[(2)2cos ]0m m α+--=，因为α可以为任意的锐角，(2)2cos 0m α--=不能总成立，所以20m +=，即2m =-，M 点的横坐标为2-. ………………………10分18．（本小题满分10分）解: （I ）函数()f x 不是Ω函数，函数()g x 是Ω函数. ………………………2分 （II ）(i)因为()f x 是Ω函数，所以()()f x Tf x T =+， 所以()()f x Tf x T -=-+，又因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x =-，所以()()Tf x T Tf x T +=-+，即()()f x T f x T +=-+， 所以()()f x T f x T +=-，所以()(2)=+f x f x T ，所以()f x 是以2T 为周期的周期函数. ………………………6分 (ii) 因为()f x 是Ω函数， 所以()()f x Tf x T =+， 所以()()f x Tf x T -=-+，又因为()f x 是奇函数， ()()f x f x -=- 所以()()f x Tf x T -=--， 即 ()()f x Tf x T =-， 所以()()Tf x T Tf x T +=-，所以()()f x T f x T +=-，所以()(2)=+f x f x T ，所以()f x 是以2T 为周期的周期函数. ………………………6分(Ⅲ) 法一：设()1xg x xa =-， 所以(0)1g =-，(1)10g a =->所以至少存在一个(0,1)T ∈，满足()0=g T ，即1TTa =， 所以()()x T x T Tf x T Ta Ta a f x ++==⋅=，所以函数()f x 是Ω函数. ………………………10分 法二：设1()=-x g x a x， 因为1a >，所以(1)10g a =-<，11()0=->ag a a a，所以至少存在一个1(,1)∈T a，满足()0=g T ，即1T a T=， 所以()()x T x T Tf x T Ta Ta a f x ++==⋅=，所以函数()f x 是Ω函数. ………………………10分 选作题：（I ）例如(1,0),(0,1),a a ==r r则(,)a b r r V 中的三个元素可以为(1,1),x =r (1,1),y =--u r (2,2)z =r .……………3分 （II ）猜想：(,)a b r rV 中的所有向量都是共线向量.证明如下：不妨设1212(,),(,),a a a b b b ==r r因为a b ≠r r，所以1122a b a b --，中至少有一个不为0， 若220a b -≠，记1122(1)a be a b -=--r ，, 显然()0e a b ⋅-=r r r ，即e a e b ⋅=⋅r r r r ，所以e ∈r (,)a b r rV .任取(,)v x y =∈r (,)a b r rV ，因为v a v b ⋅=⋅r r r r ，所以()0v a b ⋅-=r r r，所以1122()()0x a b y a b -+-=，则有1122a b y x a b -=--，所以(,)v x y xe ==r r ，所以(,){|,}a b v v e λλ==∈r r r r rV R ，问题得证；若220a b -=，110a b -≠时，可证明(,){|,}a b v v e λλ==∈r r r r r V R ，其中2211(1)a b e a b -=--r ，. 所以(,)a b r rV 中的所有向量都是共线向量. ………………………6分 (Ⅲ) 因为(,)a b r r V (,)a c r r =V ，不妨设12v v ∈u r u u r ，(,)a b r r V ，12v v ≠u r u u r.则由(,)a b r r V 的定义知道，11v a v b ⋅=⋅u r r u r r ，即1()0v a b ⋅-=u r r r , 同理2()0v a b ⋅-=u u r r r, 所以1()v a b ⋅-u r r r 2()v a b =⋅-u u r r r ，所以()a b -∈r r 12(,)v v u r u u rV ， 同理得到()a c -∈r r 12(,)v v u r u u rV 由（II ）得，(),()a b a c --r r r r共线，所以()()a c a b λ-=-r r r r ，所以(1)a b c λλ-=-+r r r .因为b c ≠r r，所以1λ≠，所以11)1)a b c λλλ=-+--r r r（（ 记1211)1)λλλλλ=-=--，（（，则12+1λλ=，问题得证. ………………………10分。
2009第一学期高一数学期末考试题答案
2009~2010学年度第一学期高一年级期末数学试卷答案及评分标准一、选择题：1~10 ABACC 6~10 BDBDD 二、填空题： 11. (]1,2 , 12. ,02k k Z ππ⎧⎫⎛⎫+∈⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 13. 1 , 14. 3三．解答题：(共6大题，共计80分) 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（12分）已知x 的对数，求x : 1lglg 25lg 4x -= 解：2221l g l g 25l g 4l g 2534(l g 4l g 25)l g (425)6l g 1029l g 2l g l g 101011012100x x x ---=------=-+=-⨯---=-=------------∴=-=---------==-------- 分分分已知等式可为：（或）分故：分16．（12分） 已知1cos()3πα+=-， 求tan 2α的值。
解：cos()cos παα+=- --------- 2 分∴由已知得 11cos cos 33αα-=-⇒=---------3分 （i ）α为第一象限角时tan α∴= ----------5分22tan tan 21(tan )7ααα===----------8分（ii ）α为第四象限角时t a n 2α∴= ----------------10分22t a n 2t a n 21(t a n )7ααα=--------12分 17．（14分）列车从A 地出发直达500km 外的B 地，途中要经过离A 地200km 的C 地。
假设列车匀速前进，5h 后从A 地到达B 地。
（1）试建立列车与C 地的距离ykm 关于时间th 的函数关系式。
（2）画出该函数的图象。
解：100/22420010091002003A B v km h A C t h t y t =--=---------------≤⎧=---⎨-≤≤⎩（1）列车从到匀速前进的速率为分从到所需时间分 （0t<2）依题意有：分 （2t 5）（注：①只写出函数关系的一段的不给第给分点的分数. ②函数关系写对的可给9分）（2）①画图的数轴没有标明X\Y 等错误扣1分.②第一问不对时， 没有列表、描点画图但能画对图形且标出图形与两坐标轴交点的坐标也给该问的5分18、（14分）已知函数2()sin sin()(0)2f x x x x πωωωω=+ 的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数f (x )在区间[0，23π]上的取值范围. 解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-=-----------4分11cos 222x x ωω-+ -------------5分 =1sin(2).62x πω-+ -------------6分因为函数f (x )的最小正周期为π,且ω＞0，所以22ππω= ----------8分 解得ω=1. -----------9分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得1()sin(2).62f x x π=-+ ----------10分 因为0≤x ≤23π，所以6π-≤26x π-≤7.6π----------11分 所以12-≤sin(2)6x π-≤1. --------------13分因此0≤1sin(2)62x π-+≤32，即f (x )的取值范围为[0，32] ---------14分19、（14分） 对于函数2()21x f x a =++ ()a R ∈ （1）探索函数()f x 的单调性。
北京市海淀区高一年级第一学期期末练习数学试题带答案
海淀区高一年级第一学期期末练习数学2016.1学校班级姓名成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一．选择题：本大题共8小题，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合A ＝{x |－1≤x <2 } ，B ＝{x |x ≥1 }，则A ∩B= ( )A.(1，2)B.[－1，2)C.[－1，1]D. [－1，2)2.的值为 ( )A.1B.－1C.0D.3.若α 是第二象限的角，P(x ，6)为其终边上的一点，且，则x = ( ) A.－4B.±4 C.－8 D.±84.化简 ( ) A.cos200B.－cos200C.±cos200 D.±|cos200 |5.已知A (1，2)，B (3，7)，a =（x ，－1），∥a ，则 ( ) A.x =，且与a 方向相同B. x =，且与a 方向相同 C.x =，且与a 方向相反 D.x =，且与a 方向相反6.已知函数：①y = tan x ，②y = sin|x |，③y = |sin x |，④y = |cos x |，其中周期为π，且在(0，2)上单调递增的是 ( )A.①②B.①③C.①②③D.①③④7．先把函数y = cos x 的图像上所有点向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 (纵坐标不变)，得到的函数图象的解析式为 ( )A.y = cos( 2x +)B.y = cos( 2x －)C.y = cos(x +)D.y = cos(x －)8. 若m 是函数f (x) =的一个零点，且x 1∈(0，m )，x 2∈(m ，+∞)，则f (x 1)，f (x 2)，f (m )的大小关系为( ) A.f (x 1)＜f (m )＜f (x 2) B.f (m )＜f (x 2)＜f (x 1)C.f (m )＜f (x 1)＜f (x 2)D.f (x 2)＜f (m )＜f (x 1)二．填空题：本大题共6小题，每空4分，共24分.把答案填写在题中横线上.9. 若2log y x ＞1，则x 的取值范围是_____________.10.若函数f (x) = x 2+3x －4在x ∈[－1，3]上的最大值和最小值分别为M ，N ，则M+N= .11. 若向量a = (2，1)，b = (1，－2)，且m a + n b = (5，－5) (m ，n ∈R )，则m －n 的值为.12.如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点，若(λ，μ∈R)，则λ+μ= .13.若函数f (x ) =sin(ωx +φ)(其中ω＞0) 在(0，)上单调递增，且f () + f ()=0， f (0) = －1，则ω= _____________.14.已知函数y = f (x )，若对于任意x ∈R ，f (2x ) =2f (x )恒成立，则称函数y = f (x )具有性质P ，(1) 若函数f (x ) 具有性质P ，且f (4) = 8，则f (1) = _____________；(2) 若函数f (x ) 具有性质P ，且在 (1，2]上的解析式为y = cos x ，那么y = f (x )在(1，8]上有且仅有___________个零点.三．解答题：本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. (本题满分12分)已知二次函数f (x) = x 2+mx －3的两个零点为－1和n ，(Ⅰ) 求m ，n 的值；(Ⅱ) 若f (3) = f (2a －3)，求a 的值.16. (本题满分12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，函数f (x ) =2x －1(Ⅰ) 求当x ＜0时，f (x)的解析式；(Ⅱ) 若f (a ) ≤3，求a 的取值范围.17. (本题满分12分）已知函数f (x )=2sin(2x －).(Ⅰ) 求函数f (x )的单调递增区间与对称轴方程；(Ⅱ) 当x ∈[0，2]时，求函数f (x ) 的最大值与最小值.18. (本题满分8分）如果f (x )是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，均有f (－x ) ≠－f (x )，则称该函数是“X-函数”. (Ⅰ) 分别判断下列函数：①2x y =；②y = x +1； ③y = x 2+2x －3是否为“X-函数”？(直接写出结论)(Ⅱ) 若函数f (x ) = sin x + cos x + a 是“X-函数”，求实数a 的取值范围；(Ⅲ) 已知f (x ) =是“X-函数”，且在R 上单调递增，求所有可能的集合A 与B海淀区高一年级第一学期期末练习参考答案2016.1数学阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1.D2.B3. C4.A5.D6.B7.B8.D8.分析:因为m 是()22x f x =+的一个零点,则m 220x +=的一个解,即m 22x =-的一个解,所以m 是函数()g x =()22x h x =-图象的一个交点的横坐标,如图所示,若()()120,,,x m x m ∈∈+∞,则222()g()h()0(m)f x x x f =-<=,111()g()h()0(m)f x x x f =->=,所以2()f x <()f m <1()f x .二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分, 第14题每空2分.9.(2,)+∞10. 39411.2-12.3413.214. 2；3 14.分析:（1）（2分）因为函数()y f x =具有性质P ，所以对于任意x R ∈，(2)2()f x f x =恒成立，所以(4)(22)2(2)2(21)4(1)f f f f f =⨯==⨯=,因为(4)8f =，所以(1)2f =.（2）（2分）若函数()y f x =具有性质P ，且在(1,2]上的解析式为cos y x =，则函数()y f x =在(2,4]上的解析式为2cos 2x y =，在(4,8]上的解析式为4cos 4x y =， 所以()y f x =在(1,8]上有且仅有3个零点,分别是,,22πππ．三、解答题: 本大题共4小题，共44分.15．解：（Ⅰ）因为二次函数2()3f x x mx =+-的两个零点为1-和n ，所以，1-和n 是方程23=0x mx +-的两个根. 则1,13n mn -+=--⨯=-（），--------------------------4分 所以2m =-，3n =. --------------------------6分（Ⅱ）因为函数2()23f x x x =--的对称轴为1x =.若(3)(23)f f a =-， 则32312a +-=或233a -=--------------------------9分 得1a =或3a =. --------------------------12分综上,1a =或3a =.16.解：（Ⅰ）当0<x 时,0x ->,则()21x f x --=-. --------------------------2分因为)(x f 是奇函数，所以()()f x f x -=-. --------------------------4分所以()21x f x --=-,即当0<x 时,12)(+-=-x x f . -------------------6分（Ⅱ）因为()3f a ≤,(2)3f =，--------------------------8分所以()(2)f a f ≤.又因为)(x f 在R 上是单调递增函数，-----------------10分所以2a ≤. --------------------------12分说明：若学生分0a ≥和0a <两种情况计算，每种情况计算正确，分别给3分.17．解：(Ⅰ)因为()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，--------------------------2分得ππ63k x k ππ-+≤≤+， 所以函数()f x 的单调递增区间为ππ,63k k ππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. -------------3分 由2,62x k k Z πππ-=+∈，---------------5分 得π32k x π=+. 所以()f x 的对称轴方程为π32k x π=+，其中k Z ∈. -----------------------6分 (Ⅱ)因为π02x ≤≤，所以52666x πππ-≤-≤. --------------------------8分 得：1sin(2)126x π-≤-≤ . --------------------------10分 所以,当266x ππ-=-即0x =时，()f x 的最小值为1-， 当262x ππ-=即3x π=时，()f x 的最大值为2. --------------------------12分18．解:（Ⅰ）①、②是“X - 函数”，③不是“X - 函数”. -------------------2分 (说明:判断正确一个或两个函数给1分)（Ⅱ）由题意，对任意的x ∈R ，()()f x f x -≠-，即()()0f x f x -+≠.因为()sin cos f x x x a =++，所以()sin cos f x x x a -=-++.故()()2cos 2f x f x x a +-=+.由题意,对任意的x ∈R ，2cos 20x a +≠，即cos a x ≠-. --------------------4分故实数a 的取值范围为(,1)(1,)-∞-+∞U . ---------------------------5分（Ⅲ）（1）对任意的0x ≠（a ）若x A ∈且x A -∈，则x x -≠，()()f x f x -=，这与()y f x =在R 上单调递增矛盾，（舍），（b ）若x B ∈且x B -∈，则()()f x x f x -=-=-，这与()y f x =是“X -函数”矛盾，（舍）.此时，由()y f x =的定义域为R ，故对任意的0x ≠，x 与x -恰有一个属于A ，另一个属于B .（2）假设存在00x <，使得0x A ∈，则由002x x <，故00()2x f x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭. （a ）若02x A ∈，则220000()11()24x x f x f x =+<+=，矛盾，（b ）若02x B ∈，则20000()01()22x x f x f x =<<+=，矛盾. 综上，对任意的0x <，x A ∉，故x B ∈，即(,0)B -∞⊆，则(0,)A +∞⊆.（3）假设0B ∈，则(0)(0)0f f -=-=，矛盾. 故0A ∈故[0,)A =+∞，(,0)B =-∞. 经检验[0,)A =+∞，(,0)B =-∞.符合题意 ------------------------------------8分。
2023-2024学年北京市海淀区高一上学期期末考试数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市海淀区高一上学期期末考试数学试题一、单选题：本题共14小题，每小题5分，共70分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则()A. B. C. D.2.某学校有高中学生1500人，初中学生1000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查．已知在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中抽取了()A.150人B.200人C.250人D.300人3.命题“”的否定是()A. B.C. D.4.方程组的解集是()A. B.C. D.5.某部门调查了200名学生每周的课外活动时间单位：，制成了如图所示的频率分布直方图，其中课外活动时间的范围是，并分成五组．根据直方图，判断这200名学生中每周的课外活动时间不少于14h的人数是()A.56B.80C.144D.1846.若实数a，b满足，则下列不等式成立的是()A. B. C. D.7.函数的零点所在的区间为()A. B. C. D.8.在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是()A. B.C. D.9.下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是()A. B. C. D.10.已知，则实数a，b，c的大小关系是()A. B. C. D.11.已知函数，则“”是“为奇函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.已知函数，则不等式的解集为()A. B. C. D.13.科赫曲线是几何中最简单的分形．科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线……在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成．若，则称D为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形维数是()A. B. C.1 D.14.已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
海淀区高一年级第一学期期末练习——数学
海淀区高一年级第一学期期末练习数学2012.1 学校_________班级_________姓名_________成绩_________第I卷机读卷（共32分）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1．塔德莫尔古墓的一个厅中，需要打开由黄道十二宫组成的机关才能通行. 赛特从中任意选择三个星座点亮，不计顺序，有四种选择方法可以打开前面的一个门. 他的操作是无记忆的，则他打开门的尝试次数的期望为________.A. 55B. 110C. 220D. 3302．怛罗斯峡谷的方程为等轴双曲线xy=16，黄雷的先锋部队驻扎在x=y、y=2x-14及峡谷的曲线方程所夹的图形内. 1平方单位可以容纳100人，则黄雷的先锋部队约有________人. A. 4600 B. 4650 C. 4700 D. 47503．万灵血阵的六个顶点依次为满足参数方程【x=6+10 cos t，y=a+b sin t】，顺时针依次为雁门、东莱、会稽、长沙、涪陵、灵武，已知雁门（12，20），则长沙的坐标是________. A. （-2，18） B. （0，4） C. （6，12） D. （14，6）4．景天的当铺在1052年底有资产100万文. 每年的盈利为上一年末资产的1/5，每年的固定花费为12万文. 在1069年底有约有资产________万文.A. 900B. 950C. 1000D. 10505．锁妖塔的形状为正四棱台，每层高度相等，在仙三时期有10层，上面6层体积等于下面4层体积. 扩建时将侧棱向上延伸，保持每层高度不变，最多可扩建至________层.A. 27B. 28C. 29D. 306．陆承轩每收集一颗星曜石，本阵中相应的位置就会亮起光柱，且每个方向的星曜石均不超过7颗. 已知东、西方向共12颗，南、北方向共10颗，西、北方向的平方和大于东、南方向的平方和，东、北方向的平方和大于西、南方向的平方和，则星曜石的数量分布有________种可能.A. 3B. 4C. 6D. 87．威尼斯郊外有一墓地，需要计算墓主人的年龄，现已知其年龄为84岁，但无法直接输入84，故需先输入00，10……90其一，再输入0，1……9其一. 所设计的算法如下：……int a,b; cin>>a; cin>>b; if【】……【】中的语句应该是________A. a+b==84B. a*b==320C.a/b==20D. a>=b8．飞羽队员的成绩基本符合正态分布（80，100）. 飞羽十杰的成绩在95以上. 飞羽部队约有________人.A. 100B. 150C. 200D. 250第II卷非机读卷（共68分）二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9．通天塔修建时由于偷工减料，上部越修变小的速度越快，最终从各个方向看都是抛物线y=（-x^2）-9的形状. 通天塔的体积为________.10．五灵法阵的形状为正五边形，顺时针为水、火、雷、风、土. 以阵中为原点建立复平面，水位代表的复数z=i，火位代表的复数和风位代表的复数的积为________. （系数用根式表示）11．由于天女封印渐渐解除，当气温大于28.5度时，山海界粮食减产. 气温30度时亩产900斤，气温32度时亩产800斤，气温35度亩产500斤. 亩产y关于气温x的回归直线方程为________.12．云天河从（20，12）沿斜上45度将箭沿抛物线y=a x^2+b x+c射出，最终射中琼华派（4，20）. 箭运行中的顶点坐标________.13．播仙镇的墙为圆形，云天河从播仙镇南门以东420m出发，御剑飞行到达北门以北100m，中途恰好擦过墙，云天河御剑飞行的路程为________m. （保留整数）14．以观星台顶为极点，观星台范围的极坐标方程为ρ=16/（5-3 cosθ），赤衣从（20，π/4）向观星台顶移动，在观星台内和观星台外移动距离的差是________.三．解答题：本大题共4小题，第15、16小题各10分，第17、18小题各12分，共44分15．（本小题满分10分）彩虹桥的图形为圆（x^2）+（y^2）+4x+20y-185=0在x轴以上的部分，云彩之塔的顶端坐标（52，51），底端坐标（52，19）.（I）水镜在彩虹桥上某一点时，看云彩之塔的视角最大，求出此时的视角（用反正弦表示）. （II）水镜站在那一点不动，姬良驾驶紫云塔以速度1从云彩之塔顶端不断上升，当他运行20单位长度后，求此时二人的远离速度.车芸与慕容诗被困在滏口陉的峡谷内，其方程为椭圆抛物面（x^2）/20+（y^2）/12-4z=0. 峡谷的顶端为平面y+12z=420与峡谷面的截痕，在峡谷表面及顶面均有祭司集团设下的结界. （I）云狐爬坡时，斜坡与地面夹角不能超过51度. 通过计算说明云狐是否可以爬出峡谷. （II）求结界的面积.雷元戈为了减少损失，需要贿赂鬼卒. 甲种鬼卒4文每个，乙种鬼卒20文每个. 设贿赂甲种鬼卒x个，乙种鬼卒y个，贿赂支出4x+20y文，损失为47432/（x+xy+12y）文.（I）若雷元戈想使贿赂支出与损失的和最小，求出方案.（II）若雷元戈只想使损失少于420文且贿赂支出最小，求出方案.以播仙镇为原点建立空间直角坐标系. 幻暝界的运行轨道为平面z=1截椭球面（x^2）/20+（y^2）/12+（z^2）/4=1所得的截痕，琼华派为此运行轨道上一点.（I）求琼华派运行轨道的离心率.（II）琼华派沿向量（4，12，20）方向飞升，飞升至某一点时，播仙镇看到琼华派的方向平行于向量（2，2，2）. 求琼华派的原位置.。
09年海淀区高一第一学期期末试卷-数学
0高一第一学期期末试题-数学2009.1学校 班级 姓名u r x A ．12- B ．12C ．2-D ．210． 在ABC ∆中，若cos cos sin sin A B A B >，则ABC ∆的形状（ ）A ．为锐三角形B ．为直角三角形C ．为钝角三角形D ．无法判定 11． 若α、β是第一象限的角，且sin sin αβ>，则（ ）A ．αβ>B ．αβ<C ．cos cos αβ>D ．tan tan αβ>12． 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，那么函数()f x 的解析式可以是（ ）D CBAA ．()πsin 28f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()π28f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()π24f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2夹⑴ 求向量a b -的坐标，以及向量a b -与a 的夹角；⑵ 若向量a b -与ka b +垂直，求实数k 的值.19．(本小题10分)已知函数()()2sin cosf x x x=+⑴ 求函数()f x的最小正周期，并用“五点法”作出函数()f x在一个周期内的简图；⑵ 求函数()f x的最大值，以及使函数()f x取得最大值时x的集合.α⑵ 若1AC BC⋅=-，求22sin sin21tanααα++的值.6． (本小题7分)已知二次函数()f x 对任意x ∈R ，都有()()11f x f x -=+成立，设向量()()()1sin 22sin cos21122a x b x c x d ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，，，，，，，，当[]0πx ∈，时，求不等式()()f a b f c d ⋅>⋅的解集.。
海淀高一数学期末考试及答案
一。
选择题：本大题共8小题, 每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集{}1,2,3,4,5,6U =,集合{}1,4M =，{}1,3,5N =,则()U NM ＝（ ）A ．{}1B ．{}3,5C ．{}1,3,4,5D ． {}1,2,3,5,6 2。
若直线2(6)31m x y m x y -+=+=与直线平行，则( ） A ．3m =或 3- B 。
3m =C. 3m =-D 。
m =或3.已知函数f （x ）＝4, 0;1, 0x x x x ⎧>⎨+≤⎩，若f （a ）＋f (12)＝0,则实数a 的值等于 ( )A ．－3B ．－1C ．1D ．34.下列函数中，既是奇函数，又是在区间()0,+∞上单调递增的函数为（ ） A ．1y x -=B 。
22x xy -=-C. lg y x = D 。
12y x =5。
已知b a ,是不重合的两条直线，,αβ为不重合的两个平面，给出下列命题:①若a α⊥，//a β，则αβ⊥;②α//a 且//,//a αββ则；③若a α⊥,b α∥,则a b ⊥。
其中正确命题的序号是 （ ） A ．①②B. ②③C 。
①③D. ①②③6。
如图,某几何体的主视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图为边长为2的菱形，则该几何体的体积是（ )A ．B.C. 4D. 2主视图左视图俯视图7。
若指数函数()xf x a =的图象与射线350(1)x y x -+=≥-相交，则( )A 10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B 1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C 1,1(1,)2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭ D 10,(1,)2a ⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦8。
已知正方体1111ABCD A B C D -，如图，E 是棱1AA 上的动点，过点1D E B 、、作该正方体的截面交棱1CC 于点F 。
设AE x =，则三棱锥1B EBF -的体积 （ ） A 。
海淀高一数学期末考试及答案
一。
选择题：本大题共8小题， 每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U NM ＝（ ）A ．{}1B ．{}3,5C ．{}1,3,4,5D ． {}1,2,3,5,6 2。
若直线2(6)31m x y m x y -+=+=与直线平行，则（ ) A ．3m =或 3- B. 3m =C 。
3m =-D 。
m =3.已知函数f （x ）＝4, 0;1, 0x x x x ⎧>⎨+≤⎩，若f （a ）＋f (12）＝0，则实数a 的值等于 （ ）A ．－3B ．－1C ．1D ．34。
下列函数中，既是奇函数，又是在区间()0,+∞上单调递增的函数为（ ） A ．1y x -=B. 22x xy -=-C 。
lg y x =D 。
12y x =5.已知b a ,是不重合的两条直线，,αβ为不重合的两个平面,给出下列命题：①若a α⊥，//a β，则αβ⊥;②α//a 且//,//a αββ则；③若a α⊥，b α∥，则a b ⊥。
其中正确命题的序号是 （ ） A ．①②B. ②③C 。
①③D. ①②③6。
如图，某几何体的主视图是腰长为2的等腰三角形,俯视图为边长为2的菱形，则该几何体的体积是（ ）A ．B.C 。
4 D. 2主视图左视图俯视图7. 若指数函数()xf x a =的图象与射线350(1)x y x -+=≥-相交，则( ）A 10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B 1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C 1,1(1,)2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭ D 10,(1,)2a ⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦8.已知正方体1111ABCD A B C D -，如图，E 是棱1AA 上的动点，过点1D E B 、、作该正方体的截面交棱1CC 于点F 。
设AE x =，则三棱锥1B EBF -的体积 ( ） A.随着x 增大而增大B.随着x 增大先增大后减少C. 随着x 增大先减少后增大D. 与x 取值无关，且总保持恒定不变二.填空题：本大题共6小题， 每小题4分，共24分。
北京市海淀区-学年高一(上)期末数学试卷(解析版)
2015-2０16学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一、选择题:本大题共8小题,共３2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合A={x|﹣1≤ｘ＜2｝，B＝{ｘ｜x≥1｝,则A∩Ｂ＝（）A．(1,2） B.[﹣1，２]ﻩC.[﹣1，１]ﻩＤ.[1,２）2．sｉn(﹣）的值为（）A.1ﻩB．﹣1 C．0 D.３.若α是第二象限的角,P(x，6)为其终边上的一点，且ｓiｎα=,则x=(）A．﹣4ﻩB.±4ﻩC.﹣8 D．±８4．化简＝( )A.cos20°ﻩB．﹣ｃos2０° C.±cos2０°ﻩD.±｜ｃｏｓ20°｜5．已知A（1,２）,B(3，7），＝（ｘ,﹣1)，∥,则( ）A.x=,且与方向相同ﻩB．x=﹣,且与方向相同C.x=,且与方向相反Ｄ.x＝﹣,且与方向相反6.已知函数:①y＝tanｘ，②y=ｓin|ｘ｜,③ｙ=|sinｘ|，④y=|cosx｜,其中周期为π，且在(0,）上单调递增的是（）A.①②ﻩB．①③ﻩC.①②③Ｄ．①③④7．先把函数y=ｃosｘ的图象上所有点向右平移个单位,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,得到的函数图象的解析式为()A．y＝coｓ（2x+）B．y=cｏs(2x﹣)ﻩＣ．ｙ＝ｃos（x＋）ﻩD．y=cos(x﹣）8.若ｍ是函数f(x）＝﹣２x+2的一个零点，且x1∈（０,m）,x2∈(m,+∞），则f(x1),ｆ（ｘ2），f （m）的大小关系为（)Ａ．f（x1）<f(m）＜f（x2） B.f（m)＜f(x2）<f(x1)ﻩC．f（m)<f（x1）<f（ｘ2) D．ｆ（x2)＜f(m)＜f（x1）二．填空题：本大题共6小题,每空4分，共24分.把答案填写在题中横线上．9．若y=loｇ2ｘ>1，则x的取值范围是.1０．若函数f(ｘ)=x２+3x﹣４在x∈［﹣1,3]上的最大值和最小值分别为Ｍ,N,则M＋Ｎ＝.11.若向量＝（2,1）,=(1,﹣２）,且m+n＝(５,﹣5）(ｍ，n∈Ｒ)，则m﹣n的值为 .１2．如图，在平面四边形ＡBCＤ中,AＣ，BD相交于点Ｏ，E为线段AO的中点,若(λ，μ∈R），则λ+μ＝．1３.若函数f(x）=sin(ωx+φ）(其中ω＞0）在（0，)上单调递增，且f（）+ｆ()=０,f(0)=﹣1,则ω= ．14．已知函数y=f(ｘ),若对于任意ｘ∈R，f（2x)＝2f(x)恒成立，则称函数y=f（x)具有性质P，(1)若函数f（x)具有性质Ｐ,且f(4）=8，则f(1)= ；(2）若函数f(x）具有性质P，且在(1,2]上的解析式为ｙ=ｃｏsx，那么y=f（ｘ)在（1，8］上有且仅有个零点．三．解答题:本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知二次函数f（x）＝x2+mx﹣３的两个零点为﹣1和n,(Ⅰ)求m，n的值；（Ⅱ)若f（3)=ｆ(2a﹣3）,求ａ的值．１６.已知函数f（x)是定义在R上的奇函数,当ｘ≥0时，函数f(x)＝2x﹣１（Ⅰ)求当x<０时，f(x)的解析式；(Ⅱ)若f（a)≤3,求ａ的取值范围．17.已知函数ｆ(x)=2siｎ(2x﹣).（Ⅰ）求函数f（x)的单调递增区间与对称轴方程；（Ⅱ)当x∈[0,]时，求函数f（x)的最大值与最小值．1８.如果f(x)是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f(﹣x）≠﹣ｆ（x)，则称该函数是“X﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数:①ｙ=2x；②y=x+1；③y=x2+2x﹣3是否为“Ｘ﹣函数”？（直接写出结论)（Ⅱ)若函数ｆ(ｘ）=ｓiｎx+cosx+a是“X﹣函数”，求实数a的取值范围；(Ⅲ）已知f（x）=是“X﹣函数”,且在Ｒ上单调递增，求所有可能的集合A与Ｂ.２０1５－2０16学年北京市海淀区高一(上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共８小题，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合A＝{ｘ|﹣１≤x<2｝，B={ｘ｜ｘ≥１}，则A∩B＝(）Ａ.（1,2) B.[﹣1,2］ﻩC．[﹣１,1]ﻩＤ.[1，2）【考点】交集及其运算.【专题】计算题;方程思想;综合法；集合.【分析】利用交集定义求解.【解答】解：∵集合A＝{x|﹣1≤x<2｝，B＝{x|x≥1}，∴Ａ∩Ｂ={ｘ|1≤x<2｝=［1，2）．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题,注意交集性质的合理运用.2.sin(﹣）的值为( )A．1ﻩB.﹣1ﻩC．０ﻩD．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】根据正弦函数为奇函数，利用奇函数的性质化简原式，变形后利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果.【解答】解:ｓiｎ（﹣)=﹣ｓin＝﹣sin(４π+)=﹣sin=﹣1，故选：Ｂ.【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键．3.若α是第二象限的角，P（x，6)为其终边上的一点，且sｉnα=，则ｘ=()Ａ．﹣4 Ｂ.±4 C．﹣８ D.±8【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】方程思想；转化思想；三角函数的求值.【分析】由题意与三角函数的定义可得：=,ｘ<０，解出即可得出．【解答】解:∵α是第二象限的角,Ｐ（x，6）为其终边上的一点，且sinα＝，∴=，x＜0,解得x=﹣8．故选:Ｃ．【点评】本题考查了三角函数的定义,考查了推理能力与计算能力，属于基础题．４．化简=（）A．cos２０°Ｂ.﹣cos20°ﻩＣ．±ｃoｓ20°D．±｜cos20°|【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题;三角函数的求值．【分析】被开方数第二项利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系变形，利用二次根式的性质化简即可得到结果．【解答】解:∵ｃoｓ２0°＞０，∴原式＝=＝｜coｓ２0°|=cos２0°,故选：A.【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键.５.已知A（1,2），Ｂ（3，７)，=（x，﹣1）,∥，则（)A.x=，且与方向相同ﻩB.ｘ=﹣,且与方向相同C．ｘ=，且与方向相反ﻩD．x=﹣,且与方向相反【考点】平面向量共线（平行)的坐标表示．【专题】计算题；规律型；函数思想；平面向量及应用．【分析】求出AＢ向量，利用斜率平行求出ｘ，然后判断两个向量的方向即可.【解答】解：A（1,２），B(3，7),可得=(2,5）＝(x，﹣１），∥，可得５x=﹣2，解得x＝﹣.=（﹣，﹣1）,与方向相反．故选：Ｄ.【点评】本题考查斜率共线，向量的坐标运算，是基础题.6．已知函数:①ｙ=ｔanx,②y=ｓin|ｘ|，③y＝｜sinx|,④y=|ｃosx|，其中周期为π,且在(0，）上单调递增的是（）A.①②ﻩB．①③ﻩＣ．①②③Ｄ.①③④【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题;数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质.【分析】利用三角函数的周期性，和三角函数的图象和性质对选项逐个分析即可．【解答】解:①函数y=tanx中ω=1，故周期T==π；因为利用正切函数的图象可得在(0，）上单调递增，所以A正确;③y=ｓｉn|x｜为偶函数，根据图象判断它不是周期函数，所以Ｂ不正确;③由于函数y=|sinｘ|周期为•2π=π,利用正弦函数的图象可得在（０,)上单调递增,故正确；④y=|ｃoｓx|是周期为π的三角函数,利用余弦函数的图象可得在（0,)上单调递减,故不正确；故选：B.【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法,考查了三角函数的图象和性质,熟练掌握各类三角函数的周期情况及求法是解决问题的关键,属于中档题.7.先把函数y＝coｓx的图象上所有点向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变),得到的函数图象的解析式为( ）A．y=cos(２x+)ﻩB.y=cos(2ｘ﹣）ﻩC．y＝cos（x+) D.y=cｏs（x﹣)【考点】函数y=Asｉn(ωx+φ）的图象变换.【专题】计算题;转化思想；分析法；三角函数的图像与性质.【分析】利用导公式以及函数y＝Asin（ωx＋φ)的图象变换规律,可以求得变换后的函数的解析式．【解答】解：将函数y＝ｃosｘ的图象向右平移个单位长度,可得函数y=2ｃos（x﹣）的图象；再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变），可得到的函数y=2cｏs（2ｘ﹣)的图象,故选:B.【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y＝Asｉn（ωｘ+φ)的图象变换规律,属于中档题．8．若m是函数f(x）=﹣２ｘ＋2的一个零点,且x1∈（0，ｍ），x2∈(ｍ，+∞)，则f(ｘ1)，f(x2）,f （m)的大小关系为（)Ａ．ｆ(x1）＜f(ｍ）＜f(x2）ﻩB.ｆ（m)＜f（x2）＜ｆ（x１)ﻩＣ．f(ｍ)<ｆ（x1）＜ｆ(x2) D.f（x2)＜f （m)＜f(x1）【考点】函数零点的判定定理.【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用.【分析】由已知得m是函数g(x)=与ｈ（x）=2ｘ﹣2图象的一个交点的横坐标,由此利用数形结合思想能比较ｆ(x1），ｆ（x２）,ｆ（m)的大小关系．【解答】解:∵ｍ是f(x)=﹣2ｘ+2的一个零点，∴m是方程的一个解，即ｍ是方程的一个解，∴m是函数g（x）=与h（ｘ)=２x﹣2图象的一个交点的横坐标，如图所示，若x1∈（0，ｍ）,x2∈(m,+∞）,则f（ｘ2）=g（x2)﹣ｈ(x2）＜0=f(m），f（x1）＝g（ｘ1）﹣h(x1）>0=f(ｍ）,∴ｆ（x２）<f(m）＜f（x１)．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用.二.填空题：本大题共６小题,每空4分，共24分.把答案填写在题中横线上．x>１，则x的取值范围是(2,+∞)．９．若y＝ｌog２【考点】指、对数不等式的解法.【专题】计算题；函数思想；数学模型法；不等式的解法及应用.【分析】直接利用对数函数的单调性求得x的取值范围.【解答】解：由y=log2x>１=loｇ22，得ｘ＞２．∴x的取值范围是（2,+∞)．故答案为：（2，+∞）.【点评】本题考查对数不等式的解法，考查了对数函数的单调性,是基础题.1０.若函数f（x)=ｘ2+3x﹣4在ｘ∈[﹣1,3］上的最大值和最小值分别为M,N，则M+Ｎ＝８. 【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用.【分析】求出f(x)的对称轴,可得区间［﹣１,3]为增区间，可得最值，即可得到M+m的值．【解答】解:函数f（ｘ)=x2+3ｘ﹣4的对称轴为x＝﹣,区间[﹣1，３]在对称轴的右边,即有f(ｘ)在区间[﹣1，3]递增，可得最小值ｍ=f(﹣1)=﹣６;最大Ｍ=f（３)=14，可得M＋m=8．故答案为:8.【点评】本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于基础题．１1.若向量＝（2，１),=（1,﹣2)，且m＋ｎ＝（5，﹣５)（m，ｎ∈R）,则ｍ﹣ｎ的值为﹣2. 【考点】平面向量的坐标运算．【专题】计算题;转化思想；综合法；平面向量及应用.【分析】由已知得(2m，ｍ)+(n,﹣２ｎ)=（2m＋n，m﹣2n)=(5，﹣5）,由此能求出m﹣n的值.【解答】解：∵向量＝（2，1），＝（１，﹣2)，且ｍ＋n＝（5,﹣5）（m,n∈Ｒ),∴(2m,ｍ)+（n,﹣2ｎ）＝(2m+n，ｍ﹣２n）=（5,﹣５）,∴,解得ｍ=１,n＝3,∴m﹣n=﹣2．故答案为：﹣2.【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题,解题时要认真审题,注意向量的坐标运算法则的合理运用.１2.如图，在平面四边形ＡBCD中,AC,BD相交于点O，E为线段AO的中点,若(λ，μ∈R)，则λ+μ= ．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】,,可得．由E为线段AO的中点,可得，再利用平面向量基本定理即可得出.【解答】解:∵，，∴,∵E为线段AＯ的中点，∴,∴,2μ=,解得μ=，∴λ＋μ=.故答案为:．【点评】本题考查了平面向量基本定理、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．若函数f（x)＝sin（ωx+φ）(其中ω>０）在（０,）上单调递增，且ｆ()+f（)=0，f（0)＝﹣1,则ω= 2 .【考点】y=Asｉn(ωｘ+φ）中参数的物理意义；三角函数的化简求值．【专题】计算题;转化思想；分析法;三角函数的图像与性质.【分析】由题意可得：φ≥﹣,ω•＋φ≤，由f(0）=﹣1,解得φ=﹣,ω≤3，由f（)＋ｆ()=0,解得：cｏs(π﹣ω)=ｃosω,即可解得ω的值．【解答】解:由函数f（ｘ)=sin（ωx+φ）（ω＞0)在区间（０，)上单调递增，可得：φ≥﹣，ω•+φ≤, ∵f（0）=﹣1，解得:sinφ=﹣1,可得：φ＝2kπ,ｋ∈Z，∴φ＝﹣，ω≤3，∵由f（）+ｆ()=0，∴可得：siｎ（ω﹣)+sｉn（ω﹣)＝0，∴解得：cｏｓ(π﹣ω）=coｓω，∴π﹣ω=ω，或π﹣ω=2π﹣ω,解得：ω＝2或６（舍去)．故答案为:２．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，由函数y=Ａｓin（ωx+φ）的部分图象求解析式,属于中档题.1４.已知函数y=f(x)，若对于任意x∈R,f（2x）=2f(x)恒成立,则称函数y=f(x)具有性质Ｐ,（１)若函数f(x)具有性质Ｐ，且ｆ(4)=８，则f(１)=2；(2)若函数f(x）具有性质Ｐ，且在（1,2]上的解析式为y=coｓx,那么y＝f（x）在(1，8]上有且仅有 3 个零点.【考点】抽象函数及其应用．【专题】转化思想；转化法;函数的性质及应用.【分析】（1）根据性质P的条件，利用方程关系进行递推即可．(2)根据性质P的条件,分别求出函数的解析式，利用函数零点的定义解方程即可.【解答】解:(1)因为函数y=f(ｘ）,具有性质P，所以对于任意x∈R,f（２x)＝２f(x)恒成立，所以f（４）=f（2×2）=2f(2)=2f(2×１)=4ｆ（1）=8,所以f（1）=2.（2)若函数y＝f（x）具有性质Ｐ,且在（１，2］上的解析式为y＝coｓx,由y=cosx=０，则ｘ＝，由ｆ(2x)＝2ｆ（x）得f(x)=２f（）,若2<x≤4，则１＜≤2，则f(ｘ)=２f()=２ｃoｓ，则函数ｆ（x）在（２,4]上的解析式为y＝2cos，由2ｃos=0,得ｘ=π，若4<x≤8，则2＜≤４，则f（x)=2f(）＝4cos，在（４，８]上的解析式为y=４cos，由ｙ=4coｓ=０得x＝2π,所以ｙ=f（x）在（1,8］上有且仅有3个零点,分别是,π,2π．故y=f（ｘ)在（1，8］上有且仅有3个零点，故答案为：２，３【点评】本题主要考查抽象函数的应用,利用定义进行递推以及求出函数的解析式是解决本题的关键.考查学生的运算和推理能力.三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.１5．已知二次函数f(x）=x2＋mx﹣3的两个零点为﹣1和n，（Ⅰ)求m，n的值；（Ⅱ）若f(3)=f（2a﹣3），求ａ的值．【考点】二次函数的性质；函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；规律型；函数思想；方程思想;函数的性质及应用.【分析】(Ⅰ）利用函数的零点与方程根的关系，列出方程求解即可得到ｍ，ｎ的值；(Ⅱ）通过f（3）=f（2a﹣3),利用二次函数的对称性即可求ａ的值．【解答】解：(Ⅰ)因为二次函数二次函数ｆ(x）＝x2＋mx﹣3的两个零点为﹣1和n,所以,﹣１和n是方程x2+mx﹣３＝0的两个根．则﹣１+ｎ=﹣m,﹣1×n＝﹣３，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以ｍ=﹣２,ｎ=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(Ⅱ）因为函数f(x）=ｘ2﹣2x﹣3的对称轴为x=1.若ｆ（3）＝f（2a﹣3),则＝1或2a﹣３＝3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣得a=1或a=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上，a=1或a=３.【点评】本题考查二次函数的性质的应用，考查计算能力.16．已知函数f（ｘ)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,函数ｆ（x)=２ｘ﹣１(Ⅰ）求当x＜0时，ｆ(ｘ）的解析式;(Ⅱ)若f(a)≤３,求a的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用.【分析】(Ⅰ）当ｘ<0时,﹣x＞0,利用条件,即可f（ｘ）的解析式;(Ⅱ)若f（ａ)≤3,f（2）=3,根据f（x）在R上是单调递增函数求ａ的取值范围．【解答】解：(Ⅰ）当x＜0时,﹣x>０，则f（﹣ｘ)=２﹣x﹣1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为ｆ(ｘ)是奇函数,所以f(﹣x)＝﹣f（ｘ)．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以当x<0时,ｆ（ｘ)=﹣f(﹣ｘ）=﹣2﹣x＋１.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）因为f(a)≤3,f(2)=3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以f(ｘ)≤ｆ(２）.又因为f（ｘ）在R上是单调递增函数,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以a≤2.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性,考查学生的计算能力，属于中档题．17．已知函数f(x）＝２sin（２x﹣).(Ⅰ)求函数ｆ(x）的单调递增区间与对称轴方程；(Ⅱ)当x∈[0，]时,求函数f(ｘ)的最大值与最小值.【考点】三角函数的最值;正弦函数的奇偶性;正弦函数的对称性.【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】(Ⅰ）解2kπ﹣≤2x﹣≤２kπ+可得单调递增区间，解２x﹣=2kπ+可得对称轴方程；（Ⅱ）由x的范围可得﹣≤2x﹣≤，可得三角函数的最值.【解答】解：(Ⅰ)∵f(x）=２ｓin（２x﹣)，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ＋可得ｋπ﹣≤x≤kπ＋，∴函数f(ｘ)的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，ｋ∈Z，由２x﹣=2kπ+可得ｘ＝ｋπ+,ｋ∈Z，∴ｆ(x)的对称轴方程为x=kπ＋，k∈Z;（Ⅱ）∵0≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤,∴﹣≤sin(2x﹣）≤1，∴当2x﹣=﹣即ｘ＝0时,f（x)的最小值为﹣1,当２x﹣=即x=时,f(ｘ)的最大值为2.【点评】本题考查三角函数的最值,涉及三角函数的单调性和对称性,属基础题．1８.如果f(x)是定义在R上的函数，且对任意的ｘ∈R,均有f（﹣x)≠﹣f（x)，则称该函数是“X﹣函数”．(Ⅰ）分别判断下列函数：①y＝2ｘ;②y=ｘ＋1; ③y=ｘ2+2x﹣３是否为“X﹣函数”？（直接写出结论)(Ⅱ)若函数ｆ（x）=sｉnｘ+coｓｘ+a是“Ｘ﹣函数”,求实数a的取值范围;（Ⅲ）已知ｆ（x)=是“Ｘ﹣函数”,且在Ｒ上单调递增,求所有可能的集合Ａ与B．【考点】函数单调性的判断与证明.【专题】新定义;分类讨论；反证法；函数的性质及应用．【分析】(Ⅰ）根据“X﹣函数”的定义即可判断所给的3个函数是否为“Ｘ﹣函数”；(Ⅱ）由题意,对任意x∈R，f(﹣x）≠﹣f(x），利用不等式求出a的取值范围；(Ⅲ）（1）根据题意，判断对任意的x≠０，x与﹣x恰有一个属于A，另一个属于B;（2)用反证法说明（﹣∞，0）⊆B,（0，+∞）⊆A；(3）用反证法说明0∈A，即得A、B．【解答】解:(Ⅰ）①、②是“X﹣函数”,③不是“X﹣函数”;﹣﹣﹣﹣(说明：判断正确一个或两个函数给1分)（Ⅱ)由题意，对任意的ｘ∈Ｒ,ｆ（﹣x）≠﹣ｆ（x），即f(﹣ｘ）+ｆ(x)≠0;因为f（ｘ)=sinx＋cosx+ａ,所以f（﹣x)=﹣ｓｉnｘ+cosx＋a，故f(x)+f（﹣x)＝2ｃosx+２ａ;由题意,对任意的x∈R，2cosx+2a≠0,即a≠﹣ｃoｓｘ;﹣﹣﹣又ｃosｘ∈［﹣1，1]，所以实数a的取值范围为(﹣∞，﹣1）∪(1,+∞);﹣﹣﹣(Ⅲ）（1）对任意的ｘ≠０，（i)若x∈A且﹣ｘ∈A，则﹣ｘ≠x，ｆ（﹣x）=f(x)，这与y=f（ｘ)在R上单调递增矛盾,(舍去),（ii)若x∈Ｂ且﹣x∈Ｂ，则f(﹣ｘ)=﹣x=﹣ｆ(ｘ),这与y＝f(x)是“Ｘ﹣函数”矛盾，(舍去）；此时，由y=f(x)的定义域为Ｒ，故对任意的x≠0,x与﹣ｘ恰有一个属于Ａ，另一个属于B;(２)假设存在ｘ<0，使得x0∈A，则由x０<,故f（x0）＜f（）;０(i）若∈Ａ,则f（)=+１<+1=f（ｘ），矛盾,０(ii)若∈B,则f（）＝＜０<+1＝f(x0),矛盾；综上,对任意的x<0,ｘ∉A,故x∈B，即(﹣∞，0）⊆B,则（0,+∞）⊆A；（３)假设0∈B，则f(﹣0)=﹣f（0)=０,矛盾,故０∈A；故A=[０，+∞)，Ｂ=(﹣∞，0]；经检验A=[0,+∞）,B=(﹣∞,0)，符合题意．﹣﹣﹣【点评】本题考查了新定义的函数的应用问题,也考查了反证法与分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．。
北京市海淀区高一上期末数学试卷
北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A={1，3，5}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）=0}，则A∩B=（）A．ΦB．{1}C．{3}D．{1，3}2．（4分）=（）A．B．C．D．3．（4分）若幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，4），则在定义域内（）A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值4．（4分）下列函数为奇函数的是（）A．y=2x B．y=sinx，x∈[0，2π]C．y=x3 D．y=lg|x|5．（4分）如图，在平面内放置两个相同的三角板，其中∠A=30°，且B，C，D三点共线，则下列结论不成立的是（）A．B．C．与共线 D．=6．（4分）函数f（x）的图象如图所示，为了得到y=2sinx函数的图象，可以把函数f（x）的图象（）A．每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位B．每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）7．（4分）已知，若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，实数x0满足f（x0）=0，那么下列不等式中，一定成立的是（）A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜c D．x0＞c8．（4分）如图，以AB为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（）A．无最大值，但有最小值B．既有最大值，又有最小值C．有最大值，但无最小值D．既无最大值，又无最小值二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）9．（4分）已知向量=（1，2），写出一个与共线的非零向量的坐标．10．（4分）已知角θ的终边经过点（3，﹣4），则cosθ=．11．（4分）已知向量，在边长为1 的正方形网格中的位置如图所示，则=．12．（4分）函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t的取值范围是．13．（4分）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%．有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）14．（4分）函数f（x）=sinωx在区间上是增函数，则下列结论正确的是（将所有符合题意的序号填在横线上）①函数f（x）=sinωx在区间上是增函数；②满足条件的正整数ω的最大值为3；③．三、解答题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知向量=（sinx，1），=（1，k），f（x）=．（Ⅰ）若关于x的方程f（x）=1有解，求实数k的取值范围；（Ⅱ）若且α∈（0，π），求tanα．16．（12分）已知二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（1）=f（3）=﹣3．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若函数g（x）是奇函数，当x≥0时，g（x）=f（x），（ⅰ）直接写出g（x）的单调递减区间：；（ⅱ）若g（a）＞a，求a的取值范围．17．（12分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：=（直接写出结果即可）；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．18．（10分）定义：若函数f（x）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意x∈R，f（x+T）=f（x）+T恒成立，则称f（x）为线周期函数，T为f（x）的线周期．（Ⅰ）下列函数，①y=2x，②y=log2x，③y=[x]，（其中[x]表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是（直接填写序号）；（Ⅱ）若g（x）为线周期函数，其线周期为T，求证：函数G（x）=g（x）﹣x为线周期函数；（Ⅲ）若φ（x）=sinx+kx为线周期函数，求k的值．参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A={1，3，5}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）=0}，则A∩B=（）A．ΦB．{1}C．{3}D．{1，3}【解答】解：∵B={x|（x﹣1）（x﹣3）=0}={1，3}，∴A∩B={1，3}，故选：D2．（4分）=（）A．B．C．D．【解答】解：=﹣sin=﹣．故选：A．3．（4分）若幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，4），则在定义域内（）A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值【解答】解：设幂函数f（x）=xα，由f（﹣2）=4，得（﹣2）α=4=（﹣2）2，在α=2，即f（x）=x2，则在定义域内有最小值0，故选：C．4．（4分）下列函数为奇函数的是（）A．y=2x B．y=sinx，x∈[0，2π]C．y=x3 D．y=lg|x|【解答】解：y=2x为指数函数，没有奇偶性；y=sinx，x∈[0，2π]，定义域不关于原点对称，没有奇偶性；y=x3定义域为R，f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数；y=lg|x|的定义域为{x|x≠0}，且f（﹣x）=f（x），为偶函数．故选：C．5．（4分）如图，在平面内放置两个相同的三角板，其中∠A=30°，且B，C，D三点共线，则下列结论不成立的是（）A．B．C．与共线 D．=【解答】解：设BC=DE=m，∵∠A=30°，且B，C，D三点共线，则CD═AB=，AC=EC=2m，∴∠ACB=∠CED=60°，∠ACE=90°，∴，，故A、B、C成立；故选：D6．（4分）函数f（x）的图象如图所示，为了得到y=2sinx函数的图象，可以把函数f（x）的图象（）A．每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位B．每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）【解答】解：根据函数f（x）的图象，设f（x）=Asin（ωx+φ），可得A=2，=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=0，∴φ=﹣，f（x）=2sin（2x﹣），故可以把函数f（x）的图象先向左平移个单位，得到y=2sin（2x+﹣）=2sin2x的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到y=2sinx函数的图象，故选：C．7．（4分）已知，若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，实数x0满足f（x0）=0，那么下列不等式中，一定成立的是（）A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜c D．x0＞c【解答】解：∵f（x）=log2x﹣（）x在（0，+∞）上是增函数，0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，∴f（a）、f（b）、f（c）中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；即：f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）；或f（a）＜f（b）＜f（c）＜0；由于实数x0是函数y=f（x）的一个零点，当f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）时，a＜x0＜b，当f（a）＜f（b）＜f（c）＜0时，x0＞a，故选：B．8．（4分）如图，以AB为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（）A．无最大值，但有最小值B．既有最大值，又有最小值C．有最大值，但无最小值D．既无最大值，又无最小值【解答】解：设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，则D（﹣1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）=2+=（﹣2cosθ，﹣2sinθ）+（﹣1﹣cosθ，2﹣sinθ）=（﹣1﹣3cosθ，﹣3sinθ）∴==∵cosθ∈（﹣1，1），∴∈（4，16）故选：D二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）9．（4分）已知向量=（1，2），写出一个与共线的非零向量的坐标（2，4）．【解答】解：向量=（1，2），与共线的非零向量的坐标纵坐标为横坐标2倍，例如（2，4）．故答案为：（2，4）．10．（4分）已知角θ的终边经过点（3，﹣4），则cosθ=．【解答】解：∵角θ的终边经过点（3，﹣4），∴x=3，y=﹣4，r=5，则cosθ==．故答案为：．11．（4分）已知向量，在边长为1 的正方形网格中的位置如图所示，则=3．【解答】解：由题意可知：=（3，0），=（1，1），则=3×1+1×0=3．故答案为：3．12．（4分）函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：函数（t＞0）的图象如图：函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，所以t≥1．故答案为：[1，+∞）．13．（4分）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%．有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）【解答】解：设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得y=400×（1+50%）n=400×（）n，由于第n年快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，∴4000=400×（）n，∴（）n=10，两边取对数可得n（lg3﹣lg2）=1，∴n（0.4771﹣0.3010）=1，解得0.176n=1，解得n≈6，∴从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，故答案为：2021．14．（4分）函数f（x）=sinωx在区间上是增函数，则下列结论正确的是①②③（将所有符合题意的序号填在横线上）①函数f（x）=sinωx在区间上是增函数；②满足条件的正整数ω的最大值为3；③．【解答】解：函数f（x）=sinωx在区间上是增函数，由f（﹣x）=sin（﹣ωx）=﹣sinωx=﹣f（x），可得f（x）为奇函数，则①函数f（x）=sinωx在区间上是增函数，正确；由ω≤，可得∅≤3，即有满足条件的正整数ω的最大值为3，故②正确；由于+==2×，由题意可得对称轴x≥，即有f（）≤f（），故③正确．故答案为：①②③．三、解答题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知向量=（sinx，1），=（1，k），f（x）=．（Ⅰ）若关于x的方程f（x）=1有解，求实数k的取值范围；（Ⅱ）若且α∈（0，π），求tanα．【解答】解：（Ⅰ）∵向量a=（sinx，1），b=（1，k），f（x）=，∴f（x）==sinx+k．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）关于x的方程f（x）=1有解，即关于x的方程sinx=1﹣k有解．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵sinx∈[﹣1，1]，∴当1﹣k∈[﹣1，1]时，方程有解．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）则实数k的取值范围为[0，2]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）因为，所以，即．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）当时，，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）当时，，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）16．（12分）已知二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（1）=f（3）=﹣3．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若函数g（x）是奇函数，当x≥0时，g（x）=f（x），（ⅰ）直接写出g（x）的单调递减区间：[﹣2，2] ；（ⅱ）若g（a）＞a，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（1）=f（3）=﹣3，∴解的b=﹣4；c=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=x2﹣4x，∵函数g（x）是奇函数，∴g（﹣x）=﹣g（x），假设x＜0，则﹣x＞0，则g（﹣x）=f（﹣x）=x2+4x，∴g（x）=﹣x2﹣4x，∴g（x）=，（i）g（x）的单调减区间为[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．（ⅱ）若g（a）＞a，则或解得a＞5或﹣5＜a＜0．综上，a的取值范围为a＞5或﹣5＜a＜0．17．（12分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数f（x）的解析式为f（x）=f（x）=2sin（2x+）（直接写出结果即可）；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）把表格填完整：根据表格可得=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，故函数的解析式为：．（Ⅱ）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．（Ⅲ）因为，所以，故有．所以，当即时，f（x）在区间上的最小值为﹣2．当即x=0时，f（x）在区间上的最大值为1．18．（10分）定义：若函数f（x）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意x∈R，f（x+T）=f（x）+T恒成立，则称f（x）为线周期函数，T为f（x）的线周期．（Ⅰ）下列函数，①y=2x，②y=log2x，③y=[x]，（其中[x]表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是③（直接填写序号）；（Ⅱ）若g（x）为线周期函数，其线周期为T，求证：函数G（x）=g（x）﹣x为线周期函数；（Ⅲ）若φ（x）=sinx+kx为线周期函数，求k的值．【解答】解：（Ⅰ）对于①f（x+T）=2x+T=2x2T=f（x）2T，故不是线周期函数对于②f（x+T）=log2（x+T）≠f（x）+T，故不是线周期函数对于③f（x+T）=[x+T]=[x]+T=f（x）+T，故是线周期函数故答案为：③（Ⅱ）证明：∵g（x）为线周期函数，其线周期为T，∴存在非零常数T，对任意x∈R，g（x+T）=g（x）+T恒成立．∵G（x）=g（x）﹣x，∴G（x+T）=g（x+T）﹣（x+T）=g（x）+T﹣（x+T）=g（x）﹣x=G（x）．∴G（x）=g（x）﹣x为周期函数．（Ⅲ）∵φ（x）=sinx+kx为线周期函数，∴存在非零常数T，对任意x∈R，sin（x+T）+k（x+T）=sinx+kx+T．∴sin（x+T）+kT=sinx+T．令x=0，得sinT+kT=T；令x=π，得﹣sinT+kT=T；①②两式相加，得2kT=2T．∵T≠0，∴k=1检验：当k=1时，φ（x）=sinx+x．存在非零常数2π，对任意x∈R，φ（x+2π）=sin（x+2π）+x+2π=sinx+x+2π=φ（x）+2π，∴φ（x）=sinx+x为线周期函数．综上，k=1．。
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09年海淀区高一第一学期期末试题-数学
2009.1
学校 班级 姓名
本试卷分卷一、卷二两部分，共120分，考试时间90分钟.
卷一 卷二
总分
题号 一 二 三 一 二
17 18 19
分数
卷一（90分）、
一、选择题：本大题共123小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． ()sin 30-︒的值是（ ） A ．12- B ．1
2
C ．32-
D ．32
2． 若()()2113A B --，，，，则AB
的坐标是（ ）
A ．()12，
B ．()12--，
C ．()34-，
D ．()34-，
3． 若a b ，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A ．a b =
B ．1a b ⋅=
C ．22a b ≠
D ．a b =
4． 若2α=，则（ ）
A ．sin 0α>且cos 0α>
B ．sin 0α>且cos 0α<
C ．sin 0α<且cos 0α<
D ．sin 0α<且cos 0α> 5． 函数cos 2y x =是（ ）
A ．周期为π的偶函数
B ．周期为π的奇函数
C ．周期为2π的偶函数
D ．周期为2π的奇函数 6． 如图，在正方形ABCD 中，下列描述中正确的是（ ）
A ．A
B B
C = B ．AB C
D = C ．2AC AB = D ．AB BC AB BC +=- 7． 函数1cos y x =+的图象（ ）
A ．关于x 轴对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于原点对称
D ．关于直线π
2
x =对称
8． 若4
tan 3tan 3
αβ==，，则()tan αβ-等于（ ）
A ．13
B ．1
3- C ．3 D ．3-
9． 已知两个向量()()121a b x ==，
，，，若a b ∥，则x 的值等于（ ） A ．12- B ．1
2
C ．2-
D ．2
10． 在ABC ∆中，若cos cos sin sin A B A B >，则ABC ∆的形状（ ）
A ．为锐三角形
B ．为直角三角形
C ．为钝角三角形
D ．无法判定 11． 若α、β是第一象限的角，且sin sin αβ>，则（ ）
A ．αβ>
B ．αβ<
C ．cos cos αβ>
D ．tan tan αβ>
12． 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，那么函数()f x 的解析式可以
是（ ）
D C
B
A
A ．()πsin 28f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
B ．()π2sin 28f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
C ．()π2sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
D ．()π2sin 24f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13． 若向量()12a =，，则a = . 14． 若点()2P y ，是角α终边上的一点，且3
sin 2
α=-
，则y 的值是 . 15． 函数()1sin y x x =-∈R 的单调减区间是 .
16． 若平面上三个大小相等的力1F 、2F 、3F 作用于一点且处于平衡状诚，则1F 与2F 夹
角的大小为
三、解答题：本大题共3.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． (本小题8分)
已知1
sin 3α=，且α是第二象限的角.
⑴ 求πsin 6α⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值；
⑵ 求cos 2α的值.
18． (本小题8分)
已知向量a b ，，满足()12a =，，()21b =-，
. ⑴ 求向量a b -的坐标，以及向量a b -与a 的夹角；
⑵ 若向量a b -与ka b +垂直，求实数k 的值.
O x
y 5π8
π8
-2
2
19． (本小题10分)
已知函数()()2
sin cos f x x x =+
⑴ 求函数()f x 的最小正周期，并用“五点法”作出函数()f x 在一个周期内的简
图；
⑵ 求函数()f x 的最大值，以及使函数()f x 取得最大值时x 的集合.
卷二（30分）
一、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
1． 已知()43
cos cos 55
ααβ=+=，，
且α、β为锐角，那么sin β的值是 . 2． 定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦，时，()sin f x x =，则5π3f ⎛⎫
⎪⎝⎭的值为 .
3． 已知向量()()121a b λ=，，，，若a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围
是 .
4． 若函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中00A ω>>，)的定义域为开区间()310，，函数
()f x 的值域是一个左闭右开的区间，则满足要求的函数()f x 的解析式可以是()f x = (写出一个解析式即可).
二、解答题：本大题2小题，共14分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 5． (本小题7分)
已知A 、B 、C 三点的坐标分别为()30A ，、()03B ，、()cos sin C αα，，且
π3π22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
. ⑴ 若AC BC =
，求角α的值；
⑵ 若1AC BC ⋅=- ，求22sin sin 21tan ααα
++的值.
6． (本小题7分)
已知二次函数()f x 对任意x ∈R ，都有()()11f x f x -=+成立，设向量
()()()1sin 22sin cos 21122a x b x c x d ⎛
⎫==== ⎪⎝⎭
，，，，，，，，当[]0πx ∈，时，
求不等式()()f a b f c d ⋅>⋅的解集.。