2021年高中数学《向量数乘运算及其几何意义》教案 新人教A版必修4
高中数学 2.2.3《向量数乘运算及其几何意义》导学案 新人教A版必修4
2.2.3《向量数乘运算及其几何意义》导学案【学习目标】1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。
【重点难点】重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件； 难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。
【学法指导】通过对比物理中的一些向量与数量之间的运算关系，引入向量与数量之间的乘法运算，同时也为该运算赋予其物理意义。
【知识链接】引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。
如力与加速度的关系F m a =r r ，位移与速度的关系 s v t =r r。
这些公式都是实数与向量间的关系。
师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a a a ++r r r 和()()()a a a -+-+-r r r向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？生：师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积） 【学习过程】 1、探索研究1）定义：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考）可根据小学算术中3333335++++=?的解释，类比规定：实数λ与向量a r 的积就是λa r，它还是一个向量，但要对实数λ与向量a r相乘的含义作一番解释才行。
实数λ与向量a r 的积是一个向量，记作λa r. 它的长度和方向规定如下：（1） .（2） . 2）运算律：问：求作向量2(3)a r 和6a r （a r 为非零向量）并进行比较，向量2()a b +r r与向量22a b +r r 相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）生： .师：设a r 、b r为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：（1）()λμa λa μa +=+r r r ； （2）()()λμa λμa =r r ； （3）()λa b λa λb +=+r r r r.通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。
人教课标版高中数学必修4《向量数乘运算及其几何意义》教学设计
【数学思想】数形结合
【解题过程】∵ ＝2 ，∴ － ＝ ＝2 ＝2( － )，
∴3 ＝2 ＋ ，∴ ＝ ＋ ＝ b＋ c.
点拨：利用向量线性运算法则表示有向线段，用到了三角形中线的向量表示
5．在四边形ABCD中， ＝a＋2b， ＝－4a－b， ＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是()
A．.
B．
C．
D．
【知识点】向量线性运算法则与几何图形结合
【数学思想】数形结合
【解题过程】∵ ,
∴
点拨：利用向量线性运算法则表示有向线段，用到了三角形中线的向量表示
答案：C
4．在△ABC中， ＝c， ＝b，若点D满足 ＝2 ，则 等于()
A. b＋ c
B. c－ b
C. b－ c
D. b＋ c
答案：A
其二，若 与 平行，且不妨令 ，设 ，接下来看 、 方向如何：① 、 同向，则 ，②若 、 反向，则记 ，总而言之，存在实数 （ 或 ）使 .
【设计意图】通过由特殊到一般，探索发现共线向量基本定理，再用定义加以证明，符合科学探索发现的一般规律.
●活动②巩固理解，尝试应用
判断三点之间的位置关系，主要看这三点是否共线.由于两点确定一条直线，如果能够判断第三点在这条直线上，那么就可以判断这三点共线.因此，借助共线向量基本定理，可以帮助我们判定三点是否共线.
答案：BC∥DE
解析：【知识点】向量线性运算法则及共线向量定理
【数学思想】数形结合
【解题过程】∵ ，
又∵BC与DE不在同一条直线上
∴BC∥DE
点拨：运用向量线性运算法则判定向量的线性关系，从而判定直线平行
例3如图,已知任意两个非零向量 ,试作 ，你能判断 三点之间的位置关系吗？为什么？
[教案新课标高中数学人教A版必修四全册教案2.2.3向量数乘运算及其几何意义(一).pdf
2.2.3 向量的数乘运算及几何意义（1） 一、教学目标：1．掌握实数与向量的积的定义；2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；二、教学重、难点：1．实数与向量的积的定义及其运算律。
三、教学过程：（一）复习： 已知非零向量a r ，求作a a +r r 和()()a a −+−r u u r ． 如图：OB a a =+u u u r r r 2a =r ，()()CE a a =−+−u u u r r r 2a =−r ．（二）新课讲解：1．实数与向量的积的定义： 一般地，实数λ与向量a r 的积是一个向量，记作a λr ，它的长度与方向规定如下： （1）||||||a a λλ=r r ； （2）当0λ>时，a λr 的方向与a r 的方向相同； 当0λ<时，a λr 的方向与a r 的方向相反； 当0λ= 时，0a λ=r r ．2．实数与向量的积的运算律： （1）()()a a λμλμ=r r （结合律）； （2）()a a a λμλμ+=+r r r （第一分配律）； （3）a b λλλ+r r r r （a+b ）=（第二分配律）．3．例1 计算：（1）(3)4a −⨯r ； （2）3()2()a b a b a +−−−r r r r r ； （3）(23)(32)a b c a b c +−−−+r r r r r r ． 解：（1）原式=12a −r ； （2）原式=5b r ； （3）原式=52a b c −+−r r r ．例2．已知向量a ϖ和向量b ϖ，求作向量b a a ρρρρ325.2−−和4．练习计算： （1）)2(2)(3b a b a +−−（2）)243(3)362(2c b a c b a −+−−−+（3）教材P90面5题5．思考例3． a −r E a r a r a r O B A C D a −r )0( ρρρρ≠a a a 有何关系？与λ. a b a b ρρρρλλ=，使得一个实数共线当且仅当有且只有与非零向量向量是否共线？向量212122 ,e e b e e a +−=−=ρρ例4．教材例7。
人教版高中数学A版必修4学案 向量数乘运算及其几何意义
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义明目标、知重点 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．1．向量数乘运算：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 方向相同，当λ<0时，与a 方向相反；特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0. 2．向量数乘的运算律 (1)λ(μa )＝(λμ)a . (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa . (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .特别地，有(－λ)a ＝－(λa )＝λ(－a )； λ(a －b )＝λa －λb .3．共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa .4．向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有 λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .[情境导学] 引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现．如力与加速度的关系F ＝m a ，位移与速度的关系s ＝v t .这些公式都是实数与向量间的关系．师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a ＋a ＋a 和(－a )＋(－a )＋(－a )向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？生： a ＋a ＋a 的长度是a 的长度的3倍，其方向与a 的方向相同，(－a )＋(－a )＋(－a )的长度是a 长度的3倍，其方向与a 的方向相反．师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题． 探究点一 向量数乘运算的物理背景思考1 一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量v ，那么在同方向上3秒钟的位移对应的向量用3v 表示，试在直线l 上画出3v 向量，看看向量3v 与v 的关系如何？ 答3v ＝OC →＝OA →＋AB →＋BC →＝v ＋v ＋v . ∴3v 与v 的方向相同，|3v |＝3|v |.思考2 已知非零向量a ，作出a ＋a ＋a 和(－a )＋(－a )＋(－a )，你能说明它们与向量a 之间的关系吗？ 答OC →＝OA →＋AB →＋BC →＝a ＋a ＋a ＝3a ；O ′C ′→＝O ′A ′→＋A ′B ′→＋B ′C ′→ ＝(－a )＋(－a )＋(－a )＝－3a .思考3 一般地，我们规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘．记作λa ，该向量的长度与方向与向量a 有什么关系？ 答 λa 仍然是一个向量． (1)|λa |＝|λ||a |；(2)λ>0时，λa 与a 方向相同； λ<0时，λa 与a 方向相反； λ＝0时，λa ＝0.方向任意． 探究点二 向量数乘的运算律思考1 根据实数与向量积的定义，可以得哪些数乘运算律？ 答 设λ，μ∈R ，则有 ①λ(μa )＝(λμ)a ； ②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； ③λ(a ＋b )＝λa ＋λb .思考2 向量等式的证明依据是相等向量的定义，既要证明等式两边的模相等，又要证明方向相同．你能根据这两条证明其中的第①条运算律吗？ 答 ①λ(μa )＝(λμ)a (λ，μ∈R )．如果λ＝0或μ＝0或a ＝0，则①式显然成立； 如果λ≠0，μ≠0，a ≠0，则由向量数乘的定义有 |λ(μa )|＝|λ||μa |＝|λ||μ||a |， |(λμ)a |＝|λμ||a |＝|λ||μ||a |， 故|λ(μa )|＝|(λμ)a |.如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与a 同向；如果λ、μ异号，则①式两边向量的方向都与a 反向．因此，向量λ(μa )与(λμ)a 有相等的模和相同的方向，所以λ(μa )＝(λμ)a . 例1 计算： (1)(－3)×4a ；(2)3(a ＋b )－2(a －b )－a ； (3)(2a ＋3b －c )－(3a －2b ＋c )． 解 (1)原式＝(－3×4)a ＝－12a ； (2)原式＝3a ＋3b －2a ＋2b －a ＝5b ；(3)原式＝2a ＋3b －c －3a ＋2b －c ＝－a ＋5b －2c .反思与感悟 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． 跟踪训练1 计算： (1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )；(2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－23a －b －76⎣⎡⎦⎤12a ＋37⎝⎛⎭⎫b ＋76a ； (3)6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )． 解 (1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b . (2)原式＝12⎝⎛⎭⎫3a －23a ＋2b －b －76⎝⎛⎭⎫12a ＋12a ＋37b ＝12⎝⎛⎭⎫73a ＋b －76⎝⎛⎭⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. (3)原式＝6a －6b ＋6c －4a ＋8b －4c ＋4a －2c＝(6a －4a ＋4a )＋(8b －6b )＋(6c －4c －2c )＝6a ＋2b . 探究点三 共线向量定理及应用思考1 请观察a ＝m －n ，b ＝－2m ＋2n ，回答a 、b 有何关系？ 答 因为b ＝－2a ，所以a 、b 是平行向量．思考2 若a 、b 是平行向量(a ≠0)能否得出b ＝λa ？为什么？ 答 可以．因为a 、b 平行，它们的方向相同或相反．小结 由向量数乘的含义，我们容易得到向量共线的等价条件：如果a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .对此定理的证明，是两层来说明的：其一，若存在实数λ，使b ＝λa ，则由实数与向量乘积定义可知b 与λa 平行，即b 与a 平行． 其二，若b 与a 平行，且不妨令a ≠0，设|b ||a |＝μ(这是实数概念)．接下来看a 、b 方向如何：①a 、b 同向，则b ＝μa ，②若a 、b 反向，则记b ＝－μa ，总而言之，存在实数λ(λ＝μ或λ＝－μ)使b ＝λa .例2 已知e 1，e 2是不共线的向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝6e 1－8e 2，则a 与b 是否共线？ 解 若a 与b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ， 即3e 1＋4e 2＝λ(6e 1－8e 2)， 所以(3－6λ)e 1＋(4＋8λ)e 2＝0，因为e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－6λ＝0，4＋8λ＝0，所以λ不存在，所以a 与b 不共线．反思与感悟 (1)本题充分利用了向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．(2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．跟踪训练2 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：AB →，BD →共线； (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解 (1)∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →.∴AB →，BD →共线．(2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， ∴存在λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，即(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.探究点四 三点共线的判定思考1 若存在实数λ，使AB →＝λBC →，则A 、B 、C 三点的位置关系如何？ 答 由共线向量定理可得，A ，B ，C 三点共线⇔存在λ∈R ，使AB →＝λBC →.思考2 已知O 为平面ABC 内任一点，若A 、B 、C 三点共线，是否存在α、β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，其中α＋β＝1?答 存在，因A 、B 、C 三点共线，则存在λ∈R ，使AC →＝λAB →. ∴OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)， ∴OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →. 令1－λ＝α，λ＝β，则 OC →＝αOA →＋βOB →，且α＋β＝1.思考3 已知O 为平面ABC 内任一点，若存在α，β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，α＋β＝1，那么A 、B 、C 三点是否共线？答 共线，因为存在α、β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，且α＋β＝1. ∴β＝1－α，∴OC →＝αOA →＋(1－α)OB →， ∴OC →＝αOA →＋OB →－αOB → ∴OC →－OB →＝α(OA →－OB →)∴BC →＝αBA →，∴A 、B 、C 三点共线．例3 已知任意两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b .试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系，并说明理由．解分别作向量OA →、OB →、OC →，过点A 、C 作直线AC (如图)．观察发现，不论向量a 、b 怎样变化，点B 始终在直线AC 上，猜想A 、B 、C 三点共线． 因为AB →＝OB →－OA →＝ (a ＋2b )－(a ＋b )＝b ，AC →＝OC →－OA →＝(a ＋3b )－(a ＋b ) ＝2b ，故有AC →＝2AB →.因为AC →∥AB →，且有公共点A ，所以A 、B 、C 三点共线．反思与感悟 本题给出了证明三点共线的方法，利用向量共线定理，关键是找到唯一实数λ，使a ＝λb ，先证向量共线，再证三点共线．跟踪训练3 已知两个非零向量e 1和e 2不共线，如果AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，求证：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2， ∴BD →＝BC →＋CD →＝(6e 1＋23e 2)＋(4e 1－8e 2) ＝10e 1＋15e 2.又∵AB →＝2e 1＋3e 2，∴BD →＝5AB →，∴AB →、BD →共线，且有公共点B .∴A 、B 、D 三点共线．1．化简：(1)8(2a －b ＋c )－6(a －2b ＋c )－2(2a ＋c )； (2)13⎣⎡⎦⎤12(2a ＋8b )－(4a －2b ).解 (1)原式＝16a －8b ＋8c －6a ＋12b －6c －4a －2c ＝(16－6－4)a ＋(－8＋12)b ＋(8－6－2)c ＝6a ＋4b . (2)原式＝13[(a ＋4b )－(4a －2b )]＝13(－3a ＋6b )＝2b －a . 2.如图，AM →＝13AB →，AN →＝13AC →.求证：MN →＝13BC →.证明 ∵AM →＝13AB →，AN →＝13AC →，∴MN →＝AN →－AM →＝13AC →－13AB →＝13(AC →－AB →)＝13BC →.3．已知e 1与e 2不共线，AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线．证明 ∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝(2e 1＋8e 2)＋(3e 1－3e 2) ＝5e 1＋5e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →.∴AB →，BD →共线． 又AB →与BD →有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．4．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1、e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？ 解 ∵d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2，要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d ＝k c ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ.故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d 与c 共线． [呈重点、现规律]1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的． 2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a |a |表示与向量a 同向的单位向量．3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．一、基础过关1．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( )A ．k ＝0B ．k ＝1C ．k ＝2D ．k ＝12答案 D解析 当k ＝12时，m ＝－e 1＋12e 2，n ＝－2e 1＋e 2.∴n ＝2m ，此时，m ，n 共线． 2．下列各式计算正确的有( )①(－7)6a ＝－42a ；②7(a ＋b )－8b ＝7a ＋15b ； ③a －2b ＋a ＋2b ＝2a ；④4(2a ＋b )＝8a ＋4b . A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 C3．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则( ) A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上 答案 D解析 P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →， ∴PC →＝－2P A →，∴P 在AC 边上．4．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →等于( ) A.BC →B.12AD →C.AD →D.12BC →答案 C 解析如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC → ＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →. 5．已知向量a ，b ，设AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，那么下列各组中三点一定共线的是( )A ．A ，B ，C B ．A ，C ，D C ．A ，B ，D D ．B ，C ，D 答案 C解析 由向量的加法法则知BD →＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，又两线段均过点B ，故A ，B ，D 三点一定共线．6.如图所示，设M ，N 为△ABC 内的两点，且AM →＝14AB →＋13AC →，AN →＝25AB →＋12AC →，则△ABM的面积与△ABN 的面积之比为________．答案 2∶3 解析如图所示，设AP →＝14AB →，AQ →＝13AC →，则AM →＝AP →＋AQ →.由平行四边形法则知，MQ ∥AB ， ∴S △ABM S △ABC ＝|AQ →||AC →|＝13. 同理S △ABN S △ABC ＝12.∴S △ABM S △ABN ＝237.如图，ABCD 为一个四边形，E 、F 、G 、H 分别为BD 、AB 、AC 和CD 的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．证明 ∵F 、G 分别是AB 、AC 的中点． ∴FG →＝12BC →.同理，EH →＝12BC →.∴FG →＝EH →.∴四边形EFGH 为平行四边形． 二、能力提升8．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( ) ①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n . A ．①④ B ．①② C ．①③ D ．③④ 答案 B解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．9．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴点M 是△ABC 的重心．∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.10．已知O 是平面内一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0，＋∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心答案 B解析 AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向为∠BAC 的角平分线AD →的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同．而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴点P 在AD →上移动．∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．11．已知e 1，e 2是两个非零不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．解 ∵a 与b 是共线向量，∴a ＝λb ，∴2e 1－e 2＝λ(k e 1＋e 2)＝λk e 1＋λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λk ＝2，λ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，λ＝－1，∴k ＝－2. 12．设e 1，e 2是两个不共线的向量，AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．解 若A ，B ，D 三点共线，则AB →与BD →共线，所以可设AB →＝λBD →.又因为BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，所以2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)，即(4λ＋k )e 2＝(λ－2)e 1，因为e 1，e 2是两个不共线的向量，若4λ＋k ≠0，则e 2＝λ－24λ＋ke 1， 于是e 1与e 2是共线向量，与已知条件矛盾；若λ－2≠0，则e 1＝4λ＋k λ－2e 2， 于是e 1与e 2是共线向量，与已知条件矛盾，所以⎩⎪⎨⎪⎧4λ＋k ＝0，λ－2＝0，故λ＝2，k ＝－8. 三、探究与拓展13.如图所示，在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝13BD . 求证：M 、N 、C 三点共线.证明 设BA →＝a ，BC →＝b ，则由向量减法的三角形法则可知：CM →＝BM →－BC →＝12BA →－BC →＝12a －b .又∵N 在BD 上且BD ＝3BN ，∴BN →＝13BD →＝13(BC →＋CD →)＝13(a ＋b )， ∴CN →＝BN →－BC →＝13(a ＋b )－b＝13a －23b ＝23⎝⎛⎭⎫12a －b ， ∴CN →＝23CM →， 又∵CN →与CM →的公共点为C ， ∴C 、M 、N 三点共线．。
2.2.3向量的数乘运算及其几何意义教案(人教A必修4).doc
§2.2.3向量的数乘运算及其几何意义(新教改A版教材)教学目标：(1)掌握向量数乘运算法则，并理解其儿何意义；(2)让学生能由实数运算律类比向量运算律，并且验证强化对知识的形成过程的认识，正确表示结果；(3)初步学会用向量的方法解决儿何问题和实际应用问题。
教学重点、难点：重点：向量的数乘运算法则的理解及儿何意义。
难点：正确运用法则解决儿何问题。
教学过程:教学环节教学内容师生互动设计意图复习⑴前两节我们介绍了解了向量的加法和减法，其中“加法”我们要牢固掌握“三角形法则''和“平行四边形法则"；—>例如：平而内有向量。
和b ,: 和%1今顺次首 '连结时：为图中月 a 一'b%1当重合起点或终,RB，图略，和1可量应师生互答与复习旧知识，提问用“平行四边形法则”求得；教师讲解引出新知识而且向量的减法我们可以看成一个向量加上另一个向量的等模、反向、或记住口诀“连结终点，指向被减”直接由代数形式求得结果。
例如：AB- AC = CB(2)下而我们来看这么…道题：1.例：已知如图向景。
为非零向量，试―, ―> —> ―>用作图方式表不a + a + a和一。
+ (—- * a(投影)结合复习提问师生互答与教师讲解结合定理形成一.向量数乘的相关概念及性质：1 .向量数乘（实数和向量相乘）的定义：实数人和向量0的乘积是一个向景，记作血，且血的长|M| = |4|g|.（而且我们可以根据刚才的例题总结出这样的结论：）M（a壬0）的方向［当；1>0时* 〃同方向;首先我们抓住它的特点，a + a +二是区别于一般情况下的三个相同的向量的加法，显然顺次连结首尾，我们依照加法规律可以很容易的得到运算率的当人<0时，与a反方向.当人=0 或。
=0 时,0U = 0 或A0 = 0.2.实数和向量相乘所满足的运算率：（1）（— + #）a = Aa + g；（2）；（3）A（a+b）= 2a + Ab（分配率）.（以上各运算律证明方法见后面，⑶的证明类似于例1,略，由学生自己证明）3。
新人教A版必修四2.3《向量数乘运算及其几何意义》word教案
§2.2.3向量数乘运算及其几何意义主编：彭小武 审核：罗伍生 班级 姓名【学习目标】1. 掌握向量数乘运算，并理解其几何意义；2. 理解两个向量共线的含义；掌握向量的线性运算性质及其几何意义.【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习： 向量减法的几何意义是什么？（二）自主探究：（预习教材P87—P90） 探究：向量数乘运算与几何意义问题1：已知非零向量a ，作出：①a a a ++；②()()()a a a -+-+-.通过作出图形，同学们能否说明它们的几何意义？1、一般地，我们规定___________________是一个向量，这种运算称做向量的数乘记作a λ，它的长度与方向规定如下：（1）||a λ=___________________________________;（2）当_________时，a λ的方向与a 的方向相同；当_______时，a λ的方向与a 方向相反，当_________时，a λ=O 。
问题2：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.请同学们解释它们的几何意义.2、向量数乘运算律，设,λμ为实数。
（1）()a λμ=_______； （2）()a λμ+=_________； （3）()a b λ+=_________；（4）=-)(λ________=___________； （5）()a b λ-=______________； （6）对于任意向量a ,b ，任意实数12λμμ、、恒有2a b λμμ1（+）=_______________。
问题3：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间有什么位置关系？3、两个向量共线（平行）的等价条件：如果(0)a a b ≠与共线，那么_____________。
二、合作探究1、计算：⑴()76a -⨯；⑵()()438a b a b a +---； ⑶()()54232a b c a b c -+--+.a2、已知两个两个向量1e 和2e 不共线，12AB e e =-，1228BC e e =-，1233CD e e =+，求 证：A 、B 、D 三点共线.3、如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB a =，AD b =，你能用a 、b 表示AM 、BM 、CM 、DM 吗？三、交流展示1、8()7()a c a c c ++--=___________。
《向量的数乘运算及其几何意义》教案(新人教A版必修4).doc
§2.2.3向量的数乘运算及其几何意义（新教改A版教材）教学目标：（1）掌握向量数乘运算法则，并理解其几何意义；（2）让学生能山实数运算律类比向量运算律，并且验证强化对知识的形成过程的认识，正确表示结果；（3）初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题。
教学重点、难点：重点：向量的数乘运算法则的理解及几何意义。
难点：正确运用法则解决几何问题。
教学过程:ctcici问定理形成运算率的形成及证明反叩可。
若原向量已有非零实系数，那么实系数相乘再作系数。
并且：特殊地，当实数o和一•个向量相乘时，得到的仍为一个向量，旦模为0, 即“零向量”。
（因为冬向量的方向不固定旦模为0,所以我们不能以一个固定方向的箭头或一个点来表示它，所以“零向代数形式为6。
）1.计算下列各式：应用举例（1）（—2） x —U ;（2）20+。
）一3（0-力）；（3）（人 +一万）一（人一"）0+万）.解：（1）（-2）2=（-2 X ^）a；=（-\）a = -a（2）2（0+力）一3（0一万）= 2a + 2b-3a + 3b• 9= （2«—M） + （2 方+ 3 方）= -a+5b例3作图是学生需要锻炼的能力之-，督促学生画好，其次是注意同顾和正确使用向景加法法则，亦可以使用相似先得到线段长度的关系，判断方向，从而得到结论对于数乘向量的计算法则，证明要求不是很高，学生们只需要理解、掌握、并旦能够灵活运用该法则解答、证明题就可以了通过分段设问，引导学生体会解题思路的形成过程，培养学生独立思考分析、解决问题的能力%1.教学资源建议：可以参阅之前.向量这一•部分的参考资料，结合新教材B版的自有的参考资料共同完成。
%1.教学方法与学习指导策略建议：本节内容介绍的是向量与实数相乘的相关内容,其中包括定义、性质以及运算法则，对于这一部分的内容我觉得关键是在于让学生能够从理解的角度认可并掌握实数与向量相乘的几何图形表示。
2.2.3[向量数乘运算及其几何意义]课件(新人教a版必修4)
![2.2.3[向量数乘运算及其几何意义]课件(新人教a版必修4)](https://img.taocdn.com/s3/m/fb629d7c7fd5360cba1adbd4.png)
２．如图，在任意四边形ABCD中，E为AD的中 点，F为BC的中点，求证：
AB DC 2EF
建议课后作业:
P 101 T9、T10、 T11
a 的方向与 a 的方向 （2）当 0 时， 相同；当 0 时， a 的方向与 a 的方
向相反；特别地，当 0时， a 0
（ 1） a a
2、实数与向量积的运算律
3(2a ) = 6 a
a
2a
3(2a )
6a
（） 1 ( a) ( )a
3 AC
∴
AC 与 AE 共线．ห้องสมุดไป่ตู้
思考:
判断下列各小题中的向量a与b是否共线: (1)a 2e, b 2e; (2) a e1 e2 , b 2e1 2e2
练习强化
1.已知 , R,则在以下各命题中,正确的命题共有(Ｄ ) (1) <0,a 0, a与a方向一定相反; (2) 0, a 0, a与a方向一定相同; (3) 0,a 0, a与a是共线向量; (4) >0,a 0, a与 a方向一定相同; (5) <0,a 0, a与 a方向一定相反; A.2 B.3 C.4 D.5
数与向量积
看书P97~99 (限时5分钟)
学习目标
1、实数与向量积的定义 2、实数与向量积的运算律
3、向量 与非零向量 a共线 的充要条件
b
一只兔每次位移向量
a
,
3次位移多少?
3a
n(n N )次位移多少?
na
位移与速度的关系：
s = tv
1、实数与向量积的定义
人教A版高中数学必修四向量数乘运算及其几何意义教案新课程新课标
第3课时§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义教学目标：1. 了解相反向量的概念；2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想. 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定.学 法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路：一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律： 例：在四边形中，=++BA BA CB . 解：CD AD BA CB BA BA CB =++=++ 二、 提出课题：向量的减法1． 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = bA BD COabab a -b则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1︒AB 表示a - b .强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.4． 探究：１） 如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b - a.２）若a ∥b ， 如何作出a - b ？ 三、 例题：例一、（P ９７ 例三）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d . 解：在平面上取一点O ，作OA = a ， OB = b ， OC = c ， OD = d ， 作BA ， DC ， 则BA = a -b ， DC = c -dOAaB’b -bbBa + (-b )abABCbad cDa -bA ABBB’Oa -ba ab b O AOBa -ba -b BA O-b例二、平行四边形ABCD 中，=AB a，=ADb， 用a 、b 表示向量AC 、DB . 解：由平行四边形法则得：AC = a + b ， DB = AD AB - = a -b变式一：当a ， b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？（|a | = |b |） 变式二：当a ， b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b |？（a ， b 互相垂直） 变式三：a +b 与a -b 可能是相当向量吗？∵ 对角线方向不同） 练习：Ｐ98四、 小结：向量减法的定义、作图法| 五、 作业：P103第4、５题 六、 板书设计（略） 七、 备用习题：1.在△ABC 中， BC =a ， CA =b ，则AB 等于( )A.a +bB.-a +(-b )C.a -bD.b -a2.O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设OA =a ， OB =b ， OC =c ， OD =d ，则A.a +b +c +d =0B.a -b +c -d =0C.a +b -c -d =0D.a -b -c +d =0３.如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空：a +b = ，b +c = ，c -d = ，a +b +c -d = .４、如图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示），使a +b =AB ，c -d =DC ，并画出b -c 和a +d .A BD C第３题。
数学：向量数乘运算及其几何意义教案新人教A必修
２．２．３ 向量数乘运算及其几何意义（１）教学目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、数乘运算的三个运算律，理解向量 共线的充要条件。
教学重点：向量数乘运算的意义及运算律，向量共线的条件。
教学难点：向量共线的条件。
教学过程一、复习提问什么叫共线向量？向量的加法、减法的定义、运算法则（三角形法则、平行四边形法则）。
二、新课１．引入新课：已知非零向量a 作出a +a +a 和（a ）+（a ）+（a ）OC =BC AB OA ++=a +a +a =３aPN =MN QM PQ ++=（a ）+（a ）+（a ）=３a讨论：１３a 与a 方向相同且|３a |=３|a | ２３a 与a 方向相反且|３a |=３|a |２．从而提出课题：实数与向量的积实数λ与向量a 的积，记作：λa定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa１|λa |=|λ||a | ２λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =0a a a a OA B C a - a -a -a -N M Q P３、运算定律：结合律：λ（μa ）=（λμ）a １第一分配律：（λ+μ）a =λa +μa ２第二分配律：λ（a +b）=λa +λb３特别地，（—λ）a ＝—（λa ）＝λ（—a ）λ（a —b）＝λa —λb４、例题例５、计算：（１）（—３）⨯４a ；（２）３（a ＋b）—２（a —b）—a ；（３）（２a ＋３b—c）—（３a —２b＋c）。
解：（１）原式＝（—３⨯４）a ＝—１２a ；（２）原式＝３a ＋３b—２a ＋２b—a ＝５b；（３）原式＝２a ＋３b—c—３a ＋２b—c＝—a ＋５b—２c。
对于向量a （a ≠0）、b，如果有一个实数λ，使b＝λa ，由向量的数乘定义知， 与b共线。
a反过来，向量a （a ≠0）与b共线，且向量b的长度是向量a 的μ倍，即|b|＝μ|a|，那么当a 与b同方向时，有b＝μa ，当a与b反方向时，有b＝—μa。
高中数学2.2.3向量数乘运算及其几何意义学案设计新人教A版必修4
第二章平面向量2.2 平面向量的线性运算2.2.3 向量数乘运算及其几何意义学习目标1.通过实例,掌握向量数乘运算,理解其几何意义及向量共线定理.熟练运用定义、运算律进行有关计算,能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题.2.理解、掌握向量共线定理及其证明过程;会根据向量共线定理判断两个向量是否共线.3.通过由实例到概念、由具体到抽象,培养学生自主探究知识形成的过程的能力、合作释疑过程中合作交流的能力.激发学生学习数学的兴趣和积极性,陶冶学生的情感,培养学生实事求是的科学态度、勇于创新的精神.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:向量加法的运算法则?问题2:向量减法的几何意义?问题3:一质点从点O出发做匀速直线运动,若经过1s的位移对应的向量用a表示,那么在同方向上经过3s的位移所对应的向量可用来表示.这是何种运算的结果?二、学生探索,尝试解决问题1:向量的加法:问题2:向量的减法:问题3:3a.三、信息交流,揭示规律问题4:已知非零向量a,作出a+a+a和(-a)+(-a),你能说出它们的几何意义吗?(1)相加后,和的长度和方向有什么变化?(2)这些变化与哪些因素有关?1.数乘的定义:.(1);(2)当λ>0时,;当λ<0时,.由(1)可知,当λ=0或a=0时,.问题5:求作向量3(2a)和6a(a为非零向量),并进行比较.问题6:已知向量a,b,求作向量2(a+b)和2a+2b,并进行比较.2.向量数乘的运算律设a,b为任意向量,λ,μ为任意实数,则有:结合律:.第一分配律:.第二分配律:.问题7:引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗?问题8:如果b=λa(a≠0),那么,向量a与b是否共线?问题9:b与非零向量a共线,那么,b=λa?3.向量共线定理四、运用规律,解决问题【例1】计算(1)(-3)×4a;(2)3(a+b)-2(a-b)-a;(3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c).【例2】已知任意两非零向量a,b,试作=a+b,=a+2b,=a+3b.你能判断A,B,C三点之间的位置关系吗?为什么?五、变式演练,深化提高练习1:若a,b是两个不共线的非零向量,t∈R,若a,b起点相同,t为何值时,a,t b,(a+b)三向量的终点在一条直线上?练习2:设a,b是不共线的两个非零向量,(1)若=2a-b,=3a+b,=a-3b,求证:A,B,C三点共线;(2)若8a+k b与k a+2b共线,求实数k的值.让学生每人各编一个关于平面向量运算的题目,然后由同位算出答案.(若课上时间不够,可转为课后作业)六、反思小结,观点提炼请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获?(经过学生短暂梳理,小组发言)布置作业课本P90练习第3,4,5,6题.参考答案二、学生探索,尝试解决问题1:三角形法则(首尾相连)和平行四边形法则(共起点).问题2:=a,=b,则=a-b.问题3:a+a+a.三、信息交流,揭示规律问题4:3a与a方向相同且=3;-2a与a方向相反且=2.1.数乘的定义:一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作:λa,它的长度和方向规定如下:(1);(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反.由(1)可知,当λ=0或a=0时,λa=0.问题5:问题6:2.结合律:λ(μa)=(λμ)a第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa第二分配律:λ(a+b)=λa+λb问题7:数乘向量与原向量共线.问题8:共线.问题9:不成立.3.向量共线定理:向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa.四、运用规律,解决问题【例1】解:(1)原式=-12a.(2)原式=(3-2-1)a+(3+2)b=5b.(3)原式=(2-3)a+(3+2)b-(1+1)c=-a+5b-2c.【例2】解:作图如下(过程略)依图观察,知A,B,C三点共线.证明如下:∵=(a+3b)-(a+b)=2b,又=(a+2b)-(a+b)=b,∴=2,又有公共点A,∴A,B,C三点共线.五、变式演练,深化提高练习1解:设存在实数m,使得a-t b=m[a-(a+b)],化简得(m-1)a=(-t)b,∵a与b不共线,∴∴t=时,a,t b,(a+b)的终点在一条直线上.练习2:解:(1)证明:∵=(3a+b)-(2a-b)=a+2b.而=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2,∴共线,且有公共端点B,∴A,B,C三点共线.(2)∵8a+k b与k a+2b共线,∴存在实数λ使得8a+k b=λ(k a+2b)⇒(8-λk)a+(k-2λ)b=0,∵a与b是不共线的两个非零向量,∴消去λ得8-k2=0,∴k=±4.。
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2.2.3 向量数乘运算及几何意义（2）一、教学目标：（1）理解并掌握共线向量定理，并会判断两个向量是否共线。
（2）能运用向量判断点共线、线共点等。
二、教学重、难点：（1）共线向量定理（2）共线向量定理应用。
三、教学过程：（一）复习：1．实数与向量的积的定义： 一般地，实数λ与向量a r 的积是一个向量，记作a λr ，它的长度与方向规定如下： （1）||||||a a λλ=r r ； （2）当0λ>时，a λr 的方向与a r 的方向相同； 当0λ<时，a λr 的方向与a r 的方向相反； 当0λ= 时，0a λ=r r ．2．实数与向量的积的运算律： （1）()()a a λμλμ=r r （结合律）； （2）()a a a λμλμ+=+r r r （第一分配律）； （3）a b λλλ+r r r r （a+b ）=（第二分配律）． 3．向量共线定理： 定理： 如果有一个实数λ，使b a λ=r r （0≠），那么向量b r 与a r 是共线向量；反之，如果向量b r 与a r （0≠a ）是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b a λ=r r ．（二）新课讲解：1．向量共线问题：例1、例2、例3、教材P89面例6. ,2351253 共线和求证：向量（满足、已知向量b a b a +=--+证明三点共线的问题 .2.)0(B 三点共线、、C B A ⇒≠=ρλ是否共线？与，试判断，已知AE AC BC DE AB AD 3 3==A B C DE例4。
四、课堂练习： P90面6题五、小结：1．掌握向量数乘运算的定义；2．掌握向量数乘运算的运算律，并进行有关的计算；3．理解两向量共线（平行）的条件，并会判断两个向量是否共线、点共线。
课后思考1．2．3．.3证明两直线平行的问题.CD //AB CD AB // 直线直线不在同一直线上与⇒⎪⎭⎪⎬⎫⇒=λ..35,4,2,为梯形求证：四边形中在四边形ABCD ABCD --=--=+=。
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2.2.3向量数乘运算及其几何意义一．自主学习1.情景平台已知非零向量a ，把a +a +a 记作3a ，(-a )+(-a )+(-a )记作-3a ，试作出3a 和－3a ．2.概念导入我们规定 这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度和方向规定如下：（1）（2）有上可知：λ=0时，λa=向量数乘的几何意义是把向量a 沿a 的方向或a 的反方向放大或缩小.3.运算律完成以下三个问题（1）已知非零向量a ，求作向量2(3a )和6a ，并进行比较．（2）已知非零向量a ，求作向量5a 和2a+3a ，并进行比较 a（3）已知非零向量a ，b ，求作向量2(a +b )和2a +2b ，并把结果进行比较分析．.总结运算律：设μλ,为实数,那么（1）→→=a a )()(λμμλ；（2）→+a )(μλ=→a λ+→a μ；（3）)(→→+b a λ=→a λ+→b λ。
特别地，我们有（-λ）→a =-（λ→a ）=λ（-→a ）， )(→→-b a λ=→a λ-→b λ二．探究、讨论、展示典例一向量数乘运算律例1. 计算：（1）(-3)×4a （2）3(a +b )-2(a -b )-a （3）(2a +3b -c )-(3a -2b +c )变式训练1、点C 在线段AB 上，且25=CB AC ,则AC = AB ,BC = AB . 2、课本练习3、5题3、若3m +2n =a ,m -3n =b ,其中a ,b 是已知向量,求m ,n .典例二 三点共线问题两个向量共线的等价条件是： 例2 如图,已知任意两个非零向量a 、b ,试作OA =a +b ,=a +2b ,=a +3b .你能判断A 、B 、a a a bC 三点之间的位置关系吗?为什么?例 3 (1)已知两个非零向量1e 和2e 不共线，如果2132e e +=，21236e e +=，2184e e -=。
求证;A 、B 、 D 三点共线(2)已知两个非零向量1e 和2e 不共线,欲使21e e k +和21e k e +共线，试确定实数k 的值典例三 向量的线性运算例 4 如图, AB CD 的两条对角线相交于点M,且=a ,=b ,你能用a 、b 表示MC 、、、和吗?变式训练1、课本练习第4题 2、课本练习第6题【小结】1°定义实数与向量的积2°实数与向量积的运算律．3°向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b =λa ．作业：习题2.2 A 组第9、10题课下练习：习题2.2 A 组第11、12、13题课下思考：习题2.2 B 组第1、2、3、4、5题。
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2021年高中数学《向量数乘运算及其几何意义》教案2 新人教A 版必修4
一、教学目标：1．掌握实数与向量的积的定义；
2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；
二、教学重、难点：1．实数与向量的积的定义及其运算律。
三、教学过程：
（一）复习：
已知非零向量，求作和．
如图：，．
（二）新课讲解：
1．实数与向量的积的定义：
一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：
（1）；
（2）当时，的方向与的方向相同；
当时，的方向与的方向相反；
当 时，．
2．实数与向量的积的运算律：
（1）（结合律）；
（2）（第一分配律）；
（3）（第二分配律）．
3．例1 计算：（1）； （2）；
（3）(23)(32)a b c a b c +---+．
解：（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=．
例2．已知向量和向量，求作向量
4．练习
计算： （1）
（2）)243(3)362(2c b a c b a -+---+
（3）教材P90面5题
5．思考
例3．
例4．教材例7。
三、课堂练习：教材P90面1、2、3、4题
四、小结：1．掌握实数与向量的积的定义；
2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；
3．向量共线的条件
五、作业：《习案》作业二十。
)0( ≠a a a 有何关系？与λ. a b a b λλ=，使得一个实数共线当且仅当有且只有与非零向量向量是否共线？向量212122 ,e e b e e a +-=-=。