复数的扩充与复数的概念
清华复变函数复数与扩充复平面
函数的连续性
连续性的定义
如果对于复平面上的任意一点$z_0$，当$z$ 趋于$z_0$时，函数$f(z)$都趋于$f(z_0)$， 则称函数在点$z_0$处连续。
连续性的性质
连续函数具有局部有界性、局部保序性、可积性等 性质。
连续性与可微性
连续函数不一定可微，但可微的复变函数一 定是连续的。
03 扩充复平面
信号处理
在信号处理领域，复数常用于表示和处理信号，如频谱分析和滤波 器设计等。
电气工程
在电气工程中，交流电的电压、电流和阻抗等常用复数表示，方便进 行计算和分析。
在其他领域的应用
金融
在金融领域，复数常用于描述和计算复杂的金融衍生 品，如期权、期货等。
生物医学工程
在生物医学工程中，复数用于描述和解释生物系统的 电特性和生理过程。
级数收敛性
洛朗兹级数的收敛性取决于函数的性质和收敛半 径，通常需要满足一定的条件才能收敛。
3
应用
洛朗兹级数在解决复变函数的积分、微分等问题 中具有重要应用，也是研究复变函数的重要工具 之一。
06 扩充复平面的应用实例
在物理学中的应用
量子力学
复数在量子力学中有着广泛的应用，如波函数通常表示为复数形 式，描述微观粒子的状态。
复数的四则运算
总结词
复数的加法、减法、乘法和除法运算都有明确的几何意义。
加法
将两个复数的实部和虚部分别相加或相减，得到新的复数。这对应于 平面上两点的线性组合或向量的线性组合。
乘法
将一个复数的实部和虚部分别乘以另一个复数的实部和虚部分别，得 到新的复数。这对应于平面上的旋转和平移变换。
除法
将一个复数除以另一个非零复数，得到新的复数。这对应于平面上的 相似变换。
第三章 复数章末复习
(5)复数的模：向量O→Z的模 r 叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作 |z| 或_|_a_＋__b_i|_， 即|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2 (r≥0，r∈R).
2.复数的几何意义 (1)复数 z＝a＋bi←―一――一―对――应―→复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R). (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) ←―一――一―对――应―→平面向量O→Z.
3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i ； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i ； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i ；
解答
反思与感悟 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应 的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或 者用向量相等直接给出结论.
跟踪训练3
在复平面内，设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数
2 z
＋z2对应的
点位于
√A.第一象限
C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
解析 ∵2z＋z2＝1＋2 i＋(1＋i)2 ＝1＋2 i＋2i＝(1－i)＋2i＝1＋i，
解 z＋1 ＝
2＋i
＝2＋i＝1－i，
∴z2－z＋3z1＋6的模为 2.
解答
z 跟踪训练 2 (1)已知1＋i＝2＋i，则复数 z 等于
A.－1＋3i C.3＋i
√B.1－3i
D.3－i
解析 ∵1＋z i＝2＋i，∴ z ＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i－1＝1＋3i，∴z＝1－3i.
复数讲义(含知识点和例题及解析)
数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部。
若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数。
(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )。
(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )。
(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。
x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。
(5)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2。
2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )。
(2)复数z ＝a ＋b i ――→一一对应平面向量OZ →(a ，b ∈R )。
3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )则： ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i 。
②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i 。
③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 。
④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0)。
(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)。
(完整word版)数系的扩充和复数的概念全面版
数系的扩充和复数的概念教学目标重点：复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等。
复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用.难点:虚数单位i 的引进以及对复数概念的理解．知识点:了解引进复数的必要性；理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、实部、虚部、实数、虚数、纯虚数、复数相等）;理解虚数单位i 及i 与实数的运算规律能力点:探寻复数的形成过程,体会引入虚数单位i 和复数形式的合理性，以及等价转化思想、方程思想、分类讨论数学思想的运用。
教育点:通过问题情境,体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，经历由实数系扩充到复数系的研究过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.自主探究点：如何运用实数与虚数单位i 的加、乘运算得到复数代数形式及探索复数相等的充要条件. 考试点:用复数的基本概念解决简单的数学问题。
易错易混点:对复数代数形式的认识,及复数分类的把握。
拓展点:如何利用复数代数形式解题,理解复数的几何意义.一、 引入新课求下列方程的解:(1)24x = 2(2)40x -= (3)310x -= 2(4)20x -= 2(5)10x +=．学生分析各题的解：(1)2x =；(2)22x x ==-或;1(3)3x =；(4)22x x ==-或；(5)实数集内无解. 通过以上五题解的探讨,学生会发现方程(5)在实数集中遇到了无解现象.如何使方程(5)有解呢?类比引进2，就可以解决方程220x -=在有理数中无解的问题,就有必要扩充数集，今天我们来与大家一起学习“数系的扩充”。
【设计意图】通过类比，易引发学生的学习兴趣.使学生了解扩充数系要从引入新数开始,引出本课题．二、探究新知1.复习已学过的数系问题1:数，是数学中的基本概念。
到目前为止,我们学习了哪些数集?用符号如何表示?它们之间有怎样的包含关系？用图示法可以如何表示?答：自然数集、整数集、有理数集、实数集,符号分别表示为N ，Z ,Q ，R ； 其中它们之间的关系式:N Z Q R ; 用文氏图表示N ,Z ,Q ,R 的关系【设计意图】数集及其之间关系的回顾，特别是“图示法”的直观表示,旨在帮助学生对“数系的扩充”有个初步感受.我们将一个数集连同相应的运算及结构叫做一个数系。
新人教版高中数学必修第二册 第7章 复数 7.1.1 数系的扩充和复数的概念
7．1复数的概念7．1.1数系的扩充和复数的概念考点学习目标核心素养复数的有关概念了解数系的扩充过程，理解复数的概念数学抽象复数的分类理解复数的分类数学抽象复数相等掌握复数相等的充要条件及其应用数学运算问题导学预习教材P68－P70的内容，思考以下问题：1．复数是如何定义的？其表示方法又是什么？2．复数分为哪两大类？3．复数相等的条件是什么？1．复数的有关概念(1)复数的定义形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．(2)复数集全体复数所构成的集合C＝{a＋b i|a，b∈R}叫做复数集．(3)复数的表示方法复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．■名师点拨对复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋b i(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b而非b i.(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等当且仅当a ＝c 且b ＝d ．3．复数的分类(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0，非纯虚数a ≠0Ｗ. (2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系■名师点拨复数b i(b ∈R )不一定是纯虚数，只有当b ≠0时，复数b i(b ∈R )才是纯虚数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)复数z 1＝3i ，z 2＝2i ，则z 1＞z 2.( ) (3)复数z ＝b i 是纯虚数．( )(4)实数集与复数集的交集是实数集．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√若z ＝a ＋(a 2－1)i(a ∈R ，i 为虚数单位)为实数，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．1或－1 答案：D以3i －2的虚部为实部，以－3＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i D.2＋2i 答案：A若(x －2y )i ＝2x ＋1＋3i ，则实数x ，y 的值分别为________． 答案：－12 －74复数的概念下列命题：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；④实数集是复数集的真子集．其中正确的命题是()A．①B．②C．③D．④【解析】对于复数a＋b i(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x ＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D.【答案】 D判断与复数有关的命题是否正确的方法(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．(2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋b i的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．[提醒]解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．对于复数a＋b i(a，b∈R)，下列说法正确的是()A．若a＝0，则a＋b i为纯虚数B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2C．若b＝0，则a＋b i为实数D．i的平方等于1解析：选C.对于A，当a＝0时，a＋b i也可能为实数；对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；对于D，i的平方为－1.故选C.复数的分类当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i ：(1)为实数？(2)为虚数？(3)为纯虚数？【解】 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数．(2)当m 2－2m ≠0且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．(3)当⎩⎨⎧m ≠0，m 2＋m －6m＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．(3)下结论：设所给复数为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ①z 为实数⇔b ＝0； ②z 为虚数⇔b ≠0；③z 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0.1．若复数a 2－a －2＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1D ．a ≠2解析：选C.复数a 2－a －2＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则有a 2－a －2≠0或|a －1|－1＝0，解得a ≠－1.故选C.2．当实数m 为何值时，复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是： (1)纯虚数；(2)实数．解：(1)复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7＝1m 2＋5m ＋6≠0，解得m ＝4.(2)复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7>0，m 2＋5m ＋6＝0，解得m ＝－2或m＝－3.复数相等(1)(2019·浙江杭州期末考试)若z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i(m ，n ∈R )，且z 1＝z 2，则m ＋n ＝( )A ．4或0B ．－4或0C ．2或0D ．－2或0(2)若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值是________．【解析】 (1)由z 1＝z 2，得n 2－3m －1＝－3且n 2－m －6＝－4，解得m ＝2，n ＝±2，所以m ＋n ＝4或0，故选A.(2)因为log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，所以⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x 2－3x －2）>1，log 2（x 2＋2x ＋1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －2>2，x 2＋2x ＋1＝1，解得x ＝－2.【答案】 (1)A (2)－2复数相等的充要条件复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解．[注意] 在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .若忽略前提条件，则结论不能成立．已知A ＝{1，2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1，3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解：由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，所以a ＝－ 1.1．若复数z ＝a i 2－b i(a ，b ∈R )是纯虚数，则一定有( ) A ．b ＝0 B ．a ＝0且b ≠0 C ．a ＝0或b ＝0D ．ab ≠0解析：选B.z ＝a i 2－b i ＝－a －b i ，由纯虚数的定义可得a ＝0且b ≠0. 2．若复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．1D ．－1或2解析：选D.因为复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数， 所以m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2.3．若复数z ＝(m ＋1)＋(m 2－9)i ＜0，则实数m 的值等于____________．解析：因为z ＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0，m ＋1＜0，解得m ＝－3.答案：－34．已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R )，则x ＝________．解析：因为x ∈R ，所以x 2－x －6x ＋1∈R ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，x ＋1≠0，解得x ＝3. 答案：3[A基础达标]1．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是()A．1－i B．1＋iC．－3＋3i D．3＋3i解析：选A.－3＋i的虚部为1，3i＋i2＝－1＋3i的实部为－1，故所求复数为1－i.2．在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则()A．a＝0或a＝2 B．a＝0C．a≠1且a≠2 D．a≠1或a≠2解析：选B.因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0.3．若x i－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋y i＝()A．－2＋i B．2＋iC．1－2i D．1＋2i解析：选B.由i2＝－1，得x i－i2＝1＋x i，则由题意得1＋x i＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋y i＝2＋i.4．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是()A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－bC．a>0且a≠b D．a≤0解析：选D.复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0，故选D.5．下列命题：①若z＝a＋b i，则仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；②若z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选A.在①中未对z＝a＋b i中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z21＋z22＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误；在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．故选A.6．如果x－1＋y i与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝________，y＝________．解析：由复数相等可知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝1.答案：1417．复数z 1＝(2m ＋7)＋(m 2－2)i ，z 2＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i ，m ∈R ，若z 1＝z 2，则m ＝________. 解析：因为m ∈R ，z 1＝z 2，所以(2m ＋7)＋(m 2－2)i ＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋7＝m 2－8，m 2－2＝4m ＋3，解得m ＝5. 答案：58．设z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R )是虚数，则m 的取值范围是________．解析：因为z 为虚数，所以log 12(3－m )≠0，故⎩⎪⎨⎪⎧1＋m >0，3－m ≠1，3－m >0，解得－1<m <3且m ≠2. 答案：(－1，2)∪(2，3)9．已知复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i(m ∈R )． (1)若复数z 是实数，求实数m 的值； (2)若复数z 是虚数，求实数m 的取值范围； (3)若复数z 是纯虚数，求实数m 的值； (4)若复数z 是0，求实数m 的值．解：(1)当m 2－2m －15＝0时，复数z 为实数， 所以m ＝5或－3.(2)当m 2－2m －15≠0时，复数z 为虚数． 所以m ≠5且m ≠－3.所以实数m 的取值范围为{m |m ≠5且m ≠－3}．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15≠0，m 2＋5m ＋6＝0时，复数z 是纯虚数，所以m ＝－2.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15＝0，m 2＋5m ＋6＝0时，复数z 是0，所以m ＝－3.10．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x ＋32＋2（y ＋1）i ＝y ＋4x i ，（2x ＋ay ）－（4x －y ＋b ）i ＝9－8i有实数解，求实数a ，b 的值． 解：设(x 0，y 0)是方程组的实数解，由已知及复数相等的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋32＝y 0 ①，2（y 0＋1）＝4x 0②，2x 0＋ay 0＝9 ③，－（4x 0－y 0＋b ）＝－8④，由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝52，y 0＝4，代入③④得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以实数a ，b 的值分别为1，2.[B 能力提升]11．“复数4－a 2＋(1－a ＋a 2)i(a ∈R )是纯虚数”是“a ＝－2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为1－a ＋a 2＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34＞0，所以若复数4－a 2＋(1－a ＋a 2)i(a ∈R )是纯虚数，则4－a 2＝0，即a ＝±2；当a ＝－2时，4－a 2＋(1－a ＋a 2)i ＝7i 为纯虚数，故选B.12．满足方程x 2－2x －3＋(9y 2－6y ＋1)i ＝0的实数对(x ，y )表示的点的个数为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3＝0，9y 2－6y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝13.所以实数对(x ，y )表示的点有⎝⎛⎭⎫3，13，⎝⎛⎭⎫－1，13，共有2个． 答案：213．已知复数z ＝m 2＋3m ＋1＋(m 2＋5m ＋6)i<0(m ∈R )，则m 的值为________． 解析：因为z <0，所以z ∈R ，所以m 2＋5m ＋6＝0， 解得m ＝－2或m ＝－3.当m ＝－3时，z ＝1>0，不符合题意，舍去； 当m ＝－2时，z ＝－1<0，符合题意． 故m 的值为－2. 答案：－214．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i ，8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}，且M ∩N M ，M ∩N ≠∅，求整数a ，b 的值．解：若M ∩N ＝{3i}，则(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，即a ＋3＝0且b 2－1＝3，得a ＝－3，b ＝±2.当a ＝－3，b ＝－2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8}，M ∩N ＝M ，不合题意，舍去； 当a ＝－3，b ＝2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8＋4i}．符合题意． 所以a ＝－3，b ＝2.若M ∩N ＝{8}，则8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ， 即a 2－1＝8且b ＋2＝0，得a ＝±3，b ＝－2. 当a ＝－3，b ＝－2时，不合题意，舍去；当a ＝3，b ＝－2时，M ＝{6＋3i ，8}，N ＝{3i ，8}，符合题意． 所以a ＝3，b ＝－2.若M ∩N ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i}＝{(a 2－1)＋(b ＋2)i}，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝a 2－1，b 2－1＝b ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －4＝0，b 2－b －3＝0，此方程组无整数解． 综上可得a ＝－3，b ＝2或a ＝3，b ＝－2.[C 拓展探究]15．已知复数z 1＝－a 2＋2a ＋a i ，z 2＝2xy ＋(x －y )i ，其中a ，x ，y ∈R ，且z 1＝z 2，求3x ＋y 的取值范围．解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋2a ＝2xy a ＝x －y，消去a ，得x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法一：令t ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋t .分析知圆心(1，－1)到直线3x ＋y －t ＝0的距离d ＝|2－t |10≤2， 解得2－25≤t ≤2＋25，即3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．法二：令⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos α，y ＋1＝2sin α， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α＋1，y ＝2sin α－1.(α∈R ) 所以3x ＋y ＝2sin α＋32cos α＋2＝25sin(α＋φ)＋2(其中tan φ＝3)，于是3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋2 5 ]．。
复数.知识框架
数系的扩充与复数的引入要求层次 重难点复数的基本概念，复数相等的条件B 了解数系的扩充的基本过程与复数的概念；掌握复数的几何意义与复数的代数形式的四则运算法则复数的代数表示法及几何意义A 复数代数形式的四则运算C 复数代数形式加减法的几何意义A一、复数的概念1.虚数单位i:(1)它的平方等于1-，即2i 1=-;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. (3)i 与－1的关系:知识内容高考要求模块框架复数i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i. (4)i 的周期性：41i i n +=, 42i 1n +=-, 43i i n +=-, 4i 1n =.2．数系的扩充：复数(0)i i(0)i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 3.复数的定义：形如i(,)a b a b +∈R 的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫 做复数集，用字母C 表示4.复数的代数形式:复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式.5.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当0b =时，复数(,)a bi a b R +∈是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数06.复数集与其它数集之间的关系：N ZQ RC 苘苘7.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果a ，b ， c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+⇔a c =,b d =二、复数的几何意义1.复平面、实轴、虚轴：复数i(,)z a b a b =+∈R 与有序实数对(),a b 是一一对应关系.建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i(,)z a b a b =+∈R 可用点(),Z a b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.2.对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()0,0，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 3..三、复数的四则运算1.复数1z 与2z 的和的定义：12z z +=()()i i a b c d +++=()()i a c b d +++2.复数1z 与2z 的差的定义：12z z -=()()i i a b c d +-+=()()i a c b d -+-3.复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+4.复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++5.乘法运算规则：设1i z a b =+，2i z c d =+(a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数， 那么它们的积()()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 6.乘法运算律：(1)()()123123z z z z z z = (2)123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ (3)()1231213z z z z z z z +=+ 7.复数除法定义：满足()()()i i i c d x y a b ++=+的复数i x y +(x 、y ∈R )叫复数i a b +除以复数i c d +的商，记为：()(i)i a b c d +÷+或者iia b c d ++ 8.除法运算规则：设复数i a b + (a 、b ∈R )，除以i c d + (c ，d ∈R )，其商为i x y +（x 、y ∈R )， 即()(i)i i a b c d x y +÷+=+∵()()()()i i i x y c d cx dy dx cy ++=-++ ∴()()i i cx dy dx cy a b -++=+由复数相等定义可知⎩⎨⎧=+=-.,b cy dx a dy cx 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=.,2222d c ad bc y d c bd ac x于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222i ac bd bc adc d c d +-=+++②利用()()22i i c d c d c d +-=+于是将iia b c d ++的分母有理化得： 原式22i (i)(i)[i (i)]()ii (i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d ++-+⋅-+-===++-+ 222222()()i i ac bd bc ad ac bd bc adc d c d c d ++-+-==++++.∴(()(i)i a b c d +÷+=2222i ac bd bc adc d c d +-+++ 点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数i c d +与复数i c d -，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积 为1是有理数，而()()22i i c d c d c d +-=+是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法. 9.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
复数及其几何意义
复数及其几何意义核心知识点一：数系的扩充及复数的引入1. 数系的扩充自然数2. 复数的概念：（1）定义：形如a ＋b i （a ，b ∈R）的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部。
（2）表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ），这一表示形式叫做复数的代数形式。
3. 复数的分类：复数(,)a bi a R b R +∈∈中，当0b =，就是实数；0b ≠，叫做虚数；当0,0a b =≠时，叫做纯虚数。
4. 复数集：（1）定义：全体复数所构成的集合叫做复数集。
（2）表示：通常用大写字母C 表示。
（3）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系：5. 复数相等的充要条件：复数相等：如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等。
核心知识点二：复数的几何意义1. 复平面思考：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？提示：不正确。
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为（0，0），它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数。
2. 复数的几何意义3. 复数的模（1）定义：向量OZ 的模叫做复数z ＝a ＋bi 的模。
（2）记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|且|z |＝22b a +。
例题1 已知复数z ＝1672-+-a a a ＋（a 2－5a －6）i （a ∈R ），试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。
解：（1）当z 为实数时，则⎪⎩⎪⎨⎧≠-=--,01,06522a a a ∴⎩⎨⎧±≠=-=,1,61a a a 或∴当a ＝6时，z 为实数。
（2）当z 为虚数时，则⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠--,01,06522a a a ∴⎩⎨⎧±≠≠-=,1,61a a a 且 ∴当a ≠±1且a ≠6时，z 为虚数。
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数系的扩充和复数概念和公式总结1.虚数单位:ii=-它的平方等于-1，即21i i2. 与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－ii i i i i3. 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1+∈a b4.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数a bi ab R(,)全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示 复数通常用字母z表=+∈示，即(,)z a bi a b R+∈a bi ab R(,)5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；a≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们⇔如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都 当两个复数不全是实数时不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴，y 轴叫做实轴上的点都表示实数 （1（2（3）原点对应的有序实数对为(0，0)设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，8．复数z 1与z 2的加法运算律：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .9.复数z 1与z 2的减法运算律：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .10.复数z 1与z 2的乘法运算律：z 1·z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i .11.复数z 1与z 2的除法运算律：z 1÷z 2 =(a +bi )÷(c +di )=（分母实数i dc ad bc d c bd ac 2222+-+++化）12.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数的共轭复数为。
复数概念及公式总结
数系的扩充和复数概念1.虚数单位i：它的平方等于-1，即r=-l2.i与一1的关系：i就是一1的一个平方根，即方程.4一1的一个根，方程好=一1的另一个根是一匚3.i的周期性：4.复数的定义：形如a + bi(a,beR)的数叫复数，“叫复数的实部，人叫复数的虚部•全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示.复数通常用字母z表示，即z = u + bi(u,buR)5.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a + bi(aJ^R),当且仅当步。
时，复数出庭(a、虹R)是实数出当3尹0时，复数2=a^bi叫做虚数：当*0且占尹0时，歹位叫做纯虚数：a—0且5K0时，左切.叫做非纯虚数的纯虚数：当且仅当K步。
时，z就是实数0.(£>0—正实数• Z是实数nY访-2实数0c^.f)复数a+ bi•—负实数(d、b£R) 3=2“&疯，-—纯虚数机'地成虚数((洌MR)m非纯虚数的虚数5.复数集与其它数集之间的关系：N_Z_Q_R_C.6.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.如果a, b, c, dER,那么a+如.二垢&一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如果两个复数都是实数,就可以比较大小.当两个复数不全是实数时不能比较大小.7.复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a,纵坐标是如复数iGR)可用点2(% D表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平而，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.(1)实轴上的点都表示.(2)虚轴上的点都表示.(3)原点对应的有序实数对为(0, 0)设Zi=a^bi, z^edita、b、c、d£R)是任意两个复数，8.复数a与么的加法运算律：z i+z^(a+bi') + (c^di') = (a+c) + (brci) i.9.复数z* 与a 的减法运算律：21-^=(a+6j)-(c+a r i) = (a-c) + (Z>-e/l i.10. 复数 Zi 与勿的乘法运算律：Zi - z ：= (rbi)(c+di) =〈ac —bd) +〈bc+acf)i ・ 11. 复数么与场的除法运算律：12. 共貌复数： 通常记复数z 的共辆复数为Z o 例如z=3+5i 与z =3-5i 互为共钮复数 13. 共貌复数的性质(1)实数的共轴复数仍然是它本身 <2)Z-Z=|Z|2=|Z|2(3)两个共猊复数对应的点关于实轴对称特别地：1的立方根【复数高考题选(2011——2012)】 2-/ 3 4 3 4 43 1、 (2012 辽宁理)复数 一=()(A) 一一i (B) - + -i(C) 1--/ (D) 1 + -/2+i 5 5 55 55-1 + 3，2、 复数 ----- =()A2+i B 2-1 C l+2i D l-2i1 + z—3+i3、 (2012海南文)复数z=云厂的共钮复数是()(A) 2+i (B) 2-i (C) -1+i(D) -l-i24、 (2012全国卷理)下面是关于复数2 = ——的四个命题：其中的真命题为()-1 + ZPi ：|z| = 2 pqJip 3：z 的共轴复数为1 + ip 「z 的虚部为—114. 复数的两种几何意义：复数 Z = a+bi(a,beR)——应点Z(a,b) ---------- ►向量死--- 对应16. 复数的模：15几个常用结论(1)(1 + I )2=2/, (2) (l-i)2 =-2i复数Z =。
(完整版)复数知识点精心总结
复数知识点考试内容：复数的概念．复数的加法和减法．复数的乘法和除法．数系的扩充．考试要求：（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．1. ⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.⑵复数及其相关概念：① 复数—形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）；② 实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ；③ 虚数—当0≠b 时的复数a + b i ；④ 纯虚数—当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i.⑤ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示.⑶两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若21,z z 为复数，则ο1若021φz z +，则21z z -φ.（×）[21,z z 为复数，而不是实数] ο2若21z z π，则021πz z -.（√）②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件.（当22)(i b a =-，0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立）2. ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=.其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离.由上可得：复平面内以0z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程：）（00φr r z z =-. ⑵曲线方程的复数形式： ①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程.②21z z z z -=-表示线段21z z 的垂直平分线的方程. ③212121202Z Z z z a a a z z z z ，）表示以且（φφ=-+-为焦点，长半轴长为a 的椭圆的方程（若212z z a =，此方程表示线段21Z Z ，）.④），（2121202z z a a z z z z ππ=---表示以21Z Z ，为焦点，实半轴长为a 的双曲线方程（若212z z a =，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式：设21z z ，是不等于零的复数，则①212121z z z z z z +≤+≤-.左边取等号的条件是），且（012πλλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012φλλλR z z ∈=. ②212121z z z z z z +≤-≤-.左边取等号的条件是），（012φλλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012πλλλR z z ∈=. 注：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-Λ.3. 共轭复数的性质：z z = 2121z z z z +=+a z z 2=+，i 2b z z =-（=z a + b i ） 22||||z z z z ==⋅2121z z z z -=- 2121z z z z ⋅=⋅2121z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（02≠z ） n n z z )(= 注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] 4 ⑴①复数的乘方：)(...+∈⋅⋅=N n z z z z z nn 43421②对任何z ，21,z z C ∈及+∈N n m ,有③n n n n m n m n m n m z z z z z z z z z 2121)(,)(,⋅=⋅==⋅⋅+注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如1,142=-=i i 若由11)(212142===i i 就会得到11=-的错误结论.②在实数集成立的2||x x =. 当x 为虚数时，2||x x ≠，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：1,,1,,143424142=-=-==-=+++n n n n i i i i i i i)(,0321Z n i i i i n n n n ∈=++++++i i i i i i i i -=+-=-+±=±11,11,2)1(2 若ω是1的立方虚数根，即i 2321±-=ω，则 . 5. ⑴复数z 是实数及纯虚数的充要条件：①z z R z =⇔∈.②若0≠z ，z 是纯虚数0=+⇔z z .⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：||||z z =.6. ⑴复数的三角形式：)sin (cos θθi r z +=.辐角主值：θ适合于0≤θ＜π2的值，记作z arg .注：①z 为零时，z arg 可取)2,0[π内任意值.②辐角是多值的，都相差2π的整数倍.③设,+∈R a 则πππ23)arg(,2arg ,)arg(,0arg =-==-=ai ai a a . ⑵复数的代数形式与三角形式的互化：)sin (cos θθi r bi a +=+，22b a r +=，r b r a ==θθsin ,cos . ⑶几类三角式的标准形式：)]sin()[cos()sin (cos θθθϑ-+-=-i r i r)]sin()[cos()sin (cos θπθπθθ+++=+-i r i r)]sin()[cos()sin cos (θπθπθθ-+-=+-i r i r)]2sin()2[cos()cos (sin θπθπθθ-+-=+i r i r7. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 时，应注意下述问题： ①当R c b a ∈,,时，若∆＞0，则有二不等实数根a b x 22,1∆±-=；若∆=0，则有二相等实数根ab x 22,1-=；若∆＜0，则有二相等复数根a i b x 2||2,1∆±-=（2,1x 为共轭复数）. )(0,01,1,,121223Z n n n n ∈=++=++===++ωωωωωωωωωω②当c b a ,,不全为实数时，不能用∆方程根的情况.③不论c b a ,,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.8. 复数的三角形式运算：)]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222211θθθθθθθθ+++=+⋅+i r r i r i r )]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222211θθθθθθθθ-+-=++i r r i r i r 棣莫弗定理：)sin (cos )]sin (cos [θθθθn i n r i r n n +=+。
复数概念及公式总结
数系的扩充和复数概念和公式总结i:1.虚数单位它的平方等于-1,即i2i2.i与一1的关系:i就是一1的一个平方根，即方程x2=—1的一个根，方程x2=—1的另一个根是—i3.i 的周期性:i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1.4.复数的定义：形如a bi(a,b R)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部■全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示.复数通常用字母z表示，即z a bi(a,b R)5.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a bi(a,b R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b€ R)是实数a；当b^0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b^0时，z=bi 叫做纯虚数；a^ 0且b M 0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N^ZWQWR^C.6.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等•如果a，b，c，d€ R，那么a+bi=c+di a=c，b=d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小.当两个复数不全是实数时不能比较大小+7.复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b€ R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴+实轴上的点都表示实数.(1)实轴上的点都表示实数•(2)虚轴上的点都表示纯虚数•(3)原点对应的有序实数对为(0, 0)设Z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d€ R)是任意两个复数，8.复数z1 与z2 的加法运算律：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.9.复数Z1 与z的减法运算律：Z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.11.复数Z 1与z 2的除法运算律： 乙十z 2=(a+bi)* (c+di)= _卑 ■^C _ i (分母实数化) c d c d 12.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数 虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数• 通常记复数z 的共轭复数为z 。
复数知识点总结
复数一、数系的扩充和复数的概念：1.复数的定义：形如),(R b a bi a ∈+的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位。
其中a 叫作复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(其中12-=i )。
2.复数分类：复数⎩⎨⎧=≠=∈+)0)(0()0(),(时为纯虚数当虚数实数a b b R b a bi a 。
3.数集之间的关系：4.复数相等的充要条件：d b c a di c bi a ==⇔+=+且。
特别的：0,00,,==⇔=+∈b a bi a R b a 。
二、复数的几何意义：1.复平面：如图，点Z 的横坐标是a ,纵坐标是b ，复数bi a z +=可用点Z （a ，b ）表示。
这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴。
实轴上的点表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
2.复数与向量的对应：如图所示：复数−−−→←∈+=一一对应),(R b a bi a z 平面向量OZ , 这时复数的另一种几何意义。
3.复数的模：向量OZ 的模叫做复数),(R b a bi a ∈+的模或绝对值，记作z 或bi a +。
即22b a bi a z +=+=。
4.共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数称为共轭复数。
虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
复数z 的共轭复数用z 表示。
注意：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于x 轴对称。
三、复数的运算：设),,,(,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+=是任意两个复数。
复数的加法运算：i d b c a di c bi a z z )()()()(21+++=+++=+； 复数的减法运算：i d b c a di c bi a z z )()()()(21-+-=+-+=-； 复数的乘法运算：i bc ad bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+⋅+=⋅； 复数的除法运算：i d c ad bc d c bd ac di c bi a 2222+-+++=++；加法运算律：交换律：1221z z z z +=+；结合律：)()(321321z z z z z z ++=++；乘法运算律：交换律：1221z z z z ⋅=⋅；结合律：)()(321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅；乘法对加法的分配率:3121321)(z z z z z z z ⋅+⋅=+.四、复数的三角形式（选学）1.复数的代数形式转化为三角形式：代数形式),(R b a bi a z ∈+=可化为三角形式)sin (cos θθi r z +=。
(完整版)复数知识点精心总结
复数知识点考试内容：复数的概念.复数的加法和减法.复数的乘法和除法.数系的扩充.考试要求：(1)了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义.(2 )掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算.(3) 了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想.1•⑴复数的单位为i，它的平方等于一1，即i21.⑵复数及其相关概念：①复数一形如a + b i的数(其中a, b R);②实数一当b = 0时的复数a + b i，即a；③虚数一当b 0时的复数a + b i ；④纯虚数一当a = 0且b 0时的复数a + b i，即b i.⑤复数a + b i的实部与虚部一a叫做复数的实部，b叫做虚部(注意a, b都是实数)⑥复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.⑶两个复数相等的定义：a bi c di a c且b d (其中，a, b, c, d, R)特别地a bi 0 a b 0.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小注：①若“，Z2为复数，则1若可Z2 0,则可Z2. (X) [Z「Z2为复数，而不是实数] 2 若Z1 Z2，则Z1 Z2 0. (V)(c a)20是a b c的必要不充分条件.(当②若a,b,c C ,贝y (a b)2 (b c)22 2(a b) i ,(b c)21, (c a)20时，上式成立)2.⑴复平面内的两点间距离公式： d Z1 Z2 .其中Z1 , Z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数，d表示Z1和Z2间的距离.由上可得：复平面内以Z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：Z Z0 r (r 0).⑵曲线方程的复数形式：①Z Z0 r表示以Z0为圆心，r为半径的圆的方程.Z Z1 Z Z2表示线段Z1Z2的垂直平分线的方程•Z Z1 Z Z2| 2a (a 0且2a |Z1Z2)表示以Z1, Z2为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程(若2a Z1Z2 ，此方程表示线段Z15Z2).Z Z1 Z Z2 2a (0 2a Z1Z2)'表示以Z1 , Z 2为焦点，实半轴长为a的双曲线方程(右2a |Z1Z2，此方程表示两条射线)⑶绝对值不等式：设Z1 , Z2是不等于零的复数，则① I|Z1 Z2 Z l Z2 Z l Z2 .左边取等号的条件Z2 Z1 ( R, 0).是Z2 Z1 ( R,且0),右边取等② |z i |Z2| |Z1 Z2| |Z1 Z2 .左边取等号的条件是Z2Z1 ( R, 0),右边取等号的条件是Z2 Z1R，0). 注: A1A2 A2 A3 A3A4 A n 1A n A1 A n3.共轭复数的性质:Z1 Z2 Z1 Z2Z Z 2a，Z Z 2bi ( Z b i) _ 2 _ 2 Z Z |Z||Z|Z1 Z2 Z1 Z2 Z1 Z2 Z1 Z2Z1 Z1 Z2 Z2(Z2 0 )n nZ (Z)注：两个共轭复数之差是纯虚数(X)［之差可能为零，此时两个复数是相等的n4⑴①复数的乘方：Z Z乙.z(n N②对任何Z , Z1 , Z2 C及m, n N有— mn mn , m n mn, 、n ③ Z Z Z ,(Z ) Z ,(Z1 Z2)n n Z1 Z2注：①以上结论不能拓展到分数指数幕的形式, 否则会得到荒谬的结果，如i21,i41若由1 1i2 (i4)' 12 1就会得到1 1的错误结论•②在实数集成立的|x| X2.当X为虚数时，|x| X2，所以复数集内解方程不能采用两边平方法•⑵常用的结论:.211,.4n 11..4n 21,11,i4n3i,i4n 1■ n i ■ ni1 . ni2 . n 3i0, (n Z)(1i)22i,1i . 1 i i,i1i 1 i若是 1 的\立方虚数根，即 1 33 1,丄1 2—J 1n 1n 2 0(n Z)2 2则2>0, n5. ⑴复数z是实数及纯虚数的充要条件：①z R z z.②若z 0，z是纯虚数z z 0.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数•特例：零向量的方向是任意的，其模为零•注: |z| |z|.6. ⑴复数的三角形式：z r(cos i sin ).辐角主值：适合于O w v 2的值，记作argz.注：①z为零时，argz可取［0,2 )内任意值.②辐角是多值的，都相差2的整数倍.3③设 a R ,则arg a O,arg( a) , arg ai , arg( ai) .2 2⑵复数的代数形式与三角形式的互化：2 2 a ba bi r(cos i sin ) , r ab , cos — ,sin 一.r r⑶几类三角式的标准形式：r(cos i sin ) r[cos( ) i sin()]r(cos i sin)r[cos()i sin( )]r( cos i sin)r[cos()isi n( )]r(si n i cos )r[cos(—2)i sin(；)]27.复数集中解一元二次方程:在复数集内解关于X的兀二次方程ax2 bx c 0(a 0)时，应注意下述问题: ①当a,b, c R时，若> 0,则有二不等实数根X1,2b 2a 则有二相等复数根X1,2b2ab2aI■J " ( X1,2为共轭复数);若=0,则有二相等实数根② 当a,b,c 不全为实数时，不能用方程根的情况•③ 不论a, b,c 为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立 8.复数的三角形式运算：isin 2) r 2(cos 2 isin 2)r 1r 2[cos( 1i sin 2) r 1-L[cos( i 2) isin(i2)]i sin 2) r 2[r (cos isin )]n r n (cos n i sin n )r 1 (cos 1 r 1 (cos 1 r 2 (cos 2棣莫弗定理:2) isin( 1 2)]。
新教材高中数学第七章复数.数系的扩充和复数的概念课件新人教A版必修第二册
【解析】因为 x2－1＋(y＋1)i＞2x＋3＋(y2－1)i，
y＋1＝0，
所以
且 x2－1＞2x＋3，
y2－1＝＋ 5 ，
即实数 x，y 的取值范围是
x＜1－ 5 或 x＞1＋ 5 ，y＝－1.
复数中比较大小问题： 1．两个虚数不能比较大小． 2．若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数(即两个复数的虚部均为 0).
解得 x＝－2. 答案：－2
学情诊断·课堂测评
1．(2021·无锡高一检测)已知 a 是实数，则复数(a2－2a)＋(a2＋a－6)i 为纯虚数的 充要条件是( ) A．a＝0 或 a＝2 B．a＝0 C．a∈R 且 a≠2 且 a≠－3 D．a∈R，且 a≠2
【解析】选 B.因为 a 是实数，则复数(a2－2a)＋(a2＋a－6)i 为纯虚数需满足
a2－2a＝0
，解得 a＝0.
a2＋a－6≠0
2．以 3i－1 的虚部为实部，以－2＋i 的实部为虚部的复数是( ) A．－2＋3i B．－3＋i C．－2i＋3 D．1－3i 【解析】选 C.3i－1 的虚部为 3，－2＋i 的实部为－2，故以 3i－1 的虚部为实部， 以－2＋i 的实部为虚部的复数是 3－2i.
1．本质：复数是数系的扩充，复数集是对实数集的扩展． 2．混淆：复数与实数不一样，两个复数不能比较大小． 3．对复数概念的三点说明 (1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成 a＋bi(a，b∈R)的形式，其中 0 ＝0＋0i. (2)复数的虚部是实数 b 而非 bi. (3)复数 z＝a＋bi 只有在 a，b∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．
2．若 a∈R，i 为虚数单位，则“a＝1”是“复数(a－1)(a＋2)＋(a＋3)i 为纯虚数”的
复数的几何意义s
5、若a是任意实数，则复数z=a2-2a+4+(a2-a+4)i所对应的点一定于（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 6、在复平面上，P到复数-1/3+3i的对应点F的距离与到直线l:3x+1`=0的距离相等，则点P的轨迹是（ ） A 抛物线 B 双曲线 C 椭圆 D 直线 7、复数-5+6i的实部是 ，虚部是 。 8、若（x-2y）+(2x+3y)i=3-2i，其中x,y属于R，则x= ,y= . 9、下列复数：2+√3，0.618，i2，5i+2，i√2，其中实数有 10、若cosθ+(m-sinθ-cosθ)i不可能是实数，则m的取值范围是 。
知识引入
你能否找到用来表示复数的几何模型呢？
x
o
1
实数可以用数轴上的点来表示。
一一对应
规定了正方向，
直线
数轴
原点，
单位长度
实数
数轴上的点
(形)
(数)
(几何模型)
一个复数由什么唯一确定？
01
Z=a+bi(a, b∈R)
02
实部!
03
虚部!
04Biblioteka 复数z=a+bi05
有序实数对(a,b)
06
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
平面向量
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
平面向量
如果点Ａ关于实轴的对称点为Ｂ,求向量OB对应的复数；
如果（１）中点B关于虚轴的对称点Ｃ, 求点Ｃ对应的复数。
例3在复平面内，O是原点，向量ＯＡ对应的复数是2+i。
数的扩充的理解
数的扩充的理解数的扩充是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们更好地理解数的运算和表示。
在数的扩充中，我们将讨论整数、有理数和实数的扩充，以及扩充数的运算和表示方法。
我们来讨论整数的扩充。
在整数的基础上，我们引入了负无穷大和正无穷大这两个概念。
负无穷大表示比任何负整数都小的数，而正无穷大表示比任何正整数都大的数。
这样一来，我们可以将整数的范围扩展到负无穷大和正无穷大之间。
在整数的扩充中，我们可以进行加法、减法、乘法和除法等运算，同时也可以用符号表示整数的扩充。
接下来，我们讨论有理数的扩充。
有理数是可以表示为两个整数的比例的数，包括正有理数、负有理数和零。
在有理数的基础上，我们引入了无理数这个概念。
无理数是不能表示为两个整数的比例的数，如π和√2等。
有理数和无理数的集合组成了实数集。
在有理数的扩充中，我们可以进行加法、减法、乘法和除法等运算，同时也可以用符号表示有理数和无理数的扩充。
在实数的扩充中，我们引入了复数这个概念。
复数是由实数和虚数构成的数，其中虚数是不能表示为实数的数，如i。
复数可以表示为a+bi的形式，其中a是实数部分，b是虚数部分。
在复数的扩充中，我们可以进行加法、减法、乘法和除法等运算，同时也可以用符号表示复数的扩充。
在数的扩充中，我们还可以讨论数列的扩充。
数列是按一定规律排列的数的集合。
在数列的扩充中，我们可以引入极限这个概念。
极限是数列中的数随着序号的增大而趋于某个确定的数。
通过对数列的扩充和极限的引入，我们可以更好地理解数列的性质和收敛性。
总结一下，数的扩充是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们更好地理解数的运算和表示。
在数的扩充中，我们讨论了整数、有理数和实数的扩充，以及扩充数的运算和表示方法。
通过对数的扩充的理解，我们可以更深入地研究数学中的各种问题，提高我们的数学思维能力和解决问题的能力。
第五章复数（讲义+典型例题）（原卷板）
第五章复数（讲义+典型例题）一．数系的扩充和复数的概念1.复数的定义：设i 为方程21x =-的根，i 称为虚数单位，形如()a bi a b R +∈、的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用C 来表示.a 为实部，b 为虚部2．复数集整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩例1（1）．（2021·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）已知a ∈R ，若复数2i z a a a =++（i 是虚数单位）是纯虚数，则=a （ ）A ．0B ．1C ．1-D ．2（2）．（2021·全国·模拟预测）设i 是虚数单位，则下列是虚数的是（ ） A ．fB ．gC ．hD ．i举一反三（1）．（2021·广东佛山·模拟预测）在复数范围内方程230x +=的解为（ ） A ．3i -B 3iC ．3i ±D ．3（2）．（2021·福建泉州·一模）已知i 是虚数单位，则“i a =”是“21a =-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二．复数的几何意义1. 复平面在直角坐标系里，点z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴．2.复数的坐标表示 点(,)Z a b3.复数的向量表示 向量OZ ．4.复数的模在复平面内，复数i z a b =+对应点(,)Z a b ，点Z 到原点的距离OZ 叫做复数z 的模，记作z ．由定义知，22z a b =+．例2（1）．（2021·四川自贡·一模（理））复数(3)i z a a =+-（a ∈R ，i 为虚数单位），在复平面内所对应的点在2y x =上，则||z =（ ） A ．3B ．5C ．7D ．10（2）．（2021·全国·模拟预测）已知i 是虚数单位，复数3i2iz -=+的共轭复数在复平面中对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限举一反三（1）．（山东省大教育联盟学校2021-2022学年高三下学期收心考试（开学考试）数学试题）已知a ∈R ，若在复平面内复数185i z =+与24i z a =+对应的两点之间的距离为4，则=a （ ）． A ．4B ．5C ．6D ．81（2）．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））已知复数z 满足34i z z =+，则=z （ ） A ．1B 5C 10D ．5复数bia z +=复平面 内的点 Z （a,b ）平面向量OZ（3）．（2022·上海市崇明区横沙中学高一期末）若复数(2)(2)i,(R)z m m m =++-∈在复平面上对应的点在第四象限，则m 的取值范围是__．(4)．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知复数()()226832i z m m m m =-++-+，其中i 是虚数单位，m 为实数．(1)当复数z 为纯虚数时，求m 的值；(2)当复数i z ⋅在复平面内对应的点位于第三象限时，求m 的取值范围．三． 两个复数相等的定义：a bi c di a c +=+⇔=且b d =（其中a b c d R ∈，，，，）特别地，00a bi a b +=⇔==.例3（2022·浙江·模拟预测）设2,1i i a R a a ∈+=+（i 为虚数单位），则a ＝（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．1或－1举一反三(1)．（2021江苏无锡·模拟预测）已知,x y R ∈，且32x i yi +=+，则,x y 的值分别为（ ） A ．21,3B ．3,1C ．2,13D ．1,3（2）（2021·河南·模拟预测（文））已知a 、R b ∈，()()()12i 131i a a b -+=-+-，则（ ）A ．2b a =-B ．2b a =C ．2a b =-D ．2a b =四．共轭复数若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；【注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]】若z=a+bi ，则z a bi =+的共轭复数记作z a bi =-；例4.（2019·全国·高考真题（理））设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限举一反三(1)．（2021·浙江·模拟预测）复数1i +（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面中对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)．（2021·黑龙江·哈九中模拟预测（理））满足条件34z i i -=+的复数z 的共轭复数在复平面上对应的点所在象限是（ ） A ．一B ．二C ．三D ．四五．复数的加减运算 设111z a b i =+，222z a b i =+（1）加法：()()121212z z a a b b i +=+++，即实部与实部相加，虚部与虚部相加；几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．例5（2020·上海普陀·三模）在复平面内，点()2,1A -对应的复数z ，则1z +=___________举一反三（1）．（2022·全国·高一课时练习）已知复数1234i,34i z z =+=-，则12z z +等于( ) A ．8i B ．6 C ．68i + D ．68i -（2）．（2022·全国·高一）如图所示，已知复数111i z a b =+，()2221122i ,,,z a b a b a b R =+∈所对应的向量()11,OA a b =，()22,OB a b =，它们的和为向量OC ．请根据两个向量相加的运算写出对应的复数运算过程．（2）减法：()()121212z z a a b b i -=-+-，即实部与实部相减，虚部与虚部相减；几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==--．2212()()i ()()z z a c b d a c b d -=-+-=-+-表示1Z 、2Z 两点之间的距离，也等于向量12Z Z 的模．例6（1）（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -（2）（2022·四川省高县中学校模拟预测（文））在复平面内，O 为原点，四边形OABC 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若131,2i ==-+z z ，则z 2=（ ） A ．1+iB ．1－iC ．－1+iD ．－1－i举一反三（1）．（2022·河南·模拟预测（理））已知3225i z z -=-，则z =（ ） A ．2i - B ．2i + C ．2i --D ．2i -+（2）．（2021·山东章丘·模拟预测）复数z 1，z 2满足z 1∈R ，2121,2z i z z =+-z 1＝（ ） A ．1B ．2C ．0或2D ．1或2六、复数的乘除运算 设111z a b i =+，222z a b i =+（1）乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ ， 特别22z z a b ⋅=+；例7（1）．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +（2）．（2019·北京·高考真题（理））已知复数z =2+i ，则z z ⋅= A 3B 5C ．3D ．5举一反三（1）．（2022·浙江·模拟预测）复数()i 2i z =-（i 为虚数单位）的共扼复数在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2）．（2022·山西临汾·一模（理））已知a ，R b ∈，i 是虚数单位.若i 3i a b +=-，则()2i b a -（ ） A ．106i +B ．86i -+C ．96i -D ．86i -（3）．（2022·四川攀枝花·二模（理））若复数()()2i 1i z b b R =+∈的实部与虚部相等，则b 的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．2（2）除法c diz a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：()()22ac bd ad bc ic di c di a bi z a bi a bi a bi a b++-++-==⋅=++-+； （3四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。
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3.1.1复数的扩充与复数的概念
【教学目标】
1、在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
2、了解数学内部解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的分类表；
3、理解复数的有关概念以及符号表示；
4、掌握复数的代数表示形式及其有关概念。
【教学重点】引进虚数单位i 的必要性、对i 的规定以及复数的有关概念。
【教学难点】复数概念的理解。
【教学过程】
1、对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结）： 自然数 整数 有理数 无理数 实数
2、提出问题：
我们知道，对于实系数一元二次方程012=+x ，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？
3、组织讨论，研究问题：
我们说，实系数一元二次方程012=+x 没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？
组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题就是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1。
4、引入新数i ，并给出它的两条性质：
根据前面讨论的结果，我们引入一个新数i ，i 叫做虚数单位，并规定：
（1）12-=i ；
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．
有了前面的讨论，引入新数i ，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是i ±）．
5、提出复数的概念
根据虚数单位i 的第（2）条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成bi a +这样，数的范围又
扩充了，出现了形如 )R ,(∈+b a bi a 的数，我们把它们叫做复数．
全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示，显然有： N*N Z Q R C 。
巩固练习：（1）、下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？ 2+7,0.618,72,0,2i ,)31(-i ,5i +8,3-9i 2 （2）、判断下列命题是否正确：
○
1若a 、b 为实数，则Z=a+bi 为虚数 ○
2若b 为实数，则Z=bi 必为纯虚数 ○
3若a 为实数，则Z= a 一定不是虚 例1、 实数m 分别取什么值时，复数z ＝m+1＋(m-1)i
是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
分析：因为m ∈R ，所以m+1，m-1都是实数，由复数z ＝a ＋bi 是实、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数x 的值．
练习：实数m 分别取什么值时，复数
z ＝m 2+m-2＋(m 2-1)i
是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
6、提出两个复数相等的定义，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等。
也就是
由此容易得出：
例2、已知i y y i x )3()12(--=+-,其中，x,y ∈R ，求x 与y ．
分析：因为x ，y ∈R ，所以由两个复数相等的定义，可列出关于x ，y 的方程组，解这个方程组，可求出x ，y 的值．
练习：（1）若x,y 为实数，且i yi x y x 42)(22+=+++，求x 与y.
（2）若(2x 2-3x-2)+(x 2-5x+6)i=0，求x 的值.
7、归纳总结：
（1）、虚数单位i 的引入；
（2）、复数的代数形式：R b R a bi a z ∈∈+=,,其中；
（2）、复数的有关概念：虚数，纯虚数，实部、虚部、复数相等。
8、布置作业：习题3.1A 组 第1、2题。