复数的扩充与复数的概念

3.1.1复数的扩充与复数的概念

【教学目标】

1、在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

2、了解数学内部解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的分类表；

3、理解复数的有关概念以及符号表示；

4、掌握复数的代数表示形式及其有关概念。

【教学重点】引进虚数单位i 的必要性、对i 的规定以及复数的有关概念。

【教学难点】复数概念的理解。

【教学过程】

1、对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结）： 自然数 整数 有理数 无理数 实数

2、提出问题：

我们知道，对于实系数一元二次方程012=+x ，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？

3、组织讨论，研究问题：

我们说，实系数一元二次方程012=+x 没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？

组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题就是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1。

4、引入新数i ，并给出它的两条性质：

根据前面讨论的结果，我们引入一个新数i ，i 叫做虚数单位，并规定：

（1）12-=i ；

（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．

有了前面的讨论，引入新数i ，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是i ±）．

5、提出复数的概念

根据虚数单位i 的第（2）条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成bi a +这样，数的范围又

扩充了，出现了形如 )R ,(∈+b a bi a 的数，我们把它们叫做复数．

全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示，显然有： N*N Z Q R C 。

巩固练习：（1）、下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？ 2+7,0.618,72,0,2i ,)31(-i ,5i +8,3-9i 2 （2）、判断下列命题是否正确：

○

1若a 、b 为实数，则Z=a+bi 为虚数 ○

2若b 为实数，则Z=bi 必为纯虚数 ○

3若a 为实数，则Z= a 一定不是虚 例1、 实数m 分别取什么值时，复数z ＝m+1＋(m-1)i

是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？

分析：因为m ∈R ，所以m+1，m-1都是实数，由复数z ＝a ＋bi 是实、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数x 的值．

练习：实数m 分别取什么值时，复数

z ＝m 2+m-2＋(m 2-1)i

是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？

6、提出两个复数相等的定义，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等。也就是

由此容易得出：

例2、已知i y y i x )3()12(--=+-,其中，x,y ∈R ，求x 与y ．

分析：因为x ，y ∈R ，所以由两个复数相等的定义，可列出关于x ，y 的方程组，解这个方程组，可求出x ，y 的值．

练习：（1）若x,y 为实数，且i yi x y x 42)(22+=+++，求x 与y.

（2）若(2x 2-3x-2)+(x 2-5x+6)i=0，求x 的值.

7、归纳总结：

（1）、虚数单位i 的引入；

（2）、复数的代数形式：R b R a bi a z ∈∈+=,,其中；

（2）、复数的有关概念：虚数，纯虚数，实部、虚部、复数相等。

8、布置作业：习题3.1A 组 第1、2题