4[1].8相似多边形的性质(2)

AM AB E . (相似三角形对应边成比例).N DN DE
F
即,相似三角形对应角平分线的比等于相似比..
你还记得相似三角形对应中线的比与相似 比的关系及其理由吗? 相似三角形对应中线的比等于相似比.理由是: A 如图∵△ABC∽△DEF. AB BC ∴∠B =∠E, DE EF . B
常用的成比例的线段有: 2 AC AD AB; 2 BC BD AB;


例题、如图所示,在等腰△ABC中,底 边BC=60cm,高 AD=40cm,四边形 PQRS是正方形. (1). △ASR与△ABC相似吗?为什么? B (2).求正方形PQRSR的边长. 解:(1) △ASR∽△ABC.理由是:
注意： 要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上. 反之,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！ 由于相似三角形与其位置无关,因此,能否弄清对应是正
确解答的前提和关键.
判定两个三角形相似的方法: 两角对应相等的两个三角形相似. 三边对应成比例的两个三角形相似. 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形

如果两个相似三角形的相似 比是k ,通过上面的活动,你 得出了什似比的平方.
A C

B
A′
C′
B′
如图,如果△ABC∽△A′B′C′,且
AB k. AB
S 那么, S
ABC
k .
2
AB C
这个结论在今后的学习中作用很大,若能理 解运用,则受益非浅.
C′ B
C
即,相似三角形周长的比等于相似比.
你还记得相似多边形周长的比与相似比的关系及其 理由吗? 相似多边形周长的比等于相似比.理由是: A B 如图∵六边形ABCDEF∽六边形 A1B1C1D1E1F1,且相似比是k. C F
相似多边形对应边成比例, 对应边的比叫做相似比 A1 AB BC CD DE EF FA k 等比.
N
F
你还记得相似三角形对应角平分线的比与相似 比的关系及其理由吗? 相似三角形对应角平分线的比等于相似比. A 理由是: 如图∵△ABC∽△DEF.∴∠B =∠E, ∠BAC=∠EDF.又∵AM,DN分别是 B C M D ∠BAC和∠EDF的角平分线. ∴∠BAM=∠EDN. ∴△AMB∽△DNE. (两角对应相等的两个三角形相似).
A1 B1 B1C1 C1 D1 D1 E1 E1 F1 F1 A1 六边形ABCDEF的周长 k. 六边形A1 B1C1 D1 E1 F1的周长
F1
AB BC CD DE EF FA 解 : k. E A1 B1 B1C1 C1 D1 D1E1 E1 F1 F1 A1
归纳提炼


相似多边形的性质: 相似三角形对应高的比,对应角平分线的比, 对应中线的比,对应周长的比都等于相似比. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形对应对角线的比等于相似比. 相似多边形对应三角形相似,且相似比等于 相似多边形的相似比. 相似多边形对应三角形面积的比等于相似多 边形的相似比的平方. 相似多边形面积的比等于相似比的平方.
如,常用的相等的角有：
∠A =∠DCB;∠B =∠ACD;
·
A · ·
让数学模型“双 垂直”三角形, 成为你的好友!
· ·
D
·B
即,有三对相似三角形. CD 2 AD DB; △ACD∽ △ABC AC BC AB CD. △CBD∽ △ABC △ACD∽ △CBD. 老师的建议:上面红色字表示出的关 系式,是几个重要的结论,若能理解记 忆并运用,将会促进能力的提高.
B E A
A E A C E D C
C
AD AE AD AE DB EC DB EC 那么 ;或 ;或 ;或 . DB EC AB AC AD AE AB AC
如图, 直角三角形斜边 上的高分直角三角形所 成的两个直角三角形与 原三角形相似.
C
根据上面的结论可得到 相等的角或对应成比例 的线段.
N F
你还记得相似三角形周长的比与相似比的关系 及其理由吗?
相似三角形周长的比等于相似比.理由是: 如图,在△ ABC与△ A′B′C′中, ∵△ABC∽△A′B′C′,且相 B′ 似比为k.
A′ A
AB AC BC k. (相似三角形对应边成比例, AB AC BC 对应边的比叫做相似比). AB AC BC k 等比 . AB AC BC
S
S
D
D′
1 AB CD AB CD 2 1 AB C D A B C D 2 CD 3 . AB C D 4
ABC ABC 2
ABC
ABC
1 AB CD; 2 1 AB C D. 2
平坦立交桥 点拨 (1)用一根线绳沿图中的外环路重 叠放置,此时线绳的长度就是外环 大阳泉 路的图上距离; (2)把图上的外环路近似地看作一 个矩形. 义井桥



某市城市广场,是一个因周边环境设计 建造的一个不规则多边形,具有和谐的 自然美.设计图的比例尺是1∶10 000. 图上多边形与实际多边形相似吗?如果 相似,它们的相似比是多少?图上多边形 与实际多边形的周长比是多少?面积呢?
C1
D1 D2
C2
B2
A1 B1 A2 相似多边形周长的比等于 相似比 , 对应对角线的比等于 相似比 , 对应三角形相似,且相似比等于 相似多边形的相似比 对应三角形面积的比等于 相似比的平方 ; 相似多边形面积的比等于 相似比的平方 .
,



下图是某市城区外环路示意图,比例尺为1∶100 000 (1)设法求出图上外环路的长度,并由此求出外环路的实际 长度; (2)估计外环路所围成的区域的面积.你是怎么做的?与同 伴交流.

(1).四边形A1B1C1D1与四 D 1 D2 边形A2B2C2D2周长的比 B2 是多少? A1 B1 A2 (2).连接相应的对角线 (3).设△A1B1C1, △A1C1D1, A1C1, A2C2所得的 △ A2B2C2, △ A2C2D2.的面积 △A1B1C1与△ A2B2C2相 分别是S△A1B1C1, S△A1C1D1, 似吗? S△A2B2C2, S△A2C2D2,那么, △A1C1D1与△ A2C2D2呢? S S 如果相似,它们的相似比各 , 各是多少 ? S S 是多少?
D
B1
C1 E1 D1
即,相似多边形周长的比等于相似比.

三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫做相似三角形(similar trianglec) 相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例. 相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应 中线的比，对应周长的比等于相似比. 相似比等于1的两个三角形全等.
又∵AM,DN分别是△ABC和△DEF的中线.
BM BC AB BM . . 且∠B =∠E. EN EF DE EN
M D
C
∴△AMB∽△DNE.(两边对应成比 例且夹角相等的两个三角形相似). 即,相似三角形对应中线的比等于相似比.
AM AB E . DN DE (相似三角形对应边成比例).
解得,x=24. 所以正方形PQRS的 边长为24cm.
亲历知识的发生和发展

C′
C B A′ B′

问题: 如果△ABC∽△A′B′C′它们 面积的比与相似比有什么关 系? A 如图, △ABC∽△A′B′C′,相 似比是k(如3∶4). (1)△ABC与△A′B′C′的面积 S 如何表示? S (2)△ABC与△A′B′C′的面积 的比是多少? AB 解:分别作高CD,C′D′,则
A1 B 1 C 1 A1 C 1 D 1 A 2 B 2 C 2 A 2 C 2 D 2
如图,四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2,且 相似比为k. C1
C2
(4).四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2.面积的比是多少?

如果把四边形换成五边形,那么结论又如何?
……? 换成n边形呢? 通过上面的活动,你得 出了什么结论?
你还记得相似三角形对应高的比与相似比的关 系及其理由吗? 相似三角形对应高的比等于相似比.理由是: A
如图∵△ABC∽△DEF.∴∠B =∠E. 又∵∠AMB =∠DNE =900. ∴△AMB∽△DNE. (两角对应相等的两个三角形相似).
B C
M D
AM AB . DN DE (相似三角形对应边成比例). E 即,相似三角形对应高的比等于相似比.
P130习题4.10 1,2题; P133习题4.11 1,2,3,4题. 祝你成功！
结束寄语
•
培养回顾联想已学知识,探索学 习后续知识的能力,可使每个有 自信心的人到达希望的顶峰.
两个极具代表性的相似 三角形基本模型： “A” 型和“X” 型 A
D B E C
AD AE DE . AB AC BC
若△ABC∽ △ADE,则 ∠BAC=∠DAE, ∠B=∠D, ∠C=∠E,
E
A B
D
AB AC BC . AD AE DE
C
如图, 已知△ABC, DE ∥ BC, 交AB,AC 或其延长线于D,E,则有如下结论: 结论1:平行于三角形一边直线截其它两边 (或其延长线),所截得的三角形与原三角形 D 相似; B 如图:在△ABC中, 如果DE∥BC，那么△ADE∽△ABC. B 结论2:平行于三角形一边直线截其它两边 (或其延长线),所得的对应线段成比例. D 如图:在△ABC中,如果DE∥BC，
∠ASR= ∠B ∠ARS= ∠C