2011年学而思几何模块杯赛考点强化班第二讲
小学奥数之分数问题
第一讲小升初·竞赛中的分数问题知识导航在分数式的计算应用问题中，主要包括以下几个方面的题型。
①和(差)倍问题。
具体表现为“已知分数的分子与分母的和(差)，和约分过后的结果，求原分数。
②变化类。
具体表现为“已知分数的分子与分母和(差)的关系，再告诉分子或分母变化后的结果，求原分数。
”③因数分解类。
具体表现为“已知最简真分数的分子与分母的积，求原分数的可能值。
”④中间分数计算类。
具体表现为“已知某分数在两个分数之间，求该分数的分子与分母的和的最小值。
”……精典例题例1：一个分数约分后是，若约分前分子与分母的和是40，那么约分前的分数是多少?思路点拨想一想：约分后是，你可以想到什么？你有几种方法来解答这个问题？(友情提示：从方程与算术两个角度来思考。
)模仿练习一个分数的分子与分母和是40，约分后是,那么这个分数原来是多少？例2：一个分数的分子与分母的和是19，加上这个分数的分数单位就是,这个分数是多少？（2006年成都外国语学校奖学金考试数学试题）3/16思路点拨想一想：加上这个分数的分数单位实际是分数中谁发生了变化？想明白后，再结合例1方法来思考一下，相信你能自己解答的！模仿练习一个分数的分子与分母之和是37，若分子减去1，分数值是,原分数是多少？(2007年成都外国语学校小语种数学试卷)例3：分子、分母相乘的积是2002的最简真分数共有多少个？(2005年成都七中育才东区衔接班招生考试题)思路点拨想一想：满足什么条件的分数才是最简真分数？再想一想对“分子、分母相乘的积是2002”的信息又应该怎样去理解？模仿练习一个最简真分数，分子与分母的积是24，这个真分数是多少？(成都外国语学校2011年“德瑞杯”知识竞赛数学试题)学以致用A 级 1.一个分数分子与分母的和是72，约分后是，这个原分数是多少？(2005年成都七中育才东区衔接班招生考试题)2.将分数的分子增加77后，如果要求分数的大小不变，分母应变为多少？(2010年成都七中嘉祥外国语学校6年级衔接班试题2)3.一个分数，分子、分母的和是2010，约成最简分数后是,这个分数是多少？（嘉祥外国语学校2011年5升6招生数学试题）B 级4.某分数分子分母的和为23，若分母增加17，此分数值为，原分数为多少？（成都实验外国语学校“德瑞教育发展基金会”2010年奖学金测试数学A 卷）5.分子与分母的乘积是156的最简真分数有多少个？（2008年成都嘉祥外国语衔接班招生考试题2）6.一个分数，分子与分母的和是75，若分子加上3，则可约简成,原来的分数是多少?（2007年成都七中育才东区衔接班招生考试题2）C 级7.m,n 为自然数，若＜＜，则m+n 的最小值是多少？（2007年成都七中育才东区衔接班招生考试题2）第二讲分数计算中的拆分知识导航分数计算中的拆分，又叫裂项计算。
2011年广州学而思华杯赛决赛100题
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“华杯赛”决赛集训试题（三）
一.填空题(每题 10 分，共 80 分)
1、 7 个连续质数从大到小排列是 a、 b、 c、 d、 e、 f、 g， 已知它们的和是偶数， 那么 c=______． 2、两个孩子在圆形跑道上从同一点 A 出发按相反方向运动，他们的速度是 5 米／秒和 9 米
12、如图，四边形 ABCD 中，E 为 BC 的中点，AE 与 BD 交于 F，且 F 是 BD 的中点，O
是 AC，BD 的交点，AF=2EF．三角形 AOD 的面积是 3 平方厘米，求四边形 ABCD 的面 积．
三.解答题(每题
15 分，共 30 分)
13、100 个人聚会，其中任意 12 个人中均有两个人彼此认识，现在随意将这 100 个人编号，号码都是自然数(但不一定是从 1 到 100)．证明必有两个认识的人， 他俩的号码以相同的数字开头(即最高位的数字相同)．
此只能按照如图的方式切， 但不能斜着切或横着切.要使得到的最小的那 30 厘米 块面积尽可能大，那么最小的面积为 平方厘米．
10 厘米 10 厘米
二.简答题(每题
10 分，共 40 分)
20 厘米
9、2002 年北京召开的国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的 直角三角形拼成的（直角边长为 2 和 3） 。则大正方形的面积是多少？
2011 年广州学而思华杯赛决赛 100 题
广州学而思小升初团队 2011 年 1 月
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2011 年广州学而思“华杯赛”决赛集训试题（一） 2011 年广州学而思“华杯赛”决赛集训试题（二） 2011 年广州学而思“华杯赛”决赛集训试题（三） 2011 年广州学而思“华杯赛”决赛集训试题（四） 2011 年广州学而思“华杯赛”决赛集训试题（五） 2011 年广州学而思“华杯赛”决赛集训试题（六） 2011 年广州学而思“华杯赛”决赛集训试题（七） 2011 年广州学而思“华杯赛”决赛集训试题（八） （3） （5） （7） （9） （11） （13） （15） （17）
学而思杯之图形模块
例6
(15年学而思杯样卷)如图，四边形 ABCD 内有一点 P到四条 边 AB、BC、CD、DA的距离 PE、PF、PM、 PN都等于 6 厘米。 如果四边形 ABCD的周长是 57 厘米，那么四边形 ABCD 的 面积是多少平方厘米。
57×6÷2=171（平方厘米）
例7
如图，由5个同样大小的正方形 组成了“T”字形，请你把 它分成形状相同、面积相等的 四部分。
正方形、对角线、中心， 等积变形
例 15
(14年学而思杯) 如下图，ABCD 和 ABEF 都是长方形， 如果长方形 ABEF 的面积是 30 平方厘米，那么阴影 部分的面积是多少平方厘米？
如何将阴影部分的面积 与 已知长方形的面积 建立联系呢？
等积变形！ 找平行线
【答案】15
例 16
如图，A、B、C都是正方形边的中点，三角形COD比三角形AOB大15平方厘米。 三角形AOB的面积为多少平方厘米？
B
A
E
H I
C
S△EFC= S△EFD ÷2=10÷2=5 S△BDE= S△CDE ×2=15×2=30 S△ABD= S△BDC ÷3=45÷3=15 S△ABC= 15+30+10+5=60
N B D E F G C
例 14
(13年学而思杯）如右图，正方形 ABCD 的边长为 12 厘米，正方形 DEFG 的边长为 8 厘米，H 是正方形 DEFG 的中心（对角线的交点），那阴 影部分的面积是多少平方厘米．
咦。。。大等腰直角三角形 的面积是多少呢？
36×2=72（平方厘米）
秘密就是继续分割网格化哦~ 72÷9×4=32（平方厘米）
例 13
如图：在三角形ABC中，DF=2AD=2FC,BE=2EC,已知三角形DEF的面积是10， 求三角形ABC的面积是多少？
学而思 小升初专项训练_几何篇(1)
名校真题 测试卷2 （几何篇一）时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________1 （06年清华附中考题）如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.2 （06年西城实验考题）四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图)如果小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，那麽直角三角形中，最短的直角边长度是______米.3 （05年101中学考题）一块三角形草坪前，工人王师傅正在用剪草机剪草坪．一看到小灵通，王师傅热情地招呼，说：“小灵通，听说你很会动脑筋，我也想问问你，这块草坪我把它分成东、西、南、北四部分(如图)．修剪西部、东部、南部各需10分钟，16分钟，20分钟．请你想一想修剪北部需要多少分钟？4 （05年三帆中学考题）右图中AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米.四边形ABDE的面积是平方厘米．5 (06年北大附中考题)三角形ABC中，C是直角，已知AC＝2，CD＝2,CB=3,AM=BM，那么三角形AMN（阴影部分）的面积为多少？【附答案】1 根据定理：ABCBED∆∆=3211⨯⨯=61，所以四边形ACDE的面积就是6-1=5份，这样三角形35÷5×6=42。
2 小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，所以外边四个面积和是5-1=4，所以每个三角形的面积是1，这个图形是“玄形”，所以长直角边和短直角边差就是中间正方形的边长，所以求出短边长就是1。
3 如下所示：将北部分成两个三角形，并标上字母201016x yBACD FE那么有⎩⎨⎧++)16()10(yxS △ABG ：S △AGC ＝S △AGE ：S △GEC ＝BE ：EC ； S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ； 有时把这种比例关系称之为燕尾定理．4 四边形AFDC 的面积=三角形AFD+三角形ADC=（21×FD ×AF ）+（21×AC ×CD ）=21（FE+ED ）×AF+21 （AB+BC ）×CD= （21×FE ×AF+21×ED ×AF ）+（21×AB ×CD+21×BC ×CD ）。
学而思七上第2讲绝对值几何意义突破
领先中考培优课程MATHEMATICS 2绝对值几何意义突破知识目标文案大全目标一熟练绝对值式子的几何意义——距离，理解最值的含义目标二掌握几何意义求多个绝对值之和的最小值的方法目标三掌握一般的绝对值式子求最值、定值的方法—一零点分段法思维引入——最值的含义知识导航最大值与最小值统称为最值，一个代数式一般能取到无数个值，我们把其中最大的值叫做最大值，最小的值叫做最小值，例如：当 x 等于任意数时，代数式x 2 能取到无数个值．但其中最小的值是0 ．因此可以说,仅当 x＝2时．x2 取得最小值为0 ；此时 x 2 可以无穷大．因此它没有最大值．当 1 ≤x≤3 时， 2x－ 3 能取到无数个值，但当x＝1时2x －3取得最小值为－1 ；当x＝ 3 时，2 x－3 取得最大值为 3 ．这里也可以描述为．当l≤x≤3时,－1≤2 x －3≤3．文案大全练习——最值的含义的理解1. 2x 的最小值是，当 x＝时它取得最小值；一 3 x 2，当 x＝的最大值是时它取得最大值；当 x＝时， (1 － 3 x)2 ＋ 2 取得最小值为；当 x＝时， 3 一x 1 取得最大值为；2. 先化简x 3 x 4 ，再求它的最值，并说明相应的x 的取围．3 ．先化简x 1 x 5 ，再求它的最值，并说明相应的x 的取值范围.总结归纳虽然“最值”这个概念是代数层面上的，通过代数计算来找最值是最本质的方法，但通过上面的练习不难发现，如果纯通过代数计算来找最值，有时过程会比较繁琐，计算量也较大，耗时又易错.初中知识两大主线——几何与代数各成体系又相辅相成，例如数轴就是用形来表示数，后面学习坐标系与函数后会有更多数与形的结合．现阶段，绝对值的代数运算意义和它在数轴上表示距离的几何意义，就架起了数与形的桥梁．灵活运用绝对值的代数意义与几何意义，文案大全融会贯通，就能使二者相得益彰，不仅能为解题带来很大帮助，这种思维间的转换对以后的学习也大有裨益．本讲要学习的主要就是仅含绝对值的式子求最值的方法——绝对值的几何意义．模块一绝对值的几何视角——距离知识导航通过前面的学习．我们对绝对值的代数意义已经很熟悉．a b( a b)a b ＜，这让我们看到b a(a b)一个含绝对值式子的第一反应就是，我们可以把它拆开．例如，当x1 这个式子出现在我们眼前，它就x 1(x1)被我们强迫症般的在脑海中变成了x 1．诚然，这种利用代数意义进行的转换在做绝对值1x( x＜1)化简时是必要且实用的．但在做最值类题型时反而绕了，转换为距离更简．实际上，前面我们已经多次接触了绝对值的几何意义，上一讲更是大量用到了绝对值来表示数轴上点的距离，因此当我们看到要“表示数轴上的距离”时．会不自觉的想到“可以用绝对值来表示”．反过来，我们也应该认识到，当一个绝对使式子出观时，它也代表着距离．例如，a 表示数轴上数a 对应的点到原点的距离，mn 的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离.所以，当 x1 这个式子出现在我们眼前，它还应该被我们强迫症般的在脑海中变成“这表示数轴上x 对应的点与1 对应的点之间的距离”．练习几何视角1. 1 2 的几何意义是数轴上表示－ 1 的点与表示 2 的点之间的距离，则 1 2 ＝；2 ．x 的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离：x ＝ 1 的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离是：3. a b 的几何意义是表示的点与表示的点之间的距离，且 a b b a ；a b 的几何意义是表示的点与表示的点之间的距离， a b a b ；4 ．x 2 的几何意义是数轴上表示点与表示点之间的距离；若x 2 ＝2，则x＝；5 ．当x＝－ 1 时，x 5 x 2 ＝，当 x＝时，x 5 x 2 ＝.例 1 ．文案大全(1) 数轴上四个点的位置关系如右图，且它们表示的数分别为p ,q ，r ，s．若pr10,p s 12, q s 9 则 q r ＝．(2)有理数 a、 b、 c、 d 各自对应着数轴上 X、 Y、 Z、 R 四个点，且它们满足以下三个条件：① b d 比 a b ， a c、a d 、b c 、c d 都大；② d a a c d c ；③ c 是 a、 b、 c、d 中第二大的数．则点X、 Y、 Z、 R 从左到右依次是.练满足 a b a b 成立的条件是( )．A． ab ≥0 B． ab ＞1 C. ab ≤0 D. ab ≤1模块二绝对值之和求最小值知识导航求 x 1 x2 的最小值；x 1 即数轴上x与1对应的点之间的距离，x 2 即数轴上x与2对应的点之间的距离，把这两个距离在同一个数轴上表示出来，然后把距离相加即可得原式的值.设A、B、P三点对应的数分别是1、 2、x.当 l≤x≤2时，即 P 点在线段 AB 上，此时x 1 x 2 PA PB AB 1；当 x＞2时，即 P 点在 B 点右侧，此时x 1 x2 ＝PA＋PB＝AB＋2PB＞AB；当 x ＜1时，即 P 点在 A 点左侧，此时x 1 x2 ＝PA＋PB＝AB＋2PA＞AB；文案大全综上可知，当 l＜ x＜2时（ P 点在线段 AB 上），x 1 x 2 取得最小值为 1 ．此结论可以推广：若已知以a＜ b ，则当 a≤x≤b 时，x a x b 取得最小值为b－a.题型一两个绝对值相加求最小值例 2（ 1 ）当 x 满足时 , x 5 x 200 取得最小值为；当 x 满足时 , x 3 x 4 取得最小值为；当 x 满足时， x 6 x 4 取得最小值为．（ 2 ）当－ 1 ≤x≤6 时， x 2 x 的最小值为,最大值为.（ 3 ）当 x 1 x 3 取得最小值时，试化简x 5 x 5 ＝．总结归纳绝对值的最值问题多以选填题的形式考察，上述绝对值几何意义的方法能迅速求解，但此法不能作为大题的解题步骤，所以一旦要求写大题步骤，只能使用零点分段法化简，分别求出每一段的取值范围，最后得到最值．练（ 1 ）当 x 满足时， x 8 x 取得最小值为；当 x 满足时． x 1x1取得最小值为．3 2（ 2 ）已知 x 为整数，且满足x x 4 4 ,则x的所有可能值之和为. （ 3 ）求 x 4 x 5 的最小值，并写出相应的x 的范围．文案大全挑战压轴题（ 2014武昌七校七上期中压轴题）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，例： 如图所示，点 A 、B 在数轴上分别对应的数为 a 、b ，则 A 、B 两点间的距离表示为ABa b ，根据以上 知识解题：(1) 若数轴上两点 A 、B 表示的数为 x 、－1.① A 、 B 之间的距离可用含 x 的式子表为； ②若该两点之间的距离为2,那么x 值为.(2) x 1 x 2 的最小值为，此时 x 的取值范围是；已知 x 1 x 2 y 3 y 2 15 ，求x －2 y 的最大值和最小值. 拓◆已知 x 2 1 x 9 y 5 1 y ，求x ＋y 的最值．题型二多个绝对值相加求最小值以四个绝对值之和为例，求x 1 x 2 x 3 x 4 的最小值；设 A 、 B 、C 、D 、P 五点对应的数分别为1、 2、3 、4 、x ，在数轴上画出各点，排 好序之后由远及近依次两两一组求和。
学而思2011年暑假超常123班难题汇总
学而思2011年暑假超常123班难题汇总第一讲 四边形中的基本图形1、【例8】长方形ABCD 中被嵌入了6个相同的正方形，已知AB ＝22厘米，BC ＝20厘米，那么每一个正方形的面积是多少平方厘米？【难度级别】★★★★★【解题思路】使用“弦图”求解。
什么叫“弦图”，解释一下。
一个斜着放的正方形，左右2个顶点做水平线，上下2个顶点做竖直线，可以将正方形分割成4个直角三角形和一个小正方形，如图。
这4个直角三角形是完全相同的。
假设直角三角形的长直角边长度为b ，短直角边长度为a ，斜边长度为c ，则a 平方+b 平方＝c 平方。
对题目图中的6个小正方形都做出弦图来，做完弦图后，仔细数一数，发现：上下的长度由(3a+2b)构成，左右的长度由(3a+b)构成，所以：3a+2b ＝22，3a+b ＝20。
求得：a ＝6，b ＝2。
【答案】6×6+2×2＝40。
课堂上，有一位同学，不会做但是懵对了，很神奇呀！DC2、【学案2】在四边形ABCD 中，线段BC 长为6厘米，∠ABC ＝90°，∠BCD ＝135°，且点A 到边CD的垂线段AE ＝12厘米，线段ED ＝5，求四边形ABCD的面积。
【难度级别】★★★★☆【解题思路】延长DC 和AB 相交于P ，三角形APD 的面积－三角形BPC 的面积，就是要求的四边形ABCD 的面积。
三角形BPC 是等腰直角三角形且BC 已知，面积可求。
三角形APD 的高AE 已知，求出底PD 即可，ED 已知，求PE ，三角形PEA 是等腰直角的，PE ＝AE 。
问题解决。
【答案】(12+5)×12÷2－6×6÷2＝843、【学案3】等腰梯形ABCD 中，交于O 点的两条对角线互相垂直，三角形ECB 是直角三角形，OC 比AO 长20厘米。
已知三角形ADE 的面积是250平方厘米，则梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？【难度级别】★★★★☆【解题思路】三角形BOC 、AOD 、EOC 均是等腰直角三角形，OE ＝OD+DE ＝OC ，OD ＝AO ，得到DE ＝20，由ADE 面积250，得到AO ＝25，所以OC ＝45，AC ＝25+45＝70，BD ＝70。
学而思初三数学秋季班第2讲.方程与函数思想.目标班.学生版
15初三秋季·第2讲·目标班·学生版中考内容中考要求A BC二次函数能结合实际问题情境了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象 能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题中考内容与要求满分晋级阶梯2方程与函数思想函数18级 期末复习之 二次函数与几何综合函数17级 二次函数的应用 函数16级 方程与函数思想16 初三秋季·第2讲·目标班·学生版二次函数在北京中考中属于必考考点，并且都以压轴题形式出现，是中考的难点，也是同学们失分最高的一部分。
这部分内容要求学生们⑴能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；⑵综合运用方程、几何、函数等知识解决实际问题。
年份 2011年 2012年 2013年 题号 7，8，23 8，23 10，23 分值11分11分9分考点抛物线顶点坐标；函数图象；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数与一元二次方程（判别式、求根）函数图象；二次函数的对称性；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标）；二次函数图象平移，利用函数图象求取值范围二次函数函数图象的性质；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数图像的对称性知识互联网中考考点分析17初三秋季·第2讲·目标班·学生版抛物线()20y ax bx c a =++≠与y 轴的交点抛物线与y 轴必有一个交点()0c ，.抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴的交点当240b ac ∆=->时，抛物线与x 轴有两个不同的交点. 当240b ac ∆=-=时，抛物线与x 轴有一个交点. 当240b ac ∆=-<时，抛物线与x 轴没有交点.直线()0y kx b k =+≠（或直线y m =或直线x n =）与抛物线()20y ax bx c a =++≠的交点问题，可运用方程思想联立方程2y kx b y ax bx c =+⎧⎨=++⎩（或2y my ax bx c=⎧⎨=++⎩或2x n y ax bx c =⎧⎨=++⎩）求出方程组的解，从而得到交点坐标. 比如抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴的交点联立方程组为2y y ax bx c =⎧⎨=++⎩，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根，则抛物线与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，.【引例】 已知关于x 的二次函数()222134y x m x m m =--+++．探究二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数，并写出相应的m 的取值范围.【解析】 令0y =时，得：()2221340x m x m m --+++=()()22214341615m m m m ∆=--++=--，以下分三种情况讨论：①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根，即16150m -->∴1516m <-，此时，y 的图象与x 轴有两个交点②当0∆=时，方程有两个相等的实数根，即16150m --=∴1516m =-，此时，y 的图象与x 轴只有一个交点③当0∆<时，方程没有实数根，即16150m --<例题精讲思路导航题型一：方程思想18 初三秋季·第2讲·目标班·学生版∴1516m >-，此时，y 的图象与x 轴没有交点 综上所述：当1516m <-时，y 的图象与x 轴有两个交点；当1516m =-时，y 的图象与x 轴只有一个交点；当1516m >-时，y 的图象与x 轴没有交点．【例1】 1. 抛物线与x 轴的交点.⑴二次函数2y ax bx c =++与x 轴的两个交点坐标为()10-，、()50，，则一元二次方程20ax bx c ++=的两根为 ．⑵二次函数n x x y +-=62的部分图象如图所示，若关于x 的一元二次方程062=+-n x x 的一个解为11=x ，则另一个解=2x ．⑶二次函数2134y x x n =++-的图象与x 轴只有一个交点；另一个二 次函数2222(1)46y nx m x m m =--+-+的图象与x 轴交于两点，这两个交点的横坐标都是整数，且m 是小于5的整数． 求:① n 的值；② 二次函数2222(1)46y nx m x m m =--+-+的图象与x 轴交点的坐标．2. 抛物线与直线y m =的交点.典题精练xy1O19初三秋季·第2讲·目标班·学生版图中抛物线的解析式为2y ax bx c =++，根据图象判断下列方程根的情况． ⑴ 方程20ax bx c ++=的两根分别为 ． ⑵ 方程230ax bx c ++-=的两根分别为 ． ⑶ 方程22ax bx c ++=的根的情况是 ． ⑷ 方程24ax bx c ++=的根的情况是 ．3. 抛物线与直线()0y kx b k =+≠的交点⑴直线6y ax =-与抛物线243y x x =++只有一个交点，则a = ．⑵当m 取何值时，抛物线2y x =与直线y x m =+：① 有公共点；② 没有公共点．【例2】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，点A的坐标为(2,0)-． (1) 求B 点坐标；20 初三秋季·第2讲·目标班·学生版(2) 直线n m x y ++=421经过点B . ① 求直线和抛物线的解析式；② 点P 在抛物线上，过点P 作y 轴的垂线l ，垂足为(0,)D d ．将抛物线在直线l 上方的部分沿直线l 翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ．请结合图象回答：当图象G 与直线n m x y ++=421只有两个公共点时，d 的取值范围是 ．21初三秋季·第2讲·目标班·学生版【例3】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，点A的坐标为(2,0)-． （1）求B 点坐标； （2）直线y =12x +4m +n 经过点B . ①求直线和抛物线的解析式；②点P 在抛物线上，过点P 作y 轴的垂线l ，垂足为(0,)D d ．将抛物线在直线l 上方的部分沿直线l 翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ．请结合图象回答：当图象G 与直线y =12x +4m +n 只有两个公共点时，d 的取值范围是 ．22 初三秋季·第2讲·目标班·学生版【例4】 已知关于m 的一元二次方程221x mx +-=0.(1) 判定方程根的情况；(2) 设m 为整数，方程的两个根都大于1-且小于32，当方程的两个根均为有理数时， 求m 的值．抛物线()20y ax bx c a =++≠的重要结论0<Δx当0a >时，图象落在x 轴的上方， 无论x 为任何实数，都有0y >.思路导航题型二：函数思想23初三秋季·第2讲·目标班·学生版x当0a <时，图象落在x 轴的下方， 无论x 为任何实数，都有0y <．0=Δmx当0a >，x m =时，则0y =；当x m ≠时，则0y >.mx当0a <，x m =时，则0y =；当x m ≠时，则0y <.0>Δnmx当0a >， x m <或x n >时，则0y >；当x m =或x n =时，则0y =；当m x n <<时，则0y <.nmx当0a <，x m <或x n >时，则0y <；当x m =或x n =时，则0y =；当m x n <<时，则0y >.【引例】1. 如图，函数2y ax bx c =++的图象如图所示：⑴ 当x 时， 0y =； ⑵ 当x 时， 0y >； ⑶ 当x 时， 0y <．2. 如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点()10A -，、点()30B ，和点()03C -，次函数的图象与抛物线交于B 、C 两点．⑴ 二次函数的解析式为 ．⑵ 当自变量 时，两函数的函数值都随x 增大而增大． ⑶ 当自变量 时，一次函数值大于二次函数值． ⑷ 当自变量 时，两函数的函数值的积小于0．【解析】 1. ⑴ 1x =或3x =；⑵ 3x >或1x <； ⑶ 13x <<．2. ⑴ 223y x x =--；⑵ 1x >；⑶ 03x <<；⑷ 1x <-．例题精讲典题精练yxO -331-1CB A yx31O24 初三秋季·第2讲·目标班·学生版【例5】 ⑴下列命题：①若0a b c ++=，则240b ac -<；②若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根；③若240b ac ->，则二次函数2y ax bx c =++的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．④若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根．正确的是（ ）A ．②④B ．①③C ．②③D ．③④⑵若m 、n （m n <）是关于x 的方程()()10x a x b ---=的两根，且a b <，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ）A ．m a b n <<<B ．a m n b <<<C ．a m b n <<<D ．m a n b <<<⑶方程2310x x +-=的根可视为函数3y x =+的图象与函数1y x=的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程3210x x +-=的实根0x 所在的范围是（ ） A ．010x -<<B ．001x <<C ．012x <<D ．023x <<【例6】 已知：关于x 的方程()2240x ax a ++-=①有两个实数根是1x 、2x （12x x <），若关于x的另一个方程220x ax k ++=②的两个实数根都在1x 和2x 之间．试比较：代数式4k +、a 、24a +之间的大小关系．【例7】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2220y mx mx m =--≠与初三秋季·第2y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ．（1）求点A ，B 的坐标；（2）设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线 l 的解析式；（3）若该抛物线在21x -<<-这一段位于直线l 的上方，并且 在23x <<这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式．训练1. 二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，根据图象解答下列问题：⑴写出x 为何值时，y 的值大于0；思维拓展训练(选讲)26 初三秋季·第2讲·目标班·学生版⑵写出x 为何值时，y 随x 的增大而增大；⑶若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．训练2. 已知二次函数22(21)y x m x m m =--+-（m 是常数，且0m ≠）．⑴证明：不论m 取何值时，方程22(21)0x m x m m --+-=总有两个不相等的实数根；⑵设二次函数与x 轴两个交点的横坐标分别为1x ，2x （其中1x >2x ），当m的取值满足什么条件时2112xx -≤.训练3. 已知函数()20y x bx c x =++≥，满足当1x =时，1y =-，且当0x =与4x =时的函数值相等．⑴求函数()20y x bx c x =++≥的解析式并画出它的图象（不要求列表）；⑵若()f x 表示自变量x 相对应的函数值，且2 (0),() 2 (0),x bx c x f x x ⎧++=⎨-<⎩≥ 又已知关于x 的方程()f x x k =+有三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数k 的取值范围．27初三秋季·第2讲·目标班·学生版训练4. 设二次方程()22120x a x a +-+-=有一根比1大，另一根比1-小，试确定实数a 的范28 初三秋季·第2讲·目标班·学生版题型一 方程思想 巩固练习【练习1】 已知二次函数2y x bx c =-++的图象如图所示，解决下列问题：⑴关于x 的一元二次方程20x bx c -++= 的解为 ； ⑵x 取何值时，函数值2y ≤？【练习2】 已知：关于x 的二次函数2(1)(1)2y a x a x =--++.⑴当a 取何值时，方程2(1)(1)20a x a x --++=有两个不相等的实数根； ⑵整数a 取何值时，二次函数与x 轴的交点都是正整数.复习巩固yx31O29初三秋季·第2讲·目标班·学生版【练习3】 如图是二次函数2()y x m k =++的图象，其顶点坐标为()14M -，．⑴ 求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；⑵ 在二次函数的图象上是否存在点P ，使54PAB MAB S S =△△，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；⑶ 将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线(1)y x b b =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．题型二 函数思想 巩固练习【练习4】 ⑴不论x 为何值时，2y ax bx c =++永远是正值的条件是（ ）A ．0a >，0∆<B ．0a >，0∆≥C ．0a >，0∆>D ．0a <，0∆< ⑵若抛物线()2123y m x mx m =-+++位于x 轴上方，则m 的取值范围是（ ）A ．1m >B ．32m >C ．32m ≥D ．312m << ⑶二次函数2y ax bx c =++对于x 的任何值都恒为负值的条件是（ ） A ．0a >，0∆> B ．0a >，0∆< C ．0a <，0∆> D ．0a <，0∆<【练习5】 已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=，如果0a >，a c b +<，那么方程20ax bx c ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．必有一个根为0初三秋季·第2讲·目标班·学生版巴雷尼与诺贝尔奖巴雷尼小时候因病成了残疾，母亲的心就像刀绞一样，但她还是强忍住自己的悲痛。
学而思初二数学寒假班第1讲.一元二次方程认识初步.尖子班.学生版
围图形漫画释义满分晋级阶梯1一元二次方程的基本解法方程10级 判别式与求根公式方程9级一元二次方程的基本解法 方程8级分式方程题型切片（四个）对应题目题型目标一元二次方程的概念例1；例2；演练1；例8直接开平方法解一元二次方程例3；例4；演练2；配方解一元二次方程例5；例6；演练3；演练4；因式分解法解一元二次方程例7；演练5．模块一一元二次方程的概念知识互联网题型切片定 义示例剖析一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准： ⑴整式方程．⑵方程中只含有一个未知数．⑶化简后方程中未知数的最高次数是2．⑷二次项的系数不为0 22210x x -+=此方程满足： 整式方程；只含有一个未知数x ；x 的最高次数是2，系数是2所以这个方程是一个一元二次方程．一元二次方程的一般式：20ax bx c ++=()0a ≠． 其中2ax 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项． 一元二次方程22210x x -+=， 其中221a b c ==-=，，． 一元二次方程的根：如果0x 满足2000(0)ax bx c a ++=≠，则0x 就是方程20(0)ax bx c a ++=≠的一个根．1满足2110-=，则1是方程20x x -=的一个根．0满足2000-=，则0是方程20x x -=的另一个根．∴0,1是方程20x x -=的两个根，表示为12=0, =1x x一元二次方程都可化成如下形式： 20ax bx c ++=（0a ≠）． 1．“可化成”是指对整式方程进行去分母，去括号，移项、合并同类项等变形．2．一般形式中，b 、c 可以是任意实数，而二次项系数0a ≠，若0a =，方程就不是一元二次方程了，也未必是一次方程，要对b 进行讨论．3．要确认一元二次方程的各项系数必须先将此方程化为一般形式，然后确定a 、b 、c 的值，不要漏掉符号．．．．． 4．项及项的系数要区分开．建议 强调掌握一元二次方程一般形式对学习一元二次方程很重要，这种从形式上认识数学概念的方法，在今后学习基本初等函数时也要使用．夯实基础知识导航【例1】 1. 判断下列方程是不是一元二次方程．⑴ 2210x kx --=（k 为常数） ⑵413x =+ ⑶ 210x -=； ⑷ 250x = ⑸ 20x y += ⑹ ()()2233x x +=-；⑺ 2320mx x -+=（m 为常数） ⑻ ()()2212150a x a x a ++-+-=（a 为常数）．2. 将下列一元二次方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．⑴ 2216x x -=； ⑵ ()()3213x x x -+=-；⑶ ()()()3253115x x x x ++--=； ⑷ 23323x x x ++=-．【例2】 ⑴关于x 的方程()()2293510m x m x m -+++-=，当m ________时，方程为一元二次方程；当m =_________时，方程为一元一次方程；⑵已知m 是方程210x x --=的一个根，求代数式2552008m m -+的值；⑶已知a 是2200910x x -+=的根，求22120082009a a a +--的值．能力提升定 义示例剖析直接开平方法：对于形如2x m =或()2ax b m+=()00a m ≠≥，的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解．()211x +=11x +=或11x +=-1202x x ==-，【例3】 用直接开平方法解关于x 的方程：⑴ ()()323212x x +-=； ⑵()22463x -=；⑶ ()2x m n -=； ⑷ ()2214x b c -=+【例4】 解关于x 的方程：⑴ ()()222332x x +=+； ⑵ ()()225293x x -=+；能力提升夯实基础知识导航模块二 直接开平方法解一元二次方程⑶ ()()22425931x x -=-．定 义实例剖析配方法：通过配方把一元二次方程转化成形如()2ax b m +=的方程，再运用直接开平方的方法求解．⑴220x x += ⑵2+2=1x x -22101x x ++=+ 2+2+1=0x x()211x += ()2+1=0x 11x +=± 12==1x x -11x +=或11x +=- 1202x x ==-，总结：用配方法解一元二次方程的一般步骤：①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为2()x m n +=的形式； ④求解：若0n ≥时，方程的解为x m n =-±，若0n <时，方程无实数解配方法是一种重要的数学方法，运用配方法解一元二次方程，就是通过配方把方程变成2()x m n +=（0n ≥）的形式，再用直接开平方法求解，当0n <时，方程无实数解．．．． （1）“将二次项系数化为1”是配方的前提条件，第三步配方是关键也是难点．（2）配方法是一种重要的数学方法，它不仅表现在一元二次方程的解法中，在今后学习二次函数以及到高中学习二次曲线时还会经常用到，应予以重视．避免后续学习二次函数时出错．【例5】 用配方法解方程：⑴ 2420x x ++=； ⑵ 211063x x +-=； ⑶ 23123y y +=；夯实基础知识导航模块三 配方法解一元二次方程⑷ 221233x x += ⑸ 2++5=0x x【例6】 用配方法解关于x 的方程 ⑴ 20x px q ++=（p q ，为已知常数）；⑵ 20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数且0a ≠）模块四 因式分解法解一元二次方程能力提升定 义示例剖析因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若0ab =，则0a =或0b =； 解方程：20x x -= 解：()10x x -= 则0x =或10x -= ∴0x =或1x = 因式分解法的一般步骤：⑴ 将方程化为一元二次方程的一般形式； ⑵ 把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0；⑶ 令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程； ⑷ 解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方 程的两个根． 总结：1．因式分解法把一元二次方程作为两个一元一次方程来求解，体现了一种“降次”的思想．2．将方程右边变形为0，左边化为()()0ax b cx d ++=的形式． 3．因式分解法是比前两种简单的一种方法，若能用此法优先考虑． 4．便于计算，先把方程整理成一般形式且首项为正号．．． 注意：1.解方程时，不能两边同时约去含未知数的代数式2.因式分解法的前提是方程一边等于0，此前提不成立时常得出错误答案【例7】 用因式分解法解方程：⑴ 23x x =； ⑵ 22230x x -=；⑶ ()()21210x x -+-=； ⑷ ()23242x x x -=-夯实基础知识导航⑸ ()()21211x x ---=- ⑹ ()()224320x x +--=【例8】 已知a 是一元二次方程2210x x --=的根，求223352a a a --++的值．真题赏析知识模块一 一元二次方程的概念 课后演练【演练1】 ⑴ 已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是___________．⑵ 若方程2220kx x k k +-+=有一个根是0，则k 的值是____________．⑶ 如果12x =是关于x 的方程22320x ax a +-=的根，那么关于y 的方程23y a -=的根是________________．⑷ 已知3-是关于x 的方程22310x x a --+=的一个根，则31a -的值是_____________．⑸ 已知方程20x bx a ++=有一个根是()0a a -≠，则a b -的值是_________________．知识模块二 直接开平方法解一元二次方程 课后演练【演练2】 ⑴已知一元二次方程20ax bx c ++=的一个根为1，且a b 、满足等式223b a a =-+--，求方程2104y c -=的根．⑵用直接开平方法解方程：① ()22340x +-= ② ()241x k +=知识模块三 配方法解一元二次方程 课后演练【演练3】 用配方法解方程：⑴ 2210x x --=； ⑵ 2660y y -+=；⑶ 23610x x -+=； ⑷ 2568x x =+实战演练11 初二寒假·第1讲·尖子班·学生版【演练4】 用配方法解关于x 的方程：220x x k -+=知识模块四 因式分解法解一元二次方程 课后演练【演练5】 选择适当的方法解方程：⑴ ()190x x x +--=； ⑵ 22224x x -=；⑶ ()()222x x x -=-；⑷(20x x -+； ⑸ 2414x x +=；⑹ ()()23230x x x -+-=；第十六种品格：感恩生活是什么？我们苦苦追寻。
学而思奥数模块之行程问题
学而思奥数模块之行程问题1、基本行程问题：基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。
基本公式：路程＝速度×时间；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间关键问题：确定行程过程中的位置2、简单的相遇、追及问题：相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程追击问题：追击时间＝路程差÷速度差简单的相遇与追及问题各自解题时的入手点及需要注意的地方1.相遇问题：与速度和、路程和有关⑴是否同时出发⑵是否有返回条件⑶是否和中点有关：判断相遇点位置⑷是否是多次返回：按倍数关系走。
⑸一般条件下，入手点从"和"入手，但当条件与"差"有关时，就从差入手，再分析出时间，由此再得所需结果2.追及问题：与速度差、路程差有关⑴速度差与路程差的本质含义⑵是否同时出发，是否同地出发。
⑶方向是否有改变⑷环形时：慢者落快者整一圈(1) 甲、乙两列火车同时从相距700千米的两地相向而行，甲列车每小时行85千米，乙列车每小时行90千米，几小时两列火车相遇？(2) 两列火车从两个车站同时相向出发，甲车每小时行48千米，乙车每小时行78千米，经过2.5小时两车相遇。
两个车站之间的铁路长多少千米？(3) 甲、乙两列火车同时从相距988千米的两地相向而行，经过5.2小时两车相遇。
甲列车每小时行93千米，乙列车每小时行多少千米？（1）师徒两人合作加工520个零件，师傅每小时加工30个，徒弟每小时加工20个，几小时以后还有70个零件没有加工？（2）甲、乙两队合挖一条水渠，甲队从东往西挖，每天挖75米；乙队从西往东挖，每天比甲队少挖5米，两队合作8天挖好，这条水渠一共长多少米？(3) 甲、乙两艘轮船从相距654千米的两地相对开出而行，8小时两船还相距22千米。
已知乙船每小时行42千米，甲船每小时行多少千米？（4）一辆汽车和一辆自行车从相距172.5千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，3小时后两车相遇。
学而思小升初数学几何模块
几何模块专题训练1. 长方形有四个角，剪掉一个角，还剩几个角？ 【考点】几何图形的认识 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 共有三种情况，如下图，分别剩下5、4、3个角．【答案】3或4或5个有三种情况2. 一个正方体的8个顶角被截去后，得到一个新的几何体．这个新的几何体有几个面？几个顶点？几条棱？【考点】几何图形的简单组合 【难度】3星 【题型】解答【解析】 这个正方体的8个顶点被截去后，多了8个面，因此共有6+8=14个面；多了(3-1)×8=16个点，因此共有8+16=24个点；多了3×8条棱，因此共有12+3×8=36条棱．【答案】14个面，24个顶点、36条棱3. 正方形的一条对角线长13厘米，这个正方形的面积是平方厘米。
【考点】基本图形的周长及面积计算 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】2003年，希望杯，第一届，五年级，初赛，第9题，4分 【解析】 13×13÷2=84.5 【答案】84.54. 右图中平行四边形的面积是21080m ，则平行四边形的周长为__________m ．【考点】基本图形的周长及面积计算 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】2008年，迎春杯，五年级，初赛，2题【解析】 平行四边形的两条边长分别为10801860()m ÷=和108022.548()m ÷=，周长为(6048)2216()m +⨯=．【答案】2165. 如图，两个正方形边长分别是5厘米和4厘米，图中阴影部分为重叠部分。
则两个正方形的空白部分的面积相差多少平方厘米？【考点】基本图形的面积计算 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2007年，第12届，华杯赛，五年级，决赛，第9题，10分【解析】 5×5－4×4=9（平方厘米），两个正方形的空白部分的面积相差9平方厘米。
【答案】9平方厘米22.5m18m6. 在一个正方形水池的四周，环绕着一条宽2米的路(如图)，这条路的面积是120平方米，那么水池的面积是______ 平方米。
第二节 与三角形有关的角-学而思培优
第二节与三角形有关的角-学而思培优第二节与三角形有关的角本节主要讲解三角形内角和定理、三角形外角和定理以及它们的应用。
同时，介绍了一些几何模型和思想方法，帮助学生更好地理解和掌握这些知识点。
1.三角形内角和定理及其应用三角形内角和定理指出，三角形三个内角的和是180度。
这个定理在解决三角形相关问题时非常有用，可以用来求解未知角度，证明角之间的关系等。
2.三角形的外角三角形的外角是指三角形一边与另一边的延长线组成的角。
它有一些重要的性质，例如一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
此外，三角形外角和定理指出，三角形外角和是360度。
这些性质和定理可以用来求解未知角度，证明角之间的关系等。
3.几何模型在研究三角形内角和定理和三角形外角和定理时，可以使用一些几何模型来帮助理解和记忆。
例如，“小旗”模型、“飞镖”模型、“8”字模型和角平分线相关模型等。
4.思想方法在解决三角形相关问题时，可以使用分类讨论、方程思想等思想方法，帮助学生更好地理解和解决问题。
基础演练1.若副三角板按图11-2-1所示方式叠放在一起，则图中角α的度数是65度。
2.在△ABC中，若∠XXX∠C=∠XXX，∠A=∠ABD，则∠A的度数为72度。
3.已知等腰三角形的一个内角为40度，则这个等腰三角形的顶角为100度。
4.(1) 在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=2:3:4，则∠A=40度，∠B=60度，∠C=80度。
2) 在△ABC中，若∠A=∠B=11，则∠C=58度。
3) 若三角形的三个外角的比是2:3:4，则这个三角形按角分是锐角三角形。
5.已知如图11-2-3所示，CE⊥AB于点E，AD⊥BC于点D，∠A=30度，则∠C的度数为150度。
6.已知如图11-2-4所示，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于XXX60度，在B处测得灯塔C位于XXX25度，则∠ACB=95度。
7.已知如图11-2-5所示，∠XXX∠E+∠F，则∠A+∠B+∠C+∠D的度数为360度。
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学而思高中数学暑假班辅导讲义高二.理科班(人教版)
简易逻辑
1.1 命题与量词
考点 1：命题
命题是个到处可以见到的字眼，语文上有命题作文，会评价一篇作文命题新颖等等；北大门卫会 询问每个进入北大的人的三大终极哲学命题：你是谁？你从哪里来？你要到哪里去？这些命题都不是 数学意义上的命题．
在逻辑中最重要的是二元判断，即对真假的判断，而二元判断的最小承载单位就是命题，这里的 真假一般来说是指客观的可以判断的真假，不依赖于主观的判断．数学上的命题就是指可以判断真假 的陈述句：如明天会下雨；有理数一定是实数；白马非马；人不可能两次踏进同一条河流；女生爱逛 街等等都是命题．
既不充分也不必要条件解析个不同实根方程有两个不等正根尖子目标教师版提高尖子目标教师版且倾斜角为的直线方程为的直线与直线平行则满分晋级21直线的三种形式及其灵活应用春季知识回顾10abc直线与圆的方程解析几何1级直线与圆的方程解析几何2级椭圆初步解析几何双曲线与抛物线初步18提高尖子目标教师版4
第1讲
4 第 1 讲·提高-尖子-目标·教师版
僧敲月下门；富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈．这些都是自然语言中的联言命题．我们把“ p 且 q ” 看作它的标准表示形式，并称 p ，q 为支命题．
对于两个命题 p ，q ，用“且”联结起来，就得到一个新的命题，记为 p q ，读作“ p 且 q ”． 在自然语言中，联言命题表达了支命题之间在内容、意义、甚至语气上的相互关联，逻辑不能处 理这些相互关联，只研究支命题与复合命题在真假方面的相互关联．对于联言命题，只有它的各个支 命题都是真的，它本身才是真的；如果有一个支命题为假，则联言命题为假．即只有 p ，q 都是真命题 时， p q 才是真命题．只要 p ，q 中有假命题， p q 就是假命题． 例如：小张既高又胖，只有在小张高和小张胖都真的情况下才是真的，在其余情况下都是假的．
学而思初一数学暑假班第2讲.绝对值.教师版
3 = 3 ， - 1 = ， 0 = 0⑵ a = ⎨0 (a = 0) ； ⎪-a (a < 0) a ⎩-1(a < 0)2绝对值模块一绝对值的定义定 义1．绝对值的几何意义：在数轴上，一个数 a 所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作 a ．2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0．注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号．②绝对值具有非负性，即取绝对值的结果总是正数或 0．③任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如： -5 符号是负号，绝对值是 5 ．3．绝对值的性质：⑴ 绝对值的非负性，可以用下式表示： a ≥ 0 ，这是绝对值非常重要的性质；⎧a (a > 0) ⎪ 示例剖析12 2非负数性质：如果若干个非负数之和为 0，那么其中的每一个非负数都为 0⑶ ⎩a ⎧1 (a > 0)(a ≠ 0) = ⎨例如：若 a + b = 0 ，则 a = 0 ，b = 0⑷ 若 a = a ，则 a ≥ 0 ；若 a = -a ，则 a ≤ 0 ；⑸ a = -a ；若 a = b ，则 a = b 或 a = -b第 2 讲·尖端预备班·教师版1比较大小⎨两数异号(一正一负)：正数大于负数 ⎪其中有0时 ⎧⎨正数与0：正数大于0 ⎩⑷ 3.5 ， 3.5 ， - ， ；4． 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小． 总结：有理数大小的比较⎧ ⎧同正：绝对值大的数大 ⎪两数同号 ⎨ ⎪ ⎩同负：绝对值大的反而小 ⎪⎪⎪⎩负数与0：负数小于0夯实基础【例1】 ⑴ ① - -1.5 =；② 绝对值不大于 3 的整数有 ．⑵ 绝对值大于 2 而小于 5 的负整数是 ． ⑶ 下列说法正确的是 （ ）A. 符号相反的数互为相反数B. 任何有理数都有倒数C. 最小的自然数是 1D. 一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远 ⑷ -3.5 的绝对值为 ， -3.5 的相反数为 ，-3.5 的倒数为， -3.5 的负倒数为 ．⑸ 若 a + b = 0 ， c 和 d 互为倒数， m 的绝对值为 2 ，求代数式【解析】⑴ ① -1.5 ；② 0 ， ±1 ， ±2 ， ±3 ；⑵ -4 ， -3 ； ⑶ D ；2 27 7⑸ 3．a +b a + b - c+ m 2 - cd 的值.能力提升【例2】 ⑴ 已知 a 、 b 为有理数，且 a < 0 ， b > 0 ， b < a ，则 a 、 b 、 -a 、 -b 的大小关系是（）A ． -b < a < b < -aB ． -b < b < -a < aC ． a < -b < b < -aD ． -a < b < -b < a⑵ x - 2 + y - 3 = 0 ，则 xy = ________； x = - y - 7 ，则 xy = ________． ⑶ 若 a - 2 与 b + 3 互为相反数，则 2b - a 的值为（ ）．A ．8B ． -8C ． ±8D ．72第 2 讲·尖端预备班·教师版b 1(0(1(a+2)(b+2)+L L+(a+2012)(b+2012)的值；⑷方程x-2008=2008-x的解的个数是（）．A．1B．2C．3D．无穷多(5)求出所有满足条件a-b+ab=1的非负整数对(a，).(6)设a、b同时满足①(a-2b)2+|b+1|=b+1；②|a+b-3|=0．那么ab=．（北京一零一中学期中）【解析】它本身，它的相反数，0；⑴经分析则a、b、-a、-b在数轴上表示如图所示：a-b0b-a数轴上右边的数总比左边的数打，所以a<-b<b<-a，选C；⑵Q x-2≥0，y-3≥0，要使x-2+y-3=0，当且仅当x-2=0且y-3=0，有x=2，y=3则xy=6；变形x+y-7=0，根据绝对值的非负性，有x=0，y=7，∴xy=0⑶B⑷D．(5)根据题意a-b和ab两个代数式的值只能在0与1中取，用逐一列举的方法，求得满足条件的非负整数对有三对(0，)，1，)，1，).(6)因为|b+1|≥b+1，而完全平方式非负，所以a-2b=0，且b+1非负．又因为|a+b-3|=0，所以a+b-3=0，观察可知a=2，b=1，所以ab=2．【例3】⑴已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简a+b+a+b-b-c的结果是a b c⑵如图，根据数轴上给出的a、b、c的条件，试说明a-b+b-c-a-c的值与c无关.b a c【解析】⑴3b-c；⑵2a-2b.【例4】⑴已知a-1+|ab-2|=0，试求1 ab+1(a+1)(b+1)+11⑵已知a+b与a-b互为相反数，求a2000+b2000+a2003-b2003【解析】⑴易得a=1，b=2；则原式=1+1⨯1+L+11⨯22⨯33⨯42013⨯2014第2讲·尖端预备班·教师版3+ - + - + L - = 1 - =b = 1 - 1 1 1 1 1 1 1 1 2013 2 2 3 3 4 2013 2014 2014 2014．⑵ 因为 a + b 与 a - b 互为相反数，所以 a + b + a - b = 0 ，从而得到 a = 0， = 0所以原式等于 0 ．【例5】 已知甲数的绝对值是乙数绝对值的 3 倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧， 两点之间的距离为 8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？【解析】 设甲数为 x ，乙数为 y由题意得： x = 3 y ，(1) 数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若 x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x <0，y >0，则 4y =8，所以 y =2， x = -6 若 x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x >0，y <0，则 - 4 y =8，所以 y = -2 ，x =6 (2) 数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若 x 、y 在原点左侧，即 x <0，y <0，则 - 2 y =8，所以 y = -4 ， x = -12若 x 、y 在原点右侧，即 x >0，y >0，则 2y =8，所以 y =4，x =12模块二绝对值代数意义的应用【例6】 若 x = 2 2001 2002，则 | x | + | x - 1| + | x - 2 | + | x - 3| + | x - 4 | + | x - 5| = ．【解析】因为 x = 2 2001 ，所以 2 < x < 3 ，原式 = x + ( x - 1) + ( x - 2) - ( x - 3) - ( x - 4) - ( x - 5) = 9 ．2002【例7】 化简：⑴ x - 1 ；⑵ x + 5 ；⑶ x + 5 + 2x - 3【解析】零点分段讨论法一般步骤：求零点；分区间；定性质；去符号⑴ 当 x ≥1 时，则 x - 1 = x - 1 ；当 x < 1 时，则 x - 1 = - x + 1 ，⑵ 当 x ≥ - 5 时，则 x + 5 = x + 5 ；当 x < -5 时，则 x + 5 = - x - 5⑶ 先找零点，令 x + 5 = 0 ， 2x - 3 = 0 ，则 x = -5 ， x = 3，零点可以将数轴分成三段：24第 2 讲·尖端预备班·教师版a+abc 的值．b cb c b cb cb c【拓展】已知x=ab c若x≥3，则x+5>0，2x-3≥0，x+5+2x-3=3x+2；2若-5≤x<3，则x+5≥0，2x-3<0，x+5+2x-3=8-x；2若x<-5，则x+5<0，2x-3<0，x+5+2x-3=-3x-2．【拓展】x-1+x+2+x-4【解析】当x>4时，则x-1+x+2+x-4=3x-3当1<x≤4时，则x-1+x+2+x-4=x+5当-2<x≤1时，则x-1+x+2+x-4=-x+7当x≤-2时，则x-1+x+2+x-4=-3x+3以上各题先求零点．【例8】已知a，，是非零有理数，且a+b+c=0，求a b cb+c+abc【解析】因为a，，是非零有理数，且a+b+c=0，所以a，，中必有一正二负或者一负二正，分两种情况讨论：⑴如果是一正二负，不妨设a>0，<0，<0，则原式=a+b+c+abc=1+(-1)+(-1)+1=0；a-b-c abc⑵如果是一负二正，不妨设a>0，>0，<0，则原式=a+b+c+abc=1+1+(-1)+(-1)=0；a b-c-abc可知原式的值为0a+bb+cc+abcabc，且a，，都不等于0，求x的所有可能值．【答案】4或0或-4探索创新【例9】如果a,b,c,d为互不相等的有理数，且a-c=b-c=d-b=1，那么a-d等于（）A．1B．2C．3D．4【解析】已知b≠c，可设b<c，由于a-c=b-c，所以a-c与b-c必互为相反数(否则a=b，不合题意)，即a-c=-(b-c),a+b=2c.又因为b<c，所以a>c.由于b-c=d-b，所以b-c与d-b必相等(否则c=d，不合题意)，即b-c=d-b，从而得2b=c+d.因为b<c，所以b>d.因此有d<b<c<a.所以a-d=a-d=(a-c)+(c-b)+(b-d)=1+1+1=3.第2讲·尖端预备班·教师版5⎩a ，a ＜b若设 b > c ，同理可得 a - d = 3 .答案为 C.【例10】将 1，2，3…100，这 100 个自然数任意分成 50 组，每组两个数，将其中一个数记为 a ，另一个数记为 b ，代入代数式 1(a + b - a - b ) 中计算，求出其结果，50 组都代入后可得 50 个值，求这 50 个2值的和的最小值．【解析】 先分类讨论去绝对值符号： a + b - a - b2 ⎧b ，a ≥ b =⎨所以，当 50 组中的较小的数恰好是 1 到 50 时，这 50 个值的和最小，最小值为1 + 2 + 3 + L + 50 =50(1 + 50)= 1275 ． 26第 2 讲·尖端预备班·教师版【解析】⑴原式 = ⎪⎨所以综上讨论，原式 = ⎨6(-2 ≤ x < 4) ( ⎩2x - 2 x ≥ 4)⎩实战演练知识模块一 绝对值的定义 课后演练【演练1】 ⑴ a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，d 是绝对值等于 2 的数，则 a + (-b ) + c + d = ．（人大附中期中）⑵ 若 x = 3 ，则 x - x =．（东城区期末）⑶ 已知 a = -4 ， | a |=| b | ，则 b - 3 的值为（）A ． +1 ； -7B ． -1 ；+7C ．7D ． ±1（人大附中期中） ⑷ 已知 | a |= 8 ， | b |= 5 ，且 | a + b |= a + b ，则 a - b =．【解析】⑴ 4 或 0；⑵ 0 或 6； ⑶ A ；⑷ 3 或 13．【演练2】 若 x - 4 + y + 5 = 0 ，则 x = ______ ； y = _____ ． 【解析】 x = 4 ， y = -5 ．知识模块二 绝对值代数意义的应用 课后演练【演练3】 ⑴化简： 3 - x⑵化简代数式 x + 2 + x - 4 ⎧3 - x (x < 3)⎪ x - 3(x ≥ 3)⑵当 x < -2 时，原式 = - (x + 2) - (x - 4) = - x - 2 - x + 4 = -2 x + 2 ； 当 -2 ≤ x < 4 时，原式 = x + 2 - (x - 4) = 6 ；当 x ≥ 4 时，原式 = x + 2 + x - 4 = 2x - 2⎧-2x + 2 (x < -2)⎪ ⎪【演练4】 若 x = -0.239 ，求 x - 1 + x - 3 + L + x - 1997 - x - x - 2 - L - x - 1996 的值． 【解析】法 1：∵ x = -0.239 ，则原式 = -( x - 1) - ( x - 3) - L - ( x - 1997) + x + ( x + 2) + L + ( x - 1996)= - x + 1 - x + 3 - x + 5 - L - x + 1997 + x + x - 2 + L + x - 1996 = 1 + (3 - 2) + (5 - 4) + L + (1997 - 1996)第 2 讲·尖端预备班·教师版7=1+1+L+1=999法2：由x≤a<b，可得x-b-x-a=b-a，则原式=(x-1-x)+(x-3-x-2)+L+(x-1997-x-1996)=1+1+L+1=999点评：解法二的这种思维方法叫做构造法．这种方法对于显示题目中的关系，简化解题步骤有着重要作用．【演练5】设a,b,c为非零实数，且a+a=0，ab=ab，c-c=0．化简b-a+b-c-b+a-c．【解析】a+a=0，a=-a，a≤0；ab=ab，ab≥0；c-c=0，c=c，c≥0所以可以得到a<0，b<0，c>0；b-a+b-c-b+a-c=-b+(a+b)-(c-b)-(a-c)=b．【演练6】有理数a，b，c，d满足abcdabcd=-1，求aa+bb+cc+dd的值．【解析】2或-28第2讲·尖端预备班·教师版。
小学奥数教程：几何计数(二)全国通用(含答案)
1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．模块二、复杂的几何计数教学目标例题精讲知识要点7-8-2.几何计数（二）【例1】如下图在钉子板上有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用绳子在上面围正方形，你可以得到个正方形．【考点】复杂的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，2年级，第4题【解析】先看横着的正方形如下图⑴，可以得到94114++=个正方形，再看斜着的正方形如下图⑵可以得到4个正方形，如下图⑶可以得到2个正方形．这样一共可以得到144220++=个正方形．⑴⑵⑶<考点> 图形计数【答案】20个【巩固】如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)．⨯的正方形：1个；⨯的正方形：4个；33⨯的正方形：9个；2211以11⨯正方形对角线为边长的正方形：4个；以12⨯长方形对角线为边长的正方形：2个．故可以组成9414220++++=(个)正方形．【巩固】下图是3×3点阵，同一行(列)相邻两个点的距离均为1。
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完整小学学而思合集 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】完整小学学而思合集高清无密(2013-06-02 01:18:14)转载▼分类：小学标签：教育毛继东作文三步法：二年级奥数和阅读写作：【2801】2011一升二年级数学竞赛班-8讲【3211】2011秋季二年级数学竞赛班-12讲【4716】2012春季二年级数学竞赛班-14讲【3746】2012寒假二年级数学竞赛班-8讲【2802】2011暑期二升三数学竞赛班-12讲【6031】糖果星球探秘：二升三年级“畅享语文”成长计划暑期班12讲【3747】精灵旅行团：2012年寒假二年级说话写话训练营10讲6531：小柿子星球探秘：二年级“畅享语文”成长计划秋季班（6级）共11讲三年级奥数和阅读写作：【3212】2011秋季三年级奥数竞赛班-16讲【3779】2012寒假三年级奥数竞赛班-10讲【4860】2012春季三年级奥数竞赛班-16讲【4861】2012春季三年级奥数零基础班-10讲【6039】三升四奥数暑期班14讲4863人教春季三年级数学同步8讲6055人教版三年级上册数学满分班16讲7429北师版三年级下册数学满分班（教材精讲+奥数知识拓展）14讲4209+2012年寒假五年制小学三年级数学超常班12讲【6032】杮子星球探秘，三升四年级畅想语文成长计划暑期班12讲【3230】精灵旅行团：2011秋季三年级阅读写作训练营12讲【3783】精灵旅行团：2012寒假三年级阅读写作训练营8讲【4865】精灵旅行团：2012春季三年级阅读写作训练营12讲四年级奥数及阅读写作：【2799】2011暑期三升四数学强化班共14讲[6040]2012四升五年级奥数暑期班18讲【3297】2011秋季四年级上册人教数学课内同步班8讲【4772】人教四年级下册数学同步8讲【3208】2011秋季四年级数学强化班，18讲【3947】2012寒假奥数强化班10讲【6057】人教版四年级上册数学满分班14讲【4770/4771】2011春季四年级数学竞赛班18讲7088第13届中环杯四年级初赛冲刺VIP班12讲3948+2012寒假四年级奥数竞赛班10讲1891：四年级奥数必考知识点系统复习全能班（上）9讲6063北师版四年级上册数学满分班（教材精讲+奥数知识拓展）17讲7431北师版四年级下册数学满分班（教材精讲+奥数知识拓展）18讲【6033】6033乐学星球探秘：四升五年级畅想语文成长计划暑期班11讲【3231】精灵旅行团：2011秋季四年级阅读写作训练营12讲【3945】精灵旅行团：2012寒假四年级阅读写作训练营10讲【4775】精灵旅行团：2012春季四年级阅读写作训练营10讲五年级奥数及阅读写作：【3209】2011秋季五年级数学强化班共20讲，【4817】2011原春季五年级奥数强化班20讲【3768】2011原寒假五年级奥数强化班共16讲【2921】2011原暑假五年级奥数强化班共18讲2925崔兆玉2011五年级奥数年卡74讲7421人教五年级下册数学满分班15讲[6059]人教版五年级上册数学满分班16讲3299+2011秋季五年级数学课内同步班（人教版）8讲4820+2012春季五年级数学课内同步班（人教版）8讲3769+2012寒假五年级数学零基础班14讲6071苏教版五年级上册数学满分班14讲（教材精讲+奥数知识拓展）7427苏教版五年级下册数学满分班（教材精讲+奥数知识拓展）14讲6065北师版五年级上册数学满分班14讲7433北师版五年级下册数学满分班13讲【6102】小升初总复习：2012五升六年级语文暑期班12讲【3232】精灵旅行团：2011秋季五年级阅读写作训练营10讲【3773】精灵旅行团：2012寒假五年级阅读写作训练营10讲【4822】精灵旅行团：2012春季五年级阅读写作训练营10讲【3058】小学语文知识大全—小学阅读技巧魔法班-4讲【2666】小学语文必学写作技巧之非常作文训练营-10讲3618小学语文知识大全——小学语文基础知识精讲（上）9讲3721：小学语文知识大全——小学语文基础知识精讲（下）8讲2515：春季五年级语文阅读课外拓展班6讲2516：春季小学语文总复习小升初冲刺班8讲3809：五年制小学五年级语文阅读写作综合提高共10讲六年级奥数及阅读写作：【2819】2011年暑期五升六数学课内预习班人教8讲上册【4851】2012春季六年级数学课内同步班人教12讲【6463】人教版六年级上册数学满分班（教材精讲）14讲【6464】人教版六年级上册数学满分班（教材精讲）18讲4【6535】2012六年级培优数学秋季班（竞赛班）22讲2974：六升初一有理数四则运算必备3讲2975-六升初一不等式（组）解法攻略3讲2976-六升初一几何证明与推理初步3讲2977-六升初一二元一次方程组全透析3讲7556北师版六年级下册数学满分班（教材精讲+奥数知识拓展）17讲4547+12华杯赛初赛六年级VIP全能班8讲8375+2013高年级华杯复赛考前冲刺班（五、六年级）10讲【3065】小学语文经典课程：精讲心理描写2讲【3371】小学语文经典课程：文章立意有深度-1讲【3372】小学语文经典课程：分析文段作用，领会句子含义1讲【3409】小学语文经典课程：叙事文阅读2讲【3629】小学语文经典课程：运用对比手法塑造人物形象1讲3057:小学语文知识大全—古诗文奥秘赏析-1讲4992：小学语文知识大全—8课时突破小学记叙文阅读考点5453：小学语文知识大全—8课时文言文轻松入门7194：小学语文知识大全—小学分类作文全攻略--9讲3059：小学语文知识大全—小学写作技巧宝典班--5讲6727：柿子星球探秘：四年级“畅享语文”成长计划秋季班12课时（14级）7、5717庄海燕考试速记系列：如何快速记忆小学语文知识4讲2、7336百变精灵阅读满分班（记叙文+说明文+文言文）共20讲六年级及小升初：【2912】2011年六-小升初年级奥数年卡｛竞赛班｝2806+3295+3921+4847.共70讲【2914】(3296+4857+3925+2808)2011六年级六年级语文年卡（竞赛班）-42讲[7563]小升初总复习：2013六年级语文下半学年卡24讲[2917-75] (2851+3229+3927+4853) 2011六年级小升初英语年卡6520+1+英语“坑爹”题目大汇总——小升初190多讲六年级奥数七大专题3340：组合专题3393：几何专题3656/2966：数论专题4136：行程专题八、玩转小学英语语法共30课时：【3532】六大时态6讲【3679】五大句型5讲【3822】词法大全12讲【3695】被动语态2讲【4456】三大从句5讲九、亲子英语口语【5450】和孩子一起学口语（亲子英语课程）共20讲【3914】学而思乐学口语一级7讲【3748】学而思乐学口语二级8讲【3784】学而思乐学口语三级8讲【3937】学而思乐学口语四级9讲【3772】学而思乐学口语五级10讲【3926】学而思乐学口语六级10讲[6572 ](1-10)乐学英语预备级：2012秋季听说6747 (1-17)乐学英语五级：2012秋季听说读[6746] (1-15)乐学英语四级：2012秋季听说读写6745 (1-15)乐学英语三级2012秋季听说读写训练营(三、四年级) 6538 (1-15)乐学英语二级：2012秋季听说读写训练6573 (1-15)乐学英语一级：2012秋季听说读4523剑桥少儿英语预备级（上）1-7讲5325剑桥少儿英语预备级（上）8-15讲7027剑桥少儿英语预备级(下)1-8讲7082剑桥少儿英语预备级(下)9-15讲十、3225/4998：自然拼音一级二级三级和10次国际音标和自然拼音全掌握十、剑桥少儿英语一40讲、二级40讲、三级40讲新概念第一册整套编号：5501+5692+4282+3228共58讲【2183】新概念一册同步强化班 15课时【2523】新概念英语一册同步强化15讲新概念第二册整套：80讲新概念英语二册L1-L80 2185+2524+2814新概念第三册：40讲十二、单词记忆：【7044】过目不忘背单词--小学核心词汇1000词上-11讲【7103】过目不忘背单词-小学核心词汇1000词（中）11讲十二、英语阅读写作核心词：5442/3099编号共10课时一年级奥数全部国学经典各40课时6078共欠11-40讲千字文：5909欠18-40讲弟子规：6222孟子40讲：6221欠21-40讲论语：6220欠12-40讲三字经：5172--小魔方大智慧：世界冠军教你玩转异形魔方4682--小魔方大智慧：世界冠军教你玩转魔方（三阶魔方还原基础必备）5532 小魔方大智慧：世界冠军庄海燕教你玩....5171--世界记忆锦标赛经典项目：超速记忆扑克牌5714---庄海燕考试速记系列：如何快速记忆英语单词5718_庄海燕考试速记系列：如何快速记忆初....。
2011年学而思中学数学教学体系解读
2011年学而思中学数学教学体系解读来源：深圳奥数网文章作者：许威老师 2011-05-17 10:23:28[标签：2011 学而思中学数学教学体系解读] [当前8404家长在线讨论]2011年小升初同学们：2011年刚刚结束的华杯赛和希望杯，很多同学都取得了优异的成绩，现在，大家都在为自己理想的中学努力，从小学到初中，是大家经历的第一次跨越，无论是知识体系上还是认知上都会有很大变化，那么我们如何应对变化，持续保持优秀呢？中学的前三年，我们应该如何去更好的规划呢？这是值得每个优秀的小升初学员认真思考的问题。
中学六年有两大培养体系：培优体系和超常体系，培优体系包含基础班、提高班和尖子班，2.5年学完初中知识，需要通过入学测试题进入。
超常体系包含超常联赛班和超常实验班，需要通过学而思杯或是超常班补录考试，成绩合格进入超常实验班，2年学完初中知识；成绩特别优秀的会进入超常联赛班中学习，1.5年学完初中知识。
【班型设置】初中班型设置介绍：初一年级：基础班、提高班、尖子班、超常实验班、超常联赛班初二年级：基础班、提高班、尖子班、超常实验班、超常联赛班初三年级：目标中考A班、目标中考A+班、目标中考满分班、超常联赛班其中超常实验班和超常联赛班都是超常联赛体系。
进入超常体系必须经过选拔超常联赛班1、5年学完整个初中知识，走联赛体系；超常实验班走深中实验体系，2年学完初中知识；基础班，提高班，尖子班走中考培优体系。
【选择联赛体系】如果孩子在数学方面特别优秀，希望未来在数学方面有独特发展，或者希望通过竞赛升学，推荐可以选择联赛班。
初中有非常权威的比赛-----全国初中数学联赛。
同时学而思有大批经验丰富的联赛教师，有足够的实力帮助孩子取得联赛好成绩。
初中数学联赛介绍：全国初中数学联赛是由中国数学会所举办的全国性数学竞赛，是初中数学学科最重要的竞赛。
通常在每年4月举行，分为一试和二试，第一试着重基础知识和基本技能，题型为选择题6题、填空题4题，共70分。
2011年“学而思杯”初二数学试卷及答案
2011年“学而思杯”中学生理科能力大赛初 二 数 学 试 卷一、填空题（本题共60分，每小题5分）1. 点()1x x --，不可能在第________象限．2. 函数y =x 的取值范围是______________．3. 已知()2x y -+的算术平方根和()21x y +-互为相反数，则3yx-的平方根为___________．4. 如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，30BAE ∠=︒，2AE =， 则矩形ABCD 的面积为___________．5. 已知，函数y kx m =+和y ax b =+的图象交于点P ，则根据图象 可得不等式组0kx m ax b kx m +>⎧⎨+>+⎩的解集为___________．6. 如图，直线1y x =--交两坐标轴于A 、B 两点，平移线段AB 到CD ，使两点都落在反比例函数()0ky x x=>的图象上，DM y ⊥轴于点M ，DN x ⊥轴于点N ，则DM DN -= ．EDCBA7. 如果实数a b ，满足2840a a --=，2840b b --=，则b aa b+的值为 ．8. 已知x y a 、、都是实数，且1x a =-，()()2211y a a a =---，则31x y a +++的值为________．9. 设实数a b c ，，满足2142a b c +++=，那么ba c-的值为_______．10. 如图，Rt ABC △中，E D F 、、分别在AB BC AC 、、上，且四边形AEDF 是正方形．已知8CD =，12BD =，则阴影部分的面积为_____________.11. 若实数,x y 满足333333331343615456x y x y ⎧+=⎪⎪++⎨⎪+=⎪++⎩，则x y +的值是 _____ ．12. 已知正方形ABCD 所在平面内的直线满足：⑴ 正方形四个顶点到这条直线的距离只有两种； ⑵ 两种距离中，较大的是较小的三倍． 那么符合上述条件的直线一共有 条二、解答题（本题共40分，每小题10分）13. 如图，直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，90DAB ∠=︒，12CD AB =，2245BC AD =， ⑴ 求证：AD AB =．⑵ AC BD 、交于点E ，AO BD ⊥交BD 于O ，交BC 于F ，求证：CE CF =． ⑶ 作点F 关于点O 的对称点H ，试判断BH 与AE 的关系，并证明你的结论．HFEO DC BA14. 如图1，已知直线12y x m=-+与反比例函数kyx=的图象在第一象限内交于A B、两点（点A在点B的左侧），分别与x y、轴交于点C D、，AE x⊥轴于E．⑴若12OE CE⋅=，求k的值．⑵如图2，作BF y⊥轴于F，求证：EF CD∥．⑶在⑴⑵的条件下，EFAB=P是x轴正半轴上一点，且PAB△是以P为直角顶点的等腰直角三角形，求P点的坐标．15. 如图，D 为ABC △中线AM 的中点，过M 作AB 、AC 边的垂线，垂足分别为P 、Q ．过P 、Q分别作DP 、DQ 的垂线交于点N ．⑴ 求证：PN QN =； ⑵ 求证：MN BC ⊥．16. 若x y z ，，满足1x y z ++=，2222x y z ++=，3333x y z ++=，求444x y z ++的值．2011年“学而思杯”中学生理科能力大赛初二数学答案一、填空题（每小题5分，答对得5分，答错、不答或答不全均不得分）QP N M DCB A二、解答题（每小题10分，按解题过程分步给分，若只有答案且正确，给2分） 13. ⑴ 过C 点作CM AB ⊥于M ，∵AB CD ∥，90DAB ∠=︒，∴四边形AMCD 是矩形，∴AM CD =………………………………………………………………1分∵12CD AB =，∴AM BM = ∴AC BC =………………………………………………………………2分 ∵在Rt ACD △中，90ADC ∠=︒，∴2222AD CD AC BC +==， ∵2245BC AD =，∴2214CD AD =，即12CD AD =， ∴AD AB =．……………………………………………………………4分 ⑵ 由⑴知：45ADB ABD ∠=∠=︒，又AC BC =，∴CAB CBA ∠=∠，∴CAF CBE ∠=∠，……………………………………………………5分 ∴在ACF △和DCE △中， ACF BCE AC BCCAF CBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ACF BCE △≌△， ∴CE CF =．……………………………………………………………7分 ⑶ 解法一：延长BH 交AE 于N ．由⑵可得：AE BF =，∵F H 、关于点O 对称，∴BH BF =，OBF OBH ∠=∠，∴BH AE =………………………………………………………………8分 ∵CAF CBE ∠=∠，∴OBH CAF ∠=∠，∴90ANH BOH ∠=∠=︒，即BH AE ⊥．……………………………10分 解法二：延长BH 交AE 于N ，∵F H 、关于点O 对称，∴BH BF =，OBF OBH ∠=∠， ∵CAF CBE ∠=∠，∴OBH CAF ∠=∠，∴90ANH BOH ∠=∠=︒，即BH AE ⊥．…………………………9分 ∵AO BD ⊥，∴AO BO =，90AOE BOH ∠=∠=︒， ∴AOE BOH △≌△，∴AE BH =．………………………………………………………10分 14. ⑴ 设OE a =，∴12A a a m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，∵点A 在反比例函数图象上，∴12a a m k ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即212k a am =-+，……2分由一次函数解析式可得()20C m ，，∴2CE m a =-， ∴()22212OE CE a m a a am ⋅=-=-+=，……………………3分∴()211212622k a am =-+=⨯=．……………………………4分 ⑵ 连接AF BE 、，过E F 、分别作FM AB ⊥，EN AB ⊥， ∴FM EN∥．∵AE x ⊥轴，BF y ⊥轴，∴AE BF ⊥N MA BCD OE F H122AEF k S AE OE =⋅=△，122BEF k S BF OF =⋅=△， ∴AEF BEF S S =△△， …………………………………………5分 ∴FM EN =，∴四边形EFMN 是矩形，∴EF CD ∥．………………………………………………7分 ⑶由⑵可知，EF AD BC ==，∴CD =．由直线解析式可得OD m =，2OC m =， ∴4OD =，又EF CD ∥，∴2OE OF =，∴1OF =，2OE =，………………………………………8分 ∴3DF =，∴3AE DF ==，∵AB =AP =∴1EP =，…………………………………………………9分∴()30P ，．………………………………………………10分 15. ⑴ 连接DN ，由已知得APM △和AQM △都是直角三角形，AM 是公共斜边，∵D 是AM 的中点，∴12PD AM QD ==，……………………………………2分 ∵PN PD ⊥，QN QD ⊥，∴DPN DQN ∠=∠，∴Rt Rt DPN DQN △≌△()HL ，∴NP NQ =．……………………………………………………………………4分 ⑵ 取BM 、MC 的中点S 、T ，连结SP 、SN 、TQ 、TN ． 1122SP BM MC TQ ===，…………………………………………………………5分9090SPN BPS NPM B DPA ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠ 9090B BAM AMC =︒-∠-∠=︒-∠9090DMQ QMT DQM MQT =︒-∠-∠=︒-∠-∠TQN =∠．………………………………………………7分∴SPN TQN △≌△()SAS ．∴SN TN =，……………………………………………8分 ∵SM TM =，∴MN BC ⊥．…………………………10分16. ∵()2222222x y z x y z xy yz zx ++=+++++， ∴()111222xy yz zx ++=-=-，…………………………………2分 ∵()()3332223x y z xyz x y z x y z xy yz zx ++-=++++---， ∴16xyz =．………………………………………………………4分 ()()24442222222222x y z x y z x y y z z x ++=++-++，…………6分又()()22222222111222612x y y z z x xy yz zx xyz x y z ⎛⎫++=++-++=--⨯=- ⎪⎝⎭，……………8分∴444212522126x y z ⎛⎫++=-⨯-= ⎪⎝⎭．…………………………………………………………10分NQ。
学而思初二数学上册培优辅导讲义(人教版)
第 1 讲与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们 .3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.经典·考题·赏析【例 1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？A 【解法指导】⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线 .C ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.有 6 对对顶角 . 12 对邻补角 .【变式题组】111∠ FOC＝2∠ AOC∴∠ EOF ＝∠ EOC ＋∠ FOC ＝2∠BOC＋2∠AOC＝1AOC1BOC又∵∠ BOC＋∠ AOC ＝ 180° ∴∠ EOF＝2× 180°＝ 90°2⑵∠ BOE 的余角是：∠ COF 、∠ AOF ；∠ BOE 的补角是：∠ AOE.【变式题组】01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点 O，OA 平分∠ EOC，且∠ EOC＝100°，E则∠ BOD 的度数是（）D A ．20°B ． 40°C． 50° D ．80°E D14B32FO AAC01．如右图所示，直线AB 、 CD、EF 相交于 P、Q、R，则：C⑴∠ ARC 的对顶角是.邻补角是.⑵中有几对对顶角，几对邻补角？02．当两条直线相交于一点时，共有 2 对对顶角；A Q 当三条直线相交于一点时，共有 6 对对顶角；当四条直线相交于一点时，共有12 对对顶角 .F 问：当有 100 条直线相交于一点时共有对顶角 .【例２】如图所示，点O 是直线 AB 上一点， OE、 OF 分别平分∠ BOC 、∠AOC ．⑴求∠ EOF 的度数；⑵写出∠ BOE 的余角及补角 .F 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；EPR BD【变式题组】CE（第 1 题图）（第 2 题图）02．（杭州）已知∠ 1＝∠ 2＝∠ 3＝ 62°，则∠ 4＝.【例３】如图，直线l1、 l2 相交于点 O， A 、 B 分别是 l1、 l2 上的点，试用三角尺完成下列作图：A⑴经过点 A 画直线 l2的垂线 .⑵画出表示点 B 到直线 l1 的垂线段 .O【解法指导】垂线是一条直线，垂线l2段是一条线段 .B01． P 为直线 l 外一点，A、B、Cl 1是直线 l 上三点，且 PA＝ 4cm， PB＝ 5cm，PC＝ 6cm，则点 P到直线 l 的距离为（）A ． 4cm B．5cm C．不大于 4cm D．不小于 6cm02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由 A向B行驶，M、1A【解】⑴∵ OE、OF 平分∠ BOC 、∠ AOC∴∠ EOC＝2∠BOC ，O B N 为位于公路两侧的村庄；⑴设汽车行驶到路AB 上点 P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到 AB 上点 Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P、Q的位置.⑵当汽车从 A 出发向 B 行驶的过程中，在的路上距离M 村越来越近 ..在的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.【例４】如图，直线 AB 、 CD 相交于点 O，OE⊥ CD，OF⊥ AB ，∠ DOF ＝ 65°，求∠ BOE 和∠ AOC 的度数 .E 【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝ 90°，OF⊥AB ．AOC【变式题组】01．如图，若 EO⊥ AB 于 O，直线 CD 过点 O，∠EOD ︰∠ EOB ＝ 1︰ 3，求∠ AOC 、∠AOE 的度数 .E 03．如图，已知AB ⊥ BC 于 B ，DB ⊥ EB 于 B，并且∠ CBE ︰∠ ABD ＝1︰ 2，请作出∠ CBE 的对顶角，并求其度数.AB DAE【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称：F C∠1 和∠ 2：1∠1 和∠ 3：46D A23B∠1 和∠ 6：5BDE∠2 和∠ 6：F∠2和∠4：∠3 和∠5：∠3 和∠4：D 02．如图，O 为直线 AB 上一点，∠ BOC＝ 3∠AOC ，OC 平分∠ AOD ．⑴求∠ AOC 的度数；B ⑵试说明 OD 与 AB 的位置关系 .DB OA【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它O C们的名称 .C【变式题组】01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF，GH 相交，图中的同旁内角共有（）AA．4对B．8对C ． 12A对CHEＧBDFD．16 对02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.37854346216521123401．如图，推理填空.⑴∵∠ A ＝∠（已知）∴AC∥ED（）⑵∵∠ C＝∠（已知）∴AC ∥ED（）⑶∵∠ A ＝∠（已知）∴AB ∥DF（）02．如图， AD 平分∠ BAC ，EF 平分∠ DEC ，且∠ 1＝∠ 2，试说明 DE 与 AB的位置关系 .C甲乙03．如图，按各组角的位置判断错误的是（）A ．∠ 1 和∠ 2 是同旁内角B．∠ 3 和∠ 4 是内错角丙A13254解：∵ AD 是∠ BAC 的平分线（已知）∴∠ BAC ＝2∠ 1（角平分线定义）又∵ EF 平分∠ DEC（已知）∴（）又∵∠ 1＝∠ 2（已知）A1E2C．∠ 5 和∠ 6 是同旁内角6D ．∠ 5 和∠ 7 是同旁内角B 【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由?⑴∠ CBD ＝∠ ADB ；A⑵∠ BCD ＋∠ ADC ＝ 180°⑶∠ ACD ＝∠ BAC【解法指导】图中有即即有同旁内B角，有“”即有内错角.7 C∴（）∴AB∥DEB DF（）DO03．如图，已知 AE 平分∠ CAB ， CE 平分∠ ACD ．∠ CAE ＋∠ ACE＝90°，求证： AB ∥ CD ．C AECB【解法指导】⑴由∠ CBD ＝∠ ADB ，可推得 AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行 .⑵由∠ BCD ＋∠ ADC ＝ 180°，可推得 AD ∥ BC；根据同旁内角互补，两直线平行 .⑶由∠ ACD ＝∠ BAC 可推得 AB ∥ DC ；根据内错A角相等，两直线平行 .F【变式题组】EBD04．如图，已知∠ ABC ＝∠ ACB ， BE 平分∠ ABC ，CD 平分∠ ACB ，∠ EBF ＝∠ EFB ，求证： CD∥ EF.C DAD EBC F01．如，∠ EAC ＝∠ ADB ＝ 90° .下列法正确的是（A．α的余角只有∠ B B．α的角是∠ DAC 【例７】如⑴，平面内有六条两两不平行的直，：在所有的交角中，至C．∠ ACF 是α的余角D．α与∠ ACF 互少有一个角小l4l4l3E E于 31°.A Al3l5l5l 2l6l2αM l 6Bl1l1C DB D CFFN第 1第 202．如，已知直 AB 、CD 被直 EF 所截，∠ EMBA．∠ AMFB ．∠ BMF C．∠ ENC03．下列句中正确的是（））ABD C第 4的同位角（）D．∠ END⑴⑵【解法指】如⑵，我可以将所有的直移后，使它相交于同一点，此的形⑵.明：假⑵中的12 个角中的每一个角都不小于31°12× 31°＝ 372°＞ 360°与一周角等于 360°矛盾所以 12 个角中至少有一个角小于 31°【式】01．平面内有18 条两两不平行的直，：在所有的交角中至少有一个角小于11° .A．在同一平面内，一条直只有一条垂B．直上一点的直只有一条C．直上一点且垂直于条直的直有且只有一条D．垂段就是点到直的距离04．如，∠BAC ＝ 90°，AD ⊥ BC 于 D，下列中，正确的个数有（）① AB ⊥AC ② AD 与 AC 互相垂直③点 C 到 AB 的垂段是段 AB ④ 段 AB 的度是点 B 到 AC 的距离⑤垂段 BA 是点 B 到 AC 的距离⑥ AD ＞ BDA． 0B．2C．4D．605．点 A 、 B 、C 是直 l 上的三点，点P 是直 l 外一点，且PA＝ 4cm，PB ＝5cm， PC＝ 6cm，点 P 到直 l 的距离是（）A． 4cm B ． 5cm C．小于 4cm D．不大于4cm06．将一副直角三角板按所示的方法旋（直角点重合），∠ AOB＋∠ DOC＝.02．在同一平面内有2010 条直 a1,a2,⋯， a2010,如果 a1⊥ a2,a2∥ a3， a3⊥a4，a4∥ a5⋯⋯那么a1 与 a2010 的位置关系是.03．已知 n（ n＞ 2）个点 P1，P2，P3⋯ Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直上， Sn 表示几个点中的任意两个点所作的所有直的条数，然：S2＝1，S3＝ 3， S4＝ 6，∴ S5＝ 10⋯ Sn＝.演巩固·反提高cC A E D21D B a34Gb65B FC78A O ∴AB ∥ FD．14．如，你填上一个适当的条件使AD∥ BC．FAEH第 61第 7第 907．如，矩形 ABCD 沿 EF 折，且∠ DEF ＝ 72°，∠ AEG ＝. 08．在同一平面内，若直 a1∥ a2,a2⊥ a3,a3∥ a4,⋯ a1a10（. a1 与 a10不重合）09．如所示，直a、b 被直 c 所截，出下列四个条件：①∠1＝∠ 5，②∠ 1 ＝∠ 7，③∠ 2＋∠ 3＝ 180°，④∠ 4＝∠ 7，其中能判断a∥ b的条件的序号是.10．在同一平面内两条直的位置关系有.11．如，已知 BE 平分∠ ABD ，DE 平分∠ CDB ，且∠ E＝∠ ABE ＋∠ EDC．明 AB ∥CD？AE 12．如，已知 BE 平分∠ ABC ， CF 平分∠ BCD ，∠ 1 ＝∠2，那么直 AB 与 CD 的位置关系如何？BBD第 14CCA1E13．如，推理填空：⑴∵∠ A＝（已知）2∴AC ∥ED（）C⑵∵∠ 2＝（已知）∴AC ∥ED（）⑶∵∠ A＋＝ 180°（已知）DB培升·奥F01．平面上互不重合的三条直的交点的个数是（）A． 1，3B． 0，1， 3C．0，2，3D． 0，1， 2， 3 D02．平面上有 10 条直，其中 4 条是互相平行的，那么 10条直最多能把平面分成（）部分 .DAA． 60B．55C．50D． 4503．平面上有六个点，每两点都成一条直，除了原来的CBEF6 个点之外，这些直线最多还有（）个交点 .⑵总共有 29 个交点 .A ．35B． 40C． 45D． 55第 13讲平行线的性质及其应用04．如图，图上有 6 个点，作两两连线时，圆内最多有考点·方法·破译__________________ 交点 .1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系；05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a、b 是一个角的两边，现在要在图纸2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，并证明你的正确性 .感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.经典·考题·赏析【例１】如图，四边形 ABCD 中， AB ∥ CD ， BC ∥AD ，∠ A ＝ 38°，a b求∠C 的度数 .D【解法指导】两条直线平行，同位角相等；A两条直线平行，内错角相等；06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（）两条直线平行，同旁内角互补 .A．3B．1 或 3C．1或2或3D．不一定是 1，2， 3平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截07．请你在平面上画出 6 条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好线，识别角的关系式关键 .与另三条直线相交，并简单说明画法？【解】：∵ AB ∥CD BC∥ AD∴∠ A ＋∠ B＝180°∠ B＋∠ C＝ 180°(两条直线平行，同旁内角互补 )08．平面上有 10 条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31 个交点，怎么∴∠A＝∠C∵∠ A＝38°∴∠ C＝ 38°安排才能办到？【变式题组】01．如图，已知 AD ∥BC，点 E 在 BD 的延长线上，若∠ ADE ＝ 155 °，则∠ DBC的度数为（）A． 155° B ．50°C． 45°D． 25°09．如图，在一个正方体的 2 个面上画了两条对角线AB 、A E3C l12AC ，那么两条对角线的夹角等于（）DA ．60°B． 75°C． 90° D ． 135°A l 2C1B10．在同一平面内有 9 条直线如何安排才能满足下面的两（第 1 题图）（第 2 题图）个条件？⑴任意两条直线都有交点；BF C21αA B（第 3 题图）D E02．（安徽）如图，直线l1∥ l2,∠ 1＝55°，∠ 2＝65°，则∠ 3 为（）A． 50°B． 55°C． 60°D．65°03．如图，已知FC∥ AB ∥ DE，∠α：∠ D：∠ B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠ D、∠ B 的度数 .【例２】如图，已知 AB ∥ CD ∥ EF，GC⊥ CF，∠ B＝ 60°，∠ EFC＝45°，求∠ BCG 的度数 .【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线A相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.【解】∵ AB ∥CD∥ EF∴∠ B ＝∠ BCD∠ F＝∠ FCD( 两条直线平行，内错角相等 ) 又∵∠ B＝ 60°∠ EFC＝ 45°∴∠ BCD ＝C 60°∠ FCD ＝ 45°又∵ GC⊥ CF ∴∠ GCF ＝ 90°（垂直定理）∴∠ GCD ＝90°－ 45°＝ 45°∴∠ BCG＝ 60°－ 45°＝ 15°E【变式题组】01．如图，已知AF∥ BC, 且 AF平分∠ EAB ，∠ B ＝ 48°，则∠ C 的的度数＝_______________E AFA B MD O EB C B C APND（第 1 题图）（第 2 题图）（第 3 题图）02.如图 ,已知∠ ABC ＋∠ ACB ＝ 120°， BO、 CO 分别∠ ABC 、∠ ACB ， DE 过点O 与 BC 平行，则∠ BOC＝ ___________03．如图，已知AB ∥ MP ∥ CD, MN 平分∠ AMD ，∠ A＝ 40°，∠ D＝ 50°，求∠NMP 的度数 .【例３】如图，已知∠1＝∠ 2，∠ C＝∠ D ．求证：∠ A ＝∠ F.【解法指导】因果转化，综合运用.逆向思维：要证明∠ A ＝∠ F，即要证明 DF∥ AC ．要证明 DF ∥ AC, 即要证明∠ D＋∠ DBC ＝ 180°，即：∠ C＋∠ DBC ＝ 180°；要证明∠ C＋∠ DBC＝180°即要证明 DB ∥ EC．要证明 DB ∥EC 即要证明∠ 1＝∠ 3.证明：∵∠ 1＝∠ 2，∠ 2＝∠ 3（对顶角相等）所以∠1＝∠ 3 ∴ DB ∥B EC（同位角相等 ?两直线平行）∴∠ DBC ＋∠ C＝ 180°（两直线平行，G同旁内角互补）∵∠C＝∠ D∴∠ DBC ＋∠ D ＝ 180° ∴ DF∥ AC（同旁内角，互补两直线平行）∴∠A＝∠ F（两直线平行，内错角相D等）D E F2F【变式题组】01．如图，已知 AC ∥ FG，∠3C1＝∠ 2，求证： DE ∥ FGA1A1DB C32E G C（第 1 题图）02．如图，已知∠ 1＋∠ 2＝ 180°，∠ 3＝∠ B ．求证：∠ AED ＝∠ ACBADE312FB C（第 2 题图）03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线 AO 平行于β入射到α上，经两次反射后的出射光线 O′B平行于α，则角θ等于_________.αOθ【例４】如图，已知 EG⊥ BC ， AD ⊥BC，∠ 1＝∠ 3.O/求证： AD 平分∠ BAC ．E【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论A.（题目中的：的条件，要准确把握住这些条件的意图13∠ 1＝∠ 3）证明：∵ EG⊥ BC ， AD ⊥BC∴∠ EGC＝∠ ADC ＝ 90°（垂直定义）∴ EG∥AD （同位角相等，两条直线平行）G DB∵∠ 1＝∠ 3 ∴∠ 3＝∠ BAD （两条直线平行，内错角相等）∴ AD 平分∠ BAC （角平分线定义）【变式题组】D01．如图，若AE ⊥ BC 于 E，∠ 1＝∠ 2，求证： DC ⊥BC ．A12B E C02．如图，在△ ABC 中，CE⊥AB 于 E,DF ⊥ AB 于 F, AC∥ ED ，CE 平分∠ACB ．求证：∠ EDF＝∠ BDF.AEFBD CB3．已知如图， AB ∥ CD，∠ B＝ 40°， CN 是∠ BCE 的平分线 . CM ⊥ CN，求：∠BCM 的度数 .A BβNME C DC【例５】已知，如图，AB ∥ EF，求证：∠ ABC ＋∠ BCF ＋∠ CFE＝ 360°【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比，联想周角 .构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.过点 C 作 CD∥AB 即把已知条件 AB ∥ EF 联系起来，这是关A B键 .1【证明】：过点 C 作 CD∥ AB∵ CD ∥ AB ∴∠ 1＋∠ ABC DC ＝ 180°2(两直线平行，同旁内角互补 )又∵ AB ∥EF，∴ CD ∥ EF（平E F行于同一条直线的两直线平行）∴∠ 2＋∠ CFE＝ 180°(两直线平行，同旁内角互补 ) ∴∠ ABC ＋∠ 1＋∠ 2＋∠ CFE＝180°＋ 180°＝ 360°即∠ ABC ＋∠ BCF ＋∠ CFE＝ 360 °【变式题组】01．如图，已知， AB ∥ CD，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠ PAB、∠ PCD的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.结 论 ： ⑴ ____________________________⑵____________________________⑶ ____________________________⑷ ____________________________ABPABABBAPPPDC ⑴D C ⑵ D C ⑶ DC ⑷【例６】如图，已知， AB ∥ CD ，则∠ α、∠ β、∠ γ、∠ ψ之间的关系是∠ α＋∠ γ＋∠ ψ－∠ β＝ 180°Aα B【解法指导】基本图形ABα1βHP ∠ P ＝ α＋ β E 2.善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路 3Fβγ 4∵AB ∥ EH∴∠ α＝∠ 1（两 【解】过点 E 作 EH ∥AB ． 过点 F 作 FG ∥AB ．直线平行，内错角相等）又∵ C DFG ∥AB ∴ EH ∥ FG （平行于同一条直线的两直线ψ 平行）∴∠ 2＝∠ 3 又∵ AB ∥ CD ∴FG ∥ CD （平行于同一条直线的两直线平行）CD∴∠ ψ＋∠ 4＝ 180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠ α＋∠ γ＋∠ ψ－∠ β＝∠ 1＋∠ 3＋∠ 4－ ψ－∠ 1－∠ 2＝∠ 4＋ ψ＝180°【变式题组】01．如图， AB ∥ EF ，∠ C ＝ 90°，则∠ α、∠ β、∠ γ的关系是（ ）A ． ∠ β＝∠ α＋∠ γB ．∠ β＋∠ α＋∠ γ＝ 180°C ． ∠ α＋∠ β－∠ γ＝ 90°D ．∠ β＋∠ γ－∠ α＝ 90°【例７】如图，平移三角形 ABC ，设点 A 移动到点 A/ ，画出平移后的三角形 A/B/C/.【解法指导】抓住平移作图的“四部曲” —— 定，找，移，连 .A ′⑴定：确定平移的方向和距离 .⑵找：找出图形的关键点 .l⑶移：过关键点作平行且相等的线段， 得到关键点的对应点 .A⑷连 : 按原图形顺次连接对应点 .B ′C ′【解】①连接 AA/ ②过点 B 作 AA/ 的平行线 l ③在 l 截取BB/ ＝AA/, 则点 B/ 就是的 B 对应点，用同样的方法作出点 BC 的对应点 C/.连接 A/B/ ，B/C/ ，C/A/ 就得到平移后的三角C形 A/B/C/.【变式题组】01．如图，把四边形 ABCD 按箭头所指的方向平移21cm ，作出平移后的图形.ADBC02．如图 ,已知三角形 ABC 中，∠ C ＝ 90°, BC ＝4， AC＝ 4，现将△ ABC 沿 CB 方向平移到△A/B/C/ 的位置，若平移距离为3, 求△ ABCAA /02．如图， 已知， AB ∥ CD ，∠ ABE 求∠ BFD 的度数 .AαBCγ Dβ和∠ CDE 的平分线相交于点F ，∠ E ＝ 140°，ABEFCD与△ A/B/C/ 的重叠部分的面积 .CC /BB /03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移 BE 的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）EFA D83B 5 EC F演练巩固反馈提高A北01．如图，由 A 测 B 得方向是（）A ．南偏东 30°B．南偏东 60°30°C．北偏西 30°D．北偏西 60°B西02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线南平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（）A．1个B．2 个C．3 个D．4 个03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（）A ．第一次向左拐 30°，第二次向右拐 30°B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐 130°C．第一次向左拐 50°，第二次向右拐 130 ° D ．第一次向左拐 60°，第二次向左拐 120°04．下列命题中，正确的是（）A ．对顶角相等B．同位角相等C．内错角相等 D ．同旁内角互补05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的 [ 如图⑴—⑷ ]P.P.P.P.从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.A．①② B ．②③C．③④ D ．①④06．在 A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从 A 地测得 B 地的走向是南偏东 52° .现 A 、B 两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则 B 地所修公路的走向应该是（）A．北偏东52°B．南偏东52°C．西偏北52° D ．北偏西38°东07．下列几种运动中属于平移的有（）①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.A．1种B．2 种C．3 种D．4种08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置 .平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）⑴⑵⑶⑷10．如图， AD ∥ BC ，AB ∥ CD ，AE ⊥BC，现将△ ABE 进行平移 . 平移方向为射AD 的方向 . 平移距离段BC 的，平移得到的三角形是中（）的阴影部分 .DA DADAB E AC B E B C BE C C B E11．判断下列命是真命是假命，如果是假命，出一个反例 . ⑴ 角是相等的角；⑵相等的角是角；⑶两个角的和是角；⑷同旁内角互，两直平行.12．把下列命改写成“如果⋯⋯那么⋯⋯”的形式，并指出命的真假.⑴互的角是角；⑵两个角的和是角；⑶直角都相等.13．如，在湖修一条公路.如果第一个拐弯∠ A ＝ 120 °，第二个拐弯∠B ＝150°，第三个拐弯∠ C，道路 CE 恰好和道路 AD 平行，∠ C 是多少度？并明理由 .湖E D120°150°CBD CE DE 点，与两岸B、14．如，一条河流两岸是平行的，当小船行到河中D 成 64°角 . 当小船行到河中 F 点，看 B 点和 D 点的 FB 、FD 恰好有∠1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4 的关系 . 你能出此点 F 与 B、D 所形成的角∠ BFD 的度数？AB12F E3C4D15．如， AB ∥CD ，∠ 1＝∠ 2，明∠ E 和∠ F 的关系 .A B13EF42C PD培升·奥A01．如，等△ ABC 各都被分成五等分，在D F△ ABC 内能与△ DEF 完成重合的小三角形共有25 个，那么在△ ABC 内由△ DEF 平移得到的三角形共有EB C（）个02．如，一足球运在球上点 A 看到足球从 B 点沿着 BO 方向匀速来，运立即从 A 以匀速直奔跑前去截足球.若足球的速度与运奔跑的速度相同，出运的平移方向及最快能截住足球的位置.（运奔跑于足球点的平移）. D A03．如，方体的 AB ＝ 4cm， BC ＝3cm，高 AA1 ＝ 2cm. 将 AC 平移到 A1C1 的位置上，平移的距离是 ___________,平移的方向是___________..A .B04．如是形的操作程（五个矩形水平方向O D1B的均 a，直方向的 b ）；将段A1A2 向右平移 1 个位得到 B1B2 ，得到封A1B1形 A1A2B2B1 [即阴影部分如⑴]; 将折 A1A2A3 向右平移 1 个位得到 B1B2B3 ，得到封形A1A2 A3B3B2B1 [即阴影部分如⑵ ];⑴在⑶中，你似地画出一条有两个折点的直，同的向右平移 1 个位，从而得到 1 个封形，并画出阴影 .⑵ 你分写出上述三个阴影部分的面S1＝ ________, S2＝ ________, S3＝________.⑶ 想与探究：如⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平度都是1个位），你猜想空白部分草地面是1A1B1A11A1B BA2草地BA B A3222B3草地2A3B3 A BA B2⑶⑷44⑴⑵⑸多少？05．一位模型手遥控一，先前一半，然后原地逆旋α°（ 0°＜α°＜ 180 °），被称一次操作，若 5 次后回到出点，α°角（）A． 720° B ．108°或 144°C． 144° D ． 720°或 144°06．两条直 a、b 互相平行，直 a 上次有 10 个点 A1 、A2 、⋯、 A10 ，直b 上次有 10个点 B1 、B2 、⋯、 B9 ，将 a 上每一点与 b 上每一点相可得段 .若没有三条段相交于同一点，些段的交点个数是（）C A ．90B． 1620C． 6480D． 200607．如，已知 AB ∥ CD ，∠ B ＝ 100 °， EF 平分∠ BEC ，EG⊥ EF. 求∠BEG 和∠ DEG.C1AB100°G FD E C08．如， AB ∥ CD ，∠ BAE ＝ 30°，∠ DCE＝ 60°，EF、EG 三等分∠ AEC ．：EF 与 EG 中有没有与AB 平行的直？什么？A BFEGC D09．如，已知直 CB ∥ OA ，∠ C＝∠ OAB ＝ 100 °， E、 F 在 CB 上，且足∠ FOB＝∠ AOB ， OE 平分∠ COF.⑴求∠ EOB 的度数；⑵若平行移AB ，那么∠ OBC：∠ OFC 的是否随之生化？若化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.⑶在平行移动 AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠ OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.C FE 若x2＝ a(a≥ 0)则 x 叫做 a 的平方根，记为： a 的平方根为x＝± a ，其中a的平B方根为 x＝a叫做a的算术平方根．若 x3＝ a，则 x 叫做 a 的立方根．记为： a 的立方根为x＝3a．2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一O10．平面上有 5 条直线，其中任意两条都不平行，那么在这 5 条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由 .11．如图，正方形 ABCD 的边长为 5,把它的对角线 AC 分成 n 段，以每一小段为对角线作小正方形，这 n 个小正方形的周长之和为多少？ AD12．如图将面积为a2 的小正方形和面积为b2 的大正方形放在一起，用添补法如pA一对应．任何有理数都可以表示为分数q（ p、q 是两个互质的整数，且q≠ 0）的形式．3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a>0，a2 n≥ 0（ n 为正整数），a≥0(a≥0)．B经典·考题·赏析【例 1】若 2m－ 4 与 3m－ 1 是同一个数的平方根，求m 的值．【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m -4 与3m-l 是同一个数的平方根，∴ 2m-4 ＋ 3m-l ＝ 0， 5m＝ 5， m＝ l ．【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____．C2的最大整数，则m 的平方根是 ____．02．已知 m 是小于159的立方根是 ____．何求出阴影部分面积？F A03．04．如图，有一个数值转化器，当输入的x 为 64 时，输出的 y 是 ____ ．是无理数输入 x输出 y取算术平方根第06讲实数B考点·方法·破译E1．平方根与立方根：C D是有理数【例2】（全国竞赛）已知非零实数 a 、b满足2a 4 b 2 a 3 b24 2a，则 a＋ b 等于 ( )A．－1B． 0C．1D． 2【解法指导】若a 3 b2有意义，∵ a、 b为非零实数，∴ b2>0 ∴a－ 3≥ 0 a ≥ 3∵2a4b2 a 3 b2 4 2a∴2a 4 b 2 a 3 b2 4 2a b 2 a 3 b20，∴．b20a3∴a 3 b20，∴b2，故选 C．【变式题组】0l ．在实数范围内，等式2a a 2b 3＝ 0 成立，则 ab＝ ____．2a02．若a9b30，则b的平方根是 ____．2009x03．（天津）若 x、 y 为实数，且x 2y 2 0，则y的值为（）A ． 1B．－ 1C． 2D．－ 2x xx104．已知 x 是实数，则的值是 ()111111A ．B．C．D．无法确定【例 3】若 a、 b 都为有理效，且满足ab b 1 23．求 a＋b 的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵a b b 1 23 ，a b1 a b1a13∴ b 2 3 即b12 ，∴b12 ，a ＋ b＝ 12＋ 13＝ 25．∴ a＋b 的平方根为： a b25 5 ．【变式题组】01．（西安市竞赛题）已知m、 n 是有理数，且（5＋ 2） m＋(3 －25)n＋ 7＝ 0求 m、 n．1102．（希望杯试题）设 x、y 都是有理数，且满足方程（23）x＋（32）y-4-＝ 0，则 x-y ＝ ____．【例 4】若 a 为17- 2 的整数部分， b-1 是 9 的平方根，且 a b b a ，求a＋ b 的值．【解法指导】一个实数由小数部分与整数部分组成，17- 2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分＝17-2-2 ＝17- 4．∵ a＝ 2，b-1＝± 3 ，∴ b＝－ 2 或 4∵ a bb a．∴ a<b ，∴ a ＝ 2， b ＝ 4，即 a ＋ b ＝ 6．【 式 】01．若 3＋5的小数部分是 a ，3-5的小数部分是 b ， a ＋ b 的 ____．02． 5的整数部分a ，小数部分b ， （5＋ a ）· b ＝ ____ ．演 巩固 反 提高0l ．下列 法正确的是 ( )A ．－ 2 是 (－ 2)2 的算 平方根B ．3 是－ 9 的算 平方根C ． 16 的平方根是± 4D ．27 的立方根是± 3c502．a3， b ＝ －2，2 ， a 、 b 、c 的大小关系是 ( )A ． a<b<cB ． a<c<bC ． b<a<cD ． c<a<b03．下列各 数中，互 相反数的是 ()A ．－9 与 81 的平方根B ．4 与364C ．4 与 3 64D ．3 与93 82 ? ?16 ， ? ?125 中无理数有 ()04．在 数1.414， ，0.1 ，5-， 3.1 ，54A ．2个B ．3 个C ．4个D ． 5个05． 数 a 、 b 在数 上表示的位置如 所示，( )A ． b>aabB ．C ． －a ＜ bD ．－ b>a06． 有四个无理数5，6 ，7 ，8 ，其中在 2 ＋1 与 3＋1 之 的有 ( )A ． 1个B ．2 个C ． 3个D ．4个3207． m 是． m ， n 的关系是 ( )9的平方根， n ＝A. m ＝± nB.m ＝ nC .m ＝－ nm nD.08．（烟台）如 ，数 上 A 、B 两点表示的数分 － 1 和3，点B 关于点 A的 称点 C ， 点 C 所表示的数 ( )A ．－ 2 3B ．－13C ．－2 ＋3D ． l ＋309．点 A 在数 上和原点相距5个 位，点 B 在数 上和原点相距 3 个 位，且点 B 在点 A 左 ， A 、 B 之 的距离 ____．111 10．用 算器探索：已知按一定 律排列的一 数：1， 2，3 ⋯，19 ，120．如果从中 出若干个数，使它的和大于3，那么至少要 ____个数．a b11． 于任意不相等的两个数a 、b ，定 一种运算※如下： a ※ b ＝ab ，如 33 2※ 2＝3 2＝ 5．那么 12.※ 4＝ ____．12．（ 沙中考 ）已知a 、b 两个 整数，且a<7<b ， a ＋ b ＝ ____．a2b a≥ b13．对实数 a、 b，定义运算“ * ”，如下 a*b＝ab2a<b，已知 3*m＝ 36，则实数 m＝ ____．a22a114．设 a 是大于 1 的实数．若 a， 3 ，3在数轴上对应的点分别是 A 、B、C，则三点在数轴上从左自右的顺序是____ ．15.如图，直径为 1 的圆与数轴有唯一的公共点P．点 P 表示的实数为－ 1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点 P′所表示的数是 ____．16．已知整数x、 y 满足x＋2y＝50，求x、y．17．已知 2a-1 的平方根是± 3，3a＋ b-1 的算术平方根是4，求 a＋ b＋ 1 的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为 1 个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当 B 点恰好落在数轴上时，(1)求此时 B 点所对的数；(2)求圆心 O 移动的路程．19．若 b＝3a 15＋153a＋ 3l ，且 a＋ 11 的算术平方根为m， 4b＋ 1 的立方根为 n，求（ mn-2 ） (3mn＋ 4)的平方根与立方根．20．若 x、y 为实数，且（ x-y ＋ 1）2 与5x 3y 3互为相反数，求x2y2的值．培优升级奥赛检测01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x 的两个平方根分别是a＋1 与 a-3 ，则 a 值为 ( )A． 2B．－ 1C． 1 D ． 002．（黄冈竞赛）代数式x ＋x 1＋x2的最小值是 ( )A． 0B．1＋2C． 1 D ． 203．代数式53x- 2的最小值为____．04．设 a 、b 为有理数，且 a 、b 满足等式 a2＋ 3b ＋ b 3＝ 21-5 3，则 a ＋ b ＝ ____．05．若a b＝ 1，且 3 a＝ 4 b，则在数轴上表示09．（北京市初 二 年级竞赛试题）已知0<a<1 ， 并 且a 、b 两数对应点的距离为____．1 2328 29a a06．已知实数 a 满足2009aa 2010a，则 a- 20092 ＝_______．aggg aa303030303018 ，求 [10a] 的值[其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数 ]．m 满足关系式 3x 5y2 mx 3 y mx 199 y g 199 xy ，试确定 m 的值．10．（北京竞赛试题）已知实数a 、b 、 x 、 y 满足 x3 1 a 2y ＋，x 3 y 1 b 2 ，求 2x y 2a b 的值．08．（全国联赛）若 a 、 b 满足 3 a 5 b ＝ 7，S ＝ 2 a 3 b，求 S 的取值范围．第 14 讲平面直角坐标系（一）考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例 1】在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2 ， 1)， B(1， 2)， C(－1， 2)， D( － 2，－ 1)， E(0， 3)， F(－ 3， 0)【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】01．第三象限的点P(x，y)，满足 |x|＝ 5,2x＋ |y|＝ 1，则点 P 得坐标是 _____________ ．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在 ____________象限 .03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．11A( －3， 0)， B( －2，－3) ，C(2，2)， D(0,3) ， E(π－ 3.14， 3.14－π )【例 2】若点 P(a， b)在第四象限，则点Q(― a， b― 1)在（）A．第一象限 B ．第二象限C．第三象限 D ．第四象限【解法指导】∵ P(a，b)在第四象限，∴ a＞0，b＜ 0，∴－ a＜ 0, b－１＜ 0,故选C．【变式题组】01．若点 G(a，2－ a)是第二象限的点，则 a 的取值范围是（）A． a＜ 0B． a＜2C． 0＜ a＜ 2 B ． a＜ 0 或 a＞ 2 02．如果点P(3x－２，２－ x)在第四象限，则x 的取值范围是____________．03．若点 P(x， y)满足 xy ＞ 0，则点 P 在第 ______________象限．04．已知点P(2a－ 8， 2－ a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知 A 点与点 B(－ 3， 4)关于 x 轴对称，求点 A 关于 y 轴对称的点的坐标．【解法指导】关于x 轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于 y 轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标 (y)相等．【变式题组】01．P(－ 1， 3)关于 x 轴对称的点的坐标为____________ ．02．P(3，－ 2)关于 y 轴对称的点的坐标为____________ ．03．P(a， b)关于原点对称的点的坐标为____________ ．04．点A( － 3 ， 2m－１ ) 关于原点对称的点在第四象限，则m 的取值范围是____________ ．05．如果点Ｍ (a＋b， ab)在第二象限内，那么点N(a， b) 关于 y 轴对称的点在第______象限．【例４】 P(3，－ 4)，则点 P 到 x 轴的距离是 ____________．【解法指导】 P(x，y)到 x 轴的距离是 | y|，到 y 轴的距离是 |x|．则 P 到轴的距离是|－4|＝4【变式题组】01．已知点P(3， 5)， Q(6，－５ )，则点 P、 Q 到 x 轴的距离分别是_________ ，__________．P 到 y 轴的距离是点Q 到 y 轴的距离的 ________倍．02．若 x 轴上的点Ｐ到y 轴的距离是3，则 P 点的坐标是 __________．03．如果点B(m ＋ 1， 3m－ 5) 到 x 轴的距离与它到y 轴的距离相等，求m 的值．04．若点 (5－a， a－ 3)在一、三象限的角平分线上，求 a 的值．05．已知两点 A( －3， m)， B(n ，4) ，AB ∥ x 轴，求 m 的值，并确定 n 的取值范围．【例５】如图，平面直角坐标系中有A、B 两点．(1)它们的坐标分别是 ___________，___________；(2)以 A 、 B 为相邻两个顶点的正方形的边长为_________；(3)求正方形的其他两个顶点 C、D 的坐标．【解法指导】平行x 轴的直线上两点之间的距离是：两个点的横坐标的差得绝对值，平行 y 轴的直线上两点之间的距离是：两个点的纵坐标的差得绝对值．即：A(x1 ， y1)，B(x2 ， y2)，若 AB ∥ x 轴，则 |AB| ＝ |x1－ x2|；若 AB ∥ y，则 |AB| ＝ |y1－y2|，则 (1)A(2 ，2) ，B(2 ，－ 1)； (2)3； (3)C(5 ， 2)，D(5 ，－ 1)或 C(－ 1， 2)， D(－ 1，－1)．【变式题组】01．如图，四边形 ACBD 是平行四边形，且 AD ∥ x 轴，说明， A、D 两点的 ___________坐标相等，请你依据图形写出 A 、 B 、 C、 D 四点的坐标分别是_________ 、_________、 ____________ 、____________ ．02．已知： A(0 ，4)， B( －3， 0)， C(3， 0)要画出平行四边形 ABCD ，请根据 A 、 B 、C 三点的坐标，写出第四个顶点 D 的坐标，你的答案是唯一的吗？03．已知： A(0 ，4)，B(0 ，－ 1)，在坐标平面内求作一点，使△ ABC 的面积为 5，请写出点 C 的坐标规律．【例 6】平面直角坐标系，已知点 A( －3，－ 2)，B(0 ，3)， C(－ 3， 2)，求△ ABC 的面积．1【解法指导】(1)三角形的面积＝ 2 ×底×高．(2)通过三角形的顶点做平行于坐标轴的平行线将不规则的图形割补成规则图形，然后计算其面积．则Ｓ△11ABC ＝Ｓ△ ABD ＝Ｓ△ BCD ＝2·3·5－2·3·1＝6．【变式题组】01．在平面直角坐标系中，已知△ ABC三个顶点的坐标分别为 A( ― 3，― 1)， B(1， 3)， C(2，－ 3)，△ ABC 的面积．02．如图，已知 A( －4， 0)， B( － 2， 2)， C,0，－ 1)， D(1 ， 0)，求四边形 ABDC 的面积．03．已知： A( － 3，0)，B(3 ， 0)， C(－ 2，2)，若 D 点在 y 轴上，且点 A 、B、C、D 四点所组成的四边形的面积为 15，求 D 点的坐标．。