高一数学同步专练(人教A版2019必修1)-第七讲 函数的单调性
高中数学人教A版必修一同步练习2.3 函数的简单性质(函数的单调性)
高中数学人教A 版必修一同步练习2.3 函数的简单性质（函数的单调性）例题2-3-1、判断下列函数的单调性：(1) y ＝|32|2-+x x ； (2) y ＝x 2-||2x -3； (3) y ＝|1|122---x xx .例题2-3-2、用单调性定义证明：f (x )＝12+x x在[1，+∞)上是减函数.例题2-3-3、已知函数y ＝x +x1， (1)求定义域； (2)判断奇偶性；(3)求单调区间，并证明单调性.例题2-3-4、证明函数f (x )＝111122+++-++x x x x 在R 上是奇函数.例题2-3-5、证明：函数f (x )＝x 3在(-∞，]0上是增函数.例题2-3-6、求函数y ＝x x 20042-的单调递增区间.例题2-3-7、判断函数y ＝x 2+x1在(-∞，0)上的单调性.例题2-3-8、函数f (x )，x (-1，1)满足f (-x )＝-f (x )，且f (1-a )+f (1-a 2)＜0. 若f (x )是(-1，1)上的减函数，求实数a 的取值范围.例题2-3-9、已知y ＝f (x )是R 上的满足f (-x )＝- f (x )的函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f (x )＜0，问)(1)(x f x F ＝在(-∞，0)上是增函数还是减函数? 证明你的结论.例题2-3-10、若函数f (x )＝ax 2-2(a -2)x +1在区间[-1，3]上是单调函数，求实数a 的取值范围.高中数学人教A 版必修一同步练习2.3 函数的简单性质（函数的单调性）解析 例题2-3-1判断下列函数的单调性： (1) y ＝|32|2-+x x ； (2) y ＝x 2-||2x -3； (3) y ＝|1|122---x xx .1. 求函数单调性是基本问题，通过图像来解决非常直接.2. 本题涉及两个图像变换问题：(1) 把f (x )图像在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到上方去得到)(x f 的图像. (2) 把 f (x )图像在y 轴左侧的部分抹去，并把在y 轴右侧的部分沿y 轴翻折到左边来，并保留y 轴右侧的部分，就可得到y ＝f (x )的图像(一定是偶函数，关于y 轴对称).3. 解决绝对值问题有时需要讨论，去掉绝对值后解析式可化简，这样再研究函数的性质就方便了. 解：(1) 因为 y ＝|4)1(|2-+x 则可以画出此函数的图像，如图，由图像可得 当x ∈(-∞，-3]时，函数单调递减； 当x ∈(-3，-1]时，函数单调递增； 当x ∈(-1，1]时，函数单调递减； 当x ∈(1，+∞)时，函数单调递增.(2) 因为y ＝4)1|(|3||2||22----x x x ＝，所以此函数为偶函数，可以画出函数图像如图.(或由y ＝⎪⎩⎪⎨⎧-+-+----)0 ( 4)1( 32)0 ( 4)1( 322222＜＝＝x x x x xx x x 同样可以画出如图所示的函数图像)则可知当x ∈(-∞，-1)时，f (x )单调递减； 当x ∈[-1，0]时，f (x )单调递增； 当x ∈[0，1]时，f (x )单调递减；当x ∈(1，+∞)时，f (x )单调递增.(3) 因为y＝|1|122---x xx＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+--+--)0 1( 2112)2 1 ( 11222x x x x x x x x x x xx 且＜＝且＝此函数为分段函数，可以画出它的图像， 如图可知当x ∈(-∞，0)和x ∈(0，1)时，f (x )为增函数； 当x ∈(1，2)和x ∈(2，+∞)时，f (x )为减函数.例题2-3-2用单调性定义证明：f (x )＝12+x x在[1，+∞)上是减函数.y-3 -1 1 3 O-3xy 1 2-2xO ≥ ≥ ≠ ≠y -3 -1 1 O 4x(1) 任取：在单调区间内任取两个自变量x 1，x 2，且x 1＜x 2； (2) 作差：用x 1和x 2的函数值作差，即f (x 1)-f (x 2)；(3) 变形：作差后可以因式分解变为乘积或商的形式，也可以凑配成完全平方式； (4) 比较：判断f (x 1)-f (x 2)的符号，从而比较f (x 1)与f (x 2)的大小. 此方法用到了不等式中的一个重要的比较方法：求差比较法. 解：任取x 1，x 2∈[1，+∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)-f (x 2)＝(*))1)(1()1)(()1)(1(1122212112222122121221222211++--++--++-+x x x x x x x x x x x x x x x x x x ＝＝因为1≤x 1＜x 2，x 2 -x 1＞0且x 1x 2＞1.又因为121+x ＞0，122+x ＞0，所以(*)＞0，即f (x 1)＞f (x 2). 所以f (x )在[1，+∞)上是减函数.例题2-3-3 已知函数y ＝x +x1， (1)求定义域； (2)判断奇偶性；(3)求单调区间，并证明单调性.此题所涉及的函数是高中数学经常要遇到的函数，经过此题的讨论，我们可清楚地知道其大致性质，因此也能画出其大致图像，不妨试试看. 解：(1) x ≠0.(2) 因为)(11)(x f x x x x x f -⎪⎭⎫ ⎝⎛+----＝＝＝，所以f (x )为奇函数.(3) 任取x 1，x 2∈(-∞，0) (0，+∞) 且x 1＜x 2， 则22112111)()(x x x x x f x f --+-＝＝(*))1()()(212121211221x x x x x x x x x x x x ---+-＝.因为x 1，x 2∈(-∞，0) (0，+∞)且x 1＜x 2， ① 当x 1＜x 2＜-1时，x 1-x 2＜0，x 1x 2-1＞0，x 1x 2＞0， 所以(*)＜0，即f (x 1)＜f (x 2). 所以f (x )在(-∞，-1)上是增函数. ② 当-1≤x 1＜x 2＜0时，x 1-x 2＜0，x 1x 2-1＜0，x 1x 2＞0， 所以(*)＞0，即f (x 1)＞f (x 2). 所以f (x )在[-1，0]上是减函数. ③ 当0＜x 1＜x 2≤1时，x 1-x 2＜0，x 1x 2-1＜0，x 1x 2＞0， 所以(*)＞0，即f (x 1)＞f (x 2). 所以f (x )在(0，1)上是减函数. ④ 当x 2＞x 1＞1时，x 1-x 2＜0，x 1x 2-1＞0，x 1x 2＞0， 所以(*)＜0，即f (x 1)＜f (x 2).所以f (x )在(1，+∞)上是增函数.例题2-3-4证明函数f (x )＝111122+++-++x x x x 在R 上是奇函数.此题考查用定义证明函数的奇偶性，注意有时采用变通的办法更灵活，如证明：(1) f (-x ) +f(x )＝0⇒奇函数；(2) ⇒--1)()(＝x f x f 奇函数.证明： 因为R ∈x 又f (-x )＝111122+-+--+x x x x＝)]1(1)][1(1)][1(1[)]1(1)][1(1)][1(1[222222+++-++--+-++++++-+x x x x x x x x x x x x＝)11(2)11(222+++-++-x x x x x x＝111122+++-++-x x x x＝)(x f -.所以f (x )是R 上的奇函数.例题2-3-5证明：函数f (x )＝x 3在(-∞，]0上是增函数.证明(判断)函数在指定区间A 上的单调性应严格遵循五个步骤： (1) 设元：设x 1，x 2∈A ，且x 1＜x 2；(2) 作差：将函数值f (x 1)与f (x 2)作差；(3) 变形：对上述差值(因式分解，或配方等)变形；(4) 判号：对上述变形结果的正、负加以判断，从而看出f (x 1)，f (x 2)的大小； (5) 定论：确定f (x )的单调性.证明： 设x 1，x 2∈(-∞，]0，且x 1＜x 2， 则 f (x 1)-f (x 2)＝x 13-x 23＝(x 1-x 2)(x 12+x 1x 2+x 22)＝⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22221214321)(x x x x x .由x 1-x 2＜0，22121⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x ＞0，43x 22≥0，得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22221214321)(x x x x x ＜0，所以f (x 1)- f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2).所以，函数f (x )＝x 3在(-∞，]0上是增函数. 例题2-3-6求函数y ＝x x 20042-的单调递增区间.如果函数＝f (u )和u ＝g (x )在公共区间A 上都是单调函数，那么函数y ＝f [g (x )]在A 上也是单调函数，并且，若y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性相同(反)，则y ＝f [g (x )]是增(减)函数. 这一性质，我们简记为“同增异减”.解：首先，由x 2-2004x ≥0，得x ≤0，或x ≥2004.∴函数的定义域是(-∞，0] [2004，+∞). ①xy O1002 2004其次，由于函数y ＝u 在[0，+∞]上是增函数，所以，求函数y ＝x x 20042-的单调递增区间，只需求出函数u ＝x 2-2004x 的单调递增区间，且满足①.如图所示，函数u ＝x 2-2004x 的单调递增区间是[1002，+∞). ②由①、②知函数y ＝x x 20042-的单调递增区间是[2004，+∞).例题2-3-7 判断函数y ＝x 2+x1在(-∞，0)上的单调性. )、g (x )在区间A 上都是增(减)函数，则函数f (x )+g (x )在区间A 上也是增(减)函数. 应用这一性质解答数学问题时，易出错的地方是：忘记了A 是公共区间.将函数y ＝x 2+x 1拆成函数f (x )＝x 2与xx g 1)(=，依据f (x )、g (x )的单调性确定f (x )+g (x )的单调性，见下图.解：∵ f (x )＝x 2在(-∞，0)上是减函数，g (x )＝x1在(-∞，0)上也是减函数， ∴ y ＝f (x )+ g (x )在(-∞，0)上是减函数，即y ＝x 2+x1在(-∞，0)上是减函数. 例题2-3-8函数f (x )，x ∈(-1，1)满足f (-x )＝-f (x )，且f (1-a )+f (1-a 2)＜0. 若f (x )是(-1，1)上的减函数，求实数a 的取值范围. 是增(减)函数，且f [g (a )]＞f [)(a ϕ]，则a 的取值范围是{a |g (a )＞)(a ϕ}，或{a |g (a )＜)(a ϕ}. 解：首先，-1＜1-a ＜1，-1＜1-a 2＜1.由f (1-a )+f (1-a 2)＜0，得f (1-a )＜-f (1-a 2). ∵ f (-x )＝-f (x )，x ∈(-1，1)，∴ f (1-a )＜f (a 2-1).又∵ f (x )是(-1，1)上的减函数，∴⎪⎩⎪⎨⎧------,11,111,11122a a a a ＞＜＜＜＜ 即 ⎪⎩⎪⎨⎧--12,22,20＜＜＜＜＜＜a a a 且a ≠0，解得0＜a ＜1(参看右图). ∴实数a 的取值范围是(0，1).例题2-3-9已知y ＝f (x )是R 上的满足f (-x )＝- f (x )的函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f (x )＜0，问)(1)(x f x F ＝在(-∞，0)上是增函数还是减函数? 证明你的结论.满足f (-x )＝- f (x ) (或f (-x )＝f (x ))的函数在对称区间(-∞，0)与(0，+∞)上的单调性相同(反). 可以通过两个特殊的函数的图象帮助我们记忆，如图所示. 解：F (x )在(-∞，0)上是减函数.1 2-2 -22 yxOy ＝x 3yxOy ＝x 2任取x 1，x 2∈(-∞，0)，且x 1＜x 2， 则-x 1＞-x 2＞0.∵ y ＝f (x )在(0，+∞)上是增函数，且f (x )＜0， ∴ f (-x 2)＜f (-x 1)＜0. ① 又∵ f (-x )＝- f (x )， ∴ f (-x 2)＝- f (x 2)， ② f (-x 1)＝- f (x 1). ③ 由①、②、③，得f (x 2)＞f (x 1)＞0. 于是F (x 1)-F (x 2)＝)()()()(2112x f x f x f x f -＞0，即F (x 1)＞F (x 2).∴ )(1)(x f x F ＝在(-∞，0)上是减函数.例题2-3-10若函数f (x )＝ax 2-2(a -2)x +1在区间[-1，3]上是单调函数，求实数a 的取值范围. 对a 进行如下分类讨论： 解：① 当a ＝0，f (x )＝4x +1在[-1，3]是单调函数；② 当a ≠0时，f (x )是二次函数，若函数在区间[-1，3]上是单调函数，则对称轴 ∉-a a x 2＝(-1，3)，(如图所示)，即a a 2-≤-1，或aa 2-≥3， 解得-1≤a ＜0，或0＜a ≤1.综上，由①、②可知a 的取值范围是[-1，1].xyO1 3-1xyO 13-1。
人教A版数学必修一新课标高一数学上：函数的单调性同步练习及答案解析
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作1.3.1 单调性与最大（小）值建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的是()A ．y ＝B ．y ＝3x 2＋1C ．y ＝2xD ．y ＝|x|2．定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x ＋4)，当x>2时，f(x)单调递增，如果x 1＋x 2<4，且(x 1－2)(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f(x 2)的值()A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负3．已知函数f(x)＝x 2＋4x ，x ≥０，4x －x 2，x<0.若f(2－a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞）B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞）4.如果函数2()3(,4]f x x ax 在区间上单调递减，则实数a 满足的条件是()A ．(8，＋∞)B ．[8, ＋∞）C ．(∞,8)D ．(∞,8]5．函数y ＝x 2＋2x －3的单调递减区间为() A ．(－∞，－3] B ．(－∞，－1]C ．[1，＋∞)D ．[－3，－1]二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分) 6.函数f(x)＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞）时是增函数，当∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.7.已知函数2(1)21f x x x x ，[1，2]，则()f x 是 (填序号). ①[1，2]上的增函数；。
函数的单调性课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
【思考3】这样的变化过程能写完吗?
怎么借助字母符号表示上述具体例子的共同点？
分析：
只要x1＜x2时, 就有f(x1)＞f(x2).
当从−增大到−，则 从 − = 减小到 − =
当从−增大到−，则 从 − = 减小到 − =
当从−增大到−，则 从 − = 减小到 − =
【思考4】这里对x1，x2有什么要求？
只取 −∞， 上的某些数是否可以？请举例说明.
任取x1，x2∈ −∞， ，只要x1＜x2时, 就有f(x1)＞f(x2).
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函数的单调性
【问题2】请同学们在草稿本上用列表法画出 = 图像.
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
f(x)=x2 … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …
【思考4】这里对x1，x2有什么要求？
只取 −∞， 上的某些数是否可以？请举例说明.
任取x1，x2∈ −∞， ，只要x1＜x2时, 就有f(x1)＞f(x2).
【思考5】模仿上述方法，给出“在区间 ， + ∞ 上，随的增大而增
大”的符号语言刻画.
2 2 2 2 2 x1 x2
则 f x1 f x2
.
x1 x2 x2 x1
x1 x2
x1 , x2 (, 0) ， x1 x2 0 .
又 x1 x2 ， x1 x2 0 .
f x1 f x2 0 ，即 f x1 f x2 .
当从−增大到−，则 从 − = 减小到 − =
当从−增大到−，则 从 − = 减小到 − =
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高一数学必修第一册2019(A版)_《函数的单调性》教学设计一
《函数的单调性》教学设计词与存在量词的写法.1.要求学生分别画出函数y x =，2y x =的图象.（画图象的步骤：列表、描点、连线）2.多媒体上展示这两个函数图象，从列表到图象分析函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性.3.教材第77页思考：函数()||f x x =，2()f x x =-各有怎样的单调性？4.增函数、减函数的定义.一般地，设函数()f x 的定义域为I ，区间D I ⊆：如果1x ∀，2x D ∈，当12x x <时，都有1212)))(((())(f x f x f x f x ><，那么就称函数()f x 在区间D 上是单调递增（减）.特别地，当函数()f x 在它的定区间.1.如图所示.（1）强调定义中“任意”二字，它仅对于区间D 而不是定义域I 而言. （2）一致性：自变量1x ，2x 与因变量1()f x ，2()f x ，若12x x <且12(())f x f x <则为增函数，反之为减函数（如下图）.2.教材第77页下方的思考： （1）设A 是区间D 上某些自变量的值组成的集合，而且1x ∀，2x A ∈，当12x x <时，都有1()f x <2()f x ，我们能说()f x 在区间D 上单调递增吗？你能举例说明吗？（2）函数的单调性是对定义域板书设计教学研讨教学过程中要和学生一起讨论函数单调性的作用，多举几个例子，要全面.如利用函数单调性比较大小、解不等式、已知单调性求参数的范围等.归纳：1.函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性；反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.a b上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意2.若一个函数在区间[,]子集上也是单调的.通过此总结，使学生能够比较全面地把握函数单调性的定义以及其应用，对于这一过程要多让学生分组讨论，达成结论.。
3.2.1函数的单调性【新教材】人教A版(2019)高中数学必修【解析版】
3.2.1函数的单调性1．如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：选B.由图象，可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个．故选B. 2．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是()A．y＝3－x B．y＝x2＋1C．y＝1x D．y＝－|x＋1|解析：选B.y＝3－x，y＝1x，y＝－|x＋1|在(0，2)上都是减函数，只有y＝x2＋1在(0，2)上是增函数．3．若函数f(x)在R上是减函数，则下列关系式一定成立的是()A．f(a)>f(2a) B．f(a2)<f(a)C．f(a2＋a)<f(a) D．f(a2＋1)<f(a2)解析：选D.因为f(x)是R上的减函数，且a2＋1>a2，所以f(a2＋1)<f(a2)．故选D.4．下列说法中正确的有()①若x1，x2∈I，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数；②函数y＝x2在R上是增函数；③函数y＝－1x在定义域上是增函数；④函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：函数单调性的定义中的x1，x2是任意的，强调的是任意，①不对；②y＝x2，当x≥0时是增函数，当x<0时是减函数，从而y＝x2在其整个定义域上不具有单调性；③y＝－1x在整个定义域内不是单调递增函数．如－3<5，而f(－3)>f(5)；④y＝1x的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法．5．函数y＝x2－6x的减区间是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞) D．(－∞，3]解析：选D.y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故减区间为(－∞，3]．6．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为()A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定解析：选D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，故f(x1)与f(x2)的大小不能确定．7. 已知函数y＝ax和y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是()A．减函数且f(0)<0 B．增函数且f(0)<0 C．减函数且f(0)>0 D．增函数且f(0)>0解析：选A.因为y ＝ax 和y ＝－b x 在(0，＋∞)上都是减函数，所以a <0，b <0，f (x )＝bx ＋a 为减函数且f (0)＝a <0，故选A.8. 函数y ＝5－4x －x 2的递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．[－5，－2]C ．[－2,1]D ．[－5,1]解析：由5－4x －x 2≥0，得函数的定义域为{x |－5≤x ≤1}．∵y ＝5－4x －x 2＝－(x 2＋4x ＋4)＋9＝－(x ＋2)2＋9，对称轴方程为x ＝－2，抛物线开口向下，∴函数的递增区间为[－5，－2]．故选B ．9．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞ C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 解析：当a ＝0时，f (x )＝2x －3，符合题意；当a >0时，f (x )图象的开口向上，不符合题意；当a <0时，由题意可得－1a ≥4，解得a ≥－14.综上可知：－14≤a ≤0.10．若f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，则下列说法中正确的是( )A ．f (x )>f (0)B ．f (x 2)>f (0)C ．f (3a ＋1)<f (3a )D ．f (a 2＋1)≥f (2a )解析：∵a 2＋1－2a ＝(a －1)2≥0，∴a 2＋1≥2A ．当a ＝1时，f (a 2＋1)＝f (2a )；当a ≠1时，f (a 2＋1)>f (2a )．故选D ．11. 若f (x )在R 上是单调递减的，且f (x －2)<f (3)，则x 的取值范围是________．解析：函数的定义域为R .由条件可知，x －2>3，解得x >5.答案：(5，＋∞)12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x ≥0，x 2－ax ＋1，x <0是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是 .解析：选A.当x <0时，函数f (x )＝x 2－ax ＋1是减函数，解得a ≥0，当x ≥0时，函数f (x )＝－x＋3a 是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a ，解得a ≤13，所以0≤a ≤13.13．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：因为二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的图象的对称轴为直线x ＝a －12，又函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，所以a －12≤12，解得a ≤2.答案：(－∞，2] 14．已知函数f (x )在R 上是减函数，A (0，－2)，B (－3，2)是其图象上的两点，那么不等式－2<f (x )<2的解集为________．解析：因为A (0，－2)，B (－3，2)在函数y ＝f (x )的图象上，所以f (0)＝－2，f (－3)＝2，故－2<f (x )<2可化为f (0)<f (x )<f (－3)，又f (x )在R 上是减函数，因此－3<x <0. 答案：(－3，0)15. 已知函数f (x )＝－2x 2＋mx ＋1在区间[1,4]上是单调函数，则实数m 的取值范围是 .解析：二次函数f (x )的图象的对称轴是直线x ＝m 4.因为二次函数在对称轴的两侧的单调性相反，即m 4∉(1,4)，所以m 4≤1或m 4≥4，即m ≤4或m ≥16.16.作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，（x －2）2＋3，x >1的图象，并指出函数的单调区间．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，（x －2）2＋3，x >1的图象如图所示，由图象可知，函数的单调递减区间为(－∞，1]和(1，2]； 单调递增区间为(2，＋∞)．17. 证明函数f (x )＝x ＋4x 在(2，＋∞)上是增函数．证明: ∀x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝(x 1－x 2)＋4（x 2－x 1）x 1x 2＝（x 1－x 2）（x 1x 2－4）x 1x 2. 因为2＜x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，x 1x 2＞4，x 1x 2－4＞0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )＝x ＋4x在(2，＋∞)上是增函数． 18．已知函数f (x )＝2x －1x ＋1. (1)求f (x )的定义域；(2)证明函数f (x )＝2x －1x ＋1在[1，＋∞)上是增函数．解：(1)由题意知x ＋1≠0，即x ≠－1.所以f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．(2)证明：∀x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－1x 2＋1－2x 1－1x 1＋1＝（2x 2－1）（x 1＋1）－（2x 1－1）（x 2＋1）（x 2＋1）（x 1＋1）＝3（x 2－x 1）（x 2＋1）（x 1＋1）. 因为x 1<x 2，所以x 2－x 1>0.又因为x 1，x 2∈[1，＋∞)，所以x 2＋1>0，x 1＋1>0.所以f (x 2)－f (x 1)>0，所以f (x 2)>f (x 1)．所以函数f (x )＝2x －1x ＋1在[1，＋∞)上是增函数． 19.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2.解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0. 故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1， 由于当x >1时，f (x )<0.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0. 因此f (x 1)<f (x 2)．故函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)． 而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数， 且f (|x |)<－2＝f (9)，所以|x |>9，解得x >9或x <－9.∴f (|x |)<－2的解集为(－∞，－9)∪(9，＋∞)．。
专题10 抽象函数大题单调性奇偶性归类高一数学热点培优练(人教A版2019必修第一册)(原卷版)
3.定义在非零实数集上的函数 f (x) 对任意非零实数 x, y 满足: f (xy) f (x) f ( y) ,且当 0 x 1 时 f (x) 0 .
(1)求 f (1) 及 f (1) 的值；
(2)求证: f (x) 是偶函数；
(3)解不等式：
f
(2)
fx2来自1 2 0.
【题型三】类指数函数：形如 f（a+b）=f（a）f（b）单调性
二、抽象函数判断或者证明奇偶性的思维和技巧
证明奇偶性，实质就是赋值。分析出赋值规律。 1.可赋值，得到一些特殊点函数值，如 f（0），f（1）等， 2.尝试适当的换元字母，构造出 x 和-x，如 f（x+y），可令 y= -x，f（xy），可令 y= -1 等等
3.通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。
再令 a x 0 ， b x 0 ，结合所给条件，可得 f x的正负 ，
再根据条件，结合单调性定义，有两个方向思维：
（1）设 x1 x2 ，将 f x2 f x1 变形成 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f (x1) f (x1) 即可求证
( x2 x1
x2 )
f
( x1 )
（3）.
利用
f
x
y
f
x
f
y构造
f
x y f x
f
y
函数的单调性 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
新课引入 我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，这 样我们可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物 变化规律的认识．那么什么是函数性质呢？
总体而言，函数性质就是“变化中的不变性，变化中 的规律性”．研究函数性质，就是要学会在运动变化中发现 规律．
总体而言，函数性质就是“变化中的不变性，变化中 的规律性”．研究函数性质，就是要学会在运动变化中发现 规律．
当函数有多个单调区间时，不能随意用并集．
当函数有多个单调区间时，不能随意用并集．
0.2
第二个函数在(, 1)及(0.21)两个区间上，从左到右 图象分别上升， y随 x的增大而增大；
0.2
在(1,0.2)及(1, )两个区间上，从左到右图象分别下 降， y随 x的增大而减小．
0.2
本节课我们要用定量的方法刻画函数值随自变量 的增大而增大（或减小）的变化规律——函数的单调性．
x … -5 -4 -3 -2 -1 … f (x) x2 … 25 16 9 4 1 6； 当 x从-4 增大到-3，函数值 f (x)从 16 减小到 9； 当 x从-3 增大到-2，函数值 f (x)从 9 减小到 4．
当 x从-5 增大到-4，函数值 f (x)从 25 减小到 16； 当 x从-4 增大到-3，函数值 f (x)从 16 减小到 9； 当 x从-3 增大到-2，函数值 f (x)从 9 减小到 4．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
高一数学同步精讲课件(人教A版必修第一册)3.2.1函数的单调性
解析：由函数图像可知，函数的
y
单调递减区间是(-∞,-1]
1
-1 O
x
题型二 求函数的单调区间
1
巩固练习 函数 y
的单调递减区间为 (-∞,1)和(1,+∞)
.
x 1
分析：根据函数图像得到函数单调区间。
y
解析：由函数图像可知，函数的
单调递减区间是(-∞,1)和(1,+∞)
？ 探究
画出函数f(x)=x2的图象，观察其变化规律：
y
1.当x∈[0,+∞)，函数图象是上升的，f(x)随着
增大
x的增大而______．
任取x1，x2∈[0,+∞)，x1<x2，有f(x1)____f(x
<
2)，这时
O
我们就说函数f(x)=x2在[0,+∞)上是___________的。
单调递增
单调递增区间是[-1,1]
题型四 复合函数单调性
巩固练习 求函数() =
1
的单调递增区间。
2
+2+3
题型四 复合函数单调性
巩固练习 求函数() =
解：函数() =
1
的单调递增区间。
2
+2+3
1
定义域为R.
2 +2+3
因为 = 2 + 2 + 3的对称轴为直线x=-1，开口向上，
f(2x-3)>f(5x-6)，则2x-3>5x-6
即x<1
PART 4 函数单调性的加减及复合函数单调性
•
增函数+增函数=增函数
函数的单调性高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
．（填增函数还是减函数）
谢谢大家
t(h)
问题2 观察函数 f x x 和 f x x2 图象，随着 x 增大
图象是如何变化的？
y
3
2
1
x –3 –2 –1 O 1 2 3
–1
–2
–3
y
5
4
3
2
1
–3 –2 –1 O
x
1 23
初步认识函数单调性
y
5
4
3
2
1
–3 –2 –1 O
x
1 23
函数 f (x) x2 的定义域为 R 图象在 y 轴左侧随着 x 的增大而 下降,我们就说 f (x) x2 在
们就说函数 y f (x) 在区间 D 上是减函数．
练习1
判断下列说法是否正确，说明理由： （1）某地 0 点温度高于 1 点半的温度，1 点半的温度 高于 5 点的温度，则该地 0 点至 5 点温度一直在下降.
（2）对于函数 y f x 在其定义域 0，+内有无穷多 个值 a1, a2, a3 ，满足 f a1 f a2 f a3 ， 则函数 y f x 在其定义域内是增函数.
区间 -，0上为减函数；
图象在 y 轴右侧随着 x 的增大而
上升,我们就说 f (x) x2 在区间 0，+ 上为增函数.
探究一
用数学符号语言描述函数
f x x2 在 0，+ 是增函数
问 题3 函数 f x x2 的图象在 y 轴右侧随着 x 的增大
是上升的，如何用数学语言来描述这种“上升”呢？
L/必O/G修/O 第一册
函数的单调性
问题1 下图是林甸县今年某天 24 小时内气温随时间变
人教A版高中同步训练数学必修第一册精品课件 第3章 习题课一 函数的单调性与最大(小)值的简单应用
由①②可知,0<a<,
即所求 a 的取值范围是(0,).
规律总结
利用函数单调性解不等式的依据
(1)若y=f(x)在给定区间上单调递增,则当f(x1)<f(x2)时,x1<x2;当
f(x1)>f(x2)时,x1>x2.
(2)若y=f(x)在给定区间上单调递减,则当f(x1)<f(x2)时,x1>x2;当
内均单调递增.
上述方法叫做分离常数法.
+
【典型例题 3】函数 f(x)=
调递减区间是
的单调递增区间是
,单
.
答案:(-∞,-1],[1,+∞) [-1,(0,1]
解析:因为
+
f(x)= =x+,
所以 f(x)的定义域为{x|x≠0}.
当 x>0 时,设
0<x1<x2,f(x2)-f(x1)=x2+ -x1-
(1)求证:f(x)是R上的增函数;
(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
(1)证明:∀x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.
∴f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)
=f(x2-x1)-1>0.
(2)利用单调性比较函数值的大小,务必将自变量x的值转化到
同一单调区间上才能进行比较,最后写结果时再还原回去.
【跟踪训练4】若函数f(x)的定义域为R,且在区间(0,+∞)内单
调递减,则下列不等式成立的是(
高一期末复习： 函数单调性的应用人教A版(2019)高中数学必修第一册
专题一 函数的单调性的应用【题型1】 利用单调性求参数的取值范围1、如果函数2()23f x ax x =+-在区间(,4)-∞上是单调递增的，则实数a 的取值范围是（ ） A.14a >- B.14a ≥- C.104a -≤< D.104a -≤≤ 2、若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ）A ．(],40-∞B ．[40,64]C ．(][),4064,-∞⋃+∞D ．[)64,+∞3、若()22f x x ax =-+与()a g x x=在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围是______． 4、若函数()f x 是定义在[2-，2]上的减函数，且(1)(31)f a f a +<+，则实数a 的取值范围是( )A ．(,0)-∞B ．[1-，0)C ．(0，1]3D ．(0,)+∞ 5、函数2()1f x ax x a =+++在(2,)-+∞上是单调递增函数，则a 取值范围是（ ）A ．1(,]4-∞B ．1(0,]4C ．1[0,]4D ．1[,)4+∞ 【题型2】 利用单调性比较大小6、设0a >，函数2()f x ax bx c =++的图象关于直线1x =对称，则(1),f f f 之间的大小关系是（ ）A. (1)f f f <<B. (1)f f f <<C. (1)f f f <<D. (1)f f f <<7、已知()f x 在(),-∞+∞上是减函数，若()ln3a f =，12ln 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<8、已知函数()f x 是定义域为R 的单调增函数．（1）比较2(2)f a +与(2)f a 的大小； （2）若2()(6)f a f a >+，求实数a 的取值范围．【题型3】 利用单调性解不等式9、已知函数()f x 为()0,∞+上的增函数，若2()(8)f a a f a ->+，则实数a 的取值范围是多少？10、已知定义在区间0,上的函数()f x ，对任意(),0a b ∈+∞,均有()()a f f a f b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当1x >时，()0f x <． （1）求()1f 的值，（2）判断()f x 的单调性并予以证明．（3）若()31f =-，解不等式()212f x -≥-．【题型4】 利用单调性求最值11、已知函数()211x f x x +=-，其定义域是[)8,4--，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 有最大值53，无最小值 B ．()f x 有最大值53，最小值75C ．()f x 有最大值75，无最小值 D ．()f x 无最大值，最小值7512、已知函数223y x x =--+在[],2a 上的最大值为154，a 则等于______.13、已知函数2()x f x x +=（1）写出函数()f x 的定义域和值域；（2）证明函数()f x 在0,为单调递减函数；并求()f x 在[]2,8x ∈上的最大值和最小值.14、对于区间[],()a b a b <，若函数()y f x =同时满足：①()f x 在[],a b 上是单调函数；②函数[](),,y f x x a b =∈的值域是[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“保值”区间．（1）求函数2y x =的所有“保值”区间； （2）函数2(0)y x m m =+≠是否存在“保值”区间？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．答案解析1、解析： D 当0a =时，()23f x x =-，在定义域R 上是单调递增的，故在(,4)-∞上单调递增；当0a ≠时，二次函数()f x 的对称轴为1x a =-，因为()f x 在(,4)-∞上单调递增，所以0a <且14x a =-≥，解得104x -≤<. 综上所述得104x -≤<. 2、【答案】C 【解析】 二次函数对称轴为8k x =，函数在区间[5,8]上单调，所以88k ≥或58k ≤64k ∴≥或40k ≤ 3、【答案】(]01，【解析】根据2()2f x x ax =-+与()a g x x =在区间[1，2]上都是减函数， 又()f x 的对称轴为x a =，所以1a ≤， 又()a g x x=在区间[1，2]上是减函数，所以0a > 所以01a <≤，即a 的取值范围为(]01，．故答案为：(]01，4、【解答】解：根据题意，函数()f x 是定义在[2-，2]上的减函数，若(1)(31)f a f a +<+，则有23112a a -+<+，解可得：10a -<，即a 的取值范围为[1-，0)；故选：B ．5、【解答】解：根据题意，函数2()1f x ax x a =+++，分2种情况讨论：①，当0a =时，()1f x x =+，在R 上为增函数，符合题意；②，当0a ≠时，函数2()1f x ax x a =+++为二次函数，其对称轴为12x a =-， 若函数2()1f x ax x a =+++在(2,)-+∞上是单调递增函数，则有0122a a >⎧⎪⎨--⎪⎩，解可得104a <； 综合可得：a 的取值范围为[0，1]4；故选：C ． 6、【答案】A.【解析】由于0a >，且函数2()f x ax bx c =++图象的对称轴为1,x =所以函数()f x 在[)1,+∞上单调递曾增.因为123<<，从而(1)(2)(3)f f f <<.7、【答案】B【详解】根据对数函数的单调性可知：112ln ln ln 324=<，由2339>>e e ，所以33>e ，两边同时取对数可得3ln ln 3>e ，即3ln 3>，所以13ln 32ln 2>>，因为()f x 在(),-∞+∞上是减函数，所以()()13ln 32ln 2⎛⎫<< ⎪⎝⎭f f f ，所以c a b <<.故选：B 8、【答案】（1）2(2)(2)f a f a +>；（2）3a >或2a <-． 【解析】（1）因为2222(1)10a a a +-=-+>，所以222a a +>，由已知，()f x 是单调增函数，所以2(2)(2)f a f a +>． （2）因为()f x 是单调增函数，且2()(6)f a f a >+，所以26a a >+，解得3a >或2a <-．9、【答案】(8,2)(4,)--⋃+∞【详解】因为函数()f x 为()0,∞+上的增函数，所以由2()(8)f a a f a ->+可得220880a a a a a a ⎧->⎪->+⎨⎪+>⎩，解得(8,2)(4,)a ∈--⋃+∞.10、【详解】（1）因为对任意a ，(0,)b ∈+∞均有()()()af f a f b b=-， 令a b =，则f （1）f =（a ）f -（a ）0=，（2）()f x 在(0,)+∞上单调递减，证明如下：设210x x <<，则121x x >， 由1x >时，()0f x <可得12()0x f x <，所以2121()()0()f x f x x f x =<-， 所以12()()f x f x <， ()f x 在(0,)+∞上单调递减，（3）由()()()af f a f b b =-及f （3）1=-可得9()3f f =（9）f -（3）， 即f （9）2f =（3）2=-，又()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以不等式(21)2f x --可化为(21)f x f -（9），所以0219x <-，解得152x <． 故不等式的解集1{|5}2x x < 11、A【详解】因为函数()()2132132111x x f x x x x -++===+---，所以()f x 在[)8,4--上单调递减，则()f x 在8x =-处取得最大值，最大值为53，4x =-取不到函数值，即最小值取不到.故选A .12、【详解】2223(1)4y x x x 对称轴方程为1x =-，当1a ≤-时，1x =-，函数取得最大值为4，不合题意舍去，当1a >-时，x a =，函数取得最大值为215234a a --+=， 即24830,(23)(21)0a a a a ++=++=， 解得12a =-或32a =-（舍去）. 故答案为:12-.13、解析：(1)定义域又 ∴值域为(2)设∴,,∴, 即 ∴函数在为单调递减函数，最大值，最小值14、【解析】（1）因为函数2y x =的值域是[)0,+∞，且2y x =在[],a b 的值域是[],a b ， 所以[],a b ⊆[)0,+∞，所以0a ≥，从而函数2y x =在区间[],a b 上单调递增， 故有22,.a ab b ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得0a a =⎧⎨⎩或=1,b=0或b=1 又a b <，所以0a =⎧⎨⎩,b=1.所以函数2y x =的“保值”区间为[]0,1．（2）若函数2(0)y x m m =+≠存在“保值”区间，则有：①若0a b <≤，此时函数2y x m =+在区间上单调递减， 所以22,.a mb b m a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩消去m 得22a b b a -=-，整理得()(1)0a b a b -++=． 因为a b <，所以10a b ++=，即1a b =--．又0,1,b b b ≤⎧⎨--<⎩所以10.2b -<≤ 因为2221311()(0)242m b a b b b b =-+=---=-+--<≤， 所以314m -≤<-． ②若0,b a >≥此时函数2y x m =+在区间[],a b 上单调递增，所以22,.a m ab m b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩消去m 得22a b a b -=-，整理得()(1)0a b a b -+-=． 因为a b <，所以10a b +-=，即1b a =-．又0,1,a a a ≥⎧⎨<-⎩所以102a ≤<． 因为22111()(0),242m a a a a =-+=--+≤< 所以104m ≤<． 因为0m ≠，所以10.4m << 综合①②得，函数2(0)y x m m =+≠存在“保值”区间，此时m 的取值范围是311,0,44⎡⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭。
函数的单调性课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
4
3
2
你是这样理解的？能
否给出其数量特征？
1
-1
2
3
4
⋯⋯
-4
-3
-2
-1
⋯⋯
() = 2
⋯⋯
16
9
4
1
⋯⋯
问题1：怎么用语言表示呢？请同学们给出具体的描述。
问题2：这个过程能写完吗？能用什么符号来代替呢？
1
2
1
2
问题3：这里的1 2 又有什么要求呢？
(1 )
(2 )
1
2
总结：对于函数 = 2
任取1 2 ∈ (−∞, 0)只要1 < 2 ，就有(1 ) > ( 2 )，在
区间上是单调递减的
任取1 2 ∈ (−∞, 0)只要1 < 2 ，就有(1 ) < ( 2 )，在
区间上是单调递增的。
形成概念
如何用符号语言来刻画函数f(x)由y随x的增大而增大呢？
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D ⊆ I
如果∀x1 ,x2 ∈ D
当 x1 < x2 时，
=
都有f(x1 ) < f(x2 )
●
●
1
2
那么就称函数f(x)在区间D上单调递增的
当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我
们就称它是增函数.
区间叫做 = 的单调区间
函数的单调性
情景导入
情景1：生活中，在糖水中加糖，它会越来越甜，反映了实现中哪些
“量”的变化的相互关系呢？
情景2：
这是某市近日温度变
化图，如何用数学语
人教A版数学必修一函数的单调性.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作数学·必修1(人教A版)1.3函数的基本性质1．3.1函数的单调性►基础达标1．使一次函数f(x)＝kx＋b为增函数的一个条件是() A．k＜0B．k≤0C．k＞0 D．k≥0答案：C2．下列说法正确的是()A．反比例函数y＝kx在区间(0，＋∞)上是减函数B．二次函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上C．反比例函数y＝2x是R上的减函数D．一次函数f(x)＝－2x＋b是R上的减函数答案：D3．如果二次函数y＝5x2－nx－10在区间(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，则n的值是()A．1 B．－1C．10 D．－10答案：C4．函数y＝1x＋2的大致图象只能是()答案：B5．函数f(x)图象如下图所示，函数的单调递减区间是________．答案：[－5，－2]和[1,3]6．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()A．y＝|x| B．y＝3－xC ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4答案：A►巩固提高7．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，下列结论不正确的是( )A.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0 B ．(x 1－x 2) [f (x 1)－f (x 2)]>0C ．f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b )D.x 2－x 1f (x 2)－f (x 1)>0解析：由增函数的定义知x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，∴A ，B ，D 都正确，故选C.答案：C8．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，40]B ．[40,64]C ．(－∞，40]∪[64，＋∞)D ．[64，＋∞)解析：只需f (x )＝4x 2－kx －8的对称轴x ＝k 8相应值k 8在区间[5,8]外面，即k 8≤5或k 8≥8， ∴k ≤40或k ≥64.答案：C9．已知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，判断f (a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小关系．解析：∵a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34.10．证明函数f (x )＝x ＋2x 在(2，＋∞)上是增函数．证明：任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 2 ＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－2x 2 ＝(x 1－x 2)＋2(x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 1x 2 ＝(x 1－x 2)x 1x 2－2x 1x 2， ∵2＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞2，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴函数f (x )在(2，＋∞)上是增函数.1．增(减)函数定义．2．单调性，单调区间定义．3．判断函数单调性的方法．方法一：画图观察；方法二：根据实际意义确定；方法三：利用定义证明．4．利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：(1)任取x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2；(2)作差f(x1)－f(x2)；(3)变形(通常是因式分解和配方)；(4)定号[即判断差f(x1)－f(x2)的正负]；(5)下结论[即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性].。
3.2 函数的单调性-(人教A版2019必修第一册) (学生版)
函数的单调性1 函数单调性的概念一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，区间D∈I:如果∀x1 ,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上单调递增(图①).特别地，当函数f(x)在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.如果∀x1 ,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上单调递减(图②).特别地，当函数f(x)在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.Eg：y=1在(0,+∞)上单调递减，但它不是减函数，x特别注意它的减区间是(0,+∞),(−∞,0)，不是(0,+∞)∪(−∞,0).2 单调性概念的拓展①若y=f(x)递增，x2>x1，则f(x2)>f(x1).比如：y=f(x)递增，则f(a2 )≥f(0).②若y=f(x)递增，f(x2)≥f(x1)，则x2≥x1.比如：y=f(x)递增 ,f(1−m)≥f(n) , 则1−m≥n.y=f(x)递减，有类似结论！3 判断函数单调性的方法①定义法解题步骤(1) 任取x1 ,x2∈D，且x1<x2；(2) 作差f(x1)－f(x2)；(3) 变形(通常是因式分解和配方)；(4) 定号(即判断差f(x1)－f(x2)的正负)；(5) 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．②数形结合③性质法增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；但增函数×增函数不一定是增函数，比如y=x，y=x−2均是增函数，而y=x(x−2)不是.④复合函数的单调性(1)如果y=f(u)(u∈M) ,u=g(x)(x∈A) , 则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数；比如：F(x)=1x2+x (f(u)=1u和g(x)=x2+x的复合函数)；F(x)=√1−2x (f(u)=√u和g(x)= 1−2x的复合函数)；F(x)=21x(f(u)=2u和g(x)=1x的复合函数).(2) 同增异减设函数u=g(x)(x∈A)的值域是M，函数y=f(u)(u∈M) ,若y=f(u),u=g(x)在各自区间单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在区间A上递增；若y=f(u) ,u=g(x)在各自区间单调性不同，则复合函数y=f[g(x)]在区间A上递减.4 函数的最值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1) ∀x∈I，都有f(x)≤M；(2) ∃x0∈I，使得f(x0)=M；那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.(最小值类似定义)简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值.【题型一】对函数单调性的理解【典题1】函数y=f(x)在R是增函数，若a+b≤ 0，则有( )A.f(a)+f(b)≤−f(a)−f(b)B. f(a)+f(b)≥−f(a)−f(b)C.f(a)+f(b)≤ f(−a)+f(−b)D. f(a)+f(b)>f(−a)+f(−b)【典题2】已知函数f(x)在R上是单调函数，且对任意x∈R，都有f(f(x)−2x)=3，则f(3)的值等于.巩固练习1(★★)设a∈R，函数f(x)在区间(0 ,+∞)上是增函数，则() A．f(a2+a+2)>f(74)B．f(a2+a+2)<f(74) C．f(a2+a+2)≥f(74)D．f(a2+a+2)≤f(74)2(★★)已知f(x)是定义在[0 ,+∞)上单调递增的函数，则满足f(2x−1)<f(13)的x取值范围是.【题型二】判断函数单调性的方法方法1 定义法【典题1】判断f(x)=x+4x在(0 ,2) ,(2 ,+∞)的单调性.方法2 数形结合【典题2】函数f(x)=x1−x的单调增区间是()A.(−∞ ,1)B.(−∞ ,1)∪(1 ,+∞) C .(−∞ ,1) ,(1 ,+∞) D .(−∞ ,−1) ,(−1 ,+∞)方法3 复合函数的单调性【典题3】函数f (x )=√x 2+4 x −12 的单调减区间为 .巩固练习1(★) 下列四个函数在(−∞,0)是增函数的为( )A ．f (x )=x 2+4B ．f (x )=1−2xC ．f (x )=−x 2−x +1D ．f(x)=2−3x 2(★)设函数f(x)在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是( )A ．y =1f(x)在R 上为减函数 B ．y =|f(x)|在R 上为增函数 C ．y =−1f(x)在R 上为增函数 D ．y =−f(x)在R 上为减函数3(★) 函数f(x)=x|x −2|的递减区间为 ．4(★) 函数y =√x 2+3x 的单调递减区间为 ．5(★★) 函数f(x)=|(12)x −2|的单调递增区间为 ．6(★★★) 已知函数f (x )=x −a x 在定义域[1,20]上单调递增 (1)求a 的取值范围；(2)若方程f (x )=10存在整数解，求满足条件a 的个数.7(★★★) 函数f (x ) ,g(x)在区间[a ,b]上都有意义，且在此区间上①f(x)为增函数，f (x )>0；②g(x)为减函数，g (x )<0．判断f (x )g(x)在[a ,b]的单调性，并给出证明．【题型三】函数单调性的应用角度1 解不等式【典题1】已知函数f(x)=(12)x −x 3，若f(2a +1)>f(a −1)，则实数a 的取值范围是 .角度2 求参数取值范围或值【典题2】若f(x)={ax 2+1 ,x ≥0(a 2−1)∙2ax ,x <0(a ≠1)，在定义域(−∞ ,+∞)上是单调函数，则a 的取值范围 .角度3 求函数最值【典题3】已知函数f (x )=ax 2−|x −a|．(1)当a =1时，求f(x)的值域；(2)当a >0时，求函数f(x)在区间[0,+∞)上的最小值．巩固练习1(★★) 已知函数f(x)=2x+1x−1，其定义域是[−8 ,−4)，则下列说法正确的是( )A ．f(x)有最大值53，无最小值B ．f(x)有最大值53，最小值75C ．f(x)有最大值75，无最小值D ．f(x)有最大值2，最小值75 2(★★) 若f(x)={a x ,x ≥1−x +3a ,x <1是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为 ．3(★★) 若函数f (x )=x 2−2ax +1−a 在[0 ,2]上的最小值为−1．则a = ．4(★★) 已知函数f(x)=√x −2，若f(2a 2−5a +4)<f(a 2+a +4)，则实数a 的取值范围是 ． 5(★★) 已知函数f (x )=|x −1|+|2x +a|的最小值为2，则实数a 的值为 ．6(★★★) 已知函数f (x )=2x −a x 的定义域为(0，1](a 为实数)．(1)当a =1时，求函数y =f(x)的值域；(2)求函数y=f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值．【题型四】抽象函数的单调性定义在(0 ,+∞)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)对所有的正数x、y都成立，f(2)=−1且当x>1，f(x)<0．(1)求f(1)的值(2)判断并证明函数f(x)在(0 ,+∞)上的单调性(3)若关于x的不等式f(kx)−f(x2−kx+1)≥1在(0 ,+∞)上恒成立，求实数k的取值范围.巩固练习1 (★★★)定义在(0 ,+∞)上的函数f(x)满足下面三个条件：①对任意正数a ,b，都有f(a)+f(b)=f(ab)；②当x>1时，f(x)<0；③f(2)=−1(1)求f(1)和f(1)的值；4(2)试用单调性定义证明：函数f(x)在(0 ,+∞)上是减函数；(3)求满足f(4x3−12x2)+2>f(18x)的x的取值集合．。
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第七讲函数的单调性
【学习目标】
1.理解单调区间、单调性等概念，会用定义证明函数的单调性(重点、难点).
2.会求函数的单调区间，判断单调性(重点)．
知识点1 增函数与减函数
设函数f(x)的定义域为I，
D⊆I，对任意x1，x2∈D
知识点2 函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
题型一求函数的单调区间
例1、(1)如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，则函数的单调递减
区间是________、________，在区间________、________上是增函数．
(2)画出函数y ＝－x 2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．
(1)解析 观察图象可知，y ＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]．其中y ＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上是增函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是减函数．
答案 [－2,1] [3,5] [－5，－2] [1,3]
(2)解 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x<0，
即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x<0.
函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为[－1,0]，
[1，＋∞)．
规律方法 根据函数的图象求函数单调区间的方法。